Электротехника и схемотехника. Основы радиотехнических цепей и сигналов

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧЕРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИБОРОСТРОЕНИЯ И ИНФОРМАТИКИ __________________________________________________________ В. В. Филинов Электротехника и схемотехника. Основы радиотехнических цепей и сигналов УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ (КУРС ЛЕКЦИЙ) Учебноепособие Курс лекций Москва-2014 УДК 621.38 ББК 32.85 Рекомендовано к изданию в качестве учебного пособия редакционно-издательским советом МГУПИ Рецензент: д.т.н, профессор Покровский А.Д., профессор кафедры «Электротехника и интроскопия» МЭИ (Национальный исследовательский университет) Филинов В.В. Электротехника и схемотехника. Основы радиотехнических цепей и сигналов. Учебное пособие (курс лекций). М.: МГУПИ, 2014. Учебное пособие предназначено для студентов (бакалавров и специалистов) специальностей по радиотехнике и информационной безопасности, слушающих курс лекций «Электроника и схемотехника», полезно для изучения лекционных материалов по разделу «Радиотехнические цепи и сигналы», выполнения практических, расчетно-графических и лабораторных работ. Учебное пособие написано в соответствии с Государственным стандартом Минобрнауки РФ по дисциплине «Электроника и схемотехника» для студентов факультетов информационной безопасности и подготовлена с использованием специальных курсов [1, 2, 3]. Полезно преподавателям, аспирантам и магистрам этих факультетов. Утверждено и рекомендовано решением УМС факультета приборостроения и радиоэлектроники МГУПИ в качестве учебного пособия © Московский Государственный Университет Приборостроения и Информатики, 2014 © Филинов В. В., 2014 Оглавление Глава 1. Общие сведения об электрических и радиотехнических цепях 5 1.1 Главные задачи электротехники и радиотехники 5 1.2 Радиотехнический канал связи 10 1.3 Классификация сигналов 13 1.4 Вопросы и задания для самопроверки: 14 Глава 2. Сигналы и их основные характеристики 15 2.1 Энергетические характеристики вещественного сигнала 15 2.2 Корреляционные характеристики детерминированных сигналов 17 2.3 Вопросы и задания для самопроверки: 23 Глава 3. Сигналы и спектры 24 3.1 Спектры сигналов 24 3.2 Простейшие разрывные функции 27 3.3 Методы анализа электрических цепей 31 3.4 Вопросы и задания для самопроверки 35 Глава 4. Спектральный анализ сигналов 37 4.1 Представление периодического воздействия рядом Фурье 37 4.2 Спектры амплитуд и фаз периодических сигналов 48 4.3 Спектральный анализ цепи 56 4.4 Представление непериодического воздействия интегралом Фурье 57 4.5 Спектральные плотности амплитуд и фаз непериодических сигналов 62 4.6 Примеры определения спектральной плотности сигналов 79 4.7 Определение активной длительности сигнала и активной ширины его спектра 89 4.8 Вопросы и задания для самопроверки: 91 Глава 5. Комлексная передаточная функция и частотные характеристики цепи 93 Глава 6. Спектральный анализ цепей при непериодических воздействиях 98 6.1 Вопросы и задания для самопроверки гл. 5, 6: 101 Глава 7. Представление непериодических сигналов интегралом Лапласа 102 7.1 Вопросы и задания для самопроверки: 114 Глава 8. Электрические цепи радиотехнических сигналов 115 8.1 Цепи с распределенными параметрами 115 8.1.1 Длинные линии и телеграфные сигналы 115 8.1.2. Коэффициент отражения, стоячие и смешанные волны 120 8.1.3. Задерживающие цепи (Линия задержки) 124 8.2 Частотный принцип преобразования радиотехнических сигналов 129 8.2.1 Модулированные сигналы и их спектры 130 8.2.2. Электрические фильтры 137 8.2.3. Нелинейный элемент и воздействие на него одного сигнала. 141 8.2.4. Воздействие на нелинейный элемент двух сигналов. 144 8.3 Вопросы и задания для самопроверки: 151 Литература 153 Глава 1. Общие сведения об электрических и радиотехнических цепях 1.1 Главные задачи электротехники и радиотехники Электротехника и радиотехника являются науками, изучающими физические процессы в электромагнитном поле и технические методы использования его энергии для практических целей. Электромагнитное поле представляет собой один из видов материи. Оно характеризуется связанными между собой электрическими и маг­нитными явлениями, которые следует рассматривать как две стороны единого процесса. Радиотехника, возникшая и первоначально развивавшаяся как часть электротехники, имеет с ней много общих черт, что дает основа­ние для изучения в этой книге как электрических цепей, применяемых и в электротехнике, и в радиотехнике, так и тех цепей, которые пред­назначены для решения специфических задач радиотехники. Однако назначение современной радиоаппаратуры и физические процессы, положенные в ее основу, во многом отличаются от целей и принципов действия электротехнических устройств. Главной задачей электротехники является передача и использование электромагнитного поля для приведения в действие мощных машин, механизмов, источников света, тепла и для других энергетических преобразований. Основная задача современной радиотехники заключается в использовании электромагнитного поля для передачи на расстояние различного рода информации, т. е. сообщений о тех или иных процессах, фактах, событиях и т.п. Аналогичные цели преследует и электропроводная связь, однако, в отличие от нее, радиотехника осуществляет передачу информации без посред­ства проводов между отправителем и получателем сообщений. С этой целью радиотехника использует свободно распространяющееся в пространстве электромагнитное поле, называемое полем излу­чения. Рассмотрим несколько подробнее основные задачи, являющиеся общими для электротехники и радиотехники, а затем остановимся на тех конкретных особенностях, которые отличают их друг от друга. Из сказанного выше следует, что как в электротехнике, так и в ра­диотехнике должны изучаться методы передачи электромагнитного поля из одной точки пространства в другую и способы последующего преобразования энергии поля в какой-либо иной вид энергии (механи­ческую, акустическую, тепловую и т.п.). Обычно говорят о передаче энергии из одного пункта в другой. Однако эти слова следует понимать условно; в действительности речь идет о перемещении в пространстве определенного вида материи, являющейся носителем энергии. В самом деле, энергия наряду с мас­сой является неотъемлемым свойством материи, мерой ее движения. Нет материи, не обладающей, массой, так же как не может быть энер­гии, не связанной с тем или иным материальным объектом. В электро­технике и радиотехнике таким видом материи, несущим электромаг­нитную энергию, и является электромагнитное поле. Итак, общими для электротехники и радиотехники являются три основные научно-технические проблемы. 1. Генерирование электромагнитного поля посредством устройств, называемых генераторами, или передающими уст­ройствами. 2. Передача электромагнитного поля от генератора к потребителю через разделяющую их среду, которая может быть названа линией передачи. 3. Преобразование и использование отправленного передающим устройством электромагнитного поля и несомой им энергии в терри­ториально отдаленном пункте для тех или иных практических целей при помощи специального приемного устройства. В электротехнике электромагнитное поле передается из одной точки пространства в другую вдоль проводов, соединяющих эти точки. Благодаря наличию проводов удается осуществить высокую степень концентрации электромагнитного поля и носимой им энергии в пространстве диэлектрика, окружающего провода. Поэтому прием­ного пункта достигает почти вся энергия, поступающая на вход ли­нии, соединяющей генератор с потребителем. Лишь относительно небольшая часть ее расходуется (бесполезно теряется) в соединительной линии. Эти замечательные свойства переноса электромагнитного поля вдоль проводов позволяют осуществить в электротехнических системах эффективную передачу на значительные расстояния мощных электромагнитных полей, энергия которых используется для приве­дения в действие мощных машин, приборов, источников света, тепла и т. п. Радиотехника позволяет решить проблему передачи элект­ромагнитного поля без помощи соединительных проводов. Излучаемое электромагнитное поле, распространяясь в свободном пространстве, рассеивается в значительном объеме, и только небольшая часть энер­гии поля достигает места приема. Поэтому переданная без проводов энергия не может быть непосредственно использована для приведения в действие сколько-нибудь мощных механизмов. Она служит для передачи сигналов, несущих ту или иную информацию. Характер и форма сигналов соответствуют передаваемому сообщению; их источ­ником является отправитель информации. Так, например, речевые сигналы производятся голосовыми связками говорящего человека. Первичные сигналы, несущие передаваемое сообщение, преобра­зуются в электрические (вторичные) сигналы, т. е. в электрические колебания, изменяющиеся во времени по тому же закону, что и пер­вичные сигналы. В радиотехнике сигналы того или иного назначения (телеграф­ные, телефонные, телевизионные и т. п.) передаются от отправителя к получателю без проводов. Главная цель, которая здесь преследуется, состоит в том, чтобы принятые сигналы были по возможности совер­шенно подобны отправленным (неискаженная передача) и чтобы дей­ствие неизбежных внешних помех было минимальным. Энергетиче­ские соображения при этом отодвигаются на второй план. Даже нич­тожно малая энергия принятого сигнала оказывается достаточной для приведения в действие очень чувствительных приборов современ­ного радиоприемного устройства. В нем осуществляется обратное преобразование электрических сигналов в исходные. Так, при приеме речевых сигналов телефон на выходе приемника преобразует электри­ческие колебания в звуковые, которые воспринимаются ухом человека. В электротехнике и радиотехнике широко используются процессы, при которых напряженность поля, напряжение, ток и т. д. изменяются во времени по синусоидальному закону. Промежуток времени, по исте­чении которого значения этих величин повторяются, носит название периода Т. Величина, обратная периоду называется частотой и измеряется в герцах (циклах в секунду). В некоторых случаях удобно пользоваться более крупными еди­ницами: 1 килогерц (кГц) = 103Гц ; 1 мегагерц (МГц) = 103кГц 1 гигагерц (ГГц) = 103МГц; 1 терагерц (ТГц) = 103ГГц. Электромагнитное поле, распространяющееся в пространстве с не­которой скоростью ,называют электромагнитной волной. За период Т электромагнитная волна распространяется на расстояние длины волны Для вакуума и воздуха скорость и длина волны где f — в герцах. В ряде случаев оказывается удобным количественно характеризо­вать периодичность процесса не частотой, а длиной волны. Вместо того, чтобы говорить о частоте колебаний f, говорят об их длине волны, а переход от одной величины к другой может быть произведен при помощи формулы (1.3). Как доказывается в теории электромагнитного поля, эффективное излучение электромагнитных волн с целью последующего их распро­странения без проводов возможно лишь в том случае, если размеры излучающей системы, называемой антенной, соизмеримы с дли­ной волны электрических колебаний. Ввиду того, что практически осуществимые размеры антенных систем ограничены конструктивными (габаритными) соображениями, в радиотехнике в большинстве случаев используют достаточно короткие электромагнитные волны, т.е. до­статочно высокие частоты колебаний. Электромагнитные волны, используемые для передачи информа­ции радиотехническими методами, называются радиоволнами. Наиболее низкими частотами, которые находят применение в ра­диотехнике для беспроводной передачи сигналов, являются частоты порядка 5—10 кГц. Им соответствуют волны длиной 6000—30000м. С точки зрения эффективности излучения радиоволн желательно применять возможно более высокие частоты. Однако при выборе и оценке величины, радиочастот необходимо учитывать их некоторые специфические особенности. Важнейшими из них являются условия распространения радиоволн при их движении вдоль (или внутри) земли и в пространстве, ее окружающем, а также методы генерирова­ния и использования колебаний различных частот. Таблица 1.1 Классификация радиочастот (радиоволн) Наименование волн Длина волны Частота Сверхдлинные (СДВ)............ Длинные (ДВ)……...………. Средние (СВ).……...………. Короткие (КВ)……………… Ультракороткие (УКВ)….... метровые………………...... дециметровые……...…….. сантиметровые…………… миллиметровые…………... субмиллиметровые………. инфракрасные……………. световые………………….. > 10 000м 10 000 – 1000 м 1 000 – 100 м 100 – 10 м <10 м 10 – 1 м 10 – 1 дм 10 – 1см 10 – 1мм 1 – 0,4мм 0,4мм – 0,76мкм 0,76мкм – 0,4мкм < 30 кГц 30 – 300 кГц 300 – 3000 кГц 3 – 30 МГц > 30 МГц 30 – 300 МГц 300 – 3000 МГц 3 – 30ГГц 30 – 300ГГц 300 – 750ГГц 0,75 – 395ТГц 395 – 750ТГц Примечание. Частоты, соответствующие длинным и средним волнам, иногда называют умеренно высокими, а частоты, соответствующие ультра­коротким волнам — сверхвысокими (СВЧ). Современная радиотехника имеет делос чрезвычайно широким диапазоном частот, которые можно классифицировать согласно табл. 1.1. Приведенную в таблице классификацию радиочастот и соответствую­щих им волн нельзя считать твердо установившейся. Для развития радиотехники характерно освоение все новых диапазонов. В частности, включение в таблицу радиоволн колебаний инфракрасного и световогодиапазонов стало возможным благодаря успехам, достигнутым в последние годы электроникой и радиотехникой. Если для осуществления эффективного излучения радиоволн необходимы очень высокие частоты, то для решения многих других радиотехнических задач требуются как постоянные токи (f = 0), так и токи низких частот. Таким образом, для радиотехники харак­терно использование самых различных колебаний, имеющих частоты, лежащие в пределах от нуля до величин, превышающих миллиарды герц. Естественно, что электротехника, имеющая дело с передачей энер­гии вдоль проводов, свободна от высказанных выше требований в от­ношении частоты колебаний. Наряду с постоянными токами чаще всего здесь находят применение колебания стандартной частоты 50 Гц(в США – 60 Гц). Наибольшие частоты, с которыми мы встречаемся в электротехнике, не превышают немногих сотен или тысяч герц. Столь большое количественное различие в частотах, используемых в электротехнике и радиотехнике, приводит к тому, что технические приемы, которые с успехом применяются в электротехнических си­стемах, оказываются совершенно непригодными в радиотехнике. Более того, многие физические представления, основанные на неко­торых допущениях и удовлетворительно характеризующие явления при низких частотах, становятся несправедливыми при переходе к высоким частотам. Количественныеизменения приводят к необходимости качественного изменения ряда представлений и методов осуществления технических устройств. Эти отличия заставляют говорить о радиотехнике как о большой самостоятельной отрасли науки. В последние годы в развитии радиотехники наметились тенденции, которые, возможно, приведут к некоторому уменьшению отмеченных выше различий между электротехникой и радиотехникой. Так следует отметить, что в настоящее время проводятся опыты применения для подземной и подводной радиосвязи весьма низких частот, которые уже мало отличаются от используемых в электротехнике. С другой стороны создание генераторов, излучающих узкий пучок световых лучей (лазеров), открывает новые пути для построения систем беспроводной передачи не только сигналов, несущих информацию, но и значительного количества энергии при высоком коэффициенте полезного действия. Роль электротехники и радиотехники в современной жизни не ограничивается решением задач передачи электромагнитной энергии на расстояние; электротехнические и в особенности радиотехниче­ские методы находят все более широкое применение в современной науке, технике и промышленности. Успехи радиотехники привели к возникновению такой широкой науки как радиоэлектро­ника, которая развивает методы радиотехники и электроники (науки об электронных приборах и их применениях) для решения многих разнообразных задач, возникающих в самых различных отраслях науки и техники. Наконец, радиотехника положила начало разви­тию некоторых новых наук, в числе которых может быть названа радиоастрономия, чрезвычайно расширившая возможности познания и изучения вселенной, радиоспектроскопия, играющая большую роль визучении строения атома всовременной физике, и другие. 1.2 Радиотехнический канал связи Каналом передачи информации является совокупность средств, используемых для этой цели. Канал передачи информации с по­мощью электромагнитных колебаний называется радиотехниче­ским каналом связи. На передающем конце канала информация преобразуется в электрический сигнал. Промодулированное этим сигналом высоко­частотное колебание излучается антенной передатчика и принима­ется антенной приемника. В приемнике осуществляется усиление принятых высокочастотных модулированных колебаний и демоду­ляции их — выделение передаваемого сигнала. Рассмотрим структурную схему (рис. 1.1) и назначение отдель­ных блоков канала связи. Датчик – устройство, вырабатывающее электрический сигнал, соответствующий поступающей информации. Датчиком может служить микрофон при передаче речи и музыки, передающая трубка или светочувствительная матрица при передаче изображений, при­бор, преобразующий температуру, давление, скорость, деформа­цию или другую физическую величину в электрический сигнал. Рис. 1.1 Структурная схема канала связи Кодирующее устройство выполняет функцию преобразования электрического сигнала, полученного от датчика, в электрический сигнал другой формы, более пригодной для запоминания и пере­дачи. Например, напряжение датчика температуры преобразуется в последовательность импульсов, соответствующих значению температуры в дискретные моменты времени. Запоминающее устройство хранит закодированный сигнал до момента его передачи. Например, информация на космическом ко­рабле накапливается непрерывно на протяжении всего полета, а передается в сеансах связи, когда сигналы с корабля могут прини­маться наземными станциями. Передатчик состоит из генератора колебаний несущей частоты и модулятора. Генератор колебаний несущей частоты генерирует гармониче­ские высокочастотные электромагнитные колебания,способные распространяться на большие расстояния. Используется широкий диапазон волн – от километровых до световых (микрометровых). Основным требо­ванием к генератору является высокая стабильность частоты ге­нерируемых колебаний. Модуляторосуществляет модуляцию одного или нескольких параметров (амплитуды, частоты, фазы и др.) высокочастотного колебания по закону передаваемого сигнала. Передающая антенна излучает высокочастотные электромаг­нитные колебания, промодулированные передаваемым сигналом. Приемная антенна принимает промодулированные высокоча­стотные электромагнитные колебания, которые затем поступают на вход приемника. Приемник состоит из избирательного усилителя, детектора, де­кодирующего и оконечного устройств. Избирательный усилитель выделяет и усиливает из множества сигналов, принимаемых антенной, требуемое высокочастотное мо­дулированное колебание. Детектор осуществляет процесс, обратный модуляции – выде­ляет из высокочастотного модулированного колебания сигнал, ко­торым в передатчике была осуществлена модуляция. Декодирующее устройство преобразует принятый закодирован­ный сигнал к форме, удобной для обработки в оконечном устрой­стве. Оконечное устройство преобразует электрический сигнал в информацию, представленную в той или иной форме, например, в звук при передаче речи или музыки, в изображение при приеме телевизионного сигнала, в запись на ленте при телеметрии, в команду исполнительному органу при телеуправлении и т. п. Структурная схема канала связи, показанная на рис. 1.1, приме­няется, например, при передаче данных с космического корабля на Землю. В более простых случаях ряд операций, над сигналами, а следовательно, и ряд блоков, показанных на рис. 1.1, отсутствует. В простейшем канале связи могут отсутствовать блоки кодирова­ния, запоминания и декодирования. Радиолокационные устройства представляют собой также свое­образные системы передачи информации. Здесь модуляция коле­баний, излучаемых передатчиком, осуществляется вне передатчи­ка, в пространстве, где луч радиолокатора отражается от цели. Передаваемый по радиотехническому каналу сигнал подверга­ется воздействию помех. Источником внешних помех являются ат­мосферные явления, шумы космического пространства, индустри­альные помехи, помехи радио и медицинской аппаратуры, а в во­енной технике – помехи, искусственно создаваемые станциями ра­диопротиводействия противника. Внутренние помехи возникают вследствие дискретной природы заряженных частиц (тепловые и дробовые шумы), а также из-за несовершенства передающей и приемной аппаратуры (шумы кван­тования, наводка от цепей питания, перекрестная модуляция и т. п.). Под действием помех сигнал, проходя через канал связи, ис­кажается и может быть расшифрован неправильно. Одной из ос­новных задач при организации канала связи является снижение вероятности ошибок при приеме сигналов или, иными словами, по­вышение помехоустойчивости канала радиосвязи. Повышение помехоустойчивости обычно влечет за собой увели­чение стоимости канала связи. Поэтому вопросы помехоустойчи­вости и стоимости канала связи решают совместно, находя прием­лемые компромиссы. Часто требуется передавать информацию о нескольких пара­метрах, характеризующих состояние объекта, например, о темпе­ратуре, давлении и влажности в кабине летательного аппарата. Для этого радиолиния должна содержать несколько разделенных каналов передачи информации. Наибольшее распространение на­шли два способа разделения каналов: частотное и временное. При частотном разделении каналов высокочастотное (несущее) колебание модулируется несколькими колебаниями более низких частот, называемыми поднесущими. Каждое поднесущее колеба­ние модулируется сигналом, содержащим информацию об одном из передаваемых параметров. На приемном конце линии связи модулированное колебание несущей частоты усиливается и детек­тируется. Продетектированное колебание разделяется фильтрами, каждый из которых настроен на соответствующую поднесущую частоту. На выходе каждого фильтра включен детектор, который выделяет сигнал, соответствующий сигналу, передаваемому на данной поднесущей частоте. При временном разделении каналов сигналы, несущие инфор­мацию о различных параметрах объекта, поочередно модулируют один или несколько параметров колебания несущей частоты. Вре­менное разделение каналов особенно эффективно в цифровых си­стемах связи, которые обеспечивают высокую помехоустойчивость. 1.3 Классификация сигналов Реальные физические процессы (температура, давление и т. п.) преобразуются в электрические сигналы, которые являются функ­циями времени. Функция времени — математическая модель сиг­нала ­­– может быть представлена в виде графика, таблицы или аналитического выражения. В дальнейшем под термином сигнал будем понимать функцию времени, адекватную электрическому сигналу. Сигналы делятся на детерминированные и случайные. Детерминированные сигналы– сигналы, значения которых в любой момент времени полностью известны, т. е. предсказуемы с вероятностью, равной единице. Случайные сигналы– сигналы, значения которых в любой мо­мент времени невозможно предсказать с вероятностью, равной единице. Все сигналы, несущие информацию, являются случайными, так как полностью детерминированный (известный) сигнал информа­ции не содержит (он может быть создан в месте приема без канала связи). Несмотря на то, что полностью детерминированные сигналы не применяются, они представляют удобную модель при анализе ра­диотехнических систем. Принято различать детерминированные сигналы трех основных классов: управляющие, высокочастотные, немодулированные и мо­дулированные. Управляющие (модулирующие) сигналы– сравнительно низ­кочастотные колебания, содержащие информацию, которые не мо­гут быть непосредственно использованы для передачи на большие расстояния с помощью электромагнитных колебаний. Управляю­щие сигналы делятся на три группы: Аналоговые (непрерывные) сигналы, являющиеся функцией времени, повторяющей закон изменения соответствующей физи­ческой величины; Дискретные сигналы, представляющие собой последователь­ность импульсов, амплитуды которых соответствуют значениям физической величины в дискретные моменты времени; Дискретные по времени и квантованные по уровню сигналы, являющиеся последовательностью импульсов, амплитуды которых могут принимать только ограниченное число фиксированных зна­чений. Эти последовательности, представленные цифровыми кодами, называют цифровыми сигналами. Высокочастотные немодулированные сигналы– это высокочас­тотные колебания, которые способны распространяться в виде электромагнитных волн на большие расстояния. Модулированные сигналы - высокочастотные колебания; один или несколько параметров которых промодулирован колебанием управляющего сигнала. Они также способны распространяться в виде электромагнитных волн на большие расстояния. Использу­ется амплитудная (AM), частотная (ЧМ), фазовая (ФМ), амплитудно-им­пульсная (ИМ) и ряд других более сложных видов модуляции. Основные положения изложенных в гл.1 материалов: • Основным отличием электротехники и радиотехники является способ передачи информации в виде электромагнитных полей: в первом случае по проводам; во втором – по воздушной среде. • Для эффективной передачи информации в виде электромагнитных волн размеры антенны должны быть соизмеримы с длиной волны излучения. • Для передачи информации в радиотехнике используют короткие электромагнитные волны (радиоволны), т.е. достаточно высокие частоты колебаний. • Для передачи информации радиоволной полезным низкочастотным сигналом модулируют высокочастотную несущую волну. 1.4 Вопросы и задания для самопроверки 1. В чем различие и что общее у радиотехники, радиоэлектроники и электротехники? 2. Изобразите структурную схему системы передачи информации и объясните назначение отдельных блоков. 3. Какие факторы необходимо учитывать при проектировании систем связи? 4. Что называется случайными и детерминированными сигналами? Почему детерминированные сигналы не могут нести информацию? 5. Дайте характеристику управляющих, высокочастотных и модулированных сигналов. 6. Какие сигналы называются аналоговыми, дискретными и цифровыми? 7. Приведите сравнительный анализ безопасности от несанкционированного доступа в двух системах передачи речевых сигналов – аналоговой и цифровой. Глава 2. Сигналы и их основные характеристики Теория сигналов включает в себя как вопросы анализа сиг­налов (изучения их свойств), так и их синтеза (нахождения и создания сиг­налов, обладающих заданными свойствами). Чтобы упростить и обобщить ряд положений теории сигналов, реальные сигналы идеализируют, а именно: • вместо реальных сигналов, которые всегда носят случайный характер, рассматривают детерминированные сигналы, мгновен­ные значения которых предсказуемы с вероятностью, равной еди­нице; • несмотря на то, что на практике сигналы всегда ограниче­ны по времени, наряду с сигналами, заданными на ограниченном интервале времени (ta, tb), рассматривают сигналы, заданные на полубесконечном (0, ) или на бесконечном(-)интерва­лах времени. Детерминированный сигнал может быть задан ваналитичес­кой форме как функция времени s(t)либо представлен графи­ком, таблицей, осциллограммой. Все физические сигналы являются вещественными. Однако в теории сигналов и при исследовании различных радиотехнических систем широко пользуются понятием комплексной формы представления сигналаs(t): . Определим ряд характеристик вещественного и комплексного сигналов. 2.1 Энергетические характеристики вещественного сигнала Основными энергетическими характеристиками вещественного сигнала s(t) являются: • мгновенная мощность p(t),определяемая как квадрат мгно­венного значения сигнала Если s(t)– напряжение или ток, то p(t) – мгновенная мощность, выделяемая на сопротивлении в 1 Ом. Мгновенная мощность не аддитивна, т. е. мгновенная мощ­ность суммы сигналов не равна сумме их мгновенных мощностей: ; • энергия Э на интервале времени выражается как интеграл от мгновенной мощности • средняя мощность Р на интервале (ta, ),определяется значением энергии сигнала на этом интервале, отнесенной к единице времени где . Если сигнал s(t)задан на бесконечном интервале времени - 0. Преобразование Лапласа можно получить как обобщение преобра­зования Фурье, обозначая Для анализа cигналов заданных на всей временной оси , в настоящее время часто используются негармонические базисные функции вейвлеты (wavelet)[2]. Название "вейвлет", переводит­ся на русский язык как "маленькая волна". Вейвлет представляется функцией осциллирующей в некотором временном интервале подобно волне и быстро затухающей вне него. При этом функция должна иметь нулевое среднее значение На рис. 3.1 показаны графики двух вейвлетов: мексиканская шляпа и Хаара . р а) б) Рис. 3.1. Графическое изображение вейвлетов: а) – мексиканская шляпа, б) - Хаара Общий принцип построения базиса на основе вейвлета состоит в использовании масштабирования (сжатия или растяжения) базис­ной функции во времени и сдвига (смещения) ее по временной оси. Таким образом, вейвлеты — это функции, где: а – масштаб, b –сдвиг. Коэффициент перед функцией введен длясохранения нормы сигнала (R). Чем больше масштаб , тем медленнее изменяется и более «крупномасштабно» выглядит вейвлет. Чем меньше , тем более высо­кочастотные и быстроизменяющиеся составляющие описывает вейв­лет. Понятие частоты из классического гармонического спектрального анализа в вейвлет-анализе заменено масштабом . Используя сдвиг вейвлета по оси времени, проводим анализ свойств сигнала в разных точках временной оси. Такой сдвиг не пре­дусмотрен в гармоническом анализе. Поэтому вейвлеты удобно ис­пользовать при анализе нестационарных сигналов, когда кроме ин­формации о выявленных частотах нужно получить данные о моментах времени, при которых эти частоты возникают или исчеза­ют. Подобно тому как аналоговые воздействия были представле­ны преобразованиями Фурье и Лапласа, дискретные воздействия представляются Z-преобразованием[1,2]. Дискретные цепи описыва­ются во временной области разностными уравнениями, а на ком­плексной плоскости — передаточной функцией комплексного пе­ременного Z. Расчет реакции дискретной цепи на дискретное воз­действие может быть осуществлен как временным методом, так и с помощью передаточных функций и Z-преобразования. Методы анализа дискретных цепей описаны в [1,2,3]. 3.2 Простейшие разрывные функции Для расчета характеристик электрических цепей во временной области используются испытательные сигналы. Простейшие разрывные функции, которыми широко пользуются в теории сигналов, моделировании и испытании цепей, представлены в табл. 3.1. Ниже приводится краткое описание этих функций. 1.Функция знака (сигнум-функция) (табл. 3.1, поз 1). Функция имеет постоянную величину, равную единице, знак кото­рой скачком изменяется при переходе переменной t через нуль Таблица 3.1 № п/п Название функции* Аналитическая запись функции Графическое изображение Связь между функциями 1 Функция знака sign(t) (сигнум- функция) sign(t)= _ 2 Единичная функ­ция (функция Хе­висайда) = 3 Дельта-функция (функция Дирака) = 4 Прямоугольный импульс с единич­ной высотой rect(t/) *Функции могут иметь и другой аргумент, например частоту . Умножение произвольной функции f(t)на sign(t) означает изме­нение знака f(t)в момент времени t = 0. 2.Единичная функция или единичный скачок (функция Хеви­сайда)(табл. 3.1, поз. 2). Функция определяется: = Сопоставляя (3.3) и (3.4), получаем Умножение сигнала s(t)на единичную функцию равносильно включению этого сигнала в момент t =0 s(t) Этим приемом широко пользуются для описания односторонних финитных (ограниченных по времени) сигналов. 3.Дельта-функция или дельта-импульс (функция Дирака) (табл. 3.1, поз. 3). По определению δ-функция удовлетворяет следующим двум условиям: = и т. е. δ-функция равна нулю при всех отличных от нуля значениях аргумента, принимая в точке t= 0 бесконечно большое значение. Площадь δ-функции равна единице. Остановимся на некоторых свойствах δ-функции. а) (t)является четной функцией аргумента Из (3.6) следует, что Тогда Сопоставляя (3.9) и (3.4), получим или Следовательно, используя понятие δ-функции, можно выразить производную от разрывной функции в точке ее разрыва. б) фильтрующее свойство δ-функции. Это свойство выражает­ся соотношением прит. е. интеграл от произведения произвольной функ­цииs(t), ограниченной в интервале времени (,),на дельта-функциюравен значению функцииs(t)в точке (рис. 3.2,а). в) результатом умножения произвольной функции s(t)на является дельта-функция , площадь которой равна значению функцииs(t)в точке (рис. 3.2,б) г) энергия δ-импульса бесконечно велика. Это легко показать, если воспользоваться одной из моделей дельта-функции – прямо­угольным импульсом длительностью с амплитудой 1/ Рис. 3.2. δ-функция (а) и ее фильтрующее свойство (б) Рис.3.3. Энергия δ-импульса Энергия такого импульса пропорциональна квадрату его амплиту­ды и первой степени длительности (т. е. величине 1/). При, когда прямоугольный импульс превращается в дельта­-функцию, его энергия становится бесконечно большой. 4.Прямоугольный симметричный импульс с единичной высотой rect(t/) (табл. 3.1, поз. 4), определяемый следующим образом: 3.3 Методы анализа электрических цепей Методы, применяемые для расчета реакции цепи на то или иное воздействие, зависят от вида воздействия. В качестве сигнала в этом случае выступают – ток, – напряжение, – ЭДС. Расчет цепей излагался ранее в разделе «Электротехника» и в [4, 6]. Вспомним и обобщим их результаты. Если воздействие не зависит от времени, то говорят, что цепь находится в режиме постоянного тока. При этом все индуктивно­сти в цепи представляются, как известно, короткими замыкания­ми (т.е. отрезками проводов), а все емкости – разрывами цепи. Оставшиеся в эквивалентной схеме резистивные сопротивления образуют чисто резистивную цепь. Нахождение напряжений и токов в такой цепи от любых источников не представляет слож­ностей. Методы расчета электрических цепей в режиме постоян­ного тока хорошо описаны в литературе [1,4,6]. С математической точки зрения — это методы решения систем линейных алгебраи­ческих уравнений с вещественными коэффициентами. Неизменное во времени воздействие (т.е. постоянный ток или постоянное напряжение) характеризуется только одним парамет­ром – величиной или значением этого воздействия. Когда же в качестве воздействия рассматривается гармоническое колебание, то необходимо учитывать в общем случае три параметра – его амплитуду, частоту и начальную фазу. Линейная электрическая цепь обладает замечательным свойством: все ее реакции на гар­моническое воздействие будут иметь гармоническую форму и ту же частоту, что и воздействие. Таким образом, линейная элек­трическая цепь не изменяет частоту гармонических колебаний в ней. Кроме того, при наличии в цепи нескольких источников гармонических напряжений и токов одной и той же частоты все реакции цепи будут также гармоническими реакциями той же са­мой частоты. Следует заметить, что при гармоническом воздействии на ли­нейную электрическую цепь расчет напряжений на элементах и токов в ветвях усложняется. Дело в том, что реактивные элемен­ты (индуктивность и емкость) оказывают влияние не только на амплитуду гармонической реакции, но и изменяют ее начальную фазу. Из трех параметров гармонического колебания (амплитуда, частота и начальная фаза) два подвергаются изменению. Измене­ние амплитуды и начальной фазы гармонического колебания лег­ко отразить в виде изменения длины и положения соответствующеговектора (тока или напряжения) на комплексной плоскости. Действительно, у вектора, как и гармо­нического колебания, может изменяться величина и фазовый угол, отсчитываемый от какой-либо оси. При заданной частоте гармонических колебаний в цепи воз­действия представляются комплексными числами (или векторами на комплексной плоскости при графическом изображении). Реак­ции цепи будут представляться также комплексными числами, но с другими амплитудами и начальными фазами. Задача анализа цепи –найти эти амплитуды и начальные фазы. Представление воздействий и реакций в виде комплексных чисел позволяет использовать для расчета (анализа) цепи тот же арсенал методов, который используется для цепей с постоянными воздействиями, с той лишь разницей, что алгебраические опера­ции производятся над комплексными числами. Стандартные ме­тоды расчета линейной цепи сводятся обычно к решению систем линейных алгебраических уравнений с комплексными коэффици­ентами и комплексными переменными. Примеры анализа линей­ных цепей при гармонических воздействиях даны в [1,4,6]. При наличии в линейной электрической цепи нескольких ис­точников гармонических колебаний разных частот расчет реакций осуществляется методом наложения. Сначала находится реакция цепи на каждое гармоническое воздействие в отдельности, а затем полученные реакции складываются. Следует только помнить, что сумма гармонических реакций разных частот дает в результате периодическое колебание, которое по своей форме отличается от гармонического. Тот факт, что периодическое воздействие сложной формы можно представить в виде суммы гармонических колебаний раз­ных частот, лежит в основе расчета цепей с источниками периоди­ческих негармонических сигналов (например, последовательностей прямоугольных, пилообразных, треугольных и тому подобных импульсов). Из математики известно, что представление периоди­ческой функции суммой гармонических колебаний называется разложением этой функции в ряд Фурье. Таким образом, матема­тический аппарат рядов Фурье – наиболее приемлемый аппарат для представления периодических воздействий сложной формы. Набор гармонических колебаний кратных частот, описываю­щий периодический сигнал, называется спектром этого сигнала. Анализ изменения спектра сигнала на выходе цепи по сравнению со спектром входного сигнала позволяет сказать, как изменился сам сигнал при прохождении его по цепи. П/п 4.1, 4.2, 4.3 настоящей работы посвящены анализу линейных электрических цепей при воздействии на них периодических сигналов сложной формы. Адекватным математическим аппаратом для представления непериодических воздействий является интеграл Фурье. Два интегральных преобразования Фурье (прямое и обрат­ное) позволяют по форме сигнала определять его комплексный спектр, а по спектру — форму сигнала. Анализ электрической це­пи при непериодическом воздействии сводится к нахождению спектра реакции цепи на это воздействие, а затем и самой реак­ции. Расчет реакции линейной цепи с источниками непериодиче­ских сигналов, называемый спектральным анализом, подробно описан в п/п 4.4, 4.5, 4.6, 4.7. Обобщением интегральных преобразований Фурье являются интегральные преобразования Лапласа, которые позволяют опре­делять операторные изображения воздействий и, наоборот, фор­му воздействий по их изображениям. Поэтому вместо спектраль­ного анализа цепи может быть проведен операторный анализ, суть которого состоит в отыскании сначала операторного изобра­жения реакции, а затем с помощью обратного преобразования Лапласа — реакции цепи на непериодическое воздействие. Мето­ды операторного анализа изложены в Главе 7 настоящей работы и в [1,4,6]. Существует прямой путь вычисления реакции цепи на воз­действие, не прибегая к определению спектров или изображений сигналов. В математике известны так называемые интегралы свертки, которые дают возможность найти реакцию цепи на не­периодическое воздействие путем прямого вычисления интеграла свертки. Анализ линейных цепей с помощью интегралов свертки, или временной метод анализа, изучается в [1]. На практике часто встречаются случаи, когда в цепи проис­ходит коммутация. Коммутацией принято называть любое изме­нение параметров цепи, ее конфигурации, подключение или от­ключение источников, приводящие к возникновению переходных процессов. Анализ переходных процессов приведен в [1,4,6]. Этот анализ может быть выполнен любым из трех методов: спектраль­ным, временным или операторным. Если цепь содержит нелинейные резисторы (диоды, тран­зисторы), то чаще всего используют графоаналитические мето­ды расчета. Как правило, в цепях с нелинейными элементами не действует принцип суперпозиции. Ток нелинейного элемента содержит гармоники, которых не было во входном сигнале. Методам анализа нелинейных резистивных цепей посвящена [1,4,6]. Основные положения изложенных в гл.3 с учетом [1, 6] материалов: ◦ Инженер должен уметь определять реакцию цепи на воздействие или сумму воздействий. ◦ Принцип суперпозиции позволяет рассчитывать реакцию линейной цепи на отдельные воздействия, а затем находить полную реакцию как сумму отдельных реакций. ◦ В качестве воздействий могут быть напряжения или токи, создаваемые источниками сигналов, а в качестве реакций – напряжения или токи в элементах элек­трической цепи. ◦ Воздействия подразделяются на постоянные и переменные во времени. ◦ Переменные во времени воздействия бывают периодические и непериодические. ◦ К простейшим периодическим воздействиям относятся гар­монические. ◦ Периодические сигналы сложной формы (прямоугольной, пилообразной и др.) используются в аналоговой и цифровой технике для целей ис­пытаний, измерений, управления и т.д. ◦ Только несинусоидальный сигнал может нести в себе инфор­мацию это речевые, цифровые, телевизионные, радиолокационныеи другие сигналы. ◦ Любой сигнал s(t) может быть разложен в ряд по базисной ортонормированной системе функций, которая может быть применена при расчете цепей. К таким базисным функциям относятся: ряд Фурье (тригонометрическая, комплексная и интегральная формы); интеграл Лапласа; функции Лежандра, Чебышева, Эрмита и Лагерра; негармонические базисные функции «вейвлеты». ◦ Методы анализа цепи зависят от вида воздействия. При спектральном анализе цепей с периодическими несинусоидальным сигналом используют ряд Фурье (тригонометрическая и комплексные формы), при сигналах непериодической формы – интегральные преобразования Фурье или Лапласа. ◦ Расчет реакции резистивной цепи в режиме постоянного воздействия сводится к решению систем линейных уравне­ний с вещественными коэффициентами. ◦ Реакция цепи на гармоническое воздействие рассчитывается в результате составления и решения систем линейных урав­нений с комплексными коэффициентами и переменными. ◦ Периодическое воздействие сложной формы можно представить как сумму гармонических колебаний кратных частот, разложив его в ряд Фурье. Расчет реакции цепи на такое воздействие производится методом наложения. ◦ Существует три метода анализа цепи на непериодическое воздействие сложной формы: спектральный, операторный, временной. ◦ Спектральный метод основан на применении преобразований Фурье. Вначале определяют спектр реакции цепи, а затем саму реакцию. ◦ В операторном методе используется интегральное преобра­зование Лапласа. Рассчитывается изображение реакции, а затем сама реакция. ◦ Временной метод позволяет сразу же определить реакцию цепи, используя интеграл свертки. ◦ Расчет реакции цепи на воздействие, изменяющееся скач­кообразно, также может быть рассчитано временным, опе­раторным или спектральным методами. ◦ Для расчета реакций нелинейных резистивных цепей на по­стоянное и гармоническое воздействия используются в ос­новном графоаналитические методы. ◦ Для описания дискретных сигналов используется Z-преобразование. Реакция дискретной цепи на дискретное воздействие рассчитывается либо с помощью разностных уравнений, либо с использованием передаточных функций. ◦ Для более точного анализа сигналов в цепи используют вейвлет-преобразование. 3.4 Вопросы и задания для самопроверки 1. Поясните физический смысл разложения сигнала в обобщенный ряд Фурье. 2. Для расчета сигналов какой формы используются соответственно тригонометрическое, комплексное, интегральное представления ряда Фурье? 3. Перечислите базисные функции, используемые при разложении сигнала в обобщенный ряд Фурье. 4. Поясните область использования преобразования Лапласа для расчетов сигналов. 5. Каким требованиям должна удовлетворять система базисных функций при разложении произвольного сигнала конечной мощности в обобщенный ряд Фурье? 6. Почему для разложения сигналов удобно пользоваться ортогональной системой базисных функций? 7. Какие формы представления гармонического колебания Вы знаете? 8. Какие требования предъявляются к базисной системе при разложении периодической функции? 9. Какая связь существует между функциями ? 10. Как описать произвольный сигнал с помощью а) единичной функции ; б) прямоугольного импульса )? 11. Как записать с помощью элементарных разрывных функций сигнал и его производную ? Какой вид имеют графики функций и ? Глава 4. Спектральный анализ сигналов Как следует из п. 3.1 любой сигнал можно представить в виде разложения в ряд Фурье, записанный в различных формах: тригонометрической, комплексной и интегральной. Применяя различные формы записи ряда Фурье анализируют спектральные характеристики сигналов, широко используемых в радиотехнике (см. Глава 2). Далее рассмотрим особенности спектрального анализа сигналов. 4.1 Представление периодического воздействия рядом Фурье Из математического анализа известно, что периодическая не­гармоническая функция f(t),удовлетворяющая условиям Дирихле может быть разложена в ряд Фурье: где –коэффициенты разложения, определяемые уравне­ниями: Применительно к периодическому негармоническому напряже­нию u(t)в (4.1) можно использовать следующие обозначения: Напомним, что у периодического сигнала его значения по­вторяются через равные промежутки времени, называемые пе­риодом. Простейшим периодическим сигналом является гармони­ческое колебание вида Естественно, что при разложении этого сигнала в ряд Фурье последний будет содержать всего один член ряда. Примером сложного периодического сигнала может служить последовательность прямоугольных импульсов с периодом повторения T (рис. 4.1,а). Периодическая последовательность прямоугольных импульсов, симметричная относительно начала координат, состоит только из синусоид. В качестве исходной синусоиды нужно выбрать такую, у которой период совпадает с периодом повторения T прямоугольных импульсов (рис. 4.1,б): Следующая синусоида должна иметь частоту в три раза большую, а амплитуду – в три раза меньшую: Рис. 4.1. Последовательность прямоугольных импульсов и образующие ее синусоиды Сумма этих двух синусоид, т.е. + u3(t), пока еще мало похожа на прямоугольные импульсы (рис. 4.1, в). Но если мы добавим к ним синусоиды с частотами в 5, 7, 9, 11 и т.д. раз большими, то сумма всех этих колебаний (4.3) будет не так уж сильно отличаться от прямоугольных импульсов (рис. 4.1, г и д). Таким образом, из (4.3) следует, что в случае последовательности прямоугольных импульсов, симметричной относительно начала координат, ряд Фурье (4.2) состоит толь­ко из синусоидальных колебаний. Ниже мы покажем, что для того, чтобы сигнал, сформирован­ный из синусоид (4.3), совпадал с прямоугольными импульсами также и по высоте, амплитуду основной синусоиды следует взять Таким образом, степень прямоугольности импульсов определя­ется количеством синусоид со все более высокими частотами, которые мы будем суммировать в (4.3). Построения на рис. 4.1 носят скорее наглядный характер. Воспользовавшись формулами (4.2), можно выполнить точные вычисления. Постоянная составляющая ряда Фурье равна нулю, т.е. она в данном сигнале отсутствует. Амплитуды косинусоидальных гармоник также равны нулю при любых значениях k, что означает их от­сутствие в сигнале. Амплитуды синусоидальны составляющих ряда Фурье При k=1 , k=2 , k=3 , k=4 , k=5 и т.д. Амплитуда , обозначена в формуле (4.3) как амплитуда первой (основной) гармоники Может показаться, что представление периодических сигна­лов в виде совокупности гармоник есть не более чем математиче­ский прием и не имеет никакого отношения к реальности. Однако это не так. Если бы вам удалось, например, подобрать струны с частотами колебаний, кратными числам 1, 3, 5, 7, ..., и распо­ложив их рядом друг с другом, привести одновременно в движе­ние так, чтобы амплитуды колебаний струн соотносились как: (1/3) : (1/5) : (1/7) ..., то вы бы увидели, что форма кривой звукового давления, создаваемого этими струнами совместно (а значит, и форма тока, например, в цепи микрофона), была бы прямоугольной. Другим примером периодических несинусои­дальных колебаний может служить сигнал пилообразной формы (рис. 4.2, а). Пилообразный сигнал, симметричный относительно начала координат, также состоит только из синусоид. Чтобы сформировать пилообразный сигнал, нужно взять сна­чала основную синусоиду или первую гармонику (рис. 4.2, б): Амплитуду этой гармоники можно рассчитать по формуле (4.2). Она равна Затем следует использовать перевернутую синусоиду удвоенной частоты и половиной амплитуды (рис 4.2,в): а также синусоиды с утроенной, учетверенной и т.д. частотами (рис. 4.2,г-е): (4.4.) Изменение начала координат превращает ряд, состоящий из синусов, в косинусный ряд. Покажем на примере последователь­ности прямоугольных импульсов, как изменение начала коорди­нат превращает ряд, состоящий из синусов, в ряд, состоящий из косинусов. Рисунок 4.3, а отличается от рис. 4.1, а незначительно: мо­мент наблюдения (т.е. начало координат) смещен вправо на чет­верть периода последовательности прямоугольных импульсов. Рис.4.2. Последовательность пилообразных импульсов и образующие ее синусоиды Напомним, что колебание, которое начинается раньше нача­ла координат, называется опережающим по отношению к коле­банию, возникающему из начала координат, и характеризуется появлением начальной фазы со знаком «плюс». Это означает, что теперь вместо колебания (4.1,б) мы будем иметь дело с коле­банием, опережающим по фазе данное колебание на /2 рад или на 90° (рис. 4.3,б): Колебание утроенной частоты 3после переноса начала ко­ординат получит сдвиг по фазе, равный З/2 рад, или 270° (рис. 4.3,в): Продолжая действовать таким образом, мы придем к форму­ле для последовательности прямоугольных импульсов: (4.5) Рис.4.3. Последовательность прямоугольных импульсов, смещенная на относительно начала координат. Применив к (4.5) тригонометрические формулы приведения sin( sin sin( sin(; sin(; и т.д. можно представить ряд (4.5) в виде суммы только косинусоид. Периодические сигналы любой формы также состоят из суммы синусоид или косинусоид; при этом нечетные сигналы состоят только из синусоид, в то время как четные сигналы — только из косинусоид. В табл. 4.1 приведены наиболее часто встречающиеся на практике периодические последовательности импульсов и записаны их представления в виде синусных или косинусных рядов. Из таблицы видно, что нечетные функции содержат только синусоиды, а четные — только косинусоиды. Напомним, что четной называется функция, удовлетворяющая соотношению x(-t)= x(t),нечетной — удовлетворяющая соотношению x(-t) = -x(t). Таблица 4.1. Ряды Фурье наиболее часто встречающихся сигналов Сигнал Ряд Фурье k-четные; k-четные; ; ; В честь французского математика приведенные в таблице ряды называются рядами Фурье. Наинизшая частота синусоидальных или косинусоидальных компонент есть или Эта частота принадлежит основной составляющей, и она сов­падает с частотой повторения сигнала. Таким образом, периодический сигнал с периодом в 1 мс имеет основную составляющую с частотой Частоты остальных составляющих сигнала являются числами, кратными частоте основной составляющей. Эти составляющие называются гармониками основной компоненты, и номер гармоники определяется отношением ее частоты к частоте основной составляющей. Так, в приведенном в предыдущем абзаце примере гармониками основной составляющей в общем случае могут быть вторая – с частотой 2 кГц, третья – с частотой 3 кГц, четвертая – с частотой 4 кГц и т.д. Гармоники в ряде Фурье можно вы­делить и измерить с помощью измерительного прибора –анализато­ра спектра. Простейшая схема такого анализатора в качестве основ­ного элемента включает полосовой фильтр с высокой избирательностью и перестраиваемой центральной частотой. К вы­ходным зажимам фильтра подключается чувствительный индикатор: милливольтметр или осциллографическая трубка. Центральная часто­та фильтра, как правило, перестраивается автоматически. При совпа­дении частоты гармоники, содержащейся во входном сигнале, с цен­тральной частотой фильтра индикатор показывает амплитуду отдельной гармоники ряда Фурье. Кроме основной составляющей и высших гармоник в сигна­ле может присутствовать постоянная составляющая. Посмотрите на рис. 4.4, аи б. Нижний рисунок получен из верхнего вычита­нием среднего значения сигнала, которое вычисляется, как из­вестно, по формуле Для последовательности прямоугольных импульсов, изобра­женной на рис. 4.4,а, указанную площадь вычислить нетрудно, поэтому В случае, когда сигнал имеет сложную форму, площадь вы­числяется с помощью интеграла из формулы (4.2): Среднее значение сигнала называют постоянной состав­ляющей. Удаление постоянной составляющей из последователь­ности прямоугольных импульсов на рис. 4.3, а приводит к после­довательности, показанной на рис. 4.4, б. Рис. 4.4. Последовательности прямоугольных импульсов Поскольку гармонический состав последнего сигнала известен (4.3), то гармонический состав однополярной последовательности импульсов (рис. 4.4,а) будет отличаться только наличием посто­йной составляющей : В двух предпоследних строках табл. 4.1 можно увидеть постоянные составляющие у переменного напряжения, выпрямленного одно- и двухполупериодным выпрямителями. Общая форма записи ряда Фурье содержит амплитуды и начальные фазы гармоник. Мы наблюдали ранее, как изменение начала координат (т.е. момента начала наблюдения) превращало ряд синусов в ряд косинусов. Так, при переносе начала координат на рис. 4.1, а вправо на четверть периода последовательности прямоугольных импульсов (т.е. при переходе к рис. 4.3, а)изменились начальные фазы основной составляющей и высших гармоник на величины, кратные /2 рад (4.5). Очевидно, если начало координат переносить на произвольное расстояние вправо или влево, то начальные фазы основной составляющей и гармоник в (4.5) будут принимать любые значения, а не только кратные /2 град. В этом случае ряд (4.5) преобразуется в ряд где = 1,27U; - начальные фазы первой, третьей, пятой и т.д.гармоник. Каждый сигнал, отличающийся от других по форме, имеет сугубо индивидуальный гармонический состав, т.е. содержит основную синусоиду и ее высшие гармоники со своими амплитудами и начальными фазами. Поэтому в общем случае ряд Фурьепроизвольного периодического сигнала записывается в форме Umk–амплитуды k-й гармоники; — начальная фаза k-й гармоники. Мы уже знаем, что амплитуды некоторых гармоник могут быть равны нулю, а фазы могут принимать любые значения, в числе и кратные /2 рад — это зависит от формы сигнала (см. табл. 4.1). Форма записи ряда Фурье (4.7) получила название синусоидальной тригонометрической. Она справедлива для любого момента наблюдения, т.е. для любого расположения начала координат, и широко используется в электротехнике. Существуют две равноправные записи ряда Фурье в тригонометрической форме — через функцию синуса и через функцию косинуса. Ряд Фурье с использованием функции синуса мы записали в виде формулы (4.7). Чтобы заменить функцию синуса на функцию косинуса нужно учитывать сдвиг фаз между функциями sin и cos: . Таким образом: и где угол k-й гармоники отсчитывается от положительной горизонтальной оси, а угол от положительной вертикальной оси комплексной плоскости. Чтобы избежать путаницы, примем в дальнейшем в качестве основной формы записи ряда Фурье формулу (4.9) и, кроме то будем иметь дело не с угловой частотой а с линейной частотой в Гц, кГц, МГц, устанавливаемой на шкалах реальных зрительных приборов, так что ряд Фурье будет иметь вид Уравнение (4.10) есть косинусоидальная тригонометрическая форма ряда Фурье, и она широко используется в радиотехнике. При анализе цепей часто удобно пользоваться комплексной формой ряда Фурье, которая может быть получена из (4.10) с помощью формулы Эйлера иодной суммой дает запись ряда Фурье в комплексной форме: Основные положения изложенных в п. 4.1 материалов: ◦ Периодическая последовательность прямоугольных, пилооб­разных, треугольных и других импульсов состоит из сину­соид кратных частот. ◦ Изменение начала координат может превратить ряд, со­стоящий из синусоид, в косинусный ряд. ◦ Периодические сигналы любой формы также состоят из си­нусоид или косинусоид; при этом нечетные сигналы состоят только из синусоид, в то время как четные сигналы — толь­ко из косинусоид. ◦ Кроме основной составляющей и высших гармоник в сиг­нале может присутствовать постоянная составляющая. ◦ Существуют две равноправные записи ряда Фурье в триго­нометрической форме — через функцию синуса и через функцию косинуса. ◦ Наиболее удобной для расчетов является комплексная фор­ма ряда Фурье. 4.2 Спектры амплитуд и фаз периодических сигналов Набор гармоник, образующих ряд Фурье (4.10) в тригоно­метрической форме, называют спектром периодического сигна­ла, а наборы амплитуд Umkи начальных фаз этих гармо­ник — спектрами амплитуд и фаз. Каждую гармонику: можно отобразить двумя вертикальными линиями. Для этого на одной оси частот необходимо отложить значение частоты этой гармоники и изобразить вертикальную линию высотой, рав­ной амплитуде гармоники затем на другой оси частот на частоте этой же гармоники изобразить вторую вертикальную линию, равную по высоте начальной фазе гармоники . Ряд Фурье (4.3) можно переписать в виде Учитывая, что функция косинуса периодична с периодом 2= 360°, т.е. ее значения повторяются через 360°, можно вы­честь целое число периодов из фазы гармонических составляю­щих. Тогда получим еще одну форму записи ряда (4.3): (4.13) Эти ряды можно изобразить графически. Гармоники этого сигнала, входящие в формулу (4.3), показаны на временных диа­граммах рис. 4.1, б — д. Другой способ графического изображе­ния составляющих ряда Фурье для сигнала на рис. 4.1, а приве­ден на рис. 4.5, а – в. Амплитуды гармоник убывают по закону ,где п — номер гармоники, а фазы гармоник изменяются по закону nгде — фаза первой гармоники. Для смещенной на четверть периода периодической последо­вательности прямоугольных импульсов (рис. 4.3, а) формула ря­да Фурье (4.6) может быть видоизменена, если вспомнить, что знак «минус» перед гармоническим колебанием означает поворот колебания по фазе на 180°: Рис. 4.5. Амплитуды и фазы гармоник сигнала (4.12) и (4.13) Начальные фазы колебаний в ряде (4.14) поочередно прини­мают значения 0 и 180°. Графическое изображение ряда (4.14) дано на рис. 4.6, а и б. Вертикальные линии на рис. 4.5 и 4.6 получили название спектральных линий, а наборы этих линий, или, что то же, на­боры амплитуд и фаз гармоник в (4.10), образуют спек­тры амплитуд и фаз данного сигнала. Рис. 4.6. Амплитуды и фазы гармоник сигнала (4.14) Радиоинженерам знакомы приборы – анализаторы спектров, которые откликаются на каждую гар­монику, входящую в состав сигнала сложной формы и позволяющие их измерять. Таким образом, спектр амплитуд — это набор амплитуд гармоник ,,, ... (включая постоянную и ос­новную составляющие), входящих в ряд Фурье, записанный в тригонометрической форме (4.10), а спектр фаз — это набор начальных фаз,, … этих гармоник. Комплексные ам­плитуды из (4.12) образуют комплексный спектр сигнала u(t). Анализ спектрального (гармонического) состава периодиче­ских сигналов — это вычисление амплитуд и начальных фаз гармонических составляющих ряда Фурье.Обычно для вычисления указанных величин используется форма записи ряда Фурье (4.2): Покажем, что форма записи (4.15) эквивалентна форме запи­си (4.7). Из приведенных выше рассуждений следует, что для анализа спектрального состава сигнала достаточно знать, как вычислять величины , U'mnи U’mnв выражении (4.15). Из формул (4.2) мы знаем, что постоянная составляющая ряда вычисляется как среднее значение функции: Коэффициенты U'mkи U''mkвычисляются как средние взве­шенные значения с весами coskи sinсоответственно: Поскольку,то Применяя формулу Эйлера получаем окончательно выражение для комплексного спектра сиг­нала: На спектр сигнала влияет не только форма сигнала, но и его параметры. Лучше всего рассмотреть это влияние на кон­кретном примере, а проще всего –на примере периодической последовательности прямоугольных импульсов. В достаточно общем случае эта последовательность изображена на рис. 4.7, а. Пери­од повторения импульсов обозначен Т', а отношение периода к длительности импульсов ' называют скважностьюи обозначают . Вычисление коэффициентов ряда Фурье в тригонометрической форме по формулам (4.16) — (4.18) приводит нас к записи (см. табл. 4.1) где U0 = U/q и Рис. 4.7. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов со скважностью q = 3 и ее спектр Спектр амплитуд такой периодической последовательности со скважностью q= 3 изображен на рис. 4.7, б. При значениях k, кратных скважности qимпульсной после­довательности, функция принимает нулевые значения и гармоники с этими номерами имеют нулевые амплитуды (в нашем примере с k= 3, 6, 9, ...). Частота первой гармоники определяет­ся по формуле Для гармоник с номерами k,для которых амплитуда по­ложительная, фазовый угол равен нулю; для гармоник же с номерами k, для которых величина окажется отрицатель­ной, фазовый угол принимает значение 180° (рис. 4.7, в). Рассмотрим влияние на спектр последовательности прямо­угольных импульсов таких ее параметров, как период и длитель­ность импульса. От величины периода зависит прежде всего частота основной гармоники, т.е. ее местоположение в спектре. Если мы будем, на­пример, увеличивать период импульсной последовательности (рис. 4.7,а), то частота первой гармоники будет уменьшаться. Это приведет к сгущению спектральных линий (рис. 4.8,б и в). Скважность импульсов будет также увеличи­ваться с ростом периода (в нашем примере q= 5), следовательно, обращаться в нуль будут гармоники с более высокими номерами, кратными q(k= 5, 10, 15, ...). Амплитуды всех гармоник умень­шатся. Рис. 4.8. Последовательность прямоугольных импульсов со скважностью q=5 и ее спектр С другой стороны, если период последовательности оставлять неизменным (например, ), а длительность импульсов, скажем,уменьшать (например, до величины , как на рис. 4.9,а), то первая гармоника не будет менять свое местоположение в спектре сигнала. С ростом же скважности в нуль будут обращаться, как и ранее, гармоники с номерами, кратными q (на рис. 4.8, б при k=5,10,15,…). Рис. 4.9. Влияние длительности импульсов на спектр сигнала Рис. 4.10. Влияние длительности импульсов и периода их повторения на спектр сигнала На рис. 4.10, показан случай, когда подверглись изменению и период, и длительность импульса. Предлагаем читателям про­анализировать данную ситуацию самостоятельно. Примеры решения задач по расчету периодических сигналов также приведены в [7]. Хотя мы проанализировали довольно частные примеры, ха­рактерное поведение спектра наблюдается и для других видов пе­риодических импульсных последовательностей. Оно заключается в следующем: • при увеличении периода последовательности Тчастота первой гармоники уменьшается и спектральные линии сгущаются; наоборот, при уменьшении периода частота первой гармоники увеличивается и спектральные линии становятся реже; • чем короче импульсы в последовательности, тем медленнее убы­вают с ростом номера п амплитуды гармоник; наоборот, чем шире импульсы, тем быстрее убывают амплитуды высших гармоник. Основные положения изложенных в п. 4.2 материалов: ◦ Набор гармоник, образующих ряд Фурье в тригонометрической форме, называют спектром периодического сигнала, а наборы амплитуд и начальных фаз этих гармоник — спектрами амплитуд и фаз. ◦ Анализ спектрального (гармонического) состава периодиче­ских сигналов – это вычисление амплитуд и началь­ных фаз гармонических составляющих ряда Фурье. ◦ На спектр сигнала влияют не только его форма, но и дли­тельность импульсов, и период. ◦ Чтобы определить реакцию линейной цепи на периодиче­ский сигнал произвольной формы, нужно просуммировать реакции этой цепи на гармонические составляющие сигнала. 4.3 Спектральный анализ цепи Комплексная передаточная функция цепи на какой-либо час­тоте вычисляется как отношение комплексной амплитуды реакции на этой частоте к комплексной амплитуде воздействия на этой же частоте. При подключении цепи к источнику периодического напряжения комплексная передаточная функция цепи принимает раз­личные значения на частотах гармоник. Сравнение спектров ам­плитуд и фаз реакции и воздействия позволяет рассчитать коэф­фициенты передачи и фазовые сдвиги в цепи для каждой гармо­нической составляющей периодического сигнала. Зная значения комплексной передаточной функции цепи на частотах гармоник периодического воздействия, можно вычис­лить реакцию цепи на это воздействие. Задача определения изменения спектра периодического воздействия произвольной формы при прохождении его по цепи на­зывается задачей спектрального анализа цепи. Для расчета спектра реакции цепи необходимо определить спектр воздейст­вия, разложив периодический сигнал в ряд Фурье, вычислить комплексную передаточную функцию цепи на частотах гармоник, а затем найти спектр реакции, умножив спектр воздействия на комплексную передаточную функцию, . Комплексные амплитуды гармоник напряжения на резисторе в последовательном колебательном контуре рассчитываются по формуле Чтобы вычислить амплитуды гармоник реакции, необходимо, в соответствии с (4.21), амплитуды гармоник воздейст­вия умножить на значения коэффициента передачи для этих гар­моник. Чтобы вычислить начальные фазы гармоник реакции це­пи, необходимо в соответствии с (4.21) к начальным фа­зам гармоник воздействия прибавить фазовые сдвиги, вносимые цепью на этих гармониках. Амплитуды гармоник напряжения на резисторе в последова­тельном колебательном контуре , k = 0, 1, 3, 5, ... , аихначальные фазы Зная спектры амплитуд и фаз реакции, можно рассчитать ре­акцию цепи, воспользовавшись ее представлением в виде ряда Фурье в тригонометрической (4.9) или комплексной (4.11) фор­ме, и установить, как изменилась форма воздействия при переда­че его по цепи. Основные положения изложенных в п. 4.3 материалов: ◦ Задача спектрального анализа цепи состоит в определении того, как изменился спектр входного периодического сиг­нала при передаче его по цепи. ◦ Чтобы вычислить комплексные амплитуды гармоник напря­жения (тока) на элементе цепи, необходимо комплексные амплитуды гармоник входного напряжения (тока) умно­жить на значения комплексного коэффициента передачи для этих гармоник. ◦ Зная изменение спектра периодического сигнала при пере­даче по цепи, можно вычислить по формулам Фурье изме­нения формы сигнала. 4.4 Представление непериодического воздействия интегралом Фурье Рассмотрим периодическую последовательность прямоуголь­ных импульсов (рис. 4.11, а). Увеличивая период Т этой последо­вательности, легко перейти при Т от периодического сигнала к непериодическому (рис. 4.11,г). Увеличение периода Т сигнала приводит к уменьшению час­тоты первой гармоники = 2π/Т и сгущению спектральных ли­ний. Уменьшаются также амплитуды гармоник поскольку остающаяся неизменной энергия сигнала распределя­ется теперь между возросшим числом гармоник и, естественно, доля каждой гармоники в общем сигнале падает (рис. 4.12). Рис.4.11. Увеличение периода последовательности прямоугольных импульсов При Тпериодическая последовательность импульсов пе­реходит в одиночный импульс (рис. 4.11,г). В спектре такого сиг­нала вместо отдельных гармоник будет бесконечно большое число синусоидальных колебаний с бесконечно близкими частотами и бесконечно малыми амплитудами. Другими словами, в любой бесконечно узкой полосе частот есть синусоидальное колебание бесконечно малой амплитуды. Сравнивать между собой бесконечно малые величины не­удобно, поэтому вместо амплитуд (рис. 4.12) по оси ординат откладывают величину (Т)/2, которая при увеличении пе­риода Т остается неизменной. Введем новые обозначения для осей ординат на рис. 4.13: U() =  (Т/2). В новых коорди­натах спектры сигналов (рис. 4.11) выглядят так, как показано на рис. 4.13, а–г. Спектр непериодического сигнала является в об­щем случае не дискретным, а непрерывным (сплошным). Для комплексного спектра введенное на рис. 4.13 обозначение примет вид: Ранее была получена пара преобразований (4.19) и (4.11) ,позволяющих найти спектр периодического сигнала и вос­становить периодический сигнал u(t)по его спектру: Рис. 4.12. Спектры амплитуд периодических последовательностей импульсов с разными периодами Получим подобную пару преобразований для непериодическо­го сигнала, изображенного на рис. 4.11,г. Для этого нужно в вы­ражении (4.24) устремить периодТк бесконечности и совершить в формулах (4.23) и (4.24) предельные переходы. Сначала выразим из (4.1) комплексную амплитуду в ви­де и подставим ее в (4.23) и (4.24). Перепи­шем теперь эти выражения в виде и В выражении (4.25) учтено, что Т =. Затем устремим период к бесконечности (Т). Гармоники будут сгущаться и дискретная частота перейдет в текущую частоту , а значе­ние частоты первой гармоники будет стремиться к бесконечно малой величине d. После предельного перехода получаем из (4.25) и (4.26) Уравнения (4.27) и (4.28) являются основными в теории спек­тров непериодических сигналов, причем (4.27) называется пря­мым, а (4.28) -обратнымпреобразованием Фурье (интегралом Фурье). Взаимное преобразование Фурье символически обозначается , где ≓ - знак соответствия этого преобразования. Если вместо частоты ω использовать частоту f, то эти урав­нения примут вид. Рис. 4.13. Переход к спектральной плотности прямоугольного импульса Основные положения изложенных в п. 4.4 материалов: ◦ Сигнал и его Фурье-изображение связаны парой инте­гральных преобразований, называемых преобразованиями Фурье. 4.5 Спектральные плотности амплитуд и фаз непериодических сигналов Величина в (4.27) или U(jf) в (4.29), называется ком­плексной спектральной плотностью непериодического сигнала u(t).Она может быть записана в показательной и алгебраической формах: (4.31) и содержит в себе сведения о спектральной плотности ампли­туди спектральной плотности фаз сигнала, где величины и определяются формулами Определим физический смысл преобразования Фурье (4.28). Для этого подставим в выражение (4.28) вместо его значе­ния из (4.31): Учитывая, что –четная, а синус –нечетная функция частоты, интеграл от второго слагаемого равен нулю. Следова­тельно, интеграл Фурье (4.28) имеет вид Отсюда следует важнейший вывод о том, что непериодиче­ский сигнал может быть представлен пределом суммы (интег­ралом) бесконечно большого числа гармонических колебаний с бесконечно малыми амплитудамии начальными фа­замипричем разность частот соседних гармоник бесконечно мала:. Это означает, что спектр непериоди­ческого сигнала является сплошным или непрерывным. Определим спектральную плотность прямоугольного импуль­са, изображенного на рис. 4.14. Для расчета его комплексной спек­тральной плотности воспользуемся Рис. 4.14. Прямоугольный импульс Уравнение (4.34) удобнее преобразовать к виду так как это выражение содержит функцию аналитическая запись которой имеет вид с известным характером поведения: эта затухающая функция максимальна и равна 1, когда =0; она принимает нулевые значения при= ±k. График комплексной спектральной плотности прямоугольного импульса изображен на рис. 4.15. В тех областях частот, где функция положительна, спектральная плотность фаз равна нулю; там же, где отрицательна, спектральная плотность фаз равна ±180°. Поэтому на графиках можно изобра­зить отдельно спектральную плотность амплитуд – модуль || и спектральную плотность фаз (рис. 4.16) Рис. 4.15. Спектральная плотность прямоугольного импульса Рис.4.16. Спектральные плотности (спектры) амплитуд (а) и фаз (б) прямоугольного импульса Определим спектральную плотность амплитуд пря­моугольного импульса, изображенного на (рис. 4.17), если = 1 мс, U= 10 В. Комплексную спектральную плотность прямо­угольного импульса (рис. 4.17) определим, используя прямое преобразование Фурье (4.27): Рис. 4.17. Прямоугольный импульс Полученное выражение отличается от комплексной спектральной плотности (4.35) прямо­угольного импульса, изображенного на (рис. 4.14), множителем , учитывающим запаздывание сигнала (рис. 4.17) на и влияющим только на спек­тральную плотность фаз. Спектральная плотность амплитуд – это модуль комплексной спектральной плотности, поэтому Обратим внимание на то, что спектральная плот­ность амплитуд прямоугольных импульсов, изображенных на рис. 4.14 и 4.17, рассчитывается по одной и той, же формуле. Это означает, что графики спектральной плотности амплитуд импульсов также совпадают (рис. 4.16, а). Построим график Для этого прежде всего рассчитаем значение спектральной плотности ампли­туд на нулевой частоте, которое равно площади пря­моугольного импульса: Рис. 4.18. Спектральная плотность амплитуд прямоугольного импульса Частоты f, на который спектральная плотность обращается в нуль, можно найти из соотношения Эти частоты равны , т.е. 1; 2; 3 кГц и т.д. На частотах 1,5 и 2,5 кГц лепестки функции U(f) при­нимают максимальные значения, равные соответст­венно 2 и 1,3 мВ•с. График спектральной плотности амплитуд приведен на рис. 4.18. Найдем комплексную спектральную плотность тре­угольного импульса, изображенного на рис. 4.19, на частоте f= 200 Гц, если U = 10 В,  = 5 мс. Сигнал u(t) можно записать следующим образом: Комплексную спектральную плотность импульса (рис. 4.19) рассчитываем, используя формулу (4.27): Берем интеграл по частям и получаем . На частоте f= 200 Гц комплексная спектральная плотность равна 8 , т.е. спектральная плотность амплитуд рав­на 8 мВ·с, а спектральная плотность фаз равна 90°. Рис. 4.19. Треугольный импульс Из прямого преобразования Фурье легко определить спек­тры типовых, часто встречающихся в технике импульсов. Рас­смотрим некоторые из них. Импульс включения. При анализе переходных процессов в электрических цепях используется импульс включения (единичная функция) (рис.4.20), который возникает при подключении к це­пи источника постоянного напряжения: Строго говоря, эта функция не удовлетворяет условиям ин­тегрирования по Фурье, поэтому воспользуемся следующим при­емом: умножим ее на «гасящий» множитель , а затем после интегрирования перейдем к пределу при . Совершая предельный переход, получаем спектральную плот­ность импульса включения: Рис. 4.20. Импульс включения Рис. 4.21. Спектры амплитуд (а) и фаз (б) импульса включения Спектральная плотность амплитуд при этом , а спектральная плотность фаз = -90°. Графики и показаны на рис. 4.21. -импульс. Этот импульс является математической моделью очень узкого и большого по амплитуде импульса (рис. 4.22, а): удовлетворяющему условию т.е. площадь его равна единице. Для нахождения спектра -импульса воспользуемся прямым преобразованием Фурье Рис. 4.22. -импульс (a) и его спектр (б) Так как второе слагаемое равно нулю (в силу нечетности по­дынтегрального выражения), то В силу свойства (4.36, а) -импульса подынтегральное выра­жение существует только при t = 0, а это означает, что согласно (4.36, б) 1. График спектра -импульса приведен на рис. 4.22, б. Обратное преобразование Фурье для -импульса имеет вид Так как спектр (t)-импульс = 1, то Рис. 4.23. Постоянное напряжение (а) и его спектр (б) Постоянное напряжение U= 1В существует во все момен­ты времени, а не только при t≥ 0. Учитывая взаимозаменяемость параметров t и , выраже­ние (4.37, б) можно переписать в виде Сравнивая его с выражением для спектра постоянного на­пряжения приходим к выводу, что = Таким образом, спектр постоянного напряжения (рис. 4.23, б) равен нулю на всех частотах, кроме = 0, где обращается в бесконечность. Экспоненциальный импульс. Переходные процессы в цепях с одним реактивным элементом описываются экспоненциальной функцией (рис. 4.24, а) Спектральная плотность этого импульса где спектр амплитуд а спектр фаз Графики и показаны на рис. (4.24, б и в). Рис. 4.24. Экспоненциальный импульс (а) и его спектры амплитуд (б)и фаз (в). Для вычисления спектров при различных преобразованиях сигналов можно воспользоваться теоремами о спектрах. Остановимся на физической интерпретации основных теорем спек­трального анализа. Спектр суммы сигналов (теорема линейности). Если сигналы, спектры которых известны, суммируются, то для вычисления ре­зультирующего спектра можно воспользоваться теоремой линейно­сти: спектр суммы сигналов равен сумме спектров этих сигналов. Итак, если то . Сдвиг сигнала во времени (теорема запаздывания). Часто при обработке сигнала приходится осуществлять его задержку на время : В этом случае спектр задержанного сигнала умножается на множитель : При запаздывании сигнала на время его спектральная плотность амплитуд остается неизменной, а спектральная плотность фаз изменяет свой наклон на величину Дифференцирование и интегрирование сигнала. Если сиг­нал подвергается дифференцированию, то его спектр умножается на оператор : где - значение сигнала в момент времени t= 0. При интегрировании сигнала его спектр делится на (при условии = 0): . Изменение масштаба сигнала (теорема подобия). Пусть сиг­нал имеет спектр . Изменение масштаба по шкале времени приводит к изменению масштаба спектра по шкале частот: . Сжатие сигнала во времени приводит к расширению его спектра и, напротив, растяжение сигнала — к сужению спектра. Другими словами, чем короче импульс, тем шире его спектр. Построим графики спектральных плотностей ампли­туд прямоугольных импульсов, имеющих одинаковую амплитуду U,но разные длительности т: а) = 2 мс, б)= 4 мс, в) = 1 мс (рис. 4.25). Ранее было установлено, что спектральная плот­ность амплитуд U(f) прямоугольного импульса изменяется по закону Значение U(f)на ну­левой частоте равно площади импульса U(0)=U, а нули функции U(f)располагаются на частотах, кратных величинам 1/. Рис. 4.25. Прямоугольный импульс и его спектр при длительности импульса 2 мс (а), 4 мс (б) и 1 мс (в) Для импульса, имеющего параметры U= 1 В и = 2 мс, получаем U(0) = U= 2 Вмс, нули рас­положены на частотах 0,5; 1; 1,5 кГц и т.д. График спектральной плотности амплитуд такого импульса изображен на рис. 4.25, а. Увеличение длительности импульса в 2 раза ( = 4 мс) приводит, в соответствии с теоремой подо­бия, к сужению спектра в 2 раза. Это означает, что нули спектра U(f)располагаются на частотах, крат­ных 1/ = 0,25 кГц, а значение U(0) = U =4 В·мс. График спектральной плотности амплитуд импульса, имеющего параметры U= 1В и = 4 мс, изображен на рис. 4.25, б. Уменьшение длительности импульса в 2 раза ( = 1 мс) по сравнению с исходным приводит к расши­рению спектра, т.е. нули располагаются на частотах 1; 2; 3 кГц и т.д., а значение спектра на нулевой час­тоте U(0) = 1 В⋅мс. График U(f)прямоугольного импульса с параметрами U= 1 В и =1 мс изобра­жен на рис. 4.25, в. Смещение спектра сигнала (теорема модуляции). Эта теоре­ма является двойственной (дуальной) по отношению к теореме запаздывания. Если спектр сигнала (t) сместить вниз или вверх по шкале частот на величину, т.е., то это соответствует умножению сигнала на комплексную гармо­нику с частотой : u(t)= Другими словами, при умножении сигнала на гармоническое колебание с частотойспектр сигнала смещается по шкале частот на величину. Найдем спектр радиоимпульса, изображенного на (рис. 4.26, б). Радиоимпульс можно получить как произведение видеоимпульса прямоугольной формы (рис. 4.26,а) и гармонического колебания . Воспользовавшись формулой Эйлера получаем Обозначив спектр видеоимпульса как и, применив теорему смещения, находим спектр радиоимпульса: На рис. 4.27,а изображен спектр видеоимпуль­са, имеющего длительность = 10 мс. На рис. 4.27, бизображен спектр радиоимпульса с частотой гармо­нических колебаний = 100 кГц. Рис 4.26. Видеоимпульс (а)и радиоимпульс(б) Рис. 4.27. Спектры видеоимпульса (а) и радиоимпульса (б) Перемножение двух сигналов (теорема свертки спектров). Спектр произведения сигналов соответствует свертке их спектров. Так, если то Свертка двух сигналов (теорема о произведении спектров сигналов). Спектр свертки двух сигналов соответствует про­изведению их спектров. Так, если то Между спектрами непериодического и периодического сиг­налов существует связь: графики модуля спектральной плотно­сти непериодического сигнала и огибающей дискретного спектра аналогичного периодического сигнала совпадают по форме и от­личаются только масштабом. Из уравнения (4.22) следует, что если периодически повторять одиночным импульс, то амплитуды и фазы получающегося при этом дискретного спектра можно определить, заменив в комплексной спектральной плотности U(j) одиночного импульса текущую частоту на значения частот гармоник и пронумеровав эту плотность относительно величины полупериода. Таким образом, Если мы будем периодически с периодом Т повторять прямо­угольный импульс, изображенный на рис. 4.14, то в соответствии с последним выражением можно записать для комплексного спектра периодической последовательности прямоугольных импуль­сов, вытекающее непосредственно из спектральной плотности (4.35) одиночного прямоугольного импульса при замене частоты на Используя понятие скважности последовательности прямоугольных импульсов и учитывая, что , получаем комплексный спектр Можно обобщить о преобразовании Фурье сигнала s(t) и его изображения : 1) ; 2) функции, сопряженные по Фурье (4.27), (4.28) 3) функции, свернутые по времени 4) энергия периодического сигнала Свойства преобразования Фурье сведены в таблицу 4.2 Таблица 4.2 № п/ п Характер, свойство преобразования Вид колебания Спектр Примечания 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Свойство симметрии Инверсия аргумента функции Свойство линейности Изменение масштаба времени Дифференцирование по времен n- кратное дифференцирование по времени n- кратное дифференцирование по частоте Интегрирование по времени Свойство временного сдвига (теорема запаздывания) Свойство частотного сдвига Умножение на гармоническую функцию Произведение двух функций Свертка функции по времени Автокорреляционная функция (АКФ) Взаимная корреляционная функция АКФ - - знак инверсии аргумента - знак комплексной сопряженности A, B – постоянные величины a – постоянная a>1 – сжатие сигнала и растяжение спектра a<1 – растяжение сигнала и сжатие спектра - - - Результат справедлив, если – постоянная величина – постоянная величина Перенос спектра на частоту - - КФ и спектр энергии финитного сигнала s ВКФ и спектр взаимной энергии финитных сигналов Основные положения изложенных в п. 4.5 материалов: ◦ Спектр непериодического сигнала является непрерывным; он состоит из бесконечно большого числа частотных составляющих с бесконечно близкими смежными частотами и с бесконечно малыми амплитудами. ◦ Чем короче импульс любой формы, тем шире его спектр. ◦ Запаздывание сигнала приводит лишь к изменению наклона характеристики спектра фаз. ◦ Для смещения спектра по шкале частот необходимо «запол­нить» сигнал гармоническим колебанием. ◦ Операция свертки сигналов ведет к перемножению их спек­тров. ◦ Дискретный спектр «вписывается» в огибающую непрерыв­ного спектра. 4.6 Примеры определения спектральной плотности сигналов Ниже приводится краткое описание некоторых сигналов и опре­деляются их спектральные плотности. При определении спектраль­ных плотностей сигналов, удовлетворяющих условию абсолютной интегрируемости, пользуемся непосредственно формулой (4.41а). Спектральные плотности ряда сигналов приведены в табл. 4.3. 1) Импульс прямоугольной формы (табл. 4.3, поз. 4). Колебание, изобра­женное на рис. (4.28,а), можно записать в виде . Его спектральная плотность График спектральной плотности (рис. 4.28,б) построен на основе прове­данного ранее анализа спектра периодической последовательности однополярных, прямоугольных импульсов (4.14). Как видно из (рис. 4.28,б), функция обра­щается в нуль при значениях аргумента = n, где п -1, 2, 3, ... — лю­бое целое число. При этом угловые частоты равны  = . Рис. 4.28. Импульс прямоугольной формы (а) и его спектральная плотность (б) Спектральная плотность импульса при численно равна его площади, т.е G(0)=A. Это положение справедливо для импульса s(t)произвольной формы. Действительно, полагая в общем выражении (4.41) = 0, получим т. е. площадь импульса s(t). Таблица 4.3. № п/п Сигнал s(t) Спектральная плотность 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 - 17 При растягивании импульса расстояние между нулями функции сокращается, т. е. происходит сжатие спектра. Значение при этом возра­стает. Наоборот, при сжатии импульса происходит расширение его спектра а значение уменьшается. На (рис. 4.29, а, б) приведены графики амплитудного и фазового и спектров прямоугольного импульса. Рис. 4.29. Графики амплитудного (а) Рис. 4.30. Импульс прямоугольной формы, и фазового (б) спектров сдвинутый на время При сдвиге импульса вправо (за­паздывание) на время (рис. 4.30) фазовый спектр изменяется на величи­ну , определяемую аргументом множителя exp() (табл. 4.2, поз. 9). Результирующий фазовый спектр запаздывающего импульса изо­бражен на рис. 4.29,б пунктирной ли­нией. 2) Дельта-функция(табл. 4.3, поз. 9). Спектральную плотность – функциинаходим по формуле (4.41а), используя фильтрующее свойство δ-функции: Таким образом, амплитудный спектр равномерный и определяется пло­щадью δ-функции [ = 1], а фазовый спектр равен нулю [ = 0]. Обратным преобразованием Фурье от функции = 1 пользуются как одним из определений δ-функции: или Пользуясь свойством временного сдвига (табл. 4.2, поз. 9), определяем спект­ральную плотность функции , запаздывающей на время относительно : Амплитудный и фазовый спектры функции показаны в табл. 4.3, поз. 10. Обратное преобразование Фурье от функции имеет вид 3) Гармоническое колебание (табл. 4.3, поз. 12). Гармони­ческое колебание не является абсолютно интегрируемым сигналом. Тем не ме­нее для определения его спектральной плотности применяют прямое пре­образование Фурье, записывая формулу (4.41а) в виде: Тогда с учетом (4.47) получаем где δ(ω)– дельта-функции, смещенные по оси частот на частоту , соответственно вправо и влево относительно . Как видно из (4.48), спектральная плотность гармонического колебания с конечной амплитудой принимает бесконечно боль­шое значение на дискретных частотах и . Выполняя аналогичные преобразования, можно получить спектральную плотность колебания (табл. 4.3, поз. 13) (4.49) 4)Функция вида (табл. 4.3, поз. 11) Спектральная плотность сигнала в виде постоянного уровня А определяется по формуле (4.48), положив =0: 5)Единичная функция (или единичный скачок) (табл. 4.3, поз. 8). Функция не является абсолютно интегрируемой. Если представить как предел экспоненциального импульса ,т. е. то спектральную плотность функции можно определить как предел спектральной плотности экспоненциального импульса (табл. 4.3, поз. 1) при : При первое слагаемое в правой части этого выражения равно нулю на всех частотах, кроме = 0, где оно обращается в бесконечность, а площадь под функцией равна постоянной величине Поэтому пределом первого слагаемого можно считать функцию . Преде­лом второго слагаемого является функция . Окончательно получим Наличие двух слагаемых в выражении (4.51) согласуется с представлением функции в виде 1/2+1/2sign(t). Постоянной составляющей 1/2 со­гласно (4.50) соответствует спектральная плотность , а нечетной функции – мнимое значение спектральной плотности . При анализе воздействия единичного скачка на цепи, передаточная функция которых при = 0 равна нулю (т. е. на цепи, не пропускающие по­стоянный ток), в формуле (4.51) можно учитывать только второе слагаемое, представляя спектральную плотность единичного скачка в виде 6)Комплексный экспоненциальный сигнал(табл. 4.3, поз. 16). Если представить функцию в виде то на основании линейности преобразования Фурье и с учетом выражений (4.48) и (4.49) спектральная плотность комплексного экспоненциального сигнала Следовательно, комплексный сигнал обладает несимметричным спект­ром, представленным одной дельта-функцией , смещенной на частоту вправо относительно . 7)Произвольная периодическая функция. Представим произвольную перио­дическую функцию (рис. 4.31, а) комплексным рядом Фурье где — частота следования импульсов. Коэффициенты ряда Фурье выражаются через значения спектральной плотности одиночного импуль­са s(t)на частотах (n=0,±1, ±2, ...). Подставляя (4.55) в (4.54) и поль­зуясь соотношением (4.53), определяем спектральную плотность перио­дической функции: Согласно (4.56) спектральная плотность произвольной периодической функции имеет вид последовательности -функций, смещенных друг от­носительно друга, на частоту (рис. 4.31,б). Коэффициенты при δ-функциях изменяются в соответствии со спектральной плотностью одиночного им­пульса s(t) (пунктирная кривая на рис. 4.31,б). 8)Периодическая последовательность δ-функций (табл. 4.3, поз. 17). Спект­ральная плотность периодической последовательности –функций определяется по формуле (4.56) как частный случай спектральной плотности периодической функции при = 1: Рис.4.31. Произвольная последовательность импульсов (а) и её спектральная плотность (б) Рис. 4.32. Радиосигнал (а), спектральные плотности радиосигнала (в) и его огибающей (б) и имеет вид периодической последовательности δ-функций, умноженных на ко­эффициент . 9) Радиосигнал с прямоугольной огибающей. Радиосигнал, представленный на (рис. 4.32,а), можно записать как Согласно поз. 11 табл.4.2 спектральная плотность радиосигнала полу­чается путем сдвига спектральной плотности прямоугольной огибающей по оси частот на вправо и влево с уменьшением ординат в два раза, т. е. Это выражение получается из (4.42) путем замены частоты на частоты – сдвиг вправо и — сдвиг влево. Преобразование спектра огибающей показано на (рис. 4.32,б, в). Следует отметить, что результаты анализа спектров сигнала примеров 1, 2, 4, 5 полностью совпадают с расчетом спектров по пункту 4.5. Примеры расчета спектров непериодических сигналов приведены так же в [7]. 4.7 Определение активной длительности сигнала и активной ширины его спектра При практических расчетах длительности сигнала и шири­ны его спектра в ряде случаев удобно пользоваться энергетиче­ским критерием . Активную длительность импульса и активную ширину спектра (или ) определяют как интервал времени и диапазон частот соответственно, внутри которых сосре­доточена подавляющая часть полной энергии Э импульса (напри­мер, 95%). Если сигнал s(t)задан на интервале времени , то его активная длительность рассчитывается из условия В левой части равенства записана энергия сигнала, сосредоточен­ная в интервале времени 0– (рис. 4.33,а). В правой части равенства – доля (определяемая заданным коэффициентомполной энергии сигнала. Исходя из равенства Парсеваля, аналогично рассчиты­вается активная ширина спектра сигнала Таким образом, активная ширина спектра сигнала соответствует полосе частот, в пределах которой заключена доля полной энергии сигнала (рис. 4.33, б). В случае простых видеоимпульсов (например, прямоугольного, треугольного, косинусоидального), спектр которых сосредоточен в области низких частот, можно считать с достаточной для прак­тики точностью, что где , — постоянная величина, зависящая от формы импульса и критерия оценки величин и . Рис.4.33. Сигнал (а) и его спектр (б) Как видно из (4.61), уменьшение длительности импульса неиз­бежно приводит к увеличению ширины его спектра, и наоборот. Пользуясь соотношением (4.61), можно рассчитать полосу частот, занимаемую спектром сигнала в зависимости от его длительности. Рис 4.34. Прямоугольный импульс (а) и его спектр (б) Для перечисленных выше типов видеоимпульсов значение близко к единице. В частности, если оцени­вать активную ширину спе­ктра прямоугольного им­пульса длительностью (рис. 4.34,а) как полосу частот f = 0 и тем значением частоты, когда спектральная плотность первый раз обращается в нуль (рис. 4.34,б), т. е. когда аргумент спектральной плотности (4.42) прини­мает значение , то = 1.Следовательно, для пря­моугольного импульса =1. Пользуясь соотношением (4.60), можно показать, что в полосе (0, ) (в первом лепестке) сосредоточено свыше 90% полной энергии сигнала. 4.8 Вопросы и задания для самопроверки 1. Из каких тригонометрических функций можно сформировать периодический сигнал? 2. Что такое постоянная и основная составляющие, гармоники сигнала? 3. Какие формулы ряда Фурье используют для описания периодических сигналов? 4. Записать ряд Фурье (4.4) в тригонометрической и комплексных формах, ограничившись третьей гармоникой. 5. Что такое спектр амплитуд? 6. Периодический сигнал задан рядом Фурье в форме Представить этот ряд в тригонометрической форме (4.10). 7. Каким образом длительность периодических импульсов, период их следования и скважность влияют на спектр сигнала? 8. Как определить реакцию цепи на периодическое воздействие? 9. Как рассчитывается комплексная передаточная функция цепи, на вход которой поступает периодический сигнал? 10. Каков физический смысл коэффициента передачи и фазового сдвига цепи на частотах гармоник? 11. Сформулировать задачу спектрального анализа цепи при периодическом воздействии. 12. Как рассчитывается спектр реакции цепи на периодическое воздействие? 13. Что понимается под тригонометрическим рядом Фурье? Какие формы этого ряда Вы знаете? 14. Что понимается под комплексным рядом Фурье? Запишите формулу определения коэффициентов комплексного ряда Фурье. 15. Как рассчитывается комплексная спектральная плотность непериодического сигнала? 16. Как восстановить непериодический сигнал по его комплексной спектральной плотности? 17. Что такое спектральная плотность амплитуд и спектральная плотность фаз? 18. Как изменится график спектральной плотности амплитуд прямоугольного импульса, если его длительность уменьшить в три раза? 19. Как связаны между собой спектры непериодического и периодического сигналов? 20. В чем заключается интегральное преобразование Фурье? Приведите формулы прямого и обратного преобразования Фурье. При каких условиях можно пользоваться формулой прямого преобразования Фурье? 21. Как определяется частотный спектр непериодического сигнала? Какой физический смысл имеет модуль спектральной плотности сигнала? Чем определяются амплитудный и фазовый спектры непериодического сигнала? 22. Как выражается связь между спектральной плотностью одиночного импульса и комплексной амплитудой ряда Фурье, описывающего периодическую последовательность, составленную из таких импульсов? 23. Как измениться спектральная функция при умножении сигнала s(t) на ? 24. Как измениться функция при умножении сигнала s(t)на ? 25. Что происходит со спектром при сжатии (растяжении) сигнала? 26. Как изменяются амплитудный и фазовый спектры сигнала при его запаздывании? 27. Как выражается спектральная плотность произведения двух функций, если известны спектральные плотности сомножителей? 28. Какой физический смысл имеет квадрат спектральной плотности сигнала ? 29. Как формулируется равенство Парсеваля для непериодического сигнала? Глава 5. Комлексная передаточная функция и частотные характеристики цепи Комплексная передаточная функция цепи — это важнейшая характеристика линейной электрической цепи в частотной об­ласти. Электрическую цепь удобно изображать в виде четырех­полюсника (рис. 5.1), на входные зажимы (1 — ) которого по­дается воздействие в виде напряжения или тока , имеющих комплексные спектральные плотности и , а реакция цепи снимается с выходных зажимов также в виде напряжения или тока , имеющих комплексные спектральные плотности и . Комплексная переда­точная функция определяется как отношение комплексной спектральной плотности реакции цепи к комплексной спек­тральной плотности воздействия. Рис. 5.1. Четырехполюсник В зависимости от типов воздействия и реакции различают следующие виды комплексных передаточных функций: комплексная передаточная функция по напряжению комплексная передаточная функция по току комплексное передаточное сопротивление комплексная передаточная проводимость Функции и являются безразмерными вели­чинами, a и имеют соответственно размерности сопротивления и проводимости. Комплексные передаточные функции цепи определяются на каждой частотной составляющей непериодического воздействия сложной формы. Представление непериодических сигналов в форме интеграла Фурье (4.41) позволяет применить к бесконечно малым гармоникам, составляющим их спектр, методы анализа, рассмот­ренные в электротехнике. В частности, законы Ома и Кирхгофа для спектров будут иметь вид: где, – спектры токов и напряжений ветвей соответ­ственно; и имеют смысл комплексных сопротивле­ний и проводимостей ветвей. Законы Ома и Кирхгофа для спектров позволяют распро­странить рассмотренные методы анализа цепей при гармо­нических и периодических несинусоидальных воздействиях на непериодические сигналы. Найдем комплексную передаточную функцию по напряжению последовательного колебательного кон­тура, изображенного на рис. 5.2. Рис. 5.2 Последовательный колебательный контур Комплексная передаточная функция по напря­жению в цепи, изображенной на рис. 5.2, есть от­ношение комплексных спектральных плотностей на­пряжения на емкости и входного напряжения: Комплексную спектральную плотность тока в цепи рассчитывают, используя закон Ома для спектров: Подставляя в выражение для расчета , получаем Очевидно, что комплексная передаточная функ­ция зависит только от частоты и параметров цепи. Этот вывод справедлив и для любых других передаточных функций. Как всякую комплексную величину, можно предста­вить в показательной форме: Модуль комплексной передаточной функции называет­ся амплитудно-частотной характеристикойцепи (АЧХ), а ар­гумент комплексной передаточной функции называется фазо-частотной характеристикой цепи (ФЧХ). Амплитудно-частотная характеристика цепи определяет сте­пень изменения спектральной плотности амплитуд входного сиг­нала при передаче его по цепи. Фазо-частотная характеристика цепи определяет степень из­менения спектральной плотности фаз входного сигнала при пере­даче его по цепи. Для примера найдем АЧХ и ФЧХ цепи, изображенной на рис. 5.2, если R= 2 Ом, L= 0,704 мГн,С = 4 мкФ. АЧХ и ФЧХ последовательного колебательного контура определим, воспользовавшись (5.5): Подставляя в и параметры R, L, С и значение , получаем . Графики АЧХ и ФЧХ приведены на рис. 5.3. Из этих графиков следует, что, например, на частоте f=3 кГц (резонансная частота контура) ам­плитуда напряжения на конденсаторе возрастает в 6,3 раза, а фаза напряжения на конденсаторе изме­няется на -90° по сравнению с амплитудой и фазой входного напряжения. Аналогичным образом можно на каждой частоте определить изменение спектраль­ного состава сигнала при передаче его по цепи. Рис. 5.3. АЧХ и ФЧХ последовательного колебательного контура В ряде случаев частотные характеристики цепи могут изме­няться в довольно широких пределах, поэтому более удобно их оценивать в логарифмическом масштабе. С этой целью для оцен­ки АЧХ вводят понятие логарифмической амплитудно-частот­ной характеристики (ЛАХ): Значения величиныК оцениваются в децибелах (дБ). В ак­тивных цепях величину К также называют логарифмическим усилением. В пассивных цепях вместо коэффициента усиления используют понятие ослабления цепи (A): которое также оценивается в децибелах. Для примера определим пределы изменения логарифмической амплитудно-частотной характеристики цепи, если ее АЧХ принимает значения от 1 до 10000. Для определения значений ЛАХ воспользуемся выражением (5.5). Значению = 1 соответству­ет К=20lg=0 дБ. Значению=10000 соответствует К = 20lg(10 000) = 80 дБ. Характери­стику, изменяющуюся от 0 до 80 дБ, легко изобра­зить графически. Основные положения изложенных в гл. 5 материалов: ◦ Частотная характеристика показывает, как ведет себя цепь на разных частотах: АЧХ показывает изменение амплитуды каждой частотной составляющей входного сигнала при передаче по цепи; ФЧХ показывает сдвиг фаз каждой частотной составляющей. ◦ Логарифмические частотные характеристики удобны для специалистов, так как логарифмические характеристики изменяются в менее широких пределах, чем АЧХ. Глава 6. Спектральный анализ цепей при непериодических воздействиях Представление непериодического сигнала в виде суммы бесконечного количества гармонических колебаний с бесконеч­но малыми амплитудами позволяет применить известные частот­ные методы, анализа цепей при синусоидальных воздействиях к расчету линейных электрических цепей при непериодических воздействиях произвольной формы. Предположим, задана элек­трическая цепь, в которой нужно определить реакцию в виде то­ков (t)или напряжений (t)ветвей на непериодическое воз­действие (t).Для решения такой задачи необходимо прежде всего найти комплексную спектральную плотность воздействия , воспользовавшись прямым преобразованием Фурье (4.27), и комплексные сопротивления ветвей Zk(jω). Теперь можно най­ти спектральные плотности реакций цепи Ik(jω), применив для расчета любой известный метод: законы спектра напряжений или токов Кирхгофа, методы свертывания, наложе­ния, контурных токов, узловых напряжений или эквивалентного генератора. Затем спектры реакции Ik(jω) или Uk(jω)­­преобра­зуются в мгновенные значения токов ik(t) или напряжений uk(t)ветвей с помощью обратного преобразования Фурье (4.28). Для определения реакции цепи в виде четырехполюсника при воздействии на входе цепи непериодического сигнала ис­пользуют комплексную передаточную функцию цепи. Как было установлено в главе 5, комплексная передаточная функция по на­пряжению (5.1) ˗ это отношение комплексных спектральных плотностей реакции и воздействия в цепи: Зная комплексную спектральную плотность воздействия U­1(j𝜔) и комплексную передаточную функцию Hu(j𝜔) цепи, легко найти комплексную спектральную плотность U2(jω) реак­ции цепи: (6.1 а) И используя известную теорему о свертке (4.38) и (7.10), получаем свертку Все величины в уравнении (6.1а) являются комплексными и могут быть записаны в показательной форме: . При этом уравнение (6.1 а) можно представить совокупностью двух уравнений: (6.2) (6.3) из которых следует, что спектральная плотность амплитуд (ω) реакции цепи равна произведению спектральной плотности ам­плитуд (ω) воздействия и АЧХ Ни(ω) цепи, а спектральная плотность фаз (ω) реакции цепи равна сумме спектральной плотности фаз (ω)воздействия и ФЧХ(ω) цепи. После определения комплексной спектральной плотности u2(ω) реакции цепи по формулам (6.1 а) или (6.2), (6.3) сама реакция (t) четырехполюсника может быть найдена с помощью обратного преобразования Фурье (4.28) или по таблицам преобразования Фурье. Безыскаженная передача сигналов через линейную цепь возможна только при равномерной АЧХ и линейной ФЧХ цепи. Спектральный метод является достаточно эффективным и нагляд­ным при анализе передачи сигналов через линейную систему. Он позволяет оценить частотные искажения в канале связи, требова­ния к характеристикам электрической цепи. Особенно важно оп­ределить требования к АЧХ и ФЧХ цепи с точки зрения искаже­ния формы сигнала. Определим условия неискажаемой передачи сигнала через линейную систему. Предположим, что на входе ли­нейной цепи (четырехполюсника) действует сигнал опреде­ленной формы (рис. 6.1). На выходе в результате прохождения сигнала через четырехполюсник с комплексной передаточной функцией H(jω) амплитуда сигнала может измениться, и сигнал вследствие конечности скорости его распространения может за­паздывать относительно входного воздействия на .Однако важно, чтобы при этом не изменилась форма сигнала. Таким об­разом, условие безыскаженной передачи можно сформулировать с помощью равенства (6.4) где – некоторая вещественная постоянная; ˗ время задерж­ки (запаздывания) выходного сигнала относительно входного. Применив к (6.4) прямое преобразование Фурье и учтя свойство линейности и теорему запаздывания, перепишем условие (6.4) в частотной области: (6.5) Рис. 6.1. Сигнал на входе Рис. 6.2. АЧХ (а) и ФЧХ (б) четырехполюсника четырехполюсника Так как комплексная передаточная функция цепи с учетом (5.1) должна быть то отсюда получаем требование к АЧХ и ФЧХ неискажающей цепи: (6.6) , (6.7) т.е. для того, чтобы линейная цепь не искажала форму сигнала, ее АЧХ должна быть равномерной (рис. 6.2,а), а ФЧХ линейной (рис.6.2,б). Условие безыскаженной передачи во всем частотном диапа­зоне можно выполнить лишь для резистивных цепей. В цепях с реактивными элементами условия (6.6) и (6.7) можно обеспе­чить лишь в ограниченном частотном диапазоне ω0 (на рис. 6.2 показано штриховой линией). Основные положения изложенных в гл. 6 материалов: ◦ Расчет спектров реакций цепи выполняется теми же методами, что и расчет цепи синусоидального тока. ◦ От спектров реакции к их мгновенным значениям можно перейти с помощью обратного преобразования Фурье. ◦ Спектр сигнала на выходе цепи находится как произведение спектра входного сигнала и комплексной передаточной функции цепи. ◦ Линейная цепь, имеющая равномерную АЧХ и линейную ФЧХ, не искажает форму сигнала, проходящего через нее. 6.1 Вопросы и задания для самопроверки гл. 5, 6 1. Как определяется комплексная передаточная функция цепи? 2. Какие методы используются для расчета реакции цепи на непериодическое воздействие? 3. Сформулировать условия безыскаженной передачи сигналов через линейную цепь. Глава 7. Представление непериодических сигналов интегралом лапласа Подстановка оператора вместо jω в интеграл (4.27, 4.28) приводит к следующим выражениям: В выражении (7.1) и (7.2) нижние пределы интегрирования взяты равными нулю. Тем самым заранее предполагается, что напря­жения и токи отсутствуют при <0. Это не слишком жесткое огра­ничение, накладываемое на сигналы, поскольку всегда можно вы­брать такое начало отсчета, ранее которого сигналы не существуют. Выражение типа (7.1) получило название прямого преобразования Лапласа. Оно позволяет по временной форме сигнала определить его изображение по Лапласу. Выражение (7.2) называется обратным преобразованием Лапласа. Оно дает возможность перейти от изображения к оригиналу, т.е. к временному представлению сигнала. Для сокращенной записи преобразований (7.1) и (7.2) используют знак соответствия≓. Таблица 7.1. Преобразования Лапласа сигналов, используемых при анализе цепей Преобразования Лапласа для простейших функций рассчита­ны и сведены в справочные таблицы. Для теоретических и экспе­риментальных исследований характеристик электрических цепей и передачи сообщений по каналам связи используют испытатель­ные сигналы в форме единичной функции 1(t) и единичной им­пульсной функции 𝛿(t) (функция Дирака), а также гармониче­ские импульсы включения, уровни постоянных напряжений, пря­моугольные импульсы, экспоненциальные сигналы и т.д. Ориги­налы и изображения сигналов, наиболее часто применяемых при анализе электрических цепей, приведены в табл. 7.1. Определим изображения некоторых функций, оригиналы ко­торых приведены в табл. 7.1. Пример 1. Найдем изображение напряжения в форме единичной функции которое соответствует включению по­стоянного напряжения, равного 1 В, в момент = 0. Напряжение изображенное на рис. 7.1, можно представить как Преобразование Лапласа напряжения u(t) рас­считаем, используя выражение (7.1): Полученное изображение напряжения в форме единичной функции соответствует выражению, приведенному в строке 1 табл. 7.1 Рис. 7.1. Напряжение в форме единичной функции Любое произвольное постоянное напряжение, подключенное в момент времени = 0, может быть получено путем умножения единичной функции на соответствующую константу А, т.е. . Изображение такого напряжения приведено в строке 2 табл. 7.1: Пример 2. Найдем изображения напряжения в форме экспо­ненциальной функции . Согласно (7.1) изображение экспоненциального напряжения имеет вид или в сокращенной форме что соответствует выражению, приведенному в стро­ке 4 табл. 7.1. Пример 3. Найдем изображение тока . Воспользуемся формулой Эйлера и представим косинусоидальную функциюв виде Изображение гармонического тока полу­чим, используя прямое преобразование Лапласа (7.1) и разложение на две экспоненциальные функции: Рассчитав сумму двух приведенных выше интег­ралов, получим или что соответствует выражению в строке 7 табл. 7.1. Аналогичным образом, используя преобразование Лапласа, можно найти изображения синусоидального и ко­синусоидального сигналов, амплитуды которых затухают по экс­поненциальному закону (строки 8 и 9 в табл. 7.1), единичной импульсной функции (строка 3 в табл. 7.1), а также типовых сигналов и их комбина­ций (строки 5, 10, 11, 12 табл. 7.1), применение которых будет показано в следующих параграфах. Свойства преобразований Лапласа. Математическим опе­рациям над оригиналами соответствуют определенные операции над изображениями, называемые свойствами преобразований Лапласа. Они облегчают нахождение изображений сложных сигналов и вычисление искомых оригиналов по найденным изо­бражениям. Свойства преобразований Лапласа применимы к любым сигналам (токам и напряжениям), рассматриваемым в этой главе. Умножение на константу. Если оригинал , имеющий изображение , умножается на постоянный коэффициент, то изображение тоже умножается на этот же самый коэффи­циент: Аналогично Это свойство легко доказать, взяв преобразование Лапласа (7.1) от функции или Свойство линейности можно записать в виде где — постоянные коэффициенты. Свойство легко доказать, если применить к левой части пря­мое преобразование Лапласа (7.1) Приведенные выше формулы означают, что преобразование Лапласа суммы нескольких оригиналов есть сумма преобразова­ний Лапласа каждого из оригиналов. Пример 4. Найдем изображение напряжения Для нахождения изображениявоспользуем­ся данными табл. 7.1 (строки 2, 4, 6, 9) и свойствами линейности и умножения на константу. Получим Дифференцирование оригинала (теорема дифференцирования). Эта математическая операция означает, что для нахождения пре­образования Лапласа производной от оригинала необходимо изо­бражение оригинала умножить на оператор и вычесть началь­ное значение оригинала. Для доказательства подставим в выражение для опре­деления прямого преобразования Лапласа (7.1): После интегрирования по частям получаем Если начальное значение оригинала равно нулю, т.е. = 0, то Аналогично при ненулевых начальных условиях, при Другими словами, операция дифференцирования во времен­ной области заменяется простой операцией умножения изображе­ния на оператор в операторной области. Интегрирование оригинала (теорема интегрирования). Эта математическая операция показывает, что для нахожде­ния преобразования Лапласа определенного интеграла от ориги­нала необходимо разделить изображение оригинала на оператор , т.е. операция интегрирования оригинала во временной области заменяется простой операцией деления изображения на в опе­раторной области. Данную теорему доказывают, используя свойство дифферен­цирования оригинала. Применение теорем дифференцирования и интегрирования оригинала позволяет переходить от интегро-дифференциальных уравнений для оригинала к более простым алгебраическим урав­нениям, записываемым для изображений, и дальнейшему опреде­лению оригинала по найденному изображению. Пример 5. Найдем изображение напряжения, имеющего форму косинусоиды если известно, что нап­ряжение имеет изображение (см. строку 6 в табл. 7.1). Определим производную функции Получим Воспользуемся теоремой дифференцирования (7.5) и получим изображение функции: или Найдем также изображение функции , применив свойство умножения на константу: где — изображение оригинала. Сравнивая два последних выражения, находим изображение напряжения u или что согласуется со строкой 7 табл. 7.1. Теорема запаздывания. Эта математическая запись означает, что сдвиг оригиналапо оси времени на приводит к умножению изображения на экспоненту . Теорема легко доказывается, если осуществить замену пере­менной и взять преобразование Лапласа (7.1) функции . Подобное соотношение можно записать и для оригиналаВ дальнейшем будем рассматривать свойства преобразова­ний Лапласа главным образом для напряжения . Пример 6. Найдем изображение экспоненциального напряже­ния (рис. 7.2, а) Представим напряжение как сумму двух напряжений (рис. 7.2, б): Изображение напряжения имеет вид (строка 4 табл. 7.1) Напряжениес учетом теоремы запаздыва­ния (7.7) имеет изображение На основании свойства линейности получаем изображение напряжения, показан­ного на рис. 7.2, а: Этот же результат получается, если найти пря­мое преобразование Лапласа непосредственно для за­данного напряжения: Имеем Рис. 7.2. Напряжение в форме экспоненциального импульса Теорема смещения. Эта теорема констатирует, что если оригинал умножает­ся на , то изображение этого произведения получается заме­ной в изображении оригинала на . Причем α может быть как действительной, так и комплексной величиной. Теорема (7.8) следует непосредственно из прямого преобра­зования Лапласа, если в (7.1) вместоподставить . Пример 7. Найдем изображение синусоидального напряжения, амплитуда которого затухает по экспоненциальному закону Из табл. 7.1 следует, что оригиналу соответствует изображение По теореме смещения (7.8) умножение на приводит к замене в оператора на , по­этому изображение сигнала имеет вид что согласуется со строкой 8 в табл. 7.1. Теорема подобия (изменение масштаба независимого пере­менного). где ˗ постоянный вещественный коэффициент. Эта теорема ус­танавливает, что изменению масштаба оригинала по оси времени соответствует изменение масштаба изображения. Причем умно­жение времени на коэффициента ведет к делению изображения и переменной на тот же самый коэффициент . Теорема доказывается следующим образом. Находим прямое преобразование Лапласа (7.1) для оригинала : Пример 8. Найдем изображение экспоненциального нап­ряжения , если известно изображение экспоненциального напряжения По теореме подобия (7.9) с учетом того, что, получаем Пример 9. Найдем теперь изображение , используя преобразование Лапласа (7.1): Получили тот же самый результат, что и при применении теоремы подобия. Теорема свертки. Эта теорема устанавливает, что умножению изображений в области переменной соответствует свертка оригиналов во вре­менной области. Пример 10. Найдем изображение свертки двух напряжений ,. Изображения напряжений и приве­дены в табл. 7.1: По теореме свертки изображение свертки оригиналов имеет вид Найдем также изображение свертки оригиналов напряжений и , используя прямое пре­образование Лапласа. Для этого определим вначале функцию свертки: Преобразование Лапласа (7.1) оригинала напря­жения совпадает с изображением, полученным с применени­ем теоремы свертки. По полученному изображению легко найти спектр сигнала. Для этого заменяем на и полу­чаем комплексную спектральную плотность Сопоставление свойств и теорем преобразований Лапласа и Фурье, рассмотренных в гл. 4 и 7, показывает, что при замене опера­тора на и наоборот теоремы и свойства преобразований Лап­ласа и Фурье переходят друг в друга. А это означает, что спектры непериодических сигналов можно вычислить с помощью прямого преобразования Лапласа и его свойств и теорем. В свою очередь, физическая интерпретация теорем спектрального анализа позволяет понять физический смысл теорем операционного исчисления. Переход от изображений к сигналам. Для нахождения сиг­нала по его изображению можно использовать обратное преобра­зование Лапласа (7.2). Однако обычно такой подход до­вольно трудоемок, и на практике используют более простые спо­собы. Проще всего применить справочные таблицы, устанавли­вающие соответствие между оригиналами и их изображениями для типовых воздействий в электрических цепях, например, мож­но использовать табл. 7.1. Основные положения изложенных в гл. 7 материалов: ◦ Преобразование Лапласа является обобщением преобразо­вания Фурье.Заменой оператора на оператор и на­оборот осуществляется переход от одного преобразования к другому. ◦ Спектральная плотность сигнала — это сечение его изобра­жения по Лапласу вдоль мнимой оси комплексной плоско­сти. Это означает, что спектры сигналов могут быть вы­числены с помощью прямого преобразования Лапласа и, наоборот, физический смысл теорем операционного исчис­ления раскрывают теоремы о спектрах. 7.1 Вопросы и задания для самопроверки 1. Что такое оригинал и изображение сигнала? Как они связаны между собой? 2. Какая связь существует между преобразованиями Лапласа и преобразованиями Фурье? 3. Найти изображение напряжения , используя преобразования Лапласа. 4. Найти комплексную спектральную плотность напряжения . 5. Какой физический смысл имеют свойства и теоремы преобразований Лапласа? Глава 8. Электрические цепи радиотехнических сигналов Рассматриваются теория и принципы построения цепей радиотехнических устройств: длинные линии, фильтры, модуляторы и демодуляторы, преобразователи и смесители частот. 8.1. Цепи с распределенными параметрами 8.1.1. Длинные линии и телеграфные сигналы Цепи, которые рассматривались выше, относятся к классу цепей с сосредоточенными параметрами. Практически все магнитные поля в таких цепях сосредоточены в катушках, все электрические поля ˗ в конденсаторах, а потери ˗ в резисторах. В цепях с распределенными параметрами потери, емкость и индуктивность распределены в пространстве. В дальнейшем будем рассматривать распределение только вдоль одной пространственной координаты. В этом случае цепи с распределенными параметрами называют длинными линиями. Простейшим примером цепи с распределенными параметрами может служить двухпроводная линия передачи (рис. 8.1). Рис. 8.1. Двухпроводная линия передачи При протекании тока по проводам вокруг них возникает магнитное поле , что свиде­тельствует о наличии индуктивности, распределенной вдоль длины линии. Между проводами линии возникает электрическое поле, что говорит о емкости. Провода и диэлектрик между проводами нагреваются, что свидетельствует о наличии распределенных потерь. К цепям с распределенными параметрами относят телефонный провод, коаксиальный кабель, полосковую линию, прямоугольный или круглый волновод, оптоволоконную линию и т. п. Для количественной оценки распределенных параметров используются, следующие погонные параметры длиной линии (параметры единичной длины линии). 1. R0 ˗ погонное сопротивление потерь в проводниках линии.Определяется как сопротивление проводников короткозамкнутого отрезка линии длиной 1 метр. Единица измерения ˗ Ом/м. 2. L0 ˗ погонная индуктивность. Определяется как индуктивность короткозамкнутого отрезка линии длиной 1 метр. Единица измерения ˗ Гн/м. 3. C0 ˗ погонная емкость. Определяется как емкость между проводами разомкнутого на конце отрезка линии длиной 1 метр. Единица измерения ˗ Ф/м. 4. G0 ˗ погонная проводимость изоляции. Определяется как проводимость между разомкнутыми на конце проводами отрезка линии длиной 1 метр. Единица измерения ˗ См/м. Как правило, численные значения погонных параметров малы. Поэтому распределенные параметры оказывают влияние на передаваемые сигналы только при большой длине линии. На практике эффекты, обусловленные распределенными параметрами, учитывают только тогда, когда длина линии l0 сравнима или больше длины волны сигнала λ=c/f, где с ˗ скорость света, f ˗ частота. Рассмотрим установившиеся напряжение и ток в произвольном сечении длинной линии на расстоянии l от нагрузки (рис. 8.2,а). Выделим отрезок с малой длиной Δl, примыкающий к рассматриваемому сечению. Так как величина Δl<<λ, то отрезок можно представить в виде четырехполюсника с сосредоточенными параметрами (рис. 8.2,б). На выходных зажимах отрезка из-за влияния распределенных параметров ток и напряжение уменьшаются на Δt и ΔÚ соответственно. Рис 8.2. Изображение сечения длинной линии (а) и его эквивалентная схема замещения (б) Из анализа цепи (рис. 8.2, б) следует, что изменение напряжения . Раскрывая круглые скобки и пренебрегая величинами второго порядка малости, получим следующее выра­жение: . Разделив правую и левую части равенства на Δl и переходя к пределу при , получим первое телеграфное уравнение длинной линии где ˗ погонное комплексное сопротивление. Из этого уравнения следует, что комплексная амплитуда напряжения вдоль линии будет обязательно изменяться, если в сечении линии имеется не равный нулю ток (производная в (8.1) не равна нулю). Используя первый закон Кирхгофа для выходного узла отрезка длинной линии (рис. 8.2, б), получим . Разделив правую и левую части равенства на и переходя к пределу при , получим второе телеграфное уравнение длинной линии где ˗ погонная комплексная проводимость длинной линии. Из второго телеграфного уравнения следует, что при наличии напряжения в линии комплексная амплитуда тока вдоль линии будет изменяться. Телеграфные уравнения были получены в конце XIX века при исследовании линий телеграфной связи. Дифференцируя уравнение (8.1) и подставляя в это уравнение вме­сто производной от тока правую часть уравнения (8.2), получим одно­родное линейное дифференциальное уравнение относительно напря­жения в произвольном сечении линии: Из теории, дифференциальных уравнений известно, что решение уравнения (8.3) записывается в виде где ˗ коэффициент распространения, а С1 и С2 ˗ постоянные интегрирования. Из выражения (8.4) следует, что напряжение в линии состоит из двух, составляющих. Решение для тока получим дифференцируя в соответствии с фор­мулой (8.1) выражение (8.4): где ˗ волновое сопротивление. Рассмотрим решение для напряжения в произвольном сечении линии. Представляя напряжения в линии запишем в виде . В этом выражении в круглых скобках перед экспонентами находятся амплитуды напряжения. Как видим, эти амплитуды изменяются при перемещении вдоль линии. При изменении расстояния lизменяются также начальные фазы напряжений. Переходя к мгновенным значениям этих напряжений, получим где ˗ частота сигнала. График первого слагаемого в (8.6) для двух фиксированных моментов времени и представлен на рис. 8.3. На этом рисунке расстояние отсчитывается от конца линии. Как видим, за время точка a перемещается в точку b. Следовательно, первое слагаемое в (8.6) соответствует бегущей волне напряжения. Так как эта волна распространяется от генератора к нагрузке, то ее называют падающей бегущей волной. Амплитуда напряжения при перемещении волны уменьшается из-за потерь в линии. Точкам a и b графика соответствуют следующие значения, полной фазы падающей волны: гдеи ˗ расстояния от нагрузки до точек а и b (рис. 8.3). Вычитая из первого выражения второе, получим , где Из последнего соотношения следует, что за время точка а (или любая другая точка волны) переместится на расстояние . Модуль отношения этого расстояния к интервалу времени дает фазовую скорость волны в длинной линии:. Рис. 8.3. График изображения бегущей падающей волны Распределение напряжения вдоль линии, соответствующее второму слагаемому в (8.6), для двух моментов времени и представлено на рис. 8.4. За время точка а на этом рисунке перемещается в точку b. Следовательно, второе слагаемое в (8.6) соответствует бегущей отраженной волне напряжения. Амплитуда напряжения отраженной волны уменьшается с ростом расстояния от нагрузки. Отметим, что на рис. 8.3 и рис. 8.4 используются разные масштабы по осям напряжений, так как амплитуда отраженной волны напряжения в линии не может превышать амплитуду падающей волны. Рис. 8.4. График изображения бегущей отраженной волны Таким образом, в длинной линии устанавливаются две бегущие волны напряжения. Первая волна — падающая бегущая волна напряжения, переносит энергию от генератора к нагрузке. Вторая ˗ отраженная волна. Появление отраженной волны объясняется тем, что не вся энергия падающей волны поглощается в нагрузке. Часть энергии отраженная волна возвращает генератору. Из анализа решения телеграфных уравнений для тока следует, что ток в произвольном сечении линии также представляется в виде двух слагаемых. Первое слагаемое соответствует бегущей падающей, а второе ˗ бегущей отраженной волне тока. Однако у этих волн будут другие, по сравнению с напряжениями, начальные фазы. Отметим, что две бегущие волны в линии устанавливаются после завершения переходного процесса. Во время переходного процесса в линии происходит следующее. Первоначально возникшая падающая волна напряжения, распространяясь вдоль линии, доходит до нагрузки и частично отражается, порождая отраженную бегущую волну. Отра­женная волна, в свою очередь, распространяясь и доходя до входных зажимов, также частично отражается, порождая вторичную падающую волну напряжения. Вторичная падающая волна напряжения порождает вторичную отраженную волну и т. д. После каждого отражения амплитуда волны уменьшается. Поэтому через некоторое время переходный процесс практически завершится: все падающие волны, складываясь, образуют одну установившуюся падающую волну, а все отраженные ˗ установившуюся, отраженную волну в длинной линии. Распространение волн напряжения и тока характеризуют волновые параметры длинной линии: ˗ коэффициент распространения; ˗ коэффициент затухания; ˗ коэффициент фазы; ˗ волновое сопротивление; ˗ фазовая скорость; ˗ длина волны в длинной линии. Волновое сопротивление, как следует из анализа формулы (8.5), определяется отношением комплексных амплитуд падающих волн на­пряжения и тока в линии. Коэффициент фазы позволяет рассчитать длину волны в длинной линии: . Длина волны в линии пока­зана на рис. 8.4. Действительно, увеличивая длину в формуле (8.6) на , легко убедиться, что значение полной фазы бегущей волны изменится в этом случае ровно на 360 градусов. В технике связи для передачи сообщений, как правило, использу­ются длинные линии с малыми потерями. В этом случае , и. Волновое сопротивление такой линии станет вещественным и будет определяться погонными индуктивностью и емкостью линии: . Отметим, что, несмотря на вещественное значение волнового сопротивления, потерь энергии наэтом сопротивлении нет, так как сопротивление по определению есть коэффициент пропорциональности между бегущими волнами напряжения и тока в длинной линии. При создании компьютерных сетей чаще всего встречаются, линии с волновыми сопротивлениями 50 Ом, 75 Ом и 100 Ом. 8.1.2. Коэффициент отражения, стоячие и смешанные волны Появление отраженных волн при передаче сигналов с использова­нием длинных линий, как правило, является нежелательным явлением. Для оценки интенсивности отраженных волн вводится коэффициент отражения (по напряжению) где и ˗ комплексные амплитуды отраженной и падающей волн напряжения в произвольном сечении линии. Так как токи и на­пряжения в линии связаны с помощью волнового сопротивления, то коэффициент отражения для токов не вводится. Найдем коэффициент отражения (8.7) в сечении нагрузки. С учетом того, что в этом сечении напряжение и ток в линии равны току и напряжению на нагрузке, решения телеграфных уравнений при принимают вид где , ˗ напряжение и ток через нагрузку. Из первого выражения следует, что коэффициенты ˗ комплексные амплитуды напряжений падающей и отраженной волн на нагрузке. Разделив левые и правые части приведённых соотношений друг на друга и учитывая, что и получим следующую формулу для коэффициента отражения в сечении нагрузки Из выражения (8.8) получаем условие передачи сигналов без отраженной волны: . В этом случае и в линии имеется только одна падающая бегущая волна. Соотношение называют условием согласования длиной линии и нагрузки, а получающееся при этом состояние линии ˗ режимом бегущей волны. Для линии с малыми потерями волновое сопротивление равно вещественной величине . Например, на практике для построения компьютерных сетей широко используются двухпроводные линии с волновым сопротивлением, равным Ом. Следовательно, для передачи всей энергии от генератора (сервера) в нагрузку (рабочую станцию) сопротивление нагрузки должно быть равно 100 Ом. На входе линии в режиме бегущей волны существуют только напряжение и ток падающих волн: и . Их отношение дает входное сопротивление линии , равное по определению волновому сопротивлению . Для линий с малыми потерями . Передача максимума мощности от генератора в нагрузку происходит при равенстве входного сопротивления линии внутреннего сопротивления генератора. Такой режим называют режимом согласования генератора с линией. Рассмотрим далее только линии с малыми потерями, так как такие линии широко используются на практике. У линий с малыми потерями , , , и, где коэффициент фазы. Коэффициент отражения в произвольном сечении линии с малыми потерями легко найти, используя решение телеграфного уравнения для напряжения в линии Разделив второе слагаемое, соответствующее отраженной волне, на первое слагаемое, соответствующее падающей волне, получим ко­эффициент отражения в произвольном сечении Этот коэффициент отличается от только начальной фазой. Пусть в линии с малыми потерями модуль коэффициента отражения . Это случай полного отражения, при котором вся энергия падающей волны отражается от нагрузки. Из анализа формулы (8.8) следует, что полное отражение возможно в четырех случаях: на выходе линии короткое замыкание , на выходе линии холостой ход , нагрузка линии ˗ катушка индуктивности и нагрузка линии˗ конденсатор . Такие нагрузки не потребляют энергии. Зависимость результирующей амплитуды напряжения U в линии от расстояния l приведена на рис. 8.5 сплошной линией. Рис 8.5. График изображения стоячей волны Максимумы напряжения называются пучностями, а минимумы ˗ узлами. Из постоянства начальной фазы результирующего напряжения в линии следует, что узлы и пучности в длинной линии с течением времени не перемещаются. Волна, полученная в результате наложения падающей и отраженной волн при полном отражении, называется стоячей волной. Аналогичный вывод можно получить для тока в линии: при полном отражении возникает стоячая волна тока. Распределение амплитуды тока вдоль линии показано на рис. 8.5 пунктирной линией. Стоячие волны в линиях передачи сигналов, как правило, нежелательны, так как в этом случае возникают повышенные напряжения в пучностях. Отрезки линии с полным отражением используются при создании СВЧ фильтров, согласующих устройств и колебательных систем. Пусть в линии имеет место неполное отражение ˗ часть электри­ческой энергии поступает в нагрузку. Такой случай наиболее часто встречается на практике. Амплитуда отраженной волны из-за частичного поглощения энергии в нагрузке будет меньше амплитуды падающей волны: . Представим падающую волну в виде двух, составляющих: так что отраженная волна и первая часть падающей волны образовывают стоячую волну, а вторая часть падающей волны, не взаимодействуя с отраженной, останется бегущей падающей волной (рис. 8.6). Волна, образованная суммой бегущей волны и стоячей волны, называется смешанной волной. Рис. 8.6. График изображения смешанной волны Распределение вдоль линии амплитуды напряжения в смешанной волне показано на рис. 8.6. В точке а имеется пучность, а в точке б — узел напряжения в линии. Для описания смешанной волны используются коэффициент стоячей волны(КСВ) и коэффициент бегущей волны(КБВ): где и – максимальное в пучности и минимальное в узле напряжения в линии соответственно. КСВ всегда больше или равен единице, а КБВ всегда меньше или равен единице. В системах передачи сигналов стремятся получить КСВ или КБВ близкими к единице. Из анализа кривых рис. 8.6 следует, что , а. Разделив максимальное значение напряжения в линии на минимальное, получим формулу взаимосвязи коэффициента отражения и КСВ: КСВ легко определить экспериментально, измеряя с помощью вольтметра напряжения в узлах и пучностях линии. В этом случае формулу (8.9) используют для расчета модуля коэффициента отражения. На практике при построении компьютерных сетей и при использовании для передачи информации длинных линий мощность отраженной волны считается незначительной при КСВ < 2. Максимально допустимое значение модуля коэффициента отражения при этом не превышает 1/3. 8.1.3. Задерживающие цепи (Линия задержки) В радиотехнике широкое применение находят цепи, предназначенные для передачи сигналов с задержкой во времени, так называемые задерживающие цепи.Условные обозначения линии задержки приведены на рис. 8.7. Рис. 8.7. Условные обозначения ЛЗ Простейшим примером задерживающей цепи, с которой мы уже достаточно хорошо знакомы, является отрезок длинной линии без потерь, работающий в режиме бегущих волн. Сигнал произвольной формы, как известно, распространяется вдоль такой линии без каких-либо искажений. Время запаздывания, или время задержки сигнала, при этом оказывается равным , где l˗ длина отрезка линии, — скорость распространения сигнала. В линии с потерями скорость распространения гармонических колебаний, т. е. фазовая скорость, вообще говоря, зависит от частоты. Поэтому сигнал сложной формы, спектр которого содержит множество гармонических составляющих, при распространении вдоль линии испытывает искажения. Если ширина спектра мала, скорость распространения его будет определяться так называемой групповой скоростью где˗ коэффициент фазы. В линии с малыми потерями зависимость фазовой скорости от частоты проявляется достаточно слабо. На основании этого можно приближенно полагать, что и, следовательно, время задержки сигнала Задерживающие цепи с распределенными параметрами, как правило, не находят применения, так как они даже в случае малого времени задержки должны иметь весьма большую длину. Например, при скорости распространения сигнала м/сек задержку в 1 мксек создает линия длиной 300 м! В реальных условиях задержка сигналов, как правило, осуществляется посредством схем с сосредоточенными параметрами. Для управляющих колебаний в качестве задерживающих цепей часто применяют многозвенные фильтры нижних частот, образованные последовательным соединением Т- или П-образных ячеек (рис. 8.8, а и б соответственно). Рис. 8.8. Многозвенные фильтры нижних частот Нетрудно заметить, что цепь, изображенная на рис. 8.8, а (или 8.8, б) по виду аналогична эквивалентной схеме длинной линии без потерь (рис. 8.9). На основании этого можно полагать, что явления, возникающие в подобной цепи при передаче сигнала, будут похожи на процессы в линии, т. е. цепь представляет собой как бы искусственную длинную линию. Если такую «линию» согласовать с нагрузкой, то ее, очевидно, можно использовать для задержки сигналов. Рис. 8.9. Эквивалентная схема отрезка длинной линии Конечно, указанная аналогия имеет формальный характер. На самом деле рассматриваемая цепь не является системой с распределенными параметрами, и, стало быть, волновые процессы в ней существовать не могут. Запаздывание выходного сигнала относительно входного в данном случае есть лишь следствие возникающих в цепи переходных явлений. Перейдем к анализу процессов в схеме, изображенной на рис. 8.8. Для этого представим ее в виде последовательной цепочки идентичных симметричных четырехполюсников, работающих в согласованном режиме (рис. 8.10) Рис. 8.10. Последовательная цепочка симметричныхидентичных четырехполюсников. Комплексную амплитуду напряжения на входе системы обозначим а на выходе - . Тогда отношение этих амплитуд будет равно Так как для p-го четырехполюсника где Гр — коэффициент распространения, то . Постоянная для Т-образной ячейки фильтра нижних частот определяется известным выражением: где . Из этого выражения, видно, что в полосе прозрачности, т. е. при постоянная есть мнимая величина . Следовательно, на интервале модуль передаточной функции цепи а фазо-частотная характеристика Последняя на начальном участке (см. рис. 8.11) достаточно близка к прямой линии. Рис. 8.11. Фазовая характеристика фильтра нижних частот. Вычислим время задержки , полагая, что ширина спектра сигнала значительно меньше полосы прозрачности. Для этого входное напряжение и выходное представим в виде: Здесь максимальная частота спектра сигнала, причем . Разложим функцию в окрестности точки в степенной ряд . Так как по условию мало и , приближенно можно полагать Подставляя последнее выражение в равенство (8.13), находим Нетрудно заметить, что правая часть в последнем соотношении фактически представляет собой напряжение на выходе фильтра нижних частот с равномерной в пределах полосы амплитудной частотной характеристикой и линейной фазовой характеристикой Применяя к соотношению (8.14) теорему запаздывания, получим Из выражения (8.15) следует, что время задержки сигнала Для цепи, изображенной на рис. 8.8, а, при ω = 0 Следовательно, Полученное выражение дает вполне удовлетворительный результат, если превышает 0,5, т. е. Характеристическое сопротивление фильтра в этом случае приближенно можно считать постоянным: Таким образом, реальная цепь может быть использована для задержки управляющих (низкочастотных) колебаний, если ее частотные характеристики, по крайней мере, в пределах ширины спектра сигнала, близки к характеристикам идеального фильтра с П-образной амплитудно-частотной и линейной фазо-частотной характеристиками. Только в этом случае сигнал будет проходить по цепи, не испытывая заметных искажений. Сравним в заключение выражения (8.11) и (8.16), характеризующие время задержки . Совершенно ясно, что величина в задерживающей цепи с распределенными параметрами и величина в многозвенном фильтре имеют одинаковый смысл: обе они определяют фазовый сдвиг между колебаниями на входе и выходе системы. Если этот сдвиг в обоих случаях обозначить буквой , то формулы (8.11), (8.16) можно записать в виде Следовательно, время задержки сигнала в цепи с сосредоточенными параметрами мы можем формально определить как время «пробега» сигнала по цепи. Основные положения изложенных в п. 8.1 материалов: ◦ Напряжения (первое телеграфное уравнение) и ток (второе телеграфное уравнение) меняются вдоль линии связи (проводная, коаксиальная, шинная и т.д.); ◦ Бегущая падающая электромагнитная волна обеспечивает наибольшую энергию передаваемого сигнала, бегущая отраженная волна- подавляет сигнал; ◦ Баибольшая эффективность передачи сигнала обеспечивается в режиме согласования сопротивлений линии передачи и нагрузки; ◦ Задержку сигнала во времени обеспечивают специальные схемы собранные из дискретных R, L и C элементов- линии задержки; ◦ Время задержки сигнала в цепи определяется ее параметрами и соответствуют фазовому сдвигу колебаний на ее входе и выходе; 8.2. Частотный принцип преобразования радиотехнических сигналов 8.2.1. Модулированные сигналы и их спектры В устройствах связи и в компьютерных сетях широко используется частотный принцип разделения сигналов. В соответствии с этим принципом сигналам отводятся неперекрывающиеся узкие полосы частот из всего диапазона частот, занимаемого системой передачи информации. С помощью узкополосных сигналов легко организовать передачу информации от большого числа источников к большому числу получателей, при этом источники не будут мешать друг другу. Кроме частотного принципа в связи используется временной прин­ципразделения сигналов, когда каждому сигналу отводится неболь­шой промежуток времени из некоторого большого повторяющегося временного интервала, отведенного множеству сообщений. Времен­ной принцип часто используется в телефонии. Частотный принцип разделения сигналов используется в радио- и телевещании, в устройствах мобильной связи, при передаче информа­ции с помощью модемов и т. п. Большинство узкополосных сигналов, располагаясь в области высоких частот системы связи, являются вы­сокочастотными колебаниями. Важное преимущество высокочастотных сигналов состоит в том, что они хорошо излучаются неболь­шими по размеру антенными устройствами и могут распространяться на большие расстояния. Речевые и музыкальные сигналы, видеосигналы, сигналы, содер­жащие цифровую информацию и т. п., являются относительно низ­кочастотными сигналами. Их спектр занимает диапазон частот, начинающийся вблизи нуля и заканчивающийся некоторой верхней частотой. Например, телефонный речевой сигнал занимает диапазон частот от 300 Гц до 3400 Гц. Проблема передачи информации, содержащейся во многих низко­частотных сигналах, с помощью множества узкополосных каналов связи с разными частотами решается при использовании модулиро­ванных сигналов. Модулированный сигнал— это узкополосный сиг­нал, параметры которого изменяются пропорционально низкочастот­ному информационному сигналу. Как правило, модулированный сигнал является высокочастотным колебанием. Для получения моду­лированного сигнала используется гармонический сигнал , называемый в этом случае несущим колебанием (несущей частотой). Информация вносится в несущее колебание с использованием модуляции— изменения какого-либо из параметров высокочастотного сигнала пропорционально низкочастотному сигналу s(t).Различают три основных вида модуляции. При амплитудной модуляции (AM)амплитуда сигнала изменяется прямо пропорционально информационному сигналу : (8.17) где — начальное значение амплитуды несущей, — ко­эффициент, зависящий от конструкции амплитудного модулятора. По определению амплитуда гармонического сигнала является положи­тельной величиной и поэтому в модуляторе и должны быть такими, чтобы всегда . В противном случае возникает пере­модуляция. Учитывая (8.17), сигнал с AM записываем следующим обра­зом . (8.18) Для анализа амплитудной модуляции удобно использовать про­стейшее сообщение — гармонический сигнал , (рис. 8.12, а). Формула (8.18) в этом случае принимает вид (8.19) где –коэффициент амплитудной модуляции. Коэф­фициент т – основной параметр АМ-колебаний с гармонической мо­дуляцией. На рис. 8.12б,в показаны модулированные сигналы с коэффициентами AM, равными т = 0,5 и т = 1 соответственно. Рис. 8.12. Графики сигналов при АМ При стопроцентной амплитудной модуляции имеют место макси­мальные изменения амплитуды модулированного сигнала: амплитуда изменяется от нуля до удвоенного значения. Используя тригонометрическую формулу для произведения коси­нусов, выражение (8.19) перепишем в виде (8.20) Все три слагаемых в правой части формулы (8.20) — гармонические колебания. Первое слагаемое представляет собой исходное смодули­рованное колебание (несущую). Второе и третье слагаемые называют соответственно верхней и нижней боковыми составляющими. Форму­ла (8.20) дает спектральное разложение АМ-колебания. Амплитудный спектр АМ-сигнала изображен на рис. 8.13, а. Ширина спектра этого АМ-колебания равна удвоенной частоте модулирующего сигнала. Если модуляция осуществляется сложным периодическим сигна­лом, в спектре которого содержится много гармоник, то каждая из этих гармоник даст две боковые составляющие в спектре модулиро­ванного сигнала. В спектре появляются верхняя и нижняя боковые полосы (рис. 8.13, б). Ширина спектра будет определяться модулирую­щей гармоникой с максимально высокой частотой. Аналогичные ре­зультаты получим для сложного непериодического сигнала, используя теорему о спектре сигнала, умноженного на комплексный гармониче­ский сигнал. Конструкция фильтров Рис. 8.13. Амплитудный спектр сигналов при АМ Отметим, что обе боковые полосы несут полную информацию о низкочастотном модулирующем сигнале. Поэтому в технике связи часто используются сигналы с одной боковой полосой (ОБП-сигналы). Нужная боковая полоса выделяется с помощью фильтра. Вторая боко­вая полоса (включая иногда и несущую) подавляется. ОБП-сигналы занимают меньшую полосу частот и при прочих равных условиях тре­буют меньшей мощности передатчика. Фазовая модуляция (ФМ) - это изменение начальной фазы высо­кочастотного сигнала прямо пропорционально низкочастотному сиг­налу: , (8.21) где ˗ коэффициент, зависящий от конструкции фазового моду­лятора,  ˗ начальная фаза. На практике наиболее часто использу­ется модуляция с большими отклонениями фазы от начального значе­ния. С учетом (8.21) полная фаза (аргумент косинуса) при ФМ будет равна . Из анализа этой формулы следует, что скорость возрастания полной фазы при ФМ не равна частоте несущей . Понятие частоты при ФМ требует уточнения. Мгновенной частотой сигнала называют производную . У идеального гармонического сигнала мгновенная частота постоянна: . При ФМ мгновенная частота равна. Из этой формулы следует, что при ФМ в общем случае возникают изменения мгновенной частоты сигнала. При частотной модуляции (ЧМ) мгновенная частота высокочас­тотного сигнала изменяется прямо пропорционально низкочастотному сигналу: (8.22) где ˗ коэффициент, зависящий от конструкции частотного модулятора. График сигнала с ЧМ при гармоническом модулирующем сигнале приведен на рис. 8.14, б. Амплитуда сигнала с частотной модуляцией не изменяется. Увеличение уровня модулирующего сигнала вызывает увеличение мгновенной частоты сигнала. На рис. 8.14, б этому соответ­ствует увеличение числа максимумов и минимумов колебания на фик­сированном временном отрезке. При уменьшении мгновенной часто­ты сигнала увеличивается период квазигармонического сигнала. Отметим, что график на рис. 8.14, б будет соответствовать сигналу с фазовой модуляцией ˗ при ФМ амплитуда сигнала также не изменя­ется, а при гармонической ФМ возникает гармоническая ЧМ. Кривая на рис. 8.14, а в этом случае соответствует производной от модулирую­щего сигнала. Рис. 8.14. График сигналов при ЧМ Второе слагаемое в формуле (8.22), содержащее сигнал s(t),как пра­вило, много меньше частоты несущей . Только в этом случае мо­дулированный сигнал будет относительно узкополосным и не будет "мешать" другим модулированным сигналам. При частотной модуляции полная фаза сигнала определяется по формуле Как видим, при ЧМ в общем случае изменяется начальная фаза сигнала. Выше отмечалось, что при ФМ имеются изменения мгновен­ной частоты. Поэтому ФМ и ЧМ ˗ два тесно связанных друг с дру­гом вида модуляции ˗ относят к угловой модуляции (УМ). Так как при модуляции высокочастотный сигнал близок к идеальному гармо­ническому сигналу, то модулированный сигнал называют также ква­зигармоническим сигналом. Модулированный сигнал с фазовой модуляцией записывается сле­дующим образом (8.23) Если в формуле (8.23) сигнал , то (8.24) где ˗ индекс фазовой модуляции. Индекс фазовой модуля­ции в (8.24) ˗ основной показатель сигнала с гармонической фазовой модуляцией. В системах связи, как правило, используются модулиро­ванные сигналы с большими значениями индекса фазовой модуляции: . Используя введенное выше понятие мгновенной частоты, модули­рованный сигнал с частотной модуляцией запишем в виде Если для модуляции используется простейший сигнал , то мгновенная частота , где–девиация частоты, равная максимальному отклоне­нию мгновенной частоты от . Девиация частоты - основной показатель сигнала с гармонической ЧМ. Формула (8.25) при гармо­нической частотной модуляции имеет вид (8.26) Из анализа формулы (8.26) следует, что при гармонической ЧМ воз­никает гармоническая ФМ с индексом . Для определения спектра сигнала с гармонической УМ используем формулу (8.24) для сигнала с ФМ. Выражение (8.26) также можно было бы использовать для расчета спектра сигнала с угловой модуляцией. Как известно, синус в (8.26) можно заменить косинусом с дополнительной начальной фазой, равной – 90°. Для простоты при расчете спектра сигнала с угловой модуляцией начальную фазу в (8.24) примем равной нулю. Используя тригономет­рическое соотношение для косинуса суммы двух углов, формулу (8.24) перепишем в виде , (8.27) где определяются функцией ˗ функция Бесселя первого рода n-го порядка. Подставляя в (8.27), получим (8.28) …. Следовательно, при фазовой модуляции спектр колебания содер­жит несущую и бесконечное число гармонических составляющих, расположенных симметрично относительно несущей частоты (рис. 8.15). При использовании формулы (8.26) спектр ЧМ-сигнала будет отличать­ся от спектра ФМ-сигнала только начальными фазами отдельных спектральных компонент. Рис. 8.15. Амплитудный спектр сигнала с УМ Амплитуда несущей и амплитуды боковых составляющих в спек­тре сигнала с угловой модуляцией определяются функциями Бесселя. Если индекс угловой модуляции , то ) и . Дру­гие функции Бесселя будут пренебрежимо малы. В этом случае в формуле (8.28) учитываются только несущая и две боковые гармоники и спектр колебания с угловой модуляцией похож на спектр сигнала с AM. Ширина спектра сигнала при примерно равна 2 (рис. 8.15). Если индекс , то дополнительные боковые составляющие об­разуют верхнюю и нижнюю боковые полосы. Причем амплитуда не­сущей уменьшается, а при и т. п. эта амплитуда равна нулю. В этом случае вся энергия модулированного сигнала сосредо­точена в боковых составляющих. Амплитудный спектр колебания с УМ при , равном примерно 2,4 и 5, приведен на рис. 8.15. Из анализа этих спектров и графиков рис. 8.14 следует, что ширина спектра сигнала с интенсивной угловой модуляцией при примерно равна удвоен­ной девиации частоты (). Отметим, что использование угловой модуляции с большим ин­дексом позволяет получить увеличенную помехоустойчивость при передаче сложных сообщений. Сигналы с угловой модуляцией мень­ше подвержены влиянию импульсных помех, возникающих в про­мышленных электроустановках, при грозах, в транспортных средствах с электрическим питанием и т. п. Поэтому фазовая и частотная моду­ляции в настоящее время широко используются в радиовещании, в космической связи, в устройствах сотовой связи и в других системах передачи информации с малыми искажениями. Для увеличения скорости передачи сообщений в современных сис­темах связи и передачи информации используются смешанные виды модуляции. Например, в модемах используется амплитудно-фазовая или квадратурная модуляции. При такой модуляции изменяется как амплитуда, так и начальная фаза (и частота) квазигармонического сигнала. 8.2.2. Электрические фильтры В современных системах связи широко используется так называемый частотный принцип разделения сигналов. В соответствии с этим принципом каждому сообщению или виду сигнала отводится своя полоса частот. Так строится, например, радиовещание и телевещание в нашей и других странах. Радиостанции и телевизионные передатчики работают в строго определенных не перекрывающихся диапазонах длин волн. Важнейшую роль при обработке сигналов в таких системах играют электрические фильтры. Электрический фильтр ˗ это устройство, предназначенное для пропускания сигналов только в определенной полосе частот; сигналы, частоты которых не попадают в эту полосу, подавляются. Фильтры широко используются в вычислительной технике. В источниках питания фильтры применяются для подавления помех, наводок и высоко­частотных шумов. На материнских платах персональных компьютеров, как правило, устанавливаются несколько фильтров, устраняющих взаимное влияние сигналов друг на друга. Персональные ЭВМ рекомендуется подключать к сети через фильтр, который не пропускает импульсные помехи, высокочастотные наводки и шумы. По диапазону пропускаемых частот фильтры делятся на фильтры нижних частот (ФНЧ), фильтры высоких частот (ФВЧ), полосовые (ПФ) и заграждающие (ЗФ) (или режекторные (РФ)) фильтры. Условные обозначения фильтров показаны на рис. 8.16. ФНЧ пропускают сигналы с низкими частотами и подавляют сигналы с высокими частотами. ФВЧ, наоборот, пропускают сигналы с высокими частотами и подавляют сигналы с низкими частотами. ПФ пропускают сигналы только в определенной полосе частот вблизи некоторой центральной частоты, расположенной, как правило, в области относительно высоких частот. ПФ не пропускает сигналы с низкими и высокими частотами. Наконец, ЗФ пропускает сигналы с низкими и высокими частотами и задерживает сигналы с частотами, расположенными вблизи центральной частоты заграждающего фильтра. Рис. 8.16. Условные обозначения фильтров Фильтр является четырехполюсником. Поэтому для описания свойств фильтра используются функции четырехполюсника, из которых в первую очередь - комплексный коэффициент передачи по напряжению где и ˗ входное и выходное напряжения фильтра соответственно. Этот коэффициент передачи позволяет получить основную характеристику фильтра –амплитудно-частотную характеристику(АЧХ). АЧХ определяется как модуль комплексного коэффициента передачи фильтра: . АЧХ легко определить экспериментально, измеряя с помощью вольтметра входное и выходное напряжения и рассчитывая отношение этих напряжений на разных частотах. По значению модуля комплексного коэффициента передачи можно судить о подавлении или пропускании сигнала. Если , то выходное напряжение примерно равно входному напряжению и, следовательно, сигнал с частотой пропускается фильтром. Наоборот, при малых значениях АЧХ когда , получим подавление сигнала с частотой . Типовые амплитудно-частотные характеристики реальных ФНЧ, ФВЧ, ПФ и ЗФ приведены на рис. 8.17. На этом рисунке для ФНЧ и ФВЧ показана граничная частота , на которой значение Ачк равно раз. Как правило, граничную частоту считают границей полосы пропускания фильтра. Для ПФ и ЗФ показаны: ˗ центральные резонансные частоты полосы пропускания и полосы задерживания; П˗ полосы пропускания и задерживания соответственно. Отметим, что на практике кроме уровня, равного 0,707 , используют другие уровни для определения граничных частот, полос пропускания и задерживания. Кроме того, иногда вводятся дополнительные граничные частоты. Например, дополнительная частота показана на рис. 8.17а. Частота в этом случае определяет границу полосы задерживания фильтра. Избирательные свойства фильтра тем лучше, чем ближе форма АЧХ к прямоугольной. Поэтому вторая АЧХ, показанная на рис. 8.17б, принадлежит фильтру, изготовленному с лучшим качеством. Кроме АЧХ для описания фильтра используют фазочастотную характеристику (ФЧХ). ФЧХ определяется как начальная фаза (аргумент) комплексного коэффициента передачи фильтра: , где и– начальные фазы выходного и входного сигналов соответственно. Из формулы следует, что ФЧХ определяет фазовый сдвиг, добавляемый фильтром к начальной фазе входного сигнала. Как правило, фазочастотную характеристику фильтра требуется знать при использовании систем связи с так называемой угловой модуляцией, когда информация содержится в изменениях частоты и фазы сигнала. Рис. 8.17. Амплитудно-частотные характеристики фильтров Продолжим классификацию фильтров. По способу изготовления различают следующие типы фильтров: кварцевые, электромеханические, фильтры на коаксиальных линиях передачи, фильтры на поверхностных акустических волнах, фильтры на переключаемых конденсаторах, активные фильтры, на операционных усилителях, LC-фильтры - фильтры, содержащие катушки индуктивности и конденсаторы (отметим, что в схемы LC-фильтров часто дополнительно включаются резисторы) и т. д. Как правило, для упрощения теоретического анализа все разновидности используемых на практике фильтров сводят к LC - фильтрам. При этом конструктивные элементы реальных фильтров замешают их электрическими аналогами в виде катушек, конденсаторов и резисторов. Ниже рассмотрение фильтров будет ограничено анализом только LC-фильтров. Для построения LC-фильтров применяют Г-, П- и Т-образные звенья, показанные на рис. 8.18. В этих схемах используются одинаковые сопротивления и . Поэтому все три фильтра будут иметь примерно одинаковые полосы пропускания. спектральна Рис. 8.18. Конструкция фильтров Фильтры, состоящие из нескольких каскадно-включенных цепей, изображенных на рис. 8.18, называются многозвенными. Например, П- или Т-звено можно получить каскадным соединением двух Г-звеньев. Простейшие схемы однозвенных ФНЧ Г-типа, широко используемых на практике, приведены на рис. 8.19. Избирательные свойства этих фильтров объясняются свойствами катушки и конденсатора. Как известно, индуктивное сопротивление катушки увеличивается с ростом частоты, а емкостное сопротивление конденсатора, наоборот, с ростом частоты уменьшается. Рис. 8.19. Схемы однозвенных фильтров Например, работа фильтра, изображенного на рис. 8.18, а, описывается следующим образом. При увеличении частоты входного сигнала сопротивление конденсатора уменьшается: . Выходное напряжение на конденсаторе и, следовательно, высокочастотный сигнал через фильтр не проходит (подавляется). Если , то и . Следовательно, низкочастотный сигнал проходит через фильтр с малым затуханием. АЧХ фильтра низких частот приведена на рис. 8.17, а. Аналогично объясняется работа других фильтров. Отметим, что лучшую избирательность будет давать схема, приведенная на рис. 8.19в, так как в этой схеме используются частотные свойства не одного, а двух реактивных элементов. Рис. 8.20. Схемы ФНЧ на основе П- и Т-звеньев Дальнейшее улучшение прямоугольности частотных характеристик ФНЧ получим при использовании П- и Т-звеньев (рис. 8.20) и при соединении нескольких звеньев в цепочку. Часто используемые на практике простейшие схемы однозвенных ФВЧ приведены на рис. 8.21. Работа этих фильтров также объясняется частотными свойствами катушки и конденсатора. Как и для ФНЧ, использование П- и Т-звеньев улучшает прямоугольность амплитудно-частотных характеристик фильтров. Рис. 8.21. Схемы однозвенных ФВЧ Методико практического исследования фильтров приведена в работе [8]. В высококачественных полосовых и заграждающих фильрах используются как последовательный, так и параллельный колебательные контуры. Схемы Г-звеньев таких фильтров приведены на рис. 8.22. Фильтры, схемы которых изображены рис. 8.19 ̶ рис. 2.23 получили название LC-фильтров типа k. У этих фильтров произведение сопротивлений продольных и поперечных ветвей дает вещественную константу: . Если последовательные и параллельные контуры для улучшения прямоугольности АЧХ дополнительно включить в состав ФНЧ и ФВЧ, то эти ФНЧ и ФВЧ с колебательными контурами относят к фильтрам типа m. Рис. 8.22 Заграждающий фильтр сплошного вательного колебательного контура Как уже отмечалось, коэффициент передачи фильтра представляет собой отношение двух полиномов. По типу полиномов различают фильтры Баттерворта, Чебышева, Бесселя, Золотарева (Кауэра) и т.д. Схемы и параметры этих фильтров можно найти в литературе [1, 2, 6]. а) б) Рис. 8.23. Полосовой (а), «заграждающий» (б), фильтры. 8.2.3. Нелинейный элемент и воздействие на него одного сигнала. Нелинейным элементом называют элемент, параметры которого зависят от протекающего через него тока или от приложенного к нему напряжения. Типичными нелинейными элементами являются диод и транзистор. Их параметры существенно изменяются при воздействии рабочих токов и напряжений. Ранее рассматривались линейные элементы, параметры которых не зависят от протекающего тока и приложенного напряжения. Например, в рабочем диапазоне напряжений и токов такие радиоэлементы, как резисторы и конденсаторы, считаются линейными элементами. На рис. 8.22 приведены вольт-амперные характеристики (ВАХ) нелинейного (1) и линейного (2) резисторов. Рис. 8.24. ВАХ нелинейного (1) и линейного (2) резисторов Только при воздействии малых напряжений нелинейные элементы можно приближенно заменять линейными элементами. Например, характеристики диодов и транзисторов линеаризуются, если воздействует напряжение . Отметим, что кроме линейных и нелинейных элементов используются параметрические элементы, параметры которых зависят от времени. Некоторые свойства параметрических элементов близки к свойствам нелинейных элементов, так как на практике изменений параметров добиваются подачей дополнительных сигналов на параметрический элемент и параметры параметрических элементов в итоге оказываются зависимыми от напряжений или токов в цепи. Если в цепи, кроме линейных элементов, содержатся нелинейные резисторы и (или) нелинейные конденсаторы и (или) нелинейные катушки, то такая цепь называется нелинейной. Процессы в такой цепи в общем случае описываются нелинейным дифференциальным уравнением. Общих аналитических методов решения этих уравнений не существует. Как правило, эти уравнения решают на ЭВМ с помощью численных методов. Например, с помощью численных методов анализируются нелинейные цепи в программах схемотехнического моделирования. Основные явления, свойственные любой нелинейной цепи, не обязательно изучать, сопоставляя и решая сложные нелинейные дифференциальные уравнения. Общие свойства нелинейной цепи будут проявляться в простых цепях, содержащих один нелинейный резистор. Кстати, простые нелинейные цепи наиболее часто используются в радиоэлектронике. Для их анализа будем использовать один из аналитических методов -метод тригонометрических формул. В соответствии с методом тригонометрических формул вольт-амперную характеристику нелинейного резистора аппроксимируем полиномом: (8.29) где коэффициенты зависят от вида ВАХ и находятся, как правило, приравниванием значений полинома (1) в выбранных (n+1) точках к значениям в этих же точках реальной ВАХ. Пусть к нелинейному элементу приложено гармоническое напряжение . Для простоты начальная фаза этого напряжения выбрана равной нулю. Подставляя это напряжение в формулу (8.29), получим ток, протекающий через нелинейный элемент, 8.30) Используя известные тригонометрические формулы: перепишем выражение для тока в виде суммы постоянной составляющей и гармоник тока с кратными частотами (в виде ряда Фурье): где . Из анализа выражения (8.30) следует общее свойство нелинейных цепей - порождать в спектре выходного сигнала новые частоты, которых не было в спектре входного сигнала. Номер наивысшей гармоники в спектре выходного сигнала соответствует степени аппроксимирующего полинома. Как известно, сумма гармоник различных, но кратных частот образует периодический сигнал, форма которого отличается от формы гармонического колебания. Следовательно, в нелинейных цепях в общем случае искажается форма сигнала. Гармонический сигнал при этом становится негармоническим, треугольный сигнал может стать трапецеидальным и т.п. Рис. 8.25. Спектр входного (а) и выходного (б) сигналов На рис. 8.23 показаны спектры входного (а) и выходного (б) сигналов нелинейной цепи, описываемой полиномом третьей степени. Как видим, в выходном сигнале появилась постоянная составляющая, а также вторая и третья гармоники. Отметим, что возникновение новых гармоник, которых не было во входном сигнале, не нарушает законов причинности и сохранения энергии. Новые частоты: постоянную составляющую и вторую гармонику, можно получить с помощью параметрического элемента - аналогового перемножителя, подавая на него управляющий гармонический сигнал, с частотой точно равной частоте приложенного к элементу входного напряжения. Свойство нелинейных цепей порождать новые гармоники и искажать форму сигнала широко используется в радиоэлектронике при создании разнообразных устройств, таких как нелинейный усилитель на транзисторе или на операционном усилителе, выпрямитель на диодах, умножитель частот. 8.2.4. Воздействие на нелинейный элемент двух сигналов. Рассмотрим более сложный случай, когда на нелинейный элемент воздействуют два сигнала (рис. 8.24). В качестве нелинейного элемента используют диоды, транзисторы, операционные усилители и т.п. Для простоты в качестве входных сигналов будем использовать гармонические сигналы с нулевыми начальными фазами: . Частоты этих двух сигналов в общем случае различны: . Рис.8.26. Воздействие на нелинейный элемент двух сигналов Нелинейную зависимость тока i от напряжения и на нелинейном элементе аппроксимируем полиномом третьей степени: (8.31) Степень нелинейности элемента определяют в формуле (8.31) два слагаемых: и . Чем больше коэффициенты и , тем больше будет отличаться вольт-амперная характеристика нелинейного элемента от вольт-амперной характеристики линейного элемента. Для выявления основных свойств нелинейной цепи при бигармоническом воздействии такой аппроксимации более чем достаточно. Результирующее напряжение на нелинейном элементе равно сумме гармонических сигналов: . Подставляя эту сумму в выражение (8.31) и используя тригонометрические формулы, после несложных преобразований получим: Как видим, в составе тока появились известные нам из предыдущего параграфа постоянная составляющая, а также первые, вторые и третьи гармоники. Эти составляющие возникают от каждого из входных гармонических сигналов в отдельности. Кроме того при одновременном воздействии двух сигналов возникают дополнительные составляющие – комбинационные гармоники. Комбинационные гармоники – продукт взаимодействия двух входных гармонических сигналов в нелинейном элементе. Эти гармоники записаны в последних шести слагаемых формулы (8.32). Частоты комбинационных гармоник в общем случае определяются выражением: ,где ,- частоты входных сигналов, т, р =1,2,3,..., причем , где п -степень аппроксимирующего полинома. Анализируя работу параметрических элементов (например, аналогового перемножителя при воздействии двух сигналов), легко убедиться в том, что в параметрических цепях также возникают комбинационные гармоники. Как правило, спектр комбинационных гармоник в параметрических цепях значительно беднее спектра комбинационных гармоник в нелинейных цепях. Например, при подаче на аналоговый перемножитель двух гармонических сигналов на его выходе формируются только две комбинационные гармоники с частотами . Комбинационные гармоники используются в преобразователях частоты, модуляторах и детекторах (демодуляторах). Преобразователь частоты - это устройство, в котором осуществляется сдвиг спектра входного сигнала по частотной оси с сохранением информации, содержащейся во входном сигнале. Принцип работы преобразователя частоты поясняется спектральными диаграммами на рис. 8.25. Для простоты в качестве входного сигнала выбран амплитудно-модулированный сигнал. Центральная частота (несущая) входного АМ-сигнала и частота вспомогательного генератора, называемого гетеродином, показаны на рис. 8.25, а. Рис. 8.27. Спектральная диаграмма преобразователя частоты АМ-сигнал и сигнал гетеродина, воздействуя на нелинейный элемент, обусловливают появление в составе тока нелинейного элемента множества комбинационных гармоник, три из которых выделяются с помощью фильтра и поступают на выход преобразователя. Центральная частота выходного сигнала преобразователя называется промежуточной. На рис. 8.25,б показана промежуточная частота, равная разности частоты несущей и частоты гетеродина: . Из анализа амплитуд и полных фаз комбинационных гармоник (8.32) следует, что при любом изменении частоты или амплитуды входного сигнала соответствующие изменения будут возникать у сигнала с промежуточной частотой. Однако линейная зависимость в этом случае будет наблюдаться только при использовании комбинационных гармоник с частотами , (8.33) где р=1,2,3,... . Если р>1, то преобразователь называют преобразователем на гармониках гетеродина. На практике наиболее часто используют случай р = 1 и получают преобразователь частоты вниз, если или преобразователь частоты вверх, если . Преобразователи частоты часто называют смесителями. Схема простейшего преобразователя частоты на диоде приведена на рис. 8.26. Входной сигнал и сигнал гетеродина подаются на диод с помощью трансформаторов. Возникающие на нагрузочном резисторе комбинационные гармоники выделяются с помощью полосового фильтра. При проектировании преобразователей частоты необходимо следить за тем, чтобы неиспользуемые комбинационные гармоники, а также гармоники частоты сигнала и частоты гетеродина не попали в полосу пропускания полосового фильтра. Рис.8.28. Схема преобразователя частоты Преобразователь частоты используется в современных радиоприемниках для обеспечения приема сигналов от большого числа радиостанций, работающих на разных частотах. Частоты этих радиостанций последовательно преобразуются в одну и ту же промежуточную частоту и усиливаются в высококачественном избирательном усилителе. Из анализа формулы (8.33) следует, что для последовательного приема сигналов от нескольких радиостанций требуется соответствующим образом перестраивать частоту гетеродина. Модулятор - это устройство для получения модулированного, как правило, высокочастотного сигнала при подаче на вход модулятора низкочастотного сигнала, несущего информацию. При модуляции спектр низкочастотного (информационного) сигнала переносится в область высоких частот. (см. п. 8.21) В зависимости от вида модуляции различают амплитудный, частотный и фазовый модуляторы. Для простоты ниже рассмотрим только амплитудный модулятор. Спектральная диаграмма, поясняющая работу амплитудного модулятора, показана на рис. 8.27, Спектр низкочастотного гармонического сигнала с низкой частотой показан на рис. 8.27,а. На выходе амплитудного модулятора получаем модулированный сигнал, в спектре которого имеются три гармоники: несущая с частотой , верхняя боковая с частотой инижняя боковая с частотой . Информация в модулированном сигнале содержится в боковых составляющих. Из анализа спектров рис. 8.27 следует, что на выходе модулятора возникают новые частоты, которых не было на входе устройства. Следовательно, для построения модулятора необходимо нелинейные (или параметрические) устройства. Рис. 8.29. Спектральная диаграмма модулятора Схема простейшего амплитудного модулятора на диоде приведена на рис. 8.28. На диод воздействует низкочастотный сигнал и колебания от вспомогательного генератора - гетеродина с частотой , равной частоте несущей. С помощью полосового фильтра выделяются напряжения несущей и двух комбинационных составляющих с суммарной () и разностной () частотами. Следовательно, центральная частота полосового фильтра должна быть равна , а полоса пропускания - не менее . Рис. 8.30. Схема амплитудного модулятора Детектор - это устройство, выполняющее операцию, обратную по отношению к модулятору: из модулированного сигнала детектор выделяет низкочастотный информационный сигнал. В зависимости от использованного модулированного сигнала различают амплитудные, фазовые и частотные детекторы. Для простоты ниже рассмотрим амплитудный детектор. Для иллюстрации его работы можно использовать спектры, показанные на рис. 8.27,а,б. На рис. 8.27,б показан спектр АМ-сигнала с двумя боковыми составляющими. После детектирования из АМ-сигнала выделяется низкочастотный сигнал, спектр которого показан на рис. 8.27а. Схема простейшего амплитудного детектора приведена на рис. 8.29. Пусть на его вход поступает амплитудно-модулированный сигнал, содержащий три гармоники с частотами , и. В результате взаимодействия верхней боковой составляющей и несущей возникает первая разностная комбинационная гармоника с частотой . Взаимодействие несущей и нижней боковой составляющей дает вторую разностную комбинационную гармонику с той же частотой . На нагрузочном резисторе эти две комбинационные составляющие складываются - выделяется низкочастотный информационный сигнал, который через фильтр нижних частот поступает на выходдетектора. Рис.8.31. Схема амплитудного детектора Преобразователь частоты, модулятор и детектор можно выполнить на аналоговом перемножителе - параметрическом элементе, в котором, как и в нелинейных цепях, возникают комбинационные гармоники, например, на операционном усилителе [8]. Основные положения изложенных в п. 8.2 материалов: ◦ В радиотехнике используется частотный принцип разделения сигналов, например, можно слушать или смотреть передачи программ разных каналов, отличающиеся несущей частотой; ◦ При передаче низкочастотный информационный сигнал «накладывают» на высокочастотную несущую частоту. Этот процесс называется модуляцией. Благодаря модуляции габариты излучающей и приемной антенны радои-видео каналов связи удается уменьшить до размеров, соизмеримых с длиной волны несущей частоты; ◦ Различают амплитудную, частотную и фазовую модуляции, которые характеризуются соответственно коэффициентами (индексами) m, β и , которым предъявляются определенные требования, например, m≤1. Выполнение последнего обеспечивает передачу информации без искажений ◦ Фильтр обеспечивает пропускание сигналов только в определенной полосе частот его АЧХ. Различаю фильтры: низких частот (ФНЧ), высоких(ФВЧ), полосовой (ПФ) и заграждающий (ЗФ) ◦ Электрический фильтр — это устройство, которое практически не ослабляет спектральные составляющие сигнала в заданной полосе частот и значительно ослабляет (подавляет) все спектральные составляющие вне этой полосы. ◦ По расположению полосы пропускания по шкале частот различают фильтры нижних и верхних частот, полосовые, заграждающие (режекторные) и многополосные фильтры. ◦ Основными частотными характеристиками фильтра являются рабочее ослабление и квадрат ЛЧХ. Чем больше крутизна характеристики ослабления фильтра и чем меньше ослабление в полосе пропускания, тем лучше избирательность фильтра. ◦ Тип фильтра, его передаточная функция и частотные характеристики однозначно определяются функцией фильтрации. ◦ Низкочастотный фильтр-прототип является основой для получения остальных типов фильтров путем преобразования частоты ◦ При воздействии на нелинейный элемент (диод, транзистор, операционный усилитель и т.д.) гармонического сигнала на выходе появляются удвоенная, утроенная и др. его частоты, что позволяет использовать это явление для конструирования усилителей, детекторов, умножителей частоты и т.д. ◦ При воздействии на нелинейный элемент двух гармонических сигналов на выходе возникают разностные и суммирующие частоты и гармоники этих сигналов на выходе возникают разностные и суммирующие частоты и гармоники этих сигналов , что позволяет использовать это явление для конструирования модуляторов, смесителей, гетеродинов и т.д. 8.3. Вопросы и задания для самопроверки 1. В каком случае влияние распределенных параметров в длинной линии при прочих равных условиях больше: при увеличении частоты сигнала или при увеличении в 2 раза длины линии? 2. На конце линии - короткое замыкание. Чему равны амплитуда и начальная фаза отраженной волны в сечении нагрузки, если амплитуда падающей волны в этом сечении равна 5 В, а начальная фаза равна нулю? 3. По какому закону изменяется амплитуда бегущей волны в линии с потерями? Рассчитайте уменьшение амплитуды падающей волны в линии длиной 100 м, если коэффициент затухания равен a=0,05, 1/м. 4. Как изменяется начальная фаза бегущей волны вдоль линии, если коэффициент фазы Каковы длина волны в длинной линии и фазовая скорость распространения волны, если частота сигнала равна 20 МГц? 5. Где больше модуль коэффициента отражения в линии с потерями: в сечении нагрузки или на входе линии? 6. Волновое сопротивление линии связи в компьютерной сети равно 100 Ом (витая пара). Найти максимально и минимально возможные амплитуды напряжения волны в сечении нагрузки с сопротивлением 300 Ом (на входе рабочей станции), если амплитуда напряжения на входе линии (на выходе сервера) равна 10 В. Для простоты потерями в линии пренебречь. 7. В чем заключается модуляция гармонического колебания? Какие виды модуляции вы знаете? 8. Какие системы могут быть использованы в качестве модуляторов и почему? 9. Какая должна быть степень полинома аппроксимирующего ВАХ нелинейного элемента, чтобы отсутствовали нелинейные искажения? 10. Что называется угловой модуляцией? В чем заключается модуляция по частоте (фазе)? 11. Как искажаются прямоугольные импульсы в ФНЧ, в ФВЧ и в ПФ? Поясните, используя спектральные представления, причину и характер искажений коротких по длительности импульсов в ФНЧ с фиксированной граничной частотой. 12. Объясните причину появления помех в работе переносного радиоприемника, если его близко расположить у компьютера. Как изменится уровень этих помех, если приемник переключить на более высокочастотный диапазон? 13. Какие требования предъявляются к полосе пропускания системы связи, использующей импульсные сигналы? Достаточно ли, например для передачи прямоугольных импульсов, с частотой следования 10 МГц иметь полосу пропускания канала связи, равную тем же 10 МГц? 14. Объясните возникающий при просмотре кинофильмов эффект вращения колеса в обратную сторону (или остановки вращения) при движении автомобиля, если известна частота смены кадров в фильме. 15. Используя частотные свойства конденсатора и катушки индуктивности, объяснить работу ФНЧ Т-типа. 16. Какие фильтры могут использоваться в источниках питания ЭВМ, в радиоприемниках, в устройствах защиты от гармонических помех? 17. Что такое детектирование? В каких системах можно осуществить детектирование? 18. Каково назначение амплитудного детектора? Каков спектр напряжений на его выходе при однотональной модуляции? 19. Что называют характеристикой детектирования? 20. Из каких соображений выбираются элементы фильтров R и С? 21. Поясните возникновение нелинейных искажений при квадратичном режиме детектирования. Литература 1) Бакалов В.П., Журавлева О.Б., Крук Б.Н. – Основы анализа цепей /М: Телеком, 2007, 591с. 2) Кучумов А.К. – Электроника и схемотехника / М: Гелиос, 2004, 335с. 3) «Радиотехнические цепи и сигналы» /Под редакцией Самойло К.А. М: Радио и связь, 1982, 527с. 4) Зернов Н.В., Карпов В.Г. - Теория электрических цепей /: Энергия, 1972, 816c. 5) Колачевский Н.Н. – Флуктуационные явления в ферромагнитных материалах /М: Наука, 1985, 184с. 6) Касаткин А.С., Немцов М.В. – Электротехника /Академия, 2008, 539 с. 7) Филинов В.В. - Электроника и схемотехника. «Расчет спектров электрических сигналов» /М:МГУПИ, 2014, 43с. 8) Филинов В.В., Лавриненко М.М., Филинова А.В. – Электроника и схемотехника. «Радиотехнические цепи и сигналы» /М:МГУПИ, 2012, 60 с. Компьютерная верстка: Мопанько А.И. Подписано к печати Формат 60х84. 1/16 Объем Тираж 100 экз. Заказ № Московский государственный университет приборостроения и информатики 107996, Москва, ул. Стромынка, 20