Интерполирование

§3 Интерполирование 3.1 Постановка задачи Пусть в (n+1) точках задана непрерывная функция со своими значениями , то есть фактически задана таблица (1) Требуется найти значение функции f для аргумента , но не совпадающего с табличным Если аналитическое выражение функции неизвестно или очень сложное, то часто прибегают к замене функции на , которая в некотором смысле близка к функции и аналитическое выражение которой будет известно. Записывают , где - приближающая функция. Существуют различные способы построения приближающей функции. Это зависит от выбора критерия близости. Классическое построение приближающей функции основывается на требовании строгом совпадения значений функции и в заданных точках, то есть ; Нахождение функции, удовлетворяющей этим условиям, называется интерполированием или интерполяцией. - интерполирующая функция; - интерполируемая функция; заданные точки - узлы интерполяции. Будем искать интерполирующую функцию в виде многочлена степени не выше n, который в заданных точках принимает такие же значения, что и заданная функция . ( * ) – условие интерполирования, . Многочлен называется интерполяционным многочленом, само интерполирование - параболическим. Таблица 1 задает систему точек геометрический смысл интерполяции заключается в том, что график функции заменяется параболой n –го порядка, являющийся графиком и проходящей через заданные точки , то есть график функции и имеют (n+1) общую точку. y x2 0 а x0 x1 xnb x 3.2 существование и единственность интерполяционного многочлена Интерполяционный многочлен можно записать по убывающим степеням. (2) Неизвестные коэффициенты многочлена будем искать из условия (*). Получим систему из (n+1) уравнения с неизвестными (3) (3) – линейная неоднородная система. Запишем определитель системы , где - определитель Вандермонда, Так как узлы интерполирования различны, то определитель система (3) имеет единственное решение, то есть коэффициенты многочлена (2) существуют и определяются единственным образом. Замечание: решая системы с (n+1) неизвестными, то есть имея (n+1) узелинтерполяции, мыполучаем многочлен степени не вышеn. Такой способ отыскания коэффициентов многочлена связан с решением системы, увеличение количества узлов интерполяции приводит к большим трудоемким вычислениям. Другой способ отыскания коэффициентов был предложен Лагранжом. 3.3интерполяционный многочлен Лагранжа Пусть функция задана таблицей 1, построим интерполяционный многочлен , который удовлетворял бы условию (*). Будем искать в виде (4), где - многочлен степени не выше n и удовлетворяет следующему условию: (**) Из условия (**) следует, что все узлы, кроме одного, а именно являются нулями многочлена . (5) А при ; , тогда Подставляя в (5) получаем Так как , то окончательно получим (6) Многочлен (6) и есть многочлен Лагранжа. Многочлен (6) можно записать и в более краткой форме. Обозначим - многочлен (n+1) степени. Производная от точки имеет вид: (7) Многочлен (7) и есть краткая запись многочлена Лагранжа. Приближенное равенство (8) называется интерполяционной формулой Лагранжа. Пример: построить интерполяционный многочлен Лагранжа для функции заданной таблицей. n +1=4 – количество узлов; n=3 - степень многочлена. 4.4 Оценка погрешности интерполяционной формулы Лагранжа (8) Заменяем в вычислениях значение функции значением интерполяционного многочлена в формуле (8), мы допускаем тем самым погрешность. Обозначим разность - остаточный член формулы Лагранжа. Он и дает погрешность метода. Теорема: если функция имеет на непрерывную производную до (n+1) порядка , то остаточный член можно представить в виде , где . Если будет известно, что , то получим оценку погрешности. (9) Формула (9) дает погрешность метода Пример: С какой точностью можно вычислить , с помощью интерполяционной формулы Лагранжа построенный для функциииспользуя 3 узла интерполяции. n+1=3, n=2 – степень многочлена За можно принять на отрезке , на отрезке 4.5 Табличные разности (конечные разности) Пусть функция задана в равноотстоящих узлах интерполяции. Назовем узлы интерполирования равноотстоящими, если они пронумерованы в порядке возрастания и расстояние между соседними узлами одинаковое равное h, то есть задается таблица с постоянным шагом h. Разности между соседними табличными значениями функции называют табличными разностями 1-го порядка (первые табличные разности). - единственное значение Пример: Табличные разности любого порядка могут быть выражены через значения функции: 4.6 Интерполяционный многочлен Ньютона Пусть функция задана таблицей с постоянным шагом h, то есть Будем искать интерполяционный многочлен в виде: (10) Неизвестный коэффициент найдем из (*) При Полагая, что при Полагая, что при Проведя аналогичные рассуждения, получаем: Подставив полученные коэффициенты в (10), будем иметь (11) Многочлен (11) и есть интерполяционный многочлен Ньютона. На практике многочлен Ньютона применяют в несколько ином виде. Если обозначим , то Многочлен (11) примет вид (12) Многочлен (12) и называют первый интерполяционный многочлен Ньютона. В выражение многочлена входят табличные разности Поэтому этот многочлен используют для интерполирования в начале таблицы, когда t мало по абсолютной величине Замечание: если требуется вычислить значение функции для аргумента , то за выбирают ближайшее, причем меньшее табличное значение аргумента. Приближенное равенство (13) называют интерполяционной формулой Ньютона. 3.7 Погрешность интерполяционной формулы Ньютона , заменяя в вычисленияx значение функции значением интерполяционного многочлена мы допускаем погрешность. Обозначим - остаточный член формулы Ньютона, он и дает погрешность метода. В силу единственности интерполяционного многочлена и для многочлена справедливо будет , где Если узлы равноотстоящие, то введя замену , погрешность выражается формулой Если будет известно, что , то получим оценку погрешности. (14) Можно принять на Если аналитическое выражение функции заданной таблицей, неизвестно, то используют формулу практической оценки погрешности. (15) Так как при малых h и в силу непрерывности производных 3.8 Частные случаи интерполирования 1) линейное интерполирование Имеем 2 узла интерполирования . n=1 – степень интерполяционного многочлена. Из формулы (12) при n=1 получим , а приближенное равенство (13) примет вид (16) Формула (16) и есть формула линейного интерполирования. Геометрический смысл линейного интерполирования: y M1 M0 0 x0 x1 дается 2 узла . При линейном интерполировании дуга кривой заменяется отрезком прямой 2) квадратичное интерполирование. Имеем 3 узла интерполирования , равноотстоящие, n=2 – степень интерполяционного многочлена, тогда из (12) при n=2 получим А интерполяционная формула примет вид (17) Формула (17) и есть формула квадратичного интерполирования. Геометрический смысл: при квадратичном интерполировании дуга кривой заменяется дугой параболы, проходящей через точки M0 M2 y=f(x) y M1 Y=P2(x) x 0 x0 x1x2 3) допуск линейного интерполирования Определение: говорят, что таблица допускает интерполирование n-го порядка, если погрешность метода при использовании интерполяционного многочлена n-го порядка не превосходит точности табличных значений функции, то есть , где - точность значений функции. Итак, пусть задана таблица, в которой все значения функции записаны с точностью Воспользуемся формулой практической оценки погрешности (15) при n=1, будем иметь Рассмотрим функцию Исследуя ее на экстремум на, получим , тогда Очевидно, что если вторые табличные разности не превосходят 4х единиц младшего разряда табличных значений функции, то есть , то получим Значение функции вычислимое с помощью линейного интерполирования имеет ту же точность, что и табличные значения функции, а это значит, что таблица допускает линейное интерполирование. Отсюда критерий: таблица или ее часть допускает линейное интерполирование, если модули вторых табличных разностей не превосходят 4х единиц младшего разряда табличных значений функций. 4) критерий допуска квадратичного интегрирования. Пусть - точность табличных значений функции При n=2 из (15) получим Рассмотрим функцию , исследуя ее на экстремум на отрезке и Тогда условие допустимости запишется Если то значение функции, вычисленное с помощью формулы квадратичного интерполирования будет иметь ту же точность, что и значения функции в таблице, а это значит, что таблица допускает квадратичное интерполирование. Отсюда критерий: таблица или ее часть допускает квадратичное интегрирование, если модуль третьих табличных разностей не превосходит семи единиц младшего разряда значений функции