Интерполирование

Тема 1. Интерполирование 1.1. Постановка задачи интерполирования Простейшая задача интерполирования заключается в следующем. На отрезке [a, b] заданы n+1 точки x0, x1, …, xn, которые называются узлами интерполяции, и значения некоторой функции f(x) в этих узлах: f(x0)=y0, f(x1)=y1, …, f(xn)=yn. Требуется построить функцию F(x) (интерполирующую функцию), принадлежащую известному классу и принимающую в узлах интерполяции те же значения, что и f(x): F(x0)=y0, F(x1)=y1, …, F(xn)=yn. Геометрически это означает, что нужно найти кривую y=F(x) некоторого определенного типа, проходящую через заданную систему точек Mi(xi, yi) (i=0, 1, 2, …, n) (см. рис. 1.1). Функцию F(x) будем искать в виде полинома Pn(x) степени не выше n. Полученную интерполяционную формулу y=F(x) обычно используют для приближенного вычисления значений данной функции f(x) в точках x, отличных от узлов интерполирования, при этом, если x [x0, xn], то речь идет о задаче интерполирования, если x [x0, xn] – экстраполирования. 1.2. Интерполяционный многочлен Лагранжа Интерполяционный многочлен Лагранжа степени n имеет вид L n (x) = (1) Пример. Функция задана таблицей своих значений: 1 3 4 -4 0,5 0,5 8 1) Составить полином Лагранжа не выше 3-ей степени. 2) Найти значение в промежуточной точке . Решение. 1) Согласно формуле (1): . (2) После приведения в (2) подобных членов: . 2) В этом случае не следует приводить подобные члены в (2) . Целесообразно сразу в (2) заменить x на 2: . Ответ: . Тема 2. Численное интегрирование 2.1. Постановка задачи интегрирования Численное интегрирование функции целесообразно использовать в тех случаях, когда: 1) первообразная F(x) не может быть найдена с помощью элементарных функций; 2) F(x) является слишком сложной; 3) подынтегральная функция f(x) задана таблично или неявно. Будем рассматривать формулы приближенного вычисления интегралов , где f(x) –достаточно гладкая функция, x[a,b] и ck – числа, k=0,1,…,n.. Для составления квадратурных формул данную функцию f(x) заменяют интерполирующей функцией φ(x) и приближенно полагают ≈ и затем вычисляют интеграл непосредственно, а оценку погрешности формулы определяют исходя из вида функции f(x). 2.2. Простейшие формулы Ньютона-Котеса и обобщенные квадратурные формулы Пусть для функции y=f(x) требуется вычислить интеграл J(f)=. Выбрав шаг h=, разобьем отрезок [a, b] на n равных частей: x0=a, xi=x0+ih ( i=1, 2,…, n-1), xn=b и пусть yi=f(xi) ( i=0, 1, 2, …, n). 2.2.1. Формула трапеций. Пусть n=1. =(y0+y1)+. Оценка остаточного члена формулы трапеции: , . Обобщенная формула трапеции для вычисления определенного интеграла на равномерной сетке, запишется так: , где , . 2.2.2. Формула прямоугольников. Пусть . Оценка остаточного члена формулы: , . 2.2.3. Формула парабол (или формула Симпсона) Формула Симпсона при n=2 . Интерполирование функции выполняется по трем ее значениям в точках , , , , . (y0+4y1+y2). Оценка остаточного члена формулы Симпсона: , . Обобщенная формула Симпсона для вычисления определенного интеграла на равномерной сетке и четного числа шагов, имеет вид: Рис 2.2. , где , М4=, . 2.2.4. Формула «трех восьмых» для вычисления определенного интеграла на равномерной сетке и числа шагов, кратного трем. При интерполирование функции выполняется по четырем ее значениям в точках , , , и , . , где , . 2.2.5. Формула Буля При . Оценка остаточного члена формулы: , . Пример: Вычислить приближенное значение интеграла , используя обобщенные формулы трапеции, Симпсона, «трех-восьмых», Буля. Оценить остаточный член формул. Решение. 1)Возьмем количество узлов для трапеции , для Симпсона , для «трех-восьмых» , для Буля . 2)Разобьем отрезок интегрирования на равных частей с шагом . Узловые точки найдем по закону , , . 3)Вычислим значение подынтегральной функции в полученных узлах , . 1,000000 1 0,1 1,105171 2 0,2 1,221403 3 0,3 1,349859 4 0,4 1,491825 5 0,5 1,648721 6 0,6 1,822119 4) Обобщенная формула трапеции: . . Наиб. знач. на отрезке при . . 5) Обобщенная формула Симпсона: . . Наиб. знач. на отрезке при . . 6) Обобщенная формула «трех восьмых» . . Наиб. знач. на отрезке при . . 7) Формула Буля . Узловые точки , , , , . ,, , , . Контрольная работа по дисциплине «Вычислительная математика» Вариант 0. 1. По заданным значениям функции используя линейную интерполяцию, найти . 2. Вычислить приближенное значение интеграла , используя а) формулу трапеции, Симпсона, прямоугольников; б) обобщенные формулы трапеции, Симпсона, «трех-восьмых», Буля. Оценить остаточный член формул. Вариант 1. 1.Функция задана таблично Построить полином Лагранжа не выше 3-й степени. Найти значение в промежуточной точке . 2. Вычислить приближенное значение интеграла , используя а) формулу трапеции, Симпсона, прямоугольников; б) обобщенные формулы трапеции, Симпсона, Буля. Оценить остаточный член формул. Вариант 2. 1. По заданным значениям функции 1 1,2 1,5 0,540302 0,362357 0,070737 пользуясь квадратичной интерполяцией, найти . 2. Вычислить приближенное значение интеграла , используя а) формулу трапеции, Симпсона, прямоугольников; б) обобщенные формулы трапеции, Симпсона, «трех-восьмых», Буля. Оценить остаточный член формул. Вариант 3. 1.Функция задана таблично Построить полином Лагранжа не выше 3-й степени. Найти значение в промежуточной точке . 2. Вычислить приближенное значение интеграла , используя а) формулу трапеции, Симпсона, прямоугольников; б) обобщенные формулы трапеции, Симпсона, Буля. Оценить остаточный член формул. Вариант 4. 1.Функция задана таблично Построить полином Лагранжа не выше 3-й степени. Найти значение в промежуточной точке . 2. Вычислить приближенное значение интеграла , используя а) формулу трапеции, Симпсона, прямоугольников; б) обобщенные формулы трапеции, Симпсона, «трех-восьмых», Буля. Оценить остаточный член формул. Вариант 5. 1. В результате эксперимента в точках , , получены значения функции , соответственно равные , , . Найти многочлен второй степени , приближенно выражающий функцию . Вычислить . 2. Вычислить приближенное значение интеграла , используя а) формулу трапеции, Симпсона, прямоугольников; б) обобщенные формулы трапеции, Симпсона, «трех-восьмых», Буля. Оценить остаточный член формул. Вариант 6. 1.Функция задана таблично Построить полином Лагранжа не выше 3-й степени. Найти значение в промежуточной точке . 2. Вычислить приближенное значение интеграла , используя а) формулу трапеции, Симпсона, прямоугольников; б) обобщенные формулы трапеции, Симпсона, «трех-восьмых», Буля. Оценить остаточный член формул. Вариант 7. 1.Функция задана таблично Построить полином Лагранжа не выше 3-й степени. Найти значение в промежуточной точке . 2. Вычислить приближенное значение интеграла , используя а) формулу трапеции, Симпсона, прямоугольников; б) обобщенные формулы трапеции, Симпсона, «трех-восьмых», Буля. Оценить остаточный член формул. Вариант 8. 1.Функция задана таблично Построить полином Лагранжа не выше 3-й степени. Найти значение в промежуточной точке . 2. Вычислить приближенное значение интеграла , используя а) формулу трапеции, Симпсона, прямоугольников; б) обобщенные формулы трапеции, Симпсона, «трех-восьмых», Буля. Оценить остаточный член формул. Вариант 9. 1.Функция задана таблично 1. Построить полином Лагранжа не выше 3-й степени. Найти значение в промежуточной точке . 2. Вычислить приближенное значение интеграла , используя а) формулу трапеции, Симпсона, прямоугольников; б) обобщенные формулы трапеции, Симпсона, «трех-восьмых», Буля. Оценить остаточный член формул.