Физика

Лекции ПО ДИСЦИПЛИНЕ ФИЗИКА Москва ФИЗИКА – наука о строении неживой материи, ее свойствах, структуре, движении о силах вызывающих это движение, их взаимосвязи и действующих при этом закономерностях. Физика изучает простые и вместе с тем наиболее общие закономерности явлений природы, свойства и строение материи и законы ее движения Физика является основой естествознания. Физические понятия являются простейшими и в то же время основополагающими и всеобщими в естествознании (пространство, время, движение, масса, работа, энергия и т.д.). Физика относится к точным наукам и изучает количественные закономерности явлений. Она является наукой экспериментальной. Многие ее законы основываются на фактах установленных опытным путем. Техника – вся совокупность средств и устройств, созданных человеком, содействующая более высокой производительности труда, основана на науке. Практическое использование фундаментальных открытий в физике привело к появлению отдельных отраслей техники (теплотехника, радиотехника, электроника, ядерная энергетика, современные информационные и коммуникационные технологии) РАЗДЕЛЫ ФИЗИКИ Раздел Классическая механика Типичные явления (процессы) Явления и процессы, связанные с механическим движением тел со скоростями, значительно меньшими скорости света v<< c. Молекулярная Зависимость строения физических свойств вещества от физика и характера движения и взаимодействия между термодинамика частицами, из которых состоят тела. Явления и процессы, при которых наблюдаются изменения температуры, а также процессы превращения тепловой энергии в другие виды энергии и наоборот. Электромагнетизм Учение об электричестве и магнетизме, явления и процессы, связанные с электрическими зарядами, находящимися в покое или движении. Оптика Закономерности излучения, поглощения и распространения света. Явления и процессы, связанные с распространением света в вакууме и в веществах как части электромагнитного излучения в диапазоне от инфракрасного до ультрафиолетового, включая видимый свет. Атомная физика Строение атомов, их структура и взаимодействие между собой. Ядерная физика Строение и структура атомных ядер, их свойства и превращения, радиоактивность, расщепление ядер и ядерные реакции (ядерный синтез). Квантовая физика Процессы и законы взаимодействия вещества и поля на молекулярном и атомарном уровне. Физика Субатомарный мир и его структура, возникновение элементарных элементарных частиц, их взаимодействия и частиц взаимопревращения. Физика твердого Механические, термические, оптические, магнитные и тела электрические свойства твердых тел. Теория Исследование связи времени, пространства и движения относительности на основе постулата о постоянстве скорости света в вакууме и инвариантности механических законов во всех замкнутых инерциальных системах (специальная теория относительности) (v≈ с), а также зависимости метрических структур пространства от распределения массы в космосе (общая теория относительности)/ ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН К. Гаусс показал, что для построения системы единиц физических величин достаточно выбрать несколько независимых друг от друга единиц. Эти единицы называют основными. Единицы физических величин, которые определяются по уравнениям с помощью основных величин, называют производными. Совокупность основных и производных единиц называют системой единиц. В 1960 г. на ХI Генеральной конференции по мерам и весам (ГКМВ) было принято решение об установлении для международных сношений практической системы единиц, получившей международное наименование SI, в русской транскрипции СИ. Международная система единиц состоит из семи основных единиц, двух дополнительных и большого числа производных единиц. За основные приняты следующие единицы: Метр (м) — длина, равная расстоянию, проходимому плоской электромагнитной волной за 1/299792458 долю секунды в вакууме Килограмм (кг) — единица массы — представлен массой международного прототипа килограмма. Секунда (с)— время, равное 9 192 631 770 периодам излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133. Ампер (А)— сила не изменяющегося тока, который при прохождении по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малой площади поперечного сечения, расположенным в вакууме на расстоянии 1 м один от другого вызвал бы на каждом участке проводника длиной 1 м силу взаимодействия. равную 2.10 7 Н. Кельвин (К)— единица температуры, равная 1/273,16 термодинамической температуры тройной точки воды. Моль — количество вещества системы, содержащей столько же структурных элементов, сколько содержится атомов в углероде-12 массой 0,012 кг. Кандела (кд)— сила света, испускаемого с поверхности площадью 1/17600000 м2 полного излучателя в перпендикулярном направлении при температуре излучателя, равной температуре затвердевания платины при давлении 101 325 Па. Вспомогательные единицы: радиан (рад)- -центральный угол, длина дуги которого равна радиусу, т. е. если l=r, то  = 1 рад. стерадиан (ср) — пространственный (телесный) угол с вершиной в центре cферы, вырезающий на ней часть, площадь которой равна квадрату радиуса. Для образования производных единиц из основных используют уравнения связи между единицами. Числовые коэффициенты в них полагают равными единице, а величины выражают в основных единицах СИ. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ КОНСТАНТЫ Гравитационная постоянная м3 G = 6,672･1011 2 кг  с Постоянная Авогадро NA = 6,022･10 моль-1 Постоянная Больцмана k =1,38･10-23 Дж/К Универсальная газовая постоянная R = 8,314 23 Дж моль  К Молярный объем идеального газа при нормальных условиях Элементарный заряд (заряд электрона) V  =2,241･10-2 м3/моль Масса покоя электрона mе= 9,10953･10-31 кг Масса покоя нейтрона mn=1,67495 ･10-27 кг Масса покоя протона mp =1,67265･10-27 кг F = 96484,56 Кл/моль Постоянная Фарадея Электрическая постоянная е= 1,602･10 -19 Кл  0 =8,85･10-12 Ф/м Магнитная постоянная  0 = 4  ･10-7 Гн/м Скорость света в вакууме с = 2,998･108 м/с ≈3.108 м/с Постоянная Планка h = 6,626･10 -34 Дж･с R = 10967758 м-1 Постоянная Ридберга РАЗДЕЛ 1. КЛАССИЧЕСКАЯ И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА Механика изучает механическое движение, условия и причины вызывающие данное движение, а также условия равновесия тел. Принципы механики были впервые сформулированы великим английским ученым Исааком Ньютоном (1643 - 1727) в его основном труде "Математические начала натуральной философии", которая была опубликована в 1687 г. И.Ньютон имел много крупных предшественников Архимеда (287 - 212 г. до н. э.), И. Кеплера (1571 -1630), Г.Галилея (1564 1642), Х. Гюйгенса (1629 - 1695) и др., решивших немало частных вопросов статики и отчасти динамики. Однако И. Ньютон первый сформулировал полную систему принципов механики и на их основе воздвиг стройное здание этой науки. В механике Ньютон сформулировал три закона движения и закон всемирного тяготения. Под медленным или нерелятивистским движением понимают движение, скорости которых малы по сравнению со скоростью света в вакууме. Под механикой Ньютона понимают классическую механику, в которой рассматриваются медленные или нерелятивистские движения макроскопических тел, совершающиеся со скоростями, во много раз меньше скорости света v<<с = 300 000 км/с. Теория относительности А. Эйнштейна (1905 г.) предсказала, а опыт подтвердил что механика Ньютона не может быть применима к движению частиц, скорость которых близка к скорости света. На основе теории относительности была создана новая механика, которая применима не только к медленным, но и к движению тел со скоростями близкими к скорости света, которые называют быстрыми или релятивистскими. Она называется релятивисткой механикой или специальной теорией относительности. Механическим движением называется изменение положения тела или частей тела с течением времени относительно других тел. Основной задачей механики является определение положения тела в любой момент времени. Механика состоит из трех разделов: кинематики, динамики и статики. Кинематика изучает движение тел, не рассматривая причин, вызывающих это движение. Динамика рассматривает законы движения тел и причины, вызывающие, или изменяющие это движение. Статика рассматривает условия равновесия тела или системы тел. В механике пользуются следующими моделями: материальная точка, абсолютно твердое тело, идеальная жидкость. Материальной точкой называется тело, размерами и формой которого в данных условиях можно пренебречь по сравнению с рассматриваемым расстоянием. Виды механического движения: поступательное, вращательное и колебательное. 1. КИНЕМАТИКА 1.1. Кинематика поступательного движения материальной точки Поступательным движением называется движение, при котором любая прямая, соединяющая какие-либо две точки тела остается параллельной самой себе. Из этого следует, что все точки тела при поступательном движении движутся одинаково, т. е. с одинаковыми скоростями и ускорениями. Тело, относительно которого рассматривается движение, называется телом отсчета. На теле отсчета выбирается точка отсчета. Точка отсчета и проведенные через нее координатные оси образуют систему координат. Совокупность системы координат и выбранного способа отсчета времени (хронометраж) называется системой отсчета. Рисунок 1.1 Рисунок 1.2 Рисунок 1.3 Линия, вдоль которой движется материальная точка в пространстве, называется траекторией. По виду траектории движения делятся на прямолинейные и криволинейные, а по характеру изменения скорости на равномерные и неравномерные. Положение материальной точки М в декартовой системе координат  определяется 3-мя координатами (х, y, z) или же радиус-вектором r , проведенным из начала отсчета О координат до точки М (рис.1.1). Радиус-вектор материальной точки     r  xi  yj  zk , (1.1) направленные по осям прямоугольной системы координат, x, y, z – координаты точки. Пройденным путем Δs называется отрезок траектории, проходимый материальной точкой заданный промежуток времени t (рис. 1.2). Путь является скалярной величиной, равной длине участка траектории, пройденного материальной точкой за данный промежуток времени. При движении материальной точки положение ее радиус-вектора в пространстве изменяется.    Разность, радиус-векторов r  r  r0 , характеризующих начальное и конечное положение материальной точки, движущейся в течение времени t  t  t0 , называется вектором перемещения (перемещением). Таким образом, перемещением называется вектор, соединяющий начальное и конечное положение точки (рис. 1.2). Kинематическим уравнением движения материальной точки называется зависимость радиус-вектора от времени:     r (t )  x(t )i  y(t ) j  z (t )k , (1.2)    где i , j , k единичные векторы – орты, где x(t), y(t), z(t) – функции, выражающие зависимость координат точки от времени t. Пример записи уравнения движения:     r (t )  2t 2 i  t 3 j  3tk ; x(t )  2t 2 ; y (t )  t 3 ; z (t )  3t Скорость - векторная величина, которая характеризует быстроту и направление движения. Вектором средней скорости называется векторная величина равная  отношению перемещения (приращения радиус-вектора) Δ r к промежутку времени Δt., в течение которого этоперемещение совершено:  r    t (1.3) Вектор средней скорости сонаправлен с вектором перемещения, то есть направлен по секущей. Средней путевой скоростью называется скалярная величина равная отношению пройденного пути Δs к промежутку времени Δt., в течении которого этот путь пройден:    s t (1.4) Скоростью в момент времени t (мгновенной скоростью): называется векторная величина, равная пределу, к которому стремится вектора средней скорости, когда промежуток времени стремится к нулю, т. е. первая производная от радиус-вектора по времени:       lim    lim t  0 t  0 r d r  t dt (1.5) Единица измерения скорости - метр/секунда (м/с). Скорость в каждой точке направлена по касательной к траектории (рис. 1.3). Ускорение – векторная величина, определяющая быстроту изменения скорости по модулю и по направлению. Средним ускорением называется векторная величина, равная  отношению приращения скорости Δ к промежутку времени Δt, за которое это изменение произошло:     a  t . (1.6) Ускорение характеризует быстроту изменения скорости, это векторная величина, равная пределу, к которому стремится среднее ускорение, когда рассматриваемый промежуток времени стремится к нулю, т.е. первая производная от скорости по времени или вторая производная от радиус-вектора по времени:       d d 2 r  a  lim  a  lim   2 t 0 t 0 t dt dt (1.7)    Вектор ускорения a раскладывают на две составляющие a и a n которые направлены по касательной к траектории и по нормали (рис 1.2)    a  a  a n a  a2  an2 (1.8)  Составляющая a называется тангенциальным (касательным) ускорением точки, она направлена по касательной траектории и определяет быстроту изменения модуля скорости: a  d dt (1.9)  Составляющая a n называется нормальным ускорением точки, она направлена по радиусу к центру кривизны траектории и характеризует быстроту изменения направления вектора скорости: an  2 R , (1.10) где R – радиус кривизны траектории в данной точке. Единица измерения ускорения – метр/секунда2 (м/с2) Длина пути, пройденного точкой за промежуток времени от t1 определяется уравнением: t2 s=   (t)dt . до t2 (1.11) t1 Координаты матеpиальной точки определяется уравнением: t2 X(t) = x(0) +   x (t)dt (1.12) t1 1.2. Кинематика вращательного движения материальной точки Вращательным движением называется движение, при котором все точки тела описывают окружности, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения (рис 1.4) Рисунок 1.4 Рисунок 1.5 Рассмотрим твердое тело, которое вращается вокруг неподвижной оси. Тогда отдельные точки этого тела будут описывать окружности разных радиусов, центры которых лежат на оси вращения. Пусть некоторая точка движется по окружности радиуса R (рис. 1.4). Ее положение через промежуток времени t зададим углом   . Элементарные повороты принято рассматривать как векторы.  Модуль вектора d равен углу поворота, а его направление совпадает с направлением поступательного движения острия винта, головка которого вращается в направлении движения точки по окружности, т.е. подчиняется правилу правого винта (рис.1.5). Векторы, направления которых связываются с направлением вращения, называются псевдовекторами или аксиальными векторами. Эти векторы не имеют определенных точек приложения: они могут откладываться из любой точки оси вращения. Средняя угловая скорость – векторная величина, равная отношению  вектора угла поворота за время Δ  ко времени поворотаΔt:      .  t (1.13) Мгновенная угловая скорость равна первой производной вектора угла поворота по времени:   d  dt (1.14) Направление угловой скорости сонаправлено с вектором угла поворота.  Скорость  движения по окружности называется линейной скоростью. Линейная скорость определяется уравнением:     dr v  [ , r ] dt (1.15) Угловое ускорение характеризует быстроту изменение угловой скорости. Среднее угловое ускорение определяется отношением приращения угловой скорости ко времени в течении которого оно происходит:      t ,  где Δ  - приращение угловой скорости за время Δt. Мгновенное угловое ускорение определяется выражением:   d  dt При ускоренном движении направление углового сонаправлено с угловой скоростью (рис 1.6), при замедленном направлено в сторону противоположную угловой скорости (рис 1.7) (1.16) (1.17) ускорения движении Рисунок 1.6 Рисунок 1.7 Связь тангенциального ускорения с угловым определяется формулой: at = ε,r (1.18) Нормальное ускорение при вращательном движении равно: an v2   2 r  v r (1.19) Полное ускорение при вращательном движении:       dv a  [ , r ]  [ , v ] dt Модуль полного ускорения равен a  r 2 4 Угол поворота за время t определяется уравнением: (1.20) t2 φ =φ(0) +  ω(t)dt t1 (1.21) 1.3 Равномерное движение по окружности. Линейная и угловая скорости. Центростремительное ускорение. Движение тела по окружности является простейшим примером криволинейного движения. При равномерном движении по окружности модуль  мгновенной скорости материальной точки со временем не изменяется  = const. Движущаяся точка за равные промежутки времени проходит равные по длине дуги окружности. Отношение длины дуги окружности l к промежутку времени t называют линейной скоростью:  l t (1.22) Периодом Т называется промежуток времени, в течение которого материальная точка (тело) совершает один полный оборот t n T  (1.23) где t -время, за которое материальная точка совершает n оборотов. Период измеряется в секундах (с). Частотой называется число оборотов, совершаемых материальной точкой за единицу времени: v n t –1 (1.24) Единица измерения частоты – (секунда) , (с ). Период и частота связаны соотношением: 1 1 T   v 1 , v   T 1 -1 . (1.25) Поскольку за период материальная точка проходит расстояние, равное длине окружности L  2R , то линейная скорость может быть определена через период и частоту вращения: v T  2R  2Rv T (1.26) Угол поворота материальной точки обозначается  , он измеряется в радианах и может быть выражен через длину дуги окружности:   l R (1.27) Угловой скоростью равномерного движения по окружности называется величина, равная углу поворота материальной точки за единицу времени:    t , (1.28) где  - угол поворота за время  t, измеряемый в радианах. Поскольку за период T материальная точка поворачивается на полный угол  0  2 , угловая скорость определяется через период и частоту вращения:  2  2 T (1.29) Cвязь между линейной и угловой скоростью:    R ,   R (1.30)  Изменение вектора скорости по направлению характеризуется нормальным (центростремительным) ускорением, направленным по радиусу к центру окружности (рис 1.4). Центростремительное ускорение определяется уравнением: an  2 R   2 R    4 2 R  4 2 2 R T2 (1.31) 1.4. Относительность движения Системы отсчета, которые движутся относительно друг друга равномерно прямолинейно с постоянной скоростью, называются инерциальными . Рисунок 1.8 Рисунок 1.9 Если система отсчета К неподвижна, скорость движения  0 подвижной системы отсчета К  постоянна и параллельна оси х, координатные оси систем параллельны, и в момент времени t0= 0 начала координат обеих систем отсчета совпадают (рис. 1.8 ), то координаты подвижной и неподвижных систем отсчета связаны между собой следующим образом: x  x   0t y  y x  x   0t y  y z  z t  t z  z t  t где x, у , z — координаты неподвижной системы координат К, x , y  , z  координаты подвижной системы координат К  , которая движется с постоянной скоростью v0 = const относительно системы К. Течение времени во всех инерциальных системах отсчета одинаково. Эти соотношения называются преобразованиями Галилея Закон сложение перемещений: Перемещение тела относительно неподвижной системы координат равно сумме перемещения тела относительно подвижной системы координат и перемещения подвижной системы координат относительно неподвижной:    r  r0  r / , (1.32)   где r – перемещение точки относительно неподвижной системы отсчета, r /  – перемещение точки относительно подвижной системы отсчета, r0 – перемещение подвижной системы отсчета относительно неподвижной. Классический закон сложения скоростей: Скорость тела относительно неподвижной системы координат равна сумме скорости тела относительно подвижной системы координат и скорости подвижной системы координат относительно неподвижной:      0   / , (1.33)  где  0 – скорость движения подвижной системы отсчета относительно  неподвижной системы отсчета,  / – скорость движения тела относительно  подвижной системы отсчета,  – скорость движения тела относительно неподвижной системы отсчета Из-за постоянства скорости движения второй системы отсчета относительно первой, ускорения тела в обеих системах отсчета одинаковы:   a  a (1.34) Закон независимости движений: если тело совершает сложной движение его можно разложить на несколько простых и рассматривать их независимо друг от друга, причем время этих движений одинаково. Принцип относительности Галилея: все инерциальные системы равноправны; ход времени, масса, ускорение и сила в них записываются одинаково. 1.5. Основные уравнения прямолинейного движения и движения по окружности Равномерное Равномерное движение по прямолинейное движение: окружности: При равномерном движении по окружности модуль скорости тела остается постоянным Ускорение: Угловое ускорение ε = 0; Нормальное ускорение an =v2/r = ω2r = ωv: a = an Угловая скорость: ω =Δ φ /Δ t =2π ν= 2π /T; v = ωr; ω = ω0 +εt; Путь: s =rφ; Угол поворота: φ = 2πn; Период и частота: T=t/n; ν = n/t = T-1; Равнопеременное Равнопеременное движение прямолинейное движение по окружности Угловое ускорение: ε = const; Равнопеременным прямолинейным движением Тангенциальное ускорение at = ε r; называется движение при котором Нормальное ускорение: Равномерным прямолинейным движением называется движение при котором материальная точка за равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения:    Ускорение: a  0, a  0, an  0  Скорость:  = const;   Перемещение: r  t; s  t ; Координата: x = x0 + t скорость тела за равные 2 an   2 r   промежутки времени изменяется на r одинаковую величину Полное ускорение: a  r  2   4 Тангенциальное ускорение: Угловая скорость:     t; at=const Средняя угловая скорость: Нормальное ускорение; an=0;   Полное ускорение a=const;    0 ; 2 Скорость:   0  at;  2   02 Угол поворота   0   2 ; Средняя скорость:    2 t 2    0   0t  ; 2 at 2 ; Путь: s   0 t  2 Пройденный путь: s = rφ; φ= 2πn 2 2   0 s 2a at 2 Координата: x  x0   0t  2 2. ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА Динамика является основным разделом механики, в ее основе лежат три закона Ньютона, сформулированные им в 1687 г. Эти принципы являются обобщением опытных фактов и являются системой взаимосвязанных законов. Кратко основная идея законов движения Ньютона состоит в том, что изменение скорости тел вызывается только их взаимным действием друг на друга. 2.1. Первый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчета В качестве первого закона движения И. Ньютон принял принцип, сформулированный французским философом и математиком Р.Декартом (1596 - 1650). В своей книге "Начала философии", вышедший в свет в 1644 г., Декарт формулирует закон инерции: "Всякая вещь продолжает по возможности пребывать в одном и том же состоянии и изменяет его не иначе как от встречи с другим. Каждая материальная частица в отдельности стремится продолжить движение не по кривой, а исключительно по прямой". Такие тела называют свободными, а их движение - свободным движением или движением по инерции. Движение по инерции всегда равномерное и прямолинейное. Первый закон Ньютона: Существуют системы отчета относительно которых всякая материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит ее изменить это состояние. Стремление тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инертностью. Поэтому первый закон Ньютона называют также законом инерции. Характер механического движения зависит от системы отсчета. Системы отчета в которых выполняется первый закон Ньютона называются инерциальными системами отсчета. Инерциальной системой отсчета является такая система отсчета, относительно которой материальная точка, свободная от внешних воздействий, либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно. Первый закон Ньютона утверждает существование инерциальных систем отсчета и наличие у всех тел инерции. Опытным путем установлено, что инерциальной можно считать гелиоцентрическую (звездную) систему отсчета (начало координат находится в центре Солнца, а оси проведаны в направлении определенных звезд). Система отсчета, связанная с Землей неинерциальна, однако эффекты, обусловленные ее неинерциальностью (Земля вращается вокруг собственной оси и вокруг Солнца), при решении многих задач пренебрежимо малы, и в этих случаях ее можно считать инерциальной. 2.2 Масса, импульс. Закон сохранения импульса Всякое тело оказывает сопротивление при попытках привести его в движение или изменить величину или направление скорости. Это свойство тела характеризуется инертностью. У разных тел оно проявляется в разной степени. Количественная мера инертности тела называется массой. Масса тела — физическая величина, являющаяся одной из основных характеристик материи, определяющая ее инертные (инертная масса) и гравитационные (гравитационная масса) свойства. В настоящее время можно считать доказанным, что инертная и гравитационная массы равны друг другу (с точностью, не меньшей 10–12 их значения). Отношение массы тела к его объему называется плотностью тела: m (2.1)   V Изолированной или замкнутой системой называют систему тел, настолько удаленных от все остальных тел, что они практически не оказывают никакого действия на рассматриваемую систему. Силы, действующие на тела системы подразделяют на внутренние и внешние. Силы взаимодействия между телами, входящими в систему, называются внутренними. Силы взаимодействия между телами, входящими в систему и внешними телами, называются внешними. Масса системы тел равна сумме масс составляющих тел. Это свойство называется аддитивностью массы. М.В. Ломоносов и Лавуазье на основе опытов по взвешиванию продуктов химических реакций открыли закон сохранения массы. Закон сохранения массы в старом понимании - сумма масс тел до реакции равна сумме тел после протекания реакции. Законы сохранения массы и энергии в ньютоновской физике считались независимыми законами. В релятивистской физике они утратили независимость и были объединены в единый закон сохранения массы - энергии. Всякая энергия обладает массой согласно уравнению О. Хевисайда (А.Эйнштейна): 𝑊 = 𝑚𝑐 2 , где с - скорость света в вакууме. Векторная величина численно равная произведению массы материальной точки на ее скорость и имеющая направление скорости, называется импульсом (количеством движения) этой материальной точки:   P  m (2.1) Импульс системы материальных точек равен геометрической сумме импульсов всех точек, входящих в систему:  n  n  P   Pi   mii (2.2) i 1 i 1 Закон сохранения импульса для замкнутой системы: Импульс замкнутой системы тел – есть величина постоянная, то есть остается постоянным во времени, каким бы не было взаимодействие между ними:  P n   P   i  mii  const , n i 1 (2.3) i 1 где n -число материальных точек (или тел), входящих в систему Характер движения материальной точки (тела) зависит от двух факторов: воздействия на него другого тела (тел) и его реакции на это воздействия. 2.3. Сила. Второй закон Ньютона. Если материальная точка не изолирована, то из-за взаимодействия ее импульс не сохраняется. Поэтому за меру интенсивности взаимодействия 𝑑𝑃⃗ принимают производную импульса по времени , которая определяется 𝑑𝑡 положением рассматриваемой материальной точки относительно окружающих ее тел, а иногда также и скоростью, и эту функцию называют силой. Сила — это векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или изменяет свою форму и размеры. Производная импульса материальной точки по времени равна действующей на нее силе: 𝑑𝑃⃗ =𝐹 (2.4) Это положение называется вторым законом Ньютона. Это— основной закон динамики поступательного движения — причинно-следственный закон, устанавливающий как изменяется импульс материальной точки (тела) под действием приложенных к ней сил. Смысл второго закона состоит в том, что действие на тело силы, определяет изменение импульса тела.   Учитывая, что импульс P  m можно записать  𝑑𝑡   d ( mv )  dv F m  ma dt di   F  ma или   F a m (2.5) Это уравнение показывает, что ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом), пропорционально вызывающей его силе, совпадает с нею по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки (тела). В механике установлен принцип независимости действия сил: если на материальную точку действует одновременно несколько сил, то каждая из этих сил сообщает материальной точке ускорение согласно второму закону Ньютона, как будто других сил не было. Если на материальную точку действует одновременно несколько сил, то, согласно принципу независимости действия сил, под F во втором законе Ньютона понимают результирующую силу:  n     F   Fi  F1  F2  ....  Fn i 1 Уравнение (2.1) можно записать в виде   Fdt  dP , (2.6) где произведение силы навремя ее действия Fdt называется импульсом силы. Отсюда можно найти изменение импульса материальной точки  t  Δ P =  F (t)dt 2 (2.7) t1 2.4 Третий закон Ньютона Взаимодействие между материальными точками (телами) определяется третьим законом Ньютона: Всякое действие материальных точек (тел) друг на друга носит характер взаимодействия; силы, с которыми действуют друг на друга материальные точки, всегда равны по модулю, противоположно направлены и действуют соединяющей эти точки:   вдоль прямой,   F21   F12 , | F21 || F12 | , (2.8)  где F21 — сила, действующая на первую материальную точку со стороны  второй; F12 — сила, действующая на вторую материальную точку со стороны первой. Эти силы приложены к разным материальным точкам (телам), всегда действуют парами и являются силами одной природы и не уравновешивают друг друга поскольку приложены к разным телам. 3. СИЛЫ ПРИРОДЫ 3.1 Физические взаимодействия Природа сил тесно связана с природой материи. Взаимодействие представляет собой воздействие одних объектов на другие путём обмена материи и движением. Движение и взаимодействие являются способами существования материи. При этом движение включает в себя различные виды взаимодействия. Все многообразие свойств природы обусловлено взаимодействием элементарных частиц. Любые формы движения являются проявлением фундаментального взаимодействия материи. В настоящее время под единством природы понимают единство в строении материи. Однако не менее существенно, что все многообразие взаимодействий сводится к 4 видам фундаментальных взаимодействий (ФВ), которые определяют структуру всех объектов во Вселенной: сильному ядерному; электромагнитному; слабому ядерному; гравитационному. Гравитационное и электромагнитное взаимодействия известны давно. Их радиус действия не ограничен, поэтому они проявляются не только между элементарными частицами, но и в макро- и микромире. В табл. 3.1 фундаментальные взаимодействия располагаются в порядке увеличения интенсивности Таблица 3.1 - Характеристики фундаментальных взаимодействий Взаимодействие Сила в относительных Радиус действия Единицах Сильное 1 ~10-15м. Электромагнитное 1/137 ∞ -5 Слабое 10 10-18м. Гравитационное 10-39 ∞ Взаимодействие тел может происходить либо при непосредственном соприкосновении, либо на расстоянии. В первом случае взаимодействующие тела тянут или толкают друг друга. Возникающие при этом силы вызываются обычно деформациями тел. Деформации могут быть малы и не представлять непосредственного интереса в изучаемом явлении. Тогда от них можно отвлечься, учтя их влияние введением соответствующих сил натяжения и давления. Но если нас интересует происхождение и механизм действия сил, то надо подробно рассмотреть картину деформаций, возникающих в телах. Помимо сил, зависящих от деформации тел, возможны и более сложные случаи. Силы взаимодействия могут зависеть не только от величины деформации, но и от скоростей деформаций. Примером могут служить силы трения. Но и эти силы возникают при непосредственном соприкосновении взаимодействующих тел. Во всех этих случаях говорят. что силы взаимодействия являются силами близкодействия. Помимо сил близкодействия, которые при непосредственном созерцании воспринимаются как силы, непосредственно действующие на расстоянии. существуют силы. действующие на расстоянии. К таким сила относятся гравитационные силы, а также силы взаимодействия наэлектризованных и намагниченных тел. Современная физика утверждает, что все взаимодействия осуществляются полями - гравитационными, электромагнитными и прочими. Взаимодействие прикосновением является частным случаем полевого взаимодействия. 3.2 Гравитационные взаимодействия В классической физике гравитационное взаимодействие описывается законом всемирного тяготения, сформулированным И. Ньютоном в 1667 году. К осмыслению природы всемирного тяготения Ньютона подтолкнули законы Кеплера о движении планет. Первый закон Кеплера утверждает: Все планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которого находится Солнце. Второй закон Кеплера говорит о том, что подходя ближе к Солнцу. планет и кометы движутся быстрее, а отходя медленнее: Радиус - векторы планет за равные промежутки времени описывают равные площади. Третий закон Кеплера: Квадраты периодов обращения планет относятся между собой как кубы их средних расстояний от Солнца. Согласно закону всемирного тяготения: Две материальные точки притягиваются друг к другу с силой прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними: F1, 2  G Н  м2 -11 где G = 6,67∙10 кг 2 - m1 m2 R2 , (3.1) гравитационная постоянная, m1 , m2 - массы материальных точек, R - расстояние между ними. Гравитационное взаимодействие имеет универсальный характер и выступает в виде притяжения, оно является самым слабым из всех взаимодействий (табл. 3.1). В макромире она проявляет себя тем сильнее, чем крупнее массы взаимодействующих тел. Оно явилось определяющим в мегамире при формировании Вселенной, а в микромире теряется на фоне более могучих сил. Проявлением гравитационного взаимодействия в земных условиях является сила тяжести - – сила, действующая на любое тело, находящееся вблизи земной поверхности инаправленная вертикально вниз:  FТ  mg , (3.2)  где m -масса тела, g - ускорение свободного падения Если пренебречь суточным вращением Земли вокруг своей оси, то сила тяжести на поверхности Земли будет равна силе гравитационного тяготения F G M зm Rз 2 , (3.3) где M з  6 10 кг; R з  6380км. - соответственно, масса и радиус Земли, Силовой характеристикой гравитационного поля является напряжённость, численно равная силе действующей на тело единичной массы:  24  F g m (3.4) ускорению Напряженность гравитационного поля Земли равна  свободного падения g  g  9,81м / с 2 , На поверхности Земли( h=0) ускорение свободного падения равно GM g 0  2 = 9,81 м·с-2, R На высоте h над поверхностью Земли ускорение свободного падения равно: 2 g0 GM  R  g ; g  g0   ;g  2 2 ( R  h)  R  h h  1   R  (3.5) На глубине h от поверхности Земли ускорение свободного падения:  2h  g  g 0 1   R  (3.6) Закон всемирного тяготения описывает движение тел в Солнечной системе и является основой баллистики и космонавтики. Скорость, с которой происходит движение тел по круговой орбите под действие силы тяготения, называется первой космической скоростью. Если тело под действием силы тяжести движется вокруг Земли равномерно по окружности радиусом R, то ускорение свободного падения является его центростремительным ускорением: v2 g0  R Первая космическая скорость вблизи поверхности Земли: GM R (3.7) Первая космическая скорость на высоте h от поверхности Земли: R GM 1  10 ; 1  Rh Rh (3.8) 10  g 0 R  Вторая космическая скорость - скорость при которой тело становится искусственным спутником Солнца: 2GM  2  2 0  2 g 0 R  R (3.9) 3.3 Силы, имеющие электромагнитную природу 3.3.1 Деформации и силы упругости В природе не существует абсолютно твердых тел, так как все реальные тела под действием сил, при нагревании или охлаждении изменяют свои формы и размеры, то есть деформируются. Деформации, которые полностью исчезают при снятии деформирующих факторов, называется упругими. При этом частицы твердого тела возвращаются в первоначальные положения равновесия. Деформации, которые не исчезают при снятии деформирующих факторов, являются пластичными. При неупругих деформациях происходит необратимая перестройка кристаллической решетки, и форма тела не восстанавливается. Переход упругой деформации в пластичную может происходить при длительных воздействиях на тело даже малых внешних сил. Обратный переход происходить не может. Упругость и пластичность тел в основном определяется материалом, из которых они изготовлены. В зависимости от внешних условий (температура, нагрузка) упругое тело может перейти в пластичное состояние и наоборот. Например, сталь при высоких температурах становится пластичной, а резина при сверхнизких температурах приобретает свойства упругого тела. При деформации твердого тела частицы, расположенные в узлах кристаллической решетки, смещаются относительно друг друга. Этому смещению препятствуют внутренние упругие силы, действующие между частицами твердого тела. Сила упругости, возникающая при деформации тела, уравновешивающая внешние силы, вызывающие деформацию, всегда направлена в сторону противоположную деформации. Упругие деформации, возникающие в телах, весьма разнообразны. Различают четыре основных вида деформации: растяжение - сжатие (продольное или одностороннее и всестороннее); изгиб (продольный и поперечный); сдвиг; кручение. Наиболее часто при эксплуатации различных конструкций приходится рассчитывать упругие деформации растяжения или сжатия. Основными деформациями считаются: продольное растяжение (сжатие) и сдвиг. Другие виды деформации, как например, кручение, изгиб могут рассматриваться как совокупность некоторых растяжений (сжатий) и сдвигов. Для упрощения картины будем рассматривать только упругие деформации, а твердое тело при этом будем считать однородным. Деформация продольного растяжения - сжатия. Предположим, что один конец прямолинейного однородного стержня с площадью поперечного сечения S закреплен, а к другому его концу приложена сила F , растягивающая данный стержень в направлении его оси (рис.3.1). Деформация прекращается при условии F  Fупр , где Fупр - упругая сила. l l F Рисунок 3.1 Рисунок 3.2 При этом длина стержня l увеличивается на величину l , которая называется абсолютной деформацией (абсолютным удлинением). При одностороннем растяжении или сжатии изменяется не только длина стержня, но и его поперечные размеры, при сжатии поперечные размеры увеличиваются, при растяжении – уменьшаются. Закон Гука устанавливает: В пределах упругой деформации сила упругости пропорциональна абсолютному удлинению: Fупр  kl , где k - коэффициент упругости стержня, показывающий какая сила упругости возникает в образце при изменении его длины на единицу. Можно считать, что в поперечных сечениях тела действуют только нормальные напряжения  , равномерно распределенные по сечению. Физическая величина σ, численно равная упругой силе, приходящейся на единицу площади поперечного сечения стержня, называется напряжением:  Fупр S . (3.10) Если сила направлена по нормали к площади, напряжение называется нормальным, если она направлена по касательной к площадке – касательным. Мерой деформации служит относительная деформация (относительное удлинение), равная отношению абсолютной деформации (абсолютного удлинения) к первоначальной длине, т.е.  l l (3.12) Для многих материалов при упругой деформации до определенных пределов между относительной деформацией  и напряжением  имеется линейная зависимость. Эта зависимость также носит название закона Гука: Напряжение упруго деформированного тела, прямо пропорционально его относительной деформации.   E  E l l . (3.13) Коэффициент пропорциональности E называется модулем упругости или модулем Юнга. Она является основной характеристикой упругих свойств твердого тела и имеет размерность давления, в СИ – паскаль (Па) Величина обратная модулю Юнга   1 Е называется коэффициентом упругости или коэффициентом одностороннего растяжения. Физический смысл модуля Юнга: Модуль Юнга E численно равен напряжению  , которое надо приложить к образцу, чтобы увеличить его длину вдвое, при этом относительная деформация  равна единице. Для стали . модуль Юнга равен 2 1011Па. Однако разрыв образца происходит при значительно меньших напряжениях. Для большинства реальных тел закон Гука справедлив только при весьма малых деформациях, при которых тела ведут себя как упругие. Совместно с деформацией растяжения наблюдается уменьшение диаметра образца. Если Δd - изменение диаметра образца, то ε┴ = Δd /d называется относительной поперечной деформацией. Опыт показывает, что ε┴ / ε<1. Отношение относительного поперечного сжатия к относительному продольному растяжению µ= ε┴ / ε носит название коэффициента поперечной деформации или коэффициента Пуассона. Коэффициент Пуассона зависит только от материала тела и является важной постоянной, характеризующей упругие свойства. Модуль Юнга и коэффициент Пуассона полностью характеризуют упругие свойства изотропного материала. Все прочие упругие постоянные могут быть выражены через Е и µ. Зависимость нормального напряжения  от относительной деформации  при одностороннем растяжении называется диаграммой напряжений (рис. 3.2). Участок ОА до предела упругости  y соответствует упругой деформации. В начале этой области зависимость   f   линейна до предела пропорциональности  n то есть справедлив закон Гука: относительная деформация  возрастает прямо пропорционально. При дальнейшем увеличении нагрузки зависимость   f   становится нелинейной, деформация начинает нарастать быстрее. Однако, до предела упругости  y материал сохраняет свои упругие свойства, т.е. при загрузке образец восстанавливает свою первоначальную форму и размеры. Пределом упругости (пропорциональности)  y называется значение напряжения  , до которого сохраняется пропорциональность между деформацией и приложенной силой, то есть выполняется закон Гука. Участок нелинейной зависимости мал, и обычно в инженерных расчетах пределы   f   очень пропорциональности  п и упругости  y считаются совпадающими. Предел упругости  y зависит от материала, например, для стали  y =500 МПа, а для меди  y = 120 МПа. Участок АВСD соответствует пластичной деформации. За пределом упругости  y в теле возникают остаточные деформации. При напряжении  Т , которому соответствует точка В на диаграмме растяжения, относительное удлинение тела продолжает возрастать без увеличения напряжения. Оно называется пределом текучести  Т . При дальнейшем растяжении тело вновь оказывает сопротивление деформации, и кривая поднимается. Наибольшее напряжение, соответствующее точке С на диаграмме, называется пределом прочности  в или временным сопротивлением. При напряжении, превышающем  в , в одном из сечений тела образуется сужение, называемое шейкой. В дальнейшем деформация сосредоточивается в этом сечении и возрастает даже при уменьшении растягивающей силы. Это приводит к разрушению материала. Точка D диаграммы соответствует разрыву тела. Отношение величины конечной разрывающей силы к поперечному сечению шейки называется истинным сопротивлением разрыву  И . Ясно, что  И   в . Однако в технических расчетах за характеристику прочности принимают  в , измеряя его отношением разрывной силы к начальной площади сечения образца. При медленном снятии нагрузки с тела деформированного до напряжения  a . График   f   представляет собой прямую aR , параллельную прямолинейному участку ОА диаграммы. Отрезок OR определяет остаточную деформацию тела, характерную для пластичных деформаций. Целый ряд способов обработки материалов: ковка, чеканка, прессование, волочение, прокат основаны на использовании деформации этого типа. Для расчета различных конструкций необходимо знать прочность материалов. Прочностью материала характеризует его способность выдерживать нагрузки без разрушения. Пределом прочности  в называют значение нормального напряжения, которому соответствует наибольшая выдерживаемая телом нагрузка. Запасом прочности называется отношение предела прочности материала, к напряжению при котором материал эксплуатируется: К в . В технике и строительстве запас прочности  материалов в конструкций должен быть порядка К 5  10. Предел прочности многих материалов значительно больше предела упругости. Такие материалы называют вязкими. Они обладают и упругой и пластической деформациями. К ним относятся медь, цинк, железо и т.д. Материалы, у которых отсутствует область упругих деформаций, относятся к пластическим, например воск, глина, пластилин. Способность изделия противостоять разрушению зависит не только от качества материала, но и также и от формы и вида воздействия. Например, стержень легче разрушить односторонним сжатием, чем растяжением. Кроме прочности в технике материалы различают по твердости. Из двух материалов более твердый тот, что царапает другой. Резцы и сверла для резания металлов обладают большой твердостью. Из природных материалов наибольшей твердостью отличается алмаз. Большое значение на практике имеет свойство твердых тел, называемое хрупкостью. Хрупкие материалы разрушаются при малых относительных деформациях. Хрупкие материалы обычно выдерживают. не разрушаясь, большее сжатие, чем растяжение. Например: стекло, фарфор, чугун, мрамор, янтарь обладают повышенной хрупкостью, а сталь, медь, свинец не являются хрупкими. У хрупких материалов предел упругости и предел прочности почти одинаковы. Пластичные свойства хрупких материалов практически не проявляются. 3.3.2 Силы трения Тело, движущееся по поверхности другого тела, при отсутствии действия на него других сил с течением времени замедляет свое движение и в конце концов останавливается. Это можно объяснить существованием силы трения, которая препятствует скольжению соприкасающихся тел друг относительно друга. Различают внешнее (сухое) и внутреннее (жидкое или вязкое) трение. Внешним трением называется трение, возникающее в плоскости касания двух соприкасающихся тел при их относительном перемещении или при попытке сдвинуть тело с места. Оно возникает, если между поверхностями соприкасающихся твердых тел отсутствует прослойка жидкости. Если на покоящееся на плоской поверхности тело действует сила, направленная параллельно поверхности соприкосновения тел, то движение тел начинается при определенной величине действующей силы. Силу, при которой начинается движение, называют предельной силой трения покоя. Французские физики Г. Амонтон и Ш.Кулон установили, что эта сила пропорциональна силе нормального давления (силе реакции опоры): F0   0 N , (3.13) где μ0 - коэффициент трения покоя, который зависит от материалов и состояния поверхностей и не зависит от площади контакта, N - сила реакции опоры. Таким образом, если соприкасающиеся тела неподвижны друг относительно друга, говорят о трении покоя, если же происходит относительное перемещение этих тел, то в зависимости от характера их относительного движения говорят о трении скольжения (одно тело скользит по поверхности другого), качения (одно тело катится по поверхности другого) и верчения (в технике при вращательном движении частей механизмов). Если F < F0 , то поверхности не движутся друг относительно друга, то есть проскальзывают. Это используется для передачи движения от одних частей машины к другим. В автомобиле таким способом передается движение между дисками сцепления или в ременной передаче от шкива генератора к шкиву вентилятора. Движение человека, автомобиля, неподвижность предметов относительно пола обусловлены трением покоя. Автомобиль движется потому, что сила трения между шиной и дорогой не превышает предельную силу трения покоя. Если возникает превышение, то машина начинает буксовать. Для увеличения силы трения покоя шины делают с протектором, гусеницы танка имеют шипы. При F > F0 тело приходит в движение. При этом сила трения покоя переходит в силу сопротивления, которая называется силой трения скольжения. Она подчиняется тем же закономерностям, что и сила трения покоя. Как правило, трение качения – вредное явление, оно уменьшает скорость движения и потере энергии. Для его уменьшения подбирают материалы, а поверхности шлифуют. Величина силы трения скольжения зависит от природы и качества обработки соприкасающихся поверхностей, а также от величины, прижимающей трущиеся поверхности (силы реакции опоры): FТ   N , где µ - коэффициент трения скольжения. зависящий от природы и качества обработки трущихся поверхностей. незначительно от скорости движения. Для значительного уменьшения трения необходимо перейти от скольжения к качению. При качении колеса точка его контакта все время меняется, неровности выходят из зацепления в одной точке к другой. В месте зацепления возникает упругая сила, которая и приводит в движении. Согласно закону Амонтона – Кулона, сила трения качения зависит от радиуса катящегося тела r, силы реакции опоры N и качества соприкасающихся поверхностей: N F0   k r (3.14) Значения коэффициентов трения скольжения и качения приводятся в справочных таблицах. Трение вызвано тем, что поверхности тела имеют неровности, которые цепляются при движении друг о друга. Природа сил трения обусловлена электрическим взаимодействием атомов. Когда атомы сближаются на расстояние ~10-10 м между ними возникает электрическое притяжение. При наличии неровностей число взаимодействующих атомов больше, поэтому больше сила взаимодействия между поверхностями и, соответственно, больше сила трения. Для уменьшения силы трения на трущиеся поверхности наносят смазку, которая заполняет неровности между этими поверхностями и располагается тонким слоем между ними так, что поверхности перестают касаться друг друга, а скользят друг относительно друга отдельные слои жидкости. Таким образом, внешнее трение твердых тел заменяется значительно меньшим внутренним трением жидкости. 3.3.3 Вес тела Весом тела называют силу, с которой тело вследствие тяготения к Земле действует на опору (или подвес), удерживающую тело от свободного падения. Вес тела проявляется только в том случае, если тело движется с ускорением, отличным от g, т. е. когда на тело кроме силы тяжести действуют другие силы. Вес тела (сила реакции опоры) равны силе тяжести если тело покоится на горизонтальной опоре или движется с постоянной скоростью: P=mg Если ускорение направлено вверх, то оно оказывает давление на опору большее, чем сила тяжести, и вес тела равен: P = m(g +a) (3.14) Это объясняет, почему космонавты при старте испытывают перегрузки и приборы, применяемые в самолетах и ракетах, делают большей прочности, чем на Земле. При этом коэффициент перегрузки, показывающий во сколько раз вес тела больше силы тяжести определяется по формуле: ga k g (3.15) Если ускорение направлено вниз, то вес тела меньше силы тяжести, и определяется по формуле P = m(g - a) (3.16) Отсюда вытекает, что при а = g, то есть при свободном падении на землю, когда на тело действует только сила тяжести, оно не давит на опору, то есть веса не имеет, находится в состоянии невесомости. Падающие без сопротивления тела являются невесомыми. На них действует сила гравитации, но они не давят на опору. Например, на космической станции космонавты свободно парят в воздухе, вода не выливается из бутылки предметы висят в воздухе в произвольных положениях. невесомыми являются тела, находящиеся в космических кораблях, свободно движущихся в космосе. Условие невесомости: при g=a, вес тела P = m(g- a) = 0; Таким образом, сила тяжести действует всегда, а вес проявляется только в том случае, когда на тело кроме силы тяжести действуют еще другие силы, вследствие чего тело движется с ускорением а, отличным от g. 4. МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ 4.1. Давление в жидкостях и газах Раздел механики, занимающийся изучением движения и равновесия жидкостей называется гидродинамикой. В отличии от твердых тел жидкости и газы в состояния равновесия не обладают упругостью формы. Для изменения объема жидкости или уменьшения объема газа нужно прикладывать внешние силы, то есть они обладают только объемной упругостью. Давлением называется величина, измеряемая силой, действующей перпендикулярно на единицу площади поверхности тела: p = F/S (4.1) Если сила действует на площадь поверхности тела под углом, то при вычислении давления берется нормальная составляющая этой силы. Сила давления равна произведению давления на площадь: F = pS (4.2) За единицу давления с СИ принят 1 паскаль - давление, производимое силой в 1 ньютон на площадь 1 квадратный метр, 1Па = 1 Н/м2. Закон Паскаля для жидкостей и газов: В состоянии равновесия нормальное напряжение (давление Р) не зависит от ориентации площадки, на которую она действует. Внешнее давление на жидкость или газ передается во все стороны равномерно. Невесомая жидкость (газ), заключенная в сосуд под поршнем, на который действует внешняя сила F , сжата одинаково во всем объеме, поэтому и давление во всех ее точках одинаково. В случае газов нормальное напряжение всегда направлено внутрь газа, то есть имеет характер давления. В жидкостях, как исключение может быть случай, когда нормальное напряжение является натяжением (отрицательным давлением); жидкости оказывают сопротивление на разрыв. Давление, существующие в жидкости, обусловлено ее сжатием. Упругие свойства жидкостей по отношению к малым деформациям характеризуются коэффициентом сжимаемости:   1 dV V dP (4.3) Жидкости имеют малую сжимаемость, что позволяет во многих случаях пренебречь изменениями их объема. Тогда вводится представление об абсолютно несжимаемой жидкости. Гидростатическим давлением называется давление жидкости на дно и стенки сосуда, обусловленное действием на нее силы тяжести. Если жидкость однородна и ее можно рассматривать как несжимаемую (ρ = const) и ускорение силы тяжести постоянно, то на дно сосуда давит сверху вес столба жидкости: F = P = mg = gV = gSh , (4.4) где  - плотность жидкости, V - ее объем, S - площадь дна, h - высота столба жидкости, g - ускорение свободного падения. Тогда давление на дно сосуда равно p = F/S = gh (4.5) Гидростатическое давление в любой точке внутри жидкости зависит только от глубины этой точки над поверхностью жидкости. Гидростатическое давление не зависит от формы и площади дна сосуда (гидростатический парадокс). В сообщающихся сосудах однородная жидкость устанавливается на одинаковом уровне. Это объясняется зависимостью гидростатического давления от глубины под уровнем жидкости. Если сообщающиеся сосуды заполнены разнородными жидкостями , то высоты столбов жидкости обратно пропорциональна плотностям. На одинаковом уровне гидростатическое давление в обеих коленах сосуда одинаково: р1=р2 , 1gh1 = 2gh2 , следовательно, h1/h2 = 2/1 . (4.6) 4.2 Атмосферное давление. Барометрическая формула Атмосферой называется воздушная оболочка, окружающая Землю. Молекулы воздуха, как и все тела притягиваются к Земле, но не падают на нее благодаря хаотическому быстрому движению. Газы, составляющие атмосферу, распределяются в ней со все уменьшающейся по высоте плотностью в весьма толстом слое, достигающем 2-3 земных радиусов. Впервые атмосферное давление было измерено в XVII веке итальянским ученым Э. Торричелли. Опыты показали, что атмосферное давление на разных высотах над уровнем моря различное, и уменьшается с высотой. На одной и той же высоте со временем оно несколько изменяется. За нормальное атмосферное давление условились принимать давление столбика ртути высотой 76 см при 0оС. Такое давление на практике принято за единицу давления и названо физической атмосферой (атм). Согласно формуле давление жидкости на глубине равно p = gh. Откуда следует, что 1атм = 13,6.103кг/м3 . 9,8м/с2 . 0,76м = 1,03.105 Па. В технике за единицу давления обычно принимается техническая атмосфера 1ат = 1кг .с/см2 = 9,8.104 Н/м2. Внесистемная единица давления - 1мм рт. ст. (тор) - давление столбика ртути высотой 1 мм. 1мм рт. ст. = 133Паскаля. Приборы, служащие для измерения атмосферного давления называются барометры. Приборы для определения давления называются манометрами. Если отсутствуют ветры и воздушные течения. т. е. атмосфера неподвижна, то говорят, что она находится в состоянии механического равновесия. Такое состояние не является состоянием полного равновесия. Для последнего необходимо, чтобы атмосфера находилась в тепловом равновесии, то есть температура на протяжении всей атмосферы постоянна T =const. Если это имеет место, то атмосферу называют изотермической. Изотермическая атмосфера - это идеализация. В этом случае зависимость атмосферного давления от высоты определяется уравнением: 𝑅𝑇 − ℎ Р = Р0 𝑒 µ𝑔 , (4.7) где Р0 - давлением на поверхности Земли, е - основание натурального логарифма, R - универсальная газовая постоянная, T - температура, h -высота, g - ускорение свободного падения, µ - молярная масса воздуха. 4.3 Архимедова сила и условие плавления тел Закон Архимеда (287 - 212 г до н.э): Тело, погруженное в жидкость или газ, испытывает выталкивающую силу, которая численно равна силе тяжести, действующей на жидкость или газ в объеме вытесненной телом: F=ρgV , (4.8) где ρ - плотность жидкости, g - ускорение свободного падения, V - объем, вытесненный телом. Эта сила приложена в центре масс жидкости, вытесненной телом объема жидкости и направлена вертикально вверх. С помощью закона Архимеда решается вопрос о равновесии тел, плавающих в жидкости. Для равновесия необходимо, чтобы вес тела был равен весу вытесненной жидкости, а центр плавучести А лежал на одной вертикали с центром масс самого тела. Если сила тяжести больше архимедовой силы, или плотность тела больше плотности жидкости, то равнодействующая сила R = F - P направлена вниз и тело тонет. Если сила тяжести равна архимедовой силе и плотности жидкости и твердого тела одинаковы, то тело находится в равновесии на любой глубине F =Р. Если архимедова сила больше силы тяжести, и плотность жидкости больше плотности жидкого тела, то тело всплывает до тех пор, пока архимедова сила не станет равна силе тяжести F  P . Вес воды, вытесняемой подводной частью судна, равен весу судна с грузом в воздухе или силе тяжести, действующей на судно с грузом. Глубину, на которую погружается судно называют осадкой. Наибольшая допускаемая осадка отмечена на корпусе судна красной линией, называемой ватерлинией. Вес вытесняемой судном воды при погружении до ватерлинии, равный силе тяжести, действующий на судно с грузом, называется водоизмещением. Для воздухоплавания используют воздушные шары - аэростаты, стратостаты, дирижабли. Аэростат заполняется водородом или гелием. Разность между весом 1м3 воздуха и весом такого же объема газа называют подъемной силой 1м3 газа. По мере поднятия шара архимедова сила уменьшается, т.к. плотность воздуха в верхних слоях атмосферы меньше. Поэтому при подъеме необходим балласт для облегчения шара. Для спуска шара из оболочки выпускают часть газа. Аэростаты используют для исследований верхних слоев атмосферы. 4.4 Стационарное движение идеальной жидкости Изучение реальных жидкостей и газов представляет сложную задачу. Для ее упрощения полностью пренебрегают силами внутреннего трения. Идеальной жидкостью называется сплошная среда, в которой внутренне трение (вязкость) отсутствует или ей можно пренебречь. Движение жидкости называется стационарным (установившемся), если в заданных точках пространства скорость жидкости не зависит от времени. Рисунок 4.1 При стационарном течении масса жидкости, проходящей через любое поперечное течение трубки тока за единицу времени остается неизменной. Жидкость не скапливается в отдельных частях трубки тока, не образует пустот. Это позволяет написать уравнение неразрывности для стационарного течения жидкости (рис 4.1): m1 = m2 ; 11S1t = 22S2t , (4.9) откуда 11S1 = 22S2 , (4.10) где 1 и 2 - плотность жидкости, 1 и 2 - модуль скорости жидкости в сечении S1 и S2 . Если жидкость несжимаема, то плотность во всех сечениях  = const и уравнение неразрывности имеет вид: S = const ; 1S1 = 2S2 (4.11) Скорость жидкости в одной и той же трубке тока тем больше, чем уже поперечное сечение трубки, она обратно пропорциональна площади этого сечения. Уравнение Бернулли для стационарного течения идеальной жидкости (рис 4.2):в поле силы тяжести имеет вид ρv2/2 + ρgh + P = const, (4.12) где P– статическое давление жидкости для определенного сечения трубки тока; v-скорость жидкости для этого сечения; ρv2/2 - динамическое давление жидкости этогo сечения; h - высота на которой располагается сечение; ρgh гидростатическое давление, ρ – плотность жидкости Рисунок 4.2 Рисунок 4.3 Для горизонтальной трубки тока (h1 =h2) выражение (30.6) принимает вид ρv2/2 + P = const , (4.13) 2 где p+v /2 называется полным давлением. Из уравнения Бернулли (4.11) для горизонтальной трубки тока и уравнения неразрывности (4.8) следует, что при течении жидкости по горизонтальной трубе, имеющей различные сечения, скорость жидкости больше в местах сужения, а статическое давление больше в более широких местах, т. е. там, где скорость меньше. Уравнение Бернулли является следствием закона сохранения механической энергии для стационарного течения несжимаемой невязкой жидкости по трубке тока. Скорость истечения жидкости из малого отверстия в открытом сосуде определяется уравнением Торричелли (1608 - 1647):   2 gh , (4.14) где h – глубина, на которой находится отверстие относительно уровня. 4.5 Внутреннее трение (вязкость) В реальных жидкостях, помимо сил нормального давления на границах движущихся элементов жидкости действуют касательные силы внутреннего трения или вязкости. Поэтому в реальной жидкости даже, если жидкость течет по горизонтальной прямолинейной трубе постоянного поперечного сечения, то давление жидкости в трубе падает в направлении ее течения. Для стационарности течения на концах трубы надо поддерживать постоянную разность давлений, уравновешивающую силу внутреннего трения, возникающие при течении жидкости. Величина силы внутреннего трения, возникающая при движении параллельных слоев реальной текущей жидкости определяется формулой Ньютона (рис. 4.3):   d F   s dx , где η - коэффициент динамической вязкости жидкости; (4.15)  d - градиент dx скорости;  S - площадь соприкасающихся слоев Коэффициент динамической вязкости η численно равен силе внутреннего трения, возникающий между параллельными слоями жидкости  единичной площади при градиенте скорости равном единице d 1 dx Отношение динамической вязкости к плотности называется кинематической вязкостью: ν =η/ρ При обтекании твердого тела вязкой жидкостью поток деформируется. Слои жидкости, непосредственно соприкасаются с телом примыкают к его поверхности. На поверхности тела образуется пограничный слой - область, в пределах которой скорость жидкости изменяется от 0 до скорости невозмущенного потока. В какой-то точке поверхности тела может произойти отрыв пограничного слоя. При этом жидкость из пограничного слоя выбрасывается в основной поток, а за точкой отрыва образуется вихревое течение. Сила сопротивления, действующая на шарик, равномерно движущийся в вязкой среде, определяется формулой Стокса: F = - 6πηrv , (4.16) где r -радиус шарика; v - скорость его движения. Течение жидкости, при котором ее слои движутся без перемешивания, называется ламинарным. Особенностью ламинарного течения является его регулярность, частицы жидкости движутся вдоль прямолинейных траекторий, параллельных оси трубы. При больших скоростях ламинарное течение становится неустойчивым и переходит в турбулентное, при котором происходит перемешивание слоев. При этом течении гидродинамические характеристики (скорость, давление, а для газов - плотность и температура) быстро и нерегулярно изменяются во времени (флуктуируют). Это приводит к интенсивному перемешиванию между слоями движущейся жидкости. Примерами могут служить движение воды в горной реке, водопаде, движение дыма из трубы. Неустойчивость ламинарных течений и возникающие турбулентности - сложные вопросы далекие от окончательного решения. Сила сопротивления при движении тела в жидкости и газе соответственно при малых и больших скоростях определяется формулами: F= - β1 v; F = - β2 v2, где β1, β2 - коэффициенты сопротивления движению, v - относительная скорость движения. В случае турбулентного движения при не очень больших скоростях лобовое сопротивление: F  C х Sv 2 , где Сх – коэффициент лобового сопротивления, зависящий от формы тела и числа Рейнольдса, S- площадь проекции тела на плоскость, перпендикулярную скорости потока, ρ - плотность среды. Число Рейнольдса Re  l v  где l - величина, характеризующая линейные размеры обтекаемого тела 5. МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ И РАБОТА 5.1 Понятие энергии Современное естествознание принимает материю как основу всего существующего. Материя обладает множеством свойств, среди которых в физике выделяют: массу и энергию. Понятие энергии связывает воедино все явления природы. Энергия скалярная физическая величина, являющаяся общей количественной мерой движения и взаимодействия всех видов материи. Для характеристики различных форм движения материи вводятся соответствующие виды энергии: механическая, внутренняя, энергия электростатических, внутриядерных взаимодействий и т.д. Энергия в природе не возникает из ничего и не исчезает, она только переходит из одной вида в другую. Энергия является однозначной функцией состояния объекта. Из неуничтожимости материи вытекают 2 фундаментальных закона природы: 1. Закон сохранения массы: В замкнутой системе масса всех тел, входящих в систему, сохраняется n M   M i  const (5.1) i 1 2. Всеобщий закон сохранения энергии: Во всех явлениях происходящих в природе, энергия не исчезает и не возникает вновь, она только переходит из одной формы в другую, причём в равных количествах: n W  Wi  const (5.2) i 1 В рамках теории относительности законы сохранения массы и энергии слиты воедино. 5.2. Энергия, работа, мощность Изменение механического движения тела и изменение энергии происходит в процессе его взаимодействия с другими телами. Энергия и работа - взаимосвязаны между собой. Механическая работа является количественной мерой изменения энергии в процессе. Энергия характеризует способность тела выполнять работу. Изменение энергии тела измеряют работой, которую тело может совершить в определенных условиях, т.е. мерой энергии является работа. Поэтому единицы измерения энергии те же, что и единицы измерения работы. Механической работой называется физическая величина, равная скалярному произведению силы на перемещение, она является мерой передачи движения от одного тела к другому Элементарная работа, совершаемая постоянной силой равная скалярному  произведению вектора силы F на вектор перемещения d𝑟 (рис. 5.1)   δA= Fdr (6.3) δA = Frdr = Fdrcos α, где Fr -проекция силы на направление перемещения dr; α – угол между направлением силы и перемещения. Рисунок 5.1 Рисунок 5.2 Работа, совершаемая переменной силой на траектории определяется интегралом (рис. 5.1): 2   2 A =  Fdr   Fdr cos участке криволинейной (5.4) В случае действия постоянной силы на прямолинейном участке движения работа равна: (5.5) A  F  s  cos ,  где α – угол между векторами F и ds Работа – величина скалярная, она может быть положительной А0, если cos0 и тело увеличивает скорость, и отрицательной А0 , cos0, скорость тела уменьшается. Единица работы в СИ - 1 джоуль - работа силы в 1 ньютон на пути в 1 м. 1 Дж = 1 Н.м = 1 (кг.м2)/с2. Работа равнодействующей сил равна алгебраической сумме работ этих сил:         A   ( F  ds )   ( F1  ds )   ( F2  ds )  ....   ( F n  ds )  A1  A2  ...  An (5.6) Графически работа определяется площадью криволинейной трапеции, ограниченной графиком силы, ординатами и осями координат Интенсивность (быстрота совершения) работы характеризуется мощностью. Мощность равна работе, совершаемой телом за единицу времени. Мгновенная мощность определяется выражением: 1 N 1 dA dt (5.7) Мощность численно равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения силы: N =Fv =Frv = Fvcos α За единицу мощности в СИ принят 1 ватт (Вт) - это мощность, при которой за 1 сек выполняется работа в 1 Джоуль. 1 Вт = 1Дж/с В связи с наличием трения и сопротивления среды не вся затраченная работа является полезной. Отношение полезной работы Ап ко всей затраченной работе Аз называется коэффициентом полезного действия (к.п.д.): A N   п  п (%) Аз N з , (5.8) An, A3, Nn, N3 – соответственно полезные и затраченные работа и мощность. 5.3 Работа и кинетическая энергия   Подставим в формулу работы A   ( F  ds ) выражения силы перемещения   ds  v  dt получим:   A   V  dP  A   m V  dV    dP F и dt (5.9)  Из (5.8) следует, что работа при перемещении материальной точки из точки 1 в точку 2 равна 2 A12  m VdV (5.10) 1 Если m  f(t), т.е. масса не изменяется с течением времени, получим, выражение работы: 2 2 2 V V A12  m V  dV  m 2  m 1  W2 k  W1k 2 2 1 Формула Wk  m V 2 2 = P2 2m (5.10) выражает (5.11) кинетическую энергию материальной точки. Кинетическая энергия материальной точки или тела является мерой их механического движения, зависящей от скорости их движения в данной инерциальной системе отсчета. Значение Wk тела зависит от выбора системы отсчета, но не может быть отрицательным Wk0. Полученный результат (5.11) называется теоремой о кинетической энергии: Изменение Wk кинетической энергии тела при его переходе из одного положения в другое равно работе А всех сил, действующих на тело, а работа при перемещении материальной точки равна приращению энергии этой точки. Кинетическая энергия системы материальных точек складывается из кинетических энергий всех материальных точек, из которых состоит система: Wk =  Wki =  (mii)/2 =  pi2/(2mi) . Работа всех сил, действующих на систему материальных точек, равна приращению кинетической энергии системы. Приращение кинетической энергии определяется не только работой внешних сил, но и работой внутренних сил (в отличие от изменения импульса системы). Работа сил является мерой изменения кинетической энергии тела или материальной точки. Действие сил, работа которых на данном участке траектории положительна, приводит к увеличению кинетической энергии тела (Wk  0, Wk  Wkо). Действие сил, работа которых отрицательна, приводит к уменьшению кинетической энергии. 5.4 Потенциальные и непотенциальные силы. Консервативные и неконсервативные системы сил. Область пространства, где обнаруживается действие сил, изменяющихся по определенному закону, называется полем сил. Независимое от времени поле сил называется стационарным. Если работа сил по перемещению системы из произвольного начального положения в произвольное конечное положение не зависит от пути перехода и определяется только начальной и конечной конфигурацией системы, то такие силы называют консервативными или потенциальными. Силы тяжести и упругости являются консервативными силами. Система тел называется консервативной, если внутренние и внешние силы, действующие на тела, являются потенциальными. В замкнутой консервативной системе между телами действуют только внутренние потенциальные силы. Работа силы тяжести при перемещении тела массой m с высоты h1 на высоту h2 определяется выражением: (5.12) A12  mg  h1  h2  Работа силы упругости F = - kx определяется интегралом 𝑥 𝑥 𝑘(𝑥 2 −𝑥 2 ) 𝐴 = ∫𝑥 2 𝐹𝑑𝑥 = − ∫𝑥 2 𝑘𝑥𝑑𝑥 = 2 1 (5.13) 2 1 1 где k - коэффициент жесткости пружины, x1,x2 - смещение. Как следует из выражений (5.12) и (5.13) работа сил тяжести и упругости зависит только от начальной и конечной конфигурации (положения) тел, но не зависит от формы траектории движения. Силы, не являющиеся консервативными, называют неконсервативными или непотенциальными. Они подразделяются на диссипативные и гироскопические силы. Система тел называется диссипативной, если ее механическая энергия с течением времени уменьшается за счет преобразования в другие (немеханические) формы энергии Этот процесс уменьшения механической энергии системы называется диссипацией энергии. Силы трения и сопротивления - являются диссипативными, они направлены в сторону противоположную движению. Полная работа диссипативных сил при любых движениях в замкнутой системе всегда отрицательна. Суммарная работа всех внутренних диссипативных сил системы всегда отрицательна. Работа силы трения: Атр = -FScos1800 = - FS < 0, где S - путь. Силы, направленные перпендикулярно движению, работа которых при движении тела равна нулю, называются гироскопическими. При движении только под действием этих сил не меняется модуль скорости тела и кинетическая энергия, изменяется только направление скорости. К таким силам относятся силы Кориолиса и Лоренца. Если хотя бы одно из условий консервативности нарушено, то система называется неконсервативной. Между телами замкнутой неконсервативной системы наряду с внутренними потенциальными силами действуют внутренние непотенциальные силы. 5.5 Потенциальная энергия Если на систему действуют только консервативные силы, то можно ввести понятие потенциальной энергии. Потенциальная энергия - это энергия взаимодействия, зависящая от взаимного расположения тел (например энергия деформированной пружины или энергия тела поднятого над землей). Работа консервативных сил не зависит от пути перехода системы из одного состояния в другое, поэтому потенциальная энергия (WП ) является функцией только конфигурации системы и ее положения по отношению к внешним телам. Потенциальную энергию тела в каком-то определенном положении считают равной нулю (выбирают нулевой уровень отсчета), а энергию тела в других положениях отсчитывают от нулевого уровня. Поэтому потенциальная энергия может быть отрицательной ,положительной или равной нулю. Мерой изменения потенциальной энергии системы при ее переходе из одного состояния в другое является работа потенциальных сил, осуществляющих взаимодействие между элементами системы. При этом работа Ап потенциальных сил равна изменению потенциальной энергии системы при ее переходе из начального состояния в конечное, взятому с обратным знаком Ап = - Wп = - (Wп2 - Wп1) = Wп1 - Wп2 , где Wп1 и Wп2 - потенциальная энергия системы в конечном и начальном положении. Работа консервативных сил при элементарном (бесконечно малом) изменении конфигурации системы равна приращению потенциальной энергии, взятому со знаком минус, т.к. работа совершается за счет убыли потенциальной энергии: dA  dWП   ( F  dr )  dWП Потенциальная энергия частицы в поле центральных сил: 2    Wп(r) = ΔA = -  Fc (r )dr 1 , (5.14) Потенциальная энергия определяется с точностью до некоторой произвольной постоянной. предположив Wп(∞) = 0, получим 0        F ( r Wп(r) =  c )dr   Fc (r )dr  (5.15) Связь между консервативной силой, действующей на тело в данной точке, и потенциальной энергией частицы:  (5.16) F = - grad Wп Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек массами m1 и m2, находящихся на расстоянии r: mm Wn  G 1 2 r (5.17) Потенциальная энергия тела в поле силы тяжести Земли: Mm Wn  G r (5.18) где r = R +h - расстояние от центра Земли до центра масс тела. Потенциальная энергия тела в однородном поле силы тяжести (h< d: бесконечные плоскости, E = σ/ε0 расположенные на расстоянии d Равномерно заряженная сфера радиусом R Равномерно заряженный радиусом R объемно шар, 0 < r < R: E = 0 r = R: E = Q/4πε0R2 r > R: E = Q/4πε0r2 0 < r < R: E = Qr/4πε0R3 r = R: E = O/4πε0R2 r > R: E = Q/4πε0r2 Равномерно заряженный r < R: бесконечный цилиндр r = R: радиуса R (нить) с r > R: линейной плотностью заряда τ E=0 E = τ/2πε0R; E = τ/2πε0r   Er r  0:   0 r  0:  0  Er r  0: 0  r  d :  rd:    0  0  Er   0  Ed 0 < r ≤ R: φ = Q/4πε0R r > R: φ = Q/4πε0r r 0 < r < R:  Q 4 0 R    Q R2  r2 rR 8 0 R φ = Q/4πε0R r > R: φ = Q/4πε0r r < R: φ = τ/2ε0 r > R:   ln r R 2 0 8.5 Диэлектрики в электрическом поле. Электрическое поле в диэлектриках Все тела состоят из молекул и атомов, которые представляют сложные системы электрических зарядов, хотя в целом электронейтральны. Тела, в которых часть микроскопических зарядов может свободно перемещаться, способны проводить электрический ток и называются проводниками. Тела, в которых свободные заряды отсутствуют, все микроскопические заряды связаны друг с другом, не проводят электрического тока и называются диэлектриками (изоляторами). В диэлектриках заряды перемещаться не могут, поэтому они используются для изоляции проводников друг от друга. При внесении диэлектрика во внешнее поле весь объем диэлектрика приобретает электрический момент, этот процесс называется поляризацией диэлектрика. В зависимости от строения диэлектрики подразделяются на следующие группы: Неполярные диэлектрики (N2, O2, H2, CO2), в которых центры масс положительных и отрицательных зарядов в молекулах совпадают и поэтому в отсутствии внешнего электрического поля они не обладают дипольным моментом. Во внешнем поле центры масс отрицательных и положительных зарядов смещаются на некоторое расстояние, и каждая молекула приобретает за счет деформации электронных орбит электрический момент пропорциональный напряженности внешнего поля. Этот процесс называется электронной или деформационной поляризацией. Полярные диэлектрики (H2O, NH3, SO2, CO), в которых молекулы имеют асимметричное строение, центры масс положительных и отрицательных зарядов не совпадают, и молекула представляет диполь даже в отсутствии внешнего электрического поля. При внесении во внешнее электрическое поле на каждый диполь действуют пара сил, стремящаяся развернуть его вдоль поля. Процесс ориентации дипольных моментов по направлению поля называется ориентационной или дипольной поляризацией. Ионные диэлектрики (NaCl, KCl) - кристаллические диэлектрики, имеющие ионное строение. Такой диэлектрик обладает дипольным моментом, направленным вдоль внешнего поля и пропорциональным величине последнего. При внесении во внешнее электрическое поле происходит смещение подрешеток положительных ионов по полю, отрицательных - в противоположном направлении. Этот процесс называется ионной поляризацией. Количественной характеристикой процесса поляризации является поляризованность, которая показывает дипольный момент единицы объема диэлктрика: n  pi    P  i 1  np i V , (8.20) где V – объем диэлектрика; pi - дипольный момент i -й молекулы; n0 – концентрация молекул; Между поляризованностью и напряженностью электростатического поля при не слишком сильных полях существует следующая связь: P = æ ε0E, (8.21) где æ > 0 - диэлектрическая восприимчивость вещества, характеризующая свойства диэлектрика. Рисунок 8.11 Рисунок 8.12 При внесении диэлектрика во внешнее электрическое поле он поляризуется (рис.8.11), на правой грани будет избыток положительных зарядов 𝜎, ́ а на левой отрицательного заряда - 𝜎,. Нескомпенсированные заряды, появляющиеся в результате поляризации диэлектрика называются связанными . Поле связанных зарядов направлено против поля свободных зарядов и ослабевает его, поэтому результирующее поле в диэлектрике: Е = Е0 - Е/ где Е0 напряженность поля свободных зарядов Е/ = σ//ε0 напряженность поля связанных зарядов Модуль вектора поляризации численно равен поверхностной плотности связанных зарядов P = σ´, (8.22) где σ´ - поверхностная плотность связанных зарядов. В результате поляризации напряженность поля в диэлектрике ослабевает Е Е0  , (8.23) где ε - диэлектрическая проницаемость среды показывает во сколько раз напряженность поля в диэлектрике меньше, чем в вакууме, она зависит от строения и свойств молекул диэлектрика, а также от способности диэлектрика поляризоваться во внешнем электрическом поле. Диэлектрическая проницаемость среды связана с диэлектрической восприимчивостью: ε= 1+æ (8.24) Связь между векторами поляризованности и напряженностью электростатического поля в диэлектрике:   E0 Е  ;     P E  E0  0 Напряженность электростатического поля зависит от свойств среды, и на границе двух сред вектор ⃗Е претерпевает скачок (рис 8.12). Поэтому вводится новая величина - вектор электрического смещения: ⃗ = 𝜀𝜀0 𝐸⃗ 𝐷 (8.25) Вектор электростатического смещения может быть выражен через напряженность и поляризованность:    D  0E  P (8.26) Элементарный поток вектора электрического смещения через площадку определяется выражением:   dФD = DdS = DdScos α = DndS,   где dS  ndS – вектор, модуль которого равен dS, а направление  совпадает с нормалью к площадке; Dn – составляющая вектора D по направлению нормали n к площадке Поток вектора электрического смещения для произвольной замкнутой поверхности равен: ⃗ 𝑑𝑆 = ∫ 𝐷𝑛 𝑑𝑆 Ф=∮ 𝐷 (8.27) 𝑆 𝑆 Теорeмa Гаусса для электростатического поля в диэлектрике: Поток вектора электрического смещения в диэлектрике сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме свободных зарядов внутри этой поверхности: n   Фd =  EdS =  DdScos α =  DndS =  Qi (8.28) S S S i 1 n где  Qi - алгебраическая сумма Qi, заключенных внутри замкнутой i 1 поверхности свободных электрических зарядов. Интегрирование ведется по всей поверxности. 8.6 Проводники в электростатическом поле При помещении проводника во внешнее электростатическое поля свободные заряды начинают перемещаться до тех пор, пока не установится равновесное распределение зарядов. при котором электростатическое поле внутри проводника обращается в нуль. Во все точках внутри проводника ⃗Е = 0 (рис. 8.16) Свободные заряды располагаются только на поверхности проводника ⃗ = −𝑔𝑟𝑎𝑑𝜑 = 0, то потенциал во всех точках проводника φ = Поскольку Е const, то есть поверхность проводника в электростатическом поле является эквипотенциальной, а вектор напряженности электростатического поля направлен по нормали в каждой точке поверхности проводника. Напряженность поля у поверхности проводника определяется поверхностной плотностью зарядов: Е   0 (8.29) При помещении проводника в электростатическое поле на одной стороне проводника накапливаются избыток положительных зарядов. на другой отрицательных. Эти заряды называют индуцированными, а явление перераспределения поверхностных зарядов на проводнике во внешнем электростатическом поле называется электростатической индукцией (рис. 8.13). Рисунок 8.13 Рисунок 8.14 Проводник удаленный от других проводников, тел и зарядов называется уединенным. Электроемкость уединенного проводника характеризует его способность накапливать электрические заряды, и численно равна заряду при сообщении которого потенциал проводника возрастает на единицу: Q С  , (8.30) где Q–заряд, сообщенный проводнику, φ - потенциал проводника. Единица емкости: фарад (Ф) = кулон/вольт (Кл/В) Электроемкость проводников зависит от их размера и формы, но не зависит от материала, наличия в нем пустот и агрегатного состояния. Электроемкость уединенного проводника, помещенного в диэлектрик определяется выражением: C = εC0 Электроемкость шарового (сферического) проводника равна: C = 4πε0εR , (8.31) где R–радиус шара; ε – диэлектрическая проницаемость среды. 8.7. Электроемкость конденсаторов Конденсатором называется система двух проводников (обкладок), разделенных слоем диэлектрика, служащая для накапливания электрической энергии. Электроемкостью конденсатора называется отношение заряда одной из обкладок к разности потенциалов между ними: Q C= , (8.32)  где Q – заряд, сообщенный одной из обкладок; ∆φ - разность потенциалов между обкладками Плоский конденсатор представляет собой две параллельные металлические пластинки, разделенные слоем диэлектрика. Емкость плоского конденсатора определяется формулой: С  0 S d (8.33) d – расстояние между где S - площадь каждой пластины конденсатора; пластинами . Цилиндрический конденсатор представляет собой два металлических коаксиально расположенных цилиндра. Емкость цилиндрического конденсатора: r C  20 ln 1 , (8.34) r2 где l – длина обкладок конденсатора; r1 и r2 - радиусы полых коаксиальных цилиндров Сферический конденсатор представляет собой две соосные сферы, Емкость сферического конденсатора: 4 0 r1r2 r2  r1 , (8.35) где r1 и r2 - радиус концентрических сфер Пробивным напряжением называется разность потенциалов между обкладками, при которой происходит пробой, то есть электрический разряд через слой диэлектрика. C Рисунок 8.15 Рисунок 8.16 Для увеличения емкости конденсаторы соединяют в батареи. Емкость системы конденсаторов при последовательном соединении (рис. 8.15) определяется уравнением: n 1/ C =  1/ Ci (8.36) i 1 при параллельном соединении емкость (рис. 8.16) батареи равна n C =  Ci, (8.37) i 1 где Ci - емкость i-го конденсатора, n - число конденсаторов в батарее. 8.8 Энергия системы точечных электрических зарядов, заряженных проводников и конденсаторов. Энергия электростатического поля. Объемная плотность энергии. Пондермоторные силы. Энергия взаимодействия системы точечных зарядов определяется уравнением: n Wn =  Qiφi/2, (8.38) i 1 где φi - потенциал, создаваемый в той точке, где находится заряд Qi всеми зарядами, кроме i–го Энергия электростатического поля уединенного заряженного проводника равна: Wn = C2/2φ = Qφ/2 = Q2/2C, (8.39) где Q– заряд ; C –электроемкость, φ –потенциал проводника. Энергия заряженного конденсатора: Wn = C2/2∆φ = Q∆φ/2 = Q2/2C, (8.40) где ∆φ - разность потенциалов между обкладками Энергия электростатического поля плоского конденсатора (однородное поле): 2 WП  εε 0 E V 2 2  D V 2εε 0 , где S– площадь одной из пластин; V = Sd - объем конденсатора Объемная плотность энергии (энергия единицы объема): (8.41) dWn ; w = εε0E2/2 = D2/2 εε0 = ED/2, dV где D - электрическое смещение Энергия электрического поля w= Wn =  V w dV (8.40) (8.42) Силы притяжения между двумя разноименно заряженными обкладками плоского конденсатора (пондермоторные силы): F = Q2/(2 εε0S) = σ2S/(2 εε0 )= εε0E2S/2 (8.43) 9. ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК 9.1. Характеристики электрического тока Электрическим током называется направленное движение электрических зарядов. В металлах и вакууме движутся электроны, в электролитах (растворах и расплавах солей кислот и оснований) - положительные и отрицательные ионы, в газах - электроны и положительные и отрицательные ионы, в полупроводниках - электроны и дырки. В зависимости от характера движения электрических зарядов, токи подразделяются на конвекционные, при которых заряды перемещаются вместе с макроскопическими телами, на которых они находятся, и токи проводимости, при которых имеет место движение свободных электрических зарядов внутри проводника под действием внешнего поля. За направление тока принимается упорядоченное движение  положительных зарядов. Положительный заряд течет в направлении вектора E или в направлении убывания потенциала, т.е. в сторону, противоположную grad   ( E = - grad  ). Заряд, протекающий через поперечное сечение проводника за единицу времени, называется силой тока: dQ I dt (9.1) Сила тока измеряется в амперах (А). Ток, величина которого не меняется с течением времени называется постоянным: Q I = const (9.2) t Если ток быстро меняется, то можно определить мгновенное значение тока: i dQ . dt (9.3) Полный заряд, протекающий за промежуток времени от t1 до t2, равен: t2 Q   i  dt . t1 Плотность тока показывает какой заряд проходит через единицу поперечного сечения проводника за единицу времени: dI dQ j  dS dt  dS (9.4) Единица плотности тока - 1 А/м2 По классической электронной теории, заряд, переносимый через поперечное сечение проводника за время dt, определяется выражением: dQ = neSdt, где n и e – концентрация и заряд носителей тока, - средняя арифметическая скорость упорядоченного движения электронов  Сила тока равна: I  ne  v  S , (9.5)   плотность тока: j  ne  v  (9.6) 9.2. Разность потенциалов, ЭДС и напряжение Кулоновские силы электростатического взаимодействия между зарядами приводят к их перераспределению в проводнике, при котором поле внутри проводника исчезает, а потенциалы во всех его точках выравниваются. Поэтому поле кулоновских сил не является причиной возникновения постоянного электрического тока. Постоянный электрический ток проводимости существует при условии, что напряженность электрического поля в проводнике отлична от нуля и не изменяется со временем. Цепи постоянного тока проводимости должны быть замкнутыми, а на свободные заряды помимо электростатических (кулоновских) сил должны действовать силы, называемые сторонними силами. Электрическое поле сторонних сил в цепи создается включенными в нее источниками ЭДС (гальваническими элементами, аккумуляторами, электрическими генераторами и т.д.). Перемещая электрические заряды и поддерживая постоянными разности потенциалов между любыми двумя точками цепи постоянного тока, сторонние силы совершают работу за счет энергии, затрачиваемой в источнике ЭДС, который играет роль источника энергии в цепи. Поле сторонних сил существует внутри источника ЭДС. Под действием создаваемого поля сторонних сил электрические заряды движутся внутри источника тока против сил электростатического поля, благодаря чему на концах цепи поддерживается разность потенциалов и в цепи течет постоянный электрический ток. Сторонние силы совершают работу по перемещению электрических зарядов. Физическая величина, определяемая работой, совершаемой сторонними силами при перемещении единичного положительного заряда, называется электродвижущей силой (ЭДС), действующей в цепи: А   cт Qo , (9.7) где Аст - работа сторонних сил по перемещению положительного заряда Qo Работа сторонних сил Fcт по перемещению заряда Q0 на замкнутом участке пути:     A   Fст dl cт Q0  Eст dl , (9.8)  где E ст- напряженность поля сторонних сил. Электродвижущая сила (ЭДС) определяется циркуляцией вектора напряженности поля сторонних сил:      Edl (9.9) ЭДС на участке цепи определяется выражением: 2      Eст dl 1 На участках цепи постоянного тока, не содержащих источников ЭДС, перемещение зарядов происходит под действием сил электростатического поля. Разность потенциалов ( (1  2 ) на участке цепи определяется работой электростатических сил по переносу единичного положительного заряда φ1 – φ2 = На заряды в сторонние силы: A12 Q0 электрической цепи действуют электростатические и      F  Fст  Fe  Q0 ( Ecт  E ) Работа результирующей силы на участке цепи 1-2 над зарядом Q0 равна сумме работ сторонних и электростатических сил: 2  2    A12  Q0  Ecт dl  Q0  Edl  Q0 т  Q0 (1   2 ) 1 1 (9.10) Напряжение на участке цепи 1-2 определяется работой по перемещению единичного положительного заряда электростатическими и сторонними силами: U12  1   2  12 (9.11) В замкнутой цепи (1  2 ) =0 работа равна A  Q и напряжение равно ЭДС: U12   12 Участок не содержащий ЭДС называется однородным или пассивным и напряжение на этом участке равно разности потенциалов: U12  1   2 9.3 Закон Ома. Сопротивление Закон Ома состоит в утверждении: Сила тока I в проводнике пропорциональна напряжению на его концах U. I U , R (9.12) где коэффициент пропорциональности записывается в виде (1/R). Величину R называют сопротивлением. Величина обратная сопротивлению 1 проводника называется электрической проводимостью: G  R Сопротивление зависит от материала, длины проводника и площади поперечного сечения.. Сопротивление однородного линейного проводник длиной l и площадью поперечного сечения s определяется уравнением: R l 1 l   S  S где  - удельное сопротивление, а   , (9.13) 1 - удельная электропроводность.  Единица сопротивления – Ом = вольт/ампер (Ом=В/А). Единица измерения удельного сопротивления – ом.метр (Ом/м). Единица измерения электрической проводимости – сименс (См=1/Ом) У металлов удельная электропроводность  порядка 108 Ом 1 м 1 , у полупроводников - (105 - 10-5) Ом 1 м 1 , а у диэлектриков – меньше 10-5 Ом 1 м 1 . Зависимость сопротивления металлов от температуры определяется уравнениями:    0 (1  t ) (9.14) R  R0 (1  t ) , где  - температурный коэффициент сопротивления, град-1, t – температура, 0С. При низких температурах, близких к абсолютному нулю, у многих чистых металлов и сплавов сопротивление резко скачком падает до нуля (рис. 9.1). Это явление было открыто в 1911 году голландским физиком КамерлингОннесом для ртути и получило название сверхпроводимости, металлы в таком состоянии называют сверхпроводниками. При протекании тока по проводнику с нулевым сопротивлением на поддержание тока не затрачивается работа, в нем не выделяется теплота. Поэтому сверхпроводники весьма перспективны для техники. Однако для использования этого эффекта необходимо поддерживать крайне низкие температуры. В последствие были открыты высокотемпературные сверхпроводники, в которых сверхпроводимость наблюдается уже при температурах жидкого азота (77 К). В настоящее время исследуются керамические материалы, обладающие сверхпроводимостью при температурах порядка 100 К. Рисунок 9.1 В таблице 9.1 приведены законы последовательного и параллельного соединения проводников Таблица 9.1 - Последовательное и параллельное соединение проводников Последовательное Параллельное соединение Соединение Постоянная величина Суммируемая величина Результирующее сопротивление соединение конец предыдущего проводника соединен с началом последующего I1 = I2 = …=In I=const n начала проводников соединены в один общий узел, концы в другой U1=U2=…Un U=const n Напряжение: U  U i Сила тока: I   I i i 1 i 1 n n 1 1  R i 1 Ri R   Ri i 1 U 1 R2  U 2 R1 n G   i  1Gi I1 R2  I 2 R1 Обобщенный закон Ома закон Ома для неоднородного участка цепи: Сила тока прямо пропорциональна сумме разности потенциалов и ЭДС и обратно пропорциональна сопротивлению участка:    2   12 I 1 R (9.15) Закон Ома для замкнутой (полной) цепи: Сила тока прямо пропорциональна ЭДС и обратно пропорциональна полному сопротивлению цепи:  I Rr , (9.16) где R –сопротивление внешней цепи (потребителя, подводящих проводов и измерительных приборов), r – внутреннее сопротивление (сопротивление источника тока). Напряжение на внешней цепи равно U  IR    Ir Ток короткого замыкания возникает, когда внешнее сопротивление R⟶ 0 и равен:  I кз  r , (9.17) где 12 - действующая на участке 1-2 эдс, 1   2 - разность потенциалов, приложенная к концам проводника. Закон Ома для однородного участка цепи: Сила тока прямо пропорциональна разности потенциалов на концах проводника: I  R (9.18) Закон Ома в дифференциальной форме: Плотность электрического тока пропорциональная напряженности поля в проводнике   j  E, j  E (9.19) Таблица 9.2. - Анализ обобщенного закона Ома 1 2 3 Закон Ома для Источника тока нет: 12  0 однородного участка цепи Закон Ома для Цепь замкнута замкнутой цепи  1  2 Цепь разомкнута: I=0 Из ОЗО: I  Из ОЗО: 1   2 R I  U R  где RR сопротивление всей цепи ЭДС в разомкнутой цепи равна разности потенциалов на ее концах Из ОЗО  12  1   2 : Закон Ома для батареи последовательно соединенных элементов: n I R  nr , (9.20) где n- число элементов в батарее Закон Ома для батареи параллельно соединенных элементов:  I R r n , (9.21) где n – число элементов в батарее Закон Ома для смешанного соединения элементов в батарею: k I kr R n , (9.22) где k- число ветвей в батарее, n – число элементов в ветви. 9.4. Правила Кирхгофа для разветвленных цепей Расчет сложных (разветвленных) цепей постоянного тока состоит в отыскании по заданным сопротивлениям участков цепи и приложенным к ним ЭДС сил токов в каждом участке. Для решения этой задачи применяются правила Кирхгофа. Узлом в разветвленной цепи называется точка, в которой имеется более двух возможных направлений тока. В узле сходится три и больше проводников. Первое правило Кирхгофа (правило узлов): алгебраическая сумма токов Ik , сходящихся в узле, равна нулю: n I k 1 k 0 , (9.23) где n - число проводников, сходящихся в узле. Положительными считаются токи, подходящие к узлу, отрицательными – токи, отходящие от него (рис. 9.2). Рисунок 9.2 Рисунок 9.3 Второе правило Кирхгофа (правило контуров): в любом замкнутом контуре электрической цепи, алгебраическая сумма падений напряжений равна алгебраической сумме ЭДС, встречающихся в этом контуре (рис. 9.3): n I k 1 n k Rk    k (9.24) k 1 При использовании второго правила Кирхгофа выбирается определенное направление обхода контура; токи Ik , совпадающие по направлению с направлением обхода, считаются положительными. ЭДС  k источника тока считаются положительными, если они создают токи, направленные в сторону обхода контура. Порядок расчета сложной цепи постоянного тока: 1) произвольно выбираются направления токов во всех участках цепи; 2) для m узлов цепи записываются m-1 независимых уравнений правила узлов; 3) выделяются произвольные замкнутые контуры так, чтобы каждый новый контур содержал хотя бы один участок цепи, не водящий в уже рассмотренные контуры. В разветвленной цепи, состоящей из p ветвей (участков цепи между соседними узлами) и m узлов, число независимых уравнений правила контуров равно р-m+1. 9.5 Работа и мощность в цепи постоянного тока. Закон Джоуля Ленца Рассмотрим однородный проводник, к концам которого приложено напряжение U за время dt через сечение проводника переносится заряд dq=Idt. Так как ток представляет собой перемещение заряда dq под действием электрического поля, то, элементарная работа электрического тока на участке цепи определяется выражением: U2 2 dt dA= Udq = IUdt = I Rdt = R (9.25) Работа электрического тока на участке цепи равна: t t t U2 2 dt A=  IUdt =  I Rdt =  R (9.26) t t t Единица работы электрического тока – джоуль (Дж) Работа постоянного электрического тока определяется выражением: U2 2 t A= Uq = IUt = I Rt = R (9.27) . . 6 Внесистемная единица работы 1квт ч= 3,6 МДж=3,6 10 Дж Мощность электрического тока определяет работу совершаемую в единицу времени на участке цепи: dA U2 2 P  UI  I R  dt R (9.28) Единица мощности электрического тока– ватт (Вт). 2 2 2 1 1 1 Если ток проходит по неподвижному металлическому проводнику, то вся работа тока идет на его нагревание и, по закону сохранения энергии: dQ = dA Закон Джоуля - Ленца: Количество теплоты dQ выделенное при прохождении электрического тока через проводник пропорционально квадрату силы тока, сопротивлению проводника и времени прохождения тока через проводник: U2 2 dt dQ= Udq = IUdt = I Rdt = R (9.29) Закон Джоуля –Ленца в интегральной форме: е2 е2 е2 U2 2 dt Q==  IUdt =  I Rdt =  R (9.30) е1 е1 е1 Закон Джоуля – Ленца для постоянного тока определяется уравнением: U2 2 t Q= Uq = IUt = I Rt = R (9.31) Удельная тепловая мощность тока равна мощности выделяемой единицей объема проводника: dQ w dVdt Закон Джоуля – Ленца в дифференциальной форме: Удельная тепловая мощность тока пропорциональна квадрату плотности тока (квадрату напряженности электрического поля в проводнике): w  j 2  iE  E 2 , (9.32) Коэффициент полезного действия источника тока (КПД) определяется отношением мощности, выделяемой на потребителе, к мощности. выделяемой во всей цепи: Р R U   пол %  % % Рзатр. Rr  (9.33) 10. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ 10. 1. Основные характеристики магнитного поля В пространстве, окружающем электрические токи и постоянные магниты, возникает поле, называемое магнитным. Наличие магнитного поля обнаруживается по силовому действию на внесенные в него проводники с током или постоянные магниты. Электрическое поле действует как на неподвижные, так и на движущиеся в нем электрические заряды. Магнитное поле действует только на движущиеся в этом поле электрические заряды. Характер воздействия магнитного поля на ток зависит от формы проводника, по которому течет ток, от расположения проводника и от направления тока. При исследовании магнитного поля используется замкнутый плоский контур с током (рамка с током), линейные размеры которого малы по сравнению с расстоянием до токов, образующих магнитное поле. Ориентация контура в пространстве определяется направлением нормали к контуру. Магнитное поле оказывает на рамку с током ориентирующее действие, поворачивая ее определенным образом. За направление магнитного поля в данной точке принимается направление, вдоль которого располагается положительная нормаль к рамке (рис. 10.1). Рисунок 10.1 Рисунок 10.2 За направление магнитного поля принято направление, совпадающее с направлением силы, которая действует на северный полюс магнитной стрелки, помещенной в данную точку (рис. 10.2). Полюса магнитной стрелки лежат в близких точках поля, поэтому силы, действующее на оба полюса, равны друг другу, поэтому на магнитную стрелку действует пара сил, поворачивающая ее так, чтобы ось стрелки, совпадала с направлением поля. На рамку с током в магнитном поле также действует пара сил, вращающий момент которых зависит от свойств поля в данной точке и характеристик рамки и определяется формулой:    М  [ pm B ]  pm B sin  (10.1)  где ⃗𝒑 р m - вектор магнитного момента рамки с током, B - вектор магнитной индукции, количественная силовая характеристика  магнитного поля,  - угол между нормалью к плоскости контура и вектором B Для плоского контура с током I магнитный момент рамки с током   p m  ISn, p m  IS , (10.2)  где S – площадь поверхности контура (рамки); n - единичный вектор нормали к поверхности рамки. Отношение максимального вращающего момента, действующего на контур к его магнитному моменту служит характеристикой магнитного поля, называемой магнитной индукцией: M B  max pm (10.3) Магнитная индукция в данной точке однородного магнитного поля определяется максимальным вращающим моментом, действующим на рамку с магнитным моментом, равным единице, когда нормаль к рамке перпендикулярна направлению поля. Единица измерения индукции магнитного поля: тесла = . . 1ньютон/ампер метр (Тл =Н/А м ) Магнитное поле по аналогии с электрическим, изображают с помощью линий магнитной индукции — линий, касательные к которым в каждой точке ⃗⃗⃗ Их направление задается правилом совпадают с направлением вектора В. правого винта: головка винта, ввинчиваемого по направлению тока, вращается в направлении линий магнитной индукции. Линии магнитной индукции всегда замкнуты и охватывают проводники с током. Этим они отличаются от линий напряженности электростатического поля, которые являются разомкнутыми (начинаются на положительных зарядах и кончаются на отрицательных). Согласно гипотезе французского физика А. Ампера (1775—1836), в любом теле существуют микроскопические токи, обусловленные движением электронов в атомах и молекулах. Эти микроскопические молекулярные токи создают свое магнитное поле и могут поворачиваться в магнитных полях макротоков. Если вблизи тела поместить проводник с током (макроток), то под действием его магнитного поля микротоки во всех атомах определенным образом ориентируются, создавая в теле дополнительное магнитное поле. ⃗ характеризует результирующее Вектор магнитной индукции В магнитное поле, создаваемое всеми макро- и микротоками, т. е. при одном и ⃗ в различных средах будет том же токе и прочих равных условиях вектор В иметь разные значения.  Магнитное поле макротоков описывается вектором напряженности H . Для однородной изотропной среды вектор магнитной индукции связан с вектором напряженности следующим соотношением:   B  0 H , (10.4) где  0  4  10 7 Гн / м - магнитная постоянная,  — безразмерная величина — магнитная проницаемость среды, показывающая, во сколько раз магнитное ⃗⃗ усиливается за счет поля микротоков среды. поле макротоков Н  Напряженность магнитного поля H измеряется в ампер/метр (А/м) 10.2 Закон Био — Савара — Лапласа и его применение к расчету магнитных полей проводников Французскими учеными Ж. Био , Ф. Саваром, и П. Лапласом исследовались магнитные поля постоянных токов проводников различной формы и был установлен следующий закон:  Магнитная индукция, создаваемая элементом проводника dl с током I (рис 10.3) в некоторой точке равна:    0 I [dl , r ] dB  4r 3 , (10.5)  где r - радиус-вектор, проведенный из элемента dl проводника в точку поля. Модуль вектора индукции магнитного поля определяется выражением:  Idl sin dB  0 4r 2 , (10.6)   где  - угол между dl и r .   Направление вектора dB перпендикулярно dl и 𝑟, т. е. перпендикулярно плоскости, в которой они лежат, и совпадает с касательной к линии магнитной индукции. Это направление определяется правилом правого винта: ⃗ , если направление вращения головки винта дает направление 𝑑𝐵 поступательное движение винта соответствует направлению тока в элементе. Рисунок 10.3 Рисунок 10.4 Рисунок 10.5 Для магнитного поля, как и для электрического, справедлив принцип суперпозиции: Магнитная индукция результирующего поля, создаваемого несколькими токами или движущимися зарядами, равна векторной сумме магнитных индукций складываемых полей, создаваемых каждым током или движущимся зарядом в отдельности:  n     B   Bi  B2  B2  ....  Bn , (10.7) ⃗ i – магнитная индукция, создаваемая каждым током (движущимся где В зарядом) в отдельности. Если распределение токов симметрично, то применение закона Био — Савара — Лапласа совместно с принципом суперпозиции позволяет рассчитать их магнитные поля. Магнитное поле прямого тока — тока, текущего по тонкому прямому проводу (рис. 10.4) в произвольной точке А, удаленной от оси проводника на расстояние R определяется уравнением:  I B  0 (cos1  cos 2 ) 4r , (10.8) где 1, ,  2 - углы, под которыми из рассматриваемой точки поля видны начало и конец проводника, r – расстояние до проводника Так как угол  для всех элементов прямого тока изменяется в пределах от 0 до , то, магнитное поле бесконечного прямого тока:  I B 0 2r (10.9) Магнитное поле в центре кругового витка с током радиусом R (рис.10.5) определяется выражением:  I B 0 2r (10.10) Магнитное поле на оси кругового витка на расстоянии b от его центра:  0 Ir 2  0  2 pm = B 3 3 2 2 2 2 2 2 4  ( r  b ) 4 (r  b ) (10.11) i 1 где p m  I  2r 2 – магнитный момент витка с током I. Магнитное поле на оси соленоида конечной длины (цилиндрической катушки, на которую плотно намотана проволока) определяется уравнением: 1 В   0 nI (cos 2  cos1 ) 2 , (10.12) где n=N/L – число витков, приходящихся на единицу длины, N, L – соответственно, число витков и длина соленоида, 1, 2 - углы, под которыми из произвольной точки на оси соленоида видны его концы Максимальная индукция в центре соленоида конечной длины равна: B  0 I  2r  I    L 2 (10.13) где r – радиус витка соленоида. 10.3 Закон Ампера. Взаимодействие параллельных токов  Сила Ампера, действующая на элемент проводника dl с током I в магнитном поле равна    dF  I [dl , B] (10.14) Модуль силы Ампера вычисляется по формуле: (10.15) dF  IBdl sin ,   где  - угол между dl и B .  Направление вектора dF определяется, согласно (10.14), по правилам нахождения направления векторного произведения или мнемоническому правилу левой руки: ⃗,а Если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входил вектор В четыре вытянутых пальца направить по направлению тока в проводнике, то отогнутый большой палец покажет направление силы, действующей на ток. Сила Ампера, действующая в магнитном поле на проводник конечной длины l с током I определяется интегралом:    F  I  [dl , B ] (l ) Сила Ампера, действующая в однородном прямолинейный проводник. равна: В  IlBsin (10.16) магнитном поле на  (10.17) где  -угол между направлением тока в проводнике и вектором B Закон Ампера применяется для определения силы взаимодействия двух бесконечных прямолинейных параллельных тока I1 и I2; расстояние между которыми равно r . Каждый из проводников создает магнитное поле, которое действует по закону Ампера на другой проводник с током. Сила взаимодействия двух параллельных токов I1, I2 длиной l находящихся на расстоянии r друг от друга (рис. 10.6) равна:  I1 I 2 l F 2r (10.18) Два параллельных тока одинакового направления притягиваются друг к другу, если токи имеют противоположные направления то, они отталкиваются. Рисунок 10.6 Рисунок 10.7 10.4. Магнитное поле движущегося электрического заряда Любой движущийся в вакууме или среде заряд Q,создает вокруг себя  магнитное поле В . Под свободным движением заряда понимается его движение с постоянной скоростью. Индукция магнитного поля В точечного заряда Q, свободно движущегося   с нерелятивистской скоростью  с (  сonst) :   0 Q[, r ] B , 4r 3 (10.19)  где r - радиус-вектор, проведенный из заряда Q к точке наблюдения, Формула (10.19) определяет магнитную индукцию положительного  заряда, движущегося с относительной скоростью  . Если движется отрицательный заряд, то Q надо заменить на —Q.  Согласно выражению (10.19), вектор В направлен перпендикулярно   плоскости, в которой расположены векторы  и r ., а именно: его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его   вращении от  к r (рис.10.7). Модуль магнитной индукции вычисляется по формуле B  0 Q sin  4r 2 , (10.20)   где  — угол между векторами  и r Таким образом, движущийся заряд по своим магнитным свойствам эквивалентен элементу тока:  Id𝑙 = Q 10.5. Действие магнитного поля на движущийся заряд. Движение заряженных частиц в магнитном поле Магнитное поле действует не только на проводники с током, но и на отдельные заряды, движущиеся в магнитном поле. Сила, действующая на электрический заряд Q, движущийся в магнитном  поле со скоростью  (рис.10.8), называется силой Лоренца и выражается формулой:    Fл  Q[ , B], (10.21) где Q – электрический заряд, движущийся со скоростью  в магнитном поле с  индукцией B . Модуль силы Лоренца равен:   где  угол между  и B  Fл  QB sin  , (10.22) Рисунок 10.8 Рисунок 10.9 Направление силы Лоренца и направление вызываемого ею отклонения заряженной частицы в магнитном поле зависят от знака заряда Q частицы. На этом основано определение знака заряда частиц, движущихся в магнитных полях. Направление силы Лоренца определяется с помощью правила левой  руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входил вектор B ,  а четыре вытянутых пальца направить вдоль вектора  , то отогнутый большой палец покажет направление силы, действующей на положительный заряд Q>0, (для Q<0 — направление силы будет противоположно). На рис. 10.8. показана   взаимная ориентация векторов  и B (поле направлено к нам, на рисунке показано точками) и силы F . действующей на положительный заряд. Сила. действующая на отрицательный заряд, направлена противоположно. Магнитное поле действует только на движущиеся в нем заряды и не действует на покоящийся электрические заряды.. Сила Лоренца перпендикулярна скорости движения заряженной частицы, она изменяет направление скорости, не изменяя ее модуля. Поэтому работа силы Лоренца работы нулю. Постоянное магнитное поле не совершает работы над движущейся в нем заряженной частицей, и кинетическая энергия этой частицы при движении в магнитном поле не изменяется. Если на движущийся электрический заряд помимо магнитного поля с ⃗ , то индукцией B действует и электрическое поле с напряженностью Е результирующая сила 𝐹 , приложенная к заряду, равна векторной сумме сил — силы, действующей со стороны поля, и силы Лоренца:  электрического    F  QE  Q[ , B] (10.23)  Это выражение называется формулой Лоренца. Скорость в этой формуле - это скорость заряда относительно магнитного поля. Если заряженная частица движется в однородном магнитном поле со   скоростью  вдоль линий магнитной индукции, то угол  между векторами  ⃗ равен 0 или . Тогда по формуле (10.21) сила Лоренца равна нулю Fл=0, т. иВ е. магнитное поле на частицу не действует и она движется равномерно и прямолинейно.  Если заряженная частица движется в магнитном поле со скоростью  , ⃗ , угол  =  /2, в, то сила Лоренца перпендикулярной вектору В равна Fл  QB и согласно второму закону Ньютона создает центростремительное ускорение. Частица будет двигаться по окружности, радиус r которой определяется из условия QvB=mv2/r: m r QB (10.24) Период вращения частицы в однородном магнитном поле определяется величиной, обратной удельному заряду частицы, и магнитной индукцией поля, но не зависит от ее скорости (при v< 0 вызывает ЭДС εi 𝑑𝑡 <0 т. е. поле индукционного тока направлено навстречу потоку; уменьшение 𝑑Ф потока < 0 вызывает εi >0 т.е. направления потока и поля индукционного 𝑑𝑡 тока совпадают. Знак минус в формуле (10.1) определяется правилом Ленца: Индукционный ток в контуре имеет всегда такое направление, что создаваемое им магнитное поле препятствует изменению магнитного потока, вызвавшему этот индукционный ток. Закон Фарадея может быть получен из закона сохранения энергии. Этот закон является универсальным: ЭДС индукции не зависит от способа изменения магнитного потока. Если проводник движется в постоянном магнитном поле, то сила Лоренца, действующая на заряды внутри проводника, движущиеся вместе с проводником, будет направлена противоположно току, т. е. она будет создавать в проводнике индукционный ток противоположного направления. Таким образом, возбуждение ЭДС индукции при движения контура в постоянном магнитном поле объясняется действием силы Лоренца, возникающей при движении проводника. ЭДС индукции в проводнике длиной l, движущемся в однородном магнитном поле индукцией В со скоростью 𝑣, определяется выражением 𝜀 = В𝑙𝑣 sin 𝛼 (11.2) где 𝛼- угол между направлениями вектора индукции магнитного поля и скоростью движения проводника. Согласно закону Фарадея, возникновение ЭДС электромагнитной индукции возможно и в случае неподвижного контура, находящегося в переменном магнитном поле. Максвелл для объяснения ЭДС индукции в неподвижных проводниках предположил, что всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле, которое и является причиной возникновения индукционного тока в проводнике. 𝑑Ф 11.2. Вращение рамки в магнитном поле Явление электромагнитной индукции используется для преобразования механической энергии в энергию электрического тока. Рассмотрим плоскую рамку, которая равномерно вращается в однородном магнитном поле (B=const) с угловой скоростью =const (рис. 11.2). Рисунок 11.2 Магнитный поток, сцепленный с рамкой площадью S, в любой момент времени t, равен Ф= NBS  соst , (11.3) где N и S– число витков и площадь рамки, В – индукция магнитного поля,  угловая скорость вращения рамки,  = t — угол поворота рамки в момент времени t (начало отсчета выбрано так, чтобы при t=0 было =0). При вращении рамки в ней возникает переменная ЭДС индукции изменяющаяся со временем по гармоническому закону: dФ i    NBS  sin t   max sin t (11.4) dt При sint = l ЭДС максимальна и равна (11.5)  max  NBS При равномерном вращении рамки однородном магнитном поле в ней возникает переменная ЭДС., изменяющаяся по гармоническому закону. Вращающаяся плоская рамка в магнитном поле – модель генератора переменного тока. Из формулы (11.4) вытекает, что ЭДС индукции находится в прямой зависимости от величин , B и S. В России принята стандартная частота переменного тока  = /(2) = 50 Гц. Процесс превращения механической энергии в электрическую обратим. Если по рамке, помещенной в магнитное доле, пропускать электрический ток, то на нее будет действовать вращающий момент и рамка начнет вращаться. На этом принципе основана работа электродвигателей, предназначенных для превращения электрической энергии в механическую. 11.3. Вихревые токи (токи Фуко) Индукционные токи в массивных сплошных проводниках, помещенных в переменное магнитное поле замкнуты в толще проводника и поэтому называются вихревыми или токами Фуко. Вихревые токи вызывают нагревание проводников. Для уменьшения потерь на нагревание якоря генераторов и сердечники трансформаторов делают не сплошными, а изготовляют из тонких пластин, отделенных одна от другой слоями изолятора, и устанавливают их так, чтобы вихревые токи были направлены поперек пластин. Джоулева теплота, выделяемая токами Фуко, используется в индукционных металлургических печах. Индукционная печь представляет собой тигель, помещаемый внутрь катушки, в которой пропускается ток высокой частоты. В металле возникают интенсивные вихревые токи, разогревающие его до плавления. Такой способ позволяет плавить металлы в вакууме, в результате чего получаются сверхчистые материалы. Вследствие возникновения вихревых токов быстропеременный ток оказывается распределенным по сечению провода неравномерно — он вытесняется на поверхность проводника. Это явление получило название скинэффекта (от англ. skin — кожа) или поверхностного эффекта. Так как токи высокой частоты практически текут в тонком поверхностном слое, то провода для них делаются полыми. Если сплошные проводники нагревать токами высокой частоты, то в результате скин-эффекта происходит нагревание только их поверхностного слоя. На этом основан метод поверхностной закалки металлов. Меняя частоту поля, он позволяет производить закалку на любой требуемой глубине. 11.4 Индуктивность контура. Самоиндукция Электрический ток, текущий в замкнутом контуре, создает вокруг себя магнитное поле, индукция которого, по закону Био — Савара — Лапласа, пропорциональна току. Сцепленный с контуром магнитный поток Ф поэтому пропорционален току I в контуре: Ф  LI (11.6) где коэффициент пропорциональности L называется индуктивностью. Единица индуктивности – Гн (генри) =1 Ом с При изменении силы тока в контуре изменяется сцепленный с ним магнитный поток; следовательно, в контуре индуцируется ЭДС Возникновение ЭДС индукции в проводящем контуре при изменении в нем силы тока называется самоиндукцией. Индуктивность бесконечно длинного соленоида определяется выражением N 2S L  0    0 n 2V l , (11.7) где N - число витков соленоида, l - длина, S - площадь поперечного сечения и магнитная проницаемость вещества, из которого изготовлен сердечник соленоида. Индуктивность контура зависит только от геометрической формы контура, его размеров и магнитной проницаемости среды, в которой он находится. Применяя к явлению самоиндукции закон Фарадея, получим, что ЭДС самоиндукции в контуре: dФ d i     (LI ) dt dt Если контур не деформируется и магнитная проницаемость среды не меняется, то L=const и ЭДС самоиндукции dI  i  L dt , (11.8) где знак минус, обусловленный правилом Ленца, показывает, что наличие индуктивности в контуре приводит к замедлению изменения тока в нем. Контур, обладая определенной индуктивностью, приобретает электрическую инертность, заключающуюся в том, что любое изменение тока тормозится тем сильнее, чем больше индуктивность контура. 11.5 Токи при размыкании и замыкании цепи При всяком изменении силы тока в проводящем контуре возникает э.д.с. самоиндукции, в результате чего в контуре появляются дополнительные токи, называемые экстратоками самоиндукции. Рисунок 11.3 Согласно правилу Ленца экстратоки самоиндукции , направлены противоположно току, создаваемому источником. При выключении источника тока экстратоки имеют такое же направление, что и ослабевающий ток. Наличие индуктивности в цепи приводит к замедлению исчезновения или установления тока в цепи. Экстраток, возникающий при размыкании цепи определяется выражением: t I  I 0e  I 0e  Rt L , (11.9) L где   - время релаксации, за которое сила тока уменьшается в е раз, L R индуктивность, R - сопротивление В процессе отключения источника тока сила тока убывает по экспоненциальному закону (11.9) и определяется кривой 1 на рис. 11.3 . Чем больше индуктивность цепи и меньше ее сопротивление, тем больше  и, следовательно, тем медленнее уменьшается ток в цепи при ее размыкании. Экстраток при замыкании цепи равен: I  I 0 (1  e где I 0   t  ) , (11.10) - установившийся ток (при t  ) R В процессе включения источника тока нарастание силы тока в цепи задается уравнением (11.10) и определяется кривой 2 на рис. 11.3. Сила тока возрастает от начального значения I=0 и асимптотически стремится к установившемуся значению I 0   . Скорость нарастания тока определяется R тем же временем релаксации =L/R, что и убывание тока. Установление тока происходит тем быстрее, чем меньше индуктивность цепи и больше ее сопротивление. 11.6. Взаимная индукция Рассмотрим два неподвижных контура (1 и 2), расположенных вблизи друг от друга (рис. 11.4). Явление возникновения э.д.с. в одном из контуров при изменении силы тока в другом называется взаимной индукцией. Рисунок 11.4 Индуцируемая в контурах ЭДС:  12   Рисунок 11.5 dФ2 dI dФ dI   L21 1 ,  21   1   L12 2 dt dt dt dt (11.8) Коэффициенты пропорциональности L21 и L12 называются взаимной индуктивностью контуров. Расчеты, подтверждаемые опытами, показали, что L21 и L12 равны друг другу, т. е. L21 = L12 (11.9) Коэффициенты L12 и L21 зависят от геометрической формы, размеров, взаимного расположения контуров и магнитной проницаемости окружающей контуры среды. Единица взаимной индуктивности та же, что и для индуктивности, — генри (Гн). Взаимная индуктивность двух катушек, намотанных на тороидальный сердечник (рис. 11.5) равна: NN L  0  1 2 S l (11.10) 11.7 Трансформаторы Трансформаторы - приборы , предназначенные для преобразования переменного тока одного напряжения в переменный ток другого напряжения. Принцип действия трансформаторов основан на явлении взаимной индукции. Трансформаторы сконструированы и введены в практику русским электротехником П.Н. Яблочковым (1847—1894) и русским физиком И.Ф. Усагиным (1855—1919). Принципиальная схема трансформатора показана на рис. 11.6. Первичная и вторичная катушки (обмотки), имеющие соответственно N1 и N2 витков, укреплены на замкнутом железном сердечнике, изготовленном из мягкой листовой стали. Концы первичной обмотки присоединены к источнику переменного напряжения, и в ней возникает переменный ток I1, создающий в сердечнике трансформатора переменный магнитный поток Ф, который полностью локализован в железном сердечнике и, следовательно, почти целиком пронизывает витки вторичной обмотки. Изменение этого потока вызывает во вторичной обмотке появление ЭДС взаимной индукции, а в первичной — ЭДС самоиндукции. Рисунок 11.6 Отношение числа витков, показывающее, во сколько раз ЭДС (напряжение) в первичной обмотке трансформатора больше (или меньше), чем во вторичной, называется коэффициентом трансформации: k N1  1 U 1 I 2    N 2  2 U 2 I1 (11.10) где k > 1 – трансформатор понижающий, уменьшающий ЭДС (напряжение) и повышающим ток (применяются, например, при электросварке, так как для нее требуется большой ток при низком напряжении); k < 1 – трансформатор повышающий, увеличивающий переменную ЭДС и понижающий ток (применяются, например, при передачи электроэнергии на большие расстояния, так как потери на джоулеву теплоту, пропорциональные квадрату силы тока, снижаются) Коэффициент полезного действия трансформатора: Р IU  2 % 2 2 % Р1 I1U1 (11.11) 11.8. Энергия магнитного поля Вокруг проводник, по которому протекает электрический ток, существует магнитное поле, которое появляется и исчезает с появлением и исчезновением тока. Энергия магнитного поля равна работе, которая затрачивается током на создание этого поля. Энергия магнитного поля контура индуктивностью L, по которому течет ток I, определяется выражением: LI 2 W 2 (11.12) Энергия магнитного поля соленоида:  0 H 2 1 N 2I 2 B2 BH W  0  S V V V 2 l 2 0  2 2 , (11.13) где V=SL – объем соленоида. Объемная плотность выражением: энергии магнитного поля определяется  0 H 2 BH dW B2 w    dV 2 0  2 2 (11.14) Формула (11.14) справедливо для сред, у которых зависимость В от Н линейная, то есть пара- и диамагнетиков. 12 МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА 12. 1. Магнитные моменты электронов и атомов Все вещества, помещенные в магнитное поле, намагничиваются. Для качественного объяснения магнитных явлений можно считать, что электрон движется в атоме по круговым орбитам. Электрон, движущийся по такой орбите, эквивалентен круговому току, поэтому он обладает орбитальным магнитным моментом модуль которого: pm  IS  eS , (12.1) где сила орбитального тока I=e ,  - частота вращения электрона по орбите, S – площадь орбиты. С другой стороны, движущийся по орбите электрон обладает механическим моментом импульса, модуль которого равен Ll  mr  2m 2S , (12.2) 2 где 𝑣 = 2 - скорость движения электрона , r = S -площадь орбиты Рисунок 12.1 Рисунок 12.2 Вектор 𝐿⃗ , направление которого определяется по правилу правого винта, называется орбитальным механическим моментом электрона. Если электрон движется по часовой стрелке (рис. 12.1), то ток направлен против  часовой стрелки и вектор p m (в соответствии с правилом правого винта) направлен перпендикулярно плоскости орбиты электрона:   e  pm   L  gL 2m (12.3) где g= – гиромагнитное отношение орбитальных моментов, е и m – заряд 2𝑚 и масса электрона. Определение гиромагнитного отношения проведено в опытах Эйнштейна и де Гааза (1915), оно оказалось в два раза большим, чем введенная величина g. Поэтому было предположено, а впоследствии доказано, что кроме орбитального момента электрон обладает собственным механическим моментом импульса Les, называемым спином. Спин является неотъемлемым свойством электрона, подобно его заряду и массе. Спину электрона, соответствует собственный магнитный момент, пропорциональный Les и направленный в противоположную сторону: 𝑒  p ms  g s Lls (12.4) называется гиромагнитным отношением спиновых Величина gs моментов.  Проекция собственного магнитного момента на направление вектора В может принимать только одно из следующих двух значений: e pmsB     B 2m , (12.5) e где  B  - магнетон Бора, являющийся единицей магнитного момента 2m электрона, ħ=h/(2) (h—постоянная Планка), Магнитный момент электрона складывается из орбитального и спинового магнитных моментов. Магнитный момент атома складывается из магнитных моментов входящих в его состав электронов и магнитного момента ядра. Магнитные моменты ядер в тысячи раз меньше магнитных моментов электронов, поэтому ими пренебрегают. Общий магнитный момент атома (молекулы) ⃗⃗⃗ ра равен векторной сумме магнитных моментов (орбитальных и спиновых), входящих в атом (молекулу) электронов. 12.2 . Диа- и парамагнетизм Все вещества являются магнетиками, т. е. способны под действием магнитного поля приобрести магнитный момент (намагнититься). Электронные орбиты атомов под действием внешнего магнитного поля совершают прецессионное движение, которые эквивалентны круговым токам (рис. 12.2). Эти микротоки индуцированы внешним магнитным полем, и , по правилу Ленца, у атомов появляются составляющие магнитного поля, направленные противоположно внешнему полю. Наведенные составляющие магнитных полей атомов (молекул) складываются и образуют собственное магнитное поле вещества, ослабляющее внешнее магнитное поле. Этот эффект называется диамагнитным эффектом, а вещества, намагничивающиеся во внешнем магнитном поле против направления поля, называются диамагнетиками. В отсутствие внешнего магнитного поля диамагнетик немагнитен, поскольку магнитные моменты электронов взаимно компенсируются, и суммарный магнитный момент атома равен нулю. К диамагнетикам относятся многие металлы (например, Bi, Ag, Au, Сu), большинство органических соединений, смолы, углерод и т. д. Наряду с диамагнитными веществами существуют и парамагнитные — вещества, намагничивающиеся во внешнем магнитном поле по направлению поля. У парамагнитных веществ при отсутствии внешнего магнитного поля магнитные моменты электронов не компенсируют друг друга, и атомы (молекулы) парамагнетиков всегда обладают магнитным моментом. Вследствие теплового движения молекул их магнитные моменты ориентированы беспорядочно, поэтому парамагнитные вещества магнитными свойствами не обладают. При внесении парамагнетика во внешнее магнитное поле устанавливается преимущественная ориентация магнитных моментов атомов по полю. Парамагнетик намагничивается, создавая собственное магнитное поле, совпадающее по направлению с внешним полем и усиливающее его. Этот эффект называется парамагнитным. К парамагнетикам относятся редкоземельные элементы (Pt, Аl и т.д). Атомы всех веществ являются носителями диамагнитных свойств. Если магнитный момент атомов велик, то парамагнитные свойства преобладают над диамагнитными и вещество является парамагнетиком; если магнитный момент атомов мал, то преобладают диамагнитные свойства и вещество является диамагнетиком. 12. 3. Намагниченность. Магнитное поле в веществе Векторная величина намагниченность равна магнитному моменту единицы объема магнетика: 𝐽= 𝑃⃗𝑚 𝑉 = ∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑝𝑚𝑖 𝑉 , (12.5) где ⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑚 — магнитный момент магнетика, представляющий собой векторную сумму магнитных моментов отдельных молекул. Магнитное поле в веществе складывается из двух полей: внешнего поля, создаваемого током, и поля, создаваемого намагниченным веществом (рис. ⃗⃗⃗ характеризует 12.3). Вектор магнитной индукции В, результирующее магнитное поле, создаваемое всеми макро- и микротоками, а вектор ⃗⃗ , характеризует магнитное поле макротоков. напряженности Н Рисунок 12.3 Вектор магнитной индукции результирующего магнитного ноля в магнетике равен векторной сумме магнитных индукций внешнего поля ⃗⃗⃗⃗ В0 ⃗⃗⃗⃗⃗/ , (поля, создаваемого намагничивающим током в вакууме) и поля микротоков В (поля, создаваемого молекулярными токами) : ⃗⃗⃗⃗/ , ⃗ = ⃗⃗⃗⃗ В В0 + В (12.6) / где В0=0Н , а В =µ0J Подставив выражения В0 и В' в (12.6) , получим ⃗⃗⃗ ⃗ = µ0 (𝐻 ⃗ + 𝐽) 𝐵 (12.7) В несильных полях намагниченность пропорциональна напряженности поля, вызывающего намагничение, т. е. ⃗ 𝐽 = 𝜒𝐻 (12.8) где  — безразмерная величина, называемая магнитной восприимчивостью вещества. У диамагнетихов  < 0, поскольку поле молекулярных токов противоположно внешнему, у парамагнетиков  >0 , так как поле молекулярных токов совпадает с внешним. Используя формулу (12.8), выражение (12.7) можно записать в виде ⃗ = µ0 (1 + 𝜒)𝐻 ⃗ 𝐵 (12.9) откуда напряженность магнитного поля ⃗ ⃗Н ⃗ = В (12.10) Безразмерная величина µ0 (1+𝜒) µ = (1 + 𝜒) (12.11) представляет собой магнитную проницаемость вещества. Подставив ее ⃗ =0⃗Н ⃗ , которое ранее в выражение (12.10) получаем к соотношению В постулировалось. Абсолютное значение магнитной восприимчивости у диа- и парамагнетиков очень мало (порядка 10–4 —10–6), поэтому у них магнитная проницаемость  близка к единице, поскольку магнитное поле молекулярных токов значительно слабее намагничивающего поля. Таким образом, для диамагнетиков <0 и <1, для парамагнетиков >0 и >1. Закон полного тока для магнитного поля в веществе (теорема о циркуляции вектора В) является обобщением закона полного тока:  Циркуляция вектора магнитной индукции В : по произвольному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов проводимости и молекулярных токов, охватываемых этим контуром. умноженной на магнитную постоянную:   B  dl   Bl dl  0 ( I  I ) L L (12.12) где I и I' — соответственно алгебраические суммы макротоков (токов проводимости) и микротоков (молекулярных токов), охватываемых произвольным замкнутым контуром L. ⃗⃗⃗ характеризует результирующее поле, созданное как Вектор В, макроскопическими токами в проводниках (токами проводимости), так и микроскопическими токами в магнетиках, поэтому линии вектора магнитной ⃗ не имеют источников и являются замкнутыми. индукции В Теорема о циркуляции вектора напряженности магнитного поля: Циркуляция вектора ⃗⃗⃗ Н по произвольному замкнутому контуру L равна алгебраической сумме токов проводимости, охватываемых этим контуром:   H  dl  I , L   B  J где H   12.4. Ферромагнетики и их свойства Помимо диа- и парамагнетиков, называемых слабомагнитными веществами, существуют сильномагнитные вещества — ферромагнетики — вещества, обладающие спонтанной намагниченностью, т. е. они намагничены даже при отсутствии внешнего магнитного поля (рис. 12.4). К ферромагнетикам— относятся железо, кобальт, никель, гадолиний, их сплавы и соединения. Существенная особенность ферромагнетиков — большие значения магнитной проницаемости  (например, для железа — 5000), причем магнитная проницаемость зависит от напряженности внешнего магнитного поля (рис.12.5). Рисунок 12.4 Рисунок 12.5 Рисунок 12.6 Для ферромагнетиков зависимость J от Н, является сложной. По мере возрастания Н намагниченность J сначала растет быстро, затем медленнее и, наконец, достигается так называемое магнитное насыщение Jнас, уже не зависящее от напряженности поля (рис. 12.4). Особенность ферромагнетиков состоит в том, что для них зависимость J от H определяется предысторией намагничения ферромагнетика. Это явление получило название магнитного гистерезиса. Если намагнитить ферромагнетик до насыщения (точка 1, рис. 12.6 ), а затем начать уменьшать напряженность Н намагничивающего поля, то, уменьшение J описывается кривой 1—2, лежащей выше кривой 1—0. При Н = 0 J отличается от нуля, т. е. в ферромагнетике наблюдается остаточное намагничение Jос. Остаточным намагничениям обусловлено существование постоянных магнитов. Намагничение обращается в нуль под действием поля Нс, имеющего направление, противоположное полю, вызвавшему намагничение. Напряженность Нс называется коэрцитивной силой. При увеличении противоположного поля ферромагнетик перемагничивается (кривая 3—4), и при Н = –Hнас достигается насыщение (точка 4). Затем ферромагнетик можно опять размагнитить (кривая 4—5—6) и вновь перемагнитить до насыщения (кривая 6—7). При действии на ферромагнетик переменного магнитного поля намагниченность J изменяется в соответствии с кривой 1—2—3—4—5—6—1, которая называется петлей гистерезиса (греч. «запаздывание»). Гистерезис приводит к тому, что намагничение ферромагнетика не является однозначной функцией Н, т.е. одному и тому же значению Н соответствует несколько значений J. Ферромагнетики с малой коэрцитивной силой Нс (с узкой петлей гистерезиса) называются мягкими, с большой коэрцитивной силой (с широкой петлей гистерезиса) — жесткими. Жесткие ферромагнетики - углеродистые и вольфрамовые стали применяются для изготовления постоянных магнитов, а мягкие - мягкое железо, сплав железа с никелем — для изготовления сердечников трансформаторов. У каждого ферромагнетика существует определенная температура точкой Кюри, при которой он теряет свои магнитные свойства. При нагревании образца выше точки Кюри ферромагнетик превращается в парамагнетик. Ниже точки Кюри ферромагнетик разбивается на большое число малых макроскопических областей — доменов, самопроизвольно намагниченных до насыщения. При отсутствии внешнего магнитного поля магнитные моменты отдельных доменов ориентированы хаотически и компенсируют друг друга, поэтому результирующий магнитный момент ферромагнетика равен нулю и ферромагнетик не намагничен. Внешнее магнитное поле ориентирует по полю магнитные моменты не отдельных атомов, а областей спонтанной намагниченности. Поэтому с ростом Н намагниченность J ( рис. 12.4) и магнитная индукции В (рис. 12.5 ) в довольно слабых полях растут быстро. Этим объясняется увеличение  ферромагнетиков до максимального значения в слабых полях. При ослаблении внешнего магнитного поля до нуля ферромагнетики сохраняют остаточное намагничение, так как тепловое движение не в состоянии дезориентировать магнитные моменты доменов. Поэтому и наблюдается явление магнитного гистерезиса (рис. 12.6). Для размагничивания ферромагнетика необходимо приложить коэрцитивную силу. Точка Кюри оказывается температурой, выше которой происходит разрушение доменной структуры. Магнитные свойства ферромагнетиков определяются спиновыми магнитными моментами электронов Существуют вещества, в которых обменные силы вызывают антипараллельную ориентацию спиновых магнитных моментов электронов. Такие тела называются антиферромагнетиками. Полупроводниковые ферромагнетики — ферриты, химические соединения типа МeОFе2О3, где Me — ион двухвалентного металла (Mn, Co, Ni, Сu, Mg, Zn, Cd, Fe), имеют ферромагнитные свойства и большое удельное электрическое сопротивление. Ферриты применяются для изготовления постоянных магнитов, ферритовых антенн, сердечников радиочастотных контуров, элементов оперативной памяти в вычислительной технике. 13. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ 13.1 . Вихревое электрическое поле Из закона электромагнитной индукции Фарадея следует, что любое изменение сцепленного с контуром потока магнитной индукции приводит к возникновению электродвижущей силы индукции и вследствие этого появляется индукционный ток. Возникновение ЭДС электромагнитной индукции возможно и в неподвижном контуре, находящемся в переменном магнитном поле. Однако ЭДС в любой цепи возникает только тогда, когда в ней на носители тока действуют сторонние силы — силы неэлектростатического происхождения. Максвелл высказал гипотезу, что всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле, которое и является причиной возникновения индукционного тока в контуре. Согласно представлениям Максвелла, контур, в котором появляется ЭДС, является датчиком, обнаруживающим это поле. Изменяющееся во времени магнитное поле порождает электрическое поле Ев циркуляция которого равна    B   EB dl   t dS L S (13.1) где ЕBl — проекция вектора ⃗ЕB на направление ⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑙. Циркуляция вектора напряженности электростатического поля (обозначим его EQ) вдоль любого замкнутого контура равна нулю:   E  dl 0 (13.2) Сравнение выражений (13.1) и (13.2), показывает, что: циркуляция вектора 𝐸⃗ B в отличие от циркуляции вектора 𝐸⃗ Q не равна нулю. Следовательно, электрическое поле⃗⃗⃗𝐸 B, возбуждаемое магнитным полем, как и само магнитное поле, является вихревым. 13.2. Ток смещения Согласно Максвеллу, если переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве вихревое электрическое поле, то существует и обратное явление: изменение электрического поля вызовет появление в окружающем пространстве вихревого магнитного поля. Для установления количественных соотношений между изменяющимся электрическим полем и вызываемым им магнитным полем Максвелл ввел понятие тока смещения. Рисунок 13.1 Рисунок 13.2 Рассмотрим цепь переменного тока, содержащую конденсатор (рис. 13.1 ). Между обкладками заряжающегося и разряжающегося конденсатора имеется переменное электрическое поле, поэтому, согласно Максвеллу, через конденсатор «протекают» токи смещения, причем в тех участках, где отсутствуют проводники. По Максвеллу, переменное электрическое поле в конденсаторе в каждый момент времени создает такое магнитное поле, как если бы между обкладками конденсатора существовал ток смещения, равный току в подводящих проводах: Iсм =I  поэтому I dQ D   dS dt S t (13.2)  где D - вектор электрического смещения, поверхностная плотность заряда на обкладках равна электрическому смещению в конденсаторе:  =D. Из (13.2) следует, что плотность токасмещения:  D j см  t (13.3) Ток смещения (в вакууме или веществе) создает в окружающем пространстве магнитное поле. Линии индукции магнитных полей токов смещения при зарядке и разрядке конденсатора показаны на рис. 13.2 штриховыми линиями. В диэлектриках ток смещения состоит из двух слагаемых. Так как вектор электрического смещения равен ⃗ = 𝜀𝜀0 𝐸⃗ + 𝑃⃗, 𝐷 где 𝐸⃗ – напряженность электростатического поля, а ⃗Р — поляризованность, то плотность тока в диэлектрике:    E P jcм   0  t t , (13.4)   E P где  0 - плотность тока смещения в вакууме; - плотность тока t t поляризации — тока, обусловленного упорядоченным движением электрических зарядов в диэлектрике. Токи поляризации по своей природе не отличаются от токов проводимости, поэтому возбуждение магнитного поля токами поляризации  E правомерно. Другая часть плотности тока смещения  0 обусловлена только t изменением электрического поля во времени и также возбуждает магнитное поле. Отсюда следует, что всякое изменение во времени электрического поля в вакууме приводит к возникновению в окружающем пространстве магнитного поля. Ток смещения по сути — это изменяющееся со временем электрическое поле. Ток смещения существует не только в вакууме или диэлектриках, но и внутри проводников, по которым проходит переменный ток, однако он пренебрежимо мал по сравнению с током проводимости. Максвелл ввел понятие полного тока, равного сумме токов проводимости и смещения. Плотность полного тока:    D j полн  j  t (13.5) Полный ток в цепях переменного тока замкнут, на концах проводника ток проводимости обрывается, а в диэлектрике (вакууме) между концами проводника имеется ток смещения, который замыкает ток проводимости. ⃗ введя в ее правую Максвелл обобщил теорему о циркуляции вектора ⃗Н часть - полный ток Iполн =  𝑗полнd𝑆 сквозь поверхность S, охватывающую на S замкнутый контур L.  Обобщенная теорема о циркуляции вектора H имеет вид:      D    Hdl    j  t dS L S  (13.6) 13.3. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля Макроскопическая теория электромагнитного поля Максвелла, с единой точки зрения объяснила электрические и магнитные явления и предсказала новые, существование которых было впоследствии подтверждено. В основе теории Максвелла лежат рассмотренные ранее четыре уравнения: ⃗ Q, так и 1. Электрическое поле может быть как потенциальным Е вихревым ⃗ЕB, поэтому напряженность результирующего поля ⃗Е = ⃗ЕQ + ⃗ЕB. Так   ⃗ B определяется как циркуляция вектора  Edl 0 а циркуляция вектора Е    B  E d l   выражением  B  t dS , то циркуляция вектора напряженности L S суммарного электрического поля:    B  E d l   L S t dS (13.7) Это уравнение констатирует, что источниками электрического поля могут быть не только электрические заряды, но и изменяющиеся во времени магнитные поля. 2. Обобщенная теорема о циркуляции вектора напряженности магнитного ⃗: поля ⃗Н      D    Hdl    j  t dS L S  устанавливает, что магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями. ⃗ в случае, 3. Теорема Гаусса для вектора электрического смещения 𝐷 если заряд распределен внутри замкнутой поверхности непрерывно с объемной плотностью , имеет вид:   D (13.8)  dS   dV S V Это уравнение показывает, что источником электрического поля являются электрические заряды. ⃗ имеет вид: 4. Теорема Гаусса для магнитного поля В   (13.9)  BdS  0 S Это уравнение показывает, что в природе нет магнитных зарядов. Полная система уравненийМаксвелла в интегральной форме:     B  E d l   d S ; D  dS   dV   t Ы V L S      D       H d l  j  d S B ;    t   dS  0 L S S  Величины, входящие в уравнения Максвелла, в случае изотропные несегнетоэлектрические и неферромагнитные сред связаны между собой соотношениями:       D   0E; B   0 H ; j  E где 0 и 0 — соответственно электрическая и магнитная постоянные,  и  — соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости, σ— удельная проводимость вещества. Из уравнений Максвелла следует, что источниками электрического поля могут быть либо электрические заряды, либо изменяющиеся во времени магнитные поля, а магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися электрическими зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями. Уравнения Максвелла не симметричны относительно электрического и магнитного полей. Это обусловлено тем, что в природе существуют электрические заряды, но нет магнитных зарядов. Для стационарных полей (E=const и B=const) уравнения Максвелла имеют вид         E d l  D d S   dV B ; H d l  I     dS  0  L Ы V L S т.е. источниками электрического поля в данном случае являются только электрические заряды, источниками магнитного — только токи проводимости. В данном случае электрические и магнитные поля независимы друг от друга. Полная система уравнений Максвелла в дифференциальном форме (характеризующих поле в каждой точке  пространства) имеет вид:   B divD   ; rotE   ; t    D  rotH  j  divB  0. ; t Если заряды и токи распределены в пространстве непрерывно, то обе формы уравнений Максвелла — интегральная и дифференциальная — эквивалентны. Если имеются поверхности разрыва – поверхности, на которых свойства среды или полей меняются скачкообразно, то интегральная форма уравнений является более общей. 13.4 Следствия из уравнений Максвелла Из уравнений Максвелла следует, что переменное магнитное поле связано с порождаемым им электрическим полем, а переменное электрическое поле связано с порождаемым им магнитным, т. е. электрическое и магнитное поля неразрывно связаны друг с другом — они образуют единое электромагнитное поле. К электромагнитному полю применим принцип относительности Эйнштейна, согласно которому уравнения Максвелла инвариантны относительно преобразований Лоренца, их вид не меняется при переходе от ⃗,В ⃗,D ⃗⃗ , Н ⃗⃗ в них одной инерциальной системы отсчета к другой, хотя величины Е преобразуются по определенным правилам. Из принципа относительности вытекает, что отдельное рассмотрение электрического и магнитного полей имеет относительный смысл. Taк, если электрическое поле создается системой неподвижных зарядов, то эти заряды, являясь неподвижными относительно одной инерциальной системы отсчета, движутся относительно другой и, следовательно, будут порождать не только электрическое, но и магнитное поле. Аналогично, неподвижный относительно одной инерциальной системы отсчета проводник с постоянным током, возбуждая в каждой точке пространства постоянное магнитное поле, движется относительно других инерциальных систем, и создаваемое им переменное магнитное поле возбуждает вихревое электрическое поле. Теория Максвелла, ее экспериментальное подтверждение и принцип относительности Эйнштейна привели к единой теории электрических, магнитных и оптических явлений, базирующейся на представлении об электромагнитном поле. Из уравнений Максвелла вытекает существование электромагнитных волн — переменного электромагнитного поля, распространяющегося в пространстве с конечной скоростью. Источником электромагнитных волн может быть любой электрический колебательный контур ила проводник, по которому течет переменный электрический ток, так как для возбуждения электромагнитных волн необходимо создать в пространстве переменное электрическое поле (ток смещения) или соответственно переменное магнитное поле. Электромагнитные волны, обладая широким диапазоном частот (или длин волн =c/, где с — скорость электромагнитных волн в вакууме), отличаются друг от друга по способам их генерации и регистрации и по своим свойствам. Электромагнитные волны делятся по длине на несколько диапазонов: радиоволны, световые волны, рентгеновское и -излучения (таблица 13.1) Следует отметить, что границы между различными их видами условны. Таблица 13.1 - Шкала электромагнитных волн Вид Радиоволны длины волн, λ более 10 км 10 км - 1 км 1 км - 100 м 100 м - 10 м 10 м - 1 мм частоты, ν менее 30 кГц 30 кГц - 300 кГц 300 кГц - 3 МГц 3 МГц - 30 МГц 30 МГц - 300 ГГц4 сверхдлинные Длинные Средние Короткие ультракороткие Инфракрасное излучение 5  10 4  8  10 7 6  1011  3,75  1014 Видимое (оптическое излучение) (4  8)  107 (3,75  7,5)  1014 4  10 7  10 9 7,5  1014  3  1019 2  109  6  10 12 1,5  1017  5  1019  6  10 12  5  1019 Ультрафиолетовое Рентгеновские Гамма источники Атмосферные и магнитосферные явления. Радиосвязь. Излучение молекул и атомов при тепловых и электрических воздействиях. Излучение атомов под воздействием ускоренных электронов. Атомные процессы при воздействии ускоренных заряженных частиц. Ядерные и космические процессы, радиоактивный распад. Для однородной и изотропной среды вдали от зарядов и токов, создающих электромагнитное поле, из уравнений Максвелла следует, что ⃗ и Н ⃗⃗ переменного электромагнитного поля векторы напряженностей Е удовлетворяют волновому уравнению:    1 2H  1 2E H  2 E  2 2 ; . (13.10)  t 2  t 2 2 2 где   2  2  2 - оператор Лапласа. x y z Фазовая скорость электромагнитных воли определяется выражением: 1 1 c    0  0   (13.11) Скорость распространения электромагнитных волн в вакууме определяется выражением: 1 c  0 0 (13.12) где  0 и  0 — соответственно электрическая и магнитная постоянные,  и  — соответственно электрическая и магнитная проницаемости среды. В вакууме (при =1 и =l) фазовая скорость распространения электромагнитных волн совпадает со скоростью с. Так как  > 1, то скорость распространения электромагнитных воли в веществе всегда меньше, чем в вакууме. Следствием теории Максвелла является поперечность ⃗ напряженностей электрического и электромагнитных волн: векторы ⃗Е и ⃗Н магнитного полей волны взаимно перпендикулярны (рис. 13.3) и лежат в плоскости, перпендикулярной вектору v скорости распространения волны, ⃗, Н ⃗⃗ , и 𝑣 образуют правовинтовую систему. Из уравнений причем векторы Е ⃗ иН ⃗⃗ всегда Максвелла следует также, что в электромагнитной волне векторы Е колеблются в одинаковых фазах , причем мгновенные значения Е и Н в любой точке связаны соотношением  0 E   0  H (13.13) Рисунок 13.3 Следовательно, Е и Н одновременно достигают максимума, одновременно обращаются в нуль и т. д. Уравнениям (13.10) удовлетворяют, в частности, плоские монохроматические электромагнитные волны (электромагнитные волны одной строго определенной частоты), описываемые уравнениями: 𝐸 = 𝐸0 cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 + 𝜑) 𝐻 = 𝐻0 cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 + 𝜑) (13.14) где E0 и Н0 — соответственно амплитуды напряженностей электрического и магнитного полей волны,  — круговая частота волны, k=/v — волновое число,  — начальные фазы колебаний в точках с координатой х=0. Колебания электрического и магнитного векторов в электромагнитной волне происходят в одинаковых фазах. 13.5 Энергия электромагнитных волн Электромагнитные волны переносят энергию. Учитывая выражение (13.13), получим, что объемные плотности энергии электрического и магнитного полей в каждый момент времени одинаковы, т. е. wэл = wм. Объемная плотность w энергии электромагнитной волны складывается из объемных плотностей wэл и wм, электрического и магнитного полей: w   1 EH  0 E 2   0 H 2   0 E 2   0 H 2   0 0  EH  2  (13.15) Умножив плотность энергии w на скорость v распространения волны в среде, получим модуль плотности потока энергии: 𝑆 = 𝑤𝑣 = 𝐸𝐻 (13.16) ⃗ взаимно перпендикулярны и образуют с Tax как векторы ⃗Е и ⃗Н направлением распространения волны правовинтовую систему, то направление ⃗ ⃗⃗⃗⃗ вектора [Е , Н] совпадает с направлением переноса энергии, а модуль этого вектора равен ЕН. Вектор плотности потока электромагнитной энергии называется вектором Умова — Пойнтинга:    𝑆    E, H  (13.17) Вектор 𝑆 направлен в сторону распространения электромагнитной волны, а его модуль равен энергии, переносимой электромагнитной волной за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны. Современная теория электромагнетизма называется квантовой электродинамикой, в ней учтены квантово-полевые аспекты явлений. Она, так же как и классическая теория не раскрывает природу электрического заряда, а постулирует его существование в двух разновидностях: заряд присущий электрону назван отрицательным, присущий протону или позитрону – положительным. С точки зрения квантовой теории переносчиком электромагнитного взаимодействия является виртуальная частица – фотон, безмассовый бозон со спином равным 1. Электрические заряды создают электромагнитное поле, квантом которого является бозон, называемый фотоном. Взаимодействие зарядов обеспечивается виртуальными фотонами. В случае разноимённых зарядов, обмен фотонами создаёт эффект притяжения, в случае одноимённых — отталкивания. Во всех процессах выполняется закон сохранения заряда. Квантовая электродинамика учитывает взаимодействие электрических зарядов с вакуумом. ЗАДАЧИ ПО ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМУ Пример 1. В вершинах квадрата находятся одинаковые по величине одноименные заряды. Определить величину заряда q0, который надо поместить в центр квадрата, чтобы система зарядов находилась в равновесии. Будет ли это равновесие устойчивым? Условие: q1 = q2 = q3 = q4 = q; qo - ? Решение. Рассмотрим силы, действующие на любой из зарядов в вершинах, например на заряд q2 (рис. 9). Со стороны зарядов q1, q2, q3 на него действуют силы F1, F3, F4 соответственно, причем F1 = F3 = kq2/a2 , где а – сторона квадрата, F4 = kq2/2a2. Сила, действующая на заряд q2 со стороны заряда q0 равна F0 = 2kqq0/a2. Условие равновесия заряда имеют вид     F1  F3  F4  F0  0 , В проекции на ось х уравнение (1) запишется F1 + F4cos α – F0 cos α = 0, (1) или Откуда q0 = q(1 + 2 4 )/ 2 kq 2  a2 2kq 2 4a  2 2kqq a  0. 2 = 0,9 q. Согласно теореме Ирншоу, система неподвижных точечных зарядов, находящихся на конечном расстоянии друг от друга, не может находиться в состоянии устойчивого равновесия лишь под действием кулоновских сил. Пример 2. Электрон влетает в плоский воздушный конденсатор параллельно пластинам со скоростью v0 = 1,0·10 6 м/с. Длина конденсатора L=1,0 см, напряженность электрического поля в нем Е =5,0·103 В/м. Найти скорость v электрона при вылете из конденсатора и его смещение у. Условие: v0 = 1,0·106 м/с; L = 1,0 см = 0,01 м; Е = 5,0·103 В/м; е = 1,6·10-19 Кл; m = 9,1·10-31кг; v-? y-? Решение. Сила тяжести, действующая на электрон, равна FT = mg = 9,1·10-30 Н. Кулоновская сила равна F = eE = 8·10-16 Н, т. е. кулоновская сила много больше, чем сила тяжести. Поэтому можно считать, что движение электрона происходит только под действием кулоновской силы. Запишем для электрона второй закон Ньютона ma = F, где F = eE. Направление осей координат показано на рис. 10. Движение электрона вдоль оси х – равномерное со скоростью v0, так как проекция силы F на ось х равна нулю, следовательно время, в течении которого электрон пролетает между пластинами конденсатора t = L/v0. Движение электрона вдоль оси у – равноускоренное под действием силы F, направленное вдоль этой оси. Ускорение аУ=а=еЕ/m. Начальная скорость и смещение электрона вдоль оси у равны: vУ = 0 y at 2 eEL2  2 2mv02 Скорость электрона в момент вылета v, направленная по касательной к траектории его движения равна: v  v x2  v y2 v = (vx2 + vy2)1/2, где vx = v0, vy = at. Окончательно получаем: v  v02  ( eEL 2 ) mv0 Угол между вектором скорости и осью х определяется по формуле   arctg ve eEL  arctg 2 . vx mv0 [v ]  [ Проверка размерности:  [ Кл  ( В / м)  м 2 Кл  В  2 Дж  с  2 ]  ( )  ( )  кг ( м / с) кг  м / с кг  м (кгм 2 / с 2 )  c  2 ]  ( м / c) 2  м / с кг  м В м  arctg Кл  В  arctg Дж   arctg Дж кг ( м / с) 2 кгм 2 / с 2 В Кл  м 2 Дж  м м y   м 2 2 Дж кгм / с Кл  1,6 10 19  5  103 0.01 2 )  8,7·106 (м/с). 31 6 9,1  10  10 Вычисления: v  (106 ) 2  (   arctg y 1,6  1019  5  103  0.01  = 83,50. 31 6 2 9,1  10 (10 ) 1,6  10 19  5  103 (0,01) 2  4,4∙10-2 (м). 31 6 2 2  9,1  10 (10 ) Ответ: v  8,7·106 м/с, α= 83,50; y = 4,4·10-2 м. Пример 3. В вакууме имеется скопление зарядов в форме длинного цилиндра радиуса R = 2 см. Объемная плотность зарядов постоянна и равна ρ = 2 мКл/м3. Найти напряженность поля в точках 1 и 2, лежащих на расстояниях r1 = 1,0 см и r2 = 2,0 см от оси цилиндра. Построить график Е(r). Условие: ρ = 2 мКл/м3. R = 2 см = 0,02 м; r1 = 1,0 см =0,01 м; r2= 2,0 см = 0,02 м; Е1 - ? Е2 - ? Е(r) - ? Решение. Поле создано зарядом, равномерно распределенным по объему. Конфигурация зарядов позволяет считать, что поле обладает осевой симметрией: силовые линии - прямые и в любой плоскости, перпендикулярной оси цилиндра радиальны. Предполагаемая симметрия позволяет искать напряженность с помощью теоремы Гаусса. Вспомогательной поверхности следует придать форму цилиндрической поверхности, коаксиальной заряду. Характер функциональной зависимости Е(г) для точек лежащих внутри и вне объемного заряда различен. Поэтому следует провести две вспомогательные поверхности S1 и S2 с радиусами r1 < R и r2 > R. Для каждой поверхности теорема Гаусса может быть записана в виде   Q E  dS  0 S (1) Боковая поверхность вспомогательного цилиндра и его торцы находятся в заведомо разных условий относительно силовых линий поля, причем во всех  точках торцов Е , dS = π/2 и поток вектора напряженности сквозь торцевые поверхности равен нулю. На боковых поверхностях S1,2 бок нормаль совпадает с направлением радиуса-вектора, поэтому EdS = ErdS и   (2)  EdS   ErdS. S Sбок Все точки боковой поверхности находятся в одинаковых условиях относительно заряда, что позволяет считать Еr(г) постоянной величиной. Тогда ErdS = Er2πrh, (3) где r и h - радиус и высота вспомогательной поверхности. Сумма зарядов, охваченных вспомогательной поверхностью, стоящая в правой части выражения (3), зависит от радиуса вспомогательной поверхности. При r < R Q = ρπr2h, (4) где r – расстояние от оси цилиндра до точки, в которой определяется напряженность поля и одновременно радиус вспомогательной поверхности S1. Подставляя выражение (3) в (1) и заменяя интеграл по замкнутой поверхности S1 правой частью равенства (4) получаем E12πrh = ρπr2h/ε0, откуда E1 = ρr/2ε0, (5) 2 При r > R Q = ρπR h . Подставляя (3) в (31) и заменяя интеграл по замкнутой поверхности S2 правой частью равенства (4) получаем E22πrh = τπR2h/ε0. Откуда E2 = ρR2/2ε0r. (6) Для построения графика Е(r) на оснований выражений (5) и (6) целесообразно рассчитать Еr при r = R: Е(R) = ρR/2ε0 Расчет по формулам (5) и (6) дает один и тот же результат, так как напряженность на этой поверхности не терпит разрыва. Графическая зависимость Е(г) показана на рисунке. Кл м 3 Кл В м   Проверка размерности: [Е1] = Ф Ф м м м Кл 2 м 3 Кл В м   . E2 = Ф Ф м м м м Вычисления: E1 = 2 .10-3.0,01/ 2.8,85.10-12 = 1,1·103( В/м). Е2 = 2.10-3(2.10 -2)2/2.8,85.10-12 .0.02 = 1,5·103 (В/м). Ответ: : E1 = 1,1·103 В/м. Е2 = 1,5·103 В/м. Пример 4. Между обкладками плоского конденсатора, заряженного до разности потенциалов U = 1,5 кВ, зажата парафиновая пластинка (ε = 2) толщиной d = 5 мм. Определить поверхностную плотность связанных зарядов на парафине. Условие: U = 1,5 кВ = 1,5·103 В; ε = 2; d = 5 мм = 5·10-3 м; σ′ - ? Решение. Вектор электрического смещения D = ε0E +P, где Е – вектор напряженности электрического поля, Р – вектор поляризации. Так как векторы D и Е нормальны к поверхности диэлектрика, то D = Dn, E = En. Тогда можно записать D = ε0E + P, где Р = σ′ , т.е. равна поверхностной плотности связанных зарядов диэлектрика. Тогда σ′ = D – εε0E. Учитывая, что D = εε0E и E = U/d, где d – расстояние между обкладками конденсатора, найдем σ′ = (ε - 1)ε0Е = ε0(ε - 1)U/d Ф В Кл м Проверка размерности: [σ′] =  2 м м Вычисления: σ′=.8,85.10-12(2-1)1,5.103/0,005=2,65.10-6 = 2,65 (мкКл/м2) Ответ : σ′ =2,65.10-6 = 2,65 мкКл/м2 Пример 5. Определить ускоряющую разность потенциалов Δφ, которую должен пройти в электрическом поле электрон, чтобы его скорость возросла от v1 = 1,0 Мм/с до v2 = 5,0 Мм/с. Условие: v1 = 1,0 Мм/с = 1,0·106 м/с; v2 = 5,0 Мм/с = 5,0·106 м/с ; е = 1,6·10-19 Кл; m = 9,1·10-31 кг; Δφ - ? Решение. Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда из точки 1 в точку 2 А = е Δφ. (1) С другой стороны, она равна изменению кинетической энергии электрона А = W2 – W1 = mv22/2 - mv12/2. (2) Приравняв выражения (1) и (2), найдем ускоряющую разность потенциалов Δφ = m (v22 – v12)/2e = 68, 3 В. Проверка размерности: [ Δφ] = кг ( м/с)2/Кл = Дж/Кл= В Вычисления Δφ =9,1.(25.1012- 1.1012)/2. 1,6.10-19 = 68, 3 (В). Ответ: Δφ = 63,8 В Пример 6. К пластинам плоского воздушного конденсатора приложена разность потенциалов Δφ1 = 1,5 кВ. Площадь пластин S =150 cм2 и расстояние между ними d = 5,0 мм. После отключения конденсатора от источника напряжения в пространство между пластинами внесли стекло (ε = 7). Определить: 1) разность потенциалов между пластинами после внесения диэлектрика; 2) емкость конденсатора С1 и С2 до и после внесения диэлектрика; 3) поверхностную плотность заряда σ на пластинах до и после внесения диэлектрика. Условие: Δφ1 = 1,5 кВ =1,5·103 В; S = 150см2 = 1,5·10-2 м2; d =5 мм = 5·10-3 м; ε1 = 7, ε2 = 1; Δφ2 - ? С1 -? С2 - ? σ1 - ?, σ2 - ? Решение. Так как Е1 = Δφ1/d =  до внесения диэлектрика и E2 = 1 0 Δφ2/d =   2 0 после внесения диэлектрика, поэтому Δ1 ε1  Δ2 ε 2 и Δφ2 = ε1Δφ1/ε2 Емкость конденсатора до и после внесения диэлектрика С1 = 4πε1ε0S/d , C2 = 4πε1ε0S/d Заряд пластин после отключения от источника напряжения не меняется, т. е. Q = const. Поэтому поверхностная плотность заряда на пластинах до и после внесения диэлектрика σ1 = σ2 = Q/S = C1Δφ1/S = C2Δφ2/S = Проверка размерности:[С] = Ф  м2 =Ф м м σ = Ф. .В/м2 =Кл/м2 Вычисления: Δφ2 = 1500/7 = 214 (В); С1 =4.3,14.8,85-.12.1,5.10-2/5.10-3 = 26,5.10-12 (Ф) = 26,5( пФ) ; С2 =4.3,14.8,85-.12. 7.1,5.10-2/5.10-3 =186 .10-12 (Ф) = 186 (пФ); σ = 26,5.10-121,5.103/1,5.10-2 = 2,65.10-6 (Кл/м)2 = 2,65 (мкКл/м)2. Ответ: Δφ2 =214 (В); С1 = 26,5 пФ ; С2 = 186 пФ; σ = 2,65 мкКл/м2. Пример 7. Найти сопротивление R , железного стержня диаметром d = 1 cм, если масса стержня m = 1 кг. Условие: m= 1 кг d = 1 см = 0,01 м v = 1 кг  =0,087 мкОм.м=8,7.10-8 Ом.м.  ж =7,7.103 кг/м3 R -? Решение: -Сопротивление стержня определяется по формуле l R , S где  удельное сопротивление железа, l, S -длина стержня и площадь поперечного сечения. Масса проволоки m   жV   ж Sl , где V - объем стержня,  ж - плотность стали. Откуда длина стержня равна: m 4m , l  2 S ж d  ж поскольку площадь поперечного сечения стержня S  d 2 Тогда сопротивление стержня равно: 4 16m  d 2 ж кг  Ом Проверка размерности: [ R]  Ом  м 2 кг м 3 м 16  1 Вычисления: R  8,7  108  18  103 (Ом)  18( мОм) 2 2 3,14 (0.01) 7.7  10 R 2 Ответ: R= 18 мОм Пример 8. Ток I =20 А, протекая по кольцу из медной проволоки сечением S = 1 мм2, создает в центре кольца напряженность Н = 178 А/м. Какая разность потенциалов U приложена к концам проволоки, образующей кольцо? Условие: I=20 A S = 1 мм2 = 10-6 м2 Н = 178 А/м   0.017 мкОм.м=1,7.10-8 Ом.м U-? Решение I Напряженность в центре кругового тока Н  , (1) 2r I Откуда радиус витка равен r  . (2) 2H К концам проволоки приложено напряжение U  IR, (3) l где сопротивление проволоки равно R     2r S S Подставив полученные значения R в (3), получим: U  Проверка размерности: [U ]  Вычисления U 3,14  1,7  10 8 (20) 2  0,12 ( B) 178  10 6 Ответ: U=0,12 В Ом  м  A  Ом  А  B А 2 м м 2 I 2 HS Пример 9. Заряженная частица движется в магнитном поле по окружности со скоростью V = 106 м/с. Индукция магнитного поля В =0,3 Тл. Радиус окружности R = 4 см. Найти заряд q частицы, если известно, что ее энергия W=12 кэВ. Условие: V=106 м/с В = 0,3 Тл R = 4 см = 0,04 м W=12кэВ= 1,92.10-14Дж q-? Решение    В магнитном поле на частицу действует сила Лоренца: F  q[ , B] Поскольку частица движется по окружности F  qB , то сила Лоренца 2 m 2 сообщает частице ускорение an  . Следовательно qB  (1) R R m 2 Энергия частицы: W  , следовательно m 2  2W (2) 2 2W Подставляя (2) в (1), получим qB  , R 2W BR Дж Н  мс [q]    А  .с  Кл м Н Проверка размерности: Тл  м м  м с А м 2  1,92  10 14 q 6  3,2  10 19 ( Кл ) 10  . 3  . 04 Вычисления: Из этого уравнения найдем заряд частицы: q  Ответ:q =3,2.10-19 Кл Пример 10. В однородном магнитном поле, индукция которого В =0.8 Тл равномерно вращается рамка с угловой скоростью  =15 рад/с. Площадь рамки S = 150 см2. Ось вращения находится в плоскости рамки и составляет угол  =300 с направлением магнитного поля. Найти максимальную ЭДС индукции  0 во вращающейся рамке. Условие: В = 0,8 Тл  =15 рад/с S= 150 cм2 =1,5.10-2 м2  =300  0 -? Решение: Мгновенное значение ЭДС индукции определяется законом Фарадея dФ (1)   dt При вращении рамки магнитный поток, охватывающий рамку, изменяется по закону: Ф  BS sin cost (2) подставив (2) в (1) и продифференцировав по времени, найдем мгновенное значение ЭДС индукции   BS sin sint Максимальное значение ЭДС достигнет при sint  1 . Отсюда  0  BS sin Проверка размерности: [ 0 ]  Тл  м  с 2 1 Н  м2 Н  м Дж В  А  с     B А мс Ас Ас Ас Вычисления:  0  0.8  1,5  102  15  0,5  0,09 ( B) Ответ: ε0 = 0,09 В Литература Т. И Трофимова. Курс физики: Учебное пособие. М.: Академия,, 1. 20011. 2. Т. И. Трофимова Краткий курс физики. М.: Высшая школа, 2009 3. Т.И Трофимова. Сборник задач по курсу физики с решениями М.: Высшая школа. 2008 4. А.А. Детлаф Курс физики. Учебное пособие. М.: Высшая школа, 2000 5. В.Ф. Дмитриева Основы физики. М. Высшая школа, 2001 6. В.Н. Недостаев. Физика. Конспект лекций т. 1-2. – М., РГОТУПС, 2005 7. С. Е Мельханов Общая физика. Конспект лекций, М.: Высшая школа, 2001 8. В.М. Гладской Физика. Сборник задач с решениями, М.:Дрофа, 2004 9. Т.И. Трофимова Физика.. 500 основных законов и формул. М., Высшая школа, 2005 10. В. Ф. Дмитриева, В. Ф. Прокофьев. Основы физики. М.: Высшая школа, 2002 11. Физический энциклопедический словарь. М.: Российская энциклопедия, 2003 12. С.М. Кокин, В.А. Селезнев Физика на транспорте. М.: 1995