Функциональный анализ

Функциональный анализ Клевчихин Ю.А. Лекция 1. Введение в функциональный анализ Функциональный анализ (ФА) возник как самостоятельный предмет в математике в ХХ веке в результате объединения и развития идей и методов топологии, классического математического анализа, геометрии и линейной алгебры, применяемых для изучения “функциональных пространств” — множеств, элементами которых являются функции (и их различные обобщения), объединяемые в единые совокупности по какому-нибудь признаку, и “операторов”, действующих в этих “пространствах”. В силу мощного развития ФА и огромного объема накопленных результатов, в настоящее время, по-видимому, не существует общепринятого мнения о том, какие разделы и в каком объеме должен включать стандартный университетский курс. Наиболее популярна точка зрения А.Н.Колмогорова, согласно которой курс должен содержать элементы теории множеств, метрических и нормированных пространств, теории меры и интеграла Лебега и линейных операторов в банаховых и гильбертовых пространствах. Но вот объёмы сведений, входящих в эти разделы, совершенно не устоялись (каждый из этих разделов огромен). Наиболее разработанным считается курс, написанный А.Н.Колмогоровым и С.В.Фоминым “Элементы теории функций и функционального анализа”. Еще хуже ситуация с задачами, которые должен уметь решать студент. Ничего подобного задачнику по математическому анализу Б.П. Демидовича для изучения функционального анализа не существует. Этот курс написан для облегчения изучения курса функционального анализа, который вынужден читать я при нынешних ограничениях времени (один семестр, 2 часа в неделю) и студентам-ЕГЭшникам. Конечно же, здесь больше материала, чем я успеваю рассказать в реальных лекциях с (напрасной) надеждой на то, что кто-то это прочитает. Некоторые понятия теории множеств Теория множеств — это большой и самостоятельный раздел математики, сколько-нибудь полное изложение хотя бы основ которого потребовало бы не менее семестрового курса. Поэтому мы остановимся только на самых необходимых для дальнейшего понятиях и обозначениях. В современной математике и, в частности, функциональном анализе являются стандартными обозначения (и мы их будем использовать тоже): N — все натуральные числа, Z — все целые числа, Q — все рациональные числа, R — все действительные числа. Первичными (и основными) понятиями теории множеств принято считать множество и отношение принадлежности P. Эти понятия не определяются через другие (более простые), а полностью характеризуются своими свойствами, выражаемыми в аксиомах теории множеств. Наиболее известными аксиоматизациями теории множеств (из эквивалентных ) являются: NGB — Неймана-Гёделя-Бернайса и ZF — Цермело-Френкеля. С целью экономии времени мы не будем приводить здесь списков ни той ни другой систем аксиом, а традиционно воспользуемся “интуитивным” 1 подходом к изложению необходимых нам понятий. Как при изучении геометрии в школе, никто не знает полного списка аксиом (скажем, Д.Гильберта), тем не менее многие умеют успешно решать геометрические задачи, так и мы, изложив основные понятия научимся решать задачи по теории множеств. Множества Итак, множество мы должны представлять себе как некое собрание, совокупность, коллекцию, объединение в одно целое различимых элементов (предметов, объектов) “произвольной природы” (на самом деле исключительно математической, т. е. множеств, чисел, функций и т. п.). Отношение x P A (или A Q x) читается так: “(элемент) x принадлежит (множеству) A” или “x является элементом (множества) A” или “(множество) A содержит (элемент) x”. Если элемент x не принадлежит множеству A (т. е. px P Aq), то пишут x R A или xPA (или, реже, A S x, A Q x) Всякое множество однозначно определяется набором своих элементов: A “ B ô p@xqpx P A ô x P Bq (множества A и B равны, когда всякий элемент x принадлежит множеству A тогда и только тогда, когда принадлежит B) Если имеет место импликация только в одну сторону, например, p@xqpx P A ñ x P Bq, (всякий элемент x из A является одновременно элементом B) то говорят, что “A является подмножеством pчастьюq B” или “A содержится в B” и пишут AĂB 1 pили A Ď Bq Традиционно здесь чаще говорят “наивным”. Но на мой взгляд, более правильно всё-таки говорить “интуитивным”. Таким образом, A “ B ô pA Ă Bq ^ pB Ă Aq (каждый элемент из A принадлежит B и наоборот.) Иногда множества задают простым перечислением всех элементов (в фигурных скобках). Например, ta, b, cu — множество, состоящее из трех элементов. Но основной способ построения множеств дает следующая конструкция. Принцип выделения. Если P pxq некоторое свойство (предикат) которым может обладать (или не обладать) элемент (предмет) x, то существует множество tx : P pxqu, состоящее в точности из всех тех x (и только тех ), для которых свойство P pxq выполняется. Например, tx : x2 ` 5x ´ 3 “ 0u — множество, состоящее из двух элементов — корней этого квадратного трехчлена; ∅ “ tx : x ‰ xu — пустое множество, т. е. множество не содержащее ни одного элемента (так как нет элементов не равных самим себе); к примеру, имеет место равенство ∅ “ tx : x ‰ xu “ tx : x ´ действительное число и x2 ` 1 “ 0u Такой способ построения новых множеств вызвал наибольшие возражения у математической общественности из-за того, что его неограниченное применение приводит к парадоксам. Например, хорошо известен следующий парадокс Рассела. Определим “множество” A “ tx : x R xu (это все те и только те множества, которые не являются своим элементом). И посмотрим, какое из отношений верно A P A или A R A (согласно закону [логики] “исключенного третьего”, третьего не дано! Другие возможности исключены!). Если предположить, что A P A, то оно не обладает определяющим для A свойством px R xq и поэтому не должно принадлежать A, т. е. A R A?! Если же предположить, что A R A, то тогда оно обладает определяющим свойством px R xq и поэтому должно принадлежать множеству A, т. е. A P A?! Анализ этого и других (подобных и нет) парадоксов привел к пересмотру всех оснований математики. Мы не хотим отвлекаться на описании и перечислении всех следствий этого процесса1 , укажем только, что было выяснено 1 интересующихся популярным изложением этой истории мы отсылаем к книге М. Клайна “Математика. Утрата определенности.” М.: Мир, 1984 наличие достаточно простых выходов для избавления от подобных противоречий. Один из таких выходов (в аксиоматике NGB) предлагает различать “множества” и “классы”, а принцип выделения допускать только для множеств 2 . Таким образом, tx : P pxqu надо понимать как “класс множеств x которые обладают свойством P pxq” (фактически, каждый класс отождествляются со свойством, которым может обладать или нет множество). При таком подходе все множества являются одновременно классами, но не все классы являются множествами. Множества — это по определению только те классы, которые являются элементами какого-нибудь другого класса. А парадокса не возникает, потому что, например, класс всех классов, не принадлежащих самим себе, построить не удается, так как tx : x R xu — это класс всех множеств не принадлежащих самим себе (а не класс классов). Интуитивно “собственные” классы (т. е. не являющиеся множествами) — это очень большие совокупности типа класса всех множеств или, как в парадоксе Рассела, класса всех множеств, не являющихся своим элементом. При этом парадокс превращается в доказательство того, что соответствующий класс не является множеством. Задача˚ . Доказать, что класс M “ tx : x ´ множествоu (класс всех множеств) не является множеством. Операции над множествами Над множествами (впрочем, и над классами) можно производить следующие операции: def 1) Объединение A Y B “ tx : x P A _ x P Bu (A Y B состоит в точности из таких элементов, которые имеются или в A или в B) def 2) Пересечение A X B “ tx : x P A ^ x P Bu (A X B состоит только из тех элементов, которые имеются и в A и в B одновременно) def 3) Разность A ´ B “ tx : x P A ^ x R Bu (A ´ B состоит только из тех элементов, которые есть в A, но нет в B. Другое обозначение разности множеств — AzB) def 4) Симметрическая разность A ´4 B “ tx : px P A ^ x R Bq _ px P B ^ x R Aqu (A ´4 B состоит из тех элементов, которые есть в A, но нет в B или есть в B, но нет в A, т. е. имеет место равенство A ´4 B “ pA ´ Bq Y pB ´ Aq. 2 в аксиоматике NGB кроме классов и отношения принадлежности больше ничего нет. Множества, числа, функции и т. п. являются некоторыми специальными классами (Другое обозначение для симметрической разности A M B или A ‚ B) def 5) Дополнение Ac “ tx : x R Au (другие обозначения: A или AA). Это определение обычно употребляется, когда фиксировано некоторое “универсальное” множество (например) U, подмножеством которого является A (и все другие изучаемые в тот момент множества). И на самом деле подразумевается, что Ac состоит только из элементов U, не принадлежащих A, т. е. Ac “ tx : x P U ^ x R Au. В общем же случае определение tx : x R Au задает класс, который не является множеством. 6) Пусть E — множество, тогда через PpEq (или 2E ) обозначается класс всех подмножеств множества E: PpEq “ tX : X Ă Eu. Несмотря на то, что этот класс является множеством1 , его часто продолжают называть “классом всех подмножеств множества E” (чтобы, избежать некрасивого словосочетания “множество всех подмножеств множества E”). Пример. Пусть E “ ta, b, cu, тогда PpEq “ t∅, tau, tbu, tcu, ta, bu, ta, cu, tb, cu, ta, b, cuu Видим, что PpEq содержит 23 “ 8 элементов. Задача. Доказать, что когда E состоит из n элементов, PpEq содержит n 2 элементов (отсюда обозначение 2E “ PpEq). Свойства операций над множествами Следующие свойства операций над множествами вытекают непосредственно из определений. 1. Коммутативность объединения и пересечения: A Y B “ B Y A; A X B “ B X A. 2. Ассоциативность объединения и пересечения: pA Y Bq Y C “ A Y pB Y Cq; pA X Bq X C “ A X pB X Cq. 3. Дистрибутивность объединения относительно пересечения и дистрибутивность пересечения относительно объединения: A X pB Y Cq “ pA X Bq Y pA X Cq; 1 A Y pB X Cq “ pA Y Bq X pA Y Cq. a priori это ни откуда не следует, но постулируется в аксиоматике NGB (когда E множество) 4. Если A, B — подмножества U, то тогда A Ă B ô A Y B “ B ô A X B “ A, A Ă A Y B, A X B Ă A, A X B Ă B, A Y Ac “ U, A X Ac “ ∅, pA Y Bqc “ Ac X B c , pA X Bqc “ Ac Y B c , pAc qc “ A. Произведение множеств, графики, отношения Следующие ниже понятия теории множеств являются главными для математического анализа. Определение. Пусть X, Y — множества и x P X, y P Y . Упорядочен( ная пара px, yq в аксиоматике определяется как множество x, tx, yu . Мы не хотим здесь обсуждать всех следствий такого определения, отметим только, что чтобы правильно пользоваться этим понятием, надо представлять себе упорядоченную пару px, yq, просто как пару элементов, выписанных в определенном порядке1 : первый элемент — это x, второй — y. Главное свойство, являющееся определяющим для упорядоченной пары, заключено в том, что при сравнении двух пар px1 , y1 q и px2 , y2 q они могут совпадать (быть равными) тогда и только тогда, когда совпадают (равны) соответственно их первые и вторые элементы: px1 , y1 q “ px2 , y2 q ô x1 “ x2 ^ y1 “ y2 . (легкое, но полезное упражнение — доказать исходя из определения этот факт. Отметим еще, что для множеств это свойство не выполнено и всегда имеет место равенство tx, yu “ ty, xu, но при x ‰ y для упорядоченных пар px, yq ‰ py, xq.) Если X и Y — два множества, то их декартовым произведением (или просто произведением) называют множество всех упорядоченных пар px, yq, первый элемент которых принадлежит X, а второй — Y . def X ˆ Y “ tpx, yq : x P X ^ y P Y u. 1 На самом деле по мнению многих, в том числе и автора, понятие функции является столь же “первичным”, как и множества. Фактически, аксиома пары “легализует” существование “простейших” функций, позволяя дать “строгое” определение “общих” функций. Примеры. 1) Пусть X “ t1, 2, 3u, Y “ t♠, ♣, ♦, ♥u. Для того чтобы увидеть все упорядоченные пары с первым элементом из X, а вторым из Y , составим таблицу: @Y ♠ ♣ ♦ ♥ X@ 1 p1, ♠q p1, ♣q p1, ♦q p1, ♥q 2 p2, ♠q p2, ♣q p2, ♦q p2, ♥q 3 p3, ♠q p3, ♣q p3, ♦q p3, ♥q Видим, что всех возможных пар с первым элементом из X, а вторым из Y всего 12 элементов. 2) Пусть pa; bq и pc; dq — два интервала на прямой. По аналогии с предыдущим примером их декартово произведение pa; bq ˆ pc; dq можно отождествить с точками прямоугольника со сторонами pa; bq и pc; dq на плоскости. В случае, когда в произведении оба сомножителя равны, пишут X ˆ X “ X 2 и полученное произведение называют декартовым квадратом множества X. Так, например, в соответствии с предыдущим, декартов квадрат множества всех действительных чисел R2 можно отождествить с множеством всех точек плоскости, если фиксировать на ней (прямоугольную) систему координат и сопоставить каждой паре чисел px, yq точку плоскости с такими координатами. Определение. Говорят, что G — график (в произведении X ˆ Y ), если G — подмножество в X ˆ Y : def G — график (в X ˆ Y ) ô G Ă X ˆ Y. При этом полагают def (от слова domain) def (от слова range) dom G “ tx : Dy px, yq P Gu ran G “ ty : Dx px, yq P Gu dom G называют областью определения графика G, а ran G называют областью значений графика G. Отметим, что при этом множество X называют областью отправления графика G и в общем случае X ‰ dom G; множество Y называют областью прибытия графика G и, вообще говоря, Y ‰ ran G тоже. В случае, когда пара px, yq принадлежит графику G этот факт обозначают одним из приводимых ниже способов: def def G def def def px, yq P G ô G : x ÞÑ y ô x ÞÑ y ô y “ Gpxq ô x G y ô y “ Gx . Из определений следует, что G Ă pdom Gq ˆ pran Gq Ă X ˆ Y . Если X множество и R график в декартовом квадрате X 2 , то R часто называют отношением в X. При такой терминологии чаще всего вместо px, yq P R пишут x R y и говорят, что (элемент) x находится в отношении R с (элементом) y. Примеры. 1) Пусть X — произвольное непустое множество. Обозначим через R диагональ декартова квадрата X 2 : R “ tpx, yq : x “ yu Тогда px, yq P R или, что то же самое x R y, означает x “ y. И поэтому можно def написать R “ “ (т. е. R — отношение равенства в множестве X). def 2) Пусть X “ R (или Q). По определению положим R “ tpx, yq : x ď yu. То есть R “ď. И в этом случае преимущество записи x ď y перед px, yq Pď ни у кого не вызывает сомнений. Следующее обобщение последнего примера нам понадобится в дальнейшем. Определение. Отношение R в X называют отношением порядка (или иногда отношением частичного порядка), если оно обладает свойствами: 1. @x P X xRx (рефлексивность), 2. @x, y P X xRy и yRx ñ x “ y (антисимметричность), 3. @x, y, z P X xRy и yRz ñ xRz (транзитивность). Примеры. 1) Пусть X “ PpEq и def R “ tpA, Bq : A Ă E ^ B Ă E ^ A Ă Bu. Очевидно, на подмножествах из E отношение R совпадает с Ă (но в общем случае, если быть педантичным, написать равенство R “Ă нельзя, так как Ă имеет областью отправления класс всех множеств, а R только PpEq — всех подмножеств из E). 2) Положим X “ N и ě“ tpn, mq : n делится нацело на mu. То есть мы def пишем n ě m ô n делится нацело на m. Рефлексивность, антисимметричность и транзитивность этого отношения вполне очевидна. Таким образом, ě — отношение порядка. Еще один тип отношений очень часто встречается в математике. Определение. Говорят, что R — отношение эквивалентности на множестве X, если оно обладает свойствами: 1. @x P X xRx (рефлексивность) 2. @x, y P X xRy ñ yRx (симметричность) 3. @x, y, z P X xRy и yRz ñ xRz (транзитивность) Подробнее мы изучим такие отношения немного позже, а сейчас рассмотрим несколько примеров. Примеры. 1) Пусть X — произвольное (непустое) множество. По определению положим def xRy ô x P X ^ y P X ^ x “ y. Это отношение R называют отношением равенства на X. Очевидно, оно является отношением эквивалентности. ppq 2) На множестве всех целых чисел Z определим отношение “ по правилу: ppq def m “ n ô m ´ n делится нацело на число p Его рефлексивность следует из того, что для любого n число n´n“0 делится на p. Симметричность: если m ´ n делится на p, то и n ´ m “ ´pm ´ nq делится на p. Транзитивность: если m ´ n делится на p и n ´ k делится на p, то m ´ k “ pm ´ nq ` pn ´ kq делится на p (на p делится каждое слагаемое). ppq Таким образом, “ — отношение эквивалентности. Функция Одним из самых главных понятий для функционального анализа (и математики вообще) является функция. Мы приводим здесь полностью формализованное его определение, главное преимущество которого по сравнению с обычным “школьным” (функция — это правило, сопоставляющее каждому элементу x из X ровно один элемент y из Y ) состоит в том, что из него видно, что с функциями можно поступать так же как с другими математическими объектами (множествами, числами,. . . ), объединяя их в новые множества по какому-нибудь признаку, свойству и изучать полученные совокупности. А делать это с “правилами”, которые что-то чему-то “сопоставляют” как-то неуютно. По сути же, приводимое определение означает в точности то же самое, что и обычное “школьное”. Поэтому, чтобы хорошо понять приводимое формальное определение функции, надо постоянно держать в уме стандартное “школьное”. Определение. Пусть X и Y — (непустые) множества и f ĂX ˆ Y — график. Тройку pX, Y, f q называют функцией, если: 1) dom f “ X; 2) f — функциональный график, т. е. p@xqp@y1 qp@y2 q ppx, y1 q P f q ^ ppx, y2 q P f q ñ py1 “ y2 q. В соответствии с нашими договоренностями об обозначениях, последнее свойство можно переписать в виде p@xqp@y1 qp@y2 q py1 “ f pxqq ^ py2 “ f pxqq ñ py1 “ y2 q. т. е. если два элемента y1 и y2 соответствуют одному и тому же x, то они обязаны совпадать! Очевидно, это то же самое, что одному элементу x должен соответствовать в точности один элемент y. О чем и говорится в “школьном” определении: “. . . каждому x из X (т. е. dom f “ X) сопоставляется ровно один! y P Y ”. Из этого определения видим, что функция pX, Y, f q и ее график f — это, по сути, одно и то же!1 Но график это просто подмножество из декартова произведения X ˆ Y , обладающее двумя (достаточно простыми) свойствами 1) и 2). Поэтому с функциями можно обращаться как с обычными множествами, в частности, объединять их по какому-нибудь признаку, составляя из них новые множества. Например, через Y X (или FpX, Y q, или X Ñ Y ) обозначают множество всех функций, определенных на X со значениями в Y . В дальнейшем мы будем изучать такие множества, как BpXq — всех ограниченных числовых функций, определенных на X, CpXq — всех непрерывных функций на X и т. д. Отметим еще, что вместо обозначения pX, Y, f q для функции общепринято более соответствующее нашей интуиции своей наглядностью обозначение f : XÑY (хотя, более логично было бы писать f P XÑY ). Конкретные функции определяются обычно с помощью принципа выделения посредством задания свойства (правила, условия), по которому мы должны выделить график (т. е. подмножество) из декартова произведения. Например, tpx, yq : y “ ax2 ` bx ` c ^ x P Ru задает квадратичную функцию. Более сложно задаются тригонометрические функции. Скажем, функция sin : R Ñ R, как следует из “школьного” определения, задается так: px, yq P sin (или y “ sin x) тогда и только тогда, когда y — это ордината конца единичного радиус-вектора (с началом в нуле), повернутого против часовой стрелки от оси абсцисс на угол x (в радианах или на дугу длины x единичной окружности). 1 Не совсем. Хотя множество X однозначно восстанавливается по графику f , множество Y уже этим свойством не обладает. И по определению мы две функции pX, Y, f q и pX, Y 1 , f q, отличающиеся только областью прибытия, если быть педантичными, должны считать различными! Приведем некоторые важные понятия, связанные с функцией. Пусть f : X Ñ Y — функция, определенная на X со значениями в Y . Тогда: f pxq — значение функции f в точке x, когда x — элемент области определения X. Это обозначение не рекомендуют путать со следующим очень похожим обозначением: f pAq — образ множества A. По определению это множество всех тех элементов y, в которые “отображаются” (посредством f ) элементы x из A: def f pAq “ ty : pDxqx P A ^ y “ f pxqu. Из этого определения видим, что, например, образ множества, состоящего из одного элемента x, это f ptxuq “ tf pxqu — множество, состоящее из одного элемента f pxq, а его надо различать с самим элементом f pxq. ´1 f pBq — прообраз множества B. Когда B — подмножество из области прибытия Y функции f , по определению это все те x из области определения X, которые f отображает в B: def f ´1 pBq “ tx : pDyq y P B ^ y “ f pxqu. В частности, если B не пересекается с областью значений функции ran f , то f ´1 pBq “ ∅, даже если B ‰ ∅ (чего никогда не бывает с образами множеств). Теорема. Для образов и прообразов множеств при отображении f имеют место соотношения: f pA Y Bq “ f pAq Y f pBq f pA X Bq Ă f pAq X f pBq f ´1 pA Y Bq “ f ´1 pAq Y f ´1 pBq f ´1 pA X Bq “ f ´1 pAq X f ´1 pBq (1) (2) (3) (4) Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем равенство p1q. Для этого докажем, что всякий элемент из f pA Y Bq принадлежит f pAq Y f pBq и обратно. Итак, пусть y P f pA Y Bq. Тогда, по определению найдется такой элемент x P A Y B, что y “ f pxq. Но так как x принадлежит A или B (или обоим одновременно), f pxq будет принадлежать f pAq или f pBq, то есть f pxq “ y P f pAq Y f pBq. Обратно, если y P f pAqYf pBq, то y принадлежит f pAq или f pBq. Поэтому найдется такой элемент x из A или из B, что y “ f pxq. Но тогда x P A Y B, поэтому y “ f pxq P f pA Y Bq. Что и требовалось доказать. Доказательства остальных соотношений ничуть не труднее и остается в качестве упражнения. Отметим только, что соотношение (2) выделяется в этом списке отсутствием равенства (в общем случае). Чтобы понять в чем тут дело, рассмотрим пример: Пусть f pxq “ sin x. Возьмем A “ r0; π2 s, B “ r2π; 5π 2 s. Очевидно, тогда f pAq “ f pBq “ r0; 1s, значит, f pAq X f pBq “ r0; 1s. Но так как A X B “ ∅, имеем f pA X Bq “ f p∅q “ ∅. Некоторые классы функций Здесь мы определим некоторые понятия касающиеся функций. Эти понятия выделяют из класса всех функций такие, которые обладают специальными свойствами важными для любого математического исследования. В дальнейшем мы изучим некоторые методы, позволяющие судить о том обладает ли исследуемая функция этими свойствами или нет. Определение. Функция f : X Ñ Y называется сюръективной (или, иначе, отображающей X на Y , иногда обозначают f : X  Y ), если образ f pXq её области определения X “накрывает” всю область прибытия Y , то есть f pXq Ą Y ô @y P Y Dx P X y “ f pxq. (В общем случае, когда неизвестно, что f — сюръективна, говорят, что f отображает X в Y ) Пример. Функция sin : R Ñ R, очевидно, не является сюръективной, так как не может принимать значений больше 1. Как известно, её образом является отрезок r´1; 1s, поэтому если рассматривать функцию sin : R Ñ r´1; 1s (график как у предыдущей, а область прибытия другая), то такая функция уже будет сюръективной. Наглядно у сюръективной функции проекция её графика на область прибытия должна совпадать с областью прибытия (то же самое можно сказать так: у сюръективной функции область значений совпадает с областью прибытия). Определение. Функция f : X Ñ Y называется инъективной (или, иначе, взаимно-однозначной, обозначают f : X  Y ), если она отображает “разные элементы из X в разные элементы из Y ”. Более точно, она должна обладать свойством @x1 , x2 P X x1 ‰ x2 ñ f px1 q ‰ f px2 q. Это свойство (в силу логического тождества AñB ” Bñ A) эквивалентно следующему @x1 , x2 P X f px1 q “ f px2 q ñ x1 “ x2 . Пример. Функция sin : R Ñ R, очевидно, не является инъективной, так как, например, числа x и x ` 2π не равны, но sin x “ sinpx ` 2πq. Вообще, можно легко видеть, что, например, числовая функция f : ra; bs Ñ R инъективна только тогда, когда любая горизонтальная прямая имеет не более одной общей точки с графиком этой функции. В частности, в дальнейшем мы докажем, что непрерывная числовая функция f : ra; bs Ñ R инъективна тогда тогда, когда она строго монотонна. Например функция ‰ “ π иπ только sin : ´ 2 ; 2 Ñ R уже является инъективной (но не сюръективна). Определение. Функция f : X Ñ Y называется биективной (или, иначе, взаимно-однозначной из X на Y ), если она одновременно и сюръективна и инъективна. Примеры. 1. В алгебре Вы будете изучать, так называемые, перестановки (или, иначе, подстановки). Это биективные отображения множества t1, 2, . . . , nu на себя. Очевидно, всякое такое отображение можно задать в виде таблицы ˆ ˙ 1 2 3 ... n n1 n2 n3 . . . nn Например, отображение ˆ ˙ 1 2 3 4 5 2 3 1 5 4 является перестановкой множества t1, 2, 3, 4, 5u (то есть биекцией этого множества на себя). А отображение ˆ ˙ 1 2 3 4 5 2 3 1 2 4 не биективно, так как 1 и 4 соответствует одно и то же число 2 (отсутствует инъективность), кроме того у числа 5 нет прообраза (т. е. отсутствует и сюръективность). 2. Функция f pxq “ x2 , рассматриваемая как отображение R Ñ R, очевидно (нарисуйте график), не является ни инъективной ни сюръективной, но если рассмотреть её сужение f : r0; `8q Ñ r0; 8q, то такая функция является биекцией (взаимно-однозначно отображает положительную полуось r0; `8q на себя). Последовательности и семейства Функции в математике возникают повсюду и в одном и том же математическом исследовании могут встречаться совершенно “разнородные” функции. Чтобы как-то группировать “однородные” и различать “разнородные” функции в математике имеется много синонимов слова “функция”. В дальнейшем мы часто будем употреблять такие как “отображение”, “оператор”, “функционал” и другие. Названия функций могут отражать их геометрический или физический смысл, например: “мера”, “интеграл”, “емкость”, “потенциал”; и даже начертание при записи. К последним относятся такие термины, как “последовательность” и “семейство”, к определению которых мы и приступаем. Определение. Последовательность — это функция, областью определения которой является множество N всех натуральных чисел1 , причем используются индексные обозначения для значений на аргументе n, то есть пишут xn вместо xpnq. Если ее областью прибытия является какое-то множество X, то такую последовательность называют последовательностью элементов pмножестваq X. При этом, вместо x : N Ñ X пишут pxn qnPN или pxn q8 n“1 (или просто pxn q, когда не может возникнуть недоразумений). Иногда (особенно в старых книгах) для обозначения последовательности употребляют фигурные скобки: txn u8 n“1 , что, вообще говоря, не желательно, так как может вызвать некоторую путаницу, как будет видно из дальнейшего. Задают последовательности очень часто либо с помощью формулы, по которой вычисляется “общий член последовательности” xn (т. е. значение последовательности на произвольном натуральном числе n), либо выписывая в строку (через запятую) несколько “первых членов последовательности2 ” (т. е. значений последовательности на первых натуральных числах): x1 , x2 , x3 , . . . , xn , . . . Например, (задача 113 из задачника Б.П. Демидовича [11]) nπ n sin2 . xn “ n`1 4 или (задача 114 из того же задачника) 1 1 1 3 1 7 1 2n ´ 1 , , , , , , . . . , n, ,... 2 2 4 4 8 8 2 2n Очень рекомендуется не путать (особенно математикам; филологам или юристам можно!) последовательность pxn qnPN и ее множество значений txn : n P Nu (сокращая, пишут еще просто txn u). Например, если последовательность xn “ p´1qn , то есть ´1, 1, ´1, 1, ´1, . . . , p´1qn , . . . 1 2 или, иногда Z, или его бесконечные подмножества, например, t0u Y N как будет видно ниже, не следует говорить “первых элементов последовательности” то ее множество значений tp´1qn : n P Nu “ t´1, 1u состоит всего из двух элементов (а не бесконечного числа ´1 и `1). Ошибка здесь часто возникает потому, что значение последовательности на аргументе n, то есть xn (его называют членом последовательности), строго говоря не является элементом последовательности. Последовательность, как и всякую другую функцию, можно считать подмножеством декартова произведения и тогда ее элементами являются упорядоченные пары pn, xn q. А их в последовательности всегда бесконечно много. Например, в рассмотренной выше последовательности xn “ p´1qn имеется бесконечно много э л е м е н т о в: tp1, ´1q, p2, 1q, p3, ´1q, p4, 1q, . . . , pn, p´1qn q, . . .u. Обобщением понятия “последовательности” является понятие “семейства”. Определение. Пусть I и X — два множества. Функцию x из I в X называют семейством элементов из X, если ее аргумент записывают в виде индекса, и в этом случае применяют обозначения: pxi qiPI — семейство; xi — его значение на элементе i Очень часто термин “семейство” употребляется для обозначения функций принимающих значения в множествах, элементами которых являются другие множества, например, в PpEq (т. е. когда область прибытия функции “ PpEq). В этом случае вместо слов: “Пусть X : I Ñ PpEq — функция на множестве I со значениями в классе всех подмножеств множества E. . . пишут “Пусть pXi qiPI — семейство подмножеств из E. . . ” что выглядит элегантнее по форме и легко воспринимается по смыслу. С произвольными семействами множеств pXi qiPI в математике очень часто производятся следующие операции: 1) Объединение семейства множеств pXi qiPI : ď def Xi “ tx : Di P I x P Xi u iPI (это в точности все те элементы x, которые принадлежат хотя бы одному Xi ) 2) Пересечение семейства множеств pXi qiPI : č def Xi “ tx : @i P I x P Xi u iPI (те элементы x, которые принадлежат одновременно всем Xi ) 3) Прямое произведение семейства множеств pXi qiPI : ź def Xi “ tpxi qiPI : p@iq x P Xi u iPI Элементами этого множества являются всевозможные семейства pxi qiPI , у которых “i-я компонента” 1 принадлежит множеству Xi . В том частном случае, когда все с одним и тем же множеś Xi совпадают ś ством X, очевидно, произведение Xi “ X “ X I совпадает с множеством iPI iPI I X всех функций определенных на I и со значениями в X (откуда и обозначение для множества всех функций!) Наиболее часто в математике используются два типа семейств множеств: покрытия и разбиения. Определение. Семейство pXi qiPI подмножеств из E называется покрытием множества X Ă E, если ď Xi Ą X. iPI (что вполне согласовано с обыденным смыслом слова “покрытие” 2 : множества Xi в совокупности “покрывают” множество X) Определение. Разбиение множества X Ă E — это семейство pXi qiPI подмножеств из E, обладающее свойствами: 1. Ť Xi “ X; iPI 2. p@i, jqi ‰ j ñ Xi X Xj “ ∅. (тоже в согласии с обыденным пониманием того, что называется “разбить на части”) Очевидно, всякое разбиение является покрытием, но (вообще говоря) не наоборот! ´ ¯ 1 Примеры. 1) Xn “ n ; 1 . pXn qnPN — покрытие интервала p0; 1q (доказать!). Очевидно, оно не является разбиением, так как различные Xn и Xm пересекаются. 1 В русском языке есть слово “компонент”— мужского рода. Математический же термин “компонента”— женского рода и соответственно склоняется 2 Еще одно подходящее слово “накрытие” в математике используется для совершенно другого (более сложного) понятия ” 2) Xn “ 1 1 n`1 , n ¯ n “ 1, 2, . . . — разбиение интервала p0; 1q. Так как k ‰ n ñ Xk X Xn “ ∅, ď nPN Xn “ 8 ď Xn “ p0; 1q. n“1 (Доказать.) Замечание. Очень часто терминами “разбиение” и “покрытие” называют не семейства множеств, а классы 1 множеств с соответствующими свойствами2 . Более точно, говорят, что класс множеств U является покрытием множества X, если ď U Ą X, U PU т. е. объединение всех элементов класса U содержит X. Класс Ť множеств A называется разбиением множества X, если 1) A “ X, APA 2) @A, B P A A ‰ B ñ A X B “ ∅. Оказывается разбиения очень тесно связаны с отношениями эквивалентности. А именно, имея разбиение pXi qiPI множества X можно определить отношение эквивалентности „ по правилу: def x „ y ô pDiq x P Xi ^ y P Xi . p˚q (т. е. по определению считаем x и y эквивалентными тогда и только тогда, когда они лежат в одном и том же подмножестве Xi нашего разбиения. Рефлексивность, симметричность и транзитивность этого отношения очевидна.) Обратно, всякое отношение эквивалентности „ на множестве X порождает разбиение pXi q множества X, для которого „ получается по правилу p˚q. А именно, положим def rxs “ tx1 : x1 „ xu (т. е. через rxs мы обозначили множество всех элементов эквивалентных фиксированному элементу x) Теорема. Множества rxs и rys либо совпадают, либо не пересекаются. Д о к а з а т е л ь с т в о. Если x1 P rxs X rys, то по определению x1 „ x и x1 „ y. Но тогда (по свойству симметричности) x „ x1 и x1 „ y. Откуда по свойству транзитивности x „ y. Значит, по свойству транзитивности, любой 1 здесь слово “класс” синоним слова “множество”, употребляется только чтобы не говорить “множество множеств”. 2 Впрочем, любой класс (множество) можно легко превратить в семейство, взяв в качестве множества индексов его самого, а за семейство — тождественное отображение. элемент из rxs принадлежит rys и обратно, т. е. множества rxs и rys совпадают, что и требовалось доказать. Из доказанной теоремы и вытекает, что всё множество X распадается на непересекающиеся “классы” rxs, образующие в совокупности разбиение. Этот факт очень часто используется в математике. Полученное разбиение называют фактор-множеством множества X (построенным) по отношению „ и обозначают X{ „. Примеры. 1. Напомним, что мы ранее выяснили, что отношение ppq def x “ y ô x ´ y делится на p является отношением эквивалентности на множестве Z целых чисел. Фактормножество по этому отношению эквивалентности обычно обозначают через Zp и легко видеть, что его элементами будут множества 0 “ t¨ ¨ ¨ ´ 2p, ´p, 0, p, 2p . . . u — все числа, делящиеся на p нацело; 1 “ t¨ ¨ ¨ ´ 2p ` 1, ´p ` 1, 1, p ` 1, 2p ` 1 . . . u — все числа, дающие в остатке от деления на p единицу; 2 “ t¨ ¨ ¨ ´ 2p ` 2, ´p ` 2, 2, p ` 2, 2p ` 2, . . . u — все числа, дающие в остатке от деления на p двойку; ... p´1 “ t¨ ¨ ¨ ´ 3p ` 1, ´2p ` 1, ´1, p ´ 1, 2p ´ 1, 3p ´ 1 . . . u — все числа, дающие в остатке от деления на p число p ´ 1. Таким образом, Zp состоит ровно из p элементов: Zp “ t0, 1, . . . , p ´ 1u. 2. Одним из возможных определений рациональных чисел является следующее. Будем обозначать элементы pp, qq декартова произведения Z ˆ N через pq , где p P Z, q P N, и по определению положим p p1 def „ 1 ô p ¨ q 1 “ q ¨ p1 q q Легко видеть, что „ — отношение эквивалентности на ZˆN. Фактор-множество ZˆN{„ по этому отношению эквивалентности и называют множеством рациональных чисел и обозначают через Q. Очевидно, его элементами являются множества ) p ! pn “ : n P N , где p и q — взаимно просты, p P Z, q P N q qn Вопросы для самопроверки: 1. Что такое (сюръктивная, инъективная, биективная) функция? Выписать в логических терминах свойство, определяющее такую функцию def def f : X  Y ô Y “ f pXq “ ty : Dx P X f pxq “ yqu def f : X  Y ô @x1 , x2 x1 ‰ x2 ñ f px1 q ‰ f px2 q 2. Выбрать из данных функций сюръктивные, инъективные, биективные 3. Последовательности 4. Семейства Ť Ş Ş 5. Доказать равенства (типа pXi X Yi q “ Xi Y Yi ) iPI iPI iPI Лекция 2. Эквивалентность множеств и кардинальные числа Напомним, что при изложении необходимых нам фактов мы придерживаемся подхода, предложенного Нейманом-Гёделем-Бернайсом1 (NGB). Как известно, при этом различают классы — (почти) произвольные совокупности элементов, и множества — некоторые из классов, а именно те, которые сами являются элементами какого-нибудь класса. Всякое множество является классом, но не наоборот. Существование некоторых классов (и множеств, в частности ∅) постулируется системой аксиом. Другие классы и множества строятся из существующих с помощью (опять-таки) постулированных конструкций: объединения, пересечения, дополнения и т. п. Но одной из главных конструкций является Принцип выделения. Если P pxq — “некоторое свойство” (иначе, предикат), содержащее переменную x, то существует класс всех множеств, обладающих свойством P pxq. Отметим, что этот принцип не позволяет построить класс всех классов. Более того, его просто не существует, что доказывает известный «парадокс2 » Кантора (см. ниже c. 8). Тем не менее, согласно этому принципу можно построить, например, такой «большой» класс, как класс всех множеств и изучать его подклассы. Опять-таки, «парадокс» Кантора доказывает, что этот класс не является множеством (если бы он был множеством, мы получили бы множество всех множеств — парадоксальный объект). Но нам это нисколько не помешает ввести 1 Это один из двух наиболее популярных подходов. Альтернативный — Цермело-Френкеля (ZF) Мы берём слово «парадокс» в кавычки, потому что при нашем подходе это не парадокс, а доказательство (от противного) того, что класса всех классов не существует. 2 на нём одно специальное отношение эквивалентности и, тем самым, разбить его на подклассы эквивалентных множеств. Каждый из этих подклассов будет называться кардинальным числом. Отметим только, что кардинальные числа не являются множествами, поэтому не существует не только множества всех кардинальных чисел, но мы не имеем права образовать даже класса всех кардинальных чисел. Это — программа на ближайшее будущее. Далее мы в основном более подробно изучим два кардинальных числа — ℵ0 (а́леф нуль) и c. Мощность множеств Определение. Говорят, что два множества A и B эквивалентны или имеют одинаковую мощность, если существует взаимно-однозначное отображение A на B (или, иначе, биекция). Факт эквивалентности множеств A и B мы обозначаем так: A „ B. Отношение „ обладает свойствами: 1) @A A „ A — рефлексивность (в качестве биекции можно взять тождественное отображение A на себя). 2) @A, B A „ B ñ B „ A — симметричность (если f — биекция A на B, то f ´1 — биекция B на A). 3) @A, B, C A „ B и B „ C ñ A „ C — транзитивность (в качестве биекции A на C можно взять композицию g ˝ f , где f — биекция A на B и g — биекция B на C) Таким образом, „ — отношение эквивалентности, поэтому класс всех множеств “распадается” на (не пересекающиеся) классы множеств, имеющих одинаковую мощность. Каждый из этих классов называется кардинальным числом (или просто кардиналом). Каждое множество A попадает в один из классов эквивалентности. Этот класс обозначают card A (или |A|) и называют кардинальным числом множества A (или кардиналом множества A): def card A “ tB : B „ Au, card A “ card B ô A „ B. Класс всех множеств эквивалентных множеству t1, 2, . . . , nu обозначается через n , а о множествах, принадлежащих этому классу, говорят, что они конечны и состоят из n элементов. Когда мы считаем количество элементов какого-нибудь конечного множества A, мы, по-сути, строим взаимно-однозначное отображение множества t1, 2, . . . , nu на множество A (или, если хотите, наоборот, каждому элементу a P A взаимно-однозначно сопоставляем натуральное число). Остальные множества (не эквивалентные никакому n , n P N) называют бесконечными. Поскольку натуральные числа можно сравнивать, мы бы хотели научиться сравнивать множества по «количеству элементов». При этом очевидно, что конечное множество A содержит меньше (соответственно, строго меньше) элементов чем множество B тогда и только тогда, когда можно построить взаимно-однозначное отображение A на часть 1 множества B (соответственно, точную часть2 ). Для бесконечных множеств всё оказывается сложнее. А именно, справедлива теорема. Теорема. Множество A бесконечно тогда и только тогда, когда оно эквивалентно некоторой своей точной части. Д о к а з а т е л ь с т в о этого факта не нуждается ни в каких специальных познаниях, достаточно уметь немного логически мыслить. Поэтому оно остаётся для самостоятельной работы, а первый, кто представит мне таковое может рассчитывать на дополнительные баллы к оценке за коллоквиум. Примеры. 1. Отображение n ÞÑ 2n является биекцией множества всех натуральных чисел N на его точное подмножество всех чётных натуральных чисел 2N. Таким образом множество N всех натуральных чисел эквивалентно своей точной части — множеству всех чётных чисел 2N. 2. Функция ` π π ˘y “ tg x осуществляет взаимно-однозначное отображение ин`тервала ˘ ´ 2 ; 2 на множество всех действительных чисел R. То есть интервал π π ´ 2 ; 2 эквивалентен всей действительной оси R. Тем не менее не всё так безнадёжно, как может показаться после этих примеров. А именно, справедлива теорема. Теорема (Кантор-Бернштейн). Если множество A эквивалентно части множества B, а множество B эквивалентно части множества A, то множества A и B эквивалентны. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть f — инъекция A в B и g — инъекция B в A. Отметим, что теорема будет доказана, если мы найдём такое подмножество X ˚ Ď A, что ` ˘ A ´ X ˚ “ g B ´ f pX ˚ q , (‹) так как в этом случае можно в качестве биекции A на B взять отображение 1 Здесь часть означает подмножество. Мы не пишем подмножество, чтобы избежать некрасивого оборота «подмножество множества A». Слишком много слова множество. 2 Множество B1 называют точной частью множества B (или собственным подмножеством, что, на мой взгляд, менее выразительно), когда B1 Ă B и B1 ‰ B. h, определяемое соотношением # hpxq “ f pxq, x P X˚ g ´1 pxq, x P A ´ X ˚ (отображение f , будучи инъективным, является биекцией X ˚ на f pX ˚ q, а g ´1 определено на всём множестве A ´ X ˚ в силу равенства p‹q, значит, является биекцией A ´ X ˚ на B ´ f pX ˚ q). Итак, докажем существование подмножества X ˚ со свойством p‹q. Для этого заметим, что оно равносильно равенству ` ˘ X ˚ “ A ´ g B ´ f pX ˚ q и для произвольного X Ď A положим ` ˘ ϕpXq “ A ´ g B ´ f pXq . Очевидно, это отображение ϕ : 2A Ñ 2A , и легко проверить (упражнение для самостоятельной работы), что оно обладает свойством X Ď Y ñ ϕpXq Ď ϕpY q, (˚˚) и нам надо найти его «неподвижную точку» — такой элемент X ˚ , что ϕpX ˚ q “ X ˚. def Обозначим X “ tX : ϕpXq Ď Xu и покажем, что нужным свойством обладает элемент č ˚ X “ X XPX (X ‰ ∅, так как, например, A P X). В самом деле, по определению X ˚ для любого X P X имеем X ˚ Ď X, значит (согласно p˚˚q и определению X), ϕpX ˚ q Ď ϕpXq Ď X, поэтому, č ϕpX ˚ q Ď X “ X ˚. (1) XPX ` ˘ Но тогда, в силу p˚˚q ϕ ϕpX ˚ q Ď ϕpX ˚ q, значит, ϕpX ˚ q P X и поэтому по определению X ˚ X ˚ Ď ϕpX ˚ q (2) Включения (1) и (2) влекут равенство ϕpX ˚ q “ X ˚ . Что и требовалось доказать : Эта теорема позволяет (почти полностью) разобраться со следующими четырьмя логически возможными ситуациями и определить неравенство между кардиналами множеств: 1) В случае, когда множество A эквивалентно некоторой части множества B, а B эквивалентно некоторой части множества A, по теореме КантораБерштейна A „ B, и, значит, card A “ card B. 2) В случае, когда A эквивалентно некоторой части множества B, а B не эквивалентно никакой части множества A, по определению полагаем card A ă card B. 3) В случае, когда A не эквивалентно никакой части множества B, а B эквивалентно некоторой части множества A, по определению полагаем card A ą card B. 4) Последняя логически возможная ситуация, когда A не эквивалентно никакой части множества B и B не эквивалентно никакой части множества A на самом деле невозможна (при условии справедливости аксиомы выбора). Этот факт слишком близок к основам теории множеств и его полное доказательство требует довольно длинных и нудных (но, местами, нетривиальных) разбирательств. Желающие могут найти их, например, в книге [1]. Практически, чтобы доказать неравенство card A ď card B, очевидно, достаточно найти хотя бы одно инъективное отображение A в B или сюръективное отображение B на A. Определение. Класс всех множеств имеющих одинаковую мощность с множеством натуральных чисел называется кардинальным числом ℵ0 (а́леф нуль) def ℵ0 “ cardpNq. Множества, принадлежащие этому классу называют счётными. Оказывается можно сказать, что первым бесконечным кардиналом является кардинал множества натуральных чисел ℵ0 . Мы говорим, что ℵ0 является первым бесконечным кардиналом потому, что Теорема. Любой кардинал строго меньший ℵ0 конечен. На самом деле эта теорема, очевидно, равносильна тому, что Теорема. Любое бесконечное множество A содержит счётное подмножество (или, что то же самое, множество N эквивалентно некоторой части любого бесконечного множества). Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем произвольный элемент a1 P A. Поскольку A — бесконечно, множество A1 “ A ´ ta1 u ‰ ∅. Выберем a2 P A1 и рассмотрим множество A2 “ A ´ ta1 , a2 u. Опять, оно не пусто, выберем в нем элемент a3 и обозначим A3 “ A ´ ta1 , a2 , a3 u ‰ ∅. Выберем в нём элемент a4 . . . . Этот процесс можно продолжать до бесконечности, так как на любом конечном шаге множество A ´ ta1 , . . . , an u ‰ ∅ в силу бесконечности A. В результате получим взаимно-однозначное отображение n ÞÑ an множества натуральных чисел N на подмножество ta1 , a2 , a3 , . . . u Ă A. Теорема доказана. В частности из этой теоремы вытекает, что любое бесконечное подмножество множества натуральных чисел счётно. Или, если называть кардинал множества «количеством элементов»1 , любое бесконечное подмножество множества натуральных чисел (и любого счётного множества) имеет «столько же элементов», сколько и само множество N. Не очевидными примерами «больши́х» счётных множеств являются множества всех рациональных чисел Q или (ещё «большее») множество всех алгебраических чисел2 . Доказать их счётность можно с использованием следующей теоремы. Теорема. 1. Объединение любого конечного или счётного множества счётных множеств есть счётное множество. 2. Декартово произведение счётных множеств счётно. Д о к а з а т е л ь с т в о этой и других теорем о счётных множествах, изложенное в увлекательной форме, имеется в книжке Н.Я. Виленкина [2]. В связи с последней теоремой может возникнуть ощущение, что все бесконечные множества счётны. Однако, это не так. Мощности бывают «сколь угодно большими»: Теорема. Для любого множества A множество всех его подмножеств A 2 имеет мощность строго больше мощности самого множества A: @A card A ă card 2A . Д о к а з а т е л ь с т в о. От противного, по-сути повторяет парадокс Рассела. Предположим, мы нашли биекцию ϕ множества A на множество всех его подмножеств ϕ : A Ñ 2A , то есть взаимно-однозначно сопоставили каждому x P A подмножество ϕpxq Ă A. Обозначим через U подмножество тех x P A, которые не принадлежат ϕpxq: U “ tx P A : x R ϕpxqu. Это подмножество должно соответствовать какому-нибудь y P A при отображении ϕ: U “ ϕpyq. Но посмотрим, куда попадает тогда сам элемент y. Он 1 Определить «количество» элементов бесконечного множества можно и иначе, с помощью «порядковых чисел». На мой взгляд такое определение лучше соответствует нашей интуиции. 2 Напомним, что алгебраическими называют числа, являющиеся корнями многочленов с целыми коэффициентами. В частности любое рациональное число pq является корнем линейного уравнения qx ´ p “ 0. не может принадлежать U по определению U . Он не может принадлежать его дополнению, так как тогда y R U “ ϕpyq и по определению U обязан принадлежать U ?! Противоречие доказывает неверность предположения. Теорема доказана. В качестве простого следствия этой теоремы приведём «парадокс Кантора». Следствие 1. Не существует множества всех множеств (иными словами класс всех множеств не является множеством). Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим противное. Пусть класс всех множеств является множеством. Обозначим его M. Но тогда 2M Ă M и поэтому должно быть справедливо неравенство cardp2M q ď cardpMq, что противоречит доказанной выше теореме. Следствие 2. Если card B ě 2, то для любого множества A cardpB A q ą card A. (Напомним, что через B A [или FpA; Bq или AÑB] обозначают множество всех функций, определённых на A со значениями в B. Очевидно, если каждому подмножеству из A сопоставить его характеристическую функцию [равную на нём 1, а на дополнении 0], то получим взаимно однозначное отображение множества всех подмножеств A на множество всех функций на A со значениями в двухточечном множестве t0, 1u. Поэтому для множества всех подмножеств естественно обозначение 2A . Более того, если множество A конечно, то cardp2A q “ 2card A [если отождествить card A с соответствующим натуральным числом]) Определение. Класс всех множеств имеющих одинаковую мощность с отрезком r0; 1s Ă R обозначают через c или ℵ1 , т. е. def def c “ ℵ1 “ cardr0; 1s, а о множествах, принадлежащих этому классу говорят, что они имеют мощность континуума. Теорема. Множество точек отрезка r0; 1s Ă R несчётно: c ą ℵ0 . Д о к а з а т е л ь с т в о. См. [2]. На самом деле довольно легко видеть (докажите!), что cardr0; 1s “ cardp2N q (подсказка: множество 2N совпадает с множеством всех двоичных дробей, которое отличается от r0; 1s на счётное множество [дроби у которых периодом является единица отождествляются с соответствующими дробями, имеющими 0 в периоде]). Поскольку для натуральных n ą 1 между числами n и 2n имеются другие числа (причём, чем больше n тем больше промежуточных чисел), возникает вопрос: существуют ли множества A «промежуточной» мощности ℵ0 ă card A ă c (континуум гипотеза)? Как доказал П.Дж. Коэн [1], в этом вопросе ситуация подобна той, которая сложилась с известным пятым постулатом Эвклида в геометрии. Можно считать верным, что существуют, а можно, что не существуют и при этом построить две различные непротиворечивые теории. Но оказывается, что различия появляются только при решении достаточно «экзотических» вопросов. Подавляющее большинство результатов классической и современной математики не зависят от того, как разрешена континуум гипотеза. Но в большинстве работ молчаливо подразумевается, что промежуточных мощностей нет. Мы в дальнейшем будем поступать так же. Задача. Докажите, что множество Cra; bs всех непрерывных функций на отрезке ra; bs имеет мощность континуума (конечно же, множество всех функций Fra; bs не обязательно непрерывных, имеет мощность строго больше). Лекция 3. Введение в теорию меры Общая теория меры используется не только в теории функций и функциональном анализе, но и очень активно в теории вероятностей и математической статистике. Более того, некоторые считают теорию вероятностей специальным разделом теории меры. На самом деле это не так. Методы построения вероятностных моделей и их изучение имеют в теории вероятностей свою специфику, которая зачастую почти никак не связана с теорией меры, хотя, конечно, теория меры и является одним из главных инструментов теории вероятностей. Мы здесь изучим только те сведения из теории меры, которые понадобятся нам в дальнейшем и стандартны при изучении анализа. Определение меры Всюду в дальнейшем мы будем через R обозначать множество действительных чисел R, к которому добавили две точки t´8, `8u (мы будем часто писать 8 вместо `8): R “ R Y t´8, `8u. При этом принимаются обычные соглашения: @x P R ´8 ă x ă `8, x ` 8 “ 8, x ´ 8 “ ´8, для x ą 0 имеем x ¨ p˘8q “ ˘8, x ˘8 “ 0. Операции 8 ´ 8, 0 ¨ 8 не определены. Окрестностями точки `8 (соответственно ´8) по определению считаются множества, содержащие какой-нибудь интервал Uε p`8q “ pε; 8s (соответственно Uε p´8q “ r´8; ´εq). При этом R превращается в компактное топологическое пространство и можно писать R “ r´8; `8s. Кроме того мы обозначаем R` “ r0; `8s. ř У нас будут встречаться бесконечные суммы вида ai (где множество iPI индексов I, вообще говоря, неупорядоченно и card I ď ℵ0 ). Мы определяем такие суммы для случая, когда все ai ě 0 формулой ÿ ÿ def ai sup ai “ iPI K— конечное iPK KĂI Определение. Пусть E — множество. Функцию µ, сопоставляющую каждому подмножеству A Ă E действительное число µpAq или символ `8 называют мерой (то есть µ : 2E Ñ R), если она удовлетворяет условиям: 1. µp∅q “ 0; 2. Для любого множества A и любого его не более чем счётного покрыŤ тия pBi qiPI (т. е. card I ď ℵ0 и A Ă Bi ) имеет место неравенство µpAq ď iPI ř µpBi q: iPI @A @pBi qiPI card I ď ℵ0 & A Ă ď iPI Bi ñ µpAq ď ÿ µpBi q. iPI Последнее условие называют свойством счётной полуаддитивности меры. Непосредственно из определения вытекают два важных свойства любой меры: 3. A Ă B ñ µpAq ď µpBq — монотонность меры. Является следствием свойства 2 меры (надо в качестве покрытия A взять семейство, состоящее из одного элемента B) 4. @A µpAq ě 0 — положительность меры (при любом A имеем ∅ Ă A, поэтому нужное неравенство следует из монотонности меры). Замечание. Приведённое определение меры не общепринято. Чаще меру в нашем смысле в учебниках называют внешней мерой. Более подробно об отличиях и совпадениях будет сказано в следующей лекции. Примеры. 1. Для произвольного непустого множества E положим по определению µt p∅q “ 0, а для остальных подмножеств A Ă E: µt pAq “ 1. Очевидно, µt — мера. Её называют тривиальной. 2. Для произвольного непустого множества E и произвольного его подмножества A Ă E по определению полагаем # n card A “ n ă ℵ0 µc pAq “ `8 card A ě ℵ0 Эта мера называется считающей, поскольку на конечных множествах её значение равно количеству элементов этих множеств. Проверка выполнения свойств меры тривиальна. 3. Мера Дирака δx0 определяется равенством # 0, x0 R A δx0 pAq “ 1, x0 P A. Несмотря на простоту определения мера Дирака (и соответствующий интеграл) имеет многочисленные применения в математике и физике. 4. Мера Лебега L определяется гораздо сложнее. Мы определим сейчас только «одномерную» меру Лебега в R, хотя в общем случае можно определить «n-мерную» меру Лебега в Rn для произвольного n P N. Сначала по определению полагаем, что для любого интервала pα;βq его мера равна его длине: L pα; βq “ β ´ α. Далее, с учётом того, что любое открытое множество в R является не более чем счётным объединением соŤ ставляющих интервалов O “ pαi ; βi q, полагаем iPI ¸ ˜ L pOq “ L ď pαi ; βi q def iPI ÿ “ pβi ´ αi q iPI (т. е. мера открытого множества равна сумме длин составляющих интервалов). Теперь, мера произвольного подмножества A Ă R определяется равенством: def L pAq “ inf L pOq O–открыто OĄA 5. Ещё много примеров мер даёт следующее определение. Для любого 0 ă m ď n (m не обязательно целое) мера Хаусдорфа (m-мерная) Hm в пространстве Rn определяется равенством # ˙m + ˆ ÿ diam Bi def Hm pAq “ lim inf αm δÑ0 YBi ĄA 2 iPI diam Bi ăδ m{2 где αm “ `πm ˘ — величина в случае целого m равная объёму m-мерного Γ 2 `1 шара. Можно показать, что, например, одномерная мера Хаусдорфа гладкой кривой даёт её длину, двумерная мера Хаусдорфа гладкого куска поверхности — его площадь, 3-мерная области — объём. Мы не будем здесь изучать меры Хаусдорфа. На это у нас нет времени. Пример этот мы приводим только для того, чтобы показать, что в общем случае на произвольном множестве существует много различных мер. Хотя надо отметить, что в настоящее время меры Хаусдорфа широко используются в приложениях, в частности, в модной сейчас теории фракталов. Наиболее подробно на русском языке теория мер Хаусдорфа и «близких» к ней изложена в книгах [1,2]. 6. Пусть µ — произвольнаяˇ мера на множестве E и T Ă E — подмножество. Определим новую меру µˇT на E полагая по определению ˇ def µˇT pAq “ µpT X Aq. Эта мера называется ограничением меры µ на T . Несмотря на простоту это важный для дальнейшего пример построения новой меры из уже заданной. Измеримые множества Главными объектами, с которыми мы будем иметь дело при изучении меры будут измеримые для неё множества (у каждой меры, вообще говоря, свои измеримые множества) — это класс подмножеств из E, для «измерения» которых данная мера «хорошо приспособлена». Следующее определение принадлежит немецкому математику Константину Каратеодори. Определение. Пусть на не пустом множестве E задана мера µ. Подмножество A Ă E называется µ-измеримым (или просто измеримым, если не может возникнуть недоразумений), когда @T Ă E µpT q “ µpA X T q ` µpAc X T q, где Ac “ E ´ A. (‹‹‹) Класс всех µ-измеримых подмножеств из E мы будем обозначать через ApE, µq или Aµ pEq. Из этого определения очевидно вытекает измеримость множеств ∅ и E для любой меры µ на E. Но по поводу измеримости других подмножеств в общем случае сказать ничего нельзя. Каждая мера, вообще говоря, имеет свой класс измеримых подмножеств Aµ pEq, но бывает, что две разные меры имеют одинаковые классы измеримых множеств. Изучение класса Aµ pEq — одна из важных задач теории меры. Замечание. В силу свойства счётной полуаддитивности меры и очевидного включения T Ď pA X T q Y pAc X T q (на самом деле, конечно, имеет место равенство) всегда справедливо неравенство µpT q ď µpA X T q ` µpAc X T q, поэтому для проверки измеримости множества A (т. е. справедливости равенства p‹‹‹q) достаточно доказать выполнение неравенства противоположного последнему: µpT q ě µpA X T q ` µpAc X T q. Этим мы будем пользоваться в дальнейшем. Чтобы подчеркнуть, что свойство множества «быть µ-измеримым» сильно зависит от изучаемой меры, рассмотрим примеры. Примеры. 1. Для тривиальной меры µt измеримыми множествами являются только два множества ∅ и E. Все другие неизмеримы! (докажите самостоятельно). 2. Для считающей меры µc и меры Дирака δx0 измеримыми являются любые подмножества E, то есть ApE, µc q “ ApE, δx0 q “ 2E (докажите самостоятельно). 3. Для меры Лебега все открытые и замкнутые множества измеримы, но есть и неизмеримые множества. Это не очень простой факт и будет доказан в следующей лекции. Общие свойства измеримых множеств Здесь мы докажем основные свойства, которыми обладают измеримые множества для произвольной меры. Теорема 1. Если множество A измеримо, то его дополнение тоже измеримо: A P ApE, µq ñ Ac P ApE, µq Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку pAc qc “ A и A — измеримо, имеем µpT q “ µpT X Ac q ` µpT X Aq “ µpT X Ac q ` µpT X pAc qc q что и требовалось доказать. Теорема 2. Если мера множества равна нулю, то оно измеримо: µpAq “ 0 ñ A P ApE, µq. Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как для любого T имеет место включение T X A Ă A, в силу свойства монотонности меры справедливы неравенства 0 ď µpT X Aq ď µpAq “ 0, то есть µpT X Aq “ 0. Но аналогично, T X Ac Ă T , поэтому µpT q ě µpT X Ac q. Отсюда “0 hkkkkikkkkj µpT q ě µpT X Aq `µpT X Ac q. Что и требовалось доказать. Теорема 3. Если A, B — µ-измеримы, то µ-измеримыми являются их объединение и пересечение: A, B P ApE, µq ñ A Y B P ApE, µq & A X B P ApE, µq. Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку B µ-измеримо, для любого T имеем µpT q “ µpT X Bq ` µpT X B c q. Беря в качестве T 1 “ B X T , в силу µ-измеримости A можем написать µpT 1 q “ µpT X Bq “ µpT X A X Bq ` µpT X B X Ac q. Подставив в предыдущее равенство, получим µpT q “ µpT X A X Bq ` µpT X B X Ac q ` µpT X B c q ě ě µpT XpAXBqq`µppT XBXAc qYpT XB c qq “ µpT XpAXBqq`µpT XpAXBqc q, где мы воспользовались теоретико-множественным равенством pT X B X Ac q Y pT X B c q “ T X pA X Bqc . Измеримость объединения A Y B вытекает из теоретико-множественного равенства A Y B “ pAc X B c qc и доказанной измеримости дополнений и пересечений. Следствие. Если множества A и B µ-измеримы, то множество A ´ B тоже µ-измеримо. Вытекает из равенства A ´ B “ A X B c и теорем 1 и 3. Теорема 4. Если множества A, B µ-измеримы и не пересекаются, то µpA Y Bq “ µpAq ` µpBq: A, B P ApE, µq & A X B “ ∅ ñ µpA Y Bq “ µpAq ` µpBq. Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу измеримости множества A, взяв T “ AYB, будем иметь (с учётом, что A X B “ ∅) µpA Y Bq “ µppA Y Bq X Aq ` µppA Y Bq X Ac q “ µpAq ` µpBq. Что и требовалось доказать. Следствие. Если множества A1 , A2 , . . . , An µ-измеримы и попарно не пересекаются, то ˜ ¸ n n ď ÿ µ Ak “ µpAk q. k“1 k“1 Теорема 5. Пусть pAn qnPN — последовательность µ-измеримых множеств An . Если они попарно не пересекаются, то ˜ ¸ 8 8 ď ÿ µ Ak “ µpAk q. k“1 k“1 Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметив, что по предыдущему множество n Ť Ak k“1 8 Ť измеримо, по определению при T “ Ak будем иметь равенство k“1 ˜ µ 8 ď ¸ Ak ˜ “µ k“1 n ď ¸ Ak k“1 ˜ ¸ 8 ď `µ Ak n ÿ “ ˜ µpAk q ` µ k“1 k“n`1 8 ď ¸ Ak k“n`1 Отсюда видим, что справедливы соотношения 8 ÿ k“1 µpAk q ÐÝÝÝ nÑ8 n ÿ µpAk q ď k“1 n ÿ ď ˜ µpAk q ` µ k“1 Что и требовалось доказать. 8 ď k“n`1 ¸ Ak ˜ “µ 8 ď k“1 ¸ Ak 8 ÿ ď k“1 µpAk q. Теорема 6. Пусть A1 Ă A2 Ă ¨ ¨ ¨ Ă An Ă . . . — возрастающая последовательность измеримых множеств. Тогда ˜ ¸ 8 ď µ An “ lim µpAn q. nÑ8 n“1 Д о к а з а т е л ь с т в о. По определению положим A11 “ A1 и при n ě 2 A1n “ An ´ An´1 . Очевидно, при этом все множества A1n попарно не пересекаN Ť ются, A1n “ AN и все эти множества измеримы. Поэтому по предыдущей n“1 теореме: ˜ ¸ ˜ ¸ 8 8 8 ď ď ÿ 1 µ An “ µ An “ µpA1n q “ n“1 n“1 n“1 N ÿ “ lim N Ñ8 ˜ µpA1n q “ lim µ N Ñ8 n“1 N ď n“1 ¸ A1n “ lim µpAN q. N Ñ8 Что и требовалось доказать. Теорема 7. Пусть A1 Ą A2 Ą ¨ ¨ ¨ Ą An Ą . . . — убывающая последовательность измеримых множеств. Тогда ¸ ˜ 8 č An “ lim µpAn q. µ nÑ8 n“1 Д о к а з а т е л ь с т в о. Можно получить как следствие предыдущей теоремы «переходом к дополнениям». То есть используя равенство ˆď ˙c 8 8 č An “ Acn n“1 n“1 Детали остаются для самостоятельной работы. Отметим, что в последних трех теоремах об измеримости объединения и пересечения счётного числа измеримых множеств ничего не говорится (вычисляется только их мера). Тем не мене её можно доказать. Теорема 8. Если pAn qnPN — последовательность µ-измеримых мно8 8 Ť Ş жеств, то множества An и An являются µ-измеримыми. n“1 n“1 Д о к а з а т е л ь с т в о.ˇ Поскольку множества An µ-измеримы, для ˇ ˇ ˇ произвольного T они будут и µ T -измеримыми. Поэтому будут µ T -измеримы N Ť множества A1N “ An , а они образуют возрастающую последовательность, n“1 поэтому по теореме 6 будем иметь ˜ µ TX ˆď 8 ˙¸ ˇ “ µˇT An ˆď 8 n“1 ˆď 8 ˙ ˇ “ µˇ An T n“1 ˆ ˇ “ lim µˇT ˙ n“1 N ď N Ñ8 ˙ An N Ñ8 ˇ “ lim µˇT pA1N q “ A1n ˆ “ lim µ T X N Ñ8 n“1 ¯c ´Ť 8 N ď ˙ An n“1 8 Ş Аналогично, учитывая равенства An “ Acn и применяя теорему 7, n“1 n“1 доказывается равенство ˆ ˆ N 8 ¯c ˙ ´ď ¯c ˙ ´ď “ lim µ T X An µ TX An N Ñ8 n“1 n“1 Откуда получаем « ˆ ff ˙ ˆ N N ´ď ¯c ˙ ď µpT q “ lim µpT q “ lim µ T X An ` µ T X An “ N Ñ8 N Ñ8 n“1 n“1 ˆ ˙ ˆ N N ´ď ¯c ˙ ď “ lim µ T X An ` lim µ T X A1n “ N Ñ8 N Ñ8 n“1 n“1 8 ď ˆ “µ TX ˙ ˆ An ` µ T X n“1 8 ´ď ¯c ˙ An n“1 Что и требовалось доказать. 8 Ş Измеримость пересечения An получается «переходом к дополнениям», n“1 то есть следует из равенства: 8 č n“1 An “ 8 ´ď Acn ¯c n“1 Еще одно полезное равенство мы будем использовать в дальнейшем. Теорема 9. Если множество A µ-измеримо, то для любого B имеет место равенство µpAq ` µpBq “ µpA Y Bq ` µpA X Bq. Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу измеримости A, имеем (в определении берём T “ B) µpBq “ µpA X Bq ` µpAc X Bq. Отсюда получаем µpAq ` µpBq “ µpAq ` µpA X Bq ` µpAc X Bq ě ` ˘ ě µpA X Bq ` µ A Y pAc X Bq “ µpA Y Bq ` µpA X Bq. Поскольку обратное неравенство очевидно, это доказывает теорему. Лекция 4 На прошлой лекции мы изучили основные свойства измеримых множеств для произвольной меры. Здесь мы изучим некоторые свойства, которыми, вообще говоря, не обладают произвольные меры, но обладает мера Лебега. Кроме того мы рассмотрим некоторые понятия, которые встречаются в традиционных курсах теории меры и выясним их соотношение с тем, что сделано у нас. Кольца, алгебры, σ-кольца и σ-алгебры Определение. Класс A (если может возникнуть недоразумение, пишут A pEq) подмножеств из E называется алгеброй подмножеств E, если он содержит множества ∅ и E и устойчив (или, иначе, замкнут) относительно операций объединения и дополнения, т. е. обладает свойствами (1) ∅ и E принадлежат A ; (2) Если A, B P A , то A Y B P A ; (3) Если A P A , то Ac P A . Если само множество E не принадлежит A и вместо условия (3) выполняется условие (3’) Для любых A, B P A их разность A ´ B принадлежит A , то говорят, что A — кольцо множеств 1 . Очевидно, каждая алгебра является кольцом, обратное неверно. Примеры. 1. A0 “ t∅, Eu, A8 “ 2E — две тривиальные алгебры. 2. Как мы видели при изучении кратных интегралов, класс всех подмножеств измеримых по Жордану — кольцо в множестве RN (см. лекцию 22, III семестр). Если взять какое-нибудь измеримое по Жордану множество D, то все его измеримые по Жордану подмножества очевидно, образуют алгебру. Более общо: 3. Пусть R — кольцо подмножеств в E и E1 — произвольное подмножество в E. Тогда всевозможные пересечения tA X E1 : A P Ru образуют кольцо подмножеств в E1 . Если же E1 принадлежит R, то алгебру. 1 Кольца множеств часто обозначают буквой R (от слова ring). 4. Как следует из теорем 1 и 3 предыдущей лекции, множество Apµ, Eq всех µ-измеримых подмножеств в E — алгебра. Отметим, что из условия (2) по индукции легко получается, что объединение любого конечного множества элементов алгебры A будет опять элементом A . Это свойство, вообще говоря, уже может не выполняться для объединения бесконечного множества элементов алгебры A . Например, как мы видели множество точек квадрата с рациональными координатами не измеримо по Жордану, тем не менее оно является объединением счётного множества одноточечных множеств, которые, очевидно, измеримы по Жордану. Определение. Класс A подмножеств из E называется σ-алгеброй подмножеств 1 E, если он является алгеброй и любые счётные объединения (и пересечения) элементов из A принадлежат A. Как следует из теорем 1,3 и 8 предыдущей лекции, класс ApE, µq всех µизмеримых подмножеств из E есть σ-алгебра. В частности сигма-алгебрами являются обе тривиальные алгебры A0 “ t∅, Eu и A8 “ 2E . Справедлива следующая простая теорема. Теорема. 1. Если pAi qiPI — произвольное семейство σ-алгебр заданных на одном и том же множестве E, то его пересечение č Ai A“ iPI является σ-алгеброй. 2. Пусть M Ă 2E — произвольный класс подмножеств множества E. Существует наименьшая σ-алгебра содержащая M. Она называется наименьшей σ-алгеброй, порождённой классом M. Д о к а з а т е л ь с т в о. Остаётся для самостоятельной работы в качестве упражнения. Определение. Борелевской σ-алгеброй в R называется наименьшая σалгебра, порождённая классом всех открытых в R множеств2 . Более общо, если E — произвольное топологическое пространство, то его борелевской σ-алгеброй называют наименьшую σ-алгебру порождённую классом всех его открытых подмножеств. Говорят, что множество имеет тип Fσ , если его можно представить как не более чем счётное объединение замкнутых множеств. Говорят, что множество имеет тип Gδ , если его можно представить как не более чем счётное пересечение открытых множеств. Очевидно, множества типа Fσ и Gδ — борелевские. 1 2 Читается: сигма-алгебра. A — это готическая буква A. Предполагается, что R наделено стандартной топологией. Некоторые дополнительные свойства меры Лебега Напомним, что мера Лебега вводилась у нас по формуле def L pAq “ где L pOq “ ř pβi ´ αi q, когда O “ iPI inf O–открыто OĄA Ť L pOq pαi ; βi q т. е. представлено в виде объ- iPI единения составляющих интервалов pαi ; βi q X pαj ; βj q “ ∅ при i ‰ j. Теорема. Лебегова мера любого подмножества в R, состоящего не более чем из счётного множества точек, равна нулю: A Ă R ^ cardpAq ď ℵ0 ñ L pAq “ 0. Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу свойства счётной полуаддитивности любой меры достаточно доказать, что лебегова мера одноточечного множества равна нулю. В самом деле, для любого ε ą 0 одноточечное множество txu содержится в открытом интервале px ´ ε; x ` εq. Поэтому ` ˘ ` ˘ 0 ď µ txu ď µ px ´ ε; x ` εq “ 2ε для любого ε ą ` 0. В ˘ силу стандартных свойств действительных чисел отсюда следует, что µ txu “ 0. Теорема доказана. Следствие. Всякое не более чем счётное множество измеримо по Лебегу (и имеет меру нуль). В качестве нетривиального примера счётного множества меры нуль для меры Лебега на R можно привести множество всех рациональных точек. Теорема. Замкнутый интервал ra; bs является измеримым по Лебегу множеством. Д о к а з а т е л ь с т в о. Для произвольного множества T Ă R рассмотрим два его подмножества T X ra; bs и T X ra; bsc “ T ´ ra; bs. Так как мера одноточечного множества равна нулю, лебегова мера множества T X ra; bs совпадает с лебеговой мерой множества T X pa; bq. Рассмотрим теперь лебегову меру множества Ť T . Для произвольно малого ε ą 0 найдём такое открытое множество O “ pαi ; βi q, что T Ă O и L pOq ă iPI def L pT q ` ε. Обозначим O1 “ O X pa; bq и O2 “ O X ra; bsc . Очевидно, O1 и O2 — открытые множества. Кроме того, O1 содержит множество T X pa; bq, поэтому ` ˘ ` ˘ L pO1 q ě L T X pa; bq “ L T X ra; bs . Аналогично, O2 содержит множество T X ra; bsc и ` ˘˘ L pO2 q ě L T X ra; bsc . С другой стороны, O1 Y O2 Ă O и O1 X O2 “ ∅, поэтому L pO1 q ` L pO2 q “ L pO1 Y O2 q ď L pOq ă L pT q ` ε. Отсюда окончательно находим ` ˘ ` ˘˘ L pT q ` ε ą L pOq ě L pO1 q ` L pO2 q ě L T X ra; bs ` L T X ra; bsc В силу произвольности ε ą 0 отсюда следует, что ` ˘ ` ˘˘ L pT q ě L T X ra; bs ` L T X ra; bsc т. е. измеримость ra; bs, что и требовалось доказать. Как следствие доказанной теоремы в силу общих свойств измеримых множеств получаем, что измеримыми по Лебегу будут любые интервалы pa; bq (т. к. отличаются от ra; bs на множество меры нуль), а значит и любые открытые множества (счётные объединения интервалов) и их дополнения — замкнутые множества и, вообще, для меры Лебега измеримыми являются все борелевские множества. Определение. Мера µ называется борелевски регулярной, если класс её измеримых подмножеств ApE, µq содержит все борелевские множества и каждое множество X содержится в некотором борелевском множестве B таком, что µpBq “ µpXq. Задача. Докажите, что мера Лебега L борелевски регулярна. (Подсказка: докажите, что любое измеримое множество содержится в множестве типа Gδ равной с ним меры.) Чтобы сформулировать следующее свойства меры Лебега, напомним стандартное обозначение. Для произвольного множества A Ă R и a P R полагаем def A ` a “ tx ` a : x P Au (наглядно, это сдвиг множества A вдоль числовой оси на a вправо или влево в зависимости от знака числа a). Теорема. Для любого числа a P R множества A и A ` a одновременно измеримы по Лебегу или нет и при этом L pAq “ L pA ` aq. (˚) Д о к а з а т е л ь с т в о. Указанное равенство очевидно для A “ pα; βq, а поэтому и для любого открытого множества, являющегося объединением составляющих интервалов. Для произвольного множества A и ε ą 0 найдем такое открытое множество Oε , что A Ă Oε и L pOε q ă L pAq ` ε. Очевидно, тогда A ` a Ă Oε ` a, поэтому L pA ` aq ă L pOε ` aq “ L pOε q ă L pAq ` ε. Так как множество A тоже получается сдвигом из множества A ` a, то аналогично доказываются справедливость неравенства L pAq ă L pA ` aq ` ε. С учётом произвольности ε ą 0 из последних двух неравенств вытекает требуемое равенство p˚q. Измеримость множества A ` a в случае, когда A измеримо можно получить так. Заметив, что для любого T Ă R имеем ` ˘ ` ˘ T X pA ` aq “ pT ´ aq X A ` a и T X pA ` aqc “ pT ´ aq X Ac ` a, в силу доказанного равенства p˚q и измеримости A можем написать ` ˘ ` ˘ L T X pA ` aq ` L T X pA ` aqc “ `` ˘ ˘ `` ˘ ˘ “ L pT ´ aq X A ` a ` L pT ´ aq X Ac ` a “ ` ˘ ` ˘ “ L pT ´ aq X A ` L pT ´ aq X Ac “ L pT ´ aq “ L pT q А это и означает измеримость A ` a. Замечание. Свойство меры Лебега, доказанное в последней теореме, называют инвариантностью меры Лебега относительно сдвига. Это свойство позволяет построить пример множества не измеримого по Лебегу. Мы сделаем это построение с помощью серии задач. Для точек x, y P r0; 1s положим def x„y ô x´y PQ (напомним, что Q — множество всех рациональных чисел) Задача 1. Докажите, что „ отношение эквивалентности на множестве r0; 1s. Поскольку „ отношение эквивалентности, оно порождает разбиение отрезка r0; 1s на не пересекающиеся классы rxs “ ty : y „ xu. Выберем из каждого такого класса по одному элементу и составим из них множество E: @x, y px, y P E ñ не x „ yq, x, y P r0; 1s и теперь для каждого рационального числа r P r´1; 1s положим Er “ E ` r “ tx ` r : x P Eu. Задача 2. Если r1 ‰ r2 — рациональные числа, то Er1 X Er2 “ ∅. Ť Задача 3. Объединение Er содержит отрезок r0; 1s и содержится в ´1ďrď1 отрезке r´1; 2s. rPQ Если теперь предположить, что множество E измеримо по Лебегу, то измеримыми по Лебегу будут все множества E ` r, причём все они будут иметь одинаковую меру (положим L pE ` rq “ α). ˆ ˙ Ť Поскольку мера счётного объединения L Er ě 1 (так как объ´1ďrď1 rPQ единение содержит отрезок r0; 1s), число α обязано быть строго больше нуля и, значит, ˆ ď ˙ ÿ L Er “ α “ 8, ´1ďrď1 rPQ ´1ďrď1 rPQ как сумма бесконечного множества одинаковых слагаемых. Ť С другой стороны, так как Er Ă r´1; 2s, мы должны иметь ´1ďrď1 rPQ ÿ ´1ďrď1 rPQ α“L ˆ ď ˙ Er ď3 ´1ďrď1 rPQ Противоречие доказывает, что множество E не может быть измеримым. Добавление об определениях меры В большинстве книг по теории меры и интеграла1 мерами на множестве E называют всякую счётно-аддитивную функцию, заданную на некоторой σалгебре (или σ-кольце) подмножеств E. Это такие функции µ : A Ñ R` , для которых ˆď ˙ ÿ 8 8 µ An “ µpAn q, n“1 n“1 всякий раз, когда множества An попарно не пересекаются (т. е. n ‰ k ñ An X Ak “ ∅). Чтобы понять связь последнего определения меры с приведённым у наc отметим, что мера µ в этом смысле определена, вообще говоря, не для любого подмножества из E, а только для элементов выделенной σ-алгебры. Но она допускает стандартное продолжение µ˚ на класс всех подмножеств из E по формуле @B Ă E µ˚ pBq “ inf µpAq APA BĂA Задачи. 1. Докажите, что µ˚ является мерой (в смысле нашего определения). Она называется внешней мерой, порожденной мерой µ. 2. Класс всех µ˚ -измеримых подмножеств ApE, µ˚ q меры µ˚ содержит исходную σ-алгебру A. 3. Для любого A P A имеем µpAq “ µ˚ pAq. Т. е. мера µ «однозначно восстанавливается» по мере µ˚ . 4. Любое µ˚ -измеримое множество A P Apµ˚ , Eq можно представить в виде A “ A0 Y N, где A0 P A , и µ˚ pN q “ 0. Для желающих более подробно ознакомиться с современными подходами к теории меры рекомендую почитать, например, учебники [3,4]. Замечание. Многие считают, что определение измеримых множеств у Лебега было более «естественным». А именно, для произвольного ограниченного множества A Ă R Лебег определил внешнюю меру µ˚ pAq “ inf µ˚L pOq O–открыто OĄA ˚ (это то, что у нас просто мера A) и внутреннюю меру µ˚ pAq “ b´a´µ pra; bs´ Aq, где ra; bs — (наименьший) сегмент, содержащий множество A. В случае, когда эти меры совпадали, множество A называлось измеримым. 1 См., например, [1,2]. Подробное и элементарное изложение этого подхода можно найти в книге [5]. Но на самом деле этот подход эквивалентен принятому у нас. Задача. Докажите, что множество измеримо по Лебегу в смысле приведённого выше определения, тогда и только тогда, когда выполнено свойство Каратеодори. В заключение приведём полезный критерий µ-измеримости. Теорема (критерий измеримости). Множество E µ-измеримо тогда и только тогда, когда для любого ε ą 0 существуют такие µ-измеримые множества A и B, что AĂEĂB и µpBq ´ µpAq ă ε. Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость очевидна (можно взять A “ B “ E). Достаточность. Для любого n P N найдём такие измеримые An , Bn , что- бы An Ă E Ă Bn и µpBn q ´ µpAn q ă Положив A “ 8 Ť An , B “ 8 Ş 1 . n Bn видим, что A и B µ-измеримы, n“1 n“1 A Ă E Ă B и B ´ A Ă Bn ´ An при любом n. Поэтому µpBq ´ µpAq “ µpB ´ Aq ď µpBn ´ An q “ µpBn q ´ µpAn q ă 1 n Откуда следует, что µpBq ´ µpAq “ 0. Но тогда множество E отличается от множеств A и B на измеримое множество (меры нуль), а потому само измеримо. Лекция 5 Напомним, что если f : E Ñ F и A Ă E, а B Ă F , то через f pAq и f ´1 pBq обозначают образ и прообраз соответственно множеств A и B: def f pAq “ ty P F : Dx P A y “ f pxqu def f ´1 pBq “ tx P E : Dy P B y “ f pxqu Для образа и прообраза справедливы соотношения: f pA1 Y A2 q “ f pA1 q Y f pA2 q; f pA1 X A2 q Ď f pA1 q X f pA2 q; f ´1 pB1 Y B2 q “ f ´1 pB1 q Y f ´1 pB2 q; f ´1 pB1 X B2 q “ f ´1 pB1 q X f ´1 pB2 q. (5) (6) (7) (8) Всюду в дальнейшем мы будем рассматривать функции f определенные на некотором множестве E наделённом мерой µ и принимающие значения в R. Большинство результатов будут справедливы для произвольной меры µ, но главным для нас будет являться случай, когда E Ă R и µ — мера Лебега. Измеримые функции Определение. Функция f : E Ñ R называется µ-измеримой (или просто измеримой, если не может возникнуть недоразумений), если для любого a P R измеримы множества tx P E : f pxq ď au. Множество всех µ-измеримых функций обозначают Sµ pEq или SpE, µq: def f P SpE, µq ô @a tx : f pxq ď au P ApE, µq. Следующее предложение позволяет упростить проверку измеримости функции. Предложение. Следующие четыре условия эквивалентны: (1) (2) (3) (4) @a @a @a @a tx : f pxq ď au P ApE, µq (т. е. f — измерима); tx : f pxq ă au P ApE, µq tx : f pxq ě au P ApE, µq tx : f pxq ą au P ApE, µq Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем предложение по схеме (1) ñ (2) ñ ñ (3) ñ (4) ñ (1). Импликация (1) ñ (2) вытекает из легко проверяемого теоретико-множественного равенства 8 ď ( tx : f pxq ă au “ x : f pxq ď a ´ n1 . n“1 и того, что все объединяемые множества справа измеримы. Импликация (2) ñ (3) получается ещё проще из измеримости множества tx : f pxq ă au и, значит, его дополнения tx : f pxq ă auc и равенства tx : f pxq ě au “ tx : f pxq ă auc Импликация (3) ñ (4) вытекает из теоретико-множественного равенства tx : f pxq ą au “ 8 č x : f pxq ě a ` 1 n ( . n“1 и того, что все пересекаемые множества справа измеримы. Наконец, импликация (4) ñ (1) следует из равенства tx : f pxq ď au “ tx : f pxq ą auc и измеримости множества справа. Предложение доказано. Следствие. Функция f : E Ñ R измерима тогда и только тогда, когда прообраз любого борелевского множества измерим. Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку борелевская σ-алгебра порождена открытыми множествами1 , достаточно доказать измеримость прообраза любого открытого множества. Но открытое множество в R есть объединение составляющих интервалов, значит, достаточно доказать измеримость прообраза любого интервала. А это вытекает из предыдущей теоремы и равенства ` ˘ f ´1 pa; bq “ tx : f pxq ą au X tx : f pxq ă bu. Лемма. Пусть f и g — µ-измеримые функции и c — произвольная константа, тогда µ-измеримы функции |f |, f ` c, cf, f2 и множество tx : f pxq ă gpxqu P ApE, µq. Д о к а з а т е л ь с т в о. Измеримость функции |f | следует из теоретикомножественного равенства tx : |f pxq| ď au “ tx : f pxq ď au X tx : f pxq ě ´au и измеримости множеств в правой части этого равенства при любых a. Функция f ` c измерима в силу равенства tx : f pxq ` c ď au “ tx : f pxq ď a ´ cu и измеримости множеств в правой части этого равенства при любых a. 1 Т. е. любое борелевское множество получается из открытых множеств путём не более чем счётного применения операций объединения пересечения и дополнения. Измеримость функции cf вытекает из равенства $ tx : f pxq ď ac u, c ą 0 ’ ’ ’ &tx : f pxq ě a u, c ă 0 c tx : cf pxq ď au “ ’ ∅, c “ 0, a ă 0 ’ ’ % E, c “ 0, a ě 0 (все множества справа измеримы). Измеримость функции f 2 вытекает из равенства # ∅, aă0 tx : f pxq2 ď au “ ? tx : f pxq ď au, a ě 0 Наконец, измеримость множества tx : f pxq ă gpxqu будет доказана, если показать справедливость равенства ı ď” tx : f pxq ă ru X tx : gpxq ą ru tx : f pxq ă gpxqu “ rPQ (здесь r пробегает множество всех рациональных чисел Q). Пусть x принадлежит левой части этого равенства, то есть f pxq ă ă gpxq. Тогда найдется рациональное число r, лежащее между f pxq и gpxq: f pxq ă r ă gpxq. Но тогда x принадлежит множеству tx : f pxq ă ru X tx : gpxq ą ru и, значит, правой части доказываемого равенства. ı Ť” Пусть x принадлежит tx : f pxq ă ru X tx : gpxq ą ru . Тогда найrPQ дётся такое рациональное r, что x принадлежит какому-то слагаемому, а это означает, что f pxq ă r и gpxq ą r ñ f pxq ă gpxq Что и требовалось доказать. Теорема. Множество SpE, µq всех измеримых функций на E является решёточной алгеброй. Последние два слова означают, что выполняются следующие условия: (1) αf ` βg P SpE, µq @α, β P R @f, g P SpE, µq; (2) f ¨ g P SpE, µq и f {g P SpE, µq @f, g P SpE, µq; (3) |f |, maxtf, gu, mintf, gu P SpE, µq. Д о к а з а т е л ь с т в о. (1) Измеримость функции αf ` βg является следствием равенства tx : αf pxq ` βgpxq ă au “ tx : αf pxq ă a ´ βgpxqu и предыдущей леммы. (2) Измеримость произведения f ¨ g вытекает из тождества ı 1” 2 2 f ¨ g “ pf ` gq ´ pf ´ gq 4 и предыдущей леммы. Измеримость функции 1{g следует из легко проверяемого равенства $ ’ tx : gpxq ď 0u, ´ при a “ 0 ’ ¯ ’ ’ &tx : gpxq ă 0u Y tx : gpxq ą 0u X tx : gpxq ď 1{au , tx : 1{gpxq ď au “ ’ при a ą 0 ’ ’ ’ %tx : gpxq ă 0u X tx : gpxq ď 1{au, при a ă 0 и измеримости всех множеств справа. Теперь измеримость f {g следует из измеримости произведения f ¨ p1{gq. (3) Измеримость |f | уже доказана. Измеримость, например, maxtf, gu следует из того, что maxtf pxq, gpxqu ě a тогда и только тогда, когда или f pxq ě a или gpxq ě a, то есть tx : maxtf pxq, gpxqu ě au “ tx : f pxq ě au Y tx : gpxq ě au и оба множества справа измеримы.: Задача (на дополнительные баллы за коллоквиум). Обязана ли композиция измеримых функций быть измеримой функцией? До сих пор мы не рассматривали вопрос о существовании измеримых функций и их «количестве». Оказывается это сильно зависит от рассматриваемой меры. Так для тривиальной меры µt , как легко видеть, измеримы только функции тождественно равные константе на E (очевидно, они измеримы для любой меры). Для считающей меры µc и меры Дирака измеримы любые функции. Для других мер вопрос об измеримых функциях так легко не решается. Но тем не менее для наиболее важного для приложений класса борелевски регулярных мы можем гарантировать «достаточность запаса» измеримых функций. А именно, справедлива теорема Теорема. Если мера µ борелевски регулярна, то всякая непрерывная функция µ-измерима (иначе говоря, класс всех измеримых на E функций SpE, µq содержит класс всех непрерывных функций CpEqq Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку функция f : E Ñ R непрерывна тогда и только тогда, когда прообраз любого открытого множества открыт, видим, что для любого a ` ˘ f ´1 pa; 8q “ tx : f pxq ą au — открыто, а, значит, µ-измеримо по определению борелевски регулярной меры. Теорема доказана. Свойства измеримых функций В дальнейшем мы будем очень часто использовать следующее сокращение речи общепринятое в теории интеграла Лебега. Мы будем говорить, что некоторое свойство P pxq px P Eq выполняется почти всюду (или почти везде), если мера множества тех x, для которых оно не выполняется равна нулю: µtx : не P pxqu “ 0. Например, Определение. Говорят, что функция f почти везде конечна, когда µtx : |f pxq| “ 8u “ 0. (читается: мера множества тех x, для которых |f pxq| “ 8 равна нулю) Всюду в дальнейшем мы будем рассматривать только функции почти везде конечные. µ Говорят, что две функции f и g µ-эквивалентны и пишут f „ g, когда они совпадают почти всюду: µ def f „ g ô µtx : f pxq ‰ gpxqu “ 0. При исследовании на измеримость эквивалентные функции «можно не различать», точнее, справедливо утверждение. Предложение. Если функция f измерима и g эквивалентна f , то функция g тоже измерима. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть N “ tx : f pxq ‰ gpxqu. По предположению µpN q “ 0, значит, N — измеримо, E ´ N “ E1 измеримо и измеримо любое подмножество из N , так как имеет меру нуль. Но очевидно равенство tx P E : gpxq ď au “ tx P N : gpxq ď au Y tx P E1 : gpxq ď au Первое из множеств справа tx P N : gpxq ď au Ă N и поэтому измеримо. Измеримость второго следует из того, что на E1 “ E´N функция g совпадает с измеримой функцией f , поэтому tx P E1 : gpxq ď au “ tx P E1 : f pxq ď au. Предложение доказано. Как мы увидим в дальнейшем µ-эквивалентные функции «не имеет смысла различать» и при изучении большинства вопросов связанных со сходимостью и интегралом. Следующее понятие сходимости последовательностей является одним из важнейших в теории меры и интеграла Лебега. Определение. Пусть pfn qnPN — последовательность почти везде конечных функций fn : E Ñ R. Говорят, что эта последовательность сходится к f п. в. почти всюду и пишут fn ÝÝÝÑ f , когда nÑ8 µtx : lim fn pxq ‰ f pxqu “ 0. nÑ8 (читается: мера множества тех x, для которых lim fn pxq ‰ f pxq равна нулю) nÑ8 Отметим, что по сравнению с простой (поточечной) сходимостью или, что то же самое, со сходимостью всюду (в каждой точке) для сходимости почти всюду, вообще говоря, отсутствует единственность предела. Тем не менее единственность «с точностью до эквивалентных функций» всё же имеется, а именно справедливо предложение. Предложение. Если последовательность fn сходится почти всюду к функции f и функция g эквивалентна f , то fn сходится почти всюду и к g. Обратно, если последовательность fn сходится почти всюду к функциям f и g, то эти функции эквивалентны. Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно что tx : lim fn pxq ‰ gpxqu Ď tx : lim fn pxq ‰ f pxqu Y tx : f pxq ‰ gpxqu nÑ8 nÑ8 но оба множества справа имеют меру нуль, поэтому имеет меру нуль и множество слева. И первое утверждение доказано. Обратно, пусть последовательность fn сходится почти везде к функциям f и g. В силу очевидного включения tx : f pxq ‰ gpxqu Ă tx : lim fn pxq ‰ f pxqu Y tx : lim fn pxq ‰ gpxqu nÑ8 nÑ8 мера множества слева равна нулю, т. е. функции f и g эквивалентны. Что и требовалось доказать: Следующая теорема гарантирует, что переход к пределу для сходимости почти всюду в классе измеримых функций не выводит из этого класса. Этот факт выражают говоря, что множество SpE, µq устойчиво (или замкнуто, полно) относительно операции перехода к пределу п. в. Теорема. Пусть pfn q — последовательность µ-измеримых почти везде конечных функций. Если п. в. fn ÝÝÝÑ f, nÑ8 то функция f µ-измерима. Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим сначала, что pfn q сходится к f всюду на E. Для произвольного a обозначим Akm “ x : fk pxq ą a ` 1 m ( , n Bm 8 č “ Akm . k“n Все эти множества измеримы. И измеримость предельной функции f будет доказана, если мы докажем равенство ď n tx : f pxq ą au “ Bm . m,n Если f pxq ą a, то f pxq ą a ` m1 , где m выбрано так, чтобы 0 ă m1 ă ă f pxq ´ a. Но тогда для ε “ f pxq ´ a ´ m1 ą 0 найдётся такой номер n, что при k ą n будут выполняться неравенства |fk pxq ´ f pxq| ă ε, значит, n fk pxq ą f pxq ´ ε “ a ` m1 . То есть x P Bm , a значит, ď n tx : f pxq ą au Ď Bm . m,n Докажем теперь обратное включение. Если x P Ť m,n n Bm . 1 m n Bm , то существуют такие n и m, что x P Но тогда fk pxq ą a ` при всех k ą n, значит, в 1 пределе f pxq ě a ` m ą a. Что и требовалось доказать. Пусть теперь последовательность pfn q сходится почти везде. Положим N “ tx : fn pxq ­Ñ f pxqu. По предположению µpN q “ 0, значит, N — µизмеримо. На оставшемся множестве E1 “ E ´ N последовательность fn сходится всюду, поэтому на E1 предельная функция f измерима, то есть измеримы все множества tx P E1 : f pxq ą au. Но tx P E : f pxq ą au может отличаться от него только на подмножество из N меры нуль, а значит, измеримо.: Теорема. Пусть fn : E Ñ R — последовательность µ-измеримых почти везде конечных функций. Тогда µ-измеримы функции ϕpxq “ sup fn pxq, ψpxq “ inf fn pxq n n Д о к а з а т е л ь с т в о. Вытекает из легко проверяемых равенств tx : ϕpxq ą au “ tx : ψpxq ă au “ 8 ď n“1 8 ď tx : fn pxq ą au; tx : fn pxq ă au. n“1 (проверку равенств и детали доказательства проделайте самостоятельно). Следствие. Если pfn q — последовательность µ-измеримых функций, то µ-измеримы функции ϕpxq “ lim fn pxq, ψpxq “ lim fn pxq nÑ8 nÑ8 Д о к а з а т е л ь с т в о. Вытекает из равенств ! ) ϕpxq “ inf sup fk pxq ; nPN kěn ! ) ψpxq “ sup inf fk pxq . nPN kěn и предыдущей теоремы. Сходимость по мере Здесь мы изучим новое понятие сходимости последовательности функций — сходимость по мере. Оно играет важную роль во всей теории функций. Определение. Говорят, что последовательность измеримых функций pfn q сходится по мере µ на множестве E, если @σ ą 0 @ε ą 0 DN : @n ą N ñ µtx : |fn pxq ´ f pxq| ě σu ă ε. В более «зашифрованном» виде то же самое можно записать так: @σ ą 0 lim µtx : |fn pxq ´ f pxq| ě σu “ 0. nÑ8 Если последовательность pfn q сходится по мере µ к функции f , то пишут µ fn ùñ f. nÑ8 Как и для сходимости почти всюду, для последовательности сходящейся по мере предельная функция определена «с точностью до эквивалентной функции». То есть справедливо предложение Предложение. Если последовательность fn сходится по мере к функции f и функция g эквивалентна f , то fn сходится по мере и к функции g. Обратно, если последовательность fn сходится по мере к функциям f и g, то эти функции эквивалентны. (Докажите самостоятельно) Выясним теперь, как взаимосвязаны между собой понятия сходимости почти всюду и сходимость по мере. А. Лебег доказал, что сходимость по мере «слабее» сходимости почти всюду: Теорема. (А. Лебег) Если последовательность pfn q измеримых и п. в. конечных функций сходится почти всюду к функции f , то она сходится к f и по мере: µ п. в. fn ÝÑ f ñ fn ùñ f. nÑ8 nÑ8 Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим, что предельная функция измерима, поэтому будут измеримы множества A “ tx : |f pxq| “ 8u, An “ tx : |fn pxq| “ 8u, Q“AY 8 ď B “ tx : lim fn ‰ f u, nÑ8 An Y B n“1 Так как все объединяемые множества по условию имеют меру нуль, µQ “ 0. Положим ещё Ek pσq “ tx : |fk pxq ´ f pxq| ě σu, Rn pσq “ 8 ď Ek pσq, k“n Все эти множества измеримы, причём, очевидно, R1 pσq Ą R2 pσq Ą Rn pσq Ą . . . Поэтому ` ˘ lim µ Rn pσq “ µpRq. nÑ8 R“ 8 č n“1 Rn pσq. Если мы теперь покажем, что R Ă Q, (‹) то тогда µpRq “ 0 и, значит, в силу включения En pσq Ă Rn pσq будем иметь ` ˘ lim µ En pσq “ 0, nÑ8 и теорема будет доказана. Итак, докажем p‹q. Для этого достаточно доказать, что если x R Q, то x R R. Пусть x0 R Q, тогда lim fk px0 q “ f px0 q, kÑ8 значит, найдётся такое n, что при всех k ě n будем иметь |fk px0 q ´ f px0 q| ă σ. Иначе говоря, x0 R Ek pσq при k ě n, поэтому x0 R Rn pσq и тем более x0 R R. Что и требовалось доказать.: Обратное утверждение к последней теореме в общем случае неверно. Существуют последовательности сходящиеся по мере и не сходящиеся почти всюду. Например, определим на отрезке r0; 1s функции # ‰ “ i ; 1, когда x P i´1 i k k‰ “ i´1 fk pxq “ 0, когда x R k ; ki и составим из функций fki последовательность f11 , f21 , f22 , f31 , f32 , f33 , f41 , f42 , f43 , f44 , f51 , f52 , . . . Эта последовательность сходится к нулю по мере на r0; 1s и не сходится ни в одной точке этого отрезка. Докажите этот факт самостоятельно. (Подсказка: изобразите графики функций fki pxq). Этот пример подчёркивает не тривиальность следующей теоремы. Теорема. (Ф. Рисс) Из всякой последовательности µ-измеримых почти везде конечных функций pfn q, fn : E Ñ R сходящейся по мере к функции f , можно извлечь подпоследовательность, сходящуюся к f почти всюду. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть σ1 ą σ2 ą . . . ÝÝÝÑ 0 и ηk ą0 такая nÑ8 8 ř последовательность, что ряд ηk сходится. Выберем номера n“1 n1 ă n2 ă . . . так, чтобы µtx : |fnk pxq ´ f pxq| ě σk u ă ηk . Докажем теперь, что последовательность pfnk q сходится почти всюду. Для этого положим Ri “ 8 ď tx : |fnk pxq ´ f pxq| ě σk u, Q“ 8 č Ri . i“1 k“i Так как, очевидно, R1 Ą R2 Ą . . . , имеем µpRi q Ñ µpQq при i Ñ 8. Но, по 8 ř построению, µpRi q ď ηk ÝÝÝÑ 0, поэтому µpQq “ 0. k“i iÑ8 Покажем, что в каждой точке множества E ´ Q последовательность pfnk q сходится к f , В самом деле, при x0 P E ´ Q найдётся такое i0 , что x0 R Ri0 , значит, при всех k ą i0 будем иметь x0 R Rk и |fnk px0 q ´ f px0 q| ă σk Ñ 0 Что и требовалось доказать.: Следующая теорема проясняет связь сходимости почти всюду и равномерной. Теорема (Д.Ф. Егоров). Если последовательность измеримых функций fn сходится к f почти всюду на множестве E, то для любого δ ą 0 найдётся такое множество Eδ , что µpEδ q ą µpEq ´ δ и pfn q сходится к f равномерно на Eδ при n Ñ 8. Д о к а з а т е л ь с т в о. Как в теореме Лебега, положим Rn pσq “ 8 ď Ek pσq, Ek pσq “ tx : |fk pxq ´ f pxq| ě σu, k“n ` ˘ причём там было доказано, что µ Rn pσq Ñ 0 при n Ñ 8. 8 ř Выберем ηi ą 0 так, чтобы сходился ряд ηi и выберем последователь1 ность σi Ó 0. ` ˘ Для каждого i подберём такие ni , чтобы µ Rni pσi q ă ηi и подберём N , 8 8 ř Ť чтобы ηi ă δ. Теперь положим e“ Rni pσi q. Очевидно, µpeqăδ. i“N i“N Пусть Eδ “ E ´ e. Покажем, что на Eδ сходимость равномерная. Для этого по произвольному ε ą 0 найдём такое i, чтобы i ě N и σi ă ε. Если мы теперь покажем, что при k ą ni sup |fk pxq ´ f pxq| ă ε xPEδ теорема будет доказана. Итак, если x P Eδ , то x R e и, в частности, x R Rni pσi q. Это означает, что при k ě ni имеем |fk pxq ´ f pxq| ă σi и тем более для любых x P Eδ |fk pxq ´ f pxq| ă ε. Что и требовалось доказать. Лекция 6. Интеграл Лебега Напомним конструкцию интеграла Римана, чтобы уяснить его отличие от интеграла Лебега. Итак, для построения интеграла Римана по «произвольному1 » разбиению τ “ ta “ x0 ă x1 ă ¨ ¨ ¨ ă xn “ bu строят интегральные суммы функции f : σpf, τ, ξq “ n ÿ f pξk q∆xk , k“1 где ξ “ pξ1 , . . . , ξn q — выборка, соответствующая разбиению τ (т. е. ξi P rxi´1 ; xi s). Предел этих интегральных сумм при мелкости разбиения стремящейся к нулю (если он существует) называется интегралом Римана от функции f по промежутку ra; bs. Для изучения вопроса, когда функция интегрируема по Риману вводят нижнюю и верхнюю суммы Дарбу: spf, τ q “ n ÿ mi ∆xi ď σpf, τ, ξq ď Spf, τ q “ i“1 n ÿ Mi ∆xi , i“1 где mi “ inf f pxq, Mi “ sup f pxq, и нижний и верхний интегралы Дарбу xPrxi´1 ;xi s xPrxi´1 ;xi s I “ sup spf, τ q ď inf Spf, τ q “ I τ τ Функция оказывается интегрируемой по Риману тогда и только тогда, когда нижний и верхний интегралы Дарбу совпадают. Построение интеграла Лебега можно провести вполне аналогично интегралу Римана, только при построении интегральных сумм надо допустить гораздо большее разнообразие для разбиений области интегрирования, что 1 Произвол здесь довольно мал. Любое разбиение должно состоять из примыкающих друг к другу интервалов. Как мы увидим, при построении интеграла Лебега произвол гораздо шире. стало возможным, благодаря построенной теории меры. При этом основные свойства сумм Дарбу-Лебега сохраняются и в силу этого большего разнообразия нижний интеграл Дарбу-Лебега всегда больше (нестрого) нижнего интеграла Дарбу-Римана, а верхние связаны обратным неравенством. Таким образом «зазор» между нижним и верхним интегралами Дарбу-Лебега всегда меньше (нестрого) «зазора» между соответствующими интегралами ДарбуРимана. Поэтому «количество» интегрируемых по Лебегу функций увеличилось. И, как показали исследования, увеличилось существенно. Перейдём теперь к точным определениям. Определение интеграла Лебега Напомним, что суммой бесконечного (но не более чем счётного) не упорядоченного множества чисел pai qiPI мы по определению считаем следующее число (или символ ˘8) ÿ ÿ def ÿ ` ai ´ a´ ai “ i iPI iPI iPI ´ где a` i “ maxtai , 0u, ai “ maxt´ai , 0u то есть обе суммы справа состоят из слагаемых ě 0. А сумму положительных слагаемых pi ě 0 мы определяем равенством ÿ def ÿ pi “ sup pi . iPI KĂI cardpKqăℵ0 iPK (т. е. суммой считается супремум всевозможных конечных сумм). Для простоты мы сначала будем всюду ниже считать, что все встречающиеся функции ограничены на E и µpEq ă 8. Определение. Пусть E — µ-измеримое множество. Семейство его подмножеств τ “ pei qiPI назовём допустимым разбиением E, если оно обладает свойствами: (1) (2) (3) (4) Семейство pei qiPI не более, чем счётно: card I ď ℵ0 ; Все множества ei µ-измеримы: @i ei P ApE, µq. Множества ei попарно не пересекаются: @i ‰ j ei X ej “ ∅. Ť Объединение всех ei даёт E: ei “ E. iPI Говорят, что разбиение τ 1 “ pe1i qiPI является измельчением разбиения τ 2 “ pe2j qjPJ , если для любого i P I найдётся такой элемент j P J, что e1i Ă e2j и в этом случае пишут τ 1 ď τ 2. Верхняя и нижняя суммы Дарбу-Лебега вводятся аналогично суммам Дарбу-Римана: ÿ ÿ mi µpei q, Spf, τ q “ Mi µpei q spf, τ q “ iPI iPI где mi “ inf f pxq, Mi “ sup f pxq. xPei xPei Наиболее важны и наименее тривиальны следующие два свойства сумм Дарбу-Лебега. Теорема. 1. При измельчении разбиения нижняя сумма Дарбу-Лебега может только увеличиться, а верхняя только уменьшиться. τ1 ď τ2 spf, τ 1 q ě spf, τ 2 q, ñ Spf, τ 1 q ď Spf, τ 2 q 2. Для любых двух допустимых разбиений τ 1 и τ 2 spf, τ 1 q ď Spf, τ 2 q Д о к а з а т е л ь с т в о. 1. Будем сначала считать, что τ 1 отличается от τ 2 только тем, что элемент e2k разбит на два: e2k “e1k1 Y e1k2 , e1k1 X e1k2 “∅. Очевидно, что тогда mk “ inf2 f pxq ď inf1 f pxq“mk1 xPek xPek 1 и mk “ inf2 f pxq ď inf1 f pxq“mk2 . xPek xPek 2 При этом нижняя сумма Дарбу-Лебега соответствующая более мелкому разбиению τ 1 будет отличаться от суммы Дарбу-Лебега для τ 2 только двумя слагаемыми вместо одного: µpe2k q “ µpe1k1 q ` µpe1k2 q ñ mk µpe2k q ď mk1 µpe1k1 q ` mk2 µpe1k2 q. Поэтому будет справедливо неравенство ÿ 2 spf, τ q “ mi µpei q ` mk µpek q ď iPI ÿ i‰k ď mi µpei q ` mk1 µpe1k1 q ` mk2 µpe1k2 q “ spf, τ 1 q iPI i‰k Неравенство для общего случая получается отсюда индукцией. 2. Построим разбиение τ “ τ 1 X τ 2 , элементами которого по определению будем считать всевозможные не пустые пересечения eij “ e1i X e2j , где e1i P τ 1 , e2j P τ 2 . Очевидно, элементы eij образуют допустимое разбиение множества E, причём τ ď τ1 и τ ď τ2 В силу этого и предыдущего свойства будут справедливы неравенства spf, τ 1 q ď spf, τ q ď Spf, τ q ď Spf, τ 2 q Что и требовалось доказать : Определение. Нижним и верхним интегралами Дарбу-Лебега от функции f по множеству E называются соответственно числа Ipf q “ sup spf, τ q τ Ipf q “ inf Spf, τ q τ Если ´8 ă Ipf q “ Ipf q ă 8 говорят, что функция f интегрируема по Лебегу на множестве E и это общее значение обозначают через ż ż f pxq dµpxq или, еще короче f dµ E E Теорема (критерий интегрируемости). Функция f интегрируема по Лебегу на E тогда и только тогда, когда @ε ą 0 Dτ — допустимое : 0 ď Spf, τ q ´ spf, τ q ă ε. Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть функция f интегрируема по Лебегу. Тогда Ipf q “ Ipf q. Выберем такие допустимые разбиения τ 1 и τ 2 , что |Ipf q ´ spf, τ q| ă 2ε и |Ipf q ´ Spf, τ q| ă 2ε . Но тогда для разбиения τ “ τ 1 X τ 2 являющегося измельчением1 обоих разбиений τ 1 и τ 2 в силу свойств сумм Дарбу-Лебега имеем (с учётом равенства Ipf q “ Ipf q) |Spf, τ q ´ spf, τ q| “ |Spf, τ q ´ Ipf q ` Ipf q ´ spf, τ q| ď ď |Spf, τ q ´ Ipf q| ` |Ipf q ´ spf, τ q| ď ε 2 ` ε 2 “ ε. Достаточность. Отметим, что так как функция f ограничена и множе- ство E имеет конечную меру, для любого допустимого разбиения верхняя и нижняя суммы Дарбу-Лебега ограничены, значит, конечны верхний и нижний интегралы Дарбу-Лебега и (в силу свойства 2 сумм Дарбу-Лебега) имеют место неравенства spf, τ q ď Ipf q ď Ipf q ď Spf, τ q. 1 Напомним, что элементами τ “ τ 1 X τ 2 являются множества eij “ ei X ej , когда они не пусты. Отсюда находим, что согласно предположениям для любого ε ą 0 найдётся такое допустимое разбиение τ , что 0 ď Ipf q ´ Ipf q ď Spf, τ q ´ spf, τ q ă ε. Значит, Ipf q “ Ipf q. Что и требовалось доказать: Теорема. Если функция f измерима и ограничена на множестве E (конечной меры), то она интегрируема по Лебегу на E. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть при всех x P E m ď f pxq ă M . Разобьём отрезок rm; M s точками m “ y0 ă y1 ă ¨ ¨ ¨ ă yn “ M и обозначим через ek “ tx : yk´1 ď f pxq ă yk u. Очевидно, множества ek образуют допустимое разбиение и при этом будем иметь spf, τ q “ n ÿ yk´1 µpek q, Spf, τ q “ k“1 n ÿ yk µpek q, k“1 поэтому, если выбрать точки yk так, чтобы |yk ´ yk´1 | ă ε µpEq , то получим n ÿ n ε ÿ 0 ď Spf, τ q ´ spf, τ q ď pyk ´ yk´1 qµpek q ď µpek q “ ε. µpEq k“1 k“1 И интегрируемость по Лебегу функции f теперь следует из критерия интегрируемости. Простейшие свойства интеграла Всюду ниже предполагается, что f ограничена на E и µpEq ă 8. Теорема (о среднем). Если функция f измерима и для всех x P E выполняется неравенство m ď f pxq ď M , то ż mµpEq ď f dµ ď M µpEq. E Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, верхняя и нижняя суммы Дарбу-Лебега для любого допустимого разбиения будут удовлетворять неравенствам mµpEq ď spf, τ q ď M µpEq Отсюда и следует заключение теоремы. mµpEq ď Spf, τ q ď M µpEq. Следствие 1. Если функция постоянна на множестве E, то она интегрируема и ż c dµ “ c ¨ µpEq. E Следствие 2. Если функция f pxq ě 0, измерима и ограничена, то она интегрируема и ż f dµ ě 0. E Следствие 3. Любая ограниченная функция f на множестве E меры нуль интегрируема по Лебегу и ż f dµ “ 0. E Теорема (счётная аддитивность интеграла). Если f измерима на E и 8 Ť E“ En , где при i ‰ j Ei X Ej “ ∅, то n“1 ż f dµ “ 8 ż ÿ n“1 E f dµ. En Д о к а з а т е л ь с т в о. Шаг 1. Рассмотрим сначала случай разбиения E на два измеримых подмножества E “ E1 Y E2 , E1 X E2 “ ∅. В этом случае, положим ek “ tx P E : yk´1 ď f pxq ă yk u, e1k “ tx P E1 : yk´1 ď f pxq ă yk u “ ek X E1 , e2k “ tx P E2 : yk´1 ď f pxq ă yk u “ ek X E2 . Очевидно, ek “ e1k Y e2k поэтому n ÿ k“1 yk µpek q “ n ÿ k“1 и e1k X e2k “ ∅, yk µpe1k q n ÿ ` k“1 yk µpe2k q В пределе, при мелкости разбиения стремящейся к нулю получим нужное равенство ż ż ż f pxq dµpxq “ f pxq dµpxq ` f pxq dµpxq. E1 E E2 Шаг 2. По индукции равенство распространяется на любое конечное разn Ť бение множества E “ Ek . Детали доказательства остаются для самостояk“1 тельной работы. 8 Ť Шаг 3. В случае счётного разбиения при E “ En и Ei X Ej “ ∅ при n“1 i ‰ j, имеем µpEq “ 8 ÿ µpEn q (˚) n“1 и ряд справа сходится (так как µpEq ă 8). Поэтому, обозначив через Rn “ 8 Ť Ek , получим k“n`1 µpRn q ÝÝÝÑ 0. nÑ8 Теперь, так как E “ E1 Y ¨ ¨ ¨ Y En Y Rn , в силу равенства p˚q будем иметь ż ż n ż ÿ f dµ “ f dµ ` f dµ k“1 E Ek Rn При n Ñ 8 последний интеграл стремится к нулю, так как по теореме о среднем ż 0 ÐÝÝÝ mµpRn q ď f dµ ď M µpRn q ÝÝÝÑ 0 nÑ8 nÑ8 Rn Но это и означает, что ż ż 8 ż n ż ÿ ÿ f dµ “ f dµ “ lim f dµ ` lim f dµ. n“1 E nÑ8 En k“1 nÑ8 Ek Rn Теорема доказана. Теорема (линейность) Если функции f , g измеримы и ограничены на множестве E, то при любых α, β P R функция αf ` βg интегрируема и ż ż ż pαf ` βgq dµ “ α f dµ ` β g dµ. E E E Д о к а з а т е л ь с т в о. Остаётся для самостоятельной работы в качестве упражнения. Подсказка: сначала постройте разбиение te1i u для построения сумм Дарбу-Лебега функции f , потом разбиение te2j u для построения сумм Дарбу-Лебега функции g и рассмотрите суммы Дарбу-Лебега функции αf ` βg для разбиения te1i X e2j u. Следствие 1. Если измеримые функции f и g эквивалентны на множестве E, то они имеют равные интегралы: ż ż µtx : f pxq ‰ gpxqu “ 0 ñ f dµ “ g dµ. E E Следствие 2. Если f ď g на множестве E, то ż ż f dµ ď g dµ E E Свойства интеграла, связанные с предельным переходом Мы хотим изучить здесь возможность перехода к пределу под знаком интеграла. В случае последовательности функций pfn q это означает справедливость равенства ż ż ´ ¯ lim fn dµ. lim fn dµ “ nÑ8 nÑ8 E E Довольно очевидно, что в общем случае такого равенства может и не быть. Например, пусть # ‰ ` n, x P 0; n1 ` ˘ fn pxq “ 0, x P n1 ; 1 Очевидно, для любого x P p0; 1q имеем fn pxq ÝÝÝÑ 0, то есть последовательnÑ8 ность fn сходится поточечно к нулю, однако ż ż ż fn pxq dx “ n dx “ 1 не стремится к 0 “ 0 dx “ ‰ E r0;1s 0; n1 Если Вы вспомните прошлый семестр, то там мы доказали, что в интеграле Римана для перехода к пределу под знаком интеграла достаточным условием являлась равномерная сходимость fn к f . Для интеграла Лебега удаётся доказать гораздо более «слабое» и, потому легче проверяемое достаточное условие. Теорема. (А. Лебег) Если последовательность измеримых ограниченных функций pfn q сходится по мере на множестве E к функции f , и существует такая константа C, что |fn pxq| ď C при всех n и x P E, то допустим предельный переход под знаком интеграла: ż ż µ fn ùñ f & @n sup |fn pxq| ď C ñ lim fn dµ “ f dµ nÑ8 xPE nÑ8 E E Д о к а з а т е л ь с т в о. Сначала заметим, что по теореме Рисса из последовательности fn можно извлечь подпоследовательность fnk сходящуюся почти всюду к f , поэтому для почти всех x P E будем иметь lim fnk pxq “ f pxq. nÑ8 Отсюда сразу следует измеримость f и выполнение неравенства |f pxq| ď C. Далее, для произвольного σ ą 0 обозначим An pσq “ tx : |fn pxq ´ f pxq| ě σu, Bn pσq “ tx : |fn pxq ´ f pxq| ă σu. Тогда справедлива оценка ˇż ˇ ż ż ż ż ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ fn dµ ´ f dµˇ ď |fn ´ f | dµ “ |fn ´ f | dµ ` |fn ´ f | dµ ď ˇ ˇ E E E An Bn ż ` ˘ ď |fn | ` |f | dµ ` σµpBn q ď 2CµpA n q ` σµpEq looomooon loomoon . An ăε{2 ăε{2 Поскольку по предположению последовательность fn сходится к f по мере, µpAn q ÝÝÝÑ 0, поэтому первое слагаемое справа в последнем соотношении nÑ8 можно сделать произвольно малым за счёт выбора N при всех n ą N , а второе — за счёт выбора σ. Отсюда и следует заключение теоремы. Замечание 1. Поскольку по теореме Лебега из сходимости почти всюду вытекает сходимость по мере, теорема остаётся верной, если в ней требование сходимости по мере заменить на сходимость п. в. Замечание 2. То, что доказанная теорема существенно «более сильная» по сравнению с теоремой для интеграла Римана (напомним, там требовалась равномерная сходимость последовательности функций), доказывает следующий пример. Пустьpfk q — последовательность функций, которая определена на отрезке r0; 1s в предыдущей лекции. Напомним, что сначала строится семейство # ‰ “ i ; 1, когда x P i´1 i “ k ki ‰ fk pxq “ 0, когда x R i´1 ;k k после f11 , f21 , f22 , f31 , f32 , f33 , f41 , f42 , f43 , f44 , f51 , f52 , . . . Эта последовательность сходится к нулю по мере на r0; 1s и не сходится ни в одной точке этого отрезка. Докажите этот факт самостоятельно. Лекция 7 Интеграл от неограниченной функции До сих пор мы интегрировали только ограниченные измеримые функции. Здесь же мы определим интеграл Лебега от неограниченных функций. Сначала будем считать, что всюду на E функция f pxq ě 0 и µpEq ă 8. Определение. N -срезкой функции f ě 0 называют функцию # f pxq, f pxq ă N rf sN pxq “ N, f pxq ě N (для выработки наглядной интуиции нарисуйте эскиз графика, например, N -срезки функции y “ x12 в окрестности нуля при различных N ). Предложение. 1. Если функция f измерима, то её N -срезка rf sN тоже измерима при любом N . ` ˘ 2. При любых x P E последовательность rf sN pxq N PN возрастает: rf s1 pxq ď rf s2 pxq ď ¨ ¨ ¨ ď rf sN pxq ď . . . 3. Если lim fn pxq “ f pxq, то при любом N имеем nÑ8 lim rfn sN pxq “ rf sN pxq. nÑ8 Д о к а з а т е л ь с т в о. 1. Очевидно равенство # tx : f pxq ą au, a ă N tx : rf sN pxq ą au “ ∅, aěN Оба множества справа измеримы, значит, функция rf sN измерима. 2. Очевидно (нарисуйте графики N -срезки и pN ` 1q-срезки). 3. Если f pxq ą N , то при достаточно большом n0 и n ą n0 в силу сходимости fn pxq Ñ f pxq будем иметь fn pxq ą N , поэтому rf sN pxq “ rfn sN pxq “ N. При f pxq ă N тоже при достаточно большом n0 и n ą n0 в силу сходимости fn pxqÑf pxq будем иметь fn pxqăN , поэтому fn pxq“rf sN pxq и f pxq “ lim fn pxq “ lim rfn sN pxq “ rf sN pxq. nÑ8 nÑ8 И, наконец, при f pxq “ N по произвольному ε ą 0 найдётся такое n0 , что при n ą n0 будут выполняться неравенства N ´ ε ă rfn sN pxq ď N, ˇ ˇ ˇ s pxq то есть ˇrfn sN pxq ´ rf N loomoon ă ε. “N Что и требовалось доказать. ş Определение. Интегралом f dµ от измеримой функции f ě 0 назыE вается предел интегралов от её N -срезок при N Ñ 8: ż def ż f dµ “ lim N Ñ8 E E rf sN dµ. Отметим, что в силу свойства 2 из предыдущего предложения и свойств ´ş ¯ интеграла, последовательность интегралов rf sN dµ является возрасN PN E тающей, поэтому указанный предел существует всегда (возможно равный `8). Если он конечен, то функция f ě 0 называется суммируемой на множестве E. Примеры. 1. Функция f pxq “ x1α суммируема на отрезке r0; 1s тогда и только тогда, когда α ă 1. В самом деле, очевидно, в этом случае # rf sN pxq “ 1 xα , N, 1 xα 1 xα ďN ñxě ąN ñxă 1 N 1{α 1 N 1{α 1 “ N´α 1 “ N´α . Поэтому (при α ‰ 1), ż N ´ α1 ż1 rf sN pxq dx “ ż1 rf sN pxq dx ` 1 rf sN pxq dx “ N´α ż N ´ α1 ż1 1 x1´α ˇˇ1 1´ α1 “ N dx ` dx “ N “ ` ˇ α 1 1 ´ α N ´ α1 N´α x # 1´ α1 1 1 1 N 1 α 8, αą1 “ N 1´ α ` ´ “ ´ N 1´ α ÝÝÝÑ 1 1 ´ α p1 ´ αq 1 ´ α 1 ´ α N Ñ8 1´α . α ă 1 (случай α “ 1 рассмотрите самостоятельно) 2. Пусть f ě 0 измерима и существует такая константа C, что мера тех x, при которых f pxq ą C равна нулю: ´ ¯ Функция f больше C на µtx P E : f pxq ą Cu “ 0 «несущественном» множестве . (в этом случае f называют существенно ограниченной, а наименьшую из констант C, с описанным свойством, называют существенной верхней гранью1 ). Тогда f суммируема на множестве E, если µpEq ă 8. В самом деле, пусть E1 “tx P E : f pxqďCu и E2 “tx P E : f pxqąCu. Тогда µpE2 q “ 0, поэтому (при N ą C в нашем случае rf sN “ rf sC ) ż “0 hkkkkkikkkkkj ż ż ż f pxq dx ` f pxq dx “ lim rf pxqsN dx“ rf pxqsC dx ă 8 ż f pxq dx“ E E1 N Ñ8 E 1 E2 E1 Что и требовалось доказать. Теорема. (П. Фату́) Если последовательность pfn q измеримых функций fn ě 0 сходится к функции f почти везде на множестве E, то ż ż f dµ ď sup fn dµ E n E Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу п. 3 предложения 1 почти везде на множестве E при n Ñ 8 имеем rfn sN pxq Ñ rf sN pxq, поэтому по теореме Лебега о предельном переходе под знаком интеграла для ограниченных измеримых функций ż ż rf sN dµ “ lim E 1 Обозначают ess sup f pxq или vrai sup f pxq xPE xPE nÑ8 E rfn sN dµ Но поскольку при любых n очевидны неравенства "ż * ż ż rfn sN dµ ď fn dµ ď sup fn dµ , E nPN E E при переходе к пределу при n Ñ 8 неравенство сохранится, то есть "ż * ż rf sN dµ ď sup fn dµ nPN E E Это неравенство справедливо при любом N , опять переходя к пределу, но уже при N Ñ 8, получаем требуемое неравенство ż ż f dµ ď sup fn dµ. nPN E Теорема доказана E : Следствие. Если при условиях теоремы Фату существует предел ż lim fn dµ nÑ8 E то тогда справедливо неравенство ż ż f dµ ď lim fn dµ. nÑ8 E E Д о к а з а т е л ь с т в о. В условиях теоремы Фату мы можем предполагать, что индекс n пробегает значения только больше некоторого N . Таким образом, ż ż f dµ ď sup fn dµ, něN E E причём это неравенство выполняется при любом N , а поэтому, переходя к пределу при N Ñ 8, получим ˜ ¸ ż ż ż f dµ ď lim sup fn dµ “ lim sup fn dµ E N Ñ8 něN E nÑ8 E Но в случае существования предела, как известно, он совпадает с верхним пределом. Это доказывает утверждение следствия. Теорема. (Б. Ле́ви) Пусть последовательность fn такова, что для почти всех x 0 ď f1 pxq ď f2 pxq ď ¨ ¨ ¨ ď fn pxq ď . . . п.в. и fn pxq ÝÝÝÑ f pxq, nÑ8 то тогда ż lim ż ´ nÑ8 E fn dµ “ ż ¯ lim fn dµ “ E nÑ8 f dµ. E Д о к аş з а т е л ь с т в о. Очевидно, при условиях теоремы последовательность fn dµ возрастает и, значит, E ż ż lim nÑ8 E fn dµ “ sup fn dµ, n E поэтому по теореме Фату ż ż ż f dµ ď lim fn dµ “ sup fn dµ. nÑ8 E E n (˚) E п.в. Обратно, так как при любом n имеем fn pxq ď f pxq, то ż ż fn dµ ď f dµ, E поэтому и в пределе E ż lim nÑ8 E ż fn dµ ď f dµ, E Сопоставляя это неравенство с неравенством p˚q видим, что на самом деле имеет место равенство. Что и требовалось доказать : Суммируемые функции Пусть f — произвольная измеримая функция на множестве E. Через f ` и f ´ обозначают следующие функции: f ` pxq “ maxtf pxq, 0u f ´ pxq “ maxt´f pxq, 0u. (чтобы представлять себе, что такое f ` и f ´ в общем случае, нарисуйте, например, графики функций sin` и sin´ ) Очевидно, это положительные измеримые функции и имеют место равенства f “ f ` ´ f ´, |f | “ f ` ` f ´ . Если обе функции f ` и f ´ суммируемы на множестве E, то говорят что f суммируема на множестве E и по определению полагают ż ż ż ` f dµ “ f dµ ´ f ´ dµ. E E E Из равенства |f | “ f ` ` f ´ следует, что f суммируема тогда, когда ż |f | dµ ă 8. E Множество всех суммируемых на E функций обозначают через Lµ1 pEq (иначе L 1 pE, µq или просто L 1 pEq, если не может возникнуть недоразумений относительно меры) Предложение. L 1 pE, µq — линейное пространство и функция ż f ÞÑ }f }1 “ |f | dµ E является полунормой на нём. Д о к а з а т е л ь с т в о. Шаг 1. Докажем сначала, что L 1 pEq — линейное пространство. Для этого надо показать, что для любых двух функций f, g P L 1 pEq их сумма f ` g P L 1 pEq и для любого числа α функция αf P L 1 pEq тоже. Заметим, что при любом N для срезок справедливо неравенство “ ‰ “ ‰ “ ‰ |f pxq ` gpxq| N ď |f pxq| N ` |gpxq| N . Поэтому при любом N ż ż ż “ ‰ “ ‰ “ ‰ |f pxq ` gpxq| N dx ď |f pxq| N dx ` |gpxq| N dx ď E żE ż E ď |f pxq| dx ` |gpxq| dx “ const ă 8. E E Откуда и следует, что ż ż ż ż “ ‰ |f pxq`gpxq| dx“ lim |f pxq`gpxq| N dxď |f pxq| dx` |gpxq| dx p˚q E nÑ8 E E E Принадлежность αf P L 1 pEq докажите самостоятельно. ˇ ş ˇ def Шаг 2. Покажем, что функция f ÞÑ E ˇf pxqˇ dx “ }f } из L 1 pEq в R является полунормой, т. е. обладает свойствами 1. @f P L 1 }f } ě 0; 2. }αf } “ |α| ¨ }f }; 3. }f ` g} ď }f } ` }g}. В самом деле, свойство 1 вытекает из того, что интеграл от функции |f | ě 0 всегда ě 0. Второе свойство вытекает из свойства однородности интеграла (константу можно выносить за знак интеграла) Третье свойство, как следует из определения функции f ÞÑ }f } есть ни что иное как доказанное нами выше неравенство p˚q : Теорема (счётная аддитивность интеграла). Если f P L 1 pEq и pEi qiPI — допустимое разбиение множества E, то ż 8 ż ÿ f pxq dx “ f pxq dx. E n“1 En Д о к а з а т е л ь с т в о. Для срезки rf sN по теореме о счётной аддитивности интеграла от ограниченной функции имеем (см. прошлую лекцию) ż rf sN pxq dx “ E 8 ż ÿ rf sN pxq dx. n“1 En Поэтому ż ż def f pxq dx “ lim N Ñ8 E E rf sN pxq dx “ lim N Ñ8 8 ż ÿ rf sN pxq dx. n“1 En Если теперь мы покажем, что для правой части последнего равенства ż 8 ż 8 8 ż ÿ ÿ ÿ ? def lim rf sN pxq dx “ lim rf sN pxq dx “ f pxq dx, N Ñ8 n“1 En n“1 N Ñ8 E n n“1 En то нужное равенство будет доказано. Но, как мы знаем, почленный переход к пределу возможен, если ряд сходится равномерно по параметру (у нас это N ). В нашем случае равномерная сходимость ряда вытекает из признака Вейерштрасса ˇż ˇ ż ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ dx rf s pxq dx ď c “ f pxq N n ˇ ˇ En 8 ř и положительный ряд En cn сходится, так как для любого n0 n“1 n0 ÿ n“1 cn “ n0 ż ÿ ż ˇ ˇ ˇf pxqˇ dx “ n“1 En Теорема доказана. : ż n Ť0 n“1 ˇ ˇ ˇf pxqˇ dx ď En ˇ ˇ ˇf pxqˇ dx ă 8. E , Вопрос на засыпку. Почему в последнем соотношении справедливо второе равенство? А следующее неравенство? Теорема (абсолютная непрерывность интеграла). Если f PL 1 pEq, то для любого ε ą 0 найдётся такое δ ą 0, что для любого измеримого множества e Ă E такого, что µpeq ă δ будет выполняться неравенство ˇ ˇż ˇ ˇ ˇ f pxq dxˇ ă ε. ˇ ˇ e Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметив, что |f | — суммируемая функция, найдём такое N0 , чтобы при всех N ą N0 выполнялись неравенства ż ż “ ‰ 0ď |f | dx ´ |f | N dx ă 2ε . E E Это можно сделать по определению интеграла от неограниченной суммируеε , N ą N0 . Если теперь e — произвольное мой функции. Далее, возьмём δ ă 2N измеримое подмножество из E с мерой µpeq ă δ, то ż ´ ż ´ ż ż “ ‰ ¯ “ ‰ ¯ “ ‰ 0ď |f | ´ |f | N dx ď |f | ´ |f | N dx “ |f | dx ´ |f | N dx ď 2ε e Но тогда E ż ż |f | dx ´ e Откуда E e “ ‰ |f | N dx “ ż E ż ´ “ ‰ ¯ |f | ´ |f | N dx ď e ε 2 ż |f | dx ă e ε 2 “ ` Что и требовалось доказать. |f | ‰ e N dx ă ε 2 ε 2 ` Nδ ă ` ε 2 “ε : Теорема (А. Лебега о предельном переходе под знаком интеграла). Если последовательность измеримых функций pfn q сходится по мере на E к функции f и существует такая суммируемая на E функция F , что @n |fn pxq| ď F pxq почти всюду на E, то тогда ż lim nÑ8 E ż ´ fn dµ “ ¯ ż lim fn dµ “ E nÑ8 p˚q f dµ E Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу неравенства p˚q все функции fn суммируемы. Кроме того, предельная функция f , по теореме Рисса являющаяся пределом п. в. некоторой подпоследовательности fnk ď F , тоже не превосходит F почти всюду и потому ş суммируема. ş Чтобы показать, что | E fn dx ´ E fn dx| можно сделать произвольно малым при всех n больше некоторого N , обозначим An pσq “ tx : |fn pxq ´ f pxq| ă σu, Bn pσq “ tx : |fn pxq ´ f pxq| ě σu. Тогда ˇ ż ˇż ż ż ˇ ˇ ˇ fn dµ ´ f dµˇ ď |fn ´ f | dµ “ ˇ ˇ E E E ż |fn ´ f | dµ ` An pσq |fn ´ f | dµ Bn pσq Первый из интегралов справа оценивается так: ż ` ˘ |fn ´ f | dµ ă σµ An pσq ď σµpEq An pσq и может быть сделан меньше произвольного ε ą 0 за счёт выбора σ. Второй же интеграл ż ż ż ` ˘ |fn ´ f | dµ ď |fn | ` |f | dµ ď 2F dµ ÝÝÝÑ 0 Bn pσq Bn pσq Bn pσq nÑ8 в силу абсолютной непрерывности интеграла от суммируемой функции F и того, что по условию µpBn pσqq ÝÝÝÑ 0. Поэтому может быть сделан меньше nÑ8 произвольного ε для любых n ą N за счёт выбора достаточно большого N . Теорема доказана. : Добавление Во многих книгах интеграл Лебега определяется немного иначе, а именно для простых функций 8 ÿ f pxq “ cn ξen pxq n“1 где ξen — характеристическая функция множества en , а совокупность измеримых множеств en образует разбиение множества E, он определяется по формуле ż 8 ÿ f pxq dµpxq “ cn µpen q. E n“1 Для произвльных измеримых функций интеграл в этом случае определяется как предел ż ż f pxq dµpxq “ lim fn pxq dµpxq, nÑ8 E E где fn последовательность простых функций равномерно сходящаяся к функции f . При этом для корректности определения, очевидно, необходимо доказать два факта: 1) всякую измеримую ограниченную функцию можно равномерно аппроксимировать последовательностью простых функций; 2) предел не зависит о аппроксимирующей последовательности. Чтобы увидеть, что этот подход эквивалентен принятому у нас, достаточно заметить, что 1) в качестве последовательности простых функций равномерно приближающих ограниченную измеримую функцию можно взять fn “ m ÿ ξk ek , где ek “ tx : yk´1 ď f pxq ă yk u, mk ď ξk ď Mk k“1 Список литературы [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] П.Дж. Коэн. Теория множеств и континуум-гипотеза. М.: Мир, 1969. Н.Я. Виленкин. Рассказы о множествах. М.: Наука, 1969. П. Халмош. Теория меры. М.: ИЛ, 1953. А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. Элементы теории функций и функцио- нального анализа. М.: Наука, 1976. М.И. Дьяченко, П.Л. Ульянов. Мера и интеграл. М.: Факториал, 1998. Г. Федерер. Геометрическая теория меры. М.: Наука, 1987. Л.К. Эванс, Р.Ф. Гариепи. Теория меры и тонкие свойства функций. Новосибирск.: Научная книга, 2002. Ю.М. Березанский, Г.Ф. Ус, З.Г. Шефтель. Функциональный анализ. К.: Выща шк., 1990. И.П. Натансон. Теория функций вещественной переменной. М.: ГИТТЛ, 1957. (Книг, содержащих теорию меры и интеграла с различными подходами к построениям и разной подробности, очень много. Я привожу здесь только те, которые мне самому нравятся (как учебники)). Добавление о математической логике Высказывания Математика (не только анализ) в основном имеет дело с высказываниями [утверждениями, предложениями, суждениями] по поводу которых (в принципе) можно сделать заключение о том, истинны они или ложны (не обязательно в данный момент времени). Например, обозначим буквами следующие высказывания: A ““число 5 делится нацело на 2”; B ““сумма квадратов длин катетов прямоугольного треугольника равна квадрату длины гипотенузы”; C ““уравнение x2 ` 1 “ 0 имеет решение”; D ““всякое четное число ě 4 можно разложить в сумму двух простых”. Высказывание A, очевидно, ложно. Высказывание B — истинно, но не очевидно. Рассказывают, что были времена, когда установление истинности этого высказывания вызвало такой восторг у Пифагора, что он по случаю этого открытия решил принести в жертву богам 100 быков (многие считают1 , что с тех пор все скоты не любят математику). Некоторые полагают, что выявление истинностного смысла высказывания C привело к созданию теории комплексных чисел. Высказывание D — гипотеза (Х. Гольдбаха). До сих пор не ясно, истинно оно или ложно. Подобных предложений в математике много (см., например, http//www.mathsoft.com/asolve/). Имеется 6 гипотез2 , установление истинности или ложности каждой из которых оценено в $1 000 000 (см. http//www.claymath.org/prize problems/). В обычном языке (например, русском или английском) можно сформулировать много предложений не имеющих никакого истинностного смысла. Например, о вопросительном предложении “сколько будет дважды два?” нельзя сказать истинно оно или ложно. Мы таких предложений здесь рассматривать не будем. Раздел математики, изучающий действия с “высказываниями”, т. е. предложениями, которые либо истинны либо ложны называют “пропозициональной логикой” (от лат. proposition – предложение, высказывание). Нам оттуда понадобится совсем немного сведений (в основном определений). 1 Как утверждают биографы, Софья Ковалевская, любила эту шутку. Недавно было 7. Санкт-Петербургский математик Григорий Перельман доказал гипотезу Пуанкаре в 2002 году. В 2006 году его доказательство было признано верным. 2 Логические операции с высказываниями В математической логике (впрочем и в обычных языках) из «простых» высказываний с помощью логических операций можно строить «сложные» высказывания. Мы будем использовать следующие. — отрицание, A “ не A. По определению тогда, когда A ложно. A истинно тогда и только _ — дизъюнкция, A _ B ““A или B” — логическое сложение. По определению A _ B ложно тогда и только тогда, когда одновременно ложны и A и B. В остальных случаях истинно. ^ — конъюнкция, A ^ B ““A и B” — логическое умножение. По определению A^B истинно тогда и только тогда, когда одновременно истинны A и B. В остальных случаях ложно (другое обозначение конъюнкции высказываний — A&B). ñ — импликация, A ñ B ““если A, то B” — логическое следование. A называется посылкой, B — заключением. По определению A ñ B ложно тогда и только тогда, когда посылка A истинна, а заключение B ложно. ô — эквиваленция, A ô B ““A тогда и только тогда, когда B” — логическая эквивалентность высказываний. По определению, A ô B истинно, когда оба высказывания A и B одновременно либо истинны, либо ложны. В остальных случаях ложно. Обычно истинным высказываниям приписывают значение 1, а ложным 0 (чтобы не писать длинно “A—истинно” или “A—ложно”, пишут соответственно A “ 1 или A “ 0. Хотя, конечно, можно писать A “ и или A “ л). В этих обозначениях все наши словесные определения истинности высказываний, получаемых с помощью логических операций, можно свести в одну таблицу: A 1 1 B A_B A^B AñB AôB 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 1 1 Таблица истинности для составных высказываний. Обязательны для запоминания следующие ниже логические тождества (равенства). Они особенно часто будут использоваться нами. A ô B “ pA ñ Bq ^ pB ñ Aq pA _ Bq “ p Aq ^ p Bq pA ^ Bq “ p Aq _ p Bq A ñ B “ p Aq _ B pA ñ Bq “ A ^ p Bq A ñ B “ p Bq ñ p Aq (9) (10) (11) (12) (13) (14) Проверку этих равенств можно сделать с помощью составления таблиц истинности правой и левой части. (Если при всех значениях истинности A и B, входящих в сложное высказывание, результаты совпадают, то равенства верны.) Предикаты Следующие факты относятся к “логике предикатов”. Предикат — это логическая функция (вообще говоря, нескольких переменных), определенная в некоторой области предметов (объектов) со значениями в множестве высказываний. После подстановки вместо переменных, объектов указанной области, эта функция должна превращаться в высказывание и принимать одно из двух значений: “истина” или “ложь” (или 1 и 0 соотв., что то же самое). Например, пусть P pXq “ “число X больше двух”. Это предикат на множестве чисел. Имеем P p3q “ истина, P p1q “ ложь. Еще пример: пусть P pX, Y q “ “X ñ Y ”. Это предикат на множестве высказываний. Если A “ “2 ˆ 2 “ 4”, B “ “x2 ` 1 “ 0 имеет действительное решение”, то P pA, Bq “ ложь, а P pB, Bq “ истина (т. к. посылка ложна). Соотношение между высказываниями и предикатами аналогично соотношению между числами и функциями: ˛ исчисление высказываний — аналог арифметики чисел; ˛ исчисление предикатов — аналог теории функций. Чтобы превратить предикат в высказывание не обязательно вместо переменной подставлять конкретный объект. Можно “убить” эту переменную одним из двух кванторов: @ — квантор “всеобщности” (или просто “общности”); D — квантор “существования”. Выражение @x P pxq читается так: “для любого x P pxq [верно]” или “для каждого x [имеет место, выполняется, верно, истинно] P pxq”. Выражение Dx P pxq читается так: “существует такое x, что P pxq [верно]” или “найдется такое x, что [имеет место, выполняется, верно] P pxq”. Примеры. 1) Пусть P pxq ““Целое число x делится без остатка на 2”. Тогда @x P pxq — ложное высказывание (любое целое число делится без остатка на 2). А Dx P pxq — истинное высказывание (существует целое число, которое делится без остатка на 2). 2˚ ) Пусть M — некоторое множество мальчиков, а D — девочек. Обозначим через P px, yq высказывание “x влюблен в y” (более кратко: P px, yq “ x♥y). Тогда @x P M Dy P D x♥y означает: “для любого мальчика из множества M существует девочка из множества D, в которую он влюблен”. Обратим внимание, что если поменять местами кванторы1 Dy P D @x P M x♥y, то получится совершенно иное по смыслу (а, значит, и по истинности) высказывание: “существует девочка из множества D, в которую влюблен каждый мальчик из множества M ”. Порядок следования кванторов весьма существен! Очень не рекомендуется его путать (особенно при ответе на экзаменах). Истинность последних двух высказываний мы здесь особо обсуждать не будем, поскольку к математике это не имеет отношения. Хотя можно довольно уверенно сказать, что в полной общности оба эти утверждения скорее всего ложны (каждый мальчик влюблен?). Если же ограничиться мальчиками и девочками, скажем, из одного и того же класса (начиная с 9-го), то первое из них может оказаться верным, а может (гораздо реже) верным будет и второе. Отметим еще, что если верно второе утверждение, то верно и первое. В таких случаях говорят, что второе утверждение более сильное. Замечание. В последнем примере мы, вообще говоря, многое оставляем для интуитивного понимания. И этого, как правило, достаточно для дальнейшего. На самом же деле, если быть более точными, общеприняты сокращения: ` ˘ @x P E P pxq сокращённая запись для p@xq x P E ñ P pxq , ` ˘ Dx P E P pxq сокращённая запись для pDxq x P E ^ P pxq . 1 Кванторы всегда считаются связанными с соответствующими переменными и слова «поменяем местами кванторы» означают, что их меняют местами вместе с переменными, как это сделано в данном примере. В связи с этим в более подробной записи имеем ´ ` ˘¯ @x P M Dy P D x♥y “ p@xq px P M q ñ pDyqpy P D ^ x♥yq , ´ ` ˘¯ Dy P D @x P M x♥y “ pDyq py P Dq ^ p@xqpx P M ñ x♥yq . Как видим, и в развёрнутой формальной записи получаются достаточно разные выражения. 3) Приведем еще пример, но уже из математики. Пусть P px, M q “ “x ď M ”. Тогда DM P R @x P E P px, M q означает, что существует такое число M , что всякое число x из E меньше этого M . Это определение ограниченного сверху множества — одного из основных понятий, используемых в анализе. Множества E, для которых это утверждение истинно, называют ограниченными сверху, а множества E, для которых оно ложно называют неограниченными сверху. В дальнейшем мы еще встретимся с этим определением. Отметим только, что если здесь поменять местами кванторы, то получится тождественно истинное высказывание, т. е. выполняющееся для всех (числовых) множеств E и поэтому ничего не определяющее: “@x P E DM P R P px, yq” = “для любого числа x из множества E существует число M большее этого x” (конечно существует, например, M “ x ` 1). Совершенно необходимым является умение строить отрицание высказываний, содержащих кванторы. Например, p@x P pxqq означает: “не для любого x P pxq верно”. Очевидно, это то же самое, что “существует x для которого P pxq ложно” или “существует x для которого P pxq верно”. То есть имеет место равенство p@x P pxqq “ pDx P pxqq. Аналогично, pDx P pxqq означает: “не существует такого x, что P pxq верно” = “для любого x P pxq ложно” = @x P pxq, т. е. pDx P pxqq “ p@x P pxqq. Таким образом, при построении отрицаний высказываний кванторы ведут себя как “двойственные” объекты: переходят друг в друга (@ в D и наоборот) Для построения отрицаний более сложных высказываний надо хорошо помнить логические тождества (2), (3) и (5). Следующий пример наиболее часто будет нами использоваться (с различными конкретными предикатами P px, yq и Qpx, yq), поэтому его надо запомнить. ´ ´ ` ˘¯ ` ˘¯ @x Dy P px, yq ñ Qpx, yq “ Dx @y P px, yq ^ Qpx, yq . p!!!q