Исследование функций на непрерывность и точки разрыва

Практическое занятие посвящено исследованию функций на непрерывность и точки разрыва. Имеется 2 равносильных определения непрерывности функции: Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если она удовлетворяет трём условиям: a) Функция определена в точке , т.е. существует . b) Функция имеет конечный предел при . c) Этот предел равен значению функции в точке , т.е. . Точки, в которых нарушается непрерывность, называются точками разрыва функции. Если – точка разрыва, то в ней не выполнено хотя бы одно из приведённых трёх условий. Определение 2. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции , т.е. . Функция называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Классификация точек разрыва функции Пусть существуют в точке конечные пределы слева () и справа () функции , где . Тогда 1. Если , то точка – точка устранимого разрыва I рода. 2. Если , то точка – точка неустранимого разрыва I рода. Если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен ∞ в точке , то называется точкой разрыва II рода Примеры. 1. Исследовать на непрерывность функцию . Решение. При функция не определена. , . Следовательно, имеем неустранимый разрыв I рода в точке . 2. Исследовать на непрерывность функцию . Решение. При функция не определена. Выясним характер разрыва. . Замечание. Запись либо – условная (делить на 0 нельзя!) и обозначает соответственно деление на бесконечно малую либо бесконечно большую функцию. При − разрыв II рода. 3. Доказать непрерывность функции . Решение. Берём произвольную точку и вычисляем в ней приращение функции: . Получили для любого фиксированного , следовательно, в соответствии с определением 2, функция непрерывна при любом действительном . 4. Исследовать на непрерывность функцию . Решение. Эта функция непрерывна во всех точках, в которых знаменатель отличен от нуля. В точках функция не определена и терпит разрыв. − точки разрыва II рода. 5. Исследовать на непрерывность функцию и построить её график. Решение. Функция определена на всей числовой оси. Разрыв возможен только в точках изменения её аналитического выражения, т.е. при . . , значит – точка неустранимого разрыва I рода. 6. Исследовать на непрерывность функцию Решение. Функция определена на всей числовой оси. Разрыв возможен только в точках изменения её аналитического выражения, т.е. при . . Поскольку при предел функции не совпадает с её значением в этой точке, точка устранимого разрыва первого рода т.к. можно его устранить, если переопределить , положив . 7. Исследовать на непрерывность функцию . Решение. Функция определена и непрерывна на всей числовой оси, за исключением точки . , в точке − неустранимый разрыв первого рода, т.к. . 8. Доказать непрерывность функции: . Решение. Функция определена на всей числовой оси. Берём произвольную точку и находим приращение функции в этой точке: т.к. произведение ограниченной функции на бесконечно малую при функцию – бесконечно малая функция. Получили, что для любого фиксированного , следовательно, функция непрерывна при любом действительном (по определению непрерывности). 8. Доказать непрерывность функции: . Решение. Функция определена на всей числовой оси. Берём произвольную точку и находим приращение функции в этой точке: т.к. произведение ограниченной функции на бесконечно малую при функцию – бесконечно малая функция. Получили, что для любого фиксированного , следовательно, функция непрерывна при любом действительном (по определению непрерывности). 5. Исследовать на непрерывность функцию и построить её график. Решение. Функция определена на всей числовой оси. a) При , , поэтому для всех непрерывна как многочлен I степени. b) При , , поэтому для всех непрерывна как многочлен I степени. c) Исследуем поведение функции при : . Т.к. пределы слева и справа конечны и не равны между собой, то при − неустранимый разрыв первого рода. Получили: