Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных. Область определения функции . График функции. Рассмотрим точки координатной плоскости . Открытым шаром в с центром в точке и радиусом назовем множество Открытое множество в есть объединение произвольного конечного или счетного числа открытых шаров. Например, открытым множеством является кольцо . Функция от двух вещественных переменных есть отображение , или, иначе, правило, сопоставляющее двум числам третье число . Мы будем рассматривать функции, определенные, как правило, в некоторой открытой области . График функции есть поверхность в пространстве с координатами , проектирующаяся на область определения функции. Поверхность (линия) уровня функции есть множество точек в области определения , для которых имеет одно и то же значение: . Пример. На географической карте с координатами (широта и долгота) определим функцию – высота точки над уровнем моря. Тогда линия уровня функции есть изогипса, или горизонталь (точки, находящиеся на одной высоте над уровнем моря). 7500 8000 8872 7700 Линия уровня позволяет отражать на плоскости некоторые свойства трехмерного графика функции на плоскости. Предел функции двух переменных и непрерывность. Определение 1. Число называется пределом функции в точке , если для любого найдется число , такое что для любой пары , удовлетворяющей неравенству . Определение 2. Функция называется непрерывной в точке , если . Пример 1. Функция является непрерывной в нуле. Действительно, справедлива оценка Поэтому, если , то значение функции оценивается сверху так: . Поэтому достаточно положить и по определению предела получим . Пример 2. Функция не является непрерывной в нуле. Действительно, если рассмотреть точки плоскости , принадлежащие лучу , то для них получим , то есть сколь угодно близко от начала координат функция принимает значения, отличные от . Переопределение в нуле функции не может сделать ее непрерывной: положив , , мы получим . Таким образом, выбирая новое направление подхода к началу координат, мы всякий раз будем получать свой предельное значение функции . Вывод: функция разрывна. Теорема Если , , – непрерывные функции, то композиция является непрерывной функцией. Дифференцируемость функций двух переменных. Определим сначала частные производные функции . Рассмотрим точку , зафиксируем значение переменной , и рассмотрим функцию одной вещественной переменной . Определение. Частной производной функции по переменной в точке называется производная Аналогично, частной производной функции по переменной в точке называется производная Замечание. Даже если у функции есть обе частные производные по и в точке , функция может оказаться разрывной в этой точке. Пример – функция . Обе частные производные в равны 0, а сама функция в начале координат разрывна. Примеры. 1) . , . 2) , . Пусть имеется функция от двух аргументов и кривая на плоскости , задаваемая уравнениями . Мы хотим “ограничить” функцию на кривую , то есть рассмотреть композицию . Вопрос: как продифференцировать композицию ? Теорема. Если функция имеет частные производные по и в некоторой открытой окрестности точки , и эти производные непрерывны, и если функции , дифференцируемы в точке , то тогда . Доказательство. Вспомним определение производной: . По определению функции имеем Следовательно, предел в формуле для производной можно записать как сумму двух пределов и . Второй предел можно представить так: Поскольку функция дифференцируема в точке , она непрерывна и при . Следовательно Поскольку , получаем . Рассмотрим предел . Запишем его как . Ясно, что при . Рассмотрим предел . Можно записать это по–другому: где при при каждом . Трудный момент: можно показать, что, если частные производные функции непрерывны, то предел равномерен по , то есть допускает оценку при сразу для всех из некоторого интервала . Приняв этот факт без доказательства, получим Определение. Градиентом функции в точке называется вектор . Таким образом, теорему о производной ограничения функции на кривую можно записать так: , где производная вектор–функции . Определение. Производной функции в точке по направлению вектора называется число , где . Пример. Найти производную функции в точке по направлению вектора . Решение. Прежде всего, найдем длину вектора и составим вектор . Имеем: , . Далее, вычислим . . Подставляя , , получим . Аналогично, . Подставляя , , получим . Таким образом, . Следовательно, . Теорема о неявной функции. Рассмотрим произвольную линию уровня функции , возьмем некоторую точку , лежащую на данной кривой, и зададимся вопросом: можно ли задать то же самое множество точек на плоскости в виде графика некоторой функции , . Функция должна быть определена, по крайней мере, в некотором интервале . Если это возможно, то скажем, что уравнение неявно задает функцию . Зная частные производные в точке , можно ответить на два вопроса: 1) когда функция заведомо определена; и 2) чему равна производная функции в точке ? Теорема о неявной функции. Пусть функция непрерывна вместе со своими частными производными в некоторой окрестности точки . Если , то функция определена в окрестности точки , дифференцируема, и . Доказательство. Покажем, что в условиях теоремы функция однозначно определена. По условию , поэтому без ограничения общности можно считать, что . Тогда, так как функция непрерывна, неравенство выполнено сразу в некоторой открытой окрестности точки . В частности, для каждой вертикальной прямой ограничение функции на эту прямую (то есть функция ) является монотонно возрастающей. Для вертикальной прямой имеем . Поэтому ниже точки , и выше точки . Отсюда следует, что в малой окрестности точки для каждой вертикальной прямой имеет место такое же свойство функции : есть точка , для которой ; ниже ее имеет место неравенство , а выше – неравенство . Таким образом, функция для которой , однозначно определена для любого из некоторого интервала . Покажем, что функция дифференцируема, и вычислим ее производную в точке . Для этого нам нужно вычислить отношение приращения функции к приращению аргумента и рассмотреть предел этого отношения при . Зафиксируем точку и возьмем некоторую точку в окрестности , которую будем приближать к точке . Из определения функции следует, что имеют место два равенства: , . Вычтем из первого уравнения второе: . Вычтем и добавим в этом равенстве слагаемое : Применим теорему Лагранжа к слагаемому : . Для получаем: . Следовательно, . Отсюда следует, что . Переходя к пределу при получаем . Касательная и нормаль к поверхности уровня функции Рассмотрим линию уровня функции : . Пусть – фиксированная точка, принадлежащая этой линии уровня. Рассмотрим теперь произвольную точку на линии уровня , и рассмотрим секущую, соединяющую точки и . Что произойдет, если устремить точку к точке , так чтобы все время оставалась на кривой ? Определение. Предельное положение секущей называется касательной к линии уровня в точке . Пусть, для простоты, . Тогда вблизи точки по теореме о неявной функции линия уровня может быть представлена как график функции , причем Уравнение касательной к графику функции имеет вид . Следовательно, , или, окончательно, . Прямая, перпендикулярная к касательной, называется нормалью. Ее уравнение . Отметим важное свойство градиента функции : вектор градиента не просто перпендикулярен к касательной к линии уровня , но показывает направление, в котором функция возрастает . Действительно, если ограничить функцию на нормаль к поверхности уровня функции в точке , и взять производную от по направлению градиента, то мы получим: Это означает, что ограничение функции на нормаль растет с ростом переменной , то есть в направлении, указанном вектором градиента. Следствие. Если функция имеет локальный минимум (или локальный максимум) в точке , то . Пример. Написать уравнение касательной к кривой, задаваемой уравнением , в точке . Решение. Находим вектор градиента в точке : , . Подставляем координаты градиента в уравнение касательной: ,  . Первообразная и неопределенный интеграл. Определение. Функция называется первообразной от функции , если . Утверждение. Если и две первообразные от , то . Доказательство. Положим . По определению первообразной имеем: . По теореме Лагранжа , и, следовательно, для любых , . Ч.Т.Д. Определение. Множество всех первообразных функции называется неопределенным интегралом и обозначается . В силу утверждения, , где произвольная первообразная. Свойства неопределенного интеграла (проверяются дифференцированием). 1. 2. . 3. . 4. . Таблица интегралов от элементарных функций. () Проверка дифференцированием. 1. Проверим формулу длинного логарифма . Имеем: = =. 2. Проверим формулу высокого логарифма . Имеем: . Примеры. Частные случаи формулы . 1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . 7. . 8. . Интегралы, сводящиеся к табличным с помощью алгебраических преобразований. 1. 2. Замена переменной и интегрирование по частям под знаком неопределенного интеграла. Следствием формулы для производной от произведения функций и производной сложной функции являются следующие две формулы. Замена переменной. . Слева в этой формуле стоит множество функций – первообразных от функции . Справа стоят функции переменного , которые являются первообразными функции . Множество функций от и от равны между собой в том смысле, что при подстановке в качестве аргумента функции получается функция от , тождественно совпадающая с первообразной, стоящей в правой части формулы. Наоборот, если в правую часть формулы подставить (где ─ обратная функция для функции ), то получится первообразная из левой части формулы. Доказательство. По определению неопределенного интеграла  . С другой стороны,  . Убедимся, что . По теореме о производной сложной функции имеем: , то есть функция является первообразной для функции . Проверка того, что , остается в качестве упражнения. Ч.Т.Д. Примеры. 1.. 2. . 3. . Как угадывать замену, упрощающую интеграл? Занесение множителя под знак дифференциала. Справедлива формула: . В частности, , , , , , . Примеры. 1. . 2. 3. . Интегрирование по частям. . В краткой записи, . Доказательство. Пусть – первообразная для , то есть . Пусть первообразная для , то есть . Убедимся, что . Эквивалентно, . Дифференцируя левую часть тождества, получаем: . По теореме Лагранжа отсюда следует, что функция постоянна. Ч.Т.Д. Примеры интегрирования по частям. 1. Интегралы от функций, содержащих , , . . 2. Интегралы вида , , . 1) . 2) . 4. Интегралы вида . . Обозначим . Тогда мы получили, что . Отсюда , . Интегрирование рациональных функций Рациональной функцией называется отношение двух многочленов степеней и соответственно. Примеры. 1) . Выделим полный квадрат в знаменателе . Сделаем замену : 2) Вновь выделим полный квадрат в знаменателе , и вновь перейдем к переменной интегрирования : . Окончательно, 3) Проинтегрируем по частям. Воспользуемся соотношением Следовательно, , откуда Воспользуемся тождеством Отсюда Окончательно, Определение. Рациональная дробь называется правильной, если . Любая неправильная дробь записывается в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби. Пример. Поделим числитель на знаменатель с остатком “уголком” (алгоритм Евклида) Окончательно, Определение. Правильная рациональная дробь называется простой, если ее знаменатель имеет вид , либо , где , то есть не имеет различных делителей. Иными словами, простые дроби имеют вид , , где квадратный многочлен, не имеющий действительных корней. Примеры. , , где , , Теорема Произвольная правильная рациональная дробь представима в виде суммы простых дробей. Такое разложение находят методом неопределенных коэффициентов. Составим комбинацию простых дробей, в знаменателях которых присутствуют все возможные делители знаменателя исходной функции: После приведения этих пяти дробей к общему знаменателю, получим: Приравняв числители полученной дроби и дроби , получим: Необходимо, чтобы это соотношение было выполнено при всех значениях . Подставим в него пять (по числу неизвестных коэффициентов , , , , ) различных значений . Получим систему линейных уравнений на , , , , : Можно показать, что у такой системы всегда существует единственное решение. Решив эту систему (например, методом Гаусса), получим требуемое представление , , , , : Окончательно, Интегрирование некоторых иррациональных функций Функции, зависящие от корня какой─либо степени, как правило, в элементарных функциях не интегрируются. Имеется несколько классов функций, которые сводятся с помощью той или иной замены переменной к рациональной функции. 1. Интегралы вида , где  рациональная функция от переменных . Метод интегрирования  замена , где . Пример. = . С учетом разложения , получим . 2. Интегралы вида . Метод интегрирования  замена . Пример. =. Выделяя полный квадрат под знаком квадратного корня, получим: , откуда . 3. Интегралы вида , где , ,  рациональные числа. Первообразные для таких функций принадлежат к классу элементарных функций только в следующих трех случаях. а)  целое число, , . Метод интегрирования  замена , где . б)  целое число. Метод интегрирования  замена , где  знаменатель дроби . в)  целое число. Метод интегрирования  замена , где  знаменатель дроби . Примеры. 1) Первая замена Чебышева. Чтобы разложить дробь в сумму простых дробей, воспользуемся следующим приемом. Разложим сначала дробь : . Возведем тождество в квадрат: . Поскольку первая и третья дроби в этом разложении уже являются простыми, остается разложить второе слагаемое с использованием первой формулы. . Подставляем полученное разложение под знак интеграла: 2) Вторая замена Чебышева. . 4) Подстановки Эйлера. Интегралы вида , где рациональная функция, сводятся к интегрированию рациональных функций при помощи одной из трех замен. а) , если ; б) , если ; в) , где корень многочлена . Примеры. 1) Первая подстановка Эйлера . 2) Вторая подстановка Эйлера . Первый интеграл находили ранее (интегрирование подстановкой): . Находим второй интеграл Окончательно, Тригонометрические замены В некоторых случаях избавиться от радикала под знаком интеграла можно с помощью одной из трех тригонометрических замен. замена или замена или замена или Примеры. 1) 2) 3) Интегрирование функций вида , Метод интегрирования – замена , если степень при нечетна, или , если степень при нечетна. Если степень и при , и при четная, то используется замена или . Примеры. 1) . 2) Более сложная ситуация Универсальная тригонометрическая замена Интегралы вида сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью замены , , , . Пример. . Определенный интеграл Определенный интеграл есть обобщение понятия площади плоской фигуры. Что такое площадь? Для прямоугольника площадью считают число . Далее естественно предположить, что площадь аддитивна: если фигура состоит из двух непересекающихся фигур, то ее площадь равна сумме площадей ее составных частей Отсюда, в частности, следует формула площади треугольника . Как следствие, понятие площади можно распространить на любую триангулируемую фигуру (фигуру, которую можно представить в виде объединения конечного числа треугольников). Но что такое площадь круга? В круг можно вписать многоугольник со сколь угодно большим (но конечным!) числом сторон. Естественно считать, что в пределе (когда число сторон вписанного многоугольника неограниченно растет, и при этом каждый точка внутри круга оказывается внутри какого─либо вписанного многоугольника из этой последовательности) предел площадей вписанных многоугольников можно принять за площадь круга: . Процедура предельного перехода для определения площади фигуры, с помощью которой мы “исчерпываем” фигуру последовательностью многоугольников, приводит, в конечном счете, к понятию интеграла. Рассмотрим функцию , заданную на отрезке . Криволинейной трапецией назовем точки плоскости , координаты которых удовлетворяют неравенствам , при и при. Разбиением отрезка назовем произвольный набор точек , , , , , внутри отрезка , , а также набор точек , , удовлетворяющих неравенствам . Точки будем называть точками разбиения, а точки отмеченными точками. Совокупность точек , будем обозначать через . Обозначим через максимальную длину отрезка разбиения. Интегральной суммой для функции на отрезке для данного разбиения отрезка назовем сумму Если , то геометрический смысл интегральной суммы заключается в том, что она равна сумме площадей прямоугольников, построенных над каждым отрезком разбиения высоты . Объединение этих прямоугольников в каком─то смысле “исчерпывает” криволинейную трапецию. Определение. Определенный интеграл от функции на отрезке есть предел интегральных сумм по всем разбиениям отрезка при . Иными словами, есть такое число , что для любого найдется , для которого для любой интегральной суммы , удовлетворяющей условию . Определенный интеграл как предел интегральных сумм называется интегралом Римана. Далеко не все функции являются интегрируемыми по Риману в смысле данного определения (то есть интегральные суммы могут и не иметь предела при неограниченном измельчении разбиения отрезка интегрирования). Теорема (без доказательства). Интеграл существует для любой функции , имеющей на отрезке не более чем конечное множество точек разрыва первого рода. Свойства определенных интегралов. 0) Если , то . Действительно, интегральная сумма в этом случае для любого разбиения отрезка интегрирования равна 1) Если интеграл существует, то функция ограничена. Чтобы понять, в чем причина такого свойства интегрируемых функций, рассмотрим функцию, которая в окрестности какой-либо точки принимает сколь угодно большие по модулю значения. Пусть, например, имеется последовательность точек , при , для которых . Пусть , , , ,  произвольное разбиение отрезка и множество отмеченных точек, подчиненное данному разбиению. Точка , в окрестности которой функция не является ограниченной, принадлежит какому─либо отрезку разбиения, следовательно, имеется бесконечно много точек последовательности , принадлежащих тому же самому отрезку разбиения. Пусть ─ номер этого отрезка разбиения. Теперь изменим разбиение отрезка интегрирования следующим образом. Точки разбиения оставим без изменений, также как и все отмеченные точки , за исключением отмеченной точки . Вместо будем последовательно подставлять точки из последовательности , для которых . Но тогда интегральная сумма при неизменной величине максимальной длины интервала разбиения стремится к . Таким образом, никакого предела интегральных сумм не может быть! 2) Аддитивность интеграла по области интегрирования. , где произвольная точка внутри отрезка . Для доказательства рассмотрим интегральные суммы для интеграла , в которых точка является точкой разбиения: . Тогда справедливо представление: причем первое слагаемое в правой части уравнения есть некоторая интегральная сумма для интеграла , а второе слагаемое есть интегральная сумма для интеграла . Если каждый из трех интегралов существует, то, переходя к пределу в этом равенстве при , получим требуемое равенство для интегралов. 3) Антисимметричность по области интегрирования. Если в определении интеграла заменить требование для точек разбиения отрезка интегрирования на неравенство , и рассматривать интегральные суммы по произвольным наборам разбиений , , в пределе при , то соответствующий предел естественно назвать интегралом . Поскольку интегральные суммы для интегралов и отличаются только знаком, из определения следует, что =. Если принять такое определение, то формула становится верной уже не только для , но и для всех других точек , например, лежащих вне отрезка . Следствие. . Действительно, . 4) Теорема сравнения. Если , то (если ). Достаточно рассмотреть интегральные суммы по одинаковым разбиениям отрезка интегрирования. Предельный переход при не меняет знака неравенства. 5) Теорема о среднем. Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда найдется точка , для которой Нам потребуется ссылки на следующие два свойства непрерывных функций. 1) Непрерывная функция на отрезке достигает своего минимального и максимального значений. 2) Непрерывная функция на отрезке принимает все значения между максимальным и минимальным. Обозначим , Тогда по теореме сравнения имеем   По теореме о промежуточных значениях непрерывной функции найдется такая точка , для которой . Ч.Т.Д. 6) Дифференцируемость интеграла как функции переменного верхнего предела. Пусть  непрерывная функция. Рассмотрим функцию . Тогда дифференцируема и . Доказательство. Рассмотрим приращение функции = По теореме о среднем имеем , где (или , если ). Следовательно, при , Ч.Т.Д. Следствие. Формула Ньютона-Лейбница для определенного интеграла. Если функция непрерывна на отрезке , то где ─ произвольная первообразная функции . Для доказательства рассмотрим функцию . Мы знаем, что первообразные отличаются на константу, то есть . Поскольку , Ч.Т.Д. Разность кратко обозначают как , поэтому формулу Ньютона-Лейбница записывают еще и как Замена переменной под знаком определенного интеграла Рассмотрим интеграл . Пусть определена на некотором отрезке , непрерывна на этом отрезке, дифференцируема на интервале и при этом , , а также для любого . Тогда справедлива формула . Доказательство. Используем формулу Ньютона-Лейбница: , где произвольная первообразная функции . Естественно, функция определена для любого . Рассмотрим композицию . Имеем: , то есть является первообразной для правого интеграла в формуле замены. Следовательно, Ч.Т.Д. Пример. . Формула интегрирования по частям. Для доказательства заметим, что функция является первообразной для подынтегральной функции в интеграле . Действительно, . Теперь формула интегрирования по частям следует из формулы Ньютона─Лейбница. Пример. Приложения определенного интеграла 1) Геометрический смысл определенного интеграла. Площадь криволинейной трапеции. Рассмотрим фигуру на плоскости , задаваемую неравенствами , . Тогда площадью фигуры назовем интеграл . Пример. Площадь параболического сегмента , . 0 1 2) Площадь криволинейного сектора в полярных координатах. Полярная система координат на плоскости Формулы, связывающие декартовы и полярные координаты. Формула площади кругового сектора Разобъём отрезок на отрезков , , , , , и выберем в каждом отрезке разбиения по отмеченной точке , . Вместо криволинейного сектора рассмотрим круговых секторов радиуса внутри угла . Сумма площадей всех таких круговых секторов равна Это выражение есть интегральная сумма для интеграла Площадь криволинейного сектора Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линией . Зададим ее в полярных координатах. Подставляя , в уравнение границы, получим  Правая часть положительна при и и симметрична. 3) Длина кривой. Пусть некоторая кривая задана в виде графика функции , . Разобьем отрезок на отрезков , , , , , и вместо кривой рассмотрим ломаную, соединив точки , , отрезками прямых. Предел длины ломаных при уменьшении максимальной длины отрезков разбиений естественно считать длиной кривой. Найдем длину каждого отрезка ломаной. (по теореме Лагранжа) Следовательно, суммарная длина ломаных представляет собой интегральную сумму для интеграла . Окончательно, Другие формулы длины кривой. 1) Пусть кривая задана в параметрической форме , , . Тогда по теореме о производной параметрической функции имеем: , откуда 2) Кривая задана в полярных координатах . Тогда , . В этом случае Окончательно, Пример. Найти длину кривой , . Пример. Найдем длину дуги кривой при . По формуле длины дуги в полярных координатах получаем: Таким образом, , откуда . 4) Объем тела вращения. Рассмотрим пространственную фигуру, которая получается в пространстве с координатами вращением вокруг оси криволинейной трапеции , . Разобъём отрезок на на отрезков , , , , . В каждом отрезке разбиения выберем точку , и вместо трапеции будем вращать вокруг оси прямоугольник . В результате получается прямых круговых цилиндров. Совокупный объем полученных цилиндров равен . Эта сумма представляет собой интегральную сумму для интеграла . В пределе при неограниченном уменьшении длины отрезков разбиения получим объем тела вращения Пример. Найти объем параболоида , . Наша фигура представляет собой тело вращения криволинейной трапеции , , вокруг оси . Роль независимой переменной играет переменная (вместо ). Следовательно, объем фигуры можно найти по формуле . 5) Площадь поверхности тела вращения. В тех же предположениях, что и при выводе формулы объема тела вращения, найдем площадь поверхности тела вращения. Аппроксимируем поверхность вращения поверхностью фигуры, состоящей из усеченных круговых конусов, построенных над каждым отрезком разбиения. Площадь поверхности усеченного конуса находим по формуле . Суммарный объем всех конусов равен по теореме Лагранжа . К сожалению, эта сумма не является интегральной. Однако она очень похожа на интегральную сумму вида для интеграла . Можно показать, что, на самом деле, пределы этих сумм равны. Следовательно, за площадь поверхности вращения следует принять следующий интеграл Пример. Найти площадь поверхности параболоида , . Разложим функцию на простые дроби. Для этого воспользуемся разложением . Следовательно, Подставляем разложение под знак интеграла = . Несобственные интегралы Если функция на отрезке не ограничена, то предела интегральных сумм на данном отрезке не существует. Но может ли соответствующая криволинейная трапеция иметь площадь? Чтобы распространить понятие интеграла на неограниченные фигуры, введем понятие несобственного интеграла. Пусть, для простоты, имеется всего одна точка , в окрестности которой функция не ограничена. Рассмотрим произвольный интервал , выбросим его из отрезка интегрирования , и рассмотрим интеграл , понимаемый в обычном смысле, как предел интегральных сумм. Если при и предел функции существует, то он называется несобственным интегралом от функции на отрезке . Если точка граничная, например, , то . Пример. . Некоторые несобственные интегралы сходятся только при дополнительном условии . Тогда соответствующий предел называется несобственным интегралом в смысле главного значения Коши. Пример. Следовательно, интеграл в смысле главного значения существует. В то же время обычного несобственного интеграла не существует. Действительно, рассмотрим предел , и положим сначала , , а затем , . В первом случае получаем , Во втором случае получаем . Следовательно, предела интеграла при произвольных , нет. Второй тип несобственного интеграла связан с интегрированием функции по неограниченной области. Если область интегрирования есть вся числовая прямая или, по крайней мере, содержит некоторую бесконечную полупрямую, то при произвольном разбиении области интегрирования на конечное число отрезков какой─либо отрезок разбиения обязательно окажется бесконечным. Соответствующее слагаемое в интегральной сумме должно быть положено равным . В случае неограниченной области интегрирования соответствующий интеграл понимают как предел интегралов по конечному отрезку при стремлении одной или двух граничных точек к бесконечности: , или . В некоторых случаях для придания смысла интегралу по бесконечной прямой вновь рассматривают его в смысле главного значения, при . Пример. Признаки сравнения. Иногда для выяснения, сходится или расходится несобственный интеграл, не обязательно вычислять этот интеграл. Для доказательства сходимости интеграла от неотрицательной функции достаточно сравнить его с заведомо бóльшим по значению сходящимся интегралом, а для доказательства расходимости, оценить снизу заведомо расходящимся интегралом от некоторой неотрицательной функции. В качестве интегралов для сравнения обычно подбирают интеграл от степенной функции. . Если , то предел конечен. Если , то соответствующий интеграл расходится. В частности, интегралы , , сходятся, а интегралы , , расходятся. Примеры. Интеграл расходится. . Интеграл сходится. Для интегралов от степенных функций на полупрямой имеем . Если , предел конечен и интеграл сходится. Пример. . Интеграл сходится. Лекция 1. Числовые ряды Легко понять, что такое сумма любого, пусть сколь угодно большого, но конечного, числа слагаемых. Но что такое сумма бесконечного числа слагаемых? Человечество шло к осознанию этого понятия без малого 2 тысячелетия. В результате появились следующие определения. Пусть дана числовая последовательность Определение 1. Выражение вида называется числовым рядом. Здесь − общий член ряда. Примеры. 1. Гармонический ряд , . 2. Обобщенно–гармонический ряд , . 3. Ряд , где . Выпишем несколько первых членов ряда , , , ... Теперь ряд можно записать как 4. Ряд , где , имеет вид 5. Ряд , где имеет вид . 6. Ряд , где имеет вид Определение 2. Сумма n первых членов ряда называется n–й частичной суммой. , , , , . Так как число членов ряда бесконечно, частичные суммы ряда образуют бесконечную последовательность. Определение 3. Ряд называется сходящимся, если последовательность частичных сумм сходится к какому–либо числу S, называемому суммой ряда. , . В некоторых случаях сумму ряда можно найти точно. Пример. Представим каждый из членов ряда в виде разности. , , , , Для произвольного члена ряда получаем . . Перегруппировав слагаемые в частичных суммах, получим , откуда . Вывод: ряд сходится, сумма ряда равна 1, . Имеются, однако, и ряды, сумма которых бесконечна (ряд расходится). Расходимость гармонического ряда. Утверждение. Гармонический ряд расходится, . Доказательство №1. Перегруппируем слагаемые в данной сумме, взяв сначала первые два слагаемых, затем еще два, затем четыре, восемь, шестнадцать и так далее (в каждой следующей группе число слагаемых в два раза больше, чем в предыдущей). После этого оценим снизу сумму слагаемых внутри каждой группы через наименьшее слагаемое в этой группе: . Последовательность частичных сумм неограниченно растет, следовательно предела у этой последовательности нет. Ряд расходится. Доказательство №2. Можно оценить скорость, с которой растут частичные суммы ряда. Вспомним второй замечательный предел , а также заметим, что функция монотонно возрастает. Следовательно, для произвольного номера n верно неравенство . Прологарифмируем это неравенство, а затем разделим на n. . Представим логарифм частного в виде разности логарифмов, . Оценим каждый член гармонического ряда разностью логарифимов: Таким образом , . Ряд расходится. Сходимость геометрической прогрессии Геометрическая прогрессия  последовательность, в которой каждый последующий член получается из предыдущего умножением на одно и то же число q, называемое знаменателем геометрической прогрессии. . При сумма n членов геометрической прогрессии равна . Рассмотрим четыре случая. 1. . В этом случае ряд сходится, так как . Пример. Рассмотрим геометрическую прогрессию с первым членом и знаменателем . , так как . 2. В этом случае ряд расходится, так как . 3. В этом случае ряд расходится, так как . 4. В этом случае ряд расходится, так как Тогда не существует. Свойства сходящихся рядов Теорема. На сходимость ряда не влияет отбрасывание любого конечного числа его первых членов. То есть, при любом ряд , (1.1) сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд . (1.2) Доказательство. Пусть ряд (1.1) сходится и ,  сумма отброшенных членов ряда (1.1),  сумма оставшихся членов ряда. Тогда , . Таким образом, последовательность частичных сумм ряда (1.2) имеет предел, что и означает сходимость ряда (1.2). Аналогично доказываются следующие утверждения. Теорема. Если ряд сходится и его сумма равна S, то ряд , где c  некоторое число, также сходится и его сумма равна cS. Теорема. Если ряды и сходятся и их суммы равны S и , то ряд также сходится и его сумма равна . Лекция 2. Критерии сходимости рядов Необходимое условие сходимости ряда Теорема. Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю. . Доказательство. Если ряд сходится, то существует число , которое является суммой ряда. Рассмотрим частичные суммы ряда: , . Общий член ряда представляет собой разность этих сумм. Так как и при , то . Задача. Исследовать сходимость ряда . Решение. Имеем: . Необходимое условие сходимости не выполнено и, следовательно, ряд расходится. Необходимый и достаточный признак сходимости ряда. Теорема. Для того, чтобы ряд с неотрицательными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность частичных сумм этого ряда была ограничена. Доказательство. Необходимость. Если ряд сходится, то последовательность частичных сумм имеет предел. Следовательно, по теореме об ограниченности сходящейся последовательности, последовательность частичных сумм ограничена. Достаточность. Пусть последовательность ограничена. Так как члены ряда неотрицательны, его частичные суммы образуют неубывающую последовательность, В силу теоремы о сходимости монотонной ограниченной последовательности, существует , что означает сходимость ряда . Критерий Вейерштрасса Теорема. Для того, чтобы ряд сходился необходимо и достаточно, чтобы для любого нашелся такой номер , что для произвольного было выполнено условие . Доказательство. 1) Необходимость. Пусть ряд сходится. Обозначим его сумму через S. Тогда, по определению предела, для любого найдется такой номер , что при . Положим . Тогда что и требовалось. 2) Достаточность*. Пусть для любого найдется такое натуральное число , что последовательность удовлетворяет условию для произвольного k. Докажем, что последовательность имеет предел. Построим систему последовательно вложенных друг в друга сжимающихся отрезков, каждый из которых содержит все члены последовательности, кроме их конечного числа. Возьмем последовательность , и определим нужные нам отрезки следующим образом: . Покажем, что для любого номера n. По определению получаем , то есть расстояние от точки до ближайшей границы интервала не меньше . In Но в этом случае интервал лежит целиком внутри интервала , что и утверждалось. Границы построенной последовательности интервалов образуют две монотонные ограниченные последовательности, и потому каждая из них имеет предел. Поскольку длины интервалов стремятся к нулю, эти два предела совпадают. Обозначим соответствующую точку S. Утверждается, что S есть предел последовательности частичных сумм . Действительно, любой сколь угодно малый интервал содержит в себе какой–нибудь интервал из последовательности . Таким образом, все члены последовательности , кроме, быть может, конечного числа ее членов, принадлежат . Это и означает, что S есть предел . Критерий Вейерштрасса доказан. Достаточные условия сходимости ряда. 1. Признак сравнения. Теорема. Пусть даны два ряда с неотрицательными членами и . При любых n выполняется неравенство . Тогда из сходимости ряда следует сходимость ряда , и из расходимости ряда следует расходимость ряда . Доказательство. Пусть и  частичные суммы рядов. Так как , следовательно (2.1) Если ряд сходится, то по необходимому и достаточному признаку сходимости рядов последовательность частичных сумм ограничена. То есть, для любого n выполняется неравенство . Учитывая неравенство (2.1), получаем . Таким образом, последовательность сходится, что и означает сходимость ряда . Если ряд расходится, то ряд тоже расходится. Так как в противном случае из сходимости ряда , по доказанному, будет следовать сходимость ряда . Примеры. 1. Необходимый признак сходимости ряда выполнен . Сравним общий член этого ряда с общим членом гармонического ряда: . Гармонический ряд расходится, следовательно, ряд тоже расходится. 2. Необходимый признак сходимости ряда выполнен: . Сравним общий член этого ряда с общим членом ряда, который является геометрической прогрессией: Ряд сходится как бесконечная убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем . Ряд сходится, следовательно, ряд тоже сходится. Признак Даламбера Теорема. Пусть дан ряд с положительными членами и пусть существует предел . Тогда, если , то ряд сходится; если , то ряд расходится. Доказательство. 1) Пусть и , докажем, что ряд сходится. По определению предела числовой последовательности для любого существует номер N такой, что при выполняется неравенство . Отсюда следует, что . Возьмем настолько малым, что будет выполнено неравенство . Полагая , получим или для . Получаем: , , . Отсюда по индукции следует, что при произвольном верно неравенство , то есть члены ряда меньше соответствующих членов ряда, составленных из элементов геометрической прогрессии: . Так как , то геометрическая прогрессия сходится. Тогда по признаку сравнения ряд тоже сходится. Но ряд получен из ряда отбрасыванием конечного числа нескольких первых членов, следовательно, ряд тоже сходится. 2) Пусть теперь , докажем, что ряд расходится. Возьмем настолько малым, что будет выполнено неравенство . Тогда при выполняется неравенство или . Таким образом, члены ряда, начиная с некоторого номера, монотонно возрастают, что означает, что общий член ряда не стремится к нулю. Следовательно, согласно необходимому признаку сходимости ряда, ряд расходится. Замечание. При ряд может как сходится, так и расходится. Необходимо дополнительное исследование сходимости с помощью других признаков. Пример 1. Исследовать сходимость ряда Решение. Имеем , , и по признаку Даламбера, . Следовательно, ряд сходится. Пример 2. Исследовать сходимость ряда Решение. Имеем: , , и, по признаку Даламбера, Следовательно, ряд расходится. Пример 3. Исследовать сходимость ряда Решение. По признаку Даламбера, в силу того, что , нельзя сделать вывод о сходимости ряда. Однако мы доказали ранее, что гармонический ряд расходится. Пример 4. Исследовать сходимость ряда Решение. Поскольку и по признаку Даламбера нельзя сделать вывод о сходимости ряда. Но в первой лекции мы не только доказывали, что этот ряд сходится, но и нашли сумму ряда в явном виде. Радикальный признак Коши Теорема. Пусть существует предел . Если , то ряд сходится, если , то ряд расходится. Доказательство. Если , то начиная с некоторого номера N при выполнена оценка , то есть . Ряд является сходящимся рядом, так как это геометрическая прогрессия со знаменателем . В силу признака сравнения, ряд тоже сходится. Если , то начиная с некоторого номера , то есть . Следовательно, необходимый признак сходимости ряда не выполняется, и ряд расходится. Пример. Исследовать сходимость ряда . Решение. Имеем: , и по признаку Коши, Следовательно, ряд сходится. Интегральный признак (Коши) Теорема. Если найдется такая монотонно убывающая положительная функция , что для всех , то тогда из сходимости интеграла следует сходимость ряда , а из расходимости интеграла следует расходимость ряда . Доказательство. Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции , снизу – осью абсцисс, а с боковых сторон – вертикальными прямыми . х 1 2 3 4 5 … n Впишем в трапецию и опишем вокруг нее две ступенчатые фигуры, состоящие из прямоугольников с основаниями и высотами . Поскольку определенный интеграл есть площадь криволинейной трапеции, справедливо соотношение . Поскольку, по предположению, частичная сумма ряда равна , отсюда следует, что  и . Пусть интеграл сходится, то есть существует . Так как , последовательность , возрастает при и ограничена сверху пределом . Следовательно, и последовательность частичных сумм ряда ограничена. Следовательно, сам ряд сходится. Пусть теперь интеграл расходится, то есть . Следовательно, и последовательность частичных сумм ряда расходится. Следовательно, сам ряд расходится. Пример. Исследовать сходимость ряда . Решение. Подберем ряд для сравнения. С учетом неравенств , , выполненных при всех , имеем . Для исследования сходимости ряда воспользуемся интегральным признаком Коши. Положим . Тогда . Следовательно, и ряд , и ряд сходятся. Лекция 3. Знаконепостоянные ряды Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница Теорема. Рассмотрим ряд , где . Если , и при этом , то ряд сходится. Доказательство. Рассмотрим частичную сумму ряда с четным числом членов. Все разности в скобках положительны в силу условия монотонного убывания членов ряда, поэтому последовательность является монотонно возрастающей. Докажем, что она ограничена. Для этого представим в виде Отсюда следует, что , то есть последовательность ограниченная. Мы показали, что последовательность возрастающая и ограниченная, следовательно, она имеет предел . Покажем, что и последовательность частичных сумм с нечетными номерами сходится к тому же пределу S. Справедливо соотношение . Перейдем в этом равенстве к пределу при : . Таким образом, последовательность частичных сумм сходится к пределу S. Это означает, что ряд сходится. Замечание. Для рядов, удовлетворяющих условию Лейбница (то есть знакочередующихся рядов, у которых монотонный предел модуля n–го члена равен нулю), имеется следующая полезная оценка: , то есть остаток ряда, начиная с произвольного члена , по модулю не превосходит этого члена. Условие монотонной сходимости к нулю членов последовательности для ряда в признаке Лейбница существенно. Его нарушение может привести к расходимости знакочередующегося ряда. Пример. Исследовать сходимость ряда . Решение. Ряд является знакочередующимся, и общий член ряда стремится к нулю. Однако ряд расходится: если сгруппировать по два слагаемые в частичных суммах ряда с четными номерами, получится сумма . Эта сумма совпадает с частичной суммой гармонического ряда и поэтому неограниченно растет. Причина, по какой признак Лейбница не может быть применен к рассматриваемому ряду, заключается в том, что условие убывания нарушается при переходе от члена к члену : Абсолютная и условная сходимость рядов До сих пор мы рассматривали ряды, состоящие из неотрицательных членов. Рассмотрим теперь знако − неопределенные ряды — ряды с членами произвольных знаков. . (3.1) Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин ряда (1). . (3.2) Теорема. Если сходится ряд, составленный из модулей, то сходится и исходный ряд. Доказательство. Обозначим частичную сумму ряда (3.1) и частичную сумму ряда (3.2). Так как ряд (3.2) сходится, последовательность частичных сумм имеет предел . При этом , так как члены ряда (3.2) неотрицательны. Обозначим − сумму положительных членов в и − сумму модулей отрицательных членов в . Тогда , . Последовательности и не убывают и являются ограниченными: и . Следовательно, существуют пределы и . И в таком случае, последовательность имеет предел . Значит, ряд (3.1) тоже сходится. Определение. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится и сам ряд, и ряд, составленный из модулей членов ряда. Ряд называется условно сходящимся, если сам ряд сходится, а ряд, составленный из модулей, расходится. Пример 1. Ряд абсолютно сходится, так как сходится и ряд (Оба ряда представляют собой геометрические прогрессии со знаменателями и соответственно.) Пример 2. Ряд условно сходится по признаку Лейбница. А ряд (гармонический ряд) является расходящимся. Приведем один общий признак условной сходимости. Признак Абеля Теорема. Рассмотрим ряд , где ряд сходится, а последовательность монотонна и ограничена. Тогда ряд сходится. Доказательство. Воспользуемся критерием Вейерштрасса. По предположению, ряд сходится, поэтому для любого найдется такое , что при произвольном выполнено неравенство . Рассмотрим сумму и перегруппируем в ней слагаемые: (3.3) Пусть все элементы последовательности принадлежат некоторому отрезку , при этом выполнена оценка . Оценивая модуль суммы (3.3) суммой модулей каждого слагаемого, получим Учитывая оценку , получим По предположению, . Вторая часть суммы в правой части неравенства представляет собой сумму длин отрезков , , …, Поскольку мы предположили, что последовательность монотонна, все эти отрезки в сумме дают отрезок , и тогда сумма их длин оценивается через . Это дает оценку Теперь сходимость ряда следует из критерия Вейерштрасса. Лекция 4. Функциональные ряды Степенные ряды Определение. Функциональным рядом называется выражение вида Для каждого фиксированного значения параметра x сходимость ряда определяется как предел частичных сумм соответствующего числового ряда. Определение. Область сходимости – множество значений х, при которых ряд сходится. Определение. Степенным рядом называется ряд вида (4.1) Теорема Абеля. Если степенной ряд (4.1) сходится при , то он сходится абсолютно при всех х, удовлетворяющих условию . Если степенной ряд (4.1) расходится при , то он расходится при всех х, удовлетворяющих условию . Доказательство. 1) Пусть ряд сходится, а . Из необходимого условия сходимости ряда следует, что . Отсюда следует, что последовательность ограничена: , . Но тогда . 2) Пусть ряд расходится. Если предположить, что для некоторого х, , ряд сходится, в силу пункта 1) ряд также должен сходиться. Это противоречие доказывает, что ряд расходится. Пример. Исследовать сходимость ряда . Решение. Чтобы найти область сходимости ряда, воспользуемся признаком Даламбера. Зафиксируем х и рассмотрим ряд из модулей: Общий член ряда из модулей записывается формулой , тогда , и, следовательно, Согласно признаку Даламбера, при ряд сходится, а при ряд расходится. Интервал сходимости ряда . Исследуем поведение ряда в граничных точках . При получаем: . Поскольку , то необходимое условие сходимости ряда оказывается невыполненным, и ряд расходится. При ряд расходится по той же причине. Таким образом, область сходимости ряда . Свойства степенных рядов Пусть функция является суммой степенного ряда , интервал сходимости которого есть . Тогда говорят, что функция раскладывается в ряд по степеням х на интервале . Приведем два важных свойства степенных рядов без доказательства. Теорема. Если функция раскладывается в степенной ряд на интервале , то она дифференцируема на этом интервале, и её производная может быть найдена почленным дифференцированием: . Аналогично, могут быть вычислены производные любого порядка, при этом соответствующие ряды имеют тот же интервал сходимости. Теорема. Если функция раскладывается в степенной ряд на интервале , то она интегрируема на этом интервале и её интеграл может быть найден почленным интегрированием: (). Теорема. Если функция раскладывается в степенной ряд на интервале , то это разложение единственно. Доказательство. По условию ряд , сходится на , функция является его суммой, следовательно, этот ряд можно почленно дифференцировать на интервале любое число раз. Получим ………………………………… Пусть , тогда , , , , …, . Отсюда находим Все коэффициенты ряда определяются единственным образом, откуда следует утверждение теоремы. Функция разлагается в степенной ряд, который имеет вид Такой ряд называется рядом Маклорена. Для любой бесконечно дифференцируемой функции справедлива формула Маклорена. , где остаточный член имеет вид , (следствие теоремы Ролля). Обозначим частичную сумму ряда Маклорена, тогда . Теорема (без доказательства). Для того, чтобы ряд Маклорена сходился на и имел суммой функцию , необходимо и достаточно, чтобы остаточный член формулы Маклорена стремился к нулю при , то есть для любого Определение. Рядом Тейлора функции в точке называется степенной ряд где . Если значение функции равно сумме ее ряда Тейлора , то функция называется аналитической в точке х. Степенные ряды внутри области сходимости можно почленно дифференцировать и интегрировать: если , то тогда , Задача. Выписать ряд Тейлора функции с центром в точке . Решение. Воспользуемся формулой суммы бесконечной геометрической прогрессии: при . Для этого сначала поделим с остатком числитель дроби на знаменатель: . Далее, где . Следовательно, . Окончательно, Лекция 5. Тригонометрические ряды Ряды Фурье Определение. Рядом Фурье на интервале называется функциональный ряд вида Теорема (без доказательства). Если функция непрерывна (или имеет конечное число разрывов первого рода) на интервале , и ее производная существует всюду, кроме конечного числа точек, и при этом ограничена по модулю , то значение в точках непрерывности равно сумме ряда Фурье , коэффициенты и которого определяются по формулам , , , В точке разрыва функции сумма ряда Фурье равна полусумме левого и правого пределов функции в точке разрыва. Пример. Представить функцию рядом Фурье в интервале . Решение. Имеем: . Окончательно, получаем: . Следующий рисунок иллюстрирует степень приближения функции частичными суммами ее ряда Фурье. Увеличение порядкового номера частичной суммы улучшает приближение функции тригонометрическими функциями. Вот как выглядит гарфик такого приближения для (в частичной сумме оставляем 12 последовательных синусов и косинусов). Представление функции в виде тригонометрического ряда можно использовать для вычисления сумм некоторых числовых рядов в явном виде. Пример. Разложим функцию в ряд Фурье в интервале . Получаем: Следовательно, . Подставляя в это соотношение , с учетом соотношения получим . Лекция 6. Тригонометрические ряды (продолжение) Откуда взялись функции sin nx, cos nx в разложении (точнее, почему именно эти функции появились в качестве базисных, а не какие—нибудь другие), как это связано с интервалом , почему возникла необходимость приближать произвольную функцию f(x) ее рядом Фурье? Казалось бы, достаточно использовать представление функции в виде суммы степенного ряда. Проще всего ответить на вопрос, почему одних степенных рядов для представления более или менее произвольных функций недостаточно, и нужны другие представления. Мы видели, что внутри интервала сходимости ряда Тейлора его сумма равна значению функции f(x), для которой были найдены коэффициенты ряда Тейлора. Но тогда функция f(x) в интервале обязана иметь производные любого порядка, и эти производные можно вычислить в виде сумм соответствующих рядов, дифференцируя исходной ряд Тейлора почленно требуемое число раз. На самом деле, ситуация еще хуже: даже если функция обладает всеми производными, сумма ее ряда Тейлора может не совпадать с исходной функцией нигде, кроме самой точки, по которой строится ряд Тейлора. Самые простые функции (например, , , ) не могут быть представлены в виде суммы степенного ряда (с центром в точке ). Ответ на первый вопрос будет длинным. В принципе, речь идет о возможности разложить более или менее произвольную функцию по базису аналогично тому, как это делается в конечномерном пространстве. Если , то это можно записать в виде , где − единичные взаимно перпендикулярные линейно независимые векторы . Разумеется, произвольную функцию нельзя представить в виде конечной суммы каких–то стандартных функций, но, быть может, существует бесконечная сумма (то есть, функциональный ряд) с таким свойством? Первая попытка построить такое представление привела нас к ряду Тейлора, в котором в качестве базисных функций взяты степени . Использование рядов Фурье для этих целей оказывается более успешным. Введем в пространстве функций , определенных на отрезке , метрику (расстояние между функциями) с помощью формулы . Расстояние между двумя функциями и будет равно . Нетрудно проверить, что так определенное расстояние обладает обычными свойствами расстояния: оно положительно, однородно первой степени, для него выполнено неравенство треугольника, и норма равна нулю, только если функция равна нулю всюду на отрезке , за исключением точек меры 0 (для непрерывных функций или функций с конечным числом разрывов первого рода, это в точности означает, что ). Скалярное произведение, с помощью которого можно определить углы между векторами (функциями), в данной метрике определяется формулой , или, что все равно, . Убедимся, что функции имеют единичную длину и взаимно перпендикулярны. , , , , , . При вычислениях мы пользовались тем фактом, что интеграл от функций , на участке, кратном периоду (), равен нулю. Оказывается, что система функций является полной, то есть, что с их помощью сколь угодно близко в смысле метрики можно аппроксимировать произвольную функцию, для которой имеет смысл интеграл . Поскольку в нашем курсе, в основном, встречаются непрерывные функции и функции с конечным числом разрывов первого рода, мы ограничимся доказательством полноты системы тригонометрических функций именно в этом классе. Прежде всего, интерпретируем по–новому коэффициенты , ряда Фурье функции : , так что . Аналогично, , , . Теперь ряд Фурье для функции может быть записан следующим образом . Обозначим совокупность базисных функций через . Тогда . Обозначим . Справедливо следующее утверждение. Лемма (неравенство Бесселя). . Доказательство. Рассмотрим очевидное неравенство . Раскроем скобки в правой части неравенства, используя свойства скалярного произведения (билинейность, симметричность) и взаимную ортогональность функций , а также то, что . Лемма доказана. Лемма Лебега. Если – функция, непрерывная на , и все коэффициенты ряда Фурье для нее равны нулю, то . Доказательство. Предположим противное: найдется такая точка , что . Без ограничения общности можно считать, что и, поскольку функция непрерывная, есть такой интервал , на котором . Если для произвольной функции , то тогда и для произвольного тригонометрического многочлена , то есть произвольной комбинации синусов и косинусов в конечном числе, . Построим такой тригонометрический многочлен , для которого равенство нулю интеграла невозможно. Рассмотрим функцию . Если , то , в то время как для всех выполнено неравенство . При этом на интервале выполнено неравенство , . Для произвольной степени функция записывается в виде суммы линейных комбинаций синусов и косинусов с кратными аргументами и, следовательно, представляет собой тригонометрический многочлен. Рассмотрим интеграл . Запишем его как сумму интегралов по отрезку и по дополнению отрезка в интервале . Тогда . С другой стороны . При достаточно большом значении p выражение строго больше C, поэтому равенство нулю невозможно. Лемма доказана. Пример. Разложить функцию в ряд Фурье на интервале . В силу леммы Лебега существует единственное представление функции в виде суммы тригонометрического ряда. Поэтому . В частности, , , , остальные коэффициенты ряда Фурье равны 0. В качестве следствия леммы Лебега получаем следующее утверждение. Теорема. Пусть ряд Фурье для непрерывной функции . Если ряд сходится, то для любого . Доказательство. Из условия следует, что сумма тригонометрического ряда является непрерывной функцией от х (мы не будем доказывать этот факт). Но тогда функция является непрерывной и все коэффициенты Фурье для нее равны 0. Следовательно, в силу леммы Лебега, . Можно показать, что условие выполнено, если функция является периодической с периодом 2 и дважды непрерывно дифференцируемой. Действительно, Аналогичная оценка получается для коэффициентов . Отметим, что для функций, для которых имеет место представление (можно показать, что на самом деле такое предельное соотношение имеет место для всех функций , для которых существует интеграл , понимаемый, правда, в более широком смысле, чем интеграл Римана) неравенство Бесселя переходит в равенство (равенство Парсеваля). Тригонометрические ряды для произвольных интервалов Рядом Фурье на интервале называется ряд Он получается из ряда Фурье на интервале заменой переменной (произвольной функции , определенной на , сопоставляется функция , определенная на ). Формулы для коэффициентов ряда Фурье, порождаемого функцией , получаются аналогично: , , , Для произвольного интервала разложение функций по ортогональной полной тригонометрической системе имеет вид где , , , На интервале разложение ряд Фурье имеет вид где , , , Полезно помнить, что для интервала подсчет коэффициентов ряда Фурье упрощается в двух случаях: а) если функция четна (), то все коэффициенты равны 0; б) если функция нечетна (), то все коэффициенты равны 0. Лекция 7. Применение рядов к приближенным вычислениям Пример 1. Вычислить приближенно с точностью до  = 0.001 значение интеграла , используя разложение подынтегральной функции в ряд Тейлора. Решение. Воспользуемся формулой Подставляя вместо , получим: . Интегрируя почленно, получим Чтобы понять, сколько членов ряда нужно взять, чтобы найти сумму ряда с точностью до 0.001, воспользуемся оценкой остатка лейбнициевского ряда: сумма отброшенных слагаемых по модулю не превосходит первого отброшенного числа. Таким образом, остается решить, для какого натурального числа впервые будет выполнено неравенство . Последовательно подставляя в данное неравенство значения , убеждаемся, что впервые неравенство оказывается выполненным при : . В частности, все слагаемые ряда, начиная с , можно отбросить. Ответ: . Пример 2. Используя разложение функции в ряд Тейлора, вычислить число  с точностью до 0.0001. Решение. Для того, чтобы разложить функцию в ряд Тейлора в начале координат, нет нужды подсчитывать значения производных . Достаточно вспомнить, что , разложить функцию в ряд с помощью формулы геометрической прогрессии и проинтегрировать почленно полученный ряд: . Радиус сходимости ряда 1, однако при ряд сходится условно по признаку Лейбница. Поскольку и функция является непрерывной в точке, получаем представление . В этот момент мы сталкиваемся с типичной проблемой для вычислительной математики. Казалось бы, задача решена – мы нашли способ вычислить число  с любой наперед заданной точностью, взяв достаточно большее число членов выписанного ряда. Беда в том, что ряд сходится очень медленно: чтобы модуль первого отброшенного члена ряда оказался меньше заданной точности (), следует вычислить сумму примерно 10000 первых членов ряда. Естественно, при этом начнут накапливаться ошибки округления, ввиду чего каждое слагаемое этой суммы придется вычислять с точностью до . В связи с этим возникает вопрос: как улучшить сходимость ряда? Для этого надо воспользоваться разложением в ряд не для , а для как можно меньшего значения х (тогда ряд будет сходиться, по крайней мере, со скоростью геометрической прогрессии). Итак, обозначим , . Вычислим значение : Следовательно, Имеем: Поскольку , Получаем . Так как , . Окончательно, получаем . Отметим, что на самом деле , то есть, мы, действительно, нашли число  с точностью до . Дифференциальные уравнения Дифференциальным уравнением первого порядка называется любое уравнение вида . Решением дифференциального уравнения называется функция , подстановка которой в соотношение обращает его в тождество: . Если уравнение можно разрешить относительно производной , то говорят, что уравнение записано в нормальной форме: . Поле направлений. У любого дифференциального уравнения обычно бывает бесконечно много решений. Чтобы это наглядно продемонстрировать, рассмотрим график произвольного решения на плоскости . Пусть произвольная точка графика. Найдем уравнение касательной к графику в данной точке. В общем виде уравнение касательной к кривой может быть записано так . В нашем случае , следовательно, уравнение касательной имеет вид . Направляющий вектор касательной равен . Важный факт: касательной вектор к решению дифференциального уравнения в точке мы можем найти, даже не зная самого решения! Определение. Векторное поле (то есть множество векторов на плоскости, “прикрепленных” к каждой точке этой плоскости) называется полем направлений дифференциального уравнения. Решение дифференциального уравнения по отношению к полю направлений является огибающей. Легко понять, что таких огибающих бесконечно много, однако для дифференциальных уравнений с гладкой правой частью через каждую точку плоскости проходит единственная огибающая. Задачей Коши для уравнения называется краевая задача вида . Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши утверждает, что, если функция и её частная производная непрерывны по совокупности аргументов, то найдется такой интервал , на котором имеется, и притом единственное, решение уравнения , для которого . Определение. Общее решение дифференциального уравнения 1го порядка есть соотношение вида такое, что 1) для любого решения уравнения найдется константа , для которой ; 2) для любой константы неявное уравнение определяет некоторое решение дифференциального уравнения . Имеется несколько стандартных уравнений первого порядка, в которых нахождение общего решения сводится к взятию подходящих интегралов. Уравнения с разделяющимися переменными. Эти уравнения имеют вид . Решение уравнения сводится к преобразованию  Теорема. Общее решение дифференциального уравнения может быть записано в виде . Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения Решение. Запишем как и перегруппируем правую и левую части уравнения, так чтобы слева от знака равенства остались члены, зависящие только от , а справа – только от . Вычисляя интеграл от левой части, получим: . Для правой части получаем . Окончательно, . Однородные уравнения. Уравнения имеют вид . Однородное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены ,, откуда следует, что  . Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения Решение. Правая часть уравнения является функцией от , поскольку . Будем искать решение в виде . Тогда , и исходное уравнение можно записать в следующем виде  . Разделяем переменные:  , откуда следует Для первого слагаемого получаем: . Для второго, . Следовательно, . С учетом табличного интеграла , Получаем . Остается вернуться к переменной . Ответ: . Линейные уравнения. Линейные уравнения имеют вид , где и произвольные функции. Для решения линейных уравнений будем использовать метод Бернулли. Он заключается в том, что решение ищется в виде произведения двух функций , одну из которых мы выберем специальным образом. С учетом соотношения , Получим . В качестве возьмем произвольное решение уравнения с разделяющимися переменными . Тогда , и функция есть решение уравнения . Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения Решение. Положим , тогда и мы получаем . Выберем в качестве функции произвольное частное решение уравнения . Тогда уравнение эквивалентно системе двух уравнений Первое уравнение представляет собой уравнение с разделяющимися переменными:   , Откуда . Поскольку нас интересует частное решение этого уравнения, положим . Тогда  . Второе уравнение системы теперь можно записать в виде  , откуда Ответ: Уравнения Бернулли. Уравнения Бернулли либо сводятся к линейным с помощью замены , либо интегрируются с помощью подстановки Бернулли . Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения Решение. Воспользуемся подстановкой Бернулли , , Откуда Приравнивая нулю сумму второго и третьего слагаемых, получим систему Находим частное решение первого уравнения  , Следовательно, . Полагая , получим . Для второго уравнения системы теперь получаем , Откуда  . Для интеграла слева получаем . Для интеграла справа получаем . Следовательно,  . Возвращаясь к , получим Дифференциальным уравнением второго порядка называется любое уравнение вида . Пример. Найти решение уравнения , при следующих начальных условиях . определены и непрерывны  удовлетворяет всем условиям теоремы Коши.  общее решение уравнения. Подставим начальные условия  частное решение. 1 1 Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. 1. Вторую производную можно представить как функцию, зависящую только от . Пример. 2. Вторую производную можно представить как функцию, зависящую только от . Сделаем замену Тогда уравнение сводится к уравнению первого порядка с разделяющимися переменными. Сделаем обратную замену Пример. . Сделаем замену , , . Переобозначая , , получим . 3. Рассмотрим уравнения вида или Понижение порядка в этих уравнениях достигается за счет замены , , откуда получаем . Пример 1. . Получаем , , , , , , , , . Пример 2. . Делаем замену , , Откуда . Это линейное уравнение первого порядка. Решаем его методом Бернулли. , , Откуда . Группируя второе и третье слагаемые и приравнивая их к нулю, получим , , , . Берем частное решение с , , Тогда , , , . Общее решение уравнения имеет вид . Возвращаясь к переменной y, получим , . 4. Уравнения вида . Метод понижения порядка – замена Где , Пример. Делаем замену , . Получаем . Частное решение дает , . Сокращая на z, получим , , , , , , , , откуда окончательно получим . Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Рассмотрим неоднородное уравнение где и константы, а функция в правой части уравнения имеет один из следующих трех видов , , ,  произвольный многочлен степени . Решение такого уравнения может быть получено следующим образом. Для начала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения Квадратное уравнение назовем характеристическим уравнением для нашего уравнения. Пусть , – корни этого квадратного уравнения. Общее решение однородного уравнения имеет вид 1. , если ,  два различных вещественных числа; имеет вид 2. , если и, наконец, решение имеет вид 3. , если ,  комплексносопряженные корни характеристического уравнения. Пример 1. Найти общее решение однородного уравнения.  однородное уравнение.  характеристическое уравнение.  корни характеристического уравнения.  общее решение однородного уравнения. Пример 2. Найти общее решение однородного уравнения. Пример 3. Найти общее решение однородного уравнения. Общее решение неоднородного уравнения может быть получено как сумма общего решения однородного уравнения и произвольного частного решения неоднородного уравнения . Это частное решение можно найти методом неопределенных коэффициентов по следующему правилу. Сопоставим функции в правой части исходного уравнения число . Если не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в том же виде, в каком записана правая часть, то есть если , и в виде если или . Здесь , многочлены степени , коэффициенты которых можно определить, подставив в исходное уравнение и приравняв коэффициенты при одинаковых функциях. Если является корнем характеристического уравнения (эта ситуация называется резонансом), то степень многочленов , увеличивается на 1. Пример. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения. Решение. Сначала найдем общее решение однородного уравнения. Выпишем характеристическое уравнение  Следовательно, общее решение линейного однородного уравнения имеет вид . Поскольку корни характеристического уравнения не совпадают с соответствующим показателем правой части , частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде . Получаем: , Подставляя , , в исходное уравнение, получаем: Сокращая на и приводя подобные, получим , , Откуда  Общее решение неоднородного уравнения имеет, следовательно, вид . Теперь найдем решение задачи Коши. Имеем: , Поскольку , второе уравнение имеет вид . Решаем систему линейных уравнений на неизвестные и : Умножая первое уравнение системы на 2 и вычитая из него второе уравнение, получим:  . Далее, . Ответ: . Пример. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения. Решение. Характеристическое уравнение имеет вид: , откуда , где  мнимая единица. Следовательно, , , и общее решение однородного уравнения есть . Правая часть исходного неоднородного уравнения имеет то же собственное число, что и характеристическое уравнение, следовательно, мы имеем дело с резонансом. Поэтому частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде . Подставляя в исходное уравнение, с учетом того, что , получим: Откуда и, следовательно, , . Таким образом, частным решением неоднородного уравнения является функция . Общее решение неоднородного уравнения может быть записано в виде . Найдем константы и , при которых выполнены краевые условия , . Так как , получаем систему линейных уравнений на и : откуда .