Геометрия масс

2. ГЕОМЕТРИЯ МАСС 2.1. Центр масс механической системы При рассмотрении движения механических систем важное значение имеет точка, называемая центром масс. Пусть система состоит из конечного числа материальных точек n с массами z M k xk , yk , zk   rk mk k  1,2,...,n .   C xc , yc , zc rc o x  y Рис. 2.1 Центром масс механической системы называется геометрическая точка С  (рис. 2.1), радиус – вектор rC которой определяется выражением  n  rC   mk rk k 1  где rk – радиус – вектор k–й точки; m  Спроектировав равенство координаты центра масс: xC  n  mk (2.1) – масса механической системы. k 1 (2.1) n , m на оси n  mk xk определим n  mk yk k 1 координат,  mk zk k 1 k 1 . ; yC  ; zC  m m m Для тел малых размеров, находящихся вблизи поверхности Земли, можно принять, что mk  Pk g , где Pk – вес k–й точки, и тогда выражение для радиус–вектора центра масс принимает вид Pk  rk   k 1 g rC   P g n  n  Pk rk k 1 P . С достаточной степенью точности можно считать, что центр масс совпадает с центром тяжести механической системы. n   Векторная величина SO   mk rk называется статическим моментом k 1 массы относительно точки О. Скалярные величины называются SOyz  моментами n  mk xk , SOxz  k 1 массы n  mk yk , k 1 относительно n SOxy   mk zk k 1 координатных плоскостей Oyz, Oxz, Oxy соответственно. Если механическая система представляет собой сплошную среду, например, абсолютно твердое тело, то формула (2.1) и проекции ее на оси координат после соответствующего предельного перехода принимают вид:   xdm  ydm  zdm  r dm  ( m) ( m) ( m) ( m) xC  rC  ; yC  ; zC  m m m ; m . Для однородных сплошных тел dm  dV , m  V , где  - плотность тела; dV – объем элементарной частицы; V – объем тела. В этом случае определение центра масс тел сводится к вычислению центра   масс объемов – rC   r dV V . (V )  Аналогично для поверхностей – rC    r d  , где  – площадь ( ) поверхности.   Для линий – rC   r dl l , где l – длина отрезка линии. (l ) 2.2. Моменты инерции Для характеристики распределения масс в телах при вращательных движениях вводят моменты инерции: осевые – J x , J y , J z ; полярный - J o ; центробежные – J xy , J xz , J yz . равен сумме произведений масс точек системы на квадрат их расстояний до соответствующей оси (рис. 2.2): Осевой z hkz mk  rk hkx zk o x yk Рис. 2.2 hky xk y момент инерции    m x  ; J x   mk hkx2   mk yk2  zk2 ; J y   mk hky2 k 2 k  zk2 (2.2) Доказательство. Пусть имеем две системы прямоугольных взаимно параллельных осей координат Oxyz и Cxyz (рис. 2.3). Точка С xC , yC , zC  является центром масс системы. По определению осевые моменты инерции имеют вид n    mk xk2  yk2 ; J Cz   J Oz  k 1  mk xk2  yk2  , n k 1 где mk – - масса точки M k , а xk , yk , zk , xk , yk , zk - координаты этой точки относительно систем координат Oxyz и Cxyz соответственно. Эти координаты связаны соотношениями параллельного переноса xk  xk  xC ; yk  yk  yC ; zk  zk  zC . Подставим эти значения координат в выражение момента инерции J Oz и после преобразований получим n J Oz   n n k 1 k 1    mk xk2  yk2  2 xC  mk xk  2 yC  mk yk  xC2  yC2 k 1 n  mk Учтем, что k 1  m n k 1 k .  m - масса системы. Так как xC  0 и yC  0 , то n  mk xk  mxC  0 , k 1 n  mk yk k 1  myC  0 ; xC2  yC2  d 2 , где d – расстояние между осями Oz и Cz  . Окончательно имеем J Oz  J Cz   md 2 . Что и требовалось доказать. Из теоремы следует, что для совокупности параллельных осей момент инерции является наименьшим относительно центральной оси. 2.3. Моменты инерции простейших однородных тел 1. Тонкий стержень (рис. 2.4) массой m: z zc c l/2 l Рис. 2.4 x ml 2 ; Jz  3 Jz C ml 2 .  12 3. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ И СИСТЕМЫ 3.1. Дифференциальные уравнения движения механической системы   Пусть даны внешние Fke и внутренние Fki силы, действующие на n точек механической системы (рис. 3.1). Для любой k–й точки системы можно составить дифференциальное уравнение движения:    mk ak  Fke  Fki ; k  1,2,...,n . (3.1) Систему этих n дифференциальных уравнений называют дифференциальными уравнениями движения механической системы в векторной форме. Если спроектировать z векторное уравнение (3.1) на  e Fk Mk прямоугольные декартовы оси координат, то получим систему 3n   rk дифференциальных уравнений, Fki описывающих движение точек o y механической системы. x Проинтегрировав эту систему Рис. 3.1 уравнений второго порядка, мы найдем движение каждой точки и, следовательно, системы в целом. Однако решение этой задачи даже для небольшого количества точек представляет значительную трудность из–за математической сложности. В большинстве задач не требуется определять движение каждой точки системы, а достаточно найти параметры, характеризующие движение системы в целом. Эти характеристики движения механической системы определяются с помощью общих теорем динамики, являющихся следствием дифференциальных уравнений (3.1). 3.2. Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс 3.2.1. Количество движения точки и системы. Импульс силы Одной из мер движения материальной точки или механической системы является количество движения.  Количеством движения материальной точки q называют вектор, равный произведению массы    точки m на вектор ее скорости v : q  mv . z с  rc o x  vc Mk  rk y Рис. 3.2 Размерность количества движения в СИ – Нс.  Количеством движения системы Q называют векторную сумму количеств движений отдельных точек системы:    Q   qk   mk vk .  Вектор количества движения системы Q является свободным  вектором. Его можно выразить через скорость центра масс vС (рис. 3.2):   drk d   (3.2) Q   mk vk   mk  mk rk ,  dt dt  где rk – радиус - вектор k–й точки системы.   Используя формулу для радиус–вектора центра масс, имеем  mk rk     (3.3) rC    mk rk  mrC , m где m – масса механической системы. Выражение (3.2) с учетом равенства (3.3) принимает вид   d  drC  Q  mrC  m  mvC . dt dt Для характеристики действия силы за некоторый промежуток времени  вводятся элементарный импульс силы Fdt и импульс за конечный  t  промежуток времени S   Fdt . Импульс силы измеряется в Нс. 3.2.2. Теорема об изменении количества движения системы Для механической системы, состоящей из n материальных точек, запишем дифференциальные уравнения движения:  dvk  e  i mk  Fk  Fk ; k  1,2,...,n , dt   где Fke и Fki – внешняя и внутренняя силы соответственно, приложенные к k– й точке. Внесем массу mk под знак производной и просуммируем все уравнения:   n  n  d  e  dt mk vk   Fk   Fki . k 1 k 1 k 1 Так как по свойству внутренних сил и определению количества движения системы n  n   i  0; F m v  Q ,  k  k k n k 1 k 1 то приведенное соотношение представим в виде  dQ  dt  F  ke . n (3.4) k 1 Теорема об изменении количества движения системы. Производная по времени от количества движения системы равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на систему. Если уравнение (3.4) проинтегрировать по времени от нуля до t, получим теорему импульсов для системы в конечной или интегральной форме: n    Q  Q0   S ke , k 1   где Q0 – количество движения системы в момент t  0 ; Q – количество t   e движения в момент t; S k   Fke dt – импульс внешней силы, действующей на k-ю точку. Теорема импульсов: Изменение количества движения системы за какой - либо промежуток времени равно векторной сумме всех импульсов внешних сил, действующих на систему за тот же промежуток времени. В проекциях на оси декартовой системы координат имеем: n  e ; Qx  Qx 0  S xk k 1 n  e ; Qy  Qy 0  S yk k 1 n e . Qz  Qz 0   S zk k 1 Рассмотрим два частных случая: 1. Если векторная сумма всех внешних сил, приложенных к системе,  равна нулю, то количество движения системы постоянно, Q  const . 2. Если сумма проекций внешних сил на какую–либо ось равна нулю, то проекция количества движения на ту же ось является постоянной величиной. Эти частные случаи являются законами сохранения количества движения системы. 3.2.3. Теорема о движении центра масс системы Следствием теоремы об изменении количества движения системы является теорема о движении центра масс системы. Количество движения системы можно   вычислить по формуле Q  mvC (рис. 3.3). Подставив это выражение в равенство (3.4), получим z  Fki o mk  rk  Fke с   v ac c  rc y x Рис. 3.3 m  dvC dt     Fke или maC  n k 1  где aC – ускорение центра масс.  n  Fke , (3.5) k 1 Теорема о движении центра масс: Центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы, под действием всех внешних сил, действующих на систему. В проекциях на оси декартовых координат равенство (3.5) принимает следующий вид: mxC  n  Fxke ; myC  k 1 n  F yke ; mzC  k 1 n  Fzke . k 1  Если главный вектор внешних сил равен нулю, т.е.  Fke  0 , то  скорость центра масс остается постоянной: vC  const . Если же одна из проекций главного вектора внешних сил равна нулю, то соответствующая проекция скорости центра масс остается постоянной. Например, если  Fzke  0 , то vz  const . Эти положения носят название закона сохранения C движения центра масс. При поступательном движении твердого тела ускорения всех его 3.3. Теорема об изменении кинетического момента (момента количества движения) 3.3.1. Кинетический момент точки и механической системы Одной из динамических характеристик движения материальной точки и механической системы является кинетический момент или момент количества движения.  Для материальной точки кинетическим моментом k o относительно какого–либо центра О называют момент количества движения точки относительно этого центра (рис. 3.4):      ko  M o mv   r  mv . Кинетическим моментом материальной называется проекция на эту ось кинетического момента точки относительно любого центра на этой оси: точки относительно оси z   q  mv M  r   k0 o y x k z  ko cos . Рис. 3.4 Кинетическим моментом механической системы относительно центра О называется геометрическая сумма кинетических моментов всех точек системы относительно того же центра (рис. 3.5): n  n     K o   M o mk vk    rk  mk vk . k 1 (3.6) k 1  Кинетический момент K 0 приложен к точке О, относительно которой он вычисляется. Если спроецировать (3.6) на оси декартовой системы координат, то получим проекции кинетического момента на эти оси или кинетические моменты относительно осей координат: n n    K x   M x mk vk ; K y   M y mk vk ; K z   M z mk vk . n k 1 k 1 (3.7) k 1 Определим кинетический момент тела относительно его неподвижной оси вращения z (рис. 3.6). Согласно формулам (3.7), имеем n  K z   M z mk vk . k 1 Но при вращении тела с угловой скоростью  скорость vk    d k ,  причем количество движения точки mk vk перпендикулярно отрезку d k и лежит в плоскости перпендикулярной оси вращения Oz , следовательно,  M z mk vk  d k mk vk  mk d k2 .   z z  Fke  K0 x Mk dk  vk o o y  v Mk k rk  K0  Fke  rk  y x Рис. 3.5 Рис. 3.6 Для всего тела: Kz  n n k 1 k 1  mk d k2   mk d k2  J z , где J z – момент инерции относительно оси вращения. Следовательно, кинетический момент твердого тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно данной оси на угловую скорость тела. 3.3.2. Теорема об изменении кинетического момента механической системы Кинетический момент системы относительно неподвижного центра О (рис. 3.5): n    K o   rk  mk vk . k 1 Возьмем от левой и правой части этого равенства производную по   Если точка совпадает с центром масс системы С, то  vC  mvC  0 и теорема принимает вид  n   dK C   M C Fke , dt k 1 т.е. она имеет ту же форму, что и для неподвижной точки О.   3.3.3. Дифференциальные уравнения вращения твердого тела вокруг неподвижной оси Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси Az (рис. 3.8)      под действием системы внешних сил F1 , F2 ,..., Fn , RA , RB . Запишем   уравнение теоремы об изменении кинетического момента системы в проекции на ось вращения: n  dK z   M z Fke . dt k 1 Для случая вращения твердого тела вокруг неподвижной оси:   где J z K z  J z , – постоянный момент инерции относительно оси вращения;  – угловая скорость. Учитывая это, получаем    d n Jz   M z Fke dt k 1 Если ввести угол поворота тела , то, учитывая равенство d  , имеем  dt n     M z Fke . J z k 1 Выражение уравнение   (3.12) вращения неподвижной оси. есть дифференциальное твердого тела вокруг  Fn   F1 (3.12)  RB z B  RA O A Рис. 3.8 3.3.4. Теорема об изменении кинетического момента системы в относительном движении по отношению к центру масс  F2     KO  C  mvC  KC(r ) . Теорема об изменении кинетического момента относительно точки О имеет вид  n   dK O   k  Fke . dt k 1     Подставим значения K O и k  C  rk , получим    n  n     dC d mvC  dK C( r )   mvC  C     C  Fke   rk  Fke . dt dt dt k 1 k 1 Преобразуем это выражение с учетом, что  dC     mvC  vC  mvC  0 ; dt  (r )  n    dK C  d mvC  n   C    C  Fke   rk  Fke ; dt dt k 1 k 1  (r ) n   dK C   rk  Fke dt k 1  (r ) n   dK C или   M C Fke . dt k 1   Эта формула выражает теорему об изменении кинетического момента системы относительно центра масс для относительного движения системы по отношению к системе координат, движущейся поступательно с центром масс. Она формулируется так же, как если бы центр масс был неподвижной точкой. 3.3.5. Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела В плоскости движения центра масс тела, совершающего плоское движение, выберем y  неподвижную систему координат Oxy и F2e движущуюся поступательно с центром масс систему CxC yC (рис. 3.10). Плоское движение твердого тела можно O считать как совокупность поступательного движения вместе с центром масс С и вращения yC  F1e  C xC , yC   Fne  xC x Рис. 3.10 вокруг подвижной оси zC , проходящей через центр масс перпендикулярно к