Эконометрика

Лекция 8 Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. Содержание 8…. Отступление: Оценка линейной вероятностной модели (LPM) 22…. Эндогенные переменные 38… Тесты вложенных и не вложенных регрессий 50….. Автокорреляция. Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. Источники лекции: 1.Доугерти, К. Введение в эконометрику : учеб. для экон. специальностей вузов / К. Доугерти; пер. с англ. Е. Н. Лукаш [и др.]. – М. : ИНФРА-М, 2007, гл. 11. 2.Магнус, Я. Р. Эконометрика. Начальный курс : учеб. / Я. Р. Магнус, П. К. Катышев, А. А. Пересецкий. – 3-е изд., перераб. и доп. – М. : Дело, 2000. и более поздние издания – Гл. 9, 12. 3. Вербик М. Путеводитель по современной эконометрике. М.: Научная книга, 2008 – Гл.5 ; сравнение не вложенных моделей (гл.3, пункт 3.2.3). Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. Парная линейная регрессия общий вид модели парной регрессии yi = α + βxi +ui где i=1,…,n xi - неслучайная (детерминированная) величина, yi и ui - случайные величины. yi – зависимая переменная, состоит из (1) неслучайной составляющей α + βxi, где xi – объясняющая (независимая) переменная, а постоянные α и β – параметры уравнения; и (2) случайного члена ui . xi и yi это фактические значения (реально собранные данные/наблюдения, иными словами наблюдаемые значения). оцененная функция регрессии (оценка yi): = a + bxi Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. Предположения о случайном члене ui (Условия Гаусса-Маркова) I. Регрессионная модель линейна по параметрам (коэффициентам), корректно специфицирована (т.е. выбрана правильная функциональная форма, включены необходимые факторы и нет лишних), и содержит аддитивный случайный член/ошибку (ui); II. Случайный член имеет нулевое математическое ожидание E(ui) = 0; III. Случайный член имеет постоянную дисперсию для всех наблюдений, Var(ui)=D(ui)= σu2 , i= 1,…,n (гомоскедастичность) Замечание: величина σu неизвестна (основана на данных генеральной совокупности), одна из задач регрессионного анализа состоит в том чтобы оценить σu (найти оценку для этого параметра). IV. Случайные члены с разными номерами не коррелируют друг с другом, т.е. Cov(ui, uj) = 0 (для i ǂ j); => отсутствие автокорреляциии V. Объясняющая переменная не коррелированна со случайным членом, Cov(ui, xi) = 0 ; Тогда оценки МНК (a и b) являются наиболее эффективными и несмещенными оценками коэффициентов регрессии [BLUE (Best Linear Unbiased Estimator)]. Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. Несмещенные оценки коэффициентов регрессии Есть теоретическая модель парной линейной регрессии yi = α + βxi + ui ^ Есть расчетная регрессия yi = a + b xi где a и b это оценки истинных значений α и β Тогда несмещенность означает следующее Мат. ожидание E(a) = α Мат. ожидание E(b) = β Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. Эффективные оценки коэффициентов регрессии Т.е. среди всех несмещенных оценок оценки a и b обладают наименьшей дисперсией Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. Оценка линейной вероятностной модели (LPM) Замечание: альтернативные модели в наши дни – Logit и Probit. Рассмотрим пример применения LPM: Мы хотим оценить вероятность наличия у семьи жилья как функцию от дохода семьи. Yi = β1 + β2Xi + ui где Xi - ежемесячный доход семьи (в тысячах $), Yi = 1 если у семьи есть свое жилье, = 0 если у семьи нет своего жилья. Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. Оценка линейной вероятностной модели (LPM) Мы оценили модель обычным МНК. Наши результаты следующие: t – стат.: (-7,6984) (12,515) Интерпретация модели: Константа отрицательная, но т.к. вероятность не м.б. отрицательной мы ее принимаем равную нулю. Т.к. в данном примере это имеет смысл – константа = 0 означает, что при нулевом доходе вероятность иметь собственное жилье = 0. Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. Оценка линейной вероятностной модели (LPM) Мы оценили модель обычным МНК. Наши результаты следующие: t – стат.: (-7,6984) (12,515) Интерпретация модели: А обычно, если бы константа не имела смыла, то мы бы ее просто не стали интерпретировать. Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. Оценка линейной вероятностной модели (LPM) Мы оценили модель обычным МНК. Наши результаты следующие: t – стат.: (-7,6984) (12,515) Интерпретация модели: Коэффициент при Xi равный 0,1021 означает, что при изменении (пусть при росте) ежемесячного дохода семьи Xi на 1 000 $ вероятность обладания собственным жильем в среднем увеличивается на 0,1021 (т.е. примерно на 10%). Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. Оценка линейной вероятностной модели (LPM) Мы оценили модель обычным МНК. Наши результаты следующие: t – стат.: (-7,6984) (12,515) Интерпретация модели: Мы также можем оценить вероятность обладать собственным жильем для семьи с определенным уровнем дохода. Например, для X = 12 (12 000 $) оценка вероятности обладания собственным жильем составит: Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. Оценка линейной вероятностной модели (LPM) Мы оценили модель обычным МНК. Наши результаты следующие: t – стат.: (-7,6984) (12,515) Интерпретация модели: Т.е. вероятность, что семья с ежемесячным доходом 12 000 $ имеет свою квартиру ≈ 28%. Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. Почему модели LPM сейчас не используют? (1) Для возможности проведения тестов коэффициентов, т.е. проверки их значимости и пр. мы предполагали, что ui - случайный член это нормально распределенная величина. В данном случае ui – имеет биноминальное распределение (принимает только два значения), а не нормальное (ниже пояснение почему это так): Уравнение регрессии Yi = β1 + β2Xi + ui откуда ui = Yi - β1 - β2Xi (т.к. Yi принимает только два значения 1/0), то ui = 1 - β1 - β2Xi = 0 - β1 - β2Xi Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. Почему модели LPM сейчас не используют? (2) III условие Гаусса-Маркова. Случайный член имеет постоянную дисперсию для всех наблюдений, Var(ui)=D(ui)= σu2 , i= 1,…,n (гомоскедастичность) в данном случае нарушается Var(ui) = Pi *(1 – Pi ) где Pi – это вероятность того, что ui примет значение = 1 – β1 – β2Xi (1 – Pi ) – это вероятность того, что ui примет значение = 0 – β1 – β2Xi Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. Почему модели LPM сейчас не используют? Var(ui) = Pi *(1 – Pi ) где Pi – это вероятность того, что ui примет значение = 1 – β1 – β2Xi (1 – Pi ) – это вероятность того, что ui примет значение = 0 – β1 – β2Xi т.е. получается, что ui зависит от того какое значение принимает Yi (1 или 0), что в свою очередь определяется тем каково значение Xi . А значит ui зависит от Xi , а значит в модели присутствует гетероскедастичность. Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. Почему модели LPM сейчас не используют? Как результат наличия в модели гетероскедастичности оценки коэффициентов регрессии не смещены, но не эффективны (т.е. не обладают минимальной дисперсией). ! Т.е. в при оценке таких моделей (LPM) обязательно нужно устранять проблему гетероскедастичности. Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. Почему модели LPM сейчас не используют? (3) Yi по смыслу должно принимать значения в интервале от 0 до 1 (т.к. это вероятность ), и исходные данные именно таковы. А вот расчетное значение принимает любые значения как меньше нуля, так и больше единицы. Собственно это основная проблема почему вместо LPM сейчас используют модели Probit и Logit. На практике значения < 0 принимают равными нулю, а значения больше единицы равными единице. Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. Коэффициент детерминации R2 Рассмотрели вариацию (разброс) зависимой переменной yi вокруг ее среднего , т.е. Которую можно разложить на . Обозначили общую/всю вариацию = TSS (total sum of squares) не объясненную регрессией вариацию = ESS (error sum of squares), объясненную регрессией вариацию = RSS (regression sum of squares). Получили выражение для R2 коэффициента детерминации, или доли объясненной дисперсии: Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. Почему модели LPM сейчас не используют? (4) Обычный коэффициент детерминации (R2) мало что говорит о качестве модели LPM т.к. в случае, когда Yi принимает только два значения (0 или 1) мы строим регрессию следующего вида: Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. Почему модели LPM сейчас не используют? (4) И коэффициент детерминации (R2) будет тем больше, чем более сконцентрированы значения вокруг каких-то конкретных Xi точки А и В (т.е. чем меньше вариация объясняющей переменной). Потому обычный коэфф. детерминации (R2) мало что говорит о качестве модели LPM. Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. Эндогенные переменные Эндогенные переменные имеют место в том случае, когда не только Y объясняется переменными X1, X2, … Xk , но и некоторые из X (например, X2) объясняются переменной Y. Т.е. существует двусторонняя (одновременная) связь между переменными Y и X. В этом случае сложно понять какая переменная является зависимой (объясняемой), а какая независимой (объясняющей). Для оценки таких функциональных зависимостей используют системы одновременных уравнений. Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. Эндогенные переменные (Пример 1) Рассмотрим модель определения уровня з/п и цен в экономике: Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. Эндогенные переменные (Пример 1) Т. к. переменная изменение цен ( ) включена в уравнение з/п, а переменная изменения з/п ( ) включена в уравнение изменения цен, то эти две переменные взаимозависимы, т.е. существует двусторонняя (одновременная) связь между ними. Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. Эндогенные переменные (Пример 1) А значит эти объясняющие переменные коррелируют с соответствующим случайным членом, Напомним! V. условие Гуасса-Маркова. Объясняющая переменная не коррелированна со случайным членом, Cov(ui, xi) = 0 ; Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. Эндогенные переменные (Пример 1) А значит эти объясняющие переменные коррелируют с соответствующим случайным членом, и потому оценки параметров регрессии (при оценке каждой регрессии отдельно) методом (МНК) будут несостоятельными и смещенными. !Нарушается V. условие Гуасса-Маркова. Объясняющая переменная не коррелированна со случайным членом, Cov(ui, xi) = 0 ; Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. Эндогенные переменные (Пример 2) Например, рассмотрим функцию спроса и предложения на товар А: Qtd = α0 + α1Pt + u1t (d) QtS = β0 + β1Pt + u2t (s) d = Q S => (Q*,P*) Q В равновесии: t t • Qtd – спрашиваемое количество товара, • QtS – предлагаемое количество товара; • t – время; • u1t , u2t – ошибки (например, ошибки из-за невключенных в модель переменных, которые не поддаются измерению). Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. Эндогенные переменные (Пример 2) Несложно заметить, что равновесные Q* и P* являются одновременно определяемыми переменными (т.е. между ними существует двусторонняя связь). Например, если меняется u1t из-за изменения переменных, что влияют на спрос (Qtd), например, вкусы и предпочтения потребителей, то кривая спроса сдвинется вверх / вниз (при той же цене потребители будут спрашивать больше / меньше товара А). Это приведет к изменению не только Q*, но и P* . Т.е. Q влияет на P. Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. Эндогенные переменные (Пример 2) C другой стороны, изменение u2t из-за изменения переменных, что влияют на предложение (QtS), например, забастовки, погодные условия и пр., приведет к сдвигу кривой предложения вверх / вниз (при той же цене производители будут готовы предложить меньше/больше товара А). Что в свою очередь приведет к изменению не только количества предлагаемого товара, но и его цены. снова Q влияет на P. Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. Эндогенные переменные (Пример 2) Понятно, что изменение цены, вызванное например введением государством дополнительного НДС на товар А также в свою очередь повлияет на Q. Т.е. и P влияет на Q. Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. Эндогенные переменные (Пример 2) Что важно. Из-за взаимного влияния Q и P переменные u1t и Pt в уравнении (d) и переменные u2t и Pt в уравнении (s) не могут быть независимыми, а их независимость одно из условий Гаусса-Маркова (слайд 5, условие V: V. Объясняющие переменные не коррелированны со случайным членом, Cov(ui, xi) = 0). У нас получается, что случайный член ut коррелирован с объясняющей переменной Pt : в уравнении (d) коррелированы u1t и Pt в уравнении (s) коррелированы u2t и Pt Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. Эндогенные переменные (Пример 2) т.е. условие V. Гаусса-Маркова не выполняется, и как результат, оценки уравнений (d) и (s), если их оценивать каждое в отдельности применяя метод МНК, дадут неверные результаты (оценки коэффициентов будут несостоятельными / смещенными). Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. Эндогенные переменные Функция спроса и предложения на товар А: Qtd = α0 + α1Pt + u1t (d) QtS = β0 + β1Pt + u2t (s) Как оценить функцию спроса в случае наличия эндогенных переменных? Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. Как оценить функцию спроса в случае наличия эндогенных переменных? Что мы по сути видим (какие данные о ценах и количестве у нас есть)? Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. Как оценить функцию спроса в случае наличия эндогенных переменных? • Информация что у нас есть – равновесные пары Q и P. • Построить по ним функцию спроса и функцию предложения не представляется возможным. Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. Как оценить функцию спроса в случае наличия эндогенных переменных? Чтобы построить функции спроса и предложения нужно придумать переменную, которая сдвигает кривую предложения, но не сдвигает кривую спроса. Например, налоги на производителя (T). Это позволит оценить функцию спроса. Аналогично, переменная, что будет сдвигать функцию спроса, но не повлияет на функцию предложения, позволит оценить функцию предложения. Такие переменные называются инструментальными переменными (инструментами). Qtd = α0 + α1Pt + u1t QtS = β0 + β1Pt + β2Tt +u2t (d - спрос) (s - предложение) Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. Как оценить функцию спроса в случае наличия эндогенных переменных Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. Выбор лучшей модели Рассмотрим моделей. случай вложенных и не вложенных Модель В – вложена в модель А. Модель В – «часть» модели А, т.е. это модель А где β3 = 0. Модели С и D не являются вложенными моделями, у них разный набор объясняющих переменных. Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. Выбор лучшей модели Для случая вложенных моделей Определить какая из моделей лучшая просто. Проверяем (F или t-тестом) H0: β3= 0, HA: β3 ≠ 0. Или используем показатель Стандартная ошибка регрессии (SEE) – «Стандартная ошибка». Модель с меньшей «стандартной ошибкой» - лучшая. Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. F – тест не вложенных моделей. Для сравнения двух моделей (какая лучшая С или D) оценивают модель искусственного вложения (Е): заметим, модель Е охватывает обе модели (C и D), т.е. обе С и D являются вложенными для E. Но сами модели С и D не являются вложенными друг для друга моделями. Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. F – тест не вложенных моделей. Тестируем H0: λ1 = 0, HA: λ1 ≠ 0, Если H0 не отклоняется, то верной моделью является модель D. (H0 тестируем F – тестом или t – статистикой). Затем тестируем H0: λ2 = 0, HA: λ2 ≠ 0, Если H0 не отклоняется, то верной моделью является модель С. (H0 тестируем F – тестом или tстатистикой). Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. F-тест не вложенных моделей Тест не без изъянов. Исход двух тестирований может состоять в том, что следует отклонить обе модели (отклонение обеих H0: λ1 = 0 и H0: λ2 = 0). Или принять обе модели (принятие обеих H0: λ1 = 0 и H0: λ2 = 0). Таким образом тот факт, что модель С отклоняется, не следует интерпретировать как свидетельство в пользу модели D. Этот факт просто показывает коечто, улавливаемое моделью D, что не вполне адекватно принимается в расчет моделью C. Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. J – тест. Для сравнения двух моделей (какая лучшая С или D) 0. H0: С – лучшая модель. 1. Оцениваем модель D и сохраняем 2. Добавляем в качестве объясняющей переменной в модель С: 3. Тестируем H0: α3 = 0, HA: α3 ≠ 0. Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. J – тест. Для сравнения двух моделей (какая лучшая С или D) Вспомогательная модель: 4. Если H0: α3 = 0 не отклоняется, то модель С является истинной моделью. Т.к. переменные из модели D ( ) не могут дополнительно ч-л объяснить в модели С (т.к. α3 = 0). Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. J – тест. Для сравнения двух моделей (какая лучшая С или D) Вспомогательная модель: 4. Если H0: α3 = 0 отклоняется (т.е. α3 ≠ 0), то модель С НЕ является истинной моделью. Т.к. переменные из модели D ( ) улучшают объясняющую силу модели С (т.е. могут в ней что-то дополнительно объяснить). Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. J – тест. Теперь для сравнения (какая лучшая С или D) 5. тестируем H0: D – лучшая модель. 6. Оцениваем модель C и сохраняем 7. Добавляем в качестве объясняющей переменной в модель D: 8. Тестируем H0: β3 = 0, HA: β3 ≠ 0. Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. J – тест. Для сравнения двух моделей (какая лучшая С или D) Вспомогательная модель: 9. Если H0: β3 = 0 не отклоняется, то модель D является истинной моделью. Т.к. переменные из модели C ( ) не могут дополнительно ч-л объяснить в модели D (т.к. β3 = 0). Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. J – тест. Для сравнения двух моделей (какая лучшая С или D) Вспомогательная модель: 9. Если H0: β3 = 0 отклоняется (т.е. β3 ≠ 0), то модель D НЕ является истинной моделью. Т.к. переменные из модели C ( ) улучшают объясняющую силу модели D (т.е. могут что-то объяснить в модели D). Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. J – тест. т.к. тесты на лучшую модель С и D проводятся независимо друг от друга. Возможны следующие ситуации: H0: β3 = 0 Не отклоняется отклоняется H0: α3 = 0 Не отклоняется отклоняется D и С-истинные D – истинная, C – «плохая» модель С – истинная, D и С – «плохие» D – «плохая» модели модель т.е. J-тест также не универсален (есть ситуации где принять решение какая модель истинная не представляется возможным). Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. Тестирование автокорреляции остатков с помощью теста Дарбина-Уотсона Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. Автокорреляция Y X Автокорреляция – явление, встречающееся в основном для временных рядов. Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. Автокорреляция Y X При автокорреляции нарушается условие теоремы Гаусса – Маркова о некоррелированности ошибок для различных наблюдений, т.е. нарушается условие Гаусса-Маркова Cov(ui, uj) = 0 (для i ǂ j); - слайд 5, IV. Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. Автокорреляция Y X На данном графике в основном после положительных остатков вновь следуют положительные, а после отрицательных вновь следуют отрицательные. Смена знаков остатков происходит редко. Это пример положительной автокорреляции. Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. Автокорреляция Y X На этом графике после положительных остатков чаще всего следуют отрицательные и наоборот. Это пример отрицательной автокорреляции. Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. Автокорреляция Yt  1   2 X t  ut AR(1): ut  ut 1   t где εt ~ i.i.d. (некоррелированные при различных t = 1,…,T, одинаково распределенные случайные величины) u t  u t 1   t ,  1 - марковская схема Говорят, что случайный член/ошибка (ut) удовлетворяет авторегрессионной схеме первого порядка (сокращенно AR(1)), если выполняется вышеуказанное соотношение. Авторегрессия – зависимость от собственных предыдущих значений. Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. Автокорреляция Yt  1   2 X t  ut Автокорреляция первого порядка: AR(1) ut  ut 1   t Автокорреляция пятого порядка: AR(5) ut  1ut 1   2 ut 2   3 ut 3   4 ut 4   5 ut 5   t Аналогично определяется автокорреляционный процесс других порядков. Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. Последствия автокорреляции 1) Хотя оценки МНК коэффициентов регрессии останутся несмещенными, они уж не будут эффективными 2) Оценки МНК для стандартных отклонений коэффициентов регрессии будут смещенными, чаще всего вниз, т.е будут заниженными. 3) Статистики t и F будут неадекватными. Следствием заниженности оценок стандартных отклонений коэффициентов является завышенность t – статистик. Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. Причины автокорреляции 1) Инертность экономических показателей. 2) Ошибки спецификации модели, заключающиеся в невключении в модель существенных переменных. 3) The Cobweb effect (паутинообразный эффект). 4) «Манипулирование данными». Сглаживание данных. Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. Выявление автокорреляции Способы выявления автокорреляции первого порядка 1) Визуальный 2) С использованием статистики Дарбина - Уотсона Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. Визуальный способ выявления автокорреляции Способы выявления автокорреляции первого порядка Оцениваем коэффициенты уравнения регрессии с помощью МНК и сохраняем остатки et, t = 1,…,T. et    et et              t    t положительная отрицательная автокорреляция автокорреляция Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С.        t нет автокорреляции Визуальный способ выявления автокорреляции положительная автокорреляция отрицательная автокорреляция et     et et    нет автокорреляции        et 1            et 1 Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С.           et 1 Статистика Дарбина - Уотсона T d 2 ( e  e )  t t 1 t 2 T e t 1 2 t Соответствие между значениями ρ и d. Для больших выборок Нет автокорреляции d  2  2 (ρ ≈ 0) Положительная автокорреляция (ρ ≈ 1) Отрицательная автокорреляция (ρ ≈ – 1) где ρ – параметр в Марковской схеме : Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. d 2 d 0 d 4 ut  ut 1   t Статистика Дарбина - Уотсона Нет автокорреляция Положительная автокорреляция dL dU dcrit 2 Отрицательная автокорреляция 4-dU 4-dL dcrit 4 Если d < dL, то имеет место положительная автокорреляция. Если d > 4 – dL, то имеет место отрицательная автокорреляция. Если dU < d < 4 – dU, то гипотеза об отсутствии автокорреляции не отклоняется, т.е. заключаем, что у нас нет автокорреляции. Серым цветом выделены зоны неопределенности. Если d попадает в зону между dL и dU, то вывод об отсутствии / наличии автокорреляции сделать невозможно. Если d попадает в зону между 4 – dU и 4 – dL то вывод об отсутствии / наличии автокорреляции сделать невозможно. Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. Статистика Дарбина - Уотсона Положительная а/к Нет а/k Отрицательная a/k d=2,871 Пример 1. 1,133 1,263 dcrit 2 2,737 2,867 dcrit 4 По данным за 30 периодов построено уравнение регрессионной зависимости «расходов на потребление» от «доходов»: y^ = 8,324 + 0,652*x Получены следующие результаты: Σet2 = 9053,19 Σ(et –et-1)2 = 25 992,975 При α=0,01, n=30 и k’=1 нижнее значение dL = 1,133, верхнее dU = 1,263 (**) k’ = k-1 (количество оцененных параметров -1); – количество объясняющих переменных, не включая константу. d = DW_расчетное = 25992,975 / 9053,19 = 2,871 Поскольку d > 4 - dL = 2,867 (d=2,871 > 2,867), следовательно, имеются основания считать, что присутствует отрицательная автокорреляция. Т.е при оценке методом МНК у нас возникают сложности, обозначенные на слайде 57! Необходимо использовать др. методы оценки регрессии или корректировать автокорреляцию. ** См. файл «DW-statistics.doc», стр. 3. Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. Статистика Дарбина - Уотсона Положительная а/к Нет а/k Отрицательная a/k d=2,24 1,273 1,446 2 2,554 dcrit 2,727 dcrit Пример 2. По данным за 24 месяца построено уравнение регрессии зависимости прибыли сельскохозяйственной организации от производительности труда (x1): y^ = 300 + 5x. Получены следующие промежуточные результаты: Σet2 = 18500 Σ(et –et-1)2 = 41500 Рассчитайте критерий Дарбина-Уотсона. Сделайте выводы. При α=0,05, n=24 и k’=1. нижнее значение dL = 1,27, верхнее dU = 1,45 (**). k’ = k-1 (количество оцененных параметров не включая константу). 4 d = DW = 41500/18500 = 2,24 Поскольку dU < d < 4 - dU = 2,554 (1,446 < d < 2,554), следовательно, имеются основания считать, что автокорреляция отсутствует. Это является одним из подтверждений высокого качества полученного уравнения регрессии y^ = 300 + 5x. И значит последствия наличия автокорреляции, перечисленные в на слайде 57, нам не страшны (у нас их просто нет). ** См. файл «DW-statistics.doc», стр. 3. Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С. Неприменимость статистики Дарбина - Уотсона Статистика Дарбина –Уотсона неприменима, если • В уравнении нет свободного члена (т.е. константы) • Имеется стохастический регрессор (например, Yt-1) • Возмущения удовлетворяют авторегрессионной схеме не первого, а большего порядка. Эконометрика. Осень 2020. Кеткина О.С.