Геодезическая астрономия

Лекция по Геодезической астрономии Геодезическая астрономия – раздел астрономии, в котором изучают способы определения географических координат точек земной поверхности и азимутов направлений из наблюдений небесных светил. Светила в геодезической астрономии играют роль опорных точек с известными координатами, подобно опорным точкам на Земле. Положения светил задаются в определенной системе координат и в определенной системе измерения времени. Курс “Геодезическая астрономия” делится на две части: сферическую и собственно геодезическую астрономию. В сферической астрономии рассматриваются математические методы решения задач, связанных с пространственно-временным положением небесных светил и видимым их движением на вспомогательной небесной сфере, при помощи которой устанавливаются системы сферических небесных координат. Геодезическая астрономия изучает теорию и способы определения географических координат точек земной поверхности и азимутов направлений, устройство и теорию инструментов, используемых для астрономических наблюдений, а также методы математической обработки астрономических определений. Основные моменты использования в геодезии результатов астрономических определений следующие. 1. Астрономические определения широт, долгот и азимутов направлений совместно с результатами геодезических и гравиметрических измерений позволяют: установить исходные геодезические даты; обеспечить ориентировку Государственной геодезической сети, а также осей референц-эллипсоида в теле Земли; определить параметры земного эллипсоида; определить высоты квазигеоида относительно референц-эллипсоида. 2. Определение из астрономических наблюдений составляющих уклонения отвесной линии необходимо для установления связи между геодезической и астрономической системами координат, приведения измерений к принятой эпохе отсчета координат, правильной интерпретации результатов повторного геометрического нивелирования, изучения внутреннего строения Земли; 3. Астрономические определения азимутов направлений на земной предмет, после введения поправок за уклонения отвесных линий, контролируют в Государственной геодезической сети угловые измерения, обеспечивают постоянство ориентировки геодезических сетей, ограничивают и локализуют действие случайных и систематических погрешностей в угловых измерениях. 4. В районах со слаборазвитой геодезической сетью астрономические пункты с учетом данных о гравитационном поле используются как опорные для топографических съемок. 5. Астрономические определения азимутов выполняются для определения дирекционных углов направлений на ориентирные пункты при утрате наружных геодезических знаков. 6. Астрономические определения географических координат являются средствами абсолютного определения положений объектов, движущихся относительно земной поверхности на море и в воздухе. 7. Методы геодезической астрономии применяются в космических исследованиях и космической навигации. 8. Астрономические определения географических координат и азимутов направлений используются в прикладной геодезии для контроля угловых измерений в полигонометрических ходах и других угловых построениях, при эталонировании точных гироскопических приборов, для фиксирования на местности положения меридиана при топографо-геодезическом обеспечении войск. 1 Системы координат, используемые в геодезической астрономии 1.1 Вспомогательная небесная сфера Географические широты , долготы точек земной поверхности и азимуты направлений определяются из наблюдений небесных светил – Солнца и звезд. Для этого необходимо знать положение светил как относительно Земли, так и относительно друг друга. Для этого положения светил могут задаются в специально выбранных системах координат. Из аналитической геометрии, для определения положения любой точки в 3- мерном пространстве можно использовать или прямоугольную декартову систему координат XYZ или полярную  R (рис.1). В прямоугольной системе координат положение светила  определяется тремя линейными координатамиX,Y,Z. В полярной системе координат положение светила  задается одной линейной координатой, радиусом-вектором R = О и двумя угловыми: углом  между осью X, и углом  между координатной плоскостью XOY и радиусом-вектором R. Связь прямоугольных и полярных координат описывается формулами X = R cos cos, Y = R cos sin, Z = R sin, где R=. Однако эти системы используются только в тех случаях, когда линейные расстояния R = O до небесных светил известны (например, для Солнца, Луны, планет, искусственных спутников Земли). Для многих светил, наблюдаемых за пределами Солнечной системы, эти расстояния либо чрезвычайно велики по сравнению с радиусом Земли, либо неизвестны. Чтобы упростить решение астрономических задач и обходиться без расстояний до светил, полагают, что все светила находятся на произвольном, но одинаковом расстоянии от наблюдателя. Обычно это расстояние принимают равным единице, вследствие чего положение светил в пространстве может определяться не тремя, а двумя угловыми координатами  и  полярной системы. Известно, что геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки “О”, образует сферу с центром в этой точке. Поэтому в астрономии вводится вспомогательная небесная сфера – воображаемая сфера произвольного или единичного радиуса, на которую проецируются изображения небесных светил (рис. 2). Положение любого светила  на небесной сфере определяется при помощи двух сферических координат,  и : x = cos cos, y = cos sin, z = sin. В зависимости от того, где расположен центр небесной сферы О, различают: 1) топоцентрическую небесную сферу - центр находится на поверхности Земли; 2) геоцентрическую небесную сферу – центр совпадает с центром масс Земли; 3) гелиоцентрическую небесную сферу – центр совмещен с центром Солнца; 4) барицентрическую небесную сферу – центр находится в центре тяжести Солнечной системы. На первом курсе Вы изучали Астрономию и ознакомились с такими понятиями как основные круги, точки и линии вспомогательной небесной сферы Сейчас напомню как размещаются эти элементы небесной сферы на сфере . Для этого изобразим небесную сферу Основные круги, точки и линии небесной сферы изображены на рис.3. основным направлением относительно поверхности Земли является направление отвесной линии, или силы тяжести в точке наблюдения. Это направление пересекает небесную сферу в двух диаметрально противоположных точках - Z и Z'. Точка Z находится над центром и называется зенитом, Z' – под центром и называется надиром. Проведем через центр плоскость, перпендикулярную отвесной линии ZZ'. Большой круг NESW, образованный этой плоскостью, называется небесным (истинным) или астрономическим горизонтом. Это есть основная плоскость топоцентрической системы координат. На ней имеются четыре точки S, W, N, E, где S - точка Юга, N - точка Севера, W - точка Запада, E - точка Востока. Прямая NS называется полуденной линией. Прямая PNPS, проведенная через центр небесной сферы параллельно оси вращения Земли, называется осью Мира. Точки PN - северный полюс мира; PS - южный полюс мира. Вокруг оси Мира происходит видимое суточное движение небесной сферы. Плоскость, перпендикулярная оси мира PNPS.и образующая в результате пересечения небесной сферы большой круг QWQ'E, , называется небесным (астрономическим) экватором. Здесь Q - верхняя точка экватора (над горизонтом), Q'- нижняя точка экватора (под горизонтом). Небесный экватор и небесный горизонт пересекаются в точках W и E. Плоскость PNZQSPSZ'Q'N, содержащая в себе отвесную линию и ось Мира, называется истинным (небесным) или астрономическим меридианом. Это плоскость параллельна плоскости земного меридиана и перпендикулярна к плоскости горизонта и экватора. Ее называют начальной координатной плоскостью. Проведем через ZZ' вертикальную плоскость, перпендикулярную небесному меридиану. Полученный круг ZWZ'E называется первым вертикалом. Большой круг ZZ', по которому вертикальная плоскость, проходящая через светило , пересекает небесную сферу, называется вертикалом или кругом высот светила. Большой круг PNPS, проходящий через светило перпендикулярно небесному экватору, называется кругом склонения светила. Малый круг nn', проходящий через светило параллельно небесному экватору, называется суточной параллелью. Видимое суточное движение светил происходит вдоль суточных параллелей. Малый круг аа', проходящий через светило параллельно небесному горизонту, называется кругом равных высот, или альмукантаратом. В первом приближении орбита Земли может быть принята за плоскую кривую - эллипс, в одном из фокусов которого находится Солнце. Плоскость эллипса, принимаемого за орбиту Земли, называется плоскостью эклиптики. В сферической астрономии принято говорить о видимом годичном движении Солнца. Большой круг КЕ', по которому происходит видимое движение Солнца в течение года, называется эклиптикой. Плоскость эклиптики наклонена к плоскости небесного экватора на угол, примерно равный 23.5 0. На рис. 4 показаны:  – точка весеннего равноденствия;  – точка осеннего равноденствия; Е – точка летнего солнцестояния; Е' – точка зимнего солнцестояния; RNRS – ось эклиптики; RN - северный полюс эклиптики; RS - южный полюс эклиптики;  - наклон эклиптики к экватору. 1.3 Системы сферических координат Для определения сферической системы координат на сфере выбирают два взаимно перпендикулярных больших круга, один из которых называют основным, а другой - начальным кругом системы. В геодезической астрономии используются следующие системы сферических координат: 1) горизонтальная система координат; 2) первая и вторая экваториальные системы координат; 3) географическая система координат. Название систем обычно соответствует названию больших кругов, принятых за основной. Рассмотрим эти системы координат подробнее. 1.3.1 Горизонтальная система координат Горизонтальная система координат показана на рис. 5. Основной круг в этой системе -астрономический горизонт SMN. Его геометрические полюса - Z (зенит) и Z' (надир). Начальный круг системы - небесный меридиан ZSZ'N. Начальная точка системы - точка юга S. Определяющий круг системы - вертикал ZZ'. Первая координата горизонтальной системы – высота h, угол между плоскостью горизонта и направлением на светило МО, или дуга вертикала от горизонта до светила M. Высота отсчитывается от горизонта и может принимать значения -900  h  900. Иногда вместо высоты h используется зенитное расстояние - угол между отвесной линией и направлением на светило ZО, или дуга вертикала Z. Зенитное расстояние есть дополнение до 900 высоты h: z = 900 – h. Зенитное расстояние светила отсчитывается от зенита и может принимать значения 00  z  1800. Вторая координата горизонтальной системы – азимут – двугранный угол SZZ' между плоскостью небесного меридиана (начального круга) и плоскостью вертикала светила, обозначаемый буквой А: А = двугр.угол SZZ' = SOM = SM = сф.угол SZM. В астрономии азимуты отсчитываются от точки юга S по ходу часовой стрелки в пределах 00  А  3600. Вследствие суточного вращения небесной сферы горизонтальные координаты светила меняются в течение суток. Поэтому, фиксируя положение светил в этой системе координат, нужно отмечать момент времени, к которому относятся координаты h, z, A. Кроме того, горизонтальные координаты являются не только функциями времени, но и функциями положения места наблюдения на земной поверхности. Эта особенность горизонтальных координат обусловлена тем, что отвесные линии в разных точках земной поверхности имеют разное направление. В горизонтальной системе координат ориентируются геодезические инструменты и выполняются измерения. 1.3.2 Первая экваториальная система координат Первая экваториальная система координат показана на рис. 6. Основной круг первой экваториальной системы координат есть небесный экватор Q'KQ. Геометрические полюса небесного экватора - северный и южный полюсы мира, РN и РS. Начальный круг системы - небесный меридиан РNQ'РSQ. Начальная точка системы – верхняя точка экватора Q. Определяющий круг системы – круг склонения РNРS. Первая координата первой экваториальной системы - склонение светила , угол между плоскостью небесного экватора и направлением на светило КО, или дуга круга склонения К. Склонение отсчитывается от экватора к полюсам и может принимать значения -900    900. Иногда используется величина  = 900 - , где 00   1800, называемая полярным расстоянием. Склонение не зависит ни от суточного вращения Земли, ни от географических координат пункта наблюдения , . Вторая координата первой экваториальной системы  часовой угол светила t  двугранный угол между плоскостями небесного меридиана и круга склонения светила, или сферический угол при северном полюсе мира: t =дв.угол QРNРS = сф.угол QРN = QК = QOK. Часовой угол отсчитывается от верхней точки экватора Q в направлении суточного вращения небесной сферы от 00 до 3600, 00  t  3600. Часовой угол часто выражают в часовой мере, 0h  t  24h. Градусы и часы связаны соотношениями: 3600 = 24h, 150 = 1h, 15' = 1m, 15" = 1s. Вследствие видимого суточного движения небесной сферы часовые углы светил постоянно изменяются. Часовой угол t отсчитывается от небесного меридиана, положение которого определяется направлением отвеса (ZZ') в данном пункте и, следовательно, зависит от географических координат пункта наблюдения на Земле. 1.3.3 Вторая экваториальная система координат Вторая экваториальная система координат изображена на рис. 7. Основной круг второй экваториальной системы - небесный экватор QQ'. Начальный круг системы - круг склонений точки весеннего равноденствия РNРS, называемый колюром равноденствий. Начальная точка системы – точка весеннего равноденствия . Определяющий круг системы – круг склонения РNРS. Первая координата - склонение светила . Вторая координата - прямое восхождение , двугранный угол между плоскостями колюра равноденствия и круга склонения светила, или сферический угол РN, или дуга экватора К:  =дв.угол РNРS = сф.угол PN = К = = OK. Прямое восхождение  выражается в часовой мере и отсчитывается от точки  против хода часовой стрелки в направлении, противоположном видимому суточному движению светил, 0h    24h. Во второй экваториальной системе координаты  и  не зависят от суточного вращения светил. Так как эта система не связана ни с горизонтом, ни с меридианом, то  и  не зависят от положения точки наблюдения на Земле, то есть от географических координат  и . При выполнении астрономо-геодезических работ координаты светил  и  должны быть известны. Они используются при обработке результатов наблюдений, а также для вычисления таблиц координат A и h, называемых эфемеридами, с помощью которых можно отыскать астрономическим теодолитом светило в любой заданный момент времени. Экваториальные координаты светил  и  определяются из специальных наблюдений на астрономических обсерваториях и публикуются в звездных каталогах. Географическая состема координат Если спроектировать точку М земной поверхности на небесную сферу по направлению отвесной линии ZZ’ (рис.8), то сферические координаты зенита Z этой точки называются географическими координатами: географической широтой и географической долготой . В географической системе координат задается положение пунктов на поверхности Земли. Географические координаты могут быть астрономическими, геодезическими и геоцентрическими. Методами геодезической астрономии определяют астрономические координаты. Основной круг астрономической географической системы координат – земной экватор, плоскость которого перпендикулярна оси вращения Земли. Ось вращения Земли непрерывно совершает колебания в теле Земли (см. раздел “Движение земных полюсов”), поэтому различают мгновенную ось вращения (мгновенный экватор, мгновенные астрономические координаты) и среднюю ось вращения (средний экватор, средние астрономические координаты).Плоскость астрономического меридиана, проходящего через произвольную точку земной поверхности, содержит отвесную линию в данной точке и параллельна оси вращения Земли. Начальный меридиан – начальный круг системы координат – проходит через Гринвичскую обсерваторию (согласно международному соглашению 1883г). Начальная точка астрономической географической системы координат – точа пересечения начального меридиана с плоскостью экватора. В геодезической астрономии определяются астрономические широта и долгота,  и  а также астрономический азимут направления A. Астрономическая широта  есть угол между плоскостью экватора и отвесной линией в данной точке. Широта отсчитывается от экватора к северному полюсу от 00 до +900 и к южному полюсу от 00 до -900. Астрономическая долгота  – двугранный угол между плоскостями начального и текущего астрономических меридианов. Долгота отсчитывается от гринвичского меридиана к востоку (E- восточная долгота) и к западу (W- западная долгота) от 00 до 1800 или, в часовой мере, от 0 до 12 часов (12h). Иногда долготу считают в одну сторону от 0 до 3600 или, в часовой мере, от 0 до 24 часов. Астрономический азимут направления А – двугранный угол между плоскостью астрономического меридиана и плоскостью, проходящей через отвесную линию и точку, на которую измеряется направление. Если астрономические координаты связаны с отвесной линией и осью вращения Земли, то геодезические – с поверхностью относимости (эллипсоидом) и с нормалью к этой поверхности. Подробно геодезическая система координат рассматривается в разделе “Высшая геодезия”. 1.5 Связь между координатами различных систем 1.5.1 Связь между координатами первой и второй экваториальных систем. Формула звездного времени В первой и второй экваториальных системах склонение  измеряется одним и тем же центральным углом и одной и той же дугой большого круга, значит, в этих системах  одно и то же. Рассмотрим связь между t и . Для этого определим часовой угол точки   ее положение в первой экваториальной системе координат: t = QO = Q. Из рис. 9 видно, что для любого светила справедливо равенство t = t + . Часовой угол точки весеннего равноденствия является мерой звездного времени s: s = t = t + . Последняя формула называется формулой звездного времени: сумма часового угла и прямого восхождения светила равна звездному времени. 1.5.2 Связь между небесными и географическими координатами. Основные теоремы курса сферической астрономии Теорема 1. Географическая широта места наблюдения численно равна склонению зенита в точке наблюдения и равна высоте полюса мира над горизонтом:  = z = hp. Доказательство следует из рис. 10. Географическая широта  есть угол между плоскостью земного экватора и отвесной линией в пункте наблюдения, Moq. Склонение зенита z есть угол между плоскостью небесного экватора и отвесной линией, ZMQ. Склонение зенита и широта равны как соответствующие углы при параллельных прямых. Высота полюса Мира, hp=PNMN, и склонение зенита z равны между собой как углы между взаимно перпендикулярными сторонами. Итак, теорема 1 устанавливает связь координат географической, горизонтальной и экваториальной систем. Она положена в основу определения географических широт пунктов наблюдения. Теорема 2. Разность часовых углов одного и того же светила, измеренная в один и тот же физический момент времени в двух различных точках земной поверхности численно равна разности географических долгот этих точек на земной поверхности: t2  t1 = 2  1. Доказательство следует из рисунка … на котором показаны Земля и описанная вокруг нее небесная сфера. Разность долгот двух пунктов есть двугранный угол между меридианами этих пунктов; разность часовых углов светила есть двугранный угол между двумя небесными меридианами этих пунктов. В силу параллельности небесных и земных меридианов, теорема доказана. Вторая теорема сферической астрономии положена в основу определения долгот пунктов. 1.5.3 Параллактический треугольник Параллактический треугольник – сферический треугольник с вершинами Pn, Z,  (рис. 11). Он образован пересечением трех больших кругов: небесного меридиана, круга склонения и вертикала светила. Угол q между вертикалом светила и кругом склонения называется параллактическим. Элементы параллактического треугольника относятся к трем системам координат: горизонтальной (А, z), первой экваториальной (, t) и географической (). Связь между этими системами координат может быть установлена через решение параллактического треугольника. Дано: в момент звездного времени s в пункте с известной широтой наблюдается светило  с известными координатами  и . Задача: определить A и z. Решение задачи выполняется по формулам сферической тригонометрии. Формулы косинусов, синусов и пяти элементов применительно к параллактическому треугольнику записываются следующим образом: cos z = sin sin + cos cos cos t, (1) sin z sin(180-A) = sin(90-) sin t , (2) sin z cos(180-A) = sin(90-) cos(90-) - cos(90-) sin(90-)cost, (3) где t = s -  . Разделив формулу (3) на (2), получим: сtg A = sin  ctg t - tg  cos  cosec t. (4) Формулы (1) и (4) являются уравнениями связи в зенитальных и азимутальных способах астрономических определений, соответственно. 1.6 Видимое суточное вращение небесной сферы 1.6.1 Виды суточного движения звезд Видимое суточное вращение небесной сферы происходит с востока на запад и обусловлено вращением Земли вокруг оси. При этом светила перемещаются по суточным параллелям. Вид суточного движения относительно горизонта данного пункта с широтой зависит от склонения светила . По виду суточного движения светила бывают: 1) незаходящие, > N, или  > 90  , 2) имеющие восход и заход, S    N, или (90)    (90), 3) невидимые,  < S, или  < (90), 4) элонгирующие (не пересекающие первый вертикал над горизонтом,  >Z, или  >, 5) пересекающие первый вертикал,  Z    Z, или     . На рис. 12 показаны области, где находятся суточные параллели звезд, удовлетворяющие по виду суточного движения указанным выше условиям. 1.6.2 Прохождение светил через меридиан. Кульминации. Момент прохождения светила через меридиан называют кульминацией. В момент верхней кульминации светило занимает самое высокое положение относительно горизонта, в момент нижней кульминации светило находится в самом нижнем положении относительно горизонта. Нарисуем чертеж небесной сферы в проекции на меридиан (рис. 13). Для всех светил в верхней кульминации часовой угол t = 0h, а в нижней t = 12h. Поэтому в верхней кульминации s = , а в нижней s=+12h. Горизонтальные координаты A, z светил в кульминациях вычисляются по следующим формулам. Верхняя кульминация (ВК): a) светило кульминирует к югу от зенита, (-900 <  < ), суточные параллели 2 и 3, А = 00, z = ; б) светило кульминирует к северу от зенита, (900 > > ), суточная параллель 1, А = 1800, z = . Нижняя кульминация (НК): а) светило кульминирует к северу от надира, (900 >  >  ), суточные параллели 1 и 2, А = 1800, z = 1800 – (; б) светило кульминирует к югу от надира, (-900 <  < ), суточная параллель 3, А = 00, z = 1800 + (. Формулы связи между горизонтальными и экваториальными координатами светила в кульминациях используются при составлении рабочих эфемерид для наблюдений светил в меридиане. Кроме того, по измеренному зенитному расстоянию z и известному склонению  можно вычислить широту пункта  или с известной широтой  определить склонение . В каждом случае моменты восхода и захода по звездному времени будут sW = + tW, sE = + tE. Полученные формулы используются для расчета обстоятельств восхода и захода Солнца, планет, Луны и звезд. Азимуты светила в первом вертикале есть AW = 900, AE = 2700, если отсчет ведется по часовой стрелке от точки Юга. В геодезической астрономии есть ряд способов астрономических определений географических координат, основывающихся на наблюдении светил в первом вертикале. Формулы связи между горизонтальными и экваториальными координатами светила в первом вертикале используются при составлении рабочих эфемерид и для обработки наблюдений. 2 Системы измерения времени 2.1 Общие положения Одной из задач геодезической астрономии и космической геодезии является определение координат небесных тел в заданный момент времени. Построением астрономических шкал времени занимаются национальные службы времени и Международное бюро времени. В основе всех известных способов построения непрерывных шкал времени лежат периодические процессы, например: - вращение Земли вокруг своей оси; - обращение Земли вокруг Солнца по орбите; - обращение Луны вокруг Земли по орбите; - качание маятника под действием силы тяжести; - упругие колебания кристалла кварца под действием переменного тока; - электромагнитные колебания молекул и атомов; - радиоактивный распад ядер атомов и другие процессы. В геодезической астрономии, астрометрии, небесной механике используются следующие системы времени: 1) системы звездного времени; 2) системы солнечного времени. Эти системы основаны на вращении Земли вокруг оси. Это периодическое движение является в высшей степени равномерным, не ограниченным во времени и непрерывным на протяжении всего существования человечества. Кроме того, в астрометрии и небесной механике используются 3) системы эфемеридного и динамического времени – идеальное построение равномерной шкалы времени; 4) система атомного времени – практическая реализация идеально равномерной шкалы времени. 2.2 Система звездного времени Звездное время обозначается s. Параметрами системы звездного времени являются: 1) механизм – вращение Земли вокруг своей оси; 2) масштаб - звездные сутки, равные промежутку времени между двумя пос­ледовательными верхними кульминациями точки весеннего равноденствия в пункте наблюдения; 3) начальная точка на небесной сфере - точка весен­него равноденствия , нульпункт (начало звездных суток) - момент верх­ней кульминации точки ; 4) способ отсчета. Мера измерения звездного времени - часовой угол точки весеннего равноденствия, t. Измерить его невозможно, но для любой звезды справедливо выражение s = t =  + t, следовательно, зная прямое восхождение звезды  и вычисляя ее часовой угол t, можно определить звездное время s. Система звездного времени применяется при определении географических координат пунктов на поверхности Земли и азимутов направления на земные предметы, при изуче­нии неравномерностей суточного вращения Земли, при установлении нуль­пунктов шкал других систем измерения времени. Эта система, хоть и широко применяется в астрономии, в повседневной жизни неудобна. Смена дня и ночи, обусловленная видимым суточным движением Солнца, создает вполне определенный цикл в деятельности человека на Земле. Поэтому издавна счисление времени ведется по суточному движению Солнца. 2.3 Системы истинного и среднего солнечного времени. Система истинного солнечного времени (или истинное солнечное время - m) применяется при астрономических или геодезических наблюдениях Солнца. Параметры системы: 1) механизм - вращение Земли вокруг своей оси; 2) масштаб - истинные солнечные сутки - промежуток времени между двумя последовательными нижними кульминациями центра истинного Солнца; 3) начальная точка - центр диска истинного Солнца - , нульпункт - истинная полночь, или момент нижней кульминации центра диска истинного Солнца; 4) cпособ отсчета. Мера измерения истинного солнечного времени - геоцентрический часовой угол истинного Солнца t плюс 12 часов: m = t + 12h . Единица истинного солнечного времени - секунда, равная 1/86400 истинных солнечных суток, не удовлетворяет основному требованию, предъявляемому к единице измерения времени - она не постоянна. Причинами непостоянства шкалы истинного солнечного времени являются: 1) неравномерное движение Солнца по эклиптике вследствие эллиптичности орбиты Земли; 2) неравномерное возрастание прямого восхождения Солнца в течение года, так как Солнце по эклиптике, наклоненной к небесному экватору под углом примерно 23.50. Вследствие этих причин применение системы истинного солнечного времени на практике неудобно. Переход к равномерной шкале солнечного времени происходит в два этапа. Этап 1  переход к фиктивному среднему эклиптическому Солнцу. На данном этапе исключается неравномерность движения Солнца по эклиптике. Неравномерное движение по эллиптической орбите заменяется равномерным движением по круговой орбите. Истинное Солнце и среднее эклиптическое Солнце совпадают, когда Земля проходит через перигелий и афелий своей орбиты. Этап 2  переход к среднему экваториальному Солнцу. Здесь исключается неравномерность возрастания прямого восхождения Солнца, обусловленная наклоном эклиптики. Истинное Солнце и среднее экваториальное Солнце одновременно проходят точки весеннего и осеннего равноденствия. В результате перечисленных действий вводится новая система измерения времени – среднее солнечное время. Среднее солнечное время обозначается m. Параметрами системы среднего солнечного времени являются: 1) механизм - вращение Земли вокруг оси; 2) масштаб - средние сутки - промежуток времени между двумя последовательными нижними кульминациями среднего экваториального Солнца экв; 3) начальная точка - среднее экваториальное Солнце экв, нульпункт - средняя полночь, или момент нижней кульминации среднего экваториального Солнца; 4) способ отсчета. Мерой измерения среднего времени является геоцентрический часовой угол среднего экваториального Солнца tэкв плюс 12 часов. m = t экв + 12h. Определить среднее солнечное время непосредственно из наблюдений нельзя, так как среднее экваториальное Солнце – фиктивная точка на небесной сфере. Среднее солнечное время вычисляют по истинному солнечному времени, определенному из наблюдений истинного Солнца. Уравнение времени Разность истинного солнечного времени m и среднего солнечного времени m называется уравнением времени и обозначается :  = m - m = t - t ср.экв.. Уравнение времени выражается двумя синусоидами с годовым и полугодовым периодами:  = 1 + 2  -7.7msin (l + 790)+ 9.5m sin 2l, где l – эклиптическая долгота среднего эклиптического Солнца. График  есть кривая с двумя максимумами и двумя минимумами, которая в декартовой прямоугольной системе координат имеет вид, показанный на рисю17. Значения уравнения времени лежат в пределах от +14m до –16m. В Астрономическом Ежегоднике на каждую дату приводится величина Е, равная Е =  + 12h . С данной величиной связь между средним солнечным временем и часовым углом истинного Солнца определяется выражением m = t -E. 2.4 Юлианские дни JD Во многих расчетах удобно пользоваться непрерывным счетом суток, которые в астрономии называют юлианскими днями. Начало счета юлианских дней - 1 янв. 4713 г до н.э., 1 юлианский год содержит 365,25 средних солнечных суток. Эпохи 1 января 1900 г и 1 января 2000 г имеют значения в юлианских днях, соответственно, 1.01.1900 = JD1900.0 = 2415020, 1.01.2000 = JD2000.0 = 2451545. 2.5 Местное время на разных меридианах. Всемирное, поясное и декретное время Время на меридиане данного пункта с долготой  называется местным. Вторая теорема сферической астрономии о разности часовых углов светила для вспомогательных точек , ,  экв записывается, как tA - tB =sA - sB = A - B, t A - t B = m A - m B = A - B, t эквA - t эквB = mA - mB = A - B. Отсюда следует, что разность местных времен двух пунктов равна разности долгот этих пунктов. В географической системе координат гринвичский меридиан принят за начальный,  = 0. Местное время гринвичского меридиана обозначается большими буквами S, M, M. Среднее солнечное время на меридиане Гринвича M называется Всемирным временем и обозначается UT (Universal Time). Из приведенных формул следует: s - S =   | EW m - M =   | EW m - UT =   | EW Эти соотношения лежат в основе метода определения долгот полевых пунктов: местное время астроном определяет по часовому углу светила, гринвичское - по радиосигналам точного времени. Поясное время В повседневной жизни использование местного времени неудобно, поскольку на разных меридианах - разное местное время, даже в пределах одного города. Поэтому введена система измерения времени по часовым поясам - поясное время Тn, где n - номер пояса. На поверхности Земли выбраны 24 меридиана через 150, с долготами n, равными соответственно 0h, 1h, ... , 23h. Эти меридианы - оси 24 часовых поясов с номерами от 0 до 23. В границах всего часового пояса показания часов ставят по времени осевого меридиана, равного среднему солнечному времени m на этом меридиане: Тn = m(n) . Разность поясных времен в двух пунктах равна разности долгот осевых меридианов или разности номеров их часовых поясов: Tn1 - Tn2 =  n1 -  n2 = n1 - n2. Гринвичский меридиан является осевым в нулевом часовом поясе (n=0), и Всемирное время UT есть поясное время нулевого часового пояса: UT = T0, Tn = T0 + n = UT + n. Декретное время С 16 июля 1930г декретом Правительства СССР стрелки часов в нашей стране были переведены относительно поясного времени на 1 час вперед. Такое время получило название декретного, обозначаемого Dn. С 1980г в нашей стране введено летнее время (прибавлением 1 часа), которое действует с последнего воскресенья марта по последнее воскресенье октября. Таким образом, декретное время Dn есть Dn = Тn + k, где k = 2h для летнего времени, k = 1h для зимнего. Декретное время можно вычислить по следующей формуле: Dn = UT + (n+k) = m + [(n+k) - E]. Декретное, поясное и всемирное время – варианты системы среднего солнечного времени, образованные лишь смещением нульпунктов на постоянную величину. 2.6 Связь между средним солнечным временем m и звездным временем s. Системы среднего солнечного времени и звездного времени основаны на суточном вращении Земли, но имеют различный масштаб – различную продолжительность звездных и средних солнечных суток. Различие масштабов обусловлено тем, что Земля, кроме суточного движения вокруг оси, совершает годичное движение вокруг Солнца. Пусть начала звездных и солнечных суток совпадают (см. рис.18). Земля участвует в двух движениях (суточном и годичном), поэтому через одни сутки Земля пройдет по орбите расстояние, равное дуге примерно 10 (или 4m) , и звездные сутки закончатся раньше солнечных на величину, примерно равную 4m. Точное значение величины, на которую отличаются звездные и средние солнечные сутки есть 24h/365.2422 cут = 3m56.555s. Тропический год – промежуток времени между двумя последовательными прохождениями истинного Солнца через точку весеннего равноденствия - содержит 365.422 средних солнечных суток и 366.2422 звездных суток. Отсюда 1 ср. солн. сутки = (366.2422/365.2422)зв. суток = (1 + )зв. суток, где  = 1/365.2422 = 0.0027379093 – масштабный коэффициент перехода от средних солнечных единиц к звездным. Следовательно, m средних единиц времени содержат (1+)m единиц звездного времени, s = (1+)m. Для обратного перехода от звездного к среднему солнечному времени справедливо выражение 1 зв. сутки = 365.2422/366.2422 ср. солн. суток. = (1 - )ср. солн. суток, где  = 1/366.2422 = 0.0027304336 – масштабный коэффициент перехода от звездных единиц к средним солнечным. Итак, s звездных единиц времени содержат (1 - ) s единиц среднего солнечного времени, m = (1 - ) s. Эти формулы дают возможность перехода от интервалов среднего сол­нечного времени к интервалам звездного времени и обратно. 2.7 Звездное время в среднюю полночь на различных меридианах В момент средней полночи (нижней кульминации среднего экваториального Солнца) часовой угол среднего экваториального Солнца равен 12h, и звездное время в среднюю полночь есть s0 =  ср.экв + 12h. Звездное время в полночь на меридиане Гринвича обозначается S0. В Астрономическом Ежегоднике публикуются значения S0 на каждый день года. Выражение для S0 на любую дату находится по формуле: S0 = 6h41m50.55s + 236.555sd + 0.093104s T2 - 6.27 s 10-6 T3. где d - число суток, прошедших от эпохи 2000, янв.,1, до гринвичской полуночи рассматриваемой даты, T - промежуток времени d, выраженный в юлианских столетиях по 36525 суток, то есть T = (JD-2451545)/36525. Так как полночь на разных меридианах наступает не одновременно, то звездное время в местную полночь на разных меридианах не одинаково. Момент s0E к востоку от Гринвича наступает раньше S0, а момент s0W (к западу) - позже. В одном и том же пункте звездное время в полночь за сутки увеличивается на вели­чину 24h, а за промежуток времени, равный , звездное время в местную полночь будет отличаться от S0 на , т.е. s0 = S0   |WЕ . 2.8 Переход от звездного времени к среднему и обратно Переход от звездного времени s к среднему m и обратно понятен с использованием рис. 19, где физическое время измеряется двумя шкалами – средней солнечной и звездной. Здесь среднее солнечное время m равно промежутку времени (s- s0), переведенному в средние солнечные единицы, m = (s-s0)(1-) =(s-s0) - (s-s0) , а звездное время s есть время в полночь s0 плюс интервал среднего солнечного времени m, переведенный в звездные единицы, s = s0 + m(1+) = s0 + m + m. Для Гринвичского меридиана формулы аналогичны: UT = (S-S0)(1-) = (S-S0) - (S-S0), S = S0 + UT(1+) = S0 + UT + UT . 2.9 Неравномерность вращения Земли Системы измерения времени, основанные на суточном вращении Земли, считаются равномерными настолько, насколько равномерно вращение Земли. Однако продолжительность полного оборота Земли вокруг оси не постоянна. Еще в XYII веке на основании расхождений в вычисленных и наблюденных координатах Луны и планет было обнаружено, что скорость вращения Земли непрерывно замедляется. С изобретением кварцевого, а затем атомного генераторов частоты, позволяющих измерять промежутки времени с погрешностью 10-11 сек, было установлено, что вращение Земли имеет периодические и случайные изменения скорости. Выделяют три вида неравномерностей вращения Земли. 1. Вековое замедление скорости вращения Земли – продолжительность суток увеличивается на 0.0023s за 100 лет. Замедление вращения Земли вызвано тормозящим действием лунных и солнечных приливов. 2. Периодические (сезонные) изменения скорости вращения Земли. Периоды колебаний – 0.5 года и 1 год. Продолжительность суток в течение года может отличаться от средней на 0.001s. Причина явления – сезонные перераспределения воздушных масс на поверхности Земли. 3. Нерегулярные изменения скорости вращения Земли. Продолжительность суток увеличивается или уменьшается на несколько тысячных долей секунды (“скачком”), что по амплитуде превышает столетние приливные изменения. Возможные причины явления – изменение атмосферной циркуляции, перемещение масс внутри Земли, влияние тяготения планет и Солнца. Вывод: из-за своих неравномерностей вращение Земли вокруг оси не может являться эталоном для измерения времени. В небесной механике и дифференциальных уравнениях гравитационных теорий движения небесных тел в качестве независимого аргумента должна быть идеально равномерная шкала времени. 2.10 Эфемеридное время ЕТ Идеально равномерная шкала времени, введена по решению 8 съезда Международного Астрономического Совета с 1952г. 1. Механизм - обращение Земли в течение года вокруг Солнца. 2. Масштаб - продолжительность одной эфемеридной секунды, равной 1/31556925.9747 тропического года. Так как тропический год не является постоянным, то за эталон принята продолжительность конкретного тропического года в фундаментальную эпоху 1900.0, янв.0, 12h ЕТ. 3. Нульпункт - фундаментальная эпоха 1900, 0 янв., 12h ЕТ на начальном меридиане. 4. Способ отсчета - через посредство системы Всемирного времени UT, прибавлением поправки за переход к эфемеридному времени: ET = UT + T , где T – поправка за вековое замедление вращения Земли, которую получают из наблюдений Луны и публикуют в Астрономическом Ежегоднике. В первом приближении, систему ЕТ можно представлять как систему, основанную на суточном вращении Земли, но исправленную за неравномерность этого вращения. Так как эфемеридная секунда привязана к продолжительности вполне определенного года, эталон ЕТ не может быть воспроизведен - это идеальное построение. Шкала ЕТ существовала до 1986 года, затем заменена динамическим временем. 2.11 Атомное время TAI С появлением в 1955 году сверхстабильных эталонов частоты, основанных на квантовых переходах между энергетическими уровнями молекул и атомов, стало возможным создание атомных шкал времени. Атомное время TAI - время, в основу измерения которого положены электромагнитные колебания, излучаемые атомами или молекулами при переходе из одного энергетического состояния в другое. Масштаб системы TAI принят равным масштабу ЕТ, то есть атомные часы есть физическое воспроизведение шкалы эфемеридного времени ЕТ. Точность воспроизведения до 210-12 сек. Решением XII Генеральной конференции мер и весов в 1967 году единица TАI - 1 атомная секунда - приравнена продолжительности 9192631770 периодов излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133. Относительная точность цезиевого эталона частоты 10-10-10-11 в течение нескольких лет. Нульпункт шкалы TAI сдвинут относительно нульпункта шкалы ЕТ на постоянную величину - ЕТ = АТ + 32.184s. Эталон атомного времени не имеет ни суточных, ни вековых колебаний, не стареет и обладает достаточной определенностью, точностью и воспроизводимостью. 2.12 Динамическое время С 1986 года шкала эфемеридного времени ЕТ заменена двумя шкалами динамического времени DT: 1) Земное динамическое время TDT, равное по масштабу ET, отнесено к центру масс Земли и служит независимым аргументом видимых геоцентрических эфемерид, в том числе при определении эфемерид ИСЗ; 2) Барицентрическое динамическое время TDB, которое учитывает движение центра масс Солнца вокруг центра масс всей Солнечной системы (барицентра Солнечной системы). Отнесено к барицентру Солнечной системы и является аргументом дифференциальных уравнений всех гравитационных теорий движения тел Солнечной системы в Ньютоновом приближении. Различие ТDB и TDT состоит в периодических вариациях масштаба с амплитудой 0.00166s. 2.13 Системы Всемирного времени. Всемирное координированное время Всемирное время UT, по определению, есть среднее солнечное время на меридиане Гринвича. Из-за неравномерности вращения Земли Гринвичский меридиан вращается также неравномерно. Кроме того, в результате непрерывного перемещения оси вращения в теле самой Земли географические полюса смещаются по поверхности Земли, а вместе с ними изменяют свое положение и плоскости истинных меридианов. Из-за этих факторов различают следующие системы измерения времени: UT0 – время на мгновенном гринвичском меридиане, определенное по мгновенному положению полюсов Земли. Это время, непосредственно получаемое из астрономических наблюдений суточных движений звезд; UT1 – время на среднем гринвичском меридиане, исправленное за движение земных полюсов, UT1 = UT0 + , где  - поправка, зависящая от координат мгновенного полюса, отсчитываемых относительно общепринятого среднего полюса (см. раздел “Движение земных полюсов”); UT2 – время, исправленное за сезонную неравномерность вращения Земли Ts: UT2 = UT1 + Ts. Для согласования наблюденного всемирного времени UT1 и строго равномерного времени TAI с 1964 года ввели равномерно-переменную шкалу времени UTC - всемирное координированное время. Масштабы UTC и TAI равны, а нульпункт меняется скачком. Между UTC и UT1 накапливается расхождение, обусловленное, во-первых, неравномерностью шкалы UT1, а, во-вторых, неравенством масштабов UT1 и TAI (1 атомная секунда не равна в точности 1 секунде UT1). При нарастании расхождения между UTC и UT1 до 0.7s производится корректировка скачком на 1s: UTC = TAI + b, где b = 1s, если |UTC-UT1| > 0.7s, b = 0, если |UTC-UT1| < 0.7s. О моментах ввода поправки в 1s заранее сообщается в печати. Сигналы точного времени передаются по радио и телевидению в системе UTC. 2.14 Время спутниковых навигационных систем Спутниковые навигационные системы GPS (США) и ГЛОНАСС (Россия) функционируют в собственном системном времени. Все процессы измерений фиксируются в этой шкале времени. Необходимо, чтобы шкалы времени используемых спутников были согласованы между собой. Это достигается независимой привязкой каждой из шкал спутников к системному времени. Системная шкала времени есть шкала атомного времени. Она задается сектором управления и контроля, где поддерживается с точностью более высокой, чем бортовые шкалы спутников. Системное время GPS есть Всемирное координированное время UTC, отнесенное к началу 1980г: TGPS = UTC(1980.0). Поправки TGPS к Всемирному координированному времени UTC регистрируются с высокой точностью и передаются в виде постоянной величины в навигационном сообщении, а также публикуются в специальных бюллетнях. Системное время ГЛОНАСС периодически подстраивается под всемирное координированное время, и TГЛОНАСС = UTC. 3 Астрономические факторы 3.1 Общие положения Известно, что вследствие суточного вращения Земли горизонтальные координаты звезд А, z и их часовые углы t непрерывно меняются, а экваториальные координаты - остаются постоянными. Но есть факторы, которые изменяют само положение светила на небесной сфере. Эти изменения координат необходимо учитывать при обработке астрономических определений. Все астрономические факторы делятся на две группы: 1. Факторы, связанные с изменением положения светила на небесной сфере: - рефракция; - суточный и годичный параллакс; - суточная и годичная аберрация; - собственное движение звезд; - гравитационное отклонение света. 2. Факторы, связанные с изменением ориентировки в пространстве координатных систем: - движение земных полюсов; - изменение положения оси мира в пространстве: прецессия (долгопериодическое колебание) и нутация (короткопериодическое колебание). 3.2 Факторы, связанные с изменением положения светила на небесной сфере 3.2.1 Астрономическая рефракция Астрономическая рефракция - явление преломления лучей света в земной атмосфере. Вследствие рефракции наблюдаемое (измеряемое) направление на светило не соответствует действительному, которое имело бы место при отсутствии атмосферы. Угол , на который отклоняется луч в атмосфере, также называется рефракцией. Строение атмосферы сложное и нестабильное. Чтобы получить формулу, вполне определяющую величину рефракции, надо выбрать модель атмосферы. Существует несколько моделей атмосферы. В геодезической астрономии принята модель нормальной атмосферы, определяющаяся следующими положениями: - атмосфера состоит из ряда слоев; - плотность воздуха  в каждом слое постоянна и убывает с высотой; - нормаль к границе двух сред, проведенная в точке падения луча, совпадает с отвесной линией. В основе теории рефракции лежат законы преломления света: 1) Луч падающий, луч преломленный и нормаль, проведенная в точке падения к границе двух сред лежат в одной плоскости. Отсюда следует вывод, что для нормальной атмосферы преломление света происходит в вертикальной плоскости, то есть рефракция влияет только на зенитное расстояние, но не на азимут светила. 2) Закон Снеллиуса. Отношение синуса угла падения i1 к синусу угла преломления i2 для данных двух сред есть величина постоянная, равная отношению показателя преломления 2 к показателю преломления 1: sin i1/sin i2 = 2 /1 . Отсюда следует, что если плотность второго слоя 2 больше плотности первого слоя 1, то 2>1 , и i2 < i1, то есть луч, попадая из менее плотного слоя в более плотный слой, отклоняется к отвесной линии. Влияние астрономической рефракции на горизонтальные координаты светила. Допустим, что поверхность Земли - плоскость в точке наблюдения М (рис.17). Луч, падающий в вакууме от звезды, преломляется, попадая в земную атмосферу. Вследствие этого наблюдаемое направление на светило не соответствует действительному, которое имело бы место при отсутствии атмосферы. На рисунке видно, что топоцентрическое зенитное расстояние zтоп есть сумма измеренного зенитного расстояния z' и рефракции : zтоп = z' + . Для модели нормальной атмосферы астрономическая рефракция не изменяет горизонтальное направление, то есть, Aтоп = A'. Вывод формулы для вычисления рефракции. Согласно закону Снеллиуса sin zтоп/sin z' = /1, отсюда sin zтоп =  sin z', или sin(z'+) =  sin z'. Раскроем левую часть: sin z' cos + sin  cos z' = sin z' . Поскольку угол  мал, то cos  ~ 1, sin  = "/206265. Тогда sin z' + cos z'"/206265 =  sin z'. Разделим обе части выражения на sin z' и выразим ": " = (-1) tg z' 206265. Таким образом, астрономическая рефракция  зависит от зенитного расстояния светила и коэффициента преломления воздуха. Показатель преломления  пропорционален плотности атмосферы , которая, в свою очередь, зависит от температуры и давления. Используя законы Бойля-Мариотта и Гей-Люссака можно записать для любого состояния атмосферы: = 21.67" B tg z'/(273 + toC) , где В - давление, мм рт.ст., t – температура в градусах Цельсия, z'- измеренное зенитное расстояние. Для нормальной атмосферы с to=0oC и В=760 мм рт.ст. 0 = 60.3"tg z', при to=10oC 0 = 58.1"tg z'. Выражения для 0 называются средней рефракцией, применяются в приближенных астрономических определениях с точностью грубее 1". С увеличением зенитного расстояния величина рефракции растет. На горизонте значение рефракции для нормальной атмосферы достигает величины примерно 35. Согласно Инструкции о построении ГГС разрешено производить измерения для астрономических определений 1 класса при зенитных расстояниях 00 < z < 500, для приближенных способов – при зенитных расстояниях 00 < z < 800. 3.2.2 Параллакс Параллакс – это изменение направления на объект при наблюдении его из разных точек пространства. Земля участвует в двух движениях - суточном и годичном, поэтому наблюдения небесных светил, выполняемые даже с одного и того же пункта земной поверхности, всякий раз производят из разных точек пространства. Суточный параллакс возникает вследствие наблюдения светил в разное время суток. Поправка за суточный параллакс есть приведение наблюдений, выполненных на поверхности Земли, к центру Земли (переход от топоцентрических координат к геоцентрическим). Годичный параллакс обусловлен наблюдениями в разное время года. Поправка за годичный параллакс - приведение наблюдений к центру Солнца (барицентру Солнечной системы), или переход от геоцентрических координат к гелиоцентрическим (барицентрическим). Влияние суточного параллакса на горизонтальные координаты Солнца Так как суточный параллакс мал (для Солнца он меньше 9"), то для изучения суточного параллакса Землю можно считать сферической. На рис.18 отмечены положение наблюдателя М, центр масс Земли С и Солнце S. Точки С, М, S лежат в вертикале светила; параллактическое смещение происходит в этой плоскости, следовательно, изменяется только зенитное расстояние светила. Геоцентрические координаты Солнца равны zгеоц = zтоп - P , Aгеоц= Aтоп, где P – суточный параллакс Солнца. Из CMS следует: sin P = R/D  sin zтоп . По малости P можно выполнить замену sin PP"/206265, и записать P"= R/D  sin zтоп206265. Суточный параллакс максимален на горизонте, при zтоп = 90o. В этом случае величина P называется горизонтальным параллаксом светила. Угол P0, под которым из центра светила, наблюдаемого в горизонте точки, расположенной на экваторе, виден экваториальный радиус Земли а, называется горизонтальным экваториальным параллаксом (рис.19). Значения горизонтального экваториального параллакса Солнца приводятся в АЕ, в таблице "Солнце". В геодезической астрономии параллакс Солнца учитывается по формуле zгеоц = zтоп - P0sin zтоп. Средний горизонтальный экваториальный параллакс Солнца P⊙, вычисленный с базисом, равным радиусу а земного экватора, и со средним расстоянием D0 от центра Солнца до центра Земли – одна из фундаментальных астрономических постоянных. Решениями МАС 1976 и 1979 гг. принято значение P⊙ =8.794". Что же касается влияния суточного параллакса на координаты звезд, то расстояния до них настолько велики по сравнению с размером Земли, что ее можно считать материальной точкой, а суточный параллакс звезд  равным нулю. Годичный параллакс и его влияние на координаты светил Угол , под которым со звезды виден радиус земной орбиты А, перпендикулярный к направлению из центра Земли на звезду, называется годичным параллаксом звезды (рис.20). В силу малости можно записать: " = A  206265/. Впервые годичные параллаксы звезд удалось измерить трем астрономам в 18371840 годах: В.Я.Струве(Пулково,1837) - параллакс Веги ( Lyrae),0.25", Бессель (Кенисберг) - параллакс звезды N61 Лебедя, 0.51", Гендерсон - Центавра, 0.76". Таким образом, были получены прямые доказательства гелиоцентрической теории Коперника и установлены масштабы звездных расстояний. Расстояние до звезды равно  = A/ "  206265, где A - средний радиус земной орбиты, называемый астрономической единицей (а.е.). 1а.е. = 149600  103 км. Большие расстояния до звезд обусловили введение более крупных единиц расстояния: 1 парсек (пк) - расстояние, с которого радиус земной орбиты виден под углом 1". 1пк = 206265 а.е. Параллактические смещения обнаружены только для примерно 6000 звезд, наиболее близких к Солнечной системе. По новейшим данным, ближайшая к нам звезда - проксима Центавра, =0.762", m=10.5. В АЕ, в таблице "Средние места звезд" приводятся значения годичных параллаксов звезд, у которых они больше или равны 0.01". Каталожные координаты 0, 0 в барицентрической системе координат приводятся к центру Земли (геоцентрическим , ) путем введения поправки за годичный параллакс:   0 = cos ⊙sin(⊙0)sec0  0 = (sin⊙cos0 – cos⊙sin0cos(⊙0)), где ⊙, ⊙– геоцентрические координаты Солнца. В векторной форме связь между барицентрическим вектором звезды q и ее геоцентрическим вектором P записывается, как P = q  E, где E – барицентрический вектор положения Земли. 3.2.3 Аберрация Аберрация - отклонение светового луча от действительного направления на светило, происходящее в результате сложения скорости света с относительной скоростью движения пункта наблюдения в пространстве. Аберрацией также называется угол между действительным и искаженным направлением. На рис.21 в центре небесной сферы находится пункт О, с которого наблюдается светило . Точка пересечения действительного направления на светило О с небесной сферой называется истинным местом светила. Наблюдатель перемещается в пространстве со скоростью V. Точка пересечения направления движения с небесной сферой называется апексом аберрации. Вектор Ос', полученный в результате сложения относительной скорости движения (-V) и скорости света С, Ос'= С +(-V), показывает направление распространения луча света относительно пункта О. Точка пересечения этого направления с небесной сферой называется видимым местом светила. Дуга ' есть аберрационное смещение, или аберрация. Аберрационное смещение происходит по направлению к апексу. Величина аберрационного смещения находится из решения плоского треугольника Осс': sin a = V/c  sin u' , где u' = u - a. Так как значение а - мало, то можно записать a" = V/c  sin(u-a) 206265". Величина k=V/c206265 называется коэффициентом аберрации. Тогда а = ksinu' , или, по малости а, а = ksinu. Так как Земля участвует в двух движениях - суточном и годичном, то различают суточную и годичную аберрации. С учетом аберрации координаты звезды получаются в инерциальной системе, движущейся со скоростью V относительно истинной системы отсчета – выполняется переход от истинного места светила к видимому. Суточная аберрация и ее влияние на координаты светил Суточная аберрация возникает вследствие вращения Земли вокруг оси. Для определения величины аберрационного смещения надо найти коэффициент суточной аберрации и место апекса. Экваториальная скорость вращения Земли vэкв = 0.464км/сек. На широте  Земля вращается со скоростью v = vэквcos . Таким образом, коэффициент суточной аберрации равен k = 0.32" cos = 0.0213s cos  . Так как вектор линейной скорости пункта всегда перпендикулярен плоскости меридиана, а Земля вращается с востока на запад, то апекс суточной аберрации всегда находится в точке востока Е. Рассмотрим влияние суточной аберрации на горизонтальные координаты светил. На рис.22 дуга ' – аберрационное смещение вдоль большого круга, проведенного через  и Е: ' = k sin u = 0.32" cos  sin E. Из решения сферического треугольника Z' можно найти разности z-z' и A-A': z-z' = 0.32" cos cos z sin A, A-A' = 0.32" cos cos A cosec z . Из формул видно, что поправки за суточную аберрацию максимальны на экваторе. Для широты  при наблюдении звезд в зените и первом вертикале поправка в зенитное расстояние максимальна, по азимуту же аберрационного смещения нет; при наблюдении звезд в меридиане картина обратная. В геодезической астрономии поправку за суточную аберрацию часто вводят не в горизонтальные координаты A' и z', а в момент наблюдения, как Ta = -0.021s cosZ. Формулы для учета влияния суточной аберрации на экваториальные координаты светила выводятся подобным образом из решения сферических треугольников: ' = -(t-t') = 0.021s cos  cos t sec , -' = 0.32" cos sin t sin . При  > 800 влияние суточной аберрации становится заметным. При t = 0h или t = 12h влияние суточной аберрации на прямое восхождение максимально, а на склонение влияния нет. При t = 6h или t = 18h картина обратная. Годичная аберрация Годичная аберрация возникает вследствие вращения Земли вокруг Солнца. Явление годичной аберрации открыто и объяснено английским астрономом Джеймсом Брадлеем в 1725-1728 годах, при попытке определить параллактическое смещение звезд. Наблюдаемое смещение отличалось от ожидаемого параллактического по фазе на 900. Величина коэффициента годичной аберрации определяется значением скорости движения Земли по орбите. Так как Земля движется неравномерно, то средняя скорость Земли находится по формуле v0 = 1/2  (va + vп) , где vп - скорость в перигелии (максимальная), vа - скорость в афелии (минимальная). Коэффициент годичной аберрации k0, вычисленный со средней скоростью v0, называется постоянной годичной аберрации. Решениями Генеральных ассамблей МАС было принято следующее значение постоянной аберрации в стандартную эпоху J2000.0: k0 = 20.49552" . Место апекса годичной аберрации определяется с помощью рис.23. По рисунку можно сделать выводы: - апекс находится на эклиптике (в плоскости орбиты Земли); - эклиптическая долгота апекса A на 900 меньше долготы Солнца ⊙, A = ⊙- 900 . Влияние годичной аберрации на экваториальные координаты светил . Разности истинных и видимых экваториальных координат светила определяются из решения сферических треугольников (см. рис. 24). После ряда преобразований получаем: (') cos= k0·v/v0·(cosA sin sinAcoscos), (') = k0·v/v0· (cos A cos  sin  + + sin A sin sin cos sinA cos  sin ). В первом приближении, считая орбиту Земли круговой (v = v0, A =⊙-900), можно записать (') cos  = k0· (sin ⊙ sin + cos ⊙ cos  cos ), (') = k0· (sin ⊙ cos  sin  cos ⊙ sin  sin  cos  cos ⊙ cos  sin ). Введем следующие обозначения: С= k0cos⊙ cos, D= k0sin⊙, c=1/15·cossec , c'=tgcos sinsin, d=1/15·sin sec, d'= cos  sin . С учетом этих обозначений выражения примут вид: ' = Cc + Dd , ' = Cc'+ Dd' . Коэффициенты с,с',d,d' зависят только от  и  и меняются незначительно. Их называют редукционными постоянными. Значения с, c', d, d' приводятся в АЕ для каждой звезды в таблице “Видимые места звезд”. Коэффициенты С и D меняются в зависимости от долготы Солнца, их значения на каждый день можно найти в АЕ, в таблице "Редукционные величины". В современной процедуре вычисления видимых мест звезд аберрация учитывается в векторной форме. Собственное направление на звезду p1 в геоцентрической инерциальной системе, движущейся со скоростью V относительно истинной системы отсчета, определяется, как: p1 = где p – направление на звезду в неподвижной системе отсчета (в геоцентрической экваториальной системе координат); V=Ev/c=0.005 7755 Ev; = (1-V2)-1/2; c – скорость света; Ev - барицентрический вектор скорости Земли; точка означает скалярное произведение. Таким образом, учитывая аберрацию, координаты звезды получают в инерциальной системе отсчета, движущейся со скоростью v относительно истинной системы отсчета. 3.2.4 Собственное движение звезд Звезды в пространстве движутся в различных направлениях, с различными скоростями, в среднем порядка несколько десятков километров в секунду. Движется и само Солнце вокруг центра Галактики, со скоростью около 240 км/сек, и к апексу - в направлении созвездия Геркулеса со скоростью около 30 км/сек. Собственное движение - наблюдаемое изменение направления на звезду, обусловленное движением ее в пространстве относительно Солнца. Следствием собственного движения звезд является изменение очертания созвездий. Пусть светило движется относительно Солнца со скоростью v (рис.25), которую можно разложить на 2 составляющие: 1) vr - радиальная скорость, направленная вдоль светового луча; определяется по смещению спектральных линий; 2) vt - тангенциальная скорость, в направлении, перпендикулярном световому лучу. Видимое перемещение светила происходит по направлению тангенциальной скорости. Если 1(1,1) - положение светила в эпоху t1, а 2(2,2) - положение светила в эпоху t2, то собственное движение по склонению  и собственное движение по прямому восхождению  определяются по следующим формулам:  = (1 -2)/(t1-t2) ,  = (1 - 2)/(t1-t2). Полное собственное движение звезды запишется, как  =(( соs )2 + 2)1/2. Как правило, разность между эпохами t1,t2 выражается в годах. Поэтому  и  - годичные изменения координат светил. Если за эпоху (t1-t2) произошло изменение координатной системы, то  и  будут изменяться. По современной технологии вычислений эти изменения необходимо учитывать. Из всех известных сейчас самое большое собственное движение имеет звезда Барнарда ("летящая звезда", 9.7m, годичное =10.27"), которая за 100 лет смещается по небесной сфере на 17', что больше углового радиуса Солнца. 3.2.5 Гравитационное отклонение света Гравитационное отклонение света – изменение направления на объект при прохождении света вблизи больших масс (под действием тяготения). Теоретические основы явления – в общей теории относительности Эйнштейна. Отклонение света экспериментально зафиксировано при наблюдении звезд во время солнечного затмения 1919г (А. Эддингтон). Поправка за гравитационное отклонение света в измеренное направление на звезду вычисляется по следующей формуле: p = 2(e-(pe)p)/c2E(1+ pe), где с  скорость света, =GM – гравитационный параметр, Е – расстояние от Земли до Солнца, e, p – единичные векторы гелиоцентрического направления на Землю и звезду соответственно, pe – скалярное произведение векторов. Если геоцентрические направления на Солнце и звезду совпадают (угол между векторами p, e равен 1800), то скалярное произведение (pe)= 1, и в формуле вычисления поправки p возникает деление на ноль. При малом угловом расстоянии звезды от Солнца p достигает величины 1.6". Но уже при удалении звезды от Солнца на 440 значение поправки становится равным примерно 0.01". Поскольку наблюдения звезд в геодезической астрономии выполняются на удалениях звезд от Солнца, больших, чем 440, то поправкой за гравитационное отклонение света в этих случаях можно пренебречь. Итак, рассмотрена 1-я группа факторов, изменяющих координаты светил: 1. Рефракция (при 00  Z  900, 00    2000"); 2. Параллакс (суточный P⊙  8.8", годичный  max = 0.762"); 3. Аберрация (kгод  20.5" , kсут  0.32"); 4. Собственное движение звезд (как правило, не превышает 1" в год). 5. Гравитационное отклонение света (для наблюдений на удалении начиная с 60 градусов от Солнца практически равно нулю). 3.3 Астрономические факторы, связанные с изменением ориентировки координатных систем 3.3.1 Движение земных полюсов Движение земных полюсов заключается в том, что при вращении Земли по инерции, то есть независимо от каких-либо возмущающих внешних сил, отмечается изменение положения Земли относительно ее оси вращения. Иначе говоря, ось вращения проходит то через одни, то через другие точки земной поверхности, вследствие этого изменяются географические координаты пунктов и. Подвижный полюс, называемый мгновенным, описывает на поверхности Земли сложную кривую, не выходя из квадрата со сторонами около 26 метров, то есть максимальное смещение мгновенного полюса относительно некоего среднего положения - меньше 0.5". Движение земных полюсов предсказано Эйлером в 1770 г. Полагая, что Земля – абсолютно твердое тело, Эйлер установил, что движение полюса должно совершаться по кругу в направлении суточного вращения Земли с периодом, равным 10 месяцев. Этот теоретический период движения земных полюсов назван Эйлеровым периодом. В 1891 г. американский астроном Чандлер на основании обработки нескольких десятков тысяч широтных наблюдений определил эмпирическим путем период свободных колебаний полюса, равный 14 месяцам. Различие теоретического и действительного периодов объяснил в начале XX века Ньюком: причина различия – в эластичности Земли, ее способности к упругим деформациям. По современным данным, период свободных колебаний составляет около 437 звездных суток. Из наблюдений установлены следующие периоды движения полюсов: 14-месячный (Чандлеров), 12-месячный (годовой), 6 -месячный (полугодовой). Последние два периода связаны с сезонными метеорологическими изменениями, происходящими на Земле. Под вопросом остается существование систематического векового движения полюсов с периодами от десятков до тысяч и миллионов лет, из-за недостаточного количества точных рядов наблюдений. Современный уровень точности позволяет фиксировать суточное движение полюсов с амплитудой 0.05 м. Для определения координат мгновенного полюса x,y в 1898г была организована Международная Служба Широты (МСШ). В нескольких странах на параллели с широтой 3908' были созданы обсерватории, снабженные зенит-телескопами для регулярных определений широты по общей программе. Принцип определения x,y заключается в совместном решении системы уравнений вида x cos i - y sin i = i – 0, где i , i – мгновенные (наблюденные) широта и долгота, 0  средняя широта. В настоящее время координаты полюса определяют совместно с неравномерностью вращения Земли, как параметры вращения Земли (ПВЗ). В России определением ПВЗ занимается Государственная служба времени и частоты (ГСВЧ); несколько десятков станций по всему миру доставляют сведения для Международной службы вращения Земли (International Earth Rotation Service, IERS). Координаты мгновенного полюса x,y публикуются в Бюллетне "Всемирное время и координаты полюса" на эпоху наблюдения. Результаты астрономических определений широты , долготы  и азимута а приводят к Условному Земному Полюсу (УЗП), вводя поправки за движение полюса: = x cos  - y sin  ,  = 1/15 (x sin  + y cos ) tg , a = (x sin  + y cos ) sec . Движение полюсов на влияет на экваториальные и эклиптические координаты светил. 3.3.2 Изменение положения оси мира в пространстве. 3.3.2.1 Прецессия Сравнение наблюдений звезд, относящихся к различным моментам времени, показывает, что координаты звезд () и, следовательно, вычисленные по ним (A,Z) медленно меняются (даже после учета влияния перечисленных выше факторов). Изменения координат звезд носят систематический характер, следовательно, сама система отсчета меняет свое положение по отношению к неподвижным звездам. Положение экватора определяет ось вращения Земли. Она перемещается в пространстве, и полюс мира РN описывает на небесной сфере сложную кривую, в общих чертах напоминающую небесную окружность малого круга сферического радиуса, равного   23.50, с центром в полюсе эклиптики (см. рис. 27). Полный оборот полюса мира Р вокруг полюса эклиптики R совершается примерно за 26000 лет. Плоскость эклиптики, а, следовательно, и ее полюсы, также изменяют свое положение среди неподвижных звезд, но значительно медленнее, чем полюсы экватора. Очевидно, что вследствие изменений в положении плоскостей экватора и эклиптики точка весеннего равноденствия  не сохраняет постоянного положения среди звезд. Она тоже перемещается по эклиптике навстречу Солнцу. Поэтому прохождение Солнца через точку весеннего равноденствия  происходит каждый год раньше, чем возвращение его в одно и то же место среди звезд. Это явление было названо прецессией (лат. praecessio aequinoctium - предварение равноденствия). Явление прецессии было открыто во II в до н.э. греческим астрономом Гиппархом. В настоящее время годичная прецессия, полученная по современным наблюдениям, принята равной 50.2". Период прецессии составляет 25600 лет. Физическая и механическая сущность прецессии Впервые объяснение прецессии как явления было дано в 1687г Ньютоном в его труде "Математические принципы натуральной философии". Полную теорию возмущения вращательного движения Земли разработал Даламбер (1717-1783г). Механическими причинами, вызывающими явление прецессии и нутации, являются возмущающие действия сил тяготения масс Солнца, Луны и планет вращающейся эллипсоидальной Земли. Рассмотрим рис.28, на котором изображены Земля и Солнце. Сила притяжения Земли Солнцем, точка приложения которой совпадает с центром тяжести Земли О, влияет только на поступательное движение Земли, а не на вращательное. Силы притяжения избыточных масс, приложенные к точкам А и В, обозначены как FA, FB, причем |FA| < |FB|. Равнодействующая этих сил F не совпадает с центром О и пройдет через точку О' ближе к Солнцу. Эта сила влияет не только на поступательное, но и на вращательное движение Земли, следовательно, фигура Земли будет поворачиваться, стремясь совместить плоскость экватора с плоскостью эклиптики. Вектор угловой скорости поворота Земли М' показан рис.28. Результирующий вектор М1 = M0 + М' - вектор, направление которого определяет мгновенное положение оси вращения Земли. Аналогом вращающейся Земли является гироскоп, или "волчок", ось вращения которого также испытывает прецессионное движение. В механике при прецессии наклон оси вращения постоянен. Кроме лунно-солнечной прецессии, не изменяющей наклон оси вращения Земли к плоскости эклиптики, наблюдается прецессия от планет. Она выражается в том, что плоскость и полюс эклиптики медленно вращаются с периодом около 60 тыс. лет. Вследствие этого наклон эклиптики к экватору меняется. Наклон эклиптики к экватору t на момент t вычисляется по формуле t = t0 – 46,8150T – 0,00059T2 + 0,001813T3, где t0 = 2302621,448 – наклон эклиптики к экватору на фундаментальную эпоху J2000.0, T = (JDt – JDt0)/36525 – время, прошедшее от фундаментальной эпохи, выраженное в юлианских столетиях. Влияние прецессии на экваториальные координаты звезд Пусть точка весеннего равноденствия и полюс Мира совершают только вековое, прецессионное движение. Тогда 0 - средняя точка весеннего равноденствия, P0 - средний полюс мира, определяющий положение среднего экватора, 0 - средний наклон эклиптики к экватору. Координаты светил, отнесенные к среднему экватору и к средней точке весеннего равноденствия, называются средними координатами. Они изменяются с течением времени, поэтому даются с указанием соответствующего момента времени, называемого эпохой (J2000.0, 1950, 1975 и т.д.). На рис.29 показано прецессионное движение среднего полюса мира: положение среднего полюса P0 на эпоху t0 и положение среднего полюса P0' на эпоху t. Вследствие прецессии происходит смещение по эклиптике точки  на величину 00'=d1. Элементарное смещение d1 можно разложить на составляющие: 0M = d1cos 0 - проекция d1 на экватор, или лунно-солнечная прецессия по прямому восхождению, 0'M = d1sin 0 - проекция d1 на круг склонения, или лунно-солнечная прецессия по склонению. Если эти величины отнести к единице времени - тропическому году, то n = d1/dt · sin 0 - годичная лунно-солнечная прецессия по склонению, m1 = d1/dt · cos 0 - годичная лунно-солнечная прецессия в экваторе (по прямому восхождению), m = m1 - q1 - годичная общая прецессия в экваторе (где q1 - прецессия от планет в экваторе). Значения прецессионных величин m, n и среднего наклона эклиптики к экватору 0 приводятся в Астрономическом Ежегоднике: n2000.0 = 20.051", m2000.0 = 46.071" . Пусть даны средние экваториальные координаты светила 0, 0 на эпоху t0. Чтобы определить средние на эпоху t, надо учесть влияние прецессии за промежуток времени tt0:  = 0 ,  = 0. Разложим  и  в ряд Тейлора, ограничиваясь членами третьего порядка:  = d/dt·(tt0) + d2/dt2· (tt0)2/(1·2) + d3/dt3· (tt0)/(1·2·3)+…,  = d/dt·(tt0) + d2/dt2· (tt0)2/(1·2) + d3/dt3· (tt0)/(1·2·3)+…, где первые, вторые и третьи слагаемые есть соответственно годичные, вековые и тысячелетние изменения координат. Для учета влияния прецессии на координаты светил в интервале 1 года ограничиваются первыми членами разложений в ряд Тейлора: d/dt = m + n tgsin, d/dt = n cos. Отсюда значения , исправленные за прецессию равны:  = 0 + = 0 + 1/15 (m + n tgsin)(tt0),  0 +  = 0 + n cos(tt0). Эти формулы - приближенные, справедливы в течение года для любых светил, кроме близполюсных. Для вычисления средних экваториальных координат в различные эпохи и на больших промежутках времени существует специальный математический аппарат, использующий матрицы и углы поворота. 3.3.2.2 Нутация Нутация – короткопериодические колебания оси мира в пространстве, или колебания истинного полюса мира относительно среднего. В 1747г английский астроном Брадлей установил, что полюс мира обладает не только вековым движением - прецессией, но и периодическим - нутацией, периоды которой равны от 18 и 2/3 года и меньше. Максимальный период нутации 18 2/3 года равен периоду прецессии лунной орбиты вокруг оси эклиптики. Прецессия вызвана гравитационным взаимодействием между массами Земли и Луны. Итак, на постоянное прецессионное движение среднего полюса мира вокруг полюса эклиптики накладывается дополнительное движение по эллипсу – нутационное (см. рис. 30). В конечном счете, происходит движение по синусоиде. Различают нутацию: в эклиптике (по долготе) - [] , в наклоне (изменение ) - [], которые разделяются на долгопериодические и короткопериодические части: [] =  + d , [] = + d . Значения [] и [] зависят от положения Луны и Солнца, и приводятся в виде разложений по тригонометрическим функциям в Астрономическом Ежегоднике ([] – 106 членов, [] – 81 член разложения). Если ограничить нутацию по долготе и наклону первыми, главными членами формул, то [] = 6.86" sin  = x, [] = 9.21" cos  = y, или x/9.21" = cos, y/6.86" = sin , где  - долгота восходящего узла лунной орбиты. Если эти равенства возвести в квадрат и сложить, то получится выражение x2/9.212 + y2/6.862 = 1, описывающее траекторию истинного полюса по отношению к среднему в виде канонического уравнения эллипса с центром в P0 и полуосями 9.21" и 6.86". То есть, истинный полюс мира Р будет описывать вокруг среднего полюса мира Р0 нутационный эллипс с размерами 6.86" на 9.21". С положением истинного и среднего полюсов Мира связаны истинная и средняя точки весеннего равноденствия, поэтому различают истинное и среднее звездное время: sист = t  ист , sср = t  ср. Влияние нутации на экваториальные координаты светила Координаты светила ', ', отнесенные к действительным (истинным) положениям точки весеннего равноденствия, полюса Мира и экватора называются истинными. Пусть даны средние координаты  светила в момент t, и требуется определить его истинные координаты ', ' на этот же момент. Истинные и средние экваториальные координаты, как функции от эклиптических, записываются в виде:  = f1() ,  = f2 (), '= f1 (',','), ' = f2 (',','). Нутация изменяет эклиптическую долготу светила на [] и наклон эклиптики к экватору на [], но не влияет на широту, поэтому ' = f1 (, , ), ' = f2 (, , ). Отсюда выражения для редукций будут следующие:  = /·[ + ·[ ,  = /·[+ ·[. Если найти значения частных производных (запишем их без вывода), то:  = [](cos + sin sin tg) - [] costg,  = [] sin cos + [] sin . z. ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АСТРОНОМИЯ Общие принципы определения географических координат и азимутов направлений из наблюдений светил Из геометрии небесной сферы следует, что географическая широта , направление меридиана NS и местное звездное время s в некоторый момент наблюдения T в каком-либо пункте земной поверхности могут быть определены, если для этого момента определено положение зенита Z на небесной сфере. Первая теорема сферической астрономии: высота полюса Мира равна широте места наблюдения и равна склонению зенита, hP =  = z. Значит, чтобы найти широту места наблюдения, достаточно определить склонение зенита z. Вторая теорема сферической астрономии: разность долгот равна разности местных времен, 1-2 = s1-s2, а местное звездное время равно прямому восхождению зенита, s=z. Направление небесного меридиана и полуденной линии, необходимое для получения азимута направления, определяет большой круг, проходящий через полюс Мира и зенит. Положение зенита на небесной сфере Z(z,z) в заданный момент времени T может быть определено: - зенитными расстояниями минимум двух светил z1=z1 и z2=z2 с известными экваториальными координатами 1(1,1) и 2(2,2), - как пересечение по крайней мере двух вертикалов, проходящих через эти светила, то есть, азимутами светил A1 и A2. Все способы астрономических определений географических координат делятся на две основные группы: зенитальные и азимутальные. В зенитальных способах широта и время определяются по измеренным зенитным расстояниям светил, или по разностям зенитных расстояний светил, или из наблюдений групп звезд на одинаковом зенитном расстоянии. Азимутальные способы астрономических определений позволяют определять время и широту по азимутам двух звезд, или по измеренным разностям азимутов звезд, или по наблюдениям групп звезд в одном вертикале. В геодезической астрономии горизонтальные координаты светил (A,Z) считаются измеряемыми, экваториальные координаты светил () – известными, а географические координаты пункта наблюдения и азимут направления (,а) – определяемыми. Связь между определяемыми, известными и измеряемыми величинами осуществляется через решение параллактического треугольника (см. раздел…). Выражение cosZ = sin sin + coscoscost, есть формула связи зенитальных способов астрономических определений, а выражение сtg A = sin ctgZ – tg cos/sint есть формула связи азимутальных способов астрономических определений. В формулах t - часовой угол, t= Tн+u-, где Tн – момент наблюдения, u – поправка часов. Определение азимута направления на земной предмет следует из рисунка: a = A+Q , где Q = МM* - измеренный горизонтальный угол светила, равный разности отсчетов по горизонтальному кругу на земной предмет M и на светило М*, A азимут светила, вычисляtncz по формуле … сtg A = sin ctgZ – tg cos/sint .Для его вычисления надо отнаблюдать в момент Тн светило с известными координатами (), причем поправка часов u в этот момент и широта места наблюдения должны быть известны. В рассматриваемом способе азимут светила А и горизонтальный угол Q постоянно меняются вследствие суточного движения небесной сферы. Это обстоятельство затрудняет контроль ошибок измерений и вычислений, поэтому данный подход применим только в приближенных способах астрономических определений. От недостатка такого подхода избавлен следующий принцип определения азимута: а = МMN, где MN – отсчет по горизонтальному кругу северного направления меридиана, называемый местом Севера. Место Севера определяется из уравнивания наблюдений. Суточное движение небесной сферы не изменяет MN и отсчет по горизонтальному кругу на земной предмет М, поэтому здесь возможен контроль измерений и вычислений. Формула определения азимута … используется в точных способах астрономических определений. Выгоднейшие условия определения времени и широты в зенитальных способах астрономических определений Выгоднейшими условиями наблюдений называются условия, при которых для данных средств измерений достигается максимальная точность определяемых величин. На результаты измерения зенитного расстояния Z светила влияют случайные и систематические ошибки Z; момент Т наблюдения светила определяется с ошибкой T, содержащей также случайную и систематическую части. Широта и долгота пункта наблюдения известны или определяются с некоторыми ошибками  и . Содержат ошибки экваториальные координаты  и  наблюдаемых звезд. При соблюдении выгоднейших условий влияние этих ошибок на вычисление определяемой величины должно быть минимальным. После дифференцирования формулы получим: -sinZdZ = (cossin – sincoscost)d+(sincos-cos sincost)d  coscossint(dT+du-d). Из параллактического треугольника имеем: -sinZcosA = cossinsincoscost, sinZsinA = cossint, sinZcosq = sincos-cos sincost. Сокращая полученные равенства на sinZ, найдем выражение для дифференциала зенитного расстояния: dZ = cosAd+ cossinA(dT +du-d) – cosqd. Решая это уравнение последовательно относительно d и du, а затем, заменяя дифференциалы конечными разностями Z, T, u при условии, что координаты звезды безошибочны (d=0 и d=0), получим дифференциальные формулы ошибки широты и поправки часов:  = Z/cosA – cos tgA(T+u), u = -T + Z/(cossinA) – / (costgA). Анализ формулы … позволяет сделать вывод, что выгоднейшими условиями для определения широты  по измеренным зенитным расстояниям являются наблюдения их в меридиане, то есть когда азимут равен 00 или 1800. В меридиане ошибки момента наблюдения T и поправки часов u не сказываются на определении широты, и ошибка в широте равна ошибке измерения зенитного расстояния. При наблюдении звезды к югу от зенита S = ZS, к северу -  =  Z. Следовательно, при наблюдении звезд парами симметрично относительно зенита систематические ошибки измеренного зенитного расстояния будут компенсироваться. Наивыгоднейшим условиям определения широты по измеренным зенитным расстояниям светил удовлетворяет способ Талькотта. Здесь формулы вычисления широты для наблюдения северной и южной звезд в меридиане записываются в виде: = S + ZS, = N – ZN, отсюда  = ½ (S +N) + ½( ZS– ZN). Определим выгоднейшие условия определения долготы по измеренным зенитным расстояниям светил. Из анализа формулы … следует, что влияние ошибок  и Z на определение долготы будет минимальным при А = 900 и А = 2700, то есть в первом вертикале. При наблюдении западной звезды uW=-TW+ZW/cos, для восточной – uЕ=-TЕ+ZЕ/cos, то есть при наблюдении звезд в первом вертикале парами симметрично относительно зенита ошибки измерения зенитного расстояния будут компенсироваться. Наивыгоднейшим условиям определения долготы по измеренным зенитным расстояниям удовлетворяет способ Цингера. Выгоднейшие условия определения азимута, времени и широты по измеренным горизонтальным направлениям светил Для обоснования выгоднейших условий определения координат используется формула связи азимутальных способов астрономических определений: ctgAsint  sincost + tgcos = 0. Дифференцируя формулу () по переменным A,  и t, заменяя дифференциалы dA, d и dt ошибками A,  и t, получаем выражение для ошибки азимута: A = cosqcos(T+u)/sinZ – sinA/tgZ. Минимальное значение коэффициентов при (T+u) и  бывает при наблюдении близполюсных звезд, у которых   900, а А 1800. Этим условиям удовлетворяет Полярная звезда. Если выбирать звезды по зенитным расстояниям, то влияние ошибок на определение азимута будет минимально на горизонте. Поэтому при определении азимута по Солнцу выгоднейшие условия для наблюдений будут при восходе и заходе Солнца. Выгоднейшие условия определения времени в азимутальных способах определяются из анализа формулы для u, выведенной из выражения …: u = - T + sinZ A/coscosq – cosZsinA/ coscosq. Из формулы следует, что время (долготу) выгоднее всего определять из наблюдения звезд в меридиане, парами, симметрично относительно зенита, на небольших зенитных расстояниях. Аналогично можно определить выгоднейшие условия определения долготы в азимутальных способах, из анализа формулы  = - coscosq(u + T)/ cosZsinA + tgZ A/sinA. Из этого выражения следует, что для определения широты азимутальными способами необходимо наблюдать звезды в первом вертикале, парами, симметрично относительно зенита, на малых зенитных расстояниях. Приближенные способы астрономических определений Приближенные определения азимута земного предмета по наблюдениям Полярной Азимут направления на земной предмет aзп в приближенном способе определяется как aзп = A+Q, где А – вычисленный азимут Полярной звезды, Q – измеренный горизонтальный угол. Азимут Полярной можно вычислить по точной формуле связи азимутальных способов (), либо по приближенной формуле. Для вывода приближенной формулы рассмотрим узкий параллактический треугольник. Опустим из Полярной на меридиан сферический перпендикуляр k. Малый прямоугольный треугольник PNk можно считать плоским, для которого справедливы соотношения: x = cost, y = sint, где t = s- = Тн + u – . Из прямоугольного треугольника kZ cos (+x) = ctg(180-A)tgy, или, обозначая а = 180-A, получим а = y sec(+x) = sint sec(+x). В узком треугольнике kZ, из-за малости угла a, kZ  Z, Z  (90-) – x, и а = sint сosecZ. Приближенную формулу вычисления азимута Полярной часто используют для составления эфемерид Полярной. Таким образом, чтобы определить азимут направления на земной предмет по наблюдению Полярной, необходимо определить момент наблюдения Полярной Tн, а также измерить горизонтальный угол Q между направлениями на Полярную и земной предмет. Здесь необходимо знать поправку часов u с точностью до 1m и широту до 1'. Значения зенитного расстояния, которое требуется в приближенной формуле, можно выбирать из эфемерид Полярной. Приближенные определения широты по наблюдениям Полярной В основу способа определения широты по наблюдению Полярной положена первая теорема сферической астрономии: высота полюса Мира над горизонтом равна широте места наблюдения. Поскольку Полярная является ближайшей к полюсу Мира (полярное расстояние =90-<10), то в первом приближении, с точностью до градуса, широта равна высоте Полярной:   h = 900-Z. Высота Полярной h или зенитное расстояние Z измеряются теодолитом. Во втором приближении, для вычисления широты в измеренную высоту Полярной вводится поправка (см. рисунок параллактического треугольника для Полярной):   h – x = h – cos t. Данная формула позволяет определять широту с точностью 1'. Наконец, в результате строгого решения параллактического треугольника, можно прийти к следующей группе формул для вычисления широты: tgx = cos t ctg, sin(+x) = cosZcosx/sin, = (+x) – x. Чтобы вычислить широту, следует измерить высоту h или зенитное расстояние Z Полярной, сопровождая измерения отсчетами по часам Tн. В измеренное зенитное расстояние/высоту вводится поправка за рефракцию. Поправка часов u определяется по приему радиосигналов точного времени. Координаты Полярной () выбираются из таблицы "Видимые места близполюсных звезд" Астрономического ежегодника. Часовой угол t вычисляется по формуле t = Tн + u – . Приближенные определения долготы и азимута по измеренным зенитным расстояниям Солнца Согласно выгоднейшим условиям определения долготы по измеренным зенитным расстояниям, Солнце необходимо наблюдать вблизи первого вертикала – то есть, после восхода и перед заходом. Рекомендуется прекращать наблюдения Солнца за 1.5 часа до его кульминации, и возобновлять наблюдения спустя минимум 1.5 часа после кульминации. Из-за трудно учитываемого влияния рефракции на измерения вблизи горизонта, высота Солнца не должна быть меньше 100. В рассматриваемом способе определения долготы и азимута измеряется зенитное расстояние Солнца Z и горизонтальный угол Q между направлениями на Солнце и земной предмет. Наблюдения Солнца сопровождаются отсчетами по часам Тн в системе декретного времени Dn. Поправка часов u определяется из приема радиосигналов точного времени. В измеренное зенитное расстояние Солнца Z вводятся поправки за рефракцию и суточный параллакс: Z⊙ = Z +  – PsinZ = Z + 60.2tgZ – 8,8sinZ. В основу определения долготы по наблюдениям Солнца положена вторая теорема сферической астрономии: разность местных времен равна разности долгот, или = m – UT, где Всемирное время UT есть UT = Dn – (n+k) = Тн + u – (n+k), а среднее солнечное время определяется по часовому углу истинного Солнца, как m = t⊙ – E, где Е – уравнение времени. Азимут направления на земной предмет по наблюдениям Солнца вычисляется по обычной формуле азп = А⊙ + Q, где Q – измеренный горизонтальный угол. Часовой угол t⊙ и азимут Солнца А⊙ могут быть вычислены из решения параллактического треугольника, в котором известны широта  и склонение Солнца ⊙, а также зенитное расстояние Z⊙: cos t⊙ = (cosZ⊙ – sinsin⊙)/coscos⊙ = K, cosA⊙ = (sin cosZ⊙– sin⊙)/cossinZ⊙ = L. Значение кругового угла или определяется в зависимости от положения светила относительно меридиана. Если Солнце наблюдается к западу от меридиана (вечерние наблюдения), то t⊙ = arccos (K), A⊙ = arccos (L), а если Солнце – к востоку от меридиана, то t⊙ = 3600 – arccos (K), A⊙ = 3600 – arccos (L). Уравнение времени Е и склонение Солнца ⊙ интерполируются из Астрономического ежегодника на средний момент наблюдения в приеме по формулам с часовыми изменениями: ⊙=0 + v(UT)h, E = E0 + vE(UT)h, где 0, E0 – табличные значения координат на дату наблюдения, v , vE – их часовые изменения. Приближенные определения широты по измеренным зенитным расстояниям Солнца Согласно выгоднейшим условиям определения широты по измеренным зенитным расстояниям, Солнце необходимо наблюдать в меридиане. Для определения широты достаточно измерить зенитное расстояние Солнца, сопровождая измерения отсчетами по часам. Для вычисления широты вводятся вспомогательные величины M и K, вычисляемые по следующим формулам: tgM = tg⊙/cost⊙, cosN = cosZ⊙sinM/sin⊙. Далее вычисляется широта:  = M + N. Часовой угол Солнца вычисляется по формуле t⊙ = m + E, где m = Tн + u – (n+k) + .