Гидрогазодинамика

ЛЕКЦИЯ ПО ГИДРОГАЗОДИНАМИКЕ Волны в жидкости. 1. Распространение малого возмущения в газе. Представьте бесконечно длинную трубу постоянного сечения S, заполненную воздухом с плотностью ρ0 и давлением р0. В трубе находится поршень, который может двигаться без трения. Действуя в течение времени Δt,сила F перемещает поршень со скоростью v. Перед поршнем давление и плотность газа возрастают, но только в той части трубы, куда может дойти возмущение плотности со скоростью с (в дальнейшем мы убедимся, что это и есть скорость звука). Чтобы найти приращение давления и плотности, т.е. избыточные давление pи и плотность ρи , воспользуемся законами механики. Закон сохранения массы. Масса газа между сечениями А и В до воздействия была ρ0 c Δt S, после толчка объём уменьшится, а плотность увеличится, масса при этом не изменится: ρ0 c Δt S = (ρ0 + ρи )(c – v) Δt S. Считая возмущение слабым, пренебрежём слагаемыми второго порядка малости, и получим: ρи c = ρ0 v (1) Второй закон Ньютона. Импульс силы F Δt равен изменению импульса mv = ρ0 c Δt S v. При этом сила связана с избыточным давлением pи , F = ρ0 c S v = pи S. Итак, приращение давления равно pи = ρ0 c v (2) Из (1) и (2) получаем pи / ρи =c2, и, поскольку мы предполагали, что изменение плотности и давления малы, Скорость распространения слабых возмущений равна скорости звука Уравнение состояния идеального газа p M = ρ R T при постоянной температуре даёт Эта формула, скорость изотермического звука, была выведена Ньютоном. Для воздуха при температуре 300 К получаем На самом деле скорость звука 340 м/с. Лаплас предположил, что процесс распространения звука является адиабатическим , тогда Скорость адиабатического возмущения и будет правильной скоростью звука Для двухатомного газа γ =7/5, и получаем 346 м/с. Только при очень низких частотах, меньше 10 Гц, скорость звука ближе к ньютоновской. Такие колебания называются гиперзвуком. В газе будет распространяться звуковая волна, если поршень будет колебаться с некоторой частотой. При движения поршня влево будет создаваться разрежение, вправо – сжатие, и эти возмущения будут бежать со скоростью звука (5) 2.Ударные волны. Изменим постановку задачи. Пусть поршень теперь толкает газ продолжительное время, но мы будем считать это воздействие цепочкой импульсов длительностью Δt . Возмущение в газе под действием последующего толчка движется в среде более нагретой, чем прежде, поэтому скорость его в соответствии с (5) увеличивается. Новое возмущение движется с большей скоростью и догоняет предыдущее. Волны плотности и давления при этом накладываются друг на друга, и на границе с невозмущённой областью (сечение В на рисунке) возникает скачок плотности, давления и температуры. Этот скачок, т.е. разрыв, и будет ударной волной. Закономерности в ударном разрыве наиболее наглядно описываются в системе отсчёта, которая движется вместе с ударной волной. Невозмущённый газ (p0 ,ρ0) втекает справа в ударную волну со скоростью фронта v0, а вытекает с меньшей скоростью v1. Газ, прошедший через ударный разрыв, имеет давление p1 , плотность ρ1 и скорость v1. Как и для малого возмущения, применяем законы механики: Закон сохранения массы. За единицу времени через единицу площади справа в разрыв втекает масса ρ0 v0 ,а вытекает ρ1 v1 . Получаем ρ0 v0 = ρ1 v1 = j (6) Здесь j - плотность потока жидкости, кг/с м2. Второй закон Ньютона. Импульс массы ρ0 v0 , равный ρ0 v02, после прохождения разрыва изменяется, и составляет ρ1 v12 . Импульс силы давления p0 - p1.В проекции на направление движения (влево) имеем: ρ1 v12 - ρ0 v02 = p0 - p1 (7) Закон сохранения энергии. Приращение энергии равно работе действующей силы. Если ε обозначает удельную внутреннюю энергию, Дж/кг, то закон сохранения энергии по форме совпадает с уравнением Бернулли. Потенциальная энергия жидкости не меняется на разрыве. Решаем систему уравнений (6)- (8). Вместо плотности будем использовать удельный объём V = 1/ρ . Из (7) имеем: или Это уравнение называется прямая Михельсона - Рэлея. В.А. Михельсон был заведующим кафедры физики и метеорологии Петровской Академии. Его имя носит метеостанция Тимирязевки. На p-V диаграмме наклон этой прямой растет (по модулю) с увеличением плотности потока. Ударная адиабата. В (8) сумма ε + p/ρ =ε +p V= H – удельная энтальпия. Заменяем квадраты скоростей Подставляем в (8) и, используя уравнение (9), получаем: Это уравнение называется адиабатой Гюгонио´, или ударной адиабатой. Рассмотрим свойства ударной волны в идеальном газе с числом степеней свободы i и показателем адиабаты γ= (i+2)/i. Удельная энтальпия равна H = cpT = (i+2)RT/2M = (i+2) pV/2. Подставляем в (10) и обозначаем степень сжатия k = ρ1/ρ0 =V0 /V1. Формула (11) связывает скачок давления на фронте волны со степенью сжатия k. Давление положительно, в знаменателе должно быть i+1 > k. В пределе, если k = i+1, (13) давление за фронтом волны неограниченно растёт. При этом плотность может возрасти не более, чем в (i+1) раз, для двухатомного газа – в 6 раз. Степень сжатия может возрасти, если при нагревании активируются дополнительные степени свободы. Например, если в воздухе в двухатомных молекулах учесть колебательную степень свободы, то степень сжатия станет 8 (за счёт колебательной степени свободы эффективное число степеней свободы увеличивается на 2) . На p-V диаграмме адиабата Гюгонио имеет вертикальную асимптоту V =V0/(i+1). Состояние невозмущенного газа – точка А( p0,V0 ) на диаграмме. После прохождения ударной волны – точка В. Где будет эта точка, зависит от силы ударной волны. Например, можно задать давление за фронтом волны р1. В отличие от адиабаты Пуассона, по которой определяется состояние газа в каждой точке, и возможно как сжатие, так и расширение, на адиабате Гюгонио известна конечная точка, и процесс перехода идёт непосредственно из А в В. Чем слабее ударная волна, тем меньше её отличие от изэнтропы – адиабаты Пуассона. ( см. линии на диаграмме, газ двухатомный). Скорость распространения ударной волны. Ударный разрыв перемещается со скоростью v0 , которую можно найти из (9)-(12). Отношение давлений будет определять силу и скорость ударной волны, N = p1/p0 Из (12) выражаем 1/k : Подставляем в (14) и получаем: В соответствии с (5), квадрат скорости звука равен c2= γp/ρ = γpV. Показатель адиабаты γ=(i+2)/i. Скорость ударной волны, бегущей в газе с числом степеней свободы i, находится из уравнения: Скорость звука в невозмущенном газе - с0. Число Маха, равное отношению скорости волны в невозмущённом газе ( или тела относительно невозмущенного газа) к скорости звука в нём, – это ещё один безразмерный критерий в механике жидкости, M = v0/c0 , и его находим из (15). Из (15) находим скорость ударной волны в предельных случаях сильной p1/p0 >>1,и слабой волны p1/p0 -1<<1 или Δp<< p0. В последнем случае скорость волны примерно равна скорости звука, этот результат мы получили в первом разделе. Скорость сильной ударной волны равна Скорость сжатого газа за ударным фронтом находится из (6): Скорость сжатого газа относительно трубы, по которой течёт газ(скорость поршня), равна v0-v1. Скачок температуры на фронте волны. Воспользуемся уравнением состояния идеального газа в форме Скачок температуры , с учётом (15), равен Для сильной ударной волны при скачке давления N, скачок температуры N/(i+1). Для двухатомного газа получится N/6. Под воздействием ударной волны газ нагревается, а его скорость относительно фронта волны падает, в соответствии с (18). Кинетическая энергия направленного движения втекающего газа частично превращается в энергию хаотического, теплового движения. Это возможно при столкновениях молекул. Математически толщина фронта равна 0 –это разрыв . Физически – это величина порядка длины свободного пробега. Контрольное задание. Давление за фронтом ударной волны увеличилось в 100 раз. Невозмущённый газ – воздух при нормальных условиях. Определить, во сколько раз увеличилась плотность и температура за фронтом волны. Найти эти же параметры при адиабатном процессе и сравнить.