Электрические цепи с распределенными параметрами при установившихся процессах

Тема 3 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ ПРИ УСТАНОВИВШИХСЯ ПРОЦЕССАХ 15.1. Общие положения Любая электрическая цепь является носителем электромагнитной энергии. Допущение, что энергия локализована на отдельных участках, позволило ввести понятия идеальных активных (источники э. д. с. и тока) и пассивных R, L, C элементов. При анализе электромагнитных процессов при таком подходе не говорилось о скорости распространения электромагнитного поля, о времени распространения напряжений и токов по цепи. Токи и напряжения зависят только от времени. Такие цепи были определены как цепи с сосредоточенными параметрами. В действительности любая электрическая цепь имеет конечные размеры и при конечной скорости распространения электромагнитных сигналов, 8 не превышающей скорость света в вакууме c  310 м с , появление напряжений и токов в разных точках цепи происходит не одновременно с их возникновением, например, на входе цепи. Явления, связанные с протяженностью реальной цепи, заметны только в том случае, когда некоторое характерное время  изменения сигнала соизмеримо со временем распространения сигнала по цепи протяженностью l, т. е. при   l с . Электрические цепи, для которых выполняется условие   l с , называются цепями с распределенными параметрами. Например, для цепи синусоидального тока промышленной частоты f  50 Гц (Т  0,02 с) приняв   0,1 T, получим l    c  2  10 3  3  108  600  103  600 км – длина достаточно протяженной линии электропередачи. Для ЭВМ с тактовой –6 частотой процессора f = 100 мГц (Т  0,0110 с) при   0,1 T получим l    c  0,1  10 8  3  108  0,3 м – величина, соизмеримая с длинами проводов ЭВМ. Рассматривая передачу энергии в таких цепях, исследуют распространение электромагнитных волн в системе параллельных или коаксиальных проводов. Поскольку расстояние между проводами существенно меньше длины волны и длины проводов, следует учитывать распределение электрического и магнитного поля только по длине линии. При этом предполагается, что электрическая емкость и индуктивность распределены по всей длине цепи, преобразование электромагнитной энергии в тепло также 95 происходит на любом участке цепи. В связи с этим пользуются погонными параметрами цепи:  погонная индуктивность L в Гн м ,  погонная электрическая емкость С в Ф м ,  погонное активное сопротивления R в Ом м ,  погонная активная проводимость утечки G в 1 Ом  м . Если совместить направление оси х декартовой системы координат с направлением проводов, то токи и напряжения в линии будут зависеть как от времени, так и от координаты x, т. е. i  i ( x, t ) , u  u ( x, t ) . Поэтому динамические уравнения идеальных погонных элементов на длине dx имеют вид i ( x, t ) , t u ( x, t ) d iG ( x, t )  G dx u ( x, t ) , d iC ( x, t )  С dx . t d u R ( x, t )  R dx i ( x, t ) , d u L ( x, t )  L dx В дальнейшем цепи с распределенными параметрами будем называть длинными линиями. Будем полагать, что конструктивные данные длинной линии (материал и диаметр проводов, их взаимное расположение, свойства окружающей среды) сохраняются неизменными по длине линии. Это означает, что значения погонных параметров одни и те же в любом сечение линии. Такие длинные линии называются однородными. Погонные параметры линии L, C, R, G называются первичными параметрами. 15.2. Уравнения однородной линии На рис. 15.1 представлена схема однородной двухпроводной линии. x  0 i (t , x ) u (t , x ) x L dx 2 R dx 2 L dx 2 R dx 2 i (t , x )  Gdx Cdx dx l Рис. 15.1 96 i (t , x) xl dx x u (t , x )  xdx u (t , x) dx x Длина линии l. Левые зажимы называют началом, правые – концом линии. Совместим координату x  0 с началом линии. Для вывода уравнений линии выделим на расстоянии х от начала линии элемент dx . В однородной линии каждый бесконечно малый элемент dx имеет сопротивление R dx , индуктивность L dx (продольные параметры) , проводимость G dx и емкость C dx (поперечные параметры). Продольные параметры характеризуют явления, связанные с электрическим током (потери в сопротивлении проводов) и скоростью его изменения (индуктивное падение напряжения). Поперечные параметры учитывают явления, интенсивность которых определяется напряжением между проводами (ток утечки через несовершенную изоляцию) и скоростью изменения напряжения (ток электрического смещения). Пусть напряжение и ток в сечении линии на расстоянии x от начала будут u ( x, t ) и i ( x, t ) . В сечении линии с координатой x  d x напряжение за счет падения напряжения на активном сопротивлении и индуктивности пары проводов: R dx i ( x, t ) + Ldx будет u ( x, t ) +  i (t , x) , t u (t , x) dx , x а ток из-за наличия между проводами токов утечки и электрического смещения: G dx u ( x, t ) + Cdx определится как i ( x, t ) + По второму закону Кирхгофа u ( x, t )  R dx i ( x, t ) + Ldx откуда – i ( x, t )  Gdx u ( x, t ) + Cdx –  i (t , x) dx . x  i (t , x) u (t , x) + u ( x, t ) + dx , t x u (t , x)  i (t , x) .  R i ( x, t ) + L t x По первому закону Кирхгофа откуда  u (t , x) , t  u (t , x)  i (t , x) + i ( x, t ) + dx , t x  i (t , x)  u (t , x) .  G u ( x, t )  C t x 97 Полученные уравнения  u (t , x)  i (t , x)  ;  R i ( x, t ) + L  t x   i (t , x)  u (t , x)  –  G u ( x, t )  C .  t x – (15.1) называются телеграфными. Решения этих уравнений должны удовлетворять начальным u(t0 , x), i(t0, x) и граничным u(t , x0), i(t, x0) условиям. В качестве начальных условий обычно берут распределения в линии напряжений и токов при t0  0, т. е. u(0, x), i(0, x). Граничные условия задаются либо для x0  0: u(t, 0)  u1(t) и i(t, 0)  i1(t) – законы изменения напряжения и тока в начале линии, либо для x0  l: u(t, l)  u2(t), i(t, l)  i2(t) – законы изменения напряжения и тока в конце линии. Особый интерес представляет анализ процессов в длинной линии в установившемся режиме синусоидальных напряжений и токов. 15.3. Решение уравнений однородной линии при установившемся синусоидальном режиме При установившемся синусоидальном режиме мгновенные значения напряжения и тока в сечении линии с координатой x – синусоидальные функции времени, но амплитудные значения и начальные фазы зависят от координаты x, т. е. u ( x, t )  U m ( x) sin(t   u ( x)) ; i ( x, t )  = I m ( x) sin(t   i ( x)) . Для нахождения этих функций используем символический метод. Перейдем от вещественных синусоидальных функций к комплексам мгновенных значений напряжения u ( x, t ) и тока i ( x, t ) : u ( x, t )  u ( x, t )  U m ( x) e j ( t u ( x ))  U m ( x) e ju ( x ) e jt  U m ( x) e jt , i ( x, t )  i ( x, t )  I m ( x) e j ( t i ( x ))  I m ( x) e ji ( x ) e jt  Im ( x) e jt . Операция перехода к комплексам мгновенных значений линейная, поэтому для i ( x, t ) и u ( x, t ) телеграфные уравнения примут вид  u (t , x)  i (t , x)  G u ( x, t )  C ; x t  i (t , x)  u (t , x)  R i ( x, t ) + L . – x t Определим производные по времени t – 98  i (t , x) d  Im ( x ) e jt  jIm ( x ) ; dt t  u (t , x) d  U m ( x ) e jt  jU m ( x ) dt t и координате x  i (t , x) d Im ( x ) jt  u (t , x) d U m ( x ) jt  e ;  e . dx dx x x Получим дифференциальные уравнения с полными производными d U m ( x ) jt e  RIm ( x )e jt  jLIm ( x ) e jt ; dx d I ( x) jt  m e  GU m ( x )e jt  jCU m ( x ) e jt . dx Разделив уравнения на 2e jt ( e jt  cos t  j sin t  0 при всех t), по лучим дифференциальные уравнения относительно комплексных действующих значений напряжения U (x) и тока I(x) в сечении линии с координатой x: d U ( x)   R I( x)  jL I( x)  Z I( x) ; dx  d I ( x)   G U ( x)  jCU ( x)  Y U ( x) . dx В этих уравнениях Z  R  jL , Y  G  jC – продольные и поперечные комплексные погонные сопротивление и проводимость линии, соответственно. Продифференцировав первое из полученных уравнений по x и используя второе уравнение, получим однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами d 2 U ( x)    Z Y U ( x) . 2 dx 2 Введем обозначение   Z Y  ( R  jL) (G  jC ) и преобразуем уравнение к виду d 2 U ( x) 2    U ( x)  0 . d x2 Комплексная величина   ( R  jL) (G  jC ) эффициентом распространения. Общее решение полученного уравнения имеет вид 99 называется ко- p x p x U (x)  A1e  A2 e , 1 2 2 2 где p1 и p 2 – корни характеристического уравнения p    0 . Решив это уравнение, найдем корни p1    и p 2    . Следовательно,  x x U (x)  A1e  A2 e . (15.2) Ток I(x) определяется из уравнения 1 d U ( x) I(x)   , Z dx откуда   1  x x I(x)   A1e   A2 e . Z Отношение Z  имеет размерность сопротивления и называется волновым сопротивлением линии Z c : Zc  R  jL Z R  j L    Z c e j . G  jC  ( R  jL) (G  jC ) Уравнение для тока примет вид 1  x x I(x)  ( A1e  A2 e ) . Zc (15.3) Постоянные интегрирования A1 и A 2 найдем из граничных условий: при x  0 напряжение U (0)  U 1 , а ток I(0)  I1 (U 1 и I1 напряжение и ток в начале линии). Тогда из уравнений относительно U (x) и I(x) при x  0: U 1  A1  A2 ; Z c I1  A1  A2 . Решив полученную систему уравнений, найдем A1  U 1  Z c I1 U  Z c I1 и A2  1 . 2 2 Подстановка найденных постоянных в уравнения (15.2) и (15.3) заканчивает решение для комплексов действующих значений напряжения и тока в любом сечение линии: 100 U  Z c I1  x U 1  Z c I1 x  U (x)  1 e  e ;  2 2  1  Z c I1  x U 1  Z c I1 x  U I(x)  e  e .  2Z c 2Z c  (15.4) Полученные уравнения называют уравнениями однородной длинной линии в показательной форме записи.  x  x   x  x  Если учесть, что e  e 2  ch  x и e  e 2  sh  x , то уравнения линии можно представить в гиперболической форме: U (x)  U 1 ch x – Z c I1 sh x ;   (15.5)   I (x)   U1 sh x + I1 ch x .  Zc  В конце лини x  l, напряжение U (l )  U 2 , а ток I(l )  I2 (U 2 и I2 напряжение и ток в конце линии). Тогда U 2  U1 ch l – Z c I1 sh l ; U I2   1 sh l + I1 ch l . Zc Часто требуется определить напряжение и ток в любой точке линии по известным значениям напряжения U 2 и тока I2 в конце линии (рис. 15.2). Тогда отсчет расстояния ведут от конца линии. Если учесть, что x  l  x , то U 1 U 2 x x l Рис. 15.2   ( l  x )  ( l  x ) x   x  U ( x)  A1e  A2 e  A3e  A4 e ; 1 x   x  ( A3e  A4 e ) . I( x)  Zc l  l Здесь A3  A1e ; A4  A2 e подлежащие определению комплексные постоянные. При x  0 имеем: U (0)  U 2 ; I(0)  I2 (U 2 и I2 напряжение и ток в конце линии). Следовательно U 2  A3  A4 ; Z c I2  A3  A4 , 101 откуда A3  U 2  Z c I2 U 2  Z c I2 и A4  . 2 2 Получаем уравнения линии в показательной форме записи при отсчете координаты x от конца линии: U  Z c I2 x U 2  Z c I2  x U (x)  2 e  e ; 2 2 U  Z c I2 x U 2  Z c I2  x I(x)  2 e  e . 2Z c 2Z c      (15.6) Уравнения линии в гиперболической форме при отсчете координаты x от конца линии имеют вид U (x)  U 2 ch x + Z c I2 sh x ;    (15.7)  U I(x)  2 sh x + I2 ch x .  Zc  Из этих уравнений можно определить U 1 и I1 . При x  l U (l )  U 1 – напряжение в начале линии, I(l )  I1 – ток в начале линии, следовательно U 1  U 2 ch l + Z c I2 sh l ; U I1  2 sh l + I2 ch l . Zc Полученные уравнения аналогичны уравнениям симметричного четырехполюсника в форме А. Постоянные этого четырехполюсника равны: A  D  ch l , B  Z c sh l , C  sh l Z c . Как и для всякого пассивного четырехполюсника выполняется соотношение A D  BC  ch 2 l – sh 2 l  1 . Если интересуются только напряжениями и токами в начале и конце линии, то линия может быть заменена Т или П – образной схемами замещения симметричного четырехполюсника. При изучении процессов в линии при различных режимах работы ее моделируют цепной схемой с достаточным числом звеньев (четырехполюсников). Уравнения (15.5…15.7) для U (x) , I(x) или U (x) , I(x) называют уравнениями передачи однородной длинной линии. 102 15.4. Бегущие волны. Прямые и обратные волны Введем обозначения: U  Z c I1 U  Z c I1 j U пр  U пр e  1 , U об  U об e j  1 . 2 2 пр об Тогда уравнения (15.4): U  Z c I1  x U 1  Z c I1 x U (x)  1 e  e ; 2 2 U  Z c I1  x U 1  Z c I1 x I(x)  1 e  e , 2Z c 2Z c примут вид  x x U (x)  U пр e + U об e  U пр ( x) + U об ( x) ; I(x)  U пр Zc e  x U об x  – e  I пр ( x) – Iоб ( x) . Zc Координата x в уравнениях отсчитывается от начала линии. Перейдем к уравнениям для мгновенных значений. Коэффициент распространения  и волновое сопротивление Z c – комплексные числа. Используем алгебраическую форму записи     j , и показательную Z c  Z c e j . Для мгновенных значений получим u ( x, t )  Im 2U ( x )e jt     2U пр e  x sin(t   пр  x ) +  2U об e x sin(t   об  x )   uпр ( x, t )  uоб ( x, t ) ;  i ( x, t )  Im 2 I( x )e jt   2 I пр e  x sin(t   пр    x ) – 2 I об e x sin(t   об    x )   iпр ( x, t )  iоб ( x, t ) . Проанализируем слагаемые uпр ( x, t ) и iпр ( x, t ) этих выражений при  пр  0 . Для напряжения uпр ( x, t ) имеем    uпр ( x, t )  2U пр e  x sin( t  x )  2U пр e  x sin  (t  x )  .    103 Из уравнения следует, что амплитудное значение 2U пр e  x напряжения с увеличением координаты х затухает как e  x . Величину  называют коэффициентом затухания. Покажем, что напряжение uпр ( x, t ) есть волна напряжения, распространяющаяся вдоль линии с постоянной скоростью vф    , для этого рассмотрим точку, движущуюся со скоростью движения волны. Напряжение в этой точке без учета затухания  должно быть постоянным, то есть постоянной должна быть фаза синусоиды  (t   x) .  Координата х точки, движущейся со скоростью vф     t ,  где x0 – значение координаты точки при t  0 . x  x0  vфt  x0  Подставим зависимость координаты х от времени в выражение фазы, получим  (t       x)    t  ( x0  t )    x0  const .      Итак, значение фазы в точке, движущейся со скоростью vф является постоянным, то есть она движется со скоростью движения волны. Отсюда следует, что волна движется со скоростью vф    вдоль линии в направление увеличения координаты х, т. е. к концу линии. Так, если в момент u np ( x, t ) времени t  t0 в сечение u np ( x, t 0 ) линии с координатой x0 u np ( x, t 0  t ) фаза напряжения uпр была 2U np e x vф равна нулю (рис. 15.3), то x0 x спустя интервал времени t нулевая фаза напряжения будет в точке с коорx0   x динатой  x0  x  x0  vф t . Если мысленно предРис. 15.3 ставить наблюдателя, движущегося вдоль линии со скоростью vф , то он будет фиксировать постоянную величину фазы. 104 Скорость vф называется фазовой скоростью распространения, а величина  – коэффициентом фазы. Аналогичные рассуждения можно выполнить относительно тока iпр ( x, t ) и показать, что для тока iпр ( x, t ) состояние постоянной величины фазы также распространяется вдоль линии со скоростью vф . Таким образом, уравнения    uпр ( x, t )  2U пр e  x sin( t  x )  2U пр e  x sin  (t  x )  ;       iпр ( x, t )  2 I пр e  x sin( t    x )  2 I пр e  x sin  (t    x )     описывают бегущие волны напряжения и тока, распространяющиеся в сторону возрастания координаты x (vф  0) в прямом направление от начала линии к концу. Эти бегущие волны называются прямыми. На рис. 15.3 буквой  обозначена длина волны напряжения, равная расстоянию между ближайшими точками, в которых фазы колебания волны отличаются на 2 . Следовательно, (t0  Откуда  2  ( x   ))  (t0  x)  .     2   2 vф   vф  vфT , f где f  1 T частота в герцах, то есть длина волны – это расстояние, которое волна проходит за время, равное периоду T . Полученные соотношения устанавливают связь между длиной волны и фазовой скоростью. Например, для воздушной линии передач (частота f  50 Гц ) при vф  c  3108 м / c,  = 6000000 м = 6000 км. Аналогично можно показать, что слагаемые uоб ( x, t )  2U об e x sin(t   об  x ) ; iоб ( x, t )  2 I об e x sin(t   об    x ) в выражениях для мгновенных значений u ( x, t ) и i ( x, t ) , так же являются бегущими волнами. Состояние равной фазы t   об     x  const (например, для волны напряжения) дает отрицательное значение фазовой скорости. Действительно: dx d  (t   об    x)  0 или vф   . dt dt  105 Знак минус в выражение vф означает, что волны uоб ( x, t ) и iоб ( x, t ) распространяются в сторону уменьшения координаты x, т. е. от конца линии к началу. Волны uоб ( x, t ) и iоб ( x, t ) называются обратными. Множитель e x для обратных волн показывает, что они затухают по мере продвижения от конца линии к началу. u ( x, t 0 ) 2U np e x u ( x, t 0 ) vф 2U об e x x vф u np ( x, t 0 ) uоб ( x, t0 ) vф Рис. 15.4 На рис. 15.4 показано распределение напряжения прямой и обратной волн вдоль линии для момента времени t0 . Выделенная кривая соответствует результирующей волне напряжения u ( x, t0 ) . u np ( x0 , t ) u np ( x0 , t ) u np ( x0  x, t ) x t  vф T t  vф Рис. 15.5 В каждом сечении линии напряжение uпр ( x, t ) является синусоидальной функцией времени. На рис. 15.5 показано изменение напряжения во времени в сечении с координатой х0. Здесь же показано изменение напря106 жения во времени в сечении x0  x . За время t  x vф изменились как амплитуда, так и фаза напряжения. Период колебания T   vф . Возвращаясь к уравнениям прямых и обратных волн (U пр ; U об и Iпр ; Iоб ), заметим, что в любой точке линии U пр ( x) U об ( x)  Zc;  Zc. Iпр ( x) Iоб ( x) 15.5. Отражение волн напряжения и тока от конца линии. На конце линии с волновым сопротивлением Z c в качестве нагрузки включено комплексное сопротивление Z 2 (рис. 15.6). Напряжения и токи прямых и обратных волн для x  l : Zc U пр (l )  U пр2 ; U об (l )  U об2 ; Iпр (l )  Iпр2 ; Iоб (l )  Iоб2 . Ток в конце линии ( x  l ) U2 Z2 I2 xl Рис. 15.6  I 2  U 2 . Z2 В отдельности последнее равенство не выполняется ни для прямых, ни для обратных волн, так как Iпр2  U пр2 Zc U об2  ; I об2  . Zc Одновременное существование в линии прямых и обратных волн является результатом отражения от конца линии. Поэтому прямые волны часто называют падающими, а обратные – отраженными. Отражение волн характеризуется коэффициентом отражения: k от  U 2об I 2об ,  U 2пр I 2пр В конце линии U 2  U пр2 + U об2 и I2  Iпр2 – Iоб2 , поэтому U пр2  U об2  Z 2 Iпр2  Iоб2  . Умножив обе части равенства на Z c , получим: 107 Z c U пр2  U об2   Z 2 U пр2  U об2  . Из этого равенства находим U об2 Z 2  Z c  , U пр2 Z 2  Z c откуда k от  Z2 Zc . Z2  Zc Коэффициент отражения зависит от соотношения между волновым сопротивлением линии и нагрузкой на ее конце. Если Z 2  Z c , то k от  0 . В линии отсутствуют отраженные волны: U (x)  U пр ( x) ; I(x)  Iпр ( x) . В любой точке линии Z c  U ( x) I( x) . Если линия на конце разомкнута ( Z 2   , режим холостого хода), то k от  1 . Следовательно, на конце разомкнутой линии напряжения прямой (падающей) и обратной (отраженной) волн равны по величине и одинаковы по знаку. В результате напряжение U 2  2 U пр2 . Токи прямой (падающей) и обратной (отраженной) волн также равны по величине, но при вычитании прямой и обратной волн получаем I2  0 . В случае Z 2  0 (короткое замыкание на конце линии) U пр2  U об2 и U 2  0 , Iпр2   Iоб2 и I2  2 Iпр2 . Необходимо отметить, что движение волн напряжения и тока в линии физически связано с движением электромагнитных волн вдоль линии. Появление обратных волн напряжения и тока связано с отражением электромагнитной волны. Однако практически в физическом эксперименте в установившемся режиме не удается выделить в напряжении и токе линии прямые и обратные волны. 15.6. Входное сопротивление линии Под входным сопротивлением однородной линии понимают сопротивление двухполюсника, которым можно заменить нагруженную на комплексное сопротивление Z 2  U 2 I2 линию при расчете режима в начале линии. С учетом уравнений линии (15.7) в гиперболической форме при отсчете координаты x от конца линии получим 108 Z 2 ch l  Z c sh l Z 2  Z c th l U 1 U 2 ch l  I2 Z c sh l   Z вх  .  Zc  Zc U2 Z sh  l  Z ch  l Z  Z th  l I1 2 c c 2 sh l  I2 ch l Zc Входное сопротивление в общем случае зависит от длины линии, параметров линии и нагрузки, частоты приложенного напряжения. При холостом ходе ( Z 2   , I2  0 ) входное сопротивление 1 U 1x U 2 ch l   Zx   Z c cth l ,  Zc th l I1x U 2 sh l Zc а при коротком замыкании ( Z 2  0 , U 2  0 ) U 1к Z c sh l Zк   Z c th l .  I1к ch l Разделив числитель и знаменатель уравнения Z вх на th l , с учетом полученных уравнений найдем Z вх  Z x Z2  Zк  Z вх e j . Z2 Zx вх Этой формулой удобно пользоваться, если известны полученные из опытов холостого хода и короткого замыкания величины Z x и Z к . Вторичные параметры линии можно выразить через Z x и Z к : Z c  Z x Z к ; th l  Z к Z x . 15.7. Режим согласованной нагрузки Режим работы, когда нагрузка линии Z 2  Z c , называется согласованным. В этом режиме коэффициент отражения k от  0 , и в линии есть толь- ко прямые бегущие волны напряжения и тока (U об ( x)  0 , Iоб ( x)  0 ). Входное сопротивление линии U пр1 Z вх   Z c  Z c e j . I пр1 Напряжения и токи в начале и конце линии связаны уравнениями: U 1  I1 Z c ; U 2  I2 Z c . Уравнения линии приобретают вид: 109  при отсчете координаты x от начала линии: U  Z c I1  x   x U (x)  U пр ( x)  1 e  U1e ; 2 U  Z c I1  x   x I(x)  Iпр ( x)  1 e  I1e ; 2Z c  при отсчете координаты x от конца линии: U 2  Z c I2 x  x     U (x )  U пр ( x )  e  U 2e ; 2 U  Z c I2 x  x  I(x)  I пр ( x)  2 e  I 2e . 2Z c (15.8) (15.9) Законы изменения действующих значений при U I U2 U 2  U 2 ; I2   I 2 e  j j Z ce U1 имеют вид U (x)  U 2 e x  I ( x)  I 2 e x  I1  x  U 2 e x  e jx   U 2 e x  ; l  I 2 e x  e jx   I 2 e x  , U2 I2 Рис. 15.7  поскольку e jx  cos2 x  sin 2 x  1 . Графики зависимостей действующих значений напряжения и тока от координаты x представлены на рис. 15.7. u ( x, t )  uпр ( x, t )   2U 2 e i ( x, t )  iпр ( x, t )   x  sin(t  x) ;  2 I 2 e e x  sin(t    x) . Графики полученных соотношений u i i Уравнения для мгновенных значений в режиме согласованной нагрузки при U 2  U 2 , I2  I 2 e  j и отсчете координаты x от конца линии vф u x   Рис. 15.8 изображены на рис. 15.8. Точки пересечения оси x кривыми напряжения и тока сдвинуты на расстояние   . 110 В используемых на практике линиях энергия электромагнитного поля, переносимая в форме энергии электрического поля и пропорциональная CU 2 2 , больше доли энергии, переносимой магнитным полем. Поэтому в выражении Z c  Z c e j угол  < 0. Хотя зависимости токов и напряжений в линии от координаты не являются синусоидальными функциями, тем не менее, можно сказать, что бегущая падающая волна тока в режиме согласованной нагрузки опережает бегущую падающую волну напряжения на расстояние   . Мощность в любом сечении линии P ( x)  1T U 22 2 x    u ( x , t ) i ( x , t ) d t  U 2 I 2 cos   e cos   U 2 I 2 e 2 x  cos   Zc T0 называется натуральной. Поэтому режим согласованной нагрузки называют натуральным. Мощность, отдаваемая линии генератором P1  U 1 I1 cos  , а мощность в конце линии P2  U 2 I 2 cos  . Из уравнений линии (15.8) и (15.9) при x  l имеем: U1  U 2 e l ; I1  I 2 e l . Поэтому P1  U 2 e l I 2 e l cos   U 2 I 2 e 2 l cos   P2 e 2 l . Коэффициент полезного действия линии в натуральном режиме определяется выражением   P2 P1  e 2 l . 15.8. Характеристики однородной линии Кроме первичных параметров линии введем в рассмотрение коэффициент распространения  и волновое сопротивление Z c . Эти величины называют вторичными параметрами линии. Коэффициент распространения является комплексной величиной и определяется выражением     j  ( R  jL) (G  jC ) . Величины  и  в параграфе 15.4 были названы коэффициентом затухания и коэффициентом фазы, соответственно. Чтобы пояснить смысл этих величин, рассмотрим линию в согласованном режиме ( Z 2  Z c ). В линии есть только прямые волны напряжения и тока. Из уравнений линии 111  x U ( x)  U1e ;  x I( x)  I1e имеем: U 1 I x  1 e U ( x ) I( x ) или U1 j  u1   u ( x )  I j    ( x )  e  1 e i1 i  e x e jx . U ( x) I ( x) Откуда e x  U1 I  1 ; x   u1   u ( x)   i1   i ( x) . U ( x) I ( x) Из первого уравнения следует U1 I  ln 1 . U ( x) I ( x) Для отрезка линии единичной длины l0 (l0  1 км, l0  1 м и т. д.) мож-  x  ln но записать U1 I  ln 1 ,    u1   u (l0 )   i1   i (l0 ) . U (l0 ) I (l0 ) Коэффициент затухания  характеризует изменение действующих   ln значений напряжения и тока при распространении прямой волны на расстояние, равное единице длины линии в условиях согласованной нагрузки. Коэффициент затухания  измеряется в неперах на единицу длины (Нп/км или Нп/м и т. д.). При использовании десятичных логарифмов коэффициент затухания   ln U1 U U  lg 1 lg(e)  20  lg 1 20  lg(e) . U (l0 ) U (l0 ) U (l0 ) Величина   20 lg U 1 U (l 0 ) дает коэффициент затухания в децибелах. Поэтому  дБ  20 lg(e)   Нп  8,686  Нп или 1 дБ  8,686 Нп. Произведение l (l длина линии) называется величиной вносимого линией затухания. Коэффициент фазы  характеризует изменение напряжения и тока по фазе при распространении прямой волны на расстояние, равное единице длины линии в условиях согласованной нагрузки. Коэффициент фазы  измеряется в рад/км или рад/м. 112 В натуральном режиме при отсчете координаты x от конца линии и комплексе действующего значения U 2  U 2 имеем: x  U ( x)  U пр ( x)  U 2 e ; x  I( x)  Iпр ( x)  I2 e . В любой точке линии выполняется отношение x  U ( x) U 2 e U2   Z c  Z c e j .    x I( x) I2 e I2 Это означает, что Z c  U пр  x I пр  x и    u пр  x   i пр  x , т. е. волновое сопротивление линии выражает соотношение между действующими значениями и фазами напряжения и тока прямой волны в любой точке линии. Для обратных волн U об  x . Zc  Iоб  x Волновое сопротивление определяется через первичные параметры по выражению Zc  Z R  jL   Z c e j . Y G  j C При   0 (линия постоянного тока, Z c  R G ) и на очень высоких частотах (  , Z c  L C ) волновое сопротивление является вещественным. В этих случаях волновое сопротивление чисто активное (  0). Zc f R G L C f  Рис. 15.10 Рис. 15.9 На низких частотах диапазон частот, в котором работает линия, ограничен нижней граничной частотой f н , а на высоких – верхней граничной час113 f в . Для встречающихся на практике линий в частотном диапазоне f н  f  f в отношения R G  L C , поэтому R G  Z c  L C тотой (рис. 15.9), а угол   0 (рис. 15.10). В идеальной линии при идеальной изоляции между проводами ( G  0 ) и бесконечно большой проводимости проводов ( R  0 ) получим:   ( R  jL) (G  jC )  j L C . Коэффициент затухания   0 . Коэффициент фазы    L C . Фазовая скорость vф     1 L C . Из последнего уравнения можно сделать ложный вывод о том, что неограниченно уменьшая погонные индуктивность и емкость линии величину фазовой скорости можно сделать больше скорости света в пустоте ( c  3  108 м/c). Это невозможно, так как между параметрами L и C существует определенная зависимость, из-за которой волны в линии распространяются со скоростью света. Таким образом, для идеальной линии 1 LC  . c Последнее соотношение можно пояснить, если сравнить значения погонных индуктивности L и емкости С при различном расположении проводов идеальных двухпроводной и коаксиальной линий в зависимости от их геометрических параметров (табл. 15.1). Таблица 15.1 Двухпроводная линия Характеристики линии Коаксиальная линия r2 d r1 2r0 Погонная емкость, Ф/м Погонная индуктивность, Гн/м C L  r 0 d  r0 ln r0  r  0 d  r0 ln  r0 114 C L 2  r  0 r ln 2 r1  r  0 r2 ln 2 r1 Окончание табл. 15.1 Волновое сопротивление, Ом Zc   r d  r0 ln r r0 1  0 c Коэффициент распространения   j Фазовая скорость, м/c vф  Zc  r r c c r r 1 2  0 c   j vф   r r2 ln  r r1 r r c c rr  r ,  r – относительные магнитная и диэлектрическая проницаемости вещества, а  0  1  0 c 2 . В приведенных формулах Из приведенных в таблице выражений следует, что для уменьшения емкости С необходимо увеличивать расстояние между проводами, но при этом увеличивается магнитный поток, сцепленный с проводами и, следовательно, увеличивается индуктивность L линии. Напротив, для уменьшения индуктивности L нужно сближать провода, но при этом будет расти емкость линии. В конечном счете оказывается, что в идеальной линии ( R  0 , G  0 ) фазовая скорость вообще не может зависеть от геометрических параметров линии и определяется только электрическими и магнитными характеристиками окружающей линию среды (  r ,  r ) и скоростью света с в пустоте. 15.9. Неискажающая линия Частотный спектр передаваемых по линии сигналов является ограниченным. Поэтому периодический сигнал, например, напряжение на входе линии, можно представить гармоническим рядом, содержащим ограниченное число гармоник n u (t )   U mk sin kt   uk  . k 1 Волновое сопротивление Z c R  jkL  Z c k e j k  G  jkC и коэффициент распространения  линии Z c k   k  ( R  jkL) (G  jkC )  k + jk зависят от частоты. Величина вносимого линией затухания k  l и фазовая скорость vф  k k зависят от номера гармоники. Условия рас115 пространения напряжения u (t ) по линии оказываются разными для гармоник k, т. е. форма сигнала на входе линии и на нагрузке будут разными. Линия, в которой при прохождении сигнала амплитуды гармонических составляющих затухают на частотах k одинаковым образом, а начальные фазы uk не зависят от частоты, не искажает форму передаваемого сигнала. Если при этом линия работает в режиме согласованной нагрузки, то она называется неискажающей. При прохождении сигнала по такой линии форма сигнала на входе и выходе линии подобны. Условия неискажающей передачи: коэффициент затухания  и фазовая скорость распространения vф не должны зависеть от частоты. Такие условия выполняются, если R G  . L C Действительно, R G   k  ( R  jkL) (G  jkC )  LC   jk    jk   L C   R  LC   jk   RG  jk LC   + jk ,  L т. е. для каждой гармоники частотного спектра входного сигнала величины   RG и vф  k  k 1 не зависят от частоты. Волновое сопроLC тивление Z c k  L R L  jk R  jkL L   – G  jkC C G C  jk C вещественная величина и не зависит от частоты. Обычно в линиях R L  G C , так как проводимость утечки через изоляцию незначительна. Для достижения условий согласования искусственно увеличивают индуктивность линии, включая в линию через определенные расстояния катушки индуктивности. Идеальная линия (R  G  0) является линией без потерь. Для такой линии в режиме согласованного включения выполняются условия неискажающей передачи:   0, vф     1 LC . 15.10. Линия без потерь Ранее были получены уравнения однородной линии. При отсчете координаты x от конца линии эти уравнения (15.7) имеют вид 116 U ( x)  U 2 ch x + Z c I2 sh x ;  I ( x)  U 2 sh x + I2 ch x . Zc В ряде случаев в диапазоне частот работы линии выполняется условие L >> R;CG. В этом случае можно принять R = 0; G = 0, т. е. рассматривать линию без потерь:   j – мнимая величина, волновое сопротивление Z c  Z c  L C – вещественное число. Учитывая выражения для гиперболических функций мнимого аргумента ch jx  cos x ; sh jx  j sin  x , уравнения однородной линии без потерь примут вид U ( x)  U 2 cos x + jZ c I2 sin x ; U I( x)  j 2 sin x + I2 cos x . Zc Входное сопротивление линии без потерь Z  jZ c tg l U1 Z вх   Zc 2 . I1 Z c  j Z 2 tg l в общем случае комплексное число, зависящее от параметров линии, ее длины и нагрузки. Рассмотрим некоторые режимы работы линии без потерь. 15.11. Линия без потерь, разомкнутая на конце. Стоячие волны Для разомкнутой линии I2 = 0 ( Z 2   ). Уравнения линии без потерь приводятся к виду U U ( x)  U 2 cos x ; I( x)  j 2 sin x Zc или U U U U U ( x)  2 e jx   2 e  jx  ; I( x)  2 e jx   2 e  jx  . 2 2 2Z c 2Z c Для дальнейшего анализа примем U 2  U 2 , а для коэффициента фазы используем выражение   2  . Для мгновенных значений будем иметь 117 2 x sin t ;  2   sin x sin  t   ,  2  u ( x, t )  U 2 m cos i ( x, t )  U 2m Zc или U 2m U 2 2 sin(t  x)  2 m sin(t  x)  uпр ( x, t )  uоб ( x, t ) ;  2 2  U U 2 2 x) – 2 m sin(t  x)  iпр ( x, t )  iоб ( x, t ) . i ( x, t )  2 m sin(t    2Z c 2Z c u ( x, t )  Из первой пары уравнений следует, что амплитуды напряжения U 2 m cos U 2m 2 2 sin x и тока x являются функциями координаты x .   Zc В линии есть точки, в которых амплитуды напряжения (тока) в любой момент времени равны нулю – узлы напряжения (тока), и точки, в которых амплитуды напряжения (тока) имеют максимальные значения – пучности напряжения (тока). Узлы напряжения и пучности тока образуются в точках x   4 , 3 4 , 5 4 , ... . В этих точках cos u ( x, t )  0. 2 2 x  0 , sin x  1 и напряжение   Узлы тока и пучности напряжения возникают в точках x  0 ,  2 ,  , ... . Здесь sin 2 2 x  0 , cos x  1 и i ( x, t )  0.   Причину появления в линии узлов и пучностей напряжения и тока разъясняет вторая пара уравнений. Из уравнений следует, что напряжение и ток в любой точке линии представляют сумму прямых и обратных волн. В режиме холостого хода коэффициент отражения k от  1. Амплитуды падающих и отраженных волн в любой точке линии одинаковы (потерь в линии нет). В точках пучностей амплитуды падающих и отраженных волн складываются и дают максимум, равный удвоенной амплитуде падающей волны. В точках узлов амплитуды падающих и отраженных волн вычитаются и дают ноль. Сдвиги фаз  u и i между прямыми и обратными волнами напряжения и тока (с учетом вычитания прямой и обратной волн тока) в точке x соответственно равны:  u  ( t  2 4 2 x)  (t  x)  x ;    118 2 4 2 x)  (t    x)  x   .    В точках линии с координатами x  0 ,  2 ,  и т. д. значения   0 , 2 , 4 , т. е. кратны 2 . Прямые и обратные волны напряжения в фазе – образуются пучности напряжения. В точках линии с координатами  4 , 3 4 , 5 4 и т. д. значения  кратны  . Прямые и обратные волны на i  ( t  пряжения в противофазе, в этих точках образуются нули напряжения. На рис. 15.11 приведена векторная диаграмма, иллюстрирующая соотношение фаз прямых и обратных волн напряжения в различных точках линии на отрезке линии  2  x  0 . U (x)  2 x U об U ( x) 3 8 U пр U пр U об U2 U пр U пр U об U пр U об  U об 4  8 U ( x) Рис. 15.11 Поскольку прямая и обратная волны тока вычитаются, а волны напряжения складываются, то нули тока совпадают с пучностями напряжения, а пучности тока совпадают с нулями напряжения. Распределения мгновенных значений напряжения u ( x, t )  U 2 m cos 2 x sin t  и тока i ( x, t )  2 U 2m   x sin  t   sin  2 Zc  вдоль линии для четырех моментов t n представлено на рис. 15.12. В момент времени t1  0 (кривые 1) sin t1  0 , sin t1   2   1, поэтому напряжение u ( x, t1 )  0 во всех точках линии, а ток i ( x, t1 )  U 2m 2 sin x  Zc имеет в пучностях наибольшую амплитуду изменения. 119 u ( x, t n ) 3 2 1 x 4 i ( x, t n ) 1 ние u ( x, t3 )  U 2 m cos 2 3 x 4  3 4  2 В момент времени t 2  T 8 (кривые 2) sin T 8  sin  4  0,707 и sin T 8   2   cos  2  0,707, поэтому в пучностях амплитуды напряжения и тока составляют 0,707 от своих максимальных значений. В момент времени t3  T 4 (кривые 3) sin T 4  sin  2 1 , а sinT 4    2   sin   0 . Теперь напряже-  4 Рис. 15.12 2 x имеет в  пучностях наибольшую амплитуду изменения. Ток i ( x, t3 )  0 во всех точках линии. Момент времени t4  5 T 8  t2   T 2 , поэтому в любой точке линии напряжения u ( x, t 4 )   u ( x, t 2 ) и токи i ( x, t 4 )   i ( x, t 2 ) (кривые 4). Из графиков следует, что на конце линии в любой момент времени будет пучность напряжения и узел тока ( i (0, t )  0 ). В течение периода Т как напряжение, так и ток вдоль всей линии дважды равны нулю ( u ( x, 0)  u ( x, T 2)  0 и i ( x, T 4)  i ( x, 3T 4)  0 ). Когда напряжение вдоль всей линии равно нулю, энергия электромагнитного поля заключена в магнитном поле. Когда же ток вдоль всей линии равен нулю, энергия заключена в электрическом поле линии. Такое распределение возможно только в случае существования в линии режима стоячих волн. В разомкнутой на конце линии для любого момента времени в сечениях линии с координатами x  k  ( k  0, 1, 2, …) будет либо пучность 4 либо узел. Координаты пучностей и узлов с течением времени не меняются. Это означает, что в любой момент времени мгновенная мощность          p k , t   u  k , t   i k , t   0 .  4   4   4  Активная мощность Р в сечениях с координатами x  k 120  4 1T   P   p k , T0  4  t dt  0 .  В линии нет потерь, поэтому равенство Р  0 должно выполняться в любом произвольном сечение. Энергия вдоль линии не передается. На отрезке линии длиной  4 между пучностями и узлами энергия заключена либо в магнитном поле, либо в электрическом поле линии. При стоячей волне происходит колебание энергии в пределах отрезка линии между пучностью и узлом. На рис. 15.13 представлены распределения вдоль линии действующих значений напряжения U ( x)  U 2 cos и тока I (x)  2 U2 sin x (выделенная кривая). Zc  U, I U (x) I (x) x l  3 4 2 x   4 3 4  2  4  jZ вх U2 U2 Zc  2  l x Рис. 15.13 Рис. 15.14 Входное сопротивление линии Z вх ( x) в произвольной точке x линии длиной l определяется по выражению Z вх ( x)  U ( x) 2   jZ c ctg x   jZ вх ( x) .  I( x) График зависимости  jZ вх ( x) представлен рис. 15.14. Меняя длину линии, можно получить емкостное входное сопротивление при длинах линии 0  l   / 4 ;  / 2  l  3 / 4 и т. д. или индуктивное входное сопротивление при длинах линии  / 4  l   / 2 ; 3 / 4  l   и т. д. 121 В сечениях линии с координатами k  /4 (k  1, 2, 3…), Zвx  0, что эквивалентно входному сопротивлению последовательного колебательного контура без потерь. В сечениях линии с координатами k  /2 , Zвx   , что эквивалентно входному сопротивлению параллельного колебательного контура без потерь. 15.12. Линия, короткозамкнутая на конце Для короткозамкнутой на линии U 2  0 ( Z 2  0 ). Уравнения линии без потерь в случае I2  I 2 после замены   2  приобретают вид 2 2 U (x)  j Z c I 2 sin x ; I(x)  I 2 cos x   или Z c I 2 j 2 x Z c I 2  j 2 x  I 2 j 2 x I 2  j 2 x   U (x)  e e ; I ( x)  e + e . 2 2 2 2 Распределение мгновенных значений вдоль линии определяется уравнениями: u ( x, t )  Z c I 2 m sin 2  2  x sin  t   ; i ( x, t )  I 2 m cos x sin t  2    или u ( x, t )  Zc I2 2  Z c I 2 2    x   x   sin  t  sin  t      2 2    uпр ( x, t )  uоб ( x, t ) ; i ( x, t )  I2 2  I 2 2    x   sin  t  x   iпр ( x, t )  iоб ( x, t ) . sin  t    2   2   Уравнения короткозамкнутой линии по сути совпадают с аналогичными уравнениями линии без потерь, разомкнутой на конце. Физически это объясняется тем, что в этих режимах активная мощность Р2 на конце линии равна нулю, так же как и в любой другой точке линии. Распределения мгновенных значений напряжения u ( x, t )  Z c I 2 m sin 2   x sin  t   2   и тока 122 i ( x, t )  I 2 m cos 2 x sin t   вдоль линии для четырех моментов времени представлено на рис. 15.15. В момент времени t1  0 (кривые u ( x, t n ) 1) sin t1  0 ; sin t1   2   1, по1 u ( x, t1 )  этому напряжение 2 3 x 4 i ( x, t n ) 3 2 1 x 4  3 4  2  4 Рис. 15.15 Ток i ( x, t3 )  I 2 m cos  Z c I 2 m sin 2 x имеет в пучностях  наибольшую амплитуду изменения, а ток i ( x, t1 )  0 во всех точках линии. В момент времени t 2  T 8 (кривые sin T 8  sin  4  0,707; 2) sin T 8   2   cos  2  0,707, в результате напряжение и ток составляют в пучностях 0,707 от своих максимальных значений. В момент времени t3  T 4 (криsin T 4  sin  2 1 ; вые 3) sin T 4   2   sin   0 . Напряжение u ( x, t3 )  0 во всех точках линии. 2 x имеет в пучностях наибольшую амплитуду из менения. Момент времени t 4  5 T 8  t 2  T 2 , поэтому в любой точке линии напряжения u ( x, t 4 )   u ( x, t 2 ) и токи i ( x, t 4 )   i ( x, t 2 ) (кривые 4). В течение периода Т как напряжение, так и ток дважды равны нулю вдоль всей линии ( i ( x, 0)  i ( x, T 2)  0 ; u ( x, T 4)  u ( x, 3T 4)  0 ). Когда напряжение вдоль всей линии равно нулю, энергия электромагнитного поля заключена в магнитном поле. Когда же ток вдоль всей линии равен нулю, энергия заключена в электрическом поле линии. Электромагнитные явления в короткозамкнутой линии протекают так же как в линии, разомкнутой на конце. В линии существует режим стоячих волн. Только в режиме короткого замыкания на конце линии будет пучность тока и узел напряжения ( u (0, t )  0 ). В линии есть не меняющие свои координаты и повторяющиеся через расстояние  4 пучности и узлы. На отрезке линии длиной  4 между пучностью и узлом энергия заключена либо в магнитном поле, либо в электрическом поле линии. При 123 стоячей волне происходит колебание энергии в пределах отрезка линии между пучностью и узлом. На рис. 15.16 представлены распределения действующих значений напряжения U ( x)  Z c I 2 sin 2 2 x и тока I ( x)  I 2 cos x вдоль ли  нии.  U, I x l  Zc I2 3 4  2  4  2  4 jZ вх I2 I (x) U (x) 3 4 x l Рис. 15.16 Рис. 15.17 Входное сопротивление линии Z вх ( x) в произвольной точке x линии длиной l определяется по выражению U ( x) 2  j Z c tg x  j Z вх ( x) . I ( x)  График зависимости j Z вх ( x) даны на рис. 15.17. Z вх ( x)  Меняя длину линии, можно получить индуктивное входное сопротивление для 0  l   / 4 ;  / 2  l  3 / 4 и т. д. или емкостное для  / 4  l   / 2 ; 3 / 4  l   и т. д.. В сечениях линии с координатами k  /4 (k  1, 2, 3…) Zвx   , что эквивалентно входному сопротивлению параллельного колебательного контура без потерь. В сечениях линии с координатами k  /2 Zвx  0, что эквивалентно входному сопротивлению последовательного колебательного контура без потерь. 15.13. Линия, замкнутая на реактивное сопротивление Для определенности, положим, что линия нагружена на емкость C2. На  комплексное сопротивление нагрузки заданной частоте Z 2   j C2   jX C 2 . 124 Запишем уравнения линии для этого режима: Z  Z  U  U  U ( x)  2 1  j c  e jx  + 2 1  j c  e  jx  ; 2  2  X C2  X C2  jX  jX  I  I  I( x)  2 1  C 2  e jx   2 1  C 2  e  jx  . Zc  Zc  2 2 Преобразуем выражения: Z c2 j Z c2  j Zc Zc jX 1 j  1 2 e ; 1 j  1  2 e , 1 C 2  X C2 X C2 Zc X C2 X C2 X C2 2 j    2  X C2 2  j    2  jX C 2 Z  1 2 e  1 2 e и 1 , где   arctg c . Zc Zc Zc X C2 С учетом этих соотношений получим: Z c2 e j (x   )  e  j (x   ) Z c2    U (x)  U 2 1  2  U 2 1  2 cosx   ; 2 XC2 XC2 j ( x      2 ) 2 X C2 2  e  j ( x      2 ) I (x)  I2 1  X C 2 e   I 2 1  2 sin  x   . 2 Z c2 Zc После замены   2  уравнения линии примут вид Z2  2  U (x)  U 2 1  2c cos x    ; XC2    X2  2  I(x)  I2 1  C22 sin  x    . Zc    Уравнения линии, замкнутой на реактивное сопротивление X C 2 , аналогичны уравнениям разомкнутой или короткозамкнутой линии без потерь. Физически это объясняется тем, что в этих режимах активная мощность Р2 на конце линии равна нулю, так же как и в любой другой точке линии. Реактивная нагрузка не потребляет энергии, следовательно, энергия не передается вдоль линии. В линии существует режим стоячих волн, но в конце линии нет узлов и пучностей напряжения или тока. Полагая U 2  U 2 и I2  j U 2 X C 2 , мгновенные значения напряжения и тока определяются по уравнениям: 125 u ( x, t )  U 2 m Z c2  2  1  2 cos x    sin t ; XC2    U 2m Z c2   2   i ( x, t )  1  2 sin  x    sin  t   . 2 X C2 XC2     Из уравнений следует, что в линии есть не меняющие свои координаты и повторяющиеся через расстояние  4 пучности и узлы. Координата первой от начала координат пучности напряжения (узла тока) определя-   2    u x     1 , откуда xпуч1 (  ) . Первая  2    ются из уравнения cos пучность тока (узел напряжения) определяется из уравнения     2   1i  sin  x     1 . Следовательно, xпуч     . На каждом отрезке 2  2     линии длиной  4 между пучностью и узлом энергия заключена либо в магнитном поле, либо в электрическом поле линии. При стоячей волне происходит колебание энергии в пределах отрезка линии между пучностью и узлом. Действующие значения напряжения и тока вдоль линии определяются по выражениям: U (x)  U 2 1  I (x)  I 2 Z c2  2   cos  x   ; X C2 2    X C2 2  2  1  2 sin  x    . Zc    U, I I (x) I пуч U (x) U пуч x l  3 4  2  4    2 Рис. 15.18 Распределения действующих значений напряжения и тока в линии представлены на рис. 15.18 (ток– выделенная линия). Если сместить нача126 ло отсчета на величину x , определенную из условия: cos2x     1 или 2x     0 , то в координате x     будет пучность напряже2 ния. Это означает, что емкостная нагрузка эквивалентна отрезку разомкнутой линии без потерь длиной l   . 2 Величины напряжения U пуч и тока I пуч в пучностях определяются из выражений: U пуч  U 2 Z c2 X C2 2 U 2 X C2 2 1  2 ; I пуч  I 2 1  2  1 2 . XC2 Zc XC2 Zc Рассмотренные режимы работы линии без потерь объединяет отсутствие потребления энергии на конце линии. Линия находится в режиме стоячих волн. В узлах мощность равна нулю. На отрезке линии длиной  4 между пучностью и узлом энергия заключена либо в магнитном поле, либо в электрическом поле линии. При стоячей волне происходит колебание энергии в пределах отрезка линии между пучностью и узлом. 15.14. Линия, замкнутая на произвольную активную нагрузку Рассмотрим режим работы линии без потерь, замкнутой на произвольную активную нагрузку R2  Z c . Будем полагать, что U 2  U 2 и I 2  U 2 R2 . Коэффициент отражения по напряжению на конце линии R2  Z c > 0 для R2  Z c и kот < 0 при R2  Z c . В дальнейшем буR2  Z c дем полагать kот  k от . kот  Уравнение для напряжения в линии представим в виде U  Z  U  Z  U ( x)  2 1  c  e jx  + 2 1  c  e  jx   2  R2  2  R2   127 U 2  Z c  jx  1   ( e  kот e  jx  . 2  R2  U  Z  U  Z    Величины U п ( x)  2 1  c  e jx и U от ( x)  k от 2 1  c  e  jx оп2  R2  2  R2  ределяют комплексные действующие значения прямой и отраженной волн напряжения. После замены   2  получим 2 2 j j x x     Z Z U U c c 2 2 1   e  + k 1   e   U п ( x)  U от ( x) . U ( x)  2  R2  2  R2  Ток в линии определяется выражением: 2 2   I ( x)  U п ( x)  U от ( x)  I 2 1  R2  e j  x – kот I 2 1  R2  e  j  x . Zc Zc 2  Z c  2  Z c  На нагрузке рассеивается активная мощность P2  I 22 R2  U 22 R2 . Энергия электромагнитного поля, доставляемая в нагрузку бегущей волной, рассеивается в нагрузке. Поскольку R2  Z c , возникает отраженная волна. На рис. 15.19 приводятся графики действующих значений напряжения U ( x) U 2 для случаев: R2  Z c и kот  0,2 , R2  Z c и kот  – 0,2 (выде- ленная кривая). R2  Z c U ( x) U 2 1,5 1,0 R2  Z c x l  3 4  2 0,5  4 Рис. 15.19 В конце линии ( x  0 ) для R2  Z c действующее значение напряжения U 2  U max  U п (1  k от )   U п  U от . При R2  Z c действующее значение напряжения в конце линии U 2  U min  U п (1  k от )  U п  U от . Для x   / 4 и R2  Z c U ( 4)  U min  U п (1  k от )  U п  U от , при R2  Z c напряжение U ( 4)  U max  U п (1  k от )  U п  U от . Из графиков на рис. 15.19 следует, что при заданном напряжении U 2 и соотношении R2  Z c Umax > U 2 . Поэтому электрическая прочность изоляции линии должна быть выше. 128 В линии нет потерь, поэтому Umax и Umin не изменяя своих величин повторяются через  / 4 . Узлы и пучности отсутствуют, а наблюдаются максимумы и минимумы напряжения. Векторные диаграммы (рис. 15.20) поясняют определение величин Umax, Umin для k от > 0. Uп k от  0 R2  Z c U от U min x   4 Uп x  0 U от U max Рис. 15.20 Представим решение уравнений передачи линии как наложение бегущей и стоячей волн. Определим коэффициент бегущей волны k б.в. по выражению U min . U max  0 ; U max  U п (1  k от ) и k б.в.  Для случая R2  Z c имеем: k от U min  U п (1  k от ) , откуда kб.в.  U min 1  k от Z c   . U max 1  k от R2 При R2  Z c получаем k от  0 и k б.в.  R2 Z c . Уравнение линии передачи без потерь в тригонометрической форме примут вид Z U ( x)  U 2 ( cos x  j c sin x )  U 2 ( cos x  jk б.в. sin x ); R2 U 1 I( x)  j 2 sin x + I 2 cos x  I 2 ( cos x  j sin x ). Zc k б.в. Перепишем уравнение U ( x)  U 2 ( cos x  jk б.в. sin x ), используя тождество и выражение cos x  k б.в. cos x + (1  k б.в. ) cos x e jx   cos x   j sin x . Получим U ( x)  U 2 k б.в. e jx   U 2 (1  k б.в. ) cos x . Распределение мгновенных значений напряжения u ( x, t ) в линии определится выражением u ( x, t )  Im 2 U ( x) e jt . Следовательно,  129  u ( x, t )  U 2 m k б.в. sin(t  x)  U 2 m (1  k б.в. ) cos x sin t . Первое слагаемое этого уравнения является бегущей волной. Состояние постоянной фазы t  x  const распространяется с фазовой скоростью vф     в сторону уменьшения координаты x , т. е. к концу линии. При k б.в.  0 это слагаемое обращается в ноль. Напряжение u ( x, t )  U 2 m cos x sin t , соответствующее второму слагаемому, характеризует режим стоячих волн. При k б.в.  1 значение 1  k б.в.  0 . Напряжение в линии u ( x, t )  U 2 m sin(t   x) определяет режим бегущей волны. Подстановкой cos x  e jx  j sin x в уравнение I( x) получим I I( x)  2 k б.в.e jx  j (1  k б.в. ) sin x . k б.в. Поскольку I 2 k б.в.  U 2 Z c , для мгновенных значений тока будем иметь: i ( x, t )  U 2m U   k б.в. sin(t  x)  2 m (1  k б.в. ) sin x sin  t   . 2 Zc Zc  Величина k б.в. изменяется от нуля до единицы. При k б.в.  0 в линии есть только стоячие волна: режимы холостого хода, короткого замыкания и чисто реактивной нагрузки. При k б.в.  1 R2  Z c в режиме согласованной нагрузки в линии есть только прямые бегущие волна напряжения и тока. Если 0  k б.в.  1 , то в линии есть как бегущие, так и стоячие волны. Полученные уравнения еще раз подтверждают:  если переносимая вдоль линии энергия полностью рассеивается на ее конце ( Z 2  R2  Z c ), то отраженные волны отсутствуют и в линии существуют только прямые бегущие волны напряжения и тока;  если энергия в конце линии не рассеивается (холостой ход, короткое замыкание и чисто реактивная нагрузка), то происходит полное отражение волн. В линии образуются стоячие волны;  когда Z 2  R2  Z c – в линии одновременно есть как бегущие, так и стоячие волны. 130 15.15. Отрезок линии без потерь как трансформатор Свойства линии при произвольной активной нагрузке зависят от длины линии. При l   4 cos l  cos нения линии принимают вид  2    cos  0 , sin l  sin  1. Урав 4 2 2 I U 1  jk б.в. U 2 ; I1  j 2 k б.в. или для действующих значений U 1  k б.в. U 2 ; I1  I2 . k б.в. Уравнения четвертьволновой линии без потерь аналогичны уравнениям идеального трансформатора с коэффициентом трансформации k тр  k б.в.  Z c R2 . Входное сопротивление четвертьволновой линии, нагруженной на активное сопротивление R2, определяется аналогично входному сопротивлению идеального трансформатора Z вх  Z2 U1 2 R2  c .  kбв I1 R2 Четвертьволновая линии, как и трансформатор, может быть использована для целей согласования линий с разными волновыми сопротивлениями или линии с нагрузкой. На рис. 15.21 показаны две линии с разными волновыми сопротивлениями Z c1 и Z c 2 . Если положить, что линия с волновым сопротивлением Z c 2 Z c1 Zc2 бесконечно длинная, то в ней будет только прямая бегущая волна и ее входное сопротивление равно Z c 2 . Коэффициент отражения в точке соединения линий kот Z c1 Z  Z c1 .  c2 Z c 2  Z c1 Zc2 Рис. 15.21 Если Z c1  Z c 2 , то k от  0 и будет отражение от места соединения линий. Линии можно согласовать, включив между ними отрезок линии длиной  4 и волновым сопротивлением Z c (рис. 15.22). 131  4 Z c1 Zc2 Zc 1 Z c1 Zc Zc2 1 Рис. 15.22 Входное сопротивление относительно точек 1  1 определяется по уравнению Z1-1 Z c2  . Zc2 Для того чтобы в первой линии не было отраженных волн, необходимо выполнить условие Z c1  Z1-1 . Следовательно, Z c1  Z c2 , Zc2 откуда для волнового сопротивления согласующей линии получаем Z c  Z c1Z c 2 . Аналогично поступают для согласования с линией произвольной нагрузки. На рис. 15.23 показано согласование антенны с питающей линией (фидером). Входное сопротивление антенны называют активным сопротивлением излучения Rиз. Сопротивление четвертьволновой линии определяют по выражению Z c  Z c1 Rиз . К примеру, для так называемой полуволновой антенны, Rиз  73,14 Ом. Линия, соединяющая антенну с генератором, имеет волновое сопротивление Z c1  50 Ом. Отрезок линии длиной  4 132 Антенна Zc Z c1 Rиз Фидер  4 Рис. 15.23 должен иметь волновое сопротивление Z c  73,14  50  60,47 Ом. 15.16. Мощность в линии без потерь, нагруженной на произвольное активное сопротивление В случае, когда нагрузкой линии является активное сопротивление R2  Z c , максимум действующего значения напряжения определяется суммой падающей и отраженной волн Umax  Uп + Uoт, а минимум – их разностью Umin  Uп – Uoт. Ток в линии I ( x)  U п ( x) Z c  U от ( x) Z c , поэтому, в тех сечениях линии, где падающие и отраженные волны напряжения находятся в противофазе (в этих сечениях минимумы напряжения), падающие и отраженные волны тока – в фазе. Получаем максимум тока. Минимум тока получаем в сечениях, где находятся максимумы напряжения. Величины тока в этих сечениях определяются уравнениями: I от I max x   4 Iп Uп (1  k от ) ; Zc U  п (1  kот ) . Zc I max  I min kот  0 R2  Z c I min Векторные диаграммы токов представлены на рис. 15.24. С учетом выражений для Umax и Umin из параграфа 15.14 можно получить: I от Iп 1  k от U max  Zc  Rmax ; I min 1  k от x  0 Рис. 15.24 1  k от U min  Zc  Rmin ; Z c  Rmax Rmin . I max 1  k от В линии отсутствуют потери, поэтому активная мощность на нагрузке и в любом сечение одинакова и может быть вычислена по одному из выражений: P  U max I min  U min I max  U min I max 133 2 2 U U U max U min    max min . Rmax Rmin Zc Передаваемая активная мощность тем больше, чем выше коэффициент бегущей волны ( 0  k б.в.  1 ). В режиме согласованной нагрузки, когда R2  Z c , имеем: k б.в.  1 , Umax  Umin  U2 и по линии передается максимальная активная мощность. При несогласованной нагрузке часть энергии с отраженной волной возвращается к генератору. Выражение для активной мощности P U maxU min U2 U2 1  (U п  U от )(U п  U от )  п  от Zc Zc Zc Zc показывает, что мощность падающей волны складывается из мощности, потребляемой нагрузкой (полезной мощности Р ), и мощности отраженной волны U2 U п2  P  от . Zc Zc Отношение мощности в нагрузке к мощности падающей волны Рп равно: 2 2 U от P U п2  U от 2   1  2  1  k от . 2 Pп Uп Uп 15.17. Линия, замкнутая на комплексное сопротивление Комплексное сопротивление нагрузки Z 2  R2  jX 2  Z 2 e j . Уравнения передачи линии из параграфа 15.14. после замены R2 на Z 2 примут вид 2 2 2 2  2  Z c  j 2 x j j j x x x U U (x)  1   ( e   k от e  )  U п e   U от e  ; 2  Z2  2 2  п ( x) U от ( x) j j x x U  I(x)    Iп e  Iот e  . Zc Zc В этих выражениях U п ; U от и Iп ; Iот – комплексные действующие значения падающих и отраженных волн напряжения и тока на нагрузке: U  Z  U п  2 1  c  ; U от  k отU п 2  Z2  и U U ( x)  Iп  п ; I от  k от п  k от Iп . Zc Zc 134 Коэффициент отражения по напряжению в конце линии k от  Z 2  Zc  k от e j Z 2  Zc является комплексной величиной. Это означает, что на нагрузке падающие и отраженные волны сдвинуты по фазе на угол , поэтому на нагрузке не будет ни максимума, ни минимума напряжения (тока). На рис. 15.25 приводятся графики зависимостей действующих значений напряжения U (x)  U ( x) линии, нагруженной на комплексное сопротивление Z 2 , (кривая 1) и на активное сопротивление R (кривая 2). В том и другом случае полагается, что в нагрузке при напряжении U2 рассеивается одинаковая энергия. 1 U 2 U 1 max U 2 max U 2 min U2 U1 min x Рис. 15.25 В рассматриваемом случае величина U1 max > U2 max (U2 max  U2). Появившаяся в напряжении реактивная составляющая увеличила амплитуду отраженной волны (U1 min < U2 min). В точках максимумов U (x) напряжения падающей и отраженной волн имеют одинаковую фазу. Из уравнения   2   j 2 x  j x            k от e U (x)  U п e     2  2  условие равенства фаз x    x    определяет координаты мак    симумов напряжения. Поскольку максимумы напряжения повторяются через расстояние k 2 (k 0, 1, 2, 3, и так далее), получим x       k . 2  2  135 Максимум и минимум напряжения определяются выражениями: U max  U п (1  k от ) и U min  U п (1  k от ) Координаты максимумов тока сдвинуты по отношению к координатам максимумов напряжения на  4 в сторону отставания. Максимум и минимум тока I max  U п Zc (1  k от ) и I min  U п Zc (1  k от ) . 15.18. Решение типовых задач 1. Расчет вторичных параметров линии Задача 1.1. Рассчитать вторичные параметры коаксиальной линии (таблица 15.1) при r1  0,8 мм и r2  5 мм для двух частот: f1  10 кГц и f2  10 мГц. При расчетах принять: относительная диэлектрическая проницаемость  r  2,1, относительная магнитная проницаемость  r  1 , удельная проводимость меди   5,8  10 7 (Омм) –4 потерь tg   10 . –1 , тангенс угла диэлектрических Решение. Вторичными параметрами являются волновое сопротивление Z c и коэффициент распространения  . Эти величины определяются через первичные параметры по выражениям: Zc  Z R  jL   Z c e j ;     j  ( R  jL) (G  jC ) . Y G  j C При расчете учтем потери в линии. Первичные параметры L и C рассчитаем по формулам, приведенным в таблице 15.1: C 2  r  0 2 π 2,21  8,85 10 12 Ф   6,37  10 11 ; 5 r м ln ln 2 0,8 r1  r  0 r2 4 10 7 Гн 5 ln   3,665 10 7 . ln L м 0,8 2 r1 2π Величина активного сопротивления прямого провода зависит от частоты. Это связано с тем, что переменный ток распределяется неравномерно по сечению провода. Плотность тока имеет наибольшее значение на по- 136 верхности провода и убывает по мере удаления в глубь провода. Это явление называется поверхностным эффектом. Частота f1  10 кГц относится к звуковому диапазону. Поверхностным эффектом для меди при заданных размерах прямого провода можно пренебречь и рассчитать погонное сопротивление R как на постоянном токе  f1 R 1 Ом 1 1    0,009   5,8 10 7  (0,8 10 3 ) 2 м S1   r12 С ростом частоты глубина проникновения уменьшается и на частоте f  10 мГц явление поверхностного эффекта существенно. Сопротивление R рассчитаем по выражению R f2 1 1 r 0 f   2  0,8 10 3  2r1 Ом 4 10 7 10 10 6  0,164 . м   5,8 10 7 Активная проводимость кабеля имеет две составляющие: Gп – проводимость изоляции при постоянном токе и G – учитывает потери мощности в диэлектрике при переменном токе и пропорциональная тангенсу угла диэлектрических потерь (tg) . В практических конструкциях проводимость Gп очень мала по сравнению с G и ею обычно пренебрегают. Поэтому, G  Gп  C tg   2 f C tg  . См , м См . G f 2  2 f 2 C tg   2  10  10 6  6,37 10 11 10 4  4 10 7 м 1. Расчет вторичных параметров на частоте f1  10 кГц. G f1  2 f1 C tg   2  10000  6,37 10 11 10 4  4  10 10  Продольное комплексное сопротивление Z f1 R f1  jL  0,009+ j  2  10 4  3,665 10 7  0,009 + j 0,023  Продольная комплексная проводимость Y f1 G  jC  4  10 10 +j 4 10 6 f1  Волновое сопротивление Zc  f1 См . м 0,009  j 0,023  77,14 – j 14,087 Ом. 4 10 10  j 4 10 6  Коэффициент распространения  f1  Ом . м 0,009  j 0,0234  10 10  j 4  10 6   5,6410–5 + j 3,1 10–4,  Коэффициент затухания = 5,64 10–5 Нп / м. 137 –4  Коэффициент фазы  = 3,1 10 рад / м . 2. Расчет вторичных параметров на частоте f  10 мГц.  Продольное комплексное сопротивление Z f2 R f2  jL  0,164 + j  2  10 7  3,665 10 7  0,164 + j 23  Продольная комплексная проводимость Y0 f2 G f2  jC  4 10 7 +j 0,004  Волновое сопротивление Zc f2  Ом . м 1 . Ом  м 0,164  j 23  75,84 – j 0,27 Ом. 4  10 7  j 0,004  Коэффициент распространения  f2  0,164  j 23,034 10 7  j 0,004  0,001 + j 0,304,  Коэффициент затухания  0,001 Нп / м.  Коэффициент фазы   0,304 рад / м . Следует обратить внимание, что на частоте f  10 мГц величина Z c  75,84 – j 0,27  75,84 Ом. Кабель можно считать линией без потерь. Расчет L R  139 C G  10 4 и подтверждает это отношений ( C G  L R ). Волновое сопротивление и коэффициент фазы можносчитать по выражениям:    LC и Z c  L C . Задача 1.2. Трехфазная линия электропередачи длиной l  900 км работает при линейном напряжении UЛ  400 кВ и частоте f  50 Гц. Первичные параметры линии: R  0,08 Ом / км; L  1,336 10 –3 Гн / км; C  8,610 – 9 Ф/ км. Активная мощность потерь в изоляции P  2000 Вт/ км на одну фазу. Определить вторичные параметры линии. Решение. Для расчета вторичных параметров определим величину погонной проводимости G по выражению G P P 200 –8 См  3   . 3 3,7510 (400  103 ) 2 км U Ф2 U Л2 Расчет вторичных параметров. R  jL 0,08  j 314 1,336 10 3 Zc    396 –j 34,6 Ом; G  jC 3,75 10 8  j 314  8,6 10 9 138     j  ( R  jL) (G  jC )   0,08  j314 1,336 103 3,75 108  j314  8,6 109   –4 Коэффициент затухания   1,110 Нп / км Коэффициент фазы   0,001рад / км . 1,110–4 + j 0,001. 2. Режим бегущих волн Режим бегущих волн возникает в линии при согласованной нагрузке Z2  Zc. Задача 2.1. Линия связи на коаксиальном кабеле с параметрами, определенными в задаче 1.1, подключена к генератору синусоидального напряжения частоты f  10 кГц. При длине линии l  0,3 рассчитать вносимое затухание и отношение U1 / U2 в режиме согласованной нагрузки. Решение. В задаче 1.1 рассчитаны вторичные параметры кабеля на частоте 10 кГц. Коэффициент затухания  5,64 10–5 Нп / м; коэффициент –4 фазы   3,1 10 рад / м . Вносимое затухание l    0,3 . 2  2,03104 м.  Вносимое затухание l  0,344 Нп. U U Отношение 1  e l , откуда 1  1,41, т. е. напряжение на нагрузке в U2 U2 Длина волны   1,41 раза меньше напряжения на входе линии. Задача 2.2. Линия связи длиной l  150 м работает на частоте f  200 кГц в режиме согласованной нагрузки ( Z 2  Z c ). –7 –11 Первичные параметры линии: L  1,7 10 Гн / м, С  7,7 10 ф / м, R  0,06 Ом / м, G  9,310–10 1 / Ом м. Активная мощность в начале линии при х  0 Р1 100 Вт. Определить напряжение и активную мощность на нагрузке. Решение. В режиме согласованной нагрузки активная мощность на нагрузке P2  P1e 2 l и P2  U 22 R2 . 6 –1 На частоте   2f  1,26 10 с коэффициент распространения  и волновое сопротивление Z c соответственно равны:     j  ( R  jL) (G  jC )  139  0,06  j1,26 106  1,7  107 9,3  1010  j1,26  106  7,7  1011    6,310–4 + j 4,610–3; R  jL 0,06  j1,26  10 6  1,7  10 7  47,4 –j 6,5 Ом. Zc   G  jC 9,3  10 10  j1,26  10 6  7,7  10 11 –4 Коэффициент затухания   6,310 Нп / м. Активное сопротивление нагрузки R2  ReZ c   47,4 Ом. Рассчитываем: 2l  0,19, P2  100 e 0,19  82,72 Вт U 2  P2 R2  82,72  47,4  62,6 В. 3. Режим стоячих волн в линии без потерь Режим стоячих волн возникает при разомкнутой или короткозамкнутой линии, а также при реактивной нагрузке. Задача 3.1. РазомкI1 1 2 нутая линия без потерь питается от генератора Jm U 1 U 2 синусоидального тока ZГ (рис. 15.26). Длина линии l   / 8, волновое 2 1 сопротивление Zc  50 Ом. Найти мгновенные Рис. 15.26 значения напряжений в начале и конце линии и ток в начале линии, если амплитуда синусоидального тока генератора тока J m  1 А, комплексное сопротивление генератора на частоте  Z Г  50  j 50 Ом. Решение. Для расчета воспользуемся символическим методом. Комплексная амплитуда тока генератора J m  Jm  1 A. Комплексная амплитуда напряжения и тока в начале линии: U 1m Z Г Z вх    и I1m  . U1m  J m Z Г  Z вх Z вх Входное сопротивление разомкнутой линии без потерь длиной l   / 8 Z вх   jZ c ctg  2    jZ c ctg   jZ c  – j 50 Ом.  8 4 Напряжение на входе линии 140  j (50  j 50)( j 50)  50 2 e 4 В, U 1m  1 (50  j 50)  ( j 50) ток j 50 2e I1m   j 50  4 5 2e j  4 А. Комплексная амплитуда напряжения в конце линии U 2 m   j U 1m  100 e 4 В. cos( 4) Мгновенные значения:     u1 (t )  Ime jt U 1m   50 2 sin  t   В, u 2 (t )  100 sin  t   В; 4 4     i1 (t )  5 2 sin  t   А. 4  Задача 3.2. Короткозамкнутая линия без потерь питается от генератора синусоидального напряжения (рис. 15.27). Длина волны в линии  12 м, длина линии l  5 м, волновое соI противление Zc  50 Ом. Амплиту1 1 2 Z Г да максимального значения напряжения в линии Umax  100 В. U 1 I2  EГ Найти амплитудное значение э. д. с. генератора ЕГ, если Z Г  50 Ом. 1 2 Рис. 15.27 Решение. Для расчета амплитудного значения э. д. с. генератора Еm запишем E m  I1m Z Г  U 1m . Определим напряжение и ток в начале линии. Ближайшее от конца линии сечение с максимальным напряжением будет на расстоянии x  / 4 от конца линии. Здесь падающая Un и отраженная Uот волны находятся в фазе, поэтому амплитудные значения этих напряжений Uпm  Uотm  Ток падающей волны I пm  U max  50 В. 2 U пm  1 А. Zc В конце линии 141 I2m  Imax  2 Iпm  2 A. Пусть I2 m  I 2 m  2 A, тогда: 2 2 I1m  I 2 m cos l  2 cos 5  – 1,73 А; 12  2 2 U 1m  jI 2 m Z c sin l  j100 sin 5  j 50 В; 12   Em  1,73  50  j 50  – 86,6 + j 50 В. Амплитудное значение э. д. с. генератора ЕГ  E m  100 В. Задача 3.3. Нагрузкой коаксиального кабеля с волновым сопротивлением Zc  75 Ом является индуктивность L  5 мкГн (рис. 15.28). Амплитудное значение напряI2 1 2 жения на индуктивности U2m  =100 В. Длина волны в кабеле U 2 L U 1 к  40 м. Относительная диэлектрическая проницаемость изоля1 2 ции кабеля  r  2,4. Длина кабеРис. 15.28 ля l  0,75 к. Определить, на каком расстоянии от конца кабеля находится ближайшая пучность напряжения. Найти амплитудное значение напряжения в пучности. Построить график зависимости амплитудного значения напряжения в линии от расстояния x от конца линии. Решение. Уравнение для напряжения в линии U  Z c I2 jx  U 2  Z c I2  jx  U (x)  2 e  e 2 2 при нагрузке Z 2  jL  jX 2 и U 2  U 2 имеет вид Z  Z  U  U  U (x)  2 1  j c  e jx  + 2 1  j c  e  jx  . 2  X2  2  X2  Преобразуем выражения: Z c2  j Z c2 j Zc Zc Z 1 j  1 2 e ; 1 j  1  2 e , где   arctg c . X2 X2 X2 X2 X2 Получаем Z c2 e j (x    )  e  j (x   ) Z c2    U (x)  U 2 1  2  U 2 1  2 cosx   . 2 X2 X2 142 Индуктивное сопротивление X 2  L  2fL . Частота f определяется через фазовую скорость vф в кабельной линии без потерь (см. таблицу 15.1, vф  c  r  r ) и длину волны к по выражению f  vф  к  c  к . Рассчитываем: 3 108 1,94  108  1,94108 м/c; f   4,8106 Гц; 40 2,4 Х2  6,284,8106510 –6  152 Ом.  u определяется из Первая от конца линии пучность напряжения xпуч1  1u    1. Откуда условия: cos xпуч vф   1u    0 или xпуч  1u  xпуч    к .  2 Рассчитываем угол  при длине волны в кабеле к  40 м.   arctg(75 152)  0,458 рад. Координата первой пучности напряжения  1u  xпуч 0,458  40  2,92 м. 6,28 Напряжение в пучности U max  U 2 m 1  Z c2  X 22 l  0,75  к 752  100 1   111,5 В. 152 2 В U 150 На рис. 15.29 представлено распределения амплитудных значений напряжения в линии при U 2  U 2 . Тогда, 100 U m (x)   U 2m 1  x 50 Z c2 cosx   . X 22 м 30 l 20 10 Рис. 15.29 143  1u 0 xпуч 4. Режим нагруженной линии без потерь Задача 4.1. Двухпроводная линия без потерь, имеющая волновое сопротивление Zc  600 Ом, нагружена на активное сопротивление R2  1500 Ом. Амплитудное значение напряжения на нагрузке U2m  1 кВ. Определить величину коэффициента бегущей волны и амплитуды напряжения и тока бегущих волн, амплитуды напряжения и тока стоячих волн в пучностях и максимальные значения амплитуд результирующих волн. Решение. В случае R2 > Z c коэффициент бегущей волны k б.в.  Z c 600   0,4 . R2 1500 Распределение мгновенных значений напряжения в линии определяется выражением u ( x, t )  U 2 m k б.в. sin(t  x)  U 2 m (1  k б.в. ) cos x sin t . Амплитуда бегущей волны напряжения Uб.в.m  U2m k б.в.  10000,4  400 В. В пучности cos x  1 . Амплитуда стоячей волны напряжения Ucт.в.m  (1– kб.в) U2m  0,61000  600 В. Для мгновенных значений тока в линии имеем i ( x, t )  U 2m U   k б.в. sin(t  x)  2 m (1  k б.в. ) sin x sin  t   . 2 Zc Zc  Амплитуда бегущей волны тока Iб.в.m  Uб.в.m / Zc  400 / 600  0,67 A. Амплитуда стоячей волны тока Icт.в.m  Ucт.в.m / Zc  600 / 600  1 A. Максимальные величины амплитуд результирующих волн будут в сечениях линии, где бегущие и стоячие волны находятся в фазе: Umax  Uб.в.m + Ucт.в.m  400 + 600  1000 B; Imax  Iб.в.m + Icт.в.m  0,67 + 1  1,67 A. Задача 4.2. Линия без потерь длиной l  150 м и волновым сопротивлением Zc  500 Ом замкнута на комплексное сопротивление Z 2  100  j 300 Ом . Найти распределение действующих значений напряжения в линии и максимальную амплитуду напряжения, если действующее напряжение на нагрузке U2  100 В, а длина волны в линии  100 м. 144 Решение. Распределение действующих значений напряжения в линии в случае U 2  U 2 рассчитаем по выражению U U (x)  2 2 где k от  k от e j  2 2 j x   Z c   j  x  1    e  k от e    U п ( x)  U от ( x) ,   Z 2    Z 2  Zc комплексный коэффициент отражения по напряZ 2  Zc жению: 100  j 300  500  0,745e j 2,034 . 100  j 300  500 Максимальная амплитуда напряжения U max в пучности определяется  ) и отраженной U от ( xпуч  ) из условия равенства фаз падающей U п ( xпуч k от  волн: 2 2     xпуч     , xпуч       откуда xпуч    )  261,8, В.   16,19 м; U max  2 U ( xпуч 2 2 График зависимости действующих значений напряжения в линии от расстояния от конца линии представлен на рис. 15.30. Когда не требуется расВ считать U (x) , величину макU 200 симальной амплитуды напря150 жения в линии проще определить через амплитуду падающей волны: 100 U 2  Zc  1    2  Z2  =150 В; U пm  2 l м 150 x 120 90 60 30 50 Рис. 15.30 U max  U пm  U отm  U пm  k отU пm  150 + 111,8  261,8 В. Для получения численных данных использована программа Mathcad. Решение в программе Mathcad. U2 100 l 150  z2 100 j . 300 100 Zc  Исходные данные. 500 145 z2 Zc  ku = 0.333 + 0.667i Ku z2 Zc arg( ku) Ku = 0.745  = 2.034 x 0, ku 24  j . 2. . x  Zc . e z2 1 2 .  2 2.  Umax  Расчет k от .  Расчет зависимости U ( x) . .. l U2. U( x) xp  ku ku. e  j . 2. . x   Координата пучности. xp = 16.19  Амплитуда напряжения в пучности. 2. U( xp) Umax = 261.803 200 150  График U ( x) . U( x) 100 50 150 120 90 60 30 x Zc . U2 U2m Ku. U1m z2 2 U1m = 150 U2m = 111.803 Umax ( U1m Ku. U1m) Umax = 261.803 U1m 2. 1  Амплитуды падающей и отраженной волн.  Амплитуда напряжения в пучности. Контрольные вопросы 1. Какие электрические цепи называются цепями с распределенными параметрами? 2. Дать определение первичных параметров длинной линии. Какая линия называется однородной? 3. Вывести уравнения однородной длинной линии (телеграфные уравнения). 4. Записать формулы для определения волнового сопротивления Z c , коэффициента распространения     j , фазовой скорости vф и длины волны . Пояснить физический смысл этих величин. 146 5. Получить уравнения однородной длинной линии в случае установившегося синусоидального режима при граничных условиях, заданных в начале и конце линии. 6. Линия как четырехполюсник. 7. Бегущие волны. Прямые (падающие) и обратные (отраженные) волны. Коэффициенты отражения по напряжению и току. Связь между прямыми и обратными волнами напряжения и тока. 8. Входное сопротивление линии с потерями при различных режимах работы. Режим согласованной нагрузки. Коэффициент полезного действия в режиме согласованной нагрузки. 9. Характеристики однородной линии. 10. Определить понятие неискажающей линии. 11. Уравнения линии без потерь. 12. Линия без потерь при различных режимах работы. Привести примеры распределения действующих значений напряжения, тока, а также входного сопротивления линии в зависимости от ее длины. 13. При каких режимах работы в линии имеют место стоячие волны? 14. Линия как элемент электрической цепи. 15. Линия без потерь при работе на произвольную активную и комплексную нагрузку. Максимумы и минимумы напряжения и тока. 16. Разложение волн в линии на бегущие и стоячие. Что характеризует коэффициент бегущей волны? 147