Гидравлика и гидропневмопривод

ФГБОУ ВО «Тверской государственный технический университет» Кафедра «Гидравлика, теплотехника и гидропривод» ЛЕКЦИИ по курсу «ГИДРАВЛИКА И ГИДРОПНЕВМОПРИВОД» ТВЕРЬ – 2018 1.1. Предмет и задачи курса «Гидравлика и гидропневмопривод», его место в системе подготовки инженера по технической эксплуатации техники. Краткая история развития гидравлики, гидравлических и пневматических систем. Связь курса с общетеоретическими, общеинженерными и специальными дисциплинами учебного плана направления подготовки. Законы движения и равновесия жидкостей и способы приложения этих законов к решению задач инженерной практики являются предметом науки, именуемой «гидравлика» [1]. Исторически гидравлика является одной из самых древних наук в мире. Археологические исследования показывают, что еще за 5000 лет до нашей эры в Китае, а затем в других странах древнего мира найдены описания устройства различных гидравлических сооружений, представленные в виде рисунков (первых чертежей). Естественно, что никаких расчетов этих сооружений не производилось, и все они были построены на основании практических навыков и правил. Первые указания о научном подходе к решению гидравлических задач относятся к 250 году до н.э., когда Архимедом был открыт закон о равновесии тела, погруженного в жидкость. Потом, на протяжении 1600 лет особых изменений гидравлика не получала. И только в XVI-XVII веках нашей эры, в эпоху Возрождения, появились работы Галилея, Леонардо да Винчи, Паскаля, Ньютона, которые заложили серьезное основание для дальнейшего совершенствования гидравлики, как науки. Однако только основополагающие работы академиков Петербургской академии наук Даниила Бернулли и Леонарда Эйлера живших в XVIII веке, создали прочный фундамент, на котором основывается современная гидравлика. В XIX-XX веках существенный вклад в гидродинамику внес "отец русской авиации" Николай Егорович Жуковский. Роль гидравлики в современном машиностроении трудно переоценить. Любой автомобиль, трактор, технологическая машина, летательный аппарат, морское судно не обходится без применения гидравлических систем. Добавим сюда строительство плотин, дамб, трубопроводов, каналов, водосливов. На производстве просто не обойтись без гидравлических прессов, способных развивать колоссальные усилия. Гидравлика преследует человека повсюду: на работе, дома, на даче, в транспорте. Сама природа подсказала человеку устройство гидравлических систем. Сердце ‒ насос, печень ‒ фильтр, почки ‒ предохранительные клапаны, кровеносные сосуды ‒ трубопроводы, общая длина которых в организме человека около 100 000 км. Наше сердце перекачивает за сутки 60 тонн крови (это целая железнодорожная цистерна!) [2]. Гидравлические и пневматические устройства и системы различного назначения – важный компонент современных строительно-дорожных, горных и других технологических машин, так как это одно из самых основных средств механизации технологических процессов и процессов управления различными объектами. В качестве исполнительных устройств такие приводы применяют в станках и автоматических линиях, системах управления автомобилем, самолетом и т.д. Задачами дисциплины являются: развитие у студентов способности самостоятельно решать в будущей инженерной деятельности многочисленные вопросы, непосредственно связанные с работой различных гидравлических устройств, ориентироваться в производственных условиях их работы и находить в зависимости от условий соответствующие технические решения; изучение методов проведения теоретических расчетов гидравлических систем с использованием современных прикладных методик и средств вычислительной техники. Изучение дисциплины основывается на знании высшей математики, физики, начертательной геометрии, теоретической и прикладной механики. Дисциплина «Гидравлика и гидропневмопривод» тесно связана со многими естественными, общепрофессиональными и специальными дисциплинами учебного плана. Знания, полученные при освоении курса используются студентами при изучении таких специальных дисциплин, как «Гидравлические и пневматические системы», «Подъемники», «Коммунальные машины», «Машины и оборудование для строительства и содержания дорог», «Эксплуатация подъемно-транспортных, строительных, дорожных машин и оборудования» и др. 1.2. Определение жидкости. Отличительное свойство жидкости – текучесть. Жидкости несжимаемые (капельные) и сжимаемые (газообразные). Макроскопическая однородность и изотропность жидкости. Физические модели жидкостей. Физические свойства жидкости. В гидравлике принято объединять жидкости, газы и пары под единым наименованием – жидкости. Жидкостью в гидравлике называют физическое тело способное изменять первоначальную форму при воздействии на нее сколь угодно малых сил. Отсутствие своей собственной формы и способность принимать форму сосуда, в который жидкость в большом количестве помещена, называются текучестью. Это одно из основных свойств жидкостей. Способность жидкостей сжиматься под действием определенного давления делит их на несжимаемые (капельные) и сжимаемые (газообразные). Капельная жидкость в малом объеме имеет форму капли, а в большом для нее характерно наличие поверхности раздела с газом – свободной поверхности. Текучесть капельной жидкости обусловлена тем, что жидкость способна оказывать достаточно сильное противодействие сжимающим усилиям (несжимаема) и практически не оказывает сопротивления растягивающим и касательным усилиям. Именно поэтому жидкость принимает форму сосуда, в котором заключена. Газообразные жидкости (газы), напротив, способны к весьма значительному уменьшению своего объема под действием давления и к неограниченному расширению при отсутствии давления. Несмотря на различия, законы движения капельных жидкостей и газов при определенных условиях можно считать одинаковыми, например, в случае, когда сжимаемостью газов можно пренебречь. В дальнейшем, под термином «жидкость», мы будем понимать капельную жидкость. В гидравлике рассматриваются макроскопические движения жидкостей, имеющих одинаковые физические свойства во всех направлениях (свойство изотропности), а также силовое взаимодействие с твердыми телами. При этом, как правило, размеры рассматриваемых объемов жидкостей, газов и твердых тел оказываются несопоставимо большими по сравнению с размерами молекул и межмолекулярными расстояниями. Указанные обстоятельства позволяют ввести гипотезу сплошности изучаемой среды и заменить реальные дискретные объекты упрощенными моделями, представляющими собой материальную среду, масса которой непрерывно распределена по объему. Такая идеализация упрощает реальную систему и позволяет использовать для ее описания хорошо разработанный аппарат математических исчислений и теорию непрерывных функций. К сожалению, идеализацию среды во многих случаях не удается ограничить только допущением ее сплошности. Сложность изучаемых явлений заставляет отказываться от учета и некоторых других свойств реальных сред. В зависимости от тех свойств, которые приписываются гипотетической сплошной среде, получают различные ее модели [3]. В гидравлике рассматриваются физические модели идеальных и реальных жидкостей. Идеальная жидкость – несжимающаяся, нерасширяющаяся, обладающая абсолютной подвижностью частиц, характеризуется отсутствием вязкости ‒ внутреннего трения между частицами, вследствие чего она не сопротивляется касательным силам сдвига и силам растяжения. Такой жидкости в природе не существует ‒ это научная абстракция, необходимая для упрощения анализа общих законов механики применительно к жидким телам. Если к участку жидкости, находящейся в равновесии, приложить внешнюю силу, то возникает поток частиц жидкости в том направлении, в котором эта сила приложена: жидкость течёт. Реальная, или действительная, жидкость не обладает в совершенстве свойствами идеальной жидкости, она в некоторой степени сопротивляется касательным и растягивающим усилиям, т.е. обладает вязкостью, а также может сжиматься (особенно это касается газообразных жидкостей). Для решения многих задач гидравлики этим отличием в свойствах идеальной и реальной жидкостей можно пренебречь. В связи с этим законы, выведенные для идеальной жидкости, могут быть применены к жидкостям реальным с соответствующими поправками, а иногда даже и без них [2]. К основным физическим свойствам жидкости относятся текучесть, цвет, плотность, удельный вес, удельный объем, вязкость, сжимаемость, тепловое расширение, растворение газов, кавитация. Плотностью жидкости ρ, кг/м3 (г/см3), называется физическая величина, равная отношению массы  жидкости m, кг (г) к ее объему V, м3 (см3): . (1.1) Плотность измеряется приборами ‒ ареометрами (рис. 1.1‒1.2).       Рис. 1.1. Ареометры Рис. 1.2. Ареометры, погруженные в жидкости Относительная плотность ρо является отношением плотности данной жидкости к плотности воды ρв при температуре около 4оС (277оК): . (1.2) Отношение веса жидкости G, H, к занимаемому ею объему V, м3 называют удельным весом γ, Н/м3: , (1.3) где g = 9,81 м/c2 ‒ ускорение свободного падения. Относительный удельный вес жидкости γо при определенной температуре этой жидкости можно найти из равенства: , (1.4) где γt – удельный вес жидкости, взятой при определенной температуре; γо – удельный вес воды при температуре 4оС. Из формул (1.2) и (1.4) видно, что относительная плотность и относительный удельный вес – величины безразмерные. Удельный объем (м3/кг) – величина, обратная плотности: . (1.5) Из формулы (1.5) можно записать, что vρ = 1. Все вышеперечисленные свойства жидкостей являются общими. Вязкость ‒ свойство жидкости оказывать касательное сопротивление перемещению (сдвигу) отдельных частиц или слоев при приложении внешних сил. Различают динамическую и кинематическую вязкость жидкости. Рассмотрим поток жидкости, условно состоящий из отдельных слоев (рис. 1.3) [5]. По оси абсцисс отложим скорость частиц жидкости в слое Vж, а по оси ординат – расстояние между слоями Y. Если ось ОVж находится на дне водоема, то скорость в точке О равна нулю. Слои жидкости движутся с различной скоростью, изменяющейся по параболической зависимости. Рис. 1.3. Течение вязкой жидкости вдоль твердой стенки При течении вязкой жидкости происходит проскальзывание между слоями, сопровождающееся возникновением касательных напряжений (напряжений трения). Удельная сила трения (касательное напряжение τ) – это сила внутреннего трения между слоями жидкости, приходящаяся на единицу поверхности. Согласно гипотезе, высказанной И. Ньютоном в 1686 году и экспериментально обоснованной Н.П. Петровым в 1883 году, удельная сила трения прямо пропорциональна поперечному градиенту скорости и зависит от рода жидкости, что выражается законом вязкого трения И. Ньютона: , (1.6) где µ – коэффициент пропорциональности, называемый динамическим коэффициентом вязкости; – поперечный градиент скорости, характеризующий изменение скорости, приходящееся на единицу расстояния между слоями в направлении, перпендикулярном вектору скорости и показывающий интенсивность сдвига слоев жидкости в данной точке. Из (1.6) можно записать: , (1.7) т. е.: динамическим коэффициентом вязкости (динамической вязкостью) жидкости μ называется величина, равная отношению касательного напряжения между слоями жидкости τ к градиенту скорости их сдвига. Динамическая вязкость ‒ это сила трения, приходящаяся на единицу площади соприкасающихся слоев жидкости при градиенте скорости, равном единице [1]. Единица динамической вязкости в системе СИ ‒ Па·с, а в системе СГС ‒ пуаз (П): 1 П = 0,1 Па·с. Сила трения между слоями жидкости Т определяется по формуле: , (1.8) где S – площадь соприкасающихся слоев. На практике наиболее часто пользуются не динамическим, а кинематическим коэффициентом вязкости (кинематической вязкостью). Кинематической вязкостью жидкости ν называется величина, равная отношению динамической вязкости μ к ее плотности ρ при той же температуре:  . (1.9) Единица кинематической вязкости в системе СИ ‒ м2/с, а в системе СГС ‒ стокс (Ст): 1 Ст = 1 см2/с = 10-4 м2/с. Значения вязкости определяют опытным путем при помощи вискозиметров. Кроме того, значения вязкости приводятся в таблицах при определенной температуре жидкости. Вязкость капельных жидкостей зависит от рода жидкостей, в большей степени – от температуры (при увеличении температуры вязкость уменьшается) и в меньшей – от давления (при относительно больших давлениях вязкость увеличивается с ростом давления). Степень постоянства вязкости жидкости при изменении температуры характеризует индекс вязкости (ИВ). Чем больше индекс вязкости – тем более стабильны вязкостные свойства жидкости во всем интервале температур. Обычно ИВ для индустриальных масел составляет 70–100, а для загущенных – 120–180. Практически ИВ определяют по номограммам. Сжимаемость ‒ свойство жидкости обратимым образом изменять объем при изменении давления и температуры. Количественно сжимаемость оценивается коэффициентом объемного сжатия βv. коэффициент объемного сжатия показывает относительное изменение объема жидкости, приходящееся на единицу изменения давления: , (1.10) где Vo – начальный объем жидкости (при начальном давлении Pо); ΔV = V–Vo – изменение объема жидкости при изменении давления на величину ΔР = Р–Рo. Следовательно, из (1.10): . (1.11) Знак «–» перед βv в (1.11) обусловлен тем, что увеличению давления соответствует уменьшение объема. Единица измерения коэффициента объемного сжатия βv в системе СИ – м2/Н, в системе СГС – см2/дин. Значения βv в системе СИ весьма малы. Так, например, для минеральных масел, применяемых в гидроприводах при t = 20оС βv = 60,4·10-11 м2/Н при Р = 7 МПа и βv = 44·10-11 м2/Н при Р = 70 МПа. В задачах практического плана изменением объема при изменении давления пренебрегают. Но данное свойство обязательно учитывается при расчетах, связанных с гидроударом и колебаниями жидкости [5]. Следующим параметром, характеризующим сжимаемость, является модуль объемного сжатия (упругости) Е – величина, обратная коэффициенту объемного сжатия жидкости: . (1.12) Единица модуля объемного сжатия в системе СИ ‒ Па, в CГС – дин/см2. Формулу (1.11) можно записать с учетом (1.12): . (1.13) Различают адиабатический и изотермический модули упругости (объемного сжатия) жидкости. Адиабатический модуль по величине больше изотермического и применяется при исследовании быстропротекающих процессов, когда отсутствует теплообмен из-за инерционности тепловых свойств жидкости. Изотермический модуль является статическим показателем и используется при исследовании как статических, так и динамических процессов низкой частоты, когда температура жидкости изменяется очень медленно. Модуль упругости минеральных масел, применяемых в гидроприводах составляет 1350–1750, а для воды ≈2000 МПа. Тепловое расширение жидкости при нагревании характеризуется температурным коэффициентом объемного расширения βt, град-1: , (1.14) где ΔV = ‒ изменение объема жидкости, вызванное изменением температуры на величину Δt =; Vo и to – начальные значения объема и температуры, соответственно. Из (1.14) легко определить ΔV: . (1.15) Знак «+» перед βt в (1.15) показывает, что увеличению температуры жидкости соответствует увеличение занимаемого ей объема. Пользуясь (1.14) можно определить объем Vt, который жидкость займет при нагревании ее до температуры t: . (1.16) Данным выражением следует пользоваться при расчете гидравлических емкостей. Для индустриальных масел и рабочих жидкостей, применяемых в гидросистемах βt ≈ 0,0006‒0,00085 град-1. В результате увеличения объема жидкости при нагревании, ее удельный вес γ уменьшается. Изменение удельного веса жидкости при нагревании от γo до γt определяется по формуле Д.И. Менделеева [1]: . (1.17) Коэффициенты температурного расширения для жидкостей значительно выше коэффициентов их объемного сжатия, но они также очень малы, поэтому на практике в большинстве случаев их не учитывают. Все жидкости обладают способностью растворять в себе газы, а при определенных условиях – выделять их в виде пузырьков. Согласно закону Генри, относительное количество газа, которое может раствориться в жидкости до ее насыщения прямо пропорционально давлению на поверхности раздела (свободной поверхности): , (1.18) где Vг – объем растворенного газа, приведенный к нормальным условиям Ро, То; Vж – объем жидкости; Р – давление; k – коэффициент растворимости. Коэффициент растворимости – безразмерная величина, при растворимости воздуха для воды его значение 0,016, для керосина – 0,127, для минеральных масел – 0,07–0,11. Следует отметить, что наличие любого газа в жидкости ухудшает, или полностью исключает нормальную работу гидропривода вследствие сжимаемости газа. Кавитацией называется выделение из жидкостей паров и газа (местное закипание жидкости), обусловленное местным падением давления в потоке, с последующей конденсацией паров в области более высокого давления. При кавитации нарушается неразрывность потока жидкости, происходят многочисленные местные гидравлические удары с повышением давления до 100 МПа и выше [5]. Кавитация – крайне вредное явление, которое ведет к разрушению элементов гидропривода. В гидравлических насосах разрушаются рабочие колеса, в распределительных устройствах разрушаются детали золотников и т. д. Требования к жидкостям для гидросистем Не существует универсальной рабочей жидкости, пригодной для всех гидросистем. Поэтому для подбора жидкости к конкретной гидросистеме формулируется ряд требований, которым должна отвечать жидкость. Основные группы требований приведены ниже. 1. Физическая стабильность жидкости – способность жидкости сохранять длительное время ее первоначальные физические свойства (вязкость, плотность, смазывающую способность) в условиях работы под давлением, перепада давлений. 2. Механическая стабильность – способность жидкости работать при значительной вибрации и колебаниях без расслоения на компоненты. 3. Химическая стабильность – устойчивость жидкости к окислению кислородом воздуха. При окислении из жидкости выпадает осадок в виде смолы и коксоподобных веществ, которые попадая в зазоры гидроагрегатов, парализуют их работу. Заращивание зазоров и щелей гидроагрегатов называется облитерацией. 4. Смазывающая способность – свойство жидкости, обеспечивающее уменьшение контактного трения. Улучшить смазывающую способность жидкости можно путем введения различных присадок. 5. Растворимость и выделение газов. Поскольку растворимость газов – одно из свойств жидкостей, то среди требований к жидкости присутствует минимальное растворение газов и плавное их выведение при повышении температуры. Последнее очень важно, т. к. при интенсивном удалении газов жидкости начинают вспениваться, что ведет к повышенному окислению. Одной из мер борьбы с вспениванием является введение в жидкости специальных противопенных присадок. 6. Кавитационная стабильность – устойчивость жидкости к кавитации. Достигается путем повышения давления в зонах разрыва сплошности потока жидкости. 7. Воспламеняемость – крайне важное требование в противопожарном плане, особенно в закрытых помещениях. Существует три показателя воспламеняемости – температура вспышки, температура воспламенения и температура самовоспламенения. Среди перечисленных наименьшей является температура вспышки, которая для минеральных масел составляет 85–115оС. При выборе жидкостей необходимо учитывать температурные свойства. Таким образом, идеальная рабочая жидкость должна иметь хорошие смазывающие свойства, высокий индекс вязкости, большой модуль упругости (объемного сжатия), невысокую плотность, высокую теплопроводность, высокую температуру кипения, низкое давление насыщенных паров, обладать физической, механической и химической стабильностью в течение длительного периода эксплуатации, сопротивляемостью вспениванию, малой способностью к растворению газов, малой гигроскопичностью и токсичностью. Кроме того, жидкость должна иметь совместимость со всеми материалами гидросистемы. Однако, подобрать рабочую жидкость, которая отвечала бы всем требованиям, как было сказано выше, невозможно, и выбор носит, как правило, компромиссный характер. 2. ГИДРОСТАТИКА Гидростатика – это раздел гидравлики, в котором изучаются законы равновесия жидкостей и их практическое приложение (взаимодействие жидкостей с ограничивающими поверхностями, равновесие жидкостей и твердых тел частично, или полностью погруженных в жидкости. Когда жидкость находится в состоянии покоя, она характеризуется свойствами очень близкими к свойствам идеальной жидкости. Поэтому все задачи гидростатики, решаемые с использованием понятия идеальной жидкости решаются с большой точностью. Основной задачей гидростатики является определение давления в любой точке в зависимости от ее координат: . (2.1) 2.1. Силы, действующие на жидкость. Давление в жидкости На все физические тела, в том числе и на жидкости, обладающие массой, действуют силы. Их можно разделить на внешние, действующие из внешнего пространства (силы тяжести, центробежные, магнитные, давление стенок сосудов) и внутренние, действующие между молекулами. Внутренние силы, действующие между молекулами, как правило, полностью уравновешены и поэтому не входят в расчетные формулы, которые мы будем рассматривать. В дальнейшем будут рассматриваться только с внешние силы, которые делят на массовые и поверхностные. Массовые силы действуют на все частицы данного тела и пропорциональны его массе. К ним относятся силы тяготения и силы инерции, действующие на жидкость при относительном ее покое. В случае однородной жидкости, т. е. жидкости, имеющей всюду одинаковую плотность, массовые силы будут пропорциональны также объему жидкости, поэтому при ρ=const, массовые силы можно называть объемными. Поверхностные силы действуют на поверхности тела и пропорциональны его площади. Они обусловлены воздействием соседних объемов жидкости на данный, и воздействием других твердых или газообразных тел, соприкасающихся с данной жидкостью. Например, давление атмосферы на свободную поверхность жидкости в открытом сосуде. Как массовые, так и поверхностные силы обычно рассматриваются в гидравлике в виде единичных сил. Массовые силы относят к единице массы, а поверхностные – к единице площади. Поскольку массовая сила по II закону И. Ньютона равна произведению массы на ускорение, то единичная массовая сила численно равна ускорению. Например, сила тяжести G = mg, а единичная сила тяжести mG: . (2.2) Одной из важнейших характеристик гидростатики является понятие гидростатического давления. Чтобы понять, что это такое – рассмотрим следующий рисунок (рис. 2.1). В сосуд произвольной эллипсоидной формы помещен некоторый объем покоящейся жидкости. Мысленно разделим этот сосуд на две части плоскостью ОО` и уберем I часть. Для сохранения равновесия II части, к ней необходимо приложить силу R, действующую на поверхность площадью S под некоторым углом к ней. Сила R может быть разложена на нормальную F и тангенциальную (силу трения) Т составляющие. Рис. 2.1. Схема к определению гидростатического давления Нормальная составляющая – сила F – называется силой давления. Отношение силы давления к площади обозначается Рср и называется в случае покоя жидкости средним гидростатическим, а в общем случае – средним гидромеханическим давлением, или, сокращенно, средним давлением: . (2.3) Давление Р в каждой точке определяется пределом: . (2.4) Касательные напряжения в жидкости, возникающие вследствие действия силы трения T, обозначаются τ и определяются по формулам: , (2.5) . (2.6) Если жидкость находится в состоянии покоя, то касательные напряжения отсутствуют и, имеет место только гидростатическое давление. 2.2. Свойства гидростатического давления 1. Гидростатическое давление всегда направлено по внутренней нормали к площадке, на которую оно действует. Это следует из определения гидростатического давления, как единичной поверхностной силы давления. 2. В любой точке жидкости гидростатическое давление по всем направлениям одинаково и не зависит от ориентации площадки, на которую действует: . (2.7) 3. Гидростатическое давление в каждой данной точке зависит от координат (положения) точки в объеме жидкости и плотности жидкости: . (2.8) 2.3. Дифференциальные уравнения равновесия жидкости (уравнения Эйлера) В 1755 году Леонардом Эйлером получены уравнения, представляющие собой общие условия равновесия жидкости в дифференциальной форме. Трактуются они так: частные производные от давления по координатам равны произведению плотности жидкости на проекции ускорения свободного падения на одноименные оси координат. Их система называется уравнениями Эйлера для условий равновесия жидкости: . (2.9) Иными словами, приращение гидростатического давления в направлении какой-либо координатной оси равно произведению плотности на проекцию ускорения свободного падения на ту же ось. Следовательно, приращение давления в покоящейся жидкости происходит за счет массовых сил. Умножим уравнения системы (2.9) соответственно на dx, dy, dz и сложим почленно. Получим: . (2.10) Левая часть (2.10) представляет собой полный дифференциал давления dP. В окончательном виде запишем: . (2.11) Уравнение (2.11) выражает функциональную зависимость давления от плотности жидкости и координат точек в пространстве и позволяет определить величину давления в любой точке жидкости, находящейся в равновесии. Это уравнение называется приведенным дифференциальным уравнением равновесия жидкости. 2.4. Уравнение поверхности равного давления Поверхностью равного давления называется поверхность, во всех точках которой давления равны, т. е. если Р = const, то dP = 0. Частным случаем такой поверхности является свободная поверхность – поверхность раздела жидкости и газообразной среды. Так как dP = 0, а плотность не может быть равна нулю, то дифференциальное уравнение поверхности равного давления, полученное из (2.11) примет вид: . (2.12) 2.5. Основное уравнение гидростатики Рассмотрим частный случай равновесия жидкости, когда она находится под воздействием только сил тяжести и в прямоугольной системе координат объем жидкости в виде параллелепипеда (рис. 2.2). Рис. 2.2. Схема к выводу основного уравнения гидростатики На свободную поверхность жидкости действует внешнее давление Ро. На расстоянии z от основания рассечем параллелепипед плоскостью, параллельной основанию. В центре сечения отметим точку А, а давление, которое действует в этой точке, обозначим Р. Жидкость в неподвижном сосуде находится в поле действия сил тяжести. Аналитически это можно представить следующим образом: , (2.13) где , , – проекции ускорения на оси координат; – ускорение свободного падения. Подставим значения проекций ускорений в дифференциальное уравнение равновесия жидкости (2.11). Получим: . (2.14) Проинтегрировав выражение (2.14), получим: , (2.15) где с – постоянная интегрирования. Постоянную интегрирования найдем из условия, записанного для свободной поверхности, т. е. при z = zo, P = Po: , (2.16) откуда: . (2.17) Подставив уравнение (2.17) в (2.15), получим следующее уравнение: , (2.18) которое после преобразования имеет вид: . (2.19) Величина Н называется гидростатическим напором; координата z – геометрическим напором (геометрической высотой); величина – пьезометрическим напором (пьезометрической высотой). Геометрическая высота z измеряется от любой удобной плоскости, именуемой плоскостью сравнения. На рис. 2.1 – это плоскость XOY. Как видно из уравнения (2.19), гидростатический напор – величина постоянная для всего объема жидкости, находящейся в состоянии покоя. Из рис. 2.2 видно, что . (2.20) Преобразуем уравнение (2.18) и подставим в него (2.20): , (2.21) . (2.22) Полученное уравнение (2.22) называется основным уравнением гидростатики и трактуется следующим образом: давление Р в произвольной точке покоящейся жидкости, расположенной на глубине h от свободной поверхности зависит от плотности жидкости ρ, глубины h и давления Ро, действующего на свободную поверхность жидкости. Составляющая Ро носит название внешнего давления, а , так как она обусловлена весом столба жидкости высотой h – весового давления. Таким образом, давление в произвольной точке жидкости представляет собой сумму внешнего и весового давления. Уравнение (2.22) показывает, что в точках жидкости, расположенных на одинаковой глубине h, гидростатическое давление одинаково. Ранее уже было дано определение, что поверхность, во всех точках которой давление одинаково называется поверхностью равного давления. Следовательно, для жидкости, находящейся в покое под действием только силы тяжести, любая горизонтальная плоскость, принадлежащая этой жидкости, является поверхностью равного давления [6]. 2.6. Абсолютное, избыточное, манометрическое и вакуумметрическое давление В открытых сосудах на свободную поверхность жидкости действует внешнее давление Ро, которое называется атмосферным и обозначается Рат (Рат = 98100 ≈ 105 Па = 100 кПа = 0,1 МПа = 1 кг/см2). В этом случае основное уравнение гидростатики примет вид: , (2.23) где Рабс – абсолютное давление в данной точке жидкости. Это же уравнение можно записать и в более общем виде, пригодном для случаев как открытых, так и закрытых сосудов: , (2.24) где – внешнее, а – избыточное давление. Избыточное давление может быть положительной и отрицательной величиной. Рассмотрим два случая. 1. Рабс > Рат. Разность между абсолютным давлением и атмосферным является положительным избыточным и называется манометрическим давлением Рм: . (2.25) Давление Рм может изменяться от нуля до бесконечности. 2. Рабс < Рат. Разность между абсолютным давлением и атмосферным, когда первое меньше атмосферного, является отрицательным избыточным давлением, называемым вакуумметрическим давлением Рв, или давлением разряжения: . (2.26) Вакууметрическое давление показывает недостаток давления в данной точке до атмосферного и может изменяться от нуля до Рат. В основной массе гидравлических задач определяется не абсолютное, а избыточное гидростатическое давление, отсчитываемое от условного нуля, за который принимается атмосферное давление на поверхности Земли. Для этих условий основное уравнение гидростатики будет выглядеть аналогично (2.22), где под Р будет пониматься избыточное давление. 2.7. Эпюры давления, пьезометрическая плоскость Эпюры давления – это графическое изображение распределения давления вдоль какого-либо контура или поверхности. Из уравнения (2.22) видно, что давление Р изменяется линейно по глубине h. Следовательно, вычислив по уравнению (2.22) давление для двух произвольных точек, находящихся в жидкости на разных глубинах от свободной поверхности, можно построить эпюру распределения гидростатического давления по глубине. На рис. 2.3 представлен случай, когда необходимо построить эпюру распределения давления на левую стенку сосуда. Сосуд содержит жидкость, находящуюся под воздействием внешнего давления Po, в результате чего часть жидкости вытесняется вверх по стеклянной трубочке, герметично вставленной в крышку сосуда, образуя столб жидкости высотой , который сообщается с атмосферой. Поверхность жидкости, на которой избыточное давление равно нулю называется пьезометрической плоскостью. Трубочка, герметично вставленная в сосуд и показывающая высоту столба жидкости называется пьезометром, показывающим пьезометрическую высоту. Рис. 2.3. Построение эпюры давления на вертикальную стенку сосуда В качестве плоскости сравнения, как отмечалось ранее, может быть выбрана любая удобная для этого плоскость. На рис. 2.3 для усложнения ситуации она специально вынесена за пределы сосуда, хотя могла бы быть совмещена с ним, будучи проведенной, например, по дну сосуда. Эпюра давления на дно сосуда будет представлять собой прямоугольник, так как дно, будучи поверхностью равного давления, испытывает на себя давление жидкости, одинаковое во всех точках. Эпюры давления строятся в масштабах по длине и по давлению. Масштаб по длине совпадает с масштабом чертежа, а масштаб по давлению выбирается произвольно, например в 1 см 100 кПа, или др. Направление действия стрелок эпюры и ее ориентация обосновываются видом давления. Если давление манометрическое, то жидкость воздействует на внутреннюю сторону стенок сосуда, стараясь раздвинуть их. Соответственно, стрелки эпюры направлены от середины сосуда к внутренней его стенке, а сама эпюра располагается внутри сосуда. Если давление вакуумметрическое, то жидкость, воздействуя на стенки сосуда, старается «втянуть» стенки внутрь. Соответственно, стрелки эпюры направлены извне к наружной стенке сосуда, а сама эпюра располагается вне сосуда. Если же внешнее давление вакуумметрическое, а весовое давление превышает его, делая суммарное избыточное давление на стенку сосуда в какой-либо точке положительным, то пьезометрическая плоскость располагается не сверху, как на рис. 2.3, а на каком-то расстоянии от свободной поверхности жидкости вниз. И в этом случае, как правило, решается задача нахождения места пьезометрической плоскости. Эпюра давления представляет собой в данном случае «бантик», верхняя часть которого расположена вне, а нижняя – внутри сосуда. 2.8. Приборы для измерения давления и примеры его определения Давление измеряют пьезометрами, жидкостными и механическими манометрами. Жидкостные манометры применяют при измерении относительно небольших давлений – до 300 кПа. В качестве рабочей жидкости для манометрических трубок жидкостных манометров применяют ртуть, а для измерения маленьких давлений – спирт, воду. Рассмотрим несколько случаев определения давления с помощью жидкостных манометров. 1. В замкнутом сосуде находится воздух (рис. 2.4). К сосуду подключен жидкостный манометр. Определим давления в ряде точек. Рис. 2.4. Пример 1 определения давления в ряде точек с помощью жидкостного манометра Поскольку точка В лежит на свободной поверхности жидкости, сообщающейся с атмосферой, то абсолютное давление в этой точке: РВ = Рат = 105 Па. При этом избыточное давление в этой точке равно нулю. Точки С и D лежат в одной горизонтальной плоскости равного давления, следовательно избыточное давление в них одинаково: , (2.27) где ρ – плотность жидкости в жидкостном манометре. Плотности некоторых жидкостей, принимаемых в расчетах без поправок на температуру, считая условия их применения нормальными: для воды ρв = 1000 кг/м3, для спирта ρс = 789 кг/м3, для ртути ρрт = 13600 кг/м3. Давление в точке Е равно давлению в точке С, поскольку в сосуде и части трубки содержится не жидкость, а воздух: . 2. В замкнутом сосуде находится жидкость плотностью ρж. К сосуду подключен жидкостный манометр, заполненный ртутью (рис. 2.5). Определим давления в ряде точек. Рис. 2.5. Пример 2 определения давления в ряде точек с помощью жидкостного манометра Поскольку точка В лежит на свободной поверхности жидкости, сообщающейся с атмосферой, то абсолютное давление в этой точке: РВ = Рат = 105 Па. При этом избыточное давление в этой точке равно нулю. Точки С и D лежат в одной горизонтальной плоскости равного давления, следовательно избыточное давление в них одинаково: . (2.28) Избыточное давление в точке Е: , (2.29) или, подставляя (2.28) в (2.29): . (2.30) 3. В замкнутом сосуде находится воздух. К сосуду подключен жидкостный манометр, заполненный ртутью (рис. 2.6). Определим давления в ряде точек. Поскольку высота ртути в левом плече U-образной трубки выше, чем в правом, то можно сразу сказать, что воздух в сосуде находится под воздействием отрицательного (вакуумметрического) давления, а манометр показывает вакуум. Абсолютные давления в точках С и D одинаковы, и равны атмосферному по свойству поверхностей равного давления: РС = РD. Избыточное давление в этих точках равно нулю. Рис. 2.5. Пример 3 определения давления в ряде точек с помощью жидкостного манометра Избыточное давление в точке F, как, собственно, и в точке E, ниже давления в точке С: . (2.31) 4. В замкнутых сосудах находится воздух под разными давлениями. К сосудам подключен дифференциальный жидкостный манометр, заполненный ртутью (рис. 2.6). Определим разницу давлений в точках E и F. Рис. 2.6. Пример 4 определения давления в ряде точек с помощью жидкостного манометра Анализ рис. 2.6 показывает, что сообщение с атмосферой во всех точках отсутствует. Давление в точке С равно давлению в точке D по свойству поверхностей равного давления. Давление в точке Е равно давлению в точке С, а давление в точке В равно давлению в точке F, так как в сосудах и примыкающих к ним участках трубок жидкостного манометра находится воздух. Давление в точке Е больше, чем в точке F. Разница этих давлений: . (2.32) Механические манометры бывают пружинного, мембранного и поршневого типов. Они используются для измерения достаточно больших избыточных давлений. Пружинный манометр представлен на рис. 2.7 Рис. 2.7. Устройство механического пружинного манометра Основная деталь пружинного манометра – полая латунная трубка, согнутая по кругу. Сечение трубки имеет форму эллипса. Закрытый конец трубки соединен со стрелкой. Трубка распрямляясь, через зубчато-рычажный механизм поворачивает стрелку на тем больший угол, чем больше давление. Такие манометры рассчитаны на большие давления (до 1 000 МПа). Мембранные манометры в качестве основной детали имеют мембрану волнообразного сечения. Подведенное к ней давление через зубчато-рычажный механизм передается стрелке, которая поворачивается на тем больший угол, чем больше деформация мембраны и, соответственно, давление. Такие манометры работают в диапазоне от 20 кПА до 3 МПа. Конструкция поршневого манометра представлена на рис. 2.8. Рис. 2.8. Конструкция поршневого манометра: 1 – пружина жесткостью k; 2 – поршень площадью S; 3 – прозрачная шкала с делениями Действие поршневого манометра основано на уравновешивании давления жесткостью пружины и может быть описано уравнением: . (2.33) Диапазон измерения давления давлений для поршневого манометра составляет от 40 кПа до 250 МПа. Особенностью использования всех механических манометров является то, что манометр всегда показывает давление не в точке подключения его к сосуду, а на уровне оси стрелки. Проиллюстрируем это на примере. К сосуду с жидкостью плотностью ρ, находящей под воздействием внешнего атмосферного давления в разных точках подключены три манометра – М1, М2 и М3 на разных высотах h1, h2 и h3 соответственно (рис. 2.9). Требуется определить их показания. Рис. 2.9. Схема к определению давления механическими манометрами в зависимости от точки подключения к сосуду , (2.34) , (2.35) . (2.36) Таким образом, в случае разных высот оси стрелки и точки подключения манометра, необходимо вносить соответствующую поправку в расчеты и показания прибора. 2.9. Закон Паскаля Закон Паскаля гласит «Внешнее давление, приложенное к поверхности жидкости, находящейся в состоянии равновесия внутри закрытого сосуда, передается жидкостью во все ее точки без изменений во всех направлениях». Пусть в сосуде (рис. 2.10) имеется поршень площадью S, на который воздействуют силой F. Поршень передает на жидкость внешнее давление, равное РF. Рис. 2.10. Схема к выводу закона Паскаля [5] Внешнее давление РF может быть легко найдено: . (2.37) Давления в точках А, В и С в соответствии с основным уравнением гидростатики запишутся следующим образом: , (2.38) , (2.39) . (2.40) Из уравнений (2.38–2.40) видно, что давление в различных точках имеет различное значение, но составляющая от внешнего давления во всех точках одинакова. Следовательно, закон Паскаля доказан. Закон Паскаля имеет широчайшее применение в технике, лежит в основе всех гидравлических машин, действие которых основано на передаче давления внутри жидкости. Это и гидравлические пресса, тормоза, подъемники и т. д. Рассмотрим простейший гидравлический пресс, состоящий из двух цилиндров, соединенных между собой гидролинией (рис. 2.11). Рис. 2.11. Схема простейшего гидравлического пресса В цилиндре меньшего диаметра 1 установлен поршень с меньшей площадью днища S1, соответственно, в цилиндре большего диаметра 2 установлен поршень с большей площадью днища S2. Если к поршню 1 приложить силу F1, то в жидкости под поршнем создастся давление: . (2.41) Без учета весового давления, которое будет оказывать столб гидравлической жидкости ввиду его ничтожно малого значения из-за малых габаритных размеров подобных устройств, это же давление Р1 будет передано и в цилиндр 2, воздействуя на поршень. В результате поршень разовьет сосредоточенную силу F2: . (2.42) Следовательно, сила F2 во столько раз больше силы F1, во сколько раз площадь поршня S2 больше площади поршня S1. С другой стороны, поршень в цилиндре 1 при движении вниз вытесняет объем жидкости V1, обусловленный площадью и ходом поршня L1: . (2.43) Без учета потерь на утечки ввиду их незначительного количества, можно считать, что этот же объем жидкости придет и в цилиндр 2, при этом поршень поднимется на величину L2, следовательно: . (2.44) Поскольку одинаковы левые части выражений (2.43) и (2.44), равны и их правые части. Тогда можно записать: . (2.45) Отсюда можно сделать вывод, что поршень в цилиндре 2 совершит во столько раз меньший ход, чем поршень в цилиндре 1, во сколько раз площадь поршня в цилиндре 2 больше площади поршня в цилиндре 1. Здесь, как нельзя лучше проявляется правило «рычага»: выигрывая в силе, мы проигрываем в расстоянии. Поэтому данную простейшую конструкцию гидравлического пресса называют «Архимедов рычаг». 2.10. Гидростатический парадокс Паскаля В 1648 году Паскаль поразил всех своих современников следующим опытом. В прочную наполненную водой деревянную бочку он вставил очень узкую трубочку и, поднявшись на балкон второго этажа, с высоты h = 4,0 метра вылил в эту трубочку кружку воды емкостью V = 250 мл. Давление внутри бочки настолько выросло, что клепки разошлись, и вода из бочки стала выливаться (рис. 2.12). Вес налитой в бочку жидкости составил ΔG = mg = Vρg = 0,00025·1000·10 = 2,5 Н. Согласно основному уравнению гидростатики, давление в бочке увеличилось на величину ΔР = ρgh = 1000·10·4 = 40 000 Па. Такого увеличения давления оказалось достаточно, чтобы бочка не выдержала. В чем причина этого явления? Гидростатический парадокс – явление, при котором сосредоточенная сила от весового давления налитой в сосуд жидкости на дно сосуда может отличаться от веса налитой жидкости. Представим себе, что бочка, которую использовал в опыте Паскаль, имела диаметр основания d = 0,8 м. Тогда, если давление в бочке увеличилось на ΔР = 40 000 Па, должна была возрасти и сосредоточенная сила от давления на дно бочки ΔF, которая определяется приращением давления ΔР и площадью поверхности дна бочки: ΔF = ΔPπd2/4 = 40 000·3,14·0,82/4 = 20 096 Н. Вот такое приращение силы от давления дает кружка воды весом 2,5 Н, вылитая на высоте 4,0 метров. Весьма интересно проявление гидростатического парадокса и в различных формах сосудов. При одинаковых объемах, в сосудах с увеличивающимся кверху поперечным сечением (рис. 2.13 а), сила от давления на дно сосуда меньше веса жидкости G. В сосудах с уменьшающимся кверху поперечным сечением (рис. 2.13 б), сила от давления жидкости на дно сосуда больше веса жидкости. Сила от давления (в дальнейшем – сила давления) жидкости на дно сосуда равна весу жидкости лишь для сосуда правильной цилиндрической формы. Причина такого проявления гидростатического парадокса заключается в том, что жидкость давит не только на дно с силой FД, но и на стенки сосуда. Сосредоточенная сила давления жидкости на наклонные стенки сосуда F имеет не только горизонтальную Fx но и вертикальную составляющую Fz. В расширяющемся кверху сосуде она направлена вниз, а в сужающемся – вверх (рис. 2.13). а б Рис. 2.13. Проявление гидростатического парадокса для сосудов различной формы: а – сосуд с расширяющимся кверху поперечным сечением; б – сосуд с сужающимся кверху поперечным сечением Вес жидкости в сосуде равен сумме вертикальных составляющих давления жидкости по всей внутренней поверхности сосуда. Так, для случая, изображенного на рис. 2.13 а: , (2.46) . (2.47) Для случая, изображенного на рис. 2.13 б: , (2.48) . (2.49) Таким образом, закон Паскаля в проявлении гидростатического парадокса также присутствует. 2.11. Сила гидростатического давления жидкости на плоские наклонные поверхности Задачей практических расчетов часто бывает определение направления и численного значения сосредоточенной равнодействующей силы (силы давления), с которой жидкость давит на стенки и дно сосуда, а также точку приложения этой силы. Рассмотрим сосуд с участком плоской боковой стенки, наклоненным под некоторым углом α к горизонту, и на этом участке выделим произвольный участок площадью S. Жидкость в сосуде содержится под внешним избыточным давлением Ро (рис. 2.14). Рис. 2.14. К определению равнодействующей силы F избыточного гидростатического давления на плоскую наклонную стенку Линия действия силы равнодействующей силы гидростатического давления на наклонную стенку будет перпендикулярна к поверхности стенки. Величину этой силы аналитически определяют по одной из трех приведенных ниже формул [6]: , (2.50) где РС – избыточное гидростатическое давление в центре тяжести площади S; S – площадь плоской поверхности, смачиваемая жидкостью. Но значение избыточного гидростатического давления в центре тяжести площади S можно получить из основного уравнения гидростатики: , (2.51) где – глубина расположения центра тяжести С площади S под уровнем свободной поверхности жидкости. Подставив (2.51) в (2.50) получим вторую формулу: . (2.52) Наконец, выразив внешнее давление Ро через пьезометрическую высоту (в случае внешнего давления – высоту расположения пьезометрической плоскости над свободной поверхностью жидкости) ho получим третью формулу для определения силы F гидростатического давления: , (2.53) где hC – расстояние по вертикали от центра тяжести С площади S до пьезометрической плоскости. Эпюра давления на рассматриваемую площадь S представляет собой трапецию. Центр тяжести эпюры Ц является точкой приложения силы давления F на площадь S и называется центром давления. Координату yD центра давления, т. е. расстояние, измеряемое вдоль наклонной стенки сосуда от оси ОХ до точки D, вычисляют по формуле: , (2.54) где уС – расстояние, измеряемое вдоль наклонной стенки сосуда от оси ОХ до точки С – центра тяжести площади S; IC – центральный момент инерции площади S, т. е. момент инерции относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести С площади S; yCS – статический момент площади S относительно оси ОХ. В табл. 2.1 представлены данные по расчетам центров тяжести, центральных моментов инерции и площадей некоторых фигур, наиболее часто встречающихся в гидравлических задачах. Таблица 2.1 Расчетные зависимости для некоторых фигур, образующих наклонные стенки гидравлических сосудов [8] Фигура Площадь фигуры S, м2 Центральный момент инерции площади S, м4 Расстояние до центра тяжести фигуры l, м При РС > 0, центр давления D лежит ниже центра тяжести С площади S (рис. 2.14). Если РС < 0, то центр давления D располагается выше центра тяжести С (рис. 2.15), а сила F действует в противоположном, по сравнению с показанным на рис. 2.14, направлении. Рис. 2.15. Построение эпюры давления и нахождение параметров силы давления на плоскую наклонную стенку сосуда в случае, когда внешнее давление отрицательное Следует отметить, что когда внешнее давление равно атмосферному, свободная поверхность совпадает с пьезометрической плоскостью, а при оценке избыточного давления в формулах (2.51) и (2.52) внешнее избыточное давление Ро принимается равным нулю. Если плоская стенка, на которую оказывает давление жидкость прямоугольная, то силу давления на нее жидкости можно определить и графоаналитическим методом, основанным на использовании эпюры гидростатического давления. На рис. 2.16 показан пример определения силы давления F на плоский щит, закрывающий прямоугольный проем высотой a и шириной b. Жидкость находится в сосуде под атмосферным давлением, следовательно, пьезометрическая плоскость и свободная поверхность жидкости находятся на одном уровне. Избыточное внешнее давление равно нулю. Эпюра гидростатического давления на щит представляет собой трапецию высотой a с отложенными в масштабе основаниями РА = ρghА и РВ = ρghВ [6]. Рис. 2.16. Графоаналитический метод определения величины силы давления на плоскую наклонную стенку и точки ее приложения Площадь эпюры давления Ω, Н/м: (2.55) численно равна силе избыточного давления жидкости на единицу ширины щита. Следовательно, на весь щит действует сила . (2.56) Справедливость полученной формулы доказывается тем, что в ней , (2.57) . (2.58) После подстановки (2.57) и (2.58) в (2.56), мы получаем формулу (2.53). Линия действия силы F проходит через центр тяжести Ц площади эпюры Ω. Центр тяжести Ц площади эпюры зависит от формы эпюры. Если это треугольник, то центр его тяжести – точка пересечения медиан, Если это трапеция – то центр ее тяжести лежит на пересечении линии, соединяющей середины оснований трапеции и линии, соединяющей концы достроенных в разные стороны малого и большого основания к большому и малому основанию, соответственно (рис. 2.16). Точка пересечения линии действия силы F со щитом является центром давления D. Координату yD центра давления при графоаналитическом методе решения задачи определяют по чертежу, измеряя отрезок OD и умножая его длину на масштаб. 2.12. Сила гидростатического давления на криволинейные симметричные поверхности постоянной кривизны В инженерной практике расчетов сил давления на криволинейные поверхности случаи поверхностей постоянного радиуса кривизны с вертикальной плоскостью симметрии наиболее часты. Это и крышки и всевозможные щиты и мембраны. Расчет силы гидростатического давления в этих случаях сводится к определению равнодействующих горизонтальной и вертикальной составляющих силы гидростатического давления, лежащих в плоскости симметрии [7]. Рассмотрим герметично закрытый резервуар, частично заполненный жидкостью и находящийся под внешним избыточным манометрическим давлением Ро > 0 (рис. 2.17). Снаружи резервуара действует атмосферное давление. Изучим определение равнодействующей силы F избыточного гидростатического давления на цилиндрическую поверхность АВ, представляющую собой четверть боковой поверхности цилиндра радиусом r с горизонтальными образующими b [6]. Рис. 2.17. Схема к определению силы гидростатического давления на поверхность постоянного радиуса кривизны Для случая, изображенного на рис. 2.17, линия действия силы F составляет угол φ с горизонтом и совпадает с направлением радиус-вектора r цилиндрической поверхности, проходящего через центр кривизны. Такая же ситуация и в случае сферической поверхности, т. к. гидростатическое давление в различных точках цилиндрической поверхности направлено по радиусу r кривизны в соответствии с первым свойством гидростатического давления [6]. Сила F избыточного гидростатического давления находится как геометрическая сумма двух составляющих в горизонтальной (Fx) и в вертикальной (Fz) плоскостях: . (2.59) Горизонтальная составляющая Fx представляет собой силу избыточного гидростатического давления на вертикальную проекцию криволинейной поверхности. В рассматриваемом случае – это прямоугольник со сторонами r (высота) и b (ширина, равная длине образующей) и площадью (рис. 2.17). Величину горизонтальной составляющей вычисляют по формуле: , (2.60) где hCв – расстояние от пьезометрической плоскости до центра тяжести Св площади Sв (рис. 2.17). Естественно, что если внешнее давление на жидкость равно атмосферному, пьезометрическая плоскость и свободная поверхность жидкости совпадают, и hCв в этом случае принимается от центра тяжести Св площади Sв до свободной поверхности жидкости. Формула (2.60) аналогична формуле (2.53), следовательно, сила Fx численно равна силе избыточного гидростатического давления на воображаемую плоскую вертикальную стенку, площадь которой равна Sв [6]. Если форма площади – прямоугольник, то силу Fx можно определить и графоаналитическим методом через площадь Ω эпюры избыточного гидростатического давления, построенной для вертикальной проекции криволинейной поверхности. Линия действия силы Fx проходит через центр тяжести Цx площади Ω эпюры и центр давления Dв вертикально проекции Sв. О нахождении центра тяжести площади эпюры говорилось предыдущем параграфе. Вертикальная составляющая Fz силы избыточного гидростатического давления равна весу жидкости в объеме тела давления W: . (2.61) Объем тела давления W – это объем, заключенный между криволинейной поверхностью и ее проекцией на пьезометрическую плоскость. В рассматриваемом случае (рис. 2.17) объем тела давления складывается из объемов двух фигур: четверти объема цилиндра с основанием АОВ и образующей b: (2.62) и объема прямоугольного параллелепипеда Wп с основанием АОЕК и высотой равной b. В свою очередь, основание параллелепипеда определяется высотой hA и радиусом r (рис. 2.17), поэтому: . (2.63) И тогда: . (2.64) Линия действия вертикальной составляющей Fz силы избыточного гидростатического давления проходит через центр тяжести Цz объема тела давления и направлена, в рассматриваемом случае, к внутренней, смачиваемой жидкостью стороне криволинейной стенки (рис. 2.17). Если тело давления примыкает к внешней (сухой) стороне криволинейной стенки, то сила Fz направлена вверх (рис. 2.18). а б Рис. 2.18. Схемы к понятию объема тела давления: а – при отрицательном внешнем (вакууметрическом) давлении; б – при атмосферном давлении (когда избыточное давление Ро = 0) Объем тела давления на рис. 2.18 как в случае а, так и в случае б образован основанием фигуры АВЕК и шириной сосуда (ввиду двухмерности изображения на рисунке не показана). Как видно, тело давление здесь присутствует фиктивно и не связано с жидкостью. Объем тела давления, показанный на рис. 2.17, называют реальным (положительным, нагружающим), а на рис. 2.18 – фиктивным (отрицательным, разгружающим). Более сложным представляется случай, когда присутствует и реальное и фиктивное тело давления. Рассмотрим такой случай. Жидкость под избыточным внешним манометрическим давлением помещена в сосуд, имеющий полуцилиндрическую поверхность (рис. 2.19). Рис. 2.19. Случай реального и фиктивного тела давления Объем тела давления для поверхности ВL будет равен площади основания BLKE умноженной на ширину b (длину образующей). Тело давления является реальным, вертикальная составляющая Fz силы гидростатического давления направлена вниз. Для поверхности АВ объем тела давления будет равен площади основания ABEK умноженной на ширину b (длину образующей). Тело давления является фиктивным, вертикальная составляющая Fz силы гидростатического давления направлена вверх. Следовательно, суммарный объем тела давления будет равен разности первого и второго рассмотренных объемов, которая равна объему полуцилиндра, образованного площадью поверхности АBL умноженной на ширину b (длину образующей). Примерно такая же ситуация и в случае, если вместо полуцилиндрической поверхности сосуд имеет полусферическую. Разница лишь в том, что проекция полусферы на вертикальную плоскость – не прямоугольник, а круг. Поскольку в этом примере расстояние до пьезометрической плоскости не имеет никакого отношения к расчету объема суммарного тела давления, то последний никак не зависит от внешнего давления. Линия действия равнодействующей силы F гидростатического давления проходит через точку пересечения линий действия ее составляющих Fx и Fz (рис. 2.17–2.19). Угол φ наклона равнодействующей силы F к горизонту, определяющий линию ее действия, вычисляют из формулы: . (2.65) Когда начало координат 0 совмещено с центром кривизны криволинейной поверхности, координаты центра давления D (рис. 2.17) вычисляют по формулам: , (2.66) . (2.67) 2.13. Закон Архимеда Пусть в покоящуюся жидкость погружено тело произвольной формы объемом W (рис. 2.20). Горизонтальной плоскостью разделим тело на две части: верхнюю с криволинейной поверхностью АСВ и нижнюю с поверхностью АС`B [5]. Определим вертикальные составляющие силы гидростатического давления жидкости, действующие на поверхность тела. Рис. 2.20. Схема к выводу закона Архимеда На поверхность тела АСВ действует сила Fz: , (2.68) где Sг – площадь горизонтальной проекции поверхности АСВC’; WACBDE – объем жидкости над телом. На поверхность AC’B действует сила : , (2.69) где – объем жидкости над телом и тела, причем: , (2.70) где = W – объем тела, погруженного жидкость. Таким образом, тело находится под действием вертикальных сил, результирующая которых будет равна Fa: . (2.71) Сила Fa называется архимедовой силой, или силой поддержания. Выше нами получено математическое выражение закона Архимеда, который гласит: «Тело, погруженное в жидкость, теряет в своем весе столько, сколько весит вытесненная им жидкость». Все тела, погруженные в жидкость находятся под действием двух сил: силы тяжести G и архимедовой силы Fa. Тело тонет, если сила тяжести больше архимедовой силы, т. е. при G > Fa. Тело, будучи полностью погруженным в жидкость, находится в состоянии равновесия (плавает) при G = Fa. Тело всплывает, если G < Fa. 3. ГИДРОДИНАМИКА Гидродинамика – раздел гидравлики (механики жидкостей), в котором изучаются законы движения жидкостей и их применение на практике. В гидродинамике широко используется термин «идеальная жидкость», законы движения которой применяются и к реальным жидкостям с учетом влияния вязкости. Основной задачей гидродинамики является определение скорости жидкости и давления в конкретной точке в зависимости от координат и времени. 3.1. Основные понятия и определения гидродинамики Движение жидкости характеризуется скоростью движения частиц и давлением. Различают два вида движения: установившееся и неустановившееся. При установившемся скорость U и давление P в данной точке не меняются с течением времени, а зависят только от положения рассматриваемой точки, являясь функцией координат: . (3.1) При неустановившемся движении скорость и давление зависят еще и от времени t: . (3.2) Установившееся движение, в зависимости от скорости, подразделяется на равномерное и неравномерное. Линией тока называется линия, проведенная в данный момент времени к движущейся жидкости так, что в любой ее точке вектор скорости частиц совпадает с касательной [7] (рис. 3.1). По сути своей линя тока – элементарная струйка, площадь поперечного сечения которой бесконечно мала. Рис. 3.1. К понятию линии тока Поток состоит из пучка элементарных струек (рис. 3.2). Рис. 3.2. Пучек струек потока: 1 – линия тока (струйка); 2 – живое сечение Площадь живого сечения потока – это площадь поперечного сечения потока, перпендикулярная линиям тока (рис. 3.2). Свободная поверхность, как и в гидростатике – это граница раздела между жидкостью и газом. Потоки, имеющие свободную поверхность называются безнапорными, и наоборот (рис. 3.3). а б Рис. 3.3. Поток: а – безнапорный; б – напорный Например, движение воды в системе водоснабжения – напорный поток, движение вод в канализационной безнасосной системе – безнапорный поток. Движение жидкости в открытых каналах – безнапорный поток. Поток жидкости или газа, ограниченный газообразной или жидкой средой, называется гидравлической струей. Гидравлические струи формируются с помощью специальных устройств – сопла, насадки. Установившееся струйное движение потока, при котором угол расхождения между линиями тока – бесконечно малая, а радиус их кривизны – бесконечно большая величины, называется медленно изменяющимся движением. Местной скоростью U называется скорость частиц в данной точке потока. Скорость, определенная в некоторый момент времени, называется мгновенной, а среднее значение из достаточно большого числа измерений – осредненной по времени. При движении жидкости вследствие шероховатости стенок и прилипания частиц к твердой поверхности (гипотеза прилипания) происходит торможение движения жидкости. Поэтому у стенок скорость меньше, чем в отдалении от них. Происходит распределение скоростей с образованием некоторого профиля в данном живом сечении К-К [7] (рис. 3.4). Рис. 3.4. Распределение скоростей движения жидкости по живому сечению трубопровода Объемным расходом потока Q называют объем жидкости V, протекающий через живое сечение S в единицу времени t: . (3.3) Единица измерения расхода в системе СИ – м3/с. Также, в других системах измерений используются единицы л/с, л/ч, м3/ч, л/сут. Средняя скорость потока v (м/с) – это частное от деления расхода потока Q на площадь живого сечения S: . (3.4) Следовательно, вторая формула для определения расхода: . (3.5) Средние скорости потоков в сетях бытового водопровода и канализации обычно порядка 1 м/с. Следующие два термина относятся к безнапорным потокам. Смоченный периметр χ – этот часть периметра живого сечения потока, где жидкость соприкасается с твердыми стенками. Например, на рис. 3.3 а смоченный периметр – это длина дуги окружности, которая образует нижнюю часть живого сечения потока и соприкасается со стенками трубы. Гидравлический радиус R – это отношение площади живого сечения S к смоченному периметру χ: . (3.6) 3.2. Уравнение неразрывности потока Уравнение неразрывности потока отражает закон сохранения массы: количество втекающей жидкости в трубу равно количеству вытекающей жидкости из трубы. Например, на рис. 3.5 расходы во входном Q1 и выходном Q2 сечении трубы равны: . (3.7) Рис. 3.5. Схема к выводу уравнения неразрывности потока С учетом (3.7) и (3.5) можно записать: . (3.8) Данное уравнение называется уравнением неразрывности потока. Отсюда можно выразить средняя скорость потока для выходного сечения: . (3.9) Не трудно заметить, что она увеличивается обратно пропорционально площади живого сечения потока. Данная обратная зависимость является важным следствием уравнения неразрывности потока и широко применяется в технике, например при тушении пожаров, для получения сильной и дальнобойной струи. Рассмотрим пример. Как изменится скорость потока, если диаметр напорной трубы d уменьшится в 2 раза? Площадь живого сечения трубы . (3.10) Тогда отношение площадей S1 и S2 в формуле (3.9) будет равно: . (3.11) Следовательно, при уменьшении диаметра трубы в 2 раза, скорость потока возрастает в 4 раза. Аналогично, если диаметр трубы уменьшится в 3 раза, скорость потока возрастет в 9 раз. 3.3. Понятие гидродинамического напора Ранее уже говорилось о том, что Л. Эйлером в 1755 г. получены дифференциальные уравнения для условий равновесия жидкости (2.9). Получены им и дифференциальные уравнения для условий движущейся вязкой жидкости: , (3.12) где Ux, Uy, Uz – проекции скоростей жидкости на координатные оси; , , – проекции ускорений жидкости на координатные оси. В системе уравнений (3.12) 4 неизвестных: Ux, Uy, Uz, P. Четвертым уравнением, необходимым для решения системы (2.9) является дифференциальное уравнение неразрывности капельной жидкости: . (3.13) Интегрируя уравнения системы (3.12) для установившегося движения, т. е., когда проекции ускорении на координатные оси равны нулю = , (3.14) получим уравнение, определяющее гидродинамический напор H: , (3.15) где с геометрической точки зрения, z – геометрический напор (высота); Р – избыточное давление в точке; – пьезометрический напор (высота); U – скорость течения элементарной струйки в центе сечения; – скоростной напор (высота). Гидродинамический напор – это энергетическая характеристика движущейся жидкости. Понятие гидродинамического напора имеет в гидравлике фундаментальное значение. В отличие от гидростатического напора (2.19), складывающегося из двух составляющих, гидродинамический напор складывается из трех составляющих. Дополнительная третья величина отражает кинетическую энергию движущейся жидкости. Остальные два члена – потенциальную энергию. Отсчитывают гидродинамический напор от некоторой горизонтальной плоскости 0–0, называемой плоскостью сравнения (о ней говорилось ранее) (рис. 3.6). Согласно схемы, изображенной на рисунке: , (3.16) . (3.17) И тогда выражение (3.15) для скоростного напора будет иметь вид: . (3.18) Величина пьезометрического напора (высоты) может быть найдена по пьезометру (рис. 3.6). По пьезометрической высоте определяется избыточное давление в точке подключения пьезометра. Рис. 3.6. Схема к понятию гидродинамического напора: 1 – пьезометр; 2 – трубка Пито (скоростная трубка) Величина скоростного напора может быть рассчитана по значению скорости U, или измерена по разнице уровней жидкостей в трубке Пито и пьезометре (рис. 3.6). Аналогично определяется и скорость U в зависимости от разницы показаний трубки Пито и пьезометра. Трубка Пито (скоростная трубка), представляет собой трубку, верхний конец которой открыт в атмосферу, но в отличие от пьезометра, имеет загнутую нижнюю часть, направленную против движения потока жидкости, поэтому она откликается не только на изменение давления, но и на изменение скорости. Благодаря этому у входа в изогнутый конец трубки Пито кинетическая энергия частицы жидкости преобразуется в потенциальную энергию давления столба жидкости высотой , на величину которого уровень жидкости в трубке Пито выше, чем в пьезометре. Прибор, объединяющий в себе пьезометр и трубку Пито носит название трубки (прибора) Пито-Прандтля. Имея этот прибор и определив по нему величину скоростного напора , всегда можно рассчитать скорость движения жидкости U: . (3.19) 3.4. Режимы движения жидкости Режимы движения всех потоков (напорных и безнапорных) делятся на два типа: ламинарный и турбулентный. Ламинарный – спокойный, слоистый без смешивания слоев жидкости между собой, при малых скоростях без их пульсации. Турбулентный – бурлящий, вихреобразный, с интенсивным и беспорядочным перемешиванием слоев жидкости, при больших скоростях с их пульсацией, и, даже, водоворотами. Режимы движения можно наблюдать на установке (рис. 3.7). Рис. 3.7. Схема установки для исследования режимов движения жидкости Прозрачная жидкость, помещенная в сосуд 3 течет по стеклянной трубке 5 со скоростью, регулируемой вентилем 6. В эту же стеклянную трубку из дополнительного бачка с 1 помощью трубки 4 и вентиля 2 запускается тонкая струйка окрашенной жидкости (чернил). До некоторой скорости, эта струйка течет не смешиваясь с жидкостью, что свидетельствует о ламинарном режиме движения жидкости. С увеличением скорости, наступает момент, когда ламинарный режим переходит в турбулентный, начинается перемешивание окрашенной струи с жидкостью. Скорость, при которой происходит смена режимов движения жидкости, называют критической кр [7]. Количественной характеристикой режима движения жидкости является число Рейнольдса Re – безразмерный параметр, вычисляемый по формулам: – для напорных потоков: , (3.20) где v – средняя скорость течения потока м/с; d – внутренний диаметр живого сечения трубопровода, м; ν – кинематический коэффициент вязкости жидкости, м2/с; – для безнапорных потоков: , (3.21) где R – гидравлический радиус безнапорного потока, м. Для определения режима движения жидкости необходимо рассчитать число Рейнольдса по формулам (3.20) или (3.21) и сравнить его с критическим числом Рейнольдса Reкр (для напорных потоков Reкр = 2 320, для безнапорных потоков Reкр ≈ 500). Если рассчитанное число Рейнольдса меньше критического – режим движения ламинарный, если больше – турбулентный. Исходя из формул (3.20) и (3.21) можно определить критическую скорость потока кр, при которой происходит смена режимов движения жидкости: – для напорных потоков: , (3.22) – для безнапорных потоков: . (3.23) Рассмотрим пример с напорной трубой, имеющий внутренний диаметр d = 20 мм, по которой движется вода с кинематическим коэффициентом вязкости ν = 10-6 м2/с со скоростью = 1 м/с. Требуется определить режим движения жидкости. Для потока в данной трубе число Рейнольдса составляет: . Так как найденное число Рейнольдса выше критического (2 320), то режим движения – турбулентный. 3.5. Характер распределения скоростей при различных режимах движения жидкости Характер распределения скоростей по живому сечению потока зависит от режима течения жидкости [11]. При ламинарном режиме течения в круглой трубе (рис. 3.8) закон распределения скоростей является параболическим (закон Стокса) и имеет вид: , (3.24) где ΔР – потери давления по длине l; µ – динамический коэффициент вязкости жидкости; r0 – внутренний радиус трубопровода; r – радиус, на котором находится рассматриваемая точка, или слой. Рис. 3.8. Эпюра скоростей для ламинарного режима движения жидкости Как видно из рис. 3.8, максимальная скорость имеет место на осевой линии трубопровода при r = 0: . (3.25) Средняя скорость выражается формулой: . (3.26) Расход Q и потери давления ΔР рассчитываются по формулам: , (3.27) , (3.28) где S – площадь живого сечения потока. Турбулентный режим отличается более «пологой» эпюрой скоростей (рис. 3.9) и пульсацией скорости частиц по живому сечению, поэтому в формулы вводят осредненные во времени скорости, которые обозначают черточкой сверху. Рис. 3.9. Эпюра скоростей и структура турбулентного потока: 1 – турбулентное ядро; 2 – переходный слой; 3 – ламинарный слой; 4 – сечение трубопровода Закон распределения скоростей при турбулентном режиме течения жидкости является полуэмпирическим, имеет безразмерную форму и носит логарифмический характер [7]: , (3.29) где – средняя скорость потока; k – опытный коэффициент, равный в среднем 0,4; – динамическая скорость, равная: , (3.30) где τ – касательные напряжения (удельная сила трения); ρ – плотность жидкости. Отношение = 0,75–0,9 при турбулентном режиме тем больше, чем больше число Рейнольдса. Экспериментальными исследованиями установлено, что турбулентный поток состоит из турбулентного ядра (рис. 3.9), занимающего основную часть потока, а около стенок трубы сосредоточен тонкий ламинарный слой толщиной δ, который разделен с ядром тонким переходным слоем. 3.6. Уравнения Д. Бернулли Расмотрим элементарную струйку идеальной жидкости живым сечением dS1 и dS2 протекающую через две плоскости сечения трубопровода I–I и II–II (рис. 3.10). Рис. 3.10. Схема к уравнению Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости Для двух сечений трубопровода можно записать: , (3.31) где z1 и z2 – геометрические напоры (высоты), т. е. превышение центров тяжестей живых сечений dS1 и dS2 над плоскостью сравнения 0–0; и – пьезометрические напоры (высоты), т. е. высоты, отвечающие гидродинамическому давлению Р1 и Р2 в сечениях dS1 и dS2; и – скоростные напоры (высоты), отвечающие местным скоростям U1 и U2 в центрах тяжести сечений dS1 и dS2. Уравнение (3.31) называется уравнением Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости, а график, представленный на рис. 3.10 называется диаграммой уравнения Бернулли (графиком напоров). Кроме геометрической трактовки, о которой говорилось выше (3.15), составляющие уравнения Бернулли имеют и энергетическое толкование: каждое из слагаемых уравнения представляет собой разновидность удельной энергии, т. е. энергии, отнесенной к единице веса жидкости. Например, z – удельная потенциальная энергия положения жидкости в рассматриваемом сечении элементарной струйки; – удельная потенциальная энергия давления; – полная удельная потенциальная энергия жидкости; – удельная кинетическая энергия жидкости; Н – полная удельная энергия элементарной струйки идеальной жидкости [10]. Из уравнения Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости следует, что полная удельная энергия (напор) элементарной струйки идеальной жидкости остается постоянной в любом ее сечении. По существу данное уравнение – закон сохранения механической энергии применительно к движущейся элементарной струйке идеальной жидкости. Напорная линия графически выражает напоры вдоль потока. Отметки этой линии могут быть определены с помощью трубки Пито, или расчетом, а сам скоростной напор – по разнице в показаниях трубки Пито и пьезометра, о чем говорилось ранее. В случае элементарной струйки идеальной жидкости эта линия носит горизонтальный прямой характер. При наличии реальных вязких жидкостей, она всегда падает с уклоном, так как потери напора необратимы. Пьезометрическая линия (линия давлений) графически отражает напоры вдоль потока без скоростного напора , поэтому она располагается всегда ниже напорной линии. Отметки этой линии могут быть зарегистрированы непосредственно пьезометрами, или, с пересчетом – манометрами. В отличие от напорной линии, пьезометрическая может понижаться, или повышаться вдоль линии движения жидкости [9]. Для элементарной струйки реальной (вязкой) жидкости и двух произвольно выбранных сечений I–I и II–II струйки реальной жидкости при установившемся движении (рис. 3.11) уравнение Бернулли приобретает вид: , (3.32) где – потери полного напора (полной удельной энергии) на совершение работы по преодолению сил внутреннего трения, обусловленных вязкостью жидкости на участке между сечениями I–I и II–II. Для сечений II–II и III–III уравнение Бернулли выглядит так: , (3.33) для сечений I–I и III–III: . (3.34) И, наконец, уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости в трех сечениях I–I, II–II и III–III таково: . (3.35) Рис. 3.11. Иллюстрация слагаемых уравнения Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости в трех сечениях Как видно из рис. 3.11, полная удельная энергия (напор) элементарной струйки реальной (вязкой) жидкости убывает по направлению движения. Для двух сечений I–I и II–II потока равномерного и неравномерного движения реальной (вязкой) несжимаемой жидкости (рис. 3.12-3.13) уравнение Бернулли в общем случае имеет вид: , (3.36) где α1 и α2 – коэффициенты Кориолиса (коррективы кинетической энергии), учитывающие неравномерность распределения местных скоростей U по живому сечению S потока жидкости; 1 и 2 – средние скорости движения потока жидкости в живых сечениях S1 и S2. Рис. 3.12. Диаграмма уравнения Бернулли для потока реальной жидкости при равномерном ее движении Рис. 3.13. Диаграмма уравнения Бернулли для потока реальной жидкости при неравномерном ее движении При равномерном движении реальной жидкости, линии полного напора и пьезометрическая представляют собой наклонные параллельные прямые, т. к. средняя скорость жидкости во всех сечениях одинакова. При неравномерном движении средняя скорость жидкости по пути ее движения меняется, в связи с чем, линии полного напора и пьезометрическая являются кривыми. При этом линия полного напора реальной жидкости всегда понижается по пути ее движения (из-за нарастания потерь напора). Пьезометрическая линия при плавно увеличивающемся живом сечении по пути движения жидкости поднимается вверх, а при плавном уменьшении живого сечения – опускается вниз. По графику напоров можно не только судить о характере убывания полного напора и перераспределении его составляющих по пути движения жидкости, но и определять их величину в любом сечении потока. Значение коэффициента Кориолиса α зависит от режима течения жидкости и вида движения. Так, при равномерном движении для ламинарного режима α = 2,0, а для турбулентного α = 1,05–1,15. Средняя скорость потока определяется по зависимости (3.4) из имеющегося расхода Q и известной площади живого сечения S с учетом уравнения неразрывности потока (3.7–3.8). Связь давления и скорости в потоке жидкости – обратно квадратичная: если в каком-то месте потока скорость увеличивается, то давление здесь мал, и, наоборот, там, где скорости невелики, давление повышенное [9]. С помощью уравнения Бернулли решается большинство задач гидравлики, связанных с движением жидкости. Для этого выбирают два живых сечения так, чтобы для одного из них были известны величины z, P и v, а для другого – одна, или две величины подлежали определению. При двух неизвестных в дополнение к уравнению Бернулли используют уравнение неразрывности потока (3.8) и решают их совместно. 3.7. Потери напора и гидравлические сопротивления Из уравнения Д. Бернулли для потока реальной жидкости (3.36) при ее равномерном изотермическом движении (когда силы инерции отсутствуют, вязкость постоянна, скорости одинаковы – 1 = 2 = ) следует, что потери напора на участке между сечениями I–I и II–II можно определить следующим образом: , (3.37) или: , (3.38) В горизонтально расположенных трубопроводах, где z1 = z2: , (3.39) где ΔР – потери давления по длине l между сечениями I–I и II–II. Расчет напорных потоков сводится к нахождению неизвестных расходов Q, скоростей или потерь напора hw. При этом для трубопроводов определяются их внутренние диаметры d. Для подбора насосных установок и источников гидравлической энергии, способных создать необходимое давление, следует, прежде всего, определить величину потерь напора hw. Все потери напора подразделяются на два вида: – потери напора по длине трубопровода hl, которые образуются из-за трения поверхностных слоев жидкости о шероховатые стенки труб; – местные потери напора hм, которые возникают из-за изменения конфигурации потока вследствие прохождения им местных сопротивлений (кранов, задвижек, поворотов, сужений, расширений и т. д.). Таким образом, суммарные потери напора hw состоят из суммы потерь по длине и местных потерь: . (3.40) Потери напора по длине (в литературе встречаются также названия: линейные потери, путевые потери, потери на трение) возникают на прямых участках труб (рис. 3.14). Рис. 3.14. Потери напора по длине Местные потери, в отличие от потерь по длине, не отличаются плавностью и имеют резко выраженный вертикальный характер падения напора (рис. 3.15). Рис. 3.15. Местные потери напора и потери напора по длине Так, местные потери напора для 4-х сечений на представленной схеме трубопровода составляют hм = hм2 + hм3. А суммарные потери напора на участке между сечениями I–I и II–II: hw = hl2 + hм2 + h23 + hм3 + h34. На потери напора по длине, как отмечено выше, оказывает влияние шероховатость стенок. Под шероховатостью понимается присутствие у любой поверхности неровностей (выступов и впадин). При заводском изготовлении труб шероховатость их внутренних стенок носит нерегулярный характер, как по высоте, так и по расположению, и поэтому одним параметром охарактеризована быть не может. Несмотря на это, в технических расчетах выбирают единственный параметр, а именно среднюю высоту выступов микронеровностей, которую обозначают Δэ и называют абсолютной эквивалентной шероховатостью. Ее принимают при расчетах из справочной литературы в зависимости от материала трубопровода и состояния его внутренних поверхностей (средней высоты выступов). Однако, проведенные опыты показали, что при одной и той же величине абсолютной шероховатости влияние ее на величину гидравлического сопротивления различно в зависимости от диаметра трубопровода d. Поэтому вводится величина относительной шероховатости – отношение абсолютной эквивалентной шероховатости к диаметру трубопровода [12]. Величина, обратная относительной шероховатости называется относительной гладкостью – . С гидравлической точки зрения различают гидравлически гладкие поверхности, когда толщина ламинарного слоя δ (см. рис. 3.9) превышает абсолютную эквивалентную шероховатость Δэ, и гидравлически шероховатые, когда δ < Δэ. В первом случае выступы микронеровностей покрыты ламинарным слоем, а во втором – вершины микронеровностей находятся в зоне переходного слоя, или, даже турбулентного ядра. Расчет потерь напора по длине hl ведется по формуле Дарси-Вейсбаха: , (3.41) соответственно, потери давления по длине ΔРl: , (3.42) где λ – коэффициент гидравлического трения (сопротивления) Дарси; l и d – соответственно, длина и внутренний диаметр трубопровода, м; ρ – плотность жидкости, кг/м3; – средняя скорость потока, м/с; g – ускорение свободного падения (g = 9,81 м/с2). Формулу Дарси-Вейсбаха применяют как для ламинарного, так и для турбулентного режимов, определяя при этом коэффициент λ по соответствующим зависимостям. Многочисленные исследования показали, что значение λ может зависеть от числа Рейнольдса Re и от относительной шероховатости . На основе анализа экспериментальных данных установлены четыре характерные области для определения коэффициента гидравлического трения λ, показанные на графике Никурадзе (рис. 3.16). Первая зона (область), расположенная на графике Никурадзе левее прямой I–I, соответствует вязкостному сопротивлению при ламинарном режиме движения жидкости и ограничена Re < 2320. Для данной области коэффициент λ зависит только от числа Рейнольдса Re (λ = f(Re)) и не зависит от шероховатости, а потери напора по длине пропорциональны скорости движения жидкости в первой степени: , (3.43) где k – коэффициент пропорциональности. Для стабильного ламинарного режима (вдали от входа в трубопровод) при подсчете коэффициента гидравлического трения применяется формула Пуазейля: . (3.44) Для начальных участков (зона вхождения в трубопровод): . (3.45) При расчете трубопроводов гидропривода: , (3.46) где коэффициент 75 – для стальных труб; коэффициент 100 – для гибких резиновых шлангов (рукавов). Рис. 3.16. График И.И. Никурадзе При турбулентном режиме движения жидкости, как показали экспериментальные исследования, трубопровод может работать в одной из следующих трех областей гидравлического сопротивления: гидравлически гладких труб, доквадратичного и квадратичного сопротивления. Для области гидравлически гладких труб (между прямыми I–I II–II по графику Никурадзе) коэффициент гидравлического трения λ также зависит только от числа Рейнольдса (λ = f(Re)), причем , и определяется по формуле Блазиуса: , (3.47) а потери напора по длине пропорциональны скорости движения жидкости в степени 1,75: . (3.48) Область доквадратичного сопротивления (от прямой II–II до линии АВ по графику Никурадзе) наблюдается при . В этой зоне прослеживается зависимость коэффициента гидравлического трения λ от числа Рейнольдса и относительной шероховатости (λ = f(Re;)), определяющей является формула Альтшуля: , (3.49) а потери напора по длине пропорциональны скорости движения жидкости в степени 1,75–2,0: . (3.50) Для области квадратичного сопротивления (правее линии АВ на графике Никурадзе) характерно . Коэффициент гидравлического трения λ здесь, как правило, не зависит от числа Рейнольдса и определяется только материалом трубы и качеством ее внутренней поверхности λ = f(), что выражается формулой Шифринсона: , (3.51) а потери напора по длине пропорциональны скорости движения жидкости в степени 2,0: . (3.52) Таким образом, наиболее общей для всех перечисленных формул, когда необходимо учесть и число Рейнольдса и относительную шероховатость труб, является формула Альтшуля (3.49). Область гидравлического сопротивления при расчетах определяется или с помощью графиков, полученных опытным путем (например – график Никурадзе), или с помощью соотношений и , предложенных Альтшулем на основе этих графиков. Для этого вычисляют значения и и сравнивают их с числом Рейнольдса, полученным по формуле (3.20). Если – трубопровод работает в области квадратичного сопротивления; если – в области гидравлически гладких труб; если – трубопровод работает в области доквадратичного сопротивления [10]. Соответственно определенным областям, для расчета коэффициентов гидравлического трения необходимо применять вышеперечисленные формулы Пуазейля, Блазиуса, Альтшуля или Шифринсона. Расчет местных потерь напора hм ведется по формуле Вейсбаха: , (3.53) где  – коэффициент местного сопротивления; – средняя скорость потока жидкости в сечении за местным сопротивлением, т. е. ниже по течению (если скорость, как исключение, принимается перед местным сопротивлением, это обязательно оговаривается). Соответственно, местные потери давления ΔРм: , (3.54) где ρ – плотность жидкости. Величина коэффициента  зависит в общем случае от числа Рейнольдса Re, от вида и конфигурации, т. е., формы проточной части местного сопротивления. В частном случае, когда трубопровод, на котором расположено местное сопротивление, работает в области квадратичного сопротивления, величина коэффициента  от Re не зависит. Величину  для каждого вида местного сопротивления определяют по данным гидравлических экспериментов, пользуясь формулой (3.53). Полученные таким образом значения коэффициентов  для различных видов местных сопротивлений берутся при гидравлических расчётах (обычно при квадратичной области сопротивления) из справочной и специальной литературы. Исключением являются резкое расширение и резкое сужение трубопровода, для которых численные значения коэффициентов  определяются по формулам, полученным теоретическим и полуэмпирическим путем [10]. При резком расширении трубопровода, когда средняя скорость в формулах (3.53–3.54) взята перед местным сопротивлением, т. е. 1, коэффициент местного сопротивления от резкого расширения равен: , (3.55) где S1 и S2 ‒ площади проходных сечений трубопровода, соответственно, до и после местного сопротивления по направлению движения жидкости. Если же скорость берется за местным сопротивлением, т. е. 2, то . (3.56) Коэффициент местного сопротивления при резком сужении трубопровода (рс) принято относить к скорости после сужения. При этом . (3.57) Значения коэффициентов  для некоторых местных сопротивлений приведены в табл. 3.1. Таблица 3.1 Значения коэффициентов местных сопротивлений  [13] Вид сопротивления  Угольник поворотный с резким поворотом потока на 900 1,0‒1,4 Угольник поворотный с плавным поворотом потока на 900 0,12‒0,20 Тройник прямоугольный с разделением потока 0,9‒1,5 Тройник прямоугольный с соединением потока 0,5‒0,6 Штуцер, присоединяющий трубу к гидроагрегату 0,1‒0,15 Вход в трубопровод 0,5 Выход жидкости из трубы в бак под уровень 1,0 Вход в силовые гидроцилиндры, аккумуляторы, фильтры 0,8‒0,9 Гидрораспределители 5‒7 Резкое сужение трубопровода 0,5[1‒(d/D)2] Резкое расширение трубопровода [(D/d)2‒1]2 Задвижка (полностью открытая) 0,15 Задвижка (при отношении высоты проходного сечения к диаметру условного прохода от 0,7 до 0,1) 0,44‒160 Вентиль (в зависимости от степени открытия) 4‒16 Шаровой кран полностью открытый 0,1 Проходной кран частично закрытый 2‒4 Обратный клапан 5,5‒6,5 Примечание. D и d ‒ диаметры трубопровода, соответственно, большего и меньшего сечения, мм при условии, что скорость принимается за местным сопротивлением. При прохождении через любое местное сопротивление поток жидкости деформируется, вследствие чего движение становится неравномерным, резко изменяющимся, для которого характерны: а) значительное искривление линий тока и живых сечений потока; б) отрывы транзитной струи от стенок трубопровода (ввиду действия закона инерции) и возникновение в местах отрыва устойчивых водоворотов; в) повышенная (по сравнению с равномерным движением) пульсация скоростей и давлений; г) изменение формы (переформирование) эпюр скоростей. Для построения графика напоров (диаграммы уравнения Бернулли) необходимо: – провести на чертеже трубопровода в выбранном масштабе прямую линию, соответствующую напору для идеальной жидкости на высоте Н от выбранной плоскости сравнения; – отложить от напорной линии для идеальной жидкости вертикально вниз в выбранных сечениях и масштабе потери напора hw от начала пути жидкости до рассматриваемого сечения. Соединив концы вертикальных отрезков, получим линию полного напора; – отложить вниз от линии полного напора в выбранных сечениях и масштабе скоростные напоры. Соединив концы вертикальных отрезков, получим пьезометрическую линию. 3.8. Основы расчета трубопроводов Трубопроводы, у которых местные потери напора составляют менее 10 % от потерь по длине считаются гидравлически длинными. Трубопроводы, у которых местные потери напора составляют более 10 % от потерь по длине считаются гидравлически короткими [7]. Простым трубопроводом называется трубопровод из одного или нескольких последовательно соединенных труб разного диаметра. Истечение жидкости из резервуара может происходить «под уровень» (рис. 3.17 а) или в атмосферу (рис. 3.17 б). а б Рис. 3.17. Истечение жидкости из сосуда: а – под уровень; б – в атмосферу Уравнение Бернулли для свободных поверхностей жидкости при истечении под уровень будет аналогично (3.36): , (3.58) где 1 и 2 – скорости потока жидкостей на уровне свободной поверхности первого и второго сосуда. Поскольку 1 ≈ 2 ≈ 0 то равны нулю и скоростные напоры на уровне свободных поверхностей жидкости в обоих сосудах: , особенно учитывая тот факт, что скоростные напоры значительно меньше всех остальных членов уравнения Бернулли. Следовательно, скоростными напорами в уравнении (3.58) можно пренебречь. Если обозначить (согласно рис. 3.17 а) , (3.59) то, учитывая, что внешнее давление на свободные поверхности сосудов одинаково, уравнение (3.59) преобразуется в вид: . (3.60) Следовательно, в случае истечения жидкости под уровень, разность геометрических напоров (Н) полностью расходуется на преодоление гидравлических сопротивлений по пути движения жидкости. При истечении жидкости в атмосферу (рис. 3.17 б) из тех же соображений пренебречь можно только скоростным напором на уровне свободной поверхности сосуда: . Поскольку давления на свободную поверхность жидкости в сосуде и в месте ее истечения из трубы одинаковы и равны атмосферному (т. е. избыточное давление равно нулю), то члены уравнения Бернулли, составляющие пьезометрический напор также обращаются в ноль, и тогда уравнение Бернулли преобразуется в вид: . (3.61) Следовательно, в случае истечения жидкости из сосуда в атмосферу, разность геометрических напоров (Н) полностью расходуется на преодоление гидравлических сопротивлений по пути движения жидкости и создание кинетической энергии, уносимой потоком из трубы. Для расчета гидравлических сопротивлений используются формулы Дарси-Вейсбаха и Вейсбаха (3.41–3.42), (3.53–3.54). Тогда потери давления ΔР: . (3.61) Но поскольку скорость определяется из соотношения производительности и площади живого сечения трубопровода (), то: , (3.62) или, обозначая выражение в скобках через В, получим: . (3.63) Коэффициент В учитывает все виды сопротивлений, включая сопротивления на входе и на выходе трубопровода [7]. Участки трубопроводов в общей магистрали могут быть соединены последовательно и параллельно. Рассмотрим в качестве примера (рис. 3.18) несколько труб различной длины и диаметра, соединенных последовательно и содержащих различные местные сопротивления (внезапные сужения, кран, вход и выход из трубы (1, 2, 3, 4, 5). Рис. 3.18. Схема последовательного соединения участков трубопровода Совершенно очевидно, что расход Q на всех участках трубопровода одинаков: , (3.64) полная потеря давления (как впрочем, и напора) между началом и концом магистрали равна сумме потерь на отдельных участках: , (3.65) где – сумма всех линейных потерь; – сумма всех местных потерь. Причем: , (3.66) . (3.67) При параллельном соединении простых трубопроводов поток жидкости из одного магистрального трубопровода разделяется на несколько участков, которые затем вновь соединяются в один магистральный трубопровод. Рассмотрим наиболее простой случай, когда точки входа А и выхода С всех трубопроводов совпадают (рис. 3.19). Рис. 3.19. Схема параллельного соединения участков трубопровода Очевидно, что расход общий Q cкладывается из расходов на отдельных участках: , (3.68) при этом потери давления во всех трубопроводах равны: , (3.69) тогда с учетом (3.63) имеем: . (3.70) При заданном расходе Q и параметрах трубопровода определяется перепад давления [7]. 3.9. Гидравлический удар в трубопроводах При мгновенной остановке потока жидкости в напорных трубопроводах вследствие закрытия задвижки, клапана, золотникового регулятора возникает явление гидравлического удара. Гидравлический удар – явление изменения давления в гидросистеме вследствие значительного изменения скорости движения жидкости в течение короткого интервала времени. Величина добавочного давления может привести к разрыву трубопровода и вызвать серьезные аварии в системе. Например, в стальных трубопроводах на каждый потерянный 1 м/с скорости потока возникает добавочное давление около 1 МПа [5]. Поэтому в системах, в которых существует риск возникновения гидравлического удара, применяют специальные гасители и компенсаторы удара. Различают положительный и отрицательный гидравлические удары. Положительный гидроудар возникает перед местным регулирующим сопротивлением и начинается с повышения давления. Отрицательный гидроудар возникает после местного регулирующего сопротивления и начинается с понижения давления. Рассмотрим истечение жидкости из бака со скоростью по трубопроводу длиной l, перекрываемому задвижкой (рис. 3.20). Рис. 3.20. Схема к расчету давления при гидроударе При быстром закрытии задвижки происходит гидроудар. Увеличение давления в трубопроводе при гидроударе в первый момент происходит непосредственно у задвижки, а затем передается через соседние слои жидкости по всей длине l трубопровода с некоторой скоростью С, которая называется скоростью распространения ударной волны. Гидравлический удар называют прямым, если отраженная от напорного бака волна вернется к задвижке, когда она будет уже закрыта. Такой случай возможен при довольно большой длине трубопровода, или очень быстром закрытии задвижки. Гидравлический удар называют непрямым, если отраженная от бака волна вернется к задвижке раньше, чем она будет закрыта [5]. Максимальное давление при гидравлическом ударе определяется по формуле: , (3.71) где P – начальное давление в системе; ΔР – добавочное давление, определяемое по формуле Н.Е. Жуковского для прямого гидроудара – при полном закрытии запорного устройства: , (3.72) где – начальная скорость жидкости; – при неполном закрытии запорного устройства: , (3.73) где – скорость жидкости после частичного закрытия запорного устройства. Скорость распространения ударной волны зависит от упругости жидкости и материала трубопровода, а также от диаметра и толщины стенки трубы: , (3.74) где k – модуль упругости жидкости; d – диаметр трубопровода; Е – модуль упругости материала трубопровода; δ – толщина стенки трубы; С0 – скорость распространения звука в неограниченной среде с плотностью ρ, определяемая по формуле: . (3.75) В случае непрямого гидроудара добавочное давление ориентировочно определяется по формулам – при полном закрытии запорного устройства: , (3.76) где tзак – время закрытия запорного устройства; – при неполном закрытии запорного устройства: . (3.77) Модуль объемной упругости для деаэрированного минерального масла k = 16·108 Н/м2; для воды k = 19,6·108 Н/м2. Модуль упругости для стали Е = 20,6·1010 Н/м2. Скорость распространения звука в минеральных маслах С0 = 1300–1400 м/с, в воде С0 = 1425 м/с [7]. При наличии в масле нерастворенного воздуха, модуль упругости жидкости снижается, поэтому скорость ударной волны и добавочное давление будут ниже, чем в случае деаэрированной жидкости. В гидроприводах и системах гидроавтоматики явление гидравлического удара играет важную роль, т. к. большие скорости течения жидкости в них (до 30 м/с) сочетаются с бесконечно малым временем переключения запорно-регулирующих устройств (до тысячных долей секунды). Поэтому добавочные давления в таких системах могут в несколько раз превышать номинальное рабочее давление в гидросистеме. Исследования показали, что при переключении запорно-распределительной аппаратуры при рабочем давлении 1 МПа, добавочное давление достигало 25 МПа. Весьма часто гидроудар наблюдается в отводах, причем во всех сразу, и, в особенности – в тупиковых, где установлены приборы учета и контроля (манометры и т. д.) [7]. Ударная волна в трубопроводах является чрезвычайно вредным явлением, поэтому для предупреждения аварий необходимо предусматривать ряд защитных мер: – снижать скорость потока в трубопроводах; – увеличивать время закрытия запорно-регулирующей аппаратуры; – использовать воздушные колпаки (рис. 3.21), гидроаккумуляторы, специальные гасители удара. Рис. 3.21. Схема установки воздушного колпака Так, при наличии перед задвижкой воздушного колпака, в момент перекрытия задвижки часть жидкости поступает в колпак, и, через поршень, сжимает содержащийся в верхней части колпака воздух, поэтому скорость потока жидкости будет уменьшаться не моментально, а постепенно. При понижении давления, воздух расширяется и вытесняет из колпака жидкость. 3.10. Истечение жидкостей через отверстия и насадки Процесс истечения жидкости через отверстия и насадки характерен тем, что потенциальная энергия, которой обладает жидкость в резервуаре, с какими-либо потерями превращается в кинетическую энергию свободной струи. Основным вопросом в данном случае является определение скорости истечения и расхода жидкости для различных форм отверстий и насадков. Малым отверстием называют такое, у которого диаметр d не превышает 0,1 величины напора Н. При истечении жидкости из такого отверстия можно считать давление и скорость жидкости во всех точках отверстия одинаковыми. Стенки подразделяются на тонкие и толстые. Тонкой называют такую стенку, толщина которой не влияет на характер истечения, т. е. отсутствуют потери напора по длине (путевые потери). Многочисленными опытами установлено, что толщина тонкой стенки δ должна соответствовать условию: . (3.78) Рассмотрим резервуар с жидкостью, который имеет в стенке малое отверстие с острыми кромками, находящееся на достаточно большой глубине Н0 под свободной поверхностью, на которую действует внешнее давление Р0 (рис. 3.22). Рис. 3.22. Истечение жидкости из резервуара через отверстие Частицы жидкости приближаются к отверстию из всего прилегающего объема, двигаясь ускоренно по различным плавным траекториям. Вытекающая из отверстия струя не сохраняет свою форму, а постепенно деформируется. Наблюдается ее отрыв от стенки у кромки отверстия и сжатие на расстоянии (0,5–1,0)d от плоскости стенки (сечение С–С на рис. 3.22). Сжатие струи обусловлено необходимостью плавного перехода от различных направлений движения частиц жидкости в резервуаре, в т. ч. от радиального направления движения по стенке, к осевому направлению движения в струе. Степень сжатия струи оценивается коэффициентом ее сжатия ε: , (3.79) где Sc – площадь поперечного сечения сжатой струи в сечении С–С; S – площадь поперечного сечения отверстия, из которого вытекает струя. Для круглого отверстия с острыми кромками ε = 0,64, причем, поскольку характер истечения близок к истечению из тонкостенного сосуда, принято считать, что в этом случае возникают только местные потери напора. Сжатие струи может быть полным и неполным. Полное сжатие – всестороннее. Оно характерно, когда отверстие в достаточной мере удалено от боковых поверхностей стенок резервуара. Если же часть периметра отверстия совпадает с боковой стенкой или днищем резервуара, то сжатие струи будет неполным. Полное сжатие может быть совершенным и несовершенным. Сжатие считается совершенным, если до ограждающих поверхностей будет не менее трех размеров отверстия, и несовершенным, если расстояние до стенок или дна – менее трех размеров отверстия. Скорость истечения в суженном сечении С–С: , (3.80) где α – коэффициент кинетической энергии (Кориолиса); – коэффициент местного сопротивления; Ни – расчетный напор в истечении; φ – коэффициент скорости, определяемый по формуле: . (3.81) Под расчетным напором истечения во всех случаях понимается разность напоров до и после отверстия: , (3.82) Расход жидкости . (3.83) Введя понятие коэффициента расхода µ , (3.84) получим: . (3.85) Истечение может происходить из одной емкости в другую (затопленное истечение), причем емкости могут быть закрытыми и открытыми, со свободными поверхностями и без них. Для всех случаев истечения справедлива формула (3.82) [7]. Коэффициенты µ, ε и φ зависят от числа Рейнольдса. Однако, при Re > 104, эти коэффициенты практически постоянны. Насадки – это короткие трубки с постоянным или переменным живым сечением по длине. В гидросистемах насадки применяются для получения требуемых характеристик струи. Длина насадков, как правило, составляет (2,5–5)d, где d – диаметр входного отверстия. Расчет скорости и расхода через насадки производится по зависимостям (3.80) и (3.85) для отверстий, при этом значения коэффициентов скорости и расхода зависят от типа насадка. Конструкции основных типов насадков, коэффициенты скорости, расхода, сжатия струи и местного сопротивления приведены в табл. 3.2. Таблица 3.2. Форма и характеристики применяемых насадков [5, 7, 13] Тип насадка Форма насадка Численные значения коэффициентов µ φ ε Внешний цилиндрический 0,82 1,0 0,5 Внутренний цилиндрический 0,71 1,0 Конический сходящийся при θ = 13024’ 0,94 0,96 0,98 0,09÷0,06 Конический расходящийся при θ > 5÷70 0,45÷0,5 1,0 4÷3 Коноидальный 0,96÷0,99 1,0 0,04 Малое отверстие круглого сечения в тонкой стенке 0,62 0,97 0,64 0,06 При входе во внешний цилиндрический насадок струя сжимается, образуя зону пониженного давления, затем снова расширяется и заполняет все живое сечение. Подсасывающее действие приводит к увеличению расхода по сравнению с отверстием такого же диаметра. На выходе из насадка диаметр струи равен диаметру отверстия (ε = 1,0), следовательно µ = φ. Роль такого насадка в гидросистемах обычно выполняет отверстие в толстых стенах гидроагрегатов, когда толщина стенки δ = (2,5÷3)d. При малой длине (до 3d) струя вытекает из насадка, не касаясь его стенок, т. е. происходит срыв работы насадка. Характер движения жидкости через внутренний цилиндрический насадок в основном остается таким же, что и во внешнем насадке. Однако вследствие большего сжатия при входе во внутреннем насадке создаются большие гидравлические сопротивления. Если толщина стенки этого насадка превышает 0,2d, и перед пуском жидкости выходное сечение насадка было закрыто, а сам насадок заполнен предварительно жидкостью, то истечение через него будет происходить, как и через внешний цилиндрический насадок. Если же перед пуском жидкости входное сечение этого насадка будет закрыто, а сам насадок заполнен воздухом, то при пуске жидкости струя, не касаясь стенок насадка, вытекает из него, как из отверстия в тонкой стенке, т. е. происходит срыв струи. В практике внутренние цилиндрические насадки находят различное применение: при устройстве забора масло- и нефтепродуктов из специальных резервуаров или баков и в случаях, когда присоединяемая к баку труба не заделана «заподлицо» и входит внутрь бака [14]. Конически сходящийся насадок (конфузор) при номинальном угле конусности θ = 13024’ имеет очень низкий коэффициент местных потерь и применяется в гидроусилителях типа струйной трубки. Конически расходящийся насадок (диффузор) применяется для преобразования кинетической энергии в энергию давления. Течение в таких насадках безотрывное при углах конусности меньше 130. Коноидальный насадок (сопло) очерчивается по форме сжимающейся струи, что обеспечивает безотрывность течения внутри насадка, компактную струю на выходе и устойчивый режим истечения. Большое влияние на параметры истечения через насадки оказывает вязкость жидкости. В частности, коэффициент расхода µ имеет вышеприведенные значения при Re > 5 000. При уменьшении числа Рейнольдса коэффициент расхода резко уменьшается. Источники информации 1. Долгачев, Ф.М. Основы гидравлики и гидропривод / Ф.М. Долгачев, В.С. Лейко. 2-е изд., перераб и доп. – М.: Стройиздат, 1981. 183 с. 2. Осипова, Н.М. Курс лекций по дисциплине «Гидравлические и пневматические системы» / URL: https://infourok.ru/kurs-lekciy-po-gidravlike-725081.html (дата обращения 02.07.2017). 3. Горбачева, М.П. Гидравлика: краткий курс лекций / М.П. Горбачева. Саратов: ФГБОУ ВПО Саратовский ГАУ, 2015. 52 с. 4. Никитин, О.Ф. Гидравлика и гидропневмопривод: учеб. пособие. /О.Ф. Никитин. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010. 414 с. 5. Галдин, Н.С. Основы гидравлики и гидропривода: Учебное пособие / Н.С. Галдин. Омск: СибАДИ, 2006. 145 с. 6. Барекян, А.Ш. Примеры решения задач по гидравлике: Учебное пособие. Изд. 3-е, испр. и доп. / А.Ш. Барекян, А.К. Челышев. Тверь: ТГТУ. 2003. 124 c. 7. Барекян, А.Ш. Основы гидравлики и гидропневмоприводов: учебное пособие / А.Ш. Барекян. Тверь: ТГТУ, 2006. 84 с. 8. URL: http://tehtab.ru/Guide/guidematherials/materialsresistant/momentsofinertion/ (дата обращения 27.08.2018). 9. Сологаев, В.И. Гидравлика (механика жидкости и газа): Учебное пособие / В.И. Сологаев. Омск: СибАДИ, 2010. 64 с. 10. Казарян, С.М. Лабораторный практикум по гидравлике, гидравлическим машинам и гидроприводам: Учеб. пос. для ВУЗов / С.М. Казарян, А.Ш. Барекян, Д.Д. Скубаренко, А.К. Челышев. Ереван: Луйс, 1984. 319 с. 11. Башта, Т.М. Гидравлика, гидромашины и гидроприводы: Учебник для машиностроит. ВУЗов. 2-е изд., перераб. и доп. / Т.М. Башта, С.С. Руднев, Б.Б. Некрасов [и др.]. М.: Машиностроение, 1982. 423 с. 12. URL: https://studfiles.net/preview/1758174/page:18/ (дата обращения 10.09.2018). 13. Вильнер, Я.М. Справочное пособие по гидравлике, гидромашинам и гидроприводам / Я.М. Вильнер, Я.Т. Ковалев, Б.Б. Некрасов. Минск: Вышэйшая школа, 1976. 416 с. 14. URL: https://studopedia.ru/4_126586_vnutrenniy-tsilindricheskiy-nasadok.html (дата обращения 25.09.2018).