Интерференция света

МГУ Им. адм. Г.И. Невельского Кафедра физики В. В. Брунбендер Конспект лекций по физике Интерференция света Владивосток 2021 План лекции 1. Определение интерференции света; условия максимума и минимума при наблюдении интерференции монохроматических волн 2. Характеристики света: монохроматичность; длина, время и ширина когерентности 3. Интерференция света от двух источников 4. Расчет оптической разности хода при прохождении света в средах; учет условий отражения света при расчете оптической разности хода. 5. Наблюдение интерференции света на тонких пленках (пластинках) 5.1. Интерференция на пленках при нормальном падении; просветление оптики; полосы равной толщины; интерференция на клине; кольца Ньютона 5.2. Интерференция на пленках при косом падении; полосы равного наклона 6. Интерферометры Условия интерференционных максимумов и минимумов Интерференция света – явление наложения когерентных световых волн, в результате которого происходит перераспределение энергии колебаний в пространстве. Когерентными называют волны, имеющие равную частоту и неизменяющуюся во времени (для данной точки пространства) разность фаз. Обычно картина интерференции на экране представляет собою чередование светлых и темных полос. Светлые полосы называют интерференционными м а к с и м у м а м и , они возникают в тех областях экрана, в которых колебания совпадают по фазе. Темные полосы называют интерференционными м и н и м у м а м и , они возникают в тех областях экрана, в которых колебания совершаются в противофазе. Рассмотрим наиболее простой случай двухлучевой интерференции. Определяющую роль в интерференции играет разность хода между лучами  = |l2 – l1|. Рассмотрим несколько случаев. 1). Пусть две идеальные монохроматические волны, начальная фаза колебаний которых в момент времени t = 0 равна нулю, попадают в одну точку экрана. Волны движутся в вакууме и проходят равные расстояния до экрана l1 = l2;  = . Для наглядности на рисунке лучи сдвинуты по вертикали (рис. 1). 2 Рис. 1 Из рисунка следует, что при разности хода между лучами  =  волны приходят на экран в фазе и на экране наблюдают интерференционный максимум. 2). Пусть путь второго луча l2 больше пути первого луча l1 на половину длины волны (полуволну)  (разность хода  =  рис. 2). Рис. 2 Из рисунка следует, что при разности хода между лучами  =  волны приходят на экран в противофазе, на экране наблюдают интерференционный минимум. 3). Пусть путь второго луча l2 больше пути первого луча l1 на одну длины волны  (разность хода  =  рис. 3). Рис. 3 Из рисунка следует, что при разности хода между лучами  =  волны приходят на экран в фазе и на экране наблюдают интерференционный максимум. Изменяя разность хода между лучами, не сложно заметить, что при разности хода, равной нулю или целому числу длин волн (четному числу полуволн), на экране наблюдают максимум. Условие интерференционного максимума: 3  = m () где m = 0, 1, 2, 3 … − порядок интерференционного максимума. Формулу (1) удобно переписать через число полуволн λ ()  = 2m . 2 Условие максимума: на разности хода между лучами должно укладываться целое число длин волн (четное число полуволн). Отметим, что при разности хода, равной полуцелому числу длин волн (нечетному числу полуволн), на экране наблюдают минимум. Условие интерференционного минимума: λ ()  = ( 2m − 1) . 2 где m = 1, 2, 3 … − порядок интерференционного минимума. Условие минимума: на разности хода между лучами должно укладываться нечетное число полуволн. Когерентные световые волны Когерентностью волн называют согласованное протекание во времени и пространстве волновых процессов. Характеристики когерентности: длина когерентности lког (вдоль луча света); время когерентности; ширина когерентности ког (по фронту волны). Длина когерентности зависит от монохроматичности света. Рассмотренный выше пример с идеальной волной не подходит для описания световых волн. Реальные световые волны имеет непрерывный спектр в некотором диапазоне  =  −  (рис. 4). Рис. 4. Ширина полосы пропускания белого света, красного светофильтра и зеленого лазера 4 Степень монохроматичности – характеристика монохроматичности света м= λ , δλ (4) где  − средняя длина волны спектрального диапазона. К понятию длины когерентности можно прийти из следующих соображений. Пусть от источника распространяется свет, спектральный состав которого состоит из двух близких волн  и , причем   . В начальный момент t = 0 фазы волн совпадают и амплитуды волн при наложении складываются. При удалении от источника происходит рассогласование волн, при наложении волн суммарная амплитуда становится меньше суммы их амплитуд. На расстоянии х = lког амплитуда первой волны попадает на нулевое смещение второй волны, то есть при сложении волн усиления колебаний не происходит (рис. 5). При х  lког волны полностью рассогласованные и некогерентные. Рис. 5. Длину когерентности рассчитывают по формуле λ2 lког = м   lког = . δλ (4) Интерференция света возможна лишь в том случае, если разность хода между лучами меньше длины когерентности:   lког. Примеры. 1). Дневной солнечный свет:  = 380 нм (фиолетовая граница видимого спектра);  = 760 нм (красная граница видимого спектра); среднее значение спектрального диапазона  = 570 нм; ширина полосы излучения  =  нм; степень монохроматичности м = 1,5; длина когерентности lког = 855 нм = 0,855  10−6 м. 5 2). Белый свет, пропущенный через полосовой оранжевый светофильтр:  = 590 нм;  = 610 нм; среднее значение спектрального диапазона  = 600 нм; ширина полосы пропускания  =  нм; степень монохроматичности м = 30; длина когерентности lког = 18 мкм = 18  10−6 м. 3). Свет аргонового лазера: среднее значение спектрального диапазона  = 514,5 нм; ширина полосы излучения  =   10−3 нм; степень монохроматичности м = 171500; длина когерентности lког = 88,2 мм = 88,2  10−3 м. Время когерентности определяют отношением длины когерентности к скорости света = lког . c (5) Ширину когерентности определяют по фронту волны. Пусть источником света является удаленный светящийся объект (рис. 6). Рис. 6 Лучи, испущенные из точек 1 и 2, приходят в некоторую точку экрана с разностью хода  = l2 – l1. Если разность хода превышает длину когерентности, эти лучи не могут интерферировать. Область интерференции по фронту волны определяется точками экрана, для которых выполняется условие   lког. Ширину когерентности рассчитывают по формуле λ ρ= , θ (6) где  − угловой размер светящегося объекта (рис.7). Рис. 7 6 Примеры. 1). Источник света Солнце на длине волны  =  нм (длина волны, на которую приходится максимальная интенсивность излучения Солнца). Угловой размер Солнца с Земли  =  угловых градуса  8,73 10−3 рад, ширина когерентности  = 63 мкм = 63  10−6 м. 2) Сириус, самая яркая звезда, наблюдаемая в северном полушарии Земли, имеет угловой размер  = 6,12 10−3 угловых секунд  3 10−8 рад, ширина когерентности на той же длине волны  = 18,5 м. Способы наблюдения интерференции света Интерференция света от двух источников Интерференцию света от двух независимых источников (при визуальном наблюдении) получить невозможно, даже делая свет монохроматическим при помощи светофильтра. Начальные фазы колебаний независимых источников хаотически изменяются, поэтому идущие от них волны некогерентные. Устойчивую картину интерференции света при визуальном наблюдении получают делением светового потока на два или несколько потоков при дальнейшем сведении их на экране. Наиболее простым является метод, предложенный Юнгом. Когерентные источники по этому методу искусственно получают делением волнового фронта, созданного одним источником света, экраном с близко расположенными двумя отверстиями или щелями. Важно, чтобы расстояния между отверстиями не превышали ширины когерентности по фронту волны. Схема опыта Юнга и картина интерференции света от двух щелей дана на рис. 8. Рис. 8 7 При помощи экрана со щелью S0 выделяют область когерентных волн. Свет на этой щели испытывает дифракцию и попадает на экран с системой щелей S1 и S2. Щели S1 и S2 являются искусственными когерентными источниками, создающими на экране интерференционную картину в виде чередования светлых и темных полос. Расчет интерференции от двух источников проводят при помощи схемы на рис. 9. Рис. 9. Схема наблюдения интерференции света от двух щелей: цифрами обозначены порядки интерференционных максимумов В центре интерференционной картины наблюдают максимум нулевого порядка, так разность хода между лучами в данной точке экрана равна нулю. Пусть в точке экрана уm наблюдают максимум m – го порядка. Задача – рассчитать расстояние уm от центра картины до данной точки. По теореме Пифагора находят l22 и l12: 2 2 d d   l = x +  ym +  ; l12 = x 2 +  ym −  . 2 2   2 2 2 2 2 d  d  l − l =  ym +  −  ym −  . После преобразований поИз l2 вычитают 2  2  лучают ( l2 − l1 )( l2 + l1 ) = 2 ymd . Выражения в скобках: l2 − l1 = ; l2 + l1  2 x, так 2 l12: 2 2 2 1 При применении лазера в качестве источника света экран со щелью S0 не ставят, так как излучение лазера когерентно по всему фронту.  8 как при наблюдении интерференции от двух источников должно выполняться условие x >> d. После подстановок получают разность хода между лучами l2 и l1: y d = m . x y d Из условия максимума (формула (2)) получают m = m , откуда x m x (7) ym = . d C помощью формулы (7) определяют расстояния между соседними максимумами  y = ym+1 − ym , откуда x . (8) d При наблюдении интерференции от двух щелей интерференционные полосы делят экран на равные отрезки. Расстояния между полосами пропорционально длине волны и обратно пропорционально расстоянию между центрами щелей. y= Интерференция света на тонких пластинках (пленках) Оптическая разность хода 1. Пусть свет распространяется в среде с показателем преломления n. В этом случае длина световой волны ср = uT; u = c/n, откуда ср = /n, то есть, длина световой волны в среде меньше длины волны в вакууме в n раз. На одном и том же отрезке пути в среде укладывается в n раз больше волн, чем в вакууме. При прохождении света в средах оптическую разность хода рассчитывают, как разность оптических путей: опт = |lопт 2 – lопт 1|. Пример: пусть луч 1 проходит путь l1 в среде с показателем преломления n1, а луч 2 проходит путь l2 в среде с показателем преломления n2. Оптическая разность хода между лучами опт = | n2 l2 − n1 l1|. (9) 2. При расчете оптической разности хода учитывают условия отражения света. При отражении волны от оптически менее плотной среды (n1 > n2) фаза отраженной волны в момент отражения совпадает с фазой падающей волны. При отражении волны от оптически более плотной среды (n1 < n2) фаза отраженной волны в момент отражения изменяется на  с фазой падающей волны (рис. 10). 9 Рис. 10. Отражение волны от границы раздела сред: а) n1 > n2; б) n1 < n2 При разных условиях отражения лучей к разности хода добавляют (или отнимают) полуволну: λ опт = | n2 l2 − n1 l1|  . 2 (10) Интерференция света на пластинках при нормальном падении луча 1. Пусть монохроматическая световая волна падает по нормали из вакуума на прозрачную диэлектрическую пластинку с показателем преломления n. Рассмотрим интерференцию лучей, отраженных от верхней поверхности в точке 1 и от нижней поверхности в точке 2. (рис. 11). Рис. 11. Геометрическая разность хода между лучами равна удвоенной толщине пластинки. При расчете оптической разности хода учитывают показатель преломления пластинки и условия отражения в точках 1 и 2. В точке 1 свет отражается от оптически более плотной среды, а в точке 2 – от оптически менее плотной среды. Поскольку условия отражения разные, к разности хода надо добавить (или отнять) полуволну λ опт = 2nd  . 2 Интерференцию в отраженном свете будут наблюдать, если опт < lког. При применении полосовых светофильтров наблюдение интерференции возможно 10 лишь на тонких пленках, применение лазерного излучения позволяет наблюдать интерференцию на пластинках толщиной в несколько сантиметров. Пусть в отраженном свете наблюдают интерференционный максимум. В этом случае справедливо соотношение λ mλ = 2nd + . 2 Откуда находят толщину пластинки (пленки) (2m − 1)λ (11) dm = . 4n Толщину наиболее тонкой пластинки, при отражении от которой наблюдают интерференционный максимум, находят из условия m =1 λ d1 = . (12) 4n Вывод формулы для определения толщины пластинки для случая интерференционного минимума рекомендуют провести самостоятельно. 2. Пусть монохроматическая световая волна падает по нормали из вакуума на прозрачную диэлектрическую пленку с показателем преломления n, нанесенную на толстую пластинку с показателем преломления n3 > n (рис. 12). Рис. 12. Рассмотрим интерференцию лучей, отраженных от верхней поверхности пленки в точке 1 и от нижней ее поверхности в точке 2. При расчете оптической разности хода учитывают показатель преломления пластинки и условия отражения в точках 1 и 2. В точках 1 и 2 свет отражается от оптически более плотной среды, поскольку условия отражения одинаковые, к разности хода ничего не добавляют опт = 2nd . Пусть в отраженном свете наблюдают интерференционный максимум. В этом случае толщину пленки находят из условия max 11 mλ (13) . 2n Наиболее тонкая пленка, удовлетворяющая условию (13), соответствует m =1 λ (14) d1 = . 2n Тонкие пленки, нанесенные на прозрачные диэлектрические пластики и удовлетворяющие условию максимального отражения, применяют в качестве диэлектрических зеркал. Пусть в отраженном свете наблюдают интерференционный минимум. В этом случае толщину пленки рассчитывают из условия минимума λ ( 2m − 1) λ . (15) ( 2m − 1) = 2nd  d m = 2 4n Наиболее тонкая пленка, удовлетворяющая условию min, соответствует m =1 λ d1 = . (16) 4n Тонкие пленки, нанесенные на прозрачные оптические детали (окна оптических приборов, объективы фотокамер, линзы и прочие) и удовлетворяющие условию минимального отражения (16), применяют для просветления оптики. Действительно, если отраженная от поверхности пленки волна гасится, то потери интенсивности света на отражение уменьшаются. Как правило, просветляющие покрытия рассчитывают на длину волны  =  нм, соответствующую наибольшей чувствительности глаза человека. Для волн красного и фиолетового света условие наименьшего отражения при этом не выполняется, поэтому оптические детали с просветляющими покрытиями в отраженном свете имеют сиреневый отблеск, образующийся из смешения красного и фиолетового света. mλ = 2nd  d m = Полосы равной толщины наблюдают при нормальном падении света на поверхность диэлектрической пластинки (пленки) переменной толщины. В этом случае светлые полосы, образованные светом с длиной волны  проходят по тем местам пленки, где ее толщина dm удовлетворяет формуле (13). Наиболее интересные методы наблюдения полос равной толщины. Интерференция на клине с малым углом при вершине. Пусть установка для наблюдения интерференции состоит из двух прозрачных прижатых друг к другу пластинок, с тонким зазором с одной стороны. Роль пластинки переменной толщины (клина) выполняет слой воздуха между пластинами (рис. 13 а). 12 Рис. 13. Интерференция на воздушном клине: а) схема наблюдения; б) картина интерференции в отраженном свете (вид сверху) Пусть в некоторой точке клина наблюдают интерференционный максимум m порядка. Разность хода между лучами, отраженными от поверхностей в точках 1 и 2,  = 2d m   , где dm – толщина воздушного клина в области m мак2 симума; полуволну добавили из-за различных условий отражения света в точках 1 и 2. Из условия максимума  = m находят dm: dm = m   . 2 4 Максимум (m + 1) находится на расстоянии х от m максимума (рис.14). Рис. 14. Толщина клина в области (m + 1) максимума d( m+1) = следует, что  d = d( m+1) − dm   d = (m + 1)   . Из рис. 15 2 4  . Из геометрии рисунка  d =  x, откуда 2 находят расстояния между интерференционными полосами x=  . 2 (17) Кольца Ньютона являются одним из случаев интерференции света на тонких пленках. Интерференционная картина в виде концентрических колец наблюдается на тонком воздушном клине в области соприкосновения линзы с поверхностью прозрачной пластинки (рис. 15 а, б). 13 Рис. 15. Кольца Ньютона: а) схема наблюдения; б) картина интерференции в отраженном свете Лучи, отраженные от поверхностей клина в точках А и Е, интерферируют между собой. В области интерференционных колец поверхности линзы и пластинки образуют малый угол, лучи 1 и 2, отраженные от точек А и Е, практически параллельны друг другу (расхождение лучей 1 и 2 на рис. 16 а сильно преувеличено). Вследствие осевой симметрии картина интерференции имеет вид концентрических светлых и темных колец с центральным темным пятном. Геометрическая разность хода между лучами 1 и 2 равна удвоенной толщине воздушного клина геом =  При расчете оптической разности хода учитывают различные условия отражения света в точках А и Е, откуда  = 2   2 , Толщину воздушного клина определяют из геометрии опыта: r2 = R2 – CD2. CD = R −   откуда r2 = R2 – (R − )2. Пренебрегая малой второго порядка r2 r2    находят  =  =  . 2R 2R 2 2 Используя условие интерференционного минимума (3), получают формулу для расчета радиуса темного интерференционного кольца m порядка r2    = (2m − 1)  rm = mR . 2R 2 2 (18) 14 Масляные пленки на поверхности воды образуют причудливую интерференционную картину полос равной толщины (рис. 16). Рис. 16 Наблюдая картину полос при помощи светофильтра в монохроматическом свете, ученые рассчитывают толщину пленки и массу разлитой жидкости. Интерференция света на пластинках при косом падении луча Пусть плоская монохроматическая световая волна падает из вакуума под углом  на прозрачную диэлектрическую пленку с показателем преломления n. Проведем расчет оптической разности хода между лучами 1 и 2 (рис. 17). Рис. 17. Луч 1, попадая на поверхность пленки в точке А, преломляется и частично отражается (отраженный в точке А луч в дальнейшем не рассматривают). Оптическая длина пути луча 1 от точки А до С равна Lопт 1 = АВС  n. Луч 2, параллельный лучу 1, отражается в точке С (преломленный в точке С луч не рассматривают). Оптическая длина пути луча 2 от точки D до С равна Lопт 2 = СD. Оптическая разность хода между лучами 1 и 2 опт = АВС  n − DC   2. (19) 15 Полуволну добавляют (или вычитают) из-за разных условий отражения 2d 2d света от пленки в точках B и C. Расстояние АВС = = . Из закона cosβ 1 − sin 2 β преломления света находят sinβ = sin α , откуда после подстановки: n 2d  n АВС = n − sin α 2 Расстояние DC = AC  sin  ; AC = 2 AB  sin  = 2 . 2 AB  sin α d n ; AB = . 2 2 n n − sin α 2d  sin 2  Откуда DC = . Найденные значения АВС и DC подставляют в форn 2 − sin 2 α мулу (17) для расчета оптической разности хода между лучами 1 и 2 = 2d  n 2 n − sin α 2 2 − 2d  sin 2 α n − sin α 2 2  λ λ   = 2d n2 − sin 2 α  . 2 2 (20) Углы падения, при которых лучи, отраженные от пластинки, образуют светлую полосу, находят из условия максимума опт = m  λ (2m − 1) = 2d n2 − sin 2 α. 2 (21) Одна из схем наблюдения полос равного наклона приведена на рис. 18. Светлые интерференционные полосы в виде окружностей наблюдают при углах падения, удовлетворяющих условию (19). Рис. 18: а – схема наблюдения интерференционных полос равного наклона; б – картина полос равного наклона на экране Цифрами обозначено: 1 – луч лазера; 2 – короткофокусный объектив; 3 – экран с отверстием; 4 – плоскопараллельная пластина из прозрачного диэлектрика 16 Интерферометры Интерферометр Майкельсона был построен американским физиком А. Майкельсоном в 1887 г. для изучения влияния орбитального движения Земли на скорость сета в вакууме. Схема интерферометра дана на рис. 19. Рис. 19. Упрощенная схема интерферометра Майкельсона Интерферометр имеет два равных взаимно-перпендикулярных плеча. Луч света от монохроматического источника S падает на полупрозрачное зеркало М0, разделяющее падающий луч на два луча. Луч 1 проходит сквозь зеркало М0, проходит путь L (плечо 1) до зеркала М1. Отраженный от зеркала луч 1’ проходит путь L по плечу 1 в противоположном направлении, и попадает на зеркало М0. Отраженный от М0 луч 1” попадает на регистратор Р. Луч 2 отражается от зеркала М0, проходит по плечу 2 до зеркала М2; отраженный от зеркала луч 2’ попадает на зеркало М0, и прошедший сквозь него луч 2” также попадает на регистратор Р. Лучи 1” и 2” когерентны (в современных интерферометрах в качестве источников применяют лазеры) и создают на регистраторе интерференционную картину. В случае, если угол между плоскостями зеркал М1 и М2 отличается от прямого на несколько угловых секунд, картину интерференции будут наблюдать в виде параллельных полос. Интерферометр Майкельсона в настоящее время применяют для измерения малых перемещений, качества обработки поверхности и так далее.  Интерферометр – прибор, на котором измерения проводят с помощью интерференции света. 17 Интерферометр Маха – Цендера применяют для измерения показателя преломления газов* (рис. 20). Луч света от источника S расщепляется на два луча на входном полупрозрачном зеркале. Один луч проходит через эталонную кювету К1, заполненную газом с известным показателем преломления. Другой луч проходит через кювету К2 с газом с неизвестным показателем преломления. На выходном полупрозрачном зеркале лучи соединяются и поступают на регистратор Р. Точность определения показателя преломления газа на интерферометре Маха – Цендера составляет ~10−7. Рис. 20. Оптическая схема интерферометра Маха – Цендера Вопросы для самоконтроля 1. Интерференция света; условия максимума и минимума при наблюдении интерференции монохроматических волн в вакууме 2. Характеристики света: монохроматичность; длина, время и ширина когерентности 3. Интерференция света от двух источников. Зависимость расстояния между максимумами от длины волны света и от расстояния между источниками 4. Расчет оптической разности хода при прохождении света в средах. Учет условий отражения света при расчете оптической разности хода 5. Наблюдение интерференции света на тонких пленках (пластинках) 5.1. Интерференция на пленках при нормальном падении; просветление оптики; полосы равной толщины 5.2. Интерференция на клине; расчет расстояния между интерференционными максимумами 5.3. Наблюдение интерференционных колес Ньютона; расчет радиуса темных колец 5.4. Интерференция на пленках при косом падении; полосы равного наклона 6. Интерферометры; схемы интерферометра Майкельсона и Маха - Цендера * Приборы для измерения показателя преломления сред называют рефрактометрами. 18