Электротехника, электроника и электропривод .Часть 2

УЧЕБНО - ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ МОДУЛЬ << КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ>> Лекция 2 Семестр 1 (Весна) дисциплина <<ЭЛЕКТОТЕХНИКА, ЭЛЕКТРОНИКА и ЭЛЕКТРОПРИВОД>> ЛЕКЦИЯ 2 РАЗДЕЛ 6 Переходные процессы в линейных цепях 28 ТЕМА 6.1 Законы коммутации 29 ТЕМА 6.2 Классический и операторный методы расчета переходных процессов 35 Литература 50 2 РАЗДЕЛ 6 . ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ. 6.1 Постановка задачи расчета переходных процессов. Установившиеся режимы являются частным случаем состояния электрической цепи, т.е. динамического режима. При работе в реальных устройствах действуют изменяющиеся во времени воздействия, происходят переключения, меняющие конфигурацию цепи. Динамическим называют режим работы электротехнического устройства при изменении его структуры или под воздействием изменяющихся во времени сигналов. При анализе процессов в цепях предполагают, что после действия возмущения в системе устанавливается равновесие (установившийся режим). Переходным называют процесс в системе при переходе от одного установившегося состояния в другое. Узкая трактовка понятия переходного процесса подразумевает расчет изменения во времени токов и напряжений в цепи при коммутациях (подключение и отключение отдельных ветвей с элементами). Основой возникновения переходных процессов служит явление, заключающееся в перераспределении электромагнитной энергии в элементах цепи между двумя установившимися режимами. В электрическом поле конденсаторов и магнитном поле индуктивных катушек имеется запас электромагнитной энергии, перераспределение которой происходит в продолжение интервала времени переходного процесса. Элементы электрической цепи (конденсаторы, индуктивности) в переходном режиме характеризуются дифференциальными соотношениями между токами и напряжениями. Полная система 3 уравнений цепи представляет собой систему дифференциальных уравнений с ненулевой правой частью (при наличии воздействий). Задача расчета переходного процесса состоит в формировании и решении уравнений, описывающих зависимости от времени токов и напряжений электрической цепи при коммутациях. Уравнения электрической цепи формируют на основании законов Кирхгофа (топологические)  uk ( t )  0 , k  i j ( t )  0; (11.1) j и взаимосвязи напряжений и токов элементов (компонентные): u( i ) - для u  d dt , ( i )  L( i )i - резистора; для индуктивности, i  dq dt  C( u ) du dt - для емкости. Однозначность решения задачи расчета переходных процессов (решения дифференциальных уравнений) реализуется только при известных начальных условиях. Начальные значения токов и напряжений можно определить с использованием уравнений цепи и энергетических соотношений для компонентов. При наличии в цепи нелинейных элементов компонентные уравнения являются нелинейными и дифференциальное уравнение, описывающее переходный режим будет нелинейным. Сформулируем, например, задачу расчета напряжения u(t) на индуктивной катушке, которую в момент t=0 подключают через емкость С к источнику напряжения V(t)=at2 (рис.11.1). V С U r u L t 4 Рис.11.1 Схема анализируемой цепи Записав уравнения Кирхгофа и компонентные, после преобразований получим линейное дифференциальное уравнение: d 2 u r du 1 d 2V r dV   u 2  . L dt dt 2 L dt LC dt При заданном воздействии правая часть уравнения представляет собой известную функцию времени d 2 u r du 1 r   u  2a (1  t ) . 2 L dt LC L dt Решение полученного неоднородного дифференциального уравнения (например, методом вариации произвольной постоянной) представляется достаточно громоздким для приведенного простого примера. В общем случае при сложной функции воздействия прямые способы решения не позволяют записать ответ в виде алгебраического выражения. Общие регулярные аналитические методы решения полученной системы нелинейных дифференциальных уравнений отсутствуют. Необходимость анализа процессов в электротехнических устройствах при сложных воздействиях обусловливает применение численных методов. Практически важным аспектом исследования динамических режимов является аналитическая оценка влияния параметров схемы на переходные процессы. Сложность решения нелинейных дифференциальных уравнений 5 приводит к упрощенной постановке задачи, например, сведению нелинейной задачи к совокупности линейных. Свойство линейности цепи и применимость принципа суперпозиции дает возможность использования регулярных аналитических методов расчета. Для линейной цепи задача исследования процесса при нескольких источниках (воздействиях) сводится к последовательному расчету реакции от каждого источника. Задачу расчета переходного процесса в линейной электрической цепи с единственным источником формулируют следующим образом: - в произвольной электрической цепи выделено две пары зажимов (вход и выход), к которым подключены источник и нагрузка (рис.11.2); - требуется определить зависимость от времени выходной величины (напряжения или тока нагрузки) при произвольной форме напряжения или тока источника. i V(t) Рис.11.2 Цепь с единственным источником. Для линейной цепи целесообразно применить принцип суперпозиции, позволяющий разложить сложное воздействие на составляющие, для которых решение можно записать в виде простых функций, с последующим суммированием составляющих. При исследовании переходных процессов в линейных электрических цепях эффективна замена реальных законов изменения воздействий и параметров элементов совокупностью ступенчатых функций. Ступенчатые 6 изменения реализуют с помощью коммутации (подключения или отключения) участков схемы с источниками и приемниками. Для осуществления коммутации вводят схемный элемент - идеальный ключ (рис.11.3), удовлетворяющий следующим условиям: 1) сопротивление в замкнутом состоянии нулевое (rЗ =0); 2) проводимость в разомкнутом состоянии нулевая (Gp =0, Rp =); 3) мгновенное переключение (tпер =0). Рис.11.3 Идеальный ключ. В электротехнических устройствах при работе происходят коммутации, осуществляемые различными типами переключателей. Модели реальных коммутирующих устройств (например, электромеханического реле) наряду с идеальным ключом содержат другие схемные элементы: RЗ , LB - контактное сопротивление в замкнутом состоянии и индуктивность выводов; GP , C – проводимость утечки и емкость между контактами. Результатом одиночного переключения в линейной цепи является переходный процесс от одного установившегося состояния к другому. Схему в переходном режиме описывают обыкновенным неоднородным линейным дифференциальным уравнением с начальными условиями в момент коммутации. 7 Начальные условия можно получить из законов коммутации, базирующихся на записи закона сохранения энергии для моментов коммутации. При конечной мощности источников (которая всегда имеет место в реальных устройствах) запасенная энергия характеризуется непрерывной функцией времени. Из выражений энергии электрического поля WЭ  qu 2 и энергии магнитного поля W M  i / 2 получим непрерывность изменения заряда (напряжения) емкостей и потокосцепления (тока) индуктивностей. Для момента коммутации (t = 0) указанные законы можно записать относительно напряжения или заряда емкостей: uC (-0) = uC (+0) = uC (0) ; qC (-0) = qC (+0) = qC (0), (11.2) и тока или потокосцепления индуктивностей: iL(-0) = iL(+0) = iL(0); L(-0) =L(+0) =L(0). (11.3) В качестве простого типового воздействия выберем неизменный во времени сигнал. Такая модель дает возможность получить достаточно простые решения и, наряду с этим, позволяет реализовать любые сложные сигналы с использованием последовательности коммутаций. 11.2 Переходные процессы в цепях с одним емкостным или индуктивным элементами. Особенности анализа переходных режимов удобно проиллюстрировать на примере расчета цепей с единственным накопителем энергии (индуктивностью или емкостью). Такой анализ имеет практическое значение, т.к. во многих электрических устройствах преобладает влияние одного из накопителей энергии. 8 Рассмотрим процессы в последовательной цепи из резистора и конденсатора при подключении к источнику постоянного напряжения (рис.11.4), если конденсатор предварительно заряжен до напряжения U0. R C uC i Рис.11.4 Схема первого порядка Запишем уравнение напряжений в схеме u R  uC  V (11.4) и компонентные соотношения для элементов u R  Ri , i  C du C dt . (11.5) Подстановка (11.5) в (11.4) приводит к дифференциальному уравнению для напряжения на конденсаторе: RC du C dt  u C  V . Характеристическое уравнение имеет (11.6) вид   1  0 и имеет единственный корень    1  , где обозначено   RC . Свободный процесс в цепи, т.е. решение дифференциального уравнения при V=0 описывает соотношение u Cсв  Ae t  , (11.7) которое зависит от единственной произвольной постоянной. Установившийся режим в цепи найдем из уравнения при условии du C dt  0 , что дает u Cу  V . 9 Очевидно, что тот же результат можно получить из эквивалентной схемы для установившегося режима, в котором конденсатор заменим разомкнутым участком цепи. Из закона коммутации следует uC ( 0 )  U 0 . Постоянную интегрирования определим из решения u C ( t )  Ae  t   V при t =0, т.е. U0 =A+V. Окончательный результат имеет вид: u( t )  ( U 0  V )e  t   V . (11.8) Начнем анализ со случая подключения незаряженного конденсатора U0 =0. Тогда выражение (11.8) приобретает вид uC ( t )  V ( 1  e  t  ) В соответствии с компонентным соотношением ток в цепи i  C du C dt  I V e  t  , где I V  V R - максимальное значение тока (рис. 11.5). V i IV /2 τ 2τ 3τ t Рис.11.5 Зависимость тока в цепи от времени 10 Постоянная времени цепи   RC определяет скорость процесса уменьшения тока (она численно равна длине подкасательной в любой точке экспоненциальной функции). t  Нормированный ток i (t ) I V  e характеризуется экспоненциальной зависимостью от времени, значения которой приведены в табл.11.1. Табл.11.1 Значения экспоненциальной функции времени. t  /2  2 3 5 i(t)/IV 0.60 0.37 0.13 0.05 0.007 Теоретически процесс убывания тока до установившегося (нулевого) значения длится до бесконечности. Практически считают, что он заканчивается за интервал времени tП = (2…3). Из графика видно, что ток претерпевает скачок при t = 0. Напряжение на конденсаторе (рис.11.6) в соответствии с выражением (11.8) изменяется непрерывно и удовлетворяет законам коммутации. uC V U0 0 τ 2τ t Рис.11.6 Зависимость от времени напряжения на конденсаторе 11 Схема с одним накопителем энергии сложную разветвленную резистивную может включать достаточно схему, которую следует предварительно преобразовать. Рассмотрим расчет схемы с индуктивностью (рис.11.7). R1 R2 V R3 L i3 R0 iL Рис.11.7 Схема с одним индуктивным элементом Определим ток i3(t) при следующих номиналах компонентов V=30 B, L=0.15 Гн, R1= R2= R3= R0= R= 1кОм. Вначале рассчитаем установившийся режим схемы до коммутации (предшествующий режим) с целью определения независимого начального условия iL(0). Заменим индуктивность короткозамкнутым участком и запишем: iL (0)  V R0  R3  R1 R2  ( R1  R2 )( R0  R3  . Подстановка значений дает iL ( 0 )  0.4 V R  12 мА . Для режима после коммутации разделим расчет на два этапа. На первом определим ток индуктивности и на втором рассчитаем искомый ток. В цепи после коммутации часть схемы относительно зажимов индуктивности (резистивную) заменим эквивалентным генератором (рис.11.8,а). 12 R1 V RВХ R2 R3 iL RВХ а б Рис.11.8 Преобразование линейной части схемы Определим параметры генератора: U P  V R3 R1  R3   0.5V  15 B, R ВХ  R 2  R1 R3 R1  R3   1.5 R  1.5к . Для тока в индуктивности с помощью эквивалентной схемы (рис.11.8,б) запишем дифференциальное уравнение L di L dt  R ВХ i L  U P . Составив характеристическое уравнение и определив его корень, запишем свободную составляющую тока i Lсв (t )  Ae  t  , где   L R ВХ  0.1 мс . Рассчитаем ток индуктивности в установившемся режиме после коммутации i Ly  U P R ВХ  10 мА . Из начальных условий получим постоянную интегрирования A  i L ( 0 )  i Ly  2 мА и запишем окончательное решение i L (t )  10  2e 10000 t мА . При известном токе iL(t) искомый ток i3(t) определим из расчета резистивной цепи 13 i3 (t)  V R1  R3   iL (t) R1 R1  R3  Подстановка значений дает следующий результат i3 (t )  (10  e 10000t ) мA Замена резистивной части схемы эквивалентным генератором и разбиение расчета на два этапа позволило устранить из расчета стадию определения зависимых начальных условий по независимым. Приведенный способ расчета переходных процессов, называемый классическим, применим к более сложным разветвленным цепям высокого порядка. При этом существенно возрастает трудоемкость расчета. Поэтому используют различные способы упрощения расчета, основанные на свойствах линейных электрических цепей. Как видно из рассмотренного примера, полезным является преобразование резистивной цепи к более простому виду (двухполюснику или многополюснику). 11.3. Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях с постоянными источниками. Классический подход к расчету переходных процессов (метод расчета) базируется на составлении дифференциального уравнения для искомой переменной и его решении известными способами. Рассмотрим произвольную линейную схему (рис.11.9) , содержащую двухполюсные компоненты (пассивные), неизменные источники и идеальный ключ, замыкающийся в момент t = 0. V t=0 14 Рис.11.9 Расчетная модель схемы Уравнения линейной электрической цепи с постоянными источниками запишем в виде  ik ( t )   J k ,  u j ( t )   V j ; (11.9) u R  Ri , u L  L di dt , i c  C du dt . (11.10) k k j j Подставив компонентные соотношения (11.10) в уравнения Кирхгофа (11.9) после преобразований получим дифференциальное уравнение n – го порядка для искомого тока (напряжения): d ni d n 1 i di bn n  bn 1 n 1  ....  b1  b0 i  F ; dt dt dt (11.11) причем коэффициенты уравнения bk и правая часть F (функция воздействия) являются постоянными величинами, зависящими от топологии и параметров элементов схемы. Порядок уравнения n определяется суммарным числом индуктивностей и емкостей: n  n L  nC . (11.12) Решение уравнения (11.11), представляющего собой обыкновенное линейное неоднородное (с правой частью) дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, может быть представлено в виде суммы свободной составляющей (общего решения однородного уравнения при F=0) и любого частного решения неоднородного уравнения: 15 i( t )  iсв ( t )  i у ( t ) . Характер свободного процесса (11.13) в цепи зависит от вида корней характеристического уравнения: bn  n  bn 1  n 1  ....  b1   b0  0 . (11.14) При наличии n различных корней 1 ,  2 ,.... n свободную составляющую решения можно представить в форме: n i св ( t )   Al e l t , (11.15) l 1 содержащей n произвольных постоянных Al . Единственное решение, описывающее конкретный процесс в цепи, определяется совокупностью начальных условий, т.е. значений переменной и ее производных в момент t=0: iсв ( 0 ), iсв ( 0 ), iсв ( 0 ), .....i( n 1 )св ( 0 ) . (11.16) В качестве исходных данных при определении начальных условий следует использовать законы коммутации, позволяющие рассчитать n независимых начальных условий: i L1 (0), i L 2 (0),....u C1 (0),.....u Cn (0) . (11.17) Уравнения Кирхгофа выполняются для любого момента времени, в том числе и t=0. Зависимые начальные условия (11.16) можно получить с помощью уравнений Кирхгофа для момента t=0 с использованием независимых начальных условий (11.17), записанных из законов коммутации. При этом уравнения можно дифференцировать (n-1) раз (если существует (n1) производная воздействия). 16 В качестве частного решения неоднородного дифференциального уравнения (для схемы с постоянными источниками) удобно взять решение при условии d dt  0 (установившийся процесс в схеме после коммутации), которое удовлетворяет исходным уравнениям. Классический метод решения поставленной задачи, т.е. расчета напряжения (тока) в переходном режиме, возникающем в результате одной коммутации, содержит ряд стадий: - составление дифференциального уравнения искомой переменной с использованием топологических уравнений схемы и компонентных уравнений элементов; - запись для полученного дифференциального уравнения характеристического уравнения; расчет его корней и представление свободной составляющей решения; - расчет независимых начальных условий из законов коммутации и определение начальных условий для искомой переменной (зависимых) с использованием независимых условий и уравнений Кирхгофа; - определение частного решения неоднородного уравнения из расчета установившегося режима после коммутации; - расчет произвольных постоянных интегрирования с использованием начальных условий для искомой переменной. При реализации классического метода расчета некоторые операции можно упростить на основе свойств электрической цепи (например, можно избежать трудоемкой операции составления дифференциального уравнения схемы и записать характеристическое уравнение непосредственно по схеме). Одной из наиболее громоздких стадий расчета является составление уравнений для схемы после коммутации и их преобразование к одному дифференциальному уравнению для искомой переменной. Причем 17 полученное уравнение используют только для записи характеристического уравнения и определения его корней. Разработаны способы получения характеристического уравнения непосредственно по схеме (без составления дифференциального уравнения). В общем случае свободная составляющая решения представляет собой сумму экспонент, в показатели которых входят значения корней характеристического уравнения. Выделим обобщенную ветвь, в которую включим все типы двухполюсных пассивных элементов(рис.11.10). i R L C u Рис.11.10 Обобщенная ветвь Рассмотрим одно слагаемое решения для тока iсв (t )  Ae K t и запишем свободное напряжение на зажимах обобщенной ветви: u св (t )  Riсв  L diсв 1  iсв dt  AR   k L  1  k C iсв . dt C  Выражение в круглых скобках представляет собой сопротивление ветви току, который изменяется по экспоненциальному закону. Из сопоставления сопротивлений синусоидальному Z(j)=R+jL+1/(jC) и экспоненциальному токам следует, что Z (  )  Z ( j ) j   , где Z(j) – комплексное сопротивление цепи синусоидальному току. Таким образом, подстановка экспоненциального решения в компонентное уравнение ветви привела к замене дифференциальных соотношений алгебраическими, т.е. его «алгебраизации». 18 Для составляющих свободного тока можно составить уравнения по законам Кирхгофа и компонентные, в которых эквивалентные сопротивления зависят от λ. В результате получим полную систему уравнений для свободных составляющих, аналогичную системе уравнений схемы без источников в комплексной форме. Полученная система алгебраических уравнений с нулевой правой частью (свободные процессы рассматриваются для цепи без источников) имеет нетривиальное решение при нулевом значении определителя. Характеристическое уравнение должно цепи удовлетворять приведенному условию, т.е. обращать в нуль определитель системы алгебраических уравнений, составленных для свободных составляющих () = 0. С целью сокращения числа совместно решаемых уравнений вместо полной системы можно составить узловые уравнения, определяющие потенциалы узлов схемы. Можно показать, что для свободного режима характеристическое определителя уравнение узловых уравнений получатся приравниванием нулю у() = 0. Более того, входная проводимость схемы относительно любой пары узлов определяется как частное от деления определителя системы узловых уравнений на алгебраическое дополнение и в качестве характеристического можно использовать уравнение YВХ() = 0; также можно получить характеристическое уравнение, записав входное сопротивление схемы относительно разрыва любой ветви ZВХ () = 0. Приведенные способы записи характеристического уравнения исключают этап формирования дифференциального уравнения схемы и упрощают процедуру расчета классическим способом. 19 Расчет классическим способом переходных процессов в цепях с постоянными источниками содержит несколько этапов: 1) в схеме до коммутации рассчитывают установившийся режим и определяют независимые начальные условия iL(0), uC(0); 2) для схемы после коммутации записывают характеристическое уравнение (приравнивая нулю входное сопротивление, зависящее от , относительно размыкания любой ветви в схеме без источников или приравнивая нулю проводимость относительно любой пары узлов) и определяют корни характеристического уравнения; 3) представляют решение в форме i( t )  iсв ( t )  I у , причем представление свободной составляющей выбирают в зависимости от вида корней характеристического уравнения; 4) в схеме после коммутации рассчитывают установившийся режим и определяют Iу ; 5) определяют зависимые начальные условия по найденным независимым начальным условиям с помощью уравнений Кирхгофа; вычисляют постоянные интегрирования с использованием полученных зависимых начальных условий и записывают окончательное выражении для искомой величины. 6.2. Операторный метод расчета переходных процессов в линейных цепях. Введение в теорию прямого и обратного преобразования Лапласа. Аналогия между методом логарифмирования и методом преобразования Лапласа. Логарифмирование является одним из наиболее широко известных и простейших методов преобразования. В данном случае преобразование заключается в том, что 20 каждое число – оригинал – выражается в виде определенной степени числа 10. Показатель этой степени или логарифм оригинала представляет собой его “изображение”. Само преобразование носит название логарифмирования. Общеизвестное применение логарифмического преобразования служит для упрощения операции умножения. Упрощение достигается вследствие того, что операция умножения заменяется с помощью таблицы преобразования более простой операции сложения (например, логарифмическая линейка). Метод логарифмического преобразования упрощает решение арифметических задач: так он позволяет заменять операции умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня более простыми операциями сложения, вычитания, умножения и деления. Аналогично метод преобразования Лапласа применяется для упрощения решения линейных интегро-дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и уравнений некоторых других типов. Применение прямого преобразования к заданному уравнению и начальным условиям задачи приводит к более простому уравнению, которое является уже по существу не интегро-дифференциальным, а алгебраическим уравнением. Это более простое уравнение решается относительно некоторой промежуточной функции, по которой затем отыскивается необходимое решение заданного уравнения с помощью обратного преобразования Лапласа. Оба преобразования, прямое и обратное, на практике выполняются с помощью соответствующей таблицы, которой пользуются как слева направо, так и справа налево. Существует принципиальное различие между логарифмическим преобразованием и преобразованием Лапласа. Логарифмирование применяется для преобразования чисел, а преобразование Лапласа – для преобразования функций. Однако, их основные приемы вполне аналогичны, ибо они преобразуют определенные операции в другие – более простые. Это свойство является основным мотивом их применения. Преобразование Лапласа. 21 Преобразование Лапласа представляет собой одно из функциональных преобразований. Оно служит для преобразования определенного класса функций вещественной переменной в функции комплексной переменной. Обычно преобразуемая функция (оригинал) и ее изображение совершенно различны по виду. Прямое преобразование Лапласа (L преобразование) записывается уравнением f(t)F . . F(p)  f(p) . .  f (t ) e  pt dt  F ( p) , в котором по определению p=   j   ; a – t,  и  являются вещественными переменными. Это интегральное преобразование служит для определения преобразованной функции (“изображения”) F(p), соответствующей заданной функции (“оригиналу”) f(t). Функциональное соответствие может быть удобно представлено следующей таблицей пар: оригинал – изображение. Оригинал Изображение f(t) F(p) Таблицей соответствия можно пользоваться слева направо – прямое преобразование и справа налево – обратное преобразование. Интегральная формула обратного преобразования Лапласа предполагает интегрирование на комплексной плоскости и в силу этого используется крайне редко f(t)=   j  1 2 j 1  j   F ( p)  e  pt dp , t  0 - это следует из формулы прямого  j  преобразования Упрощение операций с помощью их преобразования. Прямое преобразование Лапласа обладает не только свойством упрощать определенные операции. Так (операции анализа) дифференцирование и интегрирование преобразуются соответственно в операции умножения и деления. 22 Изображение производной. Пусть f(t) . . F(p) Найдем изображение  UdV  U  V   VdU df (t ) . . dt  f / f / (t )  df (t ) dt (интегрирование по частям: ) (t )  e  pt dt ; dV= f / (t )dt , U= e  pt Интегрируем выражение по частям. e  pt  f (t )  0 при t   и равна f (0) при t  0 df (t ) . .  p  F ( p )  f ( 0) dt где f(0) значение функции при t = 0 Интегрирование оригинала (изображение интеграла): если f(t) . . F(p), то t  f (t )  . . dt F ( p) p Третье важное свойство – свойство линейного преобразования Лапласа, т. е. a1 f1 (t )  a 2 f 2 (t ) .  . a1 F1 ( p)  a 2 F2 ( p) Упрощение функций с помощью прямого преобразования Лапласа. Многие функции вещественной переменной преобразуются в более простые функции комплексной переменной в результате применения к ним прямого преобразования Лапласа. Так, например, функции f(t) обладающие конечным числом точек разрыва первого рода, преобразуются в функции F(s), аналитичные в комплексной плоскости. Многие часто встречающиеся трансцендентные функции преобразуются в алгебраические функции. Рассмотрим в качестве примера функцию с одной точкой разрыва первого рода: 23 0 _ при _ t  a 1 _ при _ t  a f(t)=  где а – неопределенное вещественное число. При а=0 получаем единичную функцию.   a F(s)=  e  st dt   1  e  st dt Примем, что  >0 тогда значение преобразованной функции от верхнего предела стремится к нулю, а “изображение” окончательно примет вид: F(s)= e  sa s во всей области, где Re(s)>0. Символ Re(s) означает “вещественная часть s”. Легко видеть, что при t=а не существует производной функции f(t), тогда как у ее изображения e as s существуют все производные во всей комплексной полуплоскости, где Re(s)>0. При а=0 имеем единичную функцию 1  e qt _ при _ t  0 f(t)=  0 _ при _ t  0 e 0 S 1  , где Re(s)>0 F(p) = s s Умножение единичной функции на любую функцию времени оставляет последнюю без изменения при t >0 и дает нуль при t <0. Рассмотрим трансцендентную функцию e qt , умноженную на единичную, т.е. 1  e qt _ при _ t  0 f(t)=  0 _ при _ t  0 24 Для которой применяя в дальнейшем сокращенную запись f(t)= e qt условно сохраним название показательной. Найдем изображение этого оригинала, полагая, что q – произвольное комплексное число   F(s)=  e  e dt   e ( s q )t dt   st qt 1 sq при Re (s-q) > 0, т.е. при Re  s >Re  q В то время как заданная функция (оригинал) представляет собой показательную, т.е. трансцендентную функцию, ее изображение 1/s-q является алгебраической. Из этой формулы вытекает ряд важных следствий. Положив в ней q = j  получим e jt . . 1 1 , тогда e qt . . s  j sq Например найдем изображение комплекса синусоидального тока, учтя, что e j(t  )  e jt  e j .  . e j p  j Таким образом I m * e j*(*t  )   jt . I m e .  Im 1 p  j Аналогично, изображение комплекса синусоидального напряжения:  Vm e  jt .  . Vm 1 p  j Для пар оригинал – изображение составлены таблицы, которыми широко пользуются. Изображение напряжения на индуктивности и емкости. Обозначим изображение тока i через I(s) и будем полагать его известным. Запишем изображение напряжения на индуктивности 25 Предварительно запишем без доказательства изображение первой производной df (t ) . .  sF ( s )  f (0) , dt где f(0) – значение функции f(t) при t = 0  , тогда di . .  sI ( s )  i (0) , где i(0) есть значение тока i при t( 0  ). dt Следовательно, UL  L di . .  L S  I ( s )  L  i ( 0)  V ( s ) dt Если i(0)=0, то L* di  LS  I ( s ) dt Напряжение на конденсаторе U C записывают обычно в виде: U C  1 idt . В c такой форме записи не указаны пределы интегрирования по времени. Запишем U C в виде: t 1 U C  U C (0)   idt c0 В последнем учтено, что к моменту времени t напряжение на емкости определяется не только током, протекающим в интервале от 0 до t, но и тем напряжением U C (0) , которое на нем было при t = 0  .Учитывая, что операция интегрирования является обратимой. Предварительно без доказательства запишем дифференцирование 26 t I ( s) 1 idt .  . ,  с0 cs а изображение постоянной U C (0) .  . U C ( 0) s Поэтому изображение напряжения на конденсаторе запишется следующим образом: U C . . I ( s ) U C ( 0)   VC ( s ) cs s Закон Ома в операторной форме. Внутренние э. д. с. До коммутации i = i( 0  ) и напряжение на конденсаторе U C  U C (0  ) . Вместо U L запишем L  di , вместо U C запишем dt t Тогда 1 U C (0)   idt c0 t e(t )  i  R  L  1 di  U C (0)   idt  U ab dt c0 Применим преобразование Лапласа к этому уравнению. L – преобразование является линейным, поэтому изображение суммы равно сумме изображений. Каждое слагаемое уравнения заменим определенным изображением: вместо iR запишем RI(s), вместо U ab запишем Vab (s ) . 27 di . .  LS  I ( s )  L  i (0) dt U (0) U C (0) .  . C s t 1 I (s) idt .  .  c0 cs L* e(t ) .  . E ( s ) Получим E ( s )  L  i (0)  U C (0)  I ( s )  Z ( s )  Vab ( s ) s Смысл такого преобразования состоит в том, что вместо дифференциального уравнения мы получим алгебраическое уравнение, связывающее изображение тока I(s) с изображением э. д. с. E(s) изображением напряжения Vab (s ) . Из уравнения следует, что I(s)= U C (0)  E (s) s , Z ( s) Vab ( s)  L  i(0)  где Z(s) = R+ s  L+ 1 , Z(s) представляет собой операторные сопротивления cs участка цепи между точками a и b.Y(s) = 1 - операторная проводимость. Z ( s) Уравнение может быть названо законом Ома в операторной форме для участка цепи, содержащего э. д. c., при ненулевых начальных условиях. Слагаемое Li(0) представляет собой внутреннюю э. д. с., обусловленную запасом энергии в магнитном поле индуктивности L, вследствие протекания через нее тока i(0), непосредственно до коммутации. Эта э. д. с. направлена по току в ветви, если падение напряжения U L направлено по току. 28 Слагаемое U C (0) представляет собой внутреннюю э. д. с., обусловленную запасом энергии в электрическом поле конденсатора, вследствие наличия напряжения на нем U C (0) непосредственно до коммутации. В частном случае, когда e(t) = 0 и i(0) = 0; U C (0)  0 I (s)  Vab ( s ) Z ( s) Закон Ома при ненулевых начальных условиях. Законы Кирхгофа в операторной форме. Для узла а: i  i1  i2  0 Применив L-преобразование к уравнению, получим: I ( s)  I1 ( s)  I 2 ( s)  0 В общем случае:  I (s)  0 - это 1-ый закон Кирхгофа в операторной форме. Уравнение для мгновенных значений при обходе контура по часовой стрелке. Падение напряжения на L1 состоит из двух слагаемых: L1 di1 di M 2 dt dt на L2  L2 di 2 di M 1 dt dt Далее пусть U C (0) действует согласно с током i3 . Начальное значение тока i1 равно i2 (0) . Имеем: L1 t di1 di di di 1  M 2  U C (0)   i3 dt  i2 R2  L2 2  M 1  e1 (t )  e2 (t ) dt dt c0 dt dt Каждое слагаемое заменим операторным изображением: U C (0) I 3 ( s )   I 2 ( s) R2  L2 sI 2 ( s )  s cs  L2 i2 (0)  M  I 1 ( s) s  M  i1 (0)  E1 ( s)  E3 ( s) L1 sI1 ( s)  L1i1 (0)  MsI 2 ( s)  M  i2 (0)  29 Объединим слагаемые с I1 (s), I 2 (s), I 3 (s), перенесем U C (0), L1i1 (0) и другие внутренние э. д. с. и получим: I 1 (s) Z1 ( s)  I 2 ( s) Z 2 (s)  I 3 ( s) Z 3 ( s)  E1 ( s)  E2 (s)  Eвн (s) здесь Z1 ( s)  s  ( L1  M ) ; Z 3 (s)  1 ; cs Z 2 ( s )  s  ( L 2  M )  R2 E вн ( s )  ( L1  M )  i1 (0)  ( M  L2 )  i 2 (0)  U C ( 0) s В более общем виде уравнение можно записать:  I  ( p )  Z  ( p )   E ( p ) - 2-ой закон Кирхгофа в операторной форме. Если для операторного метода справедливы законы Кирхгофа, то и остальные методы, основанные на законах Кирхгофа, также справедливы: метод эквивалентного генератора, метод контурных токов, метод узловых потенциалов, метод наложения и т. д. При сопоставлении уравнений, учет ненулевых начальных условий производится путем введения внутренних э. д. с., обусловленных начальными токами через индуктивность и начальными напряжениями на емкости. Последовательность расчета в операторном методе. В общем случае порядок решения задачи следующий: 1) Записывается интегро-дифференциальные уравнения Кирхгофа для исследуемой цепи; 2) Записываются те же уравнения для изображений с учетом независимых начальных условий; 3) Уравнения для изображений решаются алгебраически относительно изображения искомой функции; 4) На основе полученного изображения находится оригинал искомой функции. При достаточном навыке можно обойтись без записи интегродифференциальных уравнений, если предварительно нарисовать 30 эквивалентную схему для изображений. Такая схема отличается от схемы цепи для установившегося sin режима тем, что комплексные величины jwLи jwc заменяются соответственно на sL и sс и вместо комплексных функций времени вводятся их изображения. Кроме того, при ненулевых начальных условиях в схему для изображений последовательно с индуктивностью включается дополнительный источник э. д. с. LiL (0), а последовательно с емкостью - U c (0) . Пример: 1) E  i11 (r1  L1 di11 di di  r2  L2 11 )  i 22 (r2  L2 22 ) dt dt dt 2) 0  i22 (r2  r3  L2 t di22 di 1 )   i22 dt  U c (0)  i11 (r2  L2 11 ) dt c0 dt Соответствующие уравнения для изображений, если обозначить i11 (t )  I 11 ( s ), i22 (t )  I 22 ( s) 1) E  I 11 ( s)  (r1  r2  sL1  sL2 )  L1i11 (0)  L2 i11 (0)  I 22 ( s)  (r2  sL2 )  L2 i22 (0) 2)0  I 22 ( s)  (r2  r3  sL2 )  L2 i22 (0)  I 22 ( s)  I 11 ( s)  (r2  sL2 )  L2 i11 (0) sc Те же самые уравнения получаются и на основании эквивалентной схемы, составленной для изображений. 31 Теоремы запаздывания и смещения. До сих пор предполагалось, что воздействие к электрической цепи всегда подводилось в момент начала отсчета времени, т.е. при t=0, что ,в общем случае, или не всегда имеет место, или не всегда выгодно. Пусть известно преобразование Лапласа F1 (S) для функции f 1 (t) “начало” которой совмещено с моментом отсчета времени t=0. Найдем  - изображение функции f 2 (t), которая отличается от f 1 (t) лишь тем, что запаздывает относительно нее на время  . Поскольку функции f 1 (t) и f 2 (t) связаны зависимостью . f 2 (t)= f 1 (t-  ) и f 1 (t)  F1 (S) .  F2= f 2  (t )e dt   f 1 (t   )e  st dt  st 32 Но функция f 1 (t-  ) тождественно равна нулю при t<  , поскольку равна нулю функция f 1 (t) и t<0. Поэтому в последнем интеграле нижний предел интегрирования ограничить значением t=  .Таким образом  F2 ( s )   f1 (t   )e  st dt  Произведем в интеграле замену переменных, получив x= t-  , тогда t=x+  при t=   x=0 :  =const d(x+  )=dx  F2 ( s )   f 1 ( x)e  s ( x  ) dx  e  s   f ( x )e 1  sx dx Но последний интеграл по определению, представляет собой изображение функции f 1 (t), следовательно F2 ( s )  e  s F1 ( s ) . f (t   )  e  s F ( s ) . Таким образом запаздывание оригинала на время  соответствует умножение изображения на множитель e  s . Это так называемая Теорема запаздывания Пример: 33 Импульс прямоугольной формы. Такой импульс можно рассматривать как сумму двух перепадов напряжений. Тогда  -изображение импульса будет являться суммой  -изображений . двух перепадов напряжения, но E1(t )  . E , а F2 (S ) будет отличаться от F1 (S ) S лишь знаком u по теореме запаздывания ,экспоненциальным множителем, поэтому 1  e  stu E E  stu F ( S )  F1 ( S )  F2 ( S )   ( e )  E S S S Важно отметить, что в рассматриваемом примере преобразование Лапласа не является, в отличие от всех рассматриваемых ранее случаев, рациональной функцией оператора S .Это характерно, вообще говоря, для 34 оригиналов, значения которых отличаются от нуля лишь в течение ограниченного интервала времени. Теорема разложения а) Нахождение оригинала по изображению с помощью обратного преобразования Лапласа. Прямое преобразование Лапласа весьма широко применяется для расчета переходных процессов, так как операции с изображениями достаточно просты. Для обратного перехода от изображений к оригиналу может быть использовано обратное преобразование Лапласа.   j 1 f (t )  F ( p )e pt dp Формула обращения Римана-Меллина  2j   j Однако в большинстве случаев оно не используется в виду сложности. В частных случаях, имеющих больше прикладное значение, а именно, когда  -изображение искомой функции представляет собой рациональную функцию, те же результаты могут быть получены более элементарным путем. а) Использование таблиц соответствия.(например, В.А. Диткин, П.И. Кузнецов “Справочник по операционному исчислению”) Существуют таблицы в которые сведены некоторые соответствия между оригиналами и  -изображениями. б) Разложение  -изображения на простые дроби. Пусть  -изображение функции F(p) искомой функции f(t) представляет собой соотношение двух полиномов N(p) и M(p) все коэффициенты которых вещественны, т.е. пусть F(p) является рациональной функцией с вещественными коэффициентами N ( p ) a n p n  a n 1 p n 1    a1 p  a 0  F ( p)  M ( p ) bm p m  bm 1 p m 1    b1 p  b0 Корни различны nn где pk -корни уравнения M(p)=0 . Числа p1 , p 2 ,  , p m , при которой знаменатель рациональной функции обращается в нуль, наз. полюсами этой функции; они же являются нулями полинома знаменателя. Если все p1 ,  , p m различны, то полюсы рациональной функции наз. простыми , если же среди этих чисел встречаются одинаковые, то соответствующие полюсы наз. кратными. Коэффициенты A1 , A2 и т.д. можно определить по методу неопределенных коэффициентов. Для этого в уравнении (*) приводим правую часть к общему знаменателю и затем путем сопоставления коэффициентов при одинаковых степенях p составляем систему уравнений для определения A0 , A1 , A2 и т.д. Данный метод (неопределенных коэффициентов) среди других, обладает и тем недостатком, что он не позволяет записать решение в форме, отличной от числовой. Оригиналом для изображения (*) является сумма экспоненциальных функций f (t )  A1e p1t  A2 e p2t    Am e pmt m   Ak e pk t k 1 36 Находя иное решение той же задачи, умножим обе части равенства (*) на множитель ( p - p1 )  A2 1     Am ( p  p1 ) F ( p )  A1  ( p  p1 )   p  pm   p  p2 При p  p1 имеем A1  lim ( p  p1 ) F ( p)  lim ( p  p1 ) p  p1 p  p1 N ( p) M ( p) Здесь множитель ( p - p1 ) и знаменатель M(p) одновременно стремятся к нулю при p  p1 M ( p )  ( p  p1 )( p  p 2 )  ( p  p m ) Возникающая неопределенность легко раскрывается по правилу Лопиталя   A1   N ( p )   d  ( p  p1 )  N ( p1 ) dp   d M ( p1 ) M ( p)   dp p  p1 Здесь M ( p ) -значение производной полинома M(p) по переменному p при p  p1 . Это значение не равно нулю, т. е. M ( p )  0 , т.к. полином M(p), по предположению имеет только простые нули. Очевидно, что аналогичные рассуждения применимы и для любого из коэффициентов Ak , тогда Ak  N ( pk ) M ( p k ) и, следовательно, F ( p)  m N ( pk ) 1 N ( p) a n p n  a n 1 p n 1    a1 p  a 0    ( p  p1 )( p  p 2 )  ( p  p m ) M ( p) k 1 M ( p k ) p  p k 37 а, соответствующий, ему оригинал N ( p k ) pk t e k 1 M ( p k ) m f (t )   Это общая форма теоремы разложения для случая простых корней. В случае комплексных корней получаются сопряженных слагаемых, сумма которых равна удвоенному значению действительных частей. Если один из корней равен нулю, соответствующая показательная функция преобразуется в постоянную в-ну. Случай кратных полюсов В случае когда рациональная функция N ( p) имеет кратные полюсы, т.е. M ( p) когда уравнение M(p)=0 имеет кратные корни, также применимо разложение на простые дроби. Если, например, при p  p1 расположен полюс кратности “e” , то в указанном расположении содержится группа слагаемых вида: A11 A12 A1e   разложение на простые дроби по методу 2 p  p1 ( p  p1 ) ( p  p1 ) e неопределенных коэффициентов. Изображения, соответствующие каждому из этих слагаемых легко находятся таблицей соответствия из которой следует: A ( p   )n  A n 1 t  (n  1)! t e учтем, что 0!=1 Тогда последней сумме соответствует оригинал f1 (t )  ( A11  A12 t  A13 2 A1e e 1 p1t t )e t  2! (e  1)! Общая формула для случая кратных полюсов для записи излишне сложна. Случай кратных корней 38 В случае кратных корней ( pk повторяется m раз) Справедлива следующая формула разложения: f (t )  e pk t t m i A (i 1) ( p k )  учтем, что 0!=1 i 1 ( m  i )!(i  1)! m Эта формула универсальна; она справедлива для любого корня. Если функция F(p)=0 содержит несколько кратных корней, то формула применяется поочередно для каждого корня, после чего полученные результаты суммируются. Если имеются простые и кратные корни, то соответствующие формулы применяются раздельно для простых и кратных корней, после чего производится суммирование результатов. Операторный метод представления импульсов. Представление произвольных воздействий в операторном методе основано на применении обобщенных функций и теоремы запаздывания.    s Если f1 (t )  F1 ( s) , то f 2 (t )  f 1 (t   )  F1 ( s )e . Важно отметить, что  st появление множителя e 1 совсем не усложняет операторного выражения, так как при переходе к оригиналу от операторного выражения, содержащего e  s , достаточно найти оригинал F(s) и подставить в полученное выражение вместо t разность t  t 0 . Например, F1 ( s)  F (s)  1  st1 e  st1  e s  a F (s) 1   f (t )  e  at 1(t )  f 1 (t )  e  a ( t t1 ) 1(t  t1 ) sa  Представление сложных функций при помощи теоремы запаздывания требует соблюдения следующего правила: все составляющие сложной функции должны продолжаться неограниченно долгое время. Желательно так же, чтобы эти составляющие имели наиболее простые выражения. 39 Пример: 40 На основании теоремы запаздывания получаем v( s )  U 1 (0) U (t )  vu ( s)  1 1 e  st1  vu ( s)e  st1 s s    k s2 k s2 kt    0 при t  0  r  E  t L i (t )  i1 (t )  i2 (t ) (1  e ) при 0  t  t u r r ( t tu ) r E  t   E L L ( 1 e ) 1 e       при t  t u r   r  r r  t  ( t tu ) E E i (t )  (1  e L )1(t )  (1  e L )1(t  t u ) r r 41 Без доказательства приведем т.н. теорему смещения с помощью которой устанавливается связь между  -изображениями функции f1 (t ) и f 2 (t )  e t f1 (t ) , отличающихся только экспоненциальным множителем. Оказывается умножению оригинала на экспоненциальный множитель e t соответствует замена оператора p на оператор p  , т.е. смещение оператора на постоянную  , т.е.   t Если F ( p)  f (t ) , то F ( p   )  e f (t ) Теорема смещения полезна для установления ряда соотношений. Зная   p  p  t e t   cos находим иропрпр, что cos t  2 2  ( p   )2   2 p     p2   2 sin t  e t  sin t    ( p  )2   2 Теорема смещения часто читается так: Замена в  -изображении оператора p на оператор p   соответствует умножение оригинала на множитель e t . Рассмотрим примеры расчета электрических цепей классическим и операторным методами. При анализе переходных процессов ограничимся рассмотрением цепей первого порядка 42 Классический метод. 1 idt  ir  0 с du cr c  uc  0 dt u c  ucпр  u cсв uc пр 0 uccв  Ae pt p rc p  1  0 u c  Ae  1 c t c u (o )  u c (0  )  U co  U co  Ae 0 u c  U co e  t rc d U co  rc io  c  e dt r t 43 U I ( p)  ( co ) pc p 1 Z ( p)  r  pc I ( p )r  U co t  U I ( p)    co e rc 1  r p(r  ) pc U c ( p)  I ( p)r  0  t  U co r  U c ( p)    U co e rc 1  p(r  ) pc 44 Операторный метод. Пример: Продемонстрируем на простом примере нахождения оригиналов для  -изображения, которые содержат экспоненциальный множитель e  p . E ( p ) E (1  e  ptu ) E Ee  ptu   I ( p)   Z ( p) p ( r  pL ) p ( pL  r ) p ( pL  r ) 1  e  pt u E ( p)  E p Z ( p)  r  pL Найдем оригинал от первого изображения N ( p) E  M ( p ) p ( pL  r ) N ( p k ) pk t e  ( ) M p k 1 k m f (t )   M ( p2 )  r p1  0 N ( p)  E p2   r L M ( p )  p 2 L  pr M ( p )  2 pL  r M ( p1 )  2  0  L  r  r N ( p1 ) p1t E 0 e  e M ( p1 ) r r N ( p 2 ) p2t E  t e  e L M ( p 2 ) r 45  E E  Откуда p( pL  r )  r (1  e r  t L 0 при t  0   ) r  t  E (1  e L ) при t  0  r Второму же слагаемому согласно теореме запаздывания соответствует с точностью до знака тот же оригинал , но смещенный на время t u , т.е. 0 при t  t u   i2 (t )   r ( t tu )  E  (1  e L ) при t  t u  r Следовательно, в контуре ток будет изменяться по закону.  t    Запаздывающая на время  единичная импульсная функция:  (t   )   0 t    Произведение f (t ) (t   ) следует полагать равным нулю при всех значениях t   , а при t   равным f ( ) (t   ) . Поэтому   f (t ) (t   )dt  f ( ) Импульсная функция выводит значение функции f ( ) из-под знака интеграла. 46 Размерность единичной импульсной функции времени явл. 1/с. Ее значение, записываемые в виде коэффициента перед  -функцией, определяется площадью, ограниченной сигналом, и имеет размерность вольт-секунда (В c) или (А с) Переходная и импульсная характеристики цепи. Ниже покажем, что сигнал любой формы можно представить в виде суммы большого числа смещенных по оси времени элементарных ступенчатых или импульсных функций. Поэтому очень важно знать реакцию (ции) цепей на действие таких сигналов. Этим реакциям ввиду их важности присвоены названия переходных и импульсных характеристик. Переходной характеристикой h1 (t ) называют реакцию цепи на действие единичного ступенчатого напряжения или тока. Импульсной характеристикой h(t) называют реакцию цепи на действие единичной импульсной функции. Обе характеристики определяются при нулевых начальных условиях, т.е. при отсутствии запаса энергии в цепи. Так как импульсная функция является производной от ступенчатой функции, то согласно свойству линейных цепей импульсная характеристика так же является производной от переходной характеристики: h(t )  dh1 (t ) dt h1 (t )   h (t ) dt Если известна реакция цепи при включении на постоянное напряжение или ток, то для получения характеристики достаточно разделить эту реакцию на величину амплитуды сигнала. Отсюда следует, что переходная характеристика, так же как и импульсная характеристика, может иметь размерность А/B, B/A или быть безразмерной в зависимости от размерностей входного сигнала и реакции. Рассмотрим действие ступенчатой и импульсной функции на отдельные элементы цепи. 47 Активное сопротивление. Так как напряжение и ток в R-элементе пропорциональны друг другу, при действии напряжения в виде ступенчатой или импульсной функций токи также будут иметь ступенчатую или импульсную форму. i U 1(t ) r i U (t ) r Емкость. Если к емкостному элементу приложено напряжение ступенчатой формы с амплитудой U, то согласно В.А.Х. u c  U 1(t ) ic  c du c d1(t )  cU  cU (t )  q (t ) dt dt Так представляет импульсную функцию со значением, равным заряду cU. Это означает, что зарядный ток мгновенно принимает бесконечно большую величину и сразу спадает до нуля. Только при таком токе можно скачком передать емкости конечный заряд, пропорциональный приложенному ступенчатому напряжению. Если к емкости подвести импульсный ток i  q (t ) , то t 1 1  q u c   ic dt   q (t )dt  1(t ) c  c 0 c Напряжение изменяется по закону ступенчатой функции, т.е. скачком принимает значение q/c. 48 Как видим, при действии тока неограниченной амплитуды в виде импульсной функции нарушается установленная для токов конечной амплитуды непрерывность заряда в емкости. Индуктивность. В случае приложения к индуктивному элементу тока в виде ступенчатой функции с амплитудой 1 напряжение на индуктивности i L  I1(t ) uL  L di L  1(t )  LI  LI (t ) dt dt представляет импульсную функцию со значением LI, т.е. мгновенно при t=0 принимает бесконечную амплитуду и сразу спадает до нуля. В случае приложения к индуктивному элементу напряжения в виде импульсной функции со значением LI ток в элементе 49 Литература 1. В. И. Карлащук Электронная лаборатория на IBM PC. Лабораторный практикум на базе Electronics Workbench и MATLAB. Издание 5-е. М.: СОЛОН-Пресс, 2004. 800 с: ил. – (Серия «Системы проектирования»). 2. Тревис Дж. LabVIEW для всех. М.: ДНК Пресс; ПриборКомплект, 2004. 3. Multisim™ и Electronics Workbench™ Copyright © 1989, 1992-2005 Корпорация Electronics Workbench. Все права защищены.Перевод на русский язык: учебный центр "Центр технологий National Instruments". Новосибирский государственный технический университет. Copyright © 2006 Российский филиал корпорации National Instruments 4. Д. Каплан, К. Уайт Практические основы аналоговых и цифровых схем Москва: Техносфера, 2006. 176 с. ISBN 5-94836-038-5 5. В.И Карлащук. Электронная лаборатория на IBM PC. Лабораторный практикум на базе Electronics Workbench и MATLAB. Издание 5-е, СОЛОМОН-Пресс, 2004 – 800 с. 6. Загидуллин Р.Ш. LabVIEW в исследованиях и разработках. М: Горячая линия – Телеком, 2005. 352 с.ил. 7. П.А.Бутырин, Т.А. Васьковская и др. Автоматизация физических исследований и эксперимента: компьютерные измерения и виртуальные приборы на основе LabVIEW 7 (30 лекций)/ под ред. Бутырина П.А. М.: ДМК Пресс, 2005. 564 с:.ил. 8. Разевиг В.Д. Система моделирования Micro-Cap 6. М.: Горячая линия – Телеком, 2001. 344 с., ил. 9. Разевиг В.Д. Система схемотехнического моделирования Micro-Cap V. Москва, «Солон», 1997. 273 с. 50