Электромагнитное поле и его основные уравнения

1 Электромагнитное поле и его основные уравнения 1 Основные понятия Электромагнитное поле – это особый вид материи и обладает всеми его свойствами: -заполняет собой некоторую область пространства в данный момент времени; -обладает определенной массой m эквивалентной тому запасу энергии W электромагнитного поля, которая распределена в данной области. W=mc2 , (1) где с – скорость света (скорость распространения электромагнитного поля), м/с. Поле называется электромагнитным, так как оно представляет собой совокупность электрического и магнитного полей, локализованных в одной и той же области пространства, и связанных между собой в своих изменениях. Электрическое поле создается неподвижными в пространстве электрическими зарядами и изменяющимся во времени магнитным полем и проявляется в том, что оно охватывает силовое воздействие на неподвижные заряды. Основными характеристика электрического поля являются: -напряженность 𝐸̅ В [ ] м Кл ̅ - электрическое смещение 𝐷 [ 2] м Напряженность в данной точке поля равна отношению механической силы f, с которой поле действует на независимый положительный заряд, к величине этого заряда q0. 𝐸̅ = 𝑓 (2) 𝑞0 ̅ связаны соотношением В пустоте величины 𝐸̅ и 𝐷 ̅ = 𝜀0 𝐸̅ 𝐷 где 𝜀0 - электрическая постоянная 𝜀0 = 1 µ0 с2 = 1 4𝜋∗·(3·108 ) =8,85·10-12 Ф м , (3) 2 Если электрическое поле создано в диэлектрике, то ̅ = 𝜀𝐸̅ 𝐷 , (4) где 𝜀 − диэлектрическая проницаемость среды, причем 𝜀 > 𝜀0 Диэлектрическая проницаемость среды 𝜀 характеризует реакцию среды на внешние поля (явление поляризации). В анизотропной (неодинаковость физических свойств в области пространства) и неоднородной средах величина 𝜀 различна в ---направлениях (анизотропия), а так же в различных точках одного направления (неоднородность). Если среда изотропна и однородна 𝜀 везде имеет одно и то же направление. В анизотропной среде 𝜀 является тензором (обобщенным вектором), а в изотропной среде – скалярной величиной. При исследовании электрического поля используют его графическое ̅ . Указанные представление с помощью линий вектора 𝐸̅ и линий вектора 𝐷 линии – это такие касательные к которым в любых точках совпадают с ̅ ) в тех же точках. направлением соответствующего вектора (𝐸̅ или 𝐷 ̅ ) зависят от пространственных координат и В общем случае 𝐸̅ (𝐷 времени. Такие поля называются переменными электрическими полями. ̅ ) от времени не зависят, то поле называется Если указанные величины 𝐸̅ (𝐷 электростатическим. Электростатическое поле создается неподвижными в пространстве электрическими зарядами, а так же неподвижными электрически заряженными телами. Примерами электростатических полей могут служить поля с уединенным зарядом и поля, созданные равномерно заряженными пластинами бесконечного размера. 𝐸̅ зависит от величины заряда и направления, см. рис.1. Для точечных зарядов а) ε б) 𝐸̅ + * q 1 𝐸̅ = · 𝜀 𝑞 4𝜋𝑟 2 · 𝑟̅ 1 𝐸̅ = − · 𝑟 𝜀 Рис.1 𝑞 4𝜋𝑟 2 · 𝑟̅ 𝑟 3 Электрическое поле обладает следующими свойствами: ∑𝑞 1. ∮𝑆 𝐸̅ 𝑑𝑆̅= 𝜀 (5) Поток вектора напряженности поля сквозь замкнутую поверхность равен отношению алгебраической суммы зарядов, заключенных внутри этой поверхности и диэлектрической проницаемости. Это положение называется теоремой Гаусса. Она справедлива только для электростатического поля, созданного в изотропной и однородной среде. Пример Qqq шар + qw q q На поверхности шара 𝑞 ∮𝑆 𝐸̅ 𝑑𝑆̅=𝜀 За поверхностью ∮𝑆 𝐸̅ 𝑑𝑆̅=ø ̅ 𝑑𝑆̅=∑ 𝑞 2. ∮𝑆 𝐷 (6) Поток вектора электрического смещения сквозь замкнутую поверхность, равен суммарному заряду, заключенному внутри этой поверхности. Это положение (постулат Максвелла) справедливо для любых сред, а так же для переменных полей. Электрическое поле является носителем электрической энергии 𝑊э . Допустим, что поле создается n заряженными телами, рис.2. Рис. 2.:Заряженные тела, где un– потенциал электрического тела. Тогда энергия равна полусумме произведений заряда на потенциал. 1 𝑊э = ∑𝑛𝑘=1 𝑞𝑘 𝑈𝑘 2 (7) 4 Эта же энергия может вычисляться иначе ̅ 𝐸̅ 𝐷 𝑊э = ∫𝑉 2 𝑑𝑉 , (8) где V- объем ̅ 𝐸̅ 𝐷 2 = 𝑊′ -плотность энергии поля. Формулы (7) и (8) в случае электростатического поля дают один и тот же результат. Однако при переменном поле справедлива формула (8)/ ̅ совпадают по направлению и Если среда изотропна, то 𝐸̅ и 𝐷 𝑊э = 𝜀𝐸 2 = 2 𝐷2 (9) 2𝜀 Электрическое поле оказывает силовое воздействие на заряды. Магнитное поле создается движущимися электрическими зарядами и изменяющимся во времени электрическим полем. Магнитное поле проявляется в том, что оказывает силовое воздействие на проводник с электрическим током. Магнитное поле характеризуется: В·с ̅ [ 2 ] - Тл - магнитной индукцией В м ̅ [А] - напряженностью 𝐻 м Магнитная индукция равна пределу отношения силы, с которой поле действует на проводник длиной ∆l и током i к произведению i∆l, когда ∆l стремится к 0. ̅=lim В 𝑓 (10) 𝑙→∅ 𝑖∆𝑙 Направление магнитной индукции подчиняется правилу левой руки. В пустоте ̅=𝜇0 𝐻 ̅, В (11) где 𝜇0 - магнитная постоянная Гн 𝜇0 = 4𝜋 · 10−7 ( ) м В общем случае ̅=µ𝐻 ̅, В (12) 5 где µ- абсолютная магнитная проницаемость (учитывает реакцию среды на внешнее магнитное поле.) При графическом представлении магнитного поля пользуются линиями ̅ и линиями вектора В ̅. Указанные линии – это линии, касательные вектора 𝐻 ̅ или В ̅ в тех же точках. в любых точках которых совпадают с векторами 𝐻 ̅ всегда замкнуты. Линии 𝐻 ̅ терпят разрыв Линии магнитной индукции В на границе сред с различной магнитной проницаемостью. ̅иВ ̅ совпадают (т.к. µ - скалярная величина). В В изотропных средах линии 𝐻 изотропных средах нет совпадения (µ- скалярное). В теории магнитного поля важное значение имеет понятие о магнитном потоке. Магнитным потоком сквозь замкнутую поверхность называется поток ̅ сквозь эту поверхность, т.е. вектора В ̅𝑑𝑆 Ф=∫𝑆 В (13) Если поле однородно и поверхность представляет собой плоскость, ̅: перпендикулярную вектору В Ф=ВS ̅, то Если поверхность перпендикулярна вектору В Ф=ВScosα Магнитное поле обладает следующим свойством: ̅dS=0 ∮𝑆 В (14) Поток вектора магнитной индукции сквозь замкнутую поверхность всегда равен 0. Это свойство называется принципом непрерывности магнитного потока. Магнитное поле является носителем энергии. Допустим, что поле создается n контурами с током in. Энергия этого поля 1 𝑊м = 𝜓к 𝑖𝑘 , 2 (15) 𝜓к -потокосцепление к-го контура с учетом его магнитной связи со всеми 6 другими контурами. 1 𝑊м = (𝐿1 𝑖12 +𝐿2 𝑖22 + ⋯ + 𝐿𝑛 𝑖𝑛2 )+( 𝑀12 𝑖1 𝑖2 +𝑀13 𝑖1 𝑖3 + ⋯ + 𝑀𝑘𝑝 𝑖𝑘 𝑖𝑝 + ⋯) 2 (16) Энергию магнитного поля можно вычислить также по формуле 𝑊м = ∫𝑉 ̅ 𝐵̅ 𝐻 2 dV (17) Интеграл распространяется на весь объем, в котором существует магнитное поле. ̅ 𝐵𝐻 2 = 𝑊𝑀′ - плотность энергии магнитного поля. 𝑊𝑀′ = 𝜇𝐻 2 2 = 𝐵2 2𝜇 – в случае изотропной среды. Магнитное поле оказывает силовое воздействие на проводник с электрическим током и на тела, которые могут намагничиваться. Сила, стремящаяся изменить координату g, вычисляется по формулам f = −( 𝜕𝑊𝑀 𝜕g )𝛹 = const = ( к 𝜕𝑊𝑀 𝜕g )𝑖 = const (18) к В очень важном случае, когда проводник с током перпендикулярен однородному магнитному полю, сила, действующая на проводник f = 𝐵𝑖 ℓ , (19) где ℓ - длина проводника. Направление силы при этом определяется по правилу левой руки. 2. Уравнение электромагнитного поля в интегральной форме. Уравнения включают соотношения, характеризующие свойства электрических и магнитных полей в отдельности, и связь между ними. ̅ 𝑑𝑆̅ = 𝑞 1. ∮𝑠 𝐷 Поток вектора электрического смещения (электрической индукции) сквозь замкнутую поверхность равна свободному заряду, заключенному внутри этой поверхности Это постулат Максвелла – характеризует свойство электрического поля. 2. ∮ 𝐵̅𝑑𝑆 = ∅ 𝑠 7 Поток вектора магнитной индукции сквозь замкнутую поверхность равен ∅. Это принцип непрерывности магнитного потока – характеристика свойства магнитного поля ̅ 𝑑ℓ = ∑ 𝑖 3. ∮ 𝐻 Интеграл вектора напряженности магнитного поля по замкнутому контуру равен алгебраической сумме токов, охватываемым этим контуром. Это закон полного тока. В сумму токов входят токи проводимости, переноса, токи смещения. 4. 𝑒 = ∮ ̅ Е𝑑ℓ̅ = − 𝜕Ф 𝜕𝑡 закон электромагнитной индукции. ЭДС, индуцированная в замкнутом контуре равна взятой с отрицательным знаком скорости изменения магнитного потока, проходящего сквозь площадку ограниченную этим контуром. 5. 6. ̅ = 𝜀𝐸̅ 𝐷 ̅ 𝐵̅ = 𝜇𝐻 уравнения состояний. ̅ и̅ Задачей расчета электромагнитного поля является расчет величин 𝐻 Е ̅ и 𝐵̅ в любых точках пространства, занятого полем. Решение этой либо 𝐷 задачи с помощью приведенных уравнений возможно лишь в элементарных случаях. В общем случае используют уравнения поля в дифференциальной форме. 3. Уравнение электромагнитного поля в дифференциальной форме. а) Первое уравнение дифференциальной форме. Максвелла – закон полного тока в Рассмотрим произвольную поверхность, находящуюся в области действия электромагнитного поля, и возьмем на ней элементарную площадку с центром в (·) А. Величина площадки A, S. Длина окружающею её контура ℓ. Проведем нормаль к площадке 𝑛̅. Допустим, что в (·) А плотность тока задана вектором 𝛿̅. 8 Спроецируем 𝛿̅ на 𝑛̅ => получим нормальную составляющую ̅ . плотности тока 𝛿𝑀 Применим к ∆𝑆 закон полного тока ̅ 𝑑ℓ= ∆𝑖= 𝛿∆𝑆cos𝛽=𝛿н̅ ∆𝑆 ∮𝐻 Если применить закон для (·)А, то контур устремится к точке ̅ 𝑑ℓ ∆𝑖 ∮𝐻 = lim =𝛿н̅ ∆𝑆→∅ ∆𝑆 ∆𝑆→∅ ∆𝑆 lim ̅ 𝑑ℓ ∮𝐻 ∆𝑆→∅ ∆𝑆 где lim ̅ – проекция на нормаль, называемая вихрем вектора 𝐻 ̅. =𝑟𝑜𝑡𝑛 𝑀 ̅ = 𝛿н̅ 𝑟𝑜𝑡𝑛 𝐻 или в общем виде Первое уравнение Максвелла ̅ = 𝛿̅ rot Н (20) ̅, Физическое описание: ток проводимости создает магнитное поле 𝐻 направление линий которого определяются по правилу правого винта. Из векторной алгебры известно ̅ =∇x𝐻 ̅, 𝑟𝑜𝑡𝐻 где ∇( оператор набла)=𝑖̅ 𝜕 𝜕𝑥 +𝑗̅ 𝜕 𝜕𝑦 +𝑘̅ 𝜕 𝜕𝑧 . ∇ - оператор пространственного дифференцирования. ̅ =𝑖̅𝐻𝑥 +𝑗̅𝐻𝑦 +𝑘̅𝐻𝑧 𝐻 𝛿̅=𝑖̅𝛿𝑥 +𝑗̅𝛿𝑦 +𝑘̅𝛿𝑧 ̅= 𝑟𝑜𝑡𝐻 i j 𝜕 𝜕 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝐻𝑥 k 𝜕 𝜕𝐻 = 𝑖̅( 𝜕𝑦𝑧 − 𝜕𝑧 𝐻𝑦 𝐻𝑧 𝜕𝐻𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝐻 )+ 𝑗̅( 𝜕𝑧𝑥 − 𝜕𝐻𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝐻𝑦 )+ 𝑘̅( 𝜕𝑥 − 𝜕𝐻𝑥 𝜕𝑦 )= 𝑖̅𝛿𝑥 +𝑗̅𝛿𝑦 +𝑘̅𝛿𝑧 9 𝛿𝑥 = Отсюда: 𝛿𝑦 = {𝛿𝑧 = 𝜕𝐻𝑧 𝜕𝑦 𝜕𝐻𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝐻𝑦 𝜕𝑥 − − − 𝜕𝐻𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝐻𝑧 (21) 𝜕𝑥 𝜕𝐻𝑥 𝜕𝑦 Уравнения (21) первое уравнение дифференциальной форме в декартовых координатах. Максвелла в б) Второе уравнение Максвелла – закон электромагнитной индукции в дифференциальной форме. Аналогично первому случаю рассмотрим независимую поверхность в пространстве, занятом полем. Запишем закон электромагнитной индукции для этого контура. Е𝑑ℓ̅ = − ∮̅ 𝜕 𝜕𝑡 ∆Ф ∆Ф=B∆Scosβ=𝐵𝑛 ∆S Если стянуть контур в (·) А ̅𝑑ℓ 𝜕 ∆Ф ∮Е =- lim 𝜕𝑡 ∆𝑆→∅ ∆𝑆 ∆𝑆→∅ ∆𝑆 lim (22) Выражение, стоящее в левой части (20.23), представляется собой проекцию ротора вектора ̅ Е на нормаль 𝜕 𝑟𝑜𝑡𝑛 ̅ Е =- 𝐵𝑛 𝜕𝑡 Или в общем виде ̅ ̅ = -𝜕𝐵 - Второе уравнение Максвелла 𝑟𝑜𝑡Е (23) 𝜕𝑡 Физический смысл: в материальной 𝜕𝐵̅ среде вектор порождает 𝜕𝑡 электрическое поле. Линии вектора ̅ Е направлены в сторону, противоположную правилу правого винта (на что указывает знак «-») 10 В декартовой системе ̅=∇х𝐸 𝑟𝑜𝑡Е ̅=𝑖̅Е𝑥 +𝑗̅Е𝑦 +𝑘̅Е𝑧 Е 𝐵̅=𝑖̅𝐵𝑥 +𝑗̅𝐵𝑦 +𝑘̅𝐵𝑧 ∇= 𝑖̅ 𝜕 𝜕𝑥 +𝑗̅ 𝜕 𝜕𝑦 +𝑘̅ 𝜕 𝜕𝑧 𝑖̅ 𝑗̅ 𝑘̅ 𝜕 𝜕 𝜕 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 = 𝑖̅( 𝜕Е𝑧 𝜕𝑦 − 𝜕Е𝑦 𝜕𝑧 )+ 𝑗̅( 𝜕Е𝑥 𝜕𝑧 − 𝜕Е𝑧 𝜕𝑥 𝜕Е𝑦 𝜕Е )+ 𝑘̅( − 𝑥 ) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝐸𝑥 𝐸𝑦 𝐸𝑧 𝜕𝐵𝑥 𝜕𝑡 𝜕𝐵𝑦 𝜕𝑡 𝜕𝐵𝑧 = = { 𝜕𝑡 = 𝜕Е𝑧 𝜕𝑦 𝜕Е𝑥 𝜕𝑧 𝜕Е𝑦 𝜕𝑥 − − − 𝜕Е𝑦 𝜕𝑧 𝜕Е𝑧 𝜕𝑥 𝜕Е𝑥 Второе уравнение Максвелла в декартовых координатах (24) 𝜕𝑦 в) Теорема Гаусса, постулат Максвелла и принцип непрерывности магнитного потока в дифференциальной форме. Пусть в пространстве, где существует магнитное поле, выделим некоторый объем с центром в (·) А. Сам объем обозначим ∆N, а его поверхность S. Запишем для этого объема теорему Гаусса. ∮𝑠 𝐸̅ 𝑑𝑆̅ = ̅𝑑ℓ ∆𝑞 ∮Е = lim ∆𝑉→∅ ∆𝑉 ∆𝑉→∅ 𝜀∆𝑉 Стянем весь объем в (·)А, тогда lim ∆𝑞 𝜀 = 𝜌 𝜀 , (25) 11 где 𝜌- объемная плотность заряда Выражение в левой части (расхождение) вектора 𝐸̅ 𝜌 div𝐸̅ = (25) представляет собой - теорема Гаусса в дифференциальной форме 𝜀 Физический смысл: а) 𝜌 ≠ ∅; 𝜌 > ∅ дивергенцию (26) пусть в некоторой (·) б) 𝜌 ≠ ∅; 𝜌 < ∅ Имеем следующую картину поля q q исток сток q- источник 𝐸̅ q -заряд является стоком линий 𝐸̅ в) 𝜌 = ∅ сколько линий вошло, столько и вышло. Из векторной алгебры известно, что 𝜕Е 𝜕Е𝑦 𝜕Е div𝐸̅ =∇𝐸̅ = 𝑥+ + 𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 Аналогично можно найти выражения в дифференциальной форме для постулата Максвелла и принципа непрерывности магнитного потока ̅= 𝜌 div𝐷 постулат Максвелла 𝜕𝐷𝑥 𝜕𝐷𝑦 𝜕𝐷𝑧 𝜕𝑥 + 𝜕𝑦 + 𝜕𝑧 =𝜌 div𝐵̅= ∅ (28) 𝜕𝐵𝑥 𝜕𝐵𝑦 𝜕𝐵𝑧 𝜕𝑥 + 𝜕𝑦 + (27) 𝜕𝑧 =∅ 12 Система уравнений электромагнитного поля в дифференциальной форме В эту систему входят rot̅̅̅ 𝐻 = 𝛿̅ Закон полного тока (первое уравнение Максвелла) 𝜕𝐵̅ rot ̅𝐸 = - Закон электромагнитной индукции (второе уравнение 𝜕𝑡 Максвелла) ̅= 𝜌 div 𝐷 Постулат Максвелла ̅= Ø div В потока Принцип непрерывности магнитного ̅ = 𝜀Е ̅; В ̅ = µН ̅ 𝐷 Уравнения состояния ̅ ̅ + 𝜕𝐷+𝛿̅пер 𝛿 = 𝛾Е Плотность тока 𝜕𝑡 Приведенные уравнения описывают электромагнитное поле, созданное в неподвижной среде. Если поле существует в движущейся среде, то ̅ ̅ + 𝑉̅ x𝐵̅]+𝜕𝐷+𝛿̅пер 𝛿̅ = 𝛾[Е 𝜕𝑡 V- скорость движения среды.