Игра с неполной информацией и частными сигналами

Игра с неполной информацией и частными сигналами Рассмотрим такую игру I игроков T состояний природы Каждый игрок i получает сигнал θi ∈ Θi , наблюдаемый только им самим Пусть P — распределение вероятностей на T × Θ1 × · · · × ΘI Ai — множество действий у каждого игрока ūi : A × T → R — функция полезности игрока i Игра с неполной информацией и частными сигналами Стратегия игрока: si : Θi → Ai , то есть что делать в зависимости от сигнала Если я наблюдаю сигнал θi , то, для всех t ∈ T , θ−i ∈ Θ−i , P(t, θ−i |θi ) = P ′ (t ′ ,θ−i P(t, θ−i , θi ) ′ ′ )∈T ×Θ−i P(t , θ−i , θi ). Пусть s — профиль стратегий. Тогда мой ожидаемый выигрыш равен X ũi (si (θi ), s−i , θi ) = P(t, θ−i |θi )ūi (si (θi ), s−i (θ−i ), t). (t,θ−i )∈T ×Θ−i Равновесие: s ∗ , такой, что не существует i, ai′ ∈ Ai и θi ∈ Θi , такого, что ∗ ∗ ũi (ai′ , s−i , θi ) > ũi (si∗ (θi ), s−i , θi ) Существование равновесия: Очевидно для конечных игр Задача, на самом деле, эквивалентна той, которая рассмотрена в учебнике X P(t|θi )ū(a, t), ui (a, θi ) = t∈T где P(t|θi ) = P P(θi , t) . ′ t ′ ∈T P(θi , t ) Задача про двух судей 2 судьи решают, оправдать или осудить обвиняемого. Ai = {A, C } Обвиняемый либо виновен, либо невиновен: T = {I , G } Каждый судья получает сигнал θi ∈ {I , G }. Если t = I , то оба получают сигнал θ1 = θ2 = I с вероятностью 1. Если t = G , то каждый получает сигнал I с вероятностью 21 . Судьи получают сигналы независимо друг от друга. Априорная вероятность того, что подсудимый невиновен, равна p. Подсудимого осуждают, если a1 = a2 = C , и оправдывают в любом другом случае. Выигрыш судьи составит 1, если принято правильное решение (оправдан невиновный либо осужден виновный), и 0 в случае неправильного решения Задача про двух судей Решаем задачу. По условию, если θi = G , то обвиняемый виновен. Следовательно, ai (G ) = C слабо доминирует ai (G ) = A. Так что будем искать вероятность qi , с которой судья i = 1, 2 выбирает ai = A при θi = I Пространство элементарных событий: t I G G G G θ1 I I G I G θ2 I I I G G вероятность p 1−p 4 1−p 4 1−p 4 1−p 4 Задача про двух судей Получим P(t = I , θ2 = I |θ1 = I ) = 2p p = 1−p 1+p p+ 2 Аналогично, P(t = G , θ2 = I |θ1 = I ) = P(t = G , θ2 = G |θ1 = I ) = p 1−p 4 + 1−p 2 = 1−p1 , 1+p2 p 1−p 4 + 1−p 2 = 1−p1 , 1+p2 и наконец P(t = I , θ2 = G |θ1 = I ) = 0. Задача про двух судей Теперь найдем выигрыш судьи 1 в зависимости от его действия a1 = A — оправдать: ũ1 (A, q2 |θ1 = I ) = P(t = I , a2 = A|θ1 = I )+P(t = I , a2 = C |θ1 = I ) a1 = C — осудить: ũ1 (C , q2 |θ1 = I ) = P(t = I , a2 = A|θ1 = I )+P(t = G , a2 = C |θ1 = I Первый судья выберет A тогда и только тогда, когда P(t = I , a2 = C |θ1 = I ) ≥ P(t = G , a2 = C |θ1 = I ) Задача про двух судей Мы имеем P(t = I , a2 = C |θ1 = I ) = и P(t = G , a2 = C |θ1 = I ) = 2p (1 − q2 ) 1+p q2  1−p  1− 1+p 2 Если p < 31 , то a2 = C всегда предпочтительнее p ≥ 13 , то   q2 >  0, [0, 1], q2 = q̌1 (q2 ) =   1, q2 < 6p−2 5p−1 6p−2 5p−1 6p−2 5p−1 . Задача про двух судей Получим равновесие Байеса-Нэша  0, ∗ q1 = q2 = q = 6p−2 p ≤ 13 1 5p−1 , p > 3 . При малом p, судьи игнорируют свои сигналы! “Наверное, я неправ” Вероятность того, что будет осужден невиновный ( 1, p ≤ 13 2 P(a1 = C, a2 = C|t = I ) = (1−p) , p > 31 . (5p−1)2 Задача про двух судей Что если оба сигнала наблюдаемы? P(t = I |θ1 = I , θ2 = I ) = p 4p . = 1−p 3p + 1 p+ 4 Если эта величина больше 12 , или p > 12 , то невиновного оправдают. В противном случае, его осудят. Получается более гуманно! “Обвинительный уклон”! Голосование на выборах Почему люди голосуют? Чтобы повлиять на исход голосования? Ведь голосовать - это затратно. Время, усилия, и т.д. Вероятность того, что ваш голос будет решающим, очень мала на больших выборах Полезность рационального избирателя: U = PB − c ≥ 0. (1) Выборы с 2 кандидатами и издержками голосования Однопериодная игра. Каждый избиратель решает, за какого из двух кандидатов проголосовать, или остаться дома Si = {A, B, o} Избиратели принадлежат к двум группам размерами NA и NB . избиратель из группы j = A, B получит 1 если кандидат j выиграет, и 0 если проиграет Если избиратель i голосут, то он несет издержки ci < Голосовать за противника — доминируемая стратегия 1 2 Выборы с 2 кандидатами и издержками голосования Простой пример 1 группа избирателей размером N = 3 Каждый избиратель i может проголосвать si = 1 или отказаться si = 0 Издержки голосования c ∈ (0, 21 ) Если двое или трое голосуют, то всен получат выигрыш 1 Полезность избирателя i есть Ui = (s1 + s2 + s3 ) ≥ 2 − si c 4 равновесия в чистых стратегиях: (0, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 0, 1), и (0, 1, 1) Выборы с 2 кандидатами и издержками голосования Найдем симметричное р-е в смешанных стратегиях... Пусть 2 и 3 голосуют с вероятностью p Мы имеем U1 (1, p, p) = 1 − (1 − p)2 + c и U1 (0, p, p) = p 2 Если избиратель 1 играет смешанную стратегию в равновесии, то U1 (1, p, p) = U1 (0, p, p), или 2p 2 − 2p − c = 0, или √ 1 − 2c . 2 У нас два симметричных равновесия в чс! p= 1± Выборы с 2 кандидатами и издержками голосования Вероятность победы A   1, 1 PA = ,  2 0, есть #{i|si = A} > #{i|si = B} #{i|si = A} = #{i|si = B} #{i|si = A} < #{i|si = B}, Вероятность победы B есть PB = 1 − PA . (2) Выборы с 2 кандидатами и издержками голосования NA = NB = N. Найдем симметричное равновесие в смешанных стратегиях, p — вероятность голосования Пусть Pw (1, p) — вероятность, что A побеждает, при условии, что один из избирателей точно голосует (остальные голосуют с вероятностью p) Пусть Pw (0, p) вероятность, что A побеждает, при условии, что один из избирателей точно не голосует (остальные голосуют с вероятностью p) Выигрыш избирателя есть Pw (1, p) − c если он голосует и Pw (0, p) если нет голосует Pw (1, p) − c = Pw (0, p). (3) Выборы с 2 кандидатами и издержками голосования Pw (1, p) = N−1 X i=0 + Pw (0, p) = 1 2 i CN−1 p i (1 − p)N−i−1 N−1 X i=0 N−1 X i=1 +   i X j=0  CNj p j (1 − p)N−j  +  i CN−1 CNi+1 p 2i+1 (1 − p)2N−2i−2 , i CN−1 p i (1 − p)N−i−1 i−1 X j=0 CNj p j (1 − p)N−j  + N−1  1 X i CN−1 CNi p 2i (1 − p)2N−2i−1 . 2 i=0  (4) Выборы с 2 кандидатами и издержками голосования Для c < 1 2 и достаточно большой N есть два решения Низкая явка: p стремиться к 0 при увеличении N Высокая явка: p стремиться к 1 при увеличении N Если NA < NB , то избиратели из малой группы голосуют чаще Выборы с 2 кандидатами и издержками голосования Пусть c = 0.35 Pw (1, p) − Pw (0, p), c 0.5 0.45 N=2 0.4 0.35 N=3 0.3 0.25 N = 10 0.2 p2− 0.1 0.2 p1− 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 p1+ 0.8 0.9 p2+ 1 Выборы с 2 кандидатами и частными издержками голосования Пусть ci — случайная величина, распределенная на [0, 1] с функцией F (·). Ее значение известно только избирателю i Стратегия — что делать (голосовать или нет), в зависимости от ci Найдем симметричное равновесие Если все остальные голосуют с вероятностью p, то избиратель голосует тогда и только тогда, когда c ≤ c̄, где Pw (1, p) − c̄ = Pw (0, p) По определению, p = F (c̄) Выборы с 2 кандидатами и частными издержками голосования Явка падает с N Явка падает, если издержки стохастически растут: Доминирование 1-го порядка 0.7 0.6 Pw (1, p) − Pw (0, p), c̄ F −1 (p) 0.5 N=2 0.4 0.3 N=3 0.2 N = 10 0.1 0.1 0.2 p3 0.3 0.4 p2 0.5 0.6 0.7 0.8 p1 0.9 1 Выборы с 2 кандидатами и частными издержками голосования — эксперимент David K. Levine and Thomas R. Palfrey. 2007. The Paradox of Voter Participation? A Laboratory Study. American Political Science Review Прогноз из модели: Явка падает с размером группы Явка падает с ростом издержек Явка выше в малой группе Две группы избирателей разного размера. Победители получают 1. Издержки - частная информация, равномерно распределены на [0, 21 ]. Выборы с 2 кандидатами и частными издержками голосования — эксперимент Доля проголосовавших выше в малых группах Явка снижается при росте общего числа избирателей