Качественные и количественные методы описания информационных систем. Преобразования сигналов в цифровых информационных системах.

2. Качественные и количественные методы описания информационных систем. Преобразования сигналов в цифровых информационных системах. 2.1. Спектральное представление периодических сигналов рядами Фурье Сигналы используемые в теории информации делятся на периодичес- кие и непериодические. На рис. показаны их графики. Периодическим называют любой сигнал (функцию), повторяющийся через регулярные интервалы времени (рис. 2.6) и удовлетворяющий условию: где T — период повторения или следования импульсов; п =0,1, 2, .... . Очень часто математическое описание даже несложных по структуре детерминированных сигналов является весьма трудной задачей. Поэтому используется оригиналь­ный прием, при котором реальные сигналы заменяют (аппроксимируют, представляют, декомпозируют) набором идеализированных математических моделей, описываемых простыми функциями. В начале XIX в. Ж. Фурье удалось доказать, что любое изменение во времени некоторой периодической функции можно представить (аппроксимировать) в виде конечной или бесконечной суммы ряда гармонических колебаний (синусоидальных и косинусоидальных) с разными амплитудами, частотами и начальными фазами. Этой функцией может быть, частности, ток или напряжение в некоторой электрической цепи. Несложный пример доказательства рассуждений Фурье показан на рис. 2.5. Рис. 2.5. К анализу Фурье: а — сложное колебание; б, в— первый и второй сигналы Периодическая, достаточно сложная по форме кривая (рис. 2.5, а) — это сумма двух синусоид разных частот: (рис. 2.5, б) первой и удвоенной (рис. 2.5, в). Пусть на заданном интервале времени -T/2, +T/2 действует произвольный не­прерывный сигнал u(t) и для его аппроксимации используется система идеа­лизированных функций (2.2), являющаяся ортонормированной. Тогда дан­ный сигнал может быть представлен обобщенным рядом Фурье Это обусловлено следующими обстоятельствами: гармонические коле­бания наиболее просто генерировать; гармоническое колебание теоретиче­ски полностью сохраняет свою форму при прохождении через любую ли­нейную систему с постоянными параметрами, а изменяются при этом лишь его амплитуда и начальная фаза. Операция представления непрерывных периодических сигналов в виде совокуп­ности постоянной составляющей и суммы гармонических колебаний с крат­ными частотами называется спектральным разложением (представлением) или гармоническим (спектральным) анализом. Вычисляя интегралы по (2.4), не­трудно убедиться в ортонормированности заданных функций на интерва­ле . Любая из этих функций удовлетворяет условию периодично­сти (2.7), поскольку частоты их крат­ны. Представим периодический сигнал наиболее распространенной тригонометрической формой ряда Фурье: (1) В этом соотношении имеются следующие компоненты сигнала: - постоянная составляющая: (2) - амплитуды косинусоидальных составляющих: (3) - амплитуды синусоидальных составляющих периодического сигнала: (4) Спектральную составляющую с частотой в радиотехнике называют первой (основной) гармоникой, а составляющие с частотами (n >1) — высшими гармониками периодического сигнала. Из курса математики известно, что если сигнал представляет собой четную функцию времени u(t) = u(-t), то в тригонометрической записи ряда Фурье (2.9) Остаются только косинусоидальные составляющие а так как коэффициенты bп В соответствии с формулой (2,12) обращаются в нуль. Для сигнала u(t), опреде­ляемого нечетной функцией времени, наоборот, в нуль обращаются коэффици­енты и ряд содержит только синусоидальные составляющие . С математической точки зрения часто удобнее выражение (2.9), описываю­щее заданный сигнал, представить в другой, эквивалентной форме ряда Фурье: , (2) где — амплитуда, а— начальная фаза n-й гармоники сигнала. Это легко доказать используя известную тригонометрическую формулу а в нашем случае Отсюда следует, что в формуле (1): , Пример 2.1. Приведем расчет спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов (в радиотехнике подобные импульсы любой формы — и экспоненциальный, и треугольный, и другие называют видеоимпульсами), имеющих амплитуду Е, длительность , период повторения Г и расположенных симметрично относительно начала координат (рис. 2.8). Р е ш е н и е. Так как заданный сигнал является четной функцией времени и в течение одного периода действует только на интервале -/2, /2, то, согласно (2.10): * Рис. 2.8. Периодическая последо­вательность прямоугольных импульсов где параметр q=T/и — скважность импульсов. В силу четности анализируемого сигнала в аппроксимирующем ряде Фурье будут присутствовать только косинусоидальные составляющие (2.11): В этой формуле второй сомножитель имеет вид функции sinx/x из курса ма­тематики известно, что эта функция равна единице при х = 0, проходит через нуль в точках х = ±, ±2, ... и затухает с ростом аргумента х (рис. 2.9). Окончательно ряд Фурье (2.9), аппроксимирующий заданный сигнал, примет вид Из формулы (2.16) и рис. 2.9 следует, что амплитуды ряда гармоник имеют отрицательный знак. Это связано с тем, что начальная фаза данных гармоник равна . Поэтому выражение (2.16) принято представлять в несколько измененном виде: При такой форме записи ряда Фурье амплитуды всех гармонических составляющих на спектральной диаграмме будут положительными (рис. 2.10, а). Найденный амплитудный спектр заданного сигнала в значительной степени зависит от соотношения величины периода повторения Т и длительности импульса , т.е. скважности q. Очень важно отметить, что при одной и той же длительности импульса с увеличением периода их повторения Т основная частота ( уменьшается, и спектр становится плотнее. Та же картина наблюдается, если укорачивается и длительность импульса при неизменном периоде Т. Амплитуды всех Рис. 2.9. График функции sin x/x гармонических составляющих при этом также уменьшаются. Фазы гармоник определим из соот­ношения . Так как для данного случая коэффициенты = 0, где m=0,1,2, ... . Ряс. 2.10. Спектры периодической последовательности прямоугольных импульсов: а—амплитудный; б—фазовый Согласно формуле (2.19), при вычислениях фаз имеем дело с неопределенно­стью. Для ее раскрытия обратимся к формуле (2.16), согласно которой амплитуды гармоник периодически меняют знак в соответствии с изменением знака функции . Изменение знака эквивалентно сдвигу фазы этой функции на . Сле­довательно, когда данная функция положительна, то фаза гармоники , а когда отрицательна (рис. 2.10, б). При практических расчетах спектров периодических сигналов вычисле­ние бесконечной суммы ряда Фурье вызывает определенные трудности, по­этому ограничиваются суммированием конечного числа слагаемых. Точ­ность аппроксимации исходного сигнала в этом случае зависит от количест­ва суммируемых спектральных составляющих. Проиллюстрируем это на примере аппроксимации суммой гармоник пе­риодической последовательности прямоугольных импульсов, у которых длительность (рис. 2.11). В этом случае, согласно тригонометрической форме ряда Фурье (2.17), аппроксимирующая функция запишется в виде: На рис. 2.11 графически показано последовательное суммирование друг с другом 0-й, 1-й, 3-й и 5-й гармоник. Из представленных графиков нетрудно заметить, как с увеличением количества суммируемых гармоник напряжения (или тока) результирующая аппроксимирующая функция все точнее при­ближается к форме исходного сигнала u(t) везде, кроме точек ее разрыва, в которых образуется выброс. При величина данного выброса Рис. 2.11. Аппроксимация прямоугольных импульсов суммой гармоник ставляет 9% от амплитуды аппроксимируемого сигнала Е. Причем, с увели­чением числа суммируемых гармоник п амплитуда выброса в точках разры­ва не уменьшается, а его длительность становится бесконечно узкой. Этот дефект сходимости аппроксимирующего ряда Фурье известен в математике и получил название явления Гиббса (Дж. Гиббс — американский физик, который впервые дал ему пояснение). Для многих аналитических исследований наличие явления Гиббса вызывает определенные проблемы. Так, например, в звуковоспроизводящих системах (в частности в микрофо­нах) подобное явление носит название «звона». При этом каждый резкий согласный или любой другой внезапный звук сопровождается коротким сви­стящим, неприятным для слуха, звуком. Необходимо отметить, что в проведенной выше практической аппрок­симации заданного периодического сигнала тригонометрическим рядом Фу­рье (2.17) суммирование первой и высших гармоник осуществляется только по нечетным коэффициентам п, так как при четных их значениях и длитель­ности импульса величина обращается в нуль (см. представление рядами Фурье четных функций). Наряду со спектральным представлением (анализом) сигналов в радио­технике широко используется гармонический синтез — получение заданных колебаний сложной формы путем суммирования ряда гармонических составляющих их спектра. По существу, выше и был проведен синтез перио­дической последовательности прямоугольных импульсов из нескольких гар­моник. На практике такие операции легко осуществляются на компьютере. Комплексное представление ряда Фурье В радиоэлектронике и теории сигналов также широко используется комплексный ряд Фурье где — комплексная амплитуда n-й гармоники. Здесь уместно вспомнить следующие математические формулы Действительная часть этих комплексных выражений имеет вид , а мнимая часть Рис. 2.7. Спектры периодического сигнала: а — амплитудный; б— фазовый; в — комплексный Из соотношения (2.14) нетрудно выяснить, что спектральное представ­ление периодического сигнала комплексной формой ряда Фурье содержит как положительные, так и отрицательные частоты. Однако отрицательные частоты в природе не существуют, и это не физическое понятие, а матема­тическая абстракция. Они появляются как следствие формального представ­ления гармонических колебаний комплексной формой. Легко показать, что при переходе от комплексной формы записи (2.14) к тригонометрической (2.13) понятие «отрицательная частота» теряет смысл. Наиболее наглядно о спектре радиотехнического сигнала можно судить по его графическому изображению — спектральной диаграмме. В теории сигналов различают амплитудно-частотные и фазо-частотные спектры. Совокупность амплитуд гармонических составляющих носит название спектра амплитуд, (— спектра фаз, — комплексного спектра (рис. 2.7). На спектральных диаграммах по оси абсцисс откладывают текущую частоту, а по оси ординат — либо вещественную, либо комплексную ампли­туду, или фазу соответствующих гармонических составляющих анализируе­мого сигнала. Спектр периодического сигнала принято называть линейчaтым или дискретным, так как он состоит из отдельных линий, высота кото­рых равна амплитуде соответствующих гармоник. Из всех представлен­ных видов спектров наиболее информативен амплитудный, поскольку с его помощью можно оценить количественное содержание тех или иных гармо­ник в частотном составе анализируемого сигнала.