Физические основы построения радиосистем

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) Кафедра 410 «Радиолокация, радионавигация и бортовое радиоэлектронное оборудование» КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ по дисциплине «Физические основы построения радиосистем» 1 1. Введение 1.1. Классификация методов исследования Более 100 лет назад русский ученый Александр Степанович Попов сделал открытие, с которого началась эпоха беспроводной передачи информации в жизни человеческого общества. С тех пор радиотехника прошла огромный путь и превратилась в обширный раздел науки, который, в свою очередь, разделился на целый ряд самостоятельных направлений таких, как радиосвязь, радиовещание, телевидение, радиолокация, радионавигация, радиопеленгация, радиоастрономия, телеметрия и многие другие (рис. 1.1). В области теории все эти направления опираются на одинаковые методы научных исследований, которые позволяют специалистам создавать всевозможные радиосистемы в разных диапазонах волн, как в аналоговом, так и в цифровом исполнении. К таким методам в первую очередь относятся: теории линейных, нелинейных и параметрических систем, теории передающих и приёмных систем, спектральный анализ, теория излучения и приёма радиоволн, теория оптимальной обработки сигналов, статистическая радиотехника и ряд других. Рис. 1.1 В свою очередь, в перечисленных методах и теориях используются в качестве основы и широко применяются при проведении исследований такие фундаментальные 2 понятия, как корреляция, когерентность, резонанс, спектр, интерференция, дифракция, дисперсия и другие им подобные, пришедшие в радиотехнику по большей части из физики и математики. Эти понятия давно стали привычными для радиоинженеров и прочно вошли в повседневную научную и производственную практику. Однако именно это обстоятельство нередко и создаёт "подводные камни" для специалистов. Дело в том, что на ранних этапах развития любой науки, в том числе и радиотехники, используемые в ней новые фундаментальные понятия, как правило, проходят процесс детального осмысления. На этих этапах применение новых понятий и связанных с ними явлений, их проявление в различных условиях и средах, возможность реализации на практике, находятся в центре внимания исследователей. По мере развития научного направления внимание специалистов и инженеров переключается на детали: разработку всё более оптимальных и всё более точных способов расчёта, применение всё более сложных схем и программ, поиск новых направлений для использования известных методов. При этом основные, фундаментальные понятия как бы отходят на второй план. Частое использование этих понятий вырабатывает определённый стереотип их восприятия и использования, в результате чего начинают забываться присущие этим понятиям особенности и ограничения, перестают учитываться условия, в которых их можно или нельзя применять. И тогда на практике могут возникнуть и достаточно часто радиотехнической возникают системы ситуации, получаются когда в некорректные, процессе проектирования неправильные результаты, возникают ошибки и всякие "парадоксы". По этой причине каждому новому поколению радиоспециалистов необходимо заново переосмысливать все стороны, все тонкости фундаментальных понятий, используемых в радиотехнике, как бы снова преодолеть тот путь, который эта наука прошла на ранних этапах. Настоящая книга является попыткой пояснить существо ряда фундаментальных понятий, широко применяемых в радиотехнике, объяснить особенности этих понятий, показать правомерность их употребления в тех или иных случаях, предостеречь от некорректного их использования, помочь специалисту глубже разобраться в решаемой им радиотехнической задаче. С другой стороны, опыт показывает, что любые теоретические исследования, любые, даже самые сложные, технические эксперименты должны иметь максимально ясное физическое толкование полученных результатов. Знание фундаментальных понятий 3 помогает понять физическую сущность этих результатов. В противном случае исследователь или проектировщик также не застрахован от серьезных ошибок. Рассмотрим пример такой ошибки, которая возникла в тот период, когда в радиотехнику стали активно внедряться спектральные методы. Эта ошибка неоднократно использовалась в качестве негативного аргумента противниками спектральной теории. Теорема Фурье утверждает, что непериодическую функцию S(t) – отрезок гармонического колебания длительностью τ с единичной амплитудой и частотой ω0 (рис. 1.2) – можно представить в произвольном интервале от –Т/2 до +Т/2 (где Т > τ) в виде спектра, представляющего собой ряд гармонических функций с кратными частотами. Выберем начало координат таким образом, что бы функция S(t) была симметрична относительно оси амплитуд и являлась четной (косинус). Тогда:   An cos nt , S( t ) = n= 0 где:  = 2 2 , а An = T T T/2  S ( t ) cos ntdt . −T / 2 Вообще говоря ряд S(t) является периодической функцией с периодом Т. Этот ряд имеет смысл и вне интервала от –Т/2 до +Т/2. Но мы имеем право заменить функцию S(t) этим рядом, справедливым только в этом интервале. В нашем случае: S(t) = 0 при t  − 2 и t   2 S(t) = cos 0t при −  2  t   2 . Пусть T   . Тогда + 2 2 An = cos0 t  cos ntdt .  T  − 2 Рис. 1.2 Взяв этот интеграл, можно определить амплитуды косинусоид с частотами nω. Расположение этих косинусоид – гармонических составляющих спектра непериодической функции – на оси частот зависит от интервала Т. Чем больше интервал Т, тем "теснее" 4 расположены гармоники спектра на оси частот, так как интервал между ними равен 2 . T При Т→ спектр превращается в сплошной. В соответствии со спектральной теорией эти гармоники являются колебаниями, начинающимися в минус бесконечности и длящимися до плюс бесконечности. Это обстоятельство и порождало критику теории. Ее противники говорили: давайте возьмем анализатор спектра с высокой избирательностью и с его помощью выделим одну из таких синусоид. Таким образом, мы увидим гармонику непериодической функции S(t) еще до момента появления самой функции S(t) и, в результате, как бы можем предсказать будущее - появление отрезка косинусоиды S(t) в момент времени −  2 . Но ведь будущее предсказать нельзя, следовательно, спектральная теория не верна. Чтобы разрешить этот парадокс, рассмотрим физическую картину выделения гармоники из спектра сигнала. Подробно эта картина рассмотрена ниже, в разделах 5.5 и 5.6. А здесь мы просто напомним: что бы выделить "чистую" гармонику из спектра сигнала (рис. 1.3, а) необходимо иметь колебательный контур или фильтр с бесконечно узкой полосой пропускания и, следовательно, с бесконечно большой добротностью (рис. 1.3, б). Рис. 1.3 Но контур (фильтр) с бесконечно большой добротностью должен иметь бесконечно большую постоянную времени. Это значит, что процесс установления колебаний в нём никогда не завершиться. Следовательно, выделить одну гармонику из спектра сигнала можно только за бесконечно большое время, то есть, по-существу, никогда. Реальные же фильтры, даже самые высокодобротные, имеют конечную полосу частот и поэтому пропускают не одну гармонику, а некоторый участок спектра (рис. 1.3, 5 в). Можно проверить и убедиться, что составляющие спектра, попавшие в этот участок и прошедшие через фильтр, всегда будут суммироваться таким образом, что до момента появления импульса, показанного на рис. 1.2., сигнал на выходе фильтра будет отсутствовать. Заблуждения, подобные рассмотренному парадоксу, к сожалению, нередко возникают у специалистов не только в области спектрального анализа. Известный советский радиофизик Л.И.Мандельштам писал [1], что у хорошего, грамотного специалиста должно быть "понимание второго рода", а попросту – глубокое понимание физической сущности, или, как часто говорят, понимание «физики» происходящих в радиосистеме процессов и явлений. Чёткое понимание этих процессов имеет первостепенное значение для объективной оценки как теоретических выводов, так и экспериментальных результатов. Конечно, в радиотехнической литературе как отечественной, так и переводной, как технической, так и учебной фундаментальные понятия широко используются и применяются. Однако, как правило, эти понятия рассматриваются в контексте конкретной научной или технической задачи и используются без детального анализа их свойств и особенностей, без обобщения возможностей их использования. К тому же далеко не во всех литературных источниках можно найти ясные и простые описания «физики» рассматриваемых в них процессов и явлений. А таких литературных источников, которые можно считать классическими примерами детального физического толкования роли фундаментальных понятий в создании и анализе радиотехнических систем, относительно мало. Список таких источников, материалы которых использованы в этой книге, приведен в ее конце. Некоторые из этих источников созданы достаточно давно, но их преимущество как раз и заключается в том, что они написаны в эпоху бурного развития и становления радиотехники и их авторы уделяют большое внимание анализу фундаментальных понятий и правильности их использования. Актуальность этих источников велика и сегодня, поскольку фундаментальные понятия практически не стареют. В настоящей книге сделана попытка обобщить известные и мало известные материалы по фундаментальным понятиям, используемым в радиотехнике; в максимальной степени раскрыть их физическое содержание и, тем самым, помочь специалистам в углубленном понимании механизма функционирования радиотехнических систем при формировании, передаче, излучении, приёме и обработке радиосигналов. 6 1.2. Классификация радиотехнических систем Фундаментальные понятия используются при построении самых различных радиотехнических систем. Поэтому рассмотрим, как классифицируются такие системы, какие они имеют возможности и особенности. Задачей любой радиотехнической системы является формирование или преобразование электрических сигналов. Однако виды преобразований, которые реализуются в тех или иных радиотехнических системах, могут быть весьма различными и определяются структурой системы. А по своей структуре все радиотехнические системы делятся на несколько крупных классов. Рассмотрим классификацию этих систем. Любое передача или преобразование сигналов в радиотехнической системе физически осуществляется при движении электрических зарядов или электромагнитных полей. Универсальным математическим аппаратом, описывающим любое движение, являются дифференциальные уравнения. Радиотехнические системы также описываются дифференциальными уравнениями и делятся на классы в зависимости от типа уравнений, которые описывают их поведение. Поэтому название классов радиотехнических систем традиционно связывают с названиями типов дифференциальных уравнений, которые описывают работу этих систем. В общем виде дифференциальное уравнение, например, для тока i, протекающего в системе, имеет вид: Аn d ni d n− 1 i di + А + ... + А1 + А0 i = 0 n− 1 n n− 1 dt dt dt Решение этого уравнения позволяет получить зависимость тока i от времени t. Поэтому ток i называется зависимой переменной, в отличие от времени t, которое является переменной независимой. Коэффициенты при производных разного порядка Аn, Аn-1, … А0 называются параметрами системы. Производная самого высокого порядка определяет число степеней свободы системы. Если система автономна и не связана с внешними источниками энергии, то правая часть ее дифференциального уравнения равна нулю. Такое дифференциальное уравнение называется однородным. Если система соединена с внешним источником энергии, то его воздействие на систему записывается в правой части уравнения. Такое уравнение называется неоднородным и имеет вид: Аn d ni d n− 1 i di + А + ... + А1 + А0 i = u(t )внешн . n− 1 n n− 1 dt dt dt 7 Поведение являющихся всей системы коэффициентами определяется уравнения. свойствами Параметры могут параметров быть системы, постоянными величинами и переменными величинами. Переменные параметры могут меняться при изменении независимой переменной (времени), при изменении зависимой переменной (тока), а также при изменении обеих этих переменных. В результате, в зависимости от свойств параметров, образуются четыре класса радиотехнических систем и описывающих их дифференциальных уравнений (рис. 1.4). 1. Дифференциальные уравнения с постоянными параметрами описывают стационарные линейные системы. 2. Дифференциальные уравнения с параметрами, зависящими только от времени описывают линейные параметрические системы. 3. Дифференциальные уравнения с параметрами, зависящими от тока, но не зависящими от времени, описывают нелинейные системы. 4. Дифференциальные уравнения с параметрами, зависящими от тока и от времени, описывают нелинейные параметрические системы. Рис. 1.4 Первые и третий классы охватывают подавляющее большинство существующих радиотехнических систем. Второй класс систем распространен в меньшей степени. Четвертый класс систем пока не получил своего развития. Дело в том, что точные решения получены далеко не для всех, указанных выше, типов дифференциальных уравнений. С этим связана различная степень освоения и развития разных классов радиотехнических систем. Рассмотрим наиболее характерные особенности указанных выше классов систем. Линейные системы с постоянными параметрами или стационарные линейные системы, описываются линейными уравнениями с постоянными коэффициентами. Это самый простой тип уравнений, теория которых детально разработана и для решения которых существуют общие методы. В линейных системах можно применять принцип 8 суперпозиции. Важно отметить, что сама применимость принципа суперпозиции служит определением линейной системы. Типичным примером линейной системы с постоянными параметрами является обычный, например последовательный, колебательный контур с постоянными параметрами L, С и R. Изменение заряда q, связанного с током в контуре соотношением i= dq , описывается дифференциальным уравнением второго порядка: dt L di 1 d 2q dq q + R + = 0 или L + Ri +  idt = 0 . 2 dt dt C dt C При внешнем воздействии на контур гармонического колебания с некоторой частотой , его дифференциальное уравнение становится неоднородным: L d 2q dq q + R + = U cos t 2 dt dt C Главной задачей стационарных линейных систем в радиотехнике является выделение некоторого диапазона частот, то есть выполнение функций частотной селекции и частотной фильтрации; выделение некоторого временного интервала, то есть выполнение функций временной селекции, а также линейное усиление колебаний. Главная особенность стационарных линейных цепей, отличающая их от цепей с переменными параметрами и нелинейных цепей – отсутствие в составе выходного спектра новых частот по сравнению с составом спектра на входе. Линейные системы с переменными параметрами, которые называются также параметрическими или нестационарными линейными системами, описываются линейными уравнениями с переменными коэффициентами. Коэффициенты уравнения зависят от независимой переменной, которой, как правило, является время. С физической точки зрения это означает, что параметры системы так или иначе изменяются во времени. Теория, позволяющая получать решения этих уравнений, более сложна и менее разработана, чем теория линейных систем. Поэтому в литературе иногда явления, описываемые линейными уравнениями с переменными коэффициентами, относят к "нелинейной" радиотехнике. Типичным примером системы с переменным параметром является колебательный контур с емкостью, изменяющейся во времени. Его однородное дифференциальное уравнение, описывающее изменение заряда, имеет вид: L d 2q dq q +R + = 0. 2 dt dt C (t) 9 Решение этого уравнения найдено только для частного случая, когда контур не имеет потерь (R=0) и o2 (t ) изменяется по гармоническому закону с частотой ωп и относительной глубиной m: d 2q +  o2 ( 1 + mCos  п t )q = 0 2 dt Это уравнение носит имя Матье. Оно играет большую роль при проектировании и расчете параметрических систем. К параметрическим линейным системам также применим принцип суперпозиции. В этом они похожи на линейные системы с постоянными параметрами. Однако параметры нестационарных систем непрерывно изменяются, и поэтому, строго говоря, в них допустима суперпозиция действующих сил только для малого интервала времени, на котором изменениями параметров системы можно пренебречь. В спектре выходных колебаний параметрических линейных систем возможно появление новых частот, отсутствующих во входном спектре. Это сближает их с нелинейными системами, но и здесь есть одно важное отличие: в параметрических линейных системах могут создаваться различные комбинационные колебания из частот, действующих на входе, но невозможно создание гармоник, то есть частот, кратных по отношению к входной частоте. Поэтому в выходном спектре параметрической системы не может быть частот, значения которых превышают сумму частот всех колебаний, действующих на входе системы. Параметрические системы могут выполнять функции как линейных цепей (усиление колебаний), так и нелинейных цепей (детектирование, генерирование). Стационарные нелинейные системы описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, коэффициенты которых зависят от зависимой переменной (например, тока или напряжения), а также от её производных. Это весьма трудный для решения тип дифференциальных уравнений. Прямых общих методов решения таких уравнений пока нет. Эти уравнения обычно решаются приближенными методами, позволяющими получить решения с различной степенью погрешности. Типичным примером является нелинейное уравнение автогенератора: L d 2q dt 2  dq  dq q + R  + =0,  dt  dt C  dq  у которого сопротивление колебательного контура R  = R(i ) зависит от тока,  dt  протекающего в системе. Нелинейные системы выполняют в радиотехнике целый ряд 10 чрезвычайно важных функций: генерирование электрических колебаний и деление частоты, выпрямление и детектирование, модуляция и преобразование частоты. В выходном спектре таких систем всегда есть новые частоты, отсутствующие в спектре входного сигнала. Нестационарные нелинейные системы не получили своего развития из-за сложности реализации и практически полного отсутствия необходимой теоретической базы. Тем не менее, необходимо отметить, что этот класс систем должен обладать значительно более широкими возможности по различному преобразованию сигналов, чем системы других классов, за счет более гибкого, «двумерного» управления параметрами, как во времени, так и по зависимому от системы параметру (току, напряжению, магнитному полю и т.п.). Можно предполагать, что у этого класса систем большое будущее. При современном развитии вычислительной техники стало доступным моделирование сложных радиотехнических систем, описываемых дифференциальными уравнениями, не имеющими сегодня теоретического решения. Однако математическое моделирование позволяет получить результаты для относительно частных случаев, в то время как решение дифференциальных уравнений позволяет, во-первых, создать общую картину процессов, происходящих в системе и понять направление развития этих процессов, а, во-вторых, разработать методы количественного исследования радиотехнических устройств, необходимые, в конечном счёте, для их математического моделирования. Расчёт конкретной радиотехнической системы всегда является конечным этапом любой исследовательской и прикладной работы. Вот почему так важно знать и помнить, какие математические методы исследования пригодны для того или иного класса систем. В тоже время, чем сложнее система, тем важнее понимать физическую сущность происходящих в ней процессов. Ибо, только понимая суть процессов, можно оценить правильность выбора теоретического подхода и правильность результатов количественного расчёта. 11 2. Корреляция 2.1. Методы исследования линейных систем В радиотехнике часто возникает необходимость определения сигнала на выходе линейной системы, когда известны и сигнал на входе и коэффициент передачи самой системы. Обычно для решения этой задачи входной сигнал делится на однотипные элементарные составляющие либо во временной области, либо в области частот. Далее используется принцип суперпозиции: рассматривается прохождение каждой элементарной составляющей сигнала через линейную систему (с учетом коэффициента передачи системы для этой элементарной составляющей), а затем полученные результаты суммируются, образуя выходной сигнал. Существует ли какое-нибудь правило, в соответствии с которым входной сигнал делится на элементарные составляющие и происходит выбор этих составляющих? Попытаемся ответить на этот вопрос. Обратимся сначала к частотной области. Если входной сигнал отвечает условию S(t) = S(t+T), то есть является периодическим с периодом Т, то такой сигнал, как известно, можно представить в виде суммы элементарных гармонических колебаний (гармоник), образующих ряд Фурье:  Sвх ( t ) =  Cn cos( nt −  п ), n=0 здесь:  = 2F , 2 2 F = 1 , а коэффициенты Сn = Аn + Вn и  n = arctg Bn An , T где в свою очередь: T 2 An =  Sвх ( t ) cos ntdt , T0 2 Bn = T T S вх ( t ) sin ntdt . Чтобы получить сигнал на выходе системы Sвых(t) необходимо амплитуду каждой гармоники Cn умножить на коэффициент передачи системы по амплитуде на n-ой частоте Кn и учесть коэффициент передачи системы по фазе на этой частоте n:  Sвых( t ) =  Cn Кn cos( nt −  п − n ). n=0 Таким образом коэффициенты An и Вn позволяют определить амплитуду Cn и фазу n каждой гармоники ряда, как на входе, так и на выходе системы. Для нас важно понять структуру формул, с помощью которых определяются коэффициенты An и Вn. Физический смысл этой структуры пока не ясен. Почему эти 12 формулы выглядят именно так? Какой смысл в перемножении входного сигнала на гармоническое колебание n-ой частоты? И зачем это произведение затем интегрируется? К ответам на эти вопросы мы вернемся позже, а пока рассмотрим, что произойдет, если у рассмотренного периодического сигнала мы будем увеличивать период и устремим его к бесконечности (Т→∞). В этом случае сигнал Sвх(t) превратится в непериодический, число гармоник в его спектре станет бесконечно большим, а сумма ряда Фурье преобразуется в интеграл Фурье: S вх ( t ) = 1    C (  ) cost +  (  )d . Здесь функция С() играет ту же роль, что и множество Сn в предыдущем случае, а функция φ() - ту же роль, что и множество φn. Текущая частота  заменяет в сплошном спектре непериодического сигнала дискретные составляющие n. Тогда С (  ) = A2 (  ) + B 2 (  ) , где: A(  ) = + S вх  (  ) = arctg ( t ) cos tdt , а B(  ) = + S вх B(  ) , A(  ) ( t ) sin tdt . По аналогии с дискретным случаем можно записать: Sвых( t ) = 1    C (  )K (  ) cost +  (  ) +  (  )d . Заметим, что формулы для A() и B() сохранили структуру формул для Аn и Вn – в них входит произведение входного сигнала на гармоническое колебание с текущей частотой  и это произведение интегрируется. Рис. 2.1 Теперь рассмотрим случай, когда входной сигнал делится на элементарные составляющие во временной области. В этом случае его можно представить в виде суммы n временных импульсов, имеющих длительность t и амплитуду Sвх(ti), равную значению амплитуды сигнала в момент ti =it (Рис. 2.1) 13 n Sвх ( t ) =  Sвх ( t i )t . i =0 Выходной сигнал системы будет равен: n Sвых( t ) =  Sвх ( ti )t  b( ti − t ) , i =0 где b(ti–t) – сигнал, появляющийся на выходе системы, при подаче на ее вход в момент ti элементарного импульса t. Момент tn соответствует концу интервала наблюдения, длительностью Т. Таким образом Т=tn. Очевидно, что чем меньше t, тем точнее сумма будет описывать входной сигнал. Поэтому для разделения входного сигнала на элементарные временные составляющие используется единичный импульс δ(t) (называемый в математике δ-функцией), который имеет бесконечно малую длительность, бесконечно большую амплитуду и площадь, равную единице. Символ δ(t0–t) обозначает такую функцию, равную нулю при всех t, за исключением t= t0. При подаче на линейную систему единичного импульса на ее выходе возникает сигнал h(t0–t), который называется импульсной характеристикой системы. При переходе от t к единичному импульсу δ(t) в формуле для Sвых(t) необходимо произвести следующие замены: Sвх(ti)→Sвх(t), t→dt, b(t)→h(t), tn→Т. При этом сумма преобразуется в интеграл, позволяющий определить выходной сигнал в момент t (поскольку t является параметром, для интегрирования используем другую переменную ): t Sвых ( t ) =  Sвх (  )h( t −  )d . Если нас интересует выходной сигнал системы в момент Т=tn, то этот интеграл примет вид (теперь можно вернуться к прежней переменной t): T Sвых ( T ) =  Sвх ( t )h( T − t )dt Это выражение называется интегралом Дюамеля. Оно получено суммированием откликов системы на отдельные элементарные воздействия во временной области, то есть с помощью принципа суперпозиции, и с этой точки зрения интеграл Дюамеля аналогичен интегралу Фурье. Представив выходной сигнал в виде набора элементарных составляющих во временной области, мы видим, что этот сигнал снова имеет вид интеграла от произведения входного сигнала и отклика системы на элементарное воздействие. 14 Закономерность, отмеченная нами при частотном анализе линейной системы, повторилась и при анализе временном. Как мы отметили выше, основным назначением преобразований Фурье и Дюамеля является определение сигнала на выходе системы по известному входному сигналу. Однако нас в данном случае интересует не решение этой задачи – она рассматривается в других курсах. Здесь нас интересует ответ на другой вопрос – почему формулы для определения сигнала при разных видах преобразований имеют одинаковую структуру: интеграл от произведения двух функций? Чтобы сократить путь к ответу, заметим, что структура этих формул совпадает со структурой корреляционного интеграла, который в общем случае для двух функций времени f1(t) и f2(t) имеет вид: T 1 f1 ( t ) f2 ( t )dt . T 0 Тогда ответ на поставленный вопрос целесообразно поискать в недрах корреляционного анализа. Попробуем сделать это. 2.2. Корреляционный анализ В первой половине ХХ века инженеры, занимавшиеся разработкой радиоаппаратуры, применяли в расчетах однозначные соотношения между параметрами приборов и устройств, которые задавались либо формулами (например, значение резонансной частоты), либо графиками (например, петля гистерезиса). Не было никакой неясности относительно характера связи между величинами - они были либо независимы, либо находились в известной функциональной зависимости. Однако со временем в радиотехнике стала постепенно возрастать роль случайных шумовых процессов и их описание потребовало привлечения статистических методов. Одним из таких методов явился корреляционный анализ, предложенный еще в 1890г. английским психологом и антропологом Гальтоном (двоюродным братом Чарльза Дарвина) под названием "исчисление выравнивания" для статистической обработки результатов исследований. Современное название методу дал английский математик Тейлор в 1920г. Существо корреляционного анализа сводится к следующему. Положим, что на некотором наблюдаемом интервале времени или на отрезке пространства существуют две (или более) последовательности дискретных величин, между которыми явная 15 функциональная зависимость отсутствует. Вместо последовательности дискретных величин могут быть взяты непрерывные функции. Корреляционный анализ позволяет определить, существует ли какая-либо связь между этими последовательностями или функциями. Если связи нет, то величины являются независимыми. Если связь есть, величины называются коррелированными, а величина этой связи может быть определена количественно, в виде числа. Чтобы понять суть корреляционного анализа, рассмотрим простой пример. Возьмём две последовательности чисел Х и Y: x1, x2, x3, ……… xi, … xn y1, y2, y3, ……… yi, … yn . Эти последовательности могут описывать разные явления. Возьмем далекий от радиотехники пример. Предположим, что первая последовательность показывает уровень осадков по годам, а вторая - величину урожая в эти годы (Рис. 2.2). Рис. 2.2 Как определить степень связи этих последовательностей или изображающих их графиков? Гальтон предложил следующую несложную операцию: числа первой и второй последовательностей в совпадающие моменты времени попарно перемножаются, образуя произведения вида xiyi. Затем эти произведения суммируются и полученная сумма делится на число просуммированных пар, т.е. находится среднее значение произведений ху на рассматриваемом отрезке времени: xy = 1 n  xi yi . n i =1 16 Это среднее значение Гальтон предложил использовать для определения степени связи между рассматриваемыми последовательностями. Почему он решил, что это выражение наилучшим образом отражает такую связь? Чтобы ответить на этот вопрос необходимо установить, какой знак получает произведение xiyi при разном сочетании знаков у сомножителей. Однако прежде следует определить, откуда должен отсчитываться знак каждого сомножителя. Ведь если посмотреть на рис. 2.2, то станет очевидно, что на этом рисунке отсчет всех чисел xi и yi производится от нуля (нуля осадков или нуля урожая), а эти числа всегда имеют положительный знак и, соответственно, все произведения будут положительными. Гальтон предложил отсчитывать отклонение чисел xi и yi не от абсолютного значения (которое может быть совершенно произвольным в различных случаях, как на рис. 2.2), а от среднего значения соответствующей последовательности: 1 n x =  xi n i =1 и Тогда в формулу Гальтона вместо чисел xi и yi xi = x − xi и  yi = y − yi 1 n y =  yi , n i =1 необходимо подставить величины и формула примет окончательный вид: 1 n xy =  xi yi . n i =1 Отметим, что средние значения большинства электрических и радиотехнических процессов обычно равны нулю (постоянная составляющая, не несущая информации, как правило, устраняется включением конденсатора или трансформатора). В этом случае xi = xi , а yi = yi . Теперь вернемся к знаку произведения xiyi. Если x i и y i - оба положительны, или оба отрицательны, то их произведение будет положительно. Произведение будет отрицательным только в том случае, когда величины x i и y i имеют разные знаки. Таким образом, благодаря операции перемножения одинаковое отклонение величин, независимо от их знака, дает положительный знак произведению xiyi, а отклонение этих величин с разными знаками приводит к отрицательному знаку произведения. Это означает, что при достаточно большом числе совпадающих по знаку пар величин xi и yi величина xi yi (или xi yi ) будет положительна. И чем больше таких пар, 17 тем больше будет величина xi yi . В этом случае последовательности X и Y называют зависимыми и ковариантными. Если же в последовательности большое число пар имеет разные знаки, то величина xi yi (или xi yi ) будет отрицательной и также будет расти при увеличении числа таких пар. В этом случае последовательности X и Y тоже будут зависимые, но контравариантные. Как видно, их зависимость будет отрицательной. А если число совпадающих по знаку пар xi и yi будет примерно равно числу пар с разными знаками, то положительные произведения скомпенсируют отрицательные и величина xi yi (или xi yi ) будет равна нулю или близка к нему. Это означает, что последовательности X и Y независимы и связи между ними совсем нет или почти нет. Таким образом, корреляционный анализ двух дискретных последовательностей на некотором временном интервале выполняется с помощью двух процедур: 1) поэлементной "проверке" элементов последовательностей на совпадение знаков в одни и те же моменты времени. При выполнении этой процедуры происходит как бы "узнавание" степени совпадения элементов двух последовательностей друг с другом. Процедура выполняется операцией перемножения. 2) накоплению (суммированию) результатов этой "проверки". Процедура выполняется операцией сложения. Является ли этот метод наилучшим для определения меры связи между двумя последовательностями каких-либо чисел или величин? Сегодня мы отвечаем на этот вопрос положительно, поскольку этот метод широко применяется во многих областях науки и практики, в том числе и в радиотехнике. К конкретным примерам мы обратимся позднее. 2.3. Коэффициент корреляции Мерой связи двух последовательностей чисел мы определили среднее значение произведений совпадающих пар чисел xy . При ненулевом среднем значении каждой последовательности в качестве чисел использовались их отклонения от среднего значения своей последовательности. В этом случае мерой связи является среднее значение произведений совпадающих пар чисел xy . Однако при таком определении разные пары последовательностей, имеющие одинаковые степени связи, могут иметь разные 18 численные средние значения. Поэтому использование этой величины на практике неудобно, поскольку затрудняет сравнение различных пар последовательностей по степени связи. Чтобы сделать оценку связи единообразной, вместо величины xy используется нормированная величина r, которая называется коэффициентом корреляции: n 1 xy 1 n 2 2 2 yi2 , r= х = xi и у = , где   х 2    у2  n i =1 n i =1      где у 2 − средние квадратичные величины последовательностей X и Y. х2 и Благодаря такой нормировке, коэффициент корреляции, в отличие от среднего значения xy , изменяется только в пределах от +1 до −1, т.е. r  1. Таким образом, в самом общем случае для нахождения коэффициента корреляции двух дискретных последовательностей X и Y необходимо выполнить следующие действия (расчет выполнен для двух случаев: когда x  0 и y  0 и когда x = 0 и y = 0 ): 1) Найти среднее значение каждой из этих последовательностей: 1 n x =  xi n i =1 1 n y =  yi . n i =1 2) Найти отклонения каждого значения каждой из последовательностей от среднего значения: xi = x − xi ,  y i = y − y i при x  0 и y  0 . x i = x i , yi = yi при x = 0 и y = 0 . 3) Найти среднее значений произведения этих отклонений: xy = 1 n  xi yi при x  0 и y  0 . n i =1 1 n xy =  xi yi при x = 0 и y = 0 . n i =1 4) Найти средние квадратичные значения этих отклонений: 1 n 1 n 2 2 (х ) =  xi и (у) =  yi2 при x  0 и y  0 . n i =1 n i =1 2 х2 = 1 n 2 1 n 2 2 x у = и  yi при x = 0 и y = 0 .  i n i =1 n i =1 5) Найти коэффициент корреляции: 19 r= xy   r= (х )      2 (у)   при x  0 и y  0 . 2 xy  х 2    у2      при x =0 и y=0. 2.4. Корреляция между непрерывными функциями Если расстояние между точками числовых последовательностей X и Y сделать бесконечно малым, а число точек n - бесконечно большим, то эти последовательности преобразуются в непрерывные функции: Y → f2 ( t ) . X → f1 ( t ) Тогда сумма произведений чисел двух последовательностей преобразуется в интеграл от произведения этих функций на интервале от нуля до Т: T 1 n 1 xy = lim  xi yi =  f1 ( t ) f2 ( t )dt = f1 ( t ) f2 ( t ). n→ n T0 i =1 Полученное среднее значение произведения функций f1(t) и f2(t) обозначается f1 ( t ) f2 ( t ) =RВ и определяет степень их взаимной корреляции на интервале от 0 до Т. Для определения коэффициента взаимной корреляции двух функций используется такой же порядок действий, как и для дискретных последовательностей. Расчет выполнен () () для двух случаев: когда f1 (t )  0 и f2 (t )  0 и когда f1 t = 0 и f2 t = 0 . 1) Находятся средние значения функций (обычно они равны нулю) T f1 ( t ) = T 1 f1 ( t )dt T 0 f2 ( t ) = 1 f2 ( t )dt T 0 2) Находятся отклонения каждой из функций от среднего значения f1 ( t ) = f1 ( t ) − f1 (t ) f2 ( t ) = f2 ( t ) − f2 (t ) f 2 ( t ) = f 2 ( t ) f 1 ( t ) = f 1 ( t ) при f1 (t )  0 и f2 (t )  0 , () при f1 t = 0 и f2 (t ) = 0 . 3) Находится среднее значение произведения этих отклонений T 1 f1 ( t )  f2 ( t ) = Rв =   f1 ( t )  f2 ( t )dt T0 при f1 (t )  0 и f2 (t )  0 , 20 T 1 f1 ( t )  f2 ( t ) = Rв =  f1 ( t ) f2 ( t )dt T0 f1 (t ) = 0 при () и f2 t = 0 . 3) Находятся средние квадратичные значения этих отклонений T T 1 f ( t ) =  f12 ( t )dt T0 1 f ( t ) =  f22 ( t )dt T0 2 1 T f12 ( t ) = f2 (t )  0 , при f1 (t ) = 0 и f2 (t ) = 0 . при T 1 f12 ( t )dt  T 0 f 22 ( t ) = 1 f 22 ( t )dt  T 0 f1 (t )  0 и 2 2 5) Находится коэффициент взаимной корреляции rв = rв = f1 ( t )  f 2 ( t ) f ( t )  f ( t ) 2 1 2 2 f1 ( t )  f 2 ( t ) при f1 (t )  0 и f2 (t )  0 , () () при f1 t = 0 и f2 t = 0 . f12 ( t )  f22 ( t ) В рассмотренном случае обе функции сравниваются в одни и те же моменты времени (функции изменяются одновременно). В общем случае нас может интересовать степень связи между двумя функциями не только тогда, когда они находятся на одном и том же интервале времени, но и при сдвиге (задержке) одной из функций относительно другой на некоторое время tз. Влияние такой задержки на степень связи между функциями хорошо иллюстрируется примером, в котором определялось влияние уровня осадков на величину урожая. Действительно, если осадки произошли весной - урожай увеличивается, если во время уборки - урожай уменьшается, если после уборки - влияние осадков на урожай отсутствует. Поэтому меняя tз можно получить различные значения корреляции. В этом случае взаимная корреляции зависит от времени задержки и становится функцией: T 1 Rв ( t З ) =  f1 ( t )  f2 ( t + t З )dt . T0 Это классическое определение функции взаимной корреляции. Очевидно, что Rв (0) = Rв. Если вместо двух разных функций дважды взять одну и ту же функцию f1(t), причём одно из её значений сместить на время tз, мы получим функцию автокорреляции (индекс "в" меняется на индекс "а"): 21 T 1 Rа ( t З ) =  f1 ( t )  f1 ( t + t З )dt . T0 Очевидно, что при tз = 0 получим: T 1 Rа ( 0 ) =  f12 ( t )dt = f12 ( t ) . T0 Ra(0) всегда является наибольшим значением функции автокорреляции и определяет среднюю мощность процесса f1 ( t ) , выделенную на сопротивлении 1 ом. Если произвести нормирование: Ra ( t3 ) Ra ( t3 ) = = r( t3 ), Ra ( 0 ) f12 ( t ) то мы получим коэффициент автокорреляции функции f1(t) с пределами изменения от 0 до 1. 2.5. Физическое объяснение роли корреляционного анализа при исследовании линейных систем Теперь можно вернуться в раздел 2.1. к формулам для коэффициентов Аn и Вn, определяющих амплитуду Сn и фазу φn n-й гармоники ряда Фурье. Мы видим, что каждый коэффициент Аn и Вn представляет собой среднее значение произведения входного сигнала Sвх(t) и гармонического колебания с частотой n за период T, т.е. является мерой их связи. Таким образом, эти формулы представляют собой функции взаимной корреляции между сигналом Sвх(t) и синусоидальным или косинусоидальным колебанием с частотой n. Можно сказать, что коэффициенты Аn и Вn ряда Фурье позволяют узнать "сколько" синусоиды или косинусоиды каждой из частот n содержится в сигнале Sвх(t), разлагаемом в тригонометрический ряд. Полученные параметры Cn и φn численно характеризуют вклад (роль или вес) каждой гармоники в этом сигнале. Когда анализируется выходной сигнал Sвых(t), то параметры CnКn и (φn+n) численно характеризуют вклад (роль или вес) каждой гармоники теперь уже на выходе системы. Тем самым определяется "сколько" каждой гармоники прошло через систему, то есть характеризуются селектирующие или фильтрующие свойства системы. Тоже самое можно сказать и про интеграл Фурье. Только здесь корреляционный интеграл позволяет определить, сколько спектральной плотности C() анализируемого 22 сигнала содержится в каждом частотном интервале d и сколько ее проходит через систему. Интеграл Дюамеля, в свою очередь определяет степень связи между входным сигналом Sвх(t) и реакцией на него линейной системы h(t). В результате корреляционный интеграл позволяет определить, какая часть сигнала Sвх(t) содержится в выходном сигнале системы Sвых(t). Таким образом, интеграл Дюамеля также характеризует селектирующие или фильтрующие свойства системы. Отметим различие частотных и временных методов анализа линейных систем. При преобразовании Фурье процедура представления сигнала в виде отдельных элементарных составляющих и процедура прохождения этих составляющих через систему могут быть методически и физически выполнены раздельно. Мы можем сначала сформировать отдельные гармоники с необходимыми амплитудами и фазами и пропустить их по очереди через систему, а потом сложить полученные на выходе колебания с необходимой задержкой во времени. Так иногда и производят формирование сложных сигналов. При использовании интеграла Дюамеля представление сигнала в виде отдельных элементарных составляющих и прохождение этих составляющих через систему выполняется в виде единой процедуры, происходящей в текущем времени. Если тот или иной корреляционный интеграл равен нулю, то это значит, что рассматриваемые функции не имеют между собой никакой связи, не коррелированны. Однако некоррелированность двух функций не всегда означает их полную независимость. Так, корреляционный интеграл от произведения sin ωt и cos ωt на интервале T 1 T T  sin t  cos t = 0 , и, по определению, эти функции не коррелированны, но, очевидно, что они зависимы. Такие функции называются ортогональными. К их свойствам мы вернемся в дальнейшем. 2.6. Применение корреляционной обработки для обнаружения сигнала в шуме. Оптимальный приемник. Корреляционный анализ является универсальным инструментом для определения меры связи между двумя процессами или явлениями, для определения их взаимной корреляции. Его можно использовать и в том случае, когда мы имеем не два процесса, а 23 один и он известен, однако время или место появления этого процесса неизвестны и поэтому стоит задача его обнаружения. Тогда мы можем для обнаружения использовать образец или копию этого процесса и определить его автокорреляционную функцию. Это типичная задача селекции, то есть выделения известного процесса из множества неизвестных. В радиотехнике такими процессами являются принимаемые сигналы. Поэтому одним из наиболее распространённых применений корреляционного анализа в радиотехнике является обнаружение известного сигнала в шумах, широко применяемое в радиолокации, радиосвязи, радиоастрономии. Операция обнаружения в этом случае выполняется следующим образом. Ожидаемый сигнал Sвх(t) приходит на вход приёмника вместе с шумами или помехами. Поэтому в напряжении на входе приёмника всегда присутствуют либо только шумы Sвх(t)=uш(t), либо смесь Sвх ( t ) = uc ( t ) + uш ( t ) . Приемник должен произвести анализ входного напряжения Sвх(t) и выдать решение о наличии сигнала или об его отсутствии с заданной степенью достоверности. Время анализа Т всегда ограничено скоростью потока принимаемой информации. В радиосвязи это время равно длительности передачи одного бита информации, в радиолокации – длительности зондирующего сигнала. Для обнаружения сигнала в приемнике используется схема рис. 2.3., реализующая корреляционный интеграл и поэтому называемая коррелятором. Рис. 2.3 В конце периода Т напряжение на выходе коррелятора равно: Т U ( T ) =  Sвх ( t )  S(t)dt . Сигнал S(t) здесь является тем самым образцом (или копией), который необходим для обнаружения ожидаемого сигнала во входном напряжении Sвх(t). Этот образец (или копия) носит название опорного сигнала и в дальнейшем обозначается uоп(t). Решение о наличии сигнала, то есть его обнаружение, принимается при превышении выходным напряжением коррелятора U(T) некоторого порогового значения Uпор. Если этого превышения не произошло, принимается решение об отсутствии сигнала. Пороговое напряжение Uпор должно быть установлено так, чтобы в отсутствие сигнала вероятность 24 пересечения порога шумовым напряжением на выходе коррелятора не превышала заданного значения (например, 10-6, то есть один раз за миллион периодов Т). При отсутствии сигнала напряжение на выходе коррелятора U(T) будет равно: Т U ( T ) =  uоп ( t )  uш ( t )dt . Умножение входного шума на опорный сигнал приводит к тому, что в течение времени Т среднеквадратическое значение напряжения шума на выходе коррелятора увеличивается линейно и пропорционально амплитуде этого сигнала. Рост напряжения шума на выходе приводит к необходимости соответственно повысить и пороговое напряжение Uпор. При наличии сигнала напряжение на выходе коррелятора U(T) будет равно: Т T T U ( T ) =  uоп ( t )  uс ( t ) + uш ( t )dt =  uоп ( t )  uс ( t )dt +  uоп ( t )  uш ( t )dt . Напряжение шума на выходе коррелятора в этом случае растет так же линейно, как и в отсутствие сигнала (второй интеграл). Однако напряжение сигнала при этом растет в квадрате (первый интеграл). Поэтому отношение сигнал/шум увеличивается линейно. Если амплитуда сигнала на выходе коррелятора U(T) при этом превысит напряжение порога Uпор, то произойдет обнаружение сигнала. Таким образом, роль корреляционного анализа сводится к "узнаванию" своего сигнала и выделению его из шума путем сравнения с опорным сигналом. Корреляционный обнаружитель является оптимальным видом обнаружителя. Это означает, что сегодня не известны другие методы обнаружения сигнала, позволяющие получить более высокое отношение сигнал/шум на выходе приемника. 2.7. Применение корреляционной обработки для разделения информационных каналов С недавнего времени корреляционная обработка стала использоваться в радиотелефонии для организации работы нескольких телефонных каналов в одной и той же полосе частот без взаимных помех. Это позволяет преодолеть «тесноту» в эфире и расширить возможности систем связи. Рассмотрим, как работает такая система, получившая название МДКР – Многостанционный Доступ с Кодовым Разделением каналов (английская аббревиатура: CDMA - Code Division Multiple Access). 25 Рис. 2.4 Структурная схема передатчика системы показана на рис. 2.4,а, а временные диаграммы сигналов в отдельных узлах передатчика – на рис. 2.5,а. Рис. 2.5 Высокочастотный генератор формирует несущее колебание U1 на частоте fнес. Для разделения абонентских каналов используется кодовая импульсная последовательность U2. Длительность импульсов этой последовательности Tпсп и тактовая частота Fпсп. Информация от абонента поступает в виде цифровой импульсной последовательности U3. Тактовая частота этой последовательности Fи и длительность импульсов Tи. В системе соблюдается условие: Ти=NTпсп, где N , то есть импульс кодовой последовательности U2 в N раз короче импульса информационной последовательности U3. Импульсные последовательности U2 и U3 складываются в сумматоре «по модулю два» и образуют импульсную последовательность U4. При их сложении «по модулю два» спектр информационной последовательности расширяется в N раз до ширины спектра кодовой последовательности. Последовательность U4 модулирует по фазе (0, ) колебание U1 высокочастотного генератора. Это колебание излучается в пространство. Двоичной единице соответствует начальная фаза несущего колебания равная 0, двоичному нулю – 26 начальная фаза несущего колебания равная . При расширении спектра в N раз уменьшается спектральная плотность мощности сигнала передатчика. В результате полученный сигнал имеет высокую энергетическую скрытность и высокую криптостостойкость, так как период повторения кодовой последовательности может быть очень длинным, а определить порядок чередования кодирующих импульсов, не зная алгоритм формирования кодовой последовательности, практически невозможно. Структурная схема приемника системы показана на рис. 2.4,б, а временные диаграммы работы в приемнике – на рис. 2.5,б. Принятый широкополосный сигнал U6 подается в коррелятор, где в качестве опорного сигнала используется модулированное высокочастотное колебание U7, формируемое из высокочастотного колебания U1 с помощью модуляции по фазе (0,) кодовой последовательностью импульсов U2. В результате корреляционной обработки на выходе коррелятора остается только информационная последовательность импульсов U3. Для разделения нескольких абонентов, работающих в общей полосе частот, можно использовать различные типы кодовых последовательностей. Однако для нас важно, чтобы эти последовательности обладали хорошими автокорреляционными и взаимокорреляционными свойствами. Когда корреляционный приемник сравнивает принимаемую кодовую последовательность с опорной кодовой последовательностью и обнаруживает корреляцию между ними, он переходит в режим приёма информации, устанавливает синхронизацию и начинает операцию декодирования полезной информации. Любые частичные корреляции с кодовыми последовательностями других абонентов могут привести к нарушению работы приёмника. Поэтому слова “хорошие автокорреляционные и взаимокорреляционные свойства” означают, что кодовые последовательности, используемые в системе связи, должны иметь коэффициент автокорреляции равный 1 и коэффициент взаимной корреляции равный 0. Такими свойствами обладают ортогональные функции. С математической точки зрения ортогональность функций означает, что интеграл от произведения двух любых, но разных функций ансамбля (функция взаимной корреляции) всегда будет равен нулю, а функция автокорреляции любой функции ансамбля будет равна единице. Такими функциями, например, являются гармоники ряда Фурье. Пример, показывающий ортогональность этих функций, приведен в конце раздела 2.5. Поэтому если в системе связи для кодирования использовать ортогональные последовательности, то коррелятор каждого приёмника выделит только строго определённую последовательность. Выходное напряжение коррелятора при приеме кодовых последовательностей соседних каналов будет нулевым. 27 В качестве ортогональных сигналов для создания кодовых последовательностей в цифровых системах связи наиболее часто используется ансамбль функций Уолша, имеющих прямоугольную форму и кратко обозначаемых символом Wal. На рис.2.6 показано несколько первых функций ряда Уолша. Рис. 2.6 Для иллюстрации эти функции сравниваются с первыми гармониками ряда Фурье. Прямоугольная форма функций Уолша наилучшим образом сочетается с передачей цифровых сигналов. Последовательности Уолша определяются строками или столбцами единичных матриц, которые называются матрицами Адамара. Матрица Адамара выглядит следующим образом: HM 1 Тогда Н 1 = + 1 , а H 2 =  1 H M  = 2 H  M  2 HM   2 , − HM   2  1  . − 1 На рис. 2.6 показана матрица Адамара четвёртого порядка и соответствующие ей первые четыре функции Уолша. Связь строк матрицы и функций Уолша здесь очевидна. Количество функции Уолша, используемых в системе, определяет число независимых каналов, которое может содержать система. С этой точки зрения выгодно использовать функции Уолша как можно более высокого порядка. С другой стороны, чем выше порядок функции Уолша, тем короче единичный символ последовательности и тем шире должна быть полоса частот системы для неискаженного пропускания данной последовательности. Поэтому приходится искать компромисс между числом каналов и полосой пропускания системы. В системах сотовой связи обычно используются функции Уолша шестьдесят четвёртого порядка. 28 В этом случае каждый информационный символ складывается в передатчике «по модулю два» с присвоенной этому каналу функцией Уолша, имеющей длину 64 элементарных символа. Если следует информационный ноль, то вместо него передаётся данная функция Уолша, если следует информационная единица, то передаётся инверсная (перевернутая по знаку) функция Уолша. Как указывалось выше, при этом происходит расширение спектра излучаемого сигнала, поскольку на информационный поток накладывается поток из элементарных символов функции Уолша, следующих со скоростью в 64 раза большей. Коррелятор приемника "узнает" кодовую последовательность "своего" канала, в результате чего она удаляется из информационных импульсов нулей и единиц. Очищенная от кода информационная последовательность поступает на выход приемника. Таким образом, и в этом случае корреляционный анализ позволяет "узнать" свой сигнал – свою кодовую последовательность – и выделить ее из смеси многих других кодовых последовательностей, сравнивая принятую кодовую последовательность с опорной. 2.8. Корреляция и резонанс. Согласованный фильтр. Вернемся к формуле интеграла Дюамеля, позволяющей определить сигнал на выходе линейной системы во временной области в момент Т: T Sвых ( T ) =  Sвх ( t )h( T − t )dt В этом случае корреляционный интеграл определяет степень взаимной связи (корреляцию) входного сигнала Sвх(t) уже не с опорным сигналом Sоп(t), как это было раньше. Теперь под интегралом стоит произведение входного сигнала с импульсной характеристикой системы h(t), которая является ее выходным сигналом, когда на вход подается единичный импульс δ(t). Поскольку единичный импульс никак не связан с входным сигналом Sвх(t), то и импульсная характеристика системы не является опорным сигналом в формуле корреляционного интеграла. Таким образом, мы вернулись к взаимокорреляционной форме корреляционного интеграла, который определяет степень связи между двумя разными сигналами. Поэтому коррелятор, построенный по этой формуле, не производит обнаружения «своего» сигнала среди других сигналов и шумов с помощью опорного сигнала, а решает иную задачу: определяет «сколько» входного 29 сигнала пройдет через линейную систему на ее выход. Это тоже задача селекции, но селекции иного вида. Рассмотрим сначала простой пример. В качестве линейной системы выберем последовательный колебательный RLC контур с высокой добротностью. Рис. 2.7 Импульсной характеристикой такого контура является ток (рис. 2.7.), возникающий в нем при подаче на вход единичного импульса напряжения: h(t ) = i(t ) = I exp( −  t )Cos0t , где α =R/2L, 02=1/LC. В качестве входного сигнала Sвх(t) выберем последовательность коротких импульсов (рис. 2.8.). Рис. 2.8 Слово «короткий» означает, что длительность импульсов  мала по сравнению с периодом их следования Т, периодом собственных колебаний контура Т0=2/0 и постоянной времени контура 0=1/α. При таких условиях эти импульсы могут быть представлены как единичные. Таким образом, входной сигнал Sвх(t) может быть представлен, как последовательность единичных импульсов. Каждый импульс вызывает в контуре гармоническое колебание h(t) с частотой 0, длительность которого определяется постоянной времени контура 0. Поскольку в контуре с высокой добротностью α0 эта длительность будет намного больше и периода следования импульсов Т и периода собственных колебаний контура Т0. Тогда в контуре будет одновременно существовать большое число колебаний с частотой 0, которые 30 будут складываться в соответствии с принципом суперпозиции. Сумма гармонических колебаний одной и той же частоты всегда является гармоническим колебанием этой же частоты. Поэтому в качестве выходного сигнала контура Sвых(t) мы получим гармоническое колебание с частотой 0. Таким образом, из входной последовательности коротких импульсов Sвх(t) контур «пропустил» на выход только колебание с собственной частотой 0. Так реализуется узкополосная селекция сигнала высокодобротным колебательным контуром. Очевидно, что амплитуда суммарного колебания в контуре будет зависеть от соотношения фаз колебаний, вызванных отдельными импульсами входного сигнала. А это соотношение, в свою очередь, будет зависеть от соотношения периодов следования импульсов Т и собственных колебаний контура Т0. Когда будет выполняться условие T=nT0 (где n – целое число), колебания, вызванные отдельными импульсами входного сигнала, будут складываться в фазе. В этом случае амплитуда суммарного колебания в контуре резко возрастет и достигнет максимума, который будет ограничен только потерями в контуре. Таким образом, в контуре возникнет резонанс. Если перевести полученное явление на спектральный язык, то можно сказать, что контур выделил одну из гармоник спектра входной последовательности коротких импульсов Sвх(t). В рассмотренном примере линейная система – колебательный контур – значительно изменила структуру входного сигнала. Чаще возникает задача, аналогичная той, которую решает коррелятор с опорным сигналом: пропустить входной сигнал Sвх(t) через линейную систему без изменений, а все остальные сигналы, по возможности, не пропускать. Формула корреляционного интеграла Дюамеля подсказывает нам решение этой задачи. Максимальная корреляция между входным сигналом и импульсной характеристикой линейной системы будет достигнута в том случае, когда эта характеристика будет равна входному сигналу h(t)=Sвх(t). В более общем случае это равенство обычно представляют в виде: h(t)=kSвх(Tз–t), где k – коэффициент пропорциональности, а Tз – время задержки сигнала в линейной системе. Тогда напряжение на выходе линейной системы будет равно: T Sвых ( t ) = k  Sвх ( t )Sвх ( T − T3 + t )dt . В момент времени Т=Тз выходное напряжение представляет собой наибольшее значение функции автокорреляции входного напряжения, то есть система производит максимальное выделение входного сигнала. В этом случае линейная система, 31 описываемая интегралом Дюамеля, называется согласованным или оптимальным фильтром. На частотном языке смысл согласования заключается в том, что амплитудночастотная характеристика согласованного фильтра совпадает с амплитудным спектром сигнала, а его фазо-частотная характеристика имеет знак, обратный знаку фазового спектра сигнала. Благодаря этому при Т=Тз все составляющие спектра принимаемого сигнала складываются в фазе и дают максимальный отклик. Если на вход оптимального фильтра приходит смесь сигнала и шума Sвх ( t ) = uc ( t ) + uш ( t ) , то оптимальный фильтр, также как и коррелятор, обеспечивает наибольшее отношение сигнал/шум на выходе приемника. Таким образом, и коррелятор и согласованный фильтр при разном исполнении решают одну и ту же задачу. Различие между коррелятором и оптимальным фильтром заключается в том, что импульсная характеристика оптимального фильтра определяется его конструкцией и, в отличие от опорного сигнала коррелятора, не позволяет оперативно переходить к приему других сигналов. С развитием цифровых перестраиваемых фильтров это различие практически исчезает. Рассмотренные примеры показывают, что процесс, описываемый интегралом Дюамеля и реализующий селекцию сигналов, распадается на две фазы, соответствующие структуре корреляционного интеграла. На первом этапе входной сигнал возбуждает линейную систему. При этом в ней возникает отклик, который позволяет "узнать", насколько ее собственное колебание совпадает с этим сигналом. На втором этапе происходит накопление этого отклика и при определенных условиях возникает резонанс. Таким образом, физическая картина резонанса в линейной системе и реализации оптимальной фильтрации описывается корреляционным интегралом. Если внешнее воздействие и собственные колебания контура окажутся некоррелированы (или ортогональны), то резонанс не возникнет. Не ортогональность этих сигналов является обязательным условием резонанса. В завершение этого раздела сделаем краткий вывод: интеграл от произведения двух функций, взятый на каком-либо интервале, это всегда способ выявления (узнавания, селекции) неизвестной функции с помощью известной. 32 3. Когерентность Когерентность является одним из фундаментальных понятий радиотехники. Этим термином обозначается согласованное протекание нескольких колебательных процессов. Классическое определение когерентности, введённое более века назад, опирается на результаты следующих экспериментов. Возьмём два независимых генератора гармонических колебаний одной частоты. Будем измерять разность фаз между колебаниями этих генераторов (или фазу одного колебания относительно другого). Если эта разность фаз не меняется со временем, то колебания генераторов считаются когерентными. Если эта разность фаз со временем изменяется, то эти колебания называются некогерентными. Очевидным примером некогерентных колебаний являются колебания двух независимых шумовых генераторов. Измерения покажут, что разность фаз между их колебаниями будет всё время изменяться по случайному закону. Позднее произошло расширение понятия когерентности. Для пояснения снова возьмём два независимых генератора гармонических колебаний, но теперь уже разной частоты. Разность фаз между их колебаниями будет постоянно изменяться с некоторой скоростью. Поскольку эта разность фаз всегда может быть определена для любого момента времени, такие колебания также стали относить к когерентным. Как видим, расширение понятия когерентности произошло за счёт того, что этим термином стало называться не только сохранение однозначной разности фаз между рассматриваемыми колебаниями, но и более общая степень связи между ними. В последующие годы для определения степени когерентности колебаний стало использоваться понятие корреляции. Рассмотрим энергию суммы двух взаимодействующих сигналов: + Э= + + +  S ( t ) + S ( t ) dt =  S ( t )dt +  S ( t )dt + 2  S ( t )S ( t )dt = Э 2 1 − 2 1 2 − 2 2 − 1 2 1 + Э2 + Э12 . − Первые два интеграла определяют энергию Э1 и Э2 каждого из сигналов S1(t) и S2(t), взятых отдельно, а последний, корреляционный, интеграл – энергию взаимодействия Э12 между сигналами, которая и является мерой связи между ними. Чем больше энергия взаимодействия, тем выше когерентность сигналов S1(t) и S2(t). Введенная мера когерентности позволяет использовать ее для определения когерентности не только гармонических сигналов, но и сигналов, имеющих любую другую форму, в том числе сигналов, у которых вообще отсутствует такой параметр, как фаза и, соответственно, разность фаз (например, последовательность видеоимпульсов). 33 Также как и коэффициент корреляции, мера когерентности может быть нормирована к произведению абсолютных значений сигналов и по аналогии названа коэффициентом когерентности К. +  S ( t )  S ( t )dt 1 K= 2 − +  S ( t )  S ( t ) dt 1 . 2 − Величина К может принимать любые значения между –1 и +1. Чтобы сигналы были не когерентны, необходимо, чтобы +  S ( t )  S ( t ) = 0. 1 2 − Нетрудно видеть, что это – условие некоррелированности или ортогональности сигналов. Следовательно, некогерентные сигналы являются некоррелированными. При сложении некогерентных сигналов энергия суммы сигналов равна сумме энергий отдельных сигналов. В реальных радиотехнических системах, где когерентность колебаний необходима для выполнения системой своих функций, важным параметром является время когерентности. Это то время, за которое сохраняется необходимая (или заданная) степень когерентности между сигналами двух источников. По аналогии с взаимной корреляцией такая когерентность может быть названа взаимной когерентностью. Если речь идет об одном источнике, этот параметр показывает время, за которое сигнал источника сохраняет необходимую степень когерентности по отношению к моменту начала измерений. Такая когерентность может быть названа автокогерентностью. Если источники сигналов возбуждаются от какого-либо третьего источника или синхронизируются его сигналом, то их когерентность будет "вечной". Но если источники сигналов независимы, то сохранить когерентность длительное время не удаётся. Дело в том, что любые реальные источники сигналов не могут долго сохранять идеальную стабильность параметров из-за влияния тепловых шумов, изменений режима электронных приборов и других факторов. Даже такие высокостабильные источники гармонических колебаний, как, например, кварцевые или квантовые генераторы, не могут сохранить монохроматичность своих колебаний в течение длительного времени. Частота этих генераторов медленно «плавает» в пределах некоторой полосы частот параметр f f . Поэтому определяет стабильность частоты генератора. Чем уже полоса f , тем 34 стабильнее генератор. Следует учесть, что полоса частот f обычно определяется за некоторый период наблюдения ТН. В зависимости от продолжительности этого периода, стабильность частоты генератора называется кратковременной (например, секундной), длительной (например, суточной) и т. д. Временем когерентности называется величина t k = 1 f . Для источников гармонических колебаний необходимая или заданная степень когерентности обычно определяется разностью фаз, возникающей между колебаниями двух источников за время ТН, либо разностью фаз, возникающей между колебаниями одного генератора и виртуального, абсолютно стабильного генератора. Для источников произвольных сигналов необходимая или заданная степень когерентности определяется временным сдвигом между сигналами двух источников за время ТН, либо временным сдвигом сигнала одного источника за это время относительно сигнала виртуального, абсолютно стабильного источника. Чем стабильнее источники сигналов, тем больше величина tk и тем дольше сохраняется необходимая степень их когерентности. Когерентность является важной для тех радиотехнических систем, где фазовые соотношения сигнала на каком - либо отрезке времени используются в качестве рабочего параметра. Типичным примером являются системы череспериодной компенсации (ЧПК), применяемые в импульсных радиолокаторах и предназначенные для обнаружения цели на фоне пассивных помех. Метод ЧПК основан на сравнении (вычитании) импульсов, принятых в соседних (или более отдаленных) периодах повторения. Первый импульс, отражённый от целей и помех и принятый радиолокатором, задерживается на время, равное (или кратное) периоду повторения. После задержки этот импульс поступает на устройство компенсации одновременно со вторым импульсом, отражённым от тех же целей и помех. Если цели или помехи неподвижны, то импульсы, принятые в соседних периодах повторения, будут совершенно идентичны, они будут полностью вычитаться и никакого сигнала на выходе устройства компенсации не возникнет. Если же цель движется и имеет радиальную скорость, то за период повторения она приблизится к радиолокатору и второй импульс вернется через время, меньшее, чем время задержки. В результате и вычитание импульсов, принятых в соседних периодах, будет уже не полным. На выходе системы появится сигнал, свидетельствующий о наличии движущейся цели. Импульсы же, отраженные от неподвижных или малоподвижных пассивных помех, попрежнему будут скомпенсированы. 35 Если же в системе ЧПК за время периода повторения импульсов произойдёт нарушение когерентности, то при отсутствии движущейся цели на выходе системы ЧПК появится сигнал, так называемый, "остаток", который будет восприниматься как цель, создавая, по существу, ложную цель. Поэтому для когерентных систем такого типа, как ЧПК, должно выполняться неравенство tk  T , где Т - период повторения импульсов или в более общем виде - рабочий интервал времени системы. 36 4. РЕЗОНАНС 4.1. Введение Резонансом называется резкий рост амплитуды колебаний в системе при вводе в систему энергии с помощью внешнего воздействия совершенно определенного вида. Резонанс играет в радиотехнике особую роль. Благодаря резонансу осуществляется передача информации в большинстве радиотехнических систем. Именно резонанс позволяет "вырезать" узкий участок частотного диапазона, выделить необходимый сигнал из огромного многообразия сигналов, существующих одновременно в эфире или линии связи. Наиболее известен резонанс, возникающий в линейной колебательной системе с постоянными параметрами – RLC контуре или его аналоге – когда частота внешнего синусоидального сигнала совпадает с собственной частотой системы. Но почему он возникает при выполнении этого условия? Какие физические процессы происходят в колебательной системе и способствуют росту амплитуды? И единственный ли это случай значительного роста амплитуды колебаний в системе? Ведь известно, что резонанс может возникать в колебательной системе и при периодическом воздействии на нее негармонических сигналов. Причем – возникать на разных, хотя и кратных частотах. Какова в этом случае физическая природа резонанса? И отличаются ли условия возникновения этого вида резонанса от предыдущего случая? А может быть возможны какие либо иные условия, при которых в системе возникает существенный рост амплитуды колебаний? Мы постараемся дать ответы на эти вопросы. Однако, чтобы досконально разобраться в поставленной задаче, нам придется начать издалека. Мы начнем с изучения элементов колебательной системы, их свойств и особенностей поведения в системе. Основными элементами любой колебательной системы являются индуктивность и емкость, называемые также реактивными элементами. Они ведут себя по-разному при приложении к ним внешнего напряжения, что в основном, и определяет резонансные свойства колебательной системы. Рассмотрим эти элементы. 4.2. Индуктивность. Для понимания физического существа резонанса нам необходимо разобраться в двух, связанных между собой, вопросах: 37 - от чего зависит сопротивление индуктивности переменному току? - чем определяется сдвиг по фазе между напряжением на индуктивности и протекающим по ней током? Вспомним хорошо известный эксперимент Фарадея, в процессе которого постоянный магнит перемещается относительно проволочного витка или катушки. Мы наблюдаем очень важное и для электротехники и для радиотехники явление – электромагнитную индукцию. При взаимном перемещении магнита и витка в проводе витка течет ток (индукционный ток), как будто бы мы подключили к этому проводу источник ЭДС. Но никакого источника там нет! Фарадей установил, что ток в проводе витка появляется только при движении в системе "провод-поле" и что этот ток можно создать двумя способами: двигая провод при неподвижном магните или двигая магнит при неподвижном проводе. Эти два способа кажутся одинаковыми. Однако причины, приводящие к появлению тока в проводе, в этих двух случаях оказываются совершенно различными. Если магнитное поле неподвижно, то при перемещении провода и пересечении им линий этого магнитного поля на каждый электрон с зарядом q в этом проводе возникает, так называемая, магнитная сила или сила Лоренца, пропорциональная скорости перемещения провода V и индукции магнитного поля B. Если силовые линии неподвижного магнитного поля и направление движения провода витка будут взаимно перпендикулярны и в свою очередь перпендикулярны самому проводу витка, эта сила будет толкать электроны вдоль провода, что приведет к возникновению индукционного тока (рис. 4.1). Рис. 4.1 Эта сила равна Fпров = q ∙ V ∙ B, а Лоренц получил это равенство на основе анализа экспериментальных данных. Если магнит перемещается относительно неподвижного провода, то сила Лоренца не возникает. Но при движении магнитного поля всегда возникает электрическое поле Е, 38 которое действует на электроны в неподвижном проводе с силой Fполе=q∙E. При этом в проводе возникает такой же индукционный ток, как и в первом случае. Таким образом, одинаковый эффект для "движущегося провода" и "движущегося поля" вызывается совершенно разными силами взаимодействия. Вот что пишет известный американский физик Фейнман об этом явлении: "Мы не знаем в физике ни одного другого такого примера, когда бы простой и точный общий закон требовал для своего понимания анализа двух разных явлений. Обычно столь красивое обобщение исходит из единого глубокого основополагающего принципа. Но в этом случае какого-либо особо глубокого принципа не видно. Мы должны воспринимать закон Фарадея как одинаковый эффект от двух совершенно различных явлений" (Фейнмановские лекции по физике. т. 6, стр. 53). С учетом этой особенности полная величина силы, действующей на электроны в проводе, определяется выражением F=Fпров+Fполе=q(E+V∙B). Величины, входящие в это выражение, векторные, так как необходимо учитывать направления взаимного движения поля и провода. Возникновение тока в катушке при ее движении вдоль магнита или при движении магнита внутри катушки эквивалентно появлению в индуктивной цепи источника ЭДС. Поэтому действие магнитной силы или электрического поля на электроны в проводе Фарадей назвал наведенной ЭДС или ЭДС индукции. Далее мы будем рассматривать только случай с движущимся магнитным полем и неподвижной катушкой, с которого начинал свои опыты Фарадей. ЭДС индукции e, возникающую в одиночном проводе, Фарадей связал со скоростью изменения магнитного потока Ф простой формулой e = − dФ . Это выражение dt Фарадей получил, анализируя результаты экспериментов. Если катушка состоит из N витков, то формула Фарадея примет вид e = − N dФ . dt Совершенно естественно предположить, что индукционный ток, возникший под действием ЭДС индукции, вызовет вокруг катушки новое магнитное поле. Очевидно, что это вновь возникшее вторичное магнитное поле будет взаимодействовать с полем постоянного магнита, который перемещается в катушке. Важным в этой физической картине является следующее. Вновь возникшее вторичное магнитное поле будет всегда направлено навстречу магнитному полю постоянного магнита. Поэтому в формуле Фарадея стоит знак минус. Это свойство вторичного магнитного поля определяется, так называемым, правилом Ленца, или "правилом потока". 39 Если первичный магнитный поток Ф от постоянного магнита растет, то вторичное магнитное поле будет противодействовать его росту. Если первичный магнитный поток Ф от постоянного магнита уменьшается, то производная − dФ поменяет свой знак на положительный. Вторичное магнитное поле при dt этом получит такой же знак, как и магнитное поле постоянного магнита и будет поддерживать это магнитное поле и противодействовать его уменьшению. Можно объяснить это явление также и через взаимодействие токов в проводе катушки. Изменяющееся вторичное магнитное поле вызовет вторичное электрическое поле. Это поле вызовет в катушке вторичную ЭДС индукции, которая в свою очередь создаст вторичный индукционный ток. Этот вторичный ток будет встречным, когда первичный ток увеличивается и попутным, когда первичный ток уменьшается. Он всегда будет препятствовать изменению первичного индукционного тока. Уменьшение тока в цепи происходит точно так же, как если бы вместо индуктивности в цепь было бы включено сопротивление. Однако никакого сопротивления в данном случае физически не существует, есть лишь эффект подобный сопротивлению. Нет омических, джоулевых потерь на тепло, поскольку эффект сопротивления образовался за счет встречного индукционного тока, а не за счет поглощения электрической энергии в материале проводника. Доказательство правила Ленца вытекает из закона сохранения энергии. Действительно, если бы вновь возникшее вторичное магнитное поле увеличивало изменение первичного поля постоянного магнита, то происходило бы возрастание индукционного тока, а он в свою очередь увеличивал бы снова магнитный поток. Процесс стал бы лавинообразным, даже если бы мы прекратили движение магнита. Мощность, выделяемая в этом случае в витке или катушке и равная i2R, стремилась бы к бесконечности, что несовместимо с законом сохранения энергии. 40 Причинные связи процессов, возникающих при электромагнитной индукции, удобно представить в виде диаграммы, показанной на рис. 4.2. Изменение первичного магнитного поля Возникновение индуктированного электрического поля Появление ЭДС индукции Возникновение первичного индукционного тока Появление вторичного магнитного поля, направленного против изменения первичного магнитного поля Возникновение вторичного электрического поля Появление вторичной ЭДС индукции Возникновение вторичного индукционного тока, направленного навстречу первичному индукционному току Рис. 4.2. Следует помнить, что на диаграмме показаны причинные связи, а не последовательность событий. Разделение магнитных полей и токов на первичные и вторичные весьма условно и сделано для лучшего понимания физики явления. Реально же в витке или катушке сразу будет существовать суммарное магнитное поле и суммарный индукционный ток. Обратимся теперь к случаю, представляющему наибольший интерес для исследования резонанса. Подключим катушку непосредственно к источнику переменного напряжения. Тогда возникший в катушке ток вызовет переменное магнитное поле вокруг и внутри катушки. Этот случай называется самоиндукцией. По уже знакомой нам схеме изменяющееся магнитное поле создаст электрическое поле, которое будет воздействовать на электроны в проводе катушки. Возникает ЭДС, которую теперь можно называть ЭДС самоиндукции и по правилу Ленца эта ЭДС вызовет индукционный ток, который течет в 41 направлении, противоположном направлению первоначального тока, уменьшая его величину. Можно также считать, что индукционный ток создает магнитное поле, противоположное первоначальному полю, компенсирующее это первоначальное поле и гасящее его. В этом случае причинные связи процессов будут выглядеть несколько иначе (рис. 4.3), поскольку здесь не внешнее магнитное поле вызовет индукционный ток, а ток в катушке, вызванный внешним источником напряжения, приводит к появлению магнитного поля. Напряжение внешнего источника Ток в катушке, вызванный этим напряжением Возникновение магнитного поля Появление электрического поля ЭДС самоиндукции, вызванная электрическим полем Появление вторичного индукционного тока, направленного навстречу первичному току Рис. 4.3. Еще раз напомним, что на диаграмме показаны причинные связи, а не последовательность событий и что в катушке реально существует одно суммарное магнитное поле и один суммарный ток. И в этом случае ток в цепи уменьшается так же, как при включении в цепь активного сопротивления. Это свойство катушки называется реактивным, в данном случае индуктивным сопротивлением или импедансом. Импедансом также часто называют алгебраическую сумму активного и реактивного сопротивлений. Измеряется импеданс, как и обычное сопротивление, в омах. Величина индуктивности. Импеданс будет тем больше, чем больше у катушки витков, по которым протекает ток, поскольку с увеличением числа витков растет величина 42 магнитного поля, вызывающего индукционный ток. Магнитный поток Ф, пронизывающий N витков катушки, пропорционален току I в катушке. Коэффициент пропорциональности называется индуктивностью, определяется, как: L= N I и измеряется в генри. Выражение для мгновенного значения ЭДС индукции теперь можно записать следующим образом: e = −N d di = −L dt dt Из этой формулы видно, что ЭДС индукции, а, следовательно, и создаваемый ею вторичный индукционный ток и вызываемый им импеданс катушки будут увеличиваться с ростом скорости изменения первоначального тока в катушке. Очевидно, что эта скорость будет расти с увеличением частоты напряжения внешнего источника. Следовательно, импеданс катушки будет расти с увеличением частоты. Теперь рассмотрим сдвиг по фазе между током и напряжением в катушке. Напомним, что ток, протекающий через активное сопротивление, подключенное к источнику ЭДС (рис. 4.4), вызывает на нем падение напряжения, точно равное ЭДС с обратным знаком. Рис. 4.4 Больше эта ЭДС – больше ток – больше падение напряжения. Меньше ЭДС – меньше ток – меньше падение напряжения. Поэтому ток и падение напряжения на активном сопротивлении всегда находятся в фазе друг с другом. Это подтверждает и закон Ома, в соответствии с которым активное сопротивление – постоянная величина, а это значит, что любое изменение тока сопровождается пропорциональным ему изменением падения напряжения. 43 По иному обстоит дело в индуктивности, подключенной к источнику переменной ЭДС. Рассмотрим пример самоиндукции. Приложим к катушке гармоническое напряжение u=Ucosωt. Это напряжение должно уравновешиваться ЭДС индукции и по закону Кирхгофа: u + e =0, т.е. u=− e, откуда L di U = U cos t . Тогда di = cos t  dt . dt L Интегрируя это выражение, получим значение тока: i = U sin t . Очевидно, что L U/ωL = I, а величина ωL=XL является импедансом катушки. Учитывая, что sinωt=cos(ωt−π/2), получим i=I∙cos(ωt−π/2). Таким образом, напряжение и ток в катушке изменяются по гармоническому закону со сдвигом фазы на 900 (рис. 4.5). Заметим, что реактивное сопротивление является величиной, зависящей от времени и его мгновенное значение будет равно: xL = u U cos t = = X Lctgt . U i sin t XL Сдвиг по фазе между током и напряжением в индуктивности объясняется следующим образом. Увеличение ЭДС источника вызывает рост ЭДС самоиндукции. В результате растет встречный вторичный ток, уменьшая («погашая») ток, вызванный в индуктивности внешним источником. Для внешнего источника это выглядит, как рост сопротивления нагрузки. Поэтому сила тока в катушке падает и достигает нуля в тот момент, когда ЭДС самоиндукции максимальна. Максимальным же ток будет в тот момент, когда эта ЭДС минимальна (рис. 4.5). Рис. 4.5 Можно интерпретировать это явление через изменение мгновенного реактивного сопротивления. 44 Реактивное сопротивление действительно изменяется по закону котангенса x L = X Lctgt , ибо, когда ЭДС самоиндукции достигает максимума, а ток становится равным нулю, то xL равно бесконечности, что соответствует значениям ctgωt = n, где n – целое число. Средняя мощность . Поскольку ЭДС и сила тока сдвинуты на 90 относительно друг друга, средняя мощность, рассеиваемая в катушке, равна нулю. Действительно, в течение первого полупериода, показанного на рисунке, ЭДС положительна, а ток отрицателен. Следовательно, их произведение – среднее значение мощности – на этом участке отрицательно. В течение следующего полупериода и ЭДС и ток положительны и среднее значение мощности также положительно. Оно в точности компенсирует отрицательный вклад первой четверти. Аналогично мощность изменяется и в отрицательную часть периода. Энергия от источника поступает в катушку, где запасается ее магнитным полем, а когда поле убывает, энергия возвращается источнику. Таким образом, чистая индуктивность без потерь не потребляет и не рассеивает энергию, хотя и является сопротивлением. Следует учесть, что выражение: I=U/XL, устанавливает связь между амплитудными или эффективными значениями ЭДС и тока, но оно не выполняется для мгновенных значений этих величин из-за несовпадения их по фазе. Мгновенное сопротивление индуктивности зависит и от частоты и от времени. Поэтому пользоваться законом Ома при работе с реактивным сопротивлением следует очень осмотрительно. Выводы: Рассмотрев процессы, происходящие в индуктивности, мы получили ответы на вопросы, поставленные в начале раздела и можем кратко обобщить полученные результаты: 1. Причиной явлений, происходящих в индуктивности и лежащих в основе ее свойств, является появление электрического поля при изменении магнитного поля, то есть фактически возникновение единого электромагнитного поля. 2. Под действием изменяющейся электрической части электромагнитного поля в индуктивности возникает ЭДС индукции. При этом видимый источник такой ЭДС отсутствует. Эта ЭДС вызывает ток и, связанное с этим током вторичное магнитное поле, которое противодействует изменению первоначального поля и вызванного им тока (правило Ленца), создавая эффект сопротивления без видимого физического сопротивления цепи. 45 Величина этого сопротивления зависит от числа витков катушки и скорости изменения тока, а, следовательно, и от частоты колебаний, ибо с ростом частоты скорость изменения тока растет. 3. ЭДС индукции опережает ток в индуктивности по фазе на 90, поскольку только при таком соотношении фаз эта ЭДС противодействует изменениям магнитного поля катушки, реализуя, тем самым, правило Ленца. Благодаря такому сдвигу по фазе между током и напряжением индуктивность не потребляет мощности от источника. По этой же причине пользоваться законом Ома для определения сопротивления индуктивности необходимо с учетом указанного фазового сдвига. 4.3. Емкость При рассмотрении емкости нас интересуют те же два вопроса: - от чего зависит сопротивление емкости переменному току? - чем определяется сдвиг по фазе между напряжением на емкости и током в емкостной цепи? Емкость обычно реализуется в виде конденсатора, состоящего, в простейшем случае, из двух проводников (пластин), расположенных близко друг к другу. Подсоединенный к источнику постоянного напряжения U=, конденсатор быстро заряжается: положительные заряды накапливаются на одной пластине и создают на ней заряд +q, отрицательные заряды накапливаются на другой пластине и создают на ней равный по величине отрицательный заряд −q. Заряд на пластинах пропорционален напряжению источника: q = CU=. Коэффициент пропорциональности C называется емкостью конденсатора и исчисляется в фарадах. После окончания заряда конденсатора ток через него не течет. Если конденсатор подключить к источнику переменной ЭДС (рис. 4.6), то по цепи начнет протекать переменный ток. Рис. 4.6 Физическая картина при этом выглядит так. В течение первого полупериода колебаний на пластинах конденсатора происходит накопление зарядов с противоположными знаками также, как это было при подключении к источнику постоянного напряжения. Когда во втором полупериоде полярность напряжения меняется, 46 накопленные заряды перемещаются к противоположным пластинам. Таким образом, заряды все время "перекачиваются" от одной пластины к другой. И, несмотря на то, что конденсатор представляет собой физический разрыв для тока, носителями которого являются заряды, переменный ток в цепи течет непрерывно (этот ток называется током проводимости). Ток смещения. Однако с точки зрения теории цепей необходимо, чтобы цепь для тока проводимости была замкнута. Чтобы устранить противоречие между теорией и физической картиной, вводится другой вид тока – так называемый ток смещения – позволяющий представить себе то, чего на самом деле нет – протекание тока через конденсатор. Рассмотрим, как при изучении процессов в емкостной цепи появляется ток смещения. Диэлектрик. Сначала рассмотрим случай, когда между пластинами конденсатора находится диэлектрик. При подключении к такому конденсатору постоянной ЭДС U=, на его пластинах появляется заряд q1, создающий статическое электрическое поле E. Это поле воздействует на заряды в молекулах диэлектрика и вызывает смещение молекул с положительным зарядом в сторону отрицательно заряженной пластины, а молекул с отрицательным зарядом – в сторону положительно заряженной пластины. В результате молекулы диэлектрика перестают быть электрически нейтральными и образуют электрические диполи. Диэлектрик становится поляризованным. Степень поляризации диэлектрика характеризуется интенсивностью поляризации P, которая для большинства диэлектриков равна: P = Nq0d, где N – число диполей в единице объема диэлектрика; q0 – заряд одного диполя; d – расстояние между положительным и отрицательным зарядами диполя. Опыт показывает, что интенсивность поляризации пропорциональна напряженности приложенного к диэлектрику поля E. Поляризованный диэлектрик создает в конденсаторе (наряду с уже существующим зарядом q1) дополнительный заряд q2, который связан с интенсивностью поляризации соотношением: q 2 = −  Pds, S где S – произвольная поверхность, охватывающая конденсатор. Знак минус означает, что заряд q2 противоположен по знаку заряду q1. Заряд q2 часто называют связанным потому, что он не может перемещаться по цепи. Если подключить конденсатор с диэлектриком к источнику переменной ЭДС, то заряды в подводящих проводах, возникшие от приложенного извне напряжения, будут 47 "бегать" от пластины к пластине так, как это мы рассматривали выше. Заряды же в диэлектрике будут смещаться то в одну, то в другую сторону, меняя поляризацию диэлектрика с частотой ЭДС. Это смещение зарядов получило в физике название тока смещения. Ток смещения в диэлектрике является как бы продолжением тока проводимости в подводящих проводах и совпадает с ним по направлению и величине, хотя физического переноса зарядов сквозь диэлектрик не происходит. Самое интересное заключается в том, что, когда диэлектрика в конденсаторе нет, и между пластинами конденсатора находится пустота (вакуум), теория сохраняет ток смещения и в пустоте, чтобы не разрывать цепь тока, соединяющую выходные контакты источника ЭДС. Теория. Как получается ток смещения в общей теории? Рассмотрим связь зарядов q1 и q2 с образуемыми ими электрическими полями. Эта связь описывается теоремой Гаусса:  Eds = S q  , где  – диэлектрическая проницаемость диэлектрика (если он есть). Для нашего случая:  S Eds = q1 + q 2  С учетом связи, которая существует между q2 и P, это равенство примет вид:   Eds = q 1 S Отсюда находим: + q2 = q1 −  Pds S  Pds +   Eds =  ( P +  E)ds =q S S 1 S Это очень важное для электродинамики равенство. Его иногда называют обобщенной теоремой Гаусса, хотя формально она доказывается только для электростатического поля. Это равенство также называют постулатом Максвелла, поскольку оно является основным постулатом электромагнитного поля, из которого следуют все выводы теории, полностью подтвержденные опытом. Полученное равенство оказывается справедливым во всех без исключения случаях и для сколь угодно быстро изменяющихся электрических полей. Трактовка теории. Из приведенной формулы видно, что заряд q1, создаваемый внешней ЭДС на пластинах конденсатора, уравновешивается внутри конденсатора в общем случае как зарядом, образующимся за счет смещения элементарных частиц в диэлектрике  Pds , S 48 так и зарядом, который определяется выражением   Eds , описывающим заряд ... в S пустоте (!). Теперь рассмотрим токи, протекающие в цепи конденсатора. Поскольку ток определяется количеством зарядов, прошедших через определенное сечение провода за единицу времени (то есть скоростью движения зарядов) и записывается в виде производной заряда по времени, то: dq1 d d = i =  Pds +   Eds dt dt S dt S Первое слагаемое в правой части этого равенства является током смещения в диэлектрике. Его физическое существо мы рассмотрели выше. Второе слагаемое называется током смещения в пустоте. Предполагается, что оба эти тока существуют в пространстве между пластинами конденсатора и являются продолжением тока проводимости i, протекающего в подводящих проводах. Есть ли достаточное физическое объяснение тока смещения в пустоте? Лучшим ответом может быть следующая цитата: "В отношении… тока смещения в пустоте, наглядная интерпретация при современном состоянии науки не может быть дана, так как мы еще не имеем сколько-нибудь детального представления о внутреннем строении электромагнитного поля, о тех внутренних процессах, которые в нем совершаются". (Л. Р. Нейман и К. С. Демирчан "Теоретические основы электротехники". Часть первая "Основные понятия и законы теории электромагнитного поля и теории электрических и магнитных цепей". Энергия. 1966, стр. 48). Немного истории. Изложенные выше идеи были впервые высказаны Максвеллом и привели к созданию им теории электромагнитного поля. Согласно этим идеям при всяком изменении электрического (магнитного) поля, даже когда в нем нет частиц вещества, должно возникать связанное с ним магнитное (электрическое) поле, то есть образовываться единое электромагнитное поле. Гениальная идея Максвелла о токах смещения в пустоте позволила связать разрозненные факты и создать стройную теорию, несмотря на отсутствие понимания процессов, происходящих в пространстве, заполненном электромагнитным полем. Очевидно, что "ток в пустоте" остается не более чем искусственным приемом, не поясняющим физического существа процессов. Тем не менее, все достигнутые к настоящему времени практические результаты в области излучения и распространения электромагнитных волн, находятся в полном согласии с 49 теорией электромагнитного поля, в основу которой положено представление об электрических токах смещения в пустоте. Процесс в конденсаторе. Вернемся к физической картине процессов в конденсаторе, подключенном к источнику переменной ЭДС. Как отмечено выше, в течение одного полупериода переменной ЭДС на пластинах конденсатора происходит накопление зарядов противоположной полярности. По мере накопления зарядов потенциал каждой пластины становится все больше и все больше препятствует движению новых зарядов того же знака к пластине. Ток в цепи уменьшается так же, как если бы в цепи возрастало активное сопротивление. Если полупериод ЭДС существенно превышает время полного заряда конденсатора (определяемого постоянной времени цепи заряда), то конденсатор может зарядиться полностью, ток прекратится, что эквивалентно бесконечному сопротивлению (разрыву цепи). Однако если полупериод ЭДС меньше постоянной времени цепи заряда конденсатора, то полупериод другой полярности появится до полного заряда конденсатора и заряды начинают свое движение в обратную сторону. Таким образом, в цепи емкости, также как и в цепи индуктивности, сопротивление возникает без источника активных потерь. Расчет. Рассмотрим соотношение токов и напряжений в емкостной цепи. ЭДС источника u = Usint в любой момент времени равна напряжению на обкладках конденсатора uc=q/С: Ток в цепи будет равен: q uc = = U sin  t dq C i= =  CU cos  t dt Но cost = sin( t+2) и, следовательно, i = I sin(t+2) то есть ток в емкостной цепи опережает напряжение на 900. Величина CU=UXC является амплитудным значением тока I, а XC=1/C называется емкостным реактивным сопротивлением или импедансом. Обратно пропорциональная зависимость емкостного реактивного сопротивления от емкости конденсатора и частоты переменного напряжения просто объясняется с физической точки зрения. Чем больше емкость C, тем больший заряд может накопиться в конденсаторе. Поэтому чем больше емкость, тем меньшая часть ее полного заряда будет накоплена к моменту окончания полупериода переменного напряжения частоты  и, следовательно, отталкивающее действие накопленного заряда на заряды, поступающие в цепь из источника, будет меньше. С другой стороны, чем выше частота , тем меньше 50 полупериод колебания, за время которого происходит накопление заряда на пластинах конденсатора; в результате этот заряд будет меньше и будет меньше препятствовать перемещению зарядов того же знака из источника к пластине. Реактивное сопротивление емкости так же, как и у индуктивности, зависит от времени: xC = u U sin t = = X C tgt . U i cos t XC Сдвиг по фазе. Обратимся к соотношению фаз между током и напряжением в емкостной цепи при подключении ее к источнику гармонической ЭДС (рис. 4.7). Рис. 4.7 Из физической картины заряда конденсатора видно, что максимальный ток в цепи будет протекать тогда, когда напряжение равно нулю и заряд на пластинах конденсатора отсутствует. Это значит, что ничто не препятствует движению зарядов в цепи. По мере накопления зарядов разность потенциалов на пластинах (уравновешивавшая напряжение источника) растет, а ток уменьшается. При максимальном значении этого напряжения, заряды, накопленные на пластинах, максимально препятствует движению зарядов того же знака из источника и ток становится равным нулю. Когда же напряжение проходит максимум и начинает уменьшаться, накопившиеся на пластинах заряды начинают уходить с пластин и сила тока возрастает. Этот процесс повторяется каждую половину периода, переходя с положительной полуволны на отрицательную и наоборот. В результате ток, протекающий в цепи, опережает напряжение на емкости на 90. Использование закона Ома. Выражение I=UXC, также как и в случае с индуктивностью, устанавливает связь только между амплитудными или эффективными значениями тока и ЭДС, изменяющимися по гармоническому закону. Она не пригодна для определения связи между мгновенными значениями из-за расхождения тока и напряжения по фазе. Таким образом пользоваться законом Ома при определении реактивных сопротивлений можно не всегда. Средняя мощность. Из-за того, что напряжение и ток в емкости расходятся по фазе на 90, потребляемая конденсатором от источника мощность в среднем равна нулю. Энергия 51 источника переходит в энергию электрического поля конденсатора, где и запасается. Затем поле уменьшается, и энергия возвращается обратно источнику. Потерь энергии в этом процессе не происходит. Рассмотрев процессы, происходящие в емкости, мы получили ответы на вопросы поставленные в начале раздела и можем кратко обобщить полученные результаты: 1. Явления, происходящие в емкостной цепи при подключении ее к источнику переменной ЭДС, описываются с помощью тока смещения, физически не существующего. В действительности мы имеем дело с электромагнитным полем, возникающим в емкости в этом случае. 2. Накопление потенциала на пластинах конденсатора препятствует движению зарядов в цепи конденсатора, что создает эффект сопротивления без видимого физического сопротивления в цепи. 3. Ток в цепи конденсатора опережает ЭДС источника по фазе на 90, поскольку максимальный ток в цепи протекает в те отрезки времени, когда ЭДС источника, а, следовательно, и разность потенциалов на пластинах конденсатора, препятствующая движению зарядов, близка к нулю. 4.4. Резонанс в линейном колебательном контуре с постоянными параметрами (компенсационный резонанс). Мы рассмотрели поведение индуктивности и емкости в цепи переменного тока. Теперь соединим их в единую LC цепь (рис. 4.8). Рис. 4.8 Пренебрежем сначала потерями в этой цепи и проведем простой эксперимент: зарядим конденсатор от какого-либо внешнего источника до величины q, а потом уберем внешний источник и, замкнув выключатель, начнем разряжать конденсатор через индуктивность, вызвав тем самым в цепи ток i. Отметим, что для такого эксперимента источником энергии может быть только емкость, поскольку индуктивность не может запасти и хранить энергию. Когда заряд конденсатора станет равен нулю, ток в индуктивности 52 достигнет максимального значения, а индукция магнитного поля будет максимальна. Эта индукция вызовет ЭДС самоиндукции, которая начнет заряжать конденсатор. Ток постепенно будет уменьшаться, а заряд на пластинах конденсатора - увеличиваться. Когда ток уменьшиться до нуля, заряд конденсатора снова достигнет максимума, но знаки заряда на обкладках поменяются местами, относительно предыдущего значения. Процесс будет повторяться, и максимальный заряд конденсатора будет чередоваться с максимумом тока в индуктивности. Таким образом, в контуре возникнут электромагнитные колебания. Они называются свободными колебаниями. Если в контуре нет потерь (R=0), то эти колебания будут незатухающими. Четыре стадии процесса "перекачки" энергии между емкостью к индуктивностью, соответствующие четырем четвертям периода колебаний, показаны на рисунке 4.9. Рис. 4.9 Таким образом, индуктивность и емкость дополняют друг друга, создавая единую колебательную систему. Это - уникальная пара и других подобных пар электрических элементов в природе, по-видимому, не существует. 53 Процессы в контуре без потерь во временной области. Поскольку в каждый момент времени разность потенциалов (напряжение) на обкладках уравновешивается ЭДС самоиндукции: uC = e, то можно записать L Форма колебаний, возникающих в q di = −L или С dt di q + = 0. dt C контуре, дифференциального уравнения. Учитывая, что i = (1) находится из решения этого dq и, следовательно, q =  idt , можем dt привести (1) к уравнению для тока в контуре: дифференцирования по t: конденсатора L di 1 + idt = 0 dt C  или, после d 2i 1 + i=0. 2 dt LC Вид этого уравнения показывает, что его решением должна быть функция, значение которой в любой момент времени (с точностью до постоянного множителя 1/LC) равно ее второй производной. Обозначим для сокращения записи: 1 уравнение в виде: LC =  2 и представим d 2i +  2i = 0 . dt 2 Это классическое однородное (без правой части), линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Его решение (полный интеграл) имеет вид: i = A1e r1t + A2e r2t , где A1 и A2 – постоянные интегрирования, а r1 и r2 – решения алгебраического уравнения, которое называется характеристическим. У характеристического алгебраического уравнения каждый член имеет степень, равную порядку производной соответствующего члена дифференциального уравнения. Для решения дифференциального уравнения для тока i необходимо найти величины A1, A2, r1 и r2. Характеристическое уравнение имеет вид: r2+2=0. Решение этого уравнения: r2=– 2. Получив корни уравнения: r1 ,2 =  −  2 =  i , можно переписать решение дифференциального уравнения в виде: i = A1 e i t + A2 e − i t . (2) 54 Постоянные интегрирования A1 и A2 находятся из начальных условий, которые имеются в контуре в начале процесса при t = 0, когда ток i=0. Тогда А1+А2=0, откуда А1= – А2. С другой стороны при t=0 конденсатор заряжен полным напряжением источника U и поэтому q di q di di U = U . Поскольку L = − , то при t=0 L = −U , а =− . C dt C dt dt L Дифференцируя (2) получим di = iA1e it − iA2 e − it . При t=0 это уравнение dt U = iA1 − iA2 . Учитывая, что А1= –А2, получим: L примет вид: − Отсюда: A1 = − U U , а A2 = . 2 i L 2 i L − U = 2 i A . L Тогда решение дифференциального уравнения для тока в контуре, выглядит следующим образом: i=− U U U  e it − e − it  e i t + e − it = − 2 i L 2 iL L  2i    Знак минус получился потому, что за положительное направление принято направление тока при заряде конденсатора. В свою очередь, заряд конденсатора, равный q =  idt , будет изменяться по закону: q = −  e it + e − it U U U U it − it it − i t  e dt + e dt = − e − e = UC 2iL  2iL  2 2i 2 2 L 2i 2 2 L     Выражения в скобках описывают периодические функции, главной особенностью которых является равенство самой функции и ее второй производной и подстановка решения в дифференциальное уравнение приводит его к нулю. Выражения, полученные в скобках, весьма громоздки и не удобны для записи и расчетов. Поэтому Эйлер ввел сокращенные обозначения этих функций, которые вошли в математику под его именем:  e it + e − it  2    = cos t ;   e it − e − it  2i    = sin t .  Графически эти функции описываются гармоническими колебаниями, которые являются основными функциями современной радиотехники – синусоида и косинусоида. Теперь выражения для тока и заряда примут окончательный вид: i=− U sin t , L q = UC cos t . 55 Подставим для проверки выражение для тока в исходное дифференциальное уравнение: U L sin t − 1 U sin t = 0 или LC L 1 1 U   −  sin t = 0 LC   L  Равенство нулю будет получено при условии:  − 1 1 = 0 или LC  2 = 1 . LC Таким образом, мы видим, что введенное ранее обозначение  – это собственная частота колебаний контура, которая определяется значениями емкости и индуктивности контура и обычно обозначается 0. Рис. 4.10 На рисунке 4.10 приведены графики изменения заряда q и тока i в LC контуре. Они полностью соответствуют рассмотренной выше физической картине «перекачки» энергии из конденсатора в индуктивность и обратно. О синусоиде. Следует отметить, что гармонические функции, полученные при решении уравнения для LC контура, используются также в тригонометрии для определения зависимости между катетами и гипотенузой в прямоугольном треугольнике от угла  между ними. При изменении этого угла проекция катета на одну ось ординат описывает синусоиду, а на другую ось – косинусоиду. Однако прямой связи между решениями дифференциального уравнения для LC контура и тригонометрическими функциями не видно. Гармонические функции имеют уникальные свойства: 1. Все производные от нее являются также гармоническими функциями. 2. Все интегралы от нее также являются гармоническими функциями. 3. Сумма любого числа гармонических функций одной частоты с любыми амплитудами и фазами – всегда гармоническая функция той же частоты. 56 Эти свойства значительно облегчают проектирование радиотехнических систем и входящих в их состав устройств, в тех случаях, когда гармонические функции являются несущими колебаниями для сигналов, используемых в этих системах. Процессы в контуре без потерь при включении внешней ЭДС. Включим в контур без потерь источник внешней гармонической ЭДС. Этот источник можно включить последовательно или параллельно элементам контура (рис. 4.10,а). В первом случае в контуре будет общий ток и различные падения напряжения на каждом из элементов контура. Во втором случае на элементах контура будет общее падение напряжения и различные токи в каждом элементе. Поскольку для изучения резонанса расположение источника ЭДС и элементов контура не является принципиальным, в дальнейшем мы будем рассматривать только последовательный контур, обращаясь к параллельному контуру в тех случаях, когда это будет принципиально важно. Примем внешнюю гармоническую ЭДС равной u=Usinpt, где частота p отличается от собственной частоты контура 0. В последовательном контуре uL+uC=u, что позволяет записать линейное неоднородное дифференциальное уравнение контура в виде: L di 1 + idt = U sin  p t . dt C  Решение этого уравнения более громоздко, чем для однородного дифференциального уравнения. Поэтому сразу рассмотрим результат этого решения для напряжения на конденсаторе контура u(t)=q(t)/C: u( t ) = U (cos р t − cos  0 t )  02 −  р2 . Из решения видно, что при подаче внешнего гармонического сигнала на контур в нем возникают два одинаковых по амплитуде U колебания, начинающихся в противофазе (знак минус между ними). Одно колебание (называемое вынужденным) имеет частоту внешнего сигнала p, а другое (называемое свободным) – частоту собственных колебаний контура 0. Пользуясь тригонометрическими преобразованиями, раскроем это выражение:   + 0    − 0   t sin р  t sin р U (cos р t − cos 0 t ) 2 2      = 2U sin  t  sin  t u( t ) = = 2U б б 2 2 2 2 2 2 0 −  р 0 −  р 0 −  р 02 −  р2 . Биения. Если p и 0 достаточно близки между собой, то u(t) представляет собой периодическую функцию (рис. 4.11), которая называется «биения». Частота заполнения биений равна б=(р + 0)/2, а частота огибающей б= │(р - 0)/ 2 │. 57 Рис. 4.11 Чем ближе друг к другу частоты p и 0, тем больше амплитуда U б = 2U и  −  р2 2 тем больше период Tб=2б, (три верхние диаграммы на рис. 4.11, где разность между частотами p и 0 последовательно уменьшается в два раза). Если потерь в контуре нет, то биения будут продолжаться, пока будет действовать источник внешней ЭДС. Важным для нас является случай, когда p=0. Выражение для напряжения на конденсаторе контура в этом случае приводит к неопределенности вида 0/0, которую можно раскрыть по правилу Лопиталя: 58 u( t )р = U t  sin  р t . 2 р В этом случае с ростом t колебания нарастают неограниченно (нижняя диаграмма на рис. 4.11). Это и есть резонанс в контуре без потерь, представленный в области времени. Контур с потерями. В реальном контуре всегда есть потери и свободные колебания будут затухать, если потери не компенсируются притоком энергии извне. Процессы в контуре с потерями во временной области. Параметры контура. Рассмотрим колебание, возникающее в контуре с потерями при разряде конденсатора, имеющего начальный заряд q. Уравнение Кирхгофа в этом случае имеет вид: uL+uC+uR=0, где: uR = Ri = R dq . Тогда дифференциальное уравнение контура для заряда q(t) примет dt вид: L Обозначим  = d 2q q dq + +R =0. 2 dt C dt R и перепишем это уравнение в виде: 2L d 2q dq + 2 +  02 q = 0 . 2 dt dt Строгое решение этого однородного, линейного дифференциального уравнения позволяет получить выражение для изменения заряда и, соответственно, напряжения на конденсаторе: uc (t ) = q(t ) / C = Ue− t cosct + U  − t e sin ct , c где: U= q/C, а с2 = 02 −  2 − собственная частота контура. Поэтому в контуре с потерями собственная частота колебаний отличается от резонансной. Однако для добротного контура обычно δ<<ω0 и поэтому принято полагать ωс≈ ω0. В этом случае (рис. 4.12): uс(t)=q(t)/C ≈Ue-δtcosω0t. 59 Рис. 4.12 Отношение: uc ( t + To ) = e −To показывает скорость затухания амплитуды колебаний uc ( t ) за один период To. Величина δTo=d называется логарифмическим коэффициентом затухания контура, поскольку d = ln Q= uc ( t + To ) . Величина, обратная этому коэффициенту, uc ( t ) 1 называется добротностью контура. d Промежуток времени, за который амплитуда колебаний в контуре уменьшится в e раз (2,7 раза), называется постоянной времени контура o. Тогда e − o 1 = e−1 =   , откуда e  0 = 1 и  = 1 . Величина Q =  0 показывает насколько постоянная времени контура o To превосходит период его колебаний. Процессы в контуре с потерями при включении внешней ЭДС. При включении в контур с потерями внешней гармонической ЭДС u=Usinpt (рис. 4.13), уравнение Кирхгофа имеет вид uL+uR+uC=u(t) или в дифференциальной форме: L di 1 + Ri +  idt = U sin  p t . dt C Рис. 4.13 Как и в контуре без потерь в момент включения внешней ЭДС здесь возникают два колебания - вынужденное с частотой внешнего сигнала p, и свободное с частотой собственных колебаний контура 0, которые имеют одинаковую амплитуду и начинаются в противофазе. Это значит, что при включении внешней ЭДС с p0 в контуре также возникнут биения. Однако в этом случае свободное колебание с частотой 0 будет затухать и через время, равное постоянной времени 0, в контуре останутся только вынужденные колебания с частотой p (рис. 4.14). 60 Рис. 4.14 При p=0 напряжение на конденсаторе контура описывается приближенной формулой: u( t )c рез = U ( 1 − e − t )  sin  р t 2  р Это и есть резонанс в контуре с потерями, представленный в области времени. Изменение этого напряжения при различных значениях величины =R/2L показано на рисунке 4.15. Рис. 4.15 При t→ амплитуда напряжения на конденсаторе контура стремится к постоянному значению: u( t →  )с рез = U 2р sin  р t . Влияние потерь на процессы в контуре. Потери приводят к разделению колебательного процесса в контуре на две части: нестационарный или переходной режим, который возникает после включения внешней ЭДС и характеризуется изменением амплитуды колебаний; стационарный или установившийся режим, в который переходит 61 контур, когда в нем остаются колебания с постоянной амплитудой. Переход в стационарный режим при резонансе определяется потерями в контуре, которые растут с ростом амплитуды колебаний. При некотором значении этой амплитуды энергия, поступающая в контур от источника внешней ЭДС в каждом периоде колебаний, становится равной потерям энергии в активном сопротивлении контура. В результате рост амплитуды колебаний в контуре прекращается. Чем меньше потери в контуре и чем больше постоянная времени контура 0, тем дольше существует нестационарный режим. В пределе, при R→0, нестационарный режим будет продолжаться бесконечно долго (нижняя диаграмма на рис. 4.11) и в стационарный режим контур не перейдет вообще. Ограничением роста амплитуды колебаний в контуре в этом случае является переход элементов контура в нелинейный режим, сопровождающийся эффектами типа пробоя или перегрева (сгорания). Механизм возникновения резонанса. Нас, как и раньше, интересует ответ на два вопроса: 1. От чего зависит сопротивление контура переменному току? 2. Чем определяется сдвиг по фазе между ЭДС источника и протекающим по контуру током? Рассмотрим физическую картину процессов, происходящих в контуре. В стационарном режиме между мгновенным значением тока, протекающего в цепи, и мгновенными значениями падений напряжения на элементах контура, сохранятся такие же фазовые соотношения: uR - совпадает по фазе с током, uL – опережает ток по фазе на 2, uC – отстает от тока по фазе на 2. Сдвиг между uL и uC по фазе на 2 в разные стороны относительно тока i означает, что между собой эти два напряжения сдвинуты по фазе на , то есть находятся в противофазе. Суммарная амплитуда напряжения UL+UC будет зависеть от того, какая из двух амплитуд будет больше: UL=IXL или UC=IXC. Учитывая, что ток I в цепи общий, суммарная амплитуда напряжения будет определяться амплитудными значениями реактивных сопротивлений XL и XC. Их алгебраическая сумма равна рL–1рC. Если рL>1рC, то преобладает амплитуда напряжения на индуктивности UL, а контур имеет реактивное индуктивное сопротивление рL'=рL– 1рC. Очевидно, что при этом контур может быть представлен в виде эквивалентной индуктивности L'. Если рL<1рC, то преобладает амплитуда напряжения на емкости UC, общее реактивное сопротивление контура будет емкостным: –1рC'=рL–1рC, а контур может быть представлен в виде эквивалентной емкости С'. 62 Наиболее важным для нас является случай, когда мгновенные значения реактивных сопротивлений становятся равны xL=xC. Тогда − X Ltg рt = XC tg рt , а амплитудные значения реактивных сопротивлений будут равны и противоположны по знаку XL=–XC. В этом случае и амплитуды напряжений на емкости и индуктивности: UL= –UC будут равны и противоположны по знаку. В результате они скомпенсируют друг друга, что эквивалентно взаимной компенсации реактивных сопротивлений XL и XC. Тогда нагрузкой источника ЭДС будет только активное сопротивление контура R. А поскольку величина R в колебательном контуре мала по сравнению с величинами реактивных сопротивлений емкости и индуктивности, это приведет к значительному росту амплитуды тока в контуре. Это и есть резонанс в линейном последовательном колебательном контуре с постоянными параметрами. Поскольку этот вид резонанса связан с взаимной компенсацией реактивных сопротивлений емкости и индуктивности, мы назовем его компенсационным резонансом. Поскольку абсолютные значения амплитуд реактивных сопротивлений при резонансе равны XL=XC то: рL = 1 ;  рC  р = 0 = 1 , LC что подтверждает равенство частот внешних колебаний р собственной частоте колебаний контура 0 при этом виде резонанса. Частотная характеристика контура. Рассмотрим, как проявляется резонанс в частотной области. Для этого определим зависимость амплитуды и фазы колебаний в контуре от частоты. Из векторной диаграммы напряжений и токов в контуре, изображенной на рисунке 4.16, видно, что напряжение внешней ЭДС U и падения напряжения на элементах контура UR и UL–UC связаны между собой соотношением: U2=I2R2+I2(ωL-1/ωC)2. Рис. 4.16 Тогда зависимости амплитуды тока в контуре I и фазового сдвига  между этим током и внешней ЭДС от частоты будут равны: 63 I ( ) = U  1   R +   L −  C   2 U = ; tg  ( ) = Z 1 C R L − 2 Величина Z называется полным сопротивлением цепи или импедансом. I рез = При резонансе UL=UС, ωL=1/ωC, а U R и рез=nπ, где n=0,±1,±2±3.... Нормированная к резонансному значению величина тока в контуре будет равна: I норм ( ) = I I рез = 1 1  1  1 + 2  L −  C  R  2 . Представляет интерес зависимость Iнорм от добротности контура Q и ширины его полосы частот ∆ω. Эту зависимость определим, преобразуя выражение, стоящее под корнем: 1 1  1 L  C 1 C  1 L  1     0  =   LC −  =  L −  = −  L − =    R C  R C  L C L R C  LC  R   0     2 −  02 = Q  0   ( −  o )( +  o )   = Q   . Упростим полученное выражение, пользуясь  o    узкой полосой контура, которая позволяет полагать ω≈ω0. Тогда  −  o =  ,  +  o  2 o , o  o2 . Тогда 1  L − 1  = Q 2 . Подставляя это выражение в C  R формулу для Iнорм, получим: I норм (Q ,  ) = o 1  2    1 +  Q  0  2 . На рисунке 4.17 приведены амплитудная и фазовая характеристики контура, показывающие зависимости I() и () от частоты . Рис. 4.17 64 Из графиков видно, что с уменьшением потерь в контуре растет амплитуда колебаний при резонансе. На частотах ниже резонансной емкостное сопротивление контура объясняется тем, что напряжение меняется медленно и в результате на обкладках конденсатора накапливается больше зарядов и их отталкивающее действие по отношению к новым зарядам, поступающим от источника ЭДС, растет, что эквивалентно росту сопротивления. В результате ток отстает от внешнего напряжения, угол φ – отрицательный. На частотах выше резонансной индуктивное сопротивление контура объясняется тем, что с увеличением скорости изменения тока возрастает величина ЭДС индукции, препятствующей росту тока в контуре. В результате ток опережает внешнее напряжение, угол φ – положительный. И только на резонансной частоте контур имеет очень небольшое активное сопротивление, а φ угол равен нулю. Вид амплитудных характеристик для нормированного тока I норм ( ) = I I рез показан на рисунке 4.18. Рис. 4.18 Возвращаясь к вопросу разделения колебательного процесса в контуре на две части: нестационарный или переходной режим и стационарный или установившийся режим, и к определению момента перехода от одного режима к другому, следует указать, что резонансная характеристика, резонансная кривая контура, которую мы рассмотрели, формируется только в стационарном режиме и пользоваться ею можно только после установления колебаний, а не в переходном режиме сразу после подачи в контур внешней ЭДС. 4.5. Резонанс в контуре с переменными параметрами. Системой с переменными параметрами (параметрической системой) называется система, у которой хотя бы один из параметров (сопротивление, индуктивность, емкость) 65 изменяется во времени. В уравнении, описывающем такую систему, параметр является функцией времени. Основное отличие параметрических систем от линейных и нелинейных систем с постоянными параметрами - возможность ввода и вывода энергии из системы через изменяемый реактивный параметр. Для иллюстрации такой возможности рассмотрим классический пример. Заряды на пластинах заряженного конденсатора имеют разные знаки. Поэтому между пластинами возникают силы притяжения. Если увеличивать зазор между пластинами (уменьшать емкость конденсатора), то надо преодолеть действие этих сил и затратить на это механическую энергию, которая перейдет в энергию электрического поля конденсатора. Если зарядов на пластинах нет, то при изменении зазора передачи энергии не происходит. Если конденсатор подключен к источнику переменного напряжения, то можно раздвигать его пластины (уменьшать его емкость), когда напряжение достигнет максимума (положительного или отрицательного), и сближать их (увеличивать его емкость), при прохождении напряжения через нуль. В этом случае через конденсатор в систему будет непрерывно вводиться энергия из устройства, которое изменяет зазор конденсатора. Если, наоборот, раздвигать пластины, когда напряжение проходит через нуль и сближать их когда напряжение достигает максимума, то энергия будет непрерывно выводиться из системы через конденсатор к устройству, изменяющему зазор между пластинами. Рисунок 4. 23 иллюстрирует эту возможность. Рис. 4.23 Введение энергии в систему через переменный параметр можно пояснить на таком механическом примере, как раскачивание качелей (рис. 4.24). Чтобы раскачаться, человек, стоящий на доске качелей, приседает в крайних (верхних) положениях качелей (а и в на рисунке) и резко распрямляется при проходе качелей через среднее (нижнее) положение (б и г на рисунке). 66 Рис. 4.24 Центр тяжести качелей при этом периодически поднимается и опускается, описывая траекторию, показанную на рисунке 4.25. Это действие эквивалентно изменению зазора в конденсаторе. Рис. 4.25 Распрямляясь на движущихся качелях при их проходе через нижнее положение, человек развивает усилие, направленное навстречу радиальному (центростремительному) ускорению, которое зависит от скорости. Именно в этом положении человек распрямляется и изменяет положение центра тяжести, производя работу, аналогичную той, что происходит при увеличении зазора в конденсаторе, и добавляя энергию в систему. В верхних же положениях скорость и радиальное ускорение (напряжение на конденсаторе) равны нулю, и, приседая в этих положениях (сдвигая пластины), человек никакой работы не производит. Чтобы раскачать качели указанным способом, необходимо, чтобы они находились в движении. Раскачать неподвижные качели нельзя, также как нельзя ввести энергию в конденсатор, изменяя его зазор, если на него не подано напряжение. Таким образом, колебания поддерживаются вследствие периодического изменения параметра колебательной системы, которое называется параметрическим возбуждением системы. Параметрический способ возбуждения системы отличается от обычного, когда возбуждение осуществляется через положительную обратную связь. На механическом примере качелей видно, что возникающая в системе сила действует не в направлении совершающихся колебаний, а в направлении, перпендикулярном этому движению. Таким образом, эта сила непосредственно не "подталкивает" колебательную систему, а вводит в нее энергию, поддерживающую, увеличивающую или ослабляющую ее движение. 67 Отметим также, что изменение длины маятника (реактивного параметра) в течение одного периода должно приводить к изменению частоты его колебаний. Сформулируем основные особенности параметрических систем. Первая особенность. Энергия может вводиться в систему как от основного источника (внешней ЭДС), так и через изменяемый реактивный параметр системы. Вторая особенность. Количество энергии и направление обмена этой энергией между системой и источником изменения ее параметра зависит от соотношения фаз или временного сдвига между законом изменения этого параметра и законом изменения напряжения, включенного в систему внешнего источника. Выше рассмотрены условия, при которых энергия или вводится или выводится из конденсатора. При других временных сдвигах между напряжением внешнего источника и моментами перемещением пластин конденсатора, обмен энергией в том или другом направлении будет происходить менее интенсивно или совсем не будет иметь места. Третья особенность. Наибольшее количество энергии поступает в параметрическую систему через изменяемый параметр в том случае, когда частота изменения параметра вдвое превышает частоту напряжения внешнего источника. В случае изменения емкости конденсатора по гармоническому закону необходимо увеличивать расстояние между пластинами дважды за период колебаний внешнего источника, когда его напряжение проходит через положительный и отрицательный максимумы и уменьшать это расстояние в моменты прохождения этого напряжения через нуль. В общем случае отношение частоты колебаний внешнего источника к частоте изменения параметра может равняться не только 1/2, но и 3/2, 5/2 и так далее. Тогда энергия будет вноситься в систему реже: через один, два, три и так далее "такта". Однако параметрические колебания возбуждаются и поддерживаются легче всего именно при отношении частот, равном 1/2. Четвертая особенность. При изменении параметра форма собственных колебаний системы уже не повторяет форму гармонического напряжения внешнего источника, а принимает форму, зависящую от формы и параметров внешней силы, изменяющей параметр. Чтобы понять, как это происходит, перейдем к резонансу. Напомним, что резонансом называется резкое увеличение амплитуды колебаний в системе под влиянием внешнего воздействия. В параметрической системе есть два источника такого воздействия: источник внешнего напряжения и источник, изменяющий параметр. Соответственно в параметрической системе может возникать два вида резонанса 68 1-й вид резонанса, подобный резонансу в колебательном контуре с постоянными параметрами, возникает, когда энергия поступает в контур от внешнего источника, а закон изменения внешнего напряжения близок к закону изменения собственных колебаний системы. 2-й вид резонанса называется "параметрическим возбуждением". Он связан с введением в контур энергии путем изменения параметра. Оба эти резонанса могут существовать в контуре совместно. Рассмотрим эти виды резонанса. 1-й вид резонанса возникает в параметрической системе под влиянием внешнего источника напряжения. Чтобы исключить влияние энергии, вводимой в систему с помощью параметрического воздействия, рассмотрим резонанс в колебательном контуре, когда переменным параметром является сопротивление (рис. 4.26). Для его изменения не надо производить работу и затрачивать энергию. Рис. 4.26 Рассмотрим процессы, происходящие в этом колебательном контуре. Положим, что входное напряжение u(t) и переменное сопротивление r(t) изменяются по гармоническому закону с одинаковым периодом. На рисунке 4.27 приведены диаграммы изменения напряжения u(t), сопротивления r(t) и тока в цепи i(t) для трех значений фазового угла  между колебаниями напряжения и сопротивления:=00, =900, =1800. Рис. 4.27 Из рисунка 4.27 видно, что форма колебания в контуре с переменным сопротивлением: а) отличается от синусоиды и б) зависит от угла . Это иллюстрирует 69 четвертую особенность параметрической системы: отличие формы собственных колебаний параметрической системы от формы входных гармонических колебаний. Очевидно, что эта форма собственных колебаний зависит от закона изменения параметра. Указанные свойства позволяют использовать цепь с переменным сопротивлением в качестве выпрямителя, амплитудного модулятора и детектора. Приведенный на рисунке 4.28 выпрямитель отличается от обычного выпрямителя с нелинейным элементом тем, что при сдвиге фазы между u(t) и r(t) на 900, эффект выпрямления в параметрическом выпрямителе пропадает. Поэтому такой выпрямитель называется синхронным. Рис. 4.28 Чтобы найти условия резонанса в контуре с переменным сопротивлением, необходимо, также, как и в случае контура с постоянными параметрами, решить его дифференциальное уравнение, но теперь уже с переменным коэффициентом: L d 2q dt 2 + R( t ) dq q + = u( t ) dt C Решения этого уравнения в общем случае вызывает серьезные трудности. Для возникновения в этом контуре резонанса под воздействием внешнего источника необходимо, чтобы ток в контуре, имеющий, как мы видели несинусоидальную форму, вызывал на емкости и индуктивности контура падения напряжения, одинаковые по форме, но противоположные по знаку. В этом случае, так же как и в контуре с постоянными параметрами, произойдет взаимная компенсация реактивных сопротивлений емкости и индуктивности и наступит компенсационный резонанс. Второй вид резонанса возникает при изменении реактивного параметра. Рассмотрим случай, когда переменным параметром является емкость C (рис. 4.29). Рис. 4.29 Поскольку для роста амплитуды колебаний в контуре при резонансе необходимо, чтобы мощность, поступающая за период в контур от источника, изменяющего параметр, 70 превышала потери мощности в контуре за этот же период, рассмотрим соотношение между мощностью, теряемой в контуре, и мощностью, поступающей в контур, Средние потери мощности в контуре за период равны: P− = I 2R UI = . 2 2 Найдем мощность, поступающую в контур за период P+. Энергия заряженного конденсатора равна: W=CU2/2. При уменьшении емкости на С энергия увеличивается на W = CU 2 2 . За период такое приращение происходит дважды: WT = 2 W = CU 2 . Тогда мощность, вводимая в контур за период, равна: P+ = WT  = CU 2 . Учитывая, что T 2 I=U/Xc=UC, запишем:  I2 I 2 1 C P+ = C 2 2 = 2  C 2  C C Величина R− = . 1 C является отрицательным сопротивлением, вносимым в  C C контур. Если P+P- или R+R-, то возникает рост амплитуды колебаний в контуре или параметрический резонанс. Это явление также называют параметрическим возбуждением. Для ограничения роста амплитуды при параметрическом резонансе в схему вводится нелинейное сопротивление. В противном случае в схеме возникнет электрический пробой. Если между напряжением внешнего источника и законом изменения параметра имеется сдвиг по фазе  (или временная задержка), то выражение для отрицательного сопротивления R− = (при прямоугольном 1 C Cos 2  C C законе изменения параметра) примет вид: . При =00 cos 2 =1 и мощность в контур добавляется, при =450 cos 2 = 0 и мощность в контур не добавляется и не отнимается, а при =900 cos 2= –1 и мощность у контура отнимается. Теперь вернемся к решению дифференциального уравнения параметрического контура, которое позволит определить форму колебаний. Изменение заряда в таком контуре под действием ЭДС u( t ) описывается линейным дифференциальным уравнением с переменным коэффициентом: L d 2q dq q +R + = u( t ) 2 dt C (t) dt 71 d 2q dq 1 + 2 +  o2 ( t )q = u( t ) , 2 dt L dt где: = R 1 ; и  o2 ( t ) = 2L LC( t ) Решение этого уравнения найдено только для случая отсутствия внешней ЭДС и потерь, т.е. при u(t)=0 и R=0. В этом случае уравнение контура принимает вид: d 2q +  o2 ( t )q = 0 . 2 dt Это уравнение носит имя Хилла, впервые исследовавшего его в связи с задачами небесной механики. Наиболее детально это уравнение исследовано для частного случая, когда o2 ( t ) = o2 ( 1 + mCosп t ) , т.е. для изменения частоты o2 по гармоническому закону с частотой ωп и относительной глубиной m: d 2q +  o2 ( 1 + mCos  п t )q = 0 2 dt Это уравнение носит имя Матье. Нетрудно видеть, что в случае, когда m=0, решением этого уравнения будут гармонические колебания с частотой ωo. Следовательно, ωo является частотой собственных колебаний невозмущенного контура. Решение уравнения Матье имеет вид: q( t ) = Qu u( t ) + Qv v( t ) , где Qu и Qv - постоянные интегрирования; u(t) и v(t) - функции Хилла, представляющие собой два линейно независимых квазипериодических частных решения. Функции Хилла являются взаимно ортогональными и нормированными. При заданном периоде таких функций возможно бесчисленное многообразие их формы. В общем случае эта форма очень сложна (рис. 4.30), но по мере уменьшения параметра m функции Хилла все больше походят на гармонические и в предельном случае контура с постоянными параметрами для которого o ( t ) = o = const , функция u(t) вырождается в 2 2 косинусоиду, а v(t) - в синусоиду. 72 Рис. 4.30 Резонансными для параметрического контура могут быть лишь такие внешние ЭДС, которые с точностью до постоянного множителя воспроизводят форму собственных колебаний контура в отсутствие затухания. Таким образом, в общем случае параметрический контур придает, "самостоятельное существование" и выделяет из состава произвольной внешней силы не гармонические составляющие, а некоторые функции Хилла, которые лишь для частного случая контура с постоянными параметрами вырождаются в синусоидальные, гармонические функции. Особенности частотных характеристик параметрических систем первым исследовал Г. С. Горелик, который при изучении сверхрегенератора обнаружил необычное явление "кратного" резонанса. Сверхрегенератор представляет собой простой колебательный контур, настроенный на частоту принимаемой станции ωo, у которого омическое сопротивление изменяется по гармоническому закону с частотой ωп. Работая на метровых волнах Горелик обнаружил, что при достаточной добротности такой контур с переменным сопротивлением имеет резонансную кривую, показанную на рисунке 4.31 и принимает все станции, частота которых смещена относительно частоты настройки ωo на величину кратную частоте изменения сопротивления ωп (отсюда название "кратный" резонанс). Рис. 4.31 Исследование этого явления стало началом развития теории параметрических систем. 4.7. Резонанс в колебательном контуре при воздействии на него последовательности видеоимпульсов (накопительный резонанс). 73 Параметры импульсной последовательности и контура. На колебательный контур с высокой добротностью Q>>1 (потери в контуре пренебрежимо малы) и большой постоянной времени τo воздействует последовательность прямоугольных видеоимпульсов (далее просто импульсов) с длительностью τ и периодом Т= 1/F=2/Ω (рис. 4.32). Параметры контура: ωо=2πfo=2π /To; τo>>To. Будем полагать длительность импульсов τ очень малой: τ<<Т; τ<<Тo. Поскольку длительность импульса намного меньше периода собственных колебаний контура, его воздействие воспринимается Рис. 4.32 Последовательность прямоугольных видеоимпульсов контуром как однократный электрический импульс (электрический "щелчок"). Этот электрический импульс заряжает конденсатор контура до некоторого значения напряжения, которое обозначим через U. После окончания импульса конденсатор начинает разряжаться через индуктивность. В результате в контуре возникает свободное колебание u=Usinωot, продолжительность которого, благодаря большой добротности контура, во много раз превышает период следования импульсов Т. Поскольку контур имеет очень малые потери, то колебание, возникшее в нем под влиянием внешнего импульса, можно на достаточно большом интервале времени считать практически незатухающим. Амплитуда этого колебания U зависит от энергии внешнего импульса и параметров самого контура. Через время Т на контур придет второй импульс и вызовет в нем второе свободное колебание u=Usin(ωot-), аналогичное первому, но сдвинутое относительно него по фазе на угол =ωoT=2πT/To. После прихода второго импульса в контуре образуется суммарное колебание: u2 = U sin ot + U sin( оt −  ) . Каждый следующий (n-ый) импульс, подобно двум первым, будет вызывать в контуре колебание u=Usin[ωot-(n-1)], сдвинутое по фазе относительно первого на угол (n-1)=(n-1)2πT/To. После прихода в контур N-го импульса в контуре будет существовать сумма N колебаний одинаковой частоты, фазы которых образуют арифметическую прогрессию. Полагая, что за время поступления в контур N импульсов потери в контуре не приведут к заметному изменению амплитуды существующих в нем свободных колебаний, запишем выражение для суммарного колебания: 74 uN = U sin оt + sin( оt −  ) + ... + sinоt − ( N − 1 )  = N  U sinоt − ( n − 1 ) , n= 1 Вид этого суммарного колебания зависит от фазового сдвига φ, т.е. от отношения T/To. Процесс, который происходит в контуре, можно достаточно наглядно представить в виде векторных диаграмм. На рисунке 4.33 приведены примеры векторных диаграмм суммарных колебаний для нескольких значений N при двух значениях фазового сдвига: φ=+π/3 (рис. 4.33,а) и φ= –π/3 (рис. 4.33,б). Рис. 4.33 Векторные диаграммы суммарных колебаний в контуре Из диаграмм видно, что суммарное колебание uN, вектор которого обозначен пунктиром, с ростом числа N изменяет свою амплитуду похожим и становится на колебание, модулированное по амплитуде. На Рис. 4.34 Суммарное колебание в контуре рисунке 4.34 показано 75 изменение этого колебания во времени. Кружками на рисунке отмечены моменты воздействия импульсов. Из-за разницы между Т и Т0 эти импульсы сначала как бы "подталкивают" контур, а затем "подтормаживают" его колебания. В результате и происходит изменение амплитуды суммарного колебания. Рассмотрим, как происходит это изменение. Зависимость амплитуды суммарного колебания uN от угла . Рассмотрим, как будет изменяться амплитуда суммарного колебания uN при изменении частоты fo, т.е. при изменении отношения Т/То. Это и будет зависимость uN от угла = 2πT/To. Для этого мы должны вычислить сумму синусоид одной частоты, фазы которых образуют арифметическую прогрессию. Можно использовать различные способы, но наиболее наглядным будет геометрическое построение, при котором колебания изображаются в виде векторов с одинаковыми амплитудами U1=U2=U3=...=U, каждый из которых повернут на угол , относительно предыдущего Рис. 4.36 Векторная диаграмма сложения колебаний вектора. Тогда вся сумма может быть представлена в виде векторного многоугольника, показанного на рисунке 4.36. Поскольку амплитуда суммарного колебания uN на рисунке 4.36 соответствует вектору ВЕ, найдем зависимость длины этого вектора от угла . Концы векторов, составляющих векторный многоугольник, лежат на окружности с центром О. ∆ОВС=∆ОСД по признаку равенства трех сторон. Тогда ОВС=ОСD=ОCB. Поскольку сумма углов ОСB+ОCD дополняется углом  до 180о, то и угол при вершине треугольника ОВС, дополняющий ОВС и ОCB до 180о, также равен . Отсюда угол ВОЕ=N. Из треугольника ОВС следует: АВ=U/2=ОВsin/2. Тогда OB = U . В свою 2 sin 2 очередь BE = OB sin N 2 . Отсюда ВЕ=2ОВsinN/2. Подставляя в это равенство 2 величину ОВ, получим зависимость суммарного вектора ВЕ от : BE = uN = U  sin N  2 . sin  2 Из рис. 4.33,в видно, что максимального значения амплитуда uN достигнет при =0, так как в этом случае длина суммарного вектора будет равна сумме длин всех 76 векторов. Однако в этом случае как числитель, так и знаменатель полученной дроби обращаются в нуль. Раскрыв неопределенность по правилу Лопиталя, получим максимальное значение амплитуды uNмакс:   sin N / 2 N / 2  cos N / 2 uNмакс = lim U = lim U = NU .  →0 sin / 2  →0 1 / 2  cos / 2 Амплитуда uN обычно нормируется к своему максимуму и записывается в виде: uN норм = sin N / 2 . N sin  / 2 На рисунке 4.37 показаны графики изменения числителя и знаменателя выражения для амплитуды uN при N=6 а также графики изменения самой амплитуды uN и ее квадрата, который называется интенсивностью, в зависимости от величины Nφ/2. Функция uN − периодическая. Своих максимальных значений она достигает при =2πn, где n=0,1,2,3.... Между этими максимумами функция uN имеет еще ряд нулей и побочных максимумов. Нули соответствуют нулям числителя величины uN (см. рис. 4.37), т.е. соответствуют значениям o=2πn/N, а вторичные максимумы находятся между нулями и соответствуют значениям макс=±(2n+1)π/N. Величина uN при N → ∞. рисунке Рис. 4.37 Изменение амплитуды на выходе контура в зависимости от угла φ 4.37 показана На зависимость суммарной амплитуды uN от  только для шести импульсов (N=6). Но с течением времени в контур будет поступать все больше импульсов. При этом главные максимумы функции uN будут расти, а их ширина будет уменьшаться. Вторичные же максимумы будут, наоборот, уменьшаться, а их число будет увеличиваться. Они все плотнее будут заполнять промежуток между главными максимумами. При N→ функция uN примет вид, показанный на рисунке 4.38. 77 Эта функция представляет собой резонансную характеристику идеализированного контура, не имеющего воздействии потерь, при на него бесконечной Рис. 4.38 Резонансная характеристика идеализированного контура без потерь последовательности периодических видеоимпульсов. Из рисунка видно, что число резонансов в контуре в этом случае может быть бесконечно большим. Рассмотрим, формирование резонансов в контуре. Первый резонанс. Будем изменять частоту контура fo, наблюдая за сигналом на его выходе. Наибольший интерес представляет случай, когда в процессе перестройки контура его частота fo становится равной частоте повторения импульсов F. Тогда Т=Тo и в результате угол = 2πТ/То=2π. Векторная диаграмма принимает вид, показанный на рисунке 4.33,в. На рис. 4.35 показано как складываются колебания, возникшие в контуре под воздействием двух первых импульсов. С ростом N амплитуда суммарного колебания монотонно и неограниченно растет. Это и есть резонанс, в результате которого на частоте fo Рис. 4.35 Сложение появляется интенсивный отклик контура. Поскольку резонанс колебаний при Т=То образуется благодаря вызванных накоплению отдельными в контуре импульсами, его колебаний, называют накопительным. Второй, третий и последующие резонансы. Если установить частоту контура fo больше частоты следования импульсов F, то свободные колебания, возникшие в контуре под воздействием первого импульса, к моменту прихода второго импульса совершат один полный период и некоторую часть второго периода. Вектора на диаграммах рисунков 4.33,а и 4.33,б, совершив полный оборот, "пойдут" на второй круг, а суммарный вектор начнет принимать такие же положения, но Рис. 4.39 Сложение колебаний при Т=2То 78 уже во втором периоде. При =+π/3 или =–π/3 между соседними векторами фазовые сдвиги суммарных векторов на этих диаграммах станут равны =2π+π/3 и φ=2π-π/3. В результате второй импульс "подтолкнет" контур в той же фазе колебаний, но "пропустив" целый период. Теперь импульсы будут воздействовать на колебательный контур не в каждом периоде его колебаний, как это показано на рисунке 4.35, а через период. Но, так же, как и раньше, после каждого импульса в контуре остается свободное колебание с частотой fo, которое будет складываться с колебаниями, возбужденными предшествующими импульсами. Когда Т станет равным 2Тo (fo =2F), свободные колебания в контуре снова начнут складываться в фазе и в контуре возникнет второй резонанс (рис. 4.39). При дальнейшем увеличении частоты контура f0 до частоты fo=3F наступает третий резонанс. Внешние импульсы теперь "подталкивают" контур один раз за три периода его колебаний. В идеализированном контуре без потерь это обстоятельство никак не отразится на виде резонансной характеристики, так как при N→ число суммируемых свободных колебаний и, соответственно, их суммарная амплитуда стремятся к бесконечности. Резонансы в контуре с потерями. Потери в контуре приведут к ограничению роста амплитуды суммарного колебания при резонансе. Эта амплитуда станет стационарной, когда энергия, поступающая в контур от каждого следующего импульса, будет равна потерям энергии в контуре за период следования импульсов. Очевидно, что с повышением номера резонанса амплитуда суммарного колебания в контуре будет становиться все меньше, поскольку энергия от источника импульсов поступает в контур через 2, 3 и более периодов собственных колебаний контура. Резонансная кривая контура для этого случая Рис. 4.40 Резонансная характеристика контура с потерями примет вид, показанный на рисунке 4.40. Более подробно резонанс в контуре с потерями будет рассмотрен в главе "Спектры". 79 4.8. Резонанс в колебательном контуре, при воздействии на него последовательности радиоимпульсов. Параметры импульсной последовательности и контура. На колебательный контур с высокой добротностью Q>>1 (потери в контуре пренебрежимо малы) и постоянной времени τo воздействует последовательность радиоимпульсов (далее просто Рис. 4.41 Последовательность радиоимпульсов импульсов) с прямоугольной огибающей, изображенная на рисунке 4.41. Эта последовательность имеет следующие параметры: длительность импульса τ, период следования импульсов Т=1/F, F=2/, частота заполнения импульсов ωр=2πfр, fр=1/Тр, амплитуда импульсов U. При этом выполняются условия τ<<Т, τ<<τo. Собственная частота колебательного контура: ωо=2πfo=2π/To, при этом τo>>To. Процессы в контуре. Колебания, которые возникнут в контуре под влиянием радиоимпульса, будут такими же, как и при включении непрерывного колебания (см. раздел 4.4). При ωр≠ωо в контуре возникнут биения с частотой  б = 0 −  p 2 . Однако биения будут существовать в контуре только в течение длительности импульса τ. К моменту окончания импульса амплитуда биений Uб(τ) в контуре будет равна: U б ( ) =  0 −  р sin  2  02 −  2р  2U  2U  = sin  б .  2  0 −  2р  Характер колебаний, которые останутся в контуре после окончания импульса, будет зависеть от соотношения между его длительностью τ и периодом биений Т = б 2  . б Если длительность импульса τ1 (рис. 4.42, а) равна целому числу полупериодов биений: 1 = n Тб 2 (n=1,2,3…), то колебания в контуре после окончания импульса будут отсутствовать. Если же на длительности импульса τ2 (рис. 4.42, б) укладывается целое число нечетных четвертей периодов биений:  2 = ( 2 n − 1 ) Тб , то в момент окончания 4 импульса биения будут иметь максимальную амплитуду Uб(τ), а после его окончания в контуре останутся и будут длительно существовать свободные колебания с частотой ωо. 80 Очевидно, что между этими двумя крайними случаями возможны любые промежуточные соотношения τ и Тб. При ωр=ω0 амплитуда колебаний в контуре будет непрерывно расти в течение длительности импульса τ3 (рис. 4.42, в) до значения Uб(τ) =Uτ/2ωp (см. раздел 4.4), после чего в контуре будут длительно существовать свободные колебания с частотой ωо. Очевидно, что параметры (амплитуда и фаза) этих свободных колебаний, определяющих условия возникновения контуре, зависят резонанса от в параметров вызывающих их биений. Различие между воздействием на контур видеоимпульсов и радиоимпульсов. Процессы, возникающие в контуре при Рис. 4.42 Примеры процессов в контуре воздействии видеоимпульсов на него коротких и коротких радиоимпульсов, существенно различаются. В первом случае фазовый сдвиг между свободными колебаниями, вызванными соседними видеоимпульсами, зависит только от периода их повторения. Во втором случае в контуре возникают биения и фазовый сдвиг между свободными колебаниями, вызванными соседними радиоимпульсами, начинает зависеть не только от периода их повторения, но и от фазы биений в момент окончания радиоимпульса. В результате механизмы возникновения накопительного резонанса в контуре в этих двух случаях будут различными. Переворот фазы биений. Перед исследованием резонанса в колебательном контуре, на который воздействует последовательности радиоимпульсов, рассмотрим одну из особенностей процесса биений – сложения двух колебаний с одинаковыми амплитудами и разными частотами. Эта особенность заключается в скачке фазы высокочастотного заполнения биений на 180° после каждого полупериода Тδ. Именно эта особенность отличает биения от амплитудно-модулированного колебания, фаза которого не имеет разрывов, даже в том случае, когда при 100%-ной модуляции амплитуда колебаний уменьшается до нуля. Для пояснения указанного скачка фазы используем векторную диаграмму суммы двух колебаний с близкими частотами ωо и ωр (рис. 4.43). 81 Рис. 4.43 Векторные диаграммы сложения двух колебаний с близкими частотами Обозначим вектор колебания, имеющего частоту ωо, через U (  о ) и сделаем его неподвижным (для этого представим себе, что рисунок вращается с той же частотой ωо в обратную сторону). Тогда вектор колебания, имеющего частоту ωр – U (  р ) , будет медленно вращаться вокруг вектора U (  o ) с разностной частотой  б =  р − о 2 . Из диаграммы видно, как величина суммарного вектора U (  ) , равная амплитуде биений, меняется от удвоенной амплитуды Uδ одиночного колебания U, до нуля. Из векторных диаграмм также видно, как при переходе амплитуды суммарного вектора U (  ) через нуль его фаза, которая является фазой биений, скачком переворачивается на 180°. Возникновение резонанса. Будем постепенно изменять частоту контура fo, наблюдая за сигналом на его выходе. Также как и при воздействии на контур последовательности видеоимпульсов, резонанс в этом случае возникнет тогда, когда свободные колебания, оставшиеся в контуре после воздействия отдельных радиоимпульсов, будут складываться синфазно. Для этого необходимо, чтобы разность фаз между любой парой этих свободных колебаний (в простейшем случае между колебаниями, оставшимися после двух соседних импульсов) была равна ∆φ= 2πm, где m=0, ±1, ±2, ... . На рисунке 4.44 показаны два соседних 82 Рис. 4.44 Процессы в контуре при воздействии двух радиоимпульсов радиоимпульса последовательности, а ниже - колебания, возникающие в контуре под действием каждого из этих импульсов. Моменты времени τ1 и τ2 означают окончания первого и второго импульсов, а моменты Т1 и Т2 – окончания первого и второго периодов. Рассмотрим, от чего зависит разность фаз ∆φ между свободными колебаниями, оставшимися в контуре после окончания обоих импульсов в момент времени Т2, соответствующий началу третьего импульса. Определение разности фаз. Эта разность фаз будет определяться двумя причинами. Первой причиной является начальная фаза колебаний, возникающих в контуре с приходом каждого импульса. Для первого импульса это - фаза, с которой он начнется в момент t=0 (обозначим эту фазу как 01 ), а для второго импульса это - фаза, с которой он начнется в момент T1 (обозначим эту фазу как 02 ). Второй причиной является набег фазы колебаний в контуре за интервал времени от момента возникновения импульса (0 – для первого импульса и Т1 – для второго импульса) до момента Т2. Этот интервал времени делится на два периода. В первом периоде этого интервала в контуре существуют биения с частотой заполнения этот период будет равен  = (  р + о ) 2  р + о 2 . Набег фазы за  . Этот период продолжается от 0 до τ1 для первого импульса и от Т1 до τ2 для второго импульса. Во втором периоде этого интервала в контуре останутся только свободные колебания, имеющие частоту ωо. Этот период продолжается от τ1 до Т2 для первого импульса и от τ2 до Т2 для второго импульса. Набег фазы в этот период будет равен, соответственно для первого и второго импульсов, Т = о ( 2Т −  ) и Т = о ( Т −  ) . Таким образом, общий набег фазы за весь интервал 1 2 времени от момента возникновения колебания до момента Т2 будет равен для первого импульса  Н 1 = Т 1 +  и для второго импульса  Н 2 = Т 2 +  . В момент Т2 результирующая фаза колебания, вызванного в контуре первым импульсом, будет равна  1 =  Н 1 +  01 , а результирующая фаза колебания, вызванного в контуре вторым импульсом, будет равна  2 =  Н 2 +  02 . Для синфазного сложения колебаний в момент Т2 необходимо, чтобы выполнялось равенство Δ = 1 – 2 = 2m, где (m=0,±1,±2,...). Тогда:  = (  Н 1 +  01 ) − (  Н 2 +  02 ) = (  Н 1 −  Н 2 ) + (  01 −  02 ) = 2m . Рассмотрим сначала первое слагаемое (  Н 1 −  Н 2 ) , входящее в выражение для ∆. Подставляя сюда значения (  Н 1 ) и (  Н 2 ) , получим: 83  Н 1 −  Н 2 = ( Т 1 +  ) − ( Т 2 +  ) = Т 1 +  − Т 2 −  = 2оТ − о − оТ + о = оТ Таким образом, эта разность фаз не зависит от длительности радиоимпульса τ и может быть использована при анализе любого радиоимпульсного процесса. Второе слагаемое (01–02) рассмотрим для случая, когда импульсы последовательности вырезаются из непрерывного колебания с частотой ωр и начальная фаза каждого импульса определяется этим колебанием. Разность начальных фаз n-го и (n+1)-го импульсов из фрагмента последовательности, представленного на рис. 4.41, будет равна:  01 −  02 =  р nT −  р ( n + 1 )T = − рТ Тогда условие получения резонанса в контуре примет вид:  = оТ −  рТ = ( о −  р )Т = 2m , где m = 1;  2; ... Учитывая, что 2 =  - круговая частота повторения импульсов, определим Т частоты ωо, на которых будет происходить синфазное сложение откликов от отдельных импульсов и, следовательно, возникнут резонансы: о =  р  m Таким образом, при подаче в контур последовательности радиоимпульсов. основной резонанс возникнет на частоте заполнения радиоимпульсов ωр, а остальные резонансы будут располагаться относительно ωр на частотах, кратных частоте повторения импульсов. При иных вариантах формирования радиоимпульсной последовательности могут быть получены другие значения начальных фаз 01 и 02. В этом случае резонансы в контуре будут располагаться на других частотах. Различные варианты накопительного резонанса в колебательном контуре при воздействии на него последовательности радиоимпульсов, будут рассмотрены в главе 5 "Спектры". Различие в реакции контура на воздействие импульсного и непрерывного процессов. Это различие показано на рис. 4.45. При подаче на контур импульсного процесса и выполнении условий получения максимальной амплитуды свободных колебаний (τ=Тδ/4) и возникновения резонанса (Δ=2πm) в нем происходит интенсивный рост амплитуды колебаний (рис. 4.45,а). Очевидно, что непрерывное колебание, из которого «вырезан» этот импульсный процесс, вносит в контур существенно большую мощность. Однако при его подаче на контур амплитуда колебаний в контуре не растет и резонанс, соответственно, не возникает (рис.4.45,б), 84 Это кажущееся противоречие можно объяснить следующим образом. Непрерывное колебание, поданное на контур, в течение одной четверти периода биений Тδ/4 возбуждает колебания в контуре, а затем на протяжении следующей четверти периода Тδ/4 полностью гасит эти колебания. Этот процесс повторяется периодически и в Рис. 4.45 Воздействие на контур импульсного результате амплитуда колебаний в и непрерывного процессов контуре не нарастает. Когда же непрерывный процесс превращается в импульсный, то внешнее колебание прекращается как раз в те промежутки времени, когда оно могло бы гасить колебания в контуре. В результате в контуре происходит только нарастание колебаний и создаются условия для резонанса. 85 5. СПЕКТРЫ 5.1. Вводные замечания При преобразованиях сигналов в радиотехнике широко используется их представление в двух видах: временном и частотном (спектральном). С точки зрения инженера эти представления равноценны: использование того или другого зависит только от удобства при решении задачи или от приобретенных навыков. Однако физический смысл полученных результатов при временном и спектральном представлении сигнала раскрывается, как правило, неодинаково: изменение параметра сигнала (напряжения, тока, мощности) во времени всегда более очевидно, чем по частоте, поскольку мы живём в мире, где время, а не частота является естественной осью ординат для всех процессов и явлений. Неочевидность спектральных представлений, привела в начале века, в период их внедрения в технику, к многочисленным и затяжным спорам среди ведущих учёных и специалистов, а некоторых из них - к серьёзным ошибкам, которые теперь упоминаются в литературе, как "парадоксы". Как мы увидим дальше, спектральная теория даёт для этого достаточно оснований, и постараемся найти способы, которые позволят не совершать ошибок. Впервые термин "спектр" использовал Ньютон. Одно из значений этого слова по латыни - "изображение". Ньютон назвал так картину, которая образовалась на экране при разложении солнечного света стеклянной призмой. Очень важно отметить, что для получения спектра Ньютон использовал специальный прибор - призму. Этот момент принципиально отличает спектральное представление сигнала от временного - для получения спектра всегда необходим прибор, преобразующий временную функцию в частотную. Более того, без такого прибора спектр сигнала получить нельзя, он физически не существует, его просто нет. Этот прибор может иметь различные названия. Наиболее распространённые - анализатор спектра или спектрометр. Простейшим анализатором спектра для электрических сигналов является обычный колебательный LСR контур с достаточно высокой добротностью. Им мы и воспользуемся в дальнейшем. Итак, наша основная задача - установить связь между математическим понятием спектра и его физическим содержанием. Основной путь для установления этой связи исследование процессов в анализаторе спектра, позволяющее получить картину формирования физически существующего спектра и сравнение этой картины с математическими выражениями, описывающими этот спектр. Однако, прежде чем начать это исследование, напомним основные особенности математического спектра. 86 5.2. Представление периодической функции в виде ряда Фурье В прошлом веке Иван Бернулли, Леонард Эйлер, а затем и Жан-Батист Фурье впервые применили представление периодических функций тригонометрическими рядами. Это представление изучается достаточно подробно в других курсах, поэтому напомним только основные соотношения и определения. Как уже отмечалось выше, всякую периодическую функцию u(t), для которой выполняется равенство u(t)=u(t+T), где T=1/F=2/ , можно представить рядом Фурье:  u( t ) = C0 +  Cn cos(nt −  n ) n= 1 Каждое слагаемое этого ряда можно разложить по формуле косинуса для разности двух углов и представить в виде двух слагаемых:  u( t ) = C0 +  ( An cos nt + Bn sin nt ) , n= 1 где: An=Cncosφn, Bn=Cnsinφn, так что Сn = An2 + Bn2 , а  n = arctg Bn An Коэффициенты Аn и Вn определяются по формулам Эйлера: T 2 An = T T 2 2 Bn = T  u( t ) cos ntdt ; −T 2 2  u( t ) sin ntdt . −T 2 При n=0: T 1 2 A0 = C 0 = u( t )dt , а B0=0. T −T 2 Коэффициенты Аn и Вn, являются средними значениями произведения функции u(t) и гармонического колебания с частотой n на интервале длительностью Т. Мы уже знаем (раздел 2.5), что это функции взаимной корреляции, определяющие меру их связи. Следовательно, коэффициенты An и Bn показывают нам "сколько" синусоиды или косинусоиды с частотой n содержится в данной функции u(t), разлагаемой в ряд Фурье. Таким образом, мы можем представить периодическую функцию u(t) в виде суммы гармонических колебаний, где числа Cn являются амплитудами, а числа φn - фазами. Обычно в литературе рассматривается C n называется спектром амплитуд, а только спектр амплитуд,  n - спектром фаз. Часто который изображается в виде линий, расположенных в точках n на оси частот и имеющих высоту, соответствующую числу Cn. Однако следует помнить, что для получения однозначного соответствия между временной функцией u(t) и её спектром необходимо использовать и спектр амплитуд, и 87 спектр фаз. Это видно из такого простого примера. У сигналов u1 ( t ) = cos t + cos 2t и u2 (t ) = cos t + sin 2t будет одинаковый спектр амплитуд, но совершенно разный вид временных функций. Дискретный спектр может иметь не только периодическая функция. Например, сигнал: u3 ( t ) = cos t + cos 2t не является периодическим, но имеет дискретный спектр, состоящий из двух спектральных линий. Также не будет строго периодическим сигнал, состоящий из последовательности радиоимпульсов (импульсов с высокочастотным заполнением), у которых период следования постоянен, но начальная фаза высокочастотного заполнения меняется от импульса к импульсу по какому-либо закону. Такие сигналы называются почти периодическими. Как мы увидим в дальнейшем, они также имеют дискретный спектр. Исследование физической природы спектров таких сигналов, мы будем выполнять так же, как и периодических. 5.3. Математический спектр периодической последовательности прямоугольных видеоимпульсов Дальнейшее сравнение математического и физического спектров проведём на двух примерах: более простом - спектре последовательности видеоимпульсов, то есть импульсов без высокочастотного заполнения, и более сложном - спектре последовательности радиоимпульсов, имеющих такое заполнение. Найдем математический спектр последовательности прямоугольных видеоимпульсов с амплитудой U, длительностью τ, следующих друг за другом с периодом T=1/F=2/ (рис.2.9). Такого рис. нет! Приняв начало координат (t = 0) в середине импульса, запишем: u( t ) =   n= −  t  nT +  2 2 , 0 при nT +   t  (n + 1)T −  2 2 U при nT −  где: n = 1, 2, 3, ....... - целое число. Тогда:  U A0 = T 2   dt = U T ; − Bn = 0 ; 2 88   2U 2 2U 1 2U An = cos ntdt = sin nt 2 = sin n  − sin n −  =  2 2  T  T n Tn − 2 −  ( ) 2 n    sin 2U 4 U n   4 U  n    2 n    2 = sin n  + sin n  = sin =  sin = 2U  sin = 2U  2 2 Tn Tn 2 Tn  2 T n  2 T  n   2  ( )   .    Величина Т/τ=Q называется скважностью, а величина Ao=U/Q - средним значением функции u(t). Тогда: Cn = An ; tg n = Bn An = 0 . Следовательно, величина φn может принимать значения 0,π,2π,... Тогда: n  sin    2  u( t ) = A0 +  An cos nt = U + 2U  n   T T  n = − n = −  2       cos nt .    Общий вид спектра показан на рис. 5.1, а. На рис. 5.1, б изображен отдельно спектр амплитуд, а на рис. 5.1, в - спектр фаз. 89 Рис. 5.1 Отметим основные четыре особенности математического спектра последовательности видеоимпульсов, поскольку в дальнейшем нас будет интересовать, как реализуются эти особенности в физическом спектре. 1. Огибающую спектра можно получить из выражения для амплитуд Аn, если перейти от дискретных значений частоты n к текущему значению частоты :  Sinx  Sin 2 A( ) = 2U  , то есть хорошо известной в математике функцией вида .  T x 2 2. Гармоники спектра расположены на частотах n или nF=n/Т, где n=0,1,2,3… 3. Положение нулей спектра нетрудно определить, приравняв нулю выражение для огибающей спектра. Для этого достаточно положить sin ωτ=2n, а нули расположены на частотах  = n 2  2 = 0 или  2 = n . Отсюда  или f=n/τ. 90 4. На частотах f=n/τ происходит изменение фазы гармоник спектра на . 5.4. Спектр – строгое математическое понятие Представление сигнала в виде ряда Фурье, строго говоря, не является его спектром. Это просто другой вид представления данного сигнала во времени. Чтобы получить математический спектр, необходимо произвести преобразование  Фурье сигнала u(t): u(  ) =  u( t )e − it dt . Рассмотрим это преобразование для одной − гармонической функции u1(t)=U1cos(Ωt+1). Учитывая, что cos x = e ix + e − ix , спектральная 2 плотность этой функции может быть представлена в виде: u1 (  ) = U 1   − cos( t +  1 )e − it dt = U 1e i 1 2   − e − i (  −  )t dt + U 1e − i 1 2  e − i (  +  )t dt . − При такой записи мы можем воспользоваться известным выражением для дельта функции: 1 2  e − − i (    )t dt =  (    ) . Тогда: u1 (  ) = U1  2e i 1  (  −  ) + 2e − i 1  (  +  ) = U1 e i 1  (  −  ) + e − i 1  (  +  ) .    2  Эта функция равна нулю для всех частот, кроме =Ω и = –Ω, при которых u1() обращается в бесконечность. Таким образом, из этой формулы вытекает, что гармоническому колебанию с конечной амплитудой соответствует бесконечно большая спектральная плотность на дискретных частотах Ω и –Ω. При =0 фаза =0 и спектральная плотность сигнала на нулевой частоте будет равна: u(=0)=U02() Распространив приведенное выше преобразование на все гармоники ряда Фурье, получим выражение для математического спектра периодического сигнала: u(  ) = U0 2 (  ) +    n = − U n e i n  (  − n ) + e − i n  (  + n  ) .  Пользоваться такой записью спектра бывает очень удобно при рассмотрении некоторых случаев, связанных с прохождением сигналов через радиотехнические цепи. Однако эта запись обладает меньшей наглядностью по сравнению с записью ряда Фурье для периодической функции. Действительно, что такое произведение Un(−nΩ)? Это 91 произведение конечной величины на бесконечно большую величину. Значит, это произведение есть бесконечно большая величина! И нас не успокаивает то обстоятельство, что у этой бесконечно большой величины конечная площадь (по определению дельта - функции). Представить себе это физически довольно трудно. Поэтому часто амплитудный спектр записывается не как набор произведений Un(−Ω), а как набор коэффициентов Un. Намного проще представить себе гармонику ряда Фурье, которая является хорошо знакомой синусоидой с конечной амплитудой и конкретной частотой и фазой, чем дельта функцию. Поэтому обычно пользуются этим рядом и даже называют его спектром периодической функции, хотя истинно математическим спектром называется не ряд Фурье, а ряд смещенных дельта - функций. Все сказанное является хорошим примером того, как строгий математический подход иногда затрудняет физическое понимание явления или процесса. 5.5. Спектр, как физическое явление. Резонанс – условие получения спектра Выше мы установили, что для получения спектра сигнала, являющегося функцией времени, необходим прибор, преобразующий эту функцию в частотную. При подаче на вход этого прибора исследуемого сигнала, на его выходе на определенных частотах возникают интенсивные отклики, причем параметры этих откликов (амплитуда, частота, фаза) практически совпадают с аналогичными параметрами гармоник математического спектра. По какой же причине возникают эти отклики в спектральном приборе? Мы знаем единственный случай, когда внешнее воздействие вызывает резкое увеличение сигнала на выходе линейной системы. Это случай резонанса. Для получения резонанса необходимо выполнение двух условий. Во-первых, система должна быть колебательной, то есть должна иметь реактивные элементы для создания достаточного запаса энергии и должна обладать малыми активными потерями. Во-вторых, внешнее воздействие должно иметь параметры, совпадающие с собственными параметрами колебательной системы. Теперь вспомним, что математический спектр Фурье состоит из гармонических, синусоидальных колебаний. Следовательно, в качестве прибора для анализа спектра периодического процесса по Фурье нужна система, собственными колебаниями которой являются гармонические, синусоидальные колебания. Такие системы являются наиболее распространенными - это линейные системы с постоянными параметрами (маятник, 92 резонатор, колебательный контур). Благодаря резонансу, они могут выделять частотные компоненты спектра сигнала. Есть аналоги этих систем, которые могут выделять пространственные частотные компоненты спектра (дифракционная решетка, призма). В дальнейшем для исследования физического спектра в качестве анализатора спектра будем использовать колебательный контур с постоянными параметрами, обладающий малыми потерями (с большой добротностью). Анализатор спектра, основным элементом которого является такой контур, строится по одной из двух схем: параллельной или последовательной. В первом случае ряд колебательных контуров, настроенных на последовательно увеличивающиеся частоты, заполняет весь диапазон анализа и одновременно (параллельно) реагирует на все составляющие спектра. Во втором случае один колебательный контур последовательно перестраивается по диапазону анализа и поочередно выявляет спектральный состав анализируемого колебания. При нашем рассмотрении физического процесса формирования спектра мы будем пользоваться вторым способом, поскольку он является более наглядным. Следует отметить, что популярность разложения периодических функций в тригонометрический ряд Фурье связана именно с тем, что слагаемые этого ряда гармонические колебания - точно соответствуют собственным колебаниям линейных систем с постоянными параметрами, составляющих сегодня подавляющее большинство систем, используемых в физике, радиотехнике, оптике и других отраслях науки и техники. В то же время разложение периодических во времени сигналов в ряд Фурье является далеко не единственным. Возможно разложение таких сигналов в ряды и по другим ортогональным функциям, например, функциям Бесселя, Лежандра и другим. С математической точки зрения все эти функции совершенно равноправны с функциями Фурье. И при разложении по ним любого сигнала будут получены соответствующие спектры, совершенно не похожие на спектры, полученные с помощью рядов Фурье. Однако для физического получения таких спектров нужны колебательные системы, у которых эти функции являются собственным колебаниями. Это, как правило, колебательные системы не с постоянными, а с переменными параметрами, в которых закон изменения параметра (например, емкости) во времени определяет вид функции собственных колебаний системы, которые, естественно, отличаются от гармонических. Для таких систем гармоническое колебание не является собственным колебанием и, в свою очередь, оно будет представлено в виде спектра, состоящего из собственных функций системы. 93 Общим для всех типов колебательных систем условием разложения внешнего сигнала в спектр остается взаимная корреляция между этим сигналом и собственным колебанием системы, так же как мы это видели в выражениях для коэффициентов Аn и Вn ряда Фурье для гармонических колебаний. Выполнение этого условия обеспечивает в колебательной системе возникновение резонанса на частотах гармоник спектра любого вида. Рассмотрим, как возникают эти составляющие в обычном колебательном контуре с постоянными параметрами и большой добротностью. 5.6. Формирование огибающей спектра последовательности прямоугольных видеоимпульсов Рассмотрим процессы, возникающие в последовательном колебательном контуре с высокой добротностью Q>>1 при воздействии на него периодической последовательности прямоугольных видеоимпульсов с амплитудой U длительностью τ и периодом T = 1F =2/ (рис. 4.32). Контур используется здесь в качестве последовательного анализатора спектра с перестраиваемой частотой ω0=2f0=2/T0. Благодаря высокой добротности контура потери энергии в нем будут очень малы и за время, сравнимое с длительностью периода T, амплитуда его собственных колебаний практически не изменится. Это позволяет нам рассматривать его на таком отрезке времени как контур без потерь. Выше, в разделе 4.7, мы уже рассматривали воздействие такой последовательности видеоимпульсов на контур. Однако там было принято условие τ<<Т0, при выполнении которого видеоимпульс воспринимается контуром как однократный электрический "щелчок". В общем же случае, когда τ~Т0 и, особенно, при τ>>Т0 необходимо учитывать раздельное воздействие на контур как переднего, так и заднего фронтов видеоимпульса. На контур сначала приходит передний фронт импульса, который представляет собой скачек напряжения с амплитудой U. Что бы найти ток, возникающий в этом случае в контуре, необходимо решить дифференциальное уравнение этого контура с правой частью: L di q + =U . dt C Начальные условия в контуре при t=0 в этом случае будут нулевыми: i=0 и q=0. Закон изменения тока в контуре, полученный в результате решения этого уравнения, 94 будет таким же, как и для контура, в котором при t=0 заряженный конденсатор разряжался через индуктивность (раздел 4.4): iп = где U 0 L sin 0 t , U = I (0 ) – амплитуда тока в контуре; 0 L Отметим, что амплитуда тока I(ω0) имеет обратную зависимость от частоты контура ω0. В результате с увеличением частоты контура эта амплитуда уменьшается по гиперболическому закону. Теперь учтем воздействие на контур заднего фронта импульса. Этот фронт вызовет в контуре аналогичный ток, только отстающий по времени на длительность импульса  и поэтому имеющий сдвиг по фазе на φτ=ω0. В отличие от тока, возбужденного передним фронтом, который имеет положительную производную и начинается с положительной полуволны, ток, возбужденный задним фронтом, имеет отрицательную производную и начинается с отрицательной полуволны. В результате начальные фазы этих токов отличаются на 180о, а выражение для тока iз имеет вид: iз = − U sin(0 t − 0 ) . 0 L Суммарный ток, оставшийся в контуре после окончания импульса, можно записать следующим образом: i = iп + i з = U U U sin0 t − sin(0 t − 0 ) = 2U sin 0 cos 0 t − 0  sin 0 t − sin(0 t − 0 ) = 0 L 0 L 0 L 0 L 2 2   . В результате сложения двух токов суммарная амплитуда тока в контуре: I ( 0 ) =  2U sin 0 0 L 2 получает дополнительный периодический множитель, который зависит от частоты контура 0 и длительности импульса : Умножив и разделив это выражение на , получим зависимость амплитуды суммарного тока от частоты: 0 sin U 2 , I ( 0 ) =  0 L 2 которая является огибающей физического спектра и так же, как и огибающая математического спектра, изменяется по закону sin x . Подставляя в это выражение x 95 вместо частоты 0 частоты гармоник спектра n, можно получить их амплитудные значения I(n). При определении амплитуды на частоте 0=0 (постоянная составляющая спектра), в выражении для I(0) возникает неопределенность типа . Раскрывая ее по правилу Лопиталя, получим: I ( 0 = 0 ) = U . L При настройке контура на частоты, близкие к нулевым, ёмкость контура заряжается от внешнего импульса также, как и на более высоких частотах. Однако колебательный процесс в контуре до прихода следующего импульса практически не возникает, так как период колебаний контура на этих частотах То>>Т. В результате каждый следующий импульс вносит в ёмкость контура дополнительный заряд и напряжение на ней постепенно растет. В контуре, имеющем очень малые потери, амплитуда этого напряжения будет расти, пока не станет равной амплитуде импульсов, воздействующих на контур. Это и будет постоянная составляющая физического спектра. 5.7. Расположение частот физического спектра последовательности прямоугольных видеоимпульсов При изучении в разделе 4.7 накопительного резонанса мы полагали длительность импульсов τ очень малой (намного меньше периода собственных колебаний контура То) и не учитывали раздельного воздействия на контур переднего и заднего фронтов видеоимпульса. Тогда при Т=То формировалась первая гармоника спектра (рис. 4.35) при Т=2То образовывалась вторая гармоника спектра. Аналогично формировались и все последующие гармоники спектра на частотах, кратных частоте повторения импульсов f0=mF. Теперь рассмотрим процесс формирования гармоник физического спектра с учетом раздельного воздействия на контур переднего и заднего фронтов видеоимпульса. Анализ этого процесса разделим на два этапа. Сначала рассмотрим сложение колебаний, вызванных в контуре обоими фронтами одного видеоимпульса, и получим суммарное колебание, остающееся в контуре после его окончания. Затем вернемся к знакомому нам процессу сложения суммарных колебаний, остающихся в контуре после его возбуждения многими импульсами, и получим результирующее колебание в контуре. 96 Амплитуда суммарного колебания, оставшегося в контуре после окончания одного видеоимпульса, будет зависеть от разности фаз колебаний, вызванных фронтами. Колебание, передним и вызванное задним задним фронтом, отстает от колебания, вызванного передним фронтом, Поскольку на колебание угол от =о=2fо. заднего фронта начинается с отрицательной полуволны, полный фазовый сдвиг между колебаниями, вызванными передним и задним фронтами, будет равен:  = 2 fо − . Своего максимального значения амплитуда суммарного колебания достигнет при синфазном Рис 5.2 Сложение колебаний, вызванных передним и задним фронтами одного видеоимпульса сложении колебаний, возбужденных передним и задним фронтами выполнении импульса, условия то есть при =2fо−=2n. Это условие выполняется на частотах: f0 макс = 2n + 1 1 =  ( n + 0 ,5 ) . 2  В частности, первая максимальная амплитуда суммарного колебания образуется при n=0, когда f 0 макс 1 = 1 или  = То2, а длительность импульса равна половине периода 2 частоты контура (рис. 5.2). Сложение суммарных колебаний, остающихся в контуре после его возбуждения многими импульсами (накопительный резонанс, формирующий гармонику спектра), будет происходить на частотах, кратных частоте повторения импульсов f0 = mF. В общем случае частоты f0макс, на которых образуются максимальные амплитуды колебаний после каждого импульса, могут не совпадать с резонансными частотами контура fо = mF. Таким образом, синфазное сложение колебаний, оставшихся в контуре после единичного импульса (зависящее от ) и синфазное сложение колебаний, оставшихся в контуре после многих импульсов (зависящее от T) выполняется при разных и не связанных друг с другом условиях. 97 Чтобы в частном случае частота гармоники совпала с максимумом огибающей спектра, необходимо одновременно выполнить условия: f0=mF и f0 макс = 1   ( n + 0 ,5 ) , где m=1,2,3… и n = 0,1,2,3… Это произойдет, если f0 =f0 макс или: mF = Для этого 1   ( n + 0 ,5 ) . необходимо, чтобы частота 1 n + 0 ,5 m повторения была равна: F =   Рис 5.3 Сложение колебаний, вызванных передними и задними фронтами последовательности видеоимпульсов при Т=5То= 10 Диаграмма колебаний для этого случая при n = 0, m= 5, то есть при Т=5То=10 показана на рис. 5.3. На рис. 5.3,а изображены импульсы, возбуждающие контур. На рис 5.3,б и 5.3,в - колебания, возникшие в контуре под влиянием соответственно передних и задних фронтов импульсов, а на рис 5.3,г - общее суммарное колебание. Из диаграммы колебаний на рис. 5.3, хорошо видно, что выделение гармоник физического спектра контуром при накопительном резонансе происходит не мгновенно. На накопление колебаний и образование гармоники требуется время, намного превышающее длительность импульса, возбуждающего контур. Это очень важное отличие физического спектра от математического. 5.8. Образование нулей в спектре последовательности прямоугольных видеоимпульсов. Положение нулей в математическом спектре нетрудно определить, приравнивая нулю выражение для амплитуды тока в контуре (огибающей спектра): U I ( 0 ) = L 0 2 =0. 0 2 Sin 98 Для этого достаточно положить 2f0=2n, откуда f 0 нуль =  0 2 = n , где n=1,2,3… Тогда: 0=2n, то есть n . Это равенство и определяет положение нулей изучаемого  нами спектра. Чтобы понять, как физически образуются эти нули, рассмотрим условия, при которых амплитуда суммарного колебания, возбуждаемого в контуре передним и задним фронтами одного импульса, будет равна нулю. Очевидно, что это произойдет в том случае, когда эти колебания станут противофазными и компенсируют друг друга. Для этого необходимо чтобы: =2 f0 −  = (2n1), где n =1,2,3… В этом случае f0 =n или n f 0 нуль = ,  что совпадает с выражением, полученным из формулы для огибающей спектра. При n=1 колебания будут отсутствовать на частотах f 0 нуль1 = период колебания 1 . В этом случае один  контура равен длине импульса  = Т0. Колебание, вызванное Рис 5.4 Сложение колебаний, вызванных передними и задними фронтами последовательности видеоимпульсов при Т=9То=9 передним заднего фронтом фронта, импульса, «встречает» достигнув колебание, вызванное этим фронтом и находящееся в противофазе. В результате эти колебания компенсируют друг друга и по окончании импульса колебания на выходе контура отсутствуют. Диаграмма колебаний для этого случая при Т=9То=9 показана на рис. 5.4. На рис. 5.4,а показаны возбуждающие импульсы, а на рис. 5.4,б и 5.4,в – колебания, вызванные в контуре передними и задними фронтами импульсов. На рис. 5.4,г видно, что суммарное колебание в контуре отсутствует. Есть только всплески в период прохода импульса через контур. При других n колебания в контуре после окончания импульса будут отсутствовать на частотах: f0 = n . Возможен случай, когда частота f0 нуль, на которой произошла компенсация колебаний, оставшихся после каждого импульса, будет совпадать с резонансной частотой контура f0=mF. Но гармоника спектра на этой частоте не возникнет, поскольку будут 99 отсутствовать колебания, необходимые для ее формирования. Для этого случая или  T = n = mF  n . m Таким образом, положение нулей физического спектра полностью совпадает с положением нулей математического спектра. 5.9 Поворот фазы гармоник спектра после каждого нуля спектра. Рассмотрим формирование фазового спектра последовательности видеоимпульсов. Обратимся к рис. 5.5. Фаза гармоник в этом случае также зависит от положения фронтов импульса, то есть от его длительности. На рисунке приведены 5.5 векторные диаграммы сложения колебания с амплитудой Uп, вызванного передним фронтом импульса и амплитудой колебания с вызванного Uз, задним фронтом импульса. На рис. 5.5,а векторная диаграмма Рис 5.5 Векторные диаграммы колебаний, вызванных передними и задними фронтами последовательности видеоимпульсов приведена для разность фаз колебаниями, случая, когда  между вызванными передним и задним фронтами импульса, равна нулю. Очевидно, что в этом случае суммарная амплитуда U будет максимальной. Будем увеличивать длительность импульса , тем самым, увеличивая разность фаз . На рис. 5.5,б векторная диаграмма приведена для ненулевой разности фаз  =2(/Т). Здесь амплитуда суммарного колебания U стала меньше, чем в предыдущем случае. С увеличением длительности импульса разность фаз  между колебаниями растет, а суммарная амплитуда U становится все меньше. При  =1800 эта амплитуда равна нулю. Если продолжать увеличение разности фаз , то произойдет переворот фазы колебаний на 1800 (рис. 5.5,д). Этот переворот происходит после прохождения нулевого значения суммарной амплитуды. 100 По этой причине все гармоники, расположенные правее первого нуля, будут иметь фазу, отличающуюся на 1800 от фазы гармоник, расположенных левее нуля. Аналогичный поворот фазы гармоник на 1800 будет происходить после прохождения контуром частоты, на которой образуется очередной нуль спектра. Таким образом, фазовые соотношения гармоник физического и математического спектров также полностью совпадают. Мы рассмотрели, как образуется в анализаторе спектра физический спектр последовательности видеоимпульсов. Все особенности этого спектра - характер огибающей, расположение гармоник и нулей, фазовый спектр - получили достаточно ясное физическое объяснение. Перейдем теперь к рассмотрению математического и физического спектров более сложного процесса – периодической последовательности радиоимпульсов. 5.10. Математический спектр периодической последовательности прямоугольных радиоимпульсов. Радиоимпульс является одним из самых распространенных в радиотехнике сигналов. Поэтому изучение спектра последовательности радиоимпульсов представляет особый интерес. Последовательность радиоимпульсов с прямоугольной огибающей, изображенную на рис. 4.41 в разделе 4.8, можно записать в виде выражения: + u( t ) =  n= − ( U cos  p t +  n ) при nT - при nT +  2  2  t  nT +  t  ( n + 1 )T −  2  2 Здесь обозначены: U, р = 2р; Tр =1р; ; n – амплитуда, частота, период, длительность и начальная фаза колебаний радиоимпульса; = 2F; T = 1F- частота повторения и период следования радиоимпульсов; n = 1, 2, 3, ... – номер импульса. В общем случае эта последовательность не будет строго периодической, так как начальные фазы импульсов n могут меняться от импульса к импульсу и условие периодичности функции – u(t)=u(t+T) – будет нарушено. Этот общий случай мы рассмотрим ниже, а пока обратимся к частному случаю, когда функция u(t) будет чисто периодической и каждый радиоимпульс будет начинаться с одной и той же фазы n==const. Положим для определенности n=0. 101 Коэффициенты ряда Фурье этой периодической функции Am, Bm и A0 находятся по известным формулам (см. раздел 5.2). Индекс m = 1, 2, 3, ... означает номер гармоники. Поскольку функция u(t) симметрична относительно оси времени, то Аo=0. Кроме того, мы выберем начало координат таким образом, что бы функция u(t) (косинус) была симметрична относительно оси амплитуд и являлась четной. Тогда и Bm =0, а, следовательно, и φm=0, При принятых условиях ряд Фурье этой функции:  u( t ) =  Am cos mt , m =1 будет определяться только коэффициентом Аm:  2U Am = T 2  cos  − p t  cos m t  dt 2 Это табличный интеграл. Его решение имеет вид: ( ( ) ) ( ( ) ) 2U sin  p − m t sin  p + m t Am = + T 2  p − m 2  p + m + 2 . − 2 Подставив пределы и разделив числитель и знаменатель на τ/2, получим:     sin( p − m  ) 2 sin( p + m  ) 2  Am = U + . T  ( p − m  )  (  + m  ) p 2 2   Тогда ряд Фурье для функции u(t) примет вид: u(t ) = U ( ) ( )  sin  p − m   sin  p + m    2+ 2  cos m  t     T m =1   p − m  p + m  2  2    ( ) ( ) Таким образом, функцию u(t), являющуюся последовательностью импульсов во времени, мы представили теперь в виде последовательности частотных гармоник, которую в дальнейшем будем называть спектром этой функции (в действительности это не спектр в его классическом понимании, а просто другой вид представления сигнала u(t) во времени - см. раздел 5.4). Из полученного ряда Фурье видно, что огибающая спектра периодической последовательности радиоимпульсов имеет вид sinx/x и совпадает по форме с огибающей спектра видеоимпульсов (рис. прямоугольных 5.6). Однако 102 Рис.5.6 максимум огибающей переместился с нулевой частоты на частоту заполнения радиоимпульса ωр. Гармоники спектра расположены на частотах ±m. Счет гармоник начинается со значения частоты ω=0. Периодическую последовательности радиоимпульсов можно получить двумя разными способами. Можно «вырезать» радиоимпульсы из непрерывного гармонического колебания с периодом, кратным периоду высокочастотного заполнения радиоимпульсов Т=kТр (k - целое число), то есть ωр=k (рис. 5.7,а1). Полученный процесс назовем периодической последовательностью радиоимпульсов первого вида (рис. 5.7,а). Частоты ωр и  жестко связаны между собой и поэтому максимум огибающей спектра совпадает с частотой гармоники k, которая имеет максимальную Рис. 5.7 амплитуду. Изменение любой из частот ωр или  меняет одновременно и частотный интервал между гармониками и положение максимума огибающей спектра на оси частот. Периодическую последовательность радиоимпульсов можно сформировать и при произвольном отношении частот ωр и  (ωр≠k). Для этого необходимо выбрать любой радиоимпульс и «разместить» его копии на оси времени с периодом Т (рис. 5.7,б1). Этот процесс назовем периодической радиоимпульсной последовательностью второго вида. В спектре такой последовательности положение огибающей спектра, имеющей максимум на частоте заполнения импульсов ωр, не связано с положением гармоник на оси частот. При изменении частоты ωр перемещаться по оси частот будет только огибающая спектра. Гармоники же останутся на частотах m. При изменении частоты  будет изменяться положение гармоник, а максимум огибающей спектра останется на частоте ωр. Таким образом, положение огибающей спектра и положение гармоник на оси частот изменяются независимо. последовательности Это позволяет радиоимпульсов выделить необходимую из спектра гармонику с периодической максимальной 103 амплитудой, переводя частоту заполнения радиоимпульсов ωр на частоту этой гармоники (рис. 5.7,б). 5.11. Математический спектр последовательности радиоимпульсов, периодичность которой нарушается за счет изменения начальных фаз импульсов. При произвольном отношении частот ωр и  начальная фаза радиоимпульсов будет изменяться от периода к периоду. В этом случае условие u(t)=u(t+T) не выполняется, процесс становится не периодическим, хотя импульсы по-прежнему следуют с периодом T. Получить спектр такого процесса с помощью математического аппарата рядов Фурье для периодических функций уже нельзя. Такие радиоимпульсные последовательности называются почти периодическими. Рассмотрим два вида почти периодических радиоимпульсных последовательностей и способ получения их спектров. Будем называть их третьим и четвертым видами таких последовательностей. Радиоимпульсную последовательность третьего вида можно получить, если «вырезать» радиоимпульсы из непрерывного колебания, но при этом не соблюдать кратности частот ωрkΩ (рис. 5.7,в1). В этом случае начальная фаза каждого (n-го) импульса будет зависеть от его номера в последовательности и будет равна n =  рnT . Радиоимпульсную последовательность четвертого вида построим так, чтобы начальные фазы импульсов определялись некоторым сторонним колебанием с частотой ωП (рис. 5.7,г1). В этом случае начальная фаза каждого (n-го) импульса зависит от фазы этого колебания в момент начала импульса и будет равна  n =  П nT . Периодичность последовательности будет определяться соотношением частот ωП и . В частном случае при ωП=k последовательность станет периодической. И, наконец, радиоимпульсная последовательность пятого вида может быть получена в том случае, когда начальные фазы импульсов определяются некоторыс случайным, шумовым процессом. Напомним, что спектр периодической последовательности мы определяли по схеме: Периодический процесс, как функция времени. Расчет коэффициентов ряда Фурье Периодический процесс, как сумма частотных гармоник. Для определения спектра почти периодической последовательности схема будет иной: находится спектр одного импульса, а спектр всей последовательности определяется как сумма спектров всех импульсов, которые входят в ее состав: 104 Функция, описывающая один импульс во времени. Сумма спектров всех импульсов. Спектр одного импульса. Обратное преобразование суммарного спектра во временную область. Функция времени, описывающая процесс суммой частотных гармоник. Один радиоимпульс с прямоугольной огибающей представим в виде: U cos( p t +  ) при -   t  +  2 2 u(t ) =    при + t−  0 2 2 Спектр такого импульса будет равен: u( ) = +  − 2 u(t ) e − it dt = U +  cos( p t +  ) e − 2 2 − it dt 2   e ix + e − ix 1 i ( p t + ) − i ( t + ) e +e p Учитывая, что: cos x = , запишем: cos( p t +  ) = . 2 2 Тогда: + + 2 − i  − t 2 − i  + t U i U − i p p u( ) = e e dt + e e dt =   2 2   − − ( ) ( 2 ) 2 − i ( +  p )t − i ( − p )t + + U i e U − i e 2 2= = e + e 2 − i ( −  p ) −  2 − i ( +  p ) −  2 2 U e = e i  − p ( ) − i  − p  −e − 2i 2 ( ) i  − p  2 U e + e − i  + p ( ) − i  + p  −e − 2i 2 ( ) i  + p  2 . Разделим числитель и знаменатель каждого слагаемого на –1, а затем на τ/2. e ix − e − ix Учитывая, что: sin x = , получим окончательное выражение для спектра одного 2i радиоимпульса: ( ) ( )   U sin  −  p 2 i U sin  +  p 2 − i u( ) =  e +  e .   2 2  −p 2  +p 2 ( ) ( ) Спектры разных импульсов почти периодической последовательности будут отличаться только разной начальной фазой, которой присвоим индекс, соответствующий номеру импульса в последовательности: n. А тем частям формулы, которые не зависят от номера импульса, для сокращения дальнейшей записи присвоим обозначения: 105 U − ( ) = ( ) ( )   U sin  −  p 2 U sin  +  p 2  ( ) U  =  ; + . 2 2  −p  2  +p  2 ( ) ( ) Тогда спектр любого (n-го) импульса последовательности примет вид: un ( ) = U − ( )e in + U + ( )e −in . Теперь найдем спектры импульсов последовательности с учетом их запаздывания относительно начала отсчета времени t=0. Для этого используем теорему запаздывания из теории спектров, которая позволяет найти спектр смещенного (запаздывающего) e − iT3 , импульса умножением его спектра на множитель где Т3 – интервал времени между моментом t=0 и моментом появления этого импульса. Импульс появившийся u0(t), u0 ( ) = U− ( )ei0 + U+ ( )e−i0 . в Спектр момент t=0, следующего имеет импульса, спектр смещенного относительно нулевого импульса на один период u1(t+Т) с учетом запаздывания имеет −iT = U ( )e вид: u1 ( )e − −i (T −1 ) + U+ ( )e−i (T +1 ) . Аналогично находятся спектры остальных импульсов последовательности. Импульс имеет u2(t+2Т) спектр u2 ( )e−i 2T = U− ( )e−i (2T −2 ) + U+ ( )e−i (2T +2 ) . Импульс un(t+nТ) имеет спектр ( ) ( ) un ( )e−inT = U− ( )e−i nT −n + U+ ( )e−i nT +n . Спектр всей последовательности радиоимпульсов можно представить в виде суммы: u( ) = ... + u0 ( ) + u1 ( ) + u2 ( ) + .... + un ( ) + ... = U − ( ) + ( )  e − i nT − n + U+ ( ) n= − + (  e − i nT + n n= − . + = U − ( )  e − inT   −  n = − n  nT  + + U + ( )  e − inT   +  n  nT  . n = − Величина φn/nT имеет размерность частоты. Поэтому обозначим ее φn/nT= ωn Из теории обобщенных функций известно, что: +  e inx = 2 n=− +  (x − 2n) , где δ – дельта функция. n=− Чтобы воспользоваться этой формулой заметим, что в выражении для u(ω) роль n играет (−n), а роль х играет T (   n ) . Тогда: 106 )= +  e −inT (n ) = 2 n=− + + 2     ( ) ( )  T    + 2  n = 2   T    + n = 2     T (  n + n ) n n T  n=− n=− n=− + Учитывая, что  (ах ) =  (х) а , спектр последовательности примет окончательный вид: + + 2 2 u( ) = U − ( )   ( − n + n ) + U + ( )   ( + n + n ) T T n = − n = − Чтобы представить почти периодическую функцию u(t) в виде ряда гармоник, подобного ряду Фурье для периодических функций, выполним обратное преобразование Фурье спектра u(ω). 1 u(t ) = 2 + + + + + 1 1 it it ( ) ( ) ( ) ( ) u  e d  = U   e   −  + n  d  + U   e    ( + n + n )d − n +  T − T − n= − n= − − it Изменим порядок суммирования и интегрирования: u(t ) = 1 T +  + it  U − ( ) e  ( − n + n )d + n = − −  1 T + +   U ( ) e   ( +  i t + n = − −  n + n )d . Дельта функция обладает фильтрующими свойствами:  f ( ) ( −  )d = f ( ) . k k ( )  U sin  p   2 it i  t = e , а  =  + n . В нашем случае f ( ) = U  ( )e k n 2  p   2 ( ) Используя эти свойства δ-функции, получим выражение для u(t) в виде ряда гармоник: U u(t ) =  2T + n= − ( ) sin  p −  n + n  2 e i (n + n )t + U  2T  p −  n + n  2 ( ) + (  ( n= − ) sin  p +  n + n  p ) +  n + n  2 e −i ( + n ) 2 Напомним, что здесь n = ±1, ±2, ±3, ....... Это выражение дает нам ряд в комплексной форме. Нетрудно представить его в тригонометрической форме: u(t ) = U ( ) ( )  sin  р −  n + n  sin  p +  n + n   2+ 2  cos( + n ) t  .  n  T n = 0   p −  n + n   +  n + n  p 2 2    + ( ) ( ) Из этого выражения видно, что спектр почти периодической функции имеет такую же структуру, как и спектр периодической функции, однако и огибающая спектра и его 107 гармоники теперь зависят от ωn=φn/nT, то есть от параметра, нарушающего периодичность процесса - изменения начальной фазы высокочастотного заполнения от импульса к импульсу. Закон изменения начальной фазы определяет положение гармоник на оси частот. Рассмотрим частные случаи почти периодических радиоимпульсных последовательностей. Радиоимпульсная последовательность третьего вида. Начальная фаза в этом случае определяется частотой ωр. Тогда φn=ωpnT и ωn=φn/nT =ωp. У спектра этой последовательности гармоники спектра расположены на частотах  р  n и, таким образом, «привязаны» к частоте заполнения импульсов ωр, в том числе и в тех случаях, когда она, в отличие от радиоимпульсной последовательности второго вида, не кратна частоте  (рис. 5.7, в). Счет гармоник начинается со значения частоты ω=ωр. Максимум огибающей в этом случае не обязательно совпадет с положением гармоники. Поэтому здесь также можно раздельно изменять положение огибающей и положение гармоник на оси частот. Нули спектра находятся в точках 1/τ, 2/τ и т.д. При изменении частоты ωр гармоники перемещаются по оси частот, а огибающая остается неподвижной. Радиоимпульсная последовательность четвертого вида. Начальная фаза каждого импульса определяется некоторым посторонним колебанием с частотой ωП: φn=ωПnT. Тогда φn/nT=ωП. У спектра этой последовательности гармоники спектра расположены на частотах  П  n и, таким образом, «привязаны» к частоте постороннего колебания ωП. В этом случае, положение гармоник спектра на оси частот не зависит от частоты заполнения ωр (рис. 5.7, г). Здесь также можно раздельно управлять положением огибающей на оси частот (меняя ωр) и положением гармоник (меняя ωП). И, наконец, возможен случай, когда начальные фазы импульсов будут меняться от импульса к импульсу по случайному закону. Это – радиоимпульсная последовательность пятого вида. Независимо от номера импульса n начальная фаза может принимать любые значения в интервале от 0 до 2π, а величина n nT - значения от nω до (n+1)ω. Отсюда следует, что каждая из гармоник спектра будет распределена равномерно в полосе частот от n до (n+1). В этом случае спектр процесса будет сплошным в пределах огибающей (рис. 5.7, д). 108 Таким образом, различают пять видов радиоимпульсных последовательностей: два периодических, два почти периодических и один случайный. Все пять видов радиоимпульсных последовательностей можно реально получить на выходе автогенератора, работающего в импульсном режиме. Если начальная фаза очередного радиоимпульса определяется остаточным колебанием от предшествующего импульса, недостаточно погасшим к моменту его возникновения, а частоты ωр и  кратны, то возникнет периодическая радиоимпульсная последовательность первого вида. Если начальная фаза каждого радиоимпульса определяется колебанием, возникший в контуре при подаче напряжения питания на автогенератор (ударное возбуждение контура), то возникнет периодическая радиоимпульсная последовательность второго вида. Если начальная фаза очередного радиоимпульса определяется остаточным колебанием от предшествующего импульса, недостаточно погасшим к моменту его возникновения, но частоты ωр и  произвольны, то возникнет почти периодическая радиоимпульсная последовательность третьего вида. Если начальная фаза очередного радиоимпульса определяется посторонним колебанием с частотой ωП, введенным извне в контур автогенератора, возникнет радиоимпульсная почти периодическая последовательность четвертого вида. И, наконец, если начальная фаза колебания определяется только шумами в контуре автогенератора, то на его выходе будет радиоимпульсная последовательность пятого вида. 5.12. Расположение гармоник физического спектра последовательности прямоугольных радиоимпульсов Возникновение резонанса в колебательном контуре, который возбуждается последовательностью радиоимпульсов, происходит иначе, чем при его возбуждении последовательностью видеоимпульсов. Напомним, как развиваются в этом случае процессы в колебательном контуре с высокой добротностью при подаче на него радиоимпульса длительностью . Если частота заполнения радиоимпульса р и собственная частота колебаний контура о не равны, то в контуре возникнут биения с периодом изменения амплитуды Т б = с частотой заполнения б =  p + 0 2 2 б ( б =  р − 0 2 )и . Биения будут существовать в контуре в течение времени . При равенстве р = о возникает резонанс и амплитуда колебаний в контуре 109 будет непрерывно расти в течение времени . Во всех случаях после окончания импульса в контуре останется свободное колебание с частотой о, длительность которого из-за высокой добротности контура будет значительно превышать длительность импульса . Начальная амплитуда и начальная фаза этого свободного колебания будут определяться, соответственно, амплитудой и фазой биений в момент времени τ. Для того чтобы возникла гармоника спектра, необходимо, чтобы разность фаз  между свободными колебаниями, остающимися в контуре после каждого импульса, равнялась 2m, где m = 0;1;2;3;..., то есть чтобы эти колебания складывались синфазно, амплитуда колебаний в контуре увеличивалась и возникал накопительный резонанс. Рассмотрим, от чего зависит эта разность фаз при воздействии на контур двух соседних радиоимпульсов. Действие остальных импульсов последовательности на контур будет аналогичным в силу принципа суперпозиции. Вернемся к рис. 4.44, где вверху изображена пара радиоимпульсов, поступающих в контур, а ниже – колебания в контуре, возникшие под действием, соответственно, первого и второго импульсов. Определим разность фаз φ, которая образуется между этими двумя колебаниями в момент времени Т2, когда оба импульса закончились, третий еще не начался и в контуре существуют только свободные колебания, вызванные первыми двумя импульсами. Интересующая нас разность фаз будет определяться двумя факторами. Первым из этих факторов является набег фазы колебаний, вызванных каждым из двух импульсов, от момента возникновения импульса до момента Т2. В периоды существования в контуре радиоимпульса (от 0 до τ1 для первого импульса и от Т1 до τ2 для второго импульса) в контуре образуются биения с частотой б = биений за время импульса τ будет равен  =  p + 0 2  p + 0 2 . Набег фазы  . После окончания импульса (от τ1 до Т2 для первого колебания и от τ2 до Т2 для второго колебания) в контуре останутся только свободные колебания, имеющие частоту ωо. Набег фазы в эти периоды составит для первого и второго колебаний, соответственно, Т = о ( 2Т −  ) и Т 2 = о ( Т −  ). 1 Таким образом, полный набег фазы от момента возникновения импульса до момента Т2 для первого и второго колебаний равен, соответственно,  Н 1 = Т 1 +  и  Н 2 = Т 2 +  . Вторым фактором является начальная фаза колебаний. Для первого импульса это будет фаза, с которой он начнется в момент t=0 (обозначим эту фазу φ01), а для второго импульса – фаза, с которой он начнется в момент t=Т1 (обозначим эту фазу φ02). 110 С учетом обоих факторов полная фаза первого колебания в момент Т2 будет равна  1 =  Н 1 +  01 , а полная фаза второго колебания в этот момент –  2 =  Н 2 +  02 . Для синфазного сложения этих колебаний необходимо, чтобы разность фаз между ними φ была равна 2πm:  =φ1–φ2=(Н1+01) − (Н2+02) = (Н1 −Н2) + (01 − 02) = 2m, где m = 0;    Рассмотрим сначала первое слагаемое этого выражения (Н1−Н2), не связанное с начальной фазой импульсов. Подставляя значения величин, входящих в Н1 и Н2, получим: Н1 −Н2 = (Т1 + ) − (Т2 + ) = Т1 +  − Т2 −  = Т1− Т2= 2оТ − оТ=оТ. Эта разность фаз не зависит от длительности радиоимпульса и верна для любой радиоимпульсной последовательности. Теперь рассмотрим второе слагаемое (01−02), зависящее от начальных фаз соседних радиоимпульсов. У радиоимпульсных последовательностей первого и второго видов начальные фазы всех импульсов одинаковы. Поэтому разность (01−02) в этих случаях всегда будет равна нулю, а условие синфазного сложения колебаний и получения резонанса имеет вид:  =(Н1−Н2)=0=m. Отсюда 0 = т 2 2 =  , получим значения частот, на которых в . Учитывая, что Т Т колебательном контуре возникнут гармоники спектра: 0 = т . Начальную фазу каждого импульса радиоимпульсной последовательности третьего вида определяет колебание с частотой р. Разность между начальными фазами соседних n-го и n+1-го импульсов равна: 01−02=рnT−р(n+1)Т=−рT. Условие синфазного сложения колебаний и получения резонанса в этом случае имеет вид:  =(Н1−Н2)+(01−02)=0−р=(0−р)=m, а значения частот колебательного контура, на которых возникнут гармоники спектра, будут равны: 0 = р  m. 111 Основная гармоника возникнет в контуре на частоте заполнения радиоимпульса р, а остальные гармоники будут располагаться по обе стороны от нее на частотах, кратных частоте повторения импульсов . У радиоимпульсной последовательности четвертого вида начальная фаза радиоимпульсов формируется посторонним колебанием, имеющим частоту П. Тогда: 01 − 02=Пn − П(n+) = −П. Условие формирования гармоники в этом случае: =0−П=(0−П)Т=m, а гармоники спектра возникнут на частотах: 0=Пm. Также, как и в предыдущем случае, положение гармоник спектра не зависит от частоты заполнения радиоимпульсов, а огибающая спектра и гармоники «развязаны» друг относительно друга. Можно раздельно управлять положением огибающей на оси частот, меняя р, и положением гармоник, меняя П. И, наконец, радиоимпульсная последовательность пятого вида не будет иметь постоянных гармоник спектра, поскольку случайное значение начальной фазы каждого радиоимпульса не позволяет сформироваться условиям синфазного сложения свободных колебаний, оставшихся в колебательном контуре после каждого импульса. Спектр сигнала «размывается» вдоль оси частот, становится сплошным. Таким образом, положение гармоник физического спектра радиоимпульсной последовательности при ее наблюдении с помощью перестраиваемого по частоте анализатора спектра (колебательного контура) полностью совпадает с положением гармоник математического спектра, полученного с помощью теории спектров периодических и почти периодических функций. 5.13. Другие характеристики физического спектра радиоимпульсного процесса Огибающая физического спектра, также как и у математического описывается функцией вида sinx/x. Гармоника спектра в максимуме огибающей может и не образоваться. Это может быть в спектре радиоимпульсных последовательностей второго и четвертого видов, структура которых позволяет устанавливать положение огибающей спектра и положение гармоник спектра на оси частот совершенно независимо. Поясним это. При настройке контура на частоту р (0=р) свободные колебания, оставшиеся в контуре после прекращения радиоимпульса, будут иметь максимальную 112 амплитуду. Однако разность фаз между колебаниями, оставшимися в контуре после соседних радиоимпульсов, может отличаться и, возможно, существенно, от 2. В результате синфазного сложения колебаний не произойдет и гармоника спектра на этой частоте не сформируется. А на тех частотах, где создадутся условия для их синфазного сложения, амплитуды этих колебаний могут оказаться небольшими. В результате возникнет накопительный резонанс, хотя получившаяся гармоника спектра и не будет иметь максимальную амплитуду. Теперь рассмотрим положение нулей огибающей физического спектра. Когда частоты радиоимпульса р и колебательного контура о различны, в последнем возникают биения, амплитуда которых изменяется с частотой  б = 0 −  р 2 . Если за время импульса  биения в контуре совершат один или несколько целых полупериодов Тб  , то после = 2 б окончания радиоимпульса свободные колебаний в контуре не возникнут. В результате гармоника спектра не сформируется, даже если будут выполнены условия для синфазного сложения свободных колебаний. В этом случае: = пТб п 2п , = = 2  б 0 −  р где n=    Отсюда следует, что нули спектра образуются на частотах: 0 =  р  Эти значения 2п  или f0 = f p  n  . о совпадают с частотами нулей математического спектра радиоимпульсной последовательности. Нетрудно заметить, что спектры последовательностей видеоимпульсов и радиоимпульсов при одинаковой частоте повторения имеют одинаковое расположение нулей огибающей относительно ее максимума. Однако физические причины образования этих нулей оказываются совершенно различными. В первом случае нули образуются за счет взаимной компенсации колебаний одной и той же частоты, возбуждаемых передним и задним фронтами видеоимпульса. Во втором случае причиной образования нулей является взаимная компенсация колебаний двух разных частот в конце каждого полупериода биений. Рассмотрим фазовый спектр радиоимпульсной последовательности. В этом спектре, также, как и в фазовом спектре последовательности видеоимпульсов, фазы гармоник 113 изменяются на  после перехода частоты контура о через каждый последующий ноль огибающей амплитудного спектра. Этот переворот фазы гармоник спектра вызван особенностью биений – изменением фазы их колебаний на 180о при переходе амплитуды биений через ноль в каждом полупериоде. В результате фаза биений, возникающих в контуре, формирует фазовую структуру спектра процесса, аналогичную фазовой структуре спектра, полученного при математическом анализе. Обратим внимание на интересное обстоятельство, связанное с поворотом фазы гармоник в спектре видеоимпульсной последовательности и в спектре радиоимпульсной последовательности. В обоих спектрах фаза гармоник при переходе через нуль переворачивается на 180о, хотя причины этого переворота фазы, также как и причины образования нулей спектра различны. В первом случае нуль спектра образуется благодаря взаимной компенсации двух колебаний одной и той же частоты о (сложение колебаний, образованных передним и задним фронтами одного и того же импульса). Во втором случае происходит взаимная компенсация колебаний разных частот о и р, которые образуют биения. Мы рассмотрели в этом разделе образование физического спектра радиоимпульсной последовательности и убедились в его тесной связи с ее математическим спектром. В заключение раздела рассмотрим один из парадоксов спектральной теории, объяснение которого показывает важность правильного представления физической картины формирования спектра какого-либо сигнала. 5.14. Различие между частотой сигнала и частотой гармоники спектра В радиотехнических приложениях «частота» является одним из наиболее распространенных терминов. Именно по этой причине возникают недоразумения и даже ошибки, поскольку предполагается, что "частота она и есть частота" и везде она означает одно и тоже понятие. Однако следует строго различать частоту сигнала, который мы анализируем, от частоты гармоники его спектра, которая получается в результате спектрального анализа. Эти частоты образуются по-разному. Мы уже видели, например, что в спектре радиоимпульсного сигнала может не оказаться гармоники с его собственной частотой. Дело в том, что частота сигнала образуется там, где формируется сигнал, а частота гармоники спектра образуется в анализаторе спектра и для ее образования необходимо определенное время. Если вспомнить, что фазой называется аргумент синуса (или косинуса), а частотой – производная этого аргумента, то можно записать: 114 – для сигнала U(t)cos[t+(t)] фаза равна (t)=t+(t), а частота – d/dt=+d/dt=(t); – для гармоники спектра Ancos(nt+n) фаза равна (t)=nt+n, а частота d/dt=n. Таким образом, частота сигнала может меняться и поэтому нередко называется мгновенной частотой, а частота гармоники всегда постоянна. Рассмотрим два примера, показывающие, как важно грамотно использовать спектральное представление сигналов. Первый пример касается построения радиолокационного измерителя высоты (альтиметра) для самолетов. Такой альтиметр излучает непрерывный частотно модулированный сигнал. Отразившись от земли, сигнал возвращается на борт самолета с задержкой по времени, зависящей от расстояния до земли, то есть высоты. Таким образом, частота излучаемого сигнала отличается от частоты принятого сигнала на величину, определяемую этой задержкой (или высотой самолета). При сложении излучаемого и принятого сигналов получаются биения, частота которых б зависит от разности частот этих сигналов. Подавая биения на детектор и измеряя частоту огибающей, можно определить высоту полета. В свое время эта идея вызвала суровую критику приверженцев спектрального анализа. Они утверждали, что альтиметр работать не будет по следующим причинам. Излучаемый частотно модулированный периодический сигнал имеет совершенно определенный дискретный спектр. Отраженный от земли сигнал является копией излучаемого сигнала, сдвинутой на некоторый отрезок времени. Известно, что от сдвига во времени спектр сигнала не меняется. Поэтому сумма излученного и отраженного сигналов будет иметь такой же спектр, как исходный сигнал и в нем не будет никаких разностных частот. Сейчас очевидно, что в данном случае смешаны понятия частоты сигнала и частоты его гармоники, а в свое время неверный подход привел к остановке проекта и другим, связанным с этим, неприятным последствиям. Второй пример является не менее показательным. Важнейшей проблемой радиосвязи является уплотнение эфира и размещение возможно большего числа радиостанций в заданной полосе частот без взаимных помех. Появление частотной модуляции обострило эту проблему, поскольку ЧМ сигналы, повышая качество передач, занимают в эфире значительно более широкие полосы частот, чем сигналы с амплитудной модуляцией. 115 В связи с этим уже на самых ранних этапах развития методов ЧМ предлагались проекты уплотнения эфира с помощью узкополосной ЧМ. Суть этих проектов сводилась к следующему. При использовании ЧМ частота передатчика пер модулируется полезным сигналом с некоторой частотой м. Частота м определяет «скорость» изменения частоты пер. Отклонение этой частоты в обе стороны от среднего значения обозначается 2д и называется девиацией частоты. Девиация частоты определяет «амплитуду» изменения частоты пер. Очевидно, что и девиация частоты д и частота модуляции м определяют полосу частот, занимаемую линией связи в эфире. Для получения узкополосной ЧМ в упомянутых выше проектах предлагалось входной контур приемника настроить так, чтобы несущая частота передатчика пер попала на крутой склон его резонансной кривой (рис. 5.8). Рис. 5.8 Тогда частотная модуляция входного сигнала преобразуется контуром в амплитудную модуляцию и далее сигнал можно обрабатывать с помощью амплитудного детектора. Предполагалось, что уменьшая полосу пропускания входного контура, то есть увеличивая крутизну склона его частотной характеристики, можно уменьшать девиацию частоты 2д, сохраняя глубину амплитудной модуляции и обеспечивая тем самым практически беспредельное уплотнение эфира при любых значениях модулирующей частоты сигнала м. Однако при реализации этого метода необходимо учитывать инерционность колебательного контура, являющегося преобразователем частотной модуляции в амплитудную. Дело в том, что резонансная кривая колебательного контура, которая осуществляет это преобразование, существует только в установившемся режиме. Она формируется не мгновенно, а за период времени, превышающий постоянную времени контура. Поэтому, если частота м модулируется так быстро, что период модуляции 116 Тм=2  м будет значительно меньше, чем постоянная времени входного контура приемника 0, то необходимые значения амплитуд не успеют устанавливаться в узкополосном контуре. Это приведет к сглаживанию модуляции и, следовательно, ее искажению, которое будет тем больше, чем сильнее будет неравенство Тм<0. Для получения неискаженной модуляции на выходе узкополосного контура в этом случае должно быть выполнено условие Тм>>0. А это условие нередко забывалось при проектировании, так называемой, узкополосной ЧМ. Рассмотрим простой пример. Предположим, что несущая частота fпер=1000 кГц. Эта частота модулируется полезным сигналом с частотой Fм=10 кГц. Входной контур приемника имеет добротность Q=300. Тогда период модуляции Тм = 100 мкс, при постоянной времени контура 0=Q пер=100 мкс. Очевидно, что при равенстве этих величин стационарный режим не сможет установиться в контуре приемника, что и приведет к искажениям. А ведь значение добротности Q=300 является относительно небольшим и не может обеспечить достаточно большой крутизны частотной характеристики входного контура приемника. При повышении добротности контура для увеличения этой крутизны сглаживание модуляции и искажение сигнала будут еще больше. Рассмотренный процесс имеет полную аналогию с процессом получения физического спектра в колебательном контуре анализатора спектра. В обоих случаях, чтобы получить сигнал (или спектр) с требуемым качеством, необходимо время для его установления, значительно превышающее постоянную времени контура. Математический спектр «устанавливается» мгновенно и поэтому никак не учитывает эту особенность, что и приводит к парадоксам. 117 6. СОГЛАСОВАННАЯ НАГРУЗКА 6.1.Условия передачи максимальной мощности от источника энергии к нагрузке. Практически во всех энергетических и информационных системах происходит передача электрической энергии в той или иной ее форме от некоторого источника к некоторой нагрузке. Как правило, в нагрузку необходимо передать максимально возможную часть мощности источника. В большинстве случаев вообще желательно передать в нагрузку всю мощность, имеющуюся в источнике. Так, например, очевидно, что нет необходимости сохранять какую-либо часть мощности в электростанции. Лучше её всю передать потребителям электроэнергии. Нет необходимости оставлять скольконибудь мощности в передатчике радиостанции. Для увеличения дальности и повышения качества связи желательно направить всю его мощность в антенну. Образно говоря, мы хотели бы передать всю мощность из источника в нагрузку, также как мы переливаем жидкость из одного сосуда в другой. Однако на практике так не получается. Силы, действующие в электрической системе, не позволяют это сделать. И если сравнивать передачу мощности от источника в нагрузку с переливанием жидкости из сосуда в сосуд, то можно представить источник и нагрузку в виде двух одинаковых сосудов, сообщающихся через перемычку с краном (рис. 6.1). Нальём в сосуд-источник жидкость при закрытом кране, а потом откроем его. Мы увидим, что уровни жидкости сравнялись, и в сосуд-нагрузку попала только половина жидкости (мощности), а другая половина осталась в сосуде-источнике. Чтобы перелить её в сосуд-нагрузку до конца, надо приложить к оставшейся жидкости дополнительные силы, например, поднять сосуд-источник над уровнем жидкости в сосуде-нагрузке или выдавить жидкость из сосуда-источника каким-нибудь поршнем. То же самое происходит и при передаче электрической энергии. Таким образом, при построении систем, так или иначе связанных с такой передачей, возникает важная задача - как обеспечить эту передачу и, в частности, как выбрать нагрузку, чтобы в неё попала максимальная мощность источника. Рассмотрим простую электрическую схему, изображённую на рис. 6.2. Это цепь постоянного тока. Общее сопротивление цепи равно R=RИ+RН. Ток в цепи: I=U/R. Мощность, выделяемая в нагрузке, будет равна: Рис. 6.2 Схема цепи постоянного тока 118 P = I 2 RН = U 2 RН ( R И + R Н )2 . Чтобы найти максимум этой мощности, необходимо найти производную dP по dRН  VU  − UV  U  правилу дифференцирования дроби:   = и приравнять её числитель нулю. V2 V  Тогда: U2(RИ+ RН)2 -2U2RН (RИ+ RН)=0. Отсюда: RИ + RН − 2 RН = 0 или RИ = RН При соблюдении этого условия в нагрузку отдаётся мощность Pмакс = U 2 RН = U 2 RН (RН + RН )2 (2 RН )2 = U 2 RН U2 . Нетрудно видеть, что на внутреннем = 4 RН 4 RН2 сопротивлении источника выделяется такая же мощность: Pист = U2 . 4 RИ КПД системы передачи мощности от источника в нагрузку при этом составляет 0,5, поскольку половина мощности выделяется на сопротивлении источника. Таким образом, в наилучшем случае только половина мощности попадёт из источника в нагрузку. Во всех иных слуа) б) Рис. 6.3 Зависимость мощности, выделяемой в нагрузке (а) и КПД системы (б) от отношения сопротивления нагрузки к внутреннему сопротивлению источника чаях доля этой мощности будет ещё меньше. На рисунке 6.3 показана зависимость относительной мощности, передаваемой в нагрузку P/Pmax и КПД системы η от соотношения RН/RИ. Теперь рассмотрим источник переменного тока, который развивает на произвольной частоте ω напряжение u=Ucosωt и в общем случае имеет комплексное внутреннее сопротивление ZИ=RИ+XИ, где RИ и XИ соответственно активная и реактивная части его внутреннего сопротивления. Сопротивление нагрузки также состоит из активной и реактивной частей ZН=RН+XН (рис.6.4). Общая активная нагрузка, на которую работает источник, будет равна (RИ+RН), а общая реактивная часть этой нагрузки будет равна (XИ+XН). Полное сопротивление этой смешанной 119 Рис. 6.4 Схема цепи переменного тока (RИ + RН )2 + ( X И + X Н )2 активно-реактивной цепи определяется по формуле: Z = в этой цепи равен i = . Ток u U = cos t . Тогда активная мощность, выделяемая в нагрузке, Z Z будет равна: p = i 2 RН = U 2 RН U 2 RН 1 2 cos  t =  (1 + cos 2t ) 2 Z2 Z2 Средняя мощность за период: T U 2 RН 1 1 U 2 RН 1 Pср =  pdt =  =  T0 2 Z2 2 ( RИ + RН )2 + ( X И + X Н )2 Сначала определим роль реактивных сопротивлений в получении максимума этой мощности. Очевидно, что при любых значениях RИ и RН активная мощность достигнет наибольшей величины при условии (XИ+XН)=0, т.е. при взаимной компенсации реактивных сопротивлений источника и нагрузки XИ=−XН. Похожая картина возникает в обычном колебательном контуре при резонансе. Когда реактивное сопротивление емкости контура становится равным, но противоположным по знаку реактивному сопротивлению индуктивности, в последовательном контуре создаются условия для получения максимального тока. При XИ=−XН средняя мощность за период будет равна: Pср = U 2 RН 1 . Взяв  2 ( R И + R Н )2 производную этой величины по RН и приравняв ее нулю, мы снова получим условие для выделения максимальной мощности в нагрузке в виде равенства RИ=RН. Таким образом, для получения максимальной мощности в нагрузке, активные сопротивления источника и нагрузки должны быть равны, а их реактивные сопротивления должны быть равны по абсолютной величине, но иметь противоположные знаки. Для их взаимной компенсации напряжения на реактивных сопротивлениях источника и нагрузки должны быть сдвинуты по фазе на 900 в разные стороны относительно тока в цепи. Эти напряжения являются зеркальным отображением друг друга. Если представить сопротивления источника и нагрузки в виде комплексных чисел, то нетрудно заметить, что для передачи максимальной мощности от источника в нагрузку сопротивления источника энергии и потребителя энергии должны быть комплексно сопряжёнными ZИ=RИ+iXИ и ZН=RН−iXН. Следует отметить, что согласование нагрузки и источника является очень широким понятием и проявляется в самых разных областях. 120 Например, именно по этой причине поединки боксеров проводятся в разных весовых категориях, где соперники имеют примерно равный вес. Ведь боксер тяжелого веса не сможет передать мощность своего удара легковесу, поскольку тот просто отлетит прочь. Точно также легковес не сможет передать мощность своего удара тяжеловесу, поскольку, ударив, сам отскочит назад. Передача мощности при ударе будет только тогда эффективной, когда источник удара и «нагрузка», по которой наносится удар, имеют одинаковый вес. Возьмем более близкий нам пример: электрическая батарея нагревает электрическую плиту. Каким должно быть сопротивление плиты, чтобы она отбирала от батареи максимум мощности? Количество тепла, выделяемого электроплитой, пропорционально току в цепи. Если сделать сопротивление плиты значительно более высоким, чем сопротивление батареи, то ток в цепи будет мал и тепла в электроплите выделится очень мало. Если сопротивление плиты сделать значительно более низким, чем сопротивление батареи, то ток в цепи станет очень большим, но тепло будет выделяться, в основном, в электрической батарее, а не в плите. В обоих случаях электроплита дает мало тепла. Наибольшее количество тепла будет выделяться в электроплите, когда сопротивления плиты и батареи будут равны. В этом случае и в батарее и в плите будет выделяться одинаковое количество тепла, равное только 50% от общей мощности батареи. Для согласования сопротивлений источника и нагрузки существует много способов. В механике для передачи максимума мощности используется рычаг. Расширяющийся раструб рупорной антенны согласовывает волновод со свободным пространством. Врач использует стетоскоп, чтобы согласовать акустические сопротивления своего уха и грудной клетки пациента. Сердце человека также согласовано по сопротивлению с системой артерий и вен, хотя это согласование с возрастом ухудшается. 6.2. Согласованная фильтрация сигнала в шуме. Теперь рассмотрим более сложный случай, когда необходимо передать максимум мощности от источника к нагрузке не на одной частоте, а в диапазоне частот. Этот случай является типичной для радиотехники задачей выделения сигнала uс(t), имеющего в некоторой полосе частот спектр U (  ) =   u( t )e − i t dt , из его смеси с шумом uш(t). − Упрощённая схема радиосистемы для этого 121 Рис. 6.5 Упрощённая схема радиосистемы, работающей в полосе частот случая приведена на рис. 6.5. Источником сигнала в данном случае является формирующий фильтр с частотной характеристикой U(ω). При возбуждении этого фильтра коротким импульсом на его выходе формируется сигнал со спектром U(ω), который усиливается в передатчике и излучается в пространство. На приёмной стороне этот сигнал вновь усиливается и попадает в согласованный фильтр, который является нагрузкой и имеет частотную характеристику H(ω). Наша задача – найти H(ω), позволяющую получить на выходе этого фильтра максимальную мощность сигнала, а, следовательно, и максимальное отношение сигнал/шум. При рассмотрении этой схемы предполагаем, что все остальные звенья (антенны, пространство, передатчик, приемник) достаточно широкополосны и не вносят изменений в спектр выходного сигнала формирующего фильтра. Рассмотрим некоторые предположения относительно характера шума, который попадает в согласованный фильтр вместе с сигналом. Если шум стационарный, распределение его произвольно, а зависимость его спектральной плотности от частоты известна и равна Nш(ω), то фильтр, выделяющий сигнал из смеси с таким шумом, называется оптимальным. Если шум имеет нормальное (гауссово) распределение, то его спектральная плотность в полосе частот от 0 до + (в том числе и в полосе частот фильтра) полагается постоянной и равной N Вт/Гц. Если спектры сигнала и шума представлены в комплексной форме, то спектральная плотность нормального шума рассматривается в полосе частот от − до +. В этом случае его спектральная плотность принимается равной N/2 Вт/Гц. Фильтр, выделяющий сигнал из смеси с нормальным шумом, называется согласованным. Спектр сигнала на выходе согласованного фильтра определяется произведением U(ω)H(ω). Являясь сомножителем этого произведения, частотная характеристика фильтра может изменять этот спектр: некоторые участки подчёркивать, увеличивать, а некоторые, наоборот, сглаживать, уменьшать. Эта роль H(ω) имеет основное значение. Чтобы найти сигнал на выходе фильтра uс(t)вых, необходимо применить к спектру U(ω)H(ω). обратное преобразование Фурье: 1 uс ( t )вых = 2   U (  )H (  )e it d . − Мощность этого сигнала на выходе фильтра равна: uс (t )вых  2   1  i t = U (  ) H (  ) e d    4 2  −  2 122 Если шумовое напряжение имеет нормальное распределение и спектр, равномерный в полосе частот от 0 до + (в том числе и в полосе частот фильтра), то спектральная плотность мощности шума на выходе фильтра определяется выражением: N·H2(ω), а мощность шума будет равна: Pш = N 2  H 2 (  )d . − Отношение сигнал/шум представляет практический интерес в момент t0, когда на выходе фильтра формируется максимум сигнала U(t0). Поскольку начало отсчета времени может быть выбрано произвольно, будем полагать t0=0. Тогда отношение сигнал / шум по мощности примет вид: U ( t 0 ) 2 Pш     U (  )H (  )d   =  −  2N  H 2 (  )d 2 − Чтобы найти максимальное значение этого отношения, используем известное из математики неравенство Буняковского-Шварца, которое в общем случае имеет вид: 2     2 2   f 1 ( x ) f 2 ( x ) dx    f 1 ( x ) dx   f 2 ( x ) dx . − −  −  Это неравенство превращается в равенство при f1(х)=f2(x). Если входящие в него функции являются комплексными, то неравенство переходит в равенство при f 2 ( x ) = f 1 ( x ) , где f 1 ( x ) - функция, комплексно-сопряжённая с f1(x). Полагая f1(x)=U(ω), а f2(x)=H(ω) получим:     U (  )H (  )d   =  −  2N  H 2 (  )d U ( t 0 ) 2 Pш 2 −    U ( )d   H ( )d 2  − 2N 2  H − 2 (  ) d 1 = 2N   U ( )d 2 − − Поскольку величина 1 2   U ( ) d  2 является полной энергией сигнала Е, можно − записать U ( t0 ) 2 Pш  E . N 123 Максимальное отношение сигнал/шум будет получено тогда, когда это неравенство перейдет в равенство. Для этого необходимо, чтобы H(ω)=U*(ω). При выполнении этого условия можно записать U ( t0 ) 2 Pш = E . N Таким образом, максимум энергии сигнала выделится в фильтре в момент t0 в том случае, когда его частотная характеристика будет комплексно сопряжённой со спектром сигнала. Комплексная сопряженность частотной характеристики согласованного фильтра и спектра сигнала означает, что амплитудно-частотная характеристика согласованного фильтра должна совпадать со спектром входного сигнала и, следовательно, совпадать с амплитудно-частотной характеристикой формирующего фильтра. Фазо-частотная характеристика согласованного фильтра должна быть равна фазо-частотному спектру сигнала, взятому с обратным знаком и, следовательно, равна зеркальному отражению фазо-частотной характеристики формирующего фильтра. Если частотная характеристика фильтра H(ω) и спектр сигнала U(ω) являются комплексно сопряженными функциями, то отношение сигнал/шум на выходе оптимального фильтра в момент t0 будет равно отношению полной энергии сигнала к спектральной плотности мощности шума Е/N при любом виде частотной характеристики фильтра и спектра сигнала. Если спектральная плотность нормального шума является комплексной величиной и равна N/2 Вт/Гц, то максимальное отношение сигнал/шум примет более известную форму: U ( t0 ) 2 Pш = 2E . N При выводе отношения сигнал/шум не учитывалось усиление или ослабление сигнала при передаче его от формирующего фильтра в согласованный фильтр, а также его задержка во времени и смещение по фазе при распространении в пространстве, поскольку эти параметры не влияют не получение максимального отношения сигнал/шум на выходе согласованного фильтра. В схеме рис. 6.5 прослеживается полная аналогия со схемой рис. 6.4, описанной в предыдущем разделе. Здесь также с одной стороны расположен источник сигнала – формирующий фильтр. Внутреннее комплексное сопротивление этого фильтра имеет активную и реактивную части, изменяющиеся в полосе его рабочих частот. Это, соответственно, амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики фильтра. С другой стороны имеется нагрузка (согласованный фильтр), комплексное сопротивление которой также имеет активную и реактивную части (соответственно, амплитудно124 частотную и фазо-частотную характеристики). Для получения в нагрузке максимума сигнала эти две части системы должны на всех частотах спектра удовлетворять условиям равенства амплитуд (определяемых амплитудно-частотными характеристиками) и противоположности фаз (определяемых фазо-частотными характеристиками). Если спектр рассматриваемого сигнала представить в дискретном виде, то есть в виде набора отдельных частот, расположенных в его рабочей полосе, то для согласования источника и нагрузки на каждой частоте потребуется выполнение условий, приведённых в разделе 6.1. для одночастотной схемы. При объединении результатов, полученных для всех частот, мы вновь получим равенство H(ω)=U*(ω). Таким определяется образом, оптимальная согласованием фильтрация активных и сложных реактивных сигналов сопротивлений фактически источника (формирующего фильтра) и нагрузки (согласованного фильтра). В схеме рис. 6.5. имеются активные элементы: передатчик и приёмник, а также участок пространства, в котором рассеивается значительная часть энергии источника сигнала. Это не позволяет выявить в явном виде другую особенность взаимодействия источника и нагрузки - передачу в нагрузку только половины мощности источника. Для учета этой особенности необходимо учитывать потери в пространстве и усиление сигнала при передаче и приеме. 6.3. Согласование приёмной антенны с пространством Теперь обратимся к случаю, когда энергия поступает в нагрузку непосредственно из открытого пространства. Рассмотрим простую приёмную антенну в виде провода длиной l, на которую падает плоская волна электромагнитного поля с напряженностью Е. ЭДС индукции, которая наводится на антенне под влиянием этого поля, будет равна U=El. В результате антенна становится источником энергии для входной цепи приёмника. Мощность этого источника РПАД=UI, где I − ток в цепи антенна − входная часть приемника, определяемый общим сопротивлением этой цепи, которое состоит из сопротивления самого источника и сопротивления нагрузки. Внутренним сопротивлением этого источника энергии является сопротивление излучения антенны, имеющее активную и реактивную составляющие. Входная цепь приемника, которая является для антенны нагрузкой, также представляет собой сопротивление, имеющее как активную, так и реактивную часть. Таким образом, 125 соединение антенны и входной цепи приёмника можно представить в виде схемы, показанной на рис.6.6. Нетрудно видеть, что эта схема ничем не отличается от схемы рис.6.4 кроме индексов при буквах, обозначающих сопротивления источника энергии. Но, в отличие от обычного источника энергии, имеющего сопротивления RИ и ХИ, у источника энергии − антенны такими сопротивлениями являются её сопротивления Рис. 6.6 Схема соединения сопротивлений антенны и приемника излучения RИзл и ХИзл. При строгом подходе полное активное сопротивление антенны должно включать в себя также сопротивление омических потерь RП в антенне. Но обычно эти потери невелики RП<