Гидравлика и гидрология

1 МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» (РУТ (МИИТ) Одобрено кафедрой «ТЕПЛОЭНЕРГЕТИКА И ВОДОСНАБЖЕНИЕ НА ЖД ТРАНСПОРТЕ» Протокол № 2.09 от 08 сентября 201 8 г. Автор: Кузьминский Р. А., к.в.н., профессор ЛЕКЦИИ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГИДРАВЛИКА И ГИДРОЛОГИЯ Уровень ВО: Специалитет Форма обучения: Заочная Курс: 3 Специальность/Направление: 23.05.06 Строительство железных дорог, мостов и транспортных тоннелей (СЖс) Специализация/Профиль/Магистерская программа: Все специализации Москва 2 Раздел 1. ГИДРАВЛИКА 1.1. ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ. ГИДРОСТАТИКА 1.1.1. Основные физические свойства жидкости Жидкостью называется физическое тело, обладающее легкой подвижностью частиц, то есть текучестью. Жидкости с точки зрения физико-механических свойств разделяются на два класса - капельные жидкости (или малосжимаемые) и газы (или сжимаемые жидкости). В гидравлике изучаются капельные жидкости. Поэтому в дальнейшем под термином жидкость мы будем всегда подразумевать жидкость капельную. Многие законы гидравлики, полученные для капельной жидкости, справедливы и для газов, когда допустимо считать газ малосжимаемым. Жидкость рассматривается в гидравлике обычно как сплошная (непрерывная), однородная и изотропная среда, обладающая одинаковыми свойствами во всех точках и по всем направлениям. Основными физическими свойствами жидкости, базируясь на которых в гидравлике устанавливаются общие законы ее равновесия и движения, являются: 1) текучесть, 2) весомость, 3) изменяемость объема и 4) вязкость. Текучесть. Текучестью называется неспособность жидкости сопротивляться внутренним сдвигающим усилиям, вызванным сколь угодно малыми силами. Свойство текучести выражает физически главное отличие жидкого тела от твердого. Вследствие текучести, жидкость, находясь в покое, растекается под действием собственного веса и принимает форму того сосуда, в котором находится. Растекаясь в сосуде и занимая часть его объема, жидкость всегда образуют свободную поверхность. Газы растекаясь, всегда занимают весь объем сосуда и не образуют свободной поверхности. В процессе растекания жидкость способна изменять свою форму - деформироваться, не теряя сплошности. Движение жидкости, например, в реке, трубе, канале, обусловленное ее текучестью, представляет собой непрерывную и последовательную деформацию жидкости, как сплошной материальной среды под действием тех или иных сил. (В ряде случаев сплошность жидкости при ее движении может нарушаться, что существенно усложняет исследование и математическое описание явлений.) При статическом приложении внешних сил к жидкости свойство текучести проявляется даже при действии самых ничтожных сил. Однако, при мгновенном, динамическом приложении сил жидкость ведет себя подобно твердому телу, оказывая значительное сопротивление деформации. Весомость. Весомость жидкости характеризуется удельным весом и плотностью. Удельным весом  называется вес единицы объема жидкости: (2.1)  G , W где: G – вес жидкости в объеме W. Удельный вес - величина размерная» Его размерность н [G ] [ ]    кгс . [W ] м 3 м3 При переводе величин удельного веса из системы СИ в систему МКГСС следует исходить из соотношения 9,81 н = 1 кгс. Например, для воды при 4°С удельный вес равен  = 9,81.103 н/м3 = 1000 кгс/м3 . Плотностью  называется масса, заключенная в единице объема жидкости : 3 M; (2.2) W где: М - масса жидкости, заключенная в объеме W. Зависимость между удельным весом и плотностью жидкости легко получить, помня, что по второму закону Ньютона: G = Mg. Разделив обе части уравнения на объем W , получим: =g. (2.3) Очевидно, что это равенство выражает второй закон Ньютона, записанный для единицы объема жидкости. Размерность плотности: [ M ] кгс в системе СИ [ ]   ; [W ] м 3 2 2   [  ]     кгс с  кгс.с .  g  м3 м м4 Величина плотности, например, для воды при 4°С равна: 2     9810 н с  1000 кг ; в системе СИ g 9,81 м 3 м м3 2 2  в системе МКГСС    1000 кгс с  102 кгс.с . g 9,81 м 3 м м4 Значения удельного веса и плотности некоторых широко применяемых жидкостей приведены в табл.1 . Изменяемость объема. Жидкость может изменять свой объем под действием внешних сжимающих сил или при изменении температуры. Свойство жидкости изменять объем под действием давления называется сжимаемостью и характеризует упругость жидкости. Сжимаемость жидкости оценивается коэффициентом объемного сжатия w : (2.4)    1 dW , w W dp где: W - начальный объем жидкости (рис.3 - 1); dW - изменение объема при изменении давления на dp. Величина dW , характеризующая изменение объема жидкости при изменении dp давления, отрицательна, так как при сжатии жидкости положительному приращению давления соответствует отрицательное приращение объема. Для того, чтобы при этом коэффициент w был величиной положительной, в правой части выражения поставлен знак минус. Коэффициент объемного сжатия w представляет собой относительное уменьшение объема жидкости (по отношению к начальному объему) при увеличении давления на единицу и имеет размерность обратную размерности давления: 2 2   [  ]   1   м или см н кгс  p в системе МКГСС 4 p + p p W + Wр Wр 0 W Рис. 1.1 Изменение объема жидкости W p при изменении давления на  р :   .p.W . (2.5) p w Величина обратная коэффициенту объемного сжатия является модулем упругости жидкости при всестороннем сжатии: (2.6) E  1 [ н ; кгс ].  м 2 см 2 w Коэффициенты объемного сжатия жидкостей имеют весьма малые значения, 2 составляющие в среднем, например, для воды   1 см ; для минеральных w 21000 кгс 2 масел   1 cм . w 16700 кгс Приведенные цифры показывают, что при увеличении давления на 1 кгс/см2 объем жидкости незначительно уменьшается, например, воды всего лишь на 1:21 000 часть первоначального объема. В связи с этим при решении очень многих практических задач гидравлики сжимаемостью жидкости можно пренебречь, полагая, что жидкость не изменяет своего объема при изменении давления (w=0), а, следовательно, ее удельный вес и плотность остаются постоянными: =const и =сonst. Рассмотренное свойство резко отличает жидкости от газов и сближает их с твердыми телами. В отличие от газов жидкости, как и твердые тела, представляют собой малосжимаемую, малоупругую среду (модуль упругости воды E=2,1.103 кгс/см2, бетона Е= 2.105 кгс/см2, стали E=2.106 кгс/см2). Из сказанного, однако, не следует, что жидкость всегда можно считать несжимаемой. В отдельных случаях сжимаемость должна учитываться, например, при гидравлическом ударе, связанном с упругими колебаниями жидкости. Изменение объема жидкости при изменении температуры характеризуется коэффициентом объемного (температурного) расширения t : (2.7)   1 dW , t W dt где: W - начальный объем жидкости{ dW - изменение объема при изменении температуры на dt. Величина t выражает относительное изменение объема жидкости при изменении температуры на единицу и имеет размерность  W 5 [  ]  1  1 .  t  градус t Объем жидкости с увеличением температуры увеличивается. Однако это увеличение незначительно. Например, у воды при изменении температуры от 0 до 100°С при давлениях от I до 100 ат величина t изменяется в пределах т.е.достигает   (0,000014 0,000714) 1 , t C максимум 0,07 % при увеличении температуры на 1°С, Поэтому при решении многих практических задач влиянием изменения объема жидкости при изменении температуры на величину ее удельного веса и плотности можно пренебречь, полагая t = 0, а, следовательно,  = const и  = const . Однако, следует учитывать, что увеличение объема жидкости при повышении температуры может вызвать опасные последствия, например, разрушение гидравлической системы, в которой заперты без возможности расширения значительные объемы жидкости и т.п. Изменение объема жидкости W при изменении температуры на t равно t W   .t.W . (2.8) t t Вязкость. Вязкостью называется способность движущейся жидкости оказы-вать сопротивление относительному движению (сдвигу) частиц жидкости. Это сво-йство противоположно текучести и является причиной возникновения в движущей-ся жидкости сил трения между ее частицами и между жидкостью и твердым телом (например, жидкостью и стенками трубы, русла, корпусом плавающей машины). Понятие о вязкости жидкости впервые было введено Ньютоном (1686 г.). Согласно гипотезе Ньютона, впоследствии подтвержденной экспериментально и теоретичес-ки обоснованной в 1883 г. профессором Военно-инженерной академии Петровым Н.П., закон о трении в движущейся жидкости выражается зависимостью: (2.9) T  .S du , dn где: T – сила трения; S – площадь поверхности соприкосновения между собой слоев движущейся жидкости; Рис. 1.2 du - производная скорости u по нормали к направлению движения (градиент dn скорости);  - динамический коэффициент вязкости, количественно характеризующий вязкость жидкости. 6 Из приведенного закона вытекает, что если жидкость находится в покое ( u  0 ), то и градиент скорости du  0 , и сила трения T  0 . dn Т.о. в покоящейся жидкости силы трения не возникают, свойство вязкости жидкости не проявляется. Если разделить выражение (2 – 9) на S, т.е. отнести силу трения к единице площади (S = 1), получим (2.10)   T  . du , S dn где:  - касательное напряжение в движущейся жидкости (н/м2 , кгс/см2 ). Если при S=1 принять также du  1 , то получим dn  , (2.11) т.е. динамический коэффициент вязкости есть удельная сила трения при градиенте скорости равном единице. В системе СИ динамический коэффициент вязкости имеет размерность: [  ]   T .dn   н м с  н.c .  S .du  м2 м м2 В системе МКГСС: [  ]  кгс.с . м2 На практике динамический коэффициент вязкости часто выражают в единицах физической системы единиц СГС – в пуазах: 1пуаз  1 дина.с  0,1 н.с  0,0102 кгс.с . см 2 м2 м2 1 пуаз соответствует вязкости, при которой между слоями жидкости, движущимися один относительно другого с градиентом скорости, составляющим 1 см/с на рассто-янии 1 см по нормали к направлению движения, на площади 1 см2 развивается сила трения равная 1 дине. В гидравлике для характеристики вязкости жидкости чаще применяется кинематический коэффициент вязкости , равный отношению динамического коэффициента вязкости к плотности жидкости:    . (2 .12)  Он имеет размерность: [  ] н.с м 3 кг.м с м 3 м 2 [ ]     . [  ] м 2 кг 2 2 кг с с м В размерность кинематического коэффициента вязкости не входят единицы силы и массы. Его размерность определяется только кинематическими единицами (длиной и временем). Поэтому коэффициент  называется кинематическим. Он имеет одинаковую размерность во всех системах единиц механических величин. На практике в качестве единицы измерения кинематического коэффициента вязкости часто применяют стокс: 2 2 1стокс  1 см  10 4 м . с с Для разных жидкостей вязкость изменяется в очень широких пределах. Например, при температуре 20 С коэффициент кинематической вязкости воды равен   0,01 см2/с = 1 сантистокс (сст), мазута   25 см2/с, т.е. примерно в 2500 раз больше. Значения кинематического коэффициента вязкости для некоторы жидкос-тей приведены в таблице 2 приложения. У всех жидкостей вязкость сильно изменя-ется при изменении температуры, существенно уменьшаясь при увеличении темпе-ратуры. В таблице 3 7 приложения приведены при различных температурах значения  для воды, а в таблице 4 для морозоустойчивого масла АМГ-10, применяемого в системах гидроприводов. С увеличением давления у большинства жидкостей вязкость увеличивается. На практике вязкость жидкостей оценивается также в условных единицах (градусах Энглера и др.). Для определения вязкости применяются специальные приборы – вискозиметры. При этом используются закономерности процессов, в которых вязкость играет существенную роль, в частности: - закон Стокса (сила сопротивления F движению шарика радиуса r, движущегося со скоростью v: F = 6∙∙∙r∙v ; - закон Пуазейля (расход жидкости Q при истечении через трубку длиной l, диаметром d при избыточном давлении p-p0 : p p o d4 . Q  128 l  При измерении вязкости вискозиметром Энглера сравнивают время t1 исте-чения через калиброванное отверстие 200 см3 исследуемой жидкости, имеющей заданную температуру t С, и время истечения t2 200 см3 дистиллированной воды при t=20C: t 1 градус Энглера: 1E  1 . t 2 2 Перевести градусы Энглера в см /с (стоксы) можно по эмпирической формуле: 0,0631 2   0,0731E  см / с. E Трение в жидкости качественно отличается от сухого трения между твердыми телами, при котором сила трения прямо пропорциональна давлению: Tсух = f.P, где f – коэфициент трения. В жидкости сила трения не зависит от давления (см. формулу 2 .9). Указан-ное свойство имеет огромное значение в технике. Вводя жидкость – смазку между трущимися парами, которые в машинах могут соприкасаться, оказывая друг на друга большое давление, заменяют сухое трение трением в жидкости. При этом силы трения уменьшаются, перестают зависеть от давления, значительно снижаются затраты мощности на преодоление сил трения и уменьшается нагрев и износ трущихся поверхностей. Реальная и идеальная жидкость. Вязкость, присущая реальным жидкостям и приводящая к возникновению сил трения в движущейся жидкости, различных по величине в разных точках потока, значительно осложняет изучение законов движе-ния жидкости и применение аналитических методов. Для облегчения теоретическо-го решения задач, связанных с движением жидкости, в гидравлике используют понятие об идеальной жидкости. Под идеальной жидкостью понимается фиктивная (несуществующая) жидкость, которая обладает абсолютной несжимаемостью (w = 0), абсолютной неизменяемостью объема (t = 0) и абсолютной подвижностью частиц ( =  = 0). В части изменяемости объема под действием внешнего давления и температуры реа-льная и идеальная жидкости приближаются достаточно близко друг к другу. Таким образом, идеальная жидкость представляет собой некоторую модель жидкости, главным отличием которой от реальной жидкости является полное отсутствие вязкости. Законы и зависимости, полученные теоретическим путем для идеальной жидкости, корректируются в гидравлике введением поправочных коэффициентов, учитывающих влияние вязкости на происходящие явления. 8 Эти коэффициенты определяются в большинстве случаев экспериментальным путем. При решении отдельных гидравлических задач необходимо помимо рассмотренных выше учитывать также и другие свойства жидкостей. Например, при использовании жидкостей в качестве рабочей среды гидравлических передачах имеют важное значение такие свойства, как смазывающая способность, механическая стабильность при периодическом смятии, склонность к пенообразованию. При движении жидкости в условиях пониженного давления (например, во всасывающих трубах насосов), а также при повышенной температуре приобретают значение такие свойства, как испаряемость жидкости, характеризуемая давлением насыщенных паров, а также растворимость газов в жидкости. Если не учитывать эти свойств в указанных условиях, то это может привести к нарушению нормальной работы гидравлической системы вследствие развития, например, кавитации и других явлений. 1.1.2. Гидростатика Абсолютный и относительный покой (равновесие) жидких сред. Силы, действующие в жидкостях При применении законов механики необходимо выделять некоторый объем жидкости и рассматривать его изолированно от окружающей среды. Все силы, действующие на изолированный объем жидкости по характеру их действия делятся на объемные (или массовые) силы и силы поверхностные. Под объемной силой понимают силу, которая приложена ко всякой частице рассматриваемого объема и пропорциональна массе этой частицы. К объемным силам относятся сила тяжести, силы инерции, центростремительные силы. Они характеризуются проекциями на оси координат X, Y, Z сил, действующих на единицу массы жидкости. Если направить ось Oz вертикально вверх, для силы тяжести будем иметь: X=0; Y=0; Z=-g, (3.1) где g = 9,81 м/с2 – ускорение силы тяжести. Если жидкость неподвижна относительно поверхности земли (абсолютно покоящаяся жидкость) или движется раномерно как одно целое (находится в относительном покое), сила тяжести будет единственной, действующей на нее объемной силой. Для жидкости, движущейся в направлении оси ox c ускорением a: X=-a; Y=0; Z=-g. (3.2) Поверхностные силы характеризуются напряжением r, т.е. силой, действующей на поверхность единичной площади. Если на площадку ΔS действует сила (вектор) ΔR, lim R r  S  0 . (3.3) S Проекция напряжения r на нормаль к поверхности будет нормальным напряжением σ, проекция r на плоскость площадки ΔS – касательным напряжением τ. Более подробно напряжения σ и τ будут рассмотрены в дальнейшем. Гидростатическое давление и его свойства Гидростатика – раздел гидравлики, в котором изучаются законы равновесия жидкостей. В гидростатике рассматриваются силы, действующие в покоящейся жидкости, давление ее на различные поверхности, а также равновесие твердых тел, частично или полностью погруженных в жидкость. Законы гидростатики лежат в основе многих практически важных инженерных расчетов. Они широко используются при расчете гидравлических систем машин и механизмов, плавучести и устойчивости плавающих средств, резервуаров для хранения жидкостей и др. 9 Как установлено ранее, в жидкости, находящейся в покое (u = 0), свойство вязкости не проявляется и касательные силы отсутствуют ( = 0). В связи с этим в покоящейся жидкости могут существовать только нормальные сжимающие силы. Эти силы называются силами гидростатического давления. Различают суммарное гидростатическое давление и гидростатическое давление в точке. Выделим в жидкости поверхность произвольной формы площадью F (рис. 1 – 1). Сила давления жидкости P на площадь конечных размеров F называется суммарным давлением жидкости. Суммарное давление жидкости имеет размерность силы [P] = н, кгс. Рис. 1 - 1 Возьмем на поверхности F в окрестности произвольной точки A бесконечно малую площадку F. Пусть на эту площадку со стороны жидкости действует сила P. Будем уменьшать величину площадки F до нуля. Тогда отношение силы P к площади F будет стремиться к определенному пределу, который называется гидростатическим давлением p в точке (или сокращенно гидростатическим давлением): p  lim P . (1 – 1) F  0  F Гидростатическое давление в жидкости имеет размерность напряженияи аналогично нормальному напряжению в твердых телах: [ p]  н ; кгс . м2 м2 Гидростатическое давление в точке покоящейся жидкости обладает двумя основными свойствами. Первое свойство: гидростатическое давление всегда нормально к поверхности (площадке), на которую оно действует, и направлено по внутренней нормали к ней (рис. 1 – 2). 10 Рис. 1 - 2 Это единственно возможное направление гидростатического давления, соответствующее случаю отсутствия в жидкости касательных или растягивающих сил и сохранению равновесия покоящейся жидкости. Второе свойство: гидростатическое давление в данной точке жидкости одинаково по всем направлениям (рис. 1 – 3): px = py = pz = pn = p . (1 – 2) Рис. 1 - 3 Индексами x, y, z, n отмечены одинаковые по величине, но различные по направлению давления в данной точке. Согласно этому свойству на любую единичную площадку, проведенную через данную точку и произвольно ориентированную в этой точке, будет действовать одно и то же по величине гидростатическое давление, направленное в каждом случае (в соответствии с первым свойством) нормально к площадке. Поэтому второе свойство гидростатического давления можно выразить также в следующем виде: величина гидростатического давления в данной точке не зависит от угла наклона единичной площадки, на которую оно действует. Однако, в различных точках, по-разному расположенных в жидкости, гидростатическое давление, вообще говоря, не будет одинаковым. Оно будет зависеть от сил, действующих в жидкости, и является функцией координат рассматриваемой точки: p = p (x, y, z) . Основное уравнение гидростатики 11 Рассмотрим силы, действующие в покоящейся жидкости, и выведем уравнение для определения величины гидростатического давления в любой точке жидкости. Силы, действующие в жидкости, можно разделить на две группы – поверхностные и массовые. Выделим в жидкости, находящейся в равновесии, элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz, параллельными соответствующим осям произвольно расположенной в пространстве прямоугольной системы координат (рис. 2 –1). Отбросим мысленно окружающую параллелепипед жидкость, заменив ее действие на грани соответствующими поверхностными силами – силами гидростатического давления. Согласно первому свойству гидростатического давления эти силы будут нормальны к поверхностям соответствующих граней и направлены внутрь параллелепипеда. Допустим, на левую грань параллелепипеда площадью dx.dy действует гидростатическое давление равное px, причем величина его будет зависеть от положения границы в пространстве, занятом жидкостью, т.е. px = f(x, y, z). Определим гидростатическое давление на противоположную грань. Очевидно, если мы будем переходить вдоль оси Ox от левой грани к противоположной, то давление px, будет плавно и непрерывно изменяться. Изменение давления px на единицу длины вдоль p оси Ox будет равно частной производной x , так как приращение функции px = f(x, y, z) x происходит за счет изменения только одной независимой переменной - координаты x , p при y=const и z=const. Приращение давления px на длине ребра dx будет x .dx , а x давление на противоположную грань p p  x .dx. x x Рис. 2 - 1 12 Аналогично можно получить изображенные на рис. 2 – 1 величины гидростатических давлений на все попарно противоположные грани параллелепипеда. Умножив гидростатические давления на площади соответствующих граней, получим поверхностные силы, действующие на грани параллелепипеда со стороны окружающей жидкости. Например, на левую правую грани будут действовать нормальные поверхностные силы давления равные, соответственно p    p  x .dx  . p .dy.dz и x  x x    Определим массовые силы, действующие на выделенный параллелепипед. На каждую единицу массы, заключенную в объеме параллелепипеда, действует единичная массовая сила. Обозначим проекции единичных массовых сил на оси координат Ox, Oy, Oz соответственно через X, Y, Z. В объеме параллелепипеда заключена масса жидкости, равная ее плотности , умноженной на объем параллелепипеда dx.dy.dz , т.е. .dx.dy.dz. Поэтому проекции на координатные оси массовых сил, действующих на всю массу жидкости в объеме параллелепипеда, будут, соответственно, равны X ..dx.dy.dz, Y ..dx.dy.dz, Z ..dx.dy.dz . Так как параллелепипед находится в равновесии, то суммы проекций всех сил, действующих на него, на координатные оси должны быть равны нулю. Уравнение равновесия параллелепипеда в направлении оси Ox будет иметь вид p   p .dy.dz   p  x .dx .dy.dz  X ..dx.dy.dz  0 . x  x x    Приведя подобные члены, получим: p  .dx.dy.dz  X ..dx.dy.dz  0 . x Поделим уравнение на .dx.dy.dz (массу жидкости в объеме параллелепипеда) и тем самым отнесем его к единице массы жидкости: p X  1. 0 .  x Составляя уравнения равновесия в направлении осей Oy и Oz, аналогично можно получить: p p Y1 0 Z1  0. и  y  z Стягивая параллелепипед к точке, т.е. устремляя dx, dy, dz к нулю, согласно второму свойству гидростатического давления (1 – 2), получим окончательно: p  X  1 .  0;  x  p  1 Y  .  0;  (2 – 1)  y   p Z  1 .  0.   z  Выражения (2 – 1) представляют систему дифференциальных уравнений гидростатики – уравнений Эйлера. Уравнения Эйлера являются общими условиями равновесия жидкости. Они устанавливают связь между массовыми силами, давлением и координатами в каждой точке покоящейся жидкости. Проинтегрируем уравнения Эйлера для частного случая, когда жидкость находится в равновесии под действием только силы тяжести (другие массовые силы отсутствуют). 13 Предварительно преобразуем уравнения. Умножим каждое из уравнений Эйлера, соответственно, на dx, dy, dz и сложим полученные выражения. Будем иметь: p p   p X .dx  Y .dy  Z .dz  1  dx  dy  dz  .   x y z  В правой части уравнения в скобках имеем полный дифференциал гидростатического давления p p p dx  dy  dz  dp , x y z так как p  f ( x, y, z) . Тогда dp  .( X .dx  Y .dy  Z .dz) . (2 - 2) Перед интегрированием уравнения (2 – 2) определим для рассматриваемого случая проекции X, Y, Z массовой силы – силы тяжести на оси координат. Выберем систему прямоугольных координат, удобную для решения практических задач (рис. 2 – 2). Расположим начало и оси Ox и Oy на горизонтальной свободной поверхности жидкости, а ось Oz направим вертикально вниз. При этом проекции силы тяжести, действующей на единицу массы, на оси координат будут равны X  0; Y  0; Z  1.g  g. Рис. 2 - 2 Подставляя эти величины в (2 – 2), получим dp  .g.dz или dp   .dz . Интегрируя, будем иметь p   .z  C . Постоянную интегрирования C определим из условия на свободной поверхности жидкости. При z=0, p=po, откуда C = po, где: po – внешнее давление на единицу свободной поверхности жидкости (в открытом сосуде – атмосферное давление). Получаем: p  p   .z . o Вводя вместо z обычно применяемое в гидравлике понятие глубины h погружения данной точки под уровнем свободной поверхности, окончательно будем иметь p  p   .h . (2 – 3) o 14 Выражение (2 – 3) называется основным уравнением гидростатического давления. Оно позволяет найти величину полного (абсолютного) гидростатического давления в любой точке жидкости при действии на нее силы тяжести. Как видно из (2 – 3), полное гидростатическое давление складывается из двух частей: - давления po на свободной поверхности жидкости и - давления .h, обусловленного весом вышележащего столба жидкости (весовая часть гидростатического давления), которое зависит от удельного веса жидкости. Из основного уравнения гидростатического давления вытекают два следствия – так называемое третье свойство гидростатического давления и закон Паскаля. Возьмем две произвольные точки в жидкости, расположенные на разной глубине под уровнем свободной поверхности (рис. 2 – 3). Согласно (2 – 3) гидростатические давления в них будут: (2 – 4) p1  p0   .h1 ; (2 – 5) p2  p0   .h2 . Сравнивая (2 – 4) и (2 – 5), видим, что при одинаковом давлении на свободной поверхности жидкости величина гидростатического давления зависит только от глубины погружения данной точки под уровень свободной поверхности. Это и есть третье свойство гидростатического давления. Рис. 2 - 3 Принцип действия гидростатических машин Действие гидростатических машин (гидравлических домкратов, прессов и др.) основано на законе Паскаля о передаче внешнего давления в жидкости. Из сравнения выражений (2 – 4) и (2 – 5) гидростатического давления для любых точек жидкости следует, что внешнее давление po одинаково действует во всех точках внутри жидкости. Указанное свойство жидкости представляет собой закон Паскаля: единичное внешнее давление, приложенное к жидкости, находящейся в равновесии, передается всем точкам жидкости одинаково. На рис. 2 – 4 изображена принципиальная схема гидростатической машины (например, домкрата). С помощью малого поршня площадью F1 , давящего с силой P1, в жидкости создается гидростатическое давление P p  1 . 0 F 1 15 Рис. 2 - 4 Это давление передается с одинаковой силой всем точкам жидкости, в том числе и расположенным под большим поршнем площадью F2. Сила, действующая со стороны жидкости на большой поршень, будет равна (без учета потерь на трение поршней о стенки цилиндров): F 2 (2 – 6) P  p .F  2 .P  D .P . 2 0 2 F 1 1 2 d 1 Из полученного выражения видно, что, прилагая к жидкости сравнительно небольшую силу P1, можно получить на большом поршне весьма значительное усилие P2. Избыточное давление. Способы выражения гидростатического давления При решении практических задач по определению нагрузок от давления покоящейся жидкости на различные поверхности и тела часто требуется знать не полное, а избыточное давление жидкости. Избыточным (или манометрическим) давлением называется разность между полным (абсолютным) и атмосферным (барометрическим) давлением: (2 – 7) p  p p , изб ат где: p – полное давление в данной точке жидкости; pат – атмосферное давление. Если полное давление p меньше атмосферного pат, то избыточное давление будет отрицательным. Отрицательное избыточное давление, т.е. недостаток давления до атмосферного, называется вакуумом (вакуумметрическим давлением, разрежением): p  p p p. (2 – 8) вак изб атм Абсолютная величина вакуума может изменяться в пределах от 0 до pат . Действительно, при p=0 по (2 – 8) имеем pвак=pат, а при p=pат имеем pвак=0. Рассмотрим определение избыточного давления в некоторых частных случаях. Если жидкость находится в закрытом резервуаре и давление на ее свободной поверхности po больше атмосферного pат (рис. 2 – 5), то избыточное давление жидкости на стенку резервуара в любой точке будет равно: p  p p  ( p   .h)  p = ( p  p )   .h, изб ат o ат o ат где: (po – pат) – есть избыточное давление на свбодной поверхности жидкости. Величина избыточного давления pизб в каждой точке стенки, очевидно, и будет определять действующую на стенку нагрузку со стороны жидкости. Если в закрытом резервуаре давление на свободной поверхности po меньше атмосферного pат, то избыточное давление будет равно: 16  p p  (p  p )   .h  ( p  p )   .h , изб ат o ат ат o где: (pат – po) – есть вакуум на свободной поверхности жидкости. p Рис. 2 - 6 Рис. 2 - 5 В важном частном случае, когда давление на свободной поверхности жидкости равно атмосферному po=pат (открытый резервуар, водоем), избыточное давление будет равно (рис. 2- 6): pизб  p  pат  ( pат   .h)  pат   .h . (2 – 9) Величина гидростатического давления (полного или избыточного) может быть выражена тремя способами: - в единицах силы, действующей на единицу площади, например, н2 , кгс2 , кгс2 ; м м см - в атмосферах; в гидравлике используется техническая атмосфера, равная 1ат  1 кгс2  9,81.10 4 н2 ; см м давление, выраженное в атмосферах, обознаают ата (абсолютное давление), ати (избыточное давление) и атв (вакуумметрическое давление); - высотой столба жидкости. Для уяснения последнего, практически важного, способа выражения давления преобразуем основное уравнение гидростатического давления (2 – 3), поделив его на . Получим: p p0  h .   В этом уравнении все члены имеют размерность длины и выражают высоту столба жидкости, соответствующую тому или иному давлению. Действительно  p  [ p] н м3  м .      [ ] м 2 н 17 Рис. 2 - 7 Величина p  называется пьезометрической высотой, соответствующей давлению p. Приборы, служащие для измерения давления с помощью столба жидкости называются пьезометрами. Пьезометр представляет собой простейший жидкостной манометр в виде трубки (обычно стеклянной) с открытым верхним концом, сообщающимся с атмосферой (рис. 2 – 7). Определим давление p у нижнего конца пьезометра в точке A, применив основное уравнение гидростатического давления (2 – 3) к жидкости, находящейся в пьезометре: p  pат   .h р . Отсюда давление, которое показывает пьезометр высотой hр столба жидкости в нем будет равно p  p ат pизб . (2 – 10) hр     Таким образом, пьезометр измеряет в жидкости избыточное давление (разность давлений в данной точке жидкости и в той среде, куда выходит открытый конец трубки). При po=pат (открытый резервуар, водоем) пьезометрическая глубина для любой точки жидкости равна глубине ее погружения. Действительно, применяя уравнение (2 – 3) к жидкости, находящейся в пьезометре и резервуаре, получим (рис. 2 – 7): p p   .h  p   .h или h  h . ат p o p В жидкостных манометрах (пьезометрах) в качестве рабочей жидкости часто применяют ртуть, имеющую значительный удельный вес, благодаря чему становится возможным измерять более высокие давления. Определим высоту столба жидкости, кгс соответствующую давлению p  1ат  1 для воды и для ртути: 2 см 1 кгс 10000 кгс 2 p м 2  10 м . h   см  вод.ст.  1000 кгс 1000 кгс м3 м3 18 10000 кгс м 2  0,735м . h h рт.ст.  13600 кгс м3 Таким образом, имеем следующие практически важные соотношения между единицами измерения давления: 1 кгс  1ат  9,81.104 н  10 м вод.ст. = 735 мм рт. ст. см 2 м2 1 н  1,02.10 5 ат  1,02.10 5 кгс =1,02.10-4мвод.ст. = 0,75.10-2 мм рт.ст. м2 см 2 Давление измеряют следующими приборами: атмосферное – барометрами, избыточное – манометрами, а вакуумметрическое – вакуумметрами. Суммарное давление жидкости на плоскую поверхность При определении давления жидкости на какую-либо поверхность возникают два практических вопроса – чему равна величина силы суммарного давления и в какой точке, по какому направлению эта сила приложена к поверхности. Выведем расчетную формулу для определения величины суммарного давления жидкости на плоскую поверхность произвольной формы, расположенную наклонно к горизонту. Для этого изобразим наклонную плоскую стенку (рис. 3 – 1), удерживающую жидкость и находящуюся под углом  к горизонту. Начало прямоугольных координат расположим на свободной поверхности жидкости так, чтобы ось Ox совпала с горизонтальной линией пересечения свободной поверхности с наклонной стенкой. Ось Oy направим вниз по наклонной стенке. Для удобства рассмотрения наклонную стенку повернем вокруг оси Oy на 90 до совмещения с плоскостью чертежа. Выделим в плоскости стенки площадь F произвольной формы и определим на нее суммарное давление жидкости. След площади F на наклонной стенке изобразится линией mn. Разобьем площадь F на бесконечно малые горизонтальные площадки высотой dy и площадью dF. Удаление площадок от оси Ox будет определяться текущей координатой y, а погружение под уровень свободной поверхности – глубиной h. Рис. 3 - 1 19 В пределах каждой элементарной площадки гидростатическое давление можно считать постоянным (h=const) и равным p  p   .h  p   . y. sin  . o o Сила давления жидкости на элементарную площадку dF будет: (3 – 1) dP  p.dF  ( p   . y. sin  ).dF o Величина силы суммарного давления P на всю площадь F будет равна сумме давлений dP на все элементарные площадки dF и для ее определения необходимо проинтегрировать выражение (3 – 1) по всей площади F: P  F dP  F ( p   . y. sin  ).dF  F p .dF   F  . y. sin  .dF  = p0 F  . sin  .F y.dF . (3 – 2) Интеграл F y.dF есть статический момент Sx площади F относительно оси Ox и равен произведению этой площади на координату yo ее центра тяжести (рис. 3 – 1): (3 – 3)  F y.dF  S x  yo .F . Подставляя выражение Sx из (3 – 3) в (3 – 2), получим P  p .F   . y . sin  .F . (3 – 4) o o y . sin   h , Заменяя o. o где: ho – глубина погружения центра тяжести площади под уровень свободной поверхности жидкости, получим окончательно следующую формулу для определения величины суммарного давления жидкости: (3 – 5) P  p .F   .h  (p ).F . o o.F o   .h o Выражение (po + .ho) есть гидростатическое давление в центре тяжести площади F. Поэтому можно сказать, что суммарное давление жидкости на плоскую поверхность равно гидростатическому давлению в центре тяжести этой поверхности, умноженному на площадь этой поверхности. Это справедливо для плоской поверхности любой формы, при любом угле наклона ее к горизонту. Если давление на свободной поверхности жидкости равно атмосферному (открытый резервуар, водоем), т.е. po=pат , избыточное суммарное давление жидкости на плоскую поверхность будет равно P   .h .F . (3 – 6) изб o Величина .ho есть избыточное гидростатическое давление в центре тяжести площади F. Центр давления жидкости на плоскую поверхность Точка приложения силы суммарного давления жидкости к поверхности, на которую она действует, называется центром давления. Определим положение центра давления, применив известную из механики теорему о моменте равнодействующей: момент равнодействующей силы относительно какой-либо оси равен сумме моментов составляющих сил относительно той же оси. В нашем случае равнодействующей является сила P суммарного давления жидкости на поверхность F, а составляющими – силы dP давления жидкости на элементарные площадки dF. Обозначим координату центра давления через yc, а глубину его погружения под уровень свободной поверхности – hc (рис. 3 – 1). Тогда беря моменты относительно оси Ox, согласно теореме о моменте равнодействующей можем написать 20 P. y   F y.dP . (4 – 1) c Интеграл правой части выражает суммарный момент элементарных сил давления dP относительно оси Ox. Подставляя в (4 – 1) ранее полученные выражения для P и dP, получим ( p .F  .. sin  . y .F ). y  F y.( p   . y. sin  ).dF , o o c o откуда ( p .F   . sin  . y .F ). y  p  F y.dF   . sin  . F y 2 .dF . o o c o Учитывая, что y .F   F y.dF  S , o x а момент инерции площади F относительно оси Ox, 2  F y .dF  I x получим ( p .F   . sin  .S ). y  p .S   . sin  .I , o x c o x x откуда p .S   . sin  .I x . y  o x (4– 2) c p .F   . sin  .S x o Формула (4 – 2) позволяет определить положение центра давления при полном суммарном давлении. Из нее легко получить формулу для определения положения центра давления при избыточном суммарном давлении жидкости в частном случае, когда po=pат : I y  x . (4 – 3) c S x Сила суммарного давления, приложенная в центре давления, являясь равнодействующей параллельных сил, нормальных к плоской поверхности, будет также нормальна к этой поверхности (рис. 3 – 1). Определим положение центра давления относительно центра тяжести площади F для случая избыточного давления (при po=pат).Выразим момент инерции Ix площади F относительно оси Ox через момент инерции Io этой площади относительно оси, проходящей через центр площади F параллельно оси Ox. При параллельном переносе координатных осей I  I  y 2 .F . (4 – 4) x o o Подставляя в (4 – 3) значения Ix по (4 =- 4) и Sx=yo.F, получим y 2 .F  I o . y  o c y .F o Откуда, поделив почленно числитель на знаменатель, будем иметь I y y  o . c o y .F o (4 – 5) 21 Так как дробь I o 0, то из y o.F (4 – 5) следует, что y c давления всегда расположен ниже центра тяжести площади (на величину I o ). y .F o 2 6 2 P H  y , т.е. центр o 3 4 Ц.Д. 1 .H 5  h a Рис. 4 - 1 Формулу (4 – 5) удобно использовать при расчетах вместо (4 – 3) для определения положения центра давления избыточного суммарного давления. Для прямоугольного щита с размерами a x b, с нижним краем, находящимся на глубине H, и наклоненного под углом  к горизонту, (рис. 4 – 1), будем иметь: - высота вертикальной проекции щита h  a. sin ; - центр тяжести щита находится на глубине h Hh ; o 2 - координата y центра тяжести щита o Hh 2 ; y  o sin  - площадь щита F  a.b  b.h ; sin  - момент инерции 3 3 I  b.a  b.h . o 12 12. sin 3  Подставляя в формулу (4 – 5), получим   Hh 2 3   h 2  b.h . sin  . sin  = 1 .  H  h   y    ;     c sin   2 sin  h 3 h     12. H    12. sin  . H  .b.h  2 2    Глубина погружения центра давления 2 h  y . sin    H  h    h . (4 – 6)  c c 2  12. H  h  2  Когда высота щита h равна глубине H (рис. 4 – 2) (4 – 7) h  2H. c 3 22 Рис. 4 - 2 Графический способ определения величины суммарного давления жидкости на плоскую поверхность и положения центра давления Эпюрой гидростатического давления называется графическое изображение распределения давления покоящейся жидкости по какой-либо поверхности. Закон распределения давления в покоящейся жидкости определяется основным уравнением гидростатического давления p  p   .h . o Из уравнения видно, что давление p является линейной функцией глубины h погружения точки под уровнем свободной поверхности (po=const; =const). Значит давление p=f(h) изменяется с глубиной по закону прямой линии. Указанное свойство гидростатического давления позволяет весьма просто строить эпюру давления. Построим эпюру гидростатического давления для простейшего случая – избыточного давления жидкости на плоскую прямоугольную стенку (рис. 4 – 2). Для этого случая при po = pат, избыточное давление в каждой точке стенки определяется выражением pизб = .h и равно: - pизб = 0 – на свободной поверхности (в точке 1) при h =0; - pизб = .H у дна (в точке 2) при h = H. Откладывая в определенном масштабе в точке 2 нормально к стенке (в соответствии с первым свойством гидростатического давления) величину вектора гидростатического давления равную .H и соединяя прямой линией концы векторов давления в точках 1 и 2, получим прямоугольный треугольник, представляющий собой эпюру избыточного давления жидкости на стенку. Эпюра давления позволяет определить: 1. гидростатическое давление жидкости в любой точке поверхности – оно выражается ординатой эпюры в соответствующей точке; 2. суммарное давление жидкости на единицу ширины (на 1 пог. м) данной поверхности – оно равно площади эпюры давления: P  ( площадь эпюры) . (5 – 1) пог.м Определим это давление по эпюре для рассмотренного выше случая (рис. 4 – 2) :  .H 2 . P  1 .( .H ).H  пог.м 2 2 изб. 3. суммарное давление жидкости на всю поверхность – оно равно площади эпюры давления, умноженной на ширину b данной прямоугольной поверхности: 23 P  (площадь эпюры). b . (5 – 2) Для случая на рис. 4 – 2 получим 2 P   . H .b . 2 4. положение центра давления; для этого (рис. 4 – 1) надо найти положение центра тяжести эпюры, через который пройдет сила P суммарного давления (как равнодействующая нагрузки, определяемой эпюрой) и провести через центр тяжести эпюры перпендикуляр к поверхности (линию действия силы P), точка пересечения его с поверхностью будет центром давления. Эпюры дают возможность наглядно представить нагрузку от жидкости на ту или иную поверхность и широко используются при решении практических задач. Способ определения величины суммарного давления жидкости на основе эпюры давления называется графоаналитическим. В случае, когда давление в верхней точке поверхности не равно нулю (рис. 4 – 1) эпюра давления жидкости представляет собой трапецию с основаниями перпендикулярными к поверхности. Ее можно построить, откладывая в верхней точке поверхности ординату .(H-h), или, если свободная поверхность построена на чертеже (как на рис. 4 – 1), построить треугольную эпюру для всей стенки и вырезать из нее интересующую нас часть до верхней точки поверхности. Тогда ординату эпюры давления можно определить из чертежа. Суммарное давление жидкости на поверхность определяется по формулам (5 – 1) и (5 – 2). Центр давления на поверхность в этом случае можно также построить графически (рис. 4 – 1). Для этого ординату эпюры давления в верхней точке 2 продлеваем вправо на величину ординаты эпюры в нижней точке 1, и наоборот, ординату в точке 1 продлеваем влево на величину верхней ординаты эпюры. Концы полученных отрезков (точки 3 и 4) соединяем прямой линией. Через точку пересечения отрезка 3-4 и отрезка 5-6, проведенного через середины верхней и нижней ординат эпюры (точки 5 и 6), проводим перпендикуляр к поверхности. На пересечении этого перпендикуляра и поверхности находится центр давления жидкости. На рис. 5 – 1 показаны примеры построения эпюр давления на плоские поверхности. В случае, когда давление на свободной поверхности не равно атмосферному (рис. 5 – 1 - в) эпюра избыточного давления жидкости будет состоять из двух частей – прямоугольной эпюры, соответствующей избыточному давлению (po – pат) на свободной поверхности, и трапецеидальной эпюры, соответствующей давлению самой жидкости, с ординатой равной нулю в точке 1 на уровне свободной поверхности и равной .H в точке 3. В подобных случаях при построении эпюр можно применять следующий прием – p p ат заменить давление (po - pат) соответствующей высотой столба жидкости h  o  (рис.5 – 1–в), повысить уровень в резервуаре на эту величину и применительно к полученному новому расчетному уровню строить эпюру избыточного давления, как и в случаях, показанных на рис. 5 – 1 – а, б. 24 Рис. 5 - 1 Т.о. эпюры давления жидкости на плоские поверхности имеют вид прямо-угольных треугольников или трапеций, основания которых перпендикулярны этим поверхностям. Суммарное давление жидкости на криволинейную поверхность В случае криволинейной поверхности определение силы суммарного давления жидкости усложняется, так как силы давления, действующие в каждой точке нормально к поверхности, не параллельны, имеют разное направление. Поэтому при определения суммарного давления на криволинейную поверхность сначала находят отдельно величины и линии действия составляющих силы суммарного давления по координатным осям (горизонтальной и вертикальной составляющих), а затем, складывая векторы этих сил, определяют искомую силу и точку ее приложения к поверхности (центр давления). Рассмотрим определение избыточного суммарного давления жидкости на цилиндрическую поверхность AB произвольной формы с горизонтальными образующими, ограниченную с боков вертикальными плоскостями (рис. 6 – 1). В этом случае горизонтальная составляющая силы суммарного давления, перпендикулярная к чертежу, будет равна нулю вследствие симметрии поверхности относительно вертикальной плоскости. Выделим на рассматриваемой цилиндрической поверхности элементарную площадку dF, расположенную на глубине h от поверхности жидкости. Избыточное давление жидкости на эту площадку, которая в силу своей малости может считаться плоской, будет равно (6 – 1) dP  p.dF   .h.dF Разложим элементарную силу dP, направленную нормально к площадке dF, на две составляющие – горизонтальную dPг и вертикальную dPв. Угол, образуемый силой dP с горизонтальной плоскостью, обозначим . Очевидно, что горизонтальная составляющая Pг силы суммарного давления жидкости на поверхность AB будет равна сумме элементарных сил dPг, действующих на все элементарные площадки поверхности AB, а вертикальная составляющая Pв – суммой всех элементарных сил dPв. 25 Рис. 6 - 1 Найдем горизонтальную составляющую силы суммарного давления жидкости. Из прямоугольника элементарных сил (рис. 6 – 1) имеем dP  dP. cos   .h.dF. cos . г Величина dF.cos представляет собой площадь вертикальной проекции площадки dF dF. cos  dF . в Подставив в (6 – 1), получим dP   .h.dF . (6 – 2) г в Т.е. горизонтальная составляющая давления жидкости на элементарную площадку dF криволинейной поверхности равна давлению жидкости на вертикальную проекцию этой площадки. Следовательно, горизонтальная составляющая суммарного давления жидкости на всю криволинейную поверхность AB равна сумме элементарных давлений dPг на соответствующие вертикальные проекции dFв всех элементарных площадок, т.е. интегралу от dPг по всей площади Fв вертикальной проекции криволинейной поверхности AB: (6 – 3) P  F dP   .F h.dF . г в в г в Интеграл в правой части (6 – 3) есть статический момент вертикальной проекции Fв данной криволинейной поверхности относительно горизонтальной оси, проходящей через точку C: (6 – 4) F h.dFв  ho .Fв , в где: ho – глубина погружения центра тяжести вертикальной проекции Fв под уровень свободной поверхности жидкости. Подставляя (6 – 4) в (6 – 3), окончательно получим P   .h .F (6 – 5) г o в. Выражение (6 – 5) аналогично формуле определения избыточного суммарного давления на плоскую поверхность, которой в данном случае является вертикальная проекция Fв криволинейной поверхности. Т.о. можно сделать следующий вывод: горизонтальная составляющая суммарного давления жидкости на криволинейную 26 поверхность равна суммарному давлению жидкости на вертикальную проекцию этой поверхности. Рис. 6 - 2 Из (6 – 5) следует, что величина горизонтальной составляющей не зависит от формы и площади криволинейной поверхности. Для изображенных на рис. 6 – 2 криволинейных поверхностей, различных по форме и площади, горизонтальные составляющие будут одинаковы, так как одинаковы вертикальные проекции этих поверхностей. Найдем вертикальную составляющую силы суммарного давления жидкости. Из прямоугольника элементарных сил (рис. 6 – 1) имеем: dP  dP. sin    .h.dF. sin  . в Величина dF.sin представляет собой горизонтальную проекцию площади dF dF . sin   dF . г Как видно из чертежа, величина dFг=dW представляет собой объем элементарной призмы, имеющей высоту h и площадь основания dFг. Поэтому dP   .dW . (6 – 6) в Из (6 – 6) видно, что вертикальная составляющая давления жидкости dPв на элементарную площадку dF равна весу жидкости в объеме элементарной призмы dW, построенной на этой площадке. Следовательно, вертикальная составляющая суммарного давления жидкости на всю криволинейную поверхность AB равна сумме весов всех элементарных призм, построенных на данной криволинейной поверхности, т.е. интегралу от dPв по всему объему тела ABC: P  W dP   .W dW , (6 – 7) в в откуда P   .W . в (6 – 8) Объем W, ограниченный (рис. 6 – 1) : - данной криволинейной поверхностью; - вертикальными плоскостями, проходящими через крайние образующие данной цилиндрической поверхности, а также двумя вертикальными плоскостями, проходящими через ее крайние направляющие; - горизонтальной плоскостью, совпадающей со свободной поверхностью жидкости, называется телом давления. Т.о. из выражения (6 – 8) следует, что вертикальная составляющая суммарного давления жидкости цилиндрическую криволинейную поверхность равна весу жидкости в объеме тела давления. В зависимости от формы и ориентировки криволинейной поверхности может быть (рис. 6 –3) - действительным, если оно примыкает к криволинейной поверхности со стороны, смоченной жидкостью; - фиктивным, если оно примыкает к криволинейной поверхности со стороны, не смоченной жидкостью. 27 Если тело давления действительное, вертикальная составляющая направлена вниз, если фиктивное – вверх. Т.е. вертикальная составляющая всегда направлена от жидкости к поверхности (в соответствии с первым свойством гидростатического давления). Суммарное давление жидкости на криволинейную поверхность равно геометрической сумме векторов ее составляющих. Его величина (6 – 9) P  P2  P2 . г в Рис. 6 - 3 Точка приложения силы суммарного давления (центр давления) расположена на пересечении линии действия силы с криволинейной поверхностью. Чтобы найти центр давления необходимо знать линии действия обеих составляющих суммарного давления, которые пройдут через центры тяжести эпюры горизонтальной составляющей и тела давления (рис. 6 – 4). Определение центра давления на плоскую поверхность рассмотрено выше. Чтобы найти линию действия вертикальной составляющей давления необходимо, в общем случае определить центр тяжести криволинейного треугольника, который находится на пересечении криволинейных медиан (рис. 6 – 4). Если построить прямоугольник сил в точке пересечения линий действия составляющих суммарного давления, найдем линию действия силы суммарного давления P. Точка ее пересечения с криволинейной поверхностью и есть центр давления (точка ЦД на рис. 6 – 4). Рис. 6 - 4 Угол наклона  силы P к горизонту можно определить из соотношения P (6 – 10) tg  в . P г В частном случае, когда цилиндрическая поверхность представляет собой часть прямого кругового цилиндра (рис. 6 – 5), сила суммарного давления жидкости P проходит 28 через центр окружности являющейся направляющей цилиндрической поверхности, так как все элементарные силы dP проходят через ее центр. Рис. 6 - 5 Линию действия силы суммарного давления P можно найти, построив прямоугольник сил в центре окружности, или проведя через центр окружности прямую линию под углом  к горизонту. Рассмотрим несколько примеров задач гидростатики. Пример 1 Определить величину суммарного гидростатического давления и положение центра давления для плоской крышки AB. Построить эпюру давления. Исходные данные: высота крышки a = 1,2 м; ширина крышки b = 1,0м; угол наклона крышки  = 60; высота h1 = 0,6 м; высота h2 = 0,2 м. P A a h 30 к 1,6 5 м Решение Q Высота вертикальной проекции крышки 3 / м; hк  a  sin   1,2  sin 60  1м,04 с Глубина погружения центра тяжести крышки h h 1,040 h0  h1  h2  к  0,6  0,2  м  1,32 м; 2 21,5 Площадь крышки 0,5 F  a  b  1,2  1  1,2 м; 2,0 Величина суммарного гидростатического давления на крышку P    h0  F  9810 1,32  1,2 1,0 15540 м; Глубина погружения центра давления 20 hк2 1,04 2 hc  h0   1,32   1,3210  0,07  1,39 м. 12  h0 12  1,32 ц.д B . 1. 2. 3. 4. 5. h2 m h1 m h0 Построение эпюры гидростатического давления на крышку и графическим способом показано на рисунке. нахождение центра давления 29 Пример 2 Сброс воды из водохранилища производится через туннель прямоугольного сечения размером bh. Вход в туннель закрывается сегментным затвором, имеющим водоудерживающую обшивку в виде криволинейной цилиндрической поверхности AB с горизонтальными образующими. Радиус цилиндрической поверхности R. Ширина затвора - b. Глубина воды в водохранилище – H. Определить аналитически величину суммарного гидростатического давления воды на затвор и найти графически положение центра давления. Исходные данные: b = 6 м. H = 8 м. R = 3 м.  = 50. Pв H H W Pг h  B ц.д. R A 1. 2. P Туннел ь Решение Высота туннеля h  R  sin   3  sin 50  2,30 м. Величина горизонтальной составляющей суммарного давления h 2,30    Pг     H    b  9810   6    6  285500 Н. 2 2    3. Объем тела давления 4. Величина вертикальной составляющей суммарного давления Pв    W  9810 34,0  334000 Н. 5. Величина суммарного гидростатического давления на затвор  1   W  R    R    R  sin   cos  1  cos   H  h   b  360 2   50 1    3    3    3  sin 50 cos 50  1  cos 506  2,30  6   34,0 м3. 360 2   P  Pг2  Pв2  2850002  3340002  568500 Н. 6. Построение центра давления на затвор показано на рисунке. 1.2. ОСНОВЫ КИНЕМАТИКИ И ДИНАМИКИ ЖИДКОСТИ 1.2.1. Основы кинематики жидкости Общий характер движения жидких частиц Кинематикой называют раздел механики, изучающий движение физических тел вообще, вне связи с источником движения (силами). Это определение справедливо и для кинематики жидкости как отдельного раздела гидравлики. Жидкость представляет собой физическое тело, состоящее из бесконечно большого числа бесконечно малых частиц. С большой степенью точности мы можем рассматривать жидкое тело как сплошную среду, эта модель позволяет значительно упростить решение большинства гидравлических задач. Тем не менее, нередки случаи, когда уровень иссле- 30 дования движения жидкого тела требует глубокого знания физических процессов происходящих в движущейся жидкости на молекулярном уровне. В таких случаях вполне удобная модель сплошной среды может оказаться неприемлемой. В гидродинамике принято отвлекаться от молекулярного строения вещества, рассматривая жидкость, как непрерывную среду, сплошь заполняющую пространство (без образования пустот). Часто для изучения характера движения жидкости обращаются к движению ее отдельных частиц. Частицу жидкости можно представить себе как бесконечно малую массу жидкости, занимающую бесконечно малый объем и обладающую всеми физическими свойствами жидкости, поведение частицы жидкости изучается в фиксированной точке пространства, заполненного движущейся жидкостью. Причинами, вызывающими движение жидкости, являются действующие на нее силы (сила тяжести, центробежная сила, внешнее давление и т.п.). Обычно, при решении задач гидродинамики эти силы являются известными. Под действием этих сил происходит деформация жидкости, характеризующаяся изменением взаимного положения отдельных частиц жидкости. Это существенно отличает движение жидкости от движения твердых тел, хотя движение жидкости и происходит в соответствии с общими законами механики (кинематики и динамики). Если напряженное состояние твердого тела характеризуется величиной нормальных и касательных напряжений в нем, то для характеристики деформации (движения) жидкости помимо возникающих в ней напряжений необходимо знать скорости движения отдельных частиц жидкости. Скорость u какой-либо частицы жидкости может быть вполне определена, если станут известными проекции скорости на координатные оси ux, uy, uz, тогда по правилу сложения векторов имеем u  u2  u2  u2 . (1 – 1) x y z Кинематические элементы движущейся жидкости Линия тока. Основной кинематической характеристикой гидродинамического поля является линия тока - кривая, в каждой точке которой вектор скорости направлен по касательной к кривой. Движущуюся жидкость можно рассматривать как совокупное движение материальных точек. Для каждого момента времени графически можно представить положение частицы и ее скорость в виде вектора определенной длины и направление. Совокупность всех векторов скорости материальных точек представит собой поле скоростей или векторное поле (рис. 6. 1). Соединив линией все последующие по времени положения материальной точки, получим линию, которую называют линией тока. Рис. 1.1.2.1. Линия тока 31 Следует отличать линию тока от траектории частицы жидкости. Линия тока является мгновенной фотографией потока. Если движение установившееся, то частица в точности пройдет по линии тока. А если нет? В следующий момент времени, когда частица подойдет к очередной точке, вектор скорости в ней будет уже другим и частица продолжит путь в другом направлении и с другой скоростью. Если ux, uy, uz не равны нулю, то движение называют пространственным, если ux, или uy, или uz равны нулю, то получаем плоское движение, если два компонента равны нулю, то получаем одномерное движение. Трубка тока и элементарная струйка. Совокупность траекторий частиц жидкости (при установившемся движении), проходящих через какой-нибудь малый замкнутый контур образуют трубку тока, а множество траекторий частиц жидкости внутри трубки тока – элементарную струйку. Рис. 1.1.2.2. Трубка тока Согласно струйчатой модели, поток жидкости представляет собой совокупность струек весьма малого поперечного сечения. Так, например поток воды в искривленном канале можно представить себе как совокупность элементарных струек криволинейного очертания (рис. 1.1.2.2). Такое понятие о потоке жидкости весьма удобно для теоретических исследований, а выводы, полученные исходя из предпосылки о струйчатой структуре потока, достаточно удовлетворительно согласуется с действительностью. Уравнение сплошности (неразрывности) течения Рассматривая отдельные элементарные струйки, предполагают, что они имеют неизменяемую форму во времени, обмен частицами жидкости между соседними элементарными струйками исключен, а скорости u одинаковы по всему поперечному сечению струйки d , нормальному к направлению скорости u (рис. 1.1.2.3). Такое поперечное сечение называется живым сечением элементарной струйки. Определим объем жидкости, проходящий через данное живое сечение d элементарной струйки в единицу времени, который называется расходом струйки или элементарным расходом dQ. Поскольку скорость струйки u постоянна по всему сечению d, то все частицы жидкости, находившиеся в плоскости живого сечения в момент времени t за какой-то элементарный проме-жуток времени dt проделают одинаковый путь dl. Это можно представить себе как объем жидкости dW, прошедший через живое сечение d за время dt (рис. 1 – 2) : dW = ddl. (1 – 1) 32 Рис. 1.1.2.3 Тогда объем жидкости, прошедший через живое сечение в единицу времени составит dQ  dW  d. dl  u.d. dt dt Отсюда следует, что элементарный расход равен произведению скорости на площадь живого сечения струйки: (1 – 2) dQ  u.d. При установившемся движении вследствие неразрывности потока жидкос-ти элементарный расход остается постоянным по длине элементарном струйки, т.е. dQ = Const. Это условие для двух произвольно выбранных живых сечений струйки (например, сечений d1 и d2 ) можно записать в следующей виде: dQ = u1.d1 = u2.d2 =Const. (1 – 3) Полученное уравнение ноcит название гидравлического уравнения неразрывности элементарной струйки. Из него следует, что: u d 1  2, (1 – 4) u d 2 1 т.е. скорости в различных сечениях элементарной струйки обратно пропорциональны площадям живых сечений. Это соотношение между скоростями и площадями живых сечений имеет большое практическое значение. Понятие о потоке жидкости В конкретных условиях инженер будет иметь дело не с отдельной элементарной струйкой, а с целым потоком реальной жидкости (например, с потоком воды в реке, канале, трубе, с потоком бензина в сетях бензопроводов, в топливных системах машин и т.п.). В общем случае поток, как уже отмечалось выше, можно представить как совокупность элементарных струек. Введем понятие о живом сечении потока. Живым сечением элементарной струйки (d) мы называли ее сечение плоскостью, перпендикулярной к направлению скорости струйки (u). Если это определение распространить на поток, состоящий из совокупности элементарных струек, то под живым сечением следует понимать поверхность в пределах потока, нормальную в каждой своей точке к направлению скорости u. В общем случае такая поверхность может быть весьма сложной и зависеть от направления скоростей отдельных элементарных струек. 33 Рис. 1.1.4.1. Поток жидкости Рис. 1 - 1 Так, например, на участке расширения потока в искривленном канале (рис. 1 3), когда угол расхождения элементарных струек  достаточно большой, а радиус их кривизны r невелик, живое сечение  будет представлять собой выпуклую поверхность. Такой вид движения принято называть резко изменяющимся. В отдельных частных случаях движения жидкости живое сечение потока является или можно принимать плоским. Так, при параллельно струйном движении (например в круглой цилиндрической трубе, целиком заполненной жидкостью), когда отдельные элементарные струйки строго параллельны, живые сечения потока (рис. 1 - 4) являются плоскими. Движение, близкое к прямолинейному и параллельно струйному, при котором угол расхождения (или схождения) струек незначителен (  0), а радиусы их кривизны большие (r  ) , называется плавно изменяющимся движением (рис. 1 - 5). При плавно изменяющемся движении живые сечения имеют небольшую кривизну, которой можно пренебречь, а живые сечения считать плоскими. Величину площади живого сечения  можно определить как сумму элементарных живых сечений отдельных струек в потоке    d . (1 – 5) Распределение скоростей в плоскости живого сечения бывает, как правило, неравномерным. Так, на прямолинейных участках рек и каналов скорости течения воды у берегов меньше, чем на середине потока, а у поверхности больше, чем у дна (рис. 1–6,а), В круглой цилиндрической трубе в пределах прямолинейного участка скорость течения по оси трубы больше, чем .у стенок (рис. 1 – 6,б). Различие в скоростях движения частиц жидкости в приведенных примерах объясняется прежде всего наличием сил трения, которое у стенок русла потока сказывается больше, чем по оси или у свободной поверхности. Для многих видов потоков, представляющих практический интерес, закономерность распределения скоростей по живому сечению либо мало изучена, либо является сложной. Учет действительного распределения скоростей по сечению затрудняет выполнение гидравлических расчетов. 34 Поэтому в целях получения более простых методов расчетов в гидравлике оперирует со средней скоростью потока v . рис. 1 - 5 рис. 1 – 6 Средней скоростью потока v называется такая скорость, с которой должны были бы двигаться все частицы жидкости через данное живое сечение потока, чтобы обеспечить тот же расход, который имеет место при действительном распределении скоростей по сечению потока. Расходом потока Q называется объем жидкости, проходящий через данное живое сечение в единицу времени. Очевидно, величину расхода потока Q можно определить путем интегрирования элементарных расходов dQ. по всему живому сечению потока: Q   u.d . Заменив в этом выражении местные скорости u скоростью v , постоянной для данного живого сечения (v = Const), получим: Q   u.d  v. d  v.. (1 - 6) Q  v. ; т.е. расход потока в данном сечении равен произведению площади живого 3 сечения на среднюю скорость потока. Размерность расхода в системе СИ Q   мс . На практике расход выражается и в других единицах, например, л/сек, м3/час, и т.д. Рассмотрим расходы жидкости в двух произвольно выбранных сечениях потока 1-1 и 2-2. Напомним, что элементарный расход какой-либо струйки в этих сечениях одинаков, т.е. u .d  u .d . 1 1 2 2 35 Если просуммировать элементарные расходы всех струек, из которых состоит поток, в каждом из двух сечений, получим очевидное равенство или Q1 = Q2 .  u1.d1   u 2 .d2 1 2 Поскольку мы выбирали произвольные живые сечения, то и для любых других сечений потока справедливо, что Q1 = Q2 = Q3 =…= Const, (1 – 7) т.е. при установившемся движении жидкости расход ее в любом живом сечении потока остается постоянным. Это уравнение называется гидравлическим уравнением неразрывности (или сплошности) потока жидкости, имеющим большое практическое значение. Если выразить расход потока через среднюю скорость и площадь живого сечения, то уравнение неразрывности (3 – 3) для двух сечений можно переписать следующим образом: 1.v1 = 2.v2 , откуда v  1  2 , (1 – 8) v  2 1 т.е. в установившемся потоке жидкости средние скорости движения обратно пропорциональны площадям живых сечений. Расход Q , площадь живого сечения потока , средняя скорость v называются основными гидравлическими элементами потока. Гидравлические элементы потока жидкости Кроме известных из предыдущего материала элементов потока: расхода Q, средней скорости v, площади живого сечения  , следует различать еще: - смоченный периметр - ; - гидравлический радиус - R; - ширину потока на уровне свободной поверхности - B; - среднюю глубину потока hср; - гидравлический уклон потока – I. Рис. 1 - 2 Смоченным периметром  называется периметр живого сечения потока или часть его, непосредственно соприкасающаяся с ограждающими стенками потока (рис.1 – 2). Отношение площади живого сечения к смоченному периметру называется гидравлическим радиусом 36 R .  Гидравлический радиус показывает, какая часть площади живого сечения приходится на единицу длины смоченного периметра. Следовательно, гидравлический радиус является обобщенной характеристикой размера и формы живого сечения данного потока. При напорном движении жидкости в круглой трубе 2 R     .d  d .  4. .d 4 При безнапорном движении в трубе с глубиной наполнения h = d/2 2 R   .d .2  d . 8. .d 4 Средняя глубина потока hср равна отношению площади живого сечения  к его ширине на уровне свободной поверхности В. h  . ср B Если русло потока имеет значительную ширину при небольшой глубине, то можно принять (рис. 1 – 2):   B. R   и h   получим: h  R . Таким ср B ср  образом, в этом случае гидравлический радиус можно принимать равным средней глубине потока hср. Тогда на основании равенств Виды движения жидкости Неустановившееся и установившееся движение Величины гидродинамических давлений p и скоростей u в потоке жидкости в общем случае распределены неравномерно, они меняются при переходе от одной точки потока к другой, т.е. являются функциями координат (x, y, z). Помимо того гидродинамические давления и скорости в одних и тех же фиксированных точках потока могут изменяться во времени как по величине, так и по направлению. Эти условия в общем виде могут быть записаны следующим образом: p = f1(x, y, z, t) ; ux = f2(x, y, z, t); uy = f3(x, y, z, t); (В – 2) uz = f4(x, y, z, t). Такой вид движения, при котором гидродинамические давления и скорости в каждой точке потока жидкости изменяются во времени по величине и направлению, называется неустановившимся движением. Примерами неустановившегося движения жидкости могут служить: - движение воды в реке во время весеннего половодья или при разрушении плотины, сопровождающееся изменением во времени уровня воды, ширины потока, скорости течения и давления в каждом сечении потока; - истечение жидкости через отверстие в резервуаре при переменном уровне жидкости в нем, когда траектория струи и скорости истечения жидкости изменяются во времени; - движение перекачиваемой жидкости во всасывающем или нагнетательном трубопроводе поршневого насоса. Неустановившееся движение является самым общим и самым сложным видом движения жидкости, изучению которого посвящаются специальные курсы гидравлики. 37 Мы будем, в основном, рассматривать вопросы, касающиеся установившегося движения жидкости, при котором скорости и гидродинамические давления в каждой точке потока не изменяются во времени, а являются лишь функциями координат. При установившемся движении p = f1(x, y, z); ux = f2(x, y, z); uy = f3(x, y, z); (В – 3) uz = f4(x, y, z). Эти зависимости можно пояснить следующим образом. Пусть в данной фиксированной точке потока с координатами x, y, z в какой-то момент времени t частица жидкости будет обладать скоростью u (с проекциями на координатные оси ux, uy, uz) и испытывать гидродинамическое давление p. Спустя некоторое время dt рассматриваемая частица переместится в какую-то другую точку, может приобрести другую скорость и испытывать другое давление. Но вторая частица жидкости, пришедшая на смену первой в фиксированную точку потока с координатами x, y, z будет обладать в точности такой же скоростью по величине и направлению и испытывать абсолютно такое же гидродинамическое давление, что и первая частица, когда она находилась в данной точке. Следовательно, для полной характеристики установиваегося движения жидкости необходимо уметь находить функции (В – 3), которые будучи выражены в аналитической форме позволяют определить четыре неизвестных величины p, ux, uy, uz в пространстве x, y, z. Примерами установившегося движения жидкости являются: - движение жидкости ( воды, бензина, масла ) в трубопроводе с постоянной скоростью течения; - движение воды в канале постоянного сечения при постоянной глубине воды ; - истечение жидкости через отверстие в резервуаре при постоянном уровне жидкости. Неравномерное и равномерное движение жидкости Обычно рассматривают два вида установившегося движения жидкости неравномерное и равномерное движение. Неравномерным называется такой вид установившегося движения потока жидкости, при котором все элементы потока (скорости, живые сечения, глубины и пр.) изменяются вдоль потока (вниз по течению). Примерами неравномерного движения могут служить движение воды в реке при подпоре потока плотиной или какой-нибудь иной преградой; при стеснении русла реки опорами моста, расширении русла и т.д. Равномерным называется вид установившегося движения, при котором элементы потока (скорости, живые сечения, глубины и пр.) не изменяются вдоль потока. Примерами могут служить движение воды в трубе постоянного сечения или в призматическом открытом канале с постоянной глубиной наполнения, шириной и живым сечением канала. Напорное и безнапорное движение жидкости Как неравномерное, так и равномерное движение жидкости могут проявляться в двух формах: напорного и безнапорного движения. Движение потока в трубе (водоводе) полным ее сечением, когда давление в жидкости больше атмосферного, называется напорным (Рис. 1, а). 38 Рис. Движение потока со свободной поверхностью, давление над которой известно и одинаково на протяжении потока называется безнапорным. (Открытые русла, каналы, канализационные трубы с частичным заполнением трубы и т.д.) (Рис. 1, б). Режимы движения жидкости Движение жидкости, в зависимости от скорости, может проявляться в двух различных по структуре режимах - ламинарном (струйчатом) и турбулентном (беспорядочном). Рассмотрим особенности этих режимов с качественной и количественной стороны. При малых скоростях движения воды (рис. 2.1) - жидкость движется в виде струек, параллельных образующей трубы (а). Это указывает на отсутствие обмена и перемешивания частиц жидкости. Движение струйчатое. Такой режим движения называется ламинарным (в переводе - слоистое). При увеличении скорости течения воды струйки начинает вибрировать принимают волнообразные очертания (б), а после достижения определенной - "критической" скорости - струйка мгновенно смешивается с остальными частицами потока (в). Наступает беспорядочный режим движения жидкости, с сильным перемешиванием частиц, который называется турбулентным. Турбулентный режим характеризуется пульсацией скоростей и по величине и по направлению (пульсация обуславливается шероховатостью стенок и вязкостью жидкости). Ламинарный режим протекает без пульсации скоростей. Кроме турбулентного и ламинарного режимов существуют переходные режимы - от ламинарного к турбулентному и от турбулентного к ламинарному (б). Рис. 2 - 1 Смена режимов происходит вследствие изменения скорости движения жидкости в трубе. Однако существование того или иного режима обусловлено, как установил Рейнольдс, не только величиной скорости, но и плотностью жидкости , вязкостью  (зависящей от температуры) и характерными размерами потока. Переход одного режима в 39 другой происходит при определенном значении некоторого безразмерного параметра (так называемого критического числа Рейнольдса) Re: v.d . v.d Re   , d   где    - кинематический коэффициент вязкости м2/c;   - динамический коэффициент вязкости кгс.с/м2 ;  - плотность жидкости, кг.с2 /м4; d - диаметр трубы, м (размерность в системе мкгcс) . Число Re является безразмерным:   Re   v.d    м.м2.с  .    с.м  Часто в число Рейнольдса вводят гидравлический радиус, являющийся обобщенной характеристикой размера и формы живого сечения потока. Тогда оно имеет следующий вид: Re  .R . R v По опытным данным Рейнольдеа устойчивый ламинарный режим наблюдается (в рассматриваемом им случае напорного движения в трубах), когда число Red < 2300 (ReR < 575). Когда это число больше 2300 (575) - наблюдается турбулентный режим. Для открытых потоков ReRкр = 300. Как уже было сказано, при турбулентном режиме движения жидкости имеет место пульсация скорости и давления. В каждой точке турбулентного потока скорость непрерывно изменяется (как по величине, так и по направлению) во времени. Однако для практических целей нет надобности величину мгновенной скорости и мгновенного давления. В расчетах обычно пользуются средними (во времени) величинами скоростей, давлений и касательных напряжений. Пусть (t, t+T) – достаточно большой промежуток времени, vx, vy, vz – составляющие фактической скорости в данной точке, p – фактическое давление. Составляющие осредненной скорости и осредненное давление в той же точке определяются равенствами: t T 1 t T 1 t T 1 t T v  v dt ; v  v dt ; v  v dt ; p   p dt; x T  x y T  y z T  z t t t t Разности между фактическими и осредненными величинами называются пульсационными скоростями и давлениями: v  v  v и т.д. x x x Наличие пульсационных скоростей в турбулентном потоке приводит к дополнительным нормальным и касательным напряжениям, что в свою очередь выдвигает дополнительное условие подобия: квадратный корень из средней величины квадрата пульсационной скорости V΄ на бесконечности, поделенный на величину осредненной скорости на бесконечности V в натуре и в модели должны быть равны. Эта величина обозначается обычно через ε и называется степенью турбулентности потока. Сопротивления при ламинарном и турбулентном движении Если в точках А и Б прибора Рейнольдса установить пьезометры, то разность пьезометрических высот hf будет показывать потерю напора, происходящую в результате гидравлических сопротивлений (на трение) на длине L . 40 Опытным путем установлено, что потеря напора hf увеличивается с возрастанием скорости v (рис. 2 – 3). При этом при ламинарном режиме потеря напора, а следовательно, и гидравлические сопротивления пропорциональны первой степени скорости. Можно написать hfл = kл.v. При турбулентном режиме потери напора пропорциональны примерно квадрату скорости, т.е. hfт = kт.v2. Рис. 2 - 3 Таким образом, потери напора на преодоление гидравлического сопротивления по длине потока при турбулентном режиме значительно больше тех же потерь при ламинарном режиме. При этом сопротивления при ламинарном режиме вызываются только вязкостью жидкости, а при турбулентном - как вязкостью, так и перемешиванием, вызывающим (при наличии шероховатости стенок) пульсацию скоростей. С увеличением скоростей движения перемешивание (пульсация) начинает играть главную роль в возрастании гидравлических сопротивлений, а следовательно, и потерь напора. Ламинарный режим встречается в природе в основном при движении грунтовых вод (в мелкозернистых грунтах). Турбулентный режим имеет место в трубах, каналах, реках, гидротехнических сооружениях и т.д. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать турбулентный режим движения жидкости и его применение на практике. Распределение скоростей в потоке при ламинарном и турбулентном режимах а) Ламинарный режим. При ламинарном режиме в трубе скорости имеют нулевое значение у стенки трубы и максимальное по оси трубы. При этом изменение скоростей от нуля до максимума идет Q строго по закону квадратичной параболы (рис. 2 – 4). Средняя скорость потока v  ср  равна в этом случае половине наибольшей (максимальной) скорости в центре трубы:  u  k .r 2 ; v  1 u.d  vср = 0,5.umax.   ср     41 Рис. 2 - 4 Параболическое распределение скоростей при ламинарном режиме движения в круглой трубе наступает, в соответствии с теорией Буссинеска, подтвержденной опытом Никурадзе, на некотором расстоянии от входа в трубу. Начальный участок трубы, на котором формируется ламинарный поток, называется участком стабилизации ламинарного потока. Длина Lвх определяется формулой Буссинеска: L  0,065. Re .d , вх d где: Red - число Рейнольдеа (по d т.е. Red ); d - диаметр трубы ; или Lвх  150d (при Red =2300). При ламинарном режиме, следовательно, наблюдается большая неравномерность распределения скоростей и т.о. большие градиенты скорости по нормали (в центре трубы du  0 ), а наибольшего значения он достигает у стенки трубы. dn б) Турбулентный режим. При турбулентном режиме распределение скоростей более равномерно рис (2 – 5). Рис. 2 - 5 При этом у стенок трубы (русла) имеется слой жидкости толщиной , в котором сохраняется ламинарный режим (пограничный ламинарный слой), а остальное "ядро" потока движется в условиях турбулентного режима. Толщина пограничного слоя  невелика - десятые доли миллиметра - и она уменьшается с увеличением средней скорости потока и числа Рейнольдса. Средняя скорость потока в этом случае значительно больше половины максимальной и равна vср = (0,70 … 0,85)umax . Длина участка стабилизации турбулентного режима меньше, чем ламинарного и равна Lст  40d . 1.2.2. Основы динамики жидкости 42 Методы изучения движения жидкости Исходя из практики изучения гидравлики как прикладной дисциплины, можно упомянуть два метода изучения движения жидкости: метод Лагранжа и метод Эйлера. Описание движения жидкости методом Лагранжа сводится к рассмотрению положения частиц жидкости в любой момент времени. Так в начальный момент времени частицы находились в точках 1, 2, 3 и 4. По истечении некоторого времени они переместились в точки: 1', 2', 3' и 4', причѐм это перемещение сопровождалось изменением объѐмов и форм частиц (упругой деформацией). Тогда можно утверждать, что частицы жидкости при своѐм движении участвуют в трѐх видах движения (поступательном, вращательном и деформации). Для описания такого сложного движения жидкости необходимо, таким образом, определить как траектории частиц, так и гидравлические характеристики частиц (плотность р, температуру Т и скорость и) в функции времени и координат x  xa, b, c, t , y  y a, b, c, t , z  z a, b, c, t ,    a, b, c, t , T  T a, b, c, t , u  u a, b, c, t . Переменные а, Ь, с, и t носят название переменных Лагранжа. Задача сводится к решению систем дифференциальных уравнений в частных производных для каждой частицы жидкости. Метод Лагранжа ввиду громоздкости и трудности решения может использоваться в случаях детального изучения поведения лишь отдельных частиц жидкости. Использование этого метода для инженерных расчѐтов не рентабельно. Суть другого метода, метода Эйлера заключается в том, что движение жидкости подменяется изменением поля скоростей. Под полем скоростей понимают некоторую достаточно большую совокупность точек бесконечного пространства занятого движущейся жидкостью, когда в каждой точке пространства в каждый момент времени находится частица жидкости с определѐнной скоростью (вектором скорости). Припишем неподвижным точкам пространства скорость частиц жидкости, которые в данный момент времени находятся в этих точках. Поскольку пространство бесконечно и непрерывно, то мы имеем массив данных о скоростях достаточно полный, чтобы определить (задать) поле в каждой его точке. Условно, но с достаточной точностью такое поле можно считать непрерывным. Теперь вместо изучения траекторий частиц жидкости будем сравнивать поля скоростей. Тогда система уравнений примет вид:     x, y, z , t , u  u  x, y, z , t , T  T  x, y, z , t . Поле скоростей движения жидкости иногда называют гидродинамическим полем по аналогии с электромагнитным, тепловым и др. полями. Анализируя состояние гидродинамического поля на разные моменты времени , можно отметить, что с течением времени поле изменилось, несмотря на то, что в отдельных точках скорости остались постоянными. Такое поле называют нестационарным гидродинамическим полем. В частном случае, когда во всех точках неподвижного пространства с течением времени предыдущие частицы жидкости сменяются другими с такими же скоростями, то поле скоростей во времени не меняется. Такое гидродинамическое поле называют стационарным. В соответствии с этим различают и два вида движения жидкости: уста- 43 новившееся, когда поле скоростей является стационарным и неустановившееся при нестационарном гидродинамическом поле. Дифференциальное уравнение движения идеальной жидкости Общее уравнение движения сплошной среды, когда в каждый момент движения любой материальной системы все силы, приложенные к ней, включая силы инерции, взаимно уравновешиваются, описываются уравнением (рис. 1- 7) (1 – 9)  F  w  d   pn dS  0.  S Здесь η- некоторый объем жидкости, огрнаниченный замкнутой поверхностью S; F  вектор массовой силы, отнесенный к единице массы; w  ускорение элемента d η; pn  вектор поверхностной силы, отнесенный к единице площади. n z pn S η y x рис. 1- 7 Уравнения Навье-Стокса для реальной (вязкой) несжимаемой жидкости. Из уравнения (1 -9) получаются дифференциальные уравнения для реальной (вязкой) несжимаемой жидкости – уравнения Навье-Стокса v v v v x v x v x v x  X  1 p   v ,  x x y y z z x  t  x  v v v v p y y y y  1 v v v Y    v ,  x x y y z z y  y t   v v v v z v z v z v z  Z  1 p   v .  x x y y z z z  t  z  Уравнения Эйлера для идеальной несжимаемой жидкости. Из уравнения (1 -9) получаются также дифференциальные уравнения для идеальной несжимаемой жидкости – уравнения Эйлера 44 v v v v x v x v x v x  X  1 p ,  x x y y z z t  x   v v v v p  y y y y 1 v v v Y  , x x y y z z  y  t  v v v v z v z v z v z  Z  1 p .  x x y y z z t  z   К этим уравнениям необходимо присоединить уравнение неразрывности v v v x  y  z  0. x y z Во многих случаях скорость частиц жидкости в потоке колеблется в небольших пределах с достаточно высокой частотой относительно некоторого постоянного значения. Это явление называют пульсацией скорости. За сравнительно длительное время, которое называют временем осреднения tоср,, можно найти осредненную скорость u , относительно которой происходит ее пульсация: t 1 1 u  u dt. t оср t Действительная мгновенная скорость u равна сумме осредненной u и пульсационной скоростей u = u +u'. Если осредненные скорости в каждой точке потока не зависят от времени осреднения, поток относится к квазиустановившемуся; в противном случае – к неустановившемуся. Процедура отыскания осредненной скорости называется осреднением скорости по времени. Для квазиустановившихся потоков средняя для данного сечения скорость определяется осреднением по площади осредненных скоростей, т.е. 1 v   u d.  Общая интегральная форма уравнений количества движения и момента количества движения Пусть проведена неподвижная замкнутая поверхность S в потоке жидкости, обтекающем неподвижное твердое тело M (рис. 1- 8). Жидкий объем, заключенный внутри S, имеет своей наружной границей поверхность S, а внутренней границей – поверхность твердого тела M. Через бесконечно малый промежуток времени dt , жидкий объем переместится в положение S', которое мы получим, отложив от каждого элемента поверхности S вектор v dt . τ2 Q M S τ1 Рис. 1- 8 S ' 45 В случае установившегося движения уравнение сохранения количества движения будет иметь вид: S M  v dm   v dm  P dt  P dt,  2  1 где P S и P M - главные векторы давлений, приложенных к S и M. Закон сохранения моментов количеств движений приводит к уравнению: S M  r  v  dm   r  v  dm  L dt  L dt,  2  1 s M где L и L главные моменты сил гидродинамических давлений к поверхностям S и M; r - радиус-вектор элементарной частицы dm/ Конечно-разностные формы решения уравнений движения жидкости Разностной схемой решения краевой задачи называют совокупность разностных уравнений, заменяющих данные дифференциальные уравнения, граничные и начальные условия. Одним из способов аппроксимации дифференциальных уравнений разностными заключается в следующем. При помощи системы пересекающихся линий в рассматриваемой области вводится разностная сетка – совокупность узлов (точек пересечения линий), в которых отыскивается приближенное решение. Затем выбирается сеточная конфигурация – группа узлов, которые привлекаются для локальной аппроксимации дифференциальных уравнений. После этого каждая из производных, входящих в уравнение, заменяется отношением разности значений функции в узлах выбранной конфигурации к разности соответствующих значений аргумента. Например, рассмотрим т.н. задачу Коши для переноса t  0  u u  ax, t   0, u x,0  u 0 x , ax, t   0. t x Введем в плоскости (x,t) сетку из параллельных прямых x  k x; t  n t; (k  0,1,2,..., n  0,1,2,...) и будем конструировать разностную схему при помощи трехточечной конфигурации (рис. 1 - 9). (k,n+ 1) Δt (k+1, n) Δx (k,n) Рис. 1 - 9 Занумеруем узлы сетки парами целых чисел (k,n) и примем обозначение f(kΔx,nΔt)= f kn . Для замены производных в узле (k,n) воспользуемся разностными отношениями n 1  un n n u u k u u k  u k  1 k  ;  . t t x x Коэффициент a(x,t) будем брать в узле (k,n). В результате замены получаем разностную схему: 46 un 1  un un  un k k  an k k  1  0. k t x Мы познакомились в первом приближении с порядком составления разностных схем. В практике решения различных задач используется множество разностных схем и способов их решения. Эти задачи решают специалисты механики (теоретики) и математики. Практики - строители должны уметь находить уже реализованные на ЭВМ нужные решения и применять их в своей практической деятельности. Уравнение Д. Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости Вывод уравнения Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости Для вывода уравнения Бернулли воспользуемся уравнениями Л.Эйлера применительно к установившемуся движению идеальной жидкости в элементарной струйке. В этом случае гидродинамическое давление не зависит от времени, а является только функцией координат; жидкость принимается несжимаемой, т.е. обладает постоянной плотностью. Помимо этого примем следующие дополнительные условия: 1) из всех массовых сил действует только сила тяжести; 2) прямоугольная система координат расположена таким образом, что координатная плоскость xOy горизонтальна, а ось Oz направлена вертикально вверх. Установим связь между перемещением частицы жидкости по элементарной струйке и скоростью ее движения (рис. 1 – 3). Если частица жидкости "а" в момент времени t находившаяся в плоcкости живого сечения d за время dt переместится в положение a , то путь ее dl= u.dt, где u - скорость движения частицы в элементарной струйке. Обоэначив проекции скорости на координатные оси через ux, uy, uz, а проекции пути dl через dx, dy, dz, можно получить, что dx = ux.dt; dy = uy.dt; (2 – 1) dz = uz.dt. Эти уравнения накладывают определенные условия на выбор приращения координат dx, dy, dz, которые здесь в отличив от гидростатики не являются произвольными, а представляют собой проекции бесконечно малого пути dl, пройденного частицей. Это обстоятельство сказывается и на окончательном результате интегрирования: полученное уравнение Бернулли будет применимо только для точек одной и той же элементарной струйки. Для вывода уравнения Бернулли преобразуем и проинтегрируем систему дифференциальных уравнений Эйлера движения жидкости. Умножая левые и правые части этих уравнений на соответствующие бесконечно малые приращения координат dx, dy, dz и почленно складывая их получим: du  du p p   du y  p ( X .dx  Y .dy  Z .dz)  1 . .dx  .dy  .dz    x .dx  .dy  z .dz . (2.2)   x y z   dt dt dt    Рассмотрим отдельно слагаемые последнего уравнения. При выбранном направлении осей координат проекции единичной массовой силы (в данном случае силы тяжести) примут следующие значения X  0; Y  0; Z   g. Поэтому первый трехчлен в уравнении (1 – 6) преобразуется к виду  g.dz . 47 Второй трехчлен при принятом условии независимости гидродинамического давления от времени представляет собой полный дифференциал гидродинамического давления dp : p p p .dx  .dy  .dz  dp. x y z Трехчлен в правой части уравнения (1 – 6) преобразуем с учетом выражений (В – 1) и (1 – 5) следующим образом: du du x .dx  y .dy  z .dz  u .du  u .du  u .du  x x y y z z dt dt dt du  2 = 1  du 2  du 2  du 2   1 d  u 2  u 2  u 2   d  u .  2  y z 2  x y z 2 x   Подставляя найденные выражения слагаемых в уравнение (2 – 2) и, перенося все члены в левую часть, будем иметь:  2 dp g.dz   d  u   0.   2  Разделив все члены последнего уравнения на g, мы тем самым отнесем их к единице веса движущейся жидкости (т.к. исходные уравнения Эйлера относились к единице массы жидкости, а mg=G). В результате почленного деления, учитывая, что .g=, получим:  2 dp dz   d  u   0 ,   2.g  откуда 2  p d  z   u   0 .  2.g   Интегрируя это дифференциальное уравнение в полных дифференциалах, получим следующее выражение 2 p z   u  Const. (вдоль струйки) (2 – 3)  2.g Уравнение Даниила Бернулли, полученное в 1738 г., является фундаментальным уравнением гидродинамики. Уравнение Бернулли дает связь между давлением p, средней скоростью υ и пьезометрической высотой z в любой фиксированной точке элементарной струйки при установившемся движении жидкости и выражает закон сохранения энергии движущейся жидкости. Запишем уравнение Бернулли применительно к двум любым произвольно выбранным сечениям для идеальной жидкости. Выберем произвольно на рассматриваемом участке трубопровода два сечения: сечение 1-1 и сечение 2-2. Вверх по трубопроводу от первого сечения ко второму движется жидкость, расход которой равен Q. Для измерения давления жидкости применяют пьезометры - тонкостенные стеклянные трубки, в которых жидкость поднимается на высоту p/ρg. В каждом сечении установлены пьезометры, в которых уровень жидкости поднимается на разные высоты. Кроме пьезометров в каждом сечении 1-1 и 2-2 установлена трубка, загнутый конец которой направлен навстречу потоку жидкости, которая называется трубка Пито. 48 Жидкость в трубках Пито также поднимается на разные уровни, если отсчитывать их от пьезометрической линии. Пьезометрическую линию можно построить следующим образом. Если между сечением 1-1 и 2-2 поставить несколько таких же пьезометров и через показания уровней жидкости в них провести кривую, то мы получим ломаную линию (рис.3.5). Рис.3.5. Схема к выводу уравнения Бернулли для идеальной жидкости Однако высота уровней в трубках Пито относительно произвольной горизонтальной прямой 0-0, называемой плоскостью сравнения, будет одинакова. Если через показания уровней жидкости в трубках Пито провести линию, то она будет горизонтальна, и будет отражать уровень полной энергии трубопровода. Для двух произвольных сечений 1-1 и 2-2 потока идеальной жидкости уравнение Бернулли имеет следующий вид: p u2 p u2 1 1 1 z   z   1  Н  const. 1  1  2.g 2.g Так как сечения 1-1 и 2-2 взяты произвольно, то полученное уравнение можно переписать иначе: 2 p z   u  Н  сonst.  2.g Таким образом, сумма трех членов уравнения Бернулли для любого сечения потока идеальной жидкости есть величина постоянная. Для уяснения смысла отдельных членов, входящих в уравнение Бернулли, рассмотрим их с геометрической и энергетической точки зрения. Геометрический смысл уравнения Бернулли Пользуясь методом размерностей нетрудно показать, что все члены уравнения Бернулли имеют размерность длины. Действительно: z = [L]; 49  3    F . L   [ L];   L2 F    u 2   L2 . T 2   [ L], 2.g  T 2 L  p где: T - символ времени; L - символ длины; F - символ силы. Поэтому все члены уравнения Вернулли можно будет представить себе как высоты. Условимся, отсчет высот производить от некоторой горизонтальной плоскости координат xOy , которую в дальнейшем будем называть плоскостью сравнения, а след пересечения ее с плоскостью чертежа, представляющий собой горизонтальную линию, обозначим через O – O (рис. 2 – 1). Координата z измеряет высоту расположения частицы жидкости над плоскостью сравнения и называется высотой положения. p Второй член уравнения представляет собой высоту столба жидкости, на  которую может подняться уровень жидкости в открытой пьезометрической трубке 1, помещенной в данную точку элементарной струйки, под действием гидродинамического p давления в этой точке. Поэтому член называют пьезометрической высотой или  высотой давления. 2 Для выяснения смысла третьего члена уравнения - величины u в ту же точку A 2.g элементарной струйки поместим изогнутую под прямым углом трубку II, открытую с обеих сторон, которую назовем скоростной трубкой. Отверстие нижнего колена этой трубки направим строго против скорости движения частиц в струйке. Под влиянием скорости uA уровень жидкости в трубке II поднимется выше, чем в пьезометрической трубке 1 на некоторую высоту h, которую мы определим из cледующих соображений. p Избыточный (сверх высоты h  ) высотой h должен вызывать, согласно закону р  Торичелли, истечение жидкости из скоростной трубки II со скоростью v  2.g .h . С другой стороны, частицы жидкости, движущиеся в струйке, стремятся войти в отверстие скоростной трубки со скоростью uA . Так как фактически жидкость не входит в u2 трубку и не вытекает из нее, то uA  v  2.g .h , откуда h  A . 2.g Следовательно разность высот жидкости в скоростной и пьезометрической трубках 2 и выражает собой третий член в уравнении Бернулли. Поэтому член u принято 2.g называть скоростной высотой или скоростным напором. Такова геометрическая интерпретация отдельных членов, входящих в уравнение Бернулли. Применим этот метод геометрического представления к двум сечениям элементарной струйки 1-1 и 2-2. Площади живых сечений соответственно равны d1 и d2; скорости движения частиц в этих сечениях u1 и u2 в соответствии с (1 – 4) обратно пропорциональны площадям живых сечений. Выберем произвольные точки в сечениях 1-1 и 2-2 (в нашем случае они совпадают с центрами тяжести живых сечений d1 и d2). Расстояние от этих точек до плоскости сравнения О-О, соответственно, обозначим через 50 z1 и z2 . p  Сумма высот положения и давления  z   называется пьезометрическим   напором, а линия p-p , соединяющая вершины пьезометрических напоров, называется пьезометрической линией. Сумма пьезометрического и скоростного напоров, представляющая собой сумму трех членов .уравнения Бернулли, называется полным напором H . Геометрическое место вершин сумм трех высот: положения, давления и скоростной называется напорной линией N - N . Из уравнения (1 – 8) видно, что для двух произвольно выбранных сечений элементарной струйки 1-1 и 2-2 эта сумма высот есть величина постоянная. Т.е. напорная линия N - N лежит в горизонтальной плоскости, параллельной плоскости сравнения О - О, на расстоянии H от нее. Отсюда геометрический смысл уравнения Вернулли (1 – 8) можно сформулировать следующим образом: для элементарной струйки идеальной жидкости сумма трех высот: геометрической, пьезометрической и скоростной (т.е. полный напор) не изменяется по длине струйки. Энергетический смысл уравнения Бернулли Напомним, что все члены уравнения Бернулли, выраженные в единицах длины, отнесены к единице веса движущейся жидкости. Использовав метод размерностей, легко установить, что все эти члены могут быть выражены в единицах работы или энергии, отнесенных к единице веса жидкости. Так L   L. FF    FA    ЭF  ,   где: L - символ длины; F - символ силы ( веса ); A - символ работы; Э - символ энергии. Энергия, отнесенная к единице веса, как известно, называется удельной энергией. Таким образом, каждый из членов уравнения Бернулли представляет собой определенный вид удельной энергии движущейся жидкости. Для выявления энергетического смысла уравнения Бернулли рассмотрим вначале некоторую часть элементарной струйки массой m и объемом W , обладающей скоростью u и испытывающей гидродинамическое давление p (рис. 2 – 2). Рис. 2 - 2 51 Если эта масса находится на высоте z от плоскости сравнения О - О, то потенциальная энергия массы струйки m, зависящая от положения, будет равна ее весу, умноженному на высоту поднятия, т.е. m.g.z , отсюда удельная потенциальная энергия положения будет равна : m.g .z e   z. пол m.g Таким образом, первый член уравнения Бернулли – z с энергетической точки зрения представляет собой удельную энергию положения движущейся жидкости. Так как масса струйки занимает объем W и испытывает давление p, то потенциальная энергия давления будет p.W .Поскольку вес жидкости в объеме W можно выразить, как .W, то удельная потенциальная энергия давления определится соотношением: p.W p e   . дав  .W  p Oтсюда видно, что в энергетическом смысле член в уравнении Бернулли  представляет собой вид удельной потенциальной энергии, обусловленной гидродинамическим давлением и называемой удельной энергией давления движущейся жидкости. Сумма удельных энергий положения и давления называется удельной потенциальной энергией движущейся жидкости - eп . p e e e  z . п пол дав  u2 выражает собой величину удельной 2.g кинетической энергии eк движущейся жидкости. Действительно, кинетическая энергия, которой обладает масса m движущаяся со 2 скоростью u будет m.u . Если же эту энергию отнести к единице веса (т.е. разделить на 2 m.g), то легко получить, что Третий член уравнения Бернулли e к 2 2  m.u  u . 2.m.g 2.g Отсюда видно, что сумма трех членов уравнения Бернулли представляет собой полную удельную энергию движущейся жидкости e , которая слагается из удельной энергии потенциальной энергии eп (равной сумме удельной энергии положения и давления) и удельной кинетической энергии eк , т.е. 2 p e e e  z  u  H . п к  2.g Переписав это уравнение для двух частиц ( 1 и 2 ), находящихся в одной элементарной струйке, или для двух положений одной и той же частицы движущейся жидкости , мы заметим, что e  e  e  e  e  H  Const. (1 – 9) 1п 1к 2п 2к Т.е. сумма удельной потенциальной и кинетической энергии по длине элементарной струйки остается постоянной. Уравнение Бернулли в форме (1 – 8) или (1 – 9) позволят четко определить взаимосвязь между удельной потенциальной и кинетической энергией и преобразованием одного вида энергии в другой (например части потенциальной энергии в кинетическую или наоборот). Поэтому уравнение Бернулли представляет собой частное выражение 52 общего закона сохранения энергии. Резюмируя сказанное выше, энергетический смысл уравнения Бернулли можно кратко сформулировать следующим образом: при установившемся движении идеальной жидкости удельная энергия не изменяется по длине элементарной струйки. Уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости При движении реальной жидкости следует учитывать ее вязкость, вследствие которой возникает сопротивление движению частиц (т.е. силы трения). На преодоление сил трения затрачивается часть энергии жидкости. Поэтому удельная энергия жидкости в сечении элементарной струйки 2-2 (рис. 2-3) (e2 или H2 будет меньше удельной энергии жидкости в сечении 1-1 (e1 или H1) на некоторую величину h, равную h'  e1  e2  H 1  H 2 . (1 – 10) Рис. 2 - 3 Отсюда, с учетом выражения (1 – 9), получим уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости в следующем виде: p u2 p u2 (1 – 11) z  1  1  z  2  2  h' , 1  2  2.g 2.g где h’- удельная энергия жидкости (или напор), затрачиваемая на преодоление гидравлических сопротивлений в пути между 1-ым и 2-ым сечением элементарной струйки. Как и все члены уравнения, член h’ имеет размерность длины. Графическое изображение уравнения Бернулли для рассматриваемого случая представлено на рис. 2 - 1. Для струйки реальной жидкости сумма высот геометрической, пьезометрической и скоростной уже не остается постоянной, а убывает по длине струйки, что выражается отклонением напорной линии N – N’ от горизонтальной линии N - N . Величина отклонения представляет собой потерю напора или удельной энергии на соответствующем участке элементарной струйки. Линия N – N’, характеризующая величику .удельной энергии жидкости в любой точке элементарной струйки, называется линией энергии. Линия p – p называется пьезометрической линией. Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости Распространим уравнение Бернулли на поток жидкости при установившемся плавно изменяющемся движении. Предварительно нужно рассмотреть, какое выражение получат удельная потенциальная и удельная кинетическая энергия потока, если принимать во внимание действительное распределение давлений и скоростей, свойственных движущейся жидкости. Остановимся вначале на удельной потенциальной 53 энергии потока. В соответствии со свойствами плавноизменяющегося движения гидродинамическое давление в плоскости живого сечения распределяется по гидростатическому закону. Поясним это на примере потока жидкости в открытом русле (канале), продольный профиль которого представлен на рис.3 –1. Рис. 3 - 1 В сечении 1-1 выберем произвольную точку n, находящуюся на расстоянии zn от плоскости сравнения O - O. Если в эту точку потока опустить пьезометрическую трубку, p то уровень воды в ней поднимется на величину n до уровня свободной поверхности  жидкости, являющейся в данном случае пьезометрической линией. Таким образом, для точки "n" удельная потенциальная энергия выражается следующим образом p z  n . n  Для какой-то другой точки "m" в том же живом сечении 1-1 выражение удельной потенциальной энергии будет иметь вид p z  m. m  Из рис. 3 – 1 видно, что p p z  n z  m , n m    p т.е. сумма высот положения (z) и давления   для этих, а также и для всех других точек   данного живого сечения является величиной постоянной. Отсюда следует, что удельная потенциальная энергия не зависит от положения рассматриваемой точки в плоскости живого сечения и для данного живого сечения, будучи вычис-лена относительно какой-либо плоскости сравнения O - O, является величиной постоянной 54 p (3 – 1) e  z   Const. п  Сравнивая уравнения (1– 11) и (3 – 1) замечаем, что выражение удельной потенциальной энергии установившегося потока жидкости при плавно изменяющемся движении имеет такой же вид, как и выражение потенциальной энергии в уравнении Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости. Сложнее обстоит дело с выражением удельной кинетической энергии потока жидкости. Величина удельной кинетической энергии в уравнении Бернулли для u2 элементарной струйки, как мы убедились, выражается членом , где u - скорость 2.g движения частиц в струйке. Ввиду сложности действительного распределения скоростей по сечению мы ввели понятие средней скорости потока v, исходя из принципа сохранения одного и того же расхода Q . Однако при такой предпосылке удельная кинетическая  v2  энергия потока, вычисленная в данном живом сечении по средней скорости v -    2g  будет отличаться от кинетической энергии, учитывающей действительное распределение скоростей по сечению. Пусть поток состоит из n элементарных струек, имеющих в данном живом сечении скорости u1, u2, u3., … , un .Тогда среднее значение удельной кинетической энергии всего потока по сечению будет равно  u2 u2 u2 u 2  2  1 3 2 e     ...  n  : n  v . к  2g 2g 2g 2g  2g   Это объясняется тем, что квадрат средней величины всегда меньше среднего значения квадратов этих величин. Таким образом, вычисляя удельную кинетическую 2 энергию потока по средней скорости 2v g , мы допускаем занижение ее величины по сравнению с действительной кинетической энергией. Это можно учесть введением поправочного коэффициента  , большего единицы, к третьему члену уравнения Бернулли, который может быть теперь записан в следующем виде  .v 2 e  . (3 – 2) к 2g Последнее выражение представляет собой запас удельной кинетической энергии потока жидкости при плавно изменяющемся движении, где v - средняя скорость потока;  - коэффициент, характеризующий отношение действительной кинетической энергии потока к кинетической энергии его, вычисленной по средней скорости, и называемый коэффициентом неравномерности распределения скоростей по живому сечению или коррективом скорости. Выполненными исследованиями установлено, что среднее значение коэффициента  для установившегося плавно изменяющегося движения в реках, каналах и трубах составляет   1,03 … 1,10. Во многих практических случаях гидравлических расчетов (например, при расчете труб) этим небольшим отличием коэффициента  от единицы пренебрегают, принимая  = 1,0 . Учитывая сказанное выше относительно удельной потенциальной и кинетической энергии потока можно записать, что удельная энергия потока в данном живом сечении 2 p e  e  e  z    .v . п к  2g Тогда для двух различных сечений потока при установившемся плавно изменяющемся движении уравнение Бернулли примет следующий вид (рис. 3.2):   55 p  .v 2 p  .v 2 1 1 1 2 z   z   2 2 h . 1  2 w 2g  2g (3 – 3) В уравнении (3 – 3): z1 – расстояние от произвольно выбранной точки в живом сечении 1 до плоскости сравнения О - О; p1 – гидродинамическое давление, определенное в той же точке живого сечения потока;  - удельный вес жидкости; v1 - средняя скорость в живом сечении 1; g - ускорение силы тяжести; 1 - коэффициент неравномерности распределения скоростей в живом сечении 1 ; z2, p2, v2, 2 - те же величины, определенные в живом сечении 2. hw - удельная энергия ( потеря напора ), затраченная на преодоление гидравлических сопротивлений в пути между первым к вторым сечением. Рис.3.2. Из уравнения Бернулли для потока реальной жидкости следует, что удельная энергия уменьшается по длине потока в направлении движения, так как часть энергии затрачивается на преодоление гидравлических сопротивлений в пределах данного участка потока. Определению потерь напора на преодоление гидравлических сопротивлений посвящен следующая тема. Учет гидродинамических явлений в технике Взаимосвязь уравнения неразрывности и уравнения Бернулли Совместное применение уравнения Бернулли к потоку конечных размеров и уравнения неразрывности позволяет решать многие инженерные задачи, связанные с движением жидкости в реках, каналах, трубах, гидравлических машинах и т.п. По смыслу уравнения неразрывности - всякое изменение живого сечения, в частном случае диаметра трубы, неизбежно влечет изменение средней скорости движения. В соответствии же с уравнением Бернулли изменение скорости (а, следовательно, и 56 2 скоростного напора  .v ) сказывается на величине гидродинамического давления. При 2g рассмотрении некоторых примеров совместного применения этих уравнений не будем пока учитывать потери напора на преодоление гидравлических сопротивлений, учитываемых членом hw в уравнении (3 – 3). Рис. 3 - 11 Наглядной иллюстрацией уравнения Бернулли может служить явление, известное под названием гидродинамического парадокса. Схема прибора для демонстрации гидродинамического парадокса приведена на рис. 3 - 11. Жесткая цилиндрическая труба AB имеет на участке ab вставку в виде тонкостенной резиновой трубки того же диаметра, что и труба AB. Этот участок заключен в герметичную прозрачную камеру C с трубкой E, по которой может нагнетаться воздух под давлением. По трубе AB в течение всего опыта проходит жидкость с постоянным расходом. Если производить повышение давления в камере C путем нагнетания воздуха, то можно было ожидать, что резиновая трубка под действием возросшего давления будет сжиматься, однако на самом деле наблюдается картина прямо противоположная ожидаемой: стенки резиновой трубки расширяются и принимают форму, показанную на чертеже пунктиром. Объясняется это тем, что повышенное давление в камере C передается через стенки резиновой трубки потоку жидкости. Давление в жидкости увеличивается и в соответствии с уравнением Бернулли должна уменьшиться скорость течения. На основании уравнения неразрывности при постоянном расходе это может произойти только за счет увеличения поперечного сечения резиновой трубки, что и наблюдается в опыте. Кавитация В некоторых случаях при движении жидкости в закрытых сечениях происходит явление, связанное с изменением агрегатного состояния жидкости, т.е. превращение ее в пар с выделением из жидкости растворенных в ней газов. Наглядно это явление можно продемонстрировать на простом устройстве, состоящим из трубы, на отдельном участке которой установлена прозрачная трубка Вентури (рис.4.2). Вода под давлением движется от сечения 1-1 через сечение 2-2 к сечению 3-3. Как видно из рисунка, сечение 2-2 имеет меньший диаметр. Скорость течения жидкости в трубе можно изменять, например, установленным после сечения 3-3 краном. Рис. 4.2. Схема трубки для демонстрации кавитации 57 При небольшой скорости никаких видимых изменений в движении жидкости не происходит. При увеличении скорости движения жидкости в узком сечении трубки Вентури 2-2 появляется отчетливая зона с образованием пузырьков газа. Образуется область местного кипения, т.е. образование пара с выделением растворенного в воде газа. Далее при подходе жидкости к сечению 3-3 это явление исчезает. Это явление обусловлено следующим. Известно, что при движении жидкой или газообразной среды, давление в ней падает. Причем, чем выше скорость движения среды, тем давление в ней ниже. Поэтому, при течении жидкости через местное сужение 2-2, согласно уравнению неразрывности течений, увеличивается скорость с одновременным падением давления в этом месте. Если абсолютное давление при этом достигает значения равного давлению насыщенных паров жидкости при данной температуре или значения равного давлению, при котором начинается выделение из нее растворимых газов, то в данном месте потока наблюдается интенсивное парообразование (кипение) и выделение газов. Такое явление называется кавитацией. При дальнейшем движении жидкости к сечению 3-3, пузырьки исчезают, т.е. происходит резкое уменьшение их размеров. В то время, когда пузырек исчезает (схлопывается), в точке его схлопывания происходит резкое увеличение давления, которое передается на соседние объемы жидкости и через них на стенки трубопровода. Таким образом, от таких многочисленных местных повышений давлений (гидроударов), возникает вибрация. Таким образом, кавитация - это местное нарушение сплошности течения с образованием паровых и газовых пузырей (каверн), обусловленное местным падением давления в потоке. Кавитация в обычных случаях является нежелательным явлением, и ее не следует допускать в трубопроводах и других элементах гидросистем. Кавитация возникает в кранах, вентилях, задвижках, жиклерах и т.д. Кавитация может иметь место в гидромашинах (насосах и гидротурбинах), снижая при этом их коэффициент полезного действия, а при длительном воздействии кавитации происходит разрушение деталей, подверженных вибрации. Кроме этого разрушаются стенки трубопроводов, уменьшается их пропускная способность вследствие уменьшения живого сечения трубы. Измерение скорости потока и расхода жидкости С помощью уравнения Бернулли решается большинство задач практической гидравлики. Для этого выбирают два сечения по длине потока, таким образом, чтобы для одного из них были известны величины Р, ρ, g, а для другого сечения одна или величины подлежали определению. При двух неизвестных для второго сечения используют уравнение постоянства расхода жидкости υ1ω 1 = υ2ω2. Совместное применение уравнения Бернулли к потоку конечных размеров и уравнения неразрывности позволяет решать многие инженерные задачи, связанные с движением жидкости в реках, каналах, трубах, гидравлических машинах и т.п. Для измерения скорости в точках потока широко используется работающая на принципе уравнения Бернулли трубка Пито (рис.3.7), загнутый конец которой направлен навстречу потоку. Пусть требуется измерить скорость жидкости в какой-то точке потока. Поместив конец трубки в указанную точку и составив уравнение Бернулли для сечения 1-1 и сечения, проходящего на уровне жидкости в трубке Пито получим где Н - столб жидкости в трубке Пито. 58 Для измерения расхода жидкости в трубопроводах часто используют расходомер Вентури, действие которого основано так же на принципе уравнения Бернулли. Расходомер Вентури состоит из двух конических насадков с цилиндрической вставкой между ними (рис.3.7). Если в сечениях I-I и II-II поставить пьезометры, то разность уровней в них будет зависеть от расхода жидкости, протекающей по трубе. Рис. 3.7. Трубка Пито и pасходомер Вентури Пренебрегая потерями напора и считая z1 = z2 , напишем уравнение Бернулли для сечений I-I и II-II: или Используя уравнение неразрывности Q = υ1ω1 = υ2ω2 сделаем замену в получено выражении: Решая относительно Q, получим Выражение, стоящее перед h , является постоянной величиной, носящей название постоянной водомера Вентури. Из полученного уравнения видно, что h зависит от расхода Q. Часто эту зависимость строят в виде тарировочной кривой h от Q, которая имеет параболический характер. 1.3. ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ И ГАЗА 1.3.1. Гидравлические сопротивления Виды гидравлических сопротивлений Сопротивления движению жидкости, обуславливаемые трением (вязкостью), а также изменением конфигурации потока, называются гидравлическими сопротивлениями, Они разделяются на сопротивления трения по длине потока и местные сопротивления. 59 Сопротивлением трения по длине потока называется сопротивление, вызываемое трением внутри жидкости и между жидкостью и стенками русла (ограждающими стенками). Такие сопротивления характерны для прямых потоков значительной длины - в каналах, трубах, на участках рек. Местным сопротивлением называется сопротивление движению, вызываемое местной деформацией потока при резком изменении его конфигурации, например, при резком расширении или сужении потока, повороте, наличии в трубе задвижек, кранов и т.д. Такие сопротивления характерны в насосах, гидравлических установках с короткими трубами, но имеющими большое количество щитов, задвижек, вентилей и т.д. Основные понятия о потерях напора (энергии) на гидравлических сопротивлениях Потери напора по длине потока учитываются седьмым членом уравнения Бернулли – hw, при этом они подразделяются на два вида: 1) потери напора на трение по длине – hf; 2) потери от местных сопротивлений - hм.с.  2 Потери напора (оба вида) обычно выражают в долях от скоростного напора -  v   2g    (в целях соблюдения размерности), это позволяет принимать принцип сложения потерь напора, т.е. записать h h h (3 - 1) w f м.с. Потери напора на трение по длине потока Потери напора на трение по длине потока зависят от режима движения жидкости. В обоих случаях как ламинарном, так и турбулентном потери определяют по формуле 2 2 (3 – 2) h  . L . v   . v ; f f 2g d 2g где  - коэффициент трения, зависящий от вязкости жидкости, шероховатости стенок и размеров трубы; L - длина прямолинейного участка трубы; d - внутренний диаметр трубы;   . d - коэффициент сопротивления на трение по длине потока; f L v 2 - скоростной напор в трубе . 2g При ламинарном режиме в форму (3 - 2) подставляем лам :   64 . лам Re d Тогда получим: 2 h  64. . L . v  32. .L .v , fлам v.d d 2 g d 2 .g 32. .L  k где: . лам 2 d .g Эта формула подтверждает, что при ламинарном режиме потери напора по длине потока пропорциональны средней скорости в первой степени. 60 При турбулентном режиме определение потерь напора по длине потока встречает большие трудности, вследствие сложности процессов движения воды при этом режиме. Для определения  предложено много формул, и одной из них является формула Дарси (на применима только для d < 0,5 м) где d – в м.   0,02.1  1  ,  40d  Позднейшими исследованиями установлено, что величина  зависит от шероховатости стенок трубы, от того - являются ли трубы гидравлически гладкими или гидравлически шероховатыми. Позднейшими исследованиями установлено, что величина  зависит от шероховатости стенок трубы, от того - являются ли трубы гидравлически гладкими или гидравлически шероховатыми. Рис. 3 - 1 Если взять поверхность трубы под микроскоп, то можно получить два случая, изображенных на рис. 3 – 1 - а) и б): Если высота выступов шероховатости меньше толщины пограничного слоя К < , то трубы называют гидравлически гладкими/ Потери напора в этом случае обусловлены главным образом вязкостью жидкости, т.е. зависят от числа Рейнольдса и в пределах Red = 5.103 … 1.106 величину  определяют по формуле Шевелева 0,25  . Re 0,226 d Если же высота выступов шероховатости стенок трубы больше толщины пограничного ламинарного слоя если К > δ, то такие трубы называют гидравлически шероховатыми. Потери напора зависят от шероховатости стенок и пропорциональны v2, т.е. h  k .v 2 . f Но есть какая-то область между гидравлически гладкими и гидравлически шероховатыми трубами - переходная, потери напора в которой пропорциональны vn , где n < 2, доквадратичный переходный режим. Как в случае квадратичного, так и в случае доквадратичного режимов  определяют по формуле Шевелева 0,0159  0,684  0,226 ,  1   , 226 v   d (для новых стальных труб). 61 Пользоваться такой формулой неудобно, поэтому для определения  пользуются таблицами, вычисленными по этой формуле. Потери напора от местных сопротивлений Потери напора от местных сопротивлений обусловлены резкими изменениями величины и направления скорости движения жидкости. Они определяются по формуле Дарси-Вейсбаха 2 h  .v , м.с. м.с. 2 g где м.с. – коэффициент местного сопротивления; 2 v - скоростной напор в сечении за местным сопротивлением. 2g Значение коэффициента м.с. обычно определяют экспериментально и лишь в некоторых случаях теоретически. Рис. 3 - 2 Приведем некоторые значения коэффициентов местных сопротивлений (рис. 3 –2): - коэффициент сопротивления на внезапном расширении трубы (рис. 3 – 2,6): 2  2     1 ; в. р.     1  - коэффициент сопротивления на внезапном сужении трубы (рис. 3 – 2,7):      1  2  ; в.с.    1  62 т. д. - коэффициент сопротивления на входе из резервуара в трубу: при острой кромке (рис. 3 – 2,1): вх = 0,5 ; при закругленных кромках (рис. 3 – 2,2,3): вх = 0,006 … 0,1. - коэффициент сопротивления вентиля (рис. 3- 2,16) вентиля = 5 …10 ; - коэффициент сопротивления пробочного крана (рис. 3 – 2,12) крана = 2 … 5 и 1.3.2. Движение несжимаемой жидкости в трубах Применение уравнения Бернулли и принципа сложения потерь напора к расчету коротких водопроводных труб Короткими, в гидравлическом смысле, трубами называются трубы, в которых потери напора от местных сопротивлений получаются или одного порядка с потерями на трение по длине, или даже превышают последние. Если потери на трение по длине преобладают (значительно больше) над потерями напора от местных сопротивлений, то такие трубы называют гидравлически длинными. Вывод расчетных формул для расчета коротких водопроводных труб Рассмотрим систему трубопровода, состоящую из резервуара большого диаметра и выходящей из него трубы, состоящей из нескольких отрезков труб разных диаметров и различных местных сопротивлений. На рис. 3 – 3 – два отрезка труб диаметром d1 и d2 и три местных сопротивления – вход из резервуара в трубу, внезапное сужение трубы (d1 > d 2 ) и вентиль в конце второго отрезка трубы . Рис. 3 - 3 63 Примем, что плоскость сравнения проходит через ось трубы, первое сечение – на уровне поверхности воды в резервуаре, второе – непосредственно на выходе из трубы. Напишем уравнение Бернулли в общем виде: p  .v 2 p  .v 2 1 1 1 2 z   z   2 2 h , 1  2  w 2g 2g v2 v2 i h  h  h   .   . i . где w fi м.с.i  fi 2 g  м.с.i 2 g i i i i Примем 1 = 2 = 1. При выбранных сечениях и плоскости сравнения будем иметь: p v2 p p ат 1  0. 1 2 z  H ; z  0;   ; 1 2    2g (Последнее равенство справедливо, если площадь горизонтального сечения резервуара значительно больше площади сечения трубы, тогда v  0 ). 1 Уравнение Бернулли принимает вид: v2 v2 v2 i i . 2 H     fi м . с . i 2g i 2g i 2g v2 Вынеся в правой части последнего равенства множитель 2 за скобки, получим 2g v2 v 2  v 2  i 2 (3 – 3) H .1    .   . i . fi 2  м.с.i 2  2g  v v i i 2 2  Квадратный корень из суммы в скобках обозначают  и называют коэффициентом расхода системы : 1  . v2 v2 1   . i   . i fi 2 м.с.i 2 v v i i 2 2 . Из уравнения неразрывности для потока жидкости следует: v2  2 i  2 . v2  2 2 i С учетом последнего равенства окончательное выражение для коэффициента расхода системы запишем в виде 1  . (3 – 4) 2 2 v v 1   . i   . i fi 2 м.с.i 2 v v i i 2 2 С учетом введенного коэффициента расхода системы  уравнение Бернулли (3 – 3) принимает вид 64 v2 H  2 . 2 , 2g откуда v  . 2 gH . 2 Опуская индекс 2 в обозначении скорости жидкости и площади сечения трубы на выходе из системы (в нашем примере v = v2 ,  = 2), получим следующие выражения для скорости жидкости v и расхода Q =.v на выходе из системы v   . 2 gH . (3 – 5) Q   .. 2 gH . (3 – 6) Для идеальной жидкости все коэффициенты сопротивления  равны нулю, и коэффициент расхода  = 1, а при вязкой всегда  < 1, поэтому физический смысл коэффициента расхода системы можно сформулировать следующим образом: коэффициент расхода системы  показывает во сколько раз расход нормальной (вязкой) жидкости меньше расхода идеальной жидкости. Построение пьезометрической линии Пьезометрическая линия характеризует изменение пьезометрического напора p   z   вдоль гидравлической системы. Чтобы ее построить необходимо вычислить   значения пьезометрического напора для различных сечений системы. Полный напор Hi в произвольном сечении i – i системы равен (рис. 3 – 3): p  v2  H  z  i  i . i  i   2g    v 2   Он меньше полного напора  H  o  в начальном сечении на величину потерь напора hwi 2g     , возникших при движении жидкости от начального до рассматриваемого сечения  v 2   H  H  o   h i  2 g  wi ,   или p  v2  v2   z  i   i  H  o   h .  i   2 g  2 g  wi     Откуда для пьезометрического напора в сечении i – i получим   p v 2   v 2   i o i (3 – 7) z   H    h .  i  wi     2g      Из последнего выражения следует, что для определения пьезометрического напора в  v 2   любом сечении i – i необходимо знать полный напор  H  o  в начальном сечении 2g     65 v2 системы, скоростной напор i в заданном сечении и суммарную потерю напора в 2g системе hwi от начального до заданного сечения. Откладывая вниз от линии полного   v2  v 2    i  o напора  H  в соответствующем масштабе сумму   h  для заданного  wi  2g    2g     сечения, получают точку, соответствующую пьезометрическому напору в этом сечении. Соединив прямыми линиями полученные точки для характерных сечений системы, получают пьезометрическую линию. В рассматриваемом примере, определив расход системы Q и зная площади поперечных сечений труб 1 и 2 , вычисляем последовательно скорости v1 и v2, v2 v2 1 скоростные напоры и 2 и величины всех потерь напора hвх ; hf1 ; hв.с. ; hf2 и hвент . 2g 2g После этого целесообразно произвести проверку по исходному уравнению, в соответствии с которым должно соблюдаться равенство: v2 v2 2 H h  2 h h h h h . w 2g вх f 1 в.с. f2 вент 2g Построение пьезометрической линии (ри. 3 – 3) начинаем с откладывания вниз от уровня свободной поверхности жидкости в резервуаре (точки a), соответствующего величине v02 полного напора в начальном сечении (так как  0 ), величины скоростного напора 2g v2 h  1 . Величина hv1 соответствует потере части напора на создание скорости v1 (на v1 2 g превращение части потенциальной энергии жидкости в кинетическую энергию). Затем откладываем от точки б вниз потерю напора на входе из резервуара в трубу hвх и получаем точку в. Далее в конце первой трубы от уровня точки в откладываем вниз потерю напора на трение hf1 и проводим наклонную линию вг, соответствующую падению напора на трение вдоль этой трубы. В сечении, соответствующем внезапному сужению трубы, происходит резкое увеличение скорости жидкости, и таким образом скоростного напора (удельной v2  v2 2  0 (так как v < v ). Это кинетической энергии жидкости) на величину h  1 1 2 v 2g приводит к резкому уменьшению на такую же величину пьезометрического напора (удельной потенциальной энергии жидкости) в этом сечении. Поэтому величину hv , являющуюся отрицательной, откладываем вниз от точки г и получаем точку д. От точки д откладываем вниз потерю напора на внезапном сужении трубы hв.с. и получаем точку е. В случае, если бы имело место внезапное расширение трубы, в этом сечении произошло бы, наоборот, резкое уменьшение скоростного напора на величину v2  v2 2  0 . Это привело бы к увеличению пьезометрического напора на величину h  1 v 2g hv, которую следовало бы отложить вверх от точки г. Затем от полученной таким образом точки следовало бы отложить вниз потерю напора на внезапное расширение трубы hв.р.. 66 Далее от уровня точки е откладываем в конце второй трубы величину hf2 и проводим наклонную линию еm, соответствующую падению напора на трение вдоль второй трубы. Пьезометрическая линия закончится в точке n, лежащей на оси выходного сечения, причем отрезок mn будет равен потере напора на вентиле hвент . Рассмотрим несколько примеров задач по расчету трубопроводов. Пример 1. Определить расход воды Q в системе, указанной на рисунке. Построить пьезометрическую линию. Исходные данные: H = 10 м; l1 = 25 м; d1 = 150 мм; l2 =10 м; d2 =125 мм; l3 =15 м; d3 =125 мм;  = 45. В конце системы имеется вентиль обыкновенный. hv1+hвх=0,48м hf1=1,53м hf2=1,60м hv2-hv1+hв.с.=0,43м H hпов=0,23м hf3=2,40м hкр=3,32м l3 , d3 l2 , d2 l1 , d1 45 Решение Расход определяется по формуле Q   . 2 gh. Коэффициент расхода системы  1 2 2 1    fi 2    м.с.i 2 i i i i . Для заданной системы 2 2 2 2       ; f1 f2 f3 i2 12  22 32 i 2 2 2 2 2          i м.с.i  2 вх  2 в.с.  2 пов  2 кр  2 . i 1 2 3 3   fi Площади поперечного сечения труб: 1    d12 4    0,152 4  0,0177м 2 ;  2  3      0,1252 4  0,0123м 2 ; 67 2    0,695; 1 1 По справочным данным: коэффициенты трения 1  0,0286; 2  0,483; 12 2 2   1.  22  32 2  3  0,0301; коэффициенты сопротивления:  вх  0,5; - на входе в трубу - на внезапном сужении 2    0,5  (1  0,695)  0,15;  1   - на резком повороте при   45  пов  0,35; - на вентиле обыкновенном  кр  5,00.   в.с.  0,51  l1 25  0,0286  4,77; d1 0,15 l 10  2 2  0,0301  2,41; d2 0,125 l 15  3 3  0,0301  3,61; d3 0,125  f 1  1  f2  f3   fi i   fi i 2  4,77  0,483  2,41  3,61  8,32; i2 2  0,5  0,483  0,15  0,35  5,00  5,74; i2 1   0,2576; 1  8,32  5,74 Расход Q  0,2576  0,0123 2  9,81  10  0,0444м 3 / c  44,4 л / с. Скорости течения и скоростные напоры: v1  Q 1  v2 0,0444  2,51м / с; hv1  1  0,321м; 0,0177 2g v32 v22 0,0444 v2 v  v 2  v3    3,61м / c; hv  hv 2  hv 3     0,664м.  0,0123 2g 2g 2g Q Потери напора: - на входе в трубу hвх   вх v12  0,5  0,321  0,161м; 2g hf1   f1 v12  4,77  0,321  1,531м; 2g - на трение в первой трубе - на внезапном сужении - на трение во второй трубе v2 2  0,15  0,664  0,100м; h  в.с. 2 g в.с. 68 hf 2   f 2 v22  2,41 0,664  1,600м; 2g - на повороте трубы hпов   пов - на трение в третьей трубе hf 3   f 3 - v22  0,35  0,664  0,232м; 2g v22  3,61 0,664  2,397м; 2g на вентиле обыкновенном hкр   кр v22  5,00  0664  3,320м. 2g Проверка v2   hi  H ; 2g i 0,664+0,162+1,531+0,100+1,600+0,232+2,397+3,320 = =10,005 м  10 м = H. Построение пьезометрической линии (линии падения напора) приведено на рисунке. Пример 2. Сифонный трубопровод диаметром d подает воду из одного резервуара в другой под напором H. В начале трубопровода установлен приемный клапан с сеткой, в конце – задвижка. Определить расход воды, проходящей по сифону, а также абсолютное давление и вакуум в верхней точке сифона (сечение 3 – 3), расположенной на высоте h над уровнем воды в верхнем баке. Длина восходящей трубы сифона (до сечения 3 – 3) равна l1,нисходящей – l2 . Построить линию пьезометрических напоров. Исходные данные:H = 5,0 м; h = 2,5 м; l1 = 20,0 м; l2 = 25,0 м; d =0,2м. 3 h о1 P2 33 l1 Pвак  1  5,67 м hf1+hf2=1,09 о м P l2 а H v2/2g + hпр.к =2,69 м h2 1. 2 hзадв=1,22 м Решение По справочным данным определяем коэффициенты сопротивлений и коэффициент трения пр.к. = 10,0; задв = 5,0;  = 0,0247; l1 20  0,0247   1,976; d1 0,25 l 25    2  0,0247   2,470; d2 0,25  f1     f2 2. 2 Вычисляем коэффициент расхода 69 1  1  3. 1  10,0  1,976  2,470  5,0  0,22115; Площадь сечения трубы  4.  1   пр.к.   f 1   f 2   задв  d2  4   0,252 4  0,04909 м2. Расход Q      2 g  H  0,22115 0,04909  2  9,81  5  0,1075 м3 /с. 5. Средняя скорость течения воды в сифоне и скоростной напор 0,1075  2,190 м/с.  0,04909 v 2 2,1902   0,2445 м. 2 g 2  9,81 v 6. Q  Потери напора hпр.к.   пр.к.  v2  10,0  0,2445  2,445 м; 2g v2 hf1   f1   1,976  0,2445  0,483 м; 2g v2 hf 2   f 2   2,470  0,2445  0,604 м; 2g v2 hзадв   задв   5,0  0,2445  1,223 м. 2g Проверка v2  hi  2 g  2,445  0,483  0,604  1,223  0,245  5,0 м  H . 7. Для определения давления и вакуума в сечении 3 – 3 составляем уравнение Бернулли. В качестве плоскости сравнения принимаем плоскость поверхности воды в верхнем резервуаре. Сечение 1 – 1 – поверхность воды в верхнем резервуаре, второе – сечение 3 – 3. z1  p1   1  v12 2g  z2  p2    2  v22 2g  hw ; Далее имеем:  1   2  1; z1  0; z2  H ; p1  pа ; p 2  ?; pа  v1  0; v2  v hw  hпр.к.  h f 1 .  h p2   v2  hпр.к.  h f 1 ; 2g   v2 p 2  p а    h   hпр.к.  h f 1   2g   6  0,1  981010  2,5  0,245  2,445  0,443   0,0447МПа  4,6 м вод. ст. Вакуум в сечении 3 – 3 pвак  pа  p2  0,1  0,0447  0,0553МПа  5,7 м вод. ст. 70 Гидравлический расчет длинных трубопроводов Определение длинных трубопроводов Выше был рассмотрен расчет так называемых коротких (в гидравлическом смысле) труб. В этой теме рассматривается расчет длинных трубопроводов, в которых потери напора по длине значительно превышают потери напора на преодоление местных сопротивлений. В этом случае потерями напора от местных сопротивлений можно пренебречь или при необходимости учесть их суммарно увеличением потерь напора на трение по длине потока на 5 - 10 %, принимая hw = (1,05 - l,10).hf . (2 - 1) Примерами длинных трубопроводов могут служить трубопроводы водопроводных сетей, сетей для транспортирования нефтепродуктов на значительные расстояния и т.д. В зависимости от гидравлической схемы работы трубопроводы подразделяются на простые и сложные. Простым называется трубопровод, состоящий из одной линии труб (без ответвлений) с постоянным расходом по всей длине трубопровода. Простой трубопровод может иметь постоянный диаметр по всей своей длине (рис.2 - 1,а) или отдельных участков труб разного диаметра (последовательное соединение труб ) (рис. 2 1,6 ). Рис. 2 - 1 Сложным называется трубопровод, состоящий из нескольких линий или имеющий переменный расход по длине вследствие отвода жидкости в узлах (местах разветвлений трубопровода) или непрерывной раздачи ее в пути. Сложные трубопроводы подразделяются на: 71 параллельно-разветвленные (рис.2 - 1,в ); тупиковые (рис.2 - 1,г); кольцевые (рис.2 - 1,д); с непрерывным путевым расходом жидкости (рис.2 - 1,е). В параллельно-разветвленных трубопроводах имеет место разветвление труб с последующим соединением ветвей. Тупиковые водопроводы имеют основной трубопровод, называемый магистралью, и отходящие от него отдельные тупиковые трубопроводы (ветви). В кольцевом трубопроводе, в отличие от тупикового, концы разветвлений замкнуты в одно или несколько колец. Кольцевой трубопровод обеспечивает надежную и бесперебойную подачу воды за счет перераспределения расхода в сети. Мы будем рассматривать лишь гидравлический расчет длинных труб простого трубопровода и отдельных элементов сложного трубопровода. Методы гидравлического расчета сложных водопроводных сетей излагаются в курсе "Водоснабжение". Гидравлический расчет длинных трубопроводов производится с целью определения геометрических размеров трубопроводов, предназначенных для пропуска определенного расхода жидкости или с целью установления гидравлических характеристик трубопровода - потерь напора и пропускаемого расхода - при известных размерах его. При гидравлическом расчете длинных трубопроводов часто используют так называемую "водопроводную" формулу. Водопроводная формула На участках трубопровода постоянного диаметра и расхода имеет место напорное равномерное движение жидкости, уравнение которого (1 – 5) имеет вид: Q  C.. R.I . p Пьезометрический уклон Ip в этом уравнении представляет собой потерю напора, h f обусловленную трением, на единицу длины потока, т. е. I  . Подставив последнее p L выражение в уравнение равномерного напорного движения и решая его относительно hf , получим: Q 2 .L h  f C 2 . 2 .R Обозначив С2.2.R = K2 , последнюю зависимость приведем к виду: Q 2 .L h  H. (2 – 2) f K2 Это выражение и называется водопроводной формулой В которой: hf - потери напора на трение в трубе диаметром d и длиной L; Q - расход воды; K - модуль расхода (или расходная характеристика), K  C.. R . Из уравнения (1 – 5) следует, что Q C.. R  K, (2 – 3) Ip откуда видно, что размерность модуля расхода совпадает с размерностью расхода Q. Для случая напорного равномерного движения модуль расхода является функцией диаметра трубы и ее шероховатости, так как 72  .d 2 d 1 y ; C  .R , где y  yR, n . 4 n 4 Значение коэффициента шероховатости n принимают в зависимости от материала труб (стальные, оцинкованные, неоцинкованные, чугунные, асбестоцементные и т. п.), способа обработки их внутренней поверхности (без обработки, с хорошо заглаженными стыками и т.п.) и от состояния труб (новые трубы; трубы, бывшие в эксплуатации). При определенном постоянном значении коэффициента шероховатости (т.е. при n = const) K = f(d) . Значения K для новых стальных водопроводных труб (при n = 0,012) наиболее употребительных стандартных диаметров приведены в учебники. При расчетах водопроводных труб величину, обратную квадрату модуля расхода часто обозначают через A .Тогда водопроводная формула (2 – 2) переписывается в виде: Hf = A.Q2.L, (2 – 4) 1 где . A 2 K  ;    .d ; R  Из формулы (2 – 2) видно, что потеря напора имеет размерность длины и может быть выражена в метрах столба перекачиваемой жидкости. Расчет простого водопровода Рассмотрим простой трубопровод постоянного диаметра d,подающего воду из точки A, где установлена водонапорная башня или насос, в точку B , где находится потребитель воды (жилое или служебное здание, отдельный объект, водоразборная колонка и т.п.) (рис. 2 – 2). Введем следующие обозначения: - zA и zB - высота положения (нивелировочные отметки) точек A и B; - HA и HB - начальный и конечный напоры; Рис. 2 - 2 L - длина трубопровода; Q - расход трубопровода. Составим уравнение Бернулли для сечений 1 - 1 и 2 – 2: p p z H  a  z H  a h . A A  B B f  73 Учитывая, что zA – zB + HA – HB = H; H1 = zA + HA; H2 = zB +HB; H = H1 – H2 , получим H = hf , Откуда Q 2 .L H . 2 K В последних формулах Н - действующий напор. Таким образом действующий в трубопроводе постоянный напор Н затрачивается на преодоление гидравлических сопротивлений в пути между сечениями 1 – 1 и 2 – 2, главным образом, на преодоление сопротивлений трения по длине потока. В целях упрощения расчетов с применением водопроводной формулы часто пренебрегают потерями напора: а) на трение по длине стояков в точках А и В (если такие имеются), т.к. длина их существенно меньше длины основного трубопровода и б) на преодоление местных сопротивлений ввиду малости последних по сравнению с потерями на трение по длине. В этом случае водопроводная формула принимает вид: Q 2 .L H , (2 – 5) K2 где K2 = C2.2.R , H = zA – zB + HA – HB = H1 – H2 . (2 – 6) Из водопроводной формулы (2 – 5) следует, что при постоянном расходе потери прямо пропорциональны длине трубопровода, т.е. в случае простого трубопровода пьезометрическая линия будет выражаться прямой ab, соединяющей уровни свободной поверхности воды в резервуарах (или в пьезометрах, подключенных в точках А и В). Анализ структуры формулы (2 – 5) показывает, что при расчете простого трубопровода могут встретиться задачи трех типов: Задача 1.Определение расхода трубопровода Q; Задача 2.Определение начального или конечного напора (H1 или Н2); Задача 3. Определение диаметра трубопровода. Рассмотрим методы решения указанных типов задач. Задача 1. Определись расход Q, пропускаемый трубопроводом диаметром d и длиной L, если известны напоры в начале (H1) и в конце (H2) трубопровода. Решение. Определяется величина действующего напора H по формуле (2 – 6). Затем для заданного диаметра труб находится соответствующее ему значение модуля расхода К. Найденные значения Н и K подставляются в водопроводную формулу, откуда ( H  H ).K 2 1 2 . (2 – 7) Q L Задача 2. Определить величину начального напора H1 необходимого для пропуска заданного расхода Q по трубопроводу диаметром d и длиной L и для обеспечения конечного напора H2 . Решение. Аналогично предыдущему определяется значение К. Далее из формулы (2 – 6) с учетом формулы (2 – 5) имеем Q 2 .L H  H . 1 2 2 K Аналогичным образом решается задача по определению конечного напора H2 при известной величине начального напора Н1. Задача 3. Определить диаметр трубы d длиной L ,который необходим для пропуска заданного расхода при определенных значениях напора в начале H1 и в конце H2 трубопровода. 74 Решение. Используя формулу (2 – 5) вычисляют значение К . Q 2 .L K . H H 1 2 По вычисленной величине К находится диаметр труб d, отвечающий ближайшему большему значению К стандартных труб. Расчет элементов сложного трубопровода А. Последовательное соединение труб При последовательном соединении труб может иметь место два расчетных случая: I случай, когда начальный расход Q проходит транзитом по всей системе без отвода воды в каких-либо точках (узлах) системы (пример простого трубопровода); II случай, когда в отдельных узлах трубопровода отводится некоторый расход воды (пример сложного трубопровода). Поскольку методы расчета трубопровода для этих двух случаев имеют много общего, рассмотрим их в одном разделе данной главы. 1-ый случай. Последовательное соединение труб без отвода воды в сторону. Рассмотрим трубопровод, состоящий из труб разных диаметров d1, d2,и d3 при длине участков, соответственно L1, L2 и L3 (рис. 2 – 3). Рис. 2 - 3 Пусть начальный и конечный напоры Н1 и Н2 известны, а требуется определить величину расхода Q, проходящего транзитом по всей системе. Поскольку вода из системы никуда не отводится (т.е. qС = 0 и qД = 0) то Q1 = Q2 = Q3 = Q . Общая потеря напора в трубопроводе будет складываться из потерь на отдельных участках hf1 + hf2 + hf3 = hf.. Последнее выражение с учетом водопроводной формулы можно переписать в виде 75 Q 2 .L Q 2 .L Q 2 .L 3 H. 1 2  (2 – 8) 2 2 2 K K K 1 2 3 Отсюда нетрудно найти величину расхода Q .По вычисленному значению расхода определяются потери напора на отдельных участках водопровода hf1, hf2, hf3, после чего строится пьезометрическая линия. Как видно из рис. 2 - 3 пьезометрическая линия представляет собой ломаную линию. По графику на рис. 2 - 3, построенному в масштабе, легко найти величину напора HM в любой точке M трубопровода или определить величину напора hfm, потерянного на длине L . При расчете последовательного соединения труб могут возникнуть и другого рода задачи, в частности: а) по определению начального H1 или конечного H2 напора при известных значениях расхода, длин и диаметров последовательно соединенных труб и одного из напоров (конечного или начального); б) по определению одного из диаметров труб в системе трубопроводов. Первая задача решается преобразованием уравнѐния (2 – 8) относительно неизвестной величины. Во второй задаче, как и для случая простого трубопровода одного диаметра, уравнение (2 – 8) решается относительно неизвестной величины К ,по которой подбирается ближайший большой стандартный диаметр трубы. Beличина расхода при этом регулируется задвижкой. 2-ой случай. Последовательное соединение труб с отводом воды в сторону В этом случае расходы ,отводимые в точках С и Д, известны и больше нуля (т.е. qС > 0, qД > 0). Пусть требуется определить величину транзитных расходов Q1, Q2, Q3 . Для решения такой задачи необходимо составить три уравнения. Первое уравнение, называемое уравнением общей потери напора в систе-ме получим, аналогично 1-му случаю, в следующем виде: Q 2 .L Q 2 .L Q 2 .L 1 1 2 2  3 3 H, (2 – 9) 2 2 2 K K K 1 2 3 где Н – действующий напор, определяемый по формуле (2 – 6). Недостающие уравнения подучим, исходя из рассмотрения расходов в системе. В сиду непрерывности потока жидкости и по условиям задачи Q1 = Q; Q2 = Q – qС; Q3 = Q – (qС + qД). (2 – 10) Подставив вьражения расходов Q2 и Q3 из уравнений расходов (2 – 10) в уравнение общей потери напора, систему из трех уравнений можем привести к одному уравнению в общем виде (Q  q  q ) 2 .L (Q  q ) 2 .L Q 2 .L С Д 3 С 2 1 (2 – 11)  H. K2 K2 K2 1 2 3 Последнее уравнение содержит лишь одну неизвестную величину Q и решается относительно нее как квадратное уравнение. Найдя значение Q, по формулам (2 – 10) вычисляются расходы Q2 и Q3 . Затем используя формулу (2 – 5), определяют потери напора на отдельных участках трубопровода (hf1, hf2, hf3) и строят пьезометрическую линию. Б. Параллельное соединение труб. Задача по расчету параллельно-разветвленного трубопровода часто сводится к определению расходов и напоров в каждом участке трубопровода. Но в отдельных случаях могут возникать и другие задачи, в частности, по определению диаметра одного из участков трубопровода, а также напора в начале или в конце трубопровода. Прежде чем составлять расчетные уравнения, рассмотрим вопрос о потерях напора в параллельных 76 ветвях. Для этого в точке С (рис. 2 – 4), где трубопровод разветвляется на две параллельные ветви (трубы диаметром d2 и d3 и длиной, соответственно, L2 и L3 ) и в точке D, где эти ветви соединяются, мысленно подключим пьезометры. Рис. 2 - 4 Обозначим напоры в точках C и D, соответственно через HC и HD, а высоту положения этих точек относительно какой- либо плоскости сравнения (в частном случае нивелировочные отметки) через zС и zД. Тогда потеря напора (hf) на пути от точки С до точки D будет равна hf = zC + HC zД – HД. (2 – 12) С другой стороны потери напора hf2 и hf3 в параллельных ветвях составят: Q 2 .L Q 2 .L 2 2 (2 – 13) h  3 3. h  ; f 3 f2 K2 K2 3 2 Из рис. 2 – 4 видно, что потери напора в параллельных ветвях одинаковы, т.е. hf2 = hf3 : Q 2 .L Q 2 .L 2 2  3 3. (2 – 14) 2 2 K K 2 3 Этот вывод, весьма важный для расчета параллельного соединения труб может быть распространен и на случай, когда число параллельных ветвей больше двух. В этом случае потери напора во всех трубах, соединенных параллельно одинаковы. Наконец выясним, как распределяется расход воды в точках разветвления или соединения ветвей. Применительно к схеме приведенной на рис. 2 - 4, расходы, проходящие транзитом по системе, обозначим через Q1, Q2, Q3, Q4, а расходы, отводимые в сторону из узловых точек C и D, через qC и qD. Жидкость, притекающая к узлу С с расходом Q1, растекается по параллельным ветвям (трубам с диаметрами d2 и d3) с расходом, соответственно, Q2 и Q3 77 и частью отводится в сторону (если qC > 0 ). Отсюда, уравнение распределения расходов жидкости для узла С: Q1 = Q2 + Q3 – qC . В точке D расход жидкости, идущей по параллельным трубам, суммируется, но из этого узла также отводится некоторый расход qD. Поэтому уравнение распределения расходов для узла D можно записать в следующем виде: Q2 + Q3 – qD = Q4 . Очевидно, расход Q4 можно выразить и через расход Q1 : Q4 = Q1 – qC – qD . При решении задач по определению расхода параллельно-разветвленного трубопровода число неизвестных расходов будет равно числу участков труб (по схеме на рис. 2 – 4 - четыре участка). Поэтому число уравнений, составляемых для такого трубопровода, должно быть равно числу участков. Все виды расчетных уравнений для параллельно-разветвленного трубопровода можно разделить на три группы: I. Уравнение общей потери напора в системе; II. Уравнения равенства потерь напора в параллельных ветвях; III. Уравнения распределения расходов в системе. При составлении уравнения общей потери напора в системе следует учитывать ранее сделанный вывод о равенстве потерь напора в параллельных ветвях. Поэтому в уравнение общей потери напора следует включить лишь потерю напора в одной из параллельных ветвей данного разветвления. С учетом этих предварительных замечаний о распределении напоров и расходов в параллельных ветвях составим систему уравнений для расчета трубопровода, представленного на рис. 2 - 4, в наиболее общем случае, когда имеется отвод воды в сторону в точках С и D системы. I. Уравнение общей потери напора в системе: Q 2 .L Q 2 .L Q 2 .L h  hf1  hf 2  hf 4  1 2 1  2 2 2  4 2 4 . (2 – 15) K1 K2 K4 II. Уравнение равенства потери напора в параллельных ветвях: Q 2 .L Q 2 .L 2 2 h h ; (2 – 16)  3 3. f2 f3 K2 K2 2 3 III. Уравнения распределения расходов в системе: Q Q Q q ; (2 – 17) 1 2 3 C Q Q Q q . (2 – 18) 4 2 3 D Таким образом мы получили замкнутую систему уравнений, достаточную для определения неизвестных расходов. При отсутствии отвода жидкости в определенных точках системы (qC = 0, qD = 0) уравнения упростятся. По найденным значениям расходов, аналогично описанному выше, определяются потери напора в отдельных участках системы и строится пьезометрическая линия. Пример 3. 1. Определить расход воды Q, вытекающий по заданной системе труб. 2. Построить линию падения напора. Исходные данные: Напор H = 10 м. d1 = 200 мм; l1 = 400 м; d2 = 100 мм; l2 = 300 м; d3 = 300 мм; l3 = 600 м. Решение 1. По таблице П2.1 (стр.95) определяем модули расхода K1  0,384 м3/с; K 2  0,0614 м3/с; K 3  1,121 м3/с. 2. Составляем уравнения потерь напоров 78 hf1  hf 3  H ; hf1  hf 2 ; расходов Q1  Q2  Q3 3. Переписываем уравнения с учетом водопрводной формулы Q12  l1 Q32  l3  H; K12 K 32 Q12  l1 Q22  l 2  . K12 K 22 4. Из уравнений получаем Q2  Q1  K l1 ; Q3  Q1 1  2  l2 K1  K2 K1 l1 l2    A  Q1 ,   где K2 K1 l1 0,0614 400  1 1,185 . l2 0,384 300 l3 l hf3=1,98 м H hf1=hf2=8,02 м A  1 l2, 1d2 l3 , d3 l1, d1 5. Подставляем значение Q3 из (4) в (1) Q12  l1 A 2  Q12  l3  H, K12 K 32 откуда Q1  H  A 2  l3 l1  K12 K 32 10  0,0544 м3/с. 2 400 1,185  600  2 0,384 1,1212 Далее, получаем Q3  A  Q1  1,185  0,0544  0,0644 м3/с; Q2  Q3  Q1  0,0644  0,0544  0,0100 м3/с. 6. Построение линии падения напора. 79 По водопроводной формуле вычисляем потери напора: hf1 Q12  l1 0,05442  400    8,02 м; K12 0,3842 hf 2 Q22  l 2 0,01002  300    8,02 м; K 22 0,06142 hf 3 Q32  l3 0,06442  600    1,98 м; K 32 1,1212 Проверка – подставляем найденные значения потерь напора в уравнения (1) и (2): h f 1  h f 2  8,02  1,98  10м  H ; h f 1  h f 2  8,02 м. Уравнения удовлетворяются. В решении ошибок нет. Построение линии падения напора показано на рисунке. 1.3.3. ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ (ГАЗА) Основные физические свойства газов Гидродинамикой сжимаемой жидкости называется раздел механики жидкости, изучающий основные законы движения сжимаемых жидкостей при больших перепадах давления и больших скоростях, причем масштабом скорости является скорость звука в жидкости. При изучении движения следует учитывать изменение еѐ состояния - давления, плотности, температуры, т.е. должны использоваться законы термодинамики. Гидродинамику сжимаемой жидкости называют газодинамикой (рассматриваются газы) или аэрогидродинамикой, если рассматриваются и газы и жидкости. При изучении физических свойств жидкости отмечено, что и газы, и жидкости в обычном смысле этого слова в механике сплошной среды называются общим словом жидкости, а то, что мы в быту называем жидкостью, называется капельная жидкость. Последние обладает очень малой сжимаемостью, и часто рассматриваются как несжимаемые. Сжимаемость жидкости и газов характеризуется модулем упругости Е. Изменение объема жидкости при изменении давления на p равно 1 dW     W  dp    W  dp. w E При т.н. стандартных условиях - температура T = 373 + 15 = 288 K и давление p = 1,0332 кгс/см2 = 10332 кгс/м2 = 101325 н/м2 =760 мм рт. ст. модуль упругости воздуха равен - Eвозд = 1,45 кгс/см2 , для воды Eвод = 21000 кгс/см2. Сжимаемость сплошной среды можно также характеризовать отношением приращения давления dp к приращению ее плотности d. Это отношение равно квадрату скорости распространения звука в среде a2 : dp dp или a  a2  . d d Характерной особенностью изучения сжимаемых жидкостей является необходимость учитывать соотношение между давлением p, плотностью (объемным 1 весом)  = g. , удельным объемом V  и температурой T К (Кельвина).  Это соотношение называется уравнением состояния. Для идеального газа уравнение состояния (уравнение Менделеева –Клайперона) : 80 p V  R  T ; p или   p  R T, g где: R = 29,27 м/К - газовая постоянная; g = 9,81 м/c2 - ускорение силы тяжести. Для воды при давлении p  25000 кгс/см2 уравнение состояния выражается уравнением Тэта:  1 p   V (T , p)  V (T ,0)  1   ln1  ,  n   B  где B и n приближенно можно считать постоянными: B = 3045 кгс/см2, n = 7,15. Далее мы будем рассматривать быстропротекающие процессы, которые с большой точностью можно считать протекающими без обмена теплом, как с внешней средой так и между частями газа (жидкости) внутри, т.е. адиабатическими или изоэнтропическими (эти понятия совпадают для идеального газа), когда dS = 0. Для газа уравнение состояния при изоэнтропических процессах p  const, k где k cp cv - отношение теплоемкостей при постоянном давлении (cp) и при постоянном объеме (cv). Для воды уравнение изоэнтропы, вытекающее из приведѐнного выше уравнения состояния, имеет вид: pB pB или  const  const. n  n С учетом приведенных уравнений изоэнтропы имеем: dp p dp p - для воздуха k ; k  d  0 , или d  k  k 1 - для воды dp pB  n   d  0, n  n  1 или dp pB  n  . d  Т.о. скорость звука равна: - в воздухе - в воде a k a  n  p  ; pB  . При стандартных условиях: p = 1,0332.104 кгс/м2, плотность воздуха  =/g = 1,23 кгс/м3 : 9,81 м/с2 = 0,125 кгс.с2/м4, k = 1,4 , 1,0332  104 a  1,4   340м / c. o 0,125 Плотность воды  = 1000/9,81 = 102 кгс.с2/м4, n = 7,15, B = 3045 кгс/см2, 1,0332  104  3045 104 a  7,15   1460м / с. o 102 81 Общее уравнение энергии в интегральной и дифференциальной формах Как уже говорилось раньше, при изучении физических свойств жидкостей вязкость существенно зависит от температуры жидкости и почти не зависит от плотности и давления. При этом коэффициент динамической вязкости  и коэффициент кинематической вязкости  у капельных жидкостей с ростом температуры уменьшаются, а у газов возрастают. Общее уравнение энергии в интегральной форме. Три уравнения сохранения для газов – количества движения, массы и энергии, в интегральной форме могут быть записаны следующим образом t       2         a d      c ds dt,   a d  n          t   S    t  t   t  t  1 2 1 причем в первом случае a   V , c   p n, n во втором a   , c  0, n в третьем V  V U a  ; c   V  n . n 2 A В приведенных равенствах: – (η) – произвольный объем жидкости, ограниченный покерхностью (S), n - единичный вектор внешней нормали к (S), t1 и t2 - два каких-то момента времени, p – давление, ρ – плотность, V - скорость (вектор), U – внутренняя энергия единицы массы в какой-либо точке объема (η) или поверхности (S). Общее уравнение энергии в дифференциальной форме. Для той части жидкости, в которой гидродинамические элементы и их первые производные непрерывны, можно написать уравнения в дифференциальной форме: уравнение движения (приращение количества движения частицы жидкости равно импульсу силы) dV    grad p; dt уравнение неразрывности (сохранения массы) d   div V  0; dt уравнение энергии (условие адиабатичности) d p  0. dt  k Здесь k – отношение теплоемкостей Cp/Cv. Для воздуха k = 1,4. Уравнение Д.Бернулли для газов При установившемся одномерном плавноизменяющемся адиабатичесеком движении газа, как и для несжимаемой жидкости, можно поток разбить на элементарные струйки. При этом живые сечения потока можно считать плоскими. Для такого потока газа будут справедливы: уравнение Д.Бернулли в интегральной форме: вдоль потока 82 k p w2    const; k 1  2 уравнение Д.Бернулли в дифференциальной форме  dp    w  dw; уравнение неразрывности (постоянства массы)   w    const. В последних равенствах w – средняя скорость течения в живом сечении потока. Число Маха Многие свойства потока сжимаемой жидкости и характер взаимодействия его с окружающей средой зависят от соотношения скорости движения потока и скорости звука в нем. Учитывая важность этого обстоятельства, в гидродинамике сжимаемой жидкости рассматриваются два вида одномерного движения потоков: - дозвуковое течение, когда скорость движения потока меньше скорости звука; и - сверхзвуковое течение, когда скорость движения потока превосходит скорость звука в нем. Сжимаемость жидкости часто характеризуют безразмерной величиной, равной отношению скорости потока сжимаемой жидкости w к скорости звука в нем a. Это отношение называют числом Маха или числом М: w M  . a Если M < 1 - поток считается дозвуковым, М > 1 - сверхзвуковым. Основные закономерности одномерного движения газа Зависимость между скоростью звука и скоростями течения сжимаемой жидкости Рассмотрим особенности потоков с до- и сверхзвуковыми скоростями движения (течения). Для установления указанных зависимостей воспользуемся уравнением Д.Бернулли для одномерного изоэнтропического движения потока идеального газа, записанного в виде k p w2    const. k 1  2 Если учесть, что скорость звука в идеальном газе равна kp , a  то уравнение примет вид a2 w2   const. k 1 2 Из последнего уравнения видно, что скорость звука a в газовом потоке связана со скоростью течения потока газа w. При скорости течения газа w = 0 (газ находятся в покое - в заторможенном состоянии) скорость звука в нем имеет наибольшее значение: kp o, a  o  o 83 где рo и o - соответственно, абсолютное давление и плотность газа, находящегося в покое ( в заторможенном состоянии). Скорость ao называют скоростью звука при торможении. Уравнение Бернулли теперь можно записать в виде: a2 a2 w2   o . k 1 2 k 1 С увеличением скорости потока w скорость звука, как это следует из последнего уравнения, уменьшается и в некотором сечении потока они могут оказаться равными. Скорость потока, равная местной скорости звука в нем, называется критической и обозначается wкр. Скорость звука в этом случае также называется критической и обозначается aкр. Уравнение Бернулли принимает вид: a2 w2 a2 w 2 k  1 кр k  1 кр      . k 1 2 k 1 2 k 1 2 Используя уравнения можно установить связь между скоростью звука при торможении ao и критической скоростью звука aкр. Приравняв правые части двух предыдущих уравнений, получим: a2 a2 k  1 кр o   , k 1 k 1 2 откуда 2 a . a  кр k 1 o При очень большой скорости течения потока w скорость звука, как это видно из уравнения Бернулли, может обратиться в нуль. Это может быть тогда, как это следует из формулы для скорости звука (см. стр. ),когда абсолютная температура газа Т будет равна нулю. Скорость газового потока в этом случае называют максимальной wмакс или предельной wпред. Уравнение Бернулли в этом случае примет вид: 2 a2 w 2 w макс   . k 1 2 2 На основании вышеизложенного уравнение Д.Бернулли можно представить так: 2 a2 a2 a2 w2 k  1 кр w макс o      , k 1 2 k 1 k 1 2 2 откуда k 1 2 w  a  a . макс k  1 кр k 1 o Т.о. если критическая скорость звука aкр примерно на 10% меньше скорости звука ao в покоящемся воздухе при атмосферном давлении, то максимальная скорость течения его wмакс (при истечении в пустоту) более чем в два раза превышает ao . Для установления подобных же зависимостей для одномерного изоэнтропического движения потока воды надо воспользоваться уравнением Д.Бернулли: n  p  B w2    const n  1  2 и учесть что скорость звука в воде равна n  ( p  B) a .  Получим: 84 n  ( p  B) o ; a  o  o 2 a ; n  1 o 2 w  a макс n  1 o. Изложенное свидетельствует о тесной зависимости между скоростью звука и скоростью течения сжимаемых жидкостей, и это обстоятельство широко используется при производстве расчетов. a кр  Зависимость между изменениями сечения и скоростью течения потока сжимаемой жидкости В гидродинамике несжимаемой жидкости устанавливается, что скорости вдоль потока несжимаемой жидкости изменяются обратно пропорционально площадям живых сечений. В условиях сжимаемой жидкости уравнение постоянства массы (рис. 1 – 1)   w    const приводит в некоторых случаях к противоположным выводам. Рис. 1 - 1 Представим уравнение в дифференциальной форме. Логарифмируя, а затем дифференцируя его под знаком логарифма, получим: d dw d (1 – 1)    0.  w  Преобразуем последнее уравнение. dp d  . 2 a В свою очередь из уравнения изменения количества движения для одномерного движения потока сжимаемой жидкости (уравнения Д. Бернулли в дифференциальной форме) имеем  dp    w  dw. d w  dw Тогда  . 2  a Подставляя значение d  d  в (1 – 1) и, решая его относительно   w  dw dw dw  w 2     1.  w w  a2 a2   d  ,получим: 85 w  М , последнее уравнение примет вид: a d dw  2  (1 – 2)    М  1.   w  Это уравнение позволяет сделать следующие выводы. Если число М < 1 (w < a), правая часть уравнения будет отрицательной. Следовательно, знаки перед d и dw будут противоположными. Это значит, что в дозвуковом потоке, как и в потоке несжимаемой жидкости, скорость w обратно пропорциональна площади живого сечения . Если же М > 1, то есть когда w > a, знаки перед d и dw совпадают. Это значит, что в сверхзвуковом потоке сжимаемой жидкости скорость w прямо пропорциональна площади живого сечения . То есть следует вывод, прямо противоположный выводу, широко известному из гидродинамики несжимаемой жидкости. Подобное явление в сжимаемой жидкости возможно потому, что увеличение скорости в нем вызывает не только уменьшение давления (как и в несжимаемой жидкости), но и уменьшение плотности, то есть - еѐ расширение. Следовательно, расширение струи газа в сверхзвуковом потоке ведет к расширению самого газа в термодинамическом смысле, то есть к уменьшению давления, плотности, температуры и к увеличению скорости. Рассмотрим, в каких условиях возможен переход дозвукового потока в сверхзвуковой и, наоборот, сверхзвукового в дозвуковой. Учитывая, что Рис. 1 - 2 Пусть имеется поток, в котором w = a, то есть М = 1,0. Из уравнения (1 – 2) d  0 и что d  0 . Если при непрерывном изменении следует, что в этом случае  скорости течения струи d  0 , то это значит, что в данном месте струя переходит от расширения к сужению или, наоборот, от сужения к расширению. Теперь установим, в каких условиях может наступать равенство w = a (М = 1,0 ) и переход потока из одного вида в другой. Рассмотрим две возможные конфигурации потока (струи): расширяющуюся и сужающуюся к середине (рис. 1 - 2). В первом случае (рис. 1 - 2,а) при дозвуковой скорости потока в начале струи скорость в ней уменьшается в направлении течения и в сечении max имеет минимальное значение. При сверхзвуковой скорости потока скорость увеличивается в направлении течения и в сечении max имеет наибольшее значение. Следовательно, в обоих случаях скорость течения в сечении max может быть равной скорости звука. Во втором случае (рис. 1 – 2,б) при дозвуковой скорости потока в начале струи скорость в струе по мере уменьшения площади сечения увеличивается и в сечении min может стать звуковой, а затем и сверхзвуковой. При сверхзвуковой скорости потока в начале струи скорость струи по мере уменьшения сечения также уменьшается и в сечении min может стать звуковой, а затем будет уменьшаться в расширяющейся части струи уже как дозвуковая скорость. Следовательно, скорость струи может перейти значение скорости звука только в наиболее узком сечении струи. Это сечение называют критическим, а скорость звука, 86 равную скорости течения потока, называют, как указывалось выше, критической скоростью. Рассмотренную выше особенность струй (потоков) сжимаемых жидкостей (газов) учитывают при проектировании специальных насадок (сопел), например, в ракетостроении, которые должны обеспечить истечение сжимаемых жидкостей со сверхзвуковой скоростью из ѐмкостей, где они находятся под давлением. В честь шведского инженера Лаваля, предложившего для получения сверхзвуковых потоков плавно сужающуюся и затем плавно расширяющуюся насадку (сопло), эту насадку называют сопло Лаваля (рис. 1 - 2,б). Зависимость между изменениями плотности и скоростью течение потока сжимаемой жидкости Выше было установлено, что сжимаемость жидкости проявляется при повышении или понижении давления в виде соответствующего изменения плотности. С другой стороны из уравнения Д.Бернулли для одномерного движения потока сжимаемой жидкости следует, что изменение скорости течения должно сопровождаться изменением и ее плотности. Проследим относительное изменение плотности на бесконечно малом участке струи в зависимости от относительного изменения скорости в до - и сверхзвуковых потоках. Ранее было получено выражение: d w  dw (1 – 3)  . 2  a Умножая числитель и знаменатель правой части последнего выражения на w, получим: d w 2 dw dw    M 2  . (1 – 4) 2  w w a Из последней формулы следует, что относительное изменение плотности d w  dw  . в дозвуковом потоке (M < 1) меньше, чем относительное изменение  a2 скорости dw . В сверхзвуковом потоке, наоборот, плотность изменяется быстрее, чем w скорость. С другой стороны формула эта свидетельствует о том, что чем больше число Маха, тем сильнее проявляется сжимаемость жидкости при движении. w Так при малых числах Маха M  относительные изменения плотности a незначительны по сравнению с относительными изменениями скорости. Например, при М = 0,3 d dw ,  0,09   w т.е. при увеличении скорости на 3% плотность уменьшится лишь на 0,9%. Поэтому при малых числах Маха сжимаемые жидкости можно рассматривать нак несжимаемые. В частности, в этих случаях и к потоку газа можно применять уравнение Бернулли для несжимаемой жидкости. 87 Применение уравнения Бернулли к расчету движения газа по трубам При транспортировке по трубам вязких газообразных жидкостей (газов, воздуха, перегретого пара и т.д.) скорость их движения не превышает 50 - 60 м/с, что значительно меньше скорости звука в них. Давление в начале подобных трубопроводов обычно составляет около 50 кгс/см2 (атм.). Поэтому скорости движения, близкие к скорости звука, будут наблюдаться не на прямолинейных участках, а в отдельных зонах, в местах установки арматуры и т.д. Рассмотрим установившееся движение вязкого газа в длинном трубопроводе. В рассматриваемом случае возникающие потери напора на трение по длине вызывают ряд характерных особенностей движения реального газа по сравнению с движением по трубам несжимаемых жидкостей. Так, с ростом потерь напора на трение давление по длине трубы уменьшается, что ведет к расширению газа и уменьшению его объемного веса. Вместе с тем в условиях установившегося движения, когда весовой расход остается постоянным вдоль трубы, уменьшение объемного веса вызывает одновременное увеличение средней скорости течение по трубе. Изменяется вдоль трубы и коэффициент трения . При наличии теплообмена будет иметь место и непрерывное изменение температуры газа по длине трубы. Все это приводит к тому, что для газов нельзя применять формулу для определения потерь напора на трение по длине трубы, используемую для капельных жидкостей l v2 h   , (3 – 1) f d 2g где l - длина участка трубы; d - диаметр трубы (внутренний); v - средняя скорость движения воды в трубе. Рассмотрим движение газов в трубах в условиях изоэнтропического и изотермического процессов, когда температура газа постоянна и теплообмен отсутствует. Это обстоятельство позволит считать величину коэффициента трения  постоянным по длине. (При T = const вязкость газа и число Рейнольдса Re будут постоянными по длине. Следовательно,   f (Re) будет постоянным по длине трубы). В этих условиях эта формула может быть применена для бесконечно малых участков трубы. Она примет вид: dl w 2 dh     , (3 – 2) f d 2g где: dhf - потеря напора на трение на длине dl; w - скорость потока на этом же участке. Тогда уравнение Д.Бернулли для двух сечений потока, отстоящих друг от друга на бесконечно малое расстояние dl можно представить в таком виде: 2  w2  dp     dl  w  0. dz   d  2g   d 2g   Пренебрегая влиянием веса газа и изменением скоростей, последнее уравнение представим в виде: dp dl w 2    . (3 – 3)  d 2g G w , Так как   где:  - площадь поперечного сечения трубы; 88 G - весовой расход газа, последнее. выражение примет вид:  или dp   dl  G2 d   2 2g   2  dp    dl G2  . d   2g   2 (3 – 4) При изотермическом процессе уравнение состояния имеет вид  p  p      . откуда:  const, 1 p    1 С учетом последнего равенства уравнение (3 – 4) примет окончательный вид   G2 1 (3 – 5)   p  dp    dl. p d 2g   2 1 Интегрируя левую часть уравнения в пределах от p1 до p2, а правую – от 0 до L (L – длина трубы) получим: 2  1   p 2  p 2     L  G . (3 – 6) 2 p  1 d g 2 1 Формула (3 – 6) является расчетной формулой для определения весового расхода газа G при заданных перепаде давления (p1 – p2) и диаметре трубопровода d. Это же уравнение используется и для определения диаметра трубы при заданных G и (p1 – p2). Коэффициент трения  зависит от режима движения газа и может определятся по формулам, полученным на основании обработки опытных данных по перекачке газов по трубам. Для определения  в квадратичной области турбулентного режима для стальных трубопроводов используют формулу 0,055  , (3 – 7) , 4 d где d - диаметр трубопровода в см. Для определения  резиновых шлангов пользуются формулой 0,094  , 3d (3 – 8) где d - в метрах. При пользовании формулой (3 – 6) необходимо следить, чтобы все параметры подставлялись в одинаковой размерности. В технической системе единиц, мы будем использовать основные единицы измерения кгс, м, с, т.е. удельный вес  подставлять в кгс/м3, давление p – в кгс/м2 и т.д., при этом весовой расход из формулы (3 – 6) получится в кгс/с. Для определения весового расхода G преобразуем к виду:  p 2  p 2     d  g 1 2 1 G   . p   L 1 Чтобы соблюсти единообразие формулу (3 – 7) приведем к виду (3 – 9) 89  0,0088 , , 4 d (3 –7а) где d теперь надо подставлять в м. Подставив выражения для коэффициента трения  из (3 – 7а) и (3 – 8) в формулу (3 – 9) и разрешив ее относительно диаметра трубы (шланга) d, получим формулы для определения требуемого диаметра при заданном весовом расходе воздуха G (и остальных исходных данных): для стальных труб 10   27 p  0,0088  L  4 G 1 (3 – 10) d  ;  2 2      p1  p 2    1  g      - для резиновых шлангов 3   8 p  0,094  L  4 G 1 d   . 2 2      p1  p 2    1  g      Напомним, что ответ по формулам (3 – 10) и (3 – 11) получается в м. (3 – 11) Пример 1. Определить массовый расход M и объемный расход Q (при атмосферном давлении p = 0,1014 МПа) воздуха по металлической трубе длиной L = 40 м и диаметром d = 25 мм при следующих исходных данных: абсолютное давление в начале трубы p1 = 0,8 МПа; абсолютное давление в конце трубы p2 = 0,4 МПа; температура воздуха T = 290 К. Решение Массовый расход воздуха M  1000   d2 4  p 2 1   p 22  1  d кг/с. p1    L Коэффициент трения для металлических труб  0,0088 0,0088   0,0385. d 0, 4 0,0250, 4 Плотность воздуха при давлении p1 = 0,8 МПа и температуре T = 290 К 106  p1 106  0,8 1    9,61 кг/м3. g  R  T 9,81 29,27  290 M  1000   0,0252 4 0,8 2   0,4 2  9,61 0,025  0,150кг / с. 0,8  0,0385  40 Объемный расход воздуха при атмосферном давлении Q'  M 0,150   0,123м 3 / с,  ' 1,217 где плотность воздуха при атмосферном давлении ' 106  0,1014  1,217кг / м. 9,81 29,27  290 90 1.3.4. ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ЧЕРЕЗ ОТВЕРСТИЯ И НАСАДКИ Классификация отверстий и основные характеристики истечений Вопросы теории истечения жидкости из различного вида отверстий и насадок имеют большое практическое значение. Знание их необходимо при расчетах подачи топлива через жиклеры и форсунки, проектировании и эксплуатации гидроприводов, гидравлических амортизаторов и других устройств, установок водоснабжения, водоструйных насосов, эжекторов, гидромониторов, брандспойтов и т. д. Основной задачей гидравлического расчета отверстий и насадок является определение скорости истечения жидкости и вытекающего расхода. В теории истечения жидкости из отверстий в зависимости от толщины стенки принято различать: 1. Истечение из отверстия в тонкой стенке. 2. Истечение из отверстия в толстой стенке. 3. Истечение из насадки. Тонкой называется такая стенка резервуара, толщина которой не влияет на истечение жидкости из отверстия (на скорость истечения и расход). В этом случае вытекающая струя соприкасается только с внутренней кромкой отверстия. Стенку считают тонкой, если ее толщина  не превышает 2,0-2,5 диаметров отверстия d (рис.1 1,а ). Толстой называется стенка, толщина которой влияет на истечение жидкости из отверстия. В этом случае вытекающая струя постоянно или периодически соприкасается с боковой поверхностью отверстия или частью ее, что влияет на величину вытекающего расхода. Стенку считают толстой, если ее толщина  находится в пределах (2…2,5).d <  < (3…4).d (рис. 1– 1,б). Насадкой называется короткий отрезок трубы, присоединенный к отверстию в тонкой стенке. Длина насадки  принимается равной 3…5 диаметрам отверстия (рис. 1 – 1, в). Если толщина стенки резервуара равна 3,0…5,0 диаметрам отверстия, то в гидравлическом отношении такое отверстие представляет собой насадку. Рис.1 - 1 В зависимости от изменения напора во времени различают истечение при постоянной и переменном напоре. При постоянном напоре H (измеряемом над центром отверстия) расход, скорость и траектория струи не изменяются во времени, при истечении 91 будет наблюдаться установившее движение жидкости. При переменном напоре H , например, в случае опорожнения резервуара, расход, скорость и траектория вытекающей струи изменяются во времени, при истечении будет наблюдаться неустановившееся движение жидкости. В зависимости от соотношения напора и вертикального размера отверстия различают гидравлически малые и большие отверстия. Малым (в гидравлическом смысле) называется отверстие, высота h (диаметр d) которого незначительна по сравнению с напором H (h (или d) <= 0,1.H). Для малых отверстий для всех точек отверстия напоры и скорости истечения могут быть приняты практически одинаковыми (равными, соответственно, напору и скорости в центре отверстия). Большим (в гидравлическом смысле) называется отверстие, высота h (диаметр d) которого имеет величину одного порядка с напором H. В этом случае в различных точках отверстия напоры и скорости истечения существенно различаются и не могут быть приняты равными средним значениям в центре отверстия. При истечении из отверстия в тонкой стенке (рис. В – 1,а) вследствие обтекания жидкостью острой кромки отверстия, наблюдается сжатие струи - уменьшение площади живого сечения струи при выходе из отверстия по сравнению с площадью отверстия. Наименьшее живое сечение струи, расположенное на расстоянии, равном примерно 0,5.d от внутренней кромки отверстия, в котором движение является плавно изменяющимся и близким к параллельноструйному, называется сжатым сечением. Рис. 1- 2 Сжатие струи может быть полным, т.е. по всему периметру отверстия (рис. 1- 2, I) или неполным, т.е. на части периметра отверстия (рис. 1 – 2 , III, IV). Сжатие струи может быть совершенным, если дно и стенки резервуара не влияют на величину (степень) сжатия струи, что наблюдается, когда A >= 3a и B>= 3b (рис. 1 - 2, I), и несовершенным при несоблюдении приведенных условий (рис. 1 – 2, II). Полнота и степень сжатия влияет на расход, вытекающий из отверстия. Истечение жидкости может происходить из незатопленного и затопленного отверстий. Отверстие считают незатопленным, если уровень жидкости за отверстием находится ниже центра отверстия. Если уровень жидкости за отверстием расположен 92 выше центра отверстия, имеет место истечение из затопленного отверстия или истечение под уровень (рис.2 - 2). Истечение из малого отверстия в тонкой стенке Выведем расчетные формулы определения скорости истечения и расхода для случая истечения жидкости из малого отверстия в тонкой стенке при постоянном напоре (рис. 1 – 1). Рис. 2 - 1 Для этого составим уравнение Бернулли для следующих расчетных сечений: сечения О - О на уровне свободной поверхности жидкости в резервуаре и сечения С - С в сжатом сечении струи. В обоих сечениях движение плавноизменяющееся, а давление одинаково и равно атмосферному pа. Плоскость сравнения примем проходящей через центр отверстия. Тогда, приняв  = 1,0 , будем иметь: p v2 p v2 v2 o o c c (2 – 1) z   z    c , o  c 2g  2g 2g где  - коэффициент сопротивления на входе в отверстие. p p p o  а  c , уравнение (2 – 1) примет вид Так как z  H ; z  0; o c    v2 v2 o H  (1   ). c . (2 – 2) 2g 2g Решая (2 - 2) относительно средней скорости в сжатом сечении струи, получим  v 2   1 v  . 2 g. H  o  . (2 – 3) c 1  2g     93  v 2   Скорость vo называется скоростью подхода, а напор H   H  o  - полным напором с o  2g    учетом скорости подхода. Если обозначить 1 , (2 – 4)  1  выражение (1 – 3) примет вид (2 – 5) v  . 2 g.H . c o В случае, когда площадь сжатого сечение струи с значительно меньше площади поперечного сечения резервуара  , средняя скорость жидкости в сечении О - О Q резервуара (скорость подхода), равная v  , будет мала и величиной скоростного o  v2 напора o можно пренебречь, считая Но = Н. Тогда: 2g v  . 2 gH . c (1 – 5a) Из (2 – 5) следует, что v  c . v т o Из полученного выражения видно, что коэффициент  представляет собой отношение действительной скорости истечения реальной (вязкой) жидкости vc к теоретической скорости vт , которой обладала бы идеальная жидкость при падении с высоты Ho ( v  2 gH - формула Торричелли). Он называется коэффициентом т o скорости. Так как vc < vт , то величина коэффициента скорости всегда меньше единицы.  v c 2 gH Расход жидкости, вытекающей из отверстия будет равен Q  v .  . . 2 gH . c c c o Выразим площадь сжатого сечения струи с через площадь отверстия  , введя коэффициент сжатия    с.  Тогда: Q  . . 2 gH . o Если обозначить    . , получим расчетную формулу для определения расхода в виде (2 – 6) Q  . 2 gH . o Величина    . называется коэффициентом расхода при истечении из отверстия. Преобразовав формулу (2 - 4), получим выражение для коэффициента сопротивления: 94   1  1. 2  Коэффициенты , , ,  являются основными гидравлическими показателями истечения жидкости из отверстий. Их значения определяются экспериментальным путем. Для случая истечения маловязкой жидкости из малого круглого отверстия в тонкой стенке при полном и совершенном сжатии струи эти коэффициенты имеют следующие значения:  = 0,64;  = 0,97;  = 0,62;  = 0,06 . Следует, однако, иметь в виду, что коэффициент расхода  зависит от формы отверстия и от вязкости жидкости. Кроме того, он уменьшается с ростом напора Н при неизменной площади отверстия , а также с увеличением размеров отверстия  при постоянном напоре Н. Рис.2 - 2 В случае истечения жидкости из затопленного отверстия (под уровень) напор, под действием которого происходит истечение (рис.2 - 2), будет равен разности уровней жидкости перед и за отверстием с учетом скорости подхода. При этом формула (1-6) расхода из отверстия подучит вид (2 – 7а) Q  .. 2 g. H  h . o Значение коэффициента расхода  при истечении из затопленного отверстия обычно принимается таким же, как и при истечении в атмосферу. Исследуя истечение различных жидкостей (воды, нефти, масел) из малого круглого отверстия в тонкой стенке, установили, что коэффициенты истечения зависят от числа Рейнольдса Re, что иллюстрируется кривыми, приведенными на рис. 2– 3. В случае истечения жидкости из закрытого резервуара при давлении над свободной поверхностью po, не равном атмосферному pа, напор, под действием которого происходит истечение, будет равен сумме геометрического напора Н, скоростного напора p p v2 o и высоты столба жидкости o a , соответствующей избыточному давлению на 2g  свободной поверхности. При этом формула (1 – 6) расхода из отверстия получит вид   95 p p   a . (2 – 7) Q  .. 2 g. H  o  o     При значительных сечениях резервуара и больших избыточных давлениях на v2 свободной поверхности скоростным напором o можно пренебречь, полагая Но = Н. 2g Рис. 2 - 3 Истечение из большого отверстия в тонкой стенке Определим расход жидкости, вытекающий из большого прямоугольного отверстиям тонкой стенке (рис.2 – 4). Пусть напор по высоте отверстия изменя-ется от H1 до H. Рис. 2 - 4 96 Выделим в отверстии горизонтальную полоску бесконечно малой высотой dH и площадью d = b.dh. Так как dH << H, пренебрегая скоростью подхода vo, элементарный расход через эту полоску можно вычислить по формуле истечения из малого отверстия в тонкой стенке при постоянном напоре Н, то есть: dQ   .d. 2 gH   .b.dH . 2 gH . Расход через отверстие будет равен сумме расходов через все элементарные полоски. Поэтому, интегрируя последнее выражение в пределах изменения Н от Н1 до H2 и считая при этом, что  не зависит от напора, получим формулу для определения расхода через большое отверстие : H H 2 2 Q   dQ   .b. 2 g .  H .dh. H H 1 1 После интегрирования будем иметь окончательно 3   3 2 Q  . .b. 2 g . H 2  H 2 . (2 – 8) 1   2 3   Экспериментами установлено, что коэффициент расхода  для случая истечения из большого отверстия в тонкой стенке равен 0,63…0,65. Истечение жидкости через насадки при постоянном напоре Насадки широко применяются в различных областях техники для увеличения расхода, вытекающего из отверстия в тонкой стенке, получения струи большой кинетической энергии, создания эффекта инжекции, увеличения расхода с одновременным уменьшением кинетической энергии вытекающей струи и т.д. Наибольшее распространение получили следующие типы насадок: внешняя цилиндрическая, конически сходящаяся, конически расходящаяся, коноидальная. Расход и скорость истечения жидкости из насадок определяются по тем же формулам, что и при истечении из отверстий, то есть: Q  .. 2 gH ; o v  . 2 gH . o где:  - коэффициент расхода насадки,  - площадь выходного сечения насадки,  коэффициент скорости насадки. Рассмотрим основные гидравлические показатели различного типа насадок и особенности истечения жидкости из них по сравнению с истечением из малого отверстия в тонкой стенке. Внешняя цилиндрическая насадка (рис. 3 – 1). По опытным данным истечение из внешней цилиндрической насадки характеризуется следующими гидравлическими показателями:  = 1,00;  = 0,82;  =0,82;  = 0,50. Сравнивая их с соответствующими показателями при истечении из малого отверстия в тонкой стенке, видим, что; несмотря на уменьшение скорости истечения более, чем на 15% (уменьшение коэффициента скорости  с 0,97 до 0,82) и увеличение гидравлических сопротивлений в насадке более, чем в 8 раз (увеличение коэффициента сопротивления  от 0,06 до 0,50), приставление к малому отверстию в тонкой стенке внешней цилиндрической насадки вызывает, при всех прочих равных условиях, увеличение расхода на 32% (увеличение коэффициента расхода  от 0,62 до 0,82). 97 Это обусловлено следующими особенностями истечения жидкости из насадки. Струя жидкости при входе в насадку, обтекая входную кромку, сжимается до сечения с, как и при истечении из отверстия. Затем она расширяется, заполняя все сечения насадки, и выходит из насадки без сжатия ( = 1,00). Сжатие, а затем расширение струи на коротком участке насадки вызывает, с одной стороны, увеличение гидравлических сопротивлений (возрастание коэффициента сопротивления), связанное с этим уменьшение скорости истечения жидкости (уменьшение коэффициента скорости). С другой стороны, сжатие струи и возрастание скорости в сжатом сечении вызывает понижение давления в начале насадки - возникновение вакуума, т.е. области, в которой давление ниже атмосферного. Наличие вакуума hв в насадке обусловливает подсасывание жидкости из резервуара, что равносильно повышению напора над центром отверстия на указанную величину. Это и является причиной существенного увеличения коэффициента расхода, т.е. величины вытекающего расхода по сравнению с истечением из малого отверстия в тонкой стенке. Величина вакуума в сжатом сечении может достигать Рис. 3 - 1 hв = 0,75.Но. При прохождении через зону вакуума из жидкости происходит интенсивное выделение растворенного в ней воздуха - аэрация струи. Поэтому струя, вытекающая из внешней цилиндрической насадки, в отличив от струи, вытекающей из отверстия, непрозрачна. Коническая сходящаяся насадка (рис.3 – 2, а) Рис. 3 - 2 98 Гидравлические показатели насадки зависят от угла конусности  и по опытным данным являются наилучшими при  = 13°24’, имея следующие значения  = 0,98;  = 0,96;  = 0,95;  =0,08. Струя, вытекающая из насадки, обладает большим запасом кинетической энергии, отличается компактностью и способностью сохранять свою форму на значительном расстоянии, не распадаясь на отдельные капли. Это обуславливает широкое применение конически сходящихся насадок в пожарных брандспойтах, моечных установках, гидромониторах, водоструйных насосах (эжекторах) и т. п. Коническая расходящаяся насадка (рис. 3 – 2,б) Истечение из насадки характеризуется наличием значительного вакуума во входной части. Величина вакуума зависит от угла конусности . Во избежание отрыва струи от стенок насадки угол конусности не должен превышать 5…7°. Сжатие струи в выходном сечении отсутствует. Гидравлические показатели имеют следующие значения:  = 1,0;  = 0,46;  = 0,46;  = 3,75 . Гидравлические потери в насадке значительны и скорость вытекающей струи более чем в два раза меньше, чем при истечении из отверстия в тонкой стенке. Благодаря наличию значительного вакуума, насадка интенсивно "подсасывает" жидкость из резервуара, увеличивая расход. Если отнести коэффициент расхода  не к выходному, а к входному сечению насадки он резко возрастет и будет иметь значение большее единицы. Конические расходящиеся насадки широко применяются в гидравлических системах для получения больших разрежений (эжекторы, карбюраторные устройства, водоструйные насосы и пр.), пропуска больших расходов при относительно малых выходных скоростях. Коноидальная насадка (рис. 3 – 2,в) Коноидальная насадка имеет очертание по форме струи, вытекающей из отверстия в тонкой стенке. В связи с плавным входом жидкости в насадку гидравлические потери в ней незначительны, а коэффициенты скорости и расхода велики. Насадка характеризуется следующими гидравлическими показателями:  = 1,0;  = 0,98(до 0,99);  = 0,98 (до 0,99);  = 0,06. Струя, вытекающая из коноидальной насадки, обладает кинетической энергией большей, чем у конически сходящейся насадки. Истечение жидкости при переменном напоре Основная задача расчета – определение времени понижения или повышения уровня жидкости в резервуаре. Пусть имеется резервуар, форма и размеры которого характеризуются зависимостью (рис. 3 – 3):   f (H ), где:  - переменная площадь сечения резервуара; H – напор над центром отверстия. Рис. 3 - 3 99 Пусть в резервуар поступает расход Q  f (t ); пр 1 вытекает из резервуара Q  f (t ). ист 2 За бесконечно малый промежуток времени dt в резервуар притекает объем жидкости Qпр.dt , а вытекает Qист.dt. Изменение объема жидкости dW за время dt равно dW  Q .dt  Q .dt. пр ист С другой стороны эту же величину изменения объема можно выразить в виде: dW = .dH. Приравнивая значения величины dW , получим .dH  Q .dt  Q .dt  (Q  Q ).dt. пр ист пр ист Мгновенный расход Qист можно выразить по формуле истечения при постоянном напоре, т.к. за бесконечно малый промежуток времени dt напор H изменится на бесконечно малую величину dH : Q  .. 2 gH . ист Тогда можно записать: .dH  (Q  .. 2 gH ).dt. пр .dH dt  Отсюда . Q  .. 2 gH пр Считая, что моменту времени t1 соответствует начальный напор H1, а моменту времени t2 – напор H2 , получим t 2 .dH T   dt  t  t   . 2 1 Q   .  . 2 gH t пр 2 Это самая общая формула для определения времени, потребного для понижения или повышения уровня жидкости в резервуаре. В случае, когда сечение резервуара постоянно -  = const, можно получить формулу в конечном виде (при постоянном Qпр < Qист) :   H  H 1 пр  2.  T . H  H  H . ln . 1 2 пр .. 2 g  H  H  2 пр   Здесь Hпр – напор, при котором отверстие или насадка пропускает расход жидкости Qпр : Q   .. 2 gH ; пр пр Q2 пр H   const. пр  2 . 2 .2 g   При отсутствии притока (Qпр = 0) и Hпр = 0. Тогда 2. T . H  H . 1 2 .. 2 g  При полном опорожнении (H2 = 0)  100 T 2.. H 1. .. 2 g Умножая числитель и знаменатель на H , получим: 1 2..H 1 . T .. 2 gH 1 В последней формуле: .. 2 gH  Q - расход жидкости при начальном напоре H1 ; 1 1 .H1 = W1 – начальный объем жидкости в резервуаре. 2.W 1  2.T , Тогда T 1 Q 1 где T1 - время, за которое жидкость в объеме W1 выльется из резервуара при постоянном напоре H1 . Пример. Определить расход воды через круглое отверстие в тонкой стенке и через внешнюю цилиндрическую насадку при постоянном напоре H. Исходные данные: диаметр отверстия и насадки d = 3 cм, H = 60 см. Решение Расход через отверстие в тонкой стенке Q     2 gH  0,62  0,707  10 3 2  9,81  0,60  1,5  103 м 3 / c  1,5 л / c. Расход через внешнюю цилиндрическую насадку Q  0,82  0,707  10 3 2  9,81  0,60  2,0  103 м 3 / с  2,0 л / с. Т.о. при одинаковых условиях расход через отверстие в тонкой стенке на 25% меньше, чем расход через внешнюю цилиндрическую насадку. 1.3.5. ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ В ОТКРЫТЫХ РУСЛАХ Виды движения жидкости Величины гидродинамических давлений p и скоростей u в потоке жидкости в общем случае распределены неравномерно, они меняются при переходе от одной точки потока к другой, т.е. являются функциями координат (x, y, z). Помимо того гидродинамические давления и скорости в одних и тех же фиксированных точках потока могут изменяться во времени как по величине, так и по направлению. В соответствие с этим различают неустановившееся движение и установившееся движение жидкости. Такой вид движения, при котором гидродинамические давления и скорости в каждой точке потока жидкости изменяются во времени по величине и направлению, называется неустановившимся движением. Примерами неустановившегося движения жидкости могут служить движение воды в реке во время весеннего половодья или при разрушении плотины, сопровождающееся изменением во времени уровня воды, ширины потока, скорости течения и давления в каждом сечении потока. Неустановившееся движение является самым общим и самым сложным видом движения жидкости, изучению которого посвящаются специальные курсы гидравлики. Мы будем, в основном, рассматривать вопросы, касающиеся установившегося движения жидкости, при котором скорости и гидродинамические давления в каждой точке потока не изменяются во времени, а являются лишь функциями координат. 101 Примерами установившегося движения жидкости являются: движение жидкости (воды, бензина, масла) в трубопроводе с постоянной скоростью течения; движение воды в канале постоянного сечения при постоянной глубине воды. Движение жидкости, кроме того, может быть безнапорным и напорным. Напорным называется движение жидкости в трубопроводе полным сечением, когда давление в нем больше атмосферного давления. Движение жидкости со свободной поверхностью в открытых руслах и в трубопроводах с частичным заполнением сечения (каналах замкнутого сечения) под действием составляющей силы тяжести является безнапорным. Также безнапорным является движение жидкости в трубопроводах при заполнении всего сечения (без свободной поверхности), если давление на верхней образующей по длине трубопровода равно атмосферному давлению. Характер движения жидкости в открытом русле, форма и уклон свободной поверхности, глубина потока зависят от типа, размеров, формы сечения русла, уклона его дна. Обычно рассматривают два вида установившегося движения жидкости неравномерное и равномерное движение. Неравномерным движением жидкости в канале называется такое движение, при котором живое сечение ω, глубина наполнения канала h и средняя скорость v, а также эпюра распределения осредненной скорости по живому сечению - изменяются вдоль потока (вниз по течению). Примерами неравномерного движения могут служить движение воды в реке при подпоре потока плотиной или какой-нибудь иной преградой; при стеснении русла реки опорами моста, расширении русла и т.д. Равномерным называется вид установившегося движения, при котором элементы потока (скорости, живые сечения, глубины и пр.) не изменяются вдоль потока. Примерами могут служить движение воды в трубе постоянного сечения или в призматическом открытом канале с постоянной глубиной наполнения, шириной и живым сечением канала. Этот вид движения воды характеризуется схемой, представленной на рис. 7.1. Здесь напорная линия Н-Н, линия свободной поверхности (она же пьезометрическая линия Р-Р) и линия дна канала D-D являются параллельными прямыми. Следовательно, гидравлический уклон J, уклон дна i равны между собой: пьезометрический уклон Jp и уклон дна i равны между собой: J = Jp = i. Рис. 7.1 Так как величина i обычно невелика, то глубины h воды в канале измеряют по вертикали; при этом условно считают, что живые сечения потока вертикальны, а не перпендикулярны дну. 102 Типы открытых русл Открытые русла могут быть классифицированы по нескольким признакам: 1) по параметрам, определяющим изменение площади живого сечения потока; 2) по форме профиля поперечного сечения; 3) по знаку продольного уклона дна русла. По первому признаку русла подразделяются на непризматические и призматические (иногда их называют цилиндрическими). У непризматических русл форма и (или) геометрические размеры какого-либо элемента поперечного профиля меняются по длине русла (рис. 6.1). Поэтому площадь ω живого сечения потока будет функцией как длины русла, (вследствие изменения формы или размеров сечения), так и функцией глубины потока вдоль русла, т. е. ω = ω(h, l). (6.1) Рис. 6.1 При этом d d dh d dh d   B  , dl dh dl dl dl dl (6.2) где В — ширина живого сечения по поверхности. Давая глубине h в некотором фиксированном сечении (рис. 6.2) бесконечно малое приращение d h, получаем приращение площади живого сечения d ω= B d h, или d  B. (6.3) dh Рис. 6.2 В призматических руслах форма и размеры элементов поперечного профиля по длине сохраняются неизменными, и площадь живого сечения потока может изменяться только в связи с изменением глубины h, т. е. ω = ω (h). Следовательно, для призматического русла dω/dl=0 и выражение (6.2) принимает вид d dh B . dl dl По второму признаку открытые русла подразделяются на русла правильной формы и русла неправильной формы поперечного сечения. 103 К руслам правильной формы поперечного сечения относятся такие, для которых элементы живого сечения потока (ω, χ, R, B) в любом створе являются непрерывными функциями глубины потока, сохраняющими свое выражение во всем диапазоне изменения глубины. Этому условию удовлетворяет большинство искусственных русл: прямоугольные, треугольные, параболические, круговые при наполнении hr) не удовлетворяют указанным условиям и относятся к руслам неправильной формы. Например, для русл замкнутого профиля (рис. 6.3, б) зависимость В=В (h) вначале возрастает, а затем убывает, а для русла составного профиля (рис. 6.3, а) эта зависимость вначале является возрастающей, а при глубинах h>hi ширина В не изменяется. По третьему признаку открытые русла делятся на русла с прямым уклоном дна (i0>0), когда дно русла понижается в направлении потока; горизонтальные русла (i0=0) и, русла с обратным уклоном дна (i0<0), когда дно русла повышается в направлении движения жидкости. Рис. 6.3 В открытых руслах, как и в общем случае, движение жидкости подразделяется на виды, представляющие воображаемые модели, в большей или меньшей мере отражающие реальный характер движения. Следует напомнить, что при определении видов движения используются осредненные характеристики потока. Равномерное движение жидкости, в том числе и в открытом русле, характеризуется прямыми параллельными линиями токов (траекториями), а также постоянством местной осредненной во времени скорости вдоль каждой линии тока. Из этого следует, что для существования равномерного движения необходимо выполнение ряда условий: 1) русло должно быть призматическим; 2) по длине русла шероховатость дна и откосов должна сохраняться неизменной; 3) уклон дна русла должен быть положительным (i0>0), чтобы составляющая силы тяжести была направлена в сторону движения. Первые два условия являются достаточными для существования равномерного напорного движения. Для обеспечения равномерного движения в открытом русле они являются необходимыми, а достаточным становится третье условие. Удовлетворять всем указанным условиям могут только искусственные русла. Естественные русла являются непризматическими. Равномерное движение в них, следовательно, существовать не может. Однако на отдельных участках естественных русл при незначительных изменениях формы и размеров поперечных сечений, уклона и шероховатости дна и откосов в те периоды времени, когда расход водотока является постоянным, движение при решении некоторых инженерных задач приближенно принимается равномерным. При равномерном движении в открытых руслах сохраняется неизменной глубина потока вдоль русла. Неравномерное плавноизменяющееся движение в открытых руслах отличается от равномерного тем, что линии тока являются либо сходящимися или расходящимися прямыми с малыми углами между ними, либо кривыми с большим радиусом кривизны. Такой вид движения существует в естественных руслах, в искусственных 104 непризматических руслах с любым уклоном дна; в призматических руслах с горизонтальным дном (i0=0) и обратным уклоном дна (i0<0); в призматических руслах с прямым уклоном дна (i0>O), если в силу тех или иных причин по длине русла изменяется глубина потока. В первых трех случаях равномерное движение принципиально существовать не может, в связи с чем его следует рассматривать как частный случай неравномерного плавно-изменяющегося движения. Удельная энергия сечения В живом сечении потока в открытом русле полная удельная энергия или гидродинамический напор относительно произвольной горизонтальной плоскости сравнения 0-0 (рис. 6.4) выражается трехчленом уравнения Бернулли: p v 2 H0  z   . (6.6) g 2 g При атмосферном давлении на свободной поверхности пьезометрическая высота равна глубине погружения точки А, т. е. hA = p/(pg). Если обозначить расстояние от плоскости сравнения 0-0 до плоскости 0i -0i, проведенной через низшую точку дна живого сечения, величиной а, то выражение (6.6.) можно представить в виде v 2 H0  a  h  . 2g Сумма последних двух членов правой части v 2 (6.7) Э  h 2g представляет полную удельную энергию потока в рассматриваемом сечении, отнесенную не к произвольной, а вполне определенной плоскости сравнения 0i -0i, проведенной через низшую точку живого сечения, и названную Б.А. Бахметевым удельной энергией сечения. Рис. 6.4 В русле с прямым (i0>0) или с обратным уклоном (i00). 105 Рис. 6.5 В разных сечениях горизонтального (i0=0) призматического русла плоскости 0i-0i, проведенные через низшие точки живых сечений, находятся на одной отметке, и поэтому изменение удельной энергии сечения при неравномерном плавноизменяющемся движении от одного сечения к другому характеризует потерю напора на участке между сечениями (рис. 6.5): Э1 – Э2 = H01 - H02 = hL. Выражение (6.7) можно записать в виде Q 2 Э  h , (6-9) 2 g 2 где первый член справа представляет потенциальную часть удельной энергии сечения ЭП=Н, а второй - кинетическую Эк = αQ2/(2gω2). Критическая глубина При заданных форме поперечного сечения русла и расходе удельная энергия сечения является функцией глубины потока Э=Э(h). Если h→0), то ЭП→0, а Эк→∞ и удельная энергия сечения Э→∞. Если же h→∞, то Эк→0, а ЭП→∞и Э→∞. Графически изменение потенциальной части удельной энергии сечения от глубины потока представляется прямой (рис. 6.6), проходящей под углом 45° к оси абсцисс (сплошная линия), а изменение кинетической части удельной энергии сечения – гиперболой (штриховая линия). График зависимости Э=ЭП+Эк=Э(h) имеет точку, в которой удельная энергия сечения достигает минимума Э=Этiп. Глубина, соответствующая минимальному значению удельной энергии сечения, называется критической глубиной. 106 Рис. 6.6 Бурное и спокойное состояние потока Критическая глубина является критерием, определяющим энергетическое состояние потоков в открытых руслах. Так, потоки находятся в бурном состоянии (являются бурными) при глубинах hhк, (6.11) что соответствует верхней ветке кривой (рис. 6.6), т. в. увеличению удельной энергии сечения с ростом глубины и положительному знаку производной dЭ  0 (6.11’) dh Потоки в критическом состоянии соответствуют глубине h=hK, (6.12) при которой dЭ  0 (6.12') dh Состояние потока устанавливается по отношению фактической глубины в русле h с критической hK. В частном случае равномерного движения состояние потока определяется по отношению глубины равномерного потока и критической. Дифференцируя выражение (6.9) по h из условия (6.12') при глубине, равной критической, имеем dЭ Q 2  2 d  1  0. (6.13) dh 2 g к2 dh С учетом (6.3) получаем уравнение критического состояния потока: Q 2 B к  1. 2 g к3 которое может быть приведено к виду Q 2  к3  . (6.14) g к2 Bк где Вк и ωк - соответственно ширина по верху и площадь живого сечения потока при критической глубине. Величина αQ2B/(gω3) характеризует состояние потока и названа параметром кинетичности: Q 2 B Пк  . (6.15) 2 g 3 Последнее выражение можно преобразовать:  v 2  Q 2 B   / hср . Пк   2 (6.16) g 2   2g  107 В условиях плоской задачи и для прямоугольных русл, когда ω/В=h, параметр кинетичности становится равным числу Фруда: v 2 (6.17) П к  Fr  . gh Согласно формулам (6.14), (6.15) и (6.17) при критическом состоянии потока, т. е. при h=hK, получаем Пк = Fr=l; (6.18) при спокойном состоянии потока (h>hк) Пк = Frl. (6.20) Критическую глубину для русла любой формы поперечного сечения можно определить из уравнения (6.14) подбором или графически. В последнем случае по нескольким произвольным глубинам строится график (рис. 6.7). Затем, учитывая, что только при критической глубине выполняется соотношение (6.14), на оси ω3/B находят значение αQ2/g, которому соответствует искомая глубина hK. Для каналов прямоугольной формы поперечного сечения при ωк=hк, где b - ширина канала по дну, из уравнения (6.14) получим hк  3 Q 2 gb 2 . (6.21) Для каналов треугольной формы по тому же уравнению hк  5 Q 2 gm . (6.22) Рис. 6.7 По уравнению (6.14) критическую глубину для трапецеидальных каналов в явном виде получить нельзя. Она может быть найдена, как было указано, методом подбора или графически. А. Н. Рахмановым, И. И. Агроскиным, П. Г. Киселевым, Б. Т. Емцевым и другими с целью упрощения вычислений были предложены таблицы и графики для определения критической глубины в трапецеидальных руслах. Наиболее просто критическая глубина определяется по графику Киселева (рис. 6.8). Для значения Q/b2,5 на оси абсцисс по кривой, соответствующей заданному заложению откоса m, на оси ординат находят величину β=hк/b, по которой вычисляют критическую глубину hк=βb. В каналах различного назначения (мелиоративных, гидроэнергетических, систем водоснабжения), в дорожных кюветах и т. п. режим движения жидкости обычно является 108 турбулентным. Ламинарный режим может быть при малых глубинах потока - на покрытиях улиц, дорог, аэродромов и в лотках поверхностного водоотвода. Режим движения жидкости в лотке (канале) устанавливается по значению числа Рейнольдса, определяемого с использованием в качестве характерного размера гидравлического радиуса R, т. е. ReR=υR/v. Область ламинарного режима движения соответствует приблизительно числам Re<500, для турбулентного движения характерно Re>2000. В переходной области (на рис. 6.9 эта область заштрихована) при 500≤Re≤2000 возможны как ламинарный, так и турбулентный режимы. Рис. 6.8 Энергетическое состояние потока в открытом русле, как было показано, определяется соотношениями (6.18)-(6.20). Значение Fr=l, соответствующее критическому состоянию потока, выделено на рис. 6.9 жирной линией. Рис. 6.9 109 Таким образом, линия Fr  1 и заштрихованная полоса 5000). Жидкость в открытом русле движется под действием составляющей силы тяжести, значение которой Gi0 зависит от уклона дна русла. Противодействующие движению силы сопротивления зависят от скорости (рис. 6.10), т. е. T=T(v). Рис. 6.10 При равномерном движении в призматическом русле эти силы равны, т. е. Gio=T. В противном случае движение становится неравномерным. При Gio>T средние скорости потока вниз по течению будут увеличиваться, а глубины уменьшаться, и, наоборот, если 110 Giov>vнз. (6-31) Неразмывающая скорость - наибольшая скорость потока, при превышении которой (v>vнр) русло начинает размываться. При теоретическом подходе к определению неразмывающей скорости принята следующая схема механизма воздействия потока на твердую частицу, лежащую на дне (рис. 6.13). В большей части работ в качестве теоретической основы для определения величины vнр рассмотрены условия предельного равновесия или начального момента трогания отдельной частицы, находящейся на дне. В других работах использованы данные лабораторных и натурных наблюдений. Рис. 6.13 Обтекание частицы вызывает деформацию и отрыв струй, над частицей и за ней образуются вихревые зоны, и возникает разность давлений на лобовую и тыльную грани частицы (рис. 6.13), а также на нижнюю и верхнюю грани, которые соответственно приводятся к лобовой силе РЛ, действующей на переднюю грань по направлению движения потока, и подъемной силе РП, действующей на нижнюю грань частицы вертикально вверх. На частицу, кроме того, действуют сила тяжести G и сила воздействия окружающих частиц грунта. Равновесие рассматриваемой частицы в зависимости от ее формы и положения на дне может нарушиться либо в результате сдвига по дну, либо в результате перекатывания ее. Если частица возвышается над остальными, на нее действует в основном лобовая сила и в меньшей мере подъемная сила. Если же частица не выступает над остальными, а заклинена между ними, на нее действует лишь подъемная сила. Так как и лобовая и подъемная силы, действующие на частицу, пропорциональны ее размеру (диаметру) d и скоростному напору, вычисленному по придонной скорости иΔ на высоте выступов частиц, то условия равенства нулю суммы сил (моментов) в случае потери устойчивости при сдвиге (перекатывании) частицы приводятся к уравнению 118 (6.32) u нр  А gd. Среднюю неразмывающую скорость можно найти, введя в уравнение (6.32) сомножитель, характеризующий принятый (показательный или логарифмический) закон распределения скоростей по глубине потока: 1/ m u нр h  А gd   d  , (6.33) или  ah  u нр  А gd lg , (6.34)  d  где величину А находят из принятых условий предельного равновесия частицы с последующим уточнением по результатам опытов, либо непосредственно по данным опытов; величины т, а определяют экспериментально; d - диаметр частицы грунта; hглубина потока. Сложность явления взаимодействия потока и русла создает значительные трудности при его анализе. В рассмотренной схеме воздействия потока на частицу, лежащую на дне, не учитываются многие факторы. С помощью лабораторных экспериментов и полученных по их результатам зависимостей для неразмывающих скоростей в каналах, как отмечает В. С. Алтунин, нельзя учесть всех особенностей, встречающихся в природе, в связи с чем предпочтительными являются зависимости, базирующиеся на натурных данных. Этому отвечает формула, полученная Б. И. Студеничниковым по данным лабораторных и натурных исследований в широком диапазоне крупностей частиц несвязного грунта: 1/ 4 h (6.35) vнр  1,15 gd lg  , d  где величины d и h выражаются в метрах. Еще более сложным является процесс размыва связных грунтов. Обстоятельные исследования в этой области были выполнены Ц. Е. Мирцхулавой. Им предложены зависимости для определения неразмывающих скоростей, которые ввиду их сложности здесь не приводятся. Если скорости течения больше неразмывающих для грунта, слагающего русло, то возникает необходимость укрепления дна и откосов. При этом подбирают материал и тип крепления, чтобы фактическая скорость течения была меньше неразмывающей для крепления. В настоящее время существуют различные нормы неразмывающих скоростей для сооружений. Каждое сооружение характеризуется теми или иными особенностями, определяющими структуру потока, распределение скоростей, значения придонных скоростей и т. п. Поэтому задача определения неразмывающих скоростей для сооружений и на участках резкой деформации потока в каналах является весьма сложной. Ц. Е. Мирцхулава и В. А. Александров предложили ее решение, исходя из принципа расчета сооружений по предельным состояниям. К нормативным значениям неразмывающих скоростей для грунтов и укреплений введены коэффициенты неоднородности, условий работы, перегрузки, учитывающие различия между реальными характеристиками грунтов и. укреплении, фактическими условиями работы сооружений и нормативными. Незаиляющая скорость. Это - скорость, при которой из потока еще не выпадают транспортируемые им взвещенные частицы. Частицы начинают выпадать из потока (заиливать русло) при скорости потока v0,25 мм, составляющим менее 0,01%, приведены ниже: dср, мм ....... .0,1 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,5 2,0 3,0 vнз, м/с ...... 0,22 0,45 0,67 0,82 6,90 6,95 1,03 1,1 1,11 Если гидравлический радиус потока R ≠1 значения vнз следует умножить на R1/2. При расчете коллекторов городских водостоков и канализационных труб удобнее лимитировать минимальные уклоны, при которых скорости будут незаиляющими. Эти уклоны зависят от диаметра труб D: D, мм ...150 200 250 300 350 450 500 600 >700 imin……0,07 0,05 0,04 0,033 0,03 0,02 0,015 0,015 0,01 Методы расчета равномерного движения в каналах Расчет равномерного движения в каналах выполняется с использованием формулы Шези (6.27) и сводится к определению одного из параметров Q, n, i0, b, h0 или к определению ширины канала b и глубины потока h0 (значение коэффициента заложения откоса т обычно является заданным) по известным остальным. Задачи определения расхода Q (при проверочных расчетах каналов), уклона i0 (при прокладке, например, сборных лотков заданного сечения мелиоративных систем), коэффициента шероховатости п (при проведении изысканий на водотоках) решаются по формуле (6.27) сразу без подбора искомой величины. Задачи, в которых неизвестным является один из параметров живого сечения потока (b или h0), решаются по формуле Шези (6.27) подбором или графическим методом. В качестве примера рассмотрим использование этих методов для определения глубины h0. Метод подбора. При заданных расходе Q и уклоне i0 известна расходная характеристика K 0  Q/ i 0 . Решение сводится к тому, чтобы, задаваясь произвольной глубиной h1, по зависимостям: R=ω/χ, а также (6.24), (6.25), (6.28) и формуле Павловского из табл. 6.1 определить соответствующую расходную характеристику К1, расход Q1. Если найденные величины К1или Q1 близки заданным К0 и Q, то расчет можно не продолжать, а считать h=h0. Если же отличие является существенным, то следует задаться повои глубиной h2, по ней найти К2 или Q2 и так до тех пор, пока не будет получено удовлетворительное совпадение. Графический метод. Задаются рядом произвольных значений h и для них определяют значения расходных характеристик К или расходов Q. По этим данным строится либо график зависимости K=K(h), либо график Q=Q(h). Отметив на оси абсцисс графика K=K(h) точку, соответствующую заданной расходной характеристике К2 (рис. 6.14), или на оси абсцисс графика Q=Q(h) точку, соответствующую значению заданного расхода Q, на оси ординат находят искомую нормальную глубину. Полученное по графику значение h0 рекомендуется проверить по формуле (6.28) или (6.27). Помимо указанных методов для определения нормальной глубины в руслах правильной формы может быть использована зависимость (6.38). При этом задаются двумя произвольными глубинами h1 и h2 и определяют соответствующие расходные характеристики К1 и К2. Затем по формуле (6.39) находят значение гидравлического показателя русла х. Далее, в зависимость (6.38) вместо h1 и К1 (или h2 и К2) вводят заданную расходную характеристику K 0  Q/ i 0 , после чего эту зависимость решают относительно h0 h0=h2(К0/К2)2/x. (6.41) Необходимость определения ширины канала b и нормальной глубины h0 возникает при проектировании каналов. Так как неизвестными являются две величины, то без каких- 120 либо дополнительных условий или ограничений использование уравнения (6.27) дает множество решений. Для получения единственного решения обычно вводят дополнительное условие в виде отношения β=b/h0. Величина β назначается либо исходя из необходимости обеспечения наибольшей пропускной способности канала и тогда β=βГН определяется по формуле (6.37), либо исходя из эксплуатационных соображений. После этого задача может быть решена по формуле (6.27) подбором или графическим методом, как изложено выше. Для расчета равномерного движения в открытых каналах разработаны и другие способы решения, такие, например, как метод безразмерных характеристик, способ расчета каналов по характеристике живого сечения, предложенный проф. И.И. Агроскиным. В настоящем курсе эти методы не приводятся. Особенности расчет равномерного безнапорного движения в каналах замкнутого поперечного профиля Равномерное движение в длинных трубопроводах (каналах замкнутого сечения) различного назначения при частичном наполнении или при полном заполнении при условии существования атмосферного давления на своде является безнапорным. Трубопроводы могут иметь различную форму поперечного сечения. Наиболее часто в настоящее время применяют трубопроводы круглого сечения (рис. 6.15, а). В канализационных сетях находят применение трубы овоидального сечения (рис. 6.15, б), а в системах поверхностного водоотвода - лоткового сечения (рис. 6.15, б). Для гидротехнических туннелей разработаны специальные профили, один из которых представлен на рис. 6.15, г. Рис. 6.15 Некоторые сооружения, например гидротехнические туннели, канализационные трубы, рассчитывают на пропуск расчетного расхода при частичном заполнении сечения h/H=a=0,54-0,8. Дренажные трубы, коллекторы и трубопроводы систем поверхностного водоотвода рассчитывают на работу полным сечением (а=1). Однако, поскольку расчетные расходы имеют сравнительно редкую повторяемость, фактически эти сооружения большую часть времени работают неполным сечением. 121 Расчет равномерного движения в трубопроводах выполняется как для каналов замкнутого сечения по формулам Шези для расхода и скорости с учетом равенства уклонов, выражаемого формулой (6.23): (6.42) Q  К 0 i0 , (6.43) v  W i0 , где K и W - соответственно расходная и скоростная характеристики потока в трубопроводе при частичном наполнении (а<1). Непосредственный расчет по формулам (6.42) и (6.43) оказывается достаточно трудоемким, поэтому для его облегчения составлены вспомогательные графики и таблицы. Оказалось удобным использовать для расчетов соотношения расходных и скоростных характеристик при неполном (а<1) и полном (а=1) заполнении сечения трубопровода, которые для данной формы поперечного сечения практически не зависят от размеров трубы, а только от степени ее наполнения а: К  А0 а ; (6.44) КП W  B0 a  (6.45) W0 Графики зависимостей (6.44) и (6.45) для труб круглого поперечного сечения представлены на рис. 6.16. При подстановке значений расходной и скоростной характеристик в формулы (6.42) и (6.43) получаем: (6.46) Q  A 0 K Ï i0 ; v  B0WП i0 . (6.47) Рис. 6.16 Для труб круглого поперечного сечения бетонных и железобетонных (ГОСТ 648271), керамических (ГОСТ 286-74), чугунных (ГОСТ 9583-75), асбоцементных (ГОСТ 183972) и полиэтиленовых (ГОСТ 18599-73) диаметром d>200 мм в табл. 6.2 приведены значения расходной и скоростной характеристик КП и WП при полном заполнении (а=1) трубопровода (коэффициент Шези вычисляется по формуле Павловского). 122 Таблица 6.2 Значения расходной и скоростной характеристик КП и WП при полном заполнении (а=1) трубопровода Бетонные Керамические Асбоцементные и железобетонные и чугунные и полиэтиленовые Диаметр трубы трубы трубы трубы d, (коэффициент шероховатости (n = 0,013) (n= 0,012) мм n= 0,014) КП WП КП WП КП WП 200 0,33 10,50 0,35 11,14 300 -. 0,96 13,58 1,05 14,85 400 1,93 15,35 2,08 16,55 2,25 17,90 500 3,77 19,20 4,09 20,84 600 5,78 20,16 6,13 21,68 6,64 23,49 700 9,25 24,04 800 12,27 24,41 13,21 26,28 900 18,09 28,43 1000 22,25 28,33 23,96 30,51 1200 36,17 31,98 1400 54,58 35,46 1500 65,60 37,13 1600 77,90 38,74 2000 141,30 44,97 2400 228,93 50,61 3000 416,53 59,01 3400 557,58 61,41 4000 897,16 71,37 Если заданы диаметр трубопровода d, степень его наполнения а, материал (коэффициент шероховатости n), уклон трубопровода i0, то расход и скорость в нем определяются следующим образом. По табл. 6.2 находят величины КП и WП, Для заданного заполнения сечения а по кривым на рис 6.16 находят А0 и В0, а затем по формулам (6.46), (6.47) определяют расход Q и скорость v. В целях упрощения определения диаметров трубопроводов и коллекторов при проектировании водосточной сети используется номограмма, построения по формуле Шези (рис. 6.17). При заданных диаметре d и уклоне i0 трубопровода находится точка пересечения соответствующих им наклонных линий по номограмме. На осях ординат и абсцисс находятся соответствующие точке пересечения значения расхода Q и скорости v. Для трубопроводов иных профилей по сравнению о изображенными на рис. 6.15 в справочной литературе приводятся значения КП и WП и графики относительных расходных и скоростных характеристик (6.44) и (6.45), аналогичные графикам на рис. 6.16. При расчете равномерного движения в трубопроводах по формулам Шези (6.42) и (6.43) максимум расхода и скорости соответствует степени наполнения а<1. Так, для круглого сечения наибольшего значения скорость достигает при а=0,81, а расход - при а=0,95, что видно по кривым на рис. 6.16. Это объясняется тем, что в верхней части трубы при увеличении наполнения смоченный периметр χ увеличивается быстрее, чем площадь живого сечения ω, и поэтому гидравлический радиус R начинает уменьшаться, в связи с чем уменьшаются средняя скорость потока v и расход Q. Таким образом, расчет по формуле Шези предполагает существование области двузначных глубин, которая по расходам, например, находится в диапазоне наполнений а=0,8-1. 123 Этот вопрос явился предметом широкой дискуссии. Многие исследователи, среди которых были А. Шоклич, С. Вудворд, М. Ф. Факторович, А. Г. Чапишвили и др., экспериментально подтвердили наличие области двузначных глубин. Однако другая группа исследователей - Ф. Бюлов, А. С. Мейеров, Н. Ф. Федоров - отрицает возможность существования этой области, что также подтверждается экспериментальными данными. Формула Шези считается этими авторами непригодной для расчета безнапорного равномерного движения в трубопроводах, где примерно, а>0,85. По-видимому, на данной стадии изученности вопроса применение формулы Шези для практических расчетов пропускной способности трубопроводов можно принять при ограничении наполнений а=h/d<0,8 и а=1, т. е. в той области наполнений, где связь расхода и глубины потока в трубопроводе однозначна. Рис. 6.17 Приближенные расчеты равномерного движения в естественных руслах Форма поперечного сечения по длине естественных русл не остается постоянной, т. е. они являются непризматическими. Вдоль русла могут также изменяться коэффициент шероховатости и уклон дна. Следовательно, равномерное движение в естественных руслах, строго говоря, существовать не может. Поэтому применение формулы Шези для расчета естественных водотоков не может дать точных результатов. Однако в некоторых случаях формулу Шези приходится использовать. При этом естественный водоток следует разбить на отдельные участки, в пределах которых русло условно можно принять призматическим. Русла подразделяются на два типа; сосредоточенные (рис. 6.18, а) и пойменные (рис. 6.18, б), которые могут иметь одну или две поймы, а также несколько меженных глубоких русл. Сечение сосредоточенного узла заменяется каким-либо близким геометрически правильным сечением (прямоугольным, параболическим, трапецеидальным). Сечение пойменного русла делится на пойменные и русловые части, т. е. представляется как составное. Это делается для того, чтобы отдельно определить расход в русле и на поймах, поскольку их шероховатость может существенно отличаться. 124 Уклон дна стилизованного русла на выбранном участке принимают равным либо уклону свободной поверхности потока в естественном русле, либо осредненному уклону его дна. Рис. 6.18 Полученное таким образом условное призматическое русло рассчитывают по формуле Шези, как было изложено выше. Результаты расчета относят к естественному руслу. Общий расход пойменного русла находится как сумма расхода пойм и главного русла. Основные задачи при гидравлическом расчете каналов Как уже отмечалось основное уравнение равномерного движения воды в канале может быть записано в двух формах относительно пропускаемого расхода Q или средней скорости течения v. Рассмотрим наиболее типичные задачи, которые могут возникнуть при гидравлическом расчете канала трапецеидального сечения по приведенным выше расчетным зависимостям. Такие задачи могут быть трех типов: Задача I. Определение пропускной особенности канала Q; Задача II. Определение уклона для канала io; Задача III.Определение глубины наполнения канала ho или ширины канала по дну b. Познакомимся с методами решения этих задач. Задача I. Определить расход Q, пропускаемый каналом, если известны глубина наполнения канала ho, ширина канала по дну b, уклон дна i0 и род грунта, в котором устроен канал (или характер его облицовки, если предполагается укрепление дна и стенок канала) Решение: В зависимости от рода грунта или характера облицовки по справочным данным (например в учебнике) определяется коэффициент откоса m и коэффициент шероховатости n, вычисляются величины  и R.. Величина коэффициента С определяется для найденных значений R и n по формуле Н.Н.Павловского (по этой формуле составлены таблицы) или по формуле Маннинга. Определив таким путем все величины, входящие в уравнение равномерного движения значение искомого расхода вычисляют непосредственно по этому уравнению: Q  C.. R.i0 . Задача II. Определить уклон дна канала i0, который необходим для пропуска заданного расхода Q при известных размерах канала (b и m) и роде грунта или одежды. Решение: Непосредственно из уравнения равномерного движения имеем: Q2 i  , 2 2 C . .R где в соответствии с формулой модуль расхода (расходная характеристика) K2 = C2.2.R. Значение величин С,  и R определяются так же, как и в задаче I. 125 Задача III,а. Определить глубину наполнения канала ho, при которой канал шириной по дну b, с уклоном Io, коэффициентом откоса m и шероховатости n пропустит расчетный расход Q . Решение. Непосредственно по уравнению равномерного движения глубина наполнения ho вычислена быть не может, так она входит в параметры уравнения С, ,, R в довольно сложном виде. Поэтому уравнение преобразуем с учетом выражения (2 – 3) для модуля расхода К к следующему виду Q2 Q2 откуда  C 2 . 2 .R,  K 2. I I o o Анализ последнего уравнения показывает, что параметры его, стоящие в левой части не зависят от глубины наполнения канала, в то время как правая часть (расходная характеристика) в силу равенства (2 – 3) является функцией глубины наполнения , т.е. К = К (ho) . Это положение дает возможность определить глубину наполнения канала графоаналитическим способом. Сущность его заключается в следующем. Вначале, задаваясь различными значениями глубины потока в канале при известных значениях b, m и n, вычисляют все необходимые величины для определения расходной характеристики по формуле (2 – 3). Расчет целесообразно производить в табличной форме (табл. 3 - 1). Таблица 3 – 1 Образец таблицы для вычисления расходной характеристики  = (b+m.ho).ho м2   1 K  C R 1 .R 6 C  o м м3/c n м м м1/2/c По данным первой и последней граф этой таблица строится график зависимости расходной характеристики от глубины потока, т.е. кривая К = K(ho) (рис. 6.19). Затем по данным значениям расхода Q и .уклона Io вычисляется значение расходной характеристики K, отвечающей конкретным условиям рассматриваемой задачи. ho м   b  2.h . 1  m 2 R R 1/2 Откладывая по оси абсцисс вычисленное значение K  Q Io с помощью кривой К = K(ho) получают глубину наполнения канала, соответствующую условиям данной задачи. Рис. 6.19 Задача III,б. Определить ширину канала по дну b, необходимую для пропуска заданного расхода при известных значениях ho, Q, m, Io, n . Решение задачи аналогично предыдущему. Однако, в этом случае задаются различными значениями ширины канала по дну b и вычисляют расходную характеристику в 126 зависимости от ширины канала. Затем по кривой К = K(b) для вычисленного значения K Q находят искомую ширину канала по дну. Io Параметры неравномерного движения жидкости в открытых руслах Неравномерное плавно изменяющееся движение жидкости является значительно более распространенным по сравнению с равномерным. Неравномерное движения жидкости определяется как движение, при котором живое сечение потока и средняя скорость изменяются по длине потока. Неравномерное движение в открытых руслах при постоянном расходе будет наблюдаться в тех случаях, когда по длине потока изменяются размеры и форма поперечного сечения потока, продольный уклон дна или шероховатость стенок русла. Неравномерное движение жидкости может происходить в призматических и непризматических руслах. Призматическими называются такие русла, форма и размеры поперечного сечения которых не изменяются по длине. Примерами русел призматической формы являются каналы трапецеидального сечения с постоянной шириной по дну и постоянным заложением откосов, дорожная труба прямоугольного, круглого или другого сечения. При неравномерном движении в призматических руслах по длине потока изменяется только глубина течения. Неравномерное плавно изменяющееся движение жидкости устанавливается там, где равномерное движение существовать не может: в непризматических руслах, в призматических руслах с горизонтальным (i0=0) и обратным (i0<0) уклонами дна. Кроме того, плавно изменяющееся движение образуется на тех участках призматических русл с прямым уклоном дна (i0>0), где происходит нарушение равномерного движения, например в связи с изменением уклона дна, наличием ступенчатого перепада или препятствия (сооружения) в канале (рис. 1.1). Свободная поверхность потока при неравномерном движении имеет криволинейное очертание. След от пересечения вертикальной плоскости, проведенной по оси потока (в призматическом русле), со свободной поверхностью называется кривой свободной поверхности. Примеры неравномерного движения: а) Движение воды в верхнем бьефе водоподпорного сооружения (плотины) (рис. 1.1, а). Это движение характеризуется увеличением глубины потока в направлении движения жидкости. Кривая свободной поверхности в этом случае называется кривой подпора. б) Движение воды в канале, уклон дна которого возрастает (рис.1.1, б). В этом случае глубина потока уменьшается по направлению движения жидкости, кривая свободной поверхности жидкости называется кривой спада. Рис. 1.1 Целью расчета неравномерного движения жидкости является определение состояния потока, установление форм свободной поверхности на участках 127 неравномерного движения, определение глубин потока в разных сечениях, расчет, длин участков неравномерного движения, скоростей потока. В результате инженер получает возможность правильно назначить, например, глубину выемки канала, подобрать размеры участков и тип укрепления дна и откосов канала, определить размеры затоплений при строительстве моста и т. п. Основное уравнение неравномерного движения Рассмотрим участок русла длиной l и уклоном дна Io , вода в котором движется в условиях неравномерного плавноизменяющегося движения, образуя вогнутую кривую подпора (рис. 1 – 2). 1 2 h1 z Io h h h  1 2 ср 2 h2 z2 1 Io.l o o l 1 2 Рис. 1 - 2 Для сечений 1-1 и 2-2 напишем уравнение Бернулли, проведя плоскость сравнения о - о через нижнюю точку сечения 2 - 2 : p  v2 p  v2 z  1  1 1  z  2  2 2 h . 1  2  w 2g 2g В нашем случае для плавноизменяющегося движения воды в открытом русле (точки сечений, в которых определяется удельная потенциальная энергия, берем на свободной поверхности): z  h  I .l ; 1 1 o z h 2 2; p p p 1  2  ат ;     1; 1 2    где h h w h f; - потери напора на трение по длине потока. f Учитывая, что гидравлический уклон (в нашем случае - уклон трения) h f I  , f l потери напора на трение выразим в виде h  I .l . f f При плавноизменяющемся движении воды и малых значениях длины участка величину гидравлического уклона, характеризующего потери напора на трение, отнесенные к единице длины, можно выразить через формулу Шези для равномерного движения жидкости, v  C R I , откуда ср ср ср f 128 v2 ср . I  f 2 C R ср ср Здесь ,C , R - характеристики потока, отвечающие равномерному ср ср ср движению воды на участке длиной l при средней глубине потока h h h  1 2. ср 2 С учетом последнего выражения зависимость для определения потерь энергии на трение получает вид: v 2 .l ср . h  f C2 R ср ср Подставив соответствующие выражения в уравнение Бернулли, получим v 2 .l v2 v2 ср , h  I .l  1  h  2  1 o 2 2g 2 2g C R ср ср или   v2 v 2  v 2    ср h  2  h  1   I  .l . 2 2g  1 2g   o C2 R  ср ср     Заменив скорости через расход Q и площади живых сечений 1, 2, и ср , получим       Q2 Q2   Q2 h   h  I  .l .  2 1 o 2 g 2  2 g 2   C2 2 R  2  1   ср ср ср  Полученное уравнение называется основным уравнением неравномерного плавноизменяющегося движения жидкости. При заданном расходе Q, известной форме призматического русла, а также уклоне дна Io и коэффициенте шероховатости n это уравнение связывает между собой три переменных (по длине потока) величины: глубины потока h1 и h2 на границах участка и длину участка l . Если известны две из них, из основного уравнения можно определить третью. Например, если известна глубина потока в конце участка h2 и длина участка l , то методом подбора можно определить глубину потока h1 в начале участка. (Напомним, что при заданной форме призматического русла площадь живого сечения  является однозначной функцией глубины h). Однако, если известны глубины h1 и h2 , то длина участка l определяется из основного уравнения непосредственно:      Q2   Q2   h2     h1    2 g 2   2 g 2  2  1 . l 2 Q I  o C2 2 R ср ср ср Используя последнее уравнение, можно приближенно по точкам построить кривую свободной поверхности. Если известны глубины потока в начале и в конце v 129 участка h1 и h2, то, задаваясь несколькими промежуточными значениями глубин hа, hб, hв (рис. 1 – 3), вычисляют расстояния между парами промежуточных глубин и по полученным точкам строят кривую свободной поверхности. При этом точность вычислений повышается с увеличением числа промежуточных точек. Хотя при этом возрастает объем вычислений, при современной вычислительной технике это не является проблемой. Рис. 1.3 Удельная энергия сечения потока Вспомним, что удельной энергией потока называется сумма удельных энергий положения, давления и удельной кинетической энергии p v 2 E  z  .(6.6.)  2g Рис. 2.1 Рис. 2.2 130 Если обозначить расстояние от плоскости сравнения 0-0 до плоскости 01 -01, проведенной через низшую точку дна живого сечения, величиной а, то выражение можно представить в виде v 2 H0  a  h  . 2g Сумма последних двух членов правой части v 2 Э  h 2g называется, по определению Б.А. Бахметева, удельной энергией сечения потока и представляет полную удельную энергию потока в рассматриваемом сечении, отнесенную не к произвольной, а вполне определенной плоскости сравнения 01 -01, проведенной через низшую точку живого сечения. Т.о. если удельная энергия потока определяется относительно произвольно выбранной, но одной и той же для разных сечений, плоскости сравнения, удельная энергия сечения потока определяется относительно своей для каждого сечения плоскости сравнения, проходящей через нижнюю точку живого сечения (рис. 2.1 и 2.2). Удельная энергия потока вследствие потерь на трение убывает вниз по течению потока. Удельная энергия сечения потока при равномерном движении остается для всех сечений постоянной, так как при равномерном движении и скорость течения, и глубина постоянны по длине потока. Заменяя среднюю скорость течения v отношением расхода Q к площади поперечного сечения  и принимая   1, получим следующее выражение для удельной энергии сечения потока: Q 2 Э  h . 2 2 g Критическое, спокойное и бурное состояние потока При постоянном расходе Q глубина потока h может быть различной, в зависимости от уклона дна Io , шероховатости n . Учитывая, что площадь живого сечения при заданной форме и размерах поперечного сечения русла однозначно определяется глубиной h:  = f(h), замечаем, что при постоянном расходе удельная энергия сечения потока является функцией только глубины h. Нарисуем график этой функции (рис. 2.3). Рис. 2.3 При h  0   0, и второе слагаемое в выражении для удельной энергии сечения потока стремится к бесконечности, а с ним стремится к бесконечности и удельная энергия сечения потока. При этом кривая графика асимптотически приближается к оси абсцисс. 131 При h   второе слагаемое стремится к 0, а кривая графика удельной энергии сечения потока Э асимптотически приближается к прямой Э = h, так как при больших h Q2  0. 2 2 g Так как функция, выражающая зависимость удельной энергии сечения потока от глубины непрерывна, существует некоторое значение глубины h, при котором удельная энергия сечения потока принимает минимальное значение. Графическое изображение удельной энергии сечения потока в функции от глубины называется кривой удельной энергии сечения потока. Критическая глубина. Глубина h, при которой удельная энергия сечения потока при данном расходе Q принимает минимальное значение, называется критической глубиной и обозначается hк. Состояние потока при критической глубине называется критическим. Критическими называются и все гидравлические элементы потока, соответствующие его критическому состоянию. Они обозначаются с индексом "к" – vк, к, Rк, Cк и т.д. Критическая глубина потока может быть найдена как экстремум непрерывной функции Э = Э(h). Для этого приравняем нулю первую производную функции dЭ Q 2 d  1  0. 3 dh dh g Дифференциал площади живого сечения может быть представлен в виде d = B.dh, где B - ширина потока (B = B(h)). С учетом последнего выражения имеем Q2B к  0. 1 3 g к Выделяя в левую часть величины, зависящие от глубины h, уравнение для определения критической глубины hк окончательно получаем в виде (рис 2.4) 3 Q2 к  . B g к Для русла прямоугольной формы B = const ,  = B.h и уравнение для критической глубины принимает вид B 3 .h 3 к Q2  . B g Рис. 2.4 Отсюда получаются формулы для непосредственного вычисления hк (с учетом, что расход Q = кvк = Bhкvк ) 132 v 2 B 2h2 Q2 к ; h 3 3 к к 2 2 gB gB v2 h  к; к g v  g.h ; к к h d Вводя понятие удельного расхода жидкости на единицу ширины прямоугольного потока q = Q / B, выражение для критической глубины запишем в виде q2 h 3 . к g Для круглого сечения диаметром d (рис.2.5) безразмерное отношение 3/B.d5 является функцией отношения h/d. Например, при h > d/2, 3   2h  h  h     2.  1. .1     d  d  d    3  . h  h B.d 5 1024. .1   d  d Рис. 2.5 По этим формулам составлены таблицы зависимости 3/B.d5 от h/d. С помощью этих таблиц по известному значению отношения Q/g.d5 можно найти отношение h/d, при котором выполняется равенство 3 Q2  , B.d 5 g.d 5 и т.о. определить значение критической глубины hк. Такие вычисления выполняются при расчете дорожных труб. Критический уклон. Для характеристики потока при неравномерном движении необходимо определение величины критического уклона. Критическим уклоном называется такой уклон дна потока, при котором заданный расход проходит в условиях равномерного движения с критической глубиной, т.е. при котором нормальная глубина потока равна критической ho = hк. Вспомним, что нормальной глубиной называется глубина потока, с которой при данном уклоне дна Io заданный расход Q проходит в условиях равномерного движения. Величина критического уклона в общем случае определяется из уравнения равномерного движения, которое при критических значениях элементов потока пишется следующим образом: Q  C . . R .I , к к к o 133 откуда I  к Q2 . 2 2 C . .R к к к  3 .g к , а также B к = к/к, получим следующую зависимость для определения Подставив в эту формулу выражение для Q из уравнения Q 2  2 учитывая, что Rк критического уклона g . к . I  к 2 C .B к к Для суждения о состоянии потока и построения кривых свободной поверхности необходимо иметь данные о следующих основных элементах потока: критической глубине hк, критическом уклоне Iк, нормальной глубине ho и уклоне дна Io . Рис. 2.7 По уклону дна естественных и искусственных русел принято различать: - русла с прямым уклоном дна при Io > 0 (рис. 2.7, а); - русла с горизонтальным дном при Io = 0 (рис. 2.7, б); - русла с обратным уклоном дна при Io < 0 (рис. 2.7, в). Наиболее часто встречаются русла с прямым уклоном дна; искусственные русла (в частности дорожные трубы) нередко устраиваются с горизонтальным дном. При заданном расходе Q прямой уклон дна потока может быть равным критическому уклону Iк, меньшим или большим его. При уклоне дна, равном критическому для заданного расхода Q, нормальная глубина потока ho равна критической глубине hк. Если при том же расходе Q уменьшать уклон дна Io , нормальная глубина ho начнет возрастать, критическая же глубина hк, зависящая для данного русла только от величины расхода Q, остается неизменной. Таким образом, при Io < Iк будет ho > hк. С увеличением уклона дна сверх критического уклона глубина равномерного движения ho становится меньше критической, т.е. при Io > Iк имеем ho < hк . Формы свободной поверхности потока. Соотношение между глубиной неравномерного движения h, нормальной глубиной ho и критической глубиной hк характеризует собой вполне определенные формы свободной поверхности потока. При глубине потока большей критической hк состояние потока называется спокойным. Спокойному состоянию потока отвечает верхняя ветвь кривой удельной энергии сечения (рис. 2 – 3). С увеличением глубины спокойного потока увеличивается и удельная энергия сечения. Примерами спокойных потоков являются равнинные реки с незначительными уклонами. 134 При глубине потока меньше критической hк поток находится в бурном состоянии. На кривой удельной энергии сечения (рис. 2 – 3) бурному состоянию соответствует нижняя ветвь. С увеличением глубины потока удельная энергия сечения уменьшается. Горные реки с большими уклонами могут служить примером бурных потоков. В бурном состоянии поток обладает значительной энергией, главным образом за счет скорости течения. При этом происходит интенсивный размыв дна и стенок русла. При устройстве искусственных водопропускных сооружений во избежание деформации русла бурные потоки стремятся превратить в спокойные путем выполнения ряда инженерных мероприятий, главным образом, устройством гасителей энергии различной конструкции. Гидравлический прыжок В заключение отметим, что переход потока из бурного состояния в спокойное происходит скачкообразно. Такое явление называется гидравлическим прыжком (рис. 2.8). Рис. 2.8 Основное дифференциальное уравнение установившегося неравномерного плавно изменяющегося движения жидкости. Исследование форм кривых свободной поверхности потока в открытых призматических руслах. Методы интегрирования дифференциального уравнения неравномерного движения в призматическом русле. Построение кривых подпора и спада. Уравнения неравномерного плавноизменяющегося движения жидкости в непризмагических руслах Уравнение неравномерного плавноизменяющегося движения в непризматическом русле с прямым уклоном дна записывается в следующем виде: Q2 Q 2 d i0  2 2  dh  C R g 3 dl  . (6.56) dl Q 2 B 1 g 3 Аналогичные выражения с учетом знака уклона могут быть получены для призматических русл с горизонтальным и обратным уклонами дна. Дифференциальные уравнения неравномерного плавноизменяющегося движения в призматических руслах В призматических руслах площадь живого сечения потока может изменяться только за счет изменения глубины и поэтому при подстановке в формулу (6.56) условия 135 dω/dl=0 получаем дифференциальное уравнение неравномерного плавноизменяющегося движения для призматических русл с положительным уклоном дна: Q2 i  dh 0  2 C 2 R  . (6.57) dl Q 2 B 1 g 3 Вводя в уравнение (6.57) параметр кинетичности Q 2 B Пк  g 3 и используя понятие расходной характеристики К  C R для произвольной глубины h неравномерного потока, получаем уравнение следующего вида: dh i0  Q 2 / К 2  . dl 1  Пк Рис. 6.21 Выражая расход Q по формуле Шези через расходную характеристику К0, соответствующую нормальной глубине h0 в канале при заданном уклоне i0, можем записать 1  (К 0 / К ) 2 dh  i0 . dl 1  Пк Наконец, используя понятие гидравлического показателя русла 2 2  К1  h      1  (6.38),  К2   h2  получаем уравнение неравномерного движения в призматических каналах только правильной формы: 1  (h0 / h) x dh  i0 . (6.60) dl 1  Пк Для призматических русл с горизонтальным дном (i0=0) получаем dh Q2 / К 2  . (6.61) dl 1  Пк Для русл с обратным уклоном (i0<0) 136 i  Q2 / К 2 dh  0 . (6.62) dl 1  Пк Общий анализ дифференциальных уравнений неравномерного движения в призматических руслах При рассмотрении дифференциальных уравнений (6.58), (6.62) расход Q следует принимать величиной постоянной. Переменными являются расходная характеристика К и параметр кинетичности Пк, поскольку они зависят от характеристик поперечного сечения потока ω, χ, В, R, С, которые в связи с изменением глубины h при неравномерном движении изменяются по длине призматического русла. Очевидно, при некоторых значениях глубины h расходная характеристика К и параметр кинетичности ПК могут принимать такие значения, при которых числитель или знаменатель правой части этих уравнений будет стремиться и затем обратится в нуль. Для русл с уклоном i0>0 при равенстве нулю числителя уравнения (6.58) получаем i0  Q 2 / K 2  0, (6.63) откуда dh 0 dl что соответствует постоянству глубины потока вдоль русла, т. е. равномерному движению (h=h0). Последнее следует также непосредственно из выражения (6.63), которое представляет собой формулу Шези Q  K 0 i 0 для равномерного движения. Получено, таким образом, подтверждение того, что равномерное движение возможно в призматическом русле при положительном уклоне дна i0>0. Производная dh/dl=tg 0, где 0 - угол между касательной к кривой свободной поверхности потока и линией N-N нормальной глубины или линией К-К критической глубины. Следовательно, если глубина неравномерного потока в канале с уклоном i0>0 стремится к нормальной глубине h→h0, то и dh/dl=tg 0→0, т. е. свободная поверхность асимптотически стремится к линии N-N. Для русл с горизонтальным дном равенство нулю числителя уравнения (6.61) и, следовательно, производной (6.61) возможно либо при Q=0, либо при К=∞ (или h=∞). Оба условия не имеют смысла, поскольку перестает существовать движение жидкости. При обратном уклонe дна равенство (6.64) может быть получено из уравнения (6.62), если i0  Q 2 / K 2  0, или Q 2   K 2 i0. Поскольку отрицательный знак уклона дна русла учтен при выводе уравнения (6.62), в последнем выражении знак «-» относится к расходной характеристике К, что также лишено смысла. Таким образом, получено подтверждение, что при уклонах дна i0=0 и i0<0 равномерное движение в канале существовать не может. Знаменатель правой части уравнений (6.58)-(6.62) обращается в нуль, если h=hK или Пк=1. Тогда dh  , (6.65) dl т. е. кривая свободной поверхности неравномерного потока углом 90°. При этом существенно увеличивается кривизна новится резко неравномерным. Поэтому результат (6.65), полученный из уравнений для плавноизменяющегося движения, не является строгим. пересекает линию К-К под линий токов и поток ста(6.58)-(6.62), справедливых В действительности линия 137 К-К пересекается свободной поверхностью потока под углом, несколько меньшим, чем прямой. Если это пересечение происходит при уменьшении глубин от h1>hK до h20 и, следовательно, dh/d/>0: кривая свободной поверхности, глубины которого возрастают вниз по течению, называется кривой подпора. Если же глубины потока по течению уменьшаются (рис. 6.22, б), т. е. h20 могут быть случаи i0iK, i0=iK. Линиями нормальной N-N и критической K-К глубины выделяются три характерные области (диапазона) изменения глубины неравномерного потока: область а, где h>h0 (при i0hK (при i0>tK); 138 область b, где h0>h>hK (при i0iK - область отсутствует при i0=iK. (когда h0=hK), область с, где hiK). Знак производной dhldl, т. е. образование кривой подпора или спада на участке неравномерного движения, определяется знаками числителя и знаменателя правой части уравнения (6.59). При h>h0 числитель будет положительным 1-(K0/К)2>О, поскольку при этом K>К0. При hhк согласно уравнениям Пк<1 и знаменатель 1-Пк>0. При h1 и 1-Пк<0. Таким образом, при одинаковых знаках числителя и знаменателя - положительных в области а и отрицательных в области с - величина dh/d/>0, из чего следует, что в указанных областях свободные поверхности являются кривыми подпора. При разных знаках - в области b - производная отрицательна и свободная поверхность в русле образует кривые спада. Форма кривых подпора и спада в каждой области определяется тем, как стремится глубина неравномерного потока к линиям N-N и К-К, т. е. условиями (6.64) и (6.65) на границах областей (табл. 6.3). Уклон дна канала меньше критического. Линия нормальных глубин N-N при i0h0>hк свободная поверхность представляет кривую подпора. При стремлении глубины потока к нижнему пределу глубин (h→h0) свободная поверхность (линия а1) в верхней части участка неравномерного движения асимптотически приближается к линии N-N. При стремлении глубины к верхнему пределу (h→∞) расходная характеристика К→∞ и величина (К0/К)2→0; параметр кинетичности Пк→0. Следовательно, при h→∞ производная dhldl→i0=const. Поскольку дно русла по отношению к горизонтальной плоскости имеет уклон i0 и глубины измеряются от наклонной плоскости дна, равенство dh/dl=i0 характеризует горизонтальную прямую п-п (рис. 6.23). При увеличении глубины (h→∞) свободная поверхность асимптотически приближается сверху к горизонтальной прямой п-п, т. е., несмотря на увеличение глубины потока, отметки свободной поверхности вниз по течению уменьшаются. Таким образом, свободная поверхность имеет вогнутую форму и называется кривой подпора a1 (табл. 6.3). Такого типа кривые подпора образуются в тех случаях, когда на пути равномерного потока в русле с i0h>hK устанавливается кривая спада b1 (табл. 6.3). Поскольку к линии N-N кривая стремится снизу асимптотически, а к линии К-К сверху условно под прямым углом, она имеет выпуклую форму. Эта кривая может наблюдаться в каналах с 139 уклоном i0iк располагается ниже линии К-К. В области а при h>hк>h0 в русле устанавливается кривая подпора а2 (табл. 6.3). Нижний предел глубины h=hк соответствует условию (6.65), т.е. гидравлическому прыжку. При стремлении глубины к верхнему пределу (h→∞) свободная поверхность неравномерного потока будет асимптотически снизу приближаться к горизонтальной прямой п- п, поскольку при этом dhldl→i0. Следовательно, кривая свободной поверхности имеет выпуклую форму. Эта кривая образуется, например, за гидравлическим прыжком перед препятствием в виде сооружений мостового перехода, трубы или плотины (между сечениями 1-1 и 2-2), устанавливаемыми в русле с уклоном дна i0>iк (рис. 6.24). Рис. 6.24 В области b при haiк потока из канала с уклоном iol=iK (рис. 6.25). Рис. 6.25 Теоретически длина кривой спада b2 равна бесконечности, в практических расчетах ее длину находят, ограничивая сечением 2-2, в котором глубина h2=(1,005-1,05) h0. В области с русла при hiK (см. рис. 6.19), если на предыдущем участке канала значение уклона было еще большим (i01>iK). При определении длины кривой подпора с2 в практических расчетах глубину потока в сечении 2-2 принимают в зависимости от точности расчета, на 0,5-5% меньше 141 нормальной глубины: h2=(0,995-0,95)h0, условно считая, что ниже этого сечения движение становится равномерным. Критический уклон дна канала. Глубина ho=hK, т. е. линии N- N и К- К совпадают и область b отсутствует. В областях а и с производная dhldl >0, из чего следует, что глубины потока вниз по течению возрастают (см. табл. 6.3). Форма свободной поверхности потока при этом может быть установлена путем преобразования дифференциального уравнения неравномерного движения (6.57). Расход в числителе правой части уравнения при iо=iк может быть выражен через параметры потока при равномерном движении: Q 2  к2 Ск2 Rк iк . Поскольку коэффициент Шези мало изменяется при изменении глубины потока, можно допустить, что Ск≈С; гидравлические радиусы выражаются в виде: RK=ωк/χк, R=ω/χ/; знаменатель преобразуется в соответствии с (6.14). С учетом изложенного получаем 1   к3  /  к  3  dh  iк . (6-66) dl 1   к3 B / Bк  3  Если допустить, что Вк≈χк и В≈χ (это можно считать приемлемым для широких и неглубоких русл), то получаем dh (6-67)  iк . dl Следовательно, как в области а, так и в области с в рамках принятых допущений устанавливаются горизонтальные прямые подпора а3 и с3. Прямая подпора а3 образуется, например, в канале (рис. 6.26) с уклоном i02>iK, если к нему примыкает канал с меньшим уклоном (i03iK. Рис. 6.26 В начальном сечении 3-3 прямой подпора а3 глубина h3=hK, в конечном сечении 4-4 глубина h4=h03. Длина прямой подпора a3 определяется из соотношения h  hк l 2  02 . (6.68) iк В начальном сечении 1-1 в этом случае h1=h01, а в конечном сечении 2-2 глубина h2=hк. Длина прямой подпора с3 при этом находится аналогичным образом: h  h01 l1  к . (6.69) iк Русло с горизонтальным дном. В этом случае равномерное движение существовать не может и линия нормальных глубин N- N отсутствует (см. табл. 6.3). Линия критической глубины К- К выделяет две области b и с. 142 В области b при h>hK согласно уравнению (6.61) имеем выпуклую кривую спада b0, заканчивающуюся водопадом. При hhK), анализируя уравнение (6.62), аналогично тому, как это было выполнено в отношении уравнения (6.61), для i0=0 и принимая во внимание, что при выводе уравнения (6.62) отрицательный знак уклона дна уже был учтен, получаем кривую спада b' выпуклой формы (табл. 6.3).В области с (hr). В уравнения для русл с любым уклоном дна входят три величины: глубины hi и h2 в начальном и конечном сечениях рассматриваемого участка неравномерного движения и расстояние l между ними. Решение любого из уравнений заключается в отыскании одной из величин по известным значениям двух других. 143 Исходя из этого задачи расчета неравномерного движения, встречающиеся в инженерной практике, могут быть разделены на два типа. В задачах первого типа по двум известным глубинам отыскивается длина участка. Эти задачи называют прямыми. В задачах второго типа (обратных) заданными являются глубина в одном из сечений и расстояние между сечениями и отыскивается глубина в другом сечении. При решении любой из задач вначале необходимо установить тип кривой свободной поверхности, подлежащей расчету. Для этого следует определить зону, в которой располагается кривая, т. е. построить продольный профиль свободной поверхности потока в заданном русле. Это, в свою очередь, требует отыскания критической глубины hк, а также нормальной глубины h0 для участков с i0>0. Прямые задачи расчета неравномерного движения жидкости в призматических руслах Прямые задачи решаются без подбора по уравнениям, полученным по методу Бахметева (6.78), (6.79) или по методу Павловского (6.81), (6.82) соответственно для уклонов i0>0 и i0=0 участка канала, где располагается рассчитываемая кривая. При назначении глубин h1 и h2 в расчетных сечениях 1-1 и 2-2, между которыми определяется расстояние l, следует помнить, что в каналах с уклонами дна i0iK кривые типа а1; b1; b2 и с2 асимптотически стремятся к линиям нормальных глубин N-N. Поэтому если при расчете кривых a1 и b2 (см. рис. 6.20 и 6.23) в сечениях 1-1 принять h1=h0, а при расчете кривых b2 и с2 (см. рис. 6.19 и 6.25) в сечениях 2-2 принять h2=h0, то длины этих кривых по уравнениям (6.72) и (6.81) при асимптотическом стремлении свободной поверхности к линиям нормальных глубин окажутся равными l=∞. Для получения при инженерных расчетах конечных значений длин кривых следует принимать несколько большее значение глубины в расчетном сечении, т. е. h=(1,005-1,05)h0, когда кривая стремится сверху к линии нормальных глубин, и несколько меньшее h=(0,9950,95)h0, когда кривая стремится к линии N-N снизу. Для того чтобы рассчитать длину участка l неравномерного движения между двумя сечениями с заданными глубинами, прежде всего необходимо определить соответствующие им площади живого сечения ω, смоченные периметры χ, гидравлические радиусы R, ширины потока по свободной поверхности В, коэффициенты Шези С, расходные характеристики К. Затем определяют все входящие в расчетную зависимость величины и находят искомую длину участка l неравномерного плавноизменяющегося потока между расчетными сечениями. Следует отметить, что к решению прямой задачи приводится и задача о построении по расчетным точкам кривой свободной поверхности. При этом, если известна глубина в начальном или конечном сечении, задаются значениями глубин h и определяют соответствующие расстояния l между сечениями. Обратные задачи расчета неравномерного движения жидкости в призматических руслах При решении обратных задач в правой части уравнений по методу Бахметева помимо одной из относительных глубин, а в уравнениях по методу Павловского - одной из относительных расходных характеристик, неизвестной является также и соответствующая им функция. Кроме того, для решения требуется определять величины j или j к соответственно при i0>0 и i0=0, а также гидравлический показатель русла х (при использовании уравнений по методу Бахметева) или одну из величин N, NK (при методе Павловского). Для этого при известной глубине в одном из сечений необходимо задаться ориентировочным значением искомой глубины. Найденные по этим глубинам значения j 144 или N будут неточными; их приходится уточнять методом последовательных приближений. Построение кривых свободной поверхности потока неравномерного движения жидкости в непризматических руслах В практике приходится решать задачи по расчету неравномерного плавноизменяющегося движения воды на непризматических участках каналов. Интегрирование уравнения (6.56) неравномерного движения в общем случае представляет серьезные трудности. Поэтому при технических расчетах применяют метод конечных разностей. Впервые этот метод решения с использованием уравнения Бернулли был предложен в 1914 г. В. И. Чарномским. Рассмотрим непризматический участок канала с прямым уклоном дна i0>0 (рис. 6.29). Пусть в сечениях 1-1 и 2-2 глубины потока известны и равны соответственно h1 и h2. Требуется определить расстояние l между этими сечениями. Разделим весь участок между сечениями 1-1 и 2-2 на элементарные участки длиной Δl так, что в пределах каждого малого участка можно считать незначительными изменения формы и размеров сечения канала. Для любого из этих участков, в том числе и для расположенных между сечениями п и n+1, можно использовать уравнение (6.50) неравномерного плавно изменяющегося движения в непризматическом русле: Эп l  , i0  I п где ΔЭп - изменение удельной энергии сечения в пределах выбранного участка:  v 2   v 2  Э  Эn 1  Эn   hn 1  n 1    hn  n ; (6.84) 2g   2g   In - среднее значение гидравлического уклона в пределах рассматриваемого участка, определяемое по формуле Шези с введением в нее средних значений скорости v , гидравлического радиуса R , коэффициента Шези C на участке: v2 I n  2 . (6.85) C R Рис. 6.29 Средние значения указанных параметров определяются как их средние арифметические в сечениях п и n+1. Для каждого элементарного участка задача может быть решена по уравнениям (6.83)-(6.85) либо как прямая, либо как обратная. В первом случае, зная глубину в одном из сечений, например hп, задаемся значением глубины в соседнем сечении hn+1 и находим по уравнениям (6.83)-(6.85) 145 искомое расстояние Δl между двумя соседними сечениями с известными глубинами. В такой постановке решение получится точным. Получаемые расстояния Δl между сечениями будут различными в зависимости от того, насколько отличаются между собой глубины в сечениях на границах участков и от крутизны кривой свободной поверхности. Во втором случае при заданном расстоянии Δl между сечениями и глубине в одном из них задача решается методом подбора. Искомым будет то значение глубины в другом сечении, при котором будет соблюдаться тождество в выражении (6.83). Расстояние между сечениями 1-1 и 2-2 будет равно m Эn l   l   , (6.86) n 1 i0  I n где т число элементарных участков длиной Δl. Необходимо отметить, что метод конечных разностей В. И. Чарномского может применяться для расчета неравномерного плавноизменяющегося движения в любых каналах, в том числе и в призматических, а также в непризматических каналах при постоянной глубине потока. Построение кривых свободной поверхности потока неравномерного движения жидкости в естественных руслах Естественные русла характеризуются извилистостью, наличием плесов и перекатов. В связи с этим по длине русла меняются размеры и форма поперечных сечений, уклон дна, глубины потока, шероховатость русла. Все это вызывает непрерывное изменение типа кривых свободной поверхности потока. Таким образом, в естественных руслах движение потока является неравномерным. При возведении мостовых переходов, выправительных и других сооружений на естественных водотоках, проведении дноуглубительных работ резко нарушается естественный режим, что проявляется в изменении отметки свободной поверхности (глубин потока), скоростей. В практическом отношении наибольший интерес представляют нарушения, сопровождающиеся увеличением глубин потока, т. е. образованием подпора. Для определения районов возможного подтопления необходимо знать глубины в любом створе реки выше сооружения. Задача, таким образом, сводится к построению кривых подпора в естественных руслах. Решение может быть получено лишь приближенным методом, поскольку не представляется возможным изменение параметров русла по течению выразить аналитически. Все разработанные к настоящему времени методы построения свободной поверхности потока в естественных руслах могут быть сведены в две группы. Одна группа включает методы, основанные на приведении естественного русла к некоторому фиктивному призматическому руслу с уклоном дна одного знака и постоянной шероховатостью. Для такого русла выполняется расчет свободной поверхности по уравнению неравномерного движения, например уравнению (6.78). Эти методы дают слишком грубое решение и в настоящее время почти не применяются. Другая группа методов включает предварительное деление естественного русла на ряд расчетных участков, и затем последовательный расчет каждого из участков. Расчетные участки выбираются таким образом, чтобы в пределах каждого из них можно было считать постоянными сечение, шероховатость и уклон русла, т. е. чтобы для каждого участка могли быть установлены средние значения параметров, примерно соответствующие действительным, и, кроме того, чтобы разность отметок в начальном и конечном сечениях участка не превышала 0,5-1 м. Расчет сводится к нахождению отметки свободной поверхности в одном из граничных сечений расчетного участка (обычно в верховом) по известным отметке горизонта воды в другом сечении (низовом) и длине участка. Расчет может быть выполнен 146 по уравнению неравномерного плавноизменяющегося движения в непризматическом русле (6.48), которое с учетом выражения удельной энергии сечения v 2 Э  h 2g может быть представлено в следующем виде:  v 2    h f . i0 l  h    2g  Введем сюда разность отметок свободной поверхности в сечениях 1—1 и 2—2 z  i0 l  h и выразим потери напора через гидравлический уклон, после чего получим  v 2    Il (6.88) z    2g  Выражая гидравлический уклон по формуле Шези через средние значения характеристик на расчетном участке, можем записать v 2  v12 Q 2 z   2  2 l , (6.89) 2g K или v22  v12 v2 z    2 l. (6.90) 2g С R Эти уравнения решаются методом подбора или графически. По заданной отметке поверхности потока в одном из сечений, например конечном, и принятой отметке в другом (начальном) сечении вычисляют величины, входящие в уравнение (6.89) или (6.90). Если при этом не получают заданного Δz, то расчет повторяют до тех пор, пока не будет достигнуто достаточно близкое значение. Определив, таким образом, отметку поверхности в начальном сечении данного расчетного участка, переходят к следующему участку, который рассчитывается таким же образом. При построении кривых подпора на равнинных реках со скоростями течения v=11,5 м/с изменением скоростного напора в пределах расчетного участка можно пренебречь. Тогда уравнения (6.89), (6.90) принимают вид: Q2 z  2 l , (6.89') K v2 z  2 l. (6.90') С R Решение этих уравнений также выполняется методом подбора или графически. 1.3.6. ВОДОСЛИВЫ Если открытый поток преградить какой-либо стенкой, то уровень воды перед стенкой повысится, и вода начнет через нее переливаться. Если в гребне стенки сделать специальный вырез, то вода будет переливаться через порог этого выреза. Стенка, через которую переливается вода, называется водосливной стенкой. Водосливом называется то безнапорное отверстие (вырез, сделанный в стенке), через которое протекает вода (рис. 1 – 1). Или по-другому, водосливом называется преграда на пути потока, через которую переливается вода. 147 б) а) Рис. 1 - 1 ВБ – верхний бьеф – участок потока перед водосливом; НБ – нижний бьеф – участок потока за водосливом; гребень водослива – верхняя кромка водосливного порога; H – статический напор на гребне (пороге водослива) – превышение уровня воды над гребнем водослива на расстоянии (3…5) H от порога (до заметного начала кривой спада); Pв.б., Pн.б. – высота порога водослива (соответственно, со стороны ВБ и НБ); hв.б., hн.б. - глубина потока в ВБ и НБ; z = Pн.б. + H – hн.б. – перепад; B – ширина потока (по урезу воды) перед водосливом (в ВБ); b – ширина отверстия водослива (длина гребня водослива); vo – скорость подхода (на удалении (3…5)H от порога); приближенно Q vo   BhQв .б . , B ( Pв.б .  H ) где Q – расход воды через водослив. Если vo < 0,5 м/c, принимают vo = 0. Ho – полный напор на водосливе: v o2 Ho  H  2g (при vo < 0,5 м/c Ho  H). Классификация водосливов 1. По типу порога водослива: а) водосливы с тонкой стенкой (рис. 1 – 1,а,а1). Струя не прилипает к оголовку. S  (0,1 … 0,5).H. в) водосливы с широким порогом - с острой передней кромкой 2H  S  10H; - с закругленной передней кромкой 2,5H  S  15H г) водослив практического профиля (рис. 1 – 1,б). Если струя прижимается к сливной грани водослива (давление во всех точках больше атмосферного) – водослив безвакуумного профиля. 2. По типу сопряжения струи с потоком в нижнем бьефе: 148 а) незатопленные (неподтопленные) водосливы, уровень воды в нижнем бьефе не влияет на расход воды через водослив (рис. 1 – 1); б) затопленные (подтопленные) водосливы (рис. 1 – 5, 1- 9); hп = H – z – высота подтопления (глубина подтопления) водослива (у незатопленных водосливов H  z, hп = 0); 3. В зависимости от соотношения ширины отверстия водослива b и ширины потока B: а) водосливы без бокового сжатия - b = B (рис. 1 – 2,а); б) водосливы с боковым сжатием – b < B; bc – ширина струи в сжатом сечении (1 – 2,б). Рис. 1 - 2 4. По геометрической форме водосливного отверстия (рис. 1 – 3): b b Рис. 1 - 3 а) прямоугольные; б) треугольные; в) трапецеидальные; г) круговые; д) параболические и т.д. 5. В зависимости от расположения водослива в плане (рис. 1 - 4): Рис. 1 - 4 а) прямые или лобовые; б) косые; в) боковые. 149 Расход через прямоугольный водослив Прямоугольный водослив. Для прямоугольного водослива расход определяется по формуле 32 (1 – 1) Q  m   b. 2 g H , пл с з o где: mпл – коэффициент расхода водослива; для водослива с широким порогом: при Pв.б./H = 0 mпл = 0,385; при Pв.б./H = 3 mпл = 0,32 при острой входной кромке и mпл = 0,35 при закругленном ребре (рис 1 – 5); с - коэффициент бокового сжатия (приближенно можно считать с = 1); з – коэффициент затопления (для незатопленных водосливов з = 1); b – ширина водослива (если отверстий несколько – суммарная ширина всех отверстий; Ho – полный напор (Ho  H). Рис. 1 - 5 С помощью приведенной формулы можно решать три задачи: - определять расход Q; - определять требуемую ширину отверстия b; - определять требуемый напор H. При проектировании новых водосливов практически по заданному расходу Q определяют оптимальные размеры b и H. Неподтопленный прямоугольный водослива с тонкой стенкой. Для неподтопленного прямоугольного водослива с тонкой стенкой (рис. 1 – 1,а) расход определяется по формуле Q  mo b 2 g .H 3 2 , м 3 / c. Скорость подхода учтена в коэффициенте расхода водослива mo, поэтому в формуле стоит не Ho, а статический напор H. Прямоугольный неподтопленный водослив с тонкой без бокового сжатия называется нормальным. Для нормального водослива mo определяется по эмпирическим формулам: H m  0,402  0,054 o P в или   0,0027   H2   m   0,405  . (при Pв  H и H  0,1 м). . 1  0,55 o   2 H  H P   в    Для водослива с боковым сжатием mo определяется по формуле: 150   0,0027 B  b  b2 H2   m   0,405   0,03 .  1  0,55 o   2 2 H B  H  P B в   Точность приведенных формул, относящихся к нормальному водосливу достаточно высока. Поэтому они применяются в качестве измерительных водосливов. Неподтопленный прямоугольный водослив с широким порогом (рис. 1 – 6)   к к Рис. 1 - 6 Такой водослив характеризуется наличием двух перепадов свободной поверхности Zв и Zн. В случае спокойного потока в местах стеснения потока всегда получается снижение его свободной поверхности – скорость течения увеличивается, а потенциальная энергия падает. Потери энергии потока (напора) на пороге малы, поэтому поверхность воды над порогом в средней его части горизонтальна, глубина потока постоянна. Расход воды, протекающей через водослив, определяется по формуле 32 Q  mb 2 g H , o или без учета скорости подхода 32 Q  m.b 2 g H . Эти формулы получаются из общей формулы (1 – 1) при с = з = 1. Приближенно коэффициент расхода m можно принимать равным 0,32 и 0,35 (рис. 1 – 5). Глубину на пороге можно найти по формуле h  kH , o где коэффициент k равен 0,453 для порога а) и 0,498 для порога б) (рис. 1 – 5). При этом h < hк , т.е. поток на пороге бурный (на рис. 1 – 6 пунктирной прямой к – к показан уровень воды при критической глубине hк . Подтопленный прямоугольный водослив с широким порогом (рис. 1 – 7) Водослив с широким порогом получается подтопленным, если уровень воды нижнего бьефа поднимается выше того горизонта воды, который сам собой устанавливается на пороге неподтопленного водослива (т.е. при глубине в нижнем бьефе hн > cн + hк). При истечении воды через подтопленный водослив с широким порогом наблюдается один положительный и один отрицательный перепад. Последний называется перепадом восстановления. Этим перепадом при расчете часто пренебрегают (рис. 1 – 7,б). Водослив будет подтопленным при выполнении условия hп > n.Ho, или hн >(cн + n.Ho), где n = 0,85…0,75 (в среднем n = 0,80). 151 Если это условие не выполняется, то при hп > hк на пороге водослива возникает гидравлический прыжок (рис. 1 – 8), и сечение 1 – 1 может оказаться не покрытым горизонтом воды нижнего бьефа. Расход в случае неподтопленного водослива определяется по формуле 3 Q    b 2 g H 2 , c з o где коэффициент  равен 0,84 для водослива с острой передней кромкой  = 0,93 для водослива с закругленной передней кромкой (рис. 1 – 5). Рис. 1 - 7 Рис. 1 - 8 Последнюю формулу можно привести к общей формуле (1 – 1) (при с = 1): h 32 3 2 hп Q  m b 2 g H   b 2g H 1 п , з o п o H H o o откуда получим  h h   п п 1 п . з m H H o o Для водослива с острой кромкой (рис. 1 – 5) m = 0,32 , п = 0,84, тогда h 0,84 hп   1 п . з 0,32 H H o o 152 Заметим, что коэффициент затопления всегда меньше единицы для подтопленных водосливов и равен 1 для неподтопленных водосливов. Из уравнения h 0,84 hп 1 п  1 0,32 H H o o следует, что минимальное значение hп , при котором з = 1, равно примерно 0,80. При Ho меньших значениях hп/Ho водослив будет неподтопленным, что соответствует приведенному выше критерию подтопляемости водосливов с широким порогом. Бреши в плотинах. Расход воды через бреши Под брешью понимают сквозной пролом в плотине при ее частичном разрушении. Бреши в плотинах могут быть весьма разнообразными по форме и размерам и изменяться во времени. С гидравлической точки зрения брешь представляет собой водослив сложной пространственной формы. Поэтому расход воды через брешь может быть определен лишь приближенно. В основу формулы для расхода воды через брешь положена приведенная выше формула (1 – 1) для расхода через прямоугольный водослив. В этой формуле все коэффициенты mпл,с,з, множитель 2 g заменяются одним коэффициентом . Кроме того, коэффициентом  учитывается форма бреши. Т.о. расход через брешь 32 3 Q  bH м / c. Здесь: b – ширина отверстия водослива по урезу воды (см. рис. 1 - 3 ). H – напор (в формуле b и H – в м). Коэффициент  принимается равным: - для брешей прямоугольной формы - 0,9…1,3; - для брешей параболической формы - 0,5…0,8; - для брешей треугольной формы - 0,35…0,55. 1.3.7. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА Общие понятия При обтекании твердого тела потоком жидкости или при движении твердого тела в покоящейся жидкости возникают гидравлические сопротивления. Эти сопротивления проявляются в непосредственной близости от самого тела и определяются действием сил вязкости и сил, определяемых разностью давления перед обтекаемым телом и за ним. Соотношение между силами трения и давления может быть различным, в зависимости от формы твердого тела, направления движения потока, обтекающего тело, и ряда других факторов. Так, например, при обтекании потоком жидкости плоской тонкой пластинки, установленной вдоль направления векторов скорости набегающего потока, сопротивление определяется главным образом силами трения, возникающими на боковых поверхностях пластинки (рис. 17.1, а). 153 Рис. 1.1. Примеры взаимодействия потока вязкой жидкости с твердым телом Если же поток набегает на пластинку по нормали к ее поверхности (рис. 17.1,6), то эффект проявления сил трения (сил вязкости) становится пренебрежимо малым и сопротивление зависит в основном от разности давления перед обтекаемым телом и за ним. При обтекании потоком тела произвольной формы силы вязкости и силы давления могут оказаться соизмеримыми по величине (рис 17.1,в). Сопротивление трения при обтекании плоской пластины При обтекании плоской пластины сопротивление трения определяется касательными напряжениями, действующими вдоль обтекаемой потоком жидкости или газа твердой поверхности (рис. 17.2). Эти напряжения могут быть определены для полубесконечной плоской пластины непосредственно из системы уравнений Прандтля, записываемых в виде  2u x u u  1 p    u x x  u y x ; 2  x x y  y (17.1)  u x u y    0.  x y Наиболее точным решением системы (17.1) является решение Блазиуса, полученное в результате замены исходной системы дифференциальных уравнений в частных производных обыкновенным дифференциальным уравнением третьего порядка. Эта замена оказывается возможной при введении в уравнения движения функции тока, определяемой соотношениями   . и uy  ux  dx y 154 Рис. 1.2. К выводу уравнений движения жидкости в плоском пограничном слое Толщина ламинарного пограничного слоя в соответствии с решением Блазиуса 5x 5x (17.2)   , u  x / Re x Касательные напряжения по Блазиусу при обтекании пластины  0  0,332 0 u 3 / x . (17.3) Теоретическое решение Блазиуса хорошо подтверждается многочисленными опытными данными. Несколько худшее совпадение с опытом дают результаты решения уравнения количества движения для плоского пограничного слоя, называемого в гидромеханике интегральным соотношением Кармана   d d 2 u x dy  u   u x dy  dp   0 . (17.4) dx 0 dx 0 Решения уравнения (17.4) интегрального соотношения Кармана записываются в виде 5,63x  ; (17.5) u  x /  0  0,343 0 u 3 / x. (17.6) Введем понятие местного коэффициента сопротивления трения 0 cf  ,  0 u 2 / 2 удобного при определении силы трения в случае обтекания плоской пластины вязким потоком. Эта сила, отнесенная к единице ширины обтекаемой пластины длиной l , l l u2 F    0 dx  1   c f  0  dx  1, 2 или (17.7) F  c F S 0 u 2 / 2, l 1 где c F   c f dx - средний по длине l коэффициент сопротивления трения; S - площадь l0 обтекаемой поверхности пластины. cf Коэффициент определяется для ламинарного пограничного слоя непосредственно из ранее приведенных уравнений (17.3) и (17.6): по Блазиусу c f  0,664 / Re x , (17. 8) по интегральному соотношению Кармана c f  0,685 / Re x . (17.9) При двустороннем обтекании плоской пластины конечной длины l сила трения и средний по длине коэффициент сопротивления трения удваиваются, поэтому уравнения, например, для коэффициента c F имеют вид: c F  1,328 / Re l ; с F  1,37 / Re l , где Re l  u l / (17.10) (17.11) 155 Гидравлические сопротивления в турбулентном пограничном слое в значительной степени зависят от шероховатости поверхности пластины. При определении этих сопротивлений выделяют режимы гидравлически гладких поверхностей, гидравлически шероховатых поверхностей и переходный между ними. В первом случае гидравлические сопротивления обусловлены только вязкими напряжениями, влияние шероховатости пренебрежимо мало. Коэффициент сопротивления трения c F для гидравлически гладких поверхностей определяется по формуле Кармана 0 , 2 c F  0,072 Re l (17.12) или по формуле Шлихтинга 2 , 58 c F  0,455lg Re l  . (17.13) Уравнения (17.12) и (17.13) являются равнозначными. Первое из них получено при условии, что распределение скоростей вблизи твердой поверхности подчиняется сте1/ 7 пенному закону u x / u    y /   , второе - на основе аппроксимации результатов расчета в соответствии с логарифмическим законом распределения скоростей. Обе формулы применимы в области 5  105  Re l  107 . Для режима гидравлически шероховатых поверхностей влиянием вязкости пренебрегают. В этом случае коэффициент гидравлического сопротивления трения обычно рассчитывают по формуле Шлихтинга 2, 5  l  (17.14) c F  1,89  1,62 lg  , kЭ   где l - длина пластины; k Э - абсолютная эквивалентная шероховатость поверхностей пластины. Уравнение (17.14) справедливо при 10 2  l / k Э  106. А. Д. Альтшулем для коэффициента гидравлического сопротивления по длине было получено уравнение 0, 2 c F  0,03k Э / l  83 / Re l  , (17.15) которое может быть использовано для расчета во всей области турбулентного течения вдоль пластины. Отрыв пограничного слоя Сопротивления при обтекании твердого тела (кроме пластины, ориентированной вдоль векторов скорости набегающего потока) жидкостью или газом определяются не только касательными напряжениями, возникающими на твердой границе, но и влиянием образующейся за телом области вихревого течения. Образование этой области связано с явлением отрыва пограничного слоя. При обтекании тела с резко меняющимся профилем поверхности отрыв пограничного слоя является следствием проявления инерции жидких частиц в пределах пограничного слоя. Картина отрыва пограничного слоя в этом случае изображена на рис. 17.3. При обтекании плавной криволинейной поверхности отрыв пограничного слоя связан с характером изменения давления вблизи твердой поверхности. Рассмотрим подробнее механизм этого явления (рис. 17.4). На участке АВ скорость частиц жидкости, находящихся в пограничном слое, увеличивается u / dx  0 , а на участке ВС уменьшается (ди/дх<0). Тогда в соответствии с уравнением Бернулли давление на участке АВ уменьшается (др/дх<0), а на участке ВС увеличивается (др/дх>0). 156 При движении невязкой жидкости искривление линий тока у твердой границы АС привело бы лишь к перераспределению кинетической и потенциальной энергии любой жидкой частицы. В случае же движения вязкой жидкости часть кинетической энергии теряется за счет трения внутри пограничного слоя. Оставшейся части кинетической энергии может не хватить на преодоление действия положительного градиента давления, стремящегося изменить направление движения жидких частиц. Рис. 17.3. Отрыв пограничного слоя на ломаной поверхности Рис. 17.4. Отрыв пограничного слоя на криволинейной поверхности В результате частицы жидкости могут начать движение в обратном направлении и привести тем самым к отрыву потока от твердой границы. В точке отрыва (точка М) касательные напряжения на твердой поверхности обтекаемого тела равны нулю, так как в этой точке градиент скорости обращается в нуль u / x  0 . За точкой отрыва пограничный слой трансформируется в отрывное течение, характеризуемое сильной неустойчивостью образующихся крупномасштабных вихрей. Отдельные вихри, отрываясь от твердой поверхности, сносятся потоком, на их месте образуются новые вихри и т. д. Образование, взаимодействие и перемещение вихрей за обтекаемым телом создают совершенно иную по структуре область течения, которую часто называют гидродинамическим (или аэродинамическим) следом Основной поток, разделенный гидродинамическим следом на две (в условиях плоской задачи) части, восстанавливает свою структуру лишь на некотором расстоянии от обтекаемого тела. При этом протяженность следа зависит главным образом от формы тела и от числа Рейнольдса Re l . Область отрывного течения, несмотря на совершенно иную структуру, не изолирована от основного (невозмущенного) потока. Турбулентное перемешивание, знакопеременный градиент давления, изменение направления течения внутри этой области создают условия для непрерывного взаимодействия между отрывным течением и основным потоком. Однако вследствие замкнутости осредненных во времени линий тока в пределах рассматриваемой области массобмен между ней и невозмущенным потоком невелик, что необходимо учитывать при расчете и проектировании аэрации жилых кварталов, зданий и промышленных сооружений. Рассмотрим простой случай образования отрывного течения за отдельно стоящим зданием с двускатной крышей. Испытания модели такого здания (рис. 17.6) показали, что в зависимости от изменения скорости невозмущенного потока картина обтекания 157 существенно меняется. При относительно малых скоростях траектории частиц обтекающего модель воздушного потока по существу повторяют конфигурацию здания (рис. 17.6,а). С увеличением скорости сразу же за точкой отрыва (точка А) образуется небольшой вихрь (рис. 17.6,6), который быстро увеличивается при дальнейшем повышении скорости (рис. 17.6, в) до тех пор, пока не распадется на отдельные нерегулярные вихри. С течением времени картина обтекания модели становится статистически установившейся; при этом форма и размеры области отрывного течения оказываются практически постоянными (рис. 17.6,г). Рис. 17.6. Стадии обтекания модели здания воздушным потоком Таким образом, при достаточно большой скорости поток, обтекающий твердое тело с резко меняющимся профилем, можно условно разделить на две статистически устойчивые области течения (рис. 17.7). Рис. 17.7. Течение воздушного потока при обтекании одиночного здания Границей между ними можно назначить линию тока а-а, проходящую через точку отрыва А. Ниже линии а-а располагается область отрывного течения - область ABCD. Внутри этой области осредненные во времени линии тока представляют собой замкнутые кривые; движение в целом носит циркуляционный характер. В верхней части области отрывного течения направление векторов скорости совпадает с направлением движения невозмущенного потока, в нижней ее части жидкость или газ перемещается в обратном направлении. Выше линии тока а-а располагается невозмущенный поток, который можно считать безвихревым, или потенциальным. Так как и потенциальном потоке перенос количества движения поперек линий отсутствует, то любую линию тока можно условно заменить твердой границей. Напомним, что и в том и другом случае частная 158 производная скорости по нормали к линии тока равна нулю, т. е. ди/дп=0. Предполагая, что твердая граница совпадает с линией тока а-а, получим картину обтекания потенциальным потоком твердого тела ABCD. В теоретической гидромеханике доказывается, что при сложении плоскопараллельного потенциального потока, источника и двух стоков линии тока результирующего движения качественно совпадают с линиями тока рассмотренного выше реального случая обтекания твердого тела. Однако такое решение дает практические результаты лишь первого приближения в условиях плоской задачи. В действительности же вследствие большого многообразия форм обтекаемого тела, а также постоянно меняющихся направления и значения скорости набегающего потока решение задачи приходится искать на базе результатов опытов на моделях. В различных источниках приводятся некоторые данные, необходимые при расчете обтекания одиночного здания с плоской крышей воздушным потоком. Так, максимальная высота области отрывного течения составляет H  2h , максимальная длина этой области (отрезок DC) приблизительно 8h, расстояние от точки А до точки В примерно 2,5h. При обтекании потоком здания сложного планового очертания или группы зданий задача может быть решена путем экспериментальных исследований в каждом конкретном случае. Распределение давления по поверхности обтекаемого тела. Сопротивление давления Распределение давления вокруг обтекаемого твердого тела неразрывно связано с законом изменения скорости набегающего потока вблизи тела. Рассмотрим простой случай обтекания бесконечно длинного кругового цилиндра потенциальным потоком. При обтекании кругового цилиндра бесконечно большой длины потенциальным потоком картина течения у цилиндра симметрична (рис. 17.8). Известно (см. 17.1.3), что на участках АВ и AD движение ускоренное, на участках ВС и DC замедленное, в критических точках на поверхности цилиндра А и С скорость равна нулю, в точках В и D - удвоенной скорости невозмущенного потока. Поэтому в критических точках давление принимает максимальное значение, а в точках В и D минимальное. Вследствие симметрии рассматриваемой задачи давление в сходственных точках (например, в точках 1 и 1', 2 и 2' и т. п.) одинаковое. Аналогичная картина течения получается при обтекании цилиндра потоком невязкой жидкости. Рис. 17.8. Обтекание цилиндра невязкой жидкостью Следовательно, силы давления на лобовую и кормовую поверхности цилиндра будут равными, но противоположно направленными. Их равнодействующая равна нулю, а значит, и сопротивление цилиндра должно равняться нулю. Этот вывод, который 159 противоречит данным опыта, в гидромеханике известен под названием парадокса Эйлера Даламбера. На рис. 17.9 приведена схема распределения давления по поверхности кругового цилиндра, обтекаемого потенциальным потоком или потоком невязкой жидкости. Рис. 17.9. Распределение давления при обтекании цилиндра невязкой жидкостью На схеме область давления, большего давления невозмущенного потока, отмечена знаком плюс и стрелками, направленными к поверхности цилиндра; область меньшего, чем в набегающем потоке, давления - знаком минус и стрелками, направленными от поверхности цилиндра. При обтекании цилиндра потоком вязкой жидкости вследствие отрыва пограничного слоя и образования отрывного течения давление в лобовой части цилиндра всегда оказывается больше давления в его кормовой части (рис. 17.10 5.18). Равнодействующая этих сил давления, отличная от нуля, и определяет собой сопротивление давления. В пределах гидродинамического следа давление остается практически постоянным и равным давлению у твердой поверхности в точке отрыва пограничного слоя, давление же у лобовой поверхности практически не отличается от давления при взаимодействии цилиндра с невязкой жидкостью. Рис. 17.10. Распределение давления при обтекании цилиндра вязкой жидкостью При увеличении числа Re, вычисленного по скорости набегающего потока, равнодействующая сил давления в лобовой и кормовой частях цилиндра увеличивается, что связано со смещением точки отрыва пограничного слоя ближе к кормовой области. Смещение точки отрыва объясняется переходом ламинарного пограничного слоя в турбулентный при возрастании числа Рейнольдса. В результате частицы жидкости, находящиеся вблизи твердой границы, приобретают дополнительную кинетическую энергию от невозмущенного потока, которая помогает им дольше противостоять положительному градиенту давления (рис. 17.10). 160 На практике при сравнении распределения давления на поверхности обтекаемых тел разных размеров часто используется относительное давление или коэффициент давления p K  2изб , (17.15) u  / 2 где pизб - избыточное давление в произвольной точке на поверхности обтекаемого тела; u2 / 2 - динамическое давление невозмущенного потока. Если в качестве избыточного принимается манометрическое давление p ман  p  pат , коэффициент давления называют аэродинамическим коэффициентом p ман (17.16) KB  u 2 / 2 Аэродинамический коэффициент используется для расчета распределения давления ветра по поверхности зданий и сооружений. Рассмотрим схему распределения аэродинамических коэффициентов по контуру одиночного здания с двускатной крышей (рис. 17.11). Рис. 17.11. Распределение аэродинамических коэффициентов при обтекании одиночного здания Построение эпюры распределения аэродинамических коэффициентов производится по известным правилам построения эпюры нагрузки на любой элемент сооружения: положительные значения К В откладываются внутри контура здания, отрицательные - вне контура здания. Отметим, что аэродинамический коэффициент приобретает положительное значение при полном давлении, большем атмосферного давления, отрицательное - при разрежении. Так как форма современных зданий и сооружений весьма далека от удобообтекаемой, можно принимать, что независимо от числа Рейнольдса аэродинамический коэффициент является функцией только формы здания и его расположения по отношению к направлению набегающего невозмущенного потока. Обычно значение аэродинамического коэффициента и его распределение определяются по результатам экспериментальных испытаний, проводимых либо в гидравлических лотках, либо в аэродинамических трубах. При фронтальном обтекании одиночного здания (рис. 17.11) аэродинамический коэффициент принимает значения: на наветренной (лобовой) грани КВ=0,5-0,8, на заветренной (кормовой) грани КВ= -(0,2-0,3). Необходимо сказать, что при фронтальном обтекании здания наветренная сторона испытывает повышенное давление (КВ>0), а стороны, находящиеся в области отрывных течений, - разрежение КВ <0. Разрежение может вызвать равнодействующие силы давления, значительно большие, чем 161 положительные, - это особенно опасно, так как конструктивные элементы рассчитаны на точно такие же усилия, но противоположные по знаку. При расчете высоких зданий и сооружений следует учитывать распределение скоростей набегающего потока по вертикали. В первом приближении это распределение оценивается с помощью, например, уравнения Г. Шлихтинга 1, 7 u / u   h / h  , где и - скорость на произвольном расстоянии h от поверхности земли; u  - скорость на достаточно большом расстоянии h , где она становится практически постоянной. Неравномерность распределения давлений по поверхности обтекаемого тела, разность давлений в его лобовой и кормовой частях в ряде случаев являются основными факторами, определяющими сопротивление, называемое сопротивлением давления. Обычно это случаи обтекания потоком жидкости или газа тонких профилей, расположенных поперек набегающего потока. Рассмотрим обтекание плоского круглого диска (рис. 17.12) потоком вязкой жидкости (толщина диска  существенно меньше его диаметра d). Рис. 17.12. Обтекание диска потоком вязкой жидкости Очевидно, в рассматриваемом случае силами трения следует пренебречь, так как длина участка возможного формирования пограничного слоя δ ничтожна по условию. Поэтому сила сопротивления будет определяться только разностью давления перед диском и в области отрывного течения за ним. Расчетная формула для силы сопротивления давления имеет вид F Д  c Д  0 u 2 / 2 (17.18) где c Д - коэффициент сопротивления давления;  - площадь сечения обтекаемого тела по миделю (площадь проекции тела на плоскость, перпендикулярную векторам скорости набегающего потока);  0 - плотность жидкости или газа; u  - скорость невозмущенного потока. Коэффициент c Д , зависит от числа Рейнольдса и от формы обтекаемого тела. При больших числах Рейнольдса, т. е. в случае отсутствия влияния вязкости, коэффициент сопротивления давления зависит только от формы тела (табл. 17.1). При определении силы давления ветра на одиночное здание или на его отдельные элементы достаточно знать закон распределения аэродинамических коэффициентов и соответствующие площади граней, воспринимающих повышенное давление или разрежение. В этом случае можно составить очевидное расчетное соотношение. Из выражения (17.16) следует, что манометрическое давление в произвольной точке на поверхности здания p ман  К В  0 u2 / 2. (17.19) Сила давления 162 FД   p ман dS , (17.20) S где dS - площадь элементарной поверхности здания или его отдельного элемента, в пределах которой аэродинамический коэффициент можно считать постоянным. После подстановки уравнения (17.19) в формулу (17.20) получим u 2 (17.21) FД   0 K B dS 2 S Уравнение (17.21) решается для каждого конкретного случая. Таблица 17.1 Значения коэффициента сопротивления давления для некоторых тел с острой кромкой Форма обтекаемого тела сД Диск 1,11 Прямоугольная пластина с отношением a/b: 1 1,10 2 1,15 4 1,19 10 1,29 ∞ 2,01 Круговой цилиндр при обтекании в направлении его оси при l/d: 1 0,91 2 0,85 4 0,87 7 0,99 Суммарное сопротивление при обтекании твердого тела В общем случае сопротивление при обтекании твердого тела потоком жидкости или при движении твердого тела в жидкости представляет собой сумму сопротивления трения и сопротивления давления (сопротивления формы). Неравномерность распределения давления по поверхности тела, неустановившийся характер движения в области отрывного течения сильно ограничивают круг задач, поддающихся аналитическому решению. Суммарное, или полное, сопротивление (часто его называют лобовым сопротивлением) обычно определяется по формуле, структура которой была предложена еще Ньютоном F  c x 0 u 2 / 2, (17.22) где c x - коэффициент лобового сопротивления. Коэффициент лобового сопротивления зависит от формы обтекаемого тела, числа Рейнольдса и в несколько меньшей мере от степени турбулентности невозмущѐнного потока. Формула (17.22) может быть получена на основе теории размерностей. Рассмотрим случай обтекания твердого шара потоком вязкой жидкости, когда основным фактором, определяющим сопротивление, являются силы трения. В результате решения уравнений Навье - Стокса без учета инерционных членов можно получить аналитическое решение для силы сопротивления, так называемое решение Стокса F  3du (17.23) где d - диаметр шара;  - динамическая вязкость жидкости. Разделив и умножив правую часть выражения (17.23) на 8du , получим 163 F 24 0 d 2 u 2 . u d 4 2 Так как d 2 / 4 - площадь сечения шара по миделю, a 24 / u  d   24 / Re , можно записать u2 24 (17.24) F  0  ; Re 2 (17.25) c x  24 / Re . Формула (17.25), так же как и формула (17.23), хорошо подтверждается опытом только для малых чисел Рейнольдса (Re  l). С увеличением числа Рейнольдса роль сил трения начинает быстро уменьшаться, что связано с развитием ламинарного пограничного слоя. Если при Re  l влиянием сил инерции можно было пренебрегать во всей области течения, как перед обтекаемым шаром, так и за ним, то при числах Re, уже немногим больших единицы, силы инерции в кормовой области не столь малы, чтобы ими можно было пренебречь. Некоторое уточнение решения Стокса в этом смысле было выполнено Озееном 24  3  cx  (17.26) 1  Re . Re  16  Формула (17.26) пригодна до чисел Re  5. Опытные данные, полученные различными авторами в широком диапазоне изменения числа Рейнольдса для различных условий движения шаров в жидкости, позволили получить универсальную экспериментальную зависимость c x  f Re  Характер этой зависимости, представленной в логарифмических координатах на рис. 17.13, определяется следующими соображениями. Ранее указывалось, что суммарное, или лобовое, сопротивление определяется суммой сопротивления трения и сопротивления давления. Первое из них обусловлено трением на твердой границе и в пределах пограничного слоя, второе - наличием отрывных течений и разностью давления в лобовой и кормовой частях твердого тела. Изменение числа Рейнольдса, естественно, влечет за собой изменение соотношения между действующими на тело силами трения, инерции и давления; причем увеличение Re приводит к уменьшению влияния сил трения и повышению влияния сил инерции и давления. Рис. 17.13. Зависимость коэффициента лобового сопротивления от числа Рейнольдса 164 Кроме того, при изменении числа Re меняется положение точки отрыва пограничного слоя и его структура. До тех пор пока пограничный слой остается ламинарным (10Rвихр. безотр). Вихревое сопротивление выражается формулой V 2 Rвихр   вихр  2 где δвихр - коэффициент вихревого сопротивления. 167 Rвихр составляет 20-25℅ от общего сопротивления воды движению твердого тела. Волновое сопротивление Rволн возникает вследствие затраты энергии на создание и поддержание системы волн, образующихся в жидкости. Поскольку судно непроницаемо для жидкости, то оно при своем движении непрерывно вытесняет носовой частью некоторый объем жидкости и одновременно освобождает такой же объем за кормой. Этот объем сразу же заполняется окружающей судно жидкостью. Вблизи носа уровень жидкости поднимается по отношению к уровню невозмущенной поверхности, вследствие его вытеснения корпуса, а вблизи кормы, наоборот, понижается, получающийся при этом перепад уровней нарушает равновесие жидкости и вызывает образование на поверхности воды гравитационных волн (корабельных волн). При этом корабельные волны состоят из расходящихся волн и волн поперечных. Величина волнового сопротивления зависит от формы тела, глубины его погружения под свободную поверхность, скорости движения, а также от глубины и ширины фарватера, где происходит движение. Для определения волнового сопротивления пользуются как теоретическими, так и экспериментальными методами. В частности, величина волнового сопротивления может быть определена по формуле V 2 Rволн   волн  2 где δволн - коэффициент волнового сопротивления. Rволн составляет 10℅ от полного сопротивления. Сопротивление выступающих частей Rвыст.ч. является дополнительным сопротивлением, увеличивающим в основном вихревое сопротивление. (Такими выступающими частями являются рули, киль, гребные волны, колеса и др.). Вихревое сопротивление определяется опытным путем. Вихревое сопротивление составляет до 25 ℅ и более от полного сопротивления. Сопротивление воздуха Rвозд слагается из сопротивления надводной части корпуса и палубных надстроек набегающему потоку воздуха. Влияние гидродинамической поддерживающей силы Rz При движении судна возникает, как отмечено выше, гидродинамическая поддерживающая сила Rz - вертикальная составляющая гидродинамических сил. В результате формула плавучести принимает вид P  W  Rz , где γW - сила водоизмещения; Rz - вертикальная составляющая гидродинамических сил. С увеличением скорости увеличится Rz, судно начинает всплывать, объем подводной части уменьшится, соответственно уменьшится сопротивление трения Rтр и волновое сопротивление Rволн. Всплытие будет происходить до тех пор, пока судно полностью не выйдет из воды и будет скользить по поверхности. Его вес будет уравновешен гидравлической поддерживающей силой. В связи с этим, различают три режима движения судна: 1. Плавание   W ; Rz=0; 2. Переходный режим   W1  R z ; W1 рв, Y - подъѐмная сила крыла. Аэродинамические сила и момент Аэродинамическую силу раскладывают на составляющие в прямоугольной системе координат (рис. 17.18), связанной либо с вектором скорости тела v (поточная, или скоростная, система координат), либо с самим телом (связанная система). В поточной системе сила, направленная по оси потока в сторону, противоположную направлению движения тела, называется аэродинамическим сопротивлением Х, перпендикулярная ей и лежащая в вертикальной плоскости - подъѐмной силой У, а перпендикулярная к ним обеим - боковой силой Z. В связанной системе координат аналогом первых двух сил являются тангенциальная Т и нормальная N силы. Рис. 17.18. Разложение аэродинамической силы на составляющие в поточной системе координат X, Y, Z и в связанной системе Т, N, Z; ось Z на рисунке не изображена, она перпендикулярна плоскости чертежа Аэродинамический момент играет важную роль в аэродинамическом расчѐте летательных аппаратов, определяя их устойчивость и управляемость, и представляется обычно в виде трѐх составляющих - проекций на оси координат, связанных с телом (рис. 17.19): Mx (момент крена), My (момент рыскания) и Mz (момент тангажа). Знаки моментов положительны, когда они стремятся повернуть тело соответственно от оси у к оси z, от оси z к оси х, от оси х к оси у. Рис. 17.19. Проекции аэродинамического момента на оси координат: Mx - момент крена; My - момент рыскания; Mz - мoмeнт тангажа 170 Аэродинамическая сила и аэродинамический момент зависят от формы и размеров тела, скорости его поступательного движения и ориентации к направлению скорости, свойств и состояния среды, в которой происходит движение, а в некоторых случаях и от угловых скоростей вращения и от ускорения движения тела. Аэродинамические коэффициенты профиля Аэродинамические коэффициенты - безразмерные величины, характеризующие аэродинамические силу и момент, действующие на тело, движущееся в жидкой или газообразной среде. Аэродинамические коэффициенты силы CR находят как отношение аэродинамической силы R к скоростному напору ρv2/2 и характерной площади S, а эродинамические коэффициенты момента CМ - как отношение аэродинамического момента М к ρv2/2, S и к характерной длине l , т. е. 1 1 C R  R / v 2 S , C M  M / v 2 Sl, 2 2 где ρ - плотность среды, в которой движется тело, v - скорость тела относительно этой среды, S - характерная площадь, l - характерная длина. Характерные размеры выбираются достаточно произвольно, например для самолѐта S - площадь несущих крыльев (в плане), а l - длина хорды крыла; для ракеты S площадь миделевого сечения (миделевое сечение - наибольшее по площади сечение движущегося в воде или воздухе тела плоскостью, перпендикулярной направлению движения), а l - длина ракеты. Выражение аэродинамических сил и моментов в форме аэродинамических коэффициентов имеет большое значение для аэродинамических исследований и расчѐтов, существенно их упрощая. Так, например, аэродинамическая сила, действующая на самолѐт, может достигать значений в сотни и тысячи кн (десятки и сотни mс), та же сила, действующая на модель этого самолѐта, испытываемую в аэродинамической трубе, составляет десятки ньютонов (н), но аэродинамические коэффициенты для самолѐта и для модели равны между собой. Или, например, аэродинамическая сила, действующая на шар, падающий с большой высоты на землю, зависит от высоты и скорости падения шара, а аэродинамический коэффициент является постоянной величиной. Для аппаратов больших размеров, летящих на малой высоте с дозвуковой скоростью, для которых число Маха (М-число) М < 0,2, аэродинамические коэффициенты зависит только от формы летательного аппарата и угла атаки (угла между характерной плоскостью и направлением скорости полѐта). В общем случае аэродинамические коэффициенты зависят от вязкости и сжимаемости газа, характеризуемой безразмерными критериями подобия: М-числом и Рейнольдса числом. Определение аэродинамических коэффициентах профиля Если аэродинамическую силу и момент разложить на составляющие по осям, то соответственно будем иметь: аэродинамические коэффициенты сопротивления - Cx, подъѐмной и боковой сил - Су и Cz, а также аэродинамические коэффициенты моментов крена, рыскания (небольшие угловые отклонения от курса (попеременно в обе стороны) относительно вертикальной оси летательного аппарата, судна) и тангажа (угловое движение летательного аппарата или судна относительно главной поперечной оси инерции). Коэффициент сопротивления Cx - безразмерный коэффициент, характеризующий аэродинамическое сопротивление, с помощью которого аэродинамическое сопротивление Rx определяется как 171 Rx  C x v 2 S, 2 где ρ - плотность невозмущѐнной среды, v - скорость движения тела относительно этой среды, S - характерная площадь тела. Численные значения Cx обычно определяют экспериментально, измеряя аэродинамические сопротивления моделей в аэродинамических трубах и других установках, используемых при аэродинамическом эксперименте. Теоретическое определение аэродинамического сопротивление возможно лишь для ограниченного класса простейших тел. Коэффициент подъемной силы су - безразмерный коэффициент, зависящий от формы тела, его ориентации в среде и чисел Рейнольдса Re и Маха М. Значение су определяют теоретическим расчѐтом или экспериментально. Так, согласно теории Жуковского, для крыла в плоскопараллельном потоке при небольших углах атаки су=2m(α-α0), где α - угол атаки (угол между направлением скорости набегающего потока и хордой крыла); α0 - угол нулевой подъемной силы; m - коэффициент, зависящий от формы профиля крыла, например для тонкой слабо изогнутой пластины m = p. В случае крыла конечного размаха L коэффициент m = p, где l = L / b - удлинение крыла. В реальной жидкости в результате влияния вязкости величина m меньше теоретической, причѐм эта разница возрастает по мере увеличения относительной толщины профиля; значение угла α0 также меньше теоретического. Кроме того, с увеличением угла α зависимость су от α (рис. 17.20) перестает быть линейной и величина dcy/dα монотонно убывает, становясь равной нулю при угле атаки aкр, которому соответствует максимальная величина коэффициента подъемной силы - су,мах . Дальнейшее увеличение а ведѐт к падению су вследствие отрыва пограничного слоя от верхней поверхности крыла. Величина cymax имеет существенное значение, т.к. чем она больше, тем меньше скорость взлѐта и посадки самолѐта. При больших, но докритических скоростях, т. е. таких, для которых М<Мкр (Mкр значение числа М набегающего потока, при котором вблизи поверхности профиля местные значения числа М=1), становится существенной сжимаемость газа. Для слабо изогнутых и тонких профилей при малых углах атаки сжимаемость можно приближѐнно учесть, положив C y неск  . '  , Cy  1 M 2 1 M 2 Рис. 17.20. Зависимость су от a. 172 При сверхзвуковых скоростях характер обтекания существенно меняется. Так, при обтекании плоской пластины у передней кромки на верхней поверхности образуются волны разрежения, а на нижней - ударная волна (рис. 17.21). Рис. 17.21. Схема сверхзвукового обтекания пластинки: nв > n1, рв < p1; n2 < nв, р2 > рв; nн < n1, рн > n1; n3> nн, p3 < рн. В результате давление рн на нижней поверхности пластины становится больше, чем на верхней (рв); возникает суммарная сила, нормальная к поверхности пластины, составляющая которой, перпендикулярная к скорости набегающего потока, и есть подъѐмная сила. Для малых М>1 и малых α оэффициент подъемной силы пластины может быть вычислена по формуле C y  4 / M 2  1. Эта формула справедлива и для тонких профилей произвольной формы с острой передней кромкой. Аналогично определяют аэродинамические коэффициенты сопротивления боковой силы Cz, а также аэродинамические коэффициенты моментов крена, рыскания и тангажа. Осаждение (всплывание) твердых частиц, капель жидкости и газовых пузырей в жидкости Рассмотрим осаждение твердой тяжелой частицы в неограниченном объеме вязкой жидкости; в начальный момент скорость движения частицы u=0. Воспользуемся уравнением движения в виде du m  G  F , (18.26) dt где m - масса частицы с учетом присоединенной массы жидкости; du / dt - ускорение движения твердой частицы; G - вес частицы с учетом влияния архимедовой силы; F - сила лобового сопротивления. Участок стабилизации скорости при свободном осаждении относительно мал, поэтому основной участок частица проходит равномерно с постоянной скоростью скоростью равномерного свободного осаждения (всплывания) твердого тела в жидкости, называемой гидравлической крупностью. Аналогом гидравлической крупности применительно к обтеканию свободной частицы воздушным потоком является скорость витания. Под этим понятием понимается постоянная скорость восходящего потока воздуха, при которой твердые частицы остаются статистически на одном уровне, т. е. находятся во взвешенном состоянии. 173 Скорость равномерного осаждения или всплывания твердого тела в жидкости. Скорость равномерного осаждения или всплывания твердого тела в жидкости легко определяется из уравнения (18.26), которое для участка равномерного движения упрощается в связи с равенством нулю ускорения ( du / dt  0 ). Рассмотрим случай осаждения сферической твердой частицы в вязкой жидкости (рис. 18.18). Рис 18.18. Осаждение твердой сферы в вязкой жидкости Вес частицы с учетом силы взвешивания   d 3 G  g , (18.27) 6 где ρ и ρ0 - соответственно плотности твердой частицы и жидкости; d - диаметр частицы. Очевидно, что при всплывании твердой частицы в уравнении (18.27) следует записать первый сомножитель в виде ρ0-ρ. Сила лобового сопротивления в соответствии с формулой (18.22) определится в виде u2 d 2 F c  0 , (18.28) x 4 0 2 где u0 - скорость равномерного движения твердой частицы. Приравнивая правые части выражений (18.27) и (18.28), и решая полученное уравнение относительно скорости u0 получим 4 gd    0 u  . (18.29) 3  c 0 x Уравнение (18.29) при известном значении сx позволяет определить гидравлическую крупность или скорость витания в зависимости от конкретных условий решаемой задачи. Недостатком этого уравнения является неопределенность коэффициента лобового сопротивления сx, зависящего, как известно, от числа Рейнольдса, которое вычисляется по скорости осаждения или всплывания u0. При движении весьма малых частиц (Re103 кривая c x  f Re  для капель жидкости начинает отходить от аналогичной кривой для твердого шара, приближаясь к кривой для круглого диска, установленного поперек набегающего потока. 1.3.8. Распространение возмущений, вызванных местным изменением давления Гидравлический удар Гидравлическим ударом называется резкое повышение или понижение давления в трубопроводе, вызванное быстрым изменением скорости движения жидкости. Сущность гидравлического удара заключается в следующем: предположим, что имеется прямолинейный трубопровод длиной L, присоединенный к напорному бассейну больших размеров (резервуару) и на конце снабженный задвижкой (рис 4.1). При быстром закрытии задвижки вся масса жидкости, движущаяся в трубе со скоростью vo, должна внезапно остановится. В результате резкого изменения скорости кинетическая энергия этой массы преобразуется в энергию давления, которая у задвижки может иметь весьма значительную величину (p). Рис. 4.1 Так как жидкость и материал трубы обладают определенной упругостью, то повышение давления приведет к сжатию жидкости, увеличению ее плотности и расширению стенок трубы - вздутию до некоторого диаметра d1 > d. Это повышение давления бывает настолько большим, что вызывает разрыв трубопровода. Различают положительный и отрицательный гидравлический удар. Положительный гидравлический удар возникает перед задвижкой и начинается с повышения давления. Отрицательный гидравлический удар возникает позади перекрывающего устройства и начинается с понижения давления (разрежения). Теория гидравлического удара была впервые разработана в 1898 г. проф. Н.Е.Жуковским. Рассмотрим процесс изменения давления в жидкости при перекрытии трубопровода (рис. 4.2). При быстром (мгновенном) закрытии задвижки мгновенно останавливается часть жидкости, непосредственно прилегающая к задвижке. Пли этом 178 давление в этом слое жидкости увеличивается на величину p за счет превращения кинетической энергии движения массы жидкости, заключенной в трубе, в потенциальную энергию давления. (t = 0, точка 1 – возникновение удара). Рис. 4.2 Остановка жидкости и повышение давления в трубопроводе происходят постепенно, от слоя к слою; за первым слоем останавливается второй, и давление в нем также возрастает до p+p. Далее поочерѐдно останавливаются и сжимаются все слои, вплоть до последнего в точке А (рис. 4.1). Т.о. по трубопроводу длиной L пробегает полуволна повышения давления. Если трубопровод и жидкость по длине однородны, то скорость распространения ударной волны будет постоянна, обозначим ее c. Через время t = L/c, за которое ударная волна достигает начала трубы, вся жидкость в трубе остановится (точка 2). Жидкость в трубопроводе находится в сжатом состоянии. В точке А слева сохраняется давление р, справа – p + p. Подобно сжатой пружине, свободной с одного конца, жидкость начинает перемещаться в сторону емкости, приобретая при этом и скорость движения в том же направлении. Благодаря этому начинается спад давления, который будет распространяться уже от резервуара в сторону задвижки. Одновременно со спадом приходит в движение жидкость в трубопроводе со скоростью, направленной в сторону, противоположную начальной. Возникает вторая волна - волна понижения давления. Эта волна перемещается в направлении задвижки с той же скоростью c и гасит давление, созданное первой ударной волной. Время t = 2L/c, когда волна понижения давления достигает закрытой задвижки, называется фазой удара. Вся масса жидкости будет иметь давление р и двигаться влево с начальной скоростью (в сторону резервуара). Вследствие инерции жидкость в трубопроводе в дальнейшем будет стремиться оторваться от задвижки, приводя к понижению давления до величины p - p1 (точка 3). Разжавшись, слой жидкости у задвижки остановится, после чего произойдет падение давления и остановка смежного слоя, т.е. влево пойдет третья полуволна понижения давления и остановки жидкого столба. Когда волна снижения достигнет резервуара, в момент t = 3L/c (точка 4) вся жидкость в трубе будет неподвижна и иметь пониженное давление p - p. Рис. 4.3 В этом состоянии жидкость не может оставаться в покое, т.к. давление в резервуаре больше, чем давление в трубопроводе. Вследствие упругости жидкость начнет перемещаться, но теперь от открытого конца в сторону задвижки. При этом в трубопроводе начнется процесс восстановления начального давления и начальной скорости – четвертая полуволна (восстановления начальной скорости и начального давления). Когда она ко времени t = 4L/c достигнет задвижки, во всем трубопроводе будут восстановлены и начальная скорость и начальное давление (точка 5). 179 Но так как задвижка продолжает оставаться закрытой, жидкость продолжать свое движение не может и у задвижки вновь возникнет удар. На этом первый цикл заканчивается и начинается второй, который при отсутствии энергетических потерь будет повторять первый (точка 6 и т.д.). В реальных трубопроводах за счет потерь энергии в последующих фазах давление значительно снижается (рис. 4.3). Определение повышения давления в трубопроводе Рассмотрим общий случай – частичное открытие задвижки (непрямой удар). За промежуток времени сжатия волна пройдет путь L = c.t (рис. 4.4) , где с скорость распространения ударной волны. Рис. 4.4 На этой длине давление увеличится от p до p+p. Соответственно примут значения: скорость v+v, диаметр трубы d+d и площадь ее поперечного сечения +, плотность жидкости +. Повышение давления в трубе p определяется из соотношения (4.1) p   p  c  v; Из (2-1) следует, что максимальное повышение давления в трубе будет при прямом ударе, когда v1 = v0 + v = 0, т.е. v = -v0, тогда p    c  v ; (4.1,а) Т.о. при мгновенном полном закрытии задвижки повышение давления при гидравлическом ударе зависит только от скорости распространении ударной волны и начальной скорости движения жидкости. При более медленном закрытии и постоянной для данного трубопровода и данной жидкости скорости распространения ударной волны от соотношения начальной и конечной скорости движения жидкости. Приращение массы за счет разности объемов втекающей и вытекающей жидкости. m v  . m c (4.2) Приращение массы жидкости, выраженное через приращение площади поперечного сечения трубы и плотности. m   (4.3)   . m   Приращение площади поперечного сечения трубы, выраженное через приращение диаметра  2.d  . (4.4)  d Относительное приращение длины окружности (относительное удлинение), а также относительное приращение диаметра трубы 180 l 2 .d d  p.d     . l 2 .d d E 2 E. Здесь E – модуль упругости материала стенок трубы.  Рис. 4.5 Относительное приращение площади поперечного сечения трубы (см. рис. 4.5)  p.d  . (4.5)  E. Изменение плотности жидкости при изменении внешнего давления  p  . (4.6)  E o Пути борьбы с гидравлическим ударом Пути борьбы с гидравлическим ударом: 1. Расчет трубопроводов, стыков и оборудования производят на давление p. 2. Применяют запорные устройства, обеспечивающие медленное закрытие трубопровода, например, с винтовым проводом. 3. Ставят на трубопроводах предохранительные клапаны, срабатывающие при повышении давления сверх допустимого. 4. Ставят на трубопроводах воздушные клапаны (рис. 4.6). Гидравлический удар смягчается за счет сжатия или расширения воздуха. Рис. 4.6 При приемке водопроводных станций в эксплуатацию обязательно производят их проверку на гидравлический удар. Ударные волны в газах Сжимаемость жидкости обуславливает важное явление - образование в ней волн уплотнения и разрежения. Как было установлено ранее, в несжимаемой жидкости возмущения, вызванные повышением или понижением давления, распространяются мгновенно. И, следовательно, в движение вовлекаются все частицы жидкости той или иной области (пространства), где возникает возмущение. 181 Повышение давления в какой-либо точке (области) сжимаемой жидкости вызывает в первый момент уплотнение частиц, близлежащих к источнику возмущения; в следующий момент уплотненные частицы расширяются, вызывая уплотнения других, соседних, частиц и т.д. Таким образом, повышение давления в некоторой точке (области) сжимаемой жидкости вызывает образование в ней волны уплотнения, распространяющейся с некоторой скоростью. Переднюю границу волны уплотнения называют фронтом волны. Характер уплотнения, в зависимости от интенсивности возмущения может быть плавным или скачкообразным. Однако как бы велико ни было возмущение, вызывавшее волну уплотнения, уплотнение сжимаемой среды происходит не мгновенно, а возрастает в течение некоторого времени. Поэтому в первый момент волна уплотнения характеризуется постепенным нарастанием плотности от фронта к тылу. Причем вследствие разной степени уплотнения частиц скорости распространения отдельных точек волны будут разными. Это приводит к тому, что более сильные уплотнения, распространяющиеся с более высокими скоростями, будут догонять передние точки волны. Поэтому через некоторое время после возникновения уплотнения наибольшее уплотнение оказывается у фронта волны. Происходит скачкообразное изменение плотности (а также давления, скорости и температуры) на фронте волны и волна уплотнения превращается в ударную волну, на фронте которой имеет место значительное выделение тепла, и таким образом происходит рост энтропии. Это согласуется со вторым законом термодинамики, согласно которому энтропия замкнутой системы может только возрастать. Аналогично волне уплотнения возникает в сжимаемой жидкости и волна разрежения. Так, понижение давления в некоторой точке жидкости вызывает расширение частиц, близлежащих к источнику возмещения, и уменьшение их давления на следующие частицы, которые вследствие этого тоже расширяются и т.д. Однако в отличие от волны уплотнения во фронте волны разрежения не бывает скочкообразного изменения плотности - скачков разрежения. Образование скачков разрежения вело бы к уменьшению энтропии, а это противоречило бы второму закону термодинамики. Ударные волны, как одно из важных проявлений сжимаемости газа Математически уравнения идеальной гидромеханики допускают разрывные решения, т.е. решения, которые имеют скачки параметров газа (плотности, давления, скорости и температуры). Одним из таких проявлений в природе является образование ударной волны около летящего со сверхзвуковой скоростью тела в плотных слоях атмосферы Земли. Например, образование ударной волны около летающих сверхзвуковых самолетов или ударных волн около метеоритов, вторгающихся в плотные слои атмосферы Земли с большими сверхзвуковыми скоростями. Известно, что около пассажирских самолетов, летающих главным образом с дозвуковыми скоростями, никакие ударные волны не образуются. Пусть есть сферическое тело радиуса R (рис. 4.7), которое летит в воздухе со сверхзвуковой скоростью. Тогда впереди такого тела образуется ударная волна В, являющаяся границей между областями 1 и 2, которые отличаются значениями параметров газа. В системе координат, связанной с летящим телом, поток газа набегает на покоящееся тело. Пусть ось Оx направлена вдоль скорости потока, а V1, p1, r1 и T1 – скорость, давление, плотность и температура, соответственно, в невозмущенном телом потоке газа (до ударной волны). В область 1 возмущения от тела не попадают, поскольку тело движется со сверхзвуковой скоростью. Так как скорость газа в лобовой точке тела А обращается в нуль, то от точки А до точки С на ударной волне есть область дозвуковой скорости газа, которой достигают возмущения воздуха от летящего тела. 182 Физический смысл образования ударной волны и заключается в разделении невозмущенного и возмущенного потоков газа. Если через V2, p2, r2 и T2 обозначить скорость, давление, плотность и температуру газа соответственно сразу же после ударной волны В, то справедливы неравенства V2 < V1, p2 > p1 , r2 > r1 , T2 > T1. Рис. 4.7. B – головная ударная волна, А – критическая точка на теле, в которой скорость обращается в нуль, С – точка на ударной волне и на оси симметрии Ox, 1 и 2 – области течения перед и за ударной Это означает, что скорость за ударной волной уменьшается, а давление, плотность и температура возрастают. Сильным возрастанием температуры за ударной волной и объясняется оплавление возвращающихся на Землю космических аппаратов и метеоритов, вторгающихся в атмосферу с большими сверхзвуковыми скоростями. Такие ударные волны называются ударными волнами сжатия (плотность газа возрастает). Интересно, что в природе никогда не наблюдались ударные волны разрежения, в которых плотность падает. Математически образование ударных волн разрежения запрещается известной в гидроаэромеханике теоремой Цемплена. Соотношения между параметрами с индексами «1» и «2» можно получить из интегральных законов сохранения массы, импульса и энергии, поскольку они справедливы и для разрывных функций. Такие соотношения называются соотношениями Гюгонио и имеют вид (в системе координат, связанной с ударной волной) r1 Vn1 = r2 Vn2; r1 Vn1V1 + p1 n = r2 Vn2V2 + p2 n; [r1 V12/2 + p1 g/(g – 1)]Vn1 = [r2 V22/2 + p2g/(g – 1)]Vn2. (4.10) Вместе с уравнением состояния эти соотношения позволяют определить значения параметров газа за ударной волной (индекс «2») по значениям параметров невозмущенного ударной волной потока газа (индекс «1»). Зависимость между плотностью газа и давлением после и до скачка уплотнения выражается уравнением  2 (k  1)  (k  1) p 2 / p1 . (4.11)  1 (k  1)  (k  1) p 2 / p1 Эта зависимость называется ударной адиабатой, или адиабатой Гюгонио. 1.3.9. Движение грунтовых вод Вода в грунте может находиться в следующих видах: - парообразная (в виде пара); - гигроскопическая (адсорбированная на поверхности частиц); - пленочная (в виде пленки на поверхности частиц); - капиллярная; 183 - гравитационная, заполняет поры грунта и движется в грунте под действием сил тяжести. Мы будем изучать движение гравитационной воды, дальше именно ее будем называть грунтовыми водами. Способность грунтов пропускать через себя воду называется водопроницаемостью. Движение воды в порах грунта называется фильтрацией. В процессе фильтрации грунтовая вода движется в водопроницаемом слое по поверхности водонепроницаемого слоя грунта (водоупора), которая образует как бы русло фильтрационного потока (рис.1 – 1). На рис. 1 – 1 представлено безнапорное движение грунтовых вод, которое характеризуется наличием свободной поверхности, во всех точках которой давление равно атмосферному. Линия, образующаяся на пересечении свободной поверхности с вертикальной плоскостью, параллельной скорости движения грунтовых вод, называется кривой депрессии (депрессионной кривой). Рис. 1 - 1 Рис. 1 - 2 Мы будем рассматривать установившееся ламинарное движение грунтовых вод. Турбулентное движение грунтовых вод может иметь место в крупнозернистых грунтах (щебне, гальке) и в каменной наброске и встречается значительно реже ламинарного. Рис. 1 - 3 184 Рассмотрим понятие скорости фильтрации. Пусть труба с внутренним диаметром D заполнена грунтом (рис. 1 – 3), в порах которого движется вода с расходом Q. Наметим плоское поперечное сечение трубы А – А, в котором можно выделить: а) площадь сечения пор грунта ; эта площадь является площадью действительного живого сечения потока; б) площадь сечения частиц грунта част; через эту площадь вода в действительности не проходит;  .D 2 в) площадь сечения всей трубы   , включающая в себя площади пор и 4 частиц:  = пор + част. Скоростью фильтрации называют скорость, отнесенную к сечению всей трубы : Q u .  Отношение объема пор Vпор к объему образца грунта V = Vпор + Vчаст называется объемной пористостью грунта (ее принято выражать в %) и обозначается n: V пор n 100%. V Поверхностной пористостью грунта n’ называют отношение n'   пор  100%. В случае однородного грунта n’ = n, т.е. u  u д  пор   n 100 или n u . 100 д Обычно n = 35…45%, т.е. действительная скорость движения воды в фильтрационном потоке примерно в 2…3 раза больше скорости фильтрации. u Основной закон ламинарной фильтрации Основной закон ламинарной фильтрации (основной закон движения грунтовых вод) был установлен французским ученым Дарси (1856 г.) и выражается формулой, которая носит его имя, формулой Дарси (1 – 1) u  kI , или (1 – 2) Q  kI . Коэффициент k называется коэффициентом фильтрации. Он зависит от свойств грунта (а также свойств жидкости и ее температуры) и приводится в справочниках. Он имеет размерность скорости и его величина изменяется от 0,01 см/c для крупнозернистого песка до 0,000001 см/c для глины. При определении полного напора в сечении в случае ламинарного движения грунтовых вод величиной скоростного напора v 2 / 2 g пренебрегают, т.е. полный напор равен пьезометрическому напору p H  z ,  где z – высота рассматриваемой точки относительно плоскости сравнения 185 (удельная потенциальная энергия положения); p /  - высота давления (удельная потенциальная энергия давления). Ранее было показано, что пьезометрический напор во всех точках данного живого сечения постоянен. I – гидравлический (в данном случае пьезометрический) уклон – потеря напора на единицу длины линии тока (рис. 1 – 4): dH H 1  H 2 I  , ds ds где: H1 и H2 – пьезометрические напоры в первом и втором живых сечениях; ds – расстояние между сечениями. Рис. 1 - 4 Равномерное безнапорное движение грунтовых вод Вместо сложного пути отдельных струек будем рассматривать лишь главное направление потока в целом (рис. 1 – 5). Рис. 1 - 5 В случае равномерного движения свободная поверхность потока (линия депрессии) параллельна линии дна (линии водоупора) т.к. глубина потока грунтовой воды (нормальная глубина) ho постоянна. Напорная линия (пьезометрическая линия) будет совпадать со свободной поверхностью потока. Поэтому гидравлический (пьезометрический) уклон будет равен геометрическому уклону I = Ip = i, где i – геометрический уклон дна. Т.к. все линии тока параллельны и имеют постоянный уклон i, скорость фильтрации u также постоянна, а следовательно, и средняя скорость фильтрации v = u. Формула Дарси в этом случае запишется в виде u = v = k i, или Q = k i. (1 – 3) 186 В случае широкого фильтрационного потока расчет ведут на единицу его ширины (рассматривают плоскую задачу). Тогда глубина потока h0   B , (B –ширина потока), удельный расход на единицу ширины потока (q = Q/B): q = k ho i. (1 – 4) Формула Дюпюи На рис. 1 – 4 представлено неравномерное безнапорное плавноизменяющееся движение грунтовой воды. Наметим два сечения 1 – 1 и 2 – 2, расположенные на бесконечно близком расстоянии ds друг от друга. В случае плавноизменяющегося движения в русле с небольшим уклоном дна живые сечения потока принимаются плоскими и вертикальными. При этом можно считать, что расстояния между сечениями ds одинаковы по всей высоте сечения (глубине потока). Как уже указывалось и пьезометрический напор в этом случае постоянен по глубине потока. Из сказанного следует, что гидравлический (пьезометрический) уклон во всех точках данного живого сечения постоянен и равен уклону свободной поверхности, т.е. H  H2 dH I  1   const. ds ds Поэтому и скорость фильтрации u, как и при равномерном движении грунтовых вод, постоянна во всех точках данного живого сечения. Средняя скорость фильтрации v при постоянной скорости u равна этой скорости. По формуле Дарси имеем: dH (1 – 5) u  v  k . ds Полученная формула называется формулой Дюпюи. Из нее следует, что удельный расход воды при неравномерном движении может быть определен по формуле dH q  kH . (1 – 6) ds Неравномерное безнапорное плавноизменяющееся движение грунтовых вод, плоская задача Рис. 1 - 6 а) случай i > 0 (рис. 1 – 6). Наметим плоскость сравнения 0 – 0. Расстояния будем отсчитывать вдоль поверхности водоупора от начального сечения А – А. Так как напорная линия совпадает со свободной поверхностью потока, напор H в некотором живом сечении потока будет равен Н = a + h – i.s, где h – глубина потока в рассматриваемом сечении; a – возвышение дна (водоупора) в начальном сечении А – А над плоскостью сравнения; i – уклон водоупора 187 (подстилающего слоя). Дифференцируя последнее равенство, получаем dh dh  i . ds ds После подстановки в (1 – 6) с учетом (1 – 4) и после сокращения на k получим дифференциальное уравнение относительно глубины потока h:  dh  h l  h i  . (1 – 7) o  ds  Решение этого дифференциального уравнения можно представить в виде: h H 2 . il  H  H  2,3h lg o (1 – 8) 2 1 o h H o 1 С помощью уравнения (1 – 8) можно решать различные задачи по определению удельного расхода q, одной из глубин H1 или H2, построению (по точкам) кривой депрессии. Если заданы коэффициент фильтрации k, уклон дна водоупора i и глубины H1 и H2 , сначала из уравнения (1 – 8) подбором находят нормальную глубину ho, затем по формуле (1 – 4) удельный расход q. Задаваясь с определенным шагом глубинами hi по формуле (1 – 8), подставляя в нее вместо H2 - hi, находят соответствующие расстояния li и по точкам строят кривую депрессии: h h  1  i . l  h  H  2,3h lg o i i i 1 o h H  o 1  б) случай i = 0 (рис. 1 – 7). При i=0 равномерное движение невозможно, движение возможно только при H1>H2. В этом случае дифференциальное уравнение (1 – 7) принимает вид dh q  kh . ds Его решение H 2  H 22 . (1 – 9) qk 1 2l Рис. 1 - 7 B ’ Рис. 1 - 8 188 C помощью равенства (1 – 9) легко определить расход q и построить кривую депрессии. Уравнения (1 – 8) и (1 – 9) называют уравнениями Дюпюи. Для потоков грунтовых вод возможны две формы кривой депрессии (рис. 1 – 8): a) кривая подъема – когда H1 < H2; b) кривая спада – когда H1 > H2. В случае горизонтального подстилающего слоя (i = 0) возможна только одна форма свободной поверхности – кривая спада (рис. 1 – 7). Заметим, что кривая подъема справа асимптотически приближается к горизонтальной прямой А’B’. Приток воды к грунтовому колодцу Возвышение естественного уровня грунтовых вод (А – А) Ho над уровнем (линией) водоупора называется мощностью водоносного пласта (рис. 1 – 9). До откачки воды из колодца уровень воды в нем совпадает с естественным горизонтом грунтовых вод. Если из колодца начать откачивать определенный расход воды Q = const, то уровень воды в нем начнет понижаться, и при некоторой глубине воды ho приток воды к колодцу станет равен Q. В грунте будет установившийся фильтрационный поток. Дебит колодца вычисляется по формуле (принимают, что водоупор горизонтален i = 0) H 2  h02 (2 – 1) Q  1,36k 0 , R lg r0 где: k – коэффициент фильтрации грунта; ro – радиус колодца; R – радиус действия колодца ( радиус депрессионной воронки – см. рис. 2 - 1). За пределами радиуса R можно считать, что уровень воды остается в естественном состоянии. Для средних песков R = 100…300 м, для крупнозернистых песков – R = 300…750 м. Рис. 2 - 1 Уравнение кривой депрессии: 189 Q r (2 – 2) lg  k r0 Понижение уровня воды в колодце S называется депрессией колодца: 0,73Q R S  H 0  h0  H 0  H 02  lg  (2 – 3) k r0 h  h02  0,73 Приток воды к водосборной галерее Расход воды, поступающей в галерею с одной стороны (рис. 2 – 2) может быть определен по формуле H 02  h02 (2 – 4) qk , 2L где L – предел действия (длина влияния) галереи. Уравнение кривой депрессии: q x h  2 x  h02  ( H 02  h02 )  h02  (2– 5) k L Рис. 2.2 Расчет осушительной сети (дренажей) При растете дренажной сети следует руководствоваться требованиями СНиП II-5274 ‖Сооружения мелиоративных систем‖ и рекомендациями по расчету соответствующего типа дренажа. Гидрогеологическими расчетами для выбранных схем дренажей устанавливаются: оптимальное положение дрен относительно защищаемого объекта из условия минимальных значении их дебитов, необходимая глубина заложения дрен, расстояния между ними (для многолинейных дренажей), расход дренажных вод; положение уровня грунтовых вод на защищаемой территории. Учитывая многообразие дренажных систем, рассмотрим только основные расчетные схемы. Наиболее общей расчетной схемой является однолинейная горизонтальная совершенная дрена, расположенная на горизонтальном водоупоре ( см. рис. 11a ). Суммарный фильтрационный расход дренажа определяется по формуле Q Д  qlдр , где: q - удельный фильтрационный расход дренажа, м3/с.пог.м; lдр - длина дренажа. 190 Удельный расход (расход на I погонный метр) дрены при одностороннем притоке вычисляется по форцуле Дюпюи H 2  ho2 qk . 2L При этом L ориентировочно можно определить из уравнения L  2S kH . Рис. 11a Положение ординат кривой депрессии определяются из уравнения H 2  ho2 Z h  x. L Обозначения, применяемые в формулах, представлены на расчетной схеме, где: q - удельный расход, м2/сутки; k - коэффициент фильтрации, м/сутки; H - гдубина потока подземных вод, м; S - глубина понижения уровня грунтовых вод у дрены, м; L - радиус влияния дрены, м; ho - гдубина воды в дрене, м; Z - ордината кривой депрессии, м; x - расстояние от дрены до определяемой ординаты, м. Наиболее часто встречающейся расчетной схемой является однолинейная горизонтальная, несовершенная дрена (см. рис. 11б). 2 o Рис. 11б Удельный фильтрационный расход дренажа обычно определяется по формуле k H 2  H Д2 q , 2 L  f H Д     191 где f H Д  0,73H Д lg 2H Д d . Ординаты кривой депрессии на удалении x от линии дренажа определяются по формуле x Z  H Д2  H 2  H Д2 . L Время осушения территории в радиусе влияния дренажа, в общем едучае, может быть определено по формуле L2 T . k 3 ha  Обозначения, приведенные в формулах, представлены иа расчетной схеме, где q, k, H, S, L, x, Z - что и в предыдущих формулах; HД - глубина грунтового потока от дрены до водоупора на оси дренажа; Нос - глубина грунтового потока от пониженного УГВ до водоупора на границе осушаемой площади; H - требуемая глубина понижения УГВ; f H Д дополнительное фильтрационное сопротивление, обусловленное   несовершенством дренажа; d - диаметр дрены ;  - коэффициент водоотдачи; S . 2 При мощных водоносных пластах во многих случаях целесообразнее использовать вертикальные дренажи. Рассмотрим дренаж в виде одного ряда скважин в безнапорном потоке (см. рис. 12). ha- средняя мощность осушаемой зоны, ha  Рис. 12 Расход воды, поступающий в дренажную скважину, определяется по формуле k H 2  H c2  Q . ln R  ln rc Радиус влияния скважины вычисляется по формуле 192 R  2S kH . Ординаты кривой депрессии в любой точке в границах радиуса влияния скважины определяются по формуле Q R Z  H 2  ln . k x Обозначения, приведенные в формулах, представлены на расчетной схеме, где k, H, x, Z, S - что и в предыдущих формулах; - R - радиус влияния скважины, м; - Hc - напор воды в скважине, м; - rc - радиус скважины, м. На основаннии проведенных расчетов притока воды в дрену или скважину осуществляется расчет пропускной способности дрены или требуемой производительности насоса для удаления воды из осушаемой территории. Пропускная способность дрены оценивается из выражения Qр < Qдр, где: Qр - расчетный расход воды в дрене, определяемый притоком воды в дрену Qр = qlдр; Qдр - пропускная способность дрены: Qдр  C RI o . В этих формулах: q - удельный приток воды в дрену, м2/сутки; lдр - длина дрены, м;  - площадь водного сечения дрены, м2; Io - уклон дрены; R - гидравлический радиус дрены, м;  R ;   - смоченный периметр дрены, м; С - коэффициент Шези, определяется по таблицам или формуле 1 C  R1 6 ; n n - коэффициент шероховатости, его значения принимаются в зависимости от типа дренажных труб. Для расчетах защитных дренажей, оборудуемых в других условиях, и с использованием схем, отличных от рассмотренных, следует руководствоваться соответствующими рекомендациями и нормативными документами. 1.3.10. Виды движения воды в открытых руслах Величины гидродинамических давлений p и скоростей u в потоке жидкости в общем случае распределены неравномерно, они меняются при переходе от одной точки потока к другой, т.е. являются функциями координат (x, y, z). Помимо того гидродинамические давления и скорости в одних и тех же фиксированных точках потока могут изменяться во времени как по величине, так и по направлению. В соответствие с этим различают неустановившееся движение и установившееся движение жидкости. Такой вид движения, при котором гидродинамические давления и скорости в каждой точке потока жидкости и другие характеристики потока изменяются во времени по величине и направлению, называется неустановившимся движением. Например, 193 глубина Н=(x, y, z, t) (рис. 2.1.1.1). Неустановившееся движение является самым общим и самым сложным видом движения жидкости. Примерами неустановившегося движения жидкости могут служить: - движение воды в реке во время весеннего половодья или при разрушении плотины, сопровождающееся изменением во времени уровня воды, ширины потока, скорости течения и давления в каждом сечении потока. Установившееся движение жидкости – это такой вид движения, при котором скорости и гидродинамические давления в каждой точке потока и другие характеристики потока не изменяются во времени, а являются лишь функциями координат. Например, глубина h=(x, y, z) (рис. 2.1.1.1). Примерами установившегося движения жидкости являются: движение жидкости (воды, бензина, масла) в трубопроводе с постоянной скоростью течения; движение воды в канале постоянного сечения при постоянной глубине воды. Продольный профиль НПУ Неустановившееся течение H=H(x,y,z,t) Установившееся течение h=h(x,y,z) h H Рис. 2.1.1.1. Неустановившееся и установившееся движение жидкости Движение жидкости, кроме того, может быть безнапорным и напорным. Напорным называется движение жидкости в трубопроводе полным сечением, когда давление в нем больше атмосферного давления. Напорное движение может также наблюдаться в реке при движении потока под сплошным ледяным покровом. Движение жидкости со свободной поверхностью в открытых руслах и в трубопроводах с частичным заполнением сечения (каналах замкнутого сечения) под действием составляющей силы тяжести является безнапорным. Также безнапорным является движение жидкости в трубопроводах при заполнении всего сечения (без свободной поверхности), если давление на верхней образующей по длине трубопровода равно атмосферному давлению. Характер движения жидкости в открытом русле, форма и уклон свободной поверхности, глубина потока зависят от типа, размеров, формы сечения русла, уклона его дна. Обычно рассматривают два вида установившегося движения жидкости неравномерное и равномерное движение. Неравномерным движением жидкости в канале называется такое движение, при котором живое сечение ω, глубина наполнения канала h и средняя скорость v, а также эпюра распределения осредненной скорости по живому сечению - изменяются вдоль потока (вниз по течению) (рис. 2.1.1.2, а). 194 а) б) Рис. 2.1.1.2. Неравномерное и равномерное движение жидкости Примерами неравномерного движения могут служить движение воды в реке при подпоре потока плотиной или какой-нибудь иной преградой; при стеснении русла реки опорами моста, расширении русла и т.д. Неравномерное движение жидкости может происходить в призматических и непризматических руслах. Призматическими называются такие русла, форма и размеры поперечного сечения которых не изменяются по длине. Примерами русел призматической формы являются каналы трапецеидального сечения с постоянной шириной по дну и постоянным заложением откосов, дорожная труба прямоугольного, круглого или другого сечения. При неравномерном движении в призматических руслах по длине потока изменяется только глубина течения. Непризматическими являются естественные русла, в частности речные потоки, в которых форма и размеры поперечного сечения не остаются постоянными по длине потока, а изменяются от створа к створу. Равномерным называется вид установившегося движения, при котором элементы потока (скорости, живые сечения, глубины и пр.) не изменяются вдоль потока (рис. 2.1.1.2, б). Примерами могут служить движение воды в трубе постоянного сечения или в призматическом открытом канале с постоянной глубиной наполнения, шириной и живым сечением канала. Этот вид движения воды характеризуется схемой, представленной на рис. 2.1.1.2, б. Здесь напорная линия Н-Н, линия свободной поверхности (она же пьезометрическая линия Р-Р) и линия дна канала D-D являются параллельными прямыми. Следовательно, гидравлический уклон J, уклон дна i равны между собой: пьезометрический уклон Jp и уклон дна i равны между собой: J = Jp = i. 1.3.11. Неустановившееся движение воды в открытых руслах Неустановившееся движение является наиболее общим видом движения. Оно характеризуется изменением параметров движения в отдельных точках пространства, занятого движущейся жидкостью, во времени. В открытых руслах неустановившееся движение сопровождается переменными как во времени, так и по длине русла скоростями, глубинами, расходами, площадями живого сечения потока и другими характеристиками. Неустановившееся движение возникает при нарушении по тем или иным причинам в каком-либо створе первоначальных условий движения потока. Это изменение является возмущением, вызывающим перемещающиеся вверх или вниз по течению волны или ряда волн. Поэтому неустановившееся движение в открытых руслах называется также волновым. Отличительной особенностью этого волнового движения является его 195 способность к переносу значительных расходов воды, поэтому движущиеся в открытых руслах волны называют волнами перемещения. Следует отметить, что с физической точки зрения существуют два типа волн на воде, а именно: колебательные волны и волны перемещения. Колебательная волна (ветровая, корабельная и т.п.) выражается колебательными движениями (по кругу или эллипсу) поверхностного слоя воды без перемещения массы по направлению перемещения волны. Она характеризует так называемого движения волны по глубокой воде, когда значение 2πН /λ ≥ 2,65. Здесь Н - глубина воды;  - длина волны; Волна перемещения характеризуется движением потока с переносом почти всей массы воды по направлению движения. Она характеризует, так называемое, движение волны по мелкой воде, когда значение2πН/λ≤ 2,65. Волны перемещения подразделяются на непрерывные (длинные) и прерывные, а само неустановившееся движение - соответственно на медленно изменяющееся и быстро изменяющееся (резко нестационарное). Непрерывные волны перемещения имеют малую кривизну продольного профиля. Длина волны в несколько раз (иногда в несколько десятков раз) превышает глубину потока. Параметры потока изменяются медленно как во времени, так и по длине волны. Прерывные волны возникают при быстром появлении возмущения и характеризуются значительной кривизной мгновенного продольного профиля и резким изменением уровней воды на коротком участке (прерывной поверхностью водотока), а также быстрым изменением во времени глубин, скоростей и т. д. Волна прорыва (попуска) и половодий (паводков), кроме того, представляет собой сложную волну, состоящую из простых волн, а именно: из прямой волны повышения и прямой волны понижения. При этом необходимо отметить, что в природе существуют и другие типы простых волн перемещения, например, обратная волна повышения и обратная волна понижения. Принято считать, что прямая волна распространяется по направлению течения бытового потока, а обратная волна распространяется против течения бытового потока. Волна повышения - это волна, в которой глубина потока возрастает, а волна понижения наблюдается, когда глубина потока убывает. В каждой волне перемещения можно выделить фронт волны, т. е. ее переднюю часть, перемещающуюся по водотоку с некоторой скоростью, называемой волновой. Траектория движения верхней точки фронта волны называется волновой границей. За фронтом следует тело волны, в котором изменение параметров потока происходит медленнее, чем во фронте. Высшая точка подъема уровня воды при прохождении волны перемещения называется гребнем волны. Окончание спада уровней воды в волне перемещения определяет переход потока к бытовому состоянию и определяется как хвост волны. При распространении волны по течению она называется прямой, против течения обратной. При возрастании уровня волна называется положительной, при уменьшении отрицательной. Примеры неустановившихся потоков Существует четыре основные формы волн перемещения, из которых в реальных условиях слагается неустановившееся движение жидкости в открытых руслах (рис. 2.3.2.1). Прямая положительная волна. Эта волна, называемая также волной наполнения, возникает вследствие увеличения расхода в начальном сечении на величину ΔQ и подъеме уровня z в водотоке (рис. 2.3.2.1, а). В любом из створов площадь живого сечения и скорость со временем увеличиваются; по длине водотока эти параметры уменьшаются: 196   v v  0;  0;  0;  0. t l t l Прямая отрицательная волна. Эта волна, или волна отлива, образуется в результате уменьшения расхода в начальном сечении на величину ΔQ при снижении уровня z в водотоке (рис. 2.3.2.1, б). Изменение площади живого сечения и скорости волны отлива во времени и по длине противоположно отношению к волне наполнения:   v v  0;  0;  0;  0. t l t l а) в) б) г) Рис. 2.3.2.1. Примеры неустановившихся потоков: а) прямая положительная волна (волна наполнения); б) прямая отрицательная волна (волна отлива); в) обратная положительная волна (волна подпора); г) обратная отрицательная волна (волна излива) Обратная положительная волна. Эта волна, или волна подпора, является следствием уменьшения расхода подъема уровня z в конечном сечении (рис. 2.3.2.1, в). В волне подпора площадь живого сечения потока увеличивается как во времени, так и по длине водотока, а скорость уменьшается:   v v  0;  0;  0;  0. t l t l Обратная отрицательная волна. Эта волна, или волна излива, возникает при увеличении расхода Q или понижения уровня г в конечном сечении (рис. 2.3.2.1, г). Характеристики потока в волне излива изменяются следующим образом:   v v  0;  0;  0;  0. t l t l Движение потоков в открытых руслах (особенно в естественных водотоках) является, как правило, неустановившимся и обусловлено действием многочисленных факторов, нарушающих первоначальный режим потоков. Эти факторы проявляются в виде изменения расхода и уровня воды во времени в каком-либо створе или по длине водотока (рис. 2.2.3.2). Наиболее ответственные из дорожных водопропускных сооружений на водотоках мостовые переходы - подвержены воздействию неустановившихся потоков при паводках, 197 волнах прорыва и пропуска, неустановившихся течений в низовьях рек перед их впадением в моря, океаны и более крупные водотоки. Паводки являются медленно изменяющимися потоками (непрерывными волнами). Их образование обусловлено увеличением притока воды в водоток в результате снеготаяния или выпадения дождей. Высота и продолжительнбсть паводков могут изменяться в широких диапазонах в зависимости от многих факторов: запасов снега, интенсивности снеготаяния, интенсивности и продолжительности дождей. Так, продолжительность паводков может изменяться от нескольких дней для дождевых паводков до нескольких месяцев при весенних половодьях. Паводок можно рассматривать как сумму волны наполнения (подъем паводка) и волны отлива (спад). Рис. 2.2.3.2. Характеристики потока при неустановившемся течении Волны прорыва являются прерывными волнами и характеризуются резкой нестационарностью потока. Они возникают на водотоках и суходолах вследствие разрушения плотин, дамб, искусственных и естественных перемычек, берегов моренных и ледниковых озер, ледяных плотин, возникших при подвижке ледников и сходе снежных лавин; при выплесках больших объемов воды, вызванных обвалами в водоемы значительных массивов грунта. Разрушение водоподпорных сооружений, земляных и ледовых перемычек может происходить из-за землетрясений, сильной фильтрации через тело сооружения и других причин. Для волны прорыва характерны наличие резкого фронта в виде бора (вала), достигающего высоты нескольких десятков метров движущегося с большими скоростями, и большая разрушительная сила потока. Волна прорыва относится к волне наполнения. Неустановившиеся течения в низовьях рек представляют чередующиеся между собой волны подпора и излива, причиной образования которых является периодическое изменение уровня воды в водоеме, в который впадает река. В морях и океанах изменение уровня происходит при приливах и отливах. В водохранилищах и крупных реках изменение уровня может быть вызвано работой гидростанций, а также прохождением паводков. Фронт волны подпора при сильных приливах может представлять собой бор, достигающий высоты 5-7 м и распространяющийся вверх по течению со скоростью до 10 м/с. Такие волны наблюдаются на многих реках, но наиболее заметны они на Сене, Гаронне, Северне, Эмсе, Амазонке. При распространении волны излива происходит падение уровней воды в водотоке, увеличение уклонов водной поверхности и скоростей течения. Наиболее часто это явление 198 наблюдается в нижних течениях рек, впадающих в моря и океаны, при отливах. Например, скорости течения в волне излива рек в северных районах РФ увеличиваются до 1-2 м/с. Водопропускные трубы также работают в условиях неустановившегося движения, например, при пропуске талых или ливневых вод. Случаи образования обратных волн могут встречаться, например, при закупорке отверстия нижней по течению из расположенных друг за другом труб. В лотках поверхностного водоотвода городских улиц, дорог, в кюветах, нагорных канавах, лотках водосборов течение потоков, формируемых дождями, является также неустановившимся. Соответственно на пропуск этих потоков должны рассчитываться водо- и дождеприемники, колодцы, перепускные лотки и трубы систем поверхностного водоотвода городских и внегородских дорог, мостов. Расчет неустановившегося течения При изучении неустановившегося движения жидкости в открытых руслах обычно рассматривается одномерная задача, т. е. не учитываются поперечные и вертикальные составляющие местных скоростей и изучаются только средние характеристики потока средняя скорость, средняя глубина и т. д. Однако во многих задачах, например при расчете потока в лотке улицы, кювете или подходящем к водопропускному сооружению логе, такая схематизация у неустановившегося движения является недостаточной и требуется плановое (двумерное) или пространственное (трехмерное) решение. Основной задачей расчета неустановившегося движения в открытых руслах является определение функций расхода Q, скорости v, глубины h, отметки свободной поверхности z от расположения створа и времени. Такой расчет называется полным. В ряде случаев достаточно иметь лишь отдельные данные о неустановившемся движении, например максимальные или минимальные уровни или расходы в одном или нескольких створах по длине рассматриваемого участка водотока. Такие данные могут быть получены частичным расчетом. Неустановившееся движение открытого потока описывается дифференциальными уравнениями динамического равновесия (1) и неразрывности (2): h 1 v v v Q 2 i0     ; 1 l g t g l K 2  Q  .2 t l Эти уравнения были впервые получены А. Сен-Венаном в 1871 г. и носят его имя. Решение задачи о неустановившемся движении жидкости в открытом русле сводится к интегрированию уравнений Сен-Венана или их модификаций. В результате должны быть получены две функции Q=Q(t,l ) и ω=ω(t,l ), зная которые можно найти изменение расхода во времени в любом створе потока и построить мгновенный профиль свободной поверхности в любой момент времени. Однако дифференциальные уравнения Сен-Венана являются нелинейными и их интегрирование в общем случае затруднительно. Поэтому на практике применяются методы приближенного (численного) интегрирования с использованием ЭВМ. В основном используются разностные методы, которые рассматриваются в специальных курсах. Параметры волн прорыва, методы их расчета Рассмотрим явления, происходящие при образовании и движении волны прорыва (попуска). При разрушении (прорыве) сооружений напорного фронта гидроузла в нижний бьеф сбрасывается поток воды с максимальным расходом, который уменьшается в 199 последующем при понижении уровня воды в водохранилище. При этом в нижнем бьефе образуется волна прорыва с непрерывной прямой волной повышения. На удалении от сооружения L = (100-500) Н (где Н - напор гидроузла) прерывная волна трансформируется в непрерывную и имеет мгновенный продольный профиль, состоящий из прямой волны повышения и прямой волны понижения. Аналогичный профиль имеет волна попуска. Вследствие возрастания расхода воды в волне повышения (зона подъема уровня) увеличиваются глубина, ширина потока и скорость течения, что приводит к затоплению местности, например, в долине реки. При дальнейшем движении продолжается трансформация волны: ее высота уменьшается, а длина увеличивается. С уменьшением расхода воды в волне понижения (зона спада уровня) глубина уменьшается от максимальной до бытовой. На все объекты, затопленные водой, действует подъемная сила (сила Архимеда) и динамические силы потока. Поэтому волна прорыва (попуска) обладает большой кинетической энергией и способна разрушать сооружения, на которые воздействует. Для оценки движения волны прорыва (попуска) ее продольный мгновенный профиль принято обозначать тремя характерными точками: фронт волны (начало подъема уровней); гребень волны (наибольший подъем уровня); хвост волны (окончание спада уровня). Эти точки характеризуют движение волны (перемещение массы воды) в направлении ее распространения (рис. 2.3.4.1). Продольный профиль НПУ Параметры: Нвi; Тфi; Тгi; Тхi. Гребень Хвост Фронт Нв Нi План Характеристики: Нi; Вi; Vi; Тi. Вi Тi Рис. 2.3.4.1. Параметры волны прорыва При этом, как показывает практика, наиболее быстро движется фронт волны, несколько медленнее гребень и еще медленнее хвост. Вследствие этого продольный профиль волны трансформируется: фронт волны «убегает» вперед, хвост отстает, высота волны уменьшается от створа к створу по реке, а длина волны увеличивается. Поэтому параметры волны прорыва (попуска), характеристики затопления местности определяются обычно для конкретного створа реки. Основными параметрами волны прорыва (попуска), принятыми в инженерных расчетах, являются: Нri - высота волны в i - м створе, м; 200 Тф i - время добегания (прихода) фронта волны с момента разрушения сооружения от створа гидроузла до i - го ствсра, час; Т ri - время добегания гребня волны с момента разрушения сооружения от створа гидроузла до i -го створа, час; Т х i - время добегания хвоста волны с момента разрушения сооружения от створа гидроузла до i -го створа, час; Для оценки параметров потока, т. е. течения воды в расчетах используются также следующие характеристики затоплений местности: Н i - максимальная глубина затопления в i-м створе, м; В i - максимальная ширина затопления в i - м створе, V i – максимальная скорость течения в i – м створе, м\с; Т i - продолжительность затопления в i –м створе, час. В применяемых методиках расчета принята одномерная модель распространения волны прорыва (попуска) - по направлению движения волны, т.е. по оси Х или L . При этом приняты следующие основные допущения: - разрушение сооружения происходит мгновенно; - гидрологические и морфологические характеристики бытового потока принимаются постоянными на расчетном участке. Кроме того, установлено, что степень разрушения сооружений гидроузла принимается равной Е р = F б р / Fв Если брешь доходит до дна, степень разрушения может быть приближенно определена по формуле Е р = В к /Вп . Здесь Е р - степень paзрушения , Fбр - площадь бреши, Fв - площадь водохранилища у напорного фронта, Вк - ширина конечной бреши; Вп - длина плотины по гребню. Степень наполнения водохранилища определяется по формулам: Ен = Wp / Wв или Е н = (Нр / Hв )Nв где – Е н степень наполнения; Wp.- объем водохранилища на момент разрушения; Wв – объем водохранилища при проектных отметках; Нр - глубина водохранилища на момент разрушения; Нв – проектная глубина водохранилища; N в - показатель степени кривых объемов водохранилища. Для расчета параметров волны прорыва и характеристик затоплений местности вначале устанавливают исходные данные по водохранилищу и гидроузлу, а также по реке в нижнем бьефе от плотины. При этом река по длине разбивается на расчетные участки, которые ограничиваются расчетными створами. Алгоритм решения задачи по расчету параметров волны прорыва и характеристик затоплений местности в упущенном виде выглядит следующим образом. Определяется максимальный расход воды в волне прорыва, например, максимальный расход воды, изливающийся через брешь, может быть определен зависимостью Q max = μВН 3/2. Здесь μ - коэффициент расхода, принимаемый равным: для бреши треугольной формы - 0,3; параболической формы - 0,6; прямоугольной формы - 0,9; В - ширина потока, изливающегося через брешь, Н - глубина потока на пороге бреши. Определяется максимальная глубина затопления по форм Нi = Hбi ( Qi / Qбi ) 1 / (K i + 1,667 ) . Здесь Hбi - глубина реки в естественных (бытовых) уровнях на i - м участке, м; Q - расход воды в волне прорыва в i – м створе, м3/c; Qбi - расход воды в реке в естественных условиях в этом же i - м створе, м3/с; К i - параметр, определяющий характер поперечного профиля реки. При этом K i изменяется от 0 до 1. 201 Затем вычисляется высота волны прорыва по формуле Н ri = H i - H бi Время добегания фронта, гребня и хвоста волны до i - го створа устанавливается из выражений: Тфi = Tф (i-1) + L i / Cфi ; Тr i = Tr ( i –1) + L i / Cr i ; Тхi = Tx ( i-1) + L i / Cx . Здесь Тф (i-1) , Tr ( i –1 ) , Tx ( i-1) - время добегания фронта, гребня и хвоста волны прорыва до предыдущего ( i - 1) створа ; L i - расстояние от предыдущего ( i – 1 ) створа до расчетного ( i – го ) створа, км; Сфi , Cri , Cxi - скорость движения фронта, гребня и хвоста на i – м участке, км\час. Для определения скорости движения фронта, гребня, хвоста волны прорыва (попуска) в расчетах используют следующие формулы: qHбH Сфi = ; Сri = vбi ( Hi / Hбi )2/3 ; Сх = Vбi . Ki  1 Здесь Hi - глубина затопления в створе i , м; Vбi - скорость течения бытового потока, м/с ; Нбi - глубина реки в бытовых условиях, м; К i - параметр, определяющий характер поперечного профиля реки; g - ускорение свободного падения, м/с2. Максимальная скорость течения воды в волне прорыва определяется с использованием формулы qHi Vi = . 3 Следует отметить, что вычисленное значение скорости течения соответствует скорости течения при максимальной глубине затопления. Однако максимальная скорость течения наблюдается при наибольшем уклоне водной поверхности, который образуется примерно в середине между фронтом и гребнем волны попуска (прорыва). Ширина затопления определяется в соответствии с глубиной потока по максимальной отметке подъема уровня воды при прохождении гребня волны прорыва. Продолжительность затопления определяется из выражения Тi = Txi – Tфi . Для удобства использования полученных данных расчета параметров волны прорыва, а также оперативного решения различных задач по оценке волны прорыва, могут строиться графики движения волны прорыва и графики интенсивности изменения характеристик затоплений местности во времени. График движения волны прорыва Графики движения волны прорыва показывают изменения основных параметров волны по длине реки. Они могут строиться на всю длину распространения волны прорыва или для участка реки. Графики движения волны прорыва строятся на плоскости Z-L-T (рис. 2.3.4.2), где L - расстояние от гидроузла - откладывается на оси абсцисс; Z - отметки уровня - используется левая ось координат; Т - время с момента разрушения - отмечается на правой оси ординат. Основой графика является продольный профиль реки, построенный в плоскости Z - L, на которой наносят максимальный уровень воды в расчетных створах при движении волны прорыва. В плоскости L – Т строятся графики движения фронта, гребня и хвоста. В некоторых случаях строятся упрощенные графики движения волны прорыва, где вместо оси Z (уровней) применяют ось Н (глубины потока). При этом не строится продольный профиль реки. 202 Графики движения волны прорыва позволяют определить параметры волны прорыва в любом промежуточном створе реки, что можно продемонстрировать на плакате. Створ 0 Створ 1 Створ 2 Створ 3 T,час Z,м НПУ Макс. уровень волны УМР Нв Хвост Нумр Гребень Тх Нв Фронт Тхо Lзад L2 L1 L3 Тг L,км ТФ Рис. 2.3.4.2. График движения волны прорыва Графики интенсивности изменения характеристик затопления во времени Графики интенсивности изменения характеристик затопления во времени строятся обычно для глубины затоплений Н, ширины затопления В и скорости течения V. То есть строятся графики глубины, ширины и скорости течения за время прохождения волны прорыва в заданном створе (рис. 2.3.4.3): Н=Н(Т); В=В(Т); V=V(T). Графики интенсивности изменения характеристик затопления Н Нб, Вб, Vб – характеристики реки в бытовых условиях Н = Н(Т) Нi Нб Тф Тг В Тх Т В = В(Т) Вi Графики зависимости глубины Н ширины В скорости течения V от времени Т Вб Тф Тг V Тх Т V = V(T) Vi Vб Тф Тг Тх Т Рис. 2.3.4.3. Графики интенсивности изменения характеристик затопления во времени Эти графики обычно используются для оценки изменения параметров волны прорыва во времени. 203 2.1.11. Гидравлика мостов При пересечении автомобильных и железных дорог с реками и другими водными преградами возводятся комплексы инженерных сооружений, называемые переходами через водотоки. В их состав обычно входят искусственные сооружения, подходы к ним, регуляционные и защитные сооружения. Наиболее широкое распространение получили мостовые переходы, где в качестве искусственных сооружений применяются мосты. По роду транспорта мостовые переходы подразделяются на автодорожные, железнодорожные, совмещенные, на городские переходы, переходы для нефте- и газопроводов. По сроку действия в течение года различают высоко- и низководные мостовые переходы. Высоководные мостовые переходы обеспечивают движение по трассе в течение всего года, включая и период пропуска высоких вод. Этот вид переходов является преобладающим. На низководных мостовых переходах, затопляемых при пропуске высоких вод, движение транспорта на это время прекращается. Мостовые переходы различаются схемой пропуска потока через сооружения перехода. Наиболее распространенной для высоководных мостов является схема, в которой мостом перекрываются русло реки и незначительные участки пойм, а основная часть пойм - земляными насыпями подходов (рис. 4.1.1.1, а). Весь идущий по водотоку расход пропускается отверстием моста. Другая схема, также относящаяся к высоководным мостовым переходам, предусматривает деление потока на части и пропуск их через два или более число отверстий, устраиваемых в составе мостового перехода и называемых групповыми отверстиями (рис. 4.1.1.1, б). В этом случае мосты, располагаемые на пойме или на протоках (вне главного русла), называют пойменными. Для низководных мостовых переходов применяется схема, предусматривающая пропуск части расхода при высоких уровнях переливом через насыпи подходов (рис. 4.1.1.1, в), а иногда и через искусственные сооружения (рис. 4.1.1.1, г) низководных мостовых переходов. Рис 4.1.1.1. Гидравлика мостов Условия работы мостовых переходов определяются видом и строением русла, типом руслового процесса, а также характером потока и его параметрами. В зависимости от вида водной преграды бывают мостовые переходы через равнинные, предгорные, горные реки, водохранилища, озера и т. п. Во время паводков 204 потоки на равнинах и предгорных реках характеризуются числами Рейнольдса Re=vh/ν=105-106, что свидетельствует о развитом турбулентном режиме движения паводочных волн, и значениями параметра кинетичности Пк=v2/(gh)=10-2-10-3, соответствующими спокойному энергетическому состоянию потока. У предгорных рек чаще всего отсутствует пойма, а русло неустойчиво, имеет рукава и потоки, меняющие свою форму и местоположение. Горные реки обычно текут в узких долинах, имеют высокую скорость потока, перемещающего по дну крупные камни. Потоки, пропускаемые сооружениями мостовых переходов, обычно являются неустановившимися, с различной степенью нестационарности. Среди них наиболее распространены паводки. Движение по руслу паводочной волны зависит от строения русла и поймы - неровностей поймы, наличия стариц, русловых проток, старых береговых валов и грив, различных возвышенностей и массивов растительности. При определенной совокупности признаков возможно образование вторичных течений, застойных замкнутых зон и т. д. Русловый и пойменный потоки, резко различающиеся по скоростям течения и глубинам, взаимно влияют друг на друга. При расположении мостовых переходов в нижних бьефах плотин вследствие регулирования стока на этих сооружениях потоки, пропускаемые через отверстия мостов, являются неустановившимися, т. е. волнами наполнения и отлива. При разрушении водоподпорного сооружения (плотины) отверстие моста будет работать на пропуск резко нестационарного потока — волны прорыва. При расположении мостовых переходов в низовьях рек, в том числе впадающих в водохранилища, за счет изменения уровней в водоеме, например при работе гидроэлектростанции, отверстия мостов будут работать на пропуск неустановившихся медленно изменяющихся потоков - волн подпора и излива с возможным периодическим изменением направления движения потока в отверстии моста на обратное. Схема потока, стесненного сооружениями мостового перехода Сжатие потока, пропускаемого через отверстие моста, и последующее его расширение являются сложным процессом и характеризуются широким разнообразием условий. Схематизация этих условий имеет целью четче представить физику процесса и выявить основные его закономерности (рис. 4.1.2.1). Рис. 4.1.2.1. Расчетная схема моста Долина реки и коренное русло принимаются прямолинейными и постоянной ширины, соответственно Во и Врб (рис. 4.1.2.1, а). Рельеф дна русла и пойм принимается плоским. 205 Далее, неустановившееся движение в русле представляют установившимся, т. е. значения уровня и расхода считают неизменными во времени, соответствующими, например, пику расчетного паводка. Ось мостового перехода ориентируется нормально к направлению течения схематизированного потока. Стеснение речного потока сооружениями мостового перехода представляет собой местное сопротивление. Оно вызывает увеличение отметок свободной поверхности - подпор перед мостом. Подпор распространяется вверх по течению на значительное расстояние. Если принять створ 1-1 на рис. 4.1.2.1 за границу, выше которой влияние моста уже не сказывается, т. е. бытовые условия мостом не нарушены, то в пределах участка от створа /-/ до створа //-// устанавливается кривая подпора типа а1 так как русло принято призматически. В сечении //-// (в конце кривой подпора а1) превышение уровня над его положением в бытовом состоянии (рис. 4.1.2.1, б) достигает почти максимальной величины на всем протяжении предмостового участка и называется полным подпором. При очень сильном стеснении потока и при размыве под мостом наибольший подпор Δz располагается ближе к мосту по сравнению с сечением //-//. Непосредственно перед мостом свободная поверхность имеет сложную форму в виде воронки. Криволинейное сечение П—П (рис. 4.1.2.1, а) соответствует верхней границе воронки. Подпор для центральной струйки в сечениях //-// и П-П может считаться одинаковым. Уменьшение ширины потока в пределах воронки приводит к увеличению скоростей течения. В обычных условиях при устройстве струенаправляющих дамб скорости достигают наибольших значений в подмостовом сечении III-III. От створа /-/ вниз по течению скорости крайних струй уменьшаются, а глубины увеличиваются почти до самой насыпи подхода. Вдоль насыпи наблюдается увеличение скоростей вначале небольшое, ниже сечения П-П - более значительное и на коротком участке у голов струенаправляющих дамб скорости крайней струи резко возрастают. Свободная поверхность перед границей водной воронки (сечение П-П) близка к горизонтальной. У верхового откоса насыпи на некотором удалении от моста устанавливается наибольший по абсолютной величине подпор у насыпи Δzн (рис. 4.1.2.1, б). В створе ///-/// наибольшего сжатия потока, который при правильно устроенных струенаправляющих дамбах располагается в отверстии моста, струи параллельны между собой. Уровень воды в этом сечении близок к бытовому, но в зависимости от условий растекания может быть как больше, так и меньше бытового, т. е. значение подмостового подпора может быть и положительным и отрицательным (ΔzM>0 и ΔzM<0). За мостом на участке между сечениями ///-/// и IV- IV поток расширяется (растекается) и скорости потока уменьшаются. За границей крайних струй образуются обширные водоворотные области (рис. 4.1.2.1, а). За сечением IV-IV происходит восстановление бытовых условий водотока. При усложнении схемы применительно к неустановившемуся движению следует рассматривать процесс за короткий отрезок времени, в пределах которого расход можно считать неизменным. Следует иметь в виду, что картина течения в разные интервалы времени будет различной. Это будет выражаться в изменениях положения указанных створов, значений подпоров, скоростей, размеров воронки перед мостом, очертанием крайних струй в зонах сжатия и растекания потока, обусловленных изменением расхода (уровня). Стеснение потока мостовым переходом при данном уровне может быть, интегрально оценено отношением β общего расхода воды к части расхода, проходящей при отсутствии стеснения в пределах отверстия моста, которое называется коэффициентом общего стеснения или коэффициентом увеличения расхода: Q Q   . QM QРБ  Q ПМБ 206 Величина QM определяется как сумма расходов, проходящих в бытовых условиях по руслу (QРБ) и по участкам пойм в пределах отверстия моста (QПМБ), значения которых могут быть определены по эпюре элементарных расходов, построенной для створа перехода при рассматриваемом уровне (рис. 4.1.2.2). При рассмотрении неустановившегося движения коэффициент стеснения β также изменяется во времени и достигает наибольшего значения на пике расчетного паводка. Рис. 4.1.2.2. Расчетная схема мостового перехода На водотоке в бытовых условиях можно выделить две характерных области: русло, по которому вместе с водой движутся наносы, и поймы, на которых движения руслоформирующих наносов нет, и не происходит смыва частиц грунта, т. е. бытовые скорости течения на пойме меньше неразмывающих (VПБVНР). Размыв в виде равномерного понижения дна в отверстии моста и на некотором протяжении русла вверх и вниз по течению называют общим. В местах концентрации потока, возникающих, если струенаправляющие дамбы не обеспечивают равномерного распределения скоростей по ширине отверстия или по другим причинам, развивается сосредоточенный размыв. У опор моста и голов струенаправляющих дамб возникают также местные размывы. Причиной местного размыва у промежуточных опор моста является локальное нарушение кинематической структуры потока, характеризующееся вихреобразованием и возрастанием скоростей течения. Местный размыв у голов струенаправляющих дамб обусловлен двумя причинами: во-первых, образованием вальца, увеличивающего донные скорости, в месте набегания потока на дамбу; во-вторых, резким увеличением скорости течения вдоль дамбы вследствие значительного перепада уровней на небольшом по протяжению участке у голов дамб. По общему и местному (у опор) размывам определяют глубину заложения и конструкцию фундаментов опор, а местный размыв у дамб влияет на выбор конструкции и размеров укреплений. По значениям подпоров устанавливают отметки (высотное положение) бровки насыпи подходов и конструкций пролетного строения. Сосредоточенные размывы вообще не должны допускаться. Таким образом, основными задачами гидравлического расчета мостовых переходов являются: расчет общего размыва, определение глубины местного размыва у промежу- 207 точных опор моста, назначение размеров и очертания струенаправляющих дамб, обеспечивающих безотрывное обтекание их потоком и равномерное распределение расхода по ширине отверстия моста, расчет глубины местного размыва у голов дамб, определение значений подпоров. Важность гидравлических расчетов при проектировании мостовых переходов обусловлена необходимостью технико-экономического сопоставления вариантов и выбора оптимальных параметров сооружений перехода, обеспечивающих надежную работу мостового перехода при наименьших затратах на строительство и эксплуатацию сооружений и минимуме ущерба окружающей среде. Уменьшение, например, отверстия моста на равнинных реках ведет в целом к снижению стоимости сооружений мостового перехода, поскольку стоимость единицы длины подходов к мосту, как известно, ниже стоимости единицы длины моста. Однако при этом увеличиваются размывы подмостового русла, усложняется конструкция фундаментов опор, возрастает подпор перед мостом, усложняется эксплуатация перехода, увеличиваются площади затоплений, в большей мере заболачиваются поймы, ухудшаются условия для их использования в сельском хозяйстве и т. д. Требования СНиП по расчет мостов на воздействие водного потока (СНиП 2.05.03-84. Мосты и трубы) 1.25. Расчет мостов, труб и пойменных насыпей на воздействие водного потока следует производить, как правило, по гидрографам и водомерным графикам расчетных паводков. Кроме того, мосты, трубы и пойменные насыпи на железных дорогах общей сети необходимо рассчитывать по гидрографам и водомерным графикам паводков, условно именуемых наибольшими. При этом вероятности превышения расчетных и наибольших паводков следует принимать одинаковыми с указанными в табл. 4.2.1.1 вероятностями превышения максимальных расходов соответствующих паводков. При отсутствии гидрографов и водомерных графиков паводков, а также в других обоснованных случаях расчет сооружений на воздействие водного потока допускается производить по максимальным расходам и соответствующим им уровням расчетных и наибольших паводков. В расчетах следует учитывать опыт водопропускной работы близко расположенных сооружений на том же водотоке, влияние водопропускных сооружений одного на другое, а также влияние на проектируемые водопропускные сооружения существующих или намечаемых гидротехнических и других речных сооружений. При наличии вблизи мостов и труб инженерных сооружений, зданий и сельскохозяйственных угодий необходимо проверить безопасность их от подтопления изза подпора воды перед сооружением. При проектировании водопропускных сооружений, расположенных вблизи некапитальных плотин, необходимо учитывать возможность прорыва этих плотин. Вопрос об усилении таких плотин или увеличении отверстий сооружений необходимо решать комплексно путем сравнения технико-экономических показателей возможных решений. 1.26. В расчетах следует принимать максимальные расходы паводков того происхождения, при которых для заданного значения вероятности превышения создаются наиболее неблагоприятные условия работы сооружений. Построение гидрографов и водомерных графиков, определение максимальных расходов при разных паводках и соответствующих им уровней воды следует производить согласно требованиям СНиП 2.01.14-83. Таблица 4.2.1.1 Вероятности превышения максимальных расходов соответствующих паводков 208 Железные дороги Сооружения Категория дорог Вероятность превышения максимальных расходов паводков, % расчетных Автомобильные дороги, городские улицы и дороги Вероятность превышения максимальных СооружеКатегория расходов ния дорог расчетных паводков, наибольших % Мосты и трубы I и II (общей сети) 1 0,33 Большие и средние мосты То же III и IV (общей сети) 2 1* То же - Малые мосты и трубы « « IV и V (подъездные пути) Внутренние пути промышленных предприятий 2** 2 - То же « I-III, I-в, I-к и II-к и городские улицы и дороги IV, II-в, III-в, III-к, IV-в и IV-к, V, I-с и II-с 1 II, III, III-п и городские улицы и дороги IV, IV-п, V и внутрихозяйственные дороги 1*** 2*** 1**** 2**** 3**** Примечания: * При расчетах бровок земляного полотна, незатопляемых регуляционных сооружений и оградительных дамб русел блуждающих рек для железных дорог III категории вероятность превышения максимального расхода при наибольшем паводке следует принимать 0,33 %. ** Если по технологическим причинам предприятий перерыв в движении не допускается, вероятность превышения следует принимать равной 1 %. *** В районах с малоразвитой сетью автомобильных дорог для сооружений, имеющих особо важное народнохозяйственное значение, при технико-экономическом обосновании вероятность превышения допускается принимать 0,33 вместо 1 % и 1 вместо 2 %. **** В районах с развитой сетью автомобильных дорог для автодорожных малых мостов и труб при технико-экономическом обосновании вероятность превышения допускается принимать 2 вместо 1 %, 3 вместо 2 %, 5 вместо 3 %, а для труб на дорогах IIc и III-с категорий — 10 %. 1.27. Размеры отверстий малых мостов и труб допускается определять по средним скоростям течения воды, допустимым для грунта русла (в том числе на входе и выходе из сооружения), типов его укрепления и укрепления конусов. Отверстия малых мостов и труб допускается назначать с учетом аккумуляции воды у сооружения. Уменьшение расходов воды в сооружениях вследствие учета аккумуляции 209 возможно не более чем: в 3 раза - если размеры отверстия назначаются по ливневому стоку; в 2 раза - если размеры отверстия назначаются по снеговому стоку и отсутствуют ледовые и другие явления, уменьшающие размеры отверстия. При наличии вечномерзлых грунтов аккумуляция воды у сооружений не допускается. 1.28. Размеры отверстий больших и средних мостов следует определять с учетом подпора, естественной деформации русла, устойчивого уширения подмостового русла (срезки), общего и местного размывов у опор, конусов и регуляционных сооружений. Отверстие моста в свету не должно быть менее устойчивой ширины русла. Размеры отверстий городских мостов следует назначать с учетом намечаемого регулирования реки и требований планировки набережных. 1.29. Расчет общего размыва под мостами следует производить на основе решения уравнения баланса наносов на участках русел рек у мостовых переходов при паводках, указанных в п. 1.25. Если проход паводков, меньших по величине, чем расчетные (наибольшие), вызывает необратимые изменения в подмостовом русле (что возможно при стеснении потока более чем в 2 раза, на мостовых переходах в условиях подпора, в нижних бьефах плотин, деформации русел в пойменных отверстиях и т.п.), определение общего размыва следует выполнять из условий прохода расчетного (наибольшего) паводка после серии натурных наблюденных паводков одного из многоводных периодов. Для предварительных расчетов, а также при отсутствии необходимых данных о режиме водотока общий размыв допускается определять по скорости течения, соответствующей балансу наносов. При морфометрической основе расчета вычисленные максимальные глубины общего размыва следует увеличивать на 15 %. 1.30. При построении линии наибольших размывов надлежит учитывать кроме общего размыва местные размывы у опор, влияние регуляционных сооружений и других элементов мостового перехода, возможные естественные переформирования русла и особенности его геологического строения. Расчеты мостов на воздействие сейсмических нагрузок следует производить без учета местного размыва русла у опор. 1.31. Величину коэффициента общего размыва под мостом следует обосновать технико-экономическим расчетом. При этом надлежит учитывать вид грунтов русла, конструкцию фундаментов опор моста и глубину их заложения, разбивку моста на пролеты, величины подпоров, возможное уширение русла, скорости течения, допустимые для судоходства и миграции рыбы, а также другие местные условия. Величину коэффициента размыва, как правило, следует принимать не более 2. 1.32. Срезку грунта в пойменной части отверстия моста допускается предусматривать только на равнинных реках. Размеры и конфигурацию срезки следует определять расчетом исходя из условий ее незаносимости в зависимости от частоты затопления поймы и степени стеснения потока мостовым переходом при расчетном уровне высокой воды. Срезка в русле побочней, отмелей при расчете площади живого сечения под мостом не учитывается. 1.33. Уширение под мостом вследствие срезки грунта следует плавно сопрягать с неуширенными частями русла для обеспечения благоприятных условий подвода потока воды и руслоформирующих наносов в подмостовое сечение. Общая длина срезки (в верховую и низовую стороны от оси перехода) должна быть в 4-6 раз больше ее ширины в створе моста. Следует избегать конфигурации срезки наибольшей ширины в створах голов регуляционных сооружений. 210 При проектировании срезки грунта на пойме необходимо предусматривать удаление пойменного наилка до обнажения несвязных аллювиальных грунтов на всей площади срезки. 1.34. Возвышение бровок земляных сооружений на подходах к большим и средним мостам над уровнями воды при паводках по п. 1.25 (с учетом набега волны на откосы и возможного подпора) следует принимать не менее: 0,5 м - для земляного полотна, водоразделительных и ограждающих дамб, а также струенаправляющих дамб на реках с блуждающими руслами, 0,25 м - для регуляционных сооружений и берм насыпей. Возвышение бровки земляного полотна на подходах к малым мостам и трубам над уровнями воды при паводках по п. 1.25 (с учетом подпора и аккумуляции) следует принимать не менее 0,5 м, а для труб при напорном или полунапорном режиме работы не менее 1,0 м. Кроме того, на автомобильных дорогах при назначении возвышения бровки земляного полотна на подходах к указанным сооружениям следует соблюдать требования по возвышению низа дорожной одежды над уровнем грунтовых и поверхностных вод, установленные СНиП 2.05.02-85. В пределах воздействия льда на пойменную насыпь отметка ее бровки должна быть не ниже отметок верха навала льда, а также отметок наивысшего заторного или зажорного льда с учетом полуторной толщины льда. Подпоры на мостовых переходах рассчитываются по уравнениям движения жидкости или по зависимостям, учитывающим в достаточной мере данные явления на проектируемых переходах. Методы расчета отверстий мостов и общих деформаций подмостовых русел Хотя на участке стеснения сооружениями мостового перехода поток имеет пространственную (трехмерную) структуру, существующие методы расчета отверстий основаны, тем не менее, на использовании одномерной модели установившегося потока. Его параметры соответствуют пику паводка. Отверстие моста Вм, средняя глубина в отверстии после размыва hnp, характеризующие площадь живого сечения в отверстии моста ω=Вм/hnр, определяются по уравнению расхода Q=vω. Основной задачей, от решения которой зависит получаемый результат, является назначение расчетной скорости в русле под мостом, при которой деформации прекращаются. Общий размыв подмостового русла оценивается коэффициентом размыва. Различают коэффициенты размыва по глубине и по площади. Первый представляет отношение средних или максимальных глубин в русле под мостом после и до размыва h рм h рм max Р  ; (18.4) h рб h рб max второй - отношение площадей живого сечения потока под мостом после и до размыва Р  пр . (18.5)  др Рассмотрим некоторые из предложенных в разные годы методов расчета. Н. А. Белелюбский заметил, что русла рек устойчивы и не размываются в паводок при скоростях потока, значительно превышающих неразмывающие скорости для грунтов, слагающих русла. В 1875 г. на основе наблюдений он сделал вывод, что русловая бытовая скорость vрб является той характерной скоростью, при которой прекратится размыв русла под мостом. Это положение носит название постулата Белелюбского. Основной расчетной зависимостью, получаемой на базе постулата, является выражение для определения необходимой рабочей площади под мостом до размыва, которое с учетом формулы (18.5) имеет вид 211  пр 1 Q , Р Р v рб где (μ - коэффициент, учитывающий стеснение потока опорами моста и сжатие его в подмостовом отверстии. Л. Л. Лиштваном в 1947 г. предложен метод расчета, согласно которому общий размыв прекращается, когда скорость под мостом при глубине hnp станет равной так называемой скорости динамического равновесия: v дин  d ср0, 25 hпрx a, (18.7) где dcp - средняя крупность несвязных грунтов русла, мм; а - параметр, зависящий от вероятности превышения расчетного расхода ВП, %: ВП 0,33 1 2 5 10 20 40 50 60 70 а 1,07 1 0,97 0,91 0,86 0,81 0,74 0,72 0,69 0,67 х - показатель, определяемый в зависимости от величины dср: dср 0,05 0,3 1 3 10 50 100 200 300 х 0,43 0,42 0,4 0,38 0,35 0,30 0,28 0,26 0,24  ДР   В основу предложенного О. В. Андреевым в 1955 г. метода расчета с использованием уравнения деформаций (18.4) было принято положение, что размыв русла в сжатом створе под мостом, обусловленный повышением транспортирующей способности потока, прекратится (dω/dt=O), когда будет восстановлен продольный баланс наносов, т. е. dQs/dl=O. Последнее условие соответствует равенству бытового расхода наносов Qsм и расхода наносов в стесненном створе под мостом Qsм. Для расхода наносов использована обобщенная формула Bv m  v нр  , (18.8) QS  A k 1  v  hср  где величины А, т, k различны у разных авторов. Из условий Qs6=Qsм и выраженных по формуле (18.8) при значениях m=4 и k=0,5 (как средневзвешенных по всем формулам расхода наносов), сокращении коэффициентов А и малозначащих членов, была получена зависимость для определения средней скорости в русле, при которой заканчивается размыв: 1/ 4 1/ 8  В рб   h рм     . (18.9) v рм  v рб  В  h  рм рб     По формулам (18.6), (18.7) и (18.9) получены зависимости для определения глубины под мостом после размыва, а также для определения отверстия моста (табл. 18.1). Таблица 18.1 Расчетные формулы для определения глубины под мостом и ширины отверстия моста Автор Глубина русла под мостом Ширина отверстия моста Белелюбскин Н.А. 1 Q 1 Q B рб Bм  B рб h рм  h рб  Q рб P Q рб B рм Лиштван Л.Л. 1 h рм   1 x Q    0,68B d 0, 28 a  м ср   h рм  Q рм  h рб  Q  рб Андреев О.В.     8/9  B рб  B  рм     B м  B рб Q 1 1 x  Q рб P B м  B рб 1  Q   Q рб 2/3     4/3 1 P3/ 2 212 Для назначения ширины отверстия моста необходимо задать значение коэффициента размыва Р, исходя из конструкции фундаментов опор или условий судоходства и т. п. Из формул глубины общего размыва русла Белелгобского и Андреева (см. табл. 18.1) следует, что уширение русла под мостом, т. е. увеличение ширины русла под мостом Bрм, ведет к снижению размыва. В связи с этим при проектировании мостового перехода может предусматриваться искусственное уширение подмостового русла, называемое срезкой. Срезку выполняют, удаляя связные грунты с пойменной части отверстия моста до уровня межени с обязательным обнажением несвязных аллювиальных грунтов. Величиной, подлежащей определению расчетом, является ширина срезки ΔB=Bрм -Bр6. По предложению О. В. Андреева, глубину общего размыва на пойменных участках отверстия моста находят из условия, что размыв прекращается при уменьшении скорости до неразмывающего значения. Из этого условия при неизменном пойменном расходе (Qпм=const) следует v hпм  hпб  п пб , (18.10) v пр где hпб, hпм - глубины на пойменных участках в отверстии моста соответственно до и после размыва; βп=Qпм/Qпб - коэффициент увеличения пойменного расхода, по своему смыслу аналогичный коэффициенту общего стеснения β. Так как в выражении (18.10) неразмывающая скорость vнр зависит от искомой величины hпр, то решение возможно подбором или графо-аналитическим способом. Дальнейшее развитие методов расчета отверстий мостов в рамках одномерной модели связано с предложением О. В. Андреева учитывать нестационарность потока путем замены (схематизации) реального гидрографа паводка ступенчатым и применения уравнения деформации (18.2) для определения глубин общего размыва подмостового русла. Следует отметить, что в такой постановке, в отличие от приведенных выше методов, можно решать только задачу определения общего размыва при известной ширине отверстия моста. Метод расчета общего размыва по гидрографу паводка, предложенный И.С. Ротенбургом, предусматривает замену реального паводка на ступенчатый с небольшим числом ступеней и является одним из вариантов метода конечных разностей. В качестве расчетного интервала длиной Δl принимался участок русла между створом наибольшего подпора П-П (см. рис. 4.1.2.1) и подмостовым створом III-III. Малое число ступеней схематизированного гидрографа и использование одного расчетного интервала по длине делает метод Ротенбурга доступным для выполнения расчетов «вручную» без применения ЭВМ. В практике мостового строительства все чаще встречаются задачи расчета отверстий мостов на воздействие резко нестационарных потоков волн прорыва, которые рассматриваются в отдельных курсах. 2.1.12. Гидравлическое моделирование Виды моделей Прежде чем приступить к строительству какого-либо сооружения, инженеры на стадии проектирования должны тщательно изучить все процессы и явления, с которыми придется столкнуться строителям объекта и эксплуатационникам. Причем оценка влияния разнообразных факторов должна быть не только качественной, но и количественной. При проектировании, например, мостового перехода необходимо оценить: как изменятся параметры потока (глубина, ширина, распределение скоростей, давлений и т. д.), стесненного подходными насыпями; какую форму должны иметь струенаправляющие 213 дамбы; каким будет общий и местный размыв; каков будет подпор перед мостом; произойдет ли затопление земель; какая ветровая нагрузка будет действовать на пролетные строения и т. д. На практике встречаются ситуации, при которых не представляется возможным получить ответ на интересующий проектировщика вопрос чисто расчетным путем. В этих случаях исследователи прибегают к экспериментальным методам изучения явлений с помощью физического или предметного моделирования. В предметных моделях воспроизводятся геометрические, кинематические, динамические и другие параметры оригинального (натурного) объекта. Этим объектом может служить поток (или его часть), взаимодействующий с твердыми границами (трубопроводом, дорожной водопропускной трубой, размываемым руслом и т. п.). В случае, если модель имеет одну и ту же физическую природу, что и моделируемый объект, она называется физической моделью. В тех случаях, когда изучаемое явление описывается уравнениями или математическими соотношениями того же типа, что и явление иной физической природы, можно заменить изучение натуры изучением других явлений, более удобных для лабораторного воспроизведения, инструментального измерения и т. д. Такой вид моделирования использует предметно-математические или аналоговые модели. Например, натурный фильтрационный поток под сооружением и движение электрического тока по проводящей среде описываются одним и тем уже уравнением Лапласа. Поэтому изучение фильтрационного потока (натуры) можно проводить на модели, воспроизводящей течение электрического тока по проводнику, на которой легко измерить значения таких величин, как потенциал скорости, функция тока, не поддающиеся измерению в натурном потоке. Поиск рациональных форм конструкций экспериментальным путем довольно часто требует проведения весьма трудоемких, продолжительных и дорогостоящих исследований в гидравлических лабораториях методами физического моделирования. Например, конструкция входа в косогорную трубу исследовалась многократно, но до сих пор не найдено оптимального ее очертания. При проектировании консольных сбросов уже давно пытались подбирать опытным путем различные формы носков-трамплинов, которые способствовали бы интенсивному расширению потока в плане, его дроблению и т. п. с целью уменьшения удельных расходов в месте падения струи и в конечном счете уменьшения глубины воронки размыва. Для решения задачи перебирались по 30-40 вариантов моделей трамплинов самых замысловатых очертаний и исследовалась их работа применительно к конкретным условиям. Для других условий работы эти исследования приходится повторять, так как применимость экспериментальных данных весьма часто ограничена рамками конкретных условий, при которых они были получены. Это неблагоприятное обстоятельство можно преодолеть в результате разработки надежной теории явления, методов решения уравнений, описывающих его, и всесторонней экспериментальной проверки справедливости теоретических положений. Наличие теории позволяет использовать математические модели и путем решения соответствующих уравнений с учетом граничных и начальных условий и других особенностей задачи получать ответ без значительных затрат средств и времени. Этому способствует и использование ЭВМ. Так, например, развитие теории управления бурными потоками и разработка методов расчета очертаний соответствующих конструкций делает ненужными трудоемкие экспериментальные исследования. Задача о форме рассеивающего трамплина, применяемого для уменьшения глубины воронки размыва, с помощью математического моделирования решается на ЭВМ всего за несколько минут. Математические модели позволяют производить целые серии аналогичных расчетов, например, с целью составления таблиц, оптимизировать решение и т. д. 214 Геометрическое, кинематическое и динамическое подобие. Коэффициенты подобия После исследований, выполненных на модели, необходимо перенести полученные данные на натурный объект, что и является конечной целью моделирования. При физическом моделировании это можно сделать достаточно надежно лишь в том случае, если есть уверенность, что явления в натуре и на модели подобны. Физическое подобие явлений заключается в подобии полей соответствующих физических параметров двух систем (натуры и модели), как в пространстве, так и во времени, т. е. в пропорциональности, характеризующих их сходственных параметров. В частности, механическое подобие двух потоков жидкости предполагает наличие геометрического, кинематического и динамического подобия. Естественно потоки считать механически подобными, если геометрические, кинематические и динамические величины, характеризующие натурный поток, могут быть получены из соответствующих величин модельного потока, взятых в сходственных точках и в сходственные моменты времени, простым умножением на постоянные множители, называемые коэффициентами подобия (масштабами). Геометрическое подобие заключается в том, что сходственные линейные элементы натурного и модельного объектов находятся в одинаковом соотношении: lм/lн=m, (7-1) где 1н - длина линейного элемента в натуре; 1м - длина сходственного модельного элемента; т - геометрический масштаб (коэффициент геометрического подобия). Очевидно, сходственные площади ωн и ωм находятся в соотношении  н /  м  l н2 / l м2  m  m 2 , (7.2) а отношение сходственных объемов соответственно равно Vн/Vм = mv = m3. (7.3) При обеспечении геометрического подобия углы между двумя сходственными направлениями (βн и βм одинаковы: βн = βм, β=idem (idem - значит «одно и то же»). Кинематическое подобие заключается в подобии полей скоростей и ускорений натуры и модели, которое выполняется, если скорости uн и им и ускорения jн и jм в сходственных точках натуры и модели находятся в одинаковых соотношениях, т. е. существует масштаб скоростей тu и масштаб ускорений mj, т. е. uн/им= тu=const; jн /jм= mj=const. Масштабы скорости и ускорений связаны с геометрическим масштабом. Действительно, так как сходственные расстояния натурные и модельные частицы проходят за сходственные отрезки времени tн и tм, то существует и масштаб времени: tн/tм=mt= const. (7.4) Но натурная и модельная скорости выражаются через сходственные отрезки пути и времени uн=lн/tн и uм=lм/tм, откуда тu = uн/им = lн/ tм /( lм/ tн) =mmt-1.(7.5) Аналогичным путем получим для масштаба ускорений mj= jн/jм = mmj -2.(7.6) Таким образом, кинематическое подобие возможно лишь при обеспечении геометрического подобия. Динамическое подобие состоит в подобии многоугольников сил, действующих на сходственные частицы (имеющие сходственные массы Мн и Мм). Так как Fн=Мн jн,= ρнVнjн, а Fм= Мм jм=ρмVмjм, то mF = Fн/Fм,= ρнVнjн /( ρмVмjм)=трт3тj= mpm3m/mt2 = трт2 тu 2 = const. (7.7) 215 Полученное соотношение называется законом динамического подобия Ньютона в коэффициентах подобия. Из полученного выражения следует, что для обеспечения динамического подобия требуется выполнить условия геометрического и кинематического подобия и что основными масштабами являются масштабы длины, силы и времени. Эти условия являются необходимыми. Как правило, они и достаточны, однако доказательство их достаточности затруднено разнообразием начальных и граничных условий, которые на практике выполняются лишь с некоторой степенью приближения. Полное и частичное динамическое подобие. Критерии динамического подобия Полное динамическое подобие. Закон динамического подобия Ньютона в коэффициентах подобия можно истолковать следующим образом. Частицы жидкости участвуют в движении под действием внешних массовых и поверхностных сил (сил тяжести, давления и трения), результирующая которых равна силе инерции. Масштаб сил инерции определяется законом динамического подобия Ньютона. Следовательно, масштабы всех иных сил, действующих на сходственные жидкие частицы и определяющих их движение, должен быть таким же. Запишем закон динамического подобия Ньютона, выражая масштабы через физические величины: Fн/Fм = ρн lн uн/(ρмlмuм). Перенесем члены с одинаковыми индексами по разные стороны равенства: Fн /( ρн lн uн) = Fм /(ρмlмuм)=Ne. Это равенство является условием полного динамического подобия. Число Ne называется критерием (числом) Ньютона полного динамического подобия. Вообще критерием подобия называются безразмерные величины (числа), составленные из размерных физических параметров, определяющих рассматриваемое физическое явление. Следовательно, в сходственных точках динамически подобных потоков числа Ньютона должны быть одинаковы, т. е. NeM=NeH, или Ne=idem. При определении сил, действующих на жидкие (натурную и модельную) частицы в сходственных точках необходимо учтывать силы тяжести G, давления Р, трения FTP и их результирующая - сила инерции J. При полном динамическом подобии они должны находиться в соотношении: Gн /Gм = FTpн/FTpм = Pн /Pм= Jн / Jм = mF.(7.9) Потоки динамически, кинематически и геометрически подобные, как указывалось, называются механически подобными. Частичное динамическое подобие. Перечисленные силы имеют различную физическую природу. Это обстоятельство затрудняет обеспечение полного динамического подобия натурного и модельного потоков и приводит на практике к его неосуществимости. К счастью, существует довольно значительный класс течений, которые вызываются действием на жидкость в основном какой-либо одной (преобладающей) силы. Для таких случаев можно получить критерий частичного динамического подобия, при котором учитывается действие преобладающей силы и силы инерции, а действием остальных сил пренебрегают. Пусть преобладающей является сила тяжести G. Считаем, что в этом случае силами давления Р и трения FТр можно пренебречь. Тогда условие частичного динамического подобия сведется к равенству: Gн / Gм  J н / J м или J н / Gн  J м / Gм . (7.10) Но силы инерции согласно формуле (7.7) пропорциональны плотности, квадратам характерной длины и характерной скорости, а силы тяжести пропорциональны плотности и объему (или характерной длине в кубе). С учетом этих замечаний получим: 216  н l н2 u н2 /  н g н l н3    м l м2 u м2 /  м g м l м3 , откуда u н2 / g н l н   u м2 / g м l м   Fr. (7.11) Полученный безразмерный параметр, пропорциональный отношению сил инерции к силам тяжести, называется критерием или числом Фруда. Таким образом, для обеспечения частичного динамического подобия при преобладающем действии сил тяжести в сходственных точках числа Фруда должны быть одинаковыми, т. е. должно выполняться требование FrM=FrH, или Fr=idem. При вычислении числа Фруда для конкретных условий gн =gм, а в качестве величин l и и принимают характерные значения линейного размера и скорости. Например, за характерный линейный размер можно принять глубину потока h (или ширину мостовой опоры, или другую величину), а за характерную скорость - ее значение вдали от препятствий, т. е. скорость невозмущенного течения и∞ , т. е. Fr  u2 gh, и т. п. Если преобладающей является сила трения FТр, то можно пренебречь силами тяжести G и давления Р. Условие частичного динамического подобия сводится к равенству J н / J м  FТрн / FТрм , или J н / FТрн  J м / FТрм . Согласно закону вязкостного трения Ньютона, сила трения, пропорциональная градиенту скорости и площади соприкасающихся слоев жидкости, равна du F   dn Подставляя значения сил трения и инерции в условие частичного динамического подобия для рассматриваемого случая, получаем  н l н2 u н2 /  н l н u н    м l м2 u м2 /  м l м u м , или после сокращения, принимая во внимание, что μ/ρ=ν, uн lн / н  u м l м / м  Re . (7.12) Критерий частичного динамического подобия, учитывающий вязкость жидкости и выражающий пропорциональность отношения сил инерции и сил трения, называется критерием Рейнольдса. Следовательно, в этом случае в сходственных точках должно выполняться требование ReM=ReH или Re=idem. При определении числа Рейнольдса за характерные линейный размер и скорость обычно принимают глубину и скорость невозмущенного потока (Re=u∞h∞/v), диаметр трубопровода и среднюю скорость (Red=vd/ν) или гидравлический радиус и среднюю скорость (ReR =vR/ν). Когда преобладающим является действие сил давления Р, поступая аналогично изложенному выше, придем к условию Jн /Pн =Jм /Pм. Так как Р=pω~р12, то получаем  н l н2 u н2 /  н l н3    м l м2 u м2 /  м l м3 , или  н u н2 / pн   м u м2 / p м  Eu. (7.13) Критерий частичного динамического подобия, учитывающий действие сил давления и пропорциональность отношения сил инерции к силам давления, называется критерием Эйлера. В сходственных точках числа Эйлера должны быть одинаковыми, т. е. EuM=EuH или Eu=idem. В газообразной жидкости скорость звука a  kp /  , где k=CplCv; Сp - удельная теплоемкость в изобарическом процессе; Сv - удельная теплоемкость в изохорическом процессе (для воздуха k≈1,41). Если движение газа моделируется движением того же газа, то kм=kн. 217 При этом условии можно записать  н u н2 / k н pн    м u м2 / k м p м   Eu / k. Так как kp /   a 2 , то u н2 / aн2  u м2 / a м2 p м  Eu / k , или uн / aн  u м / a м  Ma. В сходственных точках Мам=Ман или Ma=idem, где Ма - число Маха (Маиевского), учитывающее сжимаемость жидкости. Легко установить, что при Ма<1 поток газа будет дозвуковым, а при Ма>1 - сверхзвуковым. Если принять во внимание другие силы, то аналогичным путем можно найти иные критерии частичного динамического подобия. В частности, если преобладающей силой является сила поверхностного натяжения, то получим критерий подобия Вебера: We=pu2l/ζ, где ζ - коэффициент поверхностного натяжения. Если преобладающая - выталкивающая (архимедова) сила - то число Архимеда Ar=gl(ρ-ρо)/(ρFr) = (ρ-ρо)/(ρFr). При неустановившихся течениях необходимо учитывать критерий подобия Струхаля Sh—l/ut и т. д. Произведения (частные) различных критериев подобия представляют собой новые критерии подобия рассматриваемых физических явлений. Это объясняется пропорциональностью всех характеризующих их параметров. Ранее уже было подчеркнуто, что обеспечить полное динамическое подобие невозможно. Покажем на примере, что это действительно так. Пусть заранее известно, что в натурном потоке действие сил тяжести, трения и инерции соизмеримо. Тогда при моделировании такого потока необходимо удовлетворить условия Re=idem и Fr=idem. Из первого условия следует u н l н / н  u м l м / м . Cледовательно, масштаб скорости тu = uн/им = lн/lм νм/νн) =m-1 mν. При моделировании геометрический масштаб обычно является заданным. Его назначают, исходя из возможностей лаборатории, экономических и других соображений. По второму условию u н2 / g н l н   u м2 / g м l м   Fr. И тот же масштаб окажется равным mu  u н / u м  l н / l м  m 0,5 . Приравнивая правые части полученных двух выражений для масштаба скорости, придем к выводу, что для одновременного удовлетворения двух критериев подобия Fr и Re необходимо на модели применить жидкость с другой вязкостью, причем масштаб вязкости должен быть найден из равенства mν/m=m0,5. Отсюда mν=m3/2. Так как mν=νн/νм, то νм=νнm2/3. Следовательно, на модели с меньшим, чем у натуры, размерами необходимо использовать жидкость с меньшей вязкостью. При моделировании потоков маловязких жидкостей, например воды, это обстоятельство приводит к серьезным затруднениям. При большем числе подлежащих учету сил положение, естественно, усугубляется. Автомодельность. Если какая-либо величина, характеризующая гидравлическое явление, не зависит от того или иного критерия подобия, то говорят, что она автомодельна по отношению к этому критерию. Например, коэффициент Шези С в квадратичной зоне сопротивления не зависит от числа Рейнольдса Re. Следовательно, он автомоделен к этому критерию. В той же зоне сопротивления и коэффициент гидравлического трения λ 218 автомоделен к числу Рейнольдса. При скоростях течения газов, не превышающих нескольких десятков метров в секунду, и при обычных температурах можно пренебречь влиянием их сжимаемости, т. е. можно такие течения считать автомодельными к числу Маха. Существование областей автомодельности существенно расширяет возможности моделирования гидравлических явлений, поскольку делает ненужным удовлетворять некоторым критериям подобия. Определяющие и неопределяющие критерии подобия. Течение жидкости описывается системой уравнений движения и неразрывности, начальными и краевыми условиями для искомых функций, т. е. условиями, накладываемыми на них в начальный момент времени и на границе области, занятой жидкостью. С другой стороны, течение жидкости полностью определяется геометрией потока и физическими свойствами жидкости. Эти условия по отношению к исходной системе уравнений являются внешними и независимыми от нее. Они однозначно определяют течение жидкости и называются условиями однозначности. Если критерии подобия составлены только из условий однозначности, то их называют определяющими критериями подобия. Остальные критерии относятся к числу неопределяющих, они зависят от определяющих критериев подобия. Поясним это на следующем примере. Пусть решается задача об определении перепада давления Δр в круглом трубопроводе диаметром d и длиной l, имеющем шероховатую внутреннюю поверхность с высотой выступов шероховатости Δ при заданных средней скорости движения жидкости v и кинематической вязкости ν. Перепад давления входит в критерий Эйлера Еи=рv/Δр. Этот критерий заранее определить нельзя, поскольку в него входит неизвестный перепад давления. Следовательно, критерии подобия Эйлера в данном случае является неопределяющим. Напротив, критерий подобия Рейнольдса легко находится по заданным (известным) значениям диаметра трубопровода, средней скорости и вязкости: Re=vd/ν. Критерий Рейнольдса в этой задаче выступает в качестве определяющего критерия. определяющими критериями будут также величины Δ/d и l/d. Обычно зависимость неопределяющего критерия от определяющих записывают в виде критериального уравнения, для нашего случая имеющего вид Eu=f(Red, Δ/d, l/d). Основные правила гидравлического моделирования В инженерной практике крайне важно правильно учесть специфику движения жидкости, что позволяет получить правильные выводы о движении натурного потока по данным исследований на модели. Рассмотрим основные правила моделирования гидравлических явлений для наиболее часто встречающихся случаев движения жидкости — в напорных системах, в открытых руслах и в сооружениях на них. Всегда надо исходить из следующих положений: Во-первых, необходимо некоторым образом схематизировать (упростить) рассматриваемое течение жидкости (натуру); во-вторых, необходимо отобрать основные физические факторы, определяющие вид течения в рамках принятой его схематизации для натурных условий. Этот этап достаточно сложен и зависит от уровня знаний и правильности представлений о характере процессов, происходящих в натурном потоке. Так как выбор той или иной схемы достаточно произволен и субъективен и в конечном счете может привести или к значительному искажению течения на модели (при выборе слишком упрощенной схемы), или к сложности воспроизведения течения на модели (при излишней детализации схемы); 219 в-третьих, необходимо обеспечить условия подобия модельного потока выбранной схематизации натурного потока. Моделирование напорных потоков Простейший анализ уравнений движения вязкой жидкости позволяет сделать вывод, что давление в пей изменяется под действием совокупности сил инерции, сил тяжести и сил трения. В напорных потоках сила тяжести вызывает только гидростатическое распределение давления. Ее роль для напорных потоков, как отмечалось выше, не существенна, а учитывающий ее действие критерий Фруда не имеет значения при моделировании напорных потоков. Таким образом, можно заключить, что определяющим критерием подобия при моделировании напорных потоков является число Рейнольдса. Критерий Эйлера, в формулу которого входит давление, в данном случае является неопределяющим. Раскрытие его функциональной связи с числом Рейнольдса и геометрическими характеристиками напорного потока Eu=f(Red, Δ/d, l/d) составляет основную цель моделирования напорных потоков. Для напорного трубопровода с круговым поперечным сечением эта связь часто представляется в виде зависимости p l v2 hl   , g d 2g т. е. формулой Дарси - Вейсбаха. В этом случае влияние числа Рейнольдса проявляется через коэффициент гидравлического трения    Re d ,  / d . Эксперименты показывают, что при больших числах Рейнольдса коэффициент λ не зависит от числа Рейнольдса Red - это область квадратичного сопротивления, или область гидравлически шероховатых поверхностей. Следовательно, в этой зоне λ автомоделен к числу Red и при моделировании напорных потоков в этой зоне не требуется равенство чисел Рейнольдса в натурном и модельном потоках. Условия подобия упрощаются и сводятся к требованию н  м    / d , т. е. должно соблюдаться лишь геометрическое подобие выступов шероховатости по внутренней поверхности труб. Может показаться странным, но удовлетворить условию (Δld)м =(Δ/d)н оказывается далеко не просто, так как это сопряжено иногда с поиском для модели материала с весьма гладкой поверхностью. Естественным условием моделирования напорных потоков в квадратичной зоне сопротивления является обеспечение на модели развитого турбулентного движения. Только тогда на модели будет обеспечена автомодельность коэффициента λ к числу Re. Для этого необходимо, чтобы для модельного потока число Рейнольдса превосходило граничное число Рейнольдса Reгр соответствующее нижней границе зоны квадратичного сопротивления: Reм>Rerpм. В случае равнозернистой шероховатости граничное число Рейнольдса может быть вычислено по зависимости 84d м Re Грм  , (7.25)  м н где dм - диаметр трубы модели; Δм — высота выступов шероховатости модельной трубы; λм=λн - коэффициенты гидравлического трения. Незначительно ухудшая точность, условие (7.25) можно заменить более простым условием, т. е. допустить на модели зону доквадратичного сопротивления, приняв 220 Re Грм  14d м , (7.26)  м н При моделировании гидравлических явлений размеры моделей, как правило, меньше натуры и геометрическим масштабом задаются исходя из ограничений, наложенных необходимостью соблюдения подобия шероховатости. Если νм=νн, т. е., если жидкость в натуре и на модели одна и та же (mν=1), то масштаб скорости определяют по соотношению Re н / Re Грм  mu mm1  mu m. Отсюда для минимально допустимого размера модели mu  Re н / m Re Грм . (7.27) Трубы, работающие в натурных условиях как гидравлически гладкие, могут моделироваться только при соблюдении критерия Рейнольдса Reм=Reн, так как в этом случае λ=λ(Re). Масштаб скорости при условии mν=1и заданном геометрическом масштабе т находится из условия Re н / Re Грм  mu m  1. Следовательно, тu=т-1. Таким образом, при моделировании напорных потоков поступают обычно следующим образом: 1) определяют для натурных условий зону сопротивле  ния Re н Re Грм ;  2) если Re н  Re Грм , то подбирают материал модели, стараясь обеспечить подобие шероховатости стенок (как правило, точное геометрическое подобие выступов шероховатости оказывается недостижимым), и назначают минимальный геометрический масштаб модели; 3) масштаб скорости вычисляют по формуле (7.27); 4) если ReнλН (для широких русл mλ= mh/ тl; 2) масштаб уклонов дна, очевидно, равен mi= mh/ тl; 3) масштаб скорости mu  m ; 4) масштаб расхода mQ= тl mh тu= тl mh3/2; 5) условие FrM=FrH при этом удовлетворяется; 6) если масштабы ширины и глубины совпадают, т. е. тb=тh, а искажается только продольный масштаб тl то масштаб расхода mQ=mh5/2 ; 7) соотношение масштабов ширины и глубины потоков обычно принимают равным тb/тh= 2-5, хотя иногда это соотношение доводят до mb/mh=10; 8) геометрическое искажение модели при mh<тl приводит к усилению влияния кривизны линий тока на модели. Если на модели будет установлено, что распределение давления по вертикали является близким к гидростатическому, то в натуре оно будет еще ближе к этому закону и влиянием продольного искривления струй можно пренебречь. Воздушно-напорное моделирование потоков со свободной поверхностью Другим весьма эффективным способом сокращения размеров модели является переход на воздушно-напорное моделирование потоков со свободной поверхностью. Суть его заключается в том, что, заменяя на воздушной модели свободную поверхность жесткой стенкой, переходят от рассмотрения безнапорного течения водных потоков в натуре к воздушному напорному модельному потоку. Это обстоятельство позволяет считать число Фруда неопределяющим критерием подобия. Тогда для обеспечения гидродинамического подобия в квадратичной зоне сопротивления достаточно удовлетворить на воздушно-напорной модели условию ReM≥RerpH. Другим преимуществом этого способа является возможность получения достаточно надежных результатов на моделях весьма небольших размеров (m=5000-20 000). Обоснование описываемого метода затрагивает широкий круг вопросов, в частности: обоснование самой возможности замены натурного безнапорного водного потока воздушным напорным потоком на модели; обоснование возможности замены 223 свободной поверхности жесткой стенкой, что нарушает граничные условия; обоснование возможности геометрического искажения модели и т. д. Дополнительные трудности связаны с тем, что свободная поверхность натурного потока часто является неизвестной, а ее конфигурация является целью поиска. Искажения, вносимые жесткой стенкой (обычно стеклом), сводятся к следующему: на жесткой стенке, имитирующей свободную поверхность, развиваются силы трения, которыми в натуре можно пренебречь; форму свободной поверхности на модели часто принимают плоской, что заведомо не соответствует свободной поверхности в натуре; давление на свободной поверхности в натуре постоянно, а на напорной модели переменно. Таким образом, воздушно-напорная модель потока является искаженной в любом случае и при ее использовании можно рассчитывать на достижение лишь приближенного подобия потоков. Если форма свободной поверхности натурного потока известна заранее, при воспроизведении ее жесткой стенкой на воздушно-напорной модели можно рассчитывать на получение хороших результатов. Лучших результатов при воздушно-напорном моделировании достигают в тех случаях, когда деформации свободной поверхности натурных потоков незначительны и их можно считать «плановыми». Для воздушно-напорной модели следует принимать ReM>20 000, а глубину (толщину) напорного потока не назначать менее 4 мм. Кроме того, чтобы сохранить автомодельность воздушного (сжимаемого) потока к критерию Маха, необходимо соблюдать условие uм≤60 м/с. Моделирование движения наносов и размывов русла Трудности моделирования гидравлических явлений существенно возрастают при необходимости прогнозирования результатов взаимодействия водных потоков с руслом. При проектировании мостовых переходов едва ли не самым важным является определение деформации русла (общих и местных размывов) в районе мостового перехода. От характера развития русловых деформаций зависит не только трансформация потока, но и надежность самого сооружения, стоимость строительных и эксплуатационных работ. Вряд ли можно надеяться получить вполне достоверные данные на модели для столь сложного явления, как взаимодействие пространственного потока с размываемым руслом. Лучше обстоит дело, если есть возможность обеспечить полное геометрическое подобие потока и слагающего русло материала. Но последнее применительно лишь к случаю, когда частицы материала являются достаточно крупными и несвязными (крупные и средние камни, обломки и т. п.). Если материал русла состоит из достаточно мелких несвязных частиц, например песка, то моделировать поведение такого русла в условиях его подвижности гораздо сложнее. Еще большие трудности возникают при моделировании размывов связных грунтов (суглинков, глин и т. п.). При проектировании сооружений различают местные и общие размывы русла. Местные размывы образуются в окрестности какого-либо локального препятствия на пути движущегося потока, например крупного камня, мостовой опоры, и связаны с местным переформированием поля скоростей в потоке. Общие размывы происходят на участках значительной протяженности и обусловливаются либо типом руслового процесса, либо серьезным нарушением естественного режима водотока искусственным сооружением, например сжатием потока подходными насыпями мостового перехода. 224 При моделировании размыва грунта водным потоком должно быть обеспечено подобие движения частиц грунта в натуре и на модели: при этом различают влечение их по дну и взвешивание частиц потоком. Для взвешенных частиц необходимо обеспечить подобие действующих на них подъемной силы и силы тяжести. Значительную роль при этом играет гидравлическая крупность частиц w, т. е. скорость их осаждения в покоящейся воде. Очевидно, в подобных потоках соотношение vfw должно быть одинаковым. Следовательно, масштаб гидравлической крупности mw должен быть равен масштабу скорости тu. При моделировании «по Фруду» m w  m u  m . Так как гидравлическая крупность w в общем случае зависит от числа Рейнольдса Red, где d диаметр частицы, то необходимо, чтобы выполнялось RedM=RedH, а это приводит к трудностям в подборе материала модельных частиц. Однако если Redн≥Redrpн, то, обеспечив условие Redм ≥RedГрм, можно при моделировании «по Фруду» рассчитывать на то, что форма и глубина местных размывов на модели будут подобны натуре. Обычно такие условия имеют место для дорожных водопропускных сооружений типа малых мостов, дорожных труб и т. п. Если Redн 1. 2 11 3 4 12 L1 h L2 1 Рис. 6.2.4.1. Схема для определения глубин с помощью буйковой системы Практически значения L1h не превышают 1,5. Буи всегда должны находиться над поверхностью воды. Средняя квадратичная погрешность измерения глубин этим способом составляет 8-10 %. По второй методике расстояние, на котором всплывает поплавок-интегратор от места его выпуска, определяют аэрофотосъемкой. Расход на вертикали, как это следует из теории поплавка-интегратора, q=ωl= uсрh. Среднюю скорость на вертикали uср представим как иср= К1uмакс, где uмакс - cкорость на свободной поверхности воды; коэффициент К1 приближенно принимают равным 0,85. Следовательно, ωl =K1uмаксh, откуда l h . K 1u макс Скорость всплывания поплавка-интегратора известна (ее заранее находят опытным путем), l и uмакс определяют с помощью аэрофотосъемки. Определение скорости течения и расходов воды. Скорости течения и расходы воды могут быть определены тремя способами: 1) с помощью аэрометодов измеряют кинематику потока на его свободной поверхности. Глубины измеряют наземными средствами; 2) кинематику потока измеряют на его свободной поверхности аэрометодами. Глубины измеряют также аэрометодами (с применением буйковых систем); 3) измеряют с самолета расходы воды на вертикалях (интеграционным способом). Сущность первого способа заключается в последовательном фотографировании с самолета или вертолета перемещающихся поплавков. Аэрофотосъемку выполняют так, чтобы на снимках получилось изображение берегов и неподвижных контурных точек. Продольное перекрытие между снимками должно составлять около 60 %. Если один из аэрофотоснимков сделан в момент времени t1, другой - в следующий момент t2. то разность t2-t1=∆t представляет собой интервал времени между экспозициями. 270 За время ∆t изображение поплавков (1, 2, ..., п на одном снимке; 1', 2', ..., п’ на другом снимке) под влиянием течения воды сместится. Смещение поплавков составит: l’1- l1= ∆l1; l’2- l2 = ∆l2, ..., 1'п- ln= Δln. Скорость движения поплавка uмакс= m ∆l/∆ t, где т - масштаб аэрофотосъемки, равный отношению высоты полета Н к фокусному расстоянию аэрофотокамеры f. Следовательно, uмакс= ∆lH/∆ tf. Высоту измеряют при помощи радиовысотомера с погрешностью, не превышающей 2-3 м. Время t определяют с точностью до 0,1 с. Последовательное фотографирование изучаемого участка реки с самолета позволяет по смещению соответствующих точек 1 и 1', 2 и 2' , ..., п и п’ построить план течений, так как линии перемещения указанных точек являются траекториями движения поверхностных поплавков. Для маркировки поверхности воды применяют поплавки, выпускаемые с судна, листы белой бумаги, сбрасываемые с самолета, льдины во время ледохода, пятна машинного масла, сброшенного с самолета в стеклянных ампулах. При масштабе аэрофотосъемки 1:5000, скорости течения воды 1-2м/с, скорости ветра 2-3м/с, примерно симметричном распределении скоростей и глубин относительно центра аэрофотосъемки средняя квадратичная погрешность определения расходов в основном русле составляет 5-6 %. При соблюдении этих же условий, но для поймы при скоростях 0,1-0,5м/с погрешность возрастает до 10-12 % . Аэрогидрометрический метод определения расходов воды в реках. В основные уравнения для расхода Q=ωV входят кинематические элементы потока. Это дает возможность более эффективно использовать аэрогидрометрические методы. При измерении скоростей поверхностными поплавками расход воды Q определяют по средним поверхностным и наибольшим скоростям по формулам: Q=K1ωVпов; Q=K2ωvмакс, где K1 и K2 – переходные коэффициенты (при рекогносцировочных обследованиях рек принимают средние значения K1= 0,85 и К2= 0,65); Vпов – средняя поверхностная скорость; vмакс - наибольшая поверхностная скорость; ω – площадь водного сечения. Точность определения расходов гидравлико-гидрометрическим способом ниже, чем при измерении скоростей вертушками во всем живом сечении. Определение расходов воды речных потоков по уклону и живому сечению При известных значения продольного уклона водной поверхности I и живого сечения ω определения расхода воды в реке используют основное уравнение для расхода Q=ωVср. При этом средняя скорость течения воды в реке определяется по формуле Vср  С RI , м / с, где R – гидравлический радиус, м; для рек принимается равным R = 2/3 Н (для широких рек R≈ Н). Здесь Н – максимальная глубина реки в расчетном створе; I – продольный уклон реки; С – коэффициент Шези, который определяется по формуле С  1 / nR1 / 6 . Здесь n – коэффициент шероховатости, который определяется по таблицам. Определение расходов наносов и мутности Чтобы определить расход взвешенных наносов, проходящих через поперечное сечение реки в одну секунду, необходимо взять пробу на мутность в основном гидрометрическом створе на всех вертикалях и одновременно измерить скорости течения. 271 Для взятия проб на мутность применяют батометры как мгновенного, так и длительного наполнения. Наиболее распространенным прибором из первой группы является батометр Жуковского. Ко второй группе относятся батометр-тахиметр и батометр-бутыль системы Полякова. Батометр Жуковского представляет собой стальной цилиндр с двумя захлопывающимися крышками по торцам, подвешенный на тросах. Опустив батометр с открытыми крышками на требуемую глубину, так чтобы продольная ось прибора была направлена по течению, дергают за шнур и таким образом освобождают рычаги крышек от задерживающих их собачек. Крышки под действием пружин захлопываются и плотно закрывают цилиндр с обоих концов. После взятия пробы прибор поднимают вверх. Этот прибор мгновенного, наполнения пригоден для взятия проб в «точке». Батометр-тахиметр опускается на штанге; им одновременно измеряется скорость течения и берется проба воды для определения мутности. Батометр системы Полякова состоит из трехлитровой бутылки, прикрепленной к грузу обтекаемой формы. Бутыль снабжается двумя трубками, по одной из которых втекает жидкость, по другой воздух из бутылки выходит вверх. Предварительно это приспособление тарируется, т. е. определяется скорость входа (по скорости наполнения бутылки) при различных скоростях течения. Батометр снабжен грузом и направляющим хвостом. Определение расхода взвешенных наносов сводится к измерению площади живого сечения реки, измерению скоростей в различных точках и к определению мутности потока в этих же точках. Мутность - количество твердых частиц (по массе), содержащихся в единице объема жидкости, кг/м3, определяется по формуле ρ = G / W, где G — масса твердых частиц после выпаривания пробы воды, кг; W — объем пробы воды, м3. Измерение мутности производится на скоростных вертикалях в следующих точках: у дна на 0,8h; 0,6h; 0,2h и у поверхности воды. При глубине более 9 м вводится дополнительная точка 0,95h, а при глубине менее 1 м ограничиваются тремя точками: 0,8h, 0,6h и 0,2h. При глубине менее 0,3 м измерения ведутся в одной точке: 0,6h. Определив скорости течения V и мутность р, можно вычислить удельный расход взвешенных наносов на вертикали по формуле k = ρ V h. Определение количества донных (влекомых) наносов осуществляется на гидрометрических створах путем опускания на дно реки специальных ловушек. Донные наносы, захваченные ловушкой, взвешиваются. Однако при опускании на дно ловушки изменяют картину распределения донных скоростей, а, следовательно, и наносов, что может привести к искаженным результатам. Для ориентировочного расчета среднемноголетнего расхода донных наносов So, т/с, можно пользоваться формулой S0 = kS. где S0 - среднемноголетний расход взвешенных наносов, определенный по гидрометрическим наблюдениям, т/с; k — коэффициент, принимаемый равным 0,05 - 0,1 для равнинных рек и 0,1 - 0,5 – для горных рек. Измерение толщины льда Толщину льда определяют с помощью ледомерной рейки, имеющей на нижнем конце выступ, который касается нижней поверхности льда. Для определения слоя шуги применяют специальные шугомерные рейки Добрянского и Грошева, представляющие собой шест длиной 4 - 5 м, размеченный дециметровыми делениями, с двумя приваренными под прямым углом к его концу стержнями (рогатульками). При подъеме 272 рейки вверх рогатульки, достигнув слоя шуги, испытывают некоторое сопротивление, что и определяет нижнюю границу шуги. 2.2.3. Обработка результатов измерений Графики колебаний уровней Графики колебаний уровней строятся на основании измерений уровней воды на водомерном посту. Как отмечено выше, измерение высоты уровня производится от ноля графика гидрологического поста (ноль поста). Отсчеты по рейке производятся с точностью до 1 см и заносятся в полевую книжку на месте наблюдений. Для каждых суток вычисляют среднее арифметическое значение уровня из наблюдений за сутки. Затем находят среднее состояние уровня за месяц. Результаты обработки сводятся в таблицу, в которой для каждого месяца записываются средние значения уровней, а в особых графах вписываются минимальные и максимальные уровни воды (табл. 2.1). Таблица 2.1 Таблица наблюдений на гидрологическом посту 51. р. ОЯТЬ - д. ТИМОФЕЕВСКАЯ Высота нуля графика 53,00 м БС Уровни воды Число I 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Средн. Высш. Низш. II Ш 1У У У1 УII УШ IX X XI 168 158 149 293 242 269 172 170 164 145 169 158 150 288 231 281 173 168 164 145 168 158 152 28I 226 286 172 186 164 144 167 159 152 274 220 275 172 211 164 143 166 159 152 298 216 266 181 218 164 143 165 159 152 340 209 260 246 220 163 144 164 158 156 391 200 254 330 215 162 144 164 157 158 421 204 256 351 211 162 144 164 157 159 438 272 256 347 208 161 145 164 156 160 448 304 254 328 203 161 146 164 156 161 479 287 248 298 198 160 148 163 156 163 508 272 238 271 193 158 146 162 156 166 541 287 230 250 190 156 145 162 155 170 548 292 223 234 190 148 146 162 155 178 536 283 216 223 194 154 146 162 154 210 376 259 217 219 187 154 145 169 159 318 548 317 287 352 220 164 151 157 146 149 248 190 166 171 165 143 143 Средний годовой 202. Высший 548 14/У. Низший летний 159 II/Х. Низший зимний 134 22/Х. I 175 178 180 182 182 183 183 184 185 185 184 183 182 180 179 177 185 169 ХII 148 150 152 154 155 154 154 154 155 155 154 162 182 184 183 160 184 147 По данным таблицы вычерчивают графики колебаний уровней (рис 6.2.1.2, а). Рис. 6.2.1.2. Графики колебаний уровней 273 Кривые связи уровней воды по водомерным постам. Если два водомерных поста, расположенных на одной и той же реке, находятся на аналогичных участках реки, и если между ними нет значительных притоков, то график колебаний уровня воды одного поста будет синхронно повторять график колебаний уровня воды другого поста, даже если эти посты находятся на значительных расстояниях друг от друга. Для проверки и восстановления пропуска наблюдений строят график связи соответственных уровней таких постов. Соответственными уровнями двух постов называются уровни, отвечающие одинаковым фазам колебания уровней (пики и впадины или уровни, определенные с учетом времени добегания). Для построения графика связи уровней водомерных постов используют данные синхронных наблюдений на этих постах за один и тот же период и строят совмещенный график колебаний уровней воды (рис. 6.2.1.2, а). На обеих кривых выбирают сходственные точки как понижения, так и повышения уровней. Уровни, соответствующие точкам, выписывают в таблицу. По данным таблицы строят график связи, откладывая по оси абсцисс уровни над нулем графика нижнего водомерного поста, а по оси ординат - уровни над нулем графика верхнего водомерного поста (рис. 6.2.1.2, б). График связи двух уровней водомерных постов позволяет по одному из них восстановить недостающие данные другого, пропущенные наблюдениями, максимальные и минимальные уровни. Рис. 6.2.1.2. Графики колебаний уровней а) графики колебаний уровней на нижнем и верхнем водомерных постах; б) кривые связи уровней воды по водомерным постам Гидрограф Если на гидрометрическом посту имеется ряд наблюдений, то можно построить гидрограф - график изменения во времени расходов воды за год или часть года (сезон, половодье или паводок) (рис. 6.2.3.2). Рис. 6.2.3.2. Гидрограф 274 Важной расходной характеристикой реки является гидрограф половодья (паводка) - график, характеризующий изменение расходов воды за период половодья или паводка. Основными характеристиками гидрограф половодья являются: величина максимального (Qm) и среднего (Qcp) расходов воды, общая продолжительность (Т), продолжительность периодов подъема (tn) и спада ((tсп), объем стока за весь период половодья или паводка (W), а также за время подъема (Wn) и спада (Wсп), коэффициенты асимметричности гидрографа половодья γ1 = tсп / tn, γ2 = Wсп / Wn и др. Кривые связи расходов и уровней воды в реке Если на гидрометрическом посту имеется ряд наблюдений, то можно также построить кривые связи расходов, площадей и средних скоростей потока и ширины потока с уровнями воды в реке H, то есть графики Q = Q(Н), W = W(Н), V = V(Н), В = В(Н). При этом график зависимости расхода от уровней воды Q = Q(H) принято называть кривой расхода (рис. 6.2.3.3). Н V = V(H) Q = Q(H) ω= ω(H) Нзад B = B(H) H – глубина; Q – расход; W – площадь водного сечения; B – ширина; V - скорость течения. Q ω B V Рис. 6.2.3.3. Кривые связи расходов воды (кривая расходов), площадей живых сечений, средних скоростей потока и ширины потока с уровнями воды в реке H При отсутствии данных гидрометрических наблюдений за уровнями и расходами воды в заданном створе производится экстропаляция кривых расходов воды в следующей последовательности: 1. Строится график зависимости ширины реки от уровня В = В(Н). Для этого используют данные топографической карты (схемы местности). При этом уровни определяют по горизонталям местности, а ширину – по расстояниям между ними. Для определения ширины при промежуточных отметках, а также расчета площади водного сечения может строиться поперечный профиль реки. 2. Строится график зависимости площади водного (живого) сечения от глубины ω= ω(Н). 275 При этом площадь водного сечения для соответствующего глубины определяется путем планиметрирования по поперечному профилю реки (если он строится) или по упрощенной формуле   2 / 3В Н , м2 , где В – ширина реки при соответствующих уровнях (отметках), м; Н – глубина реки при тех же уровнях, м. 3. Строится график зависимости скорости течения от глубины V = V(Н). При этом средняя скорость течения для соответствующей глубины реки определяется по формуле Vср  С RI , м / с, где R – гидравлический радиус, м; для рек принимается равным R = 2/3 Н. Здесь Н – глубина реки при соответствующих отметках уровня воды. I – продольный уклон реки, определяется по данным топографической карты. С – коэффициент Шези, который определяется по формуле С  1/ n  R1/ 6 . Здесь n – коэффициент сопротивления. Максимальная скорость течения реки для соответствующей глубины может определяться по формуле Vмакс  Vср / 0,85, где Vср – средняя скорость течения воды в реке, м/с. 4. Строится график зависимости расхода воды от уровня Q = Q(Н). При этом расход воды в реке для соответствующей глубины определяется по формуле Q   Vср , 2 где ω площадь водного сечения, м ; Vср – средняя скорость течения воды в реке, м/с. 5. С использованием подготовленных графиков по данным расчетного расхода воды (Qр,м или Qр,макс) определяют прогнозируемые (ожидаемые) характеристики реки: глубину (уровень) воды и соответствующие ей ширину В, скорость течения Vср (Vмакс) и площадь живого (водного) сечения ω. 2.3. ГИДРОЛОГИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ 2.3.1. Задачи и содержание расчетов по определению гидрологических характеристик Задачи, решаемые в процессе гидрологических расчѐтов, можно разделить на следующие основные группы: 1) расчѐты стока воды, в том числе нормы годового стока, максимальных расходов половодий и паводков, внутригодового распределения стока, минимальных расходов воды, продолжительности бессточного периода (перемерзания и пересыхания рек), гидрографов половодий и паводков; 2) расчѐты гидрометеорологических элементов водных объектов, в том числе испарения с поверхности воды и суши, атмосферных осадков; 3) расчѐты водного баланса отдельных водных объектов; 4) расчѐты стока наносов, переформирования берегов и заиления водохранилищ; 5) расчѐты динамики водных масс, в том числе элементов ветрового волнения, сгонно-нагонных денивеляций водной поверхности, течений; 6) расчѐты характеристик термического режима, в том числе сроков замерзания и вскрытия водоѐмов, толщины льда и снега, температуры воды; 7) расчѐты гидрохимических характеристик, в частности минерализации воды водоѐмов и содержания в ней отдельных компонентов. Решение всех этих задач достигается несколькими методами, основными из которых являются балансовый и метод математической статистики. 276 2.3.2. Нормативные документы Основные положения гидрологических расчѐтов изложены в СНИП 2.01.14-83 «Определение расчетных гидрологических характеристик». В дополнение к СНИП 2.01.14-83 издано «Пособие по определению расчетных гидрологических характеристик», где излагаются методы и практические приемы расчета основных гидрологических характеристик, используемых при строительном проектировании. 2.3.3. Гидрологическое прогнозирование Гидрологические прогнозы - один из основных разделов прикладной гидрологии. Гидрологические прогнозы определяются как научные предсказания развития того или иного процесса, происходящего в реке, озере или водохранилище. По характеру предсказываемых элементов режима гидрологические прогнозы делят на водные и ледовые. К водным гидрологические прогнозы относятся прогнозы объѐма сезонного и паводочного стока, максимальных расходов воды и уровня половодья или паводка, средних расходов воды за различные календарные периоды, времени наступления максимума половодья и др.; к ледовым гидрологические прогнозы относятся прогнозы сроков вскрытия и замерзания рек, озѐр, водохранилищ, толщины льда и др. Гидрологические прогнозы бывают краткосрочные — на срок до 15 суток и долгосрочные - на срок от 15 суток до нескольких месяцев. По целевому назначению различают прогнозы для гидроэнергетики (приток воды в водохранилища гидроэлектростанций), для водного транспорта (прогнозы уровня воды по судоходным рекам), для ирригации (прогнозы стока рек за период вегетации). 2.3.2. Применение математической статистики для определения расчетных гидрологических характеристик Методы получения гидрологических характеристик стока Прежде всего, подчеркнем, что определение расчетных гидрологических характеристик должно основываться на данных гидрометеорологических наблюдениях, опубликованных в официальных документах (гидрологических ежегодниках, водных кадастрах), а при необходимости, например, при проектировании важных объектов, на дополнительном учете данных гидрометрических инженерных изысканий, выполняемых непосредственно на водном объекте. В соответствии с рассмотренными нормативными документами при определении расчетных гидрологических характеристик могут применять следующие методы (приемы) расчетов: а) при наличии данных гидрометрических наблюдений – непосредственно по этим данным; б) при недостаточности данных гидрометрических наблюдений – при ведении их к многолетнему периоду по данным рек – аналогов с более длительными рядами наблюдений; в) при отсутствии данных гидрометрических наблюдений – по формулам с применением данных о реках – аналогах и картам, составленным на основе совокупности данных наблюдений всей сети гидрометрических станций и постов данного района или более обширной территории. Прогнозирование расходов воды в реке при наличии данных гидрометрических наблюдений 277 Определение расчетных гидрологических характеристик при наличии данных гидрометрических наблюдений достаточной продолжительности (N ≥ 25 лет) осуществляется путем применения функций распределения вероятности превышения (кривых обеспеченности). Основой построения кривой обеспеченности служит ряд эмпирических данных гидрометрических наблюдений за стоком воды, например, расходов воды в реке. Имеющиеся данные гидрометрических наблюдений ранжируют, т.е. располагают данные эмпирических наблюдений в убывающем порядке. а) Ранжированный ряд наблюдений расходов воды за N лет (N > 50 лет) Q, м3/с 25 в) Кривая обеспеченности Q = f(p) Q = f(p) Q 20 Qp=10% 15 Qo 10 5 N, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 … N лет p=10% 50% p,% Рис. 7.2.2.1. Прогнозирование расходов воды в реке при наличии данных гидрометрических наблюдений (путем построения кривых обеспеченности) Определяется эмпирическая ежегодная вероятность превышения расходов воды Pm = m / (n+1) 100%, где m-порядковый номер члена ряда; n-общее число членов ряда. Полученные данные наносятся на график Q = f(p). К полученному семейству точек подбирается аналитическая кривая обеспеченности или проводится сглаженная (усредняющая) эмпирическая кривая обеспеченности: Кривая обеспеченности характеризует распределение расходов воды и показывает, в каком числе случаев, выраженном в процентах, из общего числа, принятых за 100%, будет наблюдаться или превышена (не превышена) данная величина среднегодового расхода. При этом термин «вероятность превышения (обеспеченность)», например, р = 1% означает, что превышение расхода вероятно в одном случае из 100, а «вероятность превышения (обеспеченность)», например р = 99% указывает, что расход воды обеспечен в 99 случаях из 100. Иногда в расчетах используют термин повторяемость расходов воды в зависимости от водности года. Соотношения величин обеспеченности р (%) и повторяемости m представлены в таблице 7.2.2.1. Таблица 7.2.2.1 Соотношения величин вероятности превышения (обеспеченности) р% и повторяемости m Водность года Обеспеченность, Повторяемость, m Расчет значений р р (%) (%) и m катастрофически 0,1 1 случай из 1000 m = 100/р многоводный 278 очень многоводный многоводный средне многоводный средней водности средне маловодный маловодный очень маловодный Катастрофически маловодный 1 5 10 50 90 95 99 99,9 1 случай из 100 1 случай из 20 1 случай из 10 1 случай из 2 1 случай из 10 1 случай из 20 1 случай из 100 1 случай из 1000 m = 100/(100-р) Кривая обеспеченности обычно характеризуется тремя параметрами: средним арифметическим значением ряда Qо, коэффициентом вариации (изменчивости) СV и коэффициентом асимметрии СS. Эти параметры кривой распределения (обеспеченности) являются обычно вполне достаточными при решении гидрологических задач. С их помощью может быть установлена вероятность превышения или не превышения конкретного (заданного) значения стока (например, расхода воды). Для вычисления величин, характеризующих кривую обеспеченности, используют методы математической статистики. Среднее многолетнее значение расхода воды определяют по формуле n Qo  (  Qi ) / n, i 1 где Qi – среднегодовое значение расхода воды; n – число лет гидрометрических наблюдений. Коэффициент вариации СV характеризует изменчивость ряда наблюдений и определяется по формуле  n  СV    ( K i  12 )  /(n  1),  i 1  Коэффициент асимметрии СS характеризует несимметричность кривой обеспеченности и определяется по формуле n   С S   n   ( К i  1) 3  / CV3  (n  1)  (n  2) .  i 1  В этих формулах Кi – модульный коэффициент года наблюдений i; N – число лет наблюдений. Задачи по определению расчетных гидрологических характеристик при недостаточности данных наблюдений является промежуточной между рассмотренной нами и задачей по прогнозированию гидрологических характеристик при отсутствии данных гидрометрических наблюдений. Поэтому более подробно рассмотрим решение задачи по прогнозированию характеристик стока, например, расхода воды в реке при отсутствии данных гидрометрических наблюдений. Прогнозирование расходов воды в реке расчетной вероятностью превышения (обеспеченностью) при отсутствии данных гидрометрических наблюдений Как отмечалось выше, при отсутствии данных гидрометрических наблюдений определение расчетных гидрологических характеристик, например, расхода воды осуществляется по формулам с применением данных о реках – аналогах и картам, составленным на основе совокупности данных наблюдений всей сети гидрометрических станций и постов данного района или более обширной территории. 279 Задача по прогнозированию расхода воды в реке Qр% расчетной вероятностью превышения (обеспеченностью) р (%) решается в следующем порядке: 1. Определяют исходные данные, которые включают: место расположения (координаты) створа реки; размер площади водосбора реки F для заданного створа; координаты с центра площади водосбора; заданный месяц (декада месяца) года, для которого определяется расход воды; расчетная вероятность превышения (обеспеченность) расхода воды в реке р%, которая устанавливается по данным гидрометеорологического прогноза. 2. Рассчитывают расход воды в реке расчетной вероятностью превышения (обеспеченностью) в заданный период времени в следующей последовательности: 2.1. По карте «Среднемноголетний годовой сток рек» для соответствующих координат центра площади водосбора определяют нормальный модуль стока Мо, л/с км2. 2.2. Вычисляют среднемноголетний расход воды в реке Qо по формуле M F 3 Qo  o , м /с. 1000 2.3. По карте «Коэффициент вариации среднемноголетнего годового стока рек для соответствующих координат центра площади водосбора определяют коэффициент вариации СV . 2.4. По карте «Районирование величин соотношения СS /CV для среднемноголетнего годового стока рек» для соответствующих координат центра площади водосбора определяют отношение СS /CV и вычисляют коэффициент асимметрии СS по формуле С S  (C S / CV )  CV . 2.5. По таблице «Отклонение ординат кривой обеспеченности от середины в соответствии с заданной расчетной вероятностью превышения (обеспеченностью) р (%) и вычисленным коэффициентом асимметрии СS определяют величину отклонения ординат кривой обеспеченности от середины ар%. 2.6. вычисляют модульный коэффициент года заданной расчетной вероятностью превышения (обеспеченностью) р (%) по формуле К р  1  а р СV . 2.7. Вычисляют среднегодовой расход воды Qр года заданной расчетной вероятностью превышения (обеспеченностью) р(%) по формуле Q р  К р  Qо. 2.8. По таблице «Внутригодовое распределение стока рек в модульных коэффициентах» для заданного месяца (декады месяца) года определяют модульный коэффициент заданного месяца Км (или декады месяца Кд). 2.9. Вычисляют среднемесячный Qм (или среднедекадный Qд) расход воды в реке заданной расчетной вероятностью превышения (обеспеченности) по формуле Q рм  К м  Q р. Вычисленная величина среднемесячного Qрм (или среднедекадного Qрд) расхода воды заданной расчетной вероятностью превышения (обеспеченностью) р (%) используют в дальнейших расчетах, например, при решении задач по определению времени наполнения водохранилища при проектировании пассивного затопления местности. По вычисленному расходу воды могут также прогнозироваться характеристики реки в заданном створе, например, определяться ширина, глубина и скорость течения реки в требуемый момент времени. Прогнозирование максимальных расходов воды в реке расчетной 280 вероятностью превышения (обеспеченностью) Под максимальным стоком понимается наибольший расход воды, объем или слой стока за многоводную фазу – половодье или паводок. Максимальный расход воды в реке может рассчитываться в целях: а) оценки возможных масштабов затоплений в период половодья или паводка; б) обеспечения безаварийной работы сооружений на водных объектах, в частности, при проектировании сооружений различного назначения: водоподпорных (плотин), транспортных (мостов), гидроэнергетических (ГЭС) и др., а также обеспечения безопасности прилегающих к водным объектам территорий, где предусматривается строительство объектов. При этом максимальные расходы воды в реке для различных сооружений и территорий определяются с учетом расчетной вероятностью превышения (обеспеченностью) максимальных расходов воды в реке и регламентируется строительными нормами. В частности, расчетная вероятность превышения (обеспеченность) определяется: для водоподпорных сооружений – классом (параметрами) плотин; для мостов – категорией моста; для территорий, подлежащих застройке – предназначением объектов. В таблице 4.2.1.1 приведена расчетная вероятность превышения (обеспеченность) максимальных расходов воды в реке для мостовых переходов и дорожных труб. Максимальные расходы воды в реке, как отмечалось выше, могут вызваться талыми водами (половодье) и дождевыми или ливневыми водами (паводок) в расчетах используют большее значение из этих двух видов максимальных расходов. Рассмотрим определение максимальных расходов воды весеннего половодья. Исходными данными для определения максимального расхода воды в реке (рис. 7.2.4.1) являются: место расположения (координаты) створа реки; размер площади водосбора F для заданного створа; координаты центра площади водосбора; относительная озерность площади водосбора, fоз, %; относительная занесенность площади водосбора, fл, %; относительная заболоченность площади водосбора, fБ, %; относительная распаханность водосбора, fа; %; расчетная вероятность превышения (обеспеченность) максимального расхода воды в реке, р (%). При этом расчетная вероятность превышения (обеспеченность) максимального расхода воды в реке р (%) принимается: при оценке возможных масштабов затоплений – по данным прогноза Федеральная служба по гидрометеорологии и мониторингу окружающей среды; при строительстве сооружений – по данным строительных норм в зависимости от класса (категории) сооружения (см. табл. 4.2.1). Максимальный расход воды в реке весеннего половодья. При отсутствии данных гидрометрических наблюдений максимальный расход воды в реке весеннего половодья Qp (м3/с) расчетной вероятностью превышения (обеспеченностью) р (%) вычисляется по формуле Q р  ho  К р  К вп мF /( F  в ) n , где ho – средний многолетний слой стока, мм, определяемый по карте «Среднемноголетний слой стока половодья рек РФ»; Кр- модульный коэффициент слоя стока расчетной вероятностью превышения (обеспеченностью) р (%), определяемый в зависимости от коэффициента вариации С V, устанавливаемого по карте «Коэффициент вариации среднемноголетнего слоя стока половодья рек РФ», отношения СS /CV этой величины, устанавливаемого по карте 281 «Районирование значений соотношения СS /CV для весеннего половодья рек РФ‖» и величины отклонения ординат кривой распределения от середины ар, устанавливаемого по таблице. При этом Кр вычисляется по формуле: К р  1  а р С . Здесь Квп – параметр, характеризующий дружность весеннего половодья, определяется по таблице. М – коэффициент, учитывающий неравенство статистических параметров слоя стока и максимальных расходов воды, принимается по таблице; F – площадь водосбора, км2; в – параметр, учитывающий снижение интенсивности редукции максимального стока с уменьшением площади водосбора, принимается по таблице 4.6, приложение 4; n – показатель степени редукции, принимается по таблице. δ – коэффициент, учитывающий снижение максимального расхода воды за счет озер, в залесенных и заболоченных бассейнах, а также под влиянием агротехнических мероприятий. Этот сборный коэффициент определяется по формуле   Ко  К л  К  Ка Здесь Ко – коэффициент, учитывающий снижение максимального стока реки за счет озер, определяется по формуле К о  1/(1  Сf 03 ) где С – коэффициент, принимаемый в зависимости от величины среднего многолетнего слоя весеннего стока по таблице; f03 – относительная озерность площади водосбора (%). Если озера расположены на водосборе, вне главного русла и основных протоков (внутриболотные озера), значение коэффициента Ко следует принимать равным 0,8, независимо от степени озерности. При относительной озерности площади водосбора менее 2% (f03 < 2%) коэффициент Ко принимается равным единице. Для горных рек коэффициент Ко также принимается равным единице. Кл – коэффициент, учитывающий снижение максимальных расходов воды в залесенных бассейнах, определяется по формуле К л  а( f л  1) n где n' – коэффициент редукции, принимаемый по таблице; а – параметр, учитывающий расположение леса на водосборе, принимается по таблице 4.8., приложение 4; fл – относительная заселенность площади водосбора, %. При залесенности менее 3% или при проточной озерности более 20% коэффициент Кл принимается равным 1. Для горных рек коэффициент Кл также принимается равным единице. Кδ – коэффициент, учитывающий снижение максимального расхода воды заболоченных водосборов, определяется по формуле К  1  l (0.1 f   1) где β – коэффициент, учитывающий тип болот и состав почвогрунтов вокруг болот, принимаемый по таблице. fδ – относительная площадь болот на водосборе (заболоченность), %. При заболоченности водосбора менее 3% или при относительной озерности более 6,4% коэффициент Кδ принимается равным единице. Ка – коэффициент, учитывающий снижение максимального расхода воды под влиянием агротехнических мероприятий (распашки водосбора под сельскохозяйственные ' 282 угодья). Рассчитывается для рек с площадью водосбора F  200 км2, определяется по таблице. На реках с площадью водосбора F > 200 км2 коэффициент Ка принимается равным единице. Для горных рек коэффициент Ка также принимается равным единице. Максимальные расходы воды дождевых паводков. Максимальные расходы воды дождевых паводков расчетной вероятностью превышения (обеспеченностью) р% определяются по формуле Q р , л  q 200 (200 / F ) n  1 р % F где q200 – модуль максимального мгновенного расхода воды ежегодной вероятностью превышения (обеспеченностью р = 1%, приведенный к площади водосбора 200 км2, определяется по карте «Параметр q200 вероятность превышения р = 1%», м3/с км2; F – площадь водосбора, км2; n – показатель степени редукции максимального модуля дождевого стока, определяется по карте. λр% - переходный коэффициент от максимальных мгновенных расходов воды ежегодной вероятностью превышения р = 1% к максимальным расходам воды другой вероятностью превышения (обеспеченностью) р%; принимается по карте и таблице. δ1 – коэффициент, учитывающий снижение максимального расхода воды дождевых паводков за счет озер, заселенных и заболоченных бассейнов, агротехнических мероприятий, средней высоты водосбора. Этот сборный коэффициент определяется по формуле 1  К о1  К л1  К 1  К а1  К В1. Здесь Ко1 – коэффициент, учитывающий снижение максимальных расходов воды дождевых паводков за счет озер, определяется как и при расчете максимальных расходов воды весеннего половодья по формуле К о1  1 /(1  сf о3 ), где коэффициент с принимается равным 0,11. Для горных рек коэффициент Ко1 принимается равным единице. Кл1 – коэффициент, учитывающий снижение максимальных расходов воды дождевых паводков в залесенных бассейнах, определяется как и при расчете максимальных расходов воды весеннего половодья по формуле К л1  а /( f л  1) n . Для горных рек коэффициент Кл1 принимается равным единице. Кδ1 – коэффициент, учитывающий снижение максимального расхода воды вследствие заболоченности водосбора, определяется, как и при расчете максимальных расходов воды весеннего половодья по формуле К 1  1  lq(0,1 f   1), где коэффициент β принимается равным 0,5. Для горных рек коэффициент Кδ1 принимается равным единице. Ка1 – коэффициент, учитывающий снижение максимальных мероприятий (распаханности водосбора). Определяется для рек с площадью водосбора F  200 км2, как и при расчете максимальных расходов воды весеннего половодья. На реках с площадью водосбора F > 200 км2, коэффициент Ка1 принимается равным единице. Для горных рек коэффициент Ка1 также принимается равным единице. КВ1 – коэффициент, учитывающий изменение параметра q200 с изменением средней высоты водосбора в горных районах, определяется по таблице. Для равнинных районов коэффициент КВ1 принимается равным единице. Вычисленные максимальные расходы воды весеннего половодья Qр,т и дождевого паводка Qр,л сравниваются, и берется наибольший из них, который принимается за ' 283 максимальный расчетный расход Qр,макс и учитывается при оценке затоплений местности или при проектировании сооружений. 2.3.3. Краткие сведения о регулировании речного стока Комплексное использование водных ресурсов Рациональное использование водных ресурсов рек требует увязки интересов всех водопользователей и водопотребителей, установления частного и суммарного их водопотребления и соответствия водопотребления водоносности используемых водотоков. При недостаточной водоносности речного потока запросы всех водопотребителей не могут быть удовлетворены в полной мере. В таких случаях водой обеспечиваются только наиболее рентабельные и важные для народного хозяйства водопотребители или для них вводится ограниченное водопотребление. Это обстоятельство вызывает необходимость при водохозяйственном строительстве выполнять специальные расчеты, направленные на выявление потребностей в воде, и решать вопрос, насколько эта потребность может быть удовлетворена данным водотоком при регулировании его стока. Эти расчеты, конечной целью которых является составление плана водопотребления, называются водохозяйственными расчетами или водохозяйственным проектированием. Схемы комплексного использования и охраны водных ресурсов разрабатываются в целях определения водохозяйственных и иных мероприятий для удовлетворения перспективных потребностей общества в водных ресурсах, обеспечения рационального использования и охраны водных объектов, а также для предотвращения и ликвидации вредного воздействия вод (Водный кодекс РФ, 1995г., ст. 76). Намечаемые в схемах мероприятия должны быть направлены на решение следующих задач:  гарантированное обеспечение потребностей населения и отраслей экономики в водных ресурсах с приоритетом хозяйственно-питьевого водоснабжения, рационализация водопользования в промышленности, сельском и коммунальном хозяйстве;  защита населения и объектов экономики от наводнений и подтоплений, сведение к минимуму ущербов от вредного воздействия вод;  снижение антропогенной нагрузки и загрязнения водных объектов, улучшение их экологического состояния;  обеспечение безопасности и эксплуатации гидротехнических сооружений;  развитие системы наблюдений, анализа и прогнозирования на водных объектах, водохозяйственных системах и сооружениях;  совершенствование системы государственного управления водными объектами;  разработка нормативного правового, научного и методического обеспечения. В целях определения основных направлений развития водного хозяйства, использования и охраны вод в целом по Российской Федерации разрабатывается Общая федеральная схема - Схема комплексного использования и охраны водных ресурсов Российской Федерации. В целях обеспечения рационального использования и охраны вод в бассейнах водных объектов разрабатываются бассейновые схемы с выделением показателей по соответствующим территориям субъектов Российской Федерации. Бассейновые схемы трансграничных водных объектов разрабатываются в соответствии с международными договорами Российской Федерации. В схемах учитываются интересы всех участников водохозяйственного комплекса и рассматривается использование водных объектов для питьевого и хозяйственно-бытового водоснабжения, для промышленности, энергетики, сельского хозяйства, для гидроэнергетики, рыбного хозяйства, водного транспорта, лесосплава, для рекреации, 284 лесного хозяйства, для обеспечения пожарной безопасности, для добычи полезных ископаемых (Водный кодекс РФ, 1995г., статьи 133-146). Общая федеральная схема комплексного использования и охраны водных ресурсов Российской Федерации рассматривает проблемы водного хозяйства на всей территории страны и разрабатывается в разрезе бассейнов основных водных объектов (см. приложение Б). В составе общей федеральной схемы РФ выполняются: оценка существующего водохозяйственного комплекса и проблем его водообеспечения; анализ экологического состояния водных объектов и проявлений вредного воздействия вод; оценка состояния безопасности гидротехнических сооружений; прогноз развития водохозяйственного комплекса и водопотребления на перспективу с учетом прогноза социально-экономического развития страны; определение рамочных величин лимитов водопользования субъектов РФ с учетом водных ресурсов поверхностных и подземных водных объектов; оценка потребности в водоохранных и водохозяйственных мероприятиях на основании общефедеральных и региональных целевых программ и бассейновых схем; разработка предложений по совершенствованию системы государственного управления водным фондом; планирование развития системы мониторинга водных объектов, водохозяйственных систем и сооружений; оценка потребности в финансировании водного хозяйства и совершенствование механизма экономических отношений при использовании и охране водных объектов; разработка интегрированной информационной системы по водным ресурсам, их использованию и охране; - определение тематики нормативных правовых, научно-исследовательских и методических работ в области использования и охраны водных объектов; - оценка социально-экономических и экологических последствий реализации мероприятий схемы. Бассейновые схемы комплексного использования и охраны водных ресурсов рассматривают территорию бассейнов поверхностных водных объектов и разрабатываются в разрезе субъектов РФ, водохозяйственных районов и участков. В составе бассейновых схем выполняются: оценка водных ресурсов и прогноз их изменения на перспективу под влиянием антропогенной деятельности и климатических изменений; анализ современного состояния и прогноз развития водохозяйственного комплекса на перспективу с учетом региональных прогнозов социально-экономического развития; оценка требований на воду по объему стока, режима водоподачи и качеству воды на современном уровне и прогноз на перспективу (с изъятием и без изъятия стока); определение объемов водоотведения, источников загрязнения и состава поступающих в водный объект со сточными водами загрязняющих веществ на современном уровне и прогноз на перспективу; оценка современного качества воды и экологического состояния водных объектов и прогноз их изменения на перспективу; определение величин санитарного и экологического попусков (расходов) и объемов предельно допустимого изъятия стока из водных объектов; оценка проявлений вредного воздействия вод на территории бассейна и их негативных последствий для населения, объектов экономики и окружающей среды; составление водохозяйственных расчетов и балансов, оценка 285 водообеспеченности водопользователей на современном уровне и на перспективу, выбор оптимального режима регулирования стока; определение перспективных лимитов водопользования для субъектов РФ и участников водохозяйственного комплекса; оценка технического состояния и форм собственности основных производственных водохозяйственных фондов; обоснование намечаемых инженерных мероприятий, направленных на:  обеспечение потребности в водных ресурсах по объему, режиму и качеству воды;  предотвращение вредного воздействия вод;  обеспечение безопасности гидротехнических сооружений;  очистку сточных и ливневых вод, улучшение экологического состояния водных объектов; разработка предложений по развитию системы мониторинга водных объектов, водохозяйственных систем и сооружений; разработка бассейновой информационной базы данных по водным ресурсам, их использованию и охране; оценка потребности в финансировании для выполнения намечаемых мероприятий; разработка предложений по системе платного водопользования на территории бассейна; разработка предложений по совершенствованию государственного управления водным фондом бассейна; определение тематики НИОКР в области использования и охраны водных ресурсов и водных объектов; обоснование первоочередных мероприятий с оценкой их эффективности; оценка социально-экономических и экологических последствий реализации мероприятий. Задачи и виды регулирования стока Под регулированием стока в практике водохозяйственного проектирования понимается его искусственное перераспределение во времени и изменение его режима в соответствии с потребностями различных отраслей народного хозяйства (гидроэнергетики, ирригации, водоснабжения, водного транспорта и др.). Регулирование стока обычно производится с помощью специально для этого создаваемых водохранилищ и осуществляется путѐм накопления в водохранилищах избытков воды, когда сток реки превышает потребность в воде, и расходования накопленных запасов еѐ во время маловодья. Регулирование стока различают по его назначению, или цели, и по продолжительности. Под регулированием стока по назначению понимают его использование для гидроэнергетики, водного транспорта и лесосплава, орошения и осушения, водоснабжения и обводнения, рыбного хозяйства, борьбы с наводнениями, комплексного использования водных ресурсов. В каждом из этих случаев оно имеет свои особенности, определяемые характером водопотребления. По продолжительности периода регулирования различают суточное, недельное, сезонное, многолетнее и смешанное регулирование стока. Краткосрочное (суточное и недельное) регулирование стока производится при изменении режима потребления воды (например, ГЭС) по часам суток и дням недели; при этом естественный сток колебаниям практически не подвержен. 286 Суточное регулирование вызывается непостоянством потребления воды в течение суток, как это мы видели при рассмотрении вопроса использования водной энергии и водоснабжения. Недельное регулирование стока производится при наличии у водопотребителей общих выходных дней со снижением водопотребления, когда вода может накапливаться с последующей ее сработкой в рабочие дни. Сезонное регулирование находит применение во всех областях использования водных ресурсов и сводится в основном к выравниванию стока за счет накопления воды в периоды половодья и паводков. Многолетнее регулирование состоит в пополнении стока маловодных лет за счет избытка стока многоводных лет. Сезонное и особенно многолетнее регулирование стока требует наличия значительных по объему водохранилищ. Смешанное регулирование стока состоит в одновременном осуществлении одним и тем же водохранилищем нескольких видов регулирования: многолетнего и сезонного или сезонного и суточного. Территориальная неравномерность, большая внутригодовая и многолетняя изменчивость речного стока затрудняют обеспечение населения и экономики России необходимым количеством воды. Эта проблема решается за счет регулирования стока рек водохранилищами. Причем наиболее эффективное и многоцелевое использование водных ресурсов достигается в каскадно расположенных водохранилищах, образующих единую водохозяйственную систему. Примером могут служить Волжско-Камский и АнгароЕнисейский каскады. Сегодня Россия имеет 103 крупнейших водохранилища, каждое объемом свыше 100 млн. м3. Суммарная площадь их водной поверхности составляет 101155,7 тыс. км2, полезный объем 338649,2 млн. м3. Кроме них для различных видов водопользования построено большое число водохранилищ с полезным объемом от 1 до 100 млн. м3, а также малые водохранилища и пруды с полезным объемом менее 1 млн. 3'. Основная цель создания водохранилищ - планируемые изменения в природе. К ним относятся: выравнивание естественной неравномерности стока между сезонами года и годами различной водности, между днями недели и часами суток в интересах гидроэнергетики, ирригации, водоснабжения, рыбного хозяйства; вовлечение в хозяйственное использование непродуктивных земель и создание на них более продуктивной водной среды для развития рыбоводства; улучшение природных условий прилегающих территорий. С помощью водохранилищ были созданы водные транспортные пути на главных судоходных реках России, таких как Волга, Кама, Дон, Енисей. Из водохранилищ осуществляется хозяйственно-питьевое водоснабжение большинства крупных городов - Москвы. Екатеринбурга, Челябинска, Нижнего Тагила и многих других. Водохранилища эффективно используются и для защиты от наводнений, например, Зейское и Бурейское на Дальнем Востоке, Краснодарское на Северном Кавказе. Вместе с тем при строительстве и эксплуатации водохранилищ возникают неизбежные отрицательные последствия: затопление земель, повышение уровня грунтовых вод и заболачивание, изменение качества воды вследствие замедления стока, избыточное развитие сине-зеленых водорослей (так называемое "цветение" воды). При создании водохранилищ в равнинных условиях образуются обширные мелководья, что особенно характерно для Волжского каскада. Чтобы вернуть затопленные земли для дальнейшего сельскохозяйственного использования, их отделяют от основной акватории дамбами или системой польдеров. Для снижения того отрицательного влияния, которое водохранилища, особенно малые, оказывают на новые берега, широко 287 используют метод намыва берегоукрепительных пляжей. Территориальное перераспределение стока Важным направлением водохозяйственной деятельности является строительство и эксплуатация крупных гидротехнических систем, позволяющих перераспределять речной сток из регионов, имеющих избыток водных ресурсов, в районы с их дефицитом. В настоящее время в России действует 34 системы подобного рода с суммарной протяженностью около 3 тыс. км. Ими перераспределяется около 15 км3 воды в год. Для улучшения водообеспечения безводных сельскохозяйственных районов широко используются групповые водоводы. Их протяженность составляет от нескольких десятков до нескольких сотен километров. Наиболее крупными каналами для перераспределения речного стока являются: на реке Кубани - Большой Ставропольский, пропускная способность которого 180 м3/с, и Кубанский оросительный (210 м3/с); на реке Дон - Донской (250 м3/с); на Волге - канал им. Москвы (125 м3/с). Регулирование высокого стока Главной задачей регулирования высокого стока является регулирование паводков. Методы регулирования паводков и борьбы с наводнениями разрабатывались в течение многих лет. Водохранилища. Одним из радикальных способов регулирования высокого стока является создание водохранилищ. Существует два вида противопаводковых накопителей: водохранилище регулируемого типа и водохранилище автоматического удержания паводкового сброса. В первом имеются затворы, которые закрываются, когда ниже по течению от них интенсивность паводка достигает критического уровня, а когда наводнение там прекращается, они вновь открываются. На выходе из водохранилища автоматического удержания паводка устраиваются водосбросные сооружения, которые достаточны для пропуска нормального расхода, но избыточный поток не пропускают. При паводке поток на выходе такого водохранилища постоянен, а в остальное время он меньше и зависит от притока воды. Часто водохранилища служат для защиты от паводков и одновременного решения иных задач: строительства гидроэлектростанций, ирригационных сетей, систем водоснабжения, обеспечения судоходства и т.п. Дамбы обвалования и стенки защиты от наводнений. Такие гидротехнические сооружения самым непосредственным образом защищают от паводков те площади, возле которых они возводятся. Дамбы обвалования, представляют собой сплошные земляные насыпи; защитные стенки строятся из бетона и возводятся, как правило, в районах с развитой застройкой, где для насыпей просто не хватает места. В большинстве случаев рядом с такими сооружениями располагаются насосные станции, которые во время паводков используются для откачки ливневых и прочих сточных вод через канализационные коллекторы. Увеличение пропускной способности водотоков. Разрушительное действие паводков можно ослабить, увеличивая пропускную способность водотоков, что достигается чисткой водотоков, спрямлением, расширением и углублением их русла. Оборудование обводных русел и катастрофических сбросов. Обводные каналы увеличивают пропускную способность водотоков, служат для направления паводков в обход защищаемых районов. Мероприятия землеустройства. При надлежащем уходе за земельными угодьями и лесными массивами ливневые воды активно поглощаются почвой, и интенсивность паводковых потоков уменьшается. Возведение небольших плотин в верховьях водных потоков тоже помогает снизить опасность наводнений.