Электрическая схема.

ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ СХЕМА Электрическая схема представляет собой графическое изображение электрической цепи. Она отражает, каким образом соединены активные и пассивные элементы электрической цепи между собой. Элементы электрической цепи, соединенные последовательно, образуют ветвь (рис.1.11). Во всех элементах ветви протекает один и тот же ток в одном направлении. Если состав ветви неизвестен, ее изображают прямоугольником. Е J Е L r r1 r2 r L r Рис. 1.11. Примеры ветвей электрической схемы С Место соединения трех и более ветвей называется узлом. Узлы на электрических схемах принято обозначать буквами либо цифрами. В некоторых случаях для удобства чтения схем узел, в котором сходятся более трех ветвей, изображают несколькими узлами, соединенными между собой проводниками с нулевым сопротивлением, как это показано на рис. 1.12, б. Поэтому схемы, изображенные на рис. 1.12, а, б, эквивалентны. r1 a r3 а r2 r4 а r1 r3 r4 б Рис. 1.12. Изображение части электрической схемы r2 Ветви, присоединенные к одной и той же паре узлов, . называются параллельными (ветви с сопротивлениями r3 и r4 на рис. 1.12). На рис. 1.13. изображена схема некоторой цепи, содержащей четыре узла (a, b, c, d) и шесть ветвей. i3 i1 a r1 r2 e1 J4 b i6 i2 c r3 r5 e3 i5 d r6 Рис. 1.13. Пример схемы электрической цепи Любой замкнутый путь, проходящий по нескольким неповторяющимся ветвям, называется контуром. На рис. 1.13 стрелкой указано направление обхода одного из контуров электрической цепи. Схемы бывают одноконтурные и многоконтурные. Если схема изображает электрическую цепь постоянного тока, то из пассивных элементов в ней присутствуют только сопротивления. Индуктивность следует заменить ветвью с нулевым сопротивлением, так как согласно (1.10) напряжение на индуктивности равно нулю, следовательно, ее сопротивление rL  0 I Емкость для постоянного тока является разрывом ветви (ток, проходящий через емкость, согласно (1.4) равен нулю, U следовательно, rc   ). Поэтому ветви, в которых есть емкости, из схемы должны быть исключены. Например, схему, изображенную на рис. 1.14, а, в которой действуют только источники энергии постоянного тока, для расчета следует преобразовать в схему рис. 1.14, б. e r7 r1 С8 e1 b J4 С6 L3 a r3 r2 c r5 е a e1 b r3 r2 r1 e3 d r7 J4 c r5 r6 б а Рис. 1.14. Исходная схема (а) и расчетная схема для постоянного тока (б) e3 d ВОЛЬТАМПЕРНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА УЧАСТКА ЦЕПИ С ИСТОЧНИКОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ Рассмотрим схему, изображенную на рис. 1.15, а, где последовательно соединены идеальный источник ЭДС и сопротивление. Такая схема представляет, как показано выше, источник ЭДС конечной мощности. Ток в схеме направлен согласно с ЭДС. Определим напряжение между узлами U12. Напряжение U12, очевидно, будет складываться из напряжений U13 и U32: U12=U13+U32. Так как ток на участке 3–1 протекает от большего потенциала к меньшему, то U13 = –U31 = –I r. Напряжение на участке 3–2 равно ЭДС (см. рис. 1.8). Таким образом: U12 = E – I∙r.  (1.16) 2 Е r 3 1 I а U12 E r I б U E Рис. 1.15. Последовательное соединение идеального источника ЭДС и сопротивления (а) и вольтамперная характеристика цепи (б) В соответствии с этим уравнением строится вольтамперная характеристика, которая часто называется внешней характеристикой источника ЭДС. Положив U12 = 0, имеем на оси I: I = E/r. Вторую точку характеристики на оси U получим, если примем I = 0. Тогда U12 = E. Так как уравнение (1.16) линейно, то, соединив две точки на осях I и U, получим искомую вольтамперную характеристику (рис. 1.15, б). Аналогичную характеристику можно построить для источника тока конечной мощности, схема которого изображена на рис. 1.16, а. Напряжение на источнике тока, очевидно, равно произведению тока, протекающего через сопротивление r, на его величину: U = (J – I)∙r. U r I I J J–I J U r∙J a б Рис. 1.16. Параллельное соединение идеального источника тока и сопротивления (а) и вольтамперная характеристика цепи (б) Две точки характеристики получим, положив U = 0 и I = 0. Тогда на оси напряжений при I = 0 получим U = J∙r, а на оси токов J = I при U = 0. Искомая вольтамперная характеристика приведена на рис. 1.16, б. ЗАКОНЫ КИРХГОФА Основополагающими законами в теории электрических цепей в общем случае являются два закона Кирхгофа. Для линейных цепей справедлив также закон Ома. Все методы расчета, определяющие распределение токов и напряжений, основываются на законах Кирхгофа. Первый закон Кирхгофа Первый закон Кирхгофа формулируется в следующей редакции: Алгебраическая сумма токов в узле равна нулю: n  ik 0. (1.17) 1 Суммирование токов производится только для одного конкретного узла с учетом принятых положительных направлений. Суть закона Кирхгофа не зависит от того, какое из направлений токов принимается за положительное – от узла или к узлу, но, на наш взгляд, более логично положительным считать направление втекающих в узел токов. Здесь и далее это положение примем за основу. На основе изложенного составим уравнения по первому закону Кирхгофа для схемы, изображенной на рис. 1.13. Для узла а имеем: i1  i 2  i3 0. Для узлов b, c и d соответственно:  i1  J 4  i 6 0 ;  i 2  J 4  i5 0 ; i3  i5  i 6 0 . Выделим пунктиром часть схемы на рис. 1.13. Запишем для этой части уравнения по первому закону Кирхгофа для всех узлов и найдем их сумму. В результате получим важное следствие из первого закона Кирхгофа – алгебраическая сумма внешних токов по отношению к выделенной части электрической цепи равна нулю (внутренние токи в полученную сумму входят дважды: один раз положительными, второй – отрицательными). Для выделенной пунктиром части схемы на рис. 1.13 справедливо следующее уравнение: i1  i2  i5  i6 0 , так как токи i1, i2 и i6 втекают в схему, а ток i5 вытекает. Второй закон Кирхгофа Алгебраическая сумма ЭДС в любом замкнутом контуре электрической цепи равна алгебраической сумме падений напряжений на элементах этого контура. Такова формулировка второго закона Кирхгофа. n m  ek  u k , 1 (1.18) 1 где ek – k-я ЭДС в рассматриваемом контуре; n – число ЭДС в контуре; uk – напряжение на пассивном k-м элементе в этом контуре; m – число элементов в контуре. ЭДС и напряжение принимаются положительными, если их направление совпадает с направлением обхода контура и отрицательными, если оно противоположно. Например, для внешнего контура схемы рис 1.13, образованного ЭДС e1 и e3 и сопротивлениями r1, r3 и r6, при обходе его по часовой стрелке имеем: e1  e3 i1 r1  i3 r3  i6 r6 . Уравнение (1.18) можно переписать как: m n  u k 0, (1.19) 1 где uk – напряжение на элементе k рассматриваемого контура, число которых (элементов) равно n + m – сумме источников ЭДС и пассивных элементов. Для того же контура согласно выражению (1.19) имеем:  e1  i1 r1  i3 r3  e3  i 6 r6 0. Уравнения (1.17), (1.18) и (1.19) справедливы для любых электрических цепей. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ДИАГРАММА Распределение потенциалов вдоль участка цепи или замкнутого контура называется потенциальной диаграммой. Для её построения необходимо потенциал какой-либо точки схемы принять за опорный. Обычно потенциал одного из узлов принимают равным нулю. При этом считается, что данный узел заземлен (потенциал поверхности земли принимается за нулевой). Заземление только одного из узлов схемы не приведет к изменению токов в схеме, так как не образуется дополнительных контуров. Нельзя в схеме заземлять два и более узлов, так как через заземления образуются новые контуры, т. е. изменяется схема. Заземлять в схеме можно только один узел, если нет другого заземления. Построение потенциальной диаграммы начинается с того, что от точки, принятой за начало, на оси абсцисс откладывается суммарное сопротивление рассматриваемой ветви или контура. На оси ординат отмечается потенциал начальной точки – точки, с которой начинается обход контура. Затем, в соответствии с выбранным направлением обхода контура, откладываются потенциалы точек, следующих за начальной. При этом по оси абсцисс откладывается суммарное сопротивление. На рис. показана часть сложной цепи. Задано: I1 = 3 A; I2 = 2,4 A; E1 = 70 B; E2 = 20 B; R1 = 8 Ом; R2 = 5 Ом. Найти напряжение Uab. a I1 e R1 E1 d Uab E2 I2 c Решение. Зададимся потенциалом узла b b 0. Сумма сопротивлений между узлами а и b вдоль R1, E1, E2 и R2 равна 13 Ом. Запишем уравнение, выражающее напряжение Uab: U ab I1 R1  E1  E 2  I 2 R 2 . R2 b Потенциал точки с: c I 2 R 2 2,4 5 12 B, а сопротивление между точками b и с равно 5 Ом. Потенциал точки d: d  E 2  I 2 R 2  8 B, а сопротивление между точками b и d не изменилось – 5 Ом. Потенциал точки е:  e E1  E 2  I 2 R 2 62 B, а сопротивление осталось прежним. Потенциал точки а равен напряжению Uab = 86 B, а сопротивление равно сумме R1 и R2. Потенциальная диаграмма изображена на рис. По оси абсцисс откладывается сумма сопротивлений до искомой точки (с, d, e, a), по оси ординат – потенциал искомой точки. Так как сопротивления линейны, то точки соединяются отрезками прямых в той же последовательности, что и в схеме. U, В a 80 60 e 40 20 c b 2 4 R, Ом 6 d 8 10 12 ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ БАЛАНС В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ Энергия, выделяемая на сопротивлениях электрической цепи, генерируется источниками ЭДС и токов. Поэтому для любой цепи всегда справедливо соотношение n m  (u r 1 или n  1 k (i 2r k i r t )  (u p i p t ), k 1 m R k )  (u p i p ), (1.20) 1 где n – число сопротивлений в цепи; m – число источников электрической энергии; i – ток в k-м сопротивлении; uр – напряжение p-го rk источника; iр – ток p-го источника. Если в схеме присутствуют только источники ЭДС, то уравнение (1.20) будет иметь вид: n m 2 ( i  r R k )  (ep i p ), 1 k 1 k (1.21) где ер – ЭДС p-го источника. При наличии в схеме, кроме источников ЭДС, еще и источников тока n m q 2 ( i  r R k )  (e p i p )   (u s J s ), 1 k 1 (1.22) 1 где q – количество источников тока; us, Js – соответственно напряжение на s-м источнике и его ток. Если в уравнениях (1.20) – (1.22) направления напряжений . и токов источников совпадают, то мощность – величина положительная, в противном случае – отрицательная. Так, для схемы, представленной на рис. 1.13, при принятых положительных направлениях токов имеем: e1 i1  e3 i3  J 4 u cb i12 r1  i 22 r2  i32 r3  i52 r5  i62 r6 МАКСИМАЛЬНАЯ МОЩНОСТЬ РЕАЛЬНОГО ИСТОЧНИКА Рассмотрим схему цепи на рис. 1.17, состоящую из источника ЭДС с внутренним сопротивлением Rвн и нагрузки R (реальный источник тока можно заменить эквивалентным с ЭДС). Ток в цепи равен E I , (1.23) R вн  R а мощность, выделяемая на сопротивлении нагрузки R, 2 E Pн I 2 R  R. 2 (R вн  R ) (1.24) I Rвн R E Рис. 1.17. Схема для определения максимальной мощности реального источника Определим, при каком соотношении между сопротивлениями нагрузки R и внутренним Rвн в нагрузке будет выделяться максимальная мощность. С этой целью возьмем первую производную от Pн по R и приравняем её к нулю: dPн dR  (R вн  R ) 2  2R (R вн  R ) (R вн  R ) 4 E 2 0, (1.25) или (R вн  R ) (R вн  R ) 0, откуда следует R =Rвн· (1.26) Вторая производная d 2 Pн dR 2   2R (R вн  R ) 4  2R (R вн  R ) 4  (R вн  R )5 (R вн  R )8 < 0, что свидетельствует о том, что при выполнении условия (1.26) действительно имеет место максимум мощности. Максимальная мощность, отдаваемая источником ЭДС, согласно (1.21) с учетом (1.26) и (1.24), равна Pmax E E2 E   , 2R вн 2R вн следовательно, максимальное значение коэффициента полезного действия цепи равно 0,5.