Динамика сооружений

ДИНАМИКА СООРУЖЕНИЙ 1. Введение в динамику сооружений Колебания представляют одну из наиболее распространенных форм движения. Колеблются ветви деревьев, зажатая в тисках металлическая пластинка, колеблются качели, вагоны на рессорах при движении, вода и предметы на ней. Колеблются здания и сооружения от ветра, землетрясения, от работы различных машин и механизмов. При колебании сооружения величины и знаки внутренних усилий (напряжений) непрерывно меняются, что может привести к быстрому разрушению отдельных элементов, частей или всего сооружения. Динамика сооружений изучает механические колебания сооружений. Как теоретическая наука, она разрабатывает различные методы и 110 алгоритмы расчета сооружений на динамические воздействия. В то же время она является прикладной наукой и решает конкретные задачи. Среди решаемых динамикой сооружений задач самыми важными являются четыре задачи динамики: 1) определение частот и форм собственных колебаний; 2) проверка на резонанс; 3) проверка динамической прочности; 4) проверка динамической жесткости. Решение задач динамики намного сложнее решения задач статики, т.к. приходится учитывать дополнительный фактор – время. При расчете на колебания сооружение рассматривается как колебательная система. Колебательные системы делятся на два типа. Диссипативная система – это система, у которой происходит диссипация (рассеивание) энергии. Консервативная система – это система, у которой рассеиванием энергии пренебрегают. Простейшей моделью консервативной колебательной системы является система из пружины и массы (рис. 21.1 а). Жесткость пружины r характеризует упругость системы, а масса m – ее инерционные свойства. Простейшей моделью диссипативной системы является система из пружины, вязкого элемента и массы (рис. 21.2). Сила сопротивления c, возникающая в вязком элементе, стремится остановить колебания системы. Такой элемент называют демпфером (или амортизатором). Поэтому диссипативную систему часто называют демпфированной системой. Рис. 21.1 Рис. 21.2 2. Степень свободы и расчетная модель колебательной системы Под степенью свободы в динамике сооружений понимается направление возможного независимого перемещения отдельной массы. В отличие от понятия степени свободы в статике сооружений (например, в кинематическом анализе), при определении динамических степеней 111 свободы учитываются и деформации элементов. Число динамических степеней свободы Wдин – это наименьшее число параметров, необходимых для определения положения всех масс системы. Если рассматривать сооружение как систему из бесконечного числа элементарных масс, получим систему с бесконечным числом динамических степеней свободы. Расчет колебаний даже простейших систем (балок, плит или оболочек) по такой континуальной модели является непростой задачей. Поэтому в динамике сооружений расчетную модель стараются выбирать в виде системы с сосредоточенными массами. Массы сооружения можно дискретизировать по-разному. Иногда, сосредоточив распределенную массу сооружения только в нескольких точках, можно достаточно точно рассчитать простейшие колебания. Массу сооружения обычно сосредотачивают в характерных точках, где действуют наибольшие нагрузки. Если положение таких точек установить трудно, места и величины сосредоточенных масс могут быть найдены из условия равенства энергий всей системы и ее дискретной модели. Сосредоточенные массы, определяемые таким способом, называются приведенными массами. Большие массы, сосредоточенные на сооружении (грузы, различные машины, станки, оборудование и др.) рассматриваются как кусковые массы. Приведенные и кусковые массы плоской системы имеют три степени свободы: они могут совершать колебания в двух независимых взаимноперпендикулярных направлениях и вращаться относительно центра массы. Если вращение (крутильное колебание) массы не учитывать, получим точечную массу. Число степеней свободы точечной массы равно двум. Рассмотрим ряд примеров. 1. Шарнирно-опертая балка (рис. 21.3 а) из бесконечного числа состоит элементарных масс dm, положение которых определяют бесконечное число перемещений y(x). Поэтому Wдин =∞. Если же массу балки сосредоточить в одной точке, положение точечной массы m будет определять один параметр – перемещение ym (рис. 21.3 б). Тогда Wдин =1. Если массу балки сосредоточить в трех точках, то поРис. 21.3 ложение масс m1, m2, m3 будут определять три параметра y1, y2, y3 (рис. 21.3 в). Поэтому у этой системы Wдин =3. 2. Водонапорная башня (рис. 21.4 а) и одноэтажная рама (рис. 21.4 в). У них основные массы расположены наверху. Поэтому их можно рассматривать как колебательные системы с одной массой и одной 112 степенью свободы, т.е. принять Wдин =1 (рис. 21.4 б, г). Рис. 21.4 Рис. 21.5 3. Дымовую трубу с распределенной массой (рис. 21.5 а) нельзя рассматривать как динамическую систему только с одной степенью свободы, так как это приводит к неточным результатам. Ее следует рассматривать как систему с достаточно большим числом степеней свободы (рис. 21.5 б) и принять Wдин =n. 3. Основные виды и характеристики колебаний В колебательной системе происходит периодический переход одного вида энергии в другой, когда потенциальная энергия (энергия, зависящая от положения системы) переходит в кинетическую энергию (энергию движения) и наоборот. Наглядное представление колебательного процесса можно получить, если построить график колебаний отдельной массы в координатах t (время) и y (перемещение). Если в колебательную систему будет поступать внешняя энергия, колебания будут нарастающими (рис. 21.6 а). Если к консервативной системе внешняя энергия не поступает, колебания будут незатухающими (рис. 21.6 б). Если энергия системы уменьшается (например, за счет трения в диссипативной системе), колебания будут затухающими (рис. 21.6 в). Рис. 21.6 113 Важной характеристикой колебательного процесса является форма колебаний. Форма колебаний – это кривая, показывающая положение точек колебательной системы относительно положения равновесия в фиксированный момент времени. Простейшие формы колебаний можно и наблюдать. Например, видны формы колебаний провода, висящего между двумя столбами, или струны гитары. Колебания, происходящие при отсутствии внешней нагрузки, называются свободными колебаниями. Свободные колебания диссипативной системы являются затухающими, потому что ее полная энергия убывает. Энергия консервативной системы остается постоянной, и ее свободные колебания будут незатухающими. Однако в природе консервативных систем не существует, поэтому их колебания изучаются только теоретически. Свободные колебания консервативных систем называются собственными колебаниями. Периодические колебания – это колебания, удовлетворяющие условию y(t)=y(t+T). Здесь T – период колебаний, т.е. время одного колебания. Периодические колебания имеют и другие важные характеристики. Например, амплитуда a – это половина размаха колебания: a=(ymax – ymin )/2, круговая частота ω – число колебаний за 2π секунды, техническая частота f – число колебаний за одну секунду. Гармонические колебания – это колебания, изменяющиеся по закону y(t) = a sin(ω t + ϕ) или y(t) = a cos( ω t + ϕ ). Здесь ω t + ϕ – фаза колебаний, ϕ – начальная фаза. Вынужденные колебания возникают под воздействием внешних сил. Вибрация – это вынужденные колебания, происходящие с относительно малой амплитудой и не слишком малой частотой. 4. Виды динамических нагрузок Колебания сооружения возникают от динамических нагрузок. В отличие от статических, динамические нагрузки изменяются с течением времени по величине, направлению или положению. Они сообщают массам системы ускорения, вызывают инерционные силы, что может привести к резкому возрастанию колебаний, и в итоге – к разрушению всего сооружения или его частей. Рассмотрим основные виды динамических нагрузок. Периодическая нагрузка – это нагрузка, прикладываемая к сооружению через определенный период. Источниками периодических нагрузок являются различные машины и механизмы: электродвигатели, металлообрабатывающие станки, вентиляторы, центрифуги и др. Если их вращающиеся части не уравновешены, то они при работе вызывают гармоническую нагрузку (нагрузку, изменяющуюся по закону синуса или косинуса). Такая нагрузка называется вибрационной нагрузкой. Поршневые компрессоры и насосы, штамповочные машины, дробилки, 114 копры и др. создают негармоническую нагрузку. Импульсная нагрузка создается взрывом, падающим грузом или частями силовых установок (молотов, копров и др.). Подвижная нагрузка создается железнодорожным составом, автомобильным транспортом и др. Весьма опасными являются недетерминированные (случайные) нагрузки. Это – ветровые, сейсмические, взрывные нагрузки. 5. Методы динамики сооружений Напряженно-деформированное состояние (НДС) колеблющегося сооружения постоянно меняется с течением времени. Чтобы проследить эти изменения, составляются дифференциальные уравнения колебаний. Существуют различные методы получения таких уравнений. а) Кинетостатический метод В этом методе уравнения колебаний системы составляются на основе принципа Даламбера, согласно которому уравнения динамического равновесия можно получить из уравнений статического равновесия добавлением инерционных сил, равных произведению массы на ускорение и направленных в противоположную ускорениям сторону. б) Кинематический метод Когда в сооружении имеются одновременно сосредоточенные и распределенные массы, записать уравнения равновесия сложно. Тогда используется кинематический метод, основанный на принципе возможных перемещений: работа всех сил системы на ее возможных перемещениях равна нулю. в) Энергетический метод Основан на законе сохранения механической энергии, согласно которой сумма потенциальной и кинетической энергий колебательной системы постоянна во времени: U + К = const. Этот метод используется при решении задач о собственных колебаниях упругих консервативных систем. 115 КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ 1. Вывод уравнения движения Изучим колебания невесомой балки (рис. 22.1 а) с точечной массой m под действием динамической нагрузки P = P(t ) . При учете только изгибных деформаций такую балку можно рассматривать как колебательную систему с одной динамической степенью свободы. Рис. 22.1 Рассмотрим движение массы относительно ее исходного положения равновесия. Для этого воспользуемся кинетостатическим методом, по которой, согласно принципу Даламбера, к уравнению статического равновесия добавляется инерционная сила (рис. 22.1 б): P – J – R – R* = 0,  где J = my – сила инерции, y − ускорение, R – сила упругости балки, R* – сила сопротивления среды движению массы. Так как во время колебаний система находится в движении, оно называется уравнением движения. Силу упругости R можно определить из решения задачи статики в двух формах − в форме метода перемещений и в форме метода сил. Вначале применим метод перемещений. С этой целью в свободном правом конце балки введем вертикальную связь и дадим ей такое же перемещение y, какое возникает при колебаниях (рис. 22.1 в). Реакция этой связи будет равна силе отпора балки R. Если балка упругая, эта сила пропорциональна отклонению балки y: R=ry, где r − упругая характеристика балки, называемая жесткостью. Она равна реакции в связи при ее смещении на единицу (рис. 22.1 г). Подставив в уравнение движения выражения сил инерции и 116 упругости, получим уравнение вынужденных колебаний системы с одной степенью свободы в форме метода перемещений: my + ry + R* = P . Для применения метода сил рассмотрим другое состояние балки, когда в направлении колебаний массы приложена единичная сила (рис. 22.1 д). Перемещение этой точки под действием единичной силы называется податливостью. Обозначим его буквой δ. На основании теоремы о взаимности работ, возможная работа сил состояния “г” (рис. 22.1 г) на перемещениях состояния “д” (рис. 22.1 д) равна возможной работе сил состояния “д” на перемещениях состояния “г”, т.е. r ⋅ δ = 1⋅ 1. Отсюда получим уравнение связи между податливостью и жесткостью r=1/δ . Подставим его в уравнение колебаний в форме метода перемещений. После деления на m имеем 1 R* P y + y+ = . m m mδ Если обозначить 1 = ω2 , mδ получим окончательный вид уравнения вынужденных колебаний системы с одной степенью свободы в форме метода сил: R* P y + ω2 y + = . m m Полученные уравнения движения системы с одной степенью свободы в формах метода перемещений и метода сил позволяют вести расчет простейших сооружений на колебания. Выбор конкретного метода зависит от особенностей системы и определяется самим расчетчиком. 2. Собственные колебания Собственные колебания рассматриваются при P=0, R*=0. В таком случае уравнение колебаний принимает вид .. y + ω2 y = 0 . Его общее решение будет: y=A sinω t + B cosω t . Если сделать замены A=a cosϕ, B=a sinϕ , получим y=a sin(ω t+ϕ). Таким образом, собственные колебания являются гармоническими. Определим их начальную фазу φ и амплитуду a. Пусть при t=0 117 известны начальное отклонение y0 и начальная скорость v0. Тогда . y0 =a sin φ, v0 = y (0) = aω cos φ. y tg ϕ v0 Из них имеем 0 = и = a cos ϕ . v0 ω ω Поэтому 2 ωy ⎛v ⎞ tg ϕ = 0 , y02 + ⎜ 0 ⎟ = a 2 sin 2ϕ + cos 2ϕ = a 2 . v0 ⎝ω ⎠ ( ) Следовательно, v02 ωy0 2 ϕ = arc tg , a = y0 + 2 . v0 ω Если вес массы равен G, а ускорение свободного падения g, то G=mg. К тому же, вес G вызывает статический прогиб, определяемый по формуле yст=G⋅δ. Поэтому имеем 1 g ⋅1 g g ω2 = = = = . mδ g ⋅ mδ Gδ yст Эти формулы позволяют найти частоту из решения статической задачи. Из полученных формул вытекают следующие выводы: 1) начальная фаза и амплитуда зависят от начальных условий; 2) частота и период собственных колебаний системы не зависят от начальных условий; 3) при увеличении жесткости системы частота собственных колебаний возрастает, а при увеличении массы – уменьшается. 3. Свободные колебания Колебаниям сооружения оказывает сопротивление внутреннее трение, возникающее в связях между элементами и в самих элементах. Закономерности внутреннего трения пока изучены недостаточно. Поэтому для его учета используются различные гипотезы. Например, по гипотезе линейно-вязкого трения сила внутреннего трения R* принимается пропорциональной скорости деформации v (рис. 22.2): R* = cv = cy . Принятый в этой гипотезе коэффициент пропорциональности c называется коэффициентом демпфирования. Гипотеза линейно-вязкого трения впервые была выдвинута Фойгтом, поэтому ее часто называют гипотезой Фойгта. Рис. 22.2 118 Недостатком гипотезы Фойгта является то, что коэффициент демпфирования c не является физической постоянной материала и зависит от распределения масс и жесткостей колебательной системы, а вследствие этого зависит и от частоты колебаний. При свободных колебаниях (когда P=0) и использовании гипотезы Фойгта уравнение колебаний системы с одной степенью свободы будет c y + y + ω2 y = 0 . m Если обозначить α = c 2m , получаем y + 2α y + ω2 y = 0 . Введенный здесь коэффициент α называется коэффициентом затухания. В отличие от коэффициента демпфирования c, он является постоянным для материала и определяется из эксперимента. Общее решение полученного уравнения ищем в форме Эйлера: y = Ae kt . После его подстановки получим характеристическое уравнение k 2 + 2kα + ω2 = 0 , корни которого k1, 2 = −α ± α 2 − ω2 дают три возможных решения. а) Малое демпфирование (α < ω ) В этом случае корни уравнения комплексно-сопряженные. Поэтому общее решение уравнения имеет вид: y = e −α t ( A sin ω d t + B cos ω d t ) , где ωd = ω2 − α 2 называется частотой демпфированной системы. График этой функции имеет вид (рис. 22.3). Из него видно, что при малом демпфировании колебания идут с постоянной частотой ωd и периодом Td = 2π ωd , а амплитуды постепенно затухают. Быстроту затухания колебаний можно оценить, если найти отношение амплитуд через один период: αT yi ae −α t = −α ( t +T ) = e d . Рис. 22.3 yi +1 ae d Как видим, амплитуды колебаний убывают по геометрической прогрессии, и тем быстрее, чем больше α. Натуральный логарифм этого отношения называется логарифмическим декрементом затухания: 119 yi = α Td . yi +1 Для различных материалов и сооружений быстрота затухания колебаний различна, что видно из следующей таблицы. Таблица 2 Быстрота и логарифмический декремент затухания колебаний δd = ln Типы сооружений yi/yi+1 δd Железобетонные 1,37 0,314 Кирпичные 1,28 0,25 Деревянные 1,17 0,157 Здания 1,17 0,157 Метал. Металбашни, личесмачты кие 1,17 1,08 0,157 0,078 Метал. облегч. покрыт. 1,06 0,063 Быстрота затухания зависит также от состояния сооружения, качества материала, уровня напряженности элементов и т.д. Величину δd определяют экспериментально. Так как круговая частота свободных колебаний определяется по формуле ω d = ω2 − α 2 , то она всегда меньше частоты собственных колебаний ω. С другой стороны, в обычных строительных конструкциях α бывает значительно меньше ω. Поэтому можно принять ω d ≈ ω . Естественно, период затухающих колебаний Td бывает несколько больше периода собственных колебаний T. Однако при малых α его также можно принять равным периоду собственных колебаний системы, т.е Td ≈ T. Следовательно, при определении частот, периодов и форм свободных колебаний многих сооружений демпфирование можно не учитывать. Но это недопустимо при определении перемещений, скоростей и ускорений, которые уменьшаются тем быстрее, чем больше α. б) Критическое демпфирование (α = ω ) В этом случае корни характеристического уравнения вещественны и равны: k1, 2 = −α = −ω . Тогда общее решение уравнения свободных колебаний будет y = e −ω t ( A + Bt ) . График этой функции представлен на рис. 22.4. Из него видно, что отклоненная масса, чуть качнувшись, постепенно приближается к исходному положению. Значит, движение системы в этом случае будет неколебательным и постепенно угасающим. Такое движение называется апериодическим Рис. 22.4 движением. 120 в) Большое демпфирование (α > ω ) При этом корни характеристического уравнения вещественны и отрицательны. Не вдаваясь в расчет, отметим, что и в этом случае колебания отсутствуют, и система совершает апериодическое движение. Итак, при переходе от малого демпфирования к большому свободные колебания системы прекращаются. Таким образом, критическое демпфирование определяет минимальную величину демпфирования, при котором колебания не возникают. Большое демпфирование имеют лишь сооружения, в которые введены специальные устройства − демпферы (вязкие элементы с большим сопротивлением) с целью исключения нежелательных колебаний. Величину минимального сопротивления демпферов, необходимых для исключения колебаний, вычисляют из условия критического демпфирования α=0. КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ (продолжение) 4. Вынужденные колебания без демпфирования Если при действии динамической нагрузки P=P(t) не учитывать силы сопротивления, получим дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами P y + ω2 y = . m Общее решение этого уравнения равно сумме общего решения однородного и частного решений неоднородного уравнений: y = yод +yч , где yод совпадает с решением уравнения собственных колебаний yсоб, а частное решение зависит от вида динамической нагрузки. Последнее будем искать разложением нагрузки на сумму мгновенных импульсов. 121 а) Действие мгновенного импульса Пусть на находящуюся в покое систему с массой m в момент времени τ воздействует мгновенный импульс S=mv (рис. 23.1). После этого система начнет свободно колебаться. Если не учитывать силы сопротивления среды, колебания будут гармоническими: yч=a sin(ω t+ϕ ). В момент воздействия импульса масса еще не успевает изменить свое положение, однако Рис. 23.1 сообщает ей некоторую скорость. Значит, yτ=t=0, vτ=t=S/m. По этим условиям определяем начальную фаза и амплитуду: ϕ=–ωτ , a=S /mω . Таким образом, воздействие мгновенного импульса приводит к колебанию массы по гармоническому закону S yч = sin ω ( t − τ ) mω Рис. 23.2 с частотой ω и периодом T (рис. 23.2). б) Действие произвольной силы Если на систему действует нагрузка, изменяющаяся по закону P(t), ее можно представить как сумму бесконечно большого числа мгновенных импульсов S = P( τ )dτ (рис. 23.3). Тогда решение определится как интеграл t 1 yч = P( t )sin ω ( t - τ ) dt . Рис. 23.3 mω ∫0 Это выражение называется интегралом Дюамеля. в) Действие вибрационной нагрузки Пусть действует вибрационная нагрузка, изменяющаяся по закону P(t)=P0 sinθt. Подстановка этой функции в интеграл Дюамеля дает t 1 P sinθ τ ⋅ sinω ( t − τ ) dτ . yч = mω ∫0 0 После интегрирования этого выражения общее решение будет P0 y = yод + yч = yсоб + ( θ sin ωt – ω sinθ t) . m ω( θ 2 − ω2 ) Первое слагаемое правой части этого выражения yсоб и слагаемое в скобках θ sin ωt относятся к собственным колебаниям с частотой ω. Из-за 122 наличия демпфирования эти колебания достаточно быстро затухают. Поэтому в общем решении им можно пренебречь и оставить только второе слагаемое из выражения в скобках. Тогда получим P0 sinθ t y= . m( ω2 − θ 2 ) P 1 1 Так как ω 2 = , то = ω 2δ и 0 = ω 2δ P0 = ω 2 yст . Поэтому имеем mδ m m P0 sin θ t ω2 yст sinθ t 1 y= = = yст sinθ t . 2 2 2 2 m( ω − θ ) ω −θ 1 − ( θ / ω )2 Из этой формулы следует, что когда θ→ω, то y→∞. Такое резкое увеличение перемещений при колебаниях называется резонансом. В действительности перемещения сооружения бесконечно большими быть не могут, т.к. существует демпфирование. Тем не менее, амплитуды колебаний могут быть значительными, что может привести к разрушению сооружения. Чтобы этого не случилось, стремятся избежать резонанса. Резонанс системы можно оценить через отношение максимального динамического перемещения к статическому перемещению: max yдин 1 μ= = . yст 1 − ( θ / ω )2 Оно называется коэффициентом динамичности (или динамическим коэффициентом). Как следует из формулы, резонанса не будет, если отношение частоты вибрационной силы θ к частоте ω отличается от единицы. Согласно некоторым нормам, потребуем, чтобы они отличались не менее чем на 20%. В этом случае должно выполняться условие θ ≥ 0,2 , ω которое определяет так называемую резонансно-опасную зону (на рис. 23.4 это – заштрихованная область). 1− Рис. 23.4 123 5. Вынужденные колебания с учетом демпфирования Если внутреннее трение идеализируется по гипотезе Фойгта, дифференциальное уравнение вынужденных колебаний системы с одной степенью свободы принимает вид P y + 2α y + ω2 y = . m Его решение равно сумме общего решения однородного и частного решения неоднородного уравнений: y =yод+yч. Решение однородного уравнения (уравнения свободных колебаний) нам известно. Частное решение неоднородного уравнения, также как и ранее, получим на основе теории мгновенного импульса. Для краткости ограничимся лишь рассмотрением малого демпфирования (когда α<ω), наиболее характерного для сооружений. а) Действие мгновенного импульса После действия мгновенного импульса S в момент времени τ система будет находиться в состоянии свободных колебаний при начальных условиях yt =τ = 0 , vt =τ = yt =τ = S m . А решение уравнения свободных колебаний для случая α<ω нами было получено и имеет вид y = ae −α t sin ( ωd t + ϕ d ) , где ωd = ω 2 − α 2 . Поэтому y = ae −α t ⎡⎣ωd cos ( ωd t + ϕ d ) − α sin ( ωd t + ϕ d ) ⎤⎦ . Используя начальные условия, получаем ϕd = −ωd τ ; a = S e ατ / mωd . С учетом этого, уравнение движения системы будет S e−α ( t −τ )sin [ ωd ( t − τ )] . mωd Из него следует, что колебания будут происходить с постоянной частотой ωd и быстро затухать. y= б) Действие произвольной нагрузки Определяя частное решение неоднородного уравнения, силу P = P(t) представим как сумму бесконечно большого числа мгновенных импульсов (рис. 23.1). Принимая в предыдущем решении S=P(τ) и интегрируя в интервале (0÷t), получим интеграл Дюамеля в виде t 1 yч = P( τ) e−α (t −τ)sin [ ωd (t − τ)] dτ . ∫ m ωd 0 124 Тогда полное перемещение массы будет t 1 P( τ) e−α (t − τ)sin [ ωd (t − τ)] dτ . y = yод + yч = ae sin ( ωd t + ϕd ) + ∫ m ωd 0 Если подинтегральная функция интегрируема аналитически, то реакция сооружения определяется непосредственно. Для случаев, когда функция P(t) задается сложной функцией или графически, эта задача решается приближенно, используя численные методы. −α t в) Действие вибрационной нагрузки При действии вибрационной нагрузки P(t)=P0 sinθt дифференциальное уравнение вынужденных колебаний принимает вид P y + 2α y + ω 2 y = 0 sinθ t . m Определение его частного решения из интеграла Дюамеля достаточно сложно. Задача упрощается, если решение искать в форме yч = C sin( θ t + ϕ 1 ) . Тогда получается следующий результат (без учета затухающих свободных колебаний): ω 2 yст y = yч = sin( θ t + ϕ1 ) . 2 2 2 2 2 ( θ − ω ) + 4α θ Из анализа этой формулы можно сделать некоторые выводы: 1) после установления колебаний вынужденные колебания идут с частотой возмущающей силы; 2) амплитуда колебаний не зависит от начальных условий; 3) при вынужденных колебаниях системы с демпфированием имеет место сдвиг фазы ϕ между действующей силой P и перемещением y. 1 Определим динамический коэффициент: max yдин ω2 = . μ= 2 2 2 2 2 yст ( θ − ω ) + 4α θ Его наибольшее значение достигается при θ 2 = ω 2 − 2α 2 : ω2 1 μ max = = , 2 2 2 γ 1− γ / 4 2α ω − α где γ = 2α / ω − коэффициент неупругого сопротивления. Графики изменения динамического коэффициента μ при разных значениях коэффициента неупругого сопротивлеРис. 23.5 ния γ показаны на рис. 23.5. 125 Из последней формулы и графика μ следует, что в системах с демпфированием: 1) амплитуды колебаний имеют конечную величину; 2) вне пределов резонансно-опасной зоны демпфирование мало влияет на динамический коэффициент; 3) в резонансно-опасной зоне (0,8 ≤ θ/ω ≤ 1,2) демпфирование существенно влияет на амплитуду колебаний, если γ < 0,4 ; при проектировании сооружений желательно избегать этой зоны, подбирая соотношения размеров и жесткостей отдельных элементов или вводя специальные виброгасители и т.п. КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 1. Вывод уравнения движения Рассмотрим невесомую балку с n точечными массами (рис. 24.1 а). Рис. 24.1 При изучении только вертикальных колебаний балки ее можно рассматривать как колебательную систему с n динамическими степенями свободы. Если на массы будут действовать динамические силы P1=P1(t), ..., Pn=Pn(t), в них возникнут инерционные силы J 1 = m1  y1 , …, J n = mn  yn , а со стороны балки будут действовать силы упругости R1, ..., Rn и силы сопротивления R1* , …, Rn* . Из условия равновесия сил (рис. 24.1 б) получим J i + Ri + Ri* − Pi = 0 , где i = 1, n . Если силы упругости Ri определить по методу сил и все n уравнений объединить в систему, получим матричное уравнение δmy+ y + δR ∗ = δP , 126 которое является уравнением вынужденных колебаний системы со многими степенями свободы в форме метода сил. По виду оно соответствует уравнению колебаний системы с одной степенью свободы. Однако здесь все обозначения матричные: m – матрица масс, δ – матрица податливости, δm=d – динамическая матрица, y – вектор перемещений, P – вектор нагрузки, R* – вектор сил сопротивления: ⎡m ⎢ 1 ⎢ m=⎢ ⎢ ⎢0 ⎣ m2 0 ⎤⎥ ⎥ ⎥,  ⎥ mn ⎥⎦ ⎡δ 11 δ 12 ⋅⋅⋅ δ 1n ⎤ ⎡ d11 d12 ⎢δ ⎥ ⎢d δ ⋅⋅⋅ δ 21 22 2n ⎥ , d = ⎢ 21 d 22 δ=⎢ ⎢ ⋅ ⎢ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⎥ ⋅ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣δ n1 δ n2 ⋅⋅⋅ δ nn ⎦ ⎣ d n1 d n2 ⎡ y1 ⎤ ⎢y ⎥ y = ⎢ 2⎥, ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ yn ⎦ ⎡ P1 ⎤ ⎢P ⎥ P = ⎢ 2⎥ , ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎣ Pn ⎦  d1n ⎤  d 2n ⎥⎥ ,  ⋅ ⎥ ⎥  d nn ⎦ ⎡ R1* ⎤ ⎢ *⎥ ⎢R ⎥ R∗ = ⎢ 2 ⎥ . ⎢ ⎥ ⎢ R* ⎥ ⎣ n⎦ 2. Собственные колебания При P=P*=0 получим уравнение собственных колебаний .. d y+ y = 0 , которое является системой n дифференциальных уравнений. Его решение ищется в виде суммы n частных решений: y = n n i=1 i=1 ∑ y i = ∑ a i sin ( ω t + ϕ ), где вектора ai – формы собственных колебаний. Подстановка этого решения в исходное уравнение приводит к вековому уравнению ( d − λ E ) ai = 0 , где λ = 1 / ω 2 – собственное значение матрицы d. Это матричное уравнение в обычной записи представляет собой систему однородных алгебраических уравнений ⎧(d11 − λ )a1i + d12 a2i +…+ d1n ani = 0, ⎪ d a +(d − λ )a +…+ d a = 0, ⎪ 21 1i 22 2i 2n ni ⎨ ……………………………………… ⎪ ⎪⎩ d n1a1i + d n2 a2i +…+(d nn − λ )ani = 0, которая имеет два типа решения: 1) тривиальное решение a1i=a2i=...=ani=0; тогда колебаний не будет; 127 2) неопределенное решение; для уравнений должен равняться нулю: d12 ⎡(d11 − λ) ⎢ d 21 (d 22 − λ) det ( d − λ E ) = det ⎢ ⎢ ⋅ ⋅ ⎢ d n2 ⎣⎢ d n1 этого определитель системы ⎤ ⎥  d 2n ⎥ = 0. ⎥ ⋅  ⎥  (d nn − λ) ⎦⎥  d1n Если раскрыть этот определитель, получим полином n-ной степени относительно λ: λ n − q1 λ n -1 + q2 λ n - 2 −  + ( – 1)n -1qn −1 λ + ( − 1)n qn = 0 . Такой полином имеет n корней λ1, …, λn, которые называются собственными значениями динамической матрицы d. Запишем собственные значения в порядке убывания: λ1 ≥ λ2 ≥  ≥ λn . Так как λ = 1 / ω2 , то ωi = 1 λi . Поэтому круговые частоты колебаний расположатся в порядке возрастания: ω1 ≤ ω2 ≤  ≤ ωn . Эта последовательность ω1 , ω2 , , ωn называется спектром частот, а наименьшая частота ω1 называется основной частотой. Таким образом, динамическая система с n степенями свободы имеет n частот собственных колебаний (n собственных частот). Для практических целей наиболее важными являются несколько наименьших, так называемых низших частот собственных колебаний. Каждой собственной частоте соответствует своя форма собственных колебаний. Для их определения собственные значения λi нужно поочередно подставлять в систему алгебраических уравнений. Но во всех случаях определитель системы уравнений будет равняться нулю. Поэтому одно уравнение отбрасывают, а амплитуду одной из масс считают условно определенной (например, можно принять a1=1). Тогда из оставшихся уравнений можно вычислить амплитуды остальных масс. Формы собственных колебаний динамической системы (рис. 24.2 а) можно представить графически, откладывая амплитуды масс (рис. 24.2 б): Рис. 24.2 128 3. Вынужденные колебания при вибрационной нагрузке Пусть на систему действуют вибрационные силы Pi = Pi sin θt . Соберем их в общий вектор P = P sinθt , где P = { P1  Pn } – амплитудные (наибольшие) значения вибрационных сил, θ – их круговая частота. Тогда уравнение вынужденных колебаний примет вид .. δm y + y = δP . Его общее решение равняется сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения: y = y од + y ч = y св + y вын . Как и в системах с одной степенью свободы, свободные колебания быстро затухают: y св → 0 . Поэтому после установления колебаний они будут совершаться с частотой вибрационной силы: y = y sinθt . Здесь y = { y1  yn } – вектор амплитуд колебаний масс. Если учесть, что .. y = −θ 2 y sinθt и что δP = δP sin θ t = y cт sin θ t , то уравнение вынужденных колебаний примет вид −θ 2 δm y + y = δ P . Из него можно найти вектор амплитуд колебаний: y = (E− θ 2 δm)-1 y cт . Однако, если частота вибрационной силы θ будет близка к одной из собственных частот ωi , то определитель матрицы в скобках становится близким к нулю. Это приводит к резкому увеличению амплитуд колебаний масс, т.е. является следствием резонанса. В системе с n степенями свободы возможны n резонансных состояний (рис. 24.3). Рис. 24.3 129 При проверке динамической прочности сооружения необходимо определять действующие на систему максимальные силы. Из соотношения  = −θ 2 my J = my следует, что амплитудные (максимальные) значения инерционных сил J изменяются по такому же закону: J = −θ 2 m y . Отсюда 1 y = − 2 m-1 J . θ Тогда, учитывая что δP = y cт , уравнение вынужденных колебаний принимает вид 1 (δ − 2 m –1 )J = y ст . θ В обычной записи это уравнение является системой n алгебраических уравнений * ⎧ δ11 J 1 + δ12 J 2 +  + δ1n J n = y1, ст , ⎪ ⎪⎪δ21 J 1 + δ*22 J 2 +  + δ2n J n = y2, ст , ⎨ ⎪  ⎪ * ⎪⎩δn1 J 1 + δn2 J 2 +  + δnn J n = yn, ст , где δ ii* = δ ii − 1 , (i = 1,n) miθ 2 и называется системой канонических уравнений расчета на вибрационную нагрузку. Из него определяются максимальные значения инерционных сил J i . После этого вычисляются обобщенные силы, действующие на систему Qi = Pi − J i , затем максимальные значения внутренних усилий, а по ним проводится проверка прочности. Порядок расчета на вибрационную нагрузку Расчет на вибрационную нагрузку обычно состоит из решения трех задач динамики: 1) расчет на собственные колебания – определение частот и форм собственных колебаний из уравнения det ( d − λ E ) = 0 ; 2) проверка на резонанс по условию 3) проверка динамической прочности ωi − θ ≥ 0,3 ; ωi max σ дин max M дин = < [σ дин ] . W При необходимости решается четвертая задача динамики – проверка динамической жесткости по условию yi<[yi].