Имитационное моделирование

Лекция 5. ИМИТАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ Имитационное моделирование (ИМ) – один из самых мощных инструментов исследования сложных систем. Имитировать – значит вообразить, постичь суть явления, не прибегая к экспериментам на реальном объекте. Идея ИМ проста и в то же время интуитивно привлекательна. Она даёт возможность пользователю экспериментировать с системами (существующими или проектируемыми) в тех случаях, когда делать это на реальном объекте практически невозможно или нецелесообразно. Необходимость решения задачи путем экспериментирования становится очевидной, когда возникает потребность получить о системе специфическую информацию, которую нельзя найти в известных источниках. Вместе с тем, непосредственное экспериментирование на реальной системе может нарушить установленный порядок работы системы или потребует чрезмерных затрат времени и средств. При экспериментировании с реальными системами может оказаться невозможным исследование множества альтернативных вариантов. В то же время имитация дает возможность «проигрывать» на модели любые ситуации, включая те, при которых реальная система вышла бы из строя. Это позволяет моделировать катастрофы, редкие события, нештатные ситуации и т.п. Различные компьютерные игры – яркие примеры имитационных моделей. Мы управляем автомобилем или самолетом так, как будто мы действительно находимся там. По существу, каждую модель можно считать имитацией объекта, процесса. Отсюда – ИМ является весьма широким и недостаточно четко определенным понятием. Мы будем придерживаться следующего определения. ИМ есть процесс конструирования модели реальной системы и постановки экспериментов на этой модели с целью либо понять поведение системы, либо оценить (в рамках ограничений, накладываемых некоторым критерием или 1 совокупностью критериев) различные стратегии, обеспечивающие функционирование данной системы. Под моделью реальной системы понимается представление системы в некоторой форме, отличной от формы ее реального существования. Отметим, что одна из наиболее математическая, полезных и выражающая наиболее употребительных форм посредством функциональной – это зависимости, уравнения или системы уравнений существенные черты изучаемых реальных систем. В настоящее время инструментом разработки и исследования имитационной модели обычно служит компьютер, поэтому далее будем рассматривать только компьютерные имитационные модели. Если рассматриваемая модель включает случайные (стохастические) величины, то с помощью имитационного эксперимента можно сделать выводы о поведении рассматриваемой системы в целом, основанные на вероятностном распределении этих случайных величин. При этом для моделирования самих случайных величин используется метод Монте-Карло (метод статистических испытаний). Данный метод позволяет на основе собранной исходной информации сгенерировать для каждой переменной соответствующее распределение вероятностей. Из этих распределений с помощью случайных чисел получают значения переменных модели, которые используют затем в процессе моделирования. Построение каждой модели начинают с определения входящих в нее переменных и формулирования правил их функционирования. Результаты расчетов по имитационным моделям небольшой размерности обычно представляют в виде таблиц, легко поддающихся количественному анализу. Существует возможность модификации имитационной модели, по которой вновь производятся расчеты, а затем проводится сравнительный анализ новых результатов с полученными ранее. Методы ИМ, хотя и не приводят к получению оптимальных решений, как, например, методы линейного программирования, однако, позволяют выработать направления политики, приводящей к лучшим результатам. 2 Целями ИМ являются: — описание поведения систем; — построение теорий и гипотез, которые могут объяснить наблюдаемое поведение; — использование этих теорий для предсказания будущего системы, т.е. тех воздействий, которые могут быть вызваны изменениями в системе или изменениями способов ее функционирования. Все имитационные модели представляют собой модели типа «черного ящика». Это означает, что они обеспечивают выдачу выходного сигнала системы, если на ее взаимодействующие подсистемы поступает входной сигнал. Поэтому для получения необходимой информации или результатов необходимо изучать «прогон» имитационных моделей, а не «решать» их. Имитационные модели – средство для анализа поведения системы в условиях, которые определяются экспериментатором. При имитационном моделировании используемая математическая модель воспроизводит алгоритм («логику») функционирования исследуемой системы во времени при различных сочетаниях значений параметров системы и внешней среды. В аналитических моделях структура моделируемых систем и процессы их функционирования представляются в неявном виде. При имитационном моделировании структура моделируемой системы адекватно отображается в модели, а процессы ее функционирования проигрываются (имитируются) на построенной модели. При использовании аналитической модели метод исследования системы – расчетный, при использовании имитационной модели - экспериментальный. Имитационная модель, в отличие от аналитической, легко адаптируется к широкому классу задач, выступает средством интеграции моделей различных классов. Аппарат имитационного моделирования включает методы аналитического моделирования на этапе идентификации имитационной модели. Отдельные элементы, процессы в имитационной модели могут описываться сложными интегральными, дифференциальными и другими уравнениями, реализуются с 3 помощью традиционных вычислительных процедур. Большое место аналитическим методам отводится и в стратегическом планировании вычислительного эксперимента, и при обработке его результатов. Роль аналитических методов в имитационном моделировании постоянно возрастает. Метод имитационного моделирования идеально подходит для исследования стохастических систем, случайных процессов: можно реализовать вероятностное развитие ситуаций, провести вероятностное оценивание характеристик модели на выходе. Имитационное моделирование позволяет изучать системы и процессы во всей их сложности, не «втискивая» их в модели, удобные для применения тех или иных методов математического анализа, и в этом – одно из основных достоинств имитационного моделирования. Имитационное моделирование нашло практическое применение во всех сферах деятельности человека, начиная от моделей технических, технологических и организационных систем и заканчивая проблемами развития человечества и вселенной. Однако имитация обладает и рядом недостатков: 1. Разработка хорошей имитационной модели сложной системы часто обходится дорого и требует много времени, а также наличия квалифицированных специалистов. 2. Имитационная модель в принципе не точна, и мы не в состоянии измерить степень этой неточности. Это затруднение может быть преодолено лишь частично путем анализа чувствительности модели к изменению определенных параметров. Таким образом, имитационное моделирование целесообразно примененять при наличии любого из следующих условий: 1. Не существует законченной математической постановки данной задачи, либо еще не разработаны аналитические методы решения сформулированной математической модели. 4 2. Аналитические методы имеются, но математические процедуры столь сложны и трудоемки, что имитационное моделирование дает более простой способ решения задачи. 3. Кроме оценки определенных параметров, желательно осуществить на имитационной модели наблюдение за ходом процесса в течение определенного периода. 4. Имитационное моделирование может оказаться единственной возможностью вследствие трудностей постановки экспериментов и наблюдения в реальных условиях. 5. Для исследования систем может понадобиться сжатие временной шкалы. Имитационное моделирование дает возможность полностью контролировать время изучаемого процесса, поскольку явление может быть замедленно или ускорено по желанию. К этой категории относятся, например, исследования проблем упадка городов. Рассмотрим этапы компьютерной имитации: 1. Формулировка проблемы. Излагаются цели эксперимента: оценить воздействия на исследуемую систему, проверить гипотезу о возможном состоянии системы через определенный промежуток времени, выбрать алгоритм управления системой и т.п. Формулируются критерии оценки возможных ответов на поставленные вопросы, например, что значит оптимальный алгоритм управления, оптимальная конструкция и т.д. 2. Формулировка модели. На данном этапе осуществляется переход от реальной системы к некоторой логической схеме (абстрагирование). Модель связывает входные параметры системы с управляющими и выходными параметрами. Осуществляется подготовка данных, необходимых для построения модели, и представление их в соответствующей форме. Здесь же решается вопрос о сложности модели. Модель должна подходить к тому типу эксперимента, который собираемся проводить. Осуществляется также предварительная проверка адекватности модели. 5 3. Программная реализация модели. Составляется блок-схема программы, выбирается язык программирования, генерируются недостающие данные. Программа может быть написана на любом универсальном языке программирования. Однако целесообразно использовать специализированные языки и системы (GPSS, SIMSCRIPT, Powersim, Piligrim, DYNAMO, ReThink и др.). Основное назначение этих средств – уменьшение трудоемкости создания программных реализаций имитационных моделей и экспериментирования с моделями 4. Оценка пригодности модели. Проводится оценка адекватности модели – проверка соответствия между поведением модели и поведением реальной системы. Прежде всего, проверку можно осуществить с помощью специально выбранных тестовых примеров. Для проверки адекватности модели используются статистические выборки для оценки средних значений и дисперсий, дисперсионный, регрессионный, факторный анализ, непараметрические методы проверки и т. д 5. Планирование эксперимента. План эксперимента служит структурной основой процесса исследования. Критериями планирования являются: число варьируемых факторов, число уровней квантования каждого фактора, число измерений переменной отклика и т. п. 6. Обработка результатов эксперимента. Для обработки результатов эксперимента обычно используются методы математической статистики. Процесс компьютерной имитации должен заканчиваться соответствующими выводами и рекомендациями по решению поставленной проблемы. В настоящее время имитационное моделирование применяется при решении задач техники, физики, биологии, при анализе систем в промышленности, торговле, в военном и административном деле, в системе образования, социологии и т.п. Существуют такие области человеческой деятельности, которые без имитационного моделирования просто не могут существовать, например, космические исследования. Имитационное моделирование широко применяется для исследования систем массового обслуживания (СМО). К типичным системам обслуживания относятся 6 транспортные системы, аэропорты, вокзалы, ремонтные и медицинские службы и т. п. Особое значение приобрели такие системы при изучении процессов в информатике. Это, прежде всего, компьютерные системы и сети передачи информации. Опыт моделирования различных дискретных событийных систем свидетельствует о том, что приблизительно 80 % этих моделей основаны на СМО. Исследованием СМО занимается специальный раздел теории систем - теория массового обслуживания. Теория массового обслуживания – это математическое исследование таких систем, в которые в случайные моменты времени поступают требования (извне или изнутри системы). Они должны быть обслужены системой, причем длительность обслуживания в общем случае случайна. Природа требований и их обслуживания зависит от конкретного вида системы. Для описания СМО необходимо задать: 1) входящий поток требований или заявок, которые поступают на обслуживание; 2) дисциплину постановки в очередь и выбор из нее; 3) правило, по которому осуществляется обслуживание; 4) выходящий поток требований; 5) режимы работы. Аналитический аппарат решения задач теории массового обслуживания развит для ситуаций, когда протекающий в системе случайный процесс является марковским или близок к марковскому. При различных ограничениях на характер входящего потока аналитический математический аппарат не всегда дает соответствующие зависимости. В этих случаях применяют метод имитационного моделирования. Приведем пример, позволяющий уяснить суть ИМ. На улицах крупного города проводится сбор некоторой информации путем опроса прохожих. Длительность проведения обследования и соответствующие затраты зависят от того, сколько времени понадобится интервьюеру для сбора 7 исходных данных. Каким образом можно оценить, сколько времени потребуется для его проведения? Необходимо провести анализ ситуации. Интервьюеру придется останавливать прохожих, спрашивать об их желании или нежелании дать интервью и в случае, если они согласны, задать им соответствующие вопросы. Переменными в данной ситуации являются следующие величины: • Интервьюеру придется ожидать прохожего, которого можно остановить. Следовательно, нам необходимо знать величину интервала между последовательными моментами появления прохожих (t). • Желание прохожего дать интервью. • Продолжительность самого интервью. Каждая из этих переменных является стохастической (случайной). Если нам удастся сгенерировать информацию, отражающую процесс остановки прохожего, и его возможное интервьюирование, то мы сможем построить имитационную модель для данной проблемы и оценить время, требующееся для того, чтобы набрать необходимое число интервью. Наиболее простой способ состоит в сборе определенных данных путем проведения испытаний. Если в качестве испытания выбрать поток из 100 прохожих, то можно зафиксировать временные интервалы между их последовательным появлением, желание или нежелание быть проинтервьюированным и, если они дадут согласие, продолжительность интервью. Степень точности этих данных зависит от специфики проблемы. После того, как собраны данные для потока из 100 прохожих, для каждой переменной можно построить распределение частот и рассчитать соответствующее значение вероятности (табл. 1, 2). Из общего числа опрошенных 75 человек выразили желание дать интервью. Следовательно, вероятность того, что некоторый прохожий будет согласен на интервью, можно оценить как 0,75. 8 Таблица 1 Модель появления прохожих – интервалы между моментами появления Время между появлениями прохожих около интервьюера, мин. Число появлений, f Вероятность (f / 100) 1 2 3 4 5 25 35 18 10 8 4 0,25 0,35 0,18 0,10 0,08 0,04 Таблица 2 Продолжительность интервью Продолжительность 2 4 6 40 45 15 0,40 0,45 0,15 интервью, мин Количество интервью, f Вероятность (f /100) Как эти данные можно использовать для того, чтобы сгенерировать процесс появления прохожих? Один из методов генерирования – это использование таблицы случайных чисел. Таблица случайных чисел заключает в себе цифры от 0 до 9, выбранные случайным образом. Группировки в таблицах применяются исключительно для удобства чтения. При пользовании таблицей в качестве точки отсчета может быть выбрана любая позиция. В зависимости от требований цифры можно выбирать по одной, по две или по три, двигаясь по таблицам вправо или вниз. Случайные числа используются для того, чтобы множеству значений переменной поставить в соответствие множество случайных чисел (например, 0-9, 00-99). Случайные числа ставятся в соответствие значениям переменной пропорционально значениям вероятностей. Таким образом, из указанных таблиц выбирается случайное число, и переменной присваивается соответствующее значение. Так как в данной задаче значения вероятностей указаны с точностью до двух десятичных знаков, мы будем пользоваться случайными числами, содержащими две цифры. Распределение интервала случайных чисел 00-99 показано в табл. 3. 9 Таблица 3 Распределение случайных чисел для интервалов между моментами появления прохожих Интервал между появлениями, мин. Вероятности Кумулятивные Случайные вероятности числа 0,25 0,25 00-24 1 0,35 0,60 25-59 2 0,18 0,78 60-77 3 0,10 0,88 78-87 4 0,08 0,96 88-95 5 0,04 1,00 96-99 Если выбирается случайное число 03, то оно принадлежит промежутку (00-24) и характеризует интервал между появлениями прохожих (t) в ноль минут. Случайное число 47 принадлежит промежутку (25-59) и соответствует t в одну минуту. Используя последовательные случайные числа, мы можем с помощью приведенных выше данных поставить в соответствие каждому человеку интервал его появления около интервьюера. Полученные значения t накапливаются, начиная с нулевого значения, и в результате позволяют найти время появления каждого прохожего. Чтобы установить, согласится ли моделируемый прохожий дать интервью, выбираем случайное число из другого столбца или строки таблицы случайных чисел и используем табл. 4. Таблица 4 Распределение интервалов случайных чисел для желающих дать интервью Согласие прохожего дать интервью 10 Вероятность Кумулятивная вероятность Случайные числа Да 0,75 0,75 00-74 Нет 0,25 1,00 75-99 Пусть выбрано число 35. Оно находится в промежутке (00-74). Данный прохожий согласен дать интервью. Если следующее число равно 64, то, поскольку оно принадлежит тому же промежутку, следующий прохожий также даст согласие на интервью. Продолжительность интервью устанавливается аналогично, но с использованием отличного от двух предыдущих множества случайных чисел (табл. 5). Таблица 5 Распределение интервалов случайных чисел для продолжительности интервью Продолжительность Вероятность интервью, мин. Кумулятивная Случайные вероятность числа 2 0,40 0,40 00-39 4 0,45 0,85 40-84 6 0,15 1,00 85-99 Теперь все готово к тому, чтобы начать процесс моделирования. Мы будем продолжать его до тех пор, пока не будет получено 10 интервью. Для каждой переменной выбираются случайные числа, а затем генерируются значения переменных, необходимых для продолжения процесса моделирования (время появления прохожего), а также переменных, необходимых для описания поведения системы (согласие дать интервью и его продолжительность). Ниже приведены данные из таблиц случайных чисел, которые помогут проследить за ходом процесса моделирования: 03 47 43 73 86 97 74 24 67 62 16 76 62 27 66 12 56 85 99 26 55 59 56 35 64 16 22 77 94 39 84 42 17 53 31 63 01 63 78 59 33 21 12 34 29 57 Для интервалов появления прохожего выберем случайные числа из начала списка и будем продвигаться вдоль строки. Данный ряд начинается с чисел: 03, 47, 43. Для согласия дать интервью выберем случайные числа второй строки, которая начинается с чисел: 35, 64, 16. Для продолжительности интервью также выберем числа второй строки, но начнем с конца и будем двигаться справа налево: 57, 29, 34. 11 Предположим, что моделируемый счетчик времени начинается с нулевого момента. Тогда первый прохожий появится в момент времени, равный (0 + первый интервал появления прохожего). Предположим также, что каждое следующее интервью может начаться сразу же после окончания предыдущего. Десятое интервью завершится через 36 мин. после начала процедуры (табл. 6). Использование иного множества случайных чисел приведет к другому результату. Если потребуется определить время, необходимое для десяти интервью, мы должны будем сделать по имитационной модели расчеты для большего числа интервью – например, для 100 или 200. И только после этого можно будет рассчитать среднее время, требуемое для завершения 10 интервью. Одна из проблем, возникающих при построении имитационных моделей, состоит в том, что необходимо точно знать, какого рода информацию следует собирать, чтобы процесс моделирования можно было продолжить. В данной ситуации небольшой размерности существует возможность идентифицировать каждый шаг и при необходимости вернуться на предыдущий этап, если возникла потребность в дополнительной информации. В ситуациях большего масштаба, моделирование которых осуществляется с помощью компьютеров, очень важно, чтобы решение о том, какие данные необходимы, и о способах их сбора и представления было принято еще на начальном этапе. Сбор данных преследует две основные цели. Во-первых, их можно использовать при проверке положения о том, что модель функционирует именно так, как и предполагалось при ее составлении. Эта процедура является составной частью обоснования модели. Например, по данным исходного распределения, математическое ожидание продолжительности интервью составит: М (продолжительность интервью) = 2·0,4 + 4·0,45 + 6·0,15 = 3,5 мин. По данным нашей небольшой имитационной модели, на проведение 10 интервью интервьюер затрачивает 28 мин., таким образом, среднее значение продолжительности одного интервью составляет 2,8 мин., что несколько меньше, чем предполагалось изначально. Для выборки такого небольшого размера эта колеблемость неудивительна. Однако если бы мы получили эти же результаты для первых 12 100 интервью, они означали бы, что модель является некорректной и требует тщательной проверки. Во-вторых, данные можно использовать для получения некоторой информации непосредственно из модели. Например, сколько времени потребуется, чтобы получить 10 интервью? – 36 мин. Какую часть времени интервьюер бездействует? – 8 мин из 36. Сколько человек прошло мимо интервьюера, пока он получал 10 интервью? – 19: 6 человек прошли, пока интервьюер был занят; 3 человека отказались дать интервью; 10 человек были проинтервьюированы. Данное исследование можно расширить, если, например, ввести в модель второго интервьюера. Затраты на оплату его работы могут быть компенсированы сокращением времени, необходимого для получения 10 интервью. Введение в модель второго интервьюера требует принятия дополнительных правил, определяющих функционирование модели. Что произойдет, если оба интервьюера будут свободны? Кто из них подойдет к ближайшему следующему прохожему? Примем предпосылку о том, что первого прохожего всегда берет на себя первый интервьюер. Подобные правила необходимо вводить на начальном этапе формулировки любой модели. В данном случае неважно, какой из интервьюеров будет выбран, но при построении всех имитационных моделей нужно быть последовательным и уметь четко сформулировать правила функционирования моделируемой системы. В случае двух интервьюеров потребуется 27 мин. для 10 интервью (табл. 7). Между тем на практике средние значения вычисляются на основе гораздо более длительного процесса моделирования. Для того чтобы принять решение о том, пользоваться услугами второго интервьюера или нет, потребуются и другие данные, например, о промежутках времени, когда оба интервьюера свободны. После того, как имитационная модель построена, необходимо оценить ее надежность. Мы должны быть уверены в том, что модель воспроизводит формализуемую ситуацию с достаточной степенью точности. Простейший способ оценки надежности состоит в использовании ретроспективных данных и сравнении результатов расчетов, полученных для этих данных по модели, с действительным 13 поведением системы во времени. В приведенном выше примере ретроспективные данные можно не использовать, а оценку надежности модели следует основывать на тщательной проверке и оценке используемых распределений вероятности. В нашей стране ИМ стало широко развиваться в 60-х годах XX века в сфере изучения социально-экономических Имитационные модели явились процессов математическими альтернативой методам методами. математического программирования и аналитическим методам исследования. Основная трудность применения последних к изучению социально-экономических процессов состояла в невозможности учета большого количества факторов (политических, экономических, психологических, социальных), а также в сложности формализации качественных характеристик процессов. Не удавалось также, в конечном счете, сформулировать единственный критерий качества управления системой. ИМ позволило изучать системы и процессы во всей их сложности, не «втискивая» их в модели, удобные для применения тех или иных методов математического анализа, и в этом – одно из основных достоинств ИМ. ИМ нашло практическое применение во всех сферах деятельности человека, начиная от моделей технических, технологических и организационных систем и заканчивая проблемами развития человечества и вселенной. Вместе с тем, необходимо помнить, что ИМ является только одним из нескольких имеющихся в распоряжении системного аналитика важнейших методов решения проблем. Поскольку необходимо и желательно приспосабливать средство или метод к решению задачи, а не наоборот, то возникает естественный вопрос: в каких случаях ИМ полезно? По этим причинам исследователь должен рассмотреть целесообразность применения ИМ при наличии любого из следующих условий: 1. Не существует законченной математической постановки данной задачи, либо еще не разработаны аналитические сформулированной математической модели. 14 методы решения 2. Аналитические методы имеются, но математические процедуры столь сложны и трудоемки, что ИМ дает более простой способ решения задачи. 3. Кроме оценки определенных параметров, желательно осуществить на имитационной модели наблюдение за ходом процесса в течение определенного периода. 4. ИМ может оказаться единственной возможностью вследствие трудностей постановки экспериментов и наблюдения в реальных условиях. 5. Для исследования систем может понадобиться сжатие временной шкалы. ИМ дает возможность полностью контролировать время изучаемого процесса, поскольку явление может быть замедленно или ускорено по желанию. К этой категории относятся, например, исследования проблем упадка городов. Однако имитация обладает и рядом недостатков: 1. Разработка хорошей имитационной модели сложной системы часто обходится дорого и требует много времени, а также наличия квалифицированных специалистов. 2. Имитационная модель в принципе не точна, и мы не в состоянии измерить степень этой неточности. Это затруднение может быть преодолено лишь частично путем анализа чувствительности модели к изменению определенных параметров. 15 Таблица 6 Моделирование процесса проведения 10 интервью интервьюером Номер прохожего Модель появления прохожего Случайное t, Время число мин появления, мин Согласие дать интервью Случайное Да/нет число 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 03 47 43 73 86 97 74 24 67 62 16 76 62 27 66 12 56 85 1 1 2 3 5 2 2 2 2 2 1 2 1 3 1 2 4 7 12 14 14 16 18 18 20 22 23 25 25 26 29 35 Да Интервьюер занят Интервьюер занят 64 Да 16 Да 22 Да 77 Нет 94 Нет 39 Да 84 Нет 42 Да 17 Да Интервьюер занят Интервьюер занят 53 Да Интервьюер занят Интервьюер занят 31 Да 19 99 5 34 63 Да 10 интервью набрано Случайное число Модель интервью ПродолжиВремя тельность, Начало Окончание мин. 57 4 4 29 34 12 4 7 12 6 9 14 16 18 33 59 2 2 2 Отказ Отказ 2 Отказ 2 4 18 20 20 24 78 4 25 29 21 63 4 29 33 01 2 34 36 Таблица 7 Моделирование процесса проведения 10 интервью двумя интервьюерами Номер прохожего 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Модель появления прохожего Случайное число t, мин Время появления, мин 03 47 43 73 86 97 74 24 67 62 16 76 62 27 66 1 1 2 3 5 2 2 2 2 2 1 2 1 2 4 7 12 14 14 16 18 18 20 22 23 25 Согласие дать интервью Случайное Да/ число нет 35 64 Да Да Модель интервью Случайное число Продолжительность, мин. 57 29 4 2 Интервьюер 1 Интервьюер 2 Нач. Оконч. Нач. Оконч. 4 1 3 4 7 6 9 2 14 16 2 4 4 4 18 20 18 22 20 24 22 26 2 25 Интервьюеры заняты 16 22 77 94 39 84 42 17 53 31 Да Да Нет Нет Да Нет Да Да Да Да 34 12 Отказ Отказ 21 Отказ 33 59 78 63 2 2 Интервьюеры заняты 63 Да 01 10 интервью набрано 27 Восполнение экспериментальных данных методом математического моделирования Если известны вероятностные характеристики параметров изучаемых объектов и процессов, недостающие данные можно восполнить методом стохастического моделирования, или методом статистических испытаний (методом Монте-Карло). Моделирование (разыгрывание) дискретной случайной величины Пусть требуется вычислить последовательность возможных значений xi (i=1, 2, …) случайной величины X, зная закон распределения X: Моделирование осуществляется с использованием непрерывной случайной величины R, равномерно распределенной в интервале (0,1). Обозначим через rj (j=1, 2, …) – возможные значения R (случайные числа). Разобьем интервал (0,1) на n частичных интервалов: ∆1 - (0, p1); ∆2 - (p1, p1+p2); ……………………… ∆n - (p1+p2+…+pn-1; 1). Генерируем с помощью датчика случайных чисел (выбираем из таблицы случайных чисел) случайное число rj . Если rj попало в частичный интервал ∆i, то моделируемая величина X приняла возможное значение xi . Моделирование (разыгрывание) полной группы событий Для моделирования испытаний, в каждом из которых наступает одно из событий полной группы A1, A2,…,An , вероятности которых p2,…,pn, достаточно разыграть дискретную случайную величину X со следующим законом распределения: X 1 2 … n p p1 p2 … pn. Если величина X приняла возможное значение xi =i, то наступило событие Ai. Моделирование (разыгрывание) непрерывной случайной величины 17 Пусть X – непрерывная случайная величина с функцией распределения F(x). Разыграть X - значит вычислить последовательность возможных значений xi (i=1, 2, …) случайной величины. Выбираем случайное число ri и решаем относительно xi уравнение F(xi)=ri. Если известна плотность вероятности f(x), то относительно xi решается уравнение: xi ∫ f ( x)dx = ri , −∞ или уравнение xi ∫ f ( x)dx = ri , x0 где x0 – наименьшее конечное возможное значение X. 18