Кинематический анализ сооружений

КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СООРУЖЕНИЙ Внешняя нагрузка может вызвать значительные перемещения элементов сооружения, в результате чего оно может перестать служить своему предназначению. Поэтому ставится требование: перемещения сооружения должны быть малыми. Решением этой задачи на начальном этапе проектирования занимается специальный раздел строительной механики, называемый кинематическим анализом. Кинематический анализ – это анализ геометрической структуры сооружения с целью исключения больших перемещений. При кинематическом анализе внешняя нагрузка обычно не рассматривается, а элементы системы считаются достаточно жесткими. В кинематическом анализе различаются три типа расчетных схем: 1) геометрически неизменяемые системы, 2) геометрически изменяемые системы, 3) мгновенно изменяемые системы. Геометрически неизменяемая система (ГНС) – это система, перемещения которой возможны только при деформации ее элементов. Простейшей ГНС является шарнирный треугольник (рис. 1 а). Геометрически изменяемая система (ГИС) – это система, элементы которой могут получать перемещения даже без их деформаций. Например, изменяемой является шарнирный четырехугольник (рис. 1 б). Мгновенно изменяемая система (МИС) – система, способная получать лишь мгновенные перемещения (рис. 1 в). Рис. 1 1. Степень свободы. Кинематические связи Количественная оценка кинематических свойств системы основана на определении ее степеней свободы как направлений возможных независимых перемещений. Число степеней свободы (W) – это минимальное число независимых параметров, необходимых для определения положения всех точек системы. Такими параметрами могут быть перемещения отдельных точек, углы поворота элементов и др. Число степеней свободы простых систем можно определять путем задания ее элементам возможных перемещений (рис. 2 а, б, в). Рис. 2 Для изучения более сложных случаев введем следующие понятия: диск (Д) – неизменяемая часть системы, состоящая из одного или нескольких жестко связанных элементов (рис. 3 а); шарнир (Ш) – связь, дающая возможность взаимного поворота соседним дискам (рис. 3 б); припайка (П) – связь, жестко закрепляющая соседние диски (рис. 3 в); стержень (С) – связь, ограничивающая перемещение диска в одном направлении (рис. 3 г); опорная связь (С0) – связь, ограничивающая перемещение диска в одном направлении по отношению к земле (рис. 3 д). Рис. 3 Определим число степеней свободы точки (рис. 4 а) и диска с различными кинематическими связями (рис. 4 б-д): Рис. 4 Как видим, стержень или опорная связь уменьшают число степеней свободы на единицу, шарниры – на два, припайки – на три. Кинематические связи должны обеспечивать неподвижность системы относительно земли (основания), а также неизменяемость ее внутренней структуры. Если при удалении одной связи из неизменяемой системы она становится изменяемой, то эта связь называется необходимой. Если после этого система остается неизменяемой, то связь называется избыточной. Связь, соединяющая систему с землей, называется внешней, а находящаяся внутри – внутренней связью. Шарнир, объединяющий два диска, называется простым шарниром (рис. 5 а). Если шарнир объединяет несколько дисков, то он называется кратным шарниром. Кратный шарнир эквивалентен нескольким простым шарнирам. Кратность шарнира определяется по формуле nШ=nД –1, где nД – число дисков, объединяемых шарниром. Рис. 5 2. Число степеней свободы стержневой системы Рассматривая расчетную схему сооружения как систему дисков, объединенных связями, получаем ее дисковый аналог. Для одной и той же системы часто можно получить несколько дисковых аналогов. Число степеней свободы плоской стержневой системы определяется по формуле, называемой основной формулой кинематического анализа: W = 3nД – 2nШ – nC – nC0 – 3nП . Здесь nД – число дисков в дисковом аналоге; nШ – число простых шарниров; nС – число стержней; nC0 – число опорных связей; nП – число припаек. При расчете фермы можно использовать формулу W = 2nУ – nC – nC0 , где nУ – число узлов фермы (узлом считается любой шарнир, связывающий стержни фермы). После расчета по этим формулам возможны три случая: 1) W>0 – такая система геометрически изменяема и является механизмом; 2) W=0 – в системе имеется достаточное число связей; если они введены правильно, то система неизменяема и статически определима; 3) W<0 – в системе есть избыточные связи. Если эти связи введены правильно, то система неизменяема и статически определима. Отсюда следует, что расчетная схема сооружения должна удовлетворять необходимому условию геометрической неизменяемости W 0. В качестве примера рассмотрим три расчетные схемы (рис. 6 а, в, д) и их дисковые аналоги (рис. 6 б, г, е, ж). Рис. 6 Вычислим число степеней свободы этих систем: 1) арка (рис. 6 а): nД=2, nШ=1, nC=0, nC0 =4, nП=0; W=32 – 21 – 0 – 4 –30 =0; 2) рама (рис. 6 в): nД=3, nШ=3, nC=0, nC0 =3, nП=0; W=33 – 23 – 0 – 3 –30 =0. 3) ферма (рис. 6 д): – по дисковому аналогу (рис. 6 е): nД=6, nШ=7, nC=0, nC0 =4, nП=0; W = 36 – 27 – 0 – 4 –30 = 0; – по дисковому аналогу (рис. 6 ж): nД=2, nШ=1, nC=1, nC0 =3, nП=0; W = 32 – 21 – 1 – 3 –30 = 0; – по формуле для фермы (рис. 6 д): nУ=4, nС=5, nC0 =3; W = 24 – 5 – 3 = 0. 3. Способы образования неизменяемых систем Выполнение условий, рассмотренных выше необходимо, но не достаточно. Например, число степеней свободы систем (рис. 7 а, в) одинаково: W=0, поэтому необходимое условие их геометрической неизменяемости выполняется. Но, тем не менее, они оба геометрически изменяемы. Причиной их изменяемости является неправильная установка связей. Для того чтобы они стали неизменяемыми, одну связь в этих системах нужно переставить (рис. 7 б, г). Рис. 7 Из этих примеров следует, что для полной уверенности в неизменяемости системы нужна дополнительная проверка системы – проверка геометрической структуры. Ее суть заключается в проверке способов объединения элементов между собой и с землей. Для такой проверки необходимо: – выделить в системе неизменяемые фигуры – диски; – последовательно объединять эти диски между собой, используя способы образования неизменяемых систем. Рассмотрим простейшие способы образования геометрически неизменяемых систем: 1. Новый узел к диску должен добавляться способом диады – двумя непараллельными стержнями (рис. 8 а). 2. Два диска должны объединяться: – способом триады – тремя не параллельными и не пересекающимися в одной точке связями (рис. 8 в); – одним шарниром и одной связью (рис. 8 б). Этот способ вытекает из способа триады; 3. Три диска должны объединяться тремя шарнирами, не лежащими на одной прямой (рис. 8 г). Шарниры могут быть условными (рис. 8 д). Рис. 8 4. Понятие о мгновенно изменяемых системах Расчетная схема любого инженерного сооружения не должна быть изменяемой или мгновенно изменяемой. Если изменяемость системы обычно возникает из-за недостатка связей, то мгновенная изменяемость возникает при их неправильной установке (рис. 9 а, г, д, е). Рис. 9 Обнаружить мгновенную изменяемость очень важно уже на этапе кинематического анализа, так как позволяет вносить коррективы в расчетную схему сооружения. В качестве примера рассмотрим балку (рис. 9 а) и выясним, почему же она является мгновенно изменяемой. 1. При действии на эту балку сосредоточенной силы P ее положение изменится (рис. 9 б). Запишем условие равновесия системы сходящихся сил в точке A (рис. 9 в): Y=N sin2 – P = 0. Отсюда P . 2 sina Если в этой формуле =0, т.е. когда стержни AB и BC лежат на одной прямой, то N=. Таким образом, мгновенная изменяемость опасна тем, что усилия в элементах системы могут быть очень большими. 2. Если в последней формуле примем P=0, внутреннее усилие становится неопределенным: N=0/0. Этот результат лежит в основе метода нулевой нагрузки. Суть этого метода заключается в следующем: – удалить все силы, действующие на систему; – вычислить внутренние усилия. Если они все (включая и опорные реакции) будут равны нулю, то система неизменяема. Если же хотя бы одно усилие будет неопределенным (типа 0/0), то данная система является мгновенно изменяемой. N= Общие выводы. Расчетная схема сооружения должна быть геометрически неизменяемой. С целью проверки геометрической неизменяемости проводится кинематический анализ, состоящий из двух этапов: 1) количественный анализ – проводится по основной формуле кинематического анализа; должно выполняться условие W 0; 2) качественный анализ – проводится с использованием способов образования геометрически неизменяемых систем.