Электростатика. Электромагнетизм. Кулоновское поле

Электростатика (Вводная лекция). Учебники: Иродов И.Е. Электромагнетизм. § 0. Вводные замечания: представления об электрических зарядах Это позволяет сформулировать закон сохранения электрического заряда: суммарный заряд электрически изолированной системы не может изменяться. Замечание 1. Есть и другие свойства электрического заряда как физической величины. В частности, заряд не зависит от выбора системы отсчета (инвариантен относительно преобразования Лоренца. Подробнее см. в учебнике: И.Е.Иродов. Электромагнетизм. М., 2002г.). Замечание2. Слово заряд в учебной литературе фигурирует в двух смыслах. (1). Заряд как физическая величина (это скалярная величина, она может принимать отрицательные и положительные значения). Эта величина может изменяться только на значения, кратные заряду электрона, т.е. принимает дискретный ряд значений («квантуется»). (2) Заряд как заряженное тело («частица»). Например, выражение «движущиеся заряды» (или «неподвижные заряды») означает движущиеся (или неподвижные) в данной системе отсчета заряженные «тела» (но, конечно, на микроскопическом уровне в таком теле происходит движение электронов и т.п.). (2’). Но для электрона или протона величина его заряда – это константа, неотъемлемая характеристика элементарной частицы; в этом контексте разделение двух отмеченных смыслов становится трудным. Такая частица может входить в состав тех или иных «систем», двигаться и т.п. Если иметь в виду заряд в этом смысле, то электрон и протон фигурируют как «кирпичики», и если тело обладает электрическим зарядом, то в основе этого лежит совокупность конечного (в макроскопическом случае – очень большого) числа «кирпичиков». В этом смысле, смысле «сложенности из элементарных носителей», можно говорить об «атомизированности» («зернистости») заряда. В макроскопической теории принимают, что заряд q, как физическая величина, может 1) изменяться непрерывно (это означает, что в любом случае q на много порядков превосходит е); 2) заряд может быть непрерывным образом распределен (размазан) по пространству, плоскости или отрезку. Это позволяет выражать заряд некоторой области через плотность распределения заряда (с помощью интегрирования плотности по объему, поверхности, линии). Это, очевидно, является идеализацией, как бы не замечающей «квантованность» и «зернистость» заряда. Другой идеализацией является понятие точечного заряда, – с этого мы и начнем изложение вопросов электростатики. § 1. Кулоновское поле. Работа силы Кулона. Система точечных зарядов П1. Взаимодействие двух точечных зарядов (1) Коэффициент k разный для разных систем единиц. Имеются системы единиц, в которых k = 1 («гауссова» система единиц). В дальнейшем (в системе СИ) принимаем k = 9 ·109 Н·м2/ Кл2 . Этот же коэффициент принято записывать в виде k = 1/ (4πε0.). Введем вектор , направленный от первого точечного заряда ко второму, и пусть – направляющий единичный вектор: = . Обозначая через силу, действующую на заряд 2 со стороны заряда 1, мы можем записать закон Кулона в векторном виде: (1) , (2) (2) (3) В формуле (2) заряды фигурируют со своими знаками. Если, например, заряды имеют одинаковый знак, то множитель, стоящий в формуле (2) перед вектором , будет положительным, т.е. сила будет отталкивать заряд q2 от заряда q1 (см.рис 1) Рис 1. П2. Работа кулоновского поля сил. Кулоновское поле сил – центральное. В П2. нам удобно будет обозначить заряд, фиксированный в центре O, как q0 . Этот заряд создает в окружающем пространстве (т.е. в любой другой точке М) поле, проявляющее себя воздействием на точечный заряд q, коль скоро мы помещаем его в (·) М. Сила, действующая на заряд q, будет равна (4). Здесь – радиус-вектор точки М. Напомним, что именно поле вида мы называем центральным (в этом случае сила зависит только от расстояния до центра, а вектор силы направлен по радиусу или против него). Центральное поле сил, как нам известно из курса механики, является консервативным. Это значит, что работа при перемещении заряженной частицы («заряда q») из (·) М1 в (·)М2 не зависит от выбора маршрута, соединяющего точки. Исходя из этого, выведем формулы для работы кулоновских сил и для потенциальной энергии этого поля (ниже, для определенности, рассмотрен случай зарядов одного знака). Способ расчета работы опирается на рис 2: M2 F r О q0 M1 M’2 Рис 2. К вычислению работы силы Кулона на пути M1 , M2 Точка M2 «заменяется» точкой M’2 на радиальной оси Оr (проведенной через (·) M1 ). Дуга M2 M’2 лежит на сфере радиуса r2 . Введем обозначение А(М1, М2) для работы, совершаемой при перемещении заряда q из М1 в М2. Тогда, вследствие консервативности поля, А(М1, М2) = А(М1, М’2) + А(М1, М’2). В любой точке М сферы сила Кулона, действующая на заряд q, представляет собой вектор , направленный по радиусу ОМ, а поэтому перпендикулярный сфере. Сила, перпендикулярная траектории, работы не совершает. Следовательно, А(М’2, М2) = 0. Теперь найдем А(М1, М’2) , т.е. работу вдоль радиального направления. Для элемента работы имеем δА = = F dr cosα = F dr. Учитывая, что по закону Кулона F = (k q0 q)/ r2 , получаем А(М1, М2) = = = = , или: А(М1, М2) = (5) Как мы помним, определяющим для потенциальной энергии является соотношение вида А(М1, М2) = W(М1) – W( М2) . Формула (5) имеет как раз такой вид. Таким образом, потенциальная энергия кулоновского поля задается в (·) M формулой W = W (r) = (k q0 q)/ r + C. (6) Здесь С – константа, конкретизируемая при той или иной договоренности. Договоримся принять за «нуль» энергии всякую «бесконечно удаленную» точку, т.е. потребуем W(r) → 0 при r → ∞. Предельный переход в (4) дает тогда С =0. Окончательно получаем: W = W (r) = (7) П3. Система точечных зарядов П3.1). Принцип суперпозиции. Обобщим ситуацию поля, создаваемого одним точечным зарядом q0 на случай, когда поле создается системой зарядов q1, q2, …, qN. Частица с зарядом q , попадав точку М, будет испытывать воздействие системы зарядов. Считаем эти заряды фиксированными в своих местах («центрах» М1, M2, …). Принцип суперпозиции, полученный как обобщение опытных фактов, утверждает, что в этом случае на заряженную частицу действует со стороны заряда qi кулоновская сила вне зависимости от присутствия других зарядов, причем полная сила, действующая на частицу, находится как сумма: (8) Рис 3. Принцип суперпозиции (N =2) 2) Энергия взаимодействия системы зарядов. Рассмотрим заряд q1 как создающий центральное поле (с центром в (·)M1), а заряд q2 как помещенный в это поле и помещенный в точку M2. В этом случае r =r12 = ǀ M1M2ǀ «Откуда берётся» энергия заряда W = (*) (см. формулу (7))? Можно представить себе, что это мы создали такую конфигурацию зарядов: заряд q2 мы (в поле заряда q1 ) перетащили в (·)M2 «из бесконечности» (r = r∞). Таким образом энергия ΔW, сообщенная системе зарядов, возникла за счет работы Авнеш (I →II) внешних сил (противоположной по знаку работе кулоновских сил): ΔW = – Акул (I →II) . Здесь r I = r∞ , rII = r12 . Согласно (5), имеем Авнеш = – Акул (I →II) = – = W Итак, энергия W в самом деле может быть истолкована как работа внешних сил при создании определенной конфигурации зарядов. Заметим, что можно было бы, наоборот, взять в качестве исходного заряд q2 (в точке М2), а систему зарядов получить «транспортацией» (из очень дальней точки) заряда q1 в точку М1. Наконец, можно оба заряда переносить навстречу друг другу из двух далеких точек: анализ показывает, что сумма работ двух внешних сил, затраченная на сближение зарядов, дает то же самое выражение (*). Таким образом, мы имеем дело с особого рода энергией, которую называют энергией взаимодействия системы зарядов. Если система состоит из трех зарядов, то можно представить, что мы зафиксировали систему зарядов q1, q2 (в точках M1, М2), а затем «принесли» в точку M3 заряд q3 из очень удаленной точки. В этом случае W123 = W12 + ΔАвнеш, где, повторяя предшествующее рассуждение, мы имеем ΔАвнеш = ΔА(1)внеш+ ΔА(2)внеш (приходится совершать работу как против поля первого заряда, так и против поля второго, и эти работы складываются из-за принципа суперпозиции). В итоге W123 = W12 + + = + + (9) Аналогично находится энергия взаимодействия системы четырех (и т.д.) зарядов. Замечание. Формула (9) верна и для случая, когда в системе есть заряды разных знаков. Поэтому энергия взаимодействия системы зарядов может быть как положительной, так и отрицательной. Этот факт кажется озадачивающим, если вспомнить, что энергия заряженного конденсатора положительна. Детальный анализ этих вопросов можно найти в учебнике И.Е.Иродова «Электромагнетизм. Основные законы» М., 2002. (Гл.4). § 2. Вектор напряженности электрического поля. Теорема о циркуляции в электростатике. Аналогия между кулоновскими и гравитационными силами содействовала тому, что в 18 в. и начале 19 в. теория электричества допускала «дальнодействие», т.е воздействие заряженных тел на другие тела могло мыслиться как не требующее посредников. Впоследствии физика отошла от концепций дальнодействия и выработала понятие электромагнитного поля как ключ к огромной области явлений. П1. Взаимодействие между покоящимися зарядами осуществляется через электрическое поле. Всякий заряд определенным образом влияет на окружающее пространство: он создает электрическое поле. В качестве «индикатора», диагностирующего наличие поля, выступает пробный заряд. Если пробный заряд поместить в электрическом поле, поле проявит себя тем, что заряд будет испытывать действие силы. Из закона Кулона мы видим, что сила, действующая на точечный заряд q’, пропорциональная этому заряду. Отношение силы к пробному заряду уже не зависит от этого заряда. Это верно и тогда, когда поле создается системой зарядов, что можно объяснить принципом суперпозиции. Пробный заряд в реальной ситуации надо считать достаточно малым, чтобы его внесение не вносило искажений в распределение зарядов, создающих поле. Исходя из сказанного, можно сформулировать исходные принципы описания электрических полей. Эти принципы – результат обобщения (и осмысления) фактов опыта. 1) Сила , действующая неподвижный пробный точечный заряд q’, может быть представлена как , (1) где вектор называют напряженностью электрического поля в данной точке. 2) Величина подчиняется принципу суперпозиции. Напряженность поля системы зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, которые создал бы каждый из зарядов в отдельности: (2) 3) Для поля точечного заряда (в вакууме) имеем (где 1/(4π ε0) = k = 9 ·10 9 м/Ф). (3). Соотношение (3) – это закон Кулона в терминах напряженности поля. В самом деле, соединяя (3) с (1), получаем кулоновскую силу, действующую на заряд q’ : (4) П2. Теорема о циркуляции в электростатике. Со школы известен способ геометрического представления векторных полей с помощью «языка векторных линий». В рамках данного параграфа предполагается, что студент может нарисовать картину векторных линий для случаев 1) поля точечного заряда (положительного и отрицательного) 2) Поля диполя. Языку векторных линий соответствует язык векторного анализа, в частности, такие характеристики поля, как поток и циркуляция. Если в электрическом поле с напряженностью находится заряд q, то мы имеем и поле сил . Работу этого поля по замкнутому пути (контуру γ ) можно записать в виде Азамкн. = = = q ( ). Отсюда (1/q) Aзамкн (5). γ (Кружочек в «иероглифе» интеграла означает, что контур замкнутый. Указание на контур γ мы в дальнейших записях опускаем.) Криволинейный интеграл в левой части (5) представляет собой циркуляцию вектора. Рассмотрим три случая: 1) Поле создано одним неподвижным точечным зарядом, т.е. поле это центральное кулоновское поле. Такое поле консервативно, поэтому Aзамкн= 0. Из (5) заключаем, что нулевой будет и циркуляция вектора . 2) Поле создано системой зарядов, так что (по принципу суперпозиции) При суммировании векторных полей их циркуляции, очевидно, суммируются (операции скалярного произведения и интегрирования линейны!), поэтому = ∑ = 0, (6) где мы учли, что поле есть поле отдельного точечного заряда и (согласно п.1)) имеет нулевую циркуляцию. 3) В электростатике исходят из того принципа, что при любом пространственном распределении неподвижных зарядов мы можем с любой степенью точности аппроксимировать это распределение некоторой системой точечных зарядов. Поэтому (6) позволяет перейти к общему случаю поля неподвижных зарядов. Итак, имеет место Теорема о циркуляции: Для электростатического поля вектор напряженности имеет нулевую циркуляцию. Позже мы покажем, что переводе на «язык векторных линий» эта теорема имеет весьма наглядный смысл: в электростатике линии вектора не бывают замкнутыми. § 3. Потенциал и работа электростатического поля. Выражение силы через потенциал. П1.Если мы имеем дело с силой, действующей на внесенный в поле заряд, то согласно (5) теорема о циркуляции означает, что сила, действующая на заряд в электростатическом поле, является консервативной: её работа по замкнутому контуру равна нулю. Это же означает, что работа этой силы по маршруту М1М2 (уже, возможно, и не замкнутому) не зависит от маршрута. Для элемента работы (соответствующему элементу криволинейного пути) мы имеем δА = = ; при этом A = ∫ δА . Следовательно, от выбора маршрута (между точками М1,М2) не зависит и криволинейный интеграл = А12/ q = ϕ (M1) – ϕ (M2) (1). Формулу (1) будем рассматривать как определение скалярной величины ϕ (M) , называющейся потенциалом. Эта величина не зависит от заряда q и является функцией точки М. Иными словами, векторному полю в электростатике можно сопоставить скалярное поле потенциала ϕ. Очевидно, тут имеется полная аналогия с тем, как вводилась в курсе механики физическая величина, называющаяся потенциальной энергией (обозначим ее W(M) ). Определяющим было соотношение: А12 = W (M1) – W (M2) (2) В сущности, мы к этому и пришли: согласно (1), мы имеем А12 = q (ϕ (M1) – ϕ (M2)) (3), что даёт нам и формулу (2), если положить W (M) = q ϕ (M) (4) Отметим, что в учебной литературе потенциал иногда как раз и вводится на основе формулы (4): ϕ = W/ q (4’) Единица измерения потенциала в СИ – 1 В (вольт). Поскольку размерность потенциала получается из размерности напряженности умножением на «длину» (см.(1)), то отсюда ясно, что напряженность имеет своей единицей 1 В/м П2. Ключевые случаи 0. Вычисление потенциала ϕ сложных полей сводится к базовым случаям, поскольку для ϕ справедлив принцип суперпозиции, причем в терминах алгебраической, а не векторной суммы: Потенциал поля, создаваемого системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности: (5) 1. Для кулоновского поля, создаваемого точечным зарядом q0, работа силы (при перемещении заряда q в этом поле) выражается формулой (см § 1): А(М1, М2) = (5). Сравнивая это с формулой (3), мы заключаем, что ϕ = kq q0 /r + C. Константу С в дальнейшем считаем раной нулю, что равносильно договоренности о нулевом уровне потенциала «на бесконечности» (т.е. при r→∞). Итак, потенциал поля точечного заряда q0 в точке М выражается формулой: (где k = 1/ (4πε0) ) (6). 2. Пусть в точках М1, М2, … закреплены точечные заряды q1, q2, … Для произвольной точки М (с радиусом-вектором ) обозначим через r1, r2, … ее расстояния до соответствующих точек М1, М2, … Тогда, опираясь на (5), потенциал поля системы точечных зарядов можно записать виде: (7) 3. Случай однородного электрического поля: . Таково, например, поле между пластинами плоского конденсатора (в его средней части). Найдем разность потенциалов между любыми точками М1, М2. Предварительно введем вектор (см рис1.). Согласно определению (1), имеем ϕ (M1) – ϕ (M2) = = = (8). В частности, если отрезок направлен вдоль вектора (т.е.вдоль векторной линии), а расстояние М1 М2=ℓ, то для угла между векторами (в (8) ) cos α = 1, а поэтому ϕ (M1) – ϕ (M2) = E ℓ. (9) М2 α М1 Рис 1. Разность потенциалов в случае однородного поля (векторные линии - прямые, параллельные вектору ) П3. Выражение напряженности через потенциал Компоненты силы, действующей на заряд q в электростатическом поле, можно выразить через потенциальную энергию W с помощью частных производных (этот факт известен нам из курса механики): FX = (10а), FY = , (10б) FZ = (10в) . Эту связь можно записать в терминах напряженности и потенциала. Поскольку , W = q ϕ , то (10а) означает, что q EX = EX = . Аналогично выражаются остальные компоненты вектора напряженности. Итак, мы приходим к выводу, что имеют место формулы: EX = , EY = , EZ = . (11) В векторной записи этот результат означает, что = – grad ϕ ( 12 ) Замечание. Для центрального поля (не обязательно кулоновского), т.е. для случая ϕ = ϕ(r), можно показать, что = (13)