Электротехника, электроника и электропривод .Часть 1

УЧЕБНО - ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ МОДУЛЬ << КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ>> Лекция 1 Семестр 1 (Весна) дисциплина <<Электротехника, Электроника и Электропривод>> ОГЛАВЛЕНИЕ ЛЕКЦИЯ 1 3 РАЗДЕЛ 1 Электрическая цепь постоянного тока ТЕМА 1.1 Основные понятия и определения 3 ТЕМА 1.2 Законы Кирхгофа 4 ТЕМА 1.3 Методы расчета 11 ТЕМА 1.4 Энергия и мощность электрической цепи 12 РАЗДЕЛ 2 Электрические цепи переменного тока 22 ТЕМА 2.1 Основные понятия и определения 23 ТЕМА 2.2 Фазовые и амплитудные соотношения между напряжением и током Треугольник сопротивлений и проводимостей 25 РАЗДЕЛ 3 Символический метод анализа цепей переменного тока ТЕМА3.1 Комплексные сопротивление и проводимость цепи 26 ТЕМА 3.2 Метод комплексных амплитуд 28 Литература 31 2 ЛЕКЦИЯ 1 РАЗДЕЛ 1 Электрические цепи постоянного тока ТЕМА 1.1 Основные понятия и определения электрических цепей нулевой. Электрическая цепь – как частный случай физической системы Физической системой называется множество материальных объектов (элементов и компонентов), связанных силами внутреннего взаимодействия. Каждый объект физической системы, в свою очередь , можно рассматривать как физическую систему, образованную более простыми элементами. Физическая система называется электрической цепью, если она представляет собой совокупность устройств и объектов, предназначенных для взаимного преобразования, передачи и распределения электрической энергии или электрических сигналов несущих информацию. Электрические цепи, как физической системе, соответствуют математические модели, т.е системы дифференциальных или алгебраических уравнений, составленных по известным законам и описывающим поведение электрической цепи. Так как исследование модели резко усложняется при увеличении числа ее элементов, то модели электрических цепей составляют из такого минимального необходимого числа элементов , которые позволяют определить искомые свойства электрической цепи с требуемой точностью. Графическое изображение цепи, которое получают при замене реальных компонентов электрической цепи их схемными моделями, связанными соответствующим образом, называют идеализированной электрической схемой замещения (или просто электрической схемой) цепи. Электромагнитные процессы в электрических цепях описываются с помощью интегральных характеристик: тока, напряжения, заряда, магнитного потока, электродвижущей силы, электрического сопротивления, индуктивности, емкости и взаимной индуктивности. 3 Основными законами теории цепей являются законы баланса токов в точках разветвления (первый закон Кирхгофа). 1.1.1 Основные определения и классификация электрических цепей. Свойства электрической цепи или ее элементов можно оценить соотношением воздействия и реакции (причины и следствия) в роли которых выступают токи, напряжения, заряды, магнитные потоки и т.д. Те места в электрической цепи где могут быть воздействия или реакции, называются соответственно, входами и выходами. Электрическую цепь на выход который действует известный сигнал (выходное воздействие) – x(t), вызывающей появление сигнала y(t) на выходе - реакции (отклика), можно в самом общем случае предоставить в виде «черного ящика», изображенного на рис.2.1 Электрическая цепь – Вход Выход “черный ящик” X(t) y(t) Рис.2.1 Обобщенная модель электрической цепи относительно зажимов вход – выход. В этом случае реакцию y(t) можно найти из решения дифференциального уравнения, описывающего электрическое состояние цепи + + ….. + y= + + …. + (2.1) Уравнение (2.1) можно получить, если записать с помощью законов Кирхгофа систему уравнений связывающих токи и напряжения в различных элементах цепи, а затем исключить все переменные кроме интересующей нас величины y(t). Коэффициенты и для конкретной схемы выражаются через параметры ее элементов. В частных случаях, когда цепь не содержит накопителей энергии (индуктивных и емкостных элементов), а только резисторные, то уравнение (2.1) оказывается алгебраическим. По характеру уравнения (2.1) цепи разделяются на линейные, параметрические, нелинейные и нелинейнопараметрические. 4 Линейными и линейными с постоянными параметрами называются электрические цепи, описываемые линейными дифференциальными (или алгебраическими) уравнениями с постоянными коэффициентами и . Для линейных электрических цепей справедливы два основных принципа: - свойства линейной электрической цепи не зависят от значений токов и напряжений или, другими словами, параметры элементов линейной электрической цепи не зависят от режимов цепи; - реакция линейной электрической цепи на сумму воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие в отдельности (принцип суперпозиций или наложения). В соответствии с этим принципом реакции электрической цепи на различные воздействия можно рассматривать независимо друг от друга, а переменную, характеризующую воздействия и изменяющуюся во времени по сложному закону можно разложить на отдельные простые составляющие простейшей формы и рассматривать реакцию цепи на каждую из этих составляющих. На этих принципах базируются вся теория линейных электрических цепей. Параметрическими или линейными с переменными во времени параметрами, называются электрические цепи, описываемые линейными дифференциальными уравнениями с переменными во времени коэффициентами, т.е. уравнения типа (2.1), в которых хотя бы один из коэффициентов и зависят от времени. Линейные цепи, т.е. цепи в которых все параметры постоянны или зависят только от времени, играют чрезвычайно большую роль в электротехнике. В линейной цепи ее состояние описывается в любой момент времени одним и тем же линейным дифференциальным уравнением с постоянными или явно зависящими от времени коэффициентами. Выражения, определяющие начальные или граничные условия, также линейны. Эти обстоятельства обусловили относительную простоту приемов математического анализа линейных систем, которые постепенно были доведены до высокой системы совершенства. 5 Нелинейными называются цепи, описываемые нелинейными дифференциальными уравнениями, т.е. уравнениями вида (2.1), в которых хотя бы один из коэффициентов являются функцией y или ее производных, либо один из коэффициентов - функции x или ее производных. В нелинейных цепях принцип суперпозиции неприменим. В этих цепях не удается без выполнения специальных расчетов предсказать результат воздействия суммы сигналов, если известны результаты воздействия каждой компоненты, что не позволило единую теорию нелинейных цепей, как это имеет место в случае линейных цепей. Нелинейно-параметрические цепи, описываются нелинейными уравнениями с переменными коэффициентами. Это уравнение вида (2.1), если некоторые из коэффициентов и зависят соответственно от y и x или их производных и, кроме того, какие-либо из коэффициентов же самые) зависят от времени. и (или те Исследование нелинейной цепи, как правило, задача весьма сложная. В отличии от линейных цепей здесь не существует общих методов, позволяющих получить сразу все нужные сведения. Разработано большое число математических методов, каждый из которых может быть применен к ограниченному кругу задач и способен дать лишь часть требуемой информации. В последние десятилетия развития радиотехники и электроники, электрических измерений, автоматического регулирования и вычислительной техники заставило обратить большое внимание на системы, в которых не только нельзя пренебречь изменениями параметров (например, сопротивления резисторов, емкостей конденсаторов, индуктивностей катушек и т.д.) в функции переменных процесса (например, напряжения или тока), но, наоборот, эти изменения играют принципиальную роль. Проблемы анализа нелинейных цепей, несравненно более трудные, чем линейные задачи, являются центральными при исследовании современных электротехнических устройств. По назначению электрические цепи разделяются на энергетические (сильноточные), предназначенные для регенерации, передачи, распределения, преобразования и потребления электрической энергии и 6 информационные (слаботочные), предназначенные для передачи и обработки электрических сигналов, несущих информацию (цепи ЭВМ, техники связи, автоматического управления, информационно-измерительные цепи и т.д.). Информационные цепи обычно содержат электронные компоненты и поэтому относятся к классу электронных цепей. По виду передаваемых (обрабатываемых) сигналов цепи разделяются на: - аналоговые, в которых переменные (напряжения, токи и т.д.) являются непрерывными (в общем случае кусочно-непрерывными) функциями времени; - дискретные, в которых переменные отличны от нуля только в некоторые (дискретные) моменты времени; - дискретно-аналоговые, в которых часть переменных являются аналоговыми, а часть - дискретными. Цепи также разделяются на: - цепи с сосредоточенными параметрами, в которых с достаточной для инженерной практики точностью можно считать, что магнитное поле и выделение тепла сосредоточены в отдельных элементах цепи. Изменения напряжений токов в таких цепях исследуется не в зависимости от пространственных координат, а только в функции времени; - цепи с распределенными параметрами, в которых токи и напряжения исследуются в функции времени и пространственной координаты. Тема 1.2 Законы и уравнения электрических цепей. Выделим отдельный элемент электрической цепи (рис. 2.2), имеющий два вывода (1 и 2) для подключения его к остальной цепи. Данный элемент является конденсатором и преобразователем электромагнитной энергии. Величины, характеризующие электрическое состояние элемента – ток ί(t) и напряжение u(t). 7 i(t) 1 u(t) 2 Рис. 2.2 Ток и напряжение элемента электрической цепи. Электрический ток – скалярная алгебраическая величина, связанная со скоростью изменения заряда i(t)= . Для определения знак тока достаточно выбрать произвольное положительное направление (обозначено стрелкой): если в определенный момент времени t1 имеет i(t1)≥0, то действительное направление тока совпадает с положительным. Электрическое напряжение – скалярная алгебраическая величина, численно равная разности потенциалов между зажимами элемента u12= (t)- (t), причем u12=-u21. Закон Кирхгофа для токов (ЗКТ) базируется на законе сохранения заряда. Для части электрической цепи, заключенной внутри замкнутой поверхности и соединенной с другими частями цепи проводниками (рис.2.3), между которыми отсутствуют токи смещения, справедливо соотношение: , i2 i1 i2 S1 in i3 ik i1 p i3 in ik (2.4) а) б) Рис.2.3 Токи через замкнутую поверхность и через узел. 8 Уравнения токов цепи в соответствии с (2.4) записывают по правилу: алгебраическая сумма токов через замкнутое сечение равна нулю для любого момента времени, причем с положительным знаком обычно записывают токи, направленный от узла. Если сечение уменьшать, стягивая к узлу (точка соединения проводников), то ЗКТ формулируют для узла цепи: алгебраическая сумма токов ветвей электрической цепи, сходящихся в узле, равна нулю для любого момента времени. Например , для узла p (рис.2.3) следует записать: i1-i2+i3-ik-in=0 Закон Кирхгофа для напряжений (ЗКН) основан на законе электромагнитной индукции. Для части электрической цепи (рис. 2.4) в виде замкнутого контура a-bc-d-e-a, состоящего из элементов Э11,Э12,Э2,Э3,Э4, которые соединены идеальными проводниками, можно записать . u11 a ia Э11 u12 ib b Э12 c i4 u4 ie ic i2 Э4 u2 Э2 e Э3 i3 d id u3 9 Рис. 2.4 Напряжение контура Если принять что все магнитные поля сосредоточены в элементах, то последнее соотношение можно выразить в виде интегралов по участкам (2.5) причем участки пути интегрирования проходят вне элементов. С учетом идеальности проводников (отсутствия в них электрического поля) последнее соотношение примет вид: (2.6) Уравнения напряжений в цепи в соответствии с (2.6) записывают по правилу: алгебраическая сумма напряжений по любому замкнутому контуру равна нулю для каждого момента времени, причем с положительными знаками записываются напряжения, направления которых совпадают с выбранным направлением контура. Например, для контура на рис. 2.4 запишем U11(t)+u21(t)+u2(t)-u3(t)-u4(t)=0. Другая формулировка ЗКН учитывает используемое в электротехнике понятие сторонних электродвижущих сил (ЭДС). Для поддержания тока в элементах цепи необходимо действие сторонних сил (источников, вырабатывающих электрическую энергию за счет механической, химической или других видов энергии). Тогда ЗКН формулируется так: алгебраическая сумма падений напряжений на сопротивлениях по любому замкнутому контуру равна сумме сторонних ЭДС в контуре. Уравнение Кирхгофа не зависят от типа элементов цепи, а определяются только ее структурой (топологией). В электротехнической литературе они носят название «топологические» уравнения. Тема 1.3 Метод токов ветвей, расчет цепи непосредственным изменением законов Кирхгофа. 10 Расчет электрической цепи обычно заключается в определении токов в ветвях цепи при заданных сопротивлениях всех элементов цепи и известных источниках ЭДС и источников токов. Общее число неизвестных не может превышать число ветвей цепи. Рассмотрим пример. На рис. 4… изображен граф цепи. Графом цепи называют ее схему, в которой каждая ветвь, содержащая элементы любого типа, изображается одной линией. Рис. 4 График сложной электрической цепи. При заданных сопротивлениях ветви цепи и ЭДС источников в схеме рис. 4… будет 18 неизвестных токов и для их определения необходимо записать систему из 18 независимых уравнений по первому (для токов) и второму (для напряжения) законам Кирхгофа. Сначала составленное уравнение по закону токов Кирхгофа (ЗТК), что объясняется наибольшей простотой их произвольно условию положительные направления токов. Легко доказать, что число независимых уравнений составленных по ЗТК на единицу меньше числа узлов рассматриваемой цепи, т.е. ny -1, где ny – число узлов цепи. Для нашего примера на рис. 4… число узлов ny=12, т.е. по ЗТК может быть составлено 11 уравнений из 18 необходимых. Недостающие 7 уравнений следует составить по закону напряжений Кирхгофа (ЗНК). В общем случае число независимых равно числу ветвей nb, а число уравнений составленных по ЗТК равно ny-1, тогда по ЗНК нужно составить nk=nb-(ny-1) независимых уравнений. Независимые уравнения по ЗНК получают при обходе независимых контуров, т.е. контуров в которые входит хотя бы одна ветвь не входящая во все другие контуры. Формализовать выбор независимых контуров можно следующим образом. После выбора первого контура и составлений 11 уравнений для него одна из ветвей, образующих этот контур, условно размыкается и больше не может участвовать в составлении уравнений по ЗНК. Далее выбирается второй замкнутый контур. Для него составляется уравнение и опять размыкается одна из ветвей, образующих этот контур и так следует поступать до тех пор, пока в цепи не останется замкнутых контуров. При составлении уравнений для каждого из контуров выбирается направление обхода. На рис. 4… указаны направления обхода 8 независимых контуров по часовой стрелке, хотя в каждом контуре может быть выбрано свое направление обхода. В левую части уравнение при круговом обходе контура записываются падения напряжений на внутренних сопротивлениях источников (если они есть) и на сопротивлениях (резистивных, индуктивных, емкостных). При этом со знаком плюс берутся падения напряжений на тех сопротивлениях, в которых положительные направления токов совпадают с направлением обхода. В правую часть уравнения записываются ЭДС, со знаком плюс записываются те ЭДС, направления которых совпадают с направлением обхода контура. Условия задачи могут варьироваться. Если в какой-либо ветви включен источник тока, то неизвестной величиной в этой ветви будет напряжение на источнике. Тема 1.4 Энергия и мощность С энергетической точки зрения напряжение связано с работой W в электрическом поле или потенциальной энергией u(t)= . Приведенное соотношение позволяет выразить электромагнитную энергию и мощность через ток и напряжение: W(t0,t)= , [Дж] В соответствии с определением мощности p(t)= (2.2) из (2.2) можно получить выражение электрической мощности элемента цепи p(t)=u(t) i(t) (2.3) Мощность является алгебраической величиной, знак которой зависит от знаков напряжения u и тока i в рассматриваемый момент времени. 12 Если выбранные положительные направления тока и напряжения совпадают (направлены от одного узла), то они называются согласованными. Для согласованных положительных направлений u, i можно установить, что при p(t) 0 элемент потребляет энергию, а при p(t) 0 элемент отдает энергию во внешнюю цепь. Наличие источников энергии, поставляющих ее в цепь является необходимым условием возникновения тока в замкнутой цепи. Уравнением элемента или его математической моделью называют соотношение, связывающее его ток и напряжение. Соединение элементов, составляющих описывается уравнением Кирхгофа, которые электродинамики. электрическую цепь, следуют из законов РАЗДЕЛ 2. Электрические цепи переменного тока 2.1 Установившиеся процессы в электрических цепях с синусоидальными источниками. Периодические синусоидальные сигналы. Цепями синусоидального тока называют электрические цепи с источниками напряжения и тока, изменяющимися по синусоидальному закону с одной и той же частотой. Практические задачи расчета электрических цепей с синусоидальными источниками заключаются в анализе распределения энергии в системе, эффективности ее передачи. Проанализируем преобразование синусоидального тока элементами электрической цепи. Для этого рассмотрим связь напряжения и тока в идеальных схемных компонентах. Тема 2.2 Амплитудные и фазовые соотношения. Треугольники сопротивлений и проводимостей 13 Для резистора U R ( t )  R i( t )  RI m sin(  t   )  U m sin(  t   ) , где Um=RIm - амплитуда напряжения. Фазовые углы (t) тока и напряжения резистора одинаковые и поэтому говорят, что напряжение и ток совпадают по фазе (рис.7.5,а). i u R u i  t  Рис.7.5,а Напряжение и ток резистора Для индуктивности U L  L di dt   LI m sin(  t     2 )  U m sin(  t     2 ) , где Um =  LIm - амплитуда напряжения на индуктивности. Напряжение имеет фазовый сдвиг относительно тока на , т.е. опережает ток на угол  (рис.7.5,б) . t I L u 14 Рис.7.5,б Напряжение и ток индуктивности Для емкостного элемента uC ( t )  U m sin  t     2 , где U m  I m (  C ) амлитуда напряжения. Напряжение отстает от тока (рис.7.5,в) на угол  2, т.е. фазовый сдвиг между током и напряжением составляет (- . i u t i C u Рис.7.5,в Напряжение и ток емкости Принимая во внимание, что интегрирование, дифференцирование и суммирование синусоидальных величин приводит к синусоидальной величине той же частоты, можно сделать вывод: суть расчета установившихся процессов в цепи с синусоидальными источниками состоит в определении амплитуды и начальной фазы искомой величины (тока или напряжения). РАЗДЕЛ 3 Символический метод анализа цепей переменного тока Тема 3.1 Комплексные сопротивление и проводимость цепи 15 Использование тригонометрических преобразований синусоидальных функций достаточно громоздко и нерационально. При расчете схем с синусоидальными токами и напряжениями применяют их представление с помощью комплексных экспонент. i t   I m sin(  t   )  Im{ I me  j (  t  )  }  Im{ I m e j t }, (7.18) j где I m  I m e - комплексная амплитуда тока. Для наглядности принято отображать амплитуду и начальную фазу на комплексной плоскости (рис.7.6). j msinm   + Рис. 7.6 Отображение комплексной амплитуды тока на плоскости Значения синусоидальной функции времени могут быть получены как проекции на мнимую ось вектора комплексной амплитуды, вращающегося со скоростью  . За время t фазовый угол получит приращение    t и вектор комплексной амплитуды на комплексной плоскости будет под углом  (t )  (    t ) к действительной оси. Компонентные уравнения. Компонентные уравнения элементов схемы можно записать с использованием комплексных амплитуд. Для резистора из соотношения uR = Ri получим 16   U mR  R I mR . На комплексной плоскости (рис.7.7,а) векторы совпадают по направлению. j j UmR j UmL Im Im Im + + + UmC а б в Рис.7.7 Векторные диаграммы идеальных элементов Для индуктивного элемента можно записать uL  L   d j t j t Im I m e   Im j L I m e  , dt     откуда следует, что   U mL  j L I mL ,   вектор напряжения U mL опережает вектор тока I mL на угол  (рис.7.7,б). Для емкостного элемента получим соотношение     I mC  j C U mC или U mC  I mC ( j C ) ,   из которого следует, что вектор напряжения U mС отстает от вектора тока I mС на угол  (рис.7.7,в). 17 Эквивалентные схемы устройств составляют в виде соединений идеальных элементов. В этой связи необходимо ввести понятия комплексного сопротивления совокупности соединенных элементов. Комплексным называют сопротивлением коэффициент (проводимостью) пропорциональности между участка цепи комплексными амплитудами напряжения и тока элемента:     Z U m I m , Y  I m U m , (7.19) Запишем комплексные сопротивления и проводимости идеальных элементов. Для резистивного элемента ZR =R. Для индуктивного элемента комплексное сопротивление L = jL = jXL, где XL Ом модуль индуктивного сопротивления, и комплексная проводимость YL   j ( L)   jbL , где bL =1/ XL Cм - модуль индуктивной проводимости. Для емкостного элемента соответственно Z C   j ( C )   jX C и YC  j C  jbC . Комплексное сопротивление элемента цепи, например, индуктивной катушки с L= 0,318 Гн и rL = 12 0м на промышленной частоте (f = 50Гц) вычислим как полное комплексное сопротивление соединения идеальных элементов Z  rL  Z L  rL  j L  12  j  314  0,318  12  j100 Ом. 18 В общем случае при наличии в ветви нескольких компонентов удобно объединить их в пассивный двухполюсник (рис.7.8,а) и анализировать его комплексное сопротивление и проводимость. Im  i(t) u(t) R Im  Im П   jX Um а Um б g jb в Рис.7.8 Пассивный двухполюсник и его эквивалентные схемы. Тема 3.2 Метод комплексных амплитуд Одна из практических задач состоит в построении эквивалентной схемы пассивного двухполюсника по измеренным на его зажимах напряжении u(t) = Umsin(t + ) и токе i(t) = Imsint. Переход к комплексным амплитудам  I m  Im ,  U m  U m e j и использование понятия комплексного сопротивления дает   Z  U m I m  U m I m e j  Ze j  r  jX . Следовательно, пассивный двухполюсник в цепи синусоидального тока может быть представлен последовательной схемой (рис.7.8,б) из резистора и индуктивности (при  > ) или емкости (при  ). Аналогично можно ввести понятие комплексной проводимости пассивного двухполюсника   Y  I m U m  I m U m e  j  ye  j  g  jb . 19 В этом случае двухполюсник заменяется параллельной эквивалентной схемой (рис.7.8,в) с активной g и реактивной b проводимостями. Очевидно, что для одного двухполюсника параметры эквивалентных схем взаимосвязаны: Y 1 Z  jX 1 R   . 2 2 2 R  jX R X R X 2 (7.20) Мощность в двухполюснике u(t)i(t) при синусоидальных токах и напряжениях имеет сложную (рис.7.9) зависимость от времени. p P  t Рис.7.9 Напряжение, ток и мощность двухполюсника. Аналитическое выражение мощности в соответствии с соотношением (7.13) содержит два слагаемых p(t) = 0,5Um Im cos - 0,5Um Im cos(2t + ), где  ( u i ) - угол сдвига синусоиды напряжения относительно тока. Первое слагаемое представляет собой среднее за период (постоянное) значение мощности, т.е. активную мощность . Второе слагаемое отражает изменяющуюся во времени с удвоенной частотой мощность (пульсирующую относительно среднего значения), 20 которая в течение части периода идет в нагрузку, а в остальную часть периода возвращается в источник. Соотношение слагаемых определяется значением фазового сдвига . Например, в индуктивных и емкостных элементах (L =  c= - активная мощность не потребляется PL =0 и Pc = 0, но существует пульсирующая мощность. Активная мощность двухполюсного элемента зависит от угла  фазового сдвига синусоиды напряжения относительно тока. Если ││  , то    и двухполюсник пассивный, т.е. потребляет энергию из внешней цепи. При ││  , то    и двухполюсник является источником энергии, отдающим ее во внешнюю цепь. Активная элементом, мощность, существенно потребляемая зависит от пассивным характера его двухполюсным комплексного сопротивления (фазового сдвига напряжения относительно тока)  = arctg(XR). Максимальная активная мощность выделяется в резисторе R при  = 0 PR ( 1 2 2 i ( t ) dt )  RI . T Из полученного соотношения очевидно, что действующим называют значение периодического тока, которое выделяет на резисторе такую же мощность, как и равное ему значение постоянного тока. При расчете установившихся режимов электрических цепей с использованием комплексных действующих значений (или амплитуд) для 21 вычисления активной мощности применяют введенное (7.16) понятие комплексной мощности: ~   S  U I  UI cos   jUI sin   P  jQ . (7.21) Модуль комплексной мощности S  UI называют полной мощностью и используют для характеристики максимального напряжения и тока электрических аппаратов. Активная, реактивная и комплексная мощности пассивного двухполюсного элемента связаны с его параметрами ~ S  ZI 2  RI 2  j ( X L  X C ) I 2  P  j (QL  QC ) . (7.22) Запас магнитной и электрической энергии в цепи моделируют индуктивным L = L и емкостным XC = C элементами, определяющими реактивную мощность. Преобразование активной мощности отражает резистивный элемент. При определенном соотношении параметров источника и нагрузки можно получить заданное значение активной мощности нагрузки. Метод узловых потенциалов в канонической и расширенной формах. Канонический метод узловых потенциалов был также предложен Д.К. Максвеллом. В тех случаях, когда источниками энергии в цепи являются источники тока или когда число узлов хотя бы на два узла меньше числа независимых контуров целесообразнее пользоваться для расчета токов в цепи методом узловых потенциалов. Метод узловых потенциалов особенно удобен 22 для расчета токов в сложной цепи, содержащей множество ветвей и всего два узла. Этот метод позволяет сохранить в исходной системе уравнения Кирхгофа, которые составлены для узлов и исключить контурные уравнения. В качестве неизвестных в исходной системе уравнений выбираются потенциалы узлов цепи относительно одного из них – опорного узла, потенциал которого принять выбирать равным 0. Для вывода узлового уравнения рассмотрим k-й узел цепи (рис. 4…..). ,У. 1 1 Y1 1 2 k 2 1 2 3 1 Y2 Yk =,, ‐ ..‐0 Y3 ,.0 3 3 =,,‐2..‐0 =,,‐3..‐0 =,,‐1..‐0 Рис. 4….. Фрагмент цепи для вывода узлового уравнения. С учетом направлений токов, указанных на рис. 4….. уравнение ЗТК для k-й узла имеет вид Выразим токи в ветвях, присоединенных к узлу, через узловые и : напряжения = Yk ; =( =( 2; 1; =( 3. Подстановка, раскрытие скобок и группировка членов приводят уравнение ЗТК, записанное ранее, к виду: (Y1+Y2+Y3+Yk) того, что 1 2 3 = или с учетом 23 ; ; ; (Y1+Y2+Y3+Yk) 1 2 3 = В общем виде узловое уравнение для k-узла можно записать используя двойную индексацию проводимостей, принятую для коэффициентов уравнений линейных алгебраических систем: k1 + k2 +….+ = Kn , – собственная проводимость k-го узла – равна сумме где проводимостей всех ветвей, сходящихся в узле k. Коэффициент Gkm – общая проводимость узлов m и k – представляет собой взятую со знаком «минус» сумму проводимости ветвей, соединяющих непосредственно узлы m и k. Правая часть узлового уравнения – узловой ток – равен алгебраической сумме источников тока, присоединенных к данному узлу. Источник ЭДС Е в составленных ветвях, включенные последовательно с проводимостями Y, учитываются в узловых токах в виде произведения EY (пока предполагаем, что ветви с идеальными источниками ЭДС, для которых Y= , отсутствуют в схеме). Слагаемые узлового тока берутся со знаком «плюс» для источников, направленных к данному узлу, и со знаком «минус» - при противоположном направлении. Таким образом, для цепи с ny узлами, имеем исходную систему с ny-1 линейно-независимыми уравнениями для определения потенциалов узлов. Токи в ветвях определяются из отдельных уравнений составленных для каждой ветви по ЗНК. Расчет произвольной электрической цепи с синусоидальными источниками одной частоты и пассивными двухполюсниками выполняют с использованием комплексных амплитуд (или действующих значений). Для этого уравнения электрической цепи представляют в комплексной форме записи. Уравнения Кирхгофа. Уравнения Кирхгофа можно также записать с комплексными амплитудами для узлов схемы 24   I mk 0 (7.23) k и для замкнутых независимых контуров   U ml 0 (7.24) l Такая запись совместно с уравнениями элементов в виде   (7.25) Um Z Im представляет собой полную систему уравнений схемы в комплексной форме записи. Аналогия с записью уравнений для цепей постоянного тока позволяет применять все методы расчета, рассмотренные для схем с постоянными источниками. При заданной схеме, параметрах источников и номиналах элементов расчет содержит следующие операции: - переход от синусоидальных функций источников к их комплексным изображениям; - формирование уравнений схемы с использованием комплексных амплитуд; - решение полученной системы уравнений и определение комплексных изображений искомых токов; - переход от комплексных амплитуд к временным функциям искомых токов. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 1. В качестве примера определим комплексное сопротивление нагрузки н , при котором выделяется максимальная активная мощность 25 источника синусоидального напряжения V=10sin(314t),B с внутренним сопротивлением rвт = 100 Ом и индуктивностью Lвт = 0,16 Гн. Представим эквивалентную схему передачи энергии в виде активного и пассивного двухполюсников (рис.7.10).  Zвт I Zн   V U Рис.7.10 Передача мощности от источника к нагрузке. Если комплексное сопротивление нагрузки представить в виде н = R + jX, то ток I  V ( Z ВТ  Z Н )  V [( rВТ  R )  j( X ВТ  X ) . Активную мощность можно записать P  RI  R 2 ( rВТ V2 .  R ) 2  ( X ВТ  X ) 2 Для нахождения максимального значения следует вычислить dP/dR = 0 и dP/dX = 0. Решение указанных уравнений с учетом физической реализуемости R>0 дает условия передачи максимальной мощности rвт = R и Xвт= - X , которые можно объединить в одно ZВТ =ZН. Максимальная мощность в нагрузке Pmax= V2/ 4 rBm. 2.В качестве примера определим распределение токов в схеме (рис. 7.11) с номиналами элементов R1 = 5 Ом; С2 = 10-4 Ф; L3 = 6 мГн; R4 = 4 Ом;L4 = 4 мГн, при V(t) = 50 sin1000t, B; J (t) = 1 sin(1000t - , А. 26 R1 L3 R4 V C2 J L4 Рис.7.11 Схема с синусоидальными источниками. Перейдем  от временных функций к комплексным амплитудам  V m  50 B , I m  1e  j 2   j и рассчитаем комплексные сопротивления: с2 = - j С2 ) =-j10 Ом; L3 = j L3 = j 6 Ом; 4 = R4 + jL4 = (4 + j4) Ом. Изобразим схему для комплексных амплитуд (рис.7.12) и выберем положительные направления токов. Рассмотрим решение с применением метода узловых потенциалов. R1  I m1  Vm ZL3 1  I m2 2  I m3 ZC2  ZL4 Jm Рис.7.12 Расчетная схема для комплексных амплитуд. Запишем узловые уравнения для потенциалов m1 и m2: (Y1 + Y2 + Y3) m1 - Y3m2 = Y1Vm, 27 - Y3 1 + (Y3 + Y4)m2 = Jm, причем Y1 = 1/R1 = 0,2См; Y2 = c2 = j 0,1 См; Y3 = L3 = - j 0,17 См;Y4 = 4 = (0,125 - j 0,125) Cм. Подстановка значений и решение дает    m1  ( 41,25  j 2 ,75 )B ,  m 2  ( 22  j11 )B . Токи ветвей найдем из соотношений    I m1  Y1 ( V m   m1 ) =(1,7 + j 0,9) = 1,92e j60A;   I m 2  Y2  m1 =(0,45 + j 4,15) = 4,17e j84A;    I m 3  Y3 (  m1   m 2 ) = (1,25 - j 3,25) = 3,48e j 69A;   I m 4  Y4  m 2 = (1,25 - j 4,25) = 4,43e -j 74A.. Окончательный ответ следует записать в виде: i1(t) = 1,92sin(1000t + 60),A; i2(t) = 4,17sin(1000t + 84A; i3(t) = 3,48sin(1000t - 69A; i4(t) = 4,43sin(1000t - 74A. Баланс комплексных мощностей должен выполняться автономной (изолированной) схемы N ~  Sk  0, (7.26) k 1 28 т.е. сумма комплексных мощностей всех ветвей схемы должна быть нулевой. Для схемы с источниками напряжения и тока условие (7.26) можно переписать в развернутой форме: N N k 1 k 1   N    Z k I k2   V k I k   U l J l . (7.27) k 1 В рассматриваемом примере потребляемые активная мощность: R1 I m21 2  R 4 I m2 4 2  5  1.92 2 2  4  4.43 2 2 = 48 Вт; реактивная мощность: X L 3 I m2 3 2  X L 4 I m2 4 2  X C 2 I m2 2 2 = - 11.5 Вар; отдаваемая источниками комплексная мощность: (VI m 1  U m 20 J  ) 2  [50(1.7  j 0.9)  (22  j11) j1] 2 = (48 – j11.5). Очевидно, что выполнен баланс активных и реактивных потребляемых и отдаваемых. 29 Литература 1. В. И. Карлащук Электронная лаборатория на IBM PC. Лабораторный практикум на базе Electronics Workbench и MATLAB. Издание 5-е. М.: СОЛОН-Пресс, 2004. 800 с: ил. – (Серия «Системы проектирования»). 2. Тревис Дж. LabVIEW для всех. М.: ДНК Пресс; ПриборКомплект, 2004. 3. Multisim™ и Electronics Workbench™ Copyright © 1989, 1992-2005 Корпорация Electronics Workbench. Все права защищены.Перевод на русский язык: учебный центр "Центр технологий National Instruments". Новосибирский государственный технический университет. Copyright © 2006 Российский филиал корпорации National Instruments 4. Д. Каплан, К. Уайт Практические основы аналоговых и цифровых схем Москва: Техносфера, 2006. 176 с. ISBN 5-94836-038-5 5. В.И Карлащук. Электронная лаборатория на IBM PC. Лабораторный практикум на базе Electronics Workbench и MATLAB. Издание 5-е, СОЛОМОН-Пресс, 2004 – 800 с. 6. Загидуллин Р.Ш. LabVIEW в исследованиях и разработках. М: Горячая линия – Телеком, 2005. 352 с.ил. 7. П.А.Бутырин, Т.А. Васьковская и др. Автоматизация физических исследований и эксперимента: компьютерные измерения и виртуальные приборы на основе LabVIEW 7 (30 лекций)/ под ред. Бутырина П.А. М.: ДМК Пресс, 2005. 564 с:.ил. 8. Разевиг В.Д. Система моделирования Micro-Cap 6. М.: Горячая линия – Телеком, 2001. 344 с., ил. 9. Разевиг В.Д. Система схемотехнического моделирования Micro-Cap V. Москва, «Солон», 1997. 273 с. 30