Источники погрешностей

§1. Источники погрешностей В жизни нам приходится иметь дело как с точными данными, так и с приближенными. Например, если автомобиль имеет номер у123уу152, то это точно. А вот то, что его пробег – 80 000 км, что он расходует 7 л бензина на 100 км, что его можно продать за 200 000 руб. – это уже не точно, а приблизительно. Разница между точным значением и приблизительным порождает погрешностью. Существуют разные источники погрешностей. 1. Начальная погрешность связана с наличием параметров, которые не могут быть точно определены. Так происходит, например, в случае, если исходные данные для решения некоторой задачи были получены экспериментально (например, пробег автомобиля). Все физические константы, которые мы используем при решении задач, также приблизительны (g = 10 м/c2 – ускорение свободного падения, с = 300 000 км/c – скорость света, кг – масса Земли). 2. Погрешность округления возникает из-за того, что любые расчеты, выполняемые как вручную, так и с помощью вычислительной техники, производятся с числами, записываемыми небольшим числом цифр, хотя точные значения могут содержать много или даже бесконечно много цифр в своей десятичной записи. Например, мы округляем до . Обыкновенные дроби также приходится округлять . Так возникает погрешность округления, которая накапливается в ходе вычислений. 3. Погрешность метода связана с тем, что некоторые задачи можно решить точно, и это желательно, а некоторые точно решить либо невозможно, либо слишком затруднительно. Для решения таких задач используют приближенные методы решения или численные методы, что и является предметом изучения нашей дисциплины. Например, любое квадратное уравнение можно решить точно, для этого есть сравнительно простая формула корней (с помощью дискриминанта). Уравнение точно решить невозможно, но можно приблизительно найти его корень или корни с нужной точностью. Любое кубическое уравнение можно решить точно, для этого есть формулы Кардано, но они настолько громоздкие и неудобные, что их не применяют, а ограничиваются нахождением приближенных значений корней. §2. Абсолютная и относительная погрешности Пусть А – точное значение какой-то величины, а – приближенное значение. Тогда записывают . Модуль разности | | называют абсолютной погрешностью числа . Абсолютная погрешность показывает, насколько приближенное значение отличается от точного. На практике чем она меньше, тем лучше. Абсолютная погрешность измеряется в тех же единицах, что и величины и . Абсолютная погрешность положительна, , так как она равна модулю. Сама разность может быть как положительной, так и отрицательной, это записывают так: или 1 Равенства такого вида часто встречаются в массовом производстве, например, диаметр поршня мм или масса пачки сахара г. Однако в массовом производстве в такие равенства вкладывается несколько иной смысл. Надпись г не означает, что масса данной пачки сахара равна либо 997 г, либо 1003 г. Она означает, что масса данной пачки сахара больше 997 г, но меньше 1003 г, т.е. . Иными словами, Абсолютная погрешность, как ни странно, сама по себе ничего не говорит о точности измерения. Например, для пачки сахара г абсолютная погрешность г, и можно считать, что сахар расфасован по пачкам с хорошей точностью. Однако если мы покупаем золотое кольцо г, то эта же самая абсолютная погрешность г уже оказывается огромной. Качество измерения характеризуется относительной погрешностью | | или | | Поскольку , обе эти формулы дают практически одинаковые результаты, и можно использовать любую из них в зависимости от того, что дано, а что не дано. Относительная погрешность не имеет единиц измерения, ее для удобства можно выразить в процентах. Для упомянутой выше пачки сахара относительная погрешность Здесь в | | качестве массы пачки сахара мы взяли 1000 г, хотя можно было взять любое другое число из интервала ( ). Для золотого кольца относительная погрешность это значительно больше, чем 0,3%. Значение измерения массы кольца. | | , говорит о неудовлетворительной точности Упражнение. Вычисли относительную погрешность, допускаемую при изготовлении поршня, если его диаметр мм. Замечание. Условие вида мм, строго говоря, не дает нам ни точного, ни ), в приближенного значения рассматриваемой величины, оно только указывает интервал ( котором эти значения находятся. В качестве приближенного или точного значения следует брать середину этого интервала , т.к. при этом выборе в самом худшем случае мы ошибемся лишь )в на половину длины интервала, т.е. на мм. Любой другой выбор из интервала ( худшем случае дает б ́ льшую ошибку. Пример. Известно, что длина детали погрешности изготовления этой детали. мм. Найти абсолютную и относительную Решение. 2 В качестве приближенного значения длины детали возьмем середину интервала Тогда в худшем случае абсолютная погрешность равна половине длины интервала, Отсюда мм. 1 мм. | | Ответ: мм, . Замечание. Полученный ответ указывает погрешности в худшем для нас случае, а для каждой конкретной детали в реальности эти значения меньше. Тем не менее, мы правильно решили эту задачу. В этом состоит один из основных принципов оценки качества измерения: нужно давать оценку при самых неблагоприятных условиях. Самостоятельная работа №1. Вариант 1.   . В качестве приближѐнного значения взяли число относительную погрешности. Относительная погрешность измерения длины гвоздя равна погрешность измерения, если его измеренная длина оказалась 11 см. . Найти абсолютную и . Найти абсолютную Вариант 2.   Имеется число . В качестве приближѐнного значения взяли число . Найти абсолютную и относительную погрешности. Относительная погрешность длины гвоздя равна . Найти длину гвоздя, если абсолютная погрешность измерения равна см. Вариант 3.   Будем считать, что . В качестве приближѐнного значения взяли число . Найти абсолютную и относительную погрешности. Абсолютная погрешность длины гвоздя равна см. Найти относительную погрешность, если его измеренная длина оказалась см. Вариант 4.   Имеется число . В качестве приближѐнного значения взяли число 4 . Найти абсолютную и относительную погрешности. ) (см). Что нужно взять Согласно измерениям, длина любого гвоздя оказалась в интервале ( за приближѐнное значение длины, чтобы абсолютная погрешность была минимальной? Какова этом случае будет относительная погрешность? Вариант 5.   Имеется число . В качестве приближѐнного значения взяли число . Найти абсолютную и относительную погрешности. Относительная погрешность длины гвоздя равна . Найти длину гвоздя, если абсолютная погрешность измерения равна см. Замечание. Эту и последующие самостоятельные работы нужно выполнить в отдельной тетради. Номера вариантов выбирать в зависимости от последней цифры в номере зачетной книжки в соответствии с таблицей 3 Последняя цифра зачетки Номер варианта 1 или 6 1 2 или 7 2 3 или 8 3 4 или 9 4 5 или 0 5 Когда (и если) карантин закончится, на зачете вы должны предъявить мне тетрадь со всеми самостоятельными работами и уметь объяснить решения задач. Продолжение лекций и следующая самостоятельная работа выйдут в свет через несколько дней. Берегите себя! 4 §3. Десятичная запись числа. Верные цифры Так исторически сложилось, что человечество использует десятичную запись чисел. Это значит, что все числа мы записываем с помощью 10 цифр (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), причем ценность цифры зависит от того, на каком месте она находится. Целая часть числа находится слева от запятой дробная часть – справа. Например, в числе 103 – целая часть, 5769 десятитысячных – дробная часть. Самый маленький разряд целой части находится слева от запятой, это разряд единиц. Цифра 3 стоит в разряде единиц. По мере движения влево разряды в 10 раз увеличиваются: цифра 0 стоит в разряде десятков, цифра 1 – в разряде сотен. Можно сказать и по-другому: по мере движения вправо разряды в 10 раз уменьшаются, причем это касается не только целой части, но и дробной. Стоящая справа от запятой цифра 5 находится в разряде десятых, это в 10 раз меньше, чем разряд единиц. Цифра 7 находится в еще в 10 раз более мелком разряде сотых, 6 – в разряде тысячных, 9 – в разряде десятитысячных. Подробная запись такая: Такое выражение называется разложением числа на сумму разрядных слагаемых. Его можно записать и по-другому: с учетом того, что В общем случае любое число образом: где . записывается в виде суммы разрядных слагаемых следующим – какие-то цифры (от 0 до 9). В приведенном выше примере Теперь важное определение. Цифра в записи числа называется верной, если абсолютная погрешность не превосходит половины единицы разряда, в котором стоит цифра , т.е. если В противном случае цифра называется неверной. Пример. – точное значение некоторой величины, значение. Найти верные и неверные цифры в числе . – ее приближенное Решение. | | Абсолютная погрешность порядку. Начнем с 3. Она стоит в разряде единиц. . Рассмотрим все цифры числа , поэтому , т.е. . 5 по верное неравенство, поэтому 3 – верная цифра. Двигаемся вправо по десятичной записи числа разряде десятых, , поэтому , т.е. . Следующая цифра – 8. Она стоит в . верное неравенство, поэтому 8 – верная цифра. Следующая цифра – 2. Она стоит в разряде сотых, , поэтому , т.е. . это уже неверно, поэтому 2 – неверная цифра. Осталась цифра – 6. Она стоит в разряде тысячных, , поэтому , т.е. . тоже неверно, поэтому 6 – неверная цифра. Ответ: в приближенном числе подчеркнутые цифры неверные. Замечание 1. Выше приведено подробное, но нерациональное решение. Если цифра 2, стоящая в разряде сотых, оказалась неверной, то цифра 6, стоящая в более мелком разряде тысячных, тем более неверная, ее можно было и не проверять. Иными словами, если – неверная цифра, то все цифры, стоящие правее нее, тоже будут неверными. И наоборот: если – верная цифра, то все цифры, стоящие левее нее, тоже будут верными. Данное замечание позволяет значительно сокращать вычисления. Замечание 2. Выражение «верная цифра» в числе не надо понимать буквально, в том смысле, что она совпадает с соответствующей цифрой точного числа . Например, цифра 8 в числе не совпадает с соответствующей цифрой 7 в числе , тем не менее, 8 – это верная цифра. И наоборот, если бы взяли , то последние цифры в числах и совпали бы, тем не менее, цифра 5, стоящая в разряде тысячных в числе , была бы неверной цифрой. Выражение «верная цифра» надо понимать так: если бы на месте верной цифры стояла бы любая другая цифра, то абсолютная погрешность была бы больше. Более того, любая другая цифра на месте верной цифры была бы неверной. §4. Округление чисел Округление числа – это замена числа числом с меньшим количеством цифр. Это делается для удобства работы с числами. Приобретая удобство, мы, естественно, теряем точность вычислений, увеличиваем погрешности. Но если высокая точность не нужна, то округление целесообразно. Более 6 того, как отмечалось в §1, округление необходимо при переходе от обыкновенных дробей к десятичным, иначе десятичные дроби получаются бесконечно длинными. Округлять надо правильно, т.е. таким образом, чтобы потеря точности была минимальной. Как правило, в вычислительной математике, да и на практике, округлять приходится до разрядов, стоящих в дробной части числа, т.е. до десятых, до сотых, до тысячных и т. д. Этот процесс происходит по следующему правилу округления: 1. Подчеркнуть цифру, стоящую в том разряде, до которого нужно округлить. 2. Все цифры, стоящие правее подчеркнутой, отбросить. 3. Если первая отбрасываемая цифра больше, чем 4, то подчеркнутую цифру увеличить на 1. В противном случае (отбрасываемая цифра меньше 5) подчеркнутую цифру оставить прежней. Пример. Число округлить до тысячных, до сотых и до десятых. Решение. 3,7843 3,784 (отбрасываемая цифра 3 меньше, чем 5, поэтому подчеркнутую цифру 4 оставляем прежней); 3,7843 3,78 (первая отбрасываемая цифра 4 меньше, чем 5, поэтому подчеркнутую цифру 8 оставляем прежней); 3,7843 3,8 (первая отбрасываемая цифра 8 больше, чем 4, поэтому подчеркнутую цифру 7 увеличиваем на 1). §5. Погрешности арифметических действий Т е о р е м а 1 (о погрешности суммы). Абсолютная погрешность суммы равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых. Или в виде равенства: Доказательство. Пусть и – точные значения, и – приближенные. Тогда – приближенное. Как отмечалось в §2, – точное значение суммы, Складываем эти равенства: ( ) ( ) В худшем случае обе абсолютные погрешности имеют одинаковые знаки (оба плюса или оба минуса). Поэтому либо ( ) ( ) 7 либо ( ) ( ) Два последних равенства можно записать в виде одного: |( Левая часть последнего равенства и есть ) ( )| , что и требовалось доказать. Замечание 1. Эта теорема доказана для «худшего случая». В лучшем случае Но, как мы уже отмечали, это не значит, что теорема неправильная. Просто таков основной принцип вычислительной математики: не рассчитывать на везение, а быть готовым к наиболее неблагоприятной (с точки зрения величины погрешностей) ситуации. Пример. Пусть в числах и все цифры верные. Найти сумму этих чисел и найти верные и неверные цифры в получившейся сумме. Решение. Сумма этих чисел находится легко: Чтобы определить верные и неверные цифры в сумме , нужно знать абсолютную погрешность этой суммы. Для этого мы воспользуемся доказанной выше теоремой. Но, чтобы найти , нужно знать абсолютные погрешности и . Их мы найдем из условия. Раз в числе последняя цифра 8 верная, то (см. §3) абсолютная погрешность не превосходит половины единицы разряда, в котором стоит цифра 8. Цифра 8 стоит в разряде десятых, поэтому То есть в худшем случае, который мы и должны рассматривать, . Аналогично находим . Раз в числе последняя цифра 3 верная, то абсолютная погрешность не превосходит половины единицы разряда, в котором стоит цифра 3. Цифра 3 стоит в разряде сотых, поэтому Отсюда в худшем случае . Теперь мы можем использовать теорему Наконец, определяем верные и неверные цифры в числе Цифра 7 стоит в разряде единиц. , поэтому , т.е. 8 . Пойдем слева направо. . верное неравенство, поэтому 7 – верная цифра. Цифра 5 стоит в разряде десятых. , поэтому , т.е. . неверное неравенство, поэтому 5 – неверная цифра. Как отмечалось в Замечании 1 параграфа 3, все цифры, стоящие правее неверной цифры, тем более неверные, поэтому последняя цифра 1 тоже неверная. Ответ: , при этом подчеркнутые цифры неверные. Замечание 2. Оставлять в ответе неверные цифры, казалось бы, смысла нет. Раз верная цифра только в разряде единиц, надо округлить ответ до единиц . На самом деле, так делать не надо. Дело в том, что мы рассмотрели только худший случай, т.е. . На практике обычно и ,и , поэтому может быть намного меньше, чем . Очень вероятно, что окажется меньше, чем , поэтому цифра 5 в сумме будет верной. Так что цифра 5, строго говоря, неверная, но скорее всего верная. Такие цифры называют сомнительными. Цифра, стоящая справа от верной, называется сомнительной. Поэтому целесообразно округлять число в ответе не до разряда, в котором стоит последняя верная цифра, а до разряда, в котором находится сомнительная цифра. Итого, ответ: Цифры, стоящие правее сомнительной, в ответе оставлять бессмысленно. Замечание 3. Нетрудно убедиться, что доказанная выше теорема справедлива не только для сложения, но и для вычитания двух чисел: Объединяя две формулы в одну, получаем: (при сложении или вычитании двух чисел абсолютные погрешности складываются). Аналогичное утверждение имеет место и для умножения двух чисел, правда, абсолютные погрешности заменяются на относительные. Т е о р е м а 2 (о погрешности произведения). Относительная погрешность произведения равна сумме относительных множителей. Или в виде равенства: Пример. Пусть в числах найти верные и неверные цифры. и погрешностей все цифры верные. В произведении этих чисел Решение. 9 Произведение чисел находится легко: Чтобы найти верные и неверные цифры в числе , нужно знать абсолютную погрешность. Чтобы узнать абсолютную погрешность, мы найдем сначала относительную погрешность числа по Теореме 2. Для того, чтобы узнать относительную погрешность числа , надо знать относительные погрешности множителей и . А их мы найдем, предварительно вычислив абсолютные погрешности и . Дорога длинная, но мы справимся. Как отмечалось в предыдущем примере, поскольку все цифры в числах и верные, то в худшем случае , . Теперь вычисляем относительные погрешности | | | | Теперь используем Теорему 2 Зная относительную погрешность, легко вычислить абсолютную: | | Сейчас мы готовы найти верные цифры в числе . Проверим цифру 3. Она стоит в разряде единиц. , поэтому , т.е. . верное неравенство, поэтому 3 – верная цифра. Все цифры, стоящие левее верной цифры, тем более верные, значит, 1 из разряда десятков – тоже верная цифра. Проверим цифру 1, стоящую в разряде десятых. , поэтому , т.е. . неверное неравенство, поэтому 1 из разряда десятых – неверная цифра. Это сомнительная цифра, поэтому ответ мы округлим до того разряда, где она находится, т.е. до десятых. Все цифры, стоящие правее неверной, тем более неверные, отсюда 0 и 4 – неверные цифры. Ответ: Подчеркнутые цифры неверные, поэтому . Замечание 4. Теорема 2 справедлива не только для произведения, но и для частного двух чисел, а именно, относительная погрешность частного равна сумме относительных погрешностей делимого и делителя: Упражнение. Пусть в числах цифры в частном . и все цифры верные. Найди верные и неверные 10 Ну вот и подошло к концу наше второе занятие. Пришло время для Самостоятельной работы №2. Вариант 1.   Округлить число до тысячных. Найти верные и неверные цифры в округлѐнном числе. Найти верные и неверные цифры в выражениях и , если известно, что в исходных числах все цифры верные. Вариант 2.   Округлить число до сотых. Найти верные и неверные цифры в округлѐнном числе. Найти верные и неверные цифры в выражениях и , если известно, что в исходных числах все цифры верные. Вариант 3.   Округлить число до тысячных. Найти верные и неверные цифры в округлѐнном числе. Найти верные и неверные цифры в выражениях и , если известно, что в исходных числах все цифры верные. Вариант 4.   Округлить число до тысячных. Найти верные и неверные цифры в округлѐнном числе. Найти верные и неверные цифры в выражениях и , если известно, что в исходных числах все цифры верные. Вариант 5.   Округлить число до сотых. Найти верные и неверные цифры в округлѐнном числе. Найти верные и неверные цифры в выражениях и , если известно, что в исходных числах все цифры верные. Напоминаю, что эту, предыдущую и последующие самостоятельные работы нужно выполнить в отдельной тетради. Номера вариантов выбирать в зависимости от последней цифры в номере зачетной книжки в соответствии с таблицей Последняя цифра зачетки Номер варианта 1 или 6 1 2 или 7 2 3 или 8 3 4 или 9 4 5 или 0 5 Когда (и если) карантин закончится, на зачете вы должны предъявить мне тетрадь со всеми самостоятельными работами и уметь объяснить решения задач. Продолжение лекций и следующая самостоятельная работа выйдут в свет на следующей неделе. Берегите себя! 11 §6. Метод половинного деления Одна из основных задач, которые решаются математикой, – это решение уравнений. К сожалению, точные значения корней мы реально можем найти только при решении уравнений первой степени (линейных) типа или второй степени (квадратных) типа . Остальные уравнения, вообще говоря, точно не решаются, точнее говоря, решаются только в специально подобранных наиболее простых случаях. Конечно, в школьных учебниках по математике мы решаем много видов всяких уравнений, кроме линейных и квадратных (тригонометрические, показательные, логарифмические), но все эти уравнения специально подобраны авторами учебников, чтобы их можно было решить. В противном случае мы бы их не решили. Тем не менее, на практике точные значения корней уравнения и не нужны, можно обойтись и приближенными, лишь бы была достаточно хорошая точность (достаточно маленькая погрешность). Простейший способ приближенного решения уравнений – это метод половинного деления, который мы сейчас и разберем. Но сначала определение. Пусть уравнение ( ) имеет точный корень , то есть ( ) . Решить это уравнение c точностью до – это значит найти такое число , что | | Иными словами, абсолютная погрешность должна быть меньше какого-то наперед заданного числа . Обычно число задают достаточно маленьким, тогда корень получается более точным. Задача решения уравнения методом половинного деления решается в два этапа: отделение ] такой, что точное корня и уточнение корня. Отделить корень – это значит найти отрезок [ ( ). Отделение корня основано на значение корня находится внутри этого отрезка, ( ) на концах некоторого отрезка свойстве непрерывных функций: если значения функции [ ] имеют разные знаки (например, ( ) ( ) ), то внутри этого отрезка есть число , которое обращает эту функцию в нуль, ( ) . Это можно объяснить так: если точка находится ниже оси , а точка – выше оси , то если y мы хотим попасть из точки в точку , не отрывая карандаша от бумаги, без разрывов (это и означает, что функция непрерывная), то мы обязательно пересечем ось (см. рисунок). B Для отделения корня составляют таблицу * значений функции ( ) в точках, где ее удобно a x b O x считать, обычно в целых точках. Делают это до тех пор, пока не получатся два значения и , в A которых функция имеет разные знаки (положительная и отрицательная). Из этого ] есть делают вывод, что внутри отрезка [ корень уравнения ( ) , и задача отделения корня решена. Например, такая таблица значений 1 4 ( ) 5 7 ] есть как минимум один корень уравнения позволяет делать вывод, что внутри отрезка [ ( ) ] также есть корень, потому что на концах этих отрезков функция и внутри отрезка [ ( ) имеет значения разных знаков. 12 2 3 ], внутри которого есть корень Если задача отделения корня решена, т.е. найден отрезок [ ( ) уравнения , то в качестве приближенного значения корня надо взять середину этого отрезка . Это позволяет считать, что даже в самом худшем для нас случае точное значение корня отличается от приближенного меньше, чем на половину длины отрезка [ ] равна отрезка [ , то | ]. Так как длина | т.е. на первом шаге мы нашли корень уравнения ( ) с точностью до . Уточнение корня состоит в том, что мы делаем однотипные шаги, приближаясь к истинному значению корня, до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность. В методе половинного деления эти шаги делаются следующим образом: 1. Находим значение функции в середине отрезка ( ). ] выбираем тот, значение функции на котором имеет другой знак по 2. Из двух концов отрезка [ сравнению с ( ). Например ( ) и ( ) имеют разные знаки. 3. Делаем переобозначение, середину отрезка называем буквой , и получаем ту же самую ], на концах которого функция ситуацию, с которой и началось решение: мы имеем отрезок [ имеет разные знаки. Согласно свойству непрерывных функций, внутри этого отрезка есть точка , такая, что ( ) , т.е. корень уравнения. 4. В качестве приближенного значения этого корня берем середину отрезка и возвращаемся к первому пункту. ], внутри которого находится корень, в Каждый цикл данного алгоритма укорачивает отрезок [ ] станет настолько коротким, что половина длины два раза. После нескольких циклов отрезок [ этого отрезка станет меньше, чем требуемая точность нахождения корня. Тогда в качестве приближенного значения корня нужно считать середину этого отрезка и на этом остановиться. Пример. Решить уравнение c точностью до . Решение. Сначала отделение корня. Составим таблицу значений функции ( ) 1 2 3 ( ) Из нее видно, что в точке функция отрицательная, а в точке функция положительная. Раз ] функция имеет значения разных знаков, то внутри отрезка [ ] есть корень. на концах отрезка [ Итак, у нас , . В качестве первого приближенного значения корня берем середину отрезка [ ], т.е. точностью до . Это корень с точностью до половины длины отрезка [ . Теперь уточнение корня. Действуем строго по алгоритму. 1. Находим значение функции в середине отрезка ( ) 13 ( ) . ],, т.е. с ], выбираем тот, значение функции на котором имеет другой знак по 2. Из двух концов отрезка [ сравнению с ( ) , т.е. выбираем правый конец, , так как ( ) . 3. Делаем переобозначение, середину отрезка называем буквой , и получаем ту же самую ], на концах которого функция ситуацию, с которой и началось решение: мы имеем отрезок [ имеет разные знаки. Согласно свойству непрерывных функций, внутри этого отрезка есть точка , такая, что ( ) , т.е. корень уравнения. 4. В качестве приближенного значения этого корня берем середину отрезка Это корень с точностью до половины длины отрезка [ , а нам нужна точность . ], т.е. с точностью до , поэтому возвращаемся к первому пункту. ( ) 1. Находим значение функции в середине отрезка ( ) . ], выбираем тот, значение функции на котором имеет другой знак 2. Из двух концов отрезка [ ) по сравнению с ( , т.е. выбираем правый конец, , так как ( ) . 3. Делаем переобозначение, середину отрезка называем буквой , и получаем отрезок [ ], на концах которого функция имеет разные знаки. Внутри этого отрезка есть корень уравнения. 4. В качестве его приближенного значения берем середину отрезка корень с точностью до половины длины отрезка [ , а нам нужна лучшая точность . Это ], т.е. с точностью до , поэтому возвращаемся к первому пункту. ( ) 1. Находим значение функции в середине отрезка ( ) . ], выбираем тот, значение функции на котором имеет другой 2. Из двух концов отрезка [ ) ) знак по сравнению с ( , т.е. выбираем правый конец, , так как ( . 3. Делаем переобозначение, середину отрезка называем буквой , и получаем отрезок [ ], на концах которого функция имеет разные знаки. Внутри этого отрезка есть корень уравнения. 4. В качестве его приближенного значения берем середину отрезка Это корень с точностью до половины длины отрезка [ . ], т.е. с точностью до . Поскольку это меньше, чем требуемая точность , то заканчиваем решение и пишем Ответ: Замечание 1. Оставлять в ответе 4 цифры после запятой, как это сделали мы, бессмысленно, потому что последние цифры неверные. Рассуждая таким же образом, как в §3, можно выяснить, что только 1 – верная цифра, все остальные (6, 8, 7 и 5) неверные. Поэтому целесообразно округлить полученный ответ до десятых, до разряда, где стоит первая неверная цифра (мы ее называли сомнительной): 14 Замечание 2. Точное значение корня уравнения можно найти, используя какую-нибудь математическую программу, получится Это значит, что на | | | | самом деле мы решили уравнение с точностью . В худшем случае абсолютная погрешность нашего корня равна , но на самом деле она оказалась меньше: . И это правильно. Самостоятельная работа №3. Вариант 1. Решить уравнение с точностью до методом половинного деления. Считая, что точное значение корня равно 1,325, найти абсолютную погрешность и верные цифры в полученном приближѐнном значении корня. Вариант 2. Решить уравнение с точностью до методом половинного деления. Считая, что точное значение корня равно 1,769, найти абсолютную погрешность и верные цифры в полученном приближѐнном значении корня. Вариант 3. Решить уравнение с точностью до методом половинного деления. Считая, что точное значение корня равно 2,104, найти абсолютную погрешность и верные цифры в полученном приближѐнном значении корня. Вариант 4. Решить уравнение с точностью до методом половинного деления. Считая, что точное значение корня равно 2,383, найти абсолютную погрешность и верные цифры в полученном приближѐнном значении корня. Вариант 5. Решить уравнение с точностью до методом половинного деления. Считая, что точное значение корня равно 2,627, найти абсолютную погрешность и верные цифры в полученном приближѐнном значении корня. 15 §7. Метод трапеций Таким выражением называется приближенное вычисление определенного интеграла ∫ ( ) Интегралы, правда, мы с вами пока не проходили, это будет просто на математике через пару недель, сейчас я в двух словах расскажу, в чем суть, а на математике будет все с подробностями. Определенный интеграл – это число, равное y площади криволинейной трапеции . Криволинейная трапеция – это фигура, ограниченная сверху графиком функции B ( ) , снизу – осью , слева и справа – вертикальными прямыми и . Вообще𝑦 𝑓(𝑥) то трапеция – это 4-угольник, у которого 2 A стороны параллельны, а две другие – нет. У четырехугольника две стороны , а две другие не O a x параллельны: b параллельны. Так что название «трапеция» для 4-угольника вполне законное. Единственное, что отличает его от обычной трапеции, – сторона является не отрезком, а частью графика функции ( ), т.е. частью кривой, отсюда и название – криволинейная трапеция. Иногда интеграл ∫ ( ) можно вычислить точно, по формуле Ньютона-Лейбница, мы будем заниматься этим на математике. Если точно вычислить невозможно или слишком долго, то можно применить метод трапеций, с которым мы сейчас и познакомимся. Задача формулируется так: вычислить интеграл ∫ ( ) или, что то же самое, найти площадь ] и под графиком функции фигуры, находящейся над отрезком [ ( ) (криволинейной трапеции). Требование добавляется для того, чтобы график был выше оси . Данная задача решается следующим образом. Отрезок [ [ где ] [ – левый конец отрезка, а ] [ ] [ равных частей: ] – его правый конец. Так как длина отрезка [ , то длина каждого маленького отрезочка получается всех точках ] разбивается на . Число называется шагом. Во вычисляются значения функции ( ), которые можно записать в таблицу: … … ( ) 16 ] равна Получается такая ситуация (см. рисунок ниже). Искомую площадь криволинейной трапеции мы представим в виде суммы площадей маленьких криволинейных трапеций, расположенных над ] [ ] [ ]: отрезками [ y B 𝑦 A S1 O 𝑓(𝑥) Sn S2 x0 x1 x2 xn-1 xn x На первый взгляд, в таком разбиении нет никакого смысла: зачем большую криволинейную трапецию, площадь которой мы не знаем как найти, представлять в виде объединения маленьких криволинейных трапеций, площадь которых мы также не можем найти? Тем не менее, смысл есть. Площадь каждой маленькой криволинейной трапеции мы заменим на площадь обычной трапеции, сделав кривую сторону прямым отрезком: y B 𝑦 A S1 O Sn S2 x0 x1 𝑓(𝑥) x2 xn-1 xn x Конечно, из-за такого спрямления теряется точность, возникает погрешность метода. Но зато вместо криволинейных трапеций у нас появляются обычные трапеции, у которых имеется формула для вычисления площади где и – основания, а – высота. Чем на большее число равных частей мы разобьем отрезок [ ], тем больше кривая похожа на отрезок, тем меньше погрешность и тем точнее результат. Найдем в таблице за , площадь первой трапеции. У ней основания равны ( ) и ( ), их мы обозначили и . Высота этой трапеции равна расстоянию между точками шагу с которым мы идем по отрезку [ ]. Поэтому 17 и , т. е. – Аналогично Теперь все складываем вынесем за скобки ( ) ( ) Внесем в скобку и получим окончательно формулу ( ) Она называется формулой трапеций для вычисления определенного интеграла ∫ ( ) . Пример. Вычислить интеграл ) ∫( используя формулу трапеций. Решение. Длина отрезка [ Начнем с простого. ] равна 5, поэтому его удобно разбить либо на 5, либо на 10 равных частей. Разобьем отрезок [ ] на ( равных частей, т.е. шаг таблицу значений функции ( ) на отрезке [ ] с шагом Подставим в формулу ) ∫( ( ) ( ) 18 . ) . Заполним Ответ получится более точным, если мы разделим отрезок [ ( частей и пройдемся по отрезку с шагом ) ] не на 5, а на равных . Таблица значений несколько удлинится: ( ) Снова подставляем это в формулу: ∫( ) ( ) ( ) Ответ довольно сильно отличается от того, что был получен первым способом. Точный ответ в данном случае можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница: ) ∫( Отсюда видно, что абсолютная погрешность 1-го способа | | значительно больше, чем 2-го способа | | что и понятно: чем меньше шаг, тем меньше кривая отличается от спрямляющего ее отрезка, тем меньше погрешность, тем лучше результат. Осталось определить верные цифры. В первом ответе ) ∫( только 1 является верной цифрой, 5 – уже сомнительная. Во втором ответе ∫( ) цифры 1 и 4 верные, 0 – сомнительная, остальные неверные. Производим округление до разряда, в котором стоит сомнительная цифра, т.е. до десятых, и получаем ) ∫( 19 Самостоятельная работа №4 (последняя). Вариант 1. ) Вычислите ∫ ( по формуле трапеций, разделив отрезок интегрирования на 5 и на 10 равных частей. Найдите абсолютные погрешности, если считать, что точное значение равно Найдите верные и неверные цифры в ответах, полученных по формуле трапеций. Вариант 2. ) по формуле трапеций, разделив отрезок интегрирования на 5 и на 10 Вычислите ∫ ( равных частей. Найдите абсолютные погрешности, если считать, что точное значение равно Найдите верные и неверные цифры в ответах, полученных по формуле трапеций. Вариант 3. ) по формуле трапеций, разделив отрезок интегрирования на 5 и на 10 Вычислите ∫ ( равных частей. Найдите абсолютные погрешности, если считать, что точное значение равно Найдите верные и неверные цифры в ответах, полученных по формуле трапеций. Вариант 4. ) по формуле трапеций, разделив отрезок интегрирования на 5 и на 10 Вычислите ∫ ( равных частей. Найдите абсолютные погрешности, если считать, что точное значение равно Найдите верные и неверные цифры в ответах, полученных по формуле трапеций. Вариант 5. Вычислите ∫ ( ) по формуле трапеций, разделив отрезок интегрирования на 5 и на 10 равных частей. Найдите абсолютные погрешности, если считать, что точное значение равно Найдите верные и неверные цифры в ответах, полученных по формуле трапеций. Вот и подошел к концу наш небольшой курс вычислительной математики, несколько осложненный карантином. Предмет интересный, для программистов местами даже полезный. Если есть вопросы – задавайте. Если нашли ошибки любого характера – пишите, поправляйте. Этот курс я только что написал специально для вас, так что ошибок может быть много. Будет возможность – увидимся на экзамене. Выполняйте самостоятельные работы и не приносите их на экзамен. Берегите себя! 20 21