Электродинамика и распространение радиоволн. Электромагнитные волны между проводящими параллельными плоскостями

Электродинамика и распространение радиоволн Лекция 11 27.04-01.05.2020 Русов Юрий Сергеевич 4.2 Электромагнитные волны между проводящими параллельными плоскостями Hn-волна. Рассмотрим отражение наклонно-падающей волны от идеально проводящей плоскости. При выбранном направлении осей координат в случае горизонтальной поляризации составляющая электрического поля Em(1) = e1 Em e − i kr + e1 Em 0 e − i k 0r , kr = (−k cos  x2 + k sin   x3 ), Е k 0r = (k cos  x2 + k sin   x3 ). x2 Н x1  O x3 Волны между проводящими плоскостями Коэффициент отражения от идеально проводящей плоскости  E = −1. Em (1) = e1 Em e −e1 Em e − i k ( − x2 cos  + x3 sin  ) − i k ( x2 cos  + x3 sin  ) − = = i e1 2 Em sin(kx2 cos )e − i kx3 sin  , (4.1) волна распространяется вдоль идеально проводящей плоскости в направлении оси х3 с постоянной распространения (4.2) k 0 = k sin  и амплитуда ее изменяется в направлении, перпендикулярном проводящей плоскости, по закону синуса Волны между проводящими плоскостями Пространственная периодичность в направлении оси х2 x2 E m1 E= 0 x2 H m2 Hn = 0 2  ⊥ = = . k cos  cos  x2 H m3 H=Jпов (4.3) Волны между проводящими плоскостями Магнитная составляющая поля находится из уравнения Максвелла rot Em = −i a H m , Hm = i rot Em a . Em = Z 0 H m , Em (1)  i  Em (1) H m (1) = e2 − e3  =   a  x3 x2  = ie 2 2 H m sin  sin(k cos   x2 ) + e3 2 H m cos  cos(k cos  x2 ) e − i k0 x3 . На проводящей поверхности выполняются граничные условия E  = E1 = 0, H n = H 2 = 0, H  = H 3  0 Волны между проводящими плоскостями На расстоянии n ⊥ dn = 2 (n = 1, 2, 3, …) от проводящей поверхности эти условия также выполняются, т. е. параллельно идеально проводящей плоскости на расстоянии dn можно поместить другую идеально проводящую плоскость и при этом поле не изменит своей структуры. Волны между проводящими плоскостями Структура поля в момент t = const для n = 3. Магнитные силовые линии — пунктир, электрические — сплошная линия. x2 x3  Волны между проводящими плоскостями На внутренней поверхности проводящих плоскостей наводятся поверхностные токи, направление и величина которых определяются из граничного условия [n 0 H ] = J пов , H  = J пов n0 — орт нормали, направленный внутрь системы. Распространяющееся поле имеет составляющую вектора H, совпадающую с направлением распространения волны, и называется магнитной волной (H-волной). Волны между проводящими плоскостями Пространство между плоскостями заполнено средой без потерь с параметрами εa и μa, т. е. характеристическое сопротивление, фазовая скорость, постоянная распространения и длина волны в такой среде, если она не ограничена a Zc = , a k =  a a , λ0 — длина волны в вакууме. v= 1  a a , 0 = ,  Волны между проводящими плоскостями Число полуволновых вариаций, укладывающихся между параллельными плоскостями, характеризует тип волны 2d n dk cos  2d cos  n= = = , ⊥   d = dn — расстояние между плоскостями Волны между проводящими плоскостями Угол θ представляет угол, под которым падает плоская однородная волна на идеально проводящую плоскость. Распространение между двумя параллельными плоскостями можно рассматривать как суперпозицию двух однородных волн, многократно отражающихся от параллельных плоскостей под углом θ. При заданном расстоянии между плоскостями d и типе волны Hn угол падения θ зависит от частоты n n cos  = = . 2d 2  a  a fd (4.5) Волны между проводящими плоскостями  f2 < f1 f1 f3 = f кр Эта зависимость определяется граничными условиями на проводящих плоскостях. С уменьшением частоты cosθ стремится к единице и при некоторой частоте, называемой критической частотой fкр, cos  = 1,  = 0. Волны между проводящими плоскостями При f  f кр угол θ — будет мнимой величиной. Это значит, что распространение электромагнитной волны при условии n 1 2d n =1 2d (4.6) невозможно. — критическое условие Волны между проводящими плоскостями Для распространения волны необходимо, чтобы    кр ,f  f кр . Критическая длина волны и критическая частота  кр 2d = n , f кр n = . 2d  a  a (4.7) Волны между проводящими плоскостями Число распространяющихся типов волн ограничивается условием 2d n= .  Волна с n = 0 существовать не может Коэффициент распространения направляемой волны 2 2 k 0 = k 1 − (  кр ) = k 1 − ( f кр f ) . (4.8) Волны между проводящими плоскостями При    кр коэффициент распространения 2  f кр  k0 = −ik   −1  f  - мнимая величина В этом случае электромагнитное поле, сохраняя неизменной фазу, убывает в направлении оси х3 по экспоненциальному закону. Электромагнитная волна в этом случае не распространяется. Волны между проводящими плоскостями  2 k0 = = vф  С учетом (4.8) фазовая и групповая скорости направляемой волны vф = d v гр = d k0 v 1 − ( кр ) 2 . (4.9) v гр = v 1 − ( кр ) . 2 (4.10) Волны между проводящими плоскостями Длина волны в направлении х3 2   = = = . 2 2 k0 1 − (  кр ) 1 − ( f кр f ) (4.11) Волны между проводящими плоскостями Характеристическое сопротивление системы, которое определяется как отношение составляющей вектора E (находящейся в плоскости, перпендикулярной направлению распространения), к составляющей H (находящейся в той же плоскости). Z0 H a 1 Zc E⊥ E1 = = = = , H⊥ H2  a sin  1 − ( кр ) (4.12) Волны между проводящими плоскостями Постоянная распространения, фазовая и групповая скорости, длина направляемой волны и характеристическое сопротивление зависят от частоты, т. е. распространение направляемой волны сопровождается дисперсией. В данном случае дисперсия вызвана ограничением среды в геометрическом смысле, так как предполагается, что сама среда, в которой происходит распространение поля, не обладает ни потерями, ни дисперсией (параметры среды не зависят от частоты f). Волны между проводящими плоскостями Значения фазовой скорости, длины волны и характеристического сопротивления больше, чем соответствующие значения в неограниченном пространстве. При увеличении частоты эти величины стремятся к значениям, характерным для неограниченного пространства. При уменьшении частоты они увеличиваются и при частоте, равной критической, обращаются в бесконечность. Значения vгр и k0 при увеличении частоты f стремятся к значениям v и k в неограниченном пространстве, при уменьшении частоты значения vгр и k0 уменьшаются при частоте, равной критической, обращаются в нуль. Волны между проводящими плоскостями Если среда между плоскостями представляет воздух, то фазовая скорость направленной волны больше скорости света. Это не противоречит теории относительности, согласно которой скорость распространения электромагнитного поля не может быть больше скорости света, так как в данном случае vф не скорость распространения электромагнитного поля, а скорость распространения фазы направленной волны в установившемся режиме. Скорость распространения электромагнитного поля определяется как скорость распространения электромагнитной энергии и в установившемся режиме совпадает с групповой скоростью vгр, которая меньше скорости света. Волны между проводящими плоскостями Интерпретация неоднородной волны, распространяющейся между параллельными плоскостями в виде суммы двух однородных плоских волн, позволяет объяснить отличие длины направленной волны Λ от длины волны в неограниченной среде λ (концепция парциальных волн). Волны между проводящими плоскостями I  ь II Гр еб ен ад ин а Вп ы II ы лн во лн во ы лн во Гр еб ен ь vф II  l вол н во лн ы I во лн ы а ин ь ен ь ен еб Гр ад Вп еб Гр ра Напр спр ав о л ни стр ение яв а ол нены I v(1) ыI Гребни плоских однородных волн представлены одной сплошной линией, впадины — двумя. Там, где встречаются гребни или впадины обеих волн, образуются соответственно гребни и впадины результирующей волны. Расстояние между соседними гребнями или впадинами определяет длину результирующей волны.  1  = . sin Волны между проводящими плоскостями En-волны. В случае вертикальной поляризации между пластинами распространяется неоднородная волна с продольной электрической составляющей. Зависимость k0, vф, vгр и Λ от частоты определяется как для H-волны формулами (4.8)—(4.11), а характеристическое сопротивление системы определяется выражением 2 Z0 E    E⊥ E2 = = = Zc 1 −  .   кр  H ⊥ E1   Волны между проводящими плоскостями T-волна. Между параллельными плоскостями может распространяться и однородная плоская волна. Если плоская однородная волна распространяется в свободном пространстве в направлении оси х3, то H m = e1 H m e Em = e 2 Em e k =  a a , − i kx3 − i kx3 , . vф = vгр = 1  a a , a Zc = . a T-волна представляет волну, коэффициент распространения которой и ее фазовая скорость не зависят от геометрии направляющей системы, т. е. от расстояния d между параллельными плоскостями. Волны между проводящими плоскостями Между параллельными плоскостями распространяться следующие типы волн: могут 1. Продольная составляющая E отсутствует, существует продольная составляющая H, электрическая составляющая находится в плоскости, перпендикулярной направлению распространения (H-волна). 2. Продольная составляющая H отсутствует, существует продольная составляющая E, магнитная составляющая H находится в плоскости, перпендикулярной направлению распространения (Eволна). 3. Продольные составляющие H и E отсутствуют, составляющие H и E находятся в плоскости, перпендикулярной направлению распространения (Tволна). 4.3 Прямоугольный волновод. Hmn-волны Cистему, состоящую из двух параллельных идеально проводящих плоскостей, между которыми распространяется H-волна, можно дополнить двумя другими параллельными идеально проводящими плоскостями, перпендикулярными первым двум и параллельными плоскости x2Ox3. При этом вектор E будет перпендикулярен этим дополнительным плоскостям, и граничное условие Eτ = 0 будет удовлетворено при любом расстоянии между дополнительными плоскостями. В прямоугольном волноводе распространяются волны типов Н и Е. Т-волна распространяться не может из-за невыполнимости граничного условия Eτ = 0. 4.3 Прямоугольный волновод. Hmn-волны x2 b a x1 x3 Волна распространяется в направлении оси x3. Для волны типа Н продольные составляющие полей Н3≠0, E3=0. Прямоугольный волновод. Hmn-волны Волновое уравнение для продольной составляющей напряженности магнитного поля Hm3 2   H m 3 + k H m 3 = 0 2    H m3  H m3 2 2  + + ( k − k ) H = . m 3 2 2 x1 x2 2 (4.13) Решение уравнения H m3 = H m3 ( x1 , x2 )e − i k0 x3 . Прямоугольный волновод. Hmn-волны Согласно методу Фурье — методу разделения переменных, представим это решение в виде произведения функций, каждая из которых зависит от одной переменной H m 3 = X 1 ( x1 ) X 2 ( x2 )e − ik0 x3 . Подставляем это выражение в (4.13) и делим на X1 X 2 e 2 2 − i k0 x3 1 d X1 1 d X2 2 2 2 + = − ( k − k ) = −  , X 1 d x12 X 2 d x22 2  не зависит от x1, x2. , Прямоугольный волновод. Hmn-волны Равенство возможно, если 2 1 d X1 2 = −1 , 2 X 1 d x1 где 2 1 Решения + 2 2 2 1 d X2 2 = − 2 , 2 X 2 d x2 2 = . X 1 = A cos 1 x1 + B sin 1 x1 , X 2 = C cos  2 x2 + D sin  2 x2 , H m3 = ( A cos 1 x1 + B sin 1 x1 )(C cos  2 x2 + D sin  2 x2 )e −i k0 x3 (4.14) Прямоугольный волновод. Hmn-волны A, B, C, D, 1 ,  2 — постоянные интегрирования, которые необходимо определить. Остальные составляющие поля найдем из уравнений Максвелла rot H m = i   a Em , rot Em = −i  a H m . Учитывая, что  = −i k0 x3 и E m 3 = 0, Прямоугольный волновод. Hmn-волны H m3 + ik0 H m 2 = i a Em1 , x2 H m3 + ik0 H m1 = −i a Em 2 , x1 H m 2 H m1 − = 0, x1 x2 (4.15) (4.16) Прямоугольный волновод. Hmn-волны a   Em 2 = − H m1 , k0 a  Em1 = H m2 , k0 Em 2 Em1 − = −ia H m3 . x1 x2 (4.17) (4.18) Прямоугольный волновод. Hmn-волны Подставляя (4.17) в (4.16), а (4.18) в (4.15), получим i k0 H m3 H m1 = − 2 .  x1 H m2 i k0 H m3 =− 2 .  x2 (4.19) (4.20) Прямоугольный волновод. Hmn-волны На границе диэлектрик–проводник E  = 0. Согласно (4.17), (4.19) и (4.14) Em 2 = = ia 1 2 (− A sin 1 x1 + B cos 1 x1 )(C cos  2 x2 + D sin  2 x2 )e − ik0 x3 При x1 = 0 B(C cos  2 x2 + D sin  2 x2 )e− ik0 x3 = 0. Выражение в скобках, в котором х2 произвольно, не равно нулю, следовательно, B=0. Прямоугольный волновод. Hmn-волны При x1 = a − A sin 1a(C cos  2 x2 + D sin  2 x2 )e − ik0 x3 = 0. A  0, так как в противном случае не было бы изменения поля вдоль оси x1, а это невозможно при наличии боковых металлических стенок. Поэтому 1a = m, где m — целое число. Отсюда sin 1a = 0 m 1 = . a Прямоугольный волновод. Hmn-волны Согласно (4.18), (4.20) и (4.14) Em1 = =− ia  2 При  2 A cos 1 x1 (−C sin  2 x2 + D cos  2 x2 )e x2 = 0 − ik0 x3 A cos 1 x1 D = 0. D = 0, C  0. x2 = b A cos 1 x1C sin  2 b = 0. sin  2 b = 0 n 2 = , b где n — целое число. . Прямоугольный волновод. Hmn-волны Окончательно AC = H  − ik0 x3  H m 3 = H cos 1 x1 cos  2 x2 e ,   ik0 1 − ik0 x3 H m1 = 2 H sin 1 x1 cos  2 x2 e ,     ik0  2 − ik0 x3 H m 2 = 2 H cos 1 x1 sin  2 x2 e ,     i a  2 − ik0 x3 Em1 = H cos 1 x1 sin  2 x2 e ,  2    i a 1 − ik0 x3 Em 2 = − H sin 1 x1 cos  2 x2 e . 2   (4.21) Прямоугольный волновод. Hmn-волны Здесь 2 2 m   n    =  +  ,  a   b  2 m = 0, 1, 2, 3, ..., n = 0, 1, 2, 3, ..., Решения (4.21) возможны лишь для определенных 1 2 , значений и при которых удовлетворяются граничные условия. Эти значения называются собственными значениями, а соответствующие решения — собственными функциями. Прямоугольный волновод. Hmn-волны   k0 = k 1 −   кр  2   2 2  = k −  = k 1 −   . k    = k  кр 2 Критическая длина волны  кр 2 = =  2 2 m +n      a  b 2 . (4.22) Прямоугольный волновод. Hmn-волны Критическая частота f кр = v кр = 1 2  a a 2 2 m n  a  +b ,     (4.23) где v — скорость в среде, заполняющей волновод. Числа m и n в (4.21) определяют число полуволновых вариаций поля по осям x1 и x2 и служат для обозначения типа волны. Прямоугольный волновод. Hmn-волны Для Hmn-волн Фазовая и групповая скорости vф = v    1−      кр  2 2    vгр = v 1 −  ,     кр  , длина волны в волноводе и характеристическое сопротивление =    1−   кр     2 , Z0 H = Zc   1−   кр     2 . 4.4 Волна H10 в прямоугольном волноводе H10 – основной тип волны в прямоугольном волноводе. ab  кр10 = 2a. Следующим типом является волна H01, критическая длина волны которой  кр01 = 2b. Чтобы волновод работал только на основном типе, необходимо соблюдать условие  кр01     кр10 . 4.4 Волна H10 в прямоугольном волноводе Составляющие поля волны типа H10 (комплексные амплитуды)   H m 3 = H cos x1 e ,  a  2  2a     − i k0 x3  H m1 = i 1 −   H sin x1 e ,  a  2a    2a  Em 2 = −i Z c H sin x1 e− i k0 x3 ,   a  a Zc = , a − i k0 x3 (4.24) Волна H10 в прямоугольном волноводе Мгновенные значения составляющих поля   H 3 = H cos x1 cos(t − k0 x3 ),  a  2  2a     H1 = − 1 −   H sin x1 sin(t − k0 x3 ),   a  2a    2a  E2 = Z c H sin x1 sin(t − k0 x3 ).   a  (4.25) Волна H10 в прямоугольном волноводе Структура поля волны H10 x2 J см J см O x3 E x1 x2 x3 O x1 x1 Волна H10 в прямоугольном волноводе Структура поля волны H10 в поперечном сечении волновода Волна H10 в прямоугольном волноводе Длина волны в волноводе =     1−    2a  2 . Характеристическое сопротивление Z0 H = Zc    1−    2a  2 . Волна H10 в прямоугольном волноводе Магнитное поле имеет эллиптическую поляризацию, которая вырождается в линейную в точках плоскости, соответствующих x1 = 0, a x1 = , 2 x1 = a. Волна H10 в прямоугольном волноводе Магнитное поле имеет круговую поляризацию в тех точках, где амплитуды составляющих H1 и H3 равны. Эти точки лежат в плоскостях, называемых плоскостями круговой поляризации. Таких плоскостей две. Они параллельны боковым стенкам волновода и находятся на одинаковом расстоянии от этих стенок. Координаты плоскостей находятся из условия равенства амплитуд составляющих магнитного поля 2  2a     H cos x1 = 1 −   H sin x1  2a  a  a  tg x1 = a     2a 1 −    2a  2 , где x1 — расстояние от плоскости круговой поляризации до соответствующей боковой стенки. Волна H10 в прямоугольном волноводе Плотность тока смещения J см J см D = . t 2a  = e 2 a Z 0 H sin x1 cos(t − k0 x3 ).  a В стенках волновода наводится поверхностный ток J пов = [n 0 H ], где n0 — орт нормали к поверхности, направленный внутрь волновода. Волна H10 в прямоугольном волноводе Поверхностные токи замыкаются через токи смещения, образуя замкнутые кольца полного тока. Волна H10 в прямоугольном волноводе Мощность, переносимая волной любого типа в волноводе, может быть определена путем интегрирования вектора Пойнтинга по поперечному сечению волновода и усреднения его во времени 1 𝑃0 = න 𝑅𝑒 𝑧Ԧ0 𝐸,ሶ 𝐻ሶ ∗ 𝑑𝑠, 2 𝑠 где 𝑧Ԧ0 − орт оси, вдоль которой распространяется волна. Для волны Н10 в прямоугольном волноводе 2 1 2a    2 2 Π 0 = Re E2 H1 = 2 Z c 1 −   H sin x1 , 2  a  2a  2 2 E22 макс ab 2 2    2 P0 =   0 d x1 d x2 = 2 Z c 1 −   H = 2 Zc H = ab   Z0 H 4Z 0 H  2a  0 0 E2 макс — максимальная амплитуда электрического поля волны H10 при x1 = a 2 a b 3 ab 3 Волна H10 в прямоугольном волноводе Предельной мощностью называется наибольшая мощность, которую можно передать по волноводу без электрического пробоя. Эта мощность определяется действующим значением предельной напряженности электрического поля Eпред в точке x = a . 1 2 Для воздуха при нормальном атмосферном давлении и нормальной ионизации предельная напряженность электрического поля равна 30 кВ/см. В режиме бегущей волны Pпред.б.в 2 пред 2    = ab 1 −   . 4Z c  2a  E Волна H10 в прямоугольном волноводе Допустимая рабочая мощность рассчитывается с учетом наличия отраженной волны (допустимое значение KСВН  1,5), запаса электрической прочности и неоднородностей, которые концентрируют электрическое поле Pдоп 1 1  =  ...  Pпред.б.в 3 5 Волна H10 в прямоугольном волноводе Зависимость предельной мощности от длины волны % P0 100 50 P пред Область высших типов  __  кр 0,5 0,9 1,0 4.5 Прямоугольный волновод. Emn-волны В этом случае H 3 = 0. 2   Em 3 + k Em 3 = 0. Решение Em3 = ( A cos 1 x1 + B sin 1 x1 )(C cos  2 x2 + D sin  2 x2 )e − i k0 x3 , 2 1 + 2 2 2 = , (4.26) 2 k − 2 k0 2 = . Прямоугольный волновод. Emn-волны Постоянные интегрирования граничного условия определяются из E = 0 При x1 = 0 A(C cos  2 x2 + D sin  2 x2 )e A = 0, B  0. − i k0 x3 = 0, Прямоугольный волновод. Emn-волны При x1 = a B sin 1a(C cos  2 x2 + D sin  2 x2 )e sin 1a = 0 m 1 = , a где m — целые числа. − i k0 x3 = 0, Прямоугольный волновод. Emn-волны При x2 = 0 B sin 1 x1C e C = 0, x2 = b − i k0 x3 = 0, D  0. B sin 1 x1 D sin  2b e − i k0 x3 sin  2 b = 0 n 2 = , b где n — целые числа. = 0, Прямоугольный волновод. Emn-волны (4.26) принимает вид Em3 = E sin 1 x1 sin  2 x2 e BD = E. − i k0 x3 (4.27) Прямоугольный волновод. Emn-волны Остальные составляющие определяются из уравнений Максвелла. (4.28) m = 1, 2, 3, ..., n = 1, 2, 3, ...,  2 = 12 +  22 . Прямоугольный волновод. Emn-волны Ни m, ни n не могут равняться нулю Критическая длина волны  кр 2 = =  1 2 m +n      a  b 2 , (4.29) длина волны в волноводе =      1 −    кр  2 , Прямоугольный волновод. Emn-волны Фазовая и групповая скорости vф = v    1−      кр  2 , 2    vгр = v 1 −  ,     кр  Характеристическое сопротивление Z0 E = Zc   1−   кр  2   .  4.6 Волновод круглого сечения. Hnm-волны r a  z При исследовании волн в волноводе круглого сечения используется цилиндрическая система координат. Ось z совпадает с осью волновода и направлением распространения волн, т. е. множитель распространения a – радиус волновода Продольные составляющие поля Нz≠0, Ez=0. Волна распространяется в направлении оси z. e − i k0 z . Круглый волновод. Hnm-волны Волновое уравнение 2   H + k H = 0 В цилиндрической системе координат Hr 2 H   H =  H r − 2 − 2  r r  e +  H − H  − 2 H r  r     r2 r 2  e + H e ,   z z  Только проекция векторного лапласиана на ось z (прямолинейную ось) зависит от одной составляющей вектора H. Для этой составляющей скалярное волновое уравнение 1   H z r r r  r 2  2  H  Hz 1  2  z + + k Hz = 0 + 2 2 2 z  r  Круглый волновод. Hnm-волны 2  2 = − k 2 z 1   H mz r r r  r   H 1  2  mz +  H = , + 2 mz 2  r  2 (4.30) 2 2  =k − 2 k0 . Круглый волновод. Hnm-волны Решение этого уравнения H mz = H m (r ,  )e − i k0 z . (4.31) Зависимость амплитуды от координат r и α обусловлена граничными условиями на стенках волновода. Применим метод Фурье H mz = R(r )( )e − i k0 z = R e − i k0 z . (4.32) Круглый волновод. Hnm-волны Подставляя это выражение в уравнение (4.30) и разделив его на произведение − i k0 z R e , получаем уравнение 2 1   R  1   2 = − , r + 2 2 Rr r  r  r   где  2 — величина, не зависящая от r и α. (4.33) Круглый волновод. Hnm-волны Величина α входит только во второе слагаемое. Если r постоянно, а α изменяется, то сумма этих слагаемых не изменяется. Это возможно лишь в том случае, когда 2 1   2   не зависит от α. Поле должно иметь периодическую зависимости от α и при изменении угла α на 2π иметь то же значение. 2 1 d  2 = −n , 2  d где n — целое число. (4.34) Круглый волновод. Hnm-волны Решение этого уравнения  = A cos n + B sin n можно представить в виде cos n  = . sin n  Дифференцируя (4.33) с учетом (4.34), получим 2 2 1  R 1 R n 2 + − +  = . 2 2 R r Rr r r Круглый волновод. Hnm-волны Обозначим r = x, 2 2 1 d R 1 dR  n  + + 1 − 2  = 0 2 R dx Rx d x  x  2 2 d R 1 dR  n  + + 1 − 2  R = 0. 2 x dx  dx x  (4.35) Круглый волновод. Hnm-волны Это уравнение Бесселя. Решение его представляет сумму R = CJ n ( x ) + DN n ( x ), J n ( x) — функция Бесселя n-го порядка; N n ( x) — функция Неймана n-го порядка. H mz cos n  −i k0 z = HJ n (  r ) . e sin n  Круглый волновод. Hnm-волны При x = 0, т. е. при r = 0 N n (0) = − , и второе слагаемое физического смысла не имеет, так как электромагнитное поле в центре волновода имеет конечное значение. Таким образом, решение уравнения (4.30) имеет вид H mz cos n  −i k0 z = HJ n (  r ) . e sin n  Круглый волновод. Hnm-волны Остальные составляющие находятся из уравнений Максвелла. cos n − i k0 z  H mz = HJ n (  r ) e ,  sin n   cos n − i k0 z ik0 H mr = − HJ n (  r ) e ,  sin n   − sin n − i k0 z  ink0 H m = − 2 HJ n (  r ) e ,  cos n  r  − sin n − i k0 z  ia n Emr = − 2 HJ n (  r ) e , cos n  r   cos n − i k0 z ia  Em = HJ n (  r ) e . sin n   Круглый волновод. Hnm-волны Согласно граничным условиям при r = a, E = 0 т. е. на стенке волновода. Это условие соответствует т. е. E  = 0 при r = a, J n ( a ) = 0. Таким образом, Bnm = . a Критическая длина волны  кр 2 2a = = .  Bnm Круглый волновод. Hnm-волны Числа n определяют число вариаций по углу, m — по радиусу. Коэффициент распространения 2     , k 0 = k 1 −    кр  k =   a  a — коэффициент распространения в неограниченной среде, заполняющей волновод; λ — длина волны в неограниченной среде, заполняющей волновод. Круглый волновод. Hnm-волны Фазовая скорость волны в волноводе vф = v= 1  a a v   1−   кр     2 , — скорость распространения в неограниченной среде, заполняющей волновод. Групповая скорость волны в волноводе   v гр = v 1 −   кр  2   .  Круглый волновод. Hnm-волны Длина волны в волноводе  =     1 −    кр  2 . Характеристическое сопротивление Z0 H = Zc   1−   кр     2 . Круглый волновод. Еnm-волны Аналогичным образом определяется структура поля Enm cos n − i k0 z  Emz = EJ n (  r ) e ,  sin n   cos n − i k0 z ik0 Emr = − EJ n (  r ) e ,  sin n   − sin n − i k0 z  ink0 Em = − 2 EJ n (  r ) e , cos n  r  − sin n − i k0 z  i a n H mr = 2 EJ n (  r ) e , cos n  r  cos n − i k0 z  i a H m = − EJ n (  r ) e . sin n   Круглый волновод. Еnm-волны Согласно граничным условиям или при r = E mz = 0 Отсюда E = 0 a. при a = Anm . Критическая длина волны в этом случае  кр 2 2a = = ,  Anm r = a, Круглый волновод. Еnm-волны Зависимость k0, vф, vгр и Λ от частоты определяется как для H-волны, а характеристическое сопротивление определяется выражением Z0 E = Zc   1−   кр  2   .  Круглый волновод. Еnm-волны Низшими типами волн в круглых волноводах являются волны H11 и E01. Основным типом волны в круглом волноводе является волна H11, для которой критическая длина волны максимальна и равна λкр = 3,41a. Ближайшим к основному высшим типом является волна Е01, для которой λкр = 2,61a. Следующими высшими типами волн являются: волна типа Н21, λкр = 2,06a, волна типа Н01, λкр = 1,64a, волна типа Е11, λкр = 1,64a. Круглый волновод H 11 Е 01 H 01 Структуры полей волн различных типов Круглый волновод Структура поля H11 имеет вид, аналогичный структуре поля H10 в прямоугольном волноводе; структура E01 аналогична E11 в прямоугольном волноводе. При плавном переходе от прямоугольного волновода к круглому H10 переходит в H11, E11 — в E01. Вследствие осевой симметрии волну E01 применяют во вращающихся соединениях. Волна H01 имеет структуру поля, получаемую из структуры E01, если поменять местами электрические и магнитные составляющие. При всех типах волн за исключением H01 в круглом волноводе потери в стенках волновода при увеличении частоты увеличиваются. При H01 они уменьшаются, так как тангенциальная составляющая вектора H, определяющая энергию, поглощаемую стенками, уменьшается по сравнению с поперечной составляющей, определяющей передаваемую волноводом мощность. Однако в круглом волноводе волна H01 неустойчива и даже при небольшой эллиптичности сечения она превращается в волну E11, обладающую той же критической частотой, но большими потерями. Для устойчивого существования волны H01, волновод делают из изолированных колец или из изолированного провода. Круглый волновод Мощность, переносимая волной основного типа H11 в круглом волноводе 𝜋𝑎2 1 − (𝜆/𝜆кр )2 𝑃Н11 = 4,28𝑍с 𝐸макс 2 . Круглый волновод Итак, в волноводах могут распространяться волны различных типов. Каждый тип волны может распространяться при выполнении для него условия распространения    кр или f  f кр . λ – длина волны в неограниченной среде, заполняющей волновод. Волна, для которой критическая длина волны наибольшая (соответственно, критическая частота наименьшая), называется основной (волной основного типа). Круглый волновод На частоте ниже критической для основного типа волны ни один тип волны не может распространяться. С ростом частоты начинают распространяться сначала основной тип волны, далее ближайший к нему высший тип, далее остальные высшие типы волн. Диапазон частот от критической частоты для волны основного типа до критической частоты ближайшего к основному высшего типа волны является диапазоном одноволнового режима работы волновода, когда распространяется только волна основного типа. Это основной режим работы волновода, поскольку кроме случаев обоснованного применения волн высших типов их распространение в волноводе нежелательно, т.к. часть энергии волны основного типа переходит в волны высших типов, что увеличивает потери энергии электромагнитного поля в волноводе. Потери в прямоугольном и круглом волноводах Затухание волн в волноводах зависит от потерь в металлических стенках и в материале. Заполняющем волновод. Коэффициент ослабления волны в волноводе складывается из двух составляющих, вызванных потерями в металлических стенках и в диэлектрике общ = м+д. Потери в прямоугольном и круглом волноводах Коэффициент ослабления за счет потерь в металлических стенках для любого типа волны в волноводе произвольного поперечного сечения площадью S 2 ሶ 1 𝑅𝑠 ‫𝑙𝑑 𝜏𝐻 𝐿׬‬ 𝛼м = . 2 ‫𝐸 𝑒𝑅 ׬‬,ሶ 𝐻ሶ ∗ 𝑑𝑠 𝑠 Здесь 𝑅𝑠 = 𝜔𝜇𝑎 2𝜎 – поверхностное сопротивление металла. Для волны основного типа H10 в прямоугольном волноводе 𝜆0 2 2𝑏 𝑅𝑠 1 + 2𝑎 𝑎 𝛼м = . 𝑍с 𝑏 𝜆0 1− 2𝑎 2 Потери в прямоугольном и круглом волноводах Для волн типа Hmn в прямоугольном волноводе при n≥1 𝛼м = 2𝑅𝑠 = 𝑍с 𝑏 𝜆0 1− 𝜆кр 𝜆0 + 1− 𝜆кр 2 𝑏 ൞ 1+ 𝑎 2 𝜆0 𝜆кр 𝑏 𝑏 2 𝑛 + 𝑚2 𝑎 𝑎 ൢ. 2 2 𝑏 𝑛 2 + 𝑚 𝑎2 2 Потери в прямоугольном и круглом волноводах Для волн типа Emn в прямоугольном волноводе 3 2𝑅𝑠 𝛼м = 𝑍с 𝑏 𝜆0 1− 𝜆кр 2 𝑏 𝑛2 + 𝑚 2 𝑎 . 2 2 𝑏 𝑛 2 + 𝑚 𝑎2 Потери в прямоугольном и круглом волноводах Для волн типа Hnm в круглом волноводе 𝑅𝑠 𝛼м = 𝑍с 𝑎 𝜆0 1− 𝜆кр 2 𝜆0 𝜆кр 2 𝑚2 + . 2 𝐵𝑛𝑚 − 𝑚 Потери в прямоугольном и круглом волноводах Для волн типа Enm в круглом волноводе 𝑅𝑠 𝛼м = 𝑍с 𝑎 𝜆0 1− 𝜆кр 2 . Формулы для м получены в предположении, что волновод заполнен вакуумом или воздухом. Если волновод заполнен диэлектриком, то в формулах для м длина волны 0 заменяется на 𝜆0 𝜆= . 𝜀𝑟 µ𝑟 Потери в прямоугольном и круглом волноводах Коэффициент ослабления для волн типов Е и Н за счет потерь в диэлектрике для немагнитных диэлектриков с малыми потерями (при µ=1 и tgЭ<<1) может быть рассчитан по формуле 𝜋𝜀𝑟 𝑡𝑔𝛿Э 𝛼д ≈ 𝜆0 1 𝜆0 1− 𝜀𝑟 𝜆кр 2 .