Функция полезности и неприятие риска

Теория финансов Лекция 6 Функция полезности и неприятие риска I Введение В предыдущих лекциях все модели ценообразования для рынка активов с фиксированным доходом были построены, исходя из единственного предположения об отсутствии арбитражных возможностей. Однако для многих моделей ценообразования на рынке активов с нефиксированным доходом данная предпосылка не будет достаточной. Требуется предпосылка относительно функции полезности инвестора, в целом, и относительно неприятия им риска, в частности. Это связано с тем, что неприятие риска присутствует в финансовом моделировании в неявном виде (например, в виде параметра β в модели Васичека (1977)) или в явном виде (например, в виде параметра γ в Портфельной теории). В лекции 6 параметр неприятия риска γ будет выведен посредством функции полезности. В дальнейших лекциях он будет применен в Портфельной теории. II Неприятие риска: определение Целью инвестора является максимизация ожидаемой доходности. Однако, как известно, понятие ожидаемой доходности неотделимо от понятия риска, и инвестиционные решения принимаются, исходя из установки «риск – ожидаемая доходность». Существует компромисс: инвестор будет требовать высокую доходность при значительном риске, но готов принять невысокую доходность при незначительном риске. Такое поведение характеризует рискофобов. Также, существуют инвесторы, нейтральные к риску, и рискофилы. Однако среди инвесторов рискофобы составляют подавляющее большинство. Для иллюстрации неприятия риска можно использовать игру со случайным (неопределенным) исходом. Самая простая иллюстрация – биномиальная игра с двумя возможными исходами (например, подбрасывание монеты, где исходами будут «орел» и «решка»). Пусть имеется два возможных исхода с вероятностями π и (1 − π) и с выплатами X1 и X2, соответственно. Ожидаемое значение биномиальной игры вычисляется как взвешенная по вероятностям сумма: 𝐸[𝑋] = 𝜋𝑋1 + (1 − 𝜋)𝑋2 . Пусть потенциальный участник игры имеет две опции. Первая опция – участвовать в биномиальной игре и получить либо 𝑋1 с вероятностью π, либо 𝑋2 с вероятностью (1 − 𝜋). Вторая опция – отказаться от участия и гарантированно получить 𝐸[𝑋]. Первая опция характеризуется неопределенностью. Вторая – полной определенностью. Тогда рискофоб выберет вторую опцию, рискофил выберет первую опция, а нейтральный к риску человек будет безразличен по отношению к данным двум опциям. Параметр неприятия риска γ выражается через функцию полезности; это позволяет дать формальное определение понятию неприятия риска. Функция полезности является ненаблюдаемой характеристикой человека. Не существует математической функции, которая бы описывала функцию полезности одинаково хорошо для всех людей. Уровень полезности обозначается через U и зависит от единственной переменной, представляющей собой уровень благосостояния, обозначаемого W. Иногда вводят и другие переменные, например, возраст – в разном возрасте один и тот же уровень благосостояния может восприниматься по-разному. Каково бы ни было формальное представление функции полезности, она обладает двумя важными свойствами: 1) Функция полезности 𝑈(𝑊) является возрастающей по W: 𝑈 ′ (𝑊) = 𝜕𝑈(𝑊) 𝜕𝑊 >0 для всей области определения. Человек всегда будет предпочитать иметь больше благосостояния, нежели меньше благосостояния. 2) Предельная полезность 𝑈 ′ (𝑊) является убывающей по W: 𝑈 ′′ (𝑊) = 𝜕2 𝑈(𝑊) 𝜕𝑊 2 <0 для всей области определения. Каждая новое приращение благосостояния воспринимается человеком с «меньшим энтузиазмом», чем предшествующее приращение ввиду чувства насыщения. Данные два свойства указывают на важную характеристику функции полезности рискофоба – функция полезности является вогнутой. Это означает, что секущая прямая, проведенная по двум точкам кривой функции полезности, будет располагаться под кривой. Вогнутая функция полезности как раз указывает на то, что человек предпочтет не участвовать в игре со случайным (неопределенным) исходом. Он предпочтет гарантированно получить ожидаемое значение. Почему это так, объяснено ниже. Рассмотрим простой пример. Пусть функция полезности аппроксимируется логарифмической функцией 𝑈(𝑊) = ln 𝑊. Ниже даны графическое и табличное представление логарифмической функции. Логарифмическая функция является вогнутой и, тем самым, требование для функции полезности выполняются. 𝑾 1 4 10 28 𝑼(𝑾) 1.4 2.3 3.3 Пусть имеется биномиальная игра, такая что при «плохом» исходе, который имеет вероятность наступления 75%, потенциальный участник получит $4, а при «хорошем» исходе, который имеет вероятность наступления 25%, потенциальный участник получит $28. Ожидаемое значение будет 𝐸[𝑊] = 0.75 × 4 + 0.25 × 28 = 10. Если участник предпочтет гарантированно получить ожидаемое значение, то это объясняется тем, что полезность от данной опции будет для него выше, чем полезность от опции участвовать в игре и принять исход, который будет реализован в будущем. Стоит иметь в виду, что полезность от второй опции – ожидаемая полезность, так как рассчитать полезность до реализации исхода в будущем невозможно. Таким образом, мы сравниваем полезность от неучастия с ожидаемой полезностью от участия: 𝑈(𝐸[𝑊]) > 𝐸[𝑈(𝑊)]. Расчет дает следующие значения уровня полезности от неучастия и участия, соответственно: 𝑈(𝐸[𝑊]) = 𝑈(10) = 2.3, 𝐸[𝑈(𝑊)] = 0.75 × 𝑈(4) + 0.25 × 𝑈(28) = 0.75 × 1.4 + 0.25 × 3.3 = 1.9. Как видно, потенциальный участник, чья функция полезности описывается логарифмической функцией 𝑈(𝑊) = ln 𝑊 , действительно является рискофобом, поскольку для него полезность от первой опции 𝑈(𝐸[𝑊]) строго больше ожидаемой полезности от второй опции 𝐸[𝑈(𝑊)]. III Неприятие риска: геометрия На Рисунке 1 ситуация с рискофобом представлена обобщенно, без отсылки к какойлибо конкретной математической функции, описывающей функцию полезности. Стоит иметь в виду, что кривая на Рисунке 1 представляет собой функцию полезности ex post, то есть реализованный уровень полезности в зависимости от реализованного уровня благосостояния. Рисунок 1 – Функция полезности рискофоба Дадим определение справедливой игры – это игра, для которой ожидаемое значение равно нулю: 𝐸[𝑋] = 𝜋𝑋1 + (1 − 𝜋)𝑋2 = 0. (1) Очевидно, что в случае с биномиальной игрой один исход предполагает положительную выплату («хорошая» ситуация, участник получает некоторую денежную сумму), а другой – отрицательную выплату («плохая» ситуация, участник отдает некоторую денежную сумму). Однако в среднем участник ничего не получает и ничего не отдает. ̅ денежную сумму, которую потенциальный участник Обозначим через 𝑊 гарантированно будет иметь, если откажется от игры, а 𝑊, как и ранее, обозначает денежную сумму ex post, которую участник будет иметь, если согласится на игру. Тогда: ̅ + 𝑋1 ) + (1 − 𝜋)(𝑊 ̅ + 𝑋2 ) = 𝑊 ̅. 𝐸[𝑊] = 𝜋(𝑊 На Рисунке 1 для удобства визуального восприятия представлена симметричная ситуация, то есть вероятность наступления «плохого» исхода (соответствует точке A) равна вероятности наступления «хорошего» исхода (соответствует точке B). Также выплаты для обоих исходов равны по абсолютному значению и противоположны по знаку. Для асимметричной ситуации ход рассуждений не меняется. Ex ante, X1 и X2 являются выплатами в условиях неопределенности, поскольку заранее неизвестно, какой из двух исходов будет реализован. В точке A реализуется «плохой» исход, то есть в точке A вероятность реализации «плохого» исхода составляет 100%, а вероятность реализации «хорошего» исхода составляет 0%. В точке B реализуется «хороший» исход, то есть в точке B вероятность реализации «хорошего» исхода составляет 100%, а вероятность реализации «плохого» исхода составляет 0%. Проекции точек A и B на вертикальную ось определяют уровень полезности, которую участник будет иметь после завершения игры. До игры полезность неизвестна, но можно рассчитать ожидаемую полезность. Отрезок секущей прямой AB представляет собой множество уровней ожидаемой полезности. Это сумма двух уровней полезности, соответствующих точкам A и B, взвешенная различным сочетанием вероятностей, от {100%, 0%} в точке A до {0%, 100%} в точке B: ̅ + 𝑋1 ) + (1 − 𝜋)𝑈(𝑊 ̅ + 𝑋2 ). 𝐸[𝑈(𝑊)] = 𝜋𝑈(𝑊 Для симметричной ситуации, приведенной выше, вероятности одинаковы {50%, 50%}. Поэтому ожидаемая полезность будет соответствовать точке в середине отрезка AB. Как видно из Рисунка 1, для вогнутой функции отрезок AB секущей прямой всегда лежит ниже сегмента AB кривой полезности. Это означает, что для любых значений вероятностей 0 < π < 1 уровень полезности от неучастия в игре ̅ ) (отсчитывается от кривой функции полезности) будет выше, чем 𝑈(𝐸[𝑊]) = 𝑈(𝑊 уровень ожидаемой полезности от участия в игре 𝐸[𝑈(𝑊)] (отсчитывается от отрезка AB секущей прямой). IV Неравенство Йенсена (Jensen’s inequality) Формально представить отношение к риску для рискофоба, рискофила и человека, нейтрального к риску можно, применив неравенство Йенсена. В соответствии с неравенством Йенсена, для любой непрерывной функции U(X) ожидаемое значение функции 𝐸[𝑈(𝑋)] , как правило, не равно значению функции от ожидаемого значения 𝑈(𝐸[𝑋]): 𝐸[𝑈(𝑋)] ≠ 𝑈(𝐸[𝑋]). Непрерывную функцию 𝑈(𝑋) можно аппроксимировать рядом Тейлора второго порядка относительно точки X0: 𝑈(𝑋) ≃ 𝑈(𝑋0 ) + (𝑋 − 𝑋0 )𝑈 ′ (𝑋0 ) + (𝑋 − 𝑋0 )2 ′′ 𝑈 (𝑋0 ). 2 Пусть 𝑋0 = 𝐸[𝑋] = 𝑋̅. Возьмем ожидание от правой и левой части уравнения выше: 𝐸[𝑈(𝑋)] ≃ 𝐸[𝑈(𝑋̅)] + 𝐸[𝑋 − 𝑋̅]𝑈 ′ (𝑋̅) + = 𝑈(𝑋̅) + 𝐸[𝑋 − 𝑋̅]2 ′′ 𝑈 (𝑋̅) 2 𝑉(𝑋) ′′ 𝑈 (𝑋̅). 2 Слагаемое в середине равно нулю: 𝐸[𝑋 − 𝑋̅] = 𝑋̅ − 𝑋̅ = 0. Из уравнения выше видно, что, как правило, 𝐸[𝑈(𝑋)] ≠ 𝑈(𝐸[𝑋]), но будет ли ожидаемое значение функции 𝐸[𝑈(𝑋)] больше или меньше зависит от знака второй производной. Для вогнутой функции вторая производная имеет отрицательный знак, следовательно, ожидаемое значение функции будет меньше значения функции от ожидаемого значения. Обобщенно, неравенство Йенсена можно представить следующим образом: 𝐸[𝑓(𝑋)] ⋛ 𝑓(𝐸[𝑋]) 𝑎𝑠 𝑓 ′′ ⋛ 0. Отсюда, ❖ Для рискофоба 𝐸[𝑈(𝑋)] < 𝑈(𝑋̅), так как 𝑈 ′′ < 0. ❖ Для нейтральности к риску человека 𝐸[𝑈(𝑋)] = 𝑈(𝑋̅), так как 𝑈 ′′ = 0. ❖ Для рискофила 𝐸[𝑈(𝑋)] > 𝑈(𝑋̅), так как 𝑈 ′′ > 0. V Абсолютная премия за риск Если потенциальный участник относится к типу рискофоба, то он откажется от участия в справедливой игре. Тогда требуется каким-то образом мотивировать его участие. Речь идет о некоторой гарантированной компенсации, которую можно потребовать от участника, чтобы «освободить» его от участия в игре. Либо, в противоположность, можно предложить ему гарантированную компенсацию, чтобы он согласился участвовать в игре. Тогда случайный исход будет выглядеть следующим образом: 𝑊 ′ = 𝑊 + 𝜌. Хотя в формуле выше 𝜌 является константой, 𝑊 ′ является ex ante случайной величиной, так как 𝑊 по-прежнему остается ex ante случайной величиной. В случае требования компенсации мотивация отрицательная, в случае предложения компенсации мотивация положительная, однако в любом случае, именно это денежная сумма определит, изменит ли потенциальный участник своем мнение относительно неучастия в игре. Таким образом, 𝜌 представляет собой премию за риск. Как можно рассчитать 𝜌 в денежном выражении? Для этого надо вывести условие для равновесного состояния. В равновесном состоянии участник безразличен относительно двух опций. Другими словами, уровень полезности одинаковый. В ̅ − 𝜌) = 𝑈(𝐸[𝑊] − 𝜌) от случае требования компенсации полезность 𝑈(𝑊 ̅ − 𝜌 = 𝐸[𝑊] − 𝜌 будет равной ожидаемой полезности благосостояния на уровне 𝑊 𝐸[𝑈(𝑊)] от благосостояния на уровне 𝑊: ̅ − 𝜌) = 𝑈(𝐸[𝑊] − 𝜌) = 𝐸[𝑈(𝑊)] 𝑈(𝑊 (2). В формуле (2) участник отдает деньги, чтобы избежать нежелательного участия в игре со случайным (неопределенным) исходом. Отдаленно это напоминает покупку страхового полиса: покупатель отдает деньги, чтобы элиминировать состояние неопределенности. ̅ ) = 𝑈(𝐸[𝑊]) от благосостояния В случае предложения компенсации полезность 𝑈(𝑊 ̅ = 𝐸[𝑊] будет равной ожидаемой полезности 𝐸[𝑈(𝑊 + 𝜌)] от на уровне 𝑊 благосостояния на уровне 𝑊 + 𝜌: ̅ ) = 𝑈(𝐸[𝑊]) = 𝐸[𝑈(𝑊 + 𝜌)] 𝑈(𝑊 (2′ ). Абсолютную премию за риск 𝜌 можно вывести из условия и первого и второго равновесного состояния, но мы будем использовать условие первого равновесного состояния, в соответствие с оригинальной статьей (см. раздел «Дополнительные чтение»). ̅ − 𝜌) рядом Аппроксимируем левую часть уравнения равновесного состояния 𝑈(𝑊 Тейлора первого порядка, а правую часть 𝑈(𝑊) рядом Тейлора второго порядка ̅: относительно точки 𝐸[𝑊] = 𝑊 ̅ − 𝜌) ≃ 𝑈(𝑊 ̅ ) + (𝑊 ̅ −𝜌−𝑊 ̅ )𝑈 ′ (𝑊 ̅ ) = 𝑈(𝑊 ̅ ) − 𝜌𝑈 ′ (𝑊 ̅) 𝑈(𝑊 1 ̅ ) + (𝑊 − 𝑊 ̅ )𝑈 ′ (𝑊 ̅ ) + (𝑊 − 𝑊 ̅ )2 𝑈 ′′ (𝑊 ̅) ⟹ 𝑈(𝑊) ≃ 𝑈(𝑊 2 1 ̅ ) + 𝑉[𝑊]𝑈 ′′ (𝑊 ̅) ⟹ 𝐸[𝑈(𝑊)] ≃ 𝑈(𝑊 2 1 ̅ ) − 𝜌𝑈 ′ (𝑊 ̅ ) = 𝑈(𝑊 ̅ ) + 𝑉[𝑊]𝑈 ′′ (𝑊 ̅) ⟹ 𝑈(𝑊 2 ̅) = −𝜌𝑈 ′ (𝑊 𝜌=− 1 ̅) ⟹ 𝑉[𝑊]𝑈 ′′ (𝑊 2 𝑉[𝑊] 𝑈 ′′ × ′. 2 𝑈 (3) Из формулы (3) видно, что величина премии за риск 𝜌 положительно зависит от: 1) Степени кривизны функции полезности 𝑈 ′′ ⁄𝑈 ′ . (Точнее, степени кривизны, нормализованной наклоном.) 2) Вариации (волатильности) выплаты 𝑉[𝑊]. (Выплата W являются случайной величиной.) Такая положительная зависимость выглядит вполне логичной. Упомянем, что для человека, нейтрального к риску, 𝑈 ′′ = 0 и 𝜌 = 0. Если человек относится к типу рискофила, то 𝑈 ′′ > 0 и 𝜌 < 0. Стоит отметить, что после того, как гарантированная компенсация добавляется к ̅ +𝜌 ≠ любому исходу, игра перестает быть справедливой, поскольку 𝐸[𝑊 + 𝜌] = 𝑊 ̅ . Однако только в этом случае рискофоб согласится на участие в игре со 𝑊 случайным (неопределенным) исходом. Соотношение −𝑈 ′′ ⁄𝑈 ′ представляет собой коэффициент абсолютного неприятия риска (Coefficient of Absolute Risk Aversion, CARA). Данный коэффициент показывает степень нежелания участвовать в игре, где ставкой является фиксированная сумма в денежном выражении. В зависимости от того, какое математическое выражение принимает 𝑈 ′ и 𝑈 ′′ , коэффициент абсолютного неприятия риска может быть возрастающей, убывающей или постоянной функцией по W. Каким его чаще всего находят экспериментально? VI Относительная премия за риск В предыдущем разделе была выведена формула расчета премии за риск в абсолютном выражении. Это, возможно, удобный вариант, если речь идет действительно об азартных играх (например, в казино). Но в практике инвестирования рассуждают не в абсолютных величинах, а в относительных величинах, в процентах. Поэтому в настоящем разделе будет выведена формула расчета премии за риск в относительном выражении. Однако для начала надо ответить на вопрос, что меняется, если мы переходим от практики азартной игры к практике инвестирования, из казино – на фондовый рынок. Принципиальных отличий здесь нет, и общий ход рассуждений остается прежним. Тем не менее, имеется несколько важных особенностей: 1. В казино любая азартная игра будет, скорее всего, несправедливой, то есть ожидаемый исход не будет равен нулю. При этом несправедливость будет «отрицательная» по отношению к игроку, поскольку ожидаемый исход будет отрицательным. К примеру, игра в рулетку даст ожидаемый выигрыш примерно в $97 при ставке $100. В процентном соотношении доходность будет примерно -3%. На фондовом рынке ожидаемый исход тоже несправедливый, но на этот раз несправедливость «положительная» по отношению к инвестору. Действительно, в среднем и в долгосрочной перспективе доходность в рисковые активы положительна. 2. В казино любая азартная игра выдает результат (проигрыш или выигрыш) почти всегда незамедлительно. На фондовом рынке инвестирование в рисковые активы предполагает некоторый временной интервал. Данное обстоятельство можно учесть, предположив, что инвестор, в случае нежелания инвестировать в рисковый актив, инвестирует в безрисковый актив. То есть, при нежелании инвестировать с неопределенным исходом, всегда есть возможность инвестировать с полностью определенным исходом. Другими словами, «растянутость» инвестиции во времени означает, что, в отличие от азартной игры, следует учесть временную стоимость денег. Тогда, если инвестор имеет начальное благосостояние на уровне W0, то, отказавшись инвестировать в рисковый актив, он по окончании периода ̅ = 𝑊0 (1 + 𝑦) с полной определенностью. инвестирования получит 𝑊 3. На фондовом рынке все не настолько случайно, как в казино. Ценами могут манипулировать, существует вероятность инсайдерской торговли. 4. В азартной игре вероятности известны с математической точностью. На фондовом рынке вероятности можно оценить, но это будет только экспертная оценка. Введем следующие обозначения (Таблица 1). Таблица 1 – Обозначения для фондового рынка y r 𝑊0 ̅ = 𝑊0 (1 + 𝑦) 𝑊 𝑊 = 𝑊0 (1 + 𝑟) 𝑊1 = 𝑊0 (1 + 𝑟 + 𝜌∗ ) Безрисковая доходность Случайная доходность Первоначальный уровень благосостояния Благосостояние по окончании безрискового инвестирования Благосостояние по окончании рискового инвестирования, но без премии за риск Благосостояние по окончании рискового инвестирования, включая премию за риск В предпоследней строке Таблицы 1 мы предполагаем, что рисковая инвестиция ̅ . В последней строке Таблицы 1 мы будет справедливой. То есть E[r] = y и 𝐸[𝑊] = 𝑊 вводим гарантированную компенсацию 𝜌∗ (относительная премия за риск имеет верхний индекс 𝜌∗ для отличия от абсолютной премии за риск 𝜌 ), чтобы мотивировать инвестора на вложение в рисковый актив. В денежном выражении уровень благосостояния по окончании инвестирования будет: 𝑊1 = 𝑊0 (1 + 𝑟 + 𝜌∗ ) = 𝑾 + 𝑾𝟎 𝝆∗ = 𝑊0 (1 + 𝑦 + 𝑟 + 𝜌∗ − 𝑦) ̅ + 𝑊0 (𝑟 + 𝜌∗ − 𝑦) ⟹ = 𝑊0 (1 + 𝑦) + 𝑊0 (𝑟 + 𝜌∗ − 𝑦) = 𝑊 ̅ + 𝑊0 𝐸[𝑟 + 𝜌∗ − 𝑦] = 𝑊 ̅ + 𝑊0 (𝐸[𝑟] + 𝜌∗ − 𝑦) = ̅𝑾 ̅̅ + 𝑾𝟎 𝝆∗ . 𝐸[𝑊1 ] = 𝑊 То есть это ожидаемый уровень благосостояния плюс премия за риск (теперь уже в денежном выражении 𝑊0 𝜌∗ ). Для того чтобы вывести формулу расчета относительной премии за риск, определим условие равновесного состояния. Гарантированная компенсация должна быть такой, чтобы инвестор был безразличен относительно того, инвестировать ли в рисковый актив или в безрисковый актив: ̅ ). 𝐸[𝑈(𝑊1 )] = 𝑈(𝑊 ̅ = Аппроксимируем 𝑈(𝑊1 ) рядом Тейлора второго порядка относительно точки 𝑊 𝑊0 (1 + 𝑦) = 𝑊0 (1 + 𝐸[𝑟]): 𝑈(𝑊1 ) = 𝑈(𝑊0 (1 + 𝑟 + 𝜌∗ )) 1 ̅ ) + (𝑊0 (1 + 𝑟 + 𝜌∗ ) − 𝑊 ̅ )𝑈 ′ (𝑊 ̅ ) + (𝑊0 (1 + 𝑟 + 𝜌∗ ) − 𝑊 ̅ )2 𝑈 ′′ (𝑊 ̅) ≃ 𝑈(𝑊 2 1 ̅ ) + (𝑊0 (1 + 𝑟 + 𝜌∗ ) − 𝑊0 (1 + 𝐸[𝑟]))𝑈 ′ (𝑊 ̅ ) + (𝑊0 (1 + 𝑟 + 𝜌∗ ) − 𝑊0 (1 + 𝐸[𝑟]))2 𝑈 ′′ (𝑊 ̅) ≃ 𝑈(𝑊 2 1 ̅ ) + 𝑊0 (𝑟 + 𝜌∗ − 𝐸[𝑟])𝑈 ′ (𝑊 ̅ ) + 𝑊02 (𝑟 + 𝜌∗ − 𝐸[𝑟])2 𝑈 ′′ (𝑊 ̅ ). 𝑈(𝑊1 ) ≃ 𝑈(𝑊 2 Все элементы второго порядка пренебрежительно малы и могут быть исключены из уравнения. В терминах ожидания: 1 ̅ ) + 𝑊0 𝜌∗ 𝑈 ′ (𝑊 ̅ ) + 𝑊02 𝐸((𝑟 − 𝐸[𝑟])2 + 2(𝑟 − 𝐸[𝑟])𝜌∗ + 𝜌∗ 2 )𝑈 ′′ (𝑊 ̅) 𝐸[𝑈(𝑊1 )] ≃ 𝑈(𝑊 2 1 ̅ ) + 𝑊0 𝜌∗ 𝑈 ′ (𝑊 ̅ ) + 𝑊02 𝐸(𝑟 − 𝐸[𝑟])2 𝑈 ′′ (𝑊 ̅) 𝐸[𝑈(𝑊1 )] ≃ 𝑈(𝑊 2 1 ̅ ) + 𝑊0 𝜌∗ 𝑈 ′ (𝑊 ̅ ) + 𝑊02 𝑉[𝑟]𝑈 ′′ (𝑊 ̅ ). ≃ 𝑈(𝑊 2 ̅ ) из обеих частей формулы: Вычтем 𝐸[𝑈(𝑊1 )] = 𝑈(𝑊 1 ̅ ) + 𝑊0 𝜌∗ 𝑈 ′ (𝑊 ̅ ) + 𝑊02 𝑉[𝑟]𝑈 ′′ (𝑊 ̅ ) − 𝑈(𝑊 ̅) 𝐸[𝑈(𝑊1 )] − 𝐸[𝑈(𝑊1 )] = 𝑈(𝑊 2 1 0 = 𝑊0 𝜌∗ 𝑈 ′ + 𝑊02 𝑉[𝑟]𝑈 ′′ . 2 Отсюда, 𝜌∗ = − 𝑉[𝑟] 𝑊0 𝑈 ′′ × . 2 𝑈′ (4) Из формулы (4) видно, что величина премии за риск 𝜌∗ положительно зависит от: 1) Степени кривизны функции полезности 𝑈 ′′ ⁄𝑈 ′ . (Точнее, степени кривизны, нормализованной наклоном.) 2) Вариации (волатильности) доходности 𝑉[𝑟] . (Доходность 𝑟 является случайной величиной.) 3) Первоначального вложения 𝑊0 . Как и в случае с формулой расчета (3), такая положительная зависимость выглядит вполне логичной. Соотношение −𝑊0 𝑈 ′′ 𝑈′ представляет собой коэффициент относительного неприятия риска (Coefficient of Relative Risk Aversion, CRRA). Данный коэффициент показывает степень нежелания человека участвовать в игре с неопределенным исходом, где ставкой является фиксированная сумма в процентном выражении. В зависимости от того, какое математическое выражение принимает 𝑈 ′ и 𝑈 ′′ , коэффициент абсолютного неприятия риска может быть возрастающей, убывающей или постоянной функцией по W. Каким его чаще всего находят экспериментально? Дополнительно чтение Varian H.R. 2009. Intermediate Microeconomics. A Modern Approach, 8th edition, W.W. Norton & Company, глава 12. Cvitanic, J., Zapetatero, F. 2004. Introduction to the Economics and Mathematics of Financial Markets, MIT Press, стр. 104-110 Оригинальные статьи: Arrow, K.J. 1965. Aspects of the Theory of Risk Bearing. Helsinki, Yrjo Jahnssonin Saatio. Arrow, K.J. 1971. Essays in the Theory of Risk-Bearing. Markham Pub. Co. Pratt, J. 1964. Risk Aversion in the Small and in the Large. Econometrica, 32, 122-136.