Диагностика и надежность автоматизированных систем

ДИАГНОСТИКА И НАДЕЖНОСТЬ АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ СИСТЕМ Диагностика отрасль знаний, включающая в себя теорию и методы организации процессов диагноза, а так же принципы построения средств диагноза Когда объектом диагноза является объекты технической природы, говорят о технической диагностике. 2 Техническая диагностика область знаний, разрабатывающая методы и средства поиска отклонений в режимах работы (или состояниях) автоматических системах, обнаружения и устранения дефектов в системах (или ее элементах) и средства их локализации 3 Структура технической диагностики Техническая диагностика Теория распознавания Алгоритмы распознавания Диагностические модели Правила решения Теория контролеспособности Диагностическая информация Поиск неисправностей Контроль состояния 4 НАДЕЖНОСТЬ АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ СИСТЕМ 5 Свойства системы • Надежность • Безотказность • Долговечность • Ремонтопригодность • Сохраняемость Состояния системы • Работоспособность • Исправность • Неисправность • Отказ 6 вероятность безотказной работы вероятность отказа частота отказов интенсивность отказов средняя наработка до отказа 7 Вероятность безотказной работы системы (ВБР) P(t) P(t )  P(T  t ), где t – время, в течение которого определяется ВБР; Т – время работы АС от ее включения до первого отказа. 8 Вероятность отказа (ВО) Q(t) Q( t )  P( T  t ) Отказ и безотказная работа являются событиями несовместимыми и противоположными. Поэтому Q(t )  1  P(t ). 9 Частота отказов f(t) f (t )   P (t )  Q (t ); / / t Q (t )   f (t )dt; t P(t )  1   f (t )dt. 10 Интенсивность отказов l(t) f (t ) l (t )  P(t ) 11 Взаимосвязь интенсивности отказов и вероятности безотказной работы t P(t )  e   l ( t ) dt Средняя наработка до отказа  Tср   P(t )dt. 13 При l (t )  l  сonst  ln P(t ) l ; t 1 T  ср l Показатели надежности восстанавливаемых систем: параметры работы системы до первого отказа: • вероятность безотказной работы; • интенсивность отказов; • средняя наработка до отказа параметры продолжительности работы системы между отказами: •средняя наработка на отказ; •параметр потока отказов; • гамма-процентная наработка на отказ параметры ремонтопригодности системы: • вероятность восстановления • интенсивность восстановления • среднее время восстановления • комплексные показатели надежности (коэффициенты надежности, оперативной готовности, технического использования) 15 Параметр потока отказов w(t) n( Dt ) w( t )  N  Dt где n(Dt) –число отказавших образцов в интервале времени t  Dt / 2 ; N – число испытываемых элементов; Dt – интервал времени. 16 Наработка на отказ   tcp    ti  / n  i 1  n где ti – время исправной работы элемента между i-1 и i-м отказами; n - число отказов за некоторое время t Время исправной работы t1 t0 Начало эксплуатации t3 t2 t1 t2 Первый отказ t3 t4 Второй отказ t4 t5 t6 Третий отказ t t7 n - отказ 17 Гамма - процентная наработка на отказ Tg Tg   ln Pg l g Pg  100% 18 Вероятность восстановления S(t) S (t )  P(tв  t ) 19 Среднее время восстановления tв m 1 tв  tвi  m i 1 где tвi- время, затраченное на отыскание и устранение отказов ; m- количество восстановлений 20 Интенсивность восстановленияm(t) m (t )  1t в 21 Коэффициент готовности доля времени на большом интервале времени, когда система была работоспособна K г  tp /(tp  tп ) n где tр - время исправной работы: t p   t pi i 1 tп –время вынужденного простоя: tп  n t i 1 пi 22 K г  tср /(tсp  tв ) K г  Tcр /(Tcp  tв ) Функция готовности системы выполнять заданные эксплуатационные задачи: m l Pг (t )   exp[ (l  m )t ]; lm lm Pг (t )  K г  (1  K г ) exp( t / K г tв ), где K г  Tcр /(Tcp  tв ) - коэффициен т готовности; l  1 / Tcp  интесивнос ть отказов системы ; m  1 / tв  интесивнос ть восстановл ения системы Коэффициент вынужденного простоя Kп  tп /( tp  tп ) Kп  1 K г 25 Коэффициент оперативной готовности KОГ  K г  P(t ) 26 Коэффициент технического использования K ти  t p / tоэ где tоэ – общая (календарная) продолжительность эксплуатации, включающая время исправной работы, время простоев, обусловленных тех. обслуживанием, ремонтом, контролем тех. состояния и профилактикой 27 Классификация отказов 28 По характеру изменения параметра до момента возникновения отказа По возможности последующего использования после возникновения отказа По связи с другими отказами По наличию внешних проявлений По причине возникновения По характеру устранения отказа • внезапный, • постепенный • полный • частичный • независимый • зависимый • очевидный (явный) • скрытый (неявный) • конструкционный • технологический • эксплуатационный • устойчивый • самоустраняющийся (сбой) По природе происхождения • естественный • искусственный По времени возникновения • испытания • нормальная эксплуатация 29 • период приработки Показатели технической эффективности  вероятность поставленной задачи выполнения  объем выполненной работы  число объектов, управляемых данной системой в заданный промежуток времени  время обработки и передачи заданного объема информации 30 ОЦЕНКА СОСТОЯНИЯ АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ СИСТЕМ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ РАСЧЕТОВ НАДЕЖНОСТИ Законы распределения случайной величины Функция распределения случайной величины X (интегральный закон) – функция вида: F ( x )  p ( X  x) Производная от функции распределения (дифференциальный закон): dF ( x) f ( x)  ; dx x  f ( x)dx  F ( x)   Условие нормирования  f ( x)dx  1;  32 f(t) P(t) F(t) P(t) Q(t) 1 t0 t Tcp t q p t f(t) – плотность распределения сроков службы; F(t)- интегральная функция распределения; P(t)- вероятность безотказной работы 33 Ординаты интегральной функции распределения F(t) характеризуют вероятность отказа : t F (t )  Q(t )   f (t )dt Основная характеристика положения математическое ожидание M[t]  f(t) - Tcp  M [t ]   f (t )dt Основная характеристика мощности рассеивания случайной величины относительно M[t] - дисперсия  D     (Tcp  t ) f (t )dt 2 2 l I вид II вид III вид характеристики характеристики характеристики нормальная эксплуатация износ (старение) приработка t Теоретические законы распределения для непрерывных случайных величин для дискретных случайных величин •экспоненциальный; •нормальный; •гаммараспределение; •закон Вейбулла; •закон Релея • биноминальный; • закон Пуассона 36 Экспоненциальное распределение Exp(λ) Плотность вероятности распределения: f (t )  l exp( lt ) Функция распределения: F (t )  1  exp( lt ) 37 Экспоненциальное распределение Exp(λ) Вероятность работоспособного состояния: P(t )  exp( lt ) 38 Экспоненциальное распределение Exp(λ) Математическое ожидание и дисперсия соответственно равны: M (t )  Tcp  1 / l D( t )  1 / l 2 39 1 F(t) 1 P(t) 0.9 0.9 0.7 0.7 0.6 0.6 0.5 0.5 0.4 0.4 0.3 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 f(t) 0.8 P(t) F(t) 0.8 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 λ(t) 0.018 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0.02 0.019 0.016 0.018 0.014 0.017 0.012 0.016 l f(t) 0.01 0.015 0.008 0.014 0.006 0.013 0.004 0.012 0.002 0.011 40 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0.01 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Нормальное распределение N(m,σ ) m  3σ Плотность вероятности:  (t  Tcp )  1 f (t )  exp   2 2   2   2 где Tcp - средняя наработка до отказа 41 Нормальное распределение N(m,σ ) m  3σ Функция распределения: 1 F (t )   2 [ e  ( t Tcp ) 2 2 2 ] dt  42 Нормальное распределение N(m,σ ) m  3σ Значение функции распределения определить по формуле: можно F (t )  Q(t )  0.5  Ф(u) где u  (t  Tcp ) /  Вероятность отсутствия отказа за время t: P(t )  1  Q(t )  0.5  Ф(u) 43 F(t) 1 1 P(t) 0.9 0.9 0.8 0.8 0.7 0.7 0.6 0.5 P(t) F(t) 0.6 0.5 0.4 0.4 0.3 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 20 40 60 80 100 120 f(t) λ(t) 0.02 20 40 60 80 100 120 0.12 0.018 0.1 0.016 0.014 0.08 l f(t) 0.012 0.01 0.06 0.008 0.04 0.006 0.004 0.02 0.002 20 40 60 80 100 120 10 20 30 40 50 60 70 80 44 90 100 Г(a , b ) Гамма распределение Плотность вероятности отказов устройства: f (t )  t a 1 a b Г (a ) exp( t / b ) где a и b – параметры Гамма-распределения: Г (a )   x a 1  x e dx - гамма-функция 45 Г(a , b ) Гамма распределение Вероятность отказа и вероятность безотказного a i t Q(t )  1   i exp( t / b ) i 0 i! b a 1 i t P(t )  exp( t / b ) i i 0 i! b 46 Г(a , b ) Гамма распределение Среднее время работы устройства до отказа: Tcp  aT0  ab Интенсивность отказов устройства: a 1 l (t )  t a 1 i t b Г (a ) i i 0 i! b a 47 1 1 F(t) P(t) a1 0.9 0.9 0.8 0.8 0.7 0.7 0.6 0.6 P(t) F(t) a1 0.5 a1 0.5 0.4 0.4 0.3 0.3 a1 a1 0.2 0.2 0.1 0.1 a1 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 2 λ(t) f(t) 1.8 0.5 1.6 1.4 0.4 1.2 f(t) l1 l 0.3 1 0.8 l1 0.2 0.6 a1 a1 0.4 l1 0.1 0.2 48 a1 1 2 3 4 5 6 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Распределение Вейбулла W(a , b) Плотность вероятности отказов распределения определяется: данного a 1 at a f (t )  a exp( t / b ) b где a – параметр формы распределения b1/l0-масштабный параметр распределения 49 Распределение Вейбулла W(a , b) Вероятность отсутствия отказов за время t равна: a P(t )  exp( t / b ) Интенсивность отказов: a a 1 l (t )  a t b 50 W(a , b) Распределение Вейбулла Средняя наработка определяется: до первого отказа Tcp  bГ (1/a  1) 51 F(t) 1 1 P(t) 0.9 a1 0.9 0.8 0.8 a1 0.7 0.7 a1 0.6 a1 P(t) F(t) 0.6 0.5 0.5 a1 0.4 0.4 0.3 0.3 a1 0.2 0.2 0.1 0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2 3 6 λ(t) f(t) 2.5 5 2 4 1.5 l f (t) a1 3 a1 2 1 a1 a1 1 0.5 a1 a1 52 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Распределение Релея Функция плотности распределения отказов: R(λ) вероятности f (t )  2tl exp( lt ) 2 53 Распределение Релея R(λ) Вероятность безотказной работы за время t равна: 2 P(t )  exp( lt ) Интенсивность отказов: l (t )  2tl Средняя наработка до первого отказа: Tcp   4l 54 1 1 F(t) P(t) 0.8 0.7 0.7 0.6 0.6 0.5 0.5 0.4 0.4 0.3 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 f(t) 0.9 0.8 P(t) F(t) 0.9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.25 λ(t) 1 2 3 0.5 1 1.5 4 5 6 7 8 9 10 0.7 0.6 0.2 0.5 0.15 l f(t) 0.4 0.3 0.1 0.2 0.05 0.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 2.5 3 3.5 4 4.5 55 5 Биноминальное распределение Если p - вероятность появления события А, 1-p=q - вероятность не появления события, n - число независимых испытаний, то вероятность появления испытаниях будет: m событий в 56 Биноминальное распределение m P n где C m n  n m  C n p ( 1  p) m m n! - число сочетаний из n по m m!(n  m)! 57 Биноминальное распределение Функция вероятности 58 Свойства биноминального распределения: 1. Математическое ожидание числа событий равно M  np 2. Среднеквадратическое отклонение числа событий равно   np(1  p) 3. При n биноминальное распределение  к нормальному c такими же параметрами 59 Распределение Пуассона Вероятность возникновения события n раз за время t случайного (lt ) ( t )  exp(  lt ) Pn n! n где l - интенсивность случайного события 60 Распределение Пуассона Плотность вероятности Функция вероятности 61 Свойства распределения Пуассона: 1. Математическое ожидание числа событий за время t равно M l 2. Среднеквадратическое событий равно отклонение числа  l 3. Характерный признак данного закона – равенство математического ожидания и дисперсии (используется для проверки степени соответствия исследуемого распределения с распределением Пуассона ) 62 Характерные особенности расчетных методов и их виды Последовательность расчета надежности 66 СТРУКТУРНАЯ СХЕМА 67 Структурная схема надежности нерезервированной системы из n элементов 1 2 . . . n Структурная схема надежности системы c раздельным (поэлементным) резервированием 4 2 1 3 Постоянно включенный резерв Резервирование замещением Резервирование с дробной кратностью m=1/2 Логико-вероятностные методы расчета надежности 69 если x1 и х2 связаны логической операцией «дизъюнкция»,то x1  x2  x1  x2  x1 x2  знак дизъюнкции (логическо е суммирование  операция ИЛИ) 70 если х1 и х2 связаны логической операцией «конъюнкция»,то x1  x2  x1  x2   знак конъюнкции ( логическое умножение  операция И ) 71 если х1 и х2 связаны логической операцией «исключающее ИЛИ»,то  x1 A x2  x1  x2  2 x1 x2  A или XOR -операция исключающее ИЛИ 72 Вывод расчетных уравнений методом ЛВР Система состоит из трех параллельно соединенных элементов b a 1 2 3 73 Логическая функция работоспособности устройства равна: F  x1  x2  x3 Уравнение работоспособности в символах обычной алгебры имеет вид: F  ( x1  x2  x3 )   ( x1 x2  x1 x3  x2 x3 )   x1 x2 x3 Вероятность работоспособного состояния равна: P  ( p x1  p x 2  p x 3 )   ( p x1 p x 2  p x1 p x 3  p x 2 p x 3 )   p x1 p x 2 p x 3 ВБР простого устройства соединением элементов: a 2 1 с последовательным … N b N P   Pi  P1P2 ...Pi i 1 для ехр : P  exp[ (l1  l2  ...  li )t ] 77 a Для устройства с параллельным соединением элементов: b 1 2 … N     P   Pi     Pi Pj      Pi Pj Pk   ...     i 1     N сумма вероятностей безотказной работы параллельно соединенных элементов C N2 сумма парных произведений вероятностей безотказной работы этих же элементов CN3 сумма произведений вероятностей безотказной работы элементов, взятых по три из общей совокупности 78 Расчет надежности системы «m из n» b 1 2 … Отказ системы «m из n» произойдет, если из n элементов, соединенных параллельно, работоспособными окажутся менее m элементов. a 3 4 Надежность элементов системы «m из n» должна быть одинаковой n 79 Расчет надежности данной системы производится по биноминальному закону: n P   C p (1  p ) m n m n m n m , m n! г де C  m! ( n  m)! m n 80 Способы преобразования сложных структур Различают следующие способы преобразований: 1.преобразование с эквивалентной заменой 2. преобразование мостиковых схем: • треугольник в звезду • звезда в треугольник • разложение по базовому элементу • методом прямого перебора • методом минимальных путей • методом минимальных сечений 82 1. Преобразование с эквивалентной заменой q13 1 3 3 а с q3 1 b q12 2 c q23 a q1 b q2 2 83 Замена треугольника звездой осуществляется при условии, что вероятность отказа элемента а равна q13, элемента b равна q12, элемента с равна q23. При замене вероятности отказов элементов звезды должны удовлетворять равенствам: q1  q2  q1q2  q12 (q23  q13  q23q13 )   q2  q3  q2 q3  q23 (q13  q12  q13q12 )  q3  q1  q3q1  q13 (q12  q23  q12q23 )  Если пренебречь произведениями вида: qi q j , qi q j qk то в результате решения системы уравнения можно записать: q1  q12q13 q 2  q 23q12 q3  q13q 23 Для обратного преобразования звезды в треугольник: q12  q1q2 / q3 q23  q2 q3 / q1 q13  q1q3 / q2 2.1 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ РАЗЛОЖЕНИЯ СТРУКТУРЫ ПО БАЗОВОМУ ЭЛЕМЕНТУ 88 Исходная структура B A 1 3 D 5 2 4 C 89 «Короткое замыкание» 1 A 3 D 5 2 4 Pкз  p5[( p1  p2  p1 p2 )( p3  p4  p3 p4 )] «Обрыв цепи» 1 3 A (1-р ) 5 D 2 4 Pоц  (1  p5 )( p1 p3  p2 p4  p1 p3 p2 p4 ) Вероятность безотказной работы системы равна сумме вероятностей структур P  Pкз  Pоц 92 2.2 МЕТОД ПРЯМОГО ПЕРЕБОРА 93 Исходная структура Записывается логическая функция работоспособности системы с использованием логических операций A 1 B 3 D 5 2 C 4 1«И»3 «ИЛИ»1«И»5«И» 4 «ИЛИ» 2«И»4 «ИЛИ»2«И»5«И»3 F  ( x1  x3 )  ( х1  х5  х4 )   ( x2  x4 )  ( х2  х5  х3 ) 94 2.3 МЕТОД МИНИМАЛЬНЫХ ПУТЕЙ 95 Исходная структура Логическая системы 1 A 3 5 2 схема B C D 4 работоспособной 1 3 2 4 1 5 4 2 5 3 96 2.4 МЕТОД МИНИМАЛЬНЫХ СЕЧЕНИЙ 97 Исходная структура Логическая системы 1 2 A 1 3 4 3 5 2 схема B C D 4 неработоспособной 1 2 5 5 4 3 98 Уравнение для определения вероятности безотказной работы системы: 99 2.5 Расчет комбинированных систем 2 9 5 12 15 16 1 3 6 8 10 19 13 17 4 7 11 14 18 Метод прямого перебора для данной системы потребовал бы рассмотреть 219 =524288 возможных состояний A F 2 C 9 5 12 15 16 1 3 6 8 10 19 13 17 4 7 11 B 14 D 18 E А C F 1 B 1 E D G E 19 19 Методы повышения надежности автоматизированных систем Резервирование метод повышения надежности за счет использования дополнительных средств и (или) возможностей, избыточных по отношению к минимально необходимым для выполнения требуемых функций 104 методы резервирования ЭЛЕМЕНТНОЕ И АППАРАТНОЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ВРЕМЕННОЕ ИНФОРМАЦИОННОЕ предусматривает использование избыточных элементов, входящих в структуру объекта предусматривает использование способности элементов выполнять дополнительные функции вместо основных и наряду с ними предусматривает запас времени на выполнение заданной функции, что позволяет многократно повторять рабочую операцию, обнаруживать отказ и устранять его предусматривает использование избыточной информации сверх минимально необходимой для 105 выполнения задач Задача резервирования нахождение такого числа резервных элементов оборудования, которое будет обеспечивать заданный уровень надежности системы при наименьшей стоимости 106 КЛАССИФИКАЦИЯ СПОСОБОВ СТРУКТУРНОГО РЕЗЕРВИРОВАНИЯ по схеме включения резерва по способу включения резерва по состоянию резерва • общее • раздельное • смешанное • постоянное (горячее) • динамическое (холодное): •замещением •скользящее • нагруженное • облегченное • ненагруженное 107 Кратность резервирования ( l  h ) m где h l – общее число элементов резервированного устройства; h – число резервируемых элементов, необходимых для нормальной работы устройства; l-h – число резервных элементов 108 Пример: m=4/2 –резервирование с дробной кратностью: число резервных элементов =4, основных 2; всего элементов 6. ПРИМЕЧАНИЕ! СОКРАЩАТЬ ЧИСЛИТЕЛЬ И ЗНАМЕНАТЕЛЬ НЕЛЬЗЯ m=2/1-резервирование с целой кратностью: число резервных элементов =2; основных =1; всего =3. 109 ОБЩЕЕ РЕЗЕРВИРОВАНИЕ с постоянным включением 110 ОБЩЕЕ РЕЗЕРВИРОВАНИЕ ЗАМЕЩЕНИЕМ О1 О2 Оn P1 P2 Pn . . . . . P1 P2 Pn Вероятность безотказной работы системы n Pоб  1  (1   pi ) i 1 m 1 111 РЕЗЕРВИРОВАНИЕ РАЗДЕЛЬНОЕ с постоянным включением О2 О1 1 P1 1 P2 2 P2 Оn 1 . . . . m Pn Pn 112 Вероятность безотказной работы раздельным резервированием определяться как: n ( ТС с будет PTC (t )   1  [1  Pi (t )] mi 1 ) i 1 При экспоненциальном распределении будет равна: n ( PTC (t )   1  [1  e l0t mi 1 ] ) i 1 113 В частном случае при равной надежности основных и резервных элементов, а также одинаковой кратности резервирования получим: ( PTC (t )  1  [1  e ) l0t m1 n ] 114 Средняя наработка на отказ при этом будет определяться из следующей формулы: (n  1)! 1   l (m  1) i 0 vi (vi  1)...(vi  n  1) m TTCcp где i 1 vi  m 1 115 РЕЗЕРВИРОВАНИЕ РАЗДЕЛЬНОЕ замещением О2 О1 1 P1 Оn 1 P2 1 2 P2 2 . . . . m Pn Pn 116 Нагруженный резерв В этом случае вероятность безотказной работы резервированной ТС будет определяться по формуле: n PTC (t )  1  [1   Pi (t )] mi 1 i 1 где Pi(t) –вероятность безотказной работы i-го элемента в течение времени t; n – число элементов основной или любой резервной цепи; m – кратность резервирования 117 Для экспоненциального закона времени до отказа вероятность безотказной работы: PTC (t )  1  [1  e  l0t mi 1 ] Средняя наработка на отказ для экспоненциального распределения будет равна: TTCcp 1 m m 1 1    Tcp 0  l0 i 0 i  1 i 0 i  1 где λ0– интенсивность отказов основной цепи или резервных; ТТСО – средняя наработка до отказа основной цепи или 118 резервных Ненагруженный резерв При экспоненциальном законе распределения времени безотказной работы вероятность PТС(t) и средняя наработка ТТС определяются из ср следующих выражений: (l0t ) PTC (t )  e  ; i! i 0 TTCcp  Tcp 0 (m  1) l0t m 2 119 Облегченный резерв Для расчета надежности систем при облегченном резервировании и экспоненциальном распределении наработки справедлива приближенная формула 1 m 1 PТС  l (l  l0 )(l  2l0 )....[l  ll0 ]  t  (m  1)! m 1 m t  (l  il0 ),  (m  1)! i 0 где λ0- интенсивность отказов элементов, работающих в облегченном режиме 120 СКОЛЬЗЯЩЕЕ РЕЗЕРВИРОВАНИЕ 1 2 ... n-m n-m+1 . . . m n 121 ВБР системы в режиме нагруженного резерва можно определять по формуле m PTC (t )   С k nm p n  m k ( 1  p) k k 0 Средняя наработка на отказ системы n m 1 1 1 1 1 Т   ...    nλ (n  1 )λ (n  m)λ λ k n k 122 ВБР системы в режиме ненагруженного резерва определяется по формуле Пуассона: (nlt ) nlt PTC   e k! k 0 m k Средняя наработка на отказ системы m 1 T nl 123 Резервирование мажоритарное (голосование m из n элементов) 1 И 1-2 1-2 2 И 2-3 ИЛИ или 2-3 или 3 И 1-3 1-3 ВЕРОЯТНОСТЬ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ МАЖОРИТАРНОЙ СИСТЕМЫ PMC  PМЭ (n-1 )/ 2 С i n n 1 p ( 1  p) i i 0 где р – вероятность безотказной работы основных элементов в течение времени PМЭ- вероятность безотказной работы мажоритарного элемента 125 В случае равной надежности элементов 1,2,3 вероятность безотказной работы системы определяется: PMC (t )  PМЭ (t )[3P (t )  2 P (t )] 2 3 где P0(t) – вероятность безотказной работы 1,2,3 элементов в течение времени t PМЭ(t) - вероятность безотказной работы мажоритарного элемента в течение времени t 126