Электромагнитное поле монохроматического источника в ограниченных средах

1 Лекция №8 ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ МОНОХРОМАТИЧЕСКОГО ИСТОЧНИКА В ОГРАНИЧЕННЫХ СРЕДАХ 8.1 Наклонное падение электромагнитной волны на плоскую границу раздела двух сред. Формулы Френеля При рассмотрении падения электромагнитной волны на плоскую границу раздела двух сред удобно совместить плоскость раздела с одной из координатных плоскостей. Тогда при наклонном падении волны направление распространения не совпадает ни с одной из осей координат и в общем случае распространение волны можно характеризовать волновым комплексным вектором 𝒌̇ = 𝜷 − j𝜶. При этом поле падающей волны определяется выражением Em  Em e jkr , H m  H m e jkr , где r – радиус-вектор, определяющий положение в пространстве исследуемой точки. Вектор β перпендикулярен плоскости равных фаз и определяет направление и скорость перемещения этой плоскости, вектор α перпендикулярен плоскости равных амплитуд и определяет изменение амплитуда. Векторы α и β могут быть и не параллельны. Если векторы α и β параллельны (плоскости равных фаз и равных амплитуд совпадают), то плоская электромагнитная волна называется однородной. Если векторы α и β не параллельны (плоскости равных фаз и равных амплитуд не совпадают), то плоская волна называется неоднородной. В отличие от однородной волны неоднородная волна имеет продольные, т.е. совпадающие с направлением распространения волны, составляющие E или H. Неоднородные плоские волны образуются при наклонном падении волны на границу раздела двух сред. При этом векторы α и β по величине и 2 направлению определяются не только параметрами среды, в которой волна распространяется, частотой поля, но и характером возбуждения волны. Очень часто величина α, характеризующая убывание амплитуды, не связана с поглощением энергии в данной среде. Пример. Плоская однородная волна падает на границу раздела двух сред. Первая среда без потерь, вторая с потерями (рисунок 8.1). Если фазовая скорость во второй среде меньше, чем в первой, то плоскость равных фаз изменит направление (угол, образованный вектором β и нормалью к границе раздела, направленной во вторую среду, уменьшается). Очевидно, что затухание поля определяется расстоянием точки от границы раздела. В этом случае вектор α перпендикулярен границе раздела. Во второй среде с потерями распространяется плоская неоднородная волна. Рисунок 8.1 – К образованию неоднородных волн 3 Обе среды линейные и без потерь Пусть две однородных изотропных среды, из которых первая характеризуется параметрами 1, 1, а вторая 2, 2, разделены плоской границей, совпадающей с плоскостью OX1X2 (Рисунок 8.2).  Рисунок 8.2 – Наклонное падение на границу двух сред В первой среде под углом  распространяется плоская однородная волна с постоянной распространения k(1)    a1a1 . Угол , образованный нормалью к плоскости раздела и направлением распространения, называется углом падения (за положительное направление нормали принимаем направление, совпадающее с осью x3). Плоскость, проведенная через нормаль к поверхности раздела и направление распространения волны, называется плоскостью падения. Волна, распространяющаяся от источника, называется падающей, а поле ее первичным. Это поле вызывает колебания свободных и связанных зарядов, находящихся на поверхности раздела. Колебания свободных и связанных зарядов являются причиной вторичного поля, распространяющегося в первую среду – отраженной волны, и во вторую среду – прошедшей или преломленной волны. Угол, образованный направлением распространения отраженной волны и направлением нормали к плоскости раздела, называется углом отражения 4 -0); (угол угол, образованный направлением распространения преломленной волны и нормалью, углом преломления (угол ). Поле в первой среде E(1), H(1) определяется как сумма падающей E, H и отраженной E0, H0 волн E(1)  E  E0 , H(1)  H  H0 . Поле во второй среде E(2), H(2) определяется полем преломленной волны. Рассмотрим случай горизонтальной и вертикальной поляризации, так как все возможные другие случаи можно представить как суперпозицию этих двух. Если вектор E параллелен плоскости раздела, то поляризация называется горизонтальной. При этом вектор H лежит в плоскости падения. Если вектор E лежит в плоскости падения, а вектор H параллелен плоскости раздела, то поляризация называется вертикальной. Случай произвольной линейной поляризации можно представить как сумму горизонтальной и вертикальной, совпадающих по фазе во времени; круговую поляризацию — как сумму вертикальной и горизонтальной линейных поляризаций, одинаковых по амплитуде и сдвинутых по фазе во времени на /2; эллиптическую — как сумму вертикальной и горизонтальной разных по амплитуде и сдвинутых по фазе во времени. В случае линейной поляризации для упрощения решения удобно совместить другую координатную плоскость, например Ox2x3 (Рисунок 8.3), с плоскостью падения. Рисунок 8.3 - Наклонное падение: а – при горизонтальной поляризации; б – при вертикальной поляризации 5 Тогда в случае горизонтальной поляризации с осью x1 совпадает направление вектора E, в случае вертикальной – направление H, и выражения, определяющие поле, упростятся. Вектор k(1) будет иметь только две проекции k (1)  (0, k(1) sin , k(1) cos ), скалярное произведение k(1)r имеет вид k (1)r  k(1) ( x2 sin   x3 cos ). Горизонтально поляризованная волна Рассмотрим случай горизонтальной поляризации. Поле падающей волны определяется следующими выражениями: j [t  k(1) ( x2 sin   x3 cos )]  j [t  k(1) ( x2 sin   x3 cos )]  H  H m (e2 cos   e3 sin  ) e . E  e1 Em e , (8.1) В среде без потерь векторы E и H совпадают по фазе Em  Z 01H m , где Z 01   a1  a1 — характеристическое сопротивление первой среды. Так как поле падающей волны не зависит от x1, то из условия симметрии очевидно, что вторичное поле не зависит от x1, т. е. отраженная и преломленная волны также распространяются в плоскости падения. Пусть постоянная распространения отраженной волны равна k0  0 a1 a1 , тогда выражения для поля отраженной волны имеют вид: E0  e1 Em 0 e j[0t k0 ( x2 sin0  x3 cos0 )] ,   H 0  H m 0 (e2 cos 0  e3 sin 0 ) e j[0t k0 ( x2 sin0  x3 cos0 )] ,   Em 0  H m 0 Z 01  (8.2) 6 где Em 0 и H m 0 – учитывают возможный сдвиг по фазе отраженной волны относительно падающей). Поле прошедшей волны имеет вид   j [2t  k( 2) ( x2 sin   x3 cos  )]  E(2)  e1 Em (2) e ,  j [2t  k( 2) ( x2 sin   x3 cos  )] H (2)  H m (2) (e2 cos   e3 sin  ) e ,  Em (2)  Z 02 H m (2) ,  k(2)  2  a 2 a 2 , где Z 02  (8.3) a2  a 2 – волновое сопротивление второй среды ( H m (2) и Em (2) учитывают возможный сдвиг по фазе прошедшей волны относительно падающей). Из условия непрерывности тангенциальных составляющих вектора напряженности электрического поля на границе двух сред, т.е. E (1)  E (2) при x3  0, с учетом выражений (8.1), (8.2) и (8.3), получим Em e j (t  k(1) x2 sin )  Em0 e j (0t k0 x2 sin0 )  Em(2) e j (2t k( 2) x2 sin  ) . (8.4) Так как амплитуды Em, Em 0 и Em (2) от t и x2 не зависят, то для выполнения граничного условия (8.4) в любой момент времени t в любой точке плоскости раздела необходимо, чтобы   0  2 , (8.5) т. е. частоты падающей, отраженной и прошедшей волны равны и k(1) sin  k0 sin0  k(2) sin . (8.6) Из полученного соотношения (8.6) следуют законы Снеллиуса: 1. Угол падения равен углу отражения     0 . 2. Углы падения и преломления связаны соотношением (8.7) 7  sin  k(1) n   1 1  1  n12 , sin  k(2)  2 2 n2 (8.8) где n1  11 , n2   2 2 – коэффициенты преломления соответственно первой и второй сред; n12 – относительный коэффициент преломления. На основании (8.5) и (8.6) выражение (8.4) может быть переписано в виде Em  Em0  Em(2) (8.9) Из условия непрерывности тангенциальных составляющих вектора напряженности магнитного поля на границе двух диэлектрических сред без потерь, когда J пов  0, т.е. H (1)  H ( 2) при x3  0, учитывая уравнения (8.1) – (8.3), (8.5) и (8.6), получаем H m cos  H m0 cos0  H m(2) cos. Согласно закону Снеллиуса     0 , тогда ( H m  H m0 ) cos   H m(2) cos  (8.10) или ( Em  Em 0 ) cos   Z 01 Em (2) cos . Z 02 (8.11) Явления отражения и прохождения волны через границу раздела двух сред при горизонтальной коэффициентами отражения поляризации E можно и прохождения PE характеризовать на границе по электрическому полю Em (2) Em 0 . E  , PE  Em Em Преобразуя (8.9) и (8.11) с помощью (8.12), получим систему (8.12) 8   Z 01  (1   E )cos  PE cos . Z 02  1   E  PE , Решая ее относительно  E и PE , найдем Z 02 cos   Z 01 cos   , Z 02 cos   Z 01 cos    2Z 02 cos  PE  . Z 02 cos   Z 01 cos   E  Выражения называются (8.13) (8.13) формулами Френеля для горизонтально поляризованной волны. Вертикальная поляризация В случае вертикальной поляризации поле падающей волны определяется выражениями E  Em (e2 cos   e3 sin  ) e H  e1 H m e Сравнивая j [t  k(1) ( x2 sin   x3 cos )] j [t  k(1) ( x2 sin   x3 cos )] выражения (8.14) и . (8.1), видим, ,    что (8.14) уравнения, описывающие случай вертикальной поляризации, можно получить из уравнений для горизонтальной поляризации при замене E H , Hm Em . При этом (8.9) и (8.10) при замене будут иметь вид:    ( Em  Em 0 )cos  Em (2) cos  ,   H m  H m 0  H m (2) , (8.15) или ( H m  H m 0 ) cos   H m (2) Z 02 cos . Z01 (8.16) В случае вертикальной поляризации явления на границе раздела можно характеризовать коэффициентом отражения и прохождения по магнитному полю 9 H  H H m0 , PH  m (2) . Hm Hm (8.17) Преобразуя (8.15) и (8.16) с помощью (8.17), получим   Z 02  (1   H ) cos   PH cos . Z 01  1   H  PH , Отсюда формулы Френеля для случая вертикальной поляризации имеют вид: Z 01 cos   Z 02 cos   , Z 01 cos   Z 02 cos    2Z 01 cos  PH  . Z 01 cos   Z 02 cos   H  (8.18) Поскольку все величины, входящие в правую часть выражений (8.13) и (8.18) действительны, то коэффициенты отражения и прохождения действительны. Очевидно, фаза прошедшей волны в случаях горизонтальной и вертикальной поляризации совпадает с фазой падающей. Отраженная волна совпадает по фазе с падающей или сдвинута на 180°. Так, в случае горизонтальной поляризации фаза отраженной волны совпадает с падающей, если Z02 cos  Z01 cos. В противном случае фаза меняется скачком на 180°. Аналогичное соотношение имеет место в случае вертикальной поляризации. Вернемся к случаю горизонтальной поляризации и рассмотрим поле в первой среде, представляющее суперпозицию падающего и отраженного полей Em(1)  Em  Em0 . Подставляя сюда выражения (8.1), (8.2) и (8.12), получим Em(1)  e1Em e  jk(1) ( x2 sin   x3 cos )  e1 E Em e  jk(1) ( x2 sin 0  x3 cos0 ) . 10 Учитывая, что     0 , Em(1)  e1Em[e  jk(1) ( x2 sin   x3 cos  ) Прибавляя и отнимая выражение  E e E e  jk(1) ( x2 sin   x3 cos )  jk(1) ( x2 sin   x3 cos  ) ]. и группируя члены, получим Em(1)  e1Em[(1   E )e  jk(1) ( x2 sin   x3 cos )  2 E cos(k(1) x3 cos )e  jk(1) x2 sin  ] Таким образом, поле в первой среде можно представить как сумму двух волн, одна из которых распространяется вдоль направления падения с амплитудой Em (1   E ), вторая вдоль границы раздела в направлении оси x2 с амплитудой, изменяющейся по закону косинуса вдоль оси x3. Очевидно, что поле в первой среде является неоднородным. Поле во второй среде является однородным. Обе среды линейные, но вторая – с потерями. Рассмотрим прохождение плоской волны через поверхность раздела из среды без потерь в среду с потерями (см. Рисунок 8.1). Распространение преломленной волны характеризуется множителем распространения e  jk( 2) r , где k(2)  β(2)–jα(2) и в общем случае векторы β(2) и α(2) не параллельны, но вследствие симметрии возбуждения преломленной волны лежат в плоскости падения. Если плоскость падения совпадает с плоскостью x2Ox3, то скалярное произведение  (  sin   j (2) sin  ) (  cos    j (2) cos  )  (k(2) r )  k(2)  (2) x2  (2) x3  . k(2) k(2)   Удобно ввести комплексные углы cos   где (2) cos  j (2) cos k(2) , sin   (2) sin   j (2) sin  k(2)  – угол между нормалью к поверхности и вектором β(2);  – угол между нормалью к поверхности и вектором α(2). Закон Снеллиуса для данного случая имеет вид . 11 k(1) sin   k(2) sin . Отсюда k(1) sin   (2) sin   j (2) sin  , т.е. sin   0 или   0, а sin   k(1) sin  (2) . Если потери во второй среде малы, то k(2)  (2) и   . В этом случае положение плоскости равных фаз в пространстве определяется выражением x2 sin   x3 cos  const, а выражением x3  const. положение плоскости равных амплитуд Плоскости равных фаз и равных амплитуд неоднородной волны, распространяющейся в среде с потерями, приведены на Рисунке 8.4. Физически расщепление плоскостей можно представить следующим образом. Падающая волна возбуждает колебания свободных и связанных зарядов, находящихся на поверхности раздела. Амплитуда этих колебаний одинакова на всей поверхности раздела. c Среда без потерь b  а а Плоскость равных b  х фаз ы н в а ость р к с о л П   x3 c амплитуд Среда с потерями Рисунок 8.4 – Наклонное падение на границу со средой с потерями 12 Рассмотрим перемещение волны в пространстве (Рисунок 8.4). Плоскость abc является плоскостью равных фаз и равных амплитуд. Так как точка a из-за различия фазовых скоростей в первой и второй среде пройдет меньший путь (ф(2) < ф(1)), чем точка c, то во второй среде плоскость равных фаз изменит свое положение в пространстве и совпадет с плоскостью abc. Фазы точек a , b и c  будут одинаковы, но амплитуды колебаний в этих точках будут различны, так как пути, пройденные этими точками, в среде с потерями различны, следовательно, будет различно затухание амплитуд. Рассматривая колеблющиеся заряды как источники сферических волн, очевидно, что плоскости равных амплитуд параллельны плоскости раздела, плоскости равных фаз и равных амплитуд не совпадают. Среда с потерями характеризуется комплексным волновым сопротивлением и, следовательно, коэффициенты отражения и преломления, определяемые выражениями (8.13) и (8.18), являются комплексными. Таким образом, отраженная и преломленная волны сдвинуты по фазе относительно падающей. Причем этот сдвиг для случая горизонтальной и вертикальной поляризаций будет различным, и при падении на границу среды с потерями волны́ произвольной линейной поляризации отраженная и преломленная волны будут поляризованы эллиптически. Эллиптичность зависит не только от параметров сред, но и угла падения. При падении на поверхность воздух-море волны произвольной линейной поляризации отраженная волна имеет эллиптическую поляризацию. 8.2 Полное прохождение электромагнитного поля при наклонном падении на границу линейных сред без потерь. Угол Брюстера В случае горизонтальной поляризации отраженная отсутствует, если  E  0 или согласно формулам Френеля (8.13) Z02 cos  Z01 cos  0. Учитывая закон преломления Снеллиуса, волна 13 Z 02 cos  Z 01 1  2 k(1) k 2 (2) sin 2   0 или sin 2    2 1  2 1 . 1 2  2 1 (8.19) Таким образом, в случае сред без потерь для полного прохождения волны необходимо направлять ее под углом, определяемым выражением (8.19). Но для обычных диэлектриков 1  2  1, и выражение (8.19) не имеет смысла, горизонтально-поляризованная часть поля отражается при любом угле падения. В случае вертикальной поляризации условием полного прохождения волны является равенство  H  0. Тогда согласно формулам Френеля (8.13) Z02 cos  Z01 cos  0. Учитывая закон преломления Снеллиуса, Z 02 1  2 k(1) k 2 (2) sin 2   Z 01 cos  0, или sin 2   2 1   2 1 . 1  2   2 1 Для обычного диэлектрика 1  2  1 и sin 2    Б  arctg 1 1  2  1 или 2 . 1 (8.20) Таким образом, вертикально поляризованная волна не отражается при падении на границу раздела идеальных диэлектриков под углом, определяемым выражением (8.20) и называемым углом Брюстера. При падении под углом Брюстера волны любой линейной, круговой или эллиптической поляризации отраженная волна имеет горизонтальную 14 поляризацию. Поэтому угол Брюстера называется также углом полной поляризации. Угол преломления в данном случае определяется выражением sin   1 sin  Б . 2 Учитывая (8.20) и исключая параметры среды, получим sin   cos или   sin   sin    Б  . 2  Отсюда    2   Б или    Б   2 , т.е. отраженный и преломленный лучи перпендикулярны друг другу. Угол Брюстера на радиочастотах для сред воздух-вода равен 84°, что близко к скользящему падению. Этим объясняется нерегулярность радиопередач над водными поверхностями. Очевидно, полного прохождения однородной волны не будет наблюдаться, если вторая среда обладает потерями, так как в этом случае угол падения должен быть комплексным, а однородная волна характеризуется действительным углом падения. 8.3 Нормальное падение электромагнитного поля на движущуюся плоскость раздела. Эффект Доплера Рассмотрим отражение и преломление плоской электромагнитной волны, падающей на плоскость раздела, перемещающейся со скоростью u в направлении оси x3, причем u << c. Пусть E  e1Em e волны напряженность j (t k(1) x3 ) электрического поля , отраженной волны E0  e1Em0 e E(2)  e1Em(2) e j (2t k( 2) x3 ) . падающей j (0t  k(1) 0 x3 ) волны , прошедшей 15 На плоскости раздела, перемещающейся со скоростью u, выполняется граничное условие для тангенциальных составляющих вектора E E(1)  E( 2) или Em e j ( t k(1) x3 )  Em 0 e j ( 0t k(1) 0 x3 )  Em ( 2 ) e j ( 2t k( 2 ) x3 ) j (0  k(1) 0u ) t  Em(2) e j (2 k( 2)u ) t , а при x3  ut , Em e j ( k(1)u ) t  Em0 e . Чтобы это условие выполнялось в любой момент времени t, необходимо выполнение равенства   k(1) u  0  k(1)0u  2  k( 2) u. (8.21) Если первая среда воздух, то k(1)    , k (1) 0  0 . c c (8.22) Вторая среда движется со скоростью u. Так как эта скорость мала, то можно считать, что волна движется относительно этой среды со скоростью v(2)  u  v(2) k( 2)  2 v( 2)  2  a2a2 . (8.23) Подставляя (8.22) и (8.23) в (8.21), получим   u c   u c   1     0 1     2 1   u  v( 2)  или u         u  2   1  (  2 2  1)   c   0   1  2  c При обратном направлении движения плоскости раздела (8.24) 16 u         u  2   1  (  2 2  1)   c   0   1  2  c (8.25) Полученные формулы (8.24) и (8.25) выражают эффект Доплера, который заключается в том, что частота отраженной и прошедшей волны при движении границы раздела или тела отличается от частоты падающей волны. В результате этого суммарное поле падающей и отраженной волны имеет изменяющуюся во времени амплитуду, т.е. возникают биения. Частота биений fб  Этот эффект   0 2u  f . 2 c используется в радиолокационной технике для определения скорости движущейся цели и ее обнаружения. 8.4 Поверхностный эффект Рассмотрим более подробно явления, возникающие в проводящей среде при падении на нее электромагнитной волны. Следует отметить, что согласно закону Снеллиуса преломленная волна при любом угле падения распространяется нормально к плоскости раздела. В проводящей среде k( 2)    j,     a 2  2 , 2 а поле прошедшей волны определяется выражениями: Em (2)  e1 PEm e x3 e j x3 , H m (2)    Z 01  e2 PH m e x3 e j x3 . Z 02  (8.26) Электромагнитное поле проникает вглубь второй среды, убывая по экспоненте. Это поле вызывает во второй среде ток, плотность которого связана с вектором E(2) выражением J ( 2)  2 E( 2) , т.е. J m(2)  e1PEm 2 e x3 e j x3 17 или амплитудное значение J m( 2)  PEm 2 e  x3 . Распределение тока в зависимости от x3 приведено на Рисунок 8.4 Jm O x3  Рисунок 8.4 – Распределение плотности тока в проводнике Расстояние, на котором амплитуда уменьшается в e раз, называется глубиной проникновения или толщиной скин-слоя.  2 a 2  2 . Графически величина  определяется длиной подкасательной (см. Рисунок 8.4). Глубина проникновения зависит от частоты  и проводимости 2. Так для меди  1 см при f=50 Гц и   3  103 см при f=105 Гц. Скин-эффе́кт. (от англ. skin — кожа, оболочка). поверхностный эффект, затухание электромагнитных волн по мере их проникновения в глубь проводящей среды, в результате которого, например, переменный ток по сечению проводника или переменный магнитный поток по сечению магнитопровода распределяются не равномерно, а преимущественно в поверхностном слое. Длина волны в проводнике 18 2 2  .    На расстоянии, равном длине волны, амплитуда тока убывает в е2=540 раз. Фаза тока изменяется с расстоянием линейно. На расстоянии, равном половине длины волны, фазы различаются на 180° и в любой момент времени в частях проводника, отстоящих друг от друга на /2, ток идет в противоположных направлениях. Комплексная амплитуда тока, текущего через пластину шириной в 1 м, равна  I m (2)    2 Em (2) d x3 , с учетом (8.26):  I m (2)   2 Em(2) ( x3  0)  e 1  x3  e 1  j x3  d x3   2 Em (2) ( x3  0) 1 j  J m(2) ( x3  0) 1 j , или I m( 2)  J m( 2) ( x3  0) 2 , т.е. ток равен такой величине, как если бы он, не уменьшаясь по амплитуде, проникал вглубь проводника на величину . При сильном поверхностном скин-эффекте слое. При этом  мало, удобно и ток сосредоточен пользоваться в понятием поверхностного сопротивления проводника ZS (Oм/), определяемого отношением ZS  Em (2) ( x3  0) I m (2) , т. е. отношением значения комплексной амплитуды напряженности электрического поля на поверхности проводника к току, рассчитанному на единицу ширины пластины. Поверхностное сопротивление — это сопротивление квадрата поверхности, не зависящее от размера его стороны 19 ZS  1 (1  j ), 2  т. е. ZS состоит из равных друг другу активного и реактивного сопротивления 1  2  RS  X S  a 2  2 2 f a 2 . 2 Вещественная составляющая RS определяет потери на джоулево тепло, мнимая часть XS определяет индуктивность, обусловленную внутренним магнитным полем в проводнике. Полученные неограниченных выражения размеров. относятся Однако эти к плоской результаты пластине приближенно справедливы для проводников любой формы, если радиус кривизны их много больше глубины проникновения тока в проводник. Особенно это относится к высоким частотам, на которых глубина проникновения мала и измеряется долями миллиметра. В случае круглого провода радиуса a (a >> ) активное сопротивление единицы длины провода на достаточно высоких частотах определяется выражением Rf  RS 1  2a 2a f a 2 . 2 При постоянном токе сопротивление единицы длины провода R0  1 . 2  2 a Отношение этих сопротивлений Rf R0  a f a 2  2 , 2 20 т. е. влияние поверхностного эффекта на сопротивление особенно значительно в проводах большого сечения. Уже в серебряном проводе (   6  107 Cм/м) радиусом 2 мм на частоте f= 3·108 Гц сопротивление Rf в 250 раз больше, чем на постоянном токе. Поэтому для уменьшения сопротивления переменному току сплошные проводники заменяют совокупностью изолированных друг от друга проводников. Для уменьшения активного сопротивления на высоких частотах поверхность проводника часто покрывается серебром, имеющим бόльшую проводимость. Так как на высоких частотах центральная часть сечения проводника практически не используется, то для уменьшения веса и экономии металла проводники делают полыми. При увеличении частоты магнитное поле внутри проводника уменьшается, а, следовательно, индуктивность провода уменьшается и связанная с ним ( X S  L). Ток сосредоточивается вблизи тех поверхностей проводников, через которые электромагнитное поле проникает в них из окружающего пространства. Поэтому в случае цилиндрического проводника такой поверхностью является его наружная поверхность, в случае коаксиального кабеля ток высокой частоты протекает в слое у наружной поверхности внутреннего проводника и внутренней поверхности внешнего проводника, в случае волновода — на внутренней поверхности стенок. Поверхностный эффект имеет и полезное применение в технике. С его помощью осуществляют поверхностную закалку стальных изделий, помещая изделие в поле высокой частоты. Индуцированные токи вызывают сильный нагрев поверхности изделия без повышения температуры внутренней части, что необходимо для поверхностной закалки. Внутри идеального проводника электромагнитное поле тождественно равно нулю, а на его поверхности для электрического поля имеют место граничные условия 21 E  0 или [n0 E]  0, (8.27) где n0 — орт нормали к поверхности проводника, направленный внутрь него. Тангенциальная составляющая магнитного поля на поверхности проводника терпит разрыв и равна H   J пов или [n 0 H]  J пов. (8.28) В формулах (8.27) и (8.28) через E и H обозначены значения полей в точках, бесконечно близких к поверхности идеального проводника, но лежащих вне его. В случае реального проводника проводимость  велика, но конечна. При этом электромагнитное поле проникает в проводник. Однако, вследствие сильного поглощения поля, оно быстро затухает. Граничные условия (8.27) и (8.28) становятся приближенными. Толщина поверхностного слоя в проводниках мала и тем меньше, чем больше проводимость и частота электромагнитного поля. Поэтому ошибка при использовании граничных условий (8.27) и (8.28) для реального проводника мала. Таким образом, распределение поля при падении волны на идеальный проводник совпадает с распределением поля при наличии реального проводника. Различие состоит лишь в том, что в последнем случае имеются потери на джоулево тепло, которые тем больше, чем меньше толщина поверхностного слоя. Однако потери малы, и в большинстве практических задач можно реальный проводник заменить идеальным. Упрощение заключается в том, что поле внутри идеального проводника можно не рассматривать, а наличие проводника учитывать с помощью граничных условий на его поверхности (8.27) и (8.28). Плотность потока энергии Поток энергии в первой среде определяется бегущей волной, 22  0(1) 2 1 1 2 2 Em  (1   ) Em H m  (1   ) , 2 2 Z 01 во второй среде Π 0(2)  1 Z 01 2 1 (1  ) 2 2 P Em H m  Em , 2 Z 02 2 Z 02 но (1   2 ) (1  ) 2  Z 01 Z 02 и, как следовало ожидать, потоки энергии в первой и второй среде равны. Для характеристики поля в первой среде при наличии отражения применяется так называемый коэффициент стоячей волны по напряженности K свн  Em макс Em мин  1  1 1  или коэффициент стоячей волны по мощности K св  Обратная величина Em2 макс Em2 мин (1   )2   1. (1   )2 коэффициента стоячей волны называется коэффициентом бегущей волны по напряженности K бвн  1  1 1  или коэффициентом бегущей волны по мощности (1   )2 K бв   1. (1   ) 2 Если Z01  Z02 , то   0, P  1 т.е. отраженной волны нет, амплитуды поля в первой и второй среде равны (рисунок 8.5). 23 E m(1) Z 01 x1 Z 02 E m(2) Z 01= Z 02 Г=0 O x3 Рисунок 8.5 – Распределение амплитуд поля при нормальном падении на границу двух сред с одинаковым волновыми сопротивлениями Радиолокатор обнаруживает подобрать материал так, что цель по  a  a   0 0 , отраженной волне. Если то пластина из такого материала при нормальном падении на нее лучей будет «невидимой» для радиолокатора. Волновое сопротивление пенополистирола близко к волновому сопротивлению воздуха, поэтому его используют для различных втулок в волноводах. Рассмотрим случай, когда плоская волна падает из среды без потерь нормально к плоскости раздела со средой с потерями. Так как в этом случае Z02 комплексная величина, то коэффициент отражения  Z 02  Z 01   e j Z 02  Z 01 является комплексной величиной и волна при отражении меняет не только амплитуду, но и фазу. Амплитуда волны во второй среде затухает по экспоненте, зависимость амплитуд от x3 в первой и второй средах имеет вид, приведенный на рисунке. 8.6. x1 Em(1) Em(2) O x3 Рисунок 8.6 – Распределение амплитуд поля при нормальном падении на границу со средой с потерями 24 Если среда обладает потерями из-за проводимости, то волновое ее сопротивление a 2 a 2  . 2  a2  a 2  j  Z 02  В случае проводника можно пренебречь  a 2 по сравнению с  a2   2  , при этом Z 02  ja 2 2  j a 2 j 4  e  Z 02 e 4 2 (сдвиг в 45° указывает на то, что в проводящей среде электрическая и магнитная составляющая сдвинуты по фазе на 45°). Если вторая среда является идеально проводящей (  2   ), то Z02  0,   1, P  0. и поле не проходит во вторую среду. В первой среде поле определяется выражениями Em(1)  e1Em (e  jk(1) x3 H m(1)  e2 H m (e e  jk(1) x3 jk(1) x3 e )  e1 j 2Em sin k(1) x3 , jk(1) x3 )  e2 2H m cos k(1) x3 , т. е. магнитное и электрическое поля сдвинуты во времени на 90° и представляют стоячую волну (рисунок 8.7). x1 E m (1)  _ 2 E m (2)=H m (2)= 0  _ 4 O x3 H m(1) x2 Рисунок 8.7 – Распределение амплитуд поля при нормальном падении на границу с идеально проводящей средой 25 Существуют плоскости, отстоящие друг от друга на четверть волны и перпендикулярные x3, в которых амплитуды электрического или магнитного поля в любой момент всегда равны нулю. Так как в любой момент времени вектор Пойнтинга в точках этих плоскостей равен нулю, то энергия через эти плоскости не проходит и движения энергии в среде нет. Движение энергии происходит лишь в пределах четвертьволновых объемов. Энергия электрического поля переходит в магнитное и обратно. Среднее значение вектора Пойнтинга в любой точке поля равно нулю 1 Π 0  Re[ Em* H m ]  0, 2 так как [ Em* H m ] является мнимой величиной.