Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность. частные производные. Дифференцируемость ФНП

ТEMA 1. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФНП 1. Ограниченные и замкнутые множества Положение точки на прямой определяется однозначно одним числом, ее координатой. Существует, таким образом, взаимно однозначное соответствие между точками прямой и вещественными числами. Теперь, если ввести прямоугольную систему координат OXY Z в пространстве, то вместо тройки чисел x, y, z мы можем говорить о точке M пространства с координатами x, y, z (трехмерное пространство). Аналогично можно определить точку n -мерного пространства как упорядоченную последовательность из n вещественных чисел (x1 , ..., xn ). Определение 1. Пространство, в котором расстояние между двумя точками A(x1 , ..., xn ) и B(y1 , ..., yn ) определяется равенством p d = (x1 − y1 )2 + ... + (xn − yn )2 , называется n -мерным евклидовым пространством и обозначается R или Rn . Для характеристики множеств в пространствах любого числа измерений вводятся понятия открытости, связности, замкнутости, ограниченности и, наконец, понятие области. Приведем пояснения этих понятий на примере множества точек плоскости. Определение 2. Любой открытый круг, т. е. круг без окружности, радиуса δ с центром в точке M0 (x0 , y0 ), называется δ -окрестностью точки M0 . Следовательно, окрестность точки M0 — это множество всех точек координатами (x, y), удовлетворяющих неравенству M с −−−→ (x − x0 )2 + (y − y0 )2 < δ 2 , .. |M M0 | < δ. Определение 3. Точка M ∈ G называется внутренней точкой множества G, если существует открытый круг с центром в этой точке, полностью принадлежащий G. Определение 4. Множество внутренние. называется открытым, если все его точки Определение 5. Множество называется связным, если любые его две точки могут быть соединены ломаной линией, все точки которой принадлежат данному множеству. Определение 6. Связное открытое множество называется областью. 1 Определение 7. Граничной точкой множества называется точка, в любой окрестности которой есть точки, как принадлежащие данному множеству, так и не принадлежащие ему. Совокупность всех граничных точек называется границей этого множества. Пример 1. Границей круга является окружность. Определение 8. Замкнутой областью называется множество, состоящее из всех точек области и ее границы. Пример 2. а) Замкнутый круг — это круг вместе с его окружностью. б) Пустое множество ∅ есть множество открытое и замкнутое. Определение 9. Множество называется ограниченным, если можно указать такой круг, внутри которого расположены все точки данного множества. Пример 3. Все пространство Rn является неограниченным, но одновременно открытым и замкнутым множеством. Пример 4. Множество точек M (x1 , ..., xn ) , определяемое неравенством (x1 − x01 )2 + (x2 − x02 )2 + ... + (xn − x0n )2 ≤ r2 ( < r2 ), если M0 (x01 , ..., x0n ) есть фиксированная точка, а r — постоянное положительное число, образует замкнутый (или открытый) n -мерный шар радиуса r с центром в M0 . Другими словами шар есть множество точек M , расстояние от которых до некоторой постоянной точки M0 не превосходит (или меньше) r. Очевидно, что этому шару при n = 2 отвечает круг, а при n = 3 — обыкновенный шар. Замечание 1. Открытый шар любого радиуса r > 0 с центром в точке M0 (x01 , ..., x0n ) можно также рассматривать как окрестность этой точки. 2. Задачи, приводящие к понятию функции нескольких переменных. Определения Как известно, если через x и y обозначить длины сторон прямоугольника, а через S — его площадь, то S = x · y. (1) При изменении x и y меняется и площадь S. В этом случае говорят, что площадь S есть функция двух переменных x, y, заданная формулой (1). Аналогично, если x, y, z — длины ребер при вершине прямоугольного параллелепипеда, то его объем V вычисляется по формуле V = x · y · z. (2) Изменяя x, y, z в формуле (2), будем получать различные значения для V, т. е. V есть функция трех переменных x, y, z, заданная формулой (2). 2 При изучении свойств нагретого тела температура его является обычно переменной величиной, зависящей от точки, в которой измеряется температура, и от момента времени, в который производится измерение. Обозначим через T измеряемую температуру, через M — точку, в которой измеряется температура, и через t — момент времени, в который измеряется температура. Тогда зависимость температуры T от переменной точки M и времени t обозначается следующим образом: T = f (M, t). В этом случае говорят, что температура есть функция точки M и времени t. Пусть точка M имеет координаты x, y, z. Тогда зависимость температуры от координат точки и момента времени t обозначается так: T = f (x, y, z, t), т. е. температура есть функция от четырех переменных x, y, z, t. Эти переменные являются независимыми, они могут принимать любые допустимые значения. Переменная T является зависимой переменной, значения которой определяются значениями независимых переменных x, y, z, t. Определения функций двух и трех переменных легко переносятся на случай любого числа переменных. Определение 10. Переменная u называется функцией n переменных x 1 , x 2 , ..., x n , если каждой системе n чисел ( x 1 , x 2 , ..., x n ) из некоторого множества D по определенному правилу или закону ставится в соответствие одно или несколько значений переменной u (эти значения составляют множество G ). При этом переменные x1 , x2 , ..., xn называются независимыми переменными, или аргументами, а переменная u — зависимой переменной, или функцией (точнее многозначной, если принимает несколько значений), а множество D называется областью определения функции, множество G — областью изменения функции (или областью значений). Обозначаются функции нескольких переменных (ФНП) так: u = f (x1 , x2 , ..., xn ) = f (~x) или u = u(~x). y 6 D2 -2 -1 D1 1 1 2 3 - x -1 Рис. 1 Замечание 2. Нахождение области определения ФНП аналогично ее нахождению для функций одной переменной. Пример 5. Найти область определения следующих функций: √ 2 4x−y а) z = ln(1 + x − y 2 ) ; б) z = ln(1−x2 −y2 ) . Решение: а) так как логарифмическая функция определена только для положительного аргумента, то решение сводится к нахождению области значений x и y , удовлетворяющих неравенству 1 + x − y 2 > 0 , или y 2 < 1 + x . Построим на плоскости кривую y 2 = 1 + x (рис. 1). Это симметричная относительно оси OX парабола, ветви которой направлены вправо и вершина которой имеет координаты (-1,0). Парабола y 2 = 1 + x разбила всю плоскость на две области: D1 — "внутренность"параболы и D2 — “внешность” параболы. Чтобы определить, какая из них является областью определения функции z = ln(1 + x − y 2 ) , возьмем произвольную точку M и ее координаты подставим в y 2 < 1 + x . Если в результате получим верное неравенство, то и все точки области, содержащей M , будут удовлетворять этому неравенству. 3 Пусть M — точка с координатами (0,0). Тогда 02 < 1 + 0 , или 0 < 1 , — верное неравенство. Таким образом, D1 является областью определения функции z = ln(1 + x − y 2 ) . Сама парабола в область определения не входит, так как неравенство строгое; б) найдем отдельно области определения функций z1 = p y 4x − y 2 и z2 = ln(1 − x − y 2 ) так, как это делалось в пункте 6 '$ а). Областью определения z1 является "внутренность"параболы 4x = y 2 и сама парабола. Функция z2 определена√в круге x2 +y 2 < 1 x 4x−y 2 &% 1 . Тогда областью определения функции z = ln(1−x2 −y2 ) является область D , изображенная на рис. 2, причем точка (0,0) в D не Рис. 2 входит, поскольку знаменатель ln(1 − x2 − y 2 ) обращается там в нуль. Замечание 3. Изобразить функцию трех и более переменных с помощью графика нельзя. Для наглядного изучения функций трех переменных используются так называемые поверхности уровня функции. Определение 11. Поверхностью уровня функции u = f (x, y, z) называется геометрическое место точек пространства, в которых функция принимает одно и то же значение c . Уравнение поверхности уровня: f (x, y, z) = c. Изменяя c , получаем различные поверхности уровня. По их взаимному расположению можно судить о характере поведения функции. 2 2 z2 Пример 6. Для функции u(x, y, z) = x4 + y9 + 16 поверхностями уровня будут поверхности x2 y 2 z 2 + + = c, 4 9 16 √ √ √ т. е. эллипсоиды с полуосями 2 c, 3 c, 4 c. Определение 12. Линией уровня функции z = f (x, y) называется геометрическое место точек плоскости, в которых функция принимает одно и то же постоянное значение c . Ее уравнение имеет вид f (x, y) = c. Пример 7. Линиями уровня функции√ z = 1 − x2 − y 2 будут линии с уравнениями 1−x2 −y 2 = c, т. е. окружности с радиусом 1 − c, а при c = 0 — окружность x2 +y 2 = 1. Пример 8. Линии уровня — линии одинаковых температур (изотермы), линии равного давления (изобары) и т. д. Замечание 4. Далее мы будем, как правило, рассматривать функции лишь двух или трех переменных, имея в виду, что перенос определений и полученных результатов на функции большего числа переменных представляет собой лишь технические трудности. 4 3. Предел и непрерывность функций нескольких переменных Определение 13. Функция f (~x) = f (x1 , x2 , ..., xn ) имеет в точке ~x0 = предел, равный A, если она определена в некоторой окрестности точки ~x , за исключением, быть может, самой точки ~x0 , и для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что |f (~x) − A| < ε (x01 , x02 , ..., x0n ) для всех ~x, удовлетворяющих неравенствам 0 < |~x − ~x0 | < δ. Записывается это так: lim f (~x) = lim f (x1 , x2 , ..., xn ) = A. ~ x→~ x0 xj →x0j j=1,...,n Для двух переменных это можно записать как lim f (x, y) = A. x→x0 y→y0 Замечание 5. Основные теоремы о пределах функций одной переменной справедливы и для функций двух и большего числа переменных (о пределе суммы, произведения и частного). Определение 14. Функция f (~x) = f (x1 , x2 , ..., xn ) называется непрерывной в точке ~x (x01 , x02 , ..., x0n ), если она определена в некоторой ее окрестности, в том числе и в самой точке ~x0 , и если предел ее в точке ~x0 равен ее значению в ней: lim f (~x) = f (~x0 ) ~ x→~ x0 (предел функции в точке равен значению функции в этой точке). В случае двух переменных lim f (x, y) = f (x0 , y 0 ). x→x0 y→y0 Определение 15. Функция называется непрерывной на некотором множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества. Пример 9. Найти предел функции sin xy x→0 x lim y→2 Решение. Так как sin 2x ∼ 2x при x → 0 , 2x sin xy = lim = 2. x→0 x x→0 x lim y→2 5 Пример 10. Найти точки разрыва функции z= xy + 1 x2 − y Решение. Функция потеряет смысл, если знаменатель обратится в нуль. Но x2 − y = 0 или y = x2 — уравнение параболы. Следовательно, данная функция имеет линией разрыва параболу y = x2 . x Пример 11. Доказать, что функция f (x, y) = x2 −y 2 непрерывна в любой точке ее области определения. Доказательство. Данная функция определена во всех точках (x, y), кроме тех, у которых x2 = y 2 . Пусть (x0 , y0 ) — некоторая точка из области определения функции, т. е. x20 6= y02 . Выберем произвольную последовательность точек {xn , yn }, такую, что x2n 6= yn2 и xn → x0 , yn → y0 при n → ∞, тогда по свойству предела последовательности имеем lim f (xn , yn ) = lim n→∞ n→∞ x2 n xn x0 = f (x0 , y0 ). = 2 2 x0 − y02 − yn Следовательно, данная функция непрерывна в произвольной точке (x0 , y0 ) из области определения. Замечание 6. Как и для функций одной переменной для функций нескольких переменных доказываются следующие утверждения: 1) сумма и произведение двух непрерывных в некоторой области G функций являются непрерывными в области G функциями; 2) отношение двух непрерывных в области G функций является непрерывной функцией во всех точках области G, в которых знаменатель не обращается в нуль. 4. Частные производные. Геометрический смысл Рассмотрим функцию z = f (x, y) , определенную в некоторой окрестности точки M0 (x0 , y0 ). При фиксированном значении переменной y, например y = y0 , функция z = f (x, y0 ), очевидно, является уже функцией одной переменной x. Определение 16. Производная функции f (x, y0 ) по переменной x в точке (x0 , y0 ) называется частной производной по x от функции f (x, y) в точке (x0 , y0 ) : f (x, y0 ) − f (x0 , y0 ) ∂f (x0 , y0 ) = lim . x→x0 ∂x x − x0 Аналогично определяется производная функции f (x, y) по переменной y в точке (x0 , y0 ) : f (x0 , y) − f (x0 , y0 ) ∂f (x0 , y0 ) = lim . y→y0 ∂y y − y0 Для частных производных по переменным x и y часто используются и другие обозначения: ∂f (x0 , y0 ) ∂f (x0 , y0 ) = fx0 (x0 , y0 ), = fy0 (x0 , y0 ). ∂x ∂y 6 Коротко определение частных производных можно сформулировать так: fx0 — это производная по переменной x функции f (x, y) при фиксированной переменной y, а fy0 — это производная по y функции f (x, y) при фиксированном x. Отсюда следует, что частные производные находятся по обычным правилам дифференцирования функции одной переменной. При дифференцировании, например, по переменной x переменную y следует считать постоянной. Пример 12. Если f (x, y) = x2 y 3 , то fx0 = (x2 y 3 )0x = 2xy 3 , fy0 = (x2 y 3 )0y = 3x2 y 2 ; Пример 13. Если z = x2 y + x sin xy, то ∂z ∂ 2 ∂ = (x y + x sin xy) = 2xy + (x · sin xy) = 2xy + sin xy + xy cos xy; ∂x ∂x ∂x ∂z ∂ 2 = (x y + x sin xy) = x2 + x2 cos xy. ∂y ∂y Частные производные fx0 (x, y), fy0 (x, y) являются функциями двух переменных, поэтому для них также можно рассматривать частные производные. Определение 17. Частные производные от частных производных называются частными производными второго порядка функции f (x, y). ∂f ∂x и ∂f ∂y Функция f (x, y) имеет четыре частные производные второго порядка µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ ∂ ∂f ∂ ∂f ∂ ∂f ∂ ∂f , , , . ∂x ∂x ∂y ∂x ∂x ∂y ∂y ∂y Частные производные второго порядка обозначаются соответственно: ∂ 2f ∂2f ∂ 2f ∂ 2f , , , . ∂x2 ∂x∂y ∂y∂x ∂y 2 Частные производные порядка. ∂2f ∂x∂y и ∂2f ∂y∂x называются смешанными производными второго Замечание 7. Можно доказать, что если функция z = f (x, y) имеет непрерывные смешанные производные, то эти производные равны, т. е. ∂ 2f ∂2f = . ∂x∂y ∂y∂x Пример 14. Найти частные производные второго порядка от функции f (x, y) = x2 y + y 3 . Решение. Последовательно находим ∂f ∂f = 2xy, = x2 + 3y 2 , ∂x ∂y ∂ 2f ∂ 2f ∂ 2f ∂ 2f = 2y, = 2x, = 2x, = 6y. ∂x2 ∂x∂y ∂y∂x ∂y 2 7 Нам известно, что функция z = f (x, y) геометрически может быть представлена как поверхность в пространстве, в котором введена прямоугольная система координат OXY Z (рис. 3) Обозначим буквой A некоторую точку рассматриваемой поверхности с координатами x0 , y0 и z0 = f (x0 , y0 ). Проведем через точку A плоскость, параллельную координатной плоскости XOZ. Уравнение ее имеет вид y = y0 . В пересечении этой плоскости и данной поверхности получаем кривую, проходящую через точку A(x0 , y0 , z0 ) и принадлежащую поверхности. Эта кривая в плоскости y = y0 имеет уравнение z = f (x, y0 ) (3) — функция одной переменной. Угловой коэффициент касательной к кривой (3) в точке с координатами (x0 , y0 , z0 ) будет ∂f kx = (x0 , y0 ) ∂x (геометрический смысл производной функции одной переменной). Точно таким же способом можно показать, что угловой коэффициент z 6 .. .. .. ........... ........... ........... ¡ ......... ......... ......... касательной к сечению данной ........ ........ ........ ....... ....... ....... . . . ¡ . . . . . . . . . . . . . . ..... ....... ....... ...... ...... ...... A .......¡ поверхности плоскостью, параллельной ...... ...... ...... z0 .... .... .. .. .. . . . ¡ ... ... ... координатной плоскости ZOY, в точке .. ... ... ... ... ¡....... .. . .... ... .. (x0 , y0 , z0 ) будет ¡ ....... .. .. .. .. .. ky = ∂f (x0 , y0 ). ∂y Таким образом, первые частные производные от функции z = f (x, y) в точке (x0 , y0 ) дают угловые коэффициенты касательных к линиям пересечения поверхности z = f (x, y) с плоскостями, параллельными соответствующим координатным плоскостям и проходящими через точку A(x0 , y0 , z0 ). 5. .. .. Дифференцируемость ФНП y0 O ¡ ¡ x0 ¡ ¡ ¡ x ¡ ¡ ¡ ª y- ¡ (x0 , y0 ) ¡ ¡ ¡ Рис. 3 и полный дифференциал Рассмотрим приращение функции u = f (x, y) в точке M (x, y), соответствующее приращениям аргументов ∆x и ∆y : ∆u = f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y). Определение 18. Функция u = f (x, y) называется дифференцируемой в точке M (x, y), если ее приращение в данной точке можно представить в виде ∆u = A∆x + B∆y + α1 ∆x + α2 ∆y, 8 (4) здесь A и B — не зависящие от ∆x и ∆y некоторые числа, а α1 (∆x, ∆y) и α2 (∆x, ∆y) — зависящие от ∆x и ∆y бесконечно малые функции при ∆x, ∆y → 0. (Обратите внимание на аналогию с определением дифференцируемости для функции одной переменной). Замечание p8. Часто α1 ∆x + α2 ∆y обозначают через O(ρ), т. е. α1 ∆x + α2 ∆y = O(ρ), где ρ = ∆x2 + ∆y 2 , (ρ → 0). Первые два слагаемых в выражении (4) называются главной линейной частью приращения функции в точке (x, y) (линейные относительно ∆x и ∆y ). Определение 19. Дифференциалом функции двух переменных называется главная линейная часть ее приращения. Дифференциал функции u = f (x, y) обозначается символом du. Таким образом, дифференциал функции u = f (x, y) определяется формулой du = A∆x + B∆y. (5) Частным дифференциалом по x функции u = f (x, y) называется главная линейная часть частного приращения ∆x u = f (x + ∆x, y) − f (x, y) . Аналогично определяется частный дифференциал по y . Теорема 1 Если функция непрерывна в этой точке. f (x, y) дифференцируема в точке (x, y), то она Доказательство. Если функция f (x, y) дифференцируема в точке (x, y), то, как следует из соотношения (4), lim∆x→0,∆y→0 ∆u = 0, а это значит, что функция f (x, y) непрерывна в точке (x, y) по определению. Теорема доказана. Докажем необходимое условие дифференцируемости функции в точке. Теорема 2 Если функция f (x, y) дифференцируема в точке (x, y), то данная функция имеет частные производные по x и y в данной точке и коэффициенты A и B главной линейной части приращения функции вычисляются по формулам A= ∂f (x, y) , ∂x B= ∂f (x, y) . ∂y Доказательство. По условию теоремы функция u = f (x, y) является дифференцируемой в точке (x, y). Это значит, что ее приращение может быть представлено в виде (4). Так как приращения аргументов ∆x и ∆y являются произвольными, то положим в равенстве приращение аргумента y равным нулю, т. е. ∆y = 0. Тогда (4) принимает вид ∆x u = A∆x + α1 ∆x. (6) Символом ∆x u мы обозначим частное приращение функции u, соответствующее приращению аргумента x, равному ∆x, и приращению аргумента y, равному нулю: ∆x u = f (x + ∆x, y) − f (x, y). 9 Разделим правую и левую части равенства (6) на ∆x и перейдем к пределу при ∆x → 0 : ∆x u = lim (A + α1 ). ∆x→0 ∆x ∆x→0 lim (7) Функция α1 по условию теоремы является бесконечно малой, т. е. она стремится к нулю, когда ∆x → 0. Коэффициент A от ∆x не зависит. Вычисляем пределы в равенстве (7) и получаем ∆x u f (x + ∆x, y) − f (x, y) ∂f (x, y) A = lim = lim = . ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x ∂x Таким образом, коэффициент A равен частной производной по переменной x функции u в точке (x, y). Проведя аналогичные рассуждения по отношению к независимой переменной y, получим для коэффициента B выражение B= ∆f (x, y) . ∂y Тем самым теорема доказана. Как следствие теоремы получим простую формулу для вычисления дифференциала. Для этого подставим в выражение (5) вместо коэффициентов A и B их выражения через частные производные: ∂f ∂f du = ∆x + ∆y. (8) ∂x ∂y Приращения независимых переменных ∆x и ∆y, как и для одного переменного, будут dx и dy. Действительно, полагая u = x, т. е. f (x, y) ≡ x, получаем du = dx = 1 · ∆x + 0 · ∆y и dx = ∆x. Аналогично, полагая u = y, т. е. f (x, y) ≡ y, получаем du = dy = 0 · ∆x + 1 · ∆y и dy = ∆y. В результате получим выражение для полного дифференциала: du = ∂f ∂f dx + dy ∂x ∂y du = ∂u ∂u dx + dy. ∂x ∂y или Очевидно, что полный дифференциал равен сумме частных дифференциалов: du = dx u + dy u, dx u = ∂u ∂u dx, dy u = dy. ∂x ∂y Замечание 9. Если u = f (x1 , x2 , ..., xn ), то, по аналогии, du = ∂u ∂u ∂u dx1 + dx2 + ... + dxn . ∂x1 ∂x2 ∂xn 10 Замечание 10. В формуле (4) отбросив члены с бесконечно малыми α1 и α2 , получим приближенное равенство ∆u ≈ A∆x + B∆y. Если учесть равенство (5), то ∆u ≈ du, а из равенства (8) получаем ∆u ≈ ∂f ∂f ∆x + ∆y. ∂x ∂y Эта формула, записанная в виде f (x + ∆x, y + ∆y) ≈ f (x, y) + ∂f ∂f ∆x + ∆y, ∂x ∂y используется в приближенных вычислениях. Для того чтобы функция двух переменных была дифференцируема в данной точке, на нее, в отличие от функции одной переменной, надо наложить более жесткие требования, чем существование частных производных в этой точке. Теорема 3 Если в некоторой окрестности точки (x, y) существуют производные fx0 (x, y) и fy0 (x, y) функции u = f (x, y) и эти производные непрерывны в самой точке (x, y), то функция f (x, y) дифференцируема в этой точке. (Без доказательства.) Замечание 11. Для любых двух дифференцируемых функций v и u справедливы равенства: d(u ± v) = du ± dv, d(u · v) = udv + vdu, ³ u ´ vdu − udv d = (v 6= 0). v v2 Пример 15. Найти частные дифференциалы и полный дифференциал функции z = sin2 x + cos2 y Решение. Найдем частные производные функции: ∂z ∂z = 2 sin x cos x, = −2 cos y sin y. ∂x ∂y Тогда частные дифференциалы равны dx z = sin 2xdx, dy z = − sin 2ydy, а полный дифференциал равен dz = sin 2xdx − sin 2ydy. 11