Инфляция. Консолидация и пролонгация финансовых обязательств. Кредиты

АНО ВПО «Региональный финансово-экономический институт» ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА (Вторая лекция) ______________________________ http://elearning.rfei.ru Содержание РАЗДЕЛ 1. ИНФЛЯЦИЯ .................................................................... 3 Глава 1.1. Основные понятия ......................................................... 3 Глава 1.2. О случаях учета инфляции ........................................... 7 РАЗДЕЛ 2. КОНСОЛИДАЦИЯ И ПРОЛОНГАЦИЯ ФИНАНСОВЫХ ОБЯЗАТЕЛЬСТВ ................................................ 13 Глава 2.1. Эквивалентные обязательства ................................... 13 Глава 2.2. Постановка задач на консолидацию и пролонгацию ............................................................................... 14 РАЗДЕЛ 3. КРЕДИТЫ ...................................................................... 20 Глава 3.1. Планирование погашения долгосрочной задолженности ............................................................................... 20 Глава 3.2. Планирование погасительного фонда ....................... 21 Глава 3.3. Погашение долга в рассрочку .................................... 25 Глава 3.4. Погашение потребительского кредита...................... 29 2 РАЗДЕЛ 1. ИНФЛЯЦИЯ Глава 1.1. Основные понятия Вы решили приобрести однокомнатную квартиру весной 2012 г. в г. Курске. В экологически чистом районе стоимость новой «однушки» составляла 1,2 млн. руб., но вдруг обстоятельства изменились, и вы решаете отложить покупку на лето. Но цены выросли до 1,45 млн. руб. С чем это связано? Вероятнее всего, с ожиданием роста цен на жилье покупатели активизировались, и повышенный спрос повлек за собой рост цен на жилье. Значит, один и тот же товар стал стоить дороже. Таким образом, можем говорить об инфляции. Итак, инфляция – падение покупательной способности денег (обесценивание денег). В экономике различают более 20 видов инфляции: инфляция, связанная: с эмиссией денег; с большими кредитными расходами; с превышением спроса над предложением; с ожиданием роста цен; с изменением цен на сырье; с ростом заработной платы и т. д. Различают скрытую и открытую инфляции. Скрытой инфляции присущи дефицит товаров, отложенный спрос и постоянные цены. При открытой инфляции освобождаются цены и растут доходы. Освобождение цен при накопившихся излишках денег ускоряет обращение денег в десятки раз в связи с боязнью населения нового витка повышения цен, что приводит к гиперинфляции. В экономике существует еще одно важное понятие – дефляция, т. е. сдерживание обесценивания денег, или мероприятия по ограничению денежной массы в обращении. Это осуществляется путем увеличения налогов, повышения процентных ставок, ограничения кредитов, снижения роста заработной платы, ограничения продажи ценных государственных бумаг на открытом рынке. Если вернуться к рассмотренным ранее разделам курса, при определении наращенных сумм все денежные величины принимались по номиналу. Т. е. не принималось во внимание снижение 3 реальной покупательной способности денег за период, охватываемый операцией. На самом же деле инфляция в денежных отношениях играет заметную роль, и без ее учета чаще всего конечные результаты чисто условны (взять хотя бы пример с покупкой «однушки»). А потому инфляцию нужно учитывать, по крайней мере в двух случаях: при расчете наращенной суммы денег и при измерении реальной эффективности (доходности) финансовой операции. Это означает, что с точки зрения финансовой математики можно вводить характеристики инфляции. Одной из характеристик инфляции является индекс цен, о котором вы узнали из курса статистики (там его обозначали буквой I , в нашем курсе этой буквой мы обозначаем доход). Поэтому обозначим индекс цен как J p (читается «джи»). Индекс цен показывает, во сколько раз приросли цены за соответствующий период. Jp цена в отчетном периоде . цена в базисном периоде (1.1) Если вернуться к примеру с покупкой «однушки», то индекс цен будет равен J p 1,45 1,21. 1,2 С индексом цен функционально связана еще одна из характеристик инфляции – индекс покупательной способности J c . Причем эта связь находится в обратной зависимости, т. е. Jс 1 . Jp (1.2) Индекс покупательной способности показывает, во сколько раз уменьшилась покупательная способность за этот же период. 1 Jp На примере «однушки» J с 0,83. Вспомните, наращенную сумму денег (измеренную по номиналу) мы обозначали буквой S . А теперь нам потребуется ввести еще один показатель – наращенную сумму с учетом ее обесценивания, мы ее обозначим буквой C . 4 Очевидно, что C S Jc . (1.3) Например, пусть сегодня получены 5 000 руб. Известно, что за три предшествующих года цены возросли в 5 раз, т. е. Jp 5 , тогда J с 1 и реальная стоимость С сегодняшних денег в 5 деньгах трехлетней давности будет равна С = 5 000 1 = 1 000 руб. 5 Еще одной из характеристик, обозначенных в названии темы, является темп инфляции. Темп инфляции h – относительный прирост цен за период, измеряется в %. Он связан с индексом цен по формуле (1.4) h 100 (J p 1) . Следовательно, Jp 1 h . 100 (1.5) Например, если цены увеличились в 2 раза, то их прирост составил h 100 (2 1) 100% . И наоборот, если темп прироста цен составил 70%, то цены увеличились в J p 1 70 1,7 раза. 100 Инфляция является цепным процессом. А потому индекс цен за несколько периодов равен произведению цепных индексов цен, т. е. Jp (1 h1 h2 hn ) (1 ) ... (1 ). 100 100 100 (1.6) Если h – постоянный ожидаемый (или прогнозируемый) темп инфляции за один период, то за n таких периодов получим Jp (1 h n ) . 100 (1.7) Из этой формулы можно получить показатель среднегодового темпа инфляции, т. е. h 100 ( n J p 1) (1.8) Иногда при получении обобщающего показателя темпа инфляции за некоторый период времени суммируют (а не умножа- 5 ют, как должно быть!) показатели, что приводит к занижению темпа инфляции. Например, постоянный темп инфляции на уровне 5% в месяц на молочные продукты приведет к росту цен за год в размере Jp (1 h n ) 100 (1 0,05)12 1,796 . Таким образом, действительный темп инфляции составил 79,6%, а если бы суммировали, то всего 60% . Почему так? Мы 12 месяцев года умножали бы на 5%. Задача 1.1 Темп инфляции h=10% в месяц. Найти рост цен за год и годовой темп инфляции на табачные изделия. Решение. h 100 ( n J p Jp 1) ; 10 100 (12 J p 1 ( 1)12 1,112 10 1) ; 1 10(12 J p 1) ; 12 J p 1 1; 10 3,1384 . Это говорит о том, что цены выросли за год в 3,1384 раза, но это не останавливает курильщиков. Как вероятно и не остановят дальнейшие меры правительства по увеличению стоимости табачных изделий и алкогольной продукции. Если возвратиться к событиям, например, до 2011 г., то в России пачку сигарет можно было купить за 12 руб., а бутылку пива приобрести на каждом углу 24 часа в сутки дешевле, чем бутылку питьевой воды. Возможно, что запрет продажи алкогольной продукции и табачных изделий поможет в оздоровлении нашей нации. А мы снова возвращаемся к решаемой нами задаче. Итак, чтобы узнать годовой темп инфляции, воспользуемся формулой 1.4 и получим: h 100 (J p 1) 100 (3,1384 1) 213,84%. Задача 1.2 Последовательный прирост цен за 3 летних месяца на хлебобулочные изделия в отдельных регионах ЦАО составил 25%, 20% и 18%. Найти темп инфляции за эти три месяца. 6 Решение. Воспользуемся формулой 1.6. Jp (1 25 20 18 ) (1 ) (1 ) 1,77 . 100 100 100 Это означает, что цены выросли в 1,77 раза, или на h 100 (J p 1) 100 (1,77 1) 77% . Вероятно, это связано с тем, что среднегодовая урожайность зерновых в России (на нечерноземах) – около 17 центнеров (на 2011 г.), а, например, в Германии, Франции, Англии (на нечерноземах) – около 70 центнеров. А потому высок процент потребности России в продовольствии за счет импортных поставок. Глава 1.2. О случаях учета инфляции Снова вернемся к мысли о том, что инфляцию нужно учитывать, по крайней мере в двух случаях: при расчете наращенной суммы денег и при измерении реальной эффективности (доходности) финансовой операции. Итак, выясним, как учитывать инфляцию при расчете наращенной суммы. Мы уже вводили обозначения: S – наращенная сумма, пусть С – та же сумма с учетом инфляции. Тогда по формуле 1.3 с учетом инфляции получим: S . Ip C S Iс (1.9) Вспомним, что наращенная сумма простых процентов определяется как S K (1 ni) . Подставив значение наращенной суммы в предыдущую формулу 1.9, получим: C K (1 ni) Ip K (1 ni) . h n (1 ) 100 (1.10) Для сложных процентов наращенная сумма S K(1 i) n . Тогда с учетом 1.9 получаем n C K (1 i) n Ip K (1 i) n h (1 ) 100 7 K n 1 i h 1 100 . (1.11) Еще раз подчеркнем, что математика является аппаратом исследования финансовых ситуаций. А это значит, что если i h , то в правой части последней формулы числи100 тель больше знаменателя, а с точки зрения финансов это означает реальный рост суммы денег; если i h – нет реального роста денег, и это явление 100 называют «эрозией» капитала (проанализируйте это с точки зрения математики); если i h – наращение поглощается инфляцией. 100 Задача 1.3 Снова возвратимся к задаче 1.2, где последовательный прирост цен за 3 летних месяца на хлебобулочные изделия в отдельных регионах ЦАО составил 25%, 20% и 18%. Найти реальную сумму 1,5 млн. руб., накопленные проценты и инфляционную сумму, реальный доход, реальную доходность, если наращение идет по ставке i=50% а) сложных годовых, б) простых процентов. Решение. Индекс инфляции найден нами в задаче 1.2. Цены за 3 месяца увеличились в 1,77 раз. Рассчитаем реальную сумму 1,5 млн. руб. а) по сложным процентам: Наращенная сумма по сложным процентам 3 S K (1 i) n 1,5 (1 0,5) 12 1,66 млн.руб. Тогда реальная стоимость 1,66 млн. руб. с учетом инфляции по формуле 1.9 будет такой: C S Ip 1,66 1,77 0,938 млн.руб. Накопленные проценты I = S – K = 1,66 – 1,5 = 0,16 млн. руб.; 8 Найдем инфляционную сумму (сумму, которую «съела» инфляция), обозначив ее символом K h . Kh S C ; Kh 1,66 0,938 0,722 млн. руб. ; Тогда реальный доход, который назовем I 1 , будет равен I1 C K ; I1 0,938 1,5 0,562 млн. руб. ; вычислим реальную доходность i I1 ;i Kn i I1 Kn 0,562 3 1,5 12 1,5 150%. Какой вывод из результатов решения этой части задачи? Вывод следующий: сложная годовая ставка 50% при трехмесячной инфляции 77% дает отрицательную годовую доходность 150%. Приступим к решению второй части задачи (б) по простым процентам). Наращенная сумма по простым процентам будет определяться в соответствии с уже известной вам ранее формулой S K (1 ni) . S 1,5(1 3 0,5) 1,6875 млн. руб. 12 Реальная стоимость 1,6875 млн. руб. с учетом инфляции по простым процентам будет находиться по формуле 1.9 как C Тогда C 1,6875 1,77 S . Ip 0,953 млн. руб. Далее аналогично сложным процентам находим накопленные проценты I S K 1,6875 1,5 0,1875 млн. руб.; инфляционная сумма K h будет равна K h S C 1,6875 0,953 0,7345 млн. руб.; реальный доход I1 C K ; I1 0,953 1,5 реальная доходность i I1 ;i Kn 9 0,547 3 1,5 12 0,547 млн. руб. 1,46 146%. И снова, как в предыдущем случае, делаем вывод о том, что простая годовая ставка 50% при трехмесячной инфляции 77% дает годовую отрицательную доходность 146% . Теперь приступим к рассмотрению второго случая учета инфляции: при измерении эффективности (доходности) финансовой операции. В этом случае применяется индексация процентной ставки, которая сводится к увеличению ставки процентов на величину так называемой инфляционной премии. Назовем ставку с поправкой на инфляцию брутто-ставкой и обозначим ее r (ставка i + маржа). Напомним, что маржой мы называли надбавку к изменяющейся во времени базовой ставке (об этом шла речь в первой лекции). Для нахождения брутто-ставки составляется уравнение эквивалентности множителей наращения по брутто-ставке и по ставке i с учетом инфляции. Рассчитаем брутто-ставки: 1. Для простых процентов: Уравнение эквивалентности имеет вид: (1.12) 1 nr (1 ni) I p , следовательно, брутто-ставка r реальная ставка i (1 ni) I p 1 n , 1 nr 1 . 1 Ip n (1.13) (1.14) 2. Для сложных процентов: Уравнение эквивалентности имеет вид: h n ) , 100 h h следовательно, брутто-ставка r i , i 100 100 1 r 1. реальная ставка i h 1 100 (1 r ) n (1 i) n (1 10 (1.15) (1.16) (1.17) Еще раз подчеркнем, что основная идея принципа эквивалентности – получать одинаковый финансовый результат, по какой бы ставке не начислялись проценты. Задача 1.4 Продолжим решать задачу 1.3. В условиях этой задачи рассчитаем брутто-ставки для годовой простой и сложной ставки 50%. В этих случаях просто необходимо воспользоваться формулами брутто-ставки для простых и сложных процентов, т. е. формулами 1.13 и 1.16. а) Брутто-ставка простых процентов r (1 ni) I p 1 (1 n 3 0,5) 1,77 1 12 3,965. 3 12 Итак, вычисленная брутто-ставка показывает, что простая годовая ставка 396,5% годовых компенсирует инфляцию и дает реальный доход 50% годовых. Чтобы убедиться в правильности вычислений, найдем проверкой наращенную сумму денег с учетом инфляции по бруттоставке: 1,5 1 3,965 S 1,77 3 12 1,6875 млн. руб. И найдем наращенную сумму по ставке i без учета инфляции: S 1,5 1 0,5 3 12 1,6875 млн. руб. Как видите, они совпадают, значит, расчет верен. Но обратите внимание на формулы, по которым мы определяли наращенные суммы. Мы не указывали их номер, чтобы вы еще раз внимательно обратились к той части лекции, где шла речь о вычислении наращенной суммы с учетом и без учета инфляции. б) Брутто-ставка сложных процентов 11 Т.к. ставка i – годовая ставка, то темп инфляции h должен быть рассчитан за год по формуле 1.7: J p (1 h n ) . 100 Наша задача – выразить h . А для этого возведем обе части равенства в степень 1 (можно было сказать, что извлечем из n обеих частей равенства корень n-ой степени). 1 Получим: (J p ) n 1 h , 100 1 откуда (J p ) n 1 h , 100 тогда 1 h ((J p ) n 1) 100. Если вы внимательно изучаете курс, то заметили, что в финансовой математике все расчеты несложные. Нужно просто внимательно их выполнять. Возвращаясь к решаемой нами задаче, говорим, что теперь только осталось в выведенную нами формулу для темпа инфляции h подставить данные задачи. Тогда получим: 1 3 h 100 (1,77 12 1) 4 100 (1,77 - 1) 881,5% – на столько про- центов увеличились цены за год. r 0,5 881,5 881,5 0,5 13,7225 1372,25% 100 100 Снова делаем вывод: годовая сложная брутто-ставка r = 1372,25% компенсирует инфляцию и дает годовой доход 50% . Но, как и в случае простых процентов, сделаем проверку. 1) Наращенная сумма денег с учетом инфляции по бруттоставке r: 3 12 1,5 (1 13,7225) S 1,77 1,66 млн. руб. 2) Наращенная сумма по ставке i без учета инфляции: S 1,5(1 0,5) 3 12 1,66 млн. руб. Они совпали, значит, наши расчеты верны. 12 РАЗДЕЛ 2. КОНСОЛИДАЦИЯ И ПРОЛОНГАЦИЯ ФИНАНСОВЫХ ОБЯЗАТЕЛЬСТВ Глава 2.1. Эквивалентные обязательства Вопрос, к рассмотрению которого мы сейчас приступаем, все ближе вас подводит к решению финансовых задач не на бытовом, а на профессиональном уровне. Дело в том, что когда мы вели речь о депозитах и кредитах, то это в принципе уже должно было быть известно любому человеку, и не только получающему экономическое образование. Практически нередко возникают случаи, когда необходимо изменить условия финансовых сделок. Например, взяв кредит под определенный процент, клиент банка его добросовестно гасит, но потом у него поменялись финансовые возможности, и он решает погасить задолженность по кредиту досрочно. Он идет в банк за консультацией: как ему это сделать? Возможна и такая ситуация: клиент брал один кредит, затем возникла необходимость взять второй, и он решает объединить (консолидировать) несколько платежей в один. И в этой ситуации ему нужна консультация от специалиста банка. Иногда возникает финансовая необходимость в продлении платежей, такую финансовую процедуру называют пролонгацией финансовых обязательств, и снова необходимо знать возможности проведения этой процедуры. В рассмотренных двух ситуациях – консолидировании и пролонгации – прибегают к принципу финансовой эквивалентности обязательств, который предполагает неизменность финансовых отношений сторон до и после изменения контракта (принцип финансовой эквивалентности мы уже рассматривали с точки зрения наращенной суммы). Еще раз поясняем, что эквивалентными считаются такие платежи, которые, будучи «приведены» к одному моменту времени, оказываются равными. Приведение осуществляется путем дисконтирования к более ранней дате или, наоборот, наращения суммы платежа, если эта дата относится к будущему. 13 Две суммы денег S1 и S 2 , выплачиваемые в разные моменты времени, считаются эквивалентными, если их современные (или наращенные) величины, рассчитанные по одной и той же процентной ставке и на один момент времени, одинаковы. Общий метод решения задач на консолидирование и пролонгацию заключается в разработке уравнения эквивалентности, в котором сумма заменяемых платежей, приведенных к некоторому моменту времени, называемому базовым, приравнивается к сумме платежей по новому обязательству, приведенных к той же дате. Глава 2.2. Постановка задач на консолидацию и пролонгацию Итак, как мы уже сказали, наиболее распространенным способом изменения условий контрактов является консолидация (объединение) и пролонгация (продление) финансовых обязательств. Какие практические задачи здесь решаются? В этих ситуациях, как правило, рассматриваются два типа задач: 1) при известных суммах платежей и их сроках, известном сроке объединяемого платежа находится его сумма; 2) при известных суммах платежей и их сроках, известной сумме консолидированного платежа находится срок его выплаты. (Можно сказать, что рассматриваются две взаимно обратные задачи). Итак, пусть рассматривается задача о нахождении суммы консолидированного (объединенного) платежа при известных сроках выплат всех платежей Здесь можно рассмотреть 3 случая. Случай 1. Консолидированный платеж S0 расположен между консолидируемыми платежами. Другими словами, есть платежи до и после консолидированного платежа, рисунок 2.1. Расположим платежи на временной оси в порядке возрастания их дат. 14 S1 S2 S0 Sj Sk-1 Sk t n1 n2 nj nk-1 n0 nk Рисунок 2.1 Найдем величину консолидированного платежа S 0 , используя простую процентную ставку i. Платежи S1 , S 2 , S j производятся раньше консолидированного платежа S 0 , поэтому они наращиваются. Платежи S k 1 , S k производятся позднее консолидированного платежа S1 , поэтому они дисконтируются. Формула для расчета консолидированного платежа будет выглядеть так: S0 S j (1 (n 0 Sk n j ) i) j k 1 (n k n0 ) i . (2.1) Внешне формула выглядит довольно сложно и громоздко, но если внимательно ее проанализировать, то вот что получим. Первое слагаемое – суммы платежей по простой ставке (к каждому слагаемому этой суммы применяется формула 2.3 (наращение по простой ставке) из первой лекции); второе слагаемое – суммы платежей дисконтирования – формула 2.4 из второй лекции. На примере задачи, которую мы рассмотрим чуть ниже, вам станет понятно, как применять эту громоздкую формулу. Случай 2 Консолидированный платеж S0 расположен раньше всех консолидируемых платежей, рисунок 2.2. S0 S2 S3 Sk-1 Sk t n0 n2 n3 nk-1 Рисунок 2.2 15 nk Формула для расчета консолидированного платежа будет выглядеть так: Sk S0 k 1 (n k n0 ) i . (2.2) Случай 3. Консолидированный платеж S0 расположен позднее всех консолидируемых платежей, рисунок 2.3. S1 S3 S2 S0 Sk t n1 n3 n2 nk n0 Рисунок 2.3 Формула для расчета консолидированного платежа будет выглядеть так: S0 S j (1 (n 0 n j ) i). (2.3) j Если подвести итог рассмотрению трех случаев, то первый случай – объединение второго и третьего. Ну а дальше рассмотрим практическую ситуацию, позволяющую разобраться с формулами. Задача 2.1 Для поэтапного выполнения ремонта цехов по производству упаковочной тары компания ГРИНН взяла три кредита: S1 1 млн. руб., S 2 2 млн. руб., S3 3 млн. руб. со сроками уплаты соответственно через 100, 120 и 150 дней, которые по финансовым обстоятельствам заменяются одним кредитом со сроком уплаты через 180 дней при простой ставке 20%. Найти сумму консолидированного платежа (год принять равным 360 дней). Решение Платежи и даты их выплат изобразим точками на временной оси (рисунок 2.4) в порядке возрастания дней выплат: S1 S2 S3 S0 t 100 дн. 120 дн. 150 дн. Рисунок 2.4 16 180 дн. За базовую дату примем день выплаты консолидированного платежа S 0 . Т. к. срок объединяемых платежей меньше срока платежа S 0 (случай 3), то приведение платежей к моменту выплаты консолидированного платежа S 0 будет выполняться с помощью операции наращения. Мы будем использовать формулу 2.3 из этой лекции: S0 S j (1 (n 0 n j ) i). j Но в этой формуле внимательно рассмотрим сомножители S j . Это те три суммы, которые нам известны, они соответственно равны одному, двум и трем миллионам рублей. Периоды n 1 , n 2 , n 3 – это сроки платежей, которые соответственно равны отношению разности окончательного и планируемого платежа к числу дней года (по условию берем 360 дней). Процентная ставка –20%. И т. к. идет наращение, то все суммы суммируются. В итоге получаем: S0 S1 (1 n 1i) S2 (1 n 2 i) S3 (1 n 3i) 1 (1 2 (1 180 100 0,2) 360 180 120 180 150 0,2) 3 (1 0,2) 6,161 млн. руб. 360 360 Теперь, как мы уже говорили, рассмотрим обратную задачу. Итак, вторая задача – нахождение срока консолидированного платежа при известных суммах выплат всех платежей. В этом случае все платежи приводятся на одну более раннюю дату операцией дисконтирования, рисунок 2.5. S1 S2 S3 S0 Sk-1 n1 n2 n3 n0 nk-1 Sk t nk Рисунок 2.5 Составляется уравнение эквивалентности, в левой части которого стоит дисконтированная стоимость платежа S 0 , а в правой – сумма дисконтированных стоимостей объединяемых платежей P0. 17 Решаем задачу, используя ставку i. Запишем уравнение эквивалентности, дисконтируя все платежи, включая S 0 на начальную дату «0». S0 1 n 0i k Sk . 1 n ki Обозначим через P0 сумму дисконтированных стоимостей объединяемых платежей, т. е. P0 k куда 1 n 0i S0 Sk , тогда 1 n 0i 1 n ki P0 , от- S0 , в результате получим срок консолидированного P0 платежа n0 S0 1 1 . P0 i (2.4) Итак, мы вывели формулу для расчета срока консолидированного платежа, но давайте снова проанализируем ее с точки зрения финансовой математики, используя чисто математический анализ. Очевидно, что в полученной формуле консолидированная стоимость платежей S0 должна быть больше суммы дисконтированных консолидируемых платежей P0 (числитель будет больше знаменателя, значит, дробь будет больше единицы, а разность этой дроби и единицы будет тогда числом положительным). В противном случае срок платежа n0 получится отрицательным. Снова рассмотрим практическую ситуацию. Задача 2.2 Строительная фирма в погашение задолженности банку за предоставленный кредит под 70% годовых должна произвести 2 платежа в сроки 18.05 (138-й день), 1.09 (244-й день) суммами S1 2,7 млн. руб. и S 2 3,5 млн. руб. Фирма договорилась объединить оба платежа в один суммой S0 7,0 млн. руб. с продле- нием срока выплаты. Найти срок выплаты консолидированного платежа. (В скобках указан порядковый номер даты платежа). 18 Решение. Срок выплаты консолидированного платежа найдем по только что полученной формуле 2.4, где P 0 – современная величина консолидируемых платежей, которая будет найдена как сумма двух дисконтных платежей, см. формулу 2.4. из первой лекции, т. е. P0 S1 S2 1 n1 i 1 n 2 i 2,7 3,5 138 244 1 0,7 1 0,7 360 360 4,5 млн. руб. Вычислив современную величину консолидируемых платежей, теперь найдем срок выплаты консолидированного платежа, n 0 7,0 1 1 4,5 0,7 0,7937 года. Далее найдем порядковый номер дня года, в который нужно погасить платеж. Для этого считаем, что в году 365 дней и умножаем их на получившуюся долю года, т. е. на 0, 7937. В итоге получим 365 0,7937 290 дней. По календарю невисокосного года отсчитываем 290 дней – это будет 17 октября. Обращаем ваше внимание еще и на то, что при подсчете суммы консолидированных платежей мы вычисляем обыкновенные или коммерческие проценты, а потому выполняем деление на 360 дней. 19 РАЗДЕЛ 3. КРЕДИТЫ Глава 3.1. Планирование погашения долгосрочной задолженности Всем, наверное, когда-то приходилось занимать деньги в долг или давать кому-то в долг и, как правило, это осуществлялось не на коммерческой основе. В советские времена считалось неприличным требовать с должника какую-то сумму сверх той, что бралась в долг. И если взаймы бралась достаточно крупная сумма и на длительный срок, то благодарный должник возвращал деньги вместе со скромным подарком (коробкой конфет, бутылкой вина и т. п.). Но время изменило поведение людей, и сейчас, как мы уже говорили в первой лекции, стало не зазорным давать деньги в долг под проценты. Помните, в первой лекции мы говорили о существовании процентщиков. Так вот, в XXI в. они предлагают свои услуги нуждающимся в финансовой помощи на определенных условиях. Развешивают объявления в подъездах домов, в лифтах, предлагают свои услуги через интернет. Вероятно, что кто-то этими услугами пользуется. Ведь коль есть предложение, значит, оно отвечает какому-то спросу. Но основная часть граждан пользуется при финансовых затруднениях возможностями банков, благо, что их сейчас более чем достаточно. А для того чтобы выбрать наиболее выгодный вариант займа, необходимо хорошо разбираться в условиях кредитования. И это тем более важно для тех, кто планирует свою деятельность связать с работой в банке. Современные финансово-банковские операции часто предполагают не отдельные или разовые платежи, а некоторую их последовательность во времени. Например, погашение задолженности в рассрочку (кредит), периодическое поступление доходов от инвестиций, выплата пенсий и т.д. Такие последовательности называются потоком платежей, а отдельный элемент последовательности – членом потока. Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы между платежами одинаковы, называется финансовой рентой или аннуитетом. 20 Но мы в этой главе поведем речь о кредите не с точки зрения нахождения наращенной суммы, а с разработки плана погашения займа, который состоит в составлении графика периодических платежей должника. И для ведения разговора на профессиональном уровне введем ряд понятий и обозначений. Расходы должника обычно называются срочными уплатами или расходами по займу. Методы определения размера срочных уплат зависят от условий погашения долга, которые предусматривают: срок займа n; уровень и вид процентной ставки g (простая; сложная, проценты выплачиваются 1 раз в году, m раз в году); методы уплаты процентов (сразу на всю сумму или с дальнейшим распределением одинаковыми суммами по периодам, или проценты начисляются на непогашенный остаток долга); способы погашения основной суммы долга (погашение основного долга равными суммами или погашение всей задолженности срочными уплатами). Введем обозначения: D сумма задолжника (основная сумма без процентов); Y срочная уплата; I проценты по займу; R расходы по погашению основного долга; g ставка процентов по займу; n общий срок займа; i – проценты по депозиту. Глава 3.2. Планирование погасительного фонда Если по условиям займа должник обязуется вернуть сумму долга в конце срока в виде разового платежа, то для накопления таковой суммы обычно создается погасительный фонд. Погасительный фонд создается из последовательных взносов должника, на которые начисляются проценты. В обозначениях мы ввели две процентные ставки: i – определяет темп роста погасительного фонда; g определяет сумму выплачиваемых за заем процентов. Очевидно, что сумма взносов в фонд вместе с начисленными процентами, накопленная к концу срока долга, должна быть равна его сумме. 21 Рассмотрим случай формирования фонда, когда взносы регулярны и одинаковы по величине и вносятся в конце года, т. е. речь идет о годовой ренте постнумерандо. И вот тут нам необходимо пояснить, что это означает, хотя в первой лекции мы такое понятие уже вводили. Рента обычная, или постнумерандо, если платежи производятся в конце периода; рента пренумерандо, если платежи производятся в начале периода. Выясним для начала, как вычисляется наращенная сумма ренты постнумерандо. Итак, наращенная сумма – сумма всех членов потока платежей с начисленными на них к концу срока процентами. Рассмотрим характеристики годовой ренты постнумерандо: член ренты R – регулярный ежегодный взнос, срок ренты n, ставка i, число выплат в году p=1, число начислений процентов в году m=1. Положим n=4 года и выведем формулу наращенной суммы ренты. Построим схему наращения членов ренты на временной оси. Т. к. срок ренты больше одного года, естественно, следует использовать сложные проценты. Например, на член ренты R, внесенный в конце первого года, будут начисляться проценты 3 года. К концу срока ренты эта сумма будет составлять R (1 i)3 . Подобным образом на член ренты R, внесенный в конце второго года, будут начисляться проценты 2 года. К концу срока ренты эта сумма будет составлять R (1 i)2 . И т. д., см. рисунок 3.1. R R R R t 1 2 3 4 R(1+i)3 R(1+i)2 R(1+i)1 Рисунок 3.1. 22 По определению наращенной суммы ренты S R (1 i)3 R R (1 i) 2 R (1 i)1 R R (1 (1 i) (1 i) 2 (1 i)3 ) (1 i)3 (1 i) 1 (1 i) 4 1 R . 1 i 1 i Но мы здесь рассматривали случай срока платежей – 4 года, тогда в общем виде при n годах в этой формуле в числителе суммы (1+i) будет показатель степени, равный n. Ввиду того, что кредит – это один из видов ренты, то накопленная к концу срока фонда сумма долга D с процентами есть наращенная сумма ренты S, равная S D R (1 i) n 1 . i (3.1) Обозначим множитель наращения ренты через S n,i (1 i) n 1 , i тогда из формул 3.1 и 3.2 следует, что член ренты R (3.2) D и Sn ,i в фонд систематически вносится сумма Y Dg D . Sn ,i (3.3) Величину процентного платежа I t , исчисленного по сложным процентам, вычисляют по формуле: I t D (1 g) t 1 g , где t 1,2,...,n. (3.4) Пусть вас не пугают в этих формулах новые обозначения, главное здесь сохраняется основная суть – сложные проценты. Если условия контракта предусматривают присоединение процентов к сумме основного долга по ставке g, то срочная уплата будет равна Y D (1 g ) n . S n ,i (3.5) Для расчета накопленных за t лет сумм погасительного фонда используется формула наращенных сумм постоянных рент: S t 1 S t (1 i) R . (3.6) 23 Мы не рассматриваем здесь подробный вывод последних формул, считая, что это усложнит курс, а потому просим принять их без вывода. Сделаем дополнительные пояснения по поводу создания погасительного фонда. Во-первых, это выгодно должнику только тогда, когда i g. В этом случае должник на накопленные в погасительном фонде средства получает больше процентов, чем сам выплачивает за заем. Причем, чем больше разность i g, тем больше экономия средств должника, направляемая на покрытие долга. Если i g, то преимущества создания фонда пропадают. В этом случае финансовые результаты должника оказываются такими же, как и при погашении долга частями (о чем будем вести речь позднее). Задача 3.1 Для приобретения бытовой техники вы взяли кредит суммой 100 тыс. руб. на 5 лет под ставку g = 20%. Для его погашения создается фонд. На инвестируемые средства начисляются проценты по ставке i = 22%. Необходимо найти размеры срочных уплат. Взносы производятся в конце каждого года равными суммами. Решение. Итак, для решения задачи необходимо знать формулу 3.5 срочной уплаты Y D (1 g ) n . S n ,i Что нам известно из нее? Мы знаем из нее сумму долга D = 100 тыс. руб.; срок платежа n = 5 годам; ставку процентов по займу g = 20%; проценты по депозиту i = 22%. Но нам неизвестен множитель наращения Sn ,i , который мы найдем по формуле 3.2. Приступим к его вычислению. S n ,i (1 i) n i 1 (1 0,22) 5 1 7,7396. 0,22 24 Если проценты присоединяются к сумме долга, то срочная уплата по формуле 3.5 будет равна Y D (1 g) n Sn ,i 100 (1 0,2) 5 7,7396 32,1505 тыс. руб. Если проценты не присоединяются к сумме долга, то ежегодные взносы в банк R D Sn ,i 100 12,9206 тыс.руб. 7,7396 Глава 3.3. Погашение долга в рассрочку Метод погашения долга в рассрочку частями называется амортизацией долга. Рассмотрим 2 способа погашения долга в рассрочку. Первый способ. Погашение основного долга равными суммами Пусть долг D погашается в течение n лет, тогда сумма, идущая на погашение долга равна D . n (3.7) Размер долга уменьшается, и остатки долга соответственно равны: D; D D 2D 3D ;D ;D ;... n n n Т. к. проценты начисляются на непогашенный остаток долга, то они также уменьшаются. Пусть проценты выплачиваются один раз в году по ставке g. Процентные платежи по годам соответственно равны: D g; (D D 2D 3D ) g; (D ) g; (D ) g;... n n n (3.8) Обозначим суммы выплаченных процентов буквой J, тогда она будет равна: J 1 2 n 1 ) (1 ) ... (1 )) n n n n 1 1 (1 ) n 1 n Dg n Dg . 2 2 Dg (1 (1 25 (3.9) При выводе этой формулы мы используем формулу суммы n-членов арифметической прогрессии Sn a1 a n n (в ней a 1 и a n 2 соответственно первый и последний члены , n – число членов прогрессии). Общая сумма погашения кредита будет складываться из основного долга D и выплаченных процентов J, т. е. с применением формулы 3.9, получим: S D J D Dg n 1 n 1 D (1 g ). 2 2 (3.10) Если взносы в погашение кредита будут осуществляться «р» раз в году, то общая сумма выплаченных процентов будет равна, D n p 1 g . p 2 J (3.11) Задача 3.2 Долг 1000 тыс. руб. необходимо погасить последовательными равными суммами за 5 лет платежами постнумерандо. За заем выплачиваются проценты по годовой ставке 10%. Составить план погашения кредита. Решение. Итак, долг D = 1 000 тыс. руб., ежегодная выплата долга по формуле 3.7 будет равна D n D 5 200 тыс. руб. Найдем в соответствии с формулой 3.8 выплаченные проценты за 1-й год: J 1 1000 0,1 100 тыс. руб.; Выплаченные год J 2 проценты (1000 200) 0,1 80 тыс. руб. и т. д. за 2-й За три последующих года вычислите выплаченные проценты самостоятельно и сверьте ваш результат с результатом, который мы представили в виде таблицы 3.1. 26 Таблица 3.1 Год Остаток долга на начало года (тыс. руб.) 1 2 3 4 5 Итого 1 000 800 600 400 200 Расходы по займу Y = R+I (тыс. руб.) 300 280 260 240 220 1300 Погашение основного долга R (тыс. руб.) 200 200 200 200 200 1000 Проценты I (тыс. руб.) 100 80 60 40 20 300 Основной недостаток такого расчета погашения долга – большие платежи в начале выплат. Далее рассмотрим второй способ погашения долга. Второй способ. Погашение долга равными срочными выплатами По этому способу расходы должника по обслуживанию долга постоянны на протяжении всего срока его погашения. Из общей суммы расходов должника часть выделяется на уплату процентов, остаток идет на погашение основного долга. Периодическая выплата постоянной суммы Y = R равнозначна ренте с заданными параметрами. Ее современная стоимость A равна сумме долга D, т. е. A D R 1 (1 g) g n . (3.12) В формуле 3.12 второй сомножитель назовем коэффициентом приведения годовой ренты со ставкой процентов g и сроком n, и обозначим его 1 (1 g) n . g D Тогда расход по займу R Y , a n ,g a n ,g (3.13) (3.14) а сумма первого взноса по погашению основного долга будет задаваться формулой d 1 Y Dg. (3.15) 27 Задача 3.3 Долг 1 000 тыс. руб. погашается в течение 5 лет платежами постнумерандо по ставке g = 10%. Составить план погашения кредита равными срочными выплатами с начислением процентов на непогашенный остаток. Решение. Рассчитаем по формуле 3.14 расход по займу R = Y. R Y D a n ,g 1000 1 (1 g ) 0,1 5 263,797 тыс. руб. Первая выплата основного долга d1 = 263,797 – 1 000 0,1 = = 163,797 тыс. руб.; остаток долга D1 = 1 000 – 163,797 = 836,203 тыс. руб.; Вторая выплата основного долга d2 = 263,797 – 836,203 0,1 = =180,177 тыс. руб. и т. д. Расчеты по оставшимся трем выплатам погашения долга и по строке «Итого» предлагаем провести самостоятельно и результат сверить с тем, который мы представляем в виде таблицы 3.2. Таблица 3.2 Год Остаток долга на начало года (тыс. руб.) Расходы по займу Y (тыс. руб.) Проценты I (тыс. руб.) 1 2 3 4 5 Итого 1 000 836,203 656,026 457,831 239,816 263,797 263,797 263,797 263,797 263,797 ? 100,00 83,620 65,603 45,783 23,982 ? Погашение основного долга R (тыс. руб.) 163,797 180,177 198,195 218,014 239,816 ? Итак, если ваши расчеты совпали с таблицей 3.2, то мы вас поздравляем с составленным планом погашения кредита. Что можно сказать по поводу получившейся таблицы, а точнее, по поводу столбца проценты? Вы замечаете, что при таком погашении долга процентные платежи уменьшаются во времени, а сумма погашения основного 28 долга увеличивается, расходы по займу остаются постоянными на весь срок, однако в этом случае должник немного переплачивает. Какую суммы он переплачивает – это еще одна задачка, которую вы должны решить самостоятельно. Ну а мы перейдем к рассмотрению погашения потребительского кредита. Глава 3.4. Погашение потребительского кредита В потребительском кредите проценты, как правило, начисляются на всю сумму кредита и присоединяются к основному долгу уже в момент открытия кредита, т. е. разовым начислением процентов. Величина разового погасительного платежа определяется формулой Y D (1 ng ) , np (3.16) где n – срок кредита в годах, p – число платежей в году. Для решения проблемы определения остатка задолженности на любой момент времени следует разбить величину Y на проценты и сумму, идущую на погашение основного долга. И снова рассмотрим возможность такового разбиения двумя способами. Первый способ: равномерное распределение выплаты процентов. Величину разового платежа Y, см. формулу 3.16, представим в виде суммы (мы выполняем почленное деление на знаменатель дроби): Y D np D g p R I, (3.17) где D – цена товара (сумма основного долга без процентов); R – размер погашения основного долга; I – процентный платеж. 29 Замечание: В случае срока кредита больше года применяются сложные проценты. Тогда процентный платеж будет определяться формулой: (3.18) I D ((1 g) n 1) . Второй способ: правило 78. Естественно, возникает вопрос: «С чем связано название этого правила, почему именно 78, а не что-то другое?» А все очень просто. Дело в том, что сумма порядковых номеров месяцев в году равна 78, отсюда и название правила. Чтобы убедиться в этом, можно, конечно, сложить натуральный ряд чисел от 1 до 12. А можно вспомнить о великом математике Карле Гауссе, который не складывал натуральный ряд чисел от 1 до 100, а просто вывел формулу суммы членов арифметической прогрессии (мы к ней уже обращались при выводе формулы 3.9). Предлагаем вам в этом убедиться, и тогда вы уж точно не забудете, почему один из способов погашения потребительского кредита называется правилом 78. Допустим, что срок кредита равен 1 году. Тогда, согласно правилу 78, доля процентов в сумме расходов в первом месяце равна 12/78, во втором она составит 11/78 и т. д. Последняя уплата процентов равна 1/78. Таким образом, доля процентов убывает, сумма погашения основного долга увеличивается. Для годового срока процент погашения и сумма основного долга соответственно задаются формулами: t D g. 78 D (1 g) R Y I 12 (3.19) I t D g. 78 (3.20) Задача 3.4 Вы закончили РФЭИ, и вас взяли на работу в отдел кредитования одного из филиалов Сбербанка в вашем городе или поселке с испытательным сроком три месяца. Естественно, с первых дней вы только осваиваете работу специалиста этого отдела, наблюдая за работой других. Вы – только стажер. Но буквально 30 через неделю вашей «практики» руководитель отдела кредитования предлагает вам оформить клиенту потребительский кредит по правилу 78. Клиент пришел в банк за помощью, зная, что банк выдает потребительские кредиты по ставке 20% годовых. Его пока интересуют условия, план погашения и т. д. Он намерен оформить кредит в размере 240 тыс. руб. сроком на 1 год. У руководства есть возможность проверить ваши профессиональные качества. Причем эту работу вам предлагают сделать в тот самый неподходящий момент, когда банковская система временно вышла из строя, компьютеры не работают, и у вас нет возможности воспользоваться компьютерной программой. Но на вашем рабочем столе калькулятор и с вами ваши знания. Итак, за работу. Решение. Клиент сидит перед вами, и вы ему объясняете, что общая сумма задолженности будет равна S = 240(1+0,2) = 288 тыс. руб. Общая сумма выплаченных процентов будет равна разности I = 288 – 240 = 48 тыс. руб. Ежемесячная выплата (сумма расходов по обслуживанию долга будет равна) Y S n 288 12 24 тыс. руб. Вы ему объясните, что процентные платежи по месяцам и основной долг будут такими: для первого месяца они соответственно равны I1 12 48 7,385 тыс. руб.; R 1 78 24 7,385 16,615 тыс. руб. Для второго месяца: I2 11 48 6,769 тыс. руб.; R 2 78 24 6,769 17,231 тыс. руб. и т. д. Оставшуюся часть работы вы выполняете без нас (самостоятельно). Но мы просчитаем вместе с вами только последний, 12й месяц года I12 1 48 0,615 тыс. руб.; 78 31 24 0,615 23,385 тыс. руб. R 12 Как вы себя можете проверить? Сложением получившихся результатов. Если их сумма будет составлять 288 тысяч рублей, вы работу выполнили правильно. Клиент остался доволен вашими разъяснениями. Руководитель отдела кредитования доволен стажером, который, несмотря на технические проблемы (отсутствие компьютерной связи), не отпустил клиента, а привлек его, сформировав полностью план погашения кредита. Вы повысили свою вероятность быть принятым специалистом в отдел кредитования банка. Ну а мы, прежде чем двигаться дальше, хотели бы, чтобы вы мысленно для себя прокомментировали: почему, на основании каких формул мы поступали так, а не иначе, при составлении плана погашения задолженности по кредиту. А теперь мы обобщим правило 78 для кредита со сроком N месяцев. Последовательные номера месяцев в обратном порядке представляют собой числа: t = N, N-1,..., 1. (Мы обозначили последовательные номера месяцев латинской буквой «N», т. к. «n» уже нами используется). Вспомните, какую роль она выполняет в финансовых расчетах. Да, она определяет срок (продолжительность) кредита. А теперь сумму этих чисел находим по формуле известной вам суммы арифметической прогрессии: N t 1 (1 N) N. 2 Тогда ежемесячные выплаты процентов в соответствии с формулой 3.19 будут равны I t t D g n. (3.21) Сумма списания основного долга будет определяться формулой: R Y t t 32 D g n. (3.22) В каждом месяце выплаты процентов сокращаются на величину D g n , на такую же величину увеличивается сумма спиt сания основного долга. Важно отметить, что в потребительском кредите при разовом начислении процентов должник фактически выплачивает проценты и за описанные суммы долга. Это значит, кредит обошелся бы дешевле, если бы проценты начислялись на остатки долга. Применим наши теоретические рассуждения к практической ситуации. Задача 3.5 Потребительский кредит в сумме 10 млн. руб. выдан на три года при разовом начислении процентов по ставке 10% годовых. Погашение задолженности помесячное. Составить амортизационные планы погашения кредита: a) по правилу 78; б) по методу равномерного распределения выплат процентов. Решение. а) по правилу 78: Общая сумма долга S 10 (1 3 0,1) 13 млн. руб. Итак, переплата будет составлять 3 млн. руб. А теперь посмотрим, как эта сумма будет распределяться. Сумма расходов по обслуживанию долга будет найдена как S 13 0,361111 млн. руб. 361,111 тыс. руб. n 12 3 Y Сумма последовательных номеров месяцев будет определяться по формуле суммы арифметической прогрессии, и расположим месяцы в обратном порядке. 36 t 1 1 2 30 31 32 33 34 35 36 (1 36) 36 666; t 36, 35,..., 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 . 2 Рассчитаем процентные платежи I и суммы погашения основного долга R в соответствии с формулами 3.21 и 3.22. Для 1-го месяца t = 36, и поэтому получаем I 36 3 0,162162 млн. руб. 162,162 тыс. руб. ; 666 33 R 361,111 162,162 198,949 тыс. руб. Для 2-го месяца в числителе уже значение t = 35, тогда 35 3 0,157658 млн. руб. 157,658 тыс. руб. ; 666 R 361,111 157,658 203,453 тыс. руб. I Далее найдем процентные платежи I и суммы погашения основного долга R для 30-го месяца: 7 3 0,031532 млн. руб 31,532 тыс. руб. ; 666 R 361,111 31,532 329,579 тыс. руб. I Опустив расчет еще ряда промежуточных платежей, найдем аналогичные показатели для 36-го месяца: 1 3 0,004505 млн. руб 4,505 тыс. руб. ; 666 R 361,111 4,505 356,606 тыс. руб. I Насколько верно вы составили план погашения кредита, ответит элементарная математическая проверка. В чем ее суть? Общая сумма процентных платежей (суммирование по I) должна дать 3 млн. руб., а общая сумма выплат основного долга (суммирование по R) должна дать 10 млн. руб. б) по методу равномерного распределения выплат процентов Величину разового платежа Y по формуле 3.17 представим в виде суммы Y D pn D g p R I , где ежемесячная выплата основного долга R D pn 10 12 3 10 36 0,277778 млн. руб. 277,778 тыс. руб. , ежемесячная выплата процентного платежа I D g p 10 0,1 0,083333 млн. руб. 83,333 тыс. руб. 12 Проверку выполненных расчетов можно выполнить умножением каждого из вычисленных показателей на количество месяцев, в нашем случае на 36. Сумма получившихся произведений должна дать 13 млн. руб. Проверьте и убедитесь. Расчет верен. 34 Итак, подводя итог рассмотренному материалу в последней главе нашего курса, отмечаем, что за рассмотрением теоретической части следует выполнение практических работ. Все практические задания будут сопровождаться ссылкой на разделы и главы лекционного курса. Будьте внимательны, у вас все непременно получится. Конец курса Все замечания и предложения отсылайте по адресу: feedback@rfei.ru 35