Изучение затухающих колебаний в колебательном контуре

Лабораторная работа 34 ИЗУЧЕНИЕ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ В КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ Методическое руководство Москва 2014 г. 4. Теоретическая часть В работе изучаются свободные колебания в колебательном контуре, состоящем из индуктивности L, емкости С и резистора R (рис. 2) (резистор в реальной схеме не обязателен: его роль может исполнять омическое сопротивление катушки самоиндукции). Конденсатор контура заряжается от источника постоянного тока. После размыкания цепи заряда и замыкания контура с индуктивностью в нем возникают свободные электрические колебания. Напряжение на конденсаторе либо активном сопротивлении изучаются при помощи осциллографа. По картине, возникающей на экране (рис. 3), можно определить период электрических колебаний в контуре, исследовать затухание колебаний и определить основные параметры колебательного контура. Ознакомление со свойствами колебательного контура и измерение его характеристик составляют цель предлагаемой работы. Рис.2. Колебательный контур 2 Рис.3 Затухающие колебания 1. Обозначим через q заряд на конденсаторе, через U - напряжение на нем, а через I – ток контура. В соответствии с законом Ома для замкнутой цепи для схемы (рис. 1) э.д.с. самоиндукции в контуре равна сумме падений напряжений на сопротивлении R и конденсаторе C: c  IR  U (1) Заряд конденсатора q связан с током I соотношением: I dq dt Электродвижущая сила самоиндукции определяется индуктивностью контура и скоростью изменения тока:  c  L (2) dI dt Воспользовавшись связью между зарядом на конденсаторе, емкостью и напряжением (q = CU), найдем: I d(CU ) dU C dt dt 3 Подставляя это выражение в равенство (1), получим: d 2U dU LC 2  RC U  0 dt dt Поделим это уравнение на LC и введем обозначения: 02  1 LC,   R 2L (3) Величины 0 и  положительны; 0 имеет размерность частоты, а  называется коэффициентом затухания контура (см. ниже). Обозначив операцию дифференцирования по времени точкой, получим окончательно: 2 U  2U  02U  0 (4) Выразим напряжение на конденсаторе через заряд и емкость: U  q C , тогда уравнение (1) с учетом (2) будет выглядеть: L (5) dI q  IR   0 . dt C Продифференцируем полученное уравнение по времени: d 2I dI I L 2  R   0, dt dt C и пронормируем, разделив на L: d 2 I R dI I    0 , или: dt 2 L dt LC I  2I  02 I  0 . (6) Если положить I  dq  q , уравнение (5) преобразуется к виду: dt 4 q 0 C , R q q q 0 L LC Lq  Rq  и окончательно: (7) q  2q  02q  0 . Таким образом, уравнения для напряжения на конденсаторе (4), тока в контуре (6) и заряда конденсатора (7) имеют одинаковый вид и, следовательно, напряжение, ток и заряд меняются по сходным законам. Вернемся к рассмотрению дифференциального уравнения. Уравнение (4) является линейным дифференциальным уравнением второго порядка и описывает широкий класс колебательных систем, как электрических, так и механических. Будем искать его решение в виде: (8) U  Cet t Подставляя (8) в (4) и сокращая полученное уравнение на Ce , получим: (9)  2  2  02  0 . Уравнение (9) называется характеристическим. Оно определяет два возможных значения : (10) 1,2    2  02 Общее решение (4) может быть записано в форме: (11) U  C1e1t  C2e2t и содержит две произвольные константы, выбор которых зависит от начальных условий, например, от начальных значений U и U . В зависимости от соотношения между 0 и  напряжение U может изменяться во времени по колебательному или по апериодическому закону. 2. Колебательный разряд имеет место при 0 >  . Из формулы (10) следует, что 1,2 в этом случае комплексны. Введем обозначение: 5   02  2 (12) Формула (10) приобретает при этом вид: 1,2    i  Формулу (11) удобно в этом случае записать в виде: (13) U  et (C1 cos t  C2 sin t ), или U  Aet cos(t  ) Две формулы (13) эквивалентны. Обе они содержат две произвольные константы: C1 и C2 в первом, A и  во втором случае. Нетрудно найти связь между ними: C1  A cos , C2  A sin  t Аргумент t называется фазой, а коэффициент Ae при тригонометрической функции – амплитудой колебаний. Запись решения в форме (13) ясно проявляет колебательный характер процесса. Колебания затухают, уменьшаясь по амплитуде в e раз за время  =1/. Величина , определяемая (12), носит название круговой частоты собственных колебаний контура. 3. При 0< оба корня уравнения (10) действительны и отрицательны. Разряд носит апериодический характер. Как видно из (11), напряжение на конденсаторе равно сумме двух экспонент, убывающих с разными постоянными времени: 1  1   2  02 и 2  1   2  02 4. При 0= обе экспоненты оказываются тождественными, и остается всего одна произвольная константа C1+C2 с помощью которой, вообще говоря, нельзя удовлетворить начальным условиям задачи. Это показывает, что решение (11) в этом случае не является общим. При 0= общее решение имеет вид: (14) U  et (G  Dt ) , 6 где G и D – произвольные константы. Подставляя (14) в (4), нетрудно убедиться в том, что при любых значениях G и D выражение (14) действительно является решением (4) (при 0=). Режим (14) носит название критического. Приравнивая 0 и , из формул (3) получим: (15) Rкр  2 L C Формула (15) определяет критическое сопротивление контура. При RRкр разряд имеет апериодический, а при RRкр – колебательный характер. 5. В колебательном режиме контур принято характеризовать периодом колебаний, добротностью и логарифмическим декрементом затухания. Период колебаний Т определяется по формуле, следующей из (12) и (13): (16) T  2   2 02  2 Наибольший практический интерес представляют контуры со слабым затуханием. В этом случае 0 и можно пользоваться приближенной формулой, которая следует из (16) и (3) при малых : (17) T  2 LC Добротность контура Q показывает, во сколько раз запас колебательной энергии в контуре превосходит среднюю потерю энергии за время, в течение которого фаза колебаний изменяется на 1 радиан. Колебательную энергию в контуре проще всего определить в момент, когда она заключена в конденсаторе, т. е. при t=+2n, где n - любое целое число: (18) We  CU 2 2  CA2e2 t 2 Потеря энергии за период равна: CA2 2 t e  e2  (t T )   We (1  e2 T ) We  2 Средняя потеря энергии за время изменения фазы на 1 радиан в 2 раз меньше, чем ∆We. Полагая 2T1 (слабое затухание), найдем: 7 W  (19) We T  We 2  Поэтому добротность Q равна: (20) Q We  0 L 1    W T R 0 RC При написании цепочки формул (20) была использована формула (16) для периода и формулы (3) для частоты собственных колебаний 0 и затухания . Логарифмический декремент затухания  равен логарифму отношения амплитуд двух последовательных отклонений в одну сторону. Из (13) имеем: (21)   ln(U k U k1 )  ln eT  T На практике для определения  полезно использовать отношение амплитуд, разделенных целым числом периодов n. В этом случае формула для определения логарифмического декремента затухания  имеет вид: (22) 1   ln(U k U kn ) n Картину колебаний удобно представлять не только в координатах U, t (такая картина имеет вид затухающей синусоиды), но и в координатах U и U , или, как говорят, в фазовой плоскости. В этих координатах кривая незатухающих колебаний (=0) имела бы вид окружности (при одинаковых амплитудах U и dU/dt), а картина реальных колебаний изображается сворачивающейся спиралью (рис. 4). Доказательство этих утверждений мы предоставляем читателю. Для представления картины колебаний в фазовой плоскости напряжение на конденсаторе подается на первый канал осциллографического датчика, а на его второй канал подается напряжение с резистора, которое, в соответствии с законом Ома, пропорционально току в контуре (Ur = Ir = CU r). Здесь учтена дифференциальная связь между током I и напряжением на конденсаторе U. Построение зависимости U=U(I) осуществляется при компьютерной обработке данных в рамках сценария работы. 8 Рис. 4 5. Описание лабораторной установки В состав лабораторной установки входит набор элементов, собранных в схему для исследования затухания в электрическом контуре в составе сопротивлений, емкостей, источника ЭДС, кнопок-выключателей для замыкания цепи, индуктивности, монтажных перемычек, а также осциллографического датчика напряжений. Емкость C (рис.1), катушка индуктивности L и сопротивление R образуют исследуемый колебательный контур. Колебания в контуре наблюдаются с помощью осциллографического датчика напряжения, подключенного к компьютеру. Цепь заряда конденсатора содержит зарядный резистор сопротивлением 1 кОм и кнопку, при замыкании которой конденсатор соединяется с источником постоянного тока и заряжается. При замыкании кнопкой разрядной цепи с индуктивностью, в контуре возникают свободные затухающие колебания, которые наблюдаются на экране компьютера. 9