Геоцентрические и геодезические системы координат

Системы координат и высот в геодезии Лекция № 2 Оглавление Земной эллипсоид 3 Геоцентрические и геодезические системы координат 10 Литература 23 Земной эллипсоид Эллипсоидом вращения (двухосным) называется геометрическое тело, образуемое вращением эллипса вокруг его малой оси. Уравнение его поверхности вращения в канонической форме имеет вид (1) где а — большая или экваториальная полуось эллипсоида, b — малая или полярная полуось. Определения [1]: 3.2 большая полуось а: Максимальный радиус эллипсоида. 3.22 малая полуось b: Полярная ось эллипсоида. Основные элементы эллипсоида показаны на Рис. 1. Рис. 1 Основные элементы эллипсоида Зная размеры полуосей, находим положение фокусов F1 и F2 эллипса - линейный эксцентриситет (2) Эксцентрисите́т — числовая характеристика конического сечения, показывающая степень его отклонения от окружности. Обычно обозначаетсям . В зависимости от эксцентриситета, получится: при — гипербола. при — парабола; при — эллипс; для окружности полагают . первый эксцентриситет эллипсоида — - (эксцентриситет меридианного эллипса) (3) второй эксцентриситет — (4) Сечения поверхности эллипсоида плоскостями, перпендикулярными к оси вращения РР' (Рис. 1), представляют собой окружности, называемые параллелями (ее'). Наибольшая параллель E'RE, плоскость которой проходит через центр эллипсоида О, называется экватором. Экватор делит эллипсоид на две одинаковые половины: северную и южную. Плоскости, проходящие через малую ось эллипсоида, называются меридианными плоскостями, а сечения ими поверхности эллипсоида — меридианами. Меридианные сечения представляют собой эллипсы. Линейные элементы — большая и малая полуоси — определяют размеры эллипсоида, а эксцентриситет определяет форму эллипсоида, т. е. большую или меньшую приплюснутость у полюсов. Чем больше разность между большой и малой полуосями, тем больше эксцентриситет и наоборот. У шара он равен нулю. Форму эллипсоида определяет также другая относительная величина, так называемое полярное сжатие или просто сжатие эллипсоида, вычисляемое по формуле (5) величины, не имеющие общепринятого названия: , (6) Основное свойство эллипса: сумма расстояний от любой точки эллипса до его фокусов есть величина постоянная, равная 2а. Размеры эллипса определяются размерами его большой полуоси а. Форма эллипса определяется одной из приведенных выше относительных величин, чаще всего сжатием а. Кроме большой и малой полуосей эллипса, часто применяется еще одна линейная величина: - полярный радиус кривизны (7) Эта величина равна гипотенузе прямоугольного треугольника PF1n (см. Рис. 1). Между элементами эллипсоида существуют следующие зависимости: , (8) Если положить , (9) Можно установить, что , (10) так как . Из формул (5)и (7) следует, что , тогда . (11) Значения и в сфероидической геодезии определяют величины первого порядка малости, и - второго порядка малости и т. д. Геоид Под поверхностью Земли (или физической поверхностью Земли) в настоящее время понимают поверхность суши на материках и поверхность Мирового океана (занимает 70,8% поверхности Земли). Мировой океан имеет малую вязкость и большую подвижность водной толщи, перемещающейся под воздействием различных сил. Колебания свободной поверхности океана делят на три группы: приливные колебания; колебания атмосферного происхождения (глобальные изменения климата, изменения атмосферного давления, ветры, атмосферные осадки); колебания, связанные с твердой Землей (неравномерное вращение Земли, геологические процессы, изменяющие объем океанических впадин, подводные извержения вулканов и землетрясения и др.). Некоторые сведения о колебаниях поверхности океана приведены в таблице 1. Таблица 1 Колебания поверхности океана Причина колебания Период Амплитуда, метр Ветровые волны От 1 до 20-30 сек 30-40 Штормовые нагоны От 2 до 30 суток 1-5 Колебания атмосферного давления 5-7 суток Около 1 Изменение положения и скорости океанических течений Месяцы Около 1 Изменение общей массы воды в океана (климатические колебания) Свыше года До 100 Приливные колебания в открытом океане 0,5 – 1 сутки 2 Поверхность океана, свободную от ветровых волн, называют морской топографической поверхностью (МТП). Положение морской топографической поверхности зависит от многих факторов, связанных с физическими свойствами морской воды. Одним из основных факторов, формирующих поверхность океана, является плотность морской воды, зависящая от температуры и солености, а также сжимаемости морской воды ее вышележащими слоями; вследствие этого плотность зависит от глубины океана и формы океанического дна. Для равновесия жидкости с плотностью в элементарном столбе высотой необходимо, чтобы ее вес уравновешивался силой выталкивания, равной изменению давления в этом столбе, . При равновесном состоянии воды и при постоянном внешнем давлении поверхность моря и все внутренние поверхности равного давления будут уровенными поверхностями потенциала силы тяжести. Так как во всех точках уровенной поверхности сила тяжести направлена по нормали к ней, то, если бы океан находился в состоянии гидростатического равновесия, течения океанической воды отсутствовали бы. Океан не находится в гидростатическом равновесии, но морская топографическая поверхность близка к уровенной поверхности поля силы тяжести; отличия между ними менее 3 метров. Поверхность океана является естественной поверхностью, от которой отсчитывают высоты и глубины. Точнее счет высот ведут от некоторой уровенной поверхности потенциала силы тяжести. Уровенную поверхность, близкую к морской топографической поверхности и проходящую через начало счета высот, называют геоидом. Поверхность океана не является уровенной, поэтому исходные пункты счета высот, лежащие в разных точках побережья и тем более на разных континентах, располагаются на различных уровенных поверхностях. Следовательно, геоидом может считаться любая уровенная поверхность из семейства уровенных поверхностей потенциала силы тяжести, пересекающих морскую топографическую поверхность. Поверхность геоида используют для характеристики обобщенной поверхности Земли как планеты. Рельеф геоида не повторяет рельеф физической поверхности Земли и формируется под действием масс земной коры и верхней мантии. Геоид близок к эллипсоиду вращения с параметрами (12) где a, b - большая и малая полуоси эллипсоида соответственно. Земным эллипсоидом называется эллипсоид вращения (двухосный эллипсоид), поверхность которого как по форме, так и по размерам достаточно близка к поверхности геоида. Почти во всех формулах сфероидической геодезии присутствуют две величины, зависящие от эксцентриситета эллипсоида и широты. Они обозначаются V и W и определяются следующими выражениями: , (13) W и V называют первой и второй (основными) сфероидическими функциями. Для контроля использую формулу: (14) Нормаль к поверхности эллипсоида – прямая, перпендикулярная к поверхности эллипсоида, (опущенная из заданной точки, с противоположной стороны эллипсоида угол пересечения с плоскостью эллипсоида в общем случае не равен 90о). Плоскость меридиана – плоскость, включающая в себя вертикальную ось вращения эллипсоида. Меридиан – линия, полученная в результате пересечения поверхности эллипсоида и плоскости меридиана. Плоскость экватора – плоскость, перпендикулярная вертикальной оси вращения эллипсоида (включает в себя все реализации большой полуоси) и делящая эллипсоид на симметричные части. Экватор – линия, полученная в результате пересечения поверхности эллипсоида и плоскости экватора. Нормаль к поверхности эллипсоида полностью поглощается плоскостью меридиана. Плоскость меридиана является плоскостью, секущей поверхность эллипсоида. Плоскость перпендикулярная плоскости меридиана и включающая в себя нормаль – плоскость первого вертикала и является одной из главных секущих плоскостей. Для меридиана и первого вертикала определяют радиусы кривизны совпадающие с нормалью, проведенной из заданной точки. Данные радиусы называют главными радиусами. Рис. 2 Плоскость меридиана – EPQ`E`P. Нормаль проведена из точки Q Рис. 3 Меридиан и его радиус кривизны Рис. 4 Плоскость меридиана – EPQ`E`P. Нормаль проведена из точки Q` Рис. 5 Первый вертикал и его радиус кривизны Рис. 6 Основные элементы эллипсоида Существует множество земных эллипсоидов. В таблице 2 приведены варианты таких фигур. Таблица 2 Параметры земных эллипсоидов (варианты) № п/п Эллипсоид Год вывода а, м f, (1/) Деламбера 1800 6375653,00 334,0 Вальбера 1819 6376896 302,8 Airy 1830 6377563.396 299.32496 Эвереста 1830 6377298.556 300.8017 Бесселя 1841 6377397.155 299.15281 Бесселя (для МСК), 1841 6377397 299,15 Теннера 1844 6377096 302,5 Шуберта 1861 6378547 283,0 Кларка 1866 6378206.400 294.97870 Кларка 1880 6378249.2 293.4660213 Гельмерта 1906 6378200 298,20 Хейфорда (International-1924) 1909 6378388 297,0 Гейсканена 1929 6378400 298,2 Красовского 1940 6378245 298,3 WGS - 72 (США) 1972 6378135 298,26 WGS - 84 (США) 1984 6378137 298,257223563 GRS 1980 6378137.0 298.2572221 ОЗЭ ПЗ-90 (РФ) 1990 6378136 298,257839303 ОЗЭ ПЗ-90.02 2002 6378136 298,25784 ОЗЭ ПЗ-90.11 2010 6378136 298,25784 ОЗЭ ГСК-2011 2010 6378136,5 298,2564151 Геоцентрические и геодезические системы координат Геометрическое определение: Совместим начала векторов в одной точке (система координат – три оси и начало системы координат). Упорядоченная тройка некомпланарных векторов в трёхмерном пространстве называется правой, если с конца вектора кратчайший поворот от вектора к вектору виден наблюдателю против часовой стрелки (Рис. 7). Рис. 7 Правая тройка векторов И наоборот, если кратчайший поворот виден по часовой стрелке, то тройка называется левой Рис. 8 Левая тройка векторов Определения [Error: Reference source not found]: «3.37 система координат: Набор математических правил, описывающих, как координаты должны быть соотнесены с точками пространства. 3.34 прямоугольная система координат: Система координат, определяющая положение точек по отношению к N взаимно перпендикулярным осям, исходящим из одной точки. Примечание – N = 1, 2 или 3.» Общеземная система координат является геоцентрической пространственной системой координат с началом в центре масс Земли Рис. 9 Геоцентрическая система координат Теоретическое определение геоцентрической системы координат, (например ПЗ-90 [2]) основывается на следующих положениях: начало системы координат расположено в центре масс Земли; ось Z направлена к условному земному полюсу, (международному условному началу) – рекомендации Международной службы вращения Земли (IERS); ось Х – в точку пересечения плоскости экватора и начального меридиана, установленного IERS и Международным бюро времени (BIH); ось Y дополняет систему координат до правой. Общеземная система координат вращается вместе с Землей. Фиксируется Общеземная система координат на определенную эпоху. Определения [Error: Reference source not found]: «3.30 отсчетная линия: В системе координат линия, от которой отсчитывают координаты. 3.11 геодезическая широта В: Острый угол, образованный нормалью к поверхности эллипсоида в данной точке и плоскостью экватора, положительный по направлению к северу и отрицательный - к югу. 3.8 геодезическая долгота L: Двугранный угол между плоскостями начального меридиана и меридиана данной точки, положительный при направлении на восток. 3.7 геодезическая высота Н: Расстояние от эллипсоида до точки на физической поверхности Земли по нормали к его поверхности.» Рис. 10 Плоскость меридиана Рис. 11 Плоскость меридиана Рис. 12 Двугранный угол Рис. 13 Пересечение плоскости меридиана и плоскости экватора Рис. 14 Геодезические эллипсоидальные координаты Рис. 15 Вид нормали, проведенный к поверхности эллипсоида из точки Q” Широта – угол отсчитываемый в плоскости меридиана данной точки от плоскости экватора до нормали к поверхности эллипсоида проведенную через данную точку. Положительное направление счета долгот от экватора к полюсу – от 0о до 90о. В южном полушарии отрицательное значение увеличение значения широт по модулю от экватора к южному полюсу. Долгота – двугранный угол с основанием в оси Z, начальная плоскость – плоскость начального меридиана, вторая плоскость – плоскость меридиана данной точки. Положительное направление счета долгот – с запада на восток (против часовой стрелки, если смотреть на встречу оси Z, совпадает с направлением вращения Земли). Покажем значения главных радиусов кривизны: - радиус меридиана (15) - радиус первого вертикала (16) Контроль . Связь геоцентрических прямоугольных (прямолинейных) и геодезических (криволинейных, эллипсоидальных) координат Рис. 16 Связь геоцентрических (прямоугольных, прямолинейных) и геодезических (криволинейных, эллипсоидальных) координаты Отсчитывание прямоугольных координат: XQ – отсчитывается по оси X от центра системы координат О до точки пересечения с нормалью к поверхности эллипсоида проведенной из заданной точки Q; YQ – отсчитывается по оси Y от центра системы координат О до точки пересечения с нормалью к поверхности эллипсоида проведенной из заданной точки Q; ZQ – отсчитывается по оси Z от центра системы координат О до точки пересечения с нормалью к поверхности эллипсоида проведенной из заданной точки Q. Определение [Error: Reference source not found]: 3.32 перевычисление координат: Операция с координатами пространственных объектов, основанная на математически строго определенной связи, при переходе из одной системы координат в другую, используя одни и те же исходные геодезические даты. Примечание - При перевычислении координат используют параметры, являющиеся постоянными величинами. [ГОСТ Р 52438-2005, статья 44] Значения декартовых координат заданной точки поверхности эллипсоида вычисляют, используя параметрические уравнения поверхности эллипсоида: (17) где - приведенная широта: Связь пространственных прямоугольных XYZ и эллипсоидальных координат BLH выражается следующими формулами: (18) Обратные преобразования могут выполняться по следующим формулам: (19) N - радиус кривизны нормального сечения в плоскости первого вертикала. D - экваториальное расстояние. B – широта, вычисляется методом последовательных итераций. L – долгота. H – геодезическая высота. XYZ – геоцентрические прямоугольные координаты. Метод последовательных приближений [3]: ;; (20) «Неитеративный» метод [4]: ;; (21) Итеративный метод [5]: если то. (22) Если при где (23) Если то Если то (24) Реализуют итеративный процесс, используя вспомогательные величины (25) Если на шаге итерации значение окажется меньше установленного допуска на изменение координат, то принимают (26) вычисляют (27) Во время преобразований из пространственных прямоугольных XYZ в эллипсоидальные координаты BLH, необходимо соблюдать соответствие принятой системы координат используемому эллипсоиду. Преобразование (трансформирование) геоцентрических систем координат Для получения координат точки в двух геоцентрических системах координат необходимо выполнить преобразование из системы координат № 1 в систему координат № 2 используя параметры преобразования (Рис. 17, Рис. 18, Рис. 19, Рис. 20): Рис. 17 Параллельный перенос системы координат № 1 на линейные элементы Рис. 18 Вращение вокруг оси Z Рис. 19 Вращение вокруг оси X Рис. 20 Вращение вокруг оси Y Рис. 21 Общая схема преобразования - связь геоцентрических систем координат Связь между геодезическими системами координат выражается формулой (28) В соответствии с «Параметрами Земли 1990 г.», при перевычислении прямоугольных геоцентрических координат из одной системы в другую, применяют следующие последовательности действий и формулы: ; (вращение по часовой стрелке) Рис. 22 Поворот вокруг оси Z ; (вращение по часовой стрелке) Рис. 23 Поворот вокруг оси X . (вращение против часовой стрелки) Рис. 24 Поворот вокруг оси Y Результирующая матрица вращения системы координат ;;; ; Варианты последовательного применения матриц вращения: 1”= 0.0000048481; sin 1” = 0.0000048481; =0; 1’= 0.0002908882; sin 1’ = 0,0002908882; =0; 5’= 0,0014544410; sin 5’ = 0,0014544405; =0,0000000005 =0,0001”; 10’= 0,0029088820; sin 10’ = 0,0029088780; =0,0000000040 =0,0010”; 1= 0,0174532925; sin 1 = 0,0174524064; =0,0000008861 =0,1830”; 2= 0,0349065850; sin 2 = 0,0348994967; =0,0000070883 =1,4620”; 3= 0,0523598776; sin 3 = 0,0523359562; =0,0000239216 =4,9340”. ; ; ; Итоговая формула примет вид: (29) где - первая система координат; - вторя система координат; - линейные элементы вектора смещения начала второй системы координат относительно первой; - угловые элементы вращения осей второй системы (выражены в радианной мере) для обеспечения ее преобразования в первую; - масштабный коэффициент, выражающий различие линейных масштабов двух систем координат. Связь геоцентрической и инерциальной систем координат Рис. 25 Связь геоцентрической и инерциальной систем координат (30) Обратное преобразование (31) Литература