Исследование взаимосвязи социально-экономических явлений на основе корреляции и регрессии

Тема 6 Исследование взаимосвязи социальноэкономических явлений на основе корреляции и регрессии План 1. ПОНЯТИЕ ВЗАИМОСВЯЗИ СОЦИАЛЬНОЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ 2. ОДНОФАКТОРНЫЙ ЛИНЕЙНЫЙ РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ 3. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ 4. РАНГОВАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ Понятие взаимосвязи социальноэкономических явлений Причинно-следственные связи Функциональные Стохастические Стохастическая – связь между величинами, при которой одна из них (случайная величина) реагирует на изменение другой величины (случайной или неслучайной) изменением закона распределения Корреляционная – связь, при которой среднее значение (математическое ожидание) результативного признака закономерно изменяется в зависимости от изменения факторной величины Стохастические связи • По направлению действия: прямые и обратные • По аналитической форме: прямолинейные и криволинейные • По количеству факторов: однофакторные и многофакторные Методы установления корреляционной зависимости • Метод сопоставления двух параллельных рядов • Метод аналитических группировок • Корреляционный анализ • Регрессионный анализ • Непараметрические методы Однофакторный линейный регрессионный анализ Корреляционная таблица 𝑋 Середины интервалов 𝑌 𝑦1 лев ; 𝑦1 прав 𝑦2 лев ; 𝑦2 прав … 𝑦𝑟 лев ; 𝑦𝑟 прав 𝑦1 𝑦2 … 𝑦𝑟 𝑥1 лев ; 𝑥1 прав 𝑥1 𝑛11 𝑛12 … 𝑛1𝑟 𝑥2 лев ; 𝑥2 прав 𝑥2 𝑛21 𝑛22 … 𝑛2𝑟 … … … … … … 𝑥𝐦 лев ; 𝑥𝐦 прав 𝑥𝑚 𝑛m1 𝑛m2 … 𝑛m𝑟 𝑚 𝑚 𝑦𝑥𝑖 − 𝑦𝑖 2 𝑛𝑖 = 𝑖=1 𝑏0 + 𝑏1 𝑥𝑖 − 𝑦𝑖 2 𝑛𝑖 → 𝑚𝑖𝑛 𝑖=1 Уравнение парной линейной регрессии (𝑌 по 𝑋) 𝑦𝑥 = 𝑏𝑦𝑥 𝑥 − 𝑥 + 𝑦 Уравнение парной линейной регрессии (𝑋 по 𝑌) 𝑥𝑦 = 𝑏𝑥𝑦 𝑦 − 𝑦 + 𝑥 𝑥= 𝑚𝑥 𝑛 1 𝑖 𝑖 𝑛 𝑦= 𝑟𝑦 𝑛 1 𝑗 𝑗 𝑛 𝑏𝑦𝑥 = 𝜇= 2 𝑠𝑥 = 𝑥𝑖 𝑦𝑗 𝑛𝑖𝑗 𝑛 𝑥𝑖2 𝑛𝑖 𝑛 𝜇 𝑠𝑥2 𝑏𝑥𝑦 = 𝜇 𝑠𝑦2 − 𝑥 ∙ 𝑦 – выборочная ковариация −𝑥 2 2 𝑠𝑦 = 2 𝑦𝑗 𝑛𝑗 𝑛 −𝑦 2 Несгруппированные данные 𝑋 𝑥1 𝑥2 … 𝑥𝑛 𝑌 𝑦1 𝑦2 … 𝑦𝑛 𝑏𝑦𝑥 = 𝑛 𝑥𝑖 𝑦𝑖 − 𝑥𝑖 𝑦𝑖 𝑛 𝑥𝑖2 − 𝑥𝑖 2 𝑏𝑥𝑦 = 𝑛 𝑥𝑖 𝑦𝑖 − 𝑥𝑖 𝑦𝑖 𝑛 𝑦𝑖2 − 𝑦𝑖 2 Свободный член в уравнении регрессии 𝑌 по 𝑋: 𝑥𝑖2 − 𝑥𝑖 𝑦𝑖 𝑥𝑖 𝑛 𝑥𝑖2 − 𝑥𝑖 2 𝑦𝑖 или 𝑥𝑖 −𝑥 𝑦𝑖 −𝑦 𝑥𝑖 −𝑥 2 Коэффициент эластичности: 𝑥 𝑘э = 𝑏𝑦𝑥 𝑦 Корреляционный анализ Корреляционный анализ – метод, применяемый тогда, когда данные наблюдений или экспериментов можно считать случайными и выбранными из совокупности, распределенной по многомерному нормальному закону 1. Выборочный коэффициент корреляции (линейный КК Пирсона) 𝑠𝑦 𝑠𝑥 𝑟 = 𝑏𝑦𝑥 = 𝑏𝑥𝑦 𝑠𝑦 𝑠𝑥 𝑛 𝑟= 𝑛 𝑥𝑖2 𝑛𝑖 𝑟 = ± 𝑏𝑦𝑥 𝑏𝑥𝑦 𝑥𝑖 𝑦𝑗 𝑛𝑖𝑗 − − 𝑥𝑖 𝑛𝑖 2 𝑥𝑖 𝑛𝑖 ∙ 𝑛 𝑦𝑗2 𝑛𝑗 𝑦𝑗 𝑛𝑗 − 𝑦𝑗 𝑛𝑗 2 Несгруппированные данные 𝑥𝑦 − 𝑥 ∙ 𝑦 𝑟= = 𝑠𝑥 𝑠𝑦 𝑖 = 𝑛 = 𝑛 𝑥𝑖2 𝑥𝑖 − 𝑥 𝑥𝑖 − 𝑥 𝑖 − 𝑥𝑖 − 𝑥 𝑦𝑖 − 𝑦 = 𝑛𝑠𝑥 𝑠𝑦 𝑖 2 𝑥𝑖 𝑦𝑖 − 𝑥𝑖 2 𝑦𝑖 − 𝑦 ∙ 𝑖 𝑦𝑖 − 𝑦 𝑥𝑖 ∙ 𝑛 2 = 𝑦𝑗 𝑦𝑗2 − 𝑦𝑗 2 Значение выборочного коэффициента корреляции Взаимосвязь 𝑟 ≈0 𝑟 < 0,3 отсутствует слабая 0,3 ≤ 𝑟 < 0,5 умеренная 0,5 ≤ 𝑟 < 0,7 заметная 0,7 ≤ 𝑟 < 0,9 тесная 𝑟 =1 функциона льная 𝜃расч = 𝑟 𝑛−2 > 𝜃 1−𝛼;𝑛−2 2 1−𝑟 где 𝜃1−𝛼;𝑛−2 – функция Стьюдента СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х(уровень значимости; число степеней свободы) 2. Эмпирическое корреляционное отношение 2 2 2 𝑠𝑦 = 𝑠𝑦 + 𝛿𝑦 2 𝜂𝑦𝑥 = 𝜂𝑦𝑥 = 2 𝜂𝑦𝑥 𝑛−𝑚 1− 2 𝜂𝑦𝑥 𝑚−1 2 𝛿𝑦 𝑠𝑦 2 𝑚 𝑖=1 𝜂𝑥𝑦 = 𝛿𝑥 𝑠𝑥 2 𝑦𝑖 − 𝑦 2 𝑛𝑖 𝑛 ∙ 𝑠𝑦2 > 𝐹𝛼;𝑚−1;𝑛−𝑚 F.ОБР(1- 𝛼; m-1; n-m) 3. Индекс корреляции Теоретическое корреляционное отношение 𝑅𝑦𝑥 = 𝛿𝑦𝑥𝑖 2 𝑠𝑦 2 2 𝑛−2 𝑅𝑦𝑥 1 2 − 𝑅𝑦𝑥 > 𝐹𝛼;1;𝑛−2 𝑅𝑦𝑥 = 𝑘 𝑖=1 𝑦𝑥𝑖 − 𝑦 2 𝑛𝑖 𝑛 ∙ 𝑠𝑦2 Ранговая корреляция Коэффициент ранговой корреляции Спирмена 𝑛 2 𝜌 =1− 6 𝑟𝑖 − 𝑠𝑖 𝑛 𝑛2 − 1 𝑖=1 где 𝑟𝑖 и 𝑠𝑖 – ранги объекта по признакам 𝑛−2 𝜌 > 𝜃1−𝛼;𝑛−2 2 1−𝜌 𝜌 =1− 𝑛 𝑖=1 𝑟𝑖 − 𝑠𝑖 2 1 𝑛 𝑛2 − 1 − 𝑇𝑟 + 𝑇𝑠 6