Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной. Уравнения с разделяющимися переменным

1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной. Уравнения с разделяющимися переменными Основные понятия Определение Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой значения независимой переменной x, неизвестной функции y = f(x) и её производных (или дифференциалов): (1) F ( x, y, y , y ,..., y (n) )  0 ; (все три переменные x, y, F - действительны). Определение Порядком уравнения называется максимальный порядок n входящей в него производной (или дифференциала). (4) Пример: y – y + x = 0 - уравнение четвёртого порядка. Определение Частным решением уравнения (1) на интервале (a, b) (конечном или бесконечном) называется любая n раз дифференцируемая функция y  (x) , удовлетворяющая этому уравнению, т.е. обращающая уравнение на этом интервале в тождество. x (4) Так, функция y(x) = e + x обращает уравнение : y – y + x = 0 в тождество на всей (4) x x x числовой оси (y (x) = e ; e –(e +x) + x = 0), т.е. является частным решением этого уравнения. Любое уравнение порядка n  1 имеет множество частных решений (частным решением приведённого уравнения является и функция y(x) = sin(x) + x). Процедуру решения дифференциального уравнения часто называют интегрированием уравнения, при этом интегрировать приходится в общем случае ровно n раз, и при каждом интегрировании в решение входит очередная произвольная постоянная. Определение Общим решением (общим интегралом) уравнения (1) называется такое соотношение ( x, y, C1 , C 2 ,..., C n )  0 , (2) что: 1. Любое решение (2) y  ( x, C1 , C 2 ,..., C n ) относительно y (для набора постоянных C1, C2, …, Cn из некоторой области n-мерного пространства) - частное решение уравнения (1); 2. Любое частное решение уравнения (1) может быть получено из (2) при некотором наборе постоянных C1, C2, …, Cn. Мы будем в основном рассматривать дифференциальные уравнения в форме, разрешённой относительно старшей производной: y (n)  f ( x, y, y , y ,..., y (n 1) ) ; и получать общее решение в форме y  ( x, C1 , C 2 ,..., C n ) , решённой относительно неизвестной функции. (3) (4) Уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка первой степени можно, разрешив относительно производной, представить в виде: dy  f ( x, y ) dx dy Дифференциальное уравнение  f ( x, y ) устанавливает зависимость между dx координатами точки и угловым коэффициентом dy касательной к графику в той же точке. Зная x и y, dx dy можно вычислить . Следовательно, dx дифференциальное уравнение рассматриваемого вида определяет поле направлений (см. рис.) и задача интегрирования дифференциального уравнения заключается в том, чтобы найти кривые, называемые интегральными кривыми, направление касательных к которым в каждой точке совпадает с направлением поля. dy y Пример 1.  dx x В каждой точке, отличной от точки (0; 0), угловой коэффициент касательной к y искомой интегральной кривой равен отношению , т.е. x совпадает с угловым коэффициентом прямой, направленной из начала координат в ту же точку (x,y). На рисунке стрелками изображено поле направлений, определяемое рассматриваемым уравнением. Очевидно, что интегральными кривыми в данном случае будут прямые y = cx, так как направления этих прямых всюду совпадают с направлением поля. dy Пример 2  x2  y 2 dx Для построения поля направлений найдем геометрическое место точек, в которых касательные к искомым интегральным кривым сохраняют постоянное направление. Такие dy линии называются изоклинами. Уравнение изоклин получим, считая  k , где k – dx постоянная; x 2  y 2  k или x 2  y 2  k 2 . Следовательно, в данном случае изоклинами являются окружности с центром в начале координат, причем угловой коэффициент касательной к искомым интегральным кривым равен радиусу этих окружностей. Для построения поля направлений дадим постоянной k некоторые определенные значения (см. рис. слева). Теперь можно уже приближенно провести искомые интегральные кривые (см. рис. справа). Во многих задачах, в частности почти во всех задачах геометрического характера, переменные x и y совершенно равноправны. Поэтому в таких задачах, если они сводятся к dy решению дифференциального уравнения  f ( x, y ) , естественно наряду с этим dx уравнением рассматривать также уравнение dx 1  dy f ( x, y ) Если оба эти уравнения имеют смысл, то они эквивалентны, так как если функция dy y = y(x) является решением уравнения  f ( x, y ) , то обратная функция x = x(y) является dx dx 1  решением уравнения , и, следовательно, оба уравнения имеют общие dy f ( x, y ) интегральные кривые. Если же в некоторых точках одно из уравнений теряет смысл, то в таких точках естественно его заменять другим из этих уравнений dy y Например, уравнение теряет смысл при x = 0. Заменив его уравнением  dx x dx x  , правая часть которого уже не теряет смысла при x = 0, находим в дополнении к dy y ранее найденным решениям y = cx еще одну интегральную кривую x = 0 этого уравнения. Уравнения с разделяющимися переменными Дифференциальные уравнения вида f 2 ( y)dy  f1 ( x)dx называются уравнениями с разделяющимися переменными. Функции f1(x) и f2(y) будем считать непрерывными. Предположим, что y(x) является решением этого уравнения, тогда при подстановке y(x) в уравнение получим тождество, интегрируя которое, будем иметь:  f ( y)dy   f ( x)dx  c 2 где c – произвольная постоянная. 1 Мы получили конечное уравнение, которому удовлетворяют все решения f 2 ( y)dy  f1 ( x)dx , причем каждое решение является решением обоих уравнений, так как если некоторая функция y(x) при подстановке обращает конечное уравнение в тождество, то, дифференцируя это тождество, обнаружим, что y(x) удовлетворяет и начальному уравнению. Конечное уравнение Ф(x, y) = 0, которое определяет решение y(x) дифференциального уравнения как неявную функцию x, называется интегралом рассматриваемого уравнения. Если конечное уравнение определяет все без исключения решения данного дифференциального является общим уравнения. интегралом  f ( y)dy   f ( x)dx  c 2 1 Следовательно, уравнение f 2 ( y)dy  f1 ( x)dx . уравнения  f ( y)dy   f ( x)dx  c 2 Для 1 того, чтобы определяло y как неявную функцию x, достаточно потребовать, чтобы f2(y) ≠ 0. Вполне возможно, что в некоторых задачах неопределенные интегралы  f ( x)dx 2  f ( y)dy 1 и нельзя будет выразить в элементарных функциях, тем не мене мы и в этом случае будем считать задачу интегрирования дифференциального уравнения f 2 ( y)dy  f1 ( x)dx выполненной в том смысле, что мы ее свели к более простой и уже изученной в курсе интегрального исчисления задаче вычисления неопределенных интегралов – квадратур. Если надо выделить частное решение, удовлетворяющее условию y(x0) = y0, то оно, очевидно, определится из уравнения y x f 2 ( y )dy   f1 ( x)dx  y0 x0 которое получим из y x  f ( y)dy   f ( x)dx  c 2 y0 1 x0 Воспользовавшись начальным условием y(x0) = y0. Пример 1 xdx  ydy  0 Переменные разделены, так как коэффициент при dx является функцией только x, а коэффициент при dy является функцией только y. Интегрируя, получим  xdx   ydy  c или x 2  y 2  c12 – семейство окружностей с центром в начале координат. 2 dy Пример 2. e x dx  ln y Интегрируя получаем dy x2  e dx   ln y  c Интегралы x  e dx и 2 dy  ln y не берутся в элементарных функциях, тем не менее исходное уравнение считается проинтегрированным, так как задача доведена до квадратур. Уравнения вида 1 ( x) 1 ( y)dx  2 ( x) 2 ( y)dy , в которых коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от x и только от y, называются дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными, так как путем деления на  1 ( y)2 ( x) они приводятся у уравнению с разделенными переменными: 1 ( x)  ( y) dx  2 dy 2 ( x)  1 ( y) Заметим, что деление на  1 ( y)2 ( x) может привести к потере частных решений, обращающих в нуль произведение  1 ( y)2 ( x) , а если функции  1 ( y) и 2 ( x) могут быть разрывными, то возможно появление лишних решений, обращающих в нуль множитель 1 .  1 ( y )2 ( x) Пример 3. x(1  y 2 )dx  y(1  x2 )dy  0 Разделяем переменные и интегрируем: ydy xdx ydy xdx   c ;  2 2 2 1 y 1 x 1 y 1  x2 ln(1  y 2 )  ln(1  x2 )  ln c1 ; 1  y 2  c1 (1  x 2 ) dx  4t x dt Найти решение x(t), удовлетворяющее условию x(1)=1. Разделяем переменные и интегрируем: Пример 4. x t dx 1 2 x  1 2tdt , x  t2 , x  t4