Игры с неполной информацией. Равновесие Байеса - Нэша (РБН)

Лекция 13. Тема 13. Игры с неполной информацией. Равновесие Байеса – Нэша (РБН) (продолжение). ( [1], Главы 20, 21; [2], Глава 3 , раздел 3.1; [7], Лекция 10 ) Реализация концепции доминирования в Играх с неполной информацией. (На примерах). Пусть И1 и И2. a, b – стратегии (чистые или смешанные) И1. a ≽ b, если для каждой стратегии L И2 ̃(a, L) ̃(b, L). ̃ (a, L) – ожидаемый ! Табл. 2 И1\И2 Пример 2 И1\И2 C N С 0, 0 7, -2 С - 2, -2 N -2, 7 5, 5 N 0, 5 Тип Т Игрока 2 C Тип А N У каждого есть доминирующая, т.е. есть решение в доминирующих стратегиях, 5, 0 если р 7, 7 Игрока 2 1/2 , (В чистых) ??? Например: И1 – С или N ? И2: 1. (С , N), 2. (N, С ), 3. …… 1 1. (С , N): ̃ 1(С, (С , N), р) = 5(1-р) ̃ 1(N, (С , N), р) = 7 - 9р, 2. (N, С ): ̃ 1(С, ( N, С), р) = 7р - 2(1-р) ̃ 1(N, ( N, С), р) = 5р 3. 4. Показать, что это верно и для всех других ….. Утверждение (Для Примера2): 1. При р 1/2 (С, (С , N), р) решение в доминирующих стратегиях. 2. При р 1/2 (N, (С , N), р) решение в доминирующих стратегиях. 3. Ценовая конкуренция в дуополии Бертрана. 2 Пример 3 S р = 1/2 C Показать, что Фирма1 не имеет доминирующих стратегий (в чистых) при р = 1/2 Вычисления …………..Ф2: (М, Н), (L, H) и ещё семь стратегий Ф1: ? H ≽ M; H ≽ L ; M ≽ L M ≽L (M, (М, Н)) ? (L, (М, Н)); (M, (М, L)) ? (L, (М, L)) и т.д. (M, (L, H)) ? (L, (L, H)); 3 Термины и формальные определения в Играх с неполной информацией. Общий случай. Игра: N – игроков. =∏ , – множество типов для игрока i, T = ∏ , t T, t = ( , , … ,… ), , , P – распределение вероятностей на множестве T. Мы предполагаем, что игроку i известен его собственный тип . Свое представление о типах остальных игроков игрок i формирует согласно формуле Байеса, наблюдая свой собственный тип : P( )= , =∑ Ai множество действий игрока i, A = ∏ , , (3) - множество профилей действий. Тогда функция выигрышей для игрока i долж-на определять его выигрыш в зависимости от его типа и от профиля действий, выбранного игроками, т.е. 4 : A×Ti → R. u: A×T → R = ( , , … ,… ) - профиль функций выигрышей игроков. Различие между стратегией и действием. Действие игрока — это один из возможных доступных ему ходов. Стратегия — это зависимость хода, который сделает игрок, от его типа (и параметров) Пусть : — стратегия игрока i, определяющая, какой ход он должен совершить в зависимости от его типа . s=( , , … ,… ) профиль стратегий игроков. При данном профиле стратегий s ожидаемый выигрыш Игрока i, имеющего тип ̃ ( , )=∑ , равен ( ( ), ( ), ) (2) *** Набор (I, A,T, P, u) называется игрой с неполной (или асимметричной) информацией или байесовой игрой. Понятие байесовой игры было введено Харшаньи [Harsanyi, 1967–1968]. Обсуждение ………… Замена на ИРФ с несовершенной информацией. 5 ***Пусть (I, A, T, P, u) - игра с неполной информацией. Равновесием в этой игре является набор стратегий Игроков (профиль) что для всех i, для всех , s*, такой, выполняется: (3) Равновесие в такой игре называется байесовым равновесием или Равновесием Байеса–Нэша (РБН). *** Теорема (о существовании РБН) В конечной игре с неполной информацией всегда существует РБН в смешанных (поведенческих) стратегиях. 6 Тема 13. Игры с неполной информацией. Приложение: дуополия Курно. ( [1], Глава 21; [2], Глава 3 , раздел 3.1; [7], Лекция 10 ) Рассмотрим модель Курно из Лекции 5. Игроки: Фирма 1 и Фирма 2 Производят взаимозаменяемые блага. xi - объём выпуска Фирмы i ; X1 = X2 = [0 ; - множества стратегий Игроков; Сi (xi) - затраты Фирмы i на выпуск объёмом xi ; ̅=( , ) - профиль стратегий игроков ; = х - суммарный выпуск P(х) - равновесная цена на рынке при суммарном выпуске х ; Пi ( , ) = P(х) xi - Сi (xi) - выигрыш (прибыль) Фирмы i при профиле ̅ = ( Пусть: 1) Пусть Сi (xi) = сi i , i = 1, 2. P(х) = ɑ - b х, , ). ɑ = 10, b = 1 = с – известно обоим Фирмам. 7 2) Пусть =с+ Точное не известны Фирме 1точно. (-е , е ), Е = 0, , F – функция распределения известно Фирме 2. (1) Фирма 1 знает только (1). (1) – общее знание. Найти РБН. Ф2: П2(̃ , =с+ ) РБН = ( , ( )) ? . Пусть Ф1 - ̃ ⟹ П2 (̃ , ) = ( ɑ - b(̃ )) – (с + ) max ɑ { ̃ ={ ̃ Ф1(не знает ): П1 ( , ̃ , если ɑ , ) = ( ɑ - b( ̃ если ɑ )) ̃ –с , 8 ɑ , если ɑ ={ если ɑ , Обозначим: = ɑ ={ РБН = ( ⟹ , если ɑ (2) если ɑ , , (2) { ) = ɑ Е - ⟹ ⟹ РБН = ( = ɑ = , ɑ ɑ - ) В РБН Фирма 2 с меньшими затратами производит больше! 9 Распределение цен: ( ) = a – b[ ] = a – b[ + + ]+ = + (8) - средняя цена. В РБН Фирма 2 с большими затратами производит меньше Но при большей цене! Выигрыши (прибыли): обсуждение зависимости от затрат и цен…………….. Показать: ( )= ( + - с) ; ( )=( - - с) ( - ) (4) Выигрыш Фирмы1 выше, если затраты Фирмы 2 выше, и наоборот. !!! Д/З Вычислить для ɑ = 18, b = 2, с = 1 10 Случай с полной информацией. Сравнение со случаем с неполной информацией. Почему интересно и важно сравнение? Когда Фирме 2 выгодно не скрывать информацию о затратах? ɑ Фирма 2: то же ={ , если ɑ если ɑ , ɑ Фирма 1: здесь ={ не обычная система , если ɑ , если ɑ , , а просто (4) (5) ! { ̃ ̃ ̃ ̃ (6) 11 !!! Д/З решить (6) и получить: ̃ ( )= ɑ + ̃ , = ɑ - (7) Анализ и сравнение с , : = ɑ , ɑ - : 1. Фирма1 …………..отличие и объяснение …………. 2. Фирма2 ………….. действует более агрессивно, зная тенденции Фирмы 1. ⟹ Предположение 1: Фирме 2 выгоднее не скрывать затраты, если она эффектвна, и выгодно скрывать, если не эффектвна ???? Прибыли в РБН ??? 12 ̃ ( )=( + ̃ ( )=( -с̃ =̃ = ( ɑ ( )= ( - с) ( ̃ )(̃ + ), (7.1) - ) (7.2) средние значения. + - с) ; ( )=( - - с) ( - ) (4) ) ……. Предположение 1 подтверждается (?). !!! Д/З Вычислить и заполнить таблицу для Специального Примера (СП): ɑ = 10, b = 1, с = 1 13 ɑ = 10, b = 1, с = 1 (при РБН) Неполная инф - ция Полная инф - ция P [1], Глава 21. 3 3+ 3- 3- !!! Д/З вычислить 4+ 4+ такую же таблицу для (3 + ) 3 (3 - ) (3 - ) (3 + ) (3 + (3 - ) (3 - ɑ = 18, b = 2, с = 1 ) ) Уточнение Предположения 1: Утверждение 1. В условиях модели (при некоторых допущениях) Фирме 2 всегда выгоднее раскрыть информацию о своих затратах (как при высоких, так и при низких, относительно с) Обсуждение и логика рассуждений……. Случай: Фирма1 при сокрытии затрат Фирмой 2 может считать, что они соответствуют ε = ε̅ 0 ! Т.е. Фирма 2 – не эффективна…. 14 Двусторонняя неполнота информации. Пусть Фирма 1 тоже имеет Пусть (- q , q) , , ) = ( ɑ - b( – (с + ) )) = , = (обозначим) = , = (обозначим) ⟹ [ . известно Фирме 1. { ⟹ = 0. не известны Фирме 2 точно. G – функция распределения Точное П1 ( , = ( ) = = ⟹ ➙ max ɑ [ (8) 15 ( , ) = a – b[ [ ( )+ + ] = , (9) (10) , Неполнота информации о спросе. P(х) = ( ɑ известно Фирме 1, Стратегии ( ), ) - b( ), – Фирме 2. , – с.в. , Е = 0, Е = 0 ( ) . Фирмы максимизируют свои прибыли на основании ожидаемых стратегий соперника. Действия и расчёты такие же, как и в случае неполноты информации о затратах. Показать, что: = , = (обозначим) !!! Как в случае затрат! 16 Некоторые выводы: 1. Неполнота информации в олигополиях может касаться затрат конкурентов, спроса и т.д. 2. В дуополии Курно с односторонней неполнотой информированная Фирма 2 учитывает известные ей затраты, а неинформированная Фирма 1 – предполагаемый средний выпуск информированной Фирмы 2. 3. В РБН прибыль Фирмы 2 убывает с ростом её предельных затрат. Прибыль Фирмы 1 – наоборот, растёт. 4. Если Фирма 2 раскрывает свои затраты, тогда обычное РН более прибыльно, чем РБН для эффективной Фирмы 2 (с меньшими затратами), и менее прибыльно для неэффективной. 5. Это стимулирует Фирму 2, и схожие, с меньшими затратами раскрывать свои затраты. А это приводит к стимулам раскрыть затраты Фирмам всех типов эффективности. 6. Анализ РБН с двусторонней неполнотой производится аналогично одностороннему случаю. 17