Действия с векторами

Лекция 1 ДЕЙСТВИЯ С ВЕКТОРАМИ 1. Умножение вектора на скалярную величину 𝑎⃗ 2𝑎⃗ ½𝑎⃗ −1𝑎⃗ 2. Скалярное произведение векторов 𝑎⃗ · 𝑏⃗⃗ = |𝑎⃗||𝑏⃗⃗| cos 𝛼 𝑎⃗ ⊥ 𝑏⃗⃗ ⇨ 𝑎⃗ · 𝑏⃗⃗ = 0 3. Векторное произведение векторов 𝑎⃗ × 𝑏⃗⃗ = 𝑐⃗ |𝑐⃗| = |𝑎⃗||𝑏⃗⃗| sin 𝛼 𝑎⃗ ∥ 𝑏⃗⃗ ⇨ 𝑎⃗ × 𝑏⃗⃗ = 0 1 ЭЛЕКТРОСТАТИКА 1. Электрический заряд. Закон сохранения электрического заряда Экспериментально установлено, что некоторые тела при определенных условиях приобретают свойство притягивать или отталкивать мелкие предметы, т. е. вступать с ними в некоторое взаимодействие. Очевидно, что объяснить это взаимодействие гравитацией, связанной с наличием у тел массы, не удается. Это означает, что мы имеем дело с новым типом взаимодействия (и соответственно с новым типом сил), которое было названо электрическим. Электрическим зарядом q называется скалярная физическая величина (СФВ), характеризующая свойство тел вступать в электрическое взаимодействие и определяющая интенсивность этого взаимодействия. Фундаментальные свойства электрического заряда установлены опытным путем: – В природе существуют два типа электрических зарядов, называемых условно положительными и отрицательными. Тела, заряженные зарядами одного знака, отталкиваются, зарядами разных знаков – притягиваются. – Заряженное тело может иметь электрический заряд, равный по величине только целому числу элементарных зарядов q  N  e (N = 1,2,3 ...). Элементарный заряд – минимальный электрический заряд равный e  1,6  10 19 Kл. Отрицательный элементарный заряд несет электрон ( me  9,11  10 31 кг), а положительный (равный ему по величине) – протон ( m p  1,67  10  27 кг). – Электрический заряд инвариантен – его величина не зависит от выбора системы отсчета, т. е. от того движется в ней заряд или покоится. – Электрический заряд аддитивен – заряд любой системы частиц равен алгебраической сумме зарядов. Точечный заряд – простейшая модель заряженного тела, не учитывающая его форму и размеры, когда можно ими пренебречь по сравнению с расстояниями до других заряженных тел. Всякое заряженное тело можно рассматривать как совокупность точечных зарядов. Если заряды распределены в заряженном теле непрерывно, то в электростатике используются следующие характеристики заряда. Линейная плотность заряда  – СФВ, характеризующая распределение заряда по длине заряженного тела и численно равная заряду, приходящемуся на единицу длины тела: q dq  . l 0 l dl   lim Поверхностная плотность заряда  – СФВ, характеризующая распределение заряда по поверхности заряженного тела и численно равная заряду, приходящемуся на единицу площади поверхности тела: 2 q dq .  dS S  0 S   lim Объемная плотность заряда  – СФВ, характеризующая распределение заряда по объему заряженного тела и численно равная заряду, приходящемуся на единицу объема тела: q dq .  V 0 V dV   lim Электрически изолированная система – система заряженных тел или частиц, не обменивающаяся электрическими зарядами с внешними телами. Опыт показывает, что алгебраическая сумма электрических зарядов тел или частиц, входящих в электрически изолированную систему, есть величина постоянная N  qi  const. i 1 При этом в системе могут протекать процессы с образованием или исчезновением новых заряженных частиц или тел. Закон сохранения электрического заряда, как и любой другой закон сохранения, справедлив не для отдельно взятых тел, входящих в систему, а для всей замкнутой системы в целом. 2. Взаимодействие неподвижных зарядов. Закон Кулона Кулон с помощью крутильных весов экспериментально установил, что сила электростатического взаимодействия двух неподвижных точечных зарядов в вакууме пропорциональна произведению их величинам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:  q q F k 1 2 2 r  r  . r Коэффициент пропорциональности в системе СИ записывается в виде: k 1  9  10 9 (Н.м2)/Кл2, 4 0 где 0  8,85  10 12 Кл2/(Н.м2) – электрическая постоянная. Сила, действующая на заряд q 2 со стороны заряда q1 , направлена вдоль   радиус-вектора r , если заряды одноименные, и противоположно r , если 3 заряды разноименные (рис. 1). Если взаимодействующие заряды находятся в изотропной среде, то кулоновская сила равна: F 1 q1  q2 ,  4 0 r 2 Рис.1. Направление силы где  – диэлектрическая проницаемость среды (для Кулона для одноименных и вакуума   1 ). разноименных зарядов. Эта формула может быть использована и для расчета силы взаимодействия заряженных тел сферической формы при условии, что расстояние r между центрами сфер значительно больше суммы их радиусов r  ( R1  R2 ) . На расстояниях, сопоставимых с размерами сфер, возникает перераспределение зарядов по поверхностям, заметно изменяющее силу их взаимодействия. В случае электростатического взаимодействия заряженных тел неправильной формы каждое тело представляют как совокупность точечных зарядов и затем рассчитывают силы попарного взаимодействия каждого точечного заряда одного тела с другим, которые впоследствии векторно суммируются. Математические расчеты в таких задачах оказываются чрезвычайно громоздкими и сложными. 3. Электрическое поле в вакууме. Напряженность электрического поля Выяснение вопроса о механизме электрического взаимодействия, приводит к необходимости признать существование электрического поля – особого физического объекта, посредством которого осуществляется взаимодействие электрических зарядов. Это поле материально, оно существует помимо нашего сознания и может быть обнаружено, например, по его воздействию на специальные приборы. Следует различать электростатическое поле и вихревое электрическое поле. Первое создается неподвижными в данной системе отсчета заряженными объектами (точечными зарядами, заряженными сферами, плоскостями и т.д.), а второе порождается меняющимся во времени магнитным полем. Взаимодействие заряженных тел осуществляется по схеме «заряд–поле– заряд», то есть одно заряженное тело создает вблизи себя электрическое поле, которое и действует на второй заряд. В свою очередь, второй заряд создает свое электрическое поле, действующее на первый заряд. Существенно, что само поле не действует на заряд, его создавший. Количественной характеристикой силового действия электрического поля на заряд служит величина, называемая напряженностью. Напряженность  электрического поля E – ВФВ, численно равная силе, действующей со стороны поля на неподвижный единичный положительный заряд, помещенный в эту точку: 4   F . E q Напряженность в данной точке поля направлена в ту же сторону, что и сила, действующая на положительный заряд. Единица напряженности в СИ: [ E ]= [Н/Кл] = [В/м]. Для графического изображения электрических полей используются силовые линии (линии напряженности) – воображаемые линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора напряженности. Линиям напряженности приписывается направление, совпадающее с  направлением вектора E (рис. 2). Так как в данной точке пространства вектор напряженности имеет лишь одно направление, то силовые линии никогда не пересекаются. Обычно их проводят таким образом, чтобы число линий, приходящихся на единицу площади поверхности, перпендикулярной направлению поля, было пропорционально абсолютной величине напряженности. На приведенной иллюстрации величина вектора напряженности в области 1 в среднем больше, чем в области 2, которой Рис.2. Силовые линии соответствует меньшая плотность расположения линий напряженности. Следует отметить, что в общем случае линии напряженности нельзя отождествлять с возможными траекториями движения положительного заряда в данном поле, так как касательные к ним показывают направление действия силы, а значит, ускорения, тогда как касательные к траектории совпадают с направлением скорости. 4. Поле точечного заряда. Принцип суперпозиции электрических полей Если электростатическое поле создано точечным зарядом Q , то сила, действующая со стороны поля на внесенный в определенную точку пробный заряд q  , определяется законом Кулона  F  1 Q  q r  2  . 4 0 r r Тогда напряженность поля этого заряда в вакууме будет равна:    F 1 Q r E    , q 4 0 r 2 r 5  где r – радиус-вектор, соединяющий данную точку поля с зарядом Q . Линии напряженности такого поля – радиальные прямые, направленные от заряда, если он положителен, и к нему, если заряд отрицателен (рис. 3). Если поле в точке наблюдения создается несколькими зарядами, то каждый Рис.3. Линии напряженности поля из них создает электрическое поле  точечных зарядов разного знака независимо от других. Напряженность E результирующего поля определяется как геометрическая сумма напряженностей полей, созданных в данной точке каждым источником в отдельности:  N  E   Ei . i 1 Эта формула выражает принцип суперпозиции электростатических полей. В качестве примера вычислим напряженность поля, созданного двумя разноименными зарядами q1 и q 2 . Для этого соединим заряды с точкой наблюдения A Рис. 4. Напряженность   радиус-векторами r1 и r2 . Положительный заряд q1 электрического поля  двух зарядов создает в этой точке напряженность E1 , вектор которой  направлен от заряда, а отрицательный заряд q 2 напряженность E 2 , направленную к заряду. Именно так будут действовать силы со стороны зарядов на пробный положительный заряд, если его мысленно поместить в  точку A . Направление полного вектора напряженности E определяется по правилу параллелограмма, построенного на векторах E1 и E2 (рис. 4), а его модуль в данной точке найдем как E E12  E22 1  2 E1E2 cos  4 0 q12 r14  q22 r24 2 q1 q2 r12 r22 cos . 5. Работа электростатических сил. Потенциальная энергия Поместим точечный электрический заряд q в поле, созданное другим неподвижным точечным зарядом Q . Для определенности будем считать, что заряды имеют одинаковые знаки. Пусть под действием электрического поля заряда Q заряд q переместился из точки с координатой r1 в точку с 6  координатой r2 . Приложенная к заряду сила совершает работу. Работа силы F  на элементарном перемещении dl равна   dA  F  dl  Fdl cos  Fdr  1 Qq dr . 4 0 r 2 Полная работа (рис. 5) при перемещении заряда q из точки 1 в точку 2 определяется интегралом: r2 Рис.5. Работа электростатических сил r2 1 Qq Qq  1  r2 Qq Qq A12   dA   dr     .   2 4  4  r 4  r 4  r   r r 0 1 0 2 r1 r1 1 Из полученной формулы видно, что полная работа не зависит от вида траектории перемещения, а определяется только начальным и конечным положением заряда q . Следовательно, электростатическое поле точечного заряда является стационарным и потенциальным. Доказанное утверждение справедливо для электростатического поля, созданного любой конфигурацией системы зарядов. В потенциальном поле работа совершается за счет убыли потенциальной энергии системы A12  W p  W p1  W p 2 . Сравнивая правую часть этого выражения с правой частью формулы для работы A12 , полученной выше, приходим к выводу, что потенциальная энергия точечного заряда q в поле заряда Q равна: Wp  1 Qq  С. 4 0 r Величина потенциальной энергии зависит от выбора нулевого уровня (так же, как и потенциальная энергия для любого другого взаимодействия). В рассматриваемом случае потенциальная энергия электростатического взаимодействия равна нулю, если заряды находятся на бесконечном расстоянии друг от друга ( r   ), поскольку не взаимодействуют друг с другом. Отсюда следует, что C  0 . 6. Циркуляция вектора напряженности электростатического поля В общем случае, силу, действующую на перемещаемый заряд q со стороны любого электростатического поля, выразить через  можно  напряженность электростатического поля как F  q  E . Тогда, учитывая, что 7 работа по замкнутому контуру в электростатическом поле всегда равна нулю, получим:   A  q  E  dl  q  E  cos  dl  q  El  dl  0 , l l l   где E l – проекция вектора E на направление элементарного перемещения dl .   В этом выражении интеграл  E  dl   El  dl называют циркуляцией вектора l l напряженности по заданному замкнутому контуру l . Следовательно, циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю. Это означает, что линии напряженности электростатического поля всегда разомкнуты: они начинаются на положительных зарядах (или в бесконечности) и заканчиваются на отрицательных зарядах (или в бесконечности). Действительно, в случае разомкнутых силовых линий (рис. 6), поле совершает положительную работу по перемещению положительного заряда из точки 1 в точку 2,так как проекция вектора напряженности, а значит, и силы, на направление dl в каждой точке положительна. При возвращении заряда из точки 2 в точку 1 полем совершается работа равная по величине и отрицательная по знаку A12   A21 . Полная работа равна нулю. В случае же замкнутых линий поля проекция напряженности на касательную к траектории и, следовательно, величина работы на всем пути будут иметь одинаковый знак. Работа не равна нулю, что свидетельствует о неконсервативности сил, создающих такое поле. Данную теорему о циркуляции вектора Рис. 6. Контур в напряженности можно рассматривать как определение электростатическом поле потенциальности поля. 7. Потенциал электростатического поля. Разность потенциалов Для потенциальных полей можно ввести понятие потенциала. Потенциал  электростатического поля – СФВ, характеризующая энергетическое состояние поля в рассматриваемой точке и численно равная потенциальной энергии единичного положительного заряда, помещенного в данную точку поля:   W p (r ) . (r )  q В соответствии с этим определением потенциал электростатического поля, созданного в вакууме точечным зарядом Q равен: 8 1 Q  . 4 0 r Единицей измерения потенциала в СИ является вольт: [  ]=[B]. Так же как и потенциальная энергия, потенциал электростатического поля точечного заряда, в отличие от напряженности, является неоднозначной характеристикой поля. Поэтому во многих задачах электростатики он условно нормируется на определенную величину. Например потенциал электростатического поля точечного заряда принят (нормирован) на бесконечности равным нулю lim   0 . (r )  r  С введением потенциала работа электростатического поля по переносу заряда q из точки с координатой r1 в точку с координатой r2 , может быть представлена в виде: A12  q(1   2 ) , где (1   2 ) – разность потенциалов поля в этих точках. Разность потенциалов электростатического поля – СФВ, характеризующая свойство поля совершать работу и численно равная работе электростатических сил по переносу единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2. Необходимо отметить, что величина разности потенциалов (в отличие от потенциала) не зависит от условий нормировки. Если перемещать положительный заряд из произвольной точки за пределы поля, где потенциал  2 равен нулю, то работа сил электростатического поля равна A  q   . Отсюда следует, что потенциал данной точки электростатического поля численно равен работе электростатических сил по переносу единичного положительного заряда из рассматриваемой точки в бесконечность:  A . q Если электростатическое поле создается совокупностью точечных зарядов Qi , то при перемещении пробного заряда q  работа результирующего поля будет складываться из работ электростатических полей точечных зарядов. Поэтому сформулированный ранее принцип суперпозиции электрических полей следует дополнить следующим положением: если поле создается несколькими заряженными источниками, то его потенциал в данной точке пространства определяется как алгебраическая сумма потенциалов полей, созданных каждым источником в отдельности 9 N    i . i 1 Например потенциал поля, созданного двумя разноименными зарядами q1 и q 2 , в точке A (рис. 4) определяется как: (r )  q 1 1  1 4 0 r1 4 0  q     2  .  r2  8. Связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля. Эквипотенциальные поверхности Напряженность и потенциал являются двумя различными характеристиками электростатического поля, описывающими соответственно его силовое и энергетическое состояния. Установим между ними связь. Пусть точечный заряд q переместился в электростатическом поле на малое расстояние dx вдоль оси x . Тогда бесконечно малая работа, совершаемая полем, может быть рассчитана как dA  q  E x  dx , и как dA  q  d , где d – бесконечно малая разность потенциалов между конечной и начальной точками движения. Приравнивая правые части этих выражений, получим Ex    , x где символ частной производной подчеркивает, что дифференцирование производится только по x . Данное соотношение показывает, что вектор напряженности электростатического поля численно равен быстроте изменения потенциала по координатам и направлен в сторону его убывания. В интегральной форме связь между напряженностью и потенциалом представляется в виде: 2   1   2   Edl , 1 где интегрирование можно вести вдоль любой линии, соединяющей начальную и конечную точки. Введение потенциала дает, наряду с силовыми линиями, дополнительную возможность графического описания поля с помощью эквипотенциальных поверхностей. 10 Эквипотенциальная поверхность – геометрическое место точек электростатического поля, имеющих одинаковые потенциалы. Эквипотенциальные поверхности поля, созданного точечным зарядом, представляют собой концентрические сферы, в центре которых расположен заряд (рис. 7). Обычно их проводят так, что потенциалы двух соседних эквипотенциальных поверхностей отличаются друг от друга на равную величину. Поэтому по мере удаления от заряда густота проведения Рис.7. Эквипотенциальные эквипотенциальных поверхностей уменьшается. поверхности и лини Так как, линии напряженности точечного напряженности точечного заряда – прямые радиально направленные линии, заряда то они всегда перпендикулярны эквипотенциальной поверхности, проходящей через рассматриваемую точку. 9. Поток вектора напряженности Если взять элементарную площадку dS ,  нормаль n к которой образует угол  с вектором E , то число линий напряженности, пронизывающих её, равно: N  E  dS  cos   En  dS , где E n – проекция вектора напряженности на нормаль  n к площадке dS (рис. 8). Величина Рис. 8. К определению потока вектора   d E  En  dS  E  dS называется потоком вектора напряженности через площадку dS . Здесь   dS  dS  n – вектор, модуль которого равен dS , а направление совпадает с  нормалью n к площадке. Единица потока вектора напряженности в СИ: [  E ]= [В·м]. Поток сквозь произвольную замкнутую поверхность S равен:    E   En  dS   E  dS . S S  Поток вектора E величина алгебраическая, её знак зависит не только от конфигурации поля, но и от выбора направления нормали. Для замкнутых 11  поверхностей за положительное направление нормали n выбирается внешняя нормаль, т.е. нормаль, направленная наружу области. Поэтому знак потока  E определяется следующим образом: если линии выходят из объема, то поток положительный, а если входят, то поток отрицательный. 10. Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме Рассчитаем поток вектора напряженности сквозь сферическую поверхность радиуса r , охватывающую точечный заряд Q , находящийся в её центре. Силовые линии заряда центрально симметричны, поэтому в каждой  точке поверхности этой сферы проекция вектора E на внешнюю нормаль имеет 1 Q одно и то же значение: En   2 . Следовательно, поток равен 4 0 r  E   En  dS  S 1 Q Q 2 .  4  r  4 0 r 2 0 Если окружить сферу произвольной замкнутой поверхностью (рис. 9), то каждая линия напряжённости, пронизывающая сферу пройдёт и сквозь эту поверхность. Если замкнутая поверхность не охватывает заряда , то поток сквозь нее равен нулю, так как число линий напряженности, входящих в поверхность, равно числу линий, выходящих из неё. Следовательно, полученная формула справедлива для замкнутой поверхности любой формы. Теперь рассмотрим случай, когда произволь- Рис. 9. Поток вектора напряженности сквозь замкнутую поверхность ная замкнутая поверхность окружает N зарядов. Тогда, в соответствии с  N  принципом суперпозиции электрических полей E   Ei , поток вектора i 1 напряженности равен: N   N     1 N  E   E  dS   (  Ei )  dS   (  Ei  dS )   Qi .  i 1 S 0 i 1 S S i 1  Из полученной формулы видно, что поток вектора E сквозь произвольную замкнутую поверхность S определяется только алгебраической суммой зарядов, находящихся внутри поверхности S . Даже если  заряды передвинуть без пересечения поверхности S , то поток вектора E через эту поверхность 12 останется прежним. Таким образом, поток вектора напряжённости электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на электрическую постоянную  0 . Эта формула выражает теорему Гаусса для электростатического поля. Лекция 2 11. Поле равномерно заряженной сферы Рассмотрим электрическое поле в вакууме, созданное зарядом Q , равномерно распределенным по сфере радиусом R с поверхностной плотностью . Такое поле обладает сферической симметрией относительно центра сферы, поэтому линии напряженности будут направлены радиально. Для расчета величины напряженности воспользуемся теоремой Гаусса. Построим мысленно вспомогательную сферу радиуса r , имеющую общий центр с заряженной сферой. Если r  R , то весь заряд, создающий поле, попадет внутрь вспомогательной сферы (рис. 10). Учитывая, что на одинаковых расстояниях от центра проекции векторов напряженности равны, получим: Рис. 10. Электростатическое поле заряженной сферы  E   En  dS  E  dS E  4r 2 . S S В то же время, в соответствии с теоремой Гаусса,  E  Q  0 . Тогда Q E . 40 r 2 Напряженность за пределами заряженной сферы убывает по закону обратной пропорциональности квадрату расстояния от ее центра. При r  R вспомогательная сфера не содержит внутри себя зарядов. В этом случае напряженность электростатического поля равна нулю ( E  0 ). Теперь рассчитаем потенциал поля. Для этого воспользуемся связью между напряженностью поля и потенциалом в интегральной форме, согласно которой разность потенциалов между двумя точками r2  r1 , лежащими за пределами сферы, вычисляется как 13 r2 r2 Q r1 r1 4 0 r 2 (r1 )  (r2 )   E  dr    dr  Q 1 1   . 4 0  r1 r2  Полагая lim (r )  0 , получаем, что потенциал поля вне сферы равен r  (r )  Q , r  R. 4 0 r Равенство нулю напряженности поля внутри сферы означает, что потенциал всюду одинаков и равен потенциалу на ее поверхности (r )  Q , r  R. 4 0 R 12. Поле бесконечной равномерно заряженной плоскости Рассмотрим равномерно заряженную бесконечную плоскость с поверхностной плотностью заряда +  . Вблизи плоскости напряженность электрического поля определяется суперпозицией полей, созданных отдельными ее участками. При этом каждой точке B можно поставить в соответствие симметричную ей точку C плоскости, такую, что горизонтальные   EC EB составляющие напряженностей и оказываются скомпенсированными, а вертикальные Рис. 11. Направление складываются. напряженности поля, Таким образом, напряженность созданного равномерно электростатического поля, созданного бесконечной заряженной плоскостью равномерно заряженной плоскостью, направлена по нормали к каждой стороне этой плоскости (рис. 11). Для расчета величины напряженности E в качестве вспомогательной замкнутой поверхности выберем поверхность цилиндра, основания которого параллельны бесконечной плоскости, а ось цилиндра перпендикулярна плоскости. Тогда поток вектора напряженности через эту поверхность равен:    E   E  dS  S  E  cos1  dSосн1   E  cos 2  dSосн2   E  cos3  dSбок , S осн1 S осн2 14 S бок где 1 ,  2 ,  3 - углы между вектором напряженности и нормалями к поверхности цилиндра. Так как основания цилиндра равны по площади ( S  S осн1  S осн2 ) (рис. 12) и перпендикулярны линиям напряженности (cos 1  cos  2  1) , а боковая поверхность – параллельна (cos  3  0) , то полный поток сквозь цилиндрическую поверхность равен сумме потоков сквозь его основания Е  2  E  S . Рис.12. Вспомогательная поверхность и линии напряженности поля По теореме Гаусса:  E  E Q S , тогда  0 0  . 2 0 Напряженность электростатического поля, созданного равномерно заряженной бесконечной плоскостью, не зависит от длины цилиндра и на любых расстояниях от плоскости одинакова по модулю. Линии напряженности параллельны друг другу, поле по каждую сторону плоскости оказывается однородным (действительно, в формулу напряженности не входит расстояние от рассматриваемой точки поля до плоскости). Разность потенциалов между точками, лежащими на расстояниях x1 и x2 от плоскости, равна ( x1 )  ( x2 )  x2 x2 x1 x1   E  dx   2  dx   ( x2  x1 ) . 2 0 Полагая потенциал поля равным нулю в точках заряженной плоскости х  0 , получаем:   ( x)   x для x  0 и ( x)  x для x  0 . 2 0 2 0 13. Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра Пусть цилиндр, имеющий радиус R , равномерно заряжен по поверхности с линейной плотностью заряда  . Вдали от концов заряженного цилиндра и на расстоянии r  l от его оси поле можно считать осесимметричным – линии напряженности направлены по радиусам круговых сечений цилиндра с одинаковой густотой. В качестве замкнутой вспомогательной поверхности 15 возьмем цилиндр радиуса r и высотой h  l , ось которого совпадает с осью заряженного цилиндра, а основания перпендикулярны ей (рис. 13). Тогда    E   E  dS  S  E  cos1  dSосн1   E  cos 2  dSосн2   E  cos3  dSбок S осн1 S осн2 S бок 1 ,  2 ,  3 где углы между вектором  напряженности E и нормалями к поверхности цилиндра. Поток вектора напряженности сквозь основания цилиндра будет равен 0, поскольку углы 1   2  90 , а сквозь боковую поверхность  E  cos 3  dSбок  E  2rh . S бок Согласно теореме Гаусса:  E  Q h , тогда  0 0 Рис.13. Вспомогательная поверхность и линии напряженности заряженного цилиндра  . 2 0 r Если r  R , то замкнутая поверхность зарядов внутри не содержит, поэтому внутри равномерно заряженного по поверхности круглого бесконечного цилиндра поля нет. Разность потенциалов между двумя точками r2  r1 , лежащими вне цилиндра, равна E r2 r2 r1 r1 (r1 )  (r2 )   E  dr    2 0r  dr  r  ln 2 . 2 0 r1 Равенство нулю напряженности поля внутри цилиндра означает, что потенциал всюду одинаков и равен потенциалу на ее поверхности. Удобно принять эту константу равной нулю (r )  0 , r  R . Тогда потенциал поля вне цилиндра будет вычисляться как  r (r )   ln , r  R . 2 0 R 14. Поле бесконечного плоского конденсатора Бесконечный плоский конденсатор – система из двух бесконечных параллельных равномерно заряженных плоскостей, расположенных в вакууме и 16 имеющих одинаковые по величине, но разные по знаку поверхностные плотности заряда. Каждая из плоскостей создает возле себя однородное электрическое поле с напряженностью    E   и E   соответственно. Вектора E и 2 0 2 0  E равны между собой по модулю (       ) , перпендикулярны плоскостям и направлены, соответственно, от положительно заряженной плоскости к отрицательно заряженной плоскости. Рис. 14. Поле внутри и Поэтому в пространстве вне конденсатора они снаружи параллельных компенсируют друг друга, а внутри складываются и заряженных плоскостей образуют однородное поле с напряженностью E  . 0 Электрические потенциалы слева и справа от пластин будут постоянными, так как напряженность поля в этих областях пространства равна нулю. Однако численные значения этих постоянных 1 и  2 различны из-за наличия поля внутри конденсатора. Предположим, что положительно заряженная пластина находится в начале координат, а отрицательная – на расстоянии d от неё. Тогда изменение потенциала между точками x1 и x2 внутри конденсатора можно найти как ( x1 )  ( x2 )  x2 x2 x1 x1  E  dx      dx  ( x2  x1 ) . 0 0 Полагая, что потенциал положительно заряженной плоскости равен 1 , получим:  2  1  d . 0 В общем случае начало отчета  может быть выбрано в любом месте. Кроме того, для упрощения расчета, можно положить равным нулю любое из значений 1 и  2 . Контрольные вопросы  Перечислите фундаментальные свойства электрического заряда.  В чем заключается закон сохранения заряда? 17                Что такое линейная, поверхностная и объемная плотности зарядов? Запишите, сформулируйте и объясните закон Кулона. Какие поля называют электростатическими?  Что такое напряженность E электростатического поля?  Каково направление вектора напряженности E поля, созданного положительным точечным зарядом? Единица напряженности в СИ. Что такое поток вектора E ? Сформулируйте теорему о циркуляции вектора напряженности электростатического поля. Пользуясь принципом суперпозиции, найдите в поле двух точечных зарядов ( q ) и (2q) , находящихся на расстоянии 1 метр друг от друга, точку, где напряженность поля равна нулю. В чем заключается физический смысл теоремы Гаусса для электростатического поля в вакууме? Как показать, что электростатическое поле является потенциальным? Что называется циркуляцией вектора напряженности? Дайте определения потенциала дайной точки электростатического поля и разности потенциалов двух точек поля. Каковы их единицы? Приведите графики зависимостей E (r ) и (r ) для равномерно заряженной сферической поверхности. Дайте их объяснение и обоснование. Какова связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля? Выведите ее и объясните. Каков физический смысл этих понятий? Чему равна работа по перемещению заряда вдоль эквипотенциальной поверхности? 21. Проводники в электростатическом поле Проводники – любые вещества, в которых имеются свободные носители заряда. Под свободными носителями заряда следует понимать любые заряженные частицы (электроны, ионы и т. д.), которые могут перемещаться под действием сколь угодно малых сил электрического поля. Наиболее типичными проводниками являются металлы. Равновесное распределение свободных электрических зарядов в проводнике должно отвечать минимуму энергии системы. Поэтому собственные заряды проводника распределены по нему таким образом, что суммарная напряженность поля внутри проводника всегда равна нулю. В противном случае свободные заряды будут перемещаться по проводнику, создавая электрический ток в отсутствие источника энергии. 18 Внесение незаряженного проводника во внешнее электрическое поле приводит к тому, что свободные заряды положительного знака начинают двигаться  вдоль направления вектора напряженности E0 , а отрицательные – в противоположную сторону (рис. 22). Перераспределение зарядов будет продолжаться до тех пор, пока поле внутри проводника ни станет равным нулю за счет появления на Рис. 22. Незаряженный противоположных концах проводника проводник в электрическом поле индуцированных зарядов разных знаков, электрическое поле которых скомпенсирует внешнее. В состоянии равновесия зарядов силовые линии результирующего поля окажутся частично  видоизмененными по сравнению с линиями напряженности внешнего поля E0 : некоторые из них будут начинаться на индуцированных положительных зарядах, другие – заканчиваться на индуцированных отрицательных зарядах. Индуцированные заряды располагаются на внешней поверхности проводника таким образом, что силовые линии направлены перпендикулярно этой поверхности. Наличие составляющей вектора напряженности, направленной вдоль поверхности проводника, вызвало бы движение свободных зарядов в отсутствие внешнего источника энергии. Сторонний электрический заряд, помещенный на проводник сложной формы, распределяется так же, как и индуцированный заряд – по внешней поверхности проводника, которая в свою очередь является эквипотенциальной. Потенциал всех точек проводника одинаков и равен потенциалу его поверхности. В противном случае происходило бы движение зарядов. Поверхностная плотность заряда в каждой точке поверхности определяется ее кривизной: она растет с увеличением положительной и уменьшается с увеличением отрицательной кривизны. Самая большая поверхностная плотность заряда, таким образом, наблюдается на остриях и выступающих острых кромках. Кривизна сферической поверхности одинакова во всех ее точках, поэтому поверхность проводящей сферы является равномерно заряженной. 22. Электроемкость уединенного проводника Рассмотрим уединенный проводник сферической формы радиуса R , находящийся в среде с диэлектрической проницаемостью  . Будем увеличивать заряд на проводнике, измеряя его потенциал. При этом обнаружим, что зависимость q  f () имеет линейный вид. Вводя соответствующий коэффициент пропорциональности, получим q  C . Коэффициент C называется электрической ёмкостью проводника. Электрическая емкость уединенного проводника – СФВ, характеризующая свойство проводника накапливать электрический заряд и 19 численно равная заряду, который необходимо поместить на данный проводник, чтобы создать на нем единичный потенциал: q C .  По определению емкость – неотрицательная величина, измеряемая в фарадах [C] = [Ф]. Потенциал проводящего шара одинаков во всех точках внутри него и равен потенциалу на его поверхности  1 q  . 40 R Сравнивая его с формулой потенциала заряженного проводника сферической формы, получаем C  4 0 R . Анализ приведенной формулы показывает, что электроемкость проводника зависит: – от его геометрических размеров (R) – проводник большего размера имеет, при прочих равных условиях, большую электрическую емкость; – от диэлектрических свойств окружающей среды (  ) – чем сильнее поляризуется окружающая среда, тем больше электроемкость проводника, и не зависит: – от величины накопленного заряда; – от агрегатного состояния проводника и от наличия полостей внутри проводника. 23. Взаимная электроемкость. Конденсаторы Если вблизи проводника находятся другие проводники, то заряжаясь, он наводит на поверхности соседних проводников заряды обоих знаков. Эти индуцированные заряды будут создавать дополнительное поле.  Дополнительные поля E  индуцированных  и поляризационных зарядов всегда направлены против поля источника E0 . Поэтому при внесении в среду, окружающую заряженный проводник, других проводников и диэлектриков поле рассматриваемого проводника ослабевает, а его потенциал падает. В q соответствии с формулой C  электрическая емкость проводника при этом  возрастает по сравнению с емкостью того же проводника в вакууме в отсутствии других проводников. Взаимная электроемкость – СФВ, характеризующая свойство системы проводников накапливать электрический заряд и численно равная заряду, 20 который необходимо поместить на один из них, чтобы разность потенциалов между проводниками стала равна единице: C q . 1   2 Взаимная емкость системы проводников зависит от их геометрических размеров и взаимного расположения, а также от диэлектрических свойств окружающей среды. Для накопления электрического заряда особый интерес представляет система из двух проводников, форма и расположение которых таковы, что электрическое поле этих проводников при сообщении им равных по модулю и противоположных по знаку электрических зарядов полностью локализовано в ограниченной области пространства. Такая система называется конденсатором, а сами проводники – обкладками конденсатора. Внешние электрические поля, одинаковым образом воздействуя на все элементы конденсатора, не могут изменить параметров внутреннего поля, расположенного между обкладками конденсатора. Конструкции конденсаторов весьма разнообразны. Их основными характеристиками являются электроемкость и напряжение пробоя – минимальная разность потенциалов между обкладками, при которой происходит электрический разряд через слой диэлектрика. Пробивное напряжение зависит от конструкции конденсатора (формы и размеров обкладок) и свойств диэлектрика внутри него. Рассмотрим плоский конденсатор, состоящий из двух параллельных плоских обкладок, находящихся на расстоянии d одна от другой. Пространство между обкладками заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью  . Площади обкладок S достаточно велики, чтобы их можно было считать бесконечными. Заряд  q распределен по пластинам равномерно с q поверхностной плотностью   . Разность потенциалов, создаваемая этим S зарядом, вычисляется как  qd . 1 (0)  2 (d )  d  0 0 S Учитывая, что взаимная электроемкость такой системы по определению q , C 1   2 получаем формулу для расчета электроемкости плоского конденсатора C  0 S . d 21 Для конденсаторов следующим образом: других конструкций емкость рассчитывается 2 0 l , R ln r где R и r – внешний и внутренний радиусы коаксиальных цилиндров, l – длина образующей цилиндров; rR – емкость сферического конденсатора C  40 , Rr – емкость цилиндрического конденсатора C  где R и r – внешний и внутренний радиусы сфер. 24. Соединение конденсаторов в батарею Для предотвращения пробоя конденсаторов прибегают к их последовательному соединению. При последовательном соединении конденсаторов разность потенциалов на ее концах равна сумме разностей потенциалов между обкладками каждого из n конденсаторов    i (рис. 23). Заряд на каждой из обкладок всех i 1 конденсаторов по модулю одинаков q  const. Разделив левую и правую части  1 этого уравнения на q, и учитывая, что  , получим q C n 1 1 1 1 1    ...   . C C1 C2 Cn i 1 Ci Таким образом, при последовательном соединении конденсаторов величина, обратная электроемкости батареи, равна сумме величин, обратных электроемкостям Рис. 23. всех конденсаторов, входящих в батарею. Это означает, Последовательное что присоединение к батарее дополнительного соединение конденсатора уменьшает ее электроемкость. конденсаторов Положительным для практики результатом последовательного соединения конденсаторов является увеличение максимально допустимого напряжения, которое можно подавать на такую батарею по сравнению с одним конденсатором. 22 Для увеличения емкости конденсаторов без сильного увеличения их линейных размеров конденсаторы соединяются в батарею параллельно. При параллельном соединении конденсаторов в батарею разность потенциалов между обкладками каждого из них одинакова   const . Заряд батареи n равен сумме зарядов всех конденсаторов q   qi . i 1 Поэтому емкость батареи по определению равна n  qi n q i 1 C   C1  C2  ...  Cn   Ci .   i 1 Рис. 24. Параллельное соединение конденсаторов При параллельном соединении конденсаторов общая электроемкость батареи равна сумме электроемкостей всех входящих в нее конденсаторов (рис. Контрольные вопросы  Что такое диполь и как он ведет себя в электрическом поле?  Что такое поляризованность?  В чем различие поляризации диэлектриков с полярными и неполярными молекулами?  Что показывает диэлектрическая проницаемость среды?  Выведите связь между диэлектрическими восприимчивостью вещества и проницаемостью среды.  Как определяется вектор электрического смещения?  Сформулируйте теорему Гаусса для электростатического поля в диэлектрике.  Каковы напряженность и потенциал поля, а также распределение зарядов внутри и на поверхности заряженного проводника?  Три одинаковых конденсатора один раз соединены последовательно, другой — параллельно. Во сколько раз и когда емкость батареи будет больше?  Может ли электростатика ответить на вопрос: где локализована энергия и что является ее носителем — заряды или поле? Почему?  Выведите формулы для энергии заряженного конденсатора, выражая ее через заряд па обкладках конденсатора и через напряженность поля. 23 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК 26. Постоянный ток, его характеристики и условия существования Электрический ток – упорядоченное движение электрических зарядов. Ток, возникающий в проводнике под действием приложенного к нему электрического поля, называется током проводимости. Совокупность различных приборов и устройств, потребляющих, преобразующих и создающих электрический ток, соединенных между собой при помощи проводников называется электрической цепью. Основной количественной характеристикой электрического тока является сила тока – СФВ, характеризующая интенсивность упорядоченного движения электрических зарядов и численно равная заряду, перенесенному через  поперечное сечение проводника, перпендикулярное вектору напряженности E , в единицу времени: dq I . dt В системе СИ единица тока является основной и носит название ампер: [ I ]  [A] . За направление тока условно принимают направление движения положительных  зарядов. Линии тока направлены по движения зарядов, т.е. вдоль линии E . Поэтому величина тока является положительной величиной. В общем случае проводники могут содержать свободные заряды положительного и отрицательного знаков. Во внешних электрических полях эти заряды движутся во встречных направлениях, давая вклад в общий ток I dq dq  . dt dt Если за любые равные промежутки времени через любое сечение проводника проходит одинаковое количество электричества и направление q движения зарядов не изменяется, то такой ток называется постоянным I  . t Рис. 25. Вектор плотности 24 тока Если выделить в пространстве трубку,  направленную вдоль линии E и разделить ток dI , протекающий внутри трубки, на её поперечное сечение dS , перпендикулярное линиям тока, то получим векторную величину, называемую плотностью тока (рис. 25).  Плотность тока j – ВФВ, характеризующая распределение тока по площади проводника, численно равная силе тока, приходящейся на единицу площади поперечного сечения и направленная  по касательной к линии тока:  dI E j  . dS E Сила тока, протекающего через любую поверхность S , будет равна    потоку вектора j через эту поверхность: I   j  dS . S  Единица плотности тока в СИ: [ j ]  [A/м2] Если за время dt через поперечное сечение проводника dS в направлении  скорости u переносится электрический заряд dQ  nq u dSdt , то плотность тока и сила тока соответственно равны   j  qn u и I   qn u dS , S где n , q , u – концентрация, заряд и средняя скорость (дрейфовая) упорядоченного движения зарядов. Для существования электрического тока необходимо одновременное выполнение двух условий: а) наличие свободных носителей заряда; б) наличие электрической силы, вынуждающей их упорядоченно двигаться. 27. Сторонние силы в электрической цепи. Источники тока Если в проводнике создать электрическое поле и не принять мер для его поддержания, то перемещение носителей заряда очень быстро приведет к тому, что поле внутри проводника исчезнет и, следовательно, ток прекратиться. Для поддержания тока нужно от конца проводника с меньшим потенциалом непрерывно отводить приносимые сюда током заряды, а к концу с большим потенциалом непрерывно их подводить. Рассматриваемый проводник, следовательно, должен быть подсоединен к устройству, в котором на одном из полюсов создается избыток свободных зарядов, а на другом – недостаток. Пространственное разделение зарядов не может быть сделано силами электростатического поля, поскольку эти силы решают обратную задачу – соединяют разноименные заряды. Следовательно, разделение зарядов должны выполнять силы неэлектрического происхождения, которые способны 25 действовать на заряженные частицы либо на протяжении всей цепи, либо на отдельных ее участках. Такие силы называются сторонними. Следует заметить, что сторонние силы не действуют на сам электрический заряд, а в зависимости от их физической природы действуют на другие свойства заряженных частиц. Сторонние силы могут быть обусловлены химическими процессами, диффузией носителей заряда в неоднородной среде или через границу двух разнородных веществ, электрическими (но не электростатическими) полями, порожденными меняющимися во времени магнитными полями и т.д. Устройство, в котором за счет сторонних сил осуществляется разделение электрических зарядов и их концентрация на специальных проводниках (полюсах), называется источником тока. Рассмотрим несколько подробнее работу сторонних сил в идеальном источнике постоянного тока, т.е. в источнике, не имеющем внутреннего сопротивления. Это значит, что внутренние потери энергии отсутствуют, а вся энергия сторонних сил целиком переходит в электрическую. Положим, что на всем пути между полюсами на частицу, несущую положительный электрический заряд q  , действует постоянная сторонняя сила Fстор (рис. 26). Величина этой силы определяется ее природой и не зависит от электрического заряда частицы. Такую силу можно условно представить как результат воздействия на частицу напряженности некоторого Рис. 26. Схема движения поля сторонних сил, которая определяется силой, зарядов при наличии в цепи источника тока действующей на единичный положительный заряд:   Fстор . Eстор  q Под действием сторонних сил положительно заряженные частицы устремляются к положительному полюсу источника, а отрицательные частицы – к отрицательному. По мере того, как на выходных клеммах накапливаются заряды противоположного знака, возрастает разность потенциалов между полюсами. Одновременно растет и внутреннее электрическое (потенциальное)   поле Eкул , направленное против сторонних сил. Когда сила воздействия Fкул  этого поля на электрический заряд частицы достигает (по модулю) силы Fстор   стороннего поля, наступает равновесие Eкул   Eстор , и направленное движение заряженных частиц прекращается. На клеммах источника тока устанавливается разность потенциалов U  1   2 , которая численно равна работе, затрачиваемой сторонними силами на перемещение единицы электрического заряда внутри источника. 26 Если клеммы замкнуть на нагрузку R , по цепи потечет постоянный ток, движение заряженных частиц в источнике возобновится. При этом количество зарядов на клеммах источника и разность потенциалов на них остаются постоянными. В реальном источнике тока внутреннее сопротивление r отлично от нуля. Поэтому в рабочем режиме движение заряженных частиц в источнике тока остается равномерным, но сторонние силы немного превышают силы электростатические – на величину сил сопротивления движению частиц внутри источника. Участок цепи, на котором не действуют сторонние силы, называется однородным. Участок цепи, на котором на носители тока действуют и электрические и сторонние силы, называется неоднородным. 28. ЭДС, разность потенциалов, напряжение Сторонние силы можно охарактеризовать работой, которую они совершают над перемещающимися по цепи зарядами, возвращая их обратно. Эта работа складывается из работы, совершаемой против электрического поля внутри источника тока и работы, совершаемой против механического сопротивления среды источника (вязкости электролита и т.п.). За пределами источника тока электрические заряды перемещаются, как правило, электрическим полем. Работа электрических сил по замкнутому контуру равна нулю. Поэтому работа, которая может быть совершена электрическим током во всей цепи, равна работе сторонних сил:     Астор   Fсторdl q  ( Eсторdl ) . l l Эта работа совершается за счет энергии, затрачиваемой в источнике тока. Скалярная величина, являющаяся энергетической характеристикой источника тока и численно равная отношению работы, которую совершают сторонние силы при перемещении положительного заряда вдоль всей цепи, включая и источник тока, к величине заряда, называется электродвижущей силой источника тока (ЭДС):   Aстор    Eстор  dl . q l Рис. 27. Неоднородный 27 Отсюда ЭДС, действующая в замкнутой цепи, может быть определена как циркуляция вектора напряженности поля сторонних сил. Поскольку она не равна нулю, то поле сторонних сил – непотенциально. ЭДС, как и потенциал, измеряется в вольтах: []  [B] . Рассмотрим неоднородный участок цепи 1–2 (рис. 27). На заряд q одновременно действуют сторонние силы и силы электростатического поля. Работа, совершаемая результирующей силой над зарядом q на этом участке цепи, задается выражением участок цепи 2     A12  q  Eкул  dl  q  Eстор  dl  q (1  2 )  q 12  q (  12 ) , 2 1 1 2   где 12   Eстор  dl – ЭДС, действующая на участке цепи 1–2. 1 Введем в рассмотрение новую физическую величину – электрическое напряжение. Электрическое напряжение U – СФВ, характеризующая работу сил любой природы при протекании тока в электрической цепи, численно равная работе по перемещению единичного положительного заряда между данными точками цепи A U  12  12   . q При отсутствии сторонних сил (однородный участок цепи) напряжение U совпадает с разностью потенциалов U  (1   2 ) . Если участок цепи замкнуть, то   0 и U   . Это значит, что результирующее напряжение на всех элементах одноконтурной цепи равно сумме ЭДС всех источников тока, включенных в эту цепь. Лекция 3 29. Закон Ома для однородного участка цепи. Сопротивление проводников Ом экспериментально установил закон, согласно которому сила тока, текущего по однородному металлическому проводнику, пропорциональна напряжению U на проводнике: I U R. Коэффициент пропорциональности в этой формуле называется электрическим сопротивлением проводника. Электросопротивление R – СФВ, характеризующая свойство проводника препятствовать протеканию электрического тока и численно равная разности потенциалов, создающей в данном проводнике единичную силу тока. Единицей сопротивления СИ служит ом: [R]  [Ом]. 28 Экспериментально установлено, что величина сопротивления зависит от температуры, формы и размеров проводника, а также от свойств материала, из которого он сделан. Для однородного цилиндрического проводника R   l , S где l – длина проводника, S – площадь поперечного сечения,  – коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств материала, который называется удельным электрическим сопротивлением. Удельное электросопротивление  – СФВ, характеризующая свойство вещества препятствовать протеканию электрического тока и численно равная сопротивлению проводника единичной длины с единичной площадью поперечного сечения, изготовленного из данного вещества. Единица удельного сопротивления в СИ: []  [Ом  м] . Величина обратная сопротивлению называется проводимостью Y  1 R . Проводимость измеряется в сименсах: [Y ] = [См]. Представим закон Ома в дифференциальной (локальной) форме.   j  Eкул . где   1  – удельная электропроводность. Формула представляет собой закон Ома в дифференциальной форме. Она не содержит производных, а свое название получила потому, что в нем устанавливается связь между величинами, относящимися к одной точке проводника. 30. Сопротивление соединения проводников Используя законы параллельного и последовательного соединений, можно рассчитать полное сопротивление любой, сколь угодно разветвленной цепи, выделяя в ней участки с выраженным типом соединения проводников. Последовательным называется такое соединение участков электрической цепи, при котором конец предыдущего участка соединяется с началом последующего (рис. 29). Все участки рассматриваемой цепи однородны. Заряд, протекающий в единицу времени через каждый из участков, должен быть Рис. 29. Последовательное q одинаков, т.е. I   const . Напряжение на концах соединение сопротивлений t 29 цепи в силу аддитивности работы сил электрического поля равно сумме напряжений на каждом из ее участков n U  U i . Поэтому полное i 1 сопротивление цепи можно рассчитать как n R U i U i 1  I I . Отношение напряжения на участке цепи к величине тока в нем, в соответствии U с законом Ома, равно сопротивлению данного участка: i  Ri . Окончательно I получаем n R   Ri . i 1 Полное сопротивление цепи при последовательном соединении проводников равно сумме их сопротивлений. Параллельным называется такое соединение участков цепи, при котором начала всех участков соединяются в одной точке, а концы – в другой (рис. 30). Напряжение на концах каждого из участков одинакова U  1   2  const . Полный ток в цепи равен сумме токов, протекающих через каждый из ее участков n I   I k . Величина, обратная полному сопротивлению k 1 цепи, в соответствии с законом Ома, равна n  Ik 1 I k 1 .   R U U Рис. 30. Параллельное соединение сопротивлений Сила тока в проводнике, отнесенная к разности потенциалов на его концах, равна величине, обратной его сопротивлению Ik 1 . Окончательно получаем  U Rk n 1 1 .   R k 1Rk При параллельном соединении проводников величина, обратная полному сопротивлению цепи равна сумме величин, обратных их сопротивлениям. 30 31. Закон Ома для неоднородного участка цепи. I 1  2  12 U12 .  R12 R12 Данное уравнение – это закон Ома в интегральной форме для неоднородного участка цепи (рис. 32). Рис. 32. Схематичное Пользуясь обобщенным законом Ома, нужно изображение неоднородного участка цепи соблюдать следующее правило знаков для ЭДС источников тока, включенных на участке цепи 1-2: если напряженность поля сторонних сил в источнике совпадает с направлением обхода участка цепи, то при подсчете ЭДС этого источника берется с положительным знаком. Рассмотрим частные случаи. 1. Цепь разомкнута I  0 . ЭДС источника равна разности потенциалов на его полюсах. 2. Замкнем цепь, соединив между собой точки 1 и 2. При этом потенциалы 1 и  2 оказываются одинаковыми, а (1   2 )  0 . Тогда  I , где  – алгебраическая сумма отдельных ЭДС данной цепи, r – Rr внутреннее сопротивление источников тока, R – сопротивление внешней цепи.  3. Если R  0 , то I к.з.  . Такое соединение называется коротким r замыканием. 31 32. Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа Расчет разветвленных цепей упрощается, если пользоваться правилами Кирхгофа. Первое правило относится к узлам цепи. Узлом называется точка, в которой сходится три или более проводника. N Алгебраическая сумма токов сходящихся в узле равна нулю:  I i  0 . i 1 Ток, текущий к узлу, считается положительным, от узла – отрицательным. Первое правило Кирхгофа является выражением того факта, что в случае установившегося постоянного тока ни в одной точке проводника и ни на одном его участке не должны накапливаться электрические заряды. Первое правило Кирхгофа можно написать для каждого из N узлов цепи, но только N  1 уравнений являются независимыми. Второе правило Кирхгофа является обобщением закона Ома на разветвленные электрические цепи (рис. 33). В любом замкнутом контуре произвольной разветвленной электрической цепи, алгебраическая сумма произведений сил токов на сопротивление, соответствующих участков этого контура, равна алгебраической сумме ЭДС входящих в контур:  I i Ri    k . i 1 k 1 Контур – любой замкнутый путь, который можно обойти без пересечений, перемещаясь по любым веткам цепи. Ветвью электрической цепи называется участок цепи, вдоль которой проходит один и тот же ток. 32 Чтобы учесть знаки в указанной сумме выбирается произвольное направление обхода контура. Если выбранное произвольное направление тока совпадает с направлением обхода, то в сумму соответствующее слагаемое входит со знаком плюс, в противном случае – со знаком минус. Знак ЭДС определяется ориентацией полюсов батареи относительно обхода. Если потенциал полюсов возрастает в направлении обхода, то ЭДС берется со знаком плюс, если нет, то со знаком минус. При решении задач рекомендуется следующий порядок: 1. Произвольно выбрать и обозначить на чертеже направление токов во всех участках цепи. 2. Записать уравнение для всех N  1 узлов. 3. Выделить произвольный контур в цепи и выбрать направление обхода. Записать второе правило Кирхгофа. Вторые правила Кирхгофа можно записать только для простейших, наименьших замкнутых контуров, внутри которых нет других участков цепи. Полная система уравнений должна быть достаточной для определения всех неизвестных токов I i во всех ветвях цепи. Рис. 33. Разветвленная электрическая цепь 33. Работа и мощность тока. Закон Джоуля-Ленца. КПД электрической цепи Рассмотрим однородный участок цепи. Мощность, выделяемая во внешней цепи, равна N внеш  dA U2 ,  I U  I 2 R  dt R а во всей цепи N полн  I   . Если в проводнике течет постоянный ток и проводник остается неподвижным, то работа сторонних сил расходуется на его нагревание. Опыт показывает, что в любом проводнике происходит выделение теплоты, равное работе, совершаемой электрическими силами по переносу заряда вдоль проводника U2 dQ  dA  U  I  dt  I  R  dt   dt . R За конечный промежуток времени во всем объеме проводника выделяется количество теплоты равное 2 33 t Q   I 2  R  dt . Соотношение выражает закон Джоуля-Ленца в интегральной форме. Закон Джоуля-Ленца можно записать в дифференциальной форме   dl dQ  dI 2  R  dt   ( j  dS ) 2  dt    j 2  dV  dt . dS Количество теплоты, выделяющееся за единицу времени в единицу объема, называется удельной тепловой мощностью тока. Она равна w dQ    j 2  E 2 . dV  dt Эта формула выражает закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме: объемная плотность тепловой мощности тока в проводнике равна произведению его удельной электрической проводимости на квадрат напряженности электрического поля. Таким образом, при протекании тока в замкнутой цепи работу совершают и электрические и сторонние силы (энергия выделяется и во внешней цепи и в источнике тока). Причем полезная работа совершается только на потребителе тока – сопротивлении нагрузки R . Коэффициент полезного действия (КПД) в этом случае равен I 2 R  dt R  2  . I ( R  r )  dt R  r На практике в целом ряде случаев может стоять задача получения от имеющегося источника тока максимально возможной полезной мощности 2 R N на некотором сопротивлении нагрузки. Расчеты показывают, что (R  r)2 такая возможность реализуется, если сопротивление нагрузки согласовано с внутренним сопротивлением источника тока, т.е. если R  r . Контрольные вопросы      Что называют силой тока? Что называется плотностью тока? Назовите условия возникновения и существования электрического тока. Что такое сторонние силы? Какова их природа? В чем заключается физический смысл электродвижущей силы, напряжения и разности потенциалов? 34  Запишите закон Ома для однородного участка цепи в интегральной и дифференциальной форме?  Какова связь между сопротивлением и проводимостью, удельным сопротивлением и удельной проводимостью?  Проанализируйте обобщенный закон Ома. Какие частные законы можно из него получить?  Поясните физический смысл электродвижущей силы, разности потенциалов и напряжения на участке электрической цепи.  Как формулируются правила Кирхгофа? На чем они основаны?  Как составляются уравнения, выражающие правила Кирхгофа?  Выведите законы Ома и Джоуля — Ленца в дифференциальной форме.  В чем заключается физический смысл удельной тепловой мощности тока? 35 ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ 34. Взаимодействие между движущимися зарядами Если заряды q1 и q 2 движутся относительно друг друга со скоростью υ, то наряду с силой Кулона между ними появляется дополнительная сила, называемая магнитной:   qq  Fмаг   0  1 3 2 2 r . 4 r Действие магнитной силы на движущийся заряд q1 со стороны q 2 следует рассматривать как силовое воздействие магнитного поля, созданного движущимся зарядом q 2 . В этом случае для определения величины магнитной силы можно записать Fмаг  q1B2 , где  q  B2  0  22 – характеристика магнитного поля, 4 r называемая индукцией, выражения для магнитной  силы и для вектора B : 𝑣⃗ q2 ⃗⃗ 𝐵 𝑟⃗ q1 𝐹⃗ маг   q      Fмаг  q1[  B] , B  0 32 [  r ] . 4r 35. Взаимодействие токов. Относительный характер электрического и магнитного взаимодействия Рассмотрим два параллельных проводника с током. Внутри проводников число положительных (неподвижных ионов кристаллической решетки) и отрицательных зарядов (свободных электронов) одинаково и проводники в целом электронейтральны. Кулоновские силы отталкивания проводников равны нулю. А поскольку есть движение зарядов, в окружающем пространстве возникает магнитное поле у каждого проводника, индукция которого пропорциональна скорости направленного Рис. 35. Взаимодействие проводников с током движения и концентрации свободных зарядов. Проводники притягиваются, если токи текут в одну сторону и отталкиваются, если текут в противоположных направлениях (рис. 35). В общем случае, когда скорости зарядов непараллельны и не равны по 36 величине, магнитные силы не направлены вдоль линии, соединяющей заряды, но действующая на заряд магнитная сила всегда будет перпендикулярна вектору скорости его движения. 36. Магнитное поле. Индукция магнитного поля движущегося заряда  Выясним физический смысл вектора B . Для этого найдем его модуль в зависимости от величины магнитной силы: B Fмаг , q sin      где  – уголмежду векторами  и B . Если   B , то sin   1 . Отсюда следует, что вектор B является силовой характеристикой магнитного поля, его модуль численно равен модулю магнитной силы, действующей на единичный заряд,   движущийся с единичной скоростью, если   B и называется вектором индукции магнитного поля. В системе единиц СИ единицей измерения индукции магнитного поля  Н  является тесла [B]  [Тл]   .  А  м  Отметим, что магнитное поле – форма материи, которая создается движущимися зарядами (токами) и проявляется в действии магнитных сил на другие движущиеся заряды (токи).   q   Выражение B  0 3 [  r ] говорит о том, 4r что источником магнитного поля является заряд q   , движущийся со скоростью  и на расстоянии r от заряда. Индукцию магнитного поля можно Рис. 36. Возникновение вычислить по этому выражению в любой точке магнитного поля пространства. Кроме  того, векторное произведение указывает в данной точке направление вектора B (рис. 36), которое в частности зависит от знака заряда и определяется правилом  правого винта. На рисунке точка в кружочке означает направление вектора B к нам. 37 37. Закон Био-Савара-Лапласа На практике обычно имеют дело с полями, созданными не отдельными зарядами, а их системой – токами. Рассмотрим тонкий проводник – т.е. такой, что его толщиной можно пренебречь, по сравнению с расстояниями от этого проводника до точек, в которых будем рассчитывать индукцию магнитного поля. На рисунке фрагмент тонкого, проводника разбит на бесконечно-малые отрезки. Введем вектор dl , направление которого совпадает с направлением тока в проводнике, а модуль совпадает с длиной бесконечно-малого отрезка.  Тогда от этого малого элемента dl с зарядом dq Рис. 37. Магнитное поле можно рассчитать индукцию магнитного поля  элемента тока dB на расстоянии r от этого элемента по формуле     dB  0 3 dq[  r ] . 4r Разделим и умножим правую часть на dt , получим:   dq   I    dB  0 3 [  dt  r ]  0 3 [dl  r ] . 4r dt 4r (1)    Поскольку dB является результатом векторного произведения векторов dl и r , то он перпендикулярен к плоскости, образованной векторами-сомножителями, а его направление определяется правилом правого винта. В 1820 году французские физики Био и Савар провели исследование магнитных полей текущих по тонким проводникам различной формы. Проанализировав их экспериментальные данные, Лаплас нашел, что индукция магнитного поля любого тока может быть вычислена как векторная сумма (суперпозиция) полей, создаваемых отдельными элементарными участками токов. Для индукции магнитного поля, создаваемого элементом тока, Лаплас получил формулу (1). Поэтому она носит название закона Био-Савара-Лапласа. Исходя из этого закона и принципа суперпозиции полей для проводника произвольной формы, индукция магнитного поля будет равна:    I   B   dB   0 3 [dl  r ] , l l 4r а для нескольких проводников различной конфигурации принцип суперпозиции 38 запишется так: n       B  B1  B2  B3  ...  Bn   Bi . i В общем случае, задача расчета магнитного поля в данной точке довольно сложна. Однако в ряде случаев решение оказывается простым. 38. Применение закона Био-Савара-Лапласа к расчету магнитных полей 1. Рассмотрим проводник конечной длины. На рисунке 38 ток по проводнику течет от точки 1 к точке 2. Разобьем проводник на бесконечно-малые отрезки и выделим произвольный элемент тока  Id l . В точке A , расположенной на кратчайшем расстоянии r0 от  проводника, все вектора dB от всех элементов будут параллельны и направлены от нас. Результирующее  поле направлено также как dB . Запишем закон Био-Савара-Лапласа Рис. 38. Магнитное поле для модуля индукции магнитного проводника конечной длины поля B l 0 I 4r 2 dl  sin  ,   где  – угол между направлением тока в проводнике Id l и направлением r на рассматриваемую точку поля A . Выразим r и dl через  и r0 , сведя тем самым интегрирование не по длине проводника, а по углу  , который меняется в пределах от 1 до  2 . Учитывая всё это, получим: r d r и dl  0 2 . r 0 sin  sin  Подставляя полученные соотношения в интеграл, будем иметь: 2  0 I sin 2   r0 d 1 4r0 2 sin 2  B  0 I  2  I  sin   sin   d  0  (cos1  cos 2 ) .  4r0  4r0 1 Теперь представим, что проводник удлиняется, становится бесконечно длинным. Тогда угол 1  0 , а угол  2   . Подставив эти значения в 39 полученную формулу, получим, что для бесконечно длинного проводника: B 0 I . 2r0 39. Графическое изображение магнитного поля. Поток вектора индукции магнитного поля. Теорема Гаусса Стационарное  магнитное поле может быть изображено графически – линиями вектора B . Это такие линии, касательные к которым в любой точке совпадают с направлением вектора индукции магнитного поля (рис. 40). Свойства линий индукции магнитного поля: а) линии всегда замкнуты и окружают токи, создающие магнитное поле; б) линии одного тока никогда не пересекаются.  Направление вектора B и тока I связаны правилом правого винта: если головку правого винта Рис. 40. Линии индукции магнитного поля вращать  в направлении кругового тока вектора B , то сам винт, двигаясь поступательно, покажет направление тока. Линии индукции магнитного поля проводятся так, чтобы число линий, пронизывающих единичную  площадку, перпендикулярную B , было равно или  пропорционально модулю B . По аналогии с понятием потока вектора напряженности электрического поля введем понятие Рис. 41. Поток вектора потока вектора индукции магнитного поля. Для индукции этого рассмотрим фрагмент поверхности, площадью S , которую пронизывают линии индукции магнитного поля. В точке, где одна из линий пересекает поверхность, выделим бесконечно  малый участок, площадью dS (рис. 41). В этой точке вектор индукции B идет по касательной к линии индукции и образует угол  с  единичным вектором нормали n к площадке dS . Тогда элементарным  потоком вектора магнитной индукции d B через площадку dS , называется скалярная величина, определяемая выражением:   d B  BdS  BdS cos  ,   где dS  dS  n . В зависимости от знака cos поток может быть положительным и отрицательным. Поток вектора магнитной индукции или просто магнитный поток в системе СИ измеряется в веберах: 40 []  [Вб]  [Тл  м 2 ] . Полный поток через всю поверхность S определяется как:    В   d B   BdS . S S Магнитный поток, созданный контуром с током, через поверхность,  ограниченную им самим, всегда положителен. Поскольку линии индукции B всегда замкнуты вокруг токов, то это говорит об отсутствии в природе магнитных зарядов. Для любого магнитного поля и произвольной замкнутой   поверхности выполняется условие:  В   BdS  0 , так как число линий, S входящих в замкнутую поверхность, равно числу линий выходящих из нее. Это выражение определяет сущность теоремы Гаусса для магнитных полей. 40. Теорема о циркуляции вектора индукции магнитного поля. Вихревой характер магнитного поля  Циркуляцией вектора индукции магнитного поля B по замкнутому    контуру l называют интеграл Cl   Bdl , где dl – элемент длины контура, l Рис. 42. Циркуляция вектора В (ток направлен от нас) направленный вдоль обхода контура (рис. 42). Из закона Био-Савара-Лапласа и принципа суперпозиции магнитных полей как экспериментальных факторов вытекает важное следствие, которое облегчает расчет магнитных полей. Циркуляция вектора индукции магнитного поля в вакууме по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной  0 на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром интегрирования: n    Bdl  0  I i , i 1 l где n – число проводников с током. Это соотношение называется теоремой о циркуляции. Она доказывает, что в отличие от электростатического поля, для   которого  Edl  0 , магнитное поле является не потенциальным. Поля, l обладающие таким свойством, называются вихревыми. Их силовые линии – замкнутые кривые. Теорему о циркуляции легко доказать, смотри, например, «Курс общей физики, т. 2» И. В. Савельева. 41 Заметим, что ток – величина алгебраическая. Ток в сумме считается положительным, если его направление связано с направлением обхода контура правилом правого винта. Каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он пересекает плоскость, ограниченную контуром. Если контур, расположенный в   магнитном поле, не охватывает тока или внутри его  I i  0 , то  Bdl  0 . i l Для примера рассмотрим магнитное поле прямого тока (рис. 42). Замкнутый контур представим в виде окружности радиусом r . В каждой точке  этой окружности вектор B одинаков по модулю и направлен по касательной. Тогда   0 I . B  dl  B  dl  B  2r   0 I , где B  2  r l l 41. Применение теоремы о циркуляции к расчету магнитных полей 1. Рассмотрим применение теоремы для расчета магнитного поля длинного соленоида. Соленоидом называют катушку цилиндрической формы из провода, витки которой намотаны в одном направлении и плотно прилегают друг к другу. Магнитное поле соленоида представляет собой результат сложения полей, создаваемых несколькими круговыми токами, расположенными рядом и имеющими общую ось (рис. 43). Внутри соленоида силовые линии каждого отдельного витка имеют одинаковое направление. Поэтому Рис. 43. Магнитное поле принято считать поле бесконечно длинного соленоида соленоида (такого, у которого диаметр d гораздо меньше длины l ) однородным и существующим только внутри его. Это  означает, что снаружи B  0 . Пусть I – сила тока в соленоиде. Выберем контур интегрирования в виде прямоугольника так, чтобы он охватывал все N витков провода (смотри рисунок). Применим теорему о циркуляции к выбранному нами контуру:   B  dl   B cosdl   B cosdl   B cosdl   B cosdl  0 NI . abcda ab bc cd da   Интегралы по участкам da и bc равны 0, так как векторы dl  B и соответственно cos  0 . По участку cd , находящемуся снаружи соленоида,  интеграл также равен нулю, так как снаружи B  0. В интеграле по стороне ab cos  1 (направление обхода и направление B совпадают), а B  const . Следовательно, 42   B  dl  B  dl  0 NI . abcda ab Отсюда получим, что B   0 nI , N – число витков, приходящихся на единицу длины соленоида. l 2. Применим теорему о циркуляции к тороиду, который представляет собой соленоид, свитый в кольцо. Пусть по катушке тороида, со средней линией радиусом R и количеством витков N , течет ток силой I. Магнитное  поле внутри него однородно, а снаружи отсутствует. Линии вектора B , как следует из соображений симметрии, представляют собой концентрические окружности, центры которых совпадают с центром самого тороида (рис. 44). В качестве контура интегрирования выберем одну такую окружность радиусом r . В силу  симметрии в каждой точке контура векторы B и dl параллельны друг другу. По теореме о циркуляции где n    B  dl  B  2r   0 NI . l N – число витков, 2R приходящихся на единицу длины тороида (длину средней линии). Тогда, после несложных Введем Рис. 44. Магнитное поле тороида величину n преобразований получим: B   0 nI R . r Если R мало отличатся от r , то формула для тороида совпадает с формулой для длинного соленоида. Контрольные вопросы  Докажите, что магнитное взаимодействие зарядов является релятивистским эффектом?  Запишите выражение для магнитной силы взаимодействия двух параллельно движущихся положительных зарядов?  Что называют индукцией магнитного поля? Каково направление вектора магнитной индукции?  Записав закон Био – Савара – Лапласа, объясните его физический смысл.  Рассчитайте, применяя закон Био – Савара – Лапласа, магнитное поле прямого тока и кругового проводника с током. 43  Нарисуйте и покажите, как ориентированы линии магнитной индукции поля прямого тока?  Что называют потоком вектора магнитной индукции? Запишите теорему Гаусса для магнитного поля, объяснив ее физический смысл.   В чем заключается теорема о циркуляции вектора магнитной индукции B ? Применив её, рассчитайте магнитное поле прямого тока.    Какой вывод можно сделать, сравнивая циркуляцию векторов E и B ?  Почему магнитное поле является вихревым?   Используя теорему о циркуляции вектора магнитной индукции B , рассчитайте магнитное поле тороида. 44. Кривая намагничивания ферромагнетика, гистерезис, домены Ферромагнетиками называют вещества, которые обладают спонтанной намагниченностью, т.е. намагничены уже при отсутствии внешнего поля. Типичные представители этого класса магнетиков – это железо, кобальт, никель и многие их сплавы. Характерной особенностью ферромагнетиков является сложная нелинейная зависимость намагниченности J  f (H ) и B  f (H ) . Кривая J  f (H ) , для которой намагниченность J  0 при H  0 , называется основной кривой намагничения (рис. 46). При увеличения магнитного поля намагниченность выходит на насыщение уже для малых H . Это говорит о том, что достаточно небольших полей, чтобы ориентировать все имеющиеся у молекул магнитные моменты вдоль поля. Ввиду нелинейной зависимости B  f (H ) магнитная проницаемость ферромагнетика Рис. 46. Кривая является функцией   f (H ) , т.е. её величина – не намагничивания постоянна. Максимальное значение магнитной ферромагнетика проницаемости для ферромагнетиков может достигать 5 величин 10 . Рассмотрим, как ведет себя магнитная индукция в зависимости от напряженности магнитного поля. Если довести процесс намагничивания до насыщения, а затем уменьшить напряженность магнитного поля, то индукция B следует не по первоначальной кривой, а по кривой, лежащей несколько выше. В момент, когда напряженность H  0 , B  B ост (остаточная индукция). Намагниченность при этом равна J ост (остаточная намагниченность). Индукция B обращается в нуль лишь под действием противоположного поля напряженностью H c , которая называется коэрцитивной (задерживающей) силой. 44 Таким образом, при переменном изменении направления намагничивающего поля зависимость B  f (H ) будет изображаться петлеобразной кривой, которая носит название петли гистерезиса. Если каждый раз намагниченность J будет достигать насыщения, мы получим предельную (максимальную) петлю гистерезиса (рис. 47). Существование остаточной намагниченности дает возможность изготовления постоянных магнитов. Магнитные материалы бывают разные – жесткие с Рис. 47. Петля большими значениями и мягкие с малыми значениями гистерезиса коэрцитивной силы. Перемагничивание ферромагнетика сопровождается выделением тепла. Контрольные вопросы  Из каких магнитных моментов складывается магнитный момент атома?  Можно ли провести аналогию между намагничиванием диамагнетика и поляризацией диэлектрика с неполярными молекулами?  Можно ли провести аналогию между намагничиванием парамагнетика и поляризацией диэлектрика с полярными молекулами?  Что такое диамагнетики и парамагнетики? В чем различие их магнитных свойств?  Что такое намагниченность?   Проанализируйте теорему о циркуляции вектора B в веществе. Что представляет собой напряженность магнитного поля?  Выведите соотношение между векторами магнитной индукции, напряженности магнитного поля и намагниченности.  Запишите и объясните соотношения между магнитной проницаемостью и восприимчивостью. Какую температуру для ферромагнетика называют точкой Кюри?  Объясните петлю гистерезиса ферромагнетика.  Каков механизм намагничивания ферромагнетиков? 45 Лекция 4 45. Действие магнитного поля на ток. Закон Ампера  Рассмотрим действие магнитного поля с индукцией B на проводники, по которым текут токи    dF  I [dl  B] . На проводник с током, помещенный в магнитное поле, со стороны поля действует сила. Впервые это утверждение высказал французский ученый A. Ампер в 1820 году, установивший экспериментально действие магнитного поля на проводники с током. Модуль силы определяется выражением:   dF  Idl  B sin  , где  – угол между векторами dl и B . Сила, действующая на провод конечной длины, равна:    F  I  [dl  B] . Рис. 48. Определение направления силы Ампера l Если магнитное поле однородно и в нем находится прямой проводник с током, длиной l , то, интегрируя, получим: F  IlB sin  . Рассмотрим взаимодействие двух параллельных, бесконечно длинных, прямых проводников, по которым текут токи I1 и I 2 . Каждый из проводников находится в магнитном поле, созданном другим проводником: первый в магнитном   поле с индукцией B2 , второй с индукцией B1 . На рисунке 49   направления B2 и B1 показаны кружком с точкой и крестиком соответственно. Значения индукций магнитных полей равны: B1 0 I1  I , B2 0 2 . 2r0 2r0 На единицу длины второго проводника действует сила:  I F f 21  21  I 2 0 1 . l2 2r0 46 Рис. 49. Взаимодействие прямых проводников с током 47. Работа по перемещению проводника с током и контура с током в магнитном поле Рассмотрим однородное магнитное поле, в котором перпендикулярно силовым линиям расположен подвижный проводник с током (рис. 55). Согласно закону Ампера на проводник с током в магнитном поле действует сила: FA  IBl sin   IBl . В результате проводник может изменить свое первоначальное положение, например, переместиться на расстояние dx . В этом случае элементарная работа, совершаемая действующей силой, будет равна dA  FA  dx  cos  , где  – угол между направлением перемещения и направление силы. Так как в рассматриваемом случае направление силы и перемещения совпадают cos  1 , то dA  FA  dx  IBl  dx  IB  dS  I  d B , Рис. 55. Работа силы где ldx  dS – площадь, пересекаемая элементом Ампера проводника при его перемещении; B  dS  d B – элементарный магнитный поток пронизывающий dS . Если ток постоянен и проводник прямолинейный, то A  I   m . Постоянство тока может быть достигнуто только при очень медленном перемещении. Теперь вычислим работу по перемещению контура с током в магнитном поле. A  ISB2  ISB1  I ( B 2   B1 )  I   B . Рис. 56. Перемещение контура в убывающем магнитном поле Полученные формулы выполняются для любых проводников и контуров и для любого магнитного поля. Но перемещение контура, как и проводника, должно происходить медленно. 48. Действие магнитного поля на движущийся заряд. Сила Лоренца При рассмотрении магнетизма, как проявление релятивистского эффекта, была получена обобщенная формула для силы взаимодействия между двумя    движущимся электрическим зарядами: Fy  Fкул  Fмаг , которую после соответствующих преобразований записать как:  можно    Fл  qE  q[  B] , 47  где E – напряженность электрического поля. Формула отображает силу, действующую на движущиеся электрические заряды в электромагнитном поле. Эта сила называется обобщенной силой Лоренца.  В частном случае силой Лоренца называют магнитную силу Fмаг , действующую на заряженные   частицы в магнитном поле. В дальнейшем будем подразумевать, что Fмаг  Fл . Модуль этой силы равен: Fл  qB sin  , где  –   угол между векторами  и B . Отметим особенности силы Лоренца: 1) Сила Лоренца действует только на движущиеся заряды (   0 , Fл  0 ); 2) Если заряженная частица движется вдоль линий индукции, то на эту частицу сила Лоренца не действует (   0 , Fл  0 ); 3) Из определения векторного произведения следует, что сила Лоренца   перпендикулярна  и B . Направление силы Лоренца определяется (для положительных зарядов) правой тройкой векторов (правилом правого винта);   4) Так как Fл   – сила Лоренца не совершает работу и поэтому не может изменить кинетическую энергию частицы. Такая сила является центростремительной. Её действие сводится к сообщению заряженной частице центростремительного ускорения. 49. Движение заряженных частиц в магнитном поле Рассмотрим однородное магнитное поле. Если заряженная частица  движется вдоль или против силовых линий со скоростью  , то силы на частицу не действуют, и она будет продолжать свое движение с той же скоростью, не изменяя своего направления. Пусть теперь заряженная частица массой m влетает в магнитное поле  перпендикулярно линиям индукции со скоростью  . Приравняв силу Лоренца центростремительной силе, получим: m2 m   R   , q B  q B R q – удельный заряд частицы; R – радиус кривизны траектории. Если m магнитное поле однородное, то R   const , т.е. частица движется по окружности в плоскости перпендикулярной B . Период её обращения равен: где T 2R 2   m m 2     .   q B q B Нетрудно заметить, что период не зависит от скорости частицы и полностью определяется индукцией поля и величиной удельного заряда. 48 Теперь рассмотрим случай, когда 0    90 .   Разложим вектор  на две составляющие:   –    перпендикулярную к B и  II – параллельную B . Модули этих составляющих равны      sin  ,  II    cos  (рис. 57). Перпендикулярная составляющая скорости обеспечивает движение Рис. 57. Траектория частицы по окружности, а параллельная – движения заряженной равномерное прямолинейное движение вдоль поля. частицы в магнитном поле Результирующее движение образует  цилиндрическую спираль (винтовую линию), ось которой параллельна B . Направление закручивания спирали (правая, левая) зависит от знака заряда. За время одного оборота частица пройдет путь равный шагу цилиндрической спирали, который определяется как  m 2 . h   II  T    cos   q B 50. Принцип действия циклического ускорителя Циклотрон – ускоритель заряженных частиц. В его основу положена независимость периода обращения заряженной частицы от ее скорости. Циклотрон состоит из двух электродов – дуантов, выполненных в виде половинок полых цилиндров, расположенных между полюсами большого магнита (рис. 58). Магнитное поле однородно и перпендикулярно к плоскости дуантов. На дуанты подается высокочастотное переменное напряжение. Пространство внутри дуанта является эквипотенциальным, поэтому частица, испускаемая из центра, находится здесь под действием только магнитного поля с индукцией  Рис. 58. Циклотрон B и поэтому движется по окружности. В то же время, пройдя полкруга, частица постоянно попадает в ускоряющее электрическое поле. При этом скорость частицы и радиус траектории непрерывно увеличиваются. В результате частица движется по кривой, близкой к спирали, пока не достигнет мишени M . Имея источник переменного напряжения U  105 В, можно ускорить протоны до энергии примерно 25 МэВ. Для получения больших энергий частиц нужно менять частоту напряжения и величину индукции магнитного поля для синхронизации процесса движения частицы. Ускоритель, имеющий такие возможности, называется синхрофазотроном. Применяются ускорители в основном в научных целях. 49 Контрольные вопросы  Почему движущийся заряд по своим магнитным свойствам эквивалентен элементу тока?  Найдите выражение для силы взаимодействия двух бесконечных прямолинейных одинаковых токов противоположного направления. Начертите рисунок с указанием сил.  Чему равен и как направлен магнитный момент рамки с током?  Как определяется работа по перемещению проводника с током в магнитном поле?  Что такое обобщенная сила Лоренца?  Чему равна работа силы Лоренца при движении протона в магнитном поле? Ответ обосновать.  Как будет двигаться заряженная частица, влетевшая в однородное  магнитное поле, к вектору B под углом?  Когда заряженная частица движется в магнитном поле по спирали? От чего зависит шаг спирали?  Что такое ускорители заряженных частиц? Какие они бывают и чем характеризуются?  В чем заключается эффект Холла?  Выведите формулу для холловской разности потенциалов.  Какие данные о проводниках и полупроводниках можно получить на основе экспериментального исследования эффекта Холла? ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ 52. Опыты Фарадея. Закон Фарадея В 1831 году англичанин М. Фарадей открыл явление электромагнитной индукции. Оно заключалось в том, что при всяком изменении магнитного потока, сцепленного с контуром, в этом контуре возникает электрический индукционный ток I i . В качестве иллюстрации приведем некоторые из классических опытов Фарадея. Если проводник в виде катушки замкнуть на гальванометр и вдвигать в неё постоянный магнит, то гальванометр покажет возникновение кратковременного тока. При прекращении движения магнита прекращается и ток. Если изменить направление движения магнита, то изменится и направление тока. Такое же изменение направления тока происходит при перемене полюсов магнита. Отклонение стрелки гальванометра тем больше, чем больше скорость движения магнита относительно катушки. 50 Точно такая же картина наблюдается и при перемещении катушки относительно неподвижного магнита и при замене постоянного магнита электромагнитом – катушкой, по которой пропускается постоянный ток. Наконец, если обе катушки закрепить неподвижно, но менять магнитное поле, создаваемое электромагнитом, включая или выключая в нём источник тока или изменяя ток реостатом, то во второй катушке также возникает индукционный ток. Его величина зависит от скорости изменения тока в цепи электромагнита. Обобщая результаты всех своих опытов, Фарадей пришел к выводу, что индукционный ток можно получить двумя способами: 1. перемещением контура (или его части) в магнитном поле; 2. созданием в неподвижном контуре переменного магнитного поля. Направление индукционного тока в контуре зависит от того, как меняется магнитный поток. Э. Ленц в 1833 году установил правило, согласно которому индукционный ток всегда имеет такое направление, что создаваемый им магнитный поток через поверхность, опирающуюся на контур, противодействует изменению того магнитного потока, который вызывает этот индукционный ток. Из закона Ленца следует, что внешнее магнитное поле всегда тормозит движение проводника с индукционным током. Появление индукционного тока означает, что при изменении магнитного потока в проводящем контуре возникает электродвижущая сила индукции  i , которая связана с током I i законом Ома: I i   i R . В 1845 году Ф.Э.Нейман, переводя представления Фарадея на язык математики, записал: d B . i   dt Эта формула выражает закон электромагнитной индукции и включает в себя правило Ленца. Полная производная в законе «автоматически» учитывает все перечисленные выше, независимые друг от друга причины, которые приводят к появлению ЭДС индукции. Знак магнитного потока  B связан с выбором нормали к поверхности S , сцепленной с контуром, а знак  i связан с выбором положительного направления обхода по контуру (направление индукционного тока). Поэтому при практическом использовании данной формулы направление нормали к поверхности и направление обхода контура должны быть связаны правилом правого винта. Тем самым мы определяем и знак магнитного потока, и «направление» ЭДС индукции в контуре (рис. 61). Рис. 61. Направление нормали и обхода 51 контура Следует отметить, что  i возникает на каждом участке проводника, даже в том случае, если он не замкнут. В отличие от ЭДС источника тока ЭДС электромагнитной индукции является распределенной величиной. Таким образом, электромагнитная индукция – это возникновение электродвижущей силы (ЭДС индукции) в проводящем контуре, находящемся в переменном магнитном поле или движущимся в постоянном магнитном поле. 53. ЭДС индукции в проводнике, движущемся в магнитном поле Рассмотрим случай, когда по П-образному проводнику в магнитном поле с индукцией B свободно скользит перемычка (проводник) длиной l .   d B  i . dt Следовательно, возникающая в проводнике при его движении в постоянном магнитном поле электродвижущая сила есть не что иное, как электродвижущая сила индукции. Рис. 62. Проводник в постоянном магнитном поле 54. ЭДС в рамке, вращающейся в магнитном поле. Генераторы электрического тока Рассмотрим теперь рамку, вращающуюся в магнитном поле, как изображено на рисунке 64. Обозначим площадь рамкичерез S , а угол между  нормалью к рамке n и линиями вектора индукции B через  . Магнитный поток, сцепленный с рамкой, будет равен  B  BS cos  . Начнем равномерно вращать рамку с угловой скоростью  так, что     t . В рамке будет возникать переменная электродвижущая сила индукции: i   d B  BSsin( t )   max  sin( t ) , dt Рис. 64. Модель генератора где  max  BS – максимальное значение электродвижущей силы, определяющее ее амплитуду. Так что рамка, вращающаяся в магнитном поле, по существу является простой моделью генератора переменного тока. 52 Если в магнитном поле вращается контур, состоящий из N витков, то действующая в нем ЭДС равна сумме ЭДС, возникающих в каждом из витков d k d N   k . dt k 1 k 1 dt N i    N Величину B    k называют магнитным потокосцеплением или полным k 1 магнитным потоком. Если все N витков пронизываются одним и тем же потоком  , то B  N . Например, ЭДС в соленоиде, равномерно  вращающемся в однородном магнитном поле вокруг оси, не параллельной B и осевой линии соленоида, равна: i   dB  NBSsin( t  0 )  N   max  sin( t  0 ) , dt где N – число витков соленоида;  max – амплитуда ЭДС в одном витке. Как видно из полученного выражения, для увеличения электродвижущей силы нужно увеличивать индукцию магнитного поля, частоту вращения, площадь рамки и число витков в ней. Увеличение скорости вращения генератора приводит к возрастанию механических напряжений в узлах вращения. Обычно выбирается приемлемая частота вращения. У нас в стране принята стандартная частота 50 Гц. Увеличение индукции требует установки мощных постоянных магнитов или значительного тока в случае электромагнитов, внутрь которых помещают сердечники из ферромагнетиков с большой магнитной проницаемостью. Процесс превращения механической энергии в электрическую можно обратить. Если через рамку, помещенную в магнитное поле, пропускать электрический ток, то рамка начнет вращаться. Мы получим электрический двигатель. 56. Явление самоиндукции, индуктивность цепи, индуктивность длинного соленоида Вокруг любого проводника с током I возникает магнитное поле с индукцией B ~ I . Следовательно, с любым контуром тока всегда сцеплен поток магнитной индукции  B ~ B . Если в пространстве, где находится контур с током, нет ферромагнетиков, то магнитный поток через контур будет прямо пропорционально току B  L  I , где L – коэффициент пропорциональности, называемый индуктивностью 53 контура. Например, полный магнитный поток сквозь соленоид, состоящий из N витков (контуров), равен N 2S B  BSN  0 I, l где  – магнитная проницаемость сердечника; S – площадь поперечного сечения соленоида; l – его длина. Сопоставляя это выражение с предыдущим, получим 2 N 2S N Рис. 66. Магнитное L  0  0   V  0 n 2V , потокосцепление l  l  N где n  – число витков на единицу длины, V  S  l – объем соленоида. l Отсюда видно, что индуктивность в общем случае зависит только от геометрической формы контура, его размеров и магнитной проницаемости той среды, в которой он находится. За единицу индуктивности контура (соленоида) принимается генри [ L]  [Гн]  [Вб / A] . При изменении силы тока в контуре будет изменяться и сцепленный с ним поток. Изменение же магнитного потока, согласно закону электромагнитной индукции, возбудит в этом же контуре ЭДС: s   d B d dL dI   dI   ( L  I )   L  I  . dt dt dt dI dt   Явление возникновения в цепи электродвижущей силы индукции в результате изменения тока в самой цепи называется явлением самоиндукции. Если контур не деформируется и магнитная проницаемость среды не зависит от напряженности магнитного поля (не ферромагнитная), то закон Фарадея для самоиндукции запишется в более простом виде:  s  L dI . dt Из этой формулы видно, что если сила тока возрастает с течением времени dI  0 , то электродвижущая сила индукции отрицательна  s  0 , а это означает, dt что ЭДС самоиндукции «тормозит» движение зарядов в проводнике, совершая отрицательную работу, т.е. уменьшает ток в проводнике. Если ток в проводнике dI  0 , то  s  0 – ЭДС самоиндукции препятствует уменьшению убывает dt тока в проводнике, т.е. его поддерживает. Самоиндукция в электромагнетизме играет такую же роль, как инерция в механике. 54 Таким образом, в цепях с переменным током существуют одновременно две ЭДС – источника тока  и самоиндукции  s , которые изменяются в противофазе. 58. Явление взаимоиндукции, взаимная индуктивность. Трансформаторы Взаимная индукция, явление, в котором обнаруживается магнитная связь двух или более электрических цепей. Благодаря этой связи возникает ЭДС индукции в одном из контуров при изменении тока в другом (рис. 70). Это происходит потому, что магнитный поток 1 , создаваемый током I1 в первом контуре, частично пронизывает другой контур, возбуждая в нем ЭДС индукции. Если  21 – часть потока Рис. 70. Индуктивно связанные 1 , которая пронизывает другой контур, то контуры  21 ~ 1 , а 1 ~ I1 , значит,  21 ~ I1 . Тогда, если ввести коэффициент пропорциональности M 21 получим, что  21  M 21 I1 . При изменении тока I1 изменяется поток 1 и в другом контуре возбуждается ЭДС индукции i 2   d 21 d   ( M 21I1 ) . dt dt Аналогичным образом можно показать, что ЭДС индукции, которая возникает в первом контуре при изменении тока во втором, равна  i1   d12 d   ( M 12 I 2 ) . dt dt M 12  M 21  M . Коэффициент пропорциональности M называют коэффициентом взаимной индукции контуров или взаимной индуктивностью. Он зависит от размеров, формы контуров, расстояния между ними, от их взаимного расположения, а также от магнитной проницаемости окружающей среды. В системе СИ измеряется в генри [M ]  [Гн]. Если контуры не деформируются, а среда, окружающая их, не ферромагнитная, то взаимные индуктивности являются константами и выражения для электродвижущей силы взаимной индукции выглядят проще: 55 dI 2 dI , i 2  M 1 . dt dt На явлении взаимной индукции основана работа трансформаторов, применяемых для повышения или понижения напряжения переменного тока. Рассмотрим трансформатор, состоящий из двух обмоток с числом витков N1 и N 2 , насаженных на один замкнутый магнитопровод. Обмотку трансформатора делают так, чтобы омическое сопротивление было гораздо меньше Рис. 71. Тороидальный индуктивного. К первичной обмотке подключается трансформатор переменная внешняя ЭДС 1 . Переменный ток I1 создает в магнитопроводе переменный магнитный поток, который вызывает во вторичной обмотке появление ЭДС взаимной индукции  i1   M 2   N2 1 , N1 где знак минус показывает, что 1 и  2 изменяются в противофазе. N Отношение k  2 – называется коэффициентом трансформации. Он N1 показывает во сколько раз ЭДС во вторичной обмотке больше, чем в k  1, то трансформатор повышающий, если k  1 – первичной. Если понижающий. Пренебрегая потерями в трансформаторе и применяя закон сохранения энергии, можно написать  2 I 2  1I1 . Так как  2  k1 , то I 2  I1 k , и, следовательно, повышающий напряжение трансформатор во столько же раз понижает силу тока. Это свойство используется при передаче энергии на расстояния по проводам. Чтобы минимизировать выделяющееся в проводах Джоулево тепло Q  I 2 R , где R – сопротивление проводов, напряжение сначала повышают, а затем у потребителя понижают. Контрольные вопросы  В чем заключается явление электромагнитной индукции? Проанализируйте опыты Фарадея.  Сформулируйте правило Ленца, проиллюстрировав его примерами. Как направлен индукционный ток?  Возникает ли индукционный ток в проводящей рамке, поступательно движущейся в однородном магнитном поле?  Какова природа ЭДС электромагнитной индукции? 56  Выведите выражение для ЭДС индукции в плоской рамке, равномерно вращающейся в однородном магнитном поле. За счет чего её можно увеличить?  В чем заключается физический смысл индуктивности контура? взаимной индуктивности двух контуров? От чего они зависят?  В чем заключаются явления самоиндукции и взаимной индукции? Вычислите ЭДС индукции для обоих случаев.  Когда ЭДС самоиндукции больше – при замыкании или размыкании цепи постоянного тока?  В чем заключается физический смысл времени релаксации?  Приведите соотношение между токами в первичной и вторичной обмотках повышающего трансформатора.  Что такое вихревые токи? Вредны они или полезны?  Запишите и проанализируйте выражения для объемной плотности энергии магнитного поля.  Напряженность магнитного поля возросла в два раза. Как изменилась объемная плотность энергии магнитного поля? 57