Элементы матричной оптики

1 ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЧНОЙ ОПТИКИ Мы будем использовать матричную оптику для описания распространения параксиальных лучей в осесимметричных оптических системах. Т.о. луч распространяется, в основном, в направлении оси 0𝑧𝑧. Для простоты ограничимся рассмотрением лучей, лежащих в плоскости, проходящей через оптическую ось 0𝑧𝑧. В любом интересующем нас месте оптической системы проводим плоскость, перпендикулярную оптической оси, которая называется опорной плоскостью. Пространственное положение луча в опорной плоскости полностью характеризуется его расстоянием 𝑥𝑥 от оси и углом наклона α к оси в этой точке. При использовании параметров 𝑥𝑥 и α будем придерживаться введённого ранее правила знаков. В параксиальном приближении для широкого класса центрированных оптических систем реализуется линейная зависимость параметров луча x и α в двух произвольно выбранных опорных плоскостях. Параметры луча в двух произвольных опорных плоскостях ОП1 и ОП2 связаны функциональной зависимости 𝑥𝑥2 (𝑥𝑥1 , 𝛼𝛼1 ) и 𝛼𝛼2 (𝑥𝑥1 , 𝛼𝛼1 ). В случае параксиального приближения, можно ограничиться линейными членами разложения этих функций: 𝑥𝑥2 (𝑥𝑥1 , 𝛼𝛼1 ) ≈ 𝑥𝑥2 (0,0) + 𝛼𝛼2 (𝑥𝑥1 , 𝛼𝛼1 ) ≈ 𝛼𝛼2 (0,0) + 𝜕𝜕𝑥𝑥2 𝜕𝜕𝑥𝑥2 � 𝑥𝑥1 + � 𝛼𝛼 𝜕𝜕𝑥𝑥1 (0,0) 𝜕𝜕𝛼𝛼1 (0,0) 1 𝜕𝜕𝛼𝛼2 𝜕𝜕𝛼𝛼2 � 𝑥𝑥1 + � 𝛼𝛼 𝜕𝜕𝑥𝑥1 (0,0) 𝜕𝜕𝛼𝛼1 (0,0) 1 Так как для осевого луча в любой опорной плоскости имеем нулевые значения параметров, то 𝑥𝑥2 (0,0) = 0 и 𝛼𝛼2 (0,0) = 0. Следовательно, предыдущие соотношения можно записать так: Рис. Изменение параметров луча при переходе от первой ко второй опорной плоскости 𝑥𝑥2 𝑥𝑥 = 𝐴𝐴 ∙ 𝑥𝑥1 + 𝐵𝐵 ∙ 𝛼𝛼1 𝐴𝐴 � 2 , или в матричной записи �𝛼𝛼 � = � 𝛼𝛼2 = 𝐶𝐶 ∙ 𝑥𝑥1 + 𝐷𝐷 ∙ 𝛼𝛼1 𝐶𝐶 2 𝑥𝑥1 𝐵𝐵 � ⋅ �𝛼𝛼 �. 𝐷𝐷 1 Значения элементов матрицы 𝐴𝐴, 𝐵𝐵, 𝐶𝐶, 𝐷𝐷, очевидно, определяются видом участка оптической системы, заключённого между опорными плоскостями ОП1 и ОП2. Рассмотрим, например, прохождение лучом участка однородной среды длиной 𝑳𝑳, когда обе опорные плоскости находятся в этой среде. В параксиальном приближении имеем однозначную запись 𝑥𝑥2 𝑥𝑥 = 1 ∙ 𝑥𝑥1 + 𝐿𝐿 ∙ 𝛼𝛼1 1 � 2 , или в матричной форме �𝛼𝛼 � = � 𝛼𝛼2 = 0 ∙ 𝑥𝑥1 + 1 ∙ 𝛼𝛼1 2 𝐿𝐿 𝑥𝑥1 � � �. 1 𝛼𝛼1 Рассмотрим, как описывается в параксиальном приближении пересечение лучом плоской границы раздела сред с разными показателями преломления. Пусть слева имеем среду с показателем преломления 𝑛𝑛1 , а справа - с показателем преломления 𝑛𝑛2 . Считаем, что опорные плоскости ОП1 и ОП2 вплотную прилегают к границе раздела сред. Тогда координаты луча в опорных плоскостях совпадают, а преобразование углов наклона луча к оси описывается законом Снелла. Следовательно, связь параметров луча в опорных плоскостях запишется так 𝑥𝑥2 = 1 ∙ 𝑥𝑥1 + 0 ∙ 𝛼𝛼1 1 𝑥𝑥2 , или в матричной форме �𝛼𝛼 � = �0 𝑛𝑛1 𝛼𝛼2 = 0 ∙ 𝑥𝑥1 + �𝑛𝑛2 ∙ 𝛼𝛼1 2 𝑥𝑥1 𝑛𝑛1 � ∙ �𝛼𝛼 �. �𝑛𝑛2 1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥2 = 1 ∙ 𝑥𝑥1 + 0 ∙ 𝛼𝛼1 1 � , или в матричной форме �𝑛𝑛 𝛼𝛼 � = � 𝑛𝑛2 ∙ 𝛼𝛼2 = 0 ∙ 𝑥𝑥1 + 𝑛𝑛1 ∙ 𝛼𝛼1 2 2 𝑥𝑥1 � ∙ �𝑛𝑛 𝛼𝛼 � 1 1 1 � Можно изменить последнюю запись следующим образом: Сравнение этих двух вариантов записи демонстрирует две возможности записи лучевого вектора-столбца: 𝑥𝑥1 𝑥𝑥1 �𝛼𝛼 � и �𝑛𝑛 𝛼𝛼 �. 1 1 1 Второй способ записи обладает очевидным преимуществом: описание перехода любых плоских границ раздела сред даётся единичной матрицей. Однако, «платой» за это удобство, в частности, является отказ от геометрической очевидности в записи лучевого вектора-столбца. Кроме того, в дальнейшем приходится вводить понятие приведённой длины участка и все эти условности всё время держать в голове. В дальнейшем будем придерживаться первого варианта записи лучевого вектора-столбца. Если входная и выходная опорные плоскости находятся в средах с одинаковыми показателями преломления, то определитель лучевой матрицы равен единице: 𝐴𝐴 ∙ 𝐷𝐷 − 𝐵𝐵 ∙ 𝐶𝐶 = 1 Итак, нами получены выражения для лучевых матриц в двух случаях. Во-первых, лучевая матрица для участка однородной среды длиной 𝑳𝑳 , когда обе 1 𝐿𝐿 опорные плоскости находятся в этой среде, имеет вид: 𝑚𝑚 = � �. 0 1 Во-вторых, в случае пересечения лучом границы раздела сред с показателями преломления 𝒏𝒏𝟏𝟏 и 𝒏𝒏𝟐𝟐 имеем лучевую матрицу 1 𝑚𝑚 = � � 𝑛𝑛1 ⁄𝑛𝑛2 Теперь мы можем получить выражение для лучевой матрицы плоской пластины толщиной 𝑳𝑳 с показателем преломления n, находящейся в вакууме. Причём, опорные плоскости совпадают с плоскостями пластины и находятся вне этой пластины, то есть в вакууме: плоскости ОП1 и ОП2 на рисунке. Опорные плоскости ОП1 и ОП2 совпадают с плоскостями границами пластины и находятся внутри этой пластины Чтобы получить искомое выражение, будем рассматривать поэтапное прохождение 𝑥𝑥1 лучом этой пластины. Пусть луч в ОП1 описывается вектором-столбцом �𝛼𝛼 �. 1 Мы уже рассмотрели закон преобразования параметров луча при пересечении плоской границы раздела сред, когда происходит переход из среды с показателем преломления равным единице в среду с показателем преломления 𝑛𝑛 (переход от ОП1 и ОП3). Вектор-столбец луча в опорной плоскости ОП3 связан с вектором-столбцом луча в опорной плоскости ОП1 соотношением 𝑥𝑥3 𝑥𝑥1 1 �𝛼𝛼 � = � � �𝛼𝛼 �. 0 1⁄𝑛𝑛 3 1 Нами уже рассмотрено преобразование параметров луча при переходе от ОП3 к ОП4 (прохождение участка однородной среды длиной L): 𝑥𝑥4 1 �𝛼𝛼 � = � 4 𝐿𝐿 𝑥𝑥3 � � �. 1 𝛼𝛼3 𝑥𝑥2 1 �𝛼𝛼 � = � 2 0 𝑥𝑥4 � � �. 𝑛𝑛 𝛼𝛼4 𝑥𝑥2 1 �𝛼𝛼 � = � 2 0 𝑥𝑥4 1 � �𝛼𝛼 � = � 𝑛𝑛 4 Наконец, луч пересекает границу раздела сред, заключённую между ОП4 и ОП2. Соответствующее преобразование вектора-столбца: Связь параметров луча в ОП2 с его параметрами в ОП1 получается из этих трёх выражений при их последовательной подстановке: 0 1 �� 𝑛𝑛 0 𝐿𝐿 𝑥𝑥3 1 � �𝛼𝛼 � = � 1 3 0 1 �� 𝑛𝑛 0 𝐿𝐿 1 �� 1 0 𝑥𝑥1 � � �. 1⁄𝑛𝑛 𝛼𝛼1 Как должно быть известно студентам из курса линейной алгебры, произведение матриц ассоциативно, но не коммутативно. То есть можно перемножать соседние матрицы в любом порядке (ассоциативность), но нельзя менять их местами (не коммутативность). Выберем, например, такой порядок умножения: 1 𝑚𝑚 ≡ � 0 1 �� 𝑛𝑛 0 𝐿𝐿 1 �� 1 0 1 𝐿𝐿 1 �� �= � 1⁄𝑛𝑛 0 𝑛𝑛 0 1 𝐿𝐿⁄𝑛𝑛 �. �=� 1⁄𝑛𝑛 1 Итак, преобразование параметров луча при переходе ОП1 → ОП2 имеет вид: 𝑥𝑥2 1 �𝛼𝛼 � = � 2 𝐿𝐿⁄𝑛𝑛 𝑥𝑥1 � �𝛼𝛼 �. 1 1 Следует обратить внимание на порядок записи матриц, описывающих последовательное преобразование вектора-столбца: они следуют справа налево. Матрица перехода сферической границы раздела сред с радиусом кривизны 𝑅𝑅 и показателями преломления сред 𝑛𝑛1 и 𝑛𝑛2 имеет вид: 1 𝑚𝑚 = �𝑛𝑛1 − 𝑛𝑛2 𝑛𝑛2 𝑅𝑅 𝑛𝑛1 � 𝑛𝑛2 Рис. Прохождение сферической границы раздела сред. Легко убедиться, что при устремлении радиуса кривизны к ∞, когда граница раздела сред становится плоской, получаем выражение для лучевой матрицы, описывающей плоскую границу раздела сред. ЗАДАЧА. Получить выражение для лучевой матрицы, описывающей тонкую линзу. Определение «тонкая» означает, что по прохождении линзы изменяется лишь наклон луча к оси 0𝑧𝑧, а расстояние до оси не изменяется. Опорные плоскости ОП1 и ОП2 касаются сферических поверхностей линзы с радиусами кривизны 𝑅𝑅1 и 𝑅𝑅2 и находятся вне линзы (в среде с показателем преломления 1). Опорная плоскость ОП3 находится внутри линзы (в среде с показателем преломления 𝑛𝑛). РЕШЕНИЕ. Как и в случае плоской пластины, будем рассматривать поэтапное преобразование параметров луча при переходе ОП1 → ОП3 → ОП2 . 𝑥𝑥1 В ОП1 луч описывается вектором-столбцом �𝛼𝛼 �. 1 𝑥𝑥3 𝑥𝑥1 1 Тогда �𝛼𝛼 � = �(1 �� � − 𝑛𝑛)⁄𝑛𝑛 𝑅𝑅1 1⁄𝑛𝑛 𝛼𝛼1 3 Аналогично, 𝑥𝑥2 �𝛼𝛼 � = �(𝑛𝑛 2 1 − 1)⁄ 𝑅𝑅2 0 𝑥𝑥3 1 � �𝛼𝛼 � = �(𝑛𝑛 𝑛𝑛 − 1)⁄ 𝑅𝑅2 3 1 � �(1 𝑛𝑛 − 𝑛𝑛)⁄𝑛𝑛 𝑅𝑅1 1 1 𝑥𝑥1 (𝑛𝑛 (1 − 1) − 𝑛𝑛) =� � � � = �−(𝑛𝑛 − 1) � 1 − 1 � + 1 𝛼𝛼1 𝑅𝑅1 𝑅𝑅2 𝑅𝑅2 𝑅𝑅1 Итак, лучевая матрица тонкой линзы имеет вид: 1 𝑚𝑚 = �− 1 𝑓𝑓 1� , где 1 1 1 = (𝑛𝑛 − 1) � − � 𝑓𝑓 𝑅𝑅1 𝑅𝑅2 𝑥𝑥1 � �= � 𝛼𝛼 1⁄𝑛𝑛 1 1 𝑥𝑥1 1 1� �𝛼𝛼1 � ≝ �− 𝑓𝑓 𝑥𝑥1 � � � 𝛼𝛼 1 1