Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной

Лекция 2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной 2.1 Общие понятия Пусть имеем дифференциальное уравнение первого порядка F ( x, y, y )  0 . (2.1) Уравнение (2.1) не разрешено относительно производной. Уравнение вида y   f ( x, y ) , (2.2) где f ( x, y) - заданная функция двух переменных x и y , называется дифференциальным уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной. Наряду с уравнением (2.2) рассматривают дифференциальное уравнение dy  f ( x, y)dx  0 (2.3) или уравнение M ( x, y)dx  N ( x, y)dy  0 , (2.4) получаемое из (2.3) путем умножения на некоторую функцию Предполагается, что в (2.4) функции аргументов. M ( x, y) и N ( x, y) N ( x, y)  0 . - известные функции своих Заметим, что решениями уравнений (2.3) и (2.4) являются функции y  y(x) или x  x( y ) , обращающие эти уравнения в тождества. F1 ( x, y, y)  0 и F2 ( x, y, y)  0 называются эквивалентными в некоторой области D изменения величин x, y , y , если всякое Два дифференциальных уравнения решение одного из этих уравнений является решением другого уравнения и наоборот. При преобразовании дифференциальных уравнений необходимо следить за тем, чтобы преобразованное уравнение было эквивалентным исходному. Общим решением дифференциального уравнения (2.2) является однопараметрическое семейство функций y   ( x, C ) , зависящее от одной произвольной постоянной C . Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения y  x . (2.5) Общим решением будет семейство x2 y  C . (2.6) 2 1 y   ( x, x0 , y0 ) , в котором роль произвольной постоянной играет значение y0 искомой функции y при фиксированном значении x0 независимой переменной x , называется общим решением в форме Коши. Общее решение Пример 2. Найти общее решение уравнения (2.5) в форме Коши. Полагая в (2.6) x  x0 , y  y0 , определим C  y0  x02 2 и, подставляя это значение в (2.6), получим общее решение уравнения (2.5) в форме Коши: x2 x02 y  y0  2 2 . В процессе интегрирования дифференциального уравнения (2.2) часто получается общий интеграл, т.е. соотношение  ( x, y, C )  0 , неявно задающее общее решение. Пример 3. Решить уравнение y   x . (2.7) y Преобразуем уравнение (2.7) к виду интеграл ydy  xdx  0 . Отсюда легко находится общий y2 x2   C  0 . (2.8) 2 2 Если общее решение (общий интеграл) уравнения (2.2) может быть найдено в виде неопределенных интегралов от элементарных функций, то говорят, что уравнение интегрируется в квадратурах. Замечание. Поскольку часто вместо выражения «решить дифференциальное уравнение» используют выражение «проинтегрировать дифференциальное уравнение», то чтобы избежать путаницы, операцию взятия неопределенного интеграла называют квадратурой. Для выделения частного решения  ( x, y, C0 )  0 y   ( x, C0 ) или частного интеграла уравнения (2.2) надо решить задачу Коши с начальным условием y ( x0 )  y0 , (2.9) позволяющим определить конкретное значение постоянной C. Пример 4. Решить задачу Коши Подставляя y (0)  1 для уравнения (2.5). x0  0, y0  1 в общее решение (2.6), найдем значение искомое частное решение будет иметь вид y C0  1 , поэтому x2  1. 2 Пример 5. 2 y (2)  4 Решить задачу Коши для уравнения (2.7). При подстановке начальных значений значение C0  10 x0  2, y0  4 и записываем частный интеграл в общий интеграл (2.8) определяем y 2 x2   10  0 . 2 2 2.2 Существование и единственность решения задачи Коши Теорема 2.1 Коши-Пикара y  f ( x, y ) Пусть дано уравнение области и поставлена задача Коши D : x  x0  a, y  y0  b выполняются условия: 1) функция f ( x, y) непрерывна по совокупности переменных; 2) функция f ( x, y) удовлетворяет условию Липшица где K y ( x0 )  y0 . Если в f ( x, y2 )  f ( x, y1)  K y2  y1 , - постоянная (константа Липшица), то существует единственное решение удовлетворяющее условию h  min{ a, y   (x) рассматриваемого уравнения, y0   ( x0 ) , по крайней мере в окрестности x  x0  h , где b } , M  max f ( x, y) D M . Замечания. 1). Для выполнения условия Липшица в области непрерывной частной производной f . y D достаточно существования в D Действительно, по теореме Лагранжа о конечном приращении имеем f ( x, y2 )  f ( x, y1)  f ( x, y1   ( y2  y1))( y2  y1) , где 0    1 , поэтому y f ( x, y2 )  f ( x, y1 )  max D K  max D f f ( max D y y f y2  y1 y и в качестве константы Липшица можно взять существует, так как функция, непрерывная в замкнутой области, ограничена). 2) Условие Липшица более слабое условие, чем непрерывность Например, для уравнения дифференцируема по y y  2 y cos x в точках функция ( x0 ,0) , x0   2 f . y f ( x, y)  2 y cos x  k , k  0,1,, не но условие Липшица в окрестности этих точек выполняется, поскольку f ( x, y2 )  f ( x, y1)  2 y2 cos x  2 y1 cos x  2 cos x y2  y1  2 y2  y1 K  2. , 3 3) Теорема Коши-Пикара дает достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши (2.9) для уравнения (2.2). 4) Если в теореме Коши-Пикара отказаться от выполнения условия 2), то получим теорему Пеано существования решения задачи Коши. Т е о р е м а 2 . 2 П е а н о . Пусть дано уравнение y  f ( x, y ) и поставлена задача y ( x0 )  y0 . Если функция f ( x, y) непрерывна по совокупности переменных в некоторой окрестности точки ( x0 , y0 ) , то в этой окрестности существует по крайней мере одно решение y   (x) рассматриваемого уравнения, удовлетворяющее условию y0   ( x0 ) . Коши Пример 6. Решить уравнение y  2 y (2.10) и выделить интегральные кривые, проходящие через точки (0,1) и (0,0) , выяснив предварительно вопрос о существовании и единственности этих кривых. Уравнение (2.10) определено в области разделим переменные y  0 . Найдем его общее решение. Для этого dy  2 y, dx dy  dx . 2 y Прямая y0 - решение, для y0 имеем y  xC или y  ( x  C )2 , x  C  0 . Таким образом, общее решение уравнения (2.10) записывается в виде  y  ( x  C )2 , x  C  0;  y  0 (2.11) Интегральные кривые уравнения (2.10) представлены на рис.2.1. y x Рисунок 2.1 Выясним, во всех ли точках области определения задача Коши для уравнения (2.10) имеет единственное решение. Для этого проверим выполнение условий 1) и 2) теоремы Коши-Пикара. 4 Для уравнения (2.10) функция функция f 1  y 2 y f ( x, y)  y разрывна при непрерывна во всей области определения, y  0 , то есть во всех точках ( x0 ,0) оси x может быть нарушена единственность решения задачи Коши. y (0)  1 для уравнения (2.10). В точке (0,1) условия теоремы КошиПикара выполняется. Подставим начальные условия x 0  0, y0  1 в общее решение Решим задачу Коши (2.11) 1  C 2 , C  0;  1  0. Из первого условия находим C  1, то есть через точку (0,1) проходит решение y  ( x  1)2 , x  1  0 . Второе условие означает, что решение y  0 не проходит через точку (0,1) . Таким образом, рассматриваемая задача Коши имеет единственное решение. Теперь решим задачу Коши Коши-Пикара. y(0)  0 . В точке (0,0) нарушается условие 2) теоремы Подставим начальные условия в общее решение (2.11) 0  C 2 , C  0  0  0. Первое условие определяет решение точку (0,0) проходит решение y1  x 2 , x  0 , второе условие означает, что через y2  0 . Таким образом, через точку (0,0) проходят, по крайней мере, две интегральные кривые и, следовательно, единственность решения задачи Коши нарушается. Более того, поставленная задача Коши имеет бесчисленное множество решений, так как решениями будут, в частности, 0, x  0 y3   2 x , x  0 , 0, x  1 и аналогичные им. y4   2, x  1 ( x  1 )  Такие составные функции являются решениями, так как они всюду имеют производную (в точке стыка правая производная равна левой) и всюду удовлетворяют данному уравнению. Точка ( x, y ) , в которой задача Коши (2.9) для дифференциального уравнения (2.2) имеет единственное решение, называется обыкновенной точкой. Точка ( x, y ) , в которой задача Коши не имеет решения или имеет неединственное решение, называется особой точкой. Отметим, что в примере 6 точка (0,1) - обыкновенная, точка (0,0) - особая. 2.3 Особые решения уравнения (2.2) Вернемся к примеру 6. 5 Рассмотрим решение y0 дифференциального уравнения (2.10) может быть получено ни при каком значении C y  2 y . Оно не из семейства общего решения y  ( x  C )2 , x  C  0 . Но через каждую его точку ( x0 ,0) проходит определенная интегральная кривая y  ( x  x0 ) 2 , x  x0  0 из семейства общего решения со значением C   x0 . Получаем, что каждая точка решения y  0 особая. Решение, содержащее континуум особых точек, называется особым решением. Таким образом, решение y0 дифференциального уравнения (2.10) является особым. График особого решения называется особой интегральной кривой. Если в некоторой области D для дифференциального уравнения (2.2) выполняются условия 1) и 2) теоремы Коши-Пикара, то через каждую точку ( x0 , y0 ) в D проходит единственная интегральная кривая этого уравнения, особых решений быть не может. Чтобы найти особые решения уравнения (2.2), надо: 1) найти геометрическое место точек, в которых нарушается непрерывность функций f ( x, y) и (или) f ; y 2) если это множество точек образует одну или несколько кривых, проверить, являются ли они решениями уравнения (2.2); 3) если это решения, то проверить, нарушается ли в каждой их точке свойство единственности. Для этого выбираем на кривой I , подозрительной на особое решение, произвольную точку M 0 ( x0 , y0 ) и подставляем её в общий интеграл ( x, y, C )  0 уравнения (2.2), получаем ( x0 , y0 , C )  0 . Разрешаем это соотношение относительно C . Возможны случаи: 1) C не существует – через любую точку M 0 ( x0 , y0 ) кривой I не проходит никакая кривая из семейства общего интеграла, все точки кривой I обыкновенные, кривая I обыкновенное решение, которое необходимо приписать к семейству общего интеграла; 2) C является константой – через любую точку M 0 ( x0 , y0 ) кривой I проходит одна и та же кривая из семейства общего интеграла, то есть кривая I - обыкновенное решение, уже содержащееся в семействе общего интеграла; 3) C  Ñ ( x0 , y0 ) – через каждую точку M 0 ( x0 , y0 ) кривой I проходит определенная кривая из семейства общего интеграла, все точки кривой I особые, кривая I - особое решение, которое необходимо приписать к семейству общего интеграла. Именно так было исследовано выше решение y  0 уравнения (2.10) в примере 6. Сначала было показано, что y  0 - решение уравнения (2.10), и во всех его точках ( x0 ,0) нарушается непрерывность функции f , следовательно y  0 - решение, y подозрительное на особое. Далее было проверено, что через каждую его точку проходит определенная интегральная кривая общего решения со значением y  ( x  x0 )2 , x  x0  0 ( x0 ,0) из семейства C   x0 . На основании этого был сделан вывод, что решение y  0 является особым. 6 2.4 Геометрическая интерпретация уравнения (2.2) Уравнение (2.2) f ( x, y) угла  y   f ( x, y ) каждой точке ( x, y ) из области определения функции y   f ( x, y ) , задающее тангенс y  y(x) в точке ( x, y ) и ставит в соответствие определенное число между касательной к интегральной кривой положительным направлением оси y 0x (рис. 2.2) y  y(x) ( x, y )  x Рисунок 2.2 Таким образом, направление касательной к интегральным кривым уравнения (2.2) однозначно задается самим дифференциальным уравнением. Если в каждой точке изобразить это направление единичным вектором, то получится поле направлений. С геометрической точки зрения решение задачи Коши (2.9) y ( x0 )  y0 для уравнения (2.2) y   f ( x, y ) состоит в отыскании такой кривой, проходящей через точку чтобы касательная к ней в каждой точке имела направление, совпадающее с направлением поля в этой точке. ( x0 , y0 ) , Поскольку наклон касательной к интегральной кривой в каждой точке области D определен однозначно, то интегральные кривые дифференциального уравнения (2.2), разрешенного относительно производной, не могут пересекаться. Если задача Коши в некоторой точке имеет неединственное решение и через эту точку проходят две или более интегральные кривые, то они в этой точке касаются. Если решение уравнения (2.2) является особым, то геометрически оно является огибающей семейства интегральных кривых, определяемых его общим интегралом  ( x, y, C )  0 . Замечание. Огибающей семейства кривых  ( x, y, C )  0 называется такая кривая, которая в каждой своей точке касается некоторой кривой этого семейства и каждой дуги которой касается бесконечное множество кривых этого семейства. Отсюда следует второй способ отыскания кривых, подозрительных на особые решения уравнения (2.2): найти огибающую семейства кривых, образующих общий интеграл уравнения.  ( x, y, C )  0 этого Кривая, которая может быть огибающей, находится из системы 7  ( x, y, C )  0    ( x, y, C ) 0  C (2.12) исключением параметра C. Далее следует проверить, является ли она решением уравнения (2.2) и нарушается ли в каждой её точке свойство единственности. Пример 7. Найдем для уравнения (2.10) y  2 y кривую, подозрительную на особое решение, вторым способом. Используя вид (2.11) семейства общего решения уравнения (2.10) y  ( x  C )2 , x  C  0 , записываем систему  y  ( x  C )2  0   2( x  C )  0. (2.13) C , получаем y  0 . Эта прямая является решением уравнения (2.10). Как показано выше, через любую точку ( x0 ,0) решения y  0 проходит интегральная кривая y  ( x  x0 )2 , x  x0  0 из семейства общего решения. Следовательно, y  0 - особое решение, являющееся огибающей семейства кривых y  ( x  C ) 2 , x  C  0 общего Исключая решения. Пример 8. Решить уравнение dy 1  y 2  (2.14) dx 2 Уравнение (2.14) определено во всей плоскости x , y . Найдем его общее решение. Для этого разделим переменные 2dy  dx 1 y2 Непосредственной подстановкой в дифференциальное уравнение (2.14) проверяем, что прямые y  1 являются решениями. Интегрируя, находим общий интеграл  1 y  x  C, ln 1  y  y 1   y  1   Для уравнения (2.14) функции f ( x, y )  f 1 y2  2 y непрерывны во всей области и y 2 определения, следовательно, особых решений нет. 8 2.5 Приближенное построение интегральных кривых методом изоклин Поле направлений, определяемое дифференциальным уравнением (2.2) y   f ( x, y ) , позволяет приближенно построить интегральные кривые. Для этого используется метод изоклин. Изоклина определенного наклона это геометрическое место точек плоскости которых направление поля одно и то же. x, y , в Семейство изоклин дифференциального уравнения (2.2) определяется соотношением f ( x, y)  k , где k - числовой параметр, задающий тангенс угла между касательной к интегральной кривой y  y(x) в точке ( x, y ) и положительным направлением оси 0x . Придавая параметру k близкие числовые значения, получаем достаточно густую сеть изоклин, с помощью которых можно приближенно построить интегральные кривые. Полезно проверять непосредственной подстановкой в дифференциальное уравнение, не являются ли изоклины интегральными кривыми. Среди всех изоклин выделяются две главные изоклины: 1) изоклина 0 горизонтального наклона: 2) изоклина  вертикального наклона: f ( x, y)  0 ; 1  0. f ( x, y) Они позволяют выделить области монотонности интегральных кривых. Действительно, интегральные кривые возрастают там, где y  0 , то есть f ( x, y)  0 , и убывают – где y  0 , то есть f ( x, y)  0 . Смена знака y и может быть только при переходе через  . Изоклина 0 0 горизонтального наклона является линией экстремумов интегральных y  0 . Чтобы отличить точки максимума от точек минимума, f f dy f f вычислим y  в силу уравнения (2.2): y       f ( x, y) . На линии x y dx x y f f f  0 , имеем точки минимума, где  0 - точки экстремумов y  . Там, где x x x кривых, поскольку на ней максимума. Линия, определяемая уравнением f f   f ( x, y)  0 , получаемым из условия x y y  0 , является геометрическим местом точек перегиба интегральных кривых, если не является интегральной кривой. Интегральные кривые обращены вогнутостью вверх там, где y  0 , то есть f f   f ( x, y)  0 , и обращены вогнутостью вниз, где y  0 , то есть x y f f   f ( x, y)  0 . x y Замечания. 9 1) Если в точке ( x0 , y0 ) значение f ( x0 , y0 )   , а 1  0 , то поле имеет в точке f ( x0 , y0 ) вертикальное направление. При построении интегральных кривых естественно присоединить такие точки к области определения и допустить существование интегральных кривых, имеющих вертикальные касательные, то есть учесть решения ( x0 , y0 ) перевернутого уравнения dx 1   g ( x, y ) . dy f ( x, y ) 2) Метод изоклин не позволяет выявить особые решения дифференциального уравнения (2.2), поэтому в окрестности кривых, подозрительных на особые решения, необходимо провести дополнительные исследования. Пример 9. Построим приближенно методом изоклин интегральные кривые уравнения (2.14) dy 1  y 2  . dx 2 Изоклина  0 горизонтального наклона имеет две ветви y  1 и y  1 , причем они являются интегральными кривыми (обращают уравнение (2.14) в тождество по x ). Так как особых решений нет, то остальные интегральные кривые их не касаются. Изоклина вертикального наклона Ветви 0  не существует. разбивают плоскость x, y на три области монотонности интегральных кривых: при y  1 и y  1 интегральные кривые убывают, при  1  y  1 - возрастают. Прямые y  1 и y  1 являются их асимптотами. Поскольку ветви изоклины экстремума. 0 являются интегральными кривыми, на них нет точек Найдем линии перегиба интегральных кривых: y  f f ( y)(1  y 2 ) y( y  1)( y  1)   f ( x, y)  0    0. x y 2 2 Получаем, что точки перегиба могут находиться на прямых y  0 и y  1 . Так как y  1 - интегральные кривые, то на них не может быть точек перегиба (интегральные кривые их не пересекают), следовательно, линией перегиба является только прямая y  0 . При y  1 и 0  y  1 интегральные кривые вогнуты вниз ( y  0 ), при  1  y  0 и y  1 - вогнуты вверх ( y  0 ). Полученные данные позволяют приближенно построить интегральные кривые уравнения (2.14) (см. рис. 2.3). 10 Рис. 2.3 Пример 10. Построить интегральные кривые уравнения dy x  . dx 1  y 2 Функция f ( x, y )  x определена при y  1 . Для y  1 она обращается в  , но 1 y2 1 dx 1 y 2  0 . Поэтому при y  1 будем рассматривать уравнение .  f ( x, y ) dy x Функция g ( x, y )  1 y2 определена при x  0 . x Таким образом, областью определения считаем всю плоскость x, y , кроме точек ( 0,1 ), ( 0,1 ). f 2 xy g 1 y2   2 Поскольку непрерывна при y  1 , а при y  1 y (1  y 2 ) 2 x x непрерывна, если x  0 , то особых решений нет, точки ( 0,1 ), ( 0,1 ) – особые точки. Главные изоклины   y  1   x0 x0 и  :  0 :   y  1  y  1  x  0  разбивают плоскость x, y на шесть областей монотонности интегральных кривых: y  0 при x  0 , y  1; x  0 , y  1 ; y  0 при x  0 , y  1 ; x  0 , y  1. Изоклина 0 является геометрическим местом точек экстремума интегральных кривых. При y  1 на ней лежат точки минимума, при y  1 - точки максимума. Интегральные кривые представлены на рис. 2.4. 11 Рис. 2.4 Замкнутость интегральных кривых, охватывающих точку ( 0,1 ), следует из симметрии интегральных кривых относительно оси oy (исходное уравнение не меняется при замене x на  x , dy dy на  ). dx dx Замечание. Интегральные кривые симметричны относительно оси ox , если исходное уравнение не dy dy на  . Для рассматриваемого уравнения (2.14) это dx dx условие не выполняется. Симметрии относительно оси ox нет. меняется при замене y на  y , 12