Экономико-математическая модель. Принятие решений в условиях риска

С развитием экономической науки и электронно-вычислительной техники все большую роль начинает играть использование математических методов в экономике, или экономико-математическое моделирование. Любая модель представляет собой упрощенное отображение предмета, процесса или явления. Модель экономического процесса или явления, которая описывает поведение моделируемого объекта с помощью математических выражений, называется экономико-математической моделью. Такие модели широко используются на практике для анализа и прогнозирования экономической ситуации, а также поддержки процесса принятия решений как на микро-, так и на макроуровне (на отдельных предприятиях и на рынках). Благодаря упрощению модель делает экономическую ситуацию более обозримой, но при этом совокупность данных модели должна содержать информацию, достаточную для того, чтобы судить о главных существенных чертах моделируемого объекта и принимать соответствующие решения. В процессе производства экономико-математические модели играют вспомогательную роль, окончательное решение является прерогативой руководителя. Это связано со сложностью и недостаточной изученностью комплекса экономики, которая представляет собой сложную систему, отличающуюся целенаправленным поведением своих элементов, интересы которых могут приходить в противоречие с интересами системы в целом. Моделирование экономических ситуаций средствами исследования операций представляет собой один из видов экономико-математического моделирования. В широком смысле слова под исследованием операций понимают математический аппарат поддержки процесса принятия решения в различных областях человеческой деятельности. При этом операцией называют любое мероприятие, объединенное общим замыслом и направленное к достижению определенной цели. 2 Операция обязательно должна быть управляемой, т.е. включать как факторы среды, так и элементы решения. Чтобы оценить операцию, необходимо определить критерий ее эффективности - показатель того, насколько результат операции соответствует ее целям (в зависимости от предпринятых действий). Чтобы исследовать операцию, строят ее математическую модель - формальные отношения, устанавливающие связь принятого критерия эффективности с объективными условиями и обстоятельствами, определяющими ход операции. Одним из разделов исследования операций является теория игр (математическая теория конфликтных ситуаций), которая включает в себя теорию принятия решений. Последнюю рассмотрим более подробно. Элементы теории принятия решений Условия принятия решений делятся на: 1) условия полной определенности; 2) условия неопределенности (когда нет полной информации). Условия неопределенности в свою очередь делятся на: а) условия риска (когда известны вероятности поведения природы); б) условия “дурной неопределенности” (когда даже эти вероятности неизвестны). Принятие решений в условиях риска В случае (а) используются различные средства теории вероятностей. Например, можно подсчитать математические ожидания выигрыша при различных стратегиях Аi (поскольку смешанная стратегия природы известна), и выбрать из них наибольшее. 3 Например, предприятие может выпускать один из трех видов продукции. Матрица 3 х 4 характеризует прибыль предприятия от выпуска i– го вида продукции (Аi) при j–м состоянии спроса (Пj); i=1, 3; j=1, 4. Известны вероятности каждого состояния pj. Пj A1 A2 A3 pj 1 1 3 4 2 4 8 6 3 5 4 6 4 9 3 2 ai 5,2 4,5 5,0 01 , 0,2 0,5 0,2 4 a i = ∑ a ijp j , i = 1, 3 j=1 max{a i } = 5,2 (i = 1) i Следовательно, А1 – оптимальная стратегия. Еще раз подчеркнем, что принятое решение является оптимальным не в каждом отдельном случае, а в среднем, при многократном повторении ситуации. Например, если речь идет о дневной прибыли, то выпуская первый вид продукции в течении одного дня, фирма, возможно, получит и меньшую прибыль, чем получила бы, выпуская другой вид продукции. Прибыль будет оптимальной (максимальной), если просуммировать ее за 100 или 1000 дней, потому что только при большом количестве опытов вступают в действие законы теории вероятностей, но даже в этом случае величина прибыли не будет гарантированной. Многократном повторение опыта не обязательно должно быть во времени, но может иметь место и в пространстве. Т.е. если прибыль задана для одного филиала фирмы, то речь может идти о применении оптимальной стратегии, например, сотней таких однотипных филиалов. Другой возможный критерий основан на понятии риска. Def. Риск – это разность между выигрышем игрока, который он получил бы, если бы знал ситуацию среды (и соответственно выбрал бы стратегию) и выигрышем, который он получит в тех же условиях, используя {akj} - aij. стратегию Ai: rij = max k 4 Из определения всегда rij ≥ 0. Составим матрицу рисков для предыдущего примера. Для этого вначале в каждом столбце платежной матрицы найдем наибольший элемент (если бы состояние спроса было заранее известно, то была бы выбрана именно эта стратегия). Чтобы подсчитать риск, каждый элемент столбца вычтем из этой величины. Например, при первом состоянии спроса наибольшая прибыль достигается при выпуске третьего вида продукции, и равна 4. Если использовать первую стратегию, то прибыль будет равна 1. Следовательно, риск r11 = 4 – 1 = 3 (именно столько мы рискуем недополучить, используя первую стратегию в первой ситуации по сравнению с максимально возможным выигрышем). Аналогично r21 = 4 – 3 = 1; r31 = 4 – 4 = 0. При втором состоянии спроса наибольшая прибыль – 8 - может быть получена при выпуске второго вида продукции, поэтому все элементы второго столбца вычитаются из 8, и т.д. Найдем с помощью матрицы рисков оптимальную стратегию (для которой ожидаемый риск – наименьший). Пj A1 A2 A3 pj 1 3 1 2 4 2 3 1 2 4 6 7 ri 16 , 2,3 18 , 4 ri = ∑ rijp j , i = 1, 3 j=1 , (i = 1) min {r } = 16 0,1 0,2 0,5 0,2 i i Следовательно, А1 – оптимальная стратегия; т.е. результат совпал с предыдущим. Покажем, что решения, найденные этими двумя способами, всегда будут совпадать. a i + ri = ∑ a i p j + ∑ ri p j = ∑ a ip j (a i + max{a i } − a i ) =∑ p jmax {a i } = const j Итак, j эта сумма i j является j постоянной i (взвешенное максимальных элементов по столбцам платежной матрицы). среднее 5 a i + ri = const ⇒ ri = const − a i Эта величина обращается в минимум тогда же, когда a i – в максимум. Могут быть использованы и другие критерии. Отметим, что в условиях риска всегда будет получено решение в чистых стратегиях. Принятие решений в условиях “дурной” неопределенности При принятии решений в условиях “дурной” неопределенности можно выделить два основных подхода. Первый из них – попытаться свести ситуацию к условиям риска, т.е. некоторым способом определить вероятности возникновения различных ситуаций среды. Пример такого подхода – использование критерия Лапласа. Он основан на принципе недостаточного обоснования: если нет оснований считать, что вероятности состояний различны, их можно считать равными, т.е. р1 =. . . = рj =. . . = рn = 1/n. Изменим условия предыдущего примера. Пусть теперь вероятности возникновения того или иного состояния спроса неизвестны. Применяя критерий Лапласа, будем считать их равными. Так как всего состояний 4, вероятность каждого из них будет 1/4. Тогда ожидаемый выигрыш при использовании каждой стратегии можно определить, как простое среднее элементов по строкам матрицы: пj 1 2 3 4 ai A1 A2 1 4 5 9 3 8 4 3 4,75 4,5 A3 4 6 6 2 4,5 pj 0 , 25 0 , 25 0 , 25 0 , 25 4 a i = (∑ a ij ) / 4, i = 1, 3 j=1 max {a } = 4,75 (i = 1) i i 6 Следовательно, А1 – оптимальная стратегия, и ничего не зная о вероятностях состояний спроса, все равно следует выпускать первый вид продукции. Другой способ в рамках того же подхода можно применить, если вероятности состояний можно оценить в ранговой шкале (т.е. упорядочить их, начиная с наиболее вероятных). Тогда предполагают, что эти вероятности пропорциональны членам убывающей арифметической прогрессии: р1:р2:р3:. . . рj: . . . :рn = n:(n - 1):(n - 2): . . . :(n – j + 1): . . . :1. Так как должно быть ∑р j = 1, а j рj= n n j=1 j=1 ∑ ( n − j + 1) = ∑ ( j) = n ( n + 1) , то 2 2( n − j + 1) , j= 1,n (соответствующий член прогрессии отнесен к сумме n ( n + 1) прогрессии). Пусть теперь в условиях того же примера известно, что р3>р4>р2>p1. Тогда предположим, что р3:р4:р2:р1=4:3:2:1. Здесь 2/(n(n+1))=2/(4*5)=0,1; вероятности будут равны 0,4; 0,3; 0,2 и 0,1. Ожидаемый выигрыш тогда будет подсчитан следующим образом: пj A1 A2 A3 pj 1 1 3 4 2 4 8 6 0,1 0,2 3 4 ai 5 9 5,6 4 3 4,5 6 2 5 0,4 0,3 max {a } = 5,6 (i = 1) i i Здесь оптимальная стратегия – снова А1. Другой возможный способ в рамках того же подхода – использование экспертных оценок для определения вероятностей. 7 Принципиально другой подход – не сводить условия “дурной” неопределенности к условиям риска. Рассмотрим некоторые критерии, который используются в этом случае. 1. Критерий Вальда – максиминный выигрыш: W = max min {a ij } . i j Это критерий крайнего пессимизма, критерий осторожности, так как природа здесь считается противником, выбирающим наихудшую стратегию для лица, принимающего решение. 2. Критерий Сэвиджа – минимаксный риск: S = min max {rij } . i j Этот критерий также пессимистический, но здесь худшим считается не меньший выигрыш, а большая потеря выигрыша по сравнению с возможным в данных условиях. 3. Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица: { { } { }} Н = max h min a ij + (1 − h )max a ij , 0 ≤ h ≤ 1. i j j При h=1 этот критерий совпадает с пессимистическим критерием Вальда. max{a ij } . При h=0 он превращается в критерий оптимизма max i j Таким образом, коэффициент h выражает меру пессимизма лица, принимающего решение и выбирается из субъективных соображений (чем опаснее ситуация, тем ближе он должен быть к 1). Критерий Гурвица можно построить и для рисков: { } Н = min h max{rij } + (1 − h )min {rij } . i j j 8 Применим эти критерии к тому же примеру, в котором теперь вероятности возникновения того или иного состояния спроса неизвестны (оптимальную стратегию обозначим А*): min{a ij } j 1 4 5 9    a ij =  3 8 4 3   4 6 6 2   1 W = 3 A* = A 2 3 2 max{rij } j 3 4 1 0   rij =  1 0 2 6  0 2 0 7   4 S=4 6 7 A * = A1 Подсчитаем критерий Гурвица для различных h:  1 4 5 9 a ij =  3 8 4 3  4 6 6 2   min {a ij} max {a ij} j j 1 3 2 9 8 6 H h + 9(1 − h ) = 9 − 8h 3h + 8(1 − h ) = 8 − 5h 2h + 6(1 − h ) = 6 − 4h h = 0,8 h = 0,5 h = 0,2 3,6 5 8,4 5,5 4 7 2,8 4 5,2 При h=0,8 (наиболее пессимистический из рассмотренных вариантов) и при h=0,5 А*=А2. В более оптимистическом варианте (h=0,2) А*=А1. Применять к данному случаю критерий Гурвица для рисков не имеет смысла, так как в матрице рисков здесь во всех строках имеются нули (минимальные риски по строкам, которые следует умножить на (1-h), везде будут равны 0). Итак, в условиях “дурной” неопределенности с точки зрения уменьшения риска целесообразно выпускать первый вид продукции, а с точки зрения получения наибольшей прибыли – второй. Выбор первого вида продукции с точки зрения получения прибыли предполагает значительный оптимизм. Проиллюстрируем применение рассмотренных методов следующей схемой: 9 Методы принятия решения а) в условиях риска: 1) расчет ожидаемого выигрыша; 2) расчет ожидаемого риска; и т.п. б) в условиях «дурной неопределенности» путем сведения ситуации к условиям риска (см. (а)), вероятности состояний определяются: 1) по критерию Лапласа; 2) через ранговые оценки вероятностей; 3) экспертным путем не сводя ситуацию к условиям риска, по критериям: 1) Вальда; 2) Сэвиджа; 3) Гурвица для выигрышей или рисков