Элементарные частицы в квантовой механике. Уравнение Клейна – Гордона. Релятивистское уравнение для частицы с нулевым спином.

Лекция №7 § 11. Элементарные частицы в квантовой механике. Уравнение Клейна – Гордона. Релятивистное уравнение для частицы с нулевым спином. Когда рассматривается движение релятивистких частиц, то от ряда положений, фигурируемых в квантовый механике нерелятивистких частиц надо отказаться 1) Понятие изолированной частицы теряет cмысл. 2) Теряет смысл представление о неизменности числа частиц. 3) Уравнения, описывающие релятивисткие частицы, должны быть инвариантны относительно преобразований Лоренца. 4) Требуется изменение понятия координаты частицы ℏ 𝐩2 ∆x~ , > 2mc 2 . 4mc 2m Если имеется неопределённость в положении ∆x > ℏ/mc, то неизбежна и определённость во времени ∆t~∆x/c > ℏ/mc 2 . 5) Понятие плотности вероятности ρ(𝐫, t) положения частицы в определённый момент времени требует пересмотреть. Неопределённость значения импульса определяется соотношением ℏ ∆p~ . ∆x Поскольку неопределённость скорости частицы в релявисткой теории не может превышать с, то ∆x~c∆t, где ∆t − промежуток времени, в течение которого реализуется данные состояние движения. Таким образом, ∆p~ ℏ ℏ ~ . ∆x с∆𝑡 В случае свободного движения частиц (стационарное состояние) Следовательно, ∆p = 0. ∆𝑡~∞. 6) Необходимо использовать импульсное представление Как было ранее показано, уравнение Шредингера iℏ ∂Ψ ℏ2 2 = {− ∇ + u(𝐫)} Ψ ∂t 2m (7.1) соответствует нерелятивисткой связи между энергией и импульсом частоты, имеющем массу m: E= Уравнение преобразования можно 𝐩2 + U(𝐫). 2m получить, формальным (7.2) путём из (7.2) с помощью E → iℏ ∂ , p̂ → iℏ𝛁 ∂t (7.3) В случае свободного движения частицы такая связь имеет вид E2 = 𝐩2 + m20 c 2 . c2 (7.4) где m0 − масса покоя. Заменяя в (4) энергию и импульс операторами согласно (7.3) получим релятивистное волновые уравнение для свободного движения частиц ℏ2 ∂ 2 Ψ = [ℏ2 ∇2 − m20 c 2 ]Ψ c 2 ∂t 2 (7.5) Это уравнение называется уравнением Клейна-Гордона. При наличие электромагнитного поля вместо (7.3) следует постаить ̂=− E→E ̂= ̂→Р 𝐩 ℏ∂ − eФ i ∂t ℏ e 𝛁 − 𝐀. i c (7.6) Тогда получаем релятивистное уравнение при наличие электромагнитного поля [(− 2 ℏ∂ ℏ e 2 − eФ) − c 2 ( 𝛁 − 𝐀) − m20 c 2 ] Ψ = 0. i ∂t i c (7.7) Релятивисткая инвариантность этого соотношения проявляется более явно, если ввести четырёхмерный вектор импульса, компоненты которого определяются равенством E pμ = {px , py , pz , i } c (7.8) Тогда соотношения между энергией и импульсом примет вид 4 ∑ p2μ = −m20 c 2 . (7.9) μ=1 Следовательно, переход к операторам примет вид pμ → p̂μ = iℏ ∂ , ∂xμ (7.10) где xμ = (x, y, z, ict). Тогда используя эти соотношения, уравнение Клейна – Гордона можно записать (∑ p̂2μ + m20 c 2 ) Ψ = 0 . (7.11) μ Если умножить уравнение (5) на Ψ∗ , а уравнение ℏ2 ∂ 2 Ψ ∗ = [ℏ2 ∇2 − m20 c 2 ]Ψ∗ c 2 ∂t 2 (7.12) ему сопряжённое на Ψ, а затем вычесть, то получим 1 ∂2 ∂2 ∗ ∗ −Ψ ∇ Ψ + Ψ∇ Ψ + 2 (Ψ Ψ − Ψ 2 Ψ ) = 0. c ∂t 2 ∂t ∗ 2 2 ∗ (7.13) Последнее равенство преобразуем к виду div{ΨgradΨ ∗ − Ψ ∗ gradΨ} + 1 ∂ ∂ ∂ {Ψ∗ Ψ − Ψ Ψ∗ } = 0. 2 c ∂t ∂t ∂t (7.14) Если мы теперь определим плотность заряда и плотность тока в виде ieℏ ∂Ψ ∂Ψ∗ ∗ [Ψ − ( ) Ψ] 2m0 c 2 ∂t ∂t eℏ [Ψ ∗ 𝛁Ψ − (𝛁Ψ∗ )Ψ] 𝐣= 2im0 ρ= (7.15) то увидим, что выполняется уравнение непрерывности div𝐣 + ∂ρ =0, ∂t (7.16) которое, как известно, имеет релятивистки инвариантную форму. Это особенно наглядно видно, если ввести четырёхмерный вектор плотности тока jμ = eℏ ∂Ψ ∂Ψ∗ [Ψ∗ −( ) Ψ] , 2im0 ∂xμ ∂xμ (7.17) где jμ = (jx , jy , jz , icρ). Переход от релятивисткого уравнения Клейна – Гордона к нерелятивсткому уравнению Шредингера можно осуществить с помощью унитарного преобразования im0 c 2 t Ψ(𝐫, t) = φ(𝐫, t) exp [− ]. ℏ (7.18) Подставляя это преобразование в уравнение Клейна – Гордона и вычисляя производные по времени, получим −2iℏm0 c 2 ∂φ ∂2 φ − ℏ2 2 = ℏ2 c 2 ∇ 2 φ . ∂t ∂t Поделив это уравнение на 2im0 c 2 , получим ∂φ ℏ2 ∂ 2 φ ℏ2 2 −iℏ − = ∇ φ. ∂t 2m0 c 2 ∂t 2 2m Переходя к нерелятивскому пределу, получим уравнение Шредингера iℏ ∂φ ℏ2 2 =− ∇ φ. ∂t 2m (7.19) Подставляя преобразование (7.18) в выражение для плотности тока и плотности заряда и переходя к нерелятивисткому пределу получим: ρ = eφ∗ φ ; 𝐣= eℏ [Ψ ∗ 𝛁Ψ − (𝛁Ψ∗ )Ψ] . 2m0 i (7.20) Главной особенностью релятивисткого уравнения Клейна – Гордона является то, что оно – уравнение второго порядка относительно времени. Поэтому для определения изменения волновой функции с течением времени надо знать значение самой функции и её производной в начальный момент времени. Поскольку значение Ψ и ∂Ψ/ ∂t в начальный момент могут быть произвольными, то плотность зарядов ρ может быть как «+», так и «–» величиной и даже равной нулю. ∫ ρ dτ = const. (7.21) Плотность зарядов ρ определяет разность между числом положительных и числом отрицательных зарядов, поэтому она не является положительно определённой величиной. Для частиц без электрического заряда ρ = 0.