Цифровые системы управления. Структурно-операторное описание

Тема 2. Цифровые системы управления. Структурно-операторное описание Введение Применение микропроцессорной техники, компьютеров или ЭВМ в качестве устройств управления в настоящее время является распространенным явлением. Это связано со значительным удешевлением средств вычислительной техники и ее универсальными возможностями в обработке информации. Ввиду того что обработка информации осуществляется в цифровой форме, системы управления, построенные на основе вычислительной или микропроцессорной техники, называются цифровыми. При автоматизации работы сложных технических объектов, какими являются робототехнические комплексы, технологические установки текстильного, химического, деревообрабатывающего, машиностроительного производства, энергетические агрегаты, системы цифрового управления целесообразно строить как многоуровневые с иерархической соподчиненностью. Методика синтеза таких многоуровневых систем подробно рассмотрена в учебном пособии [I]. В общем случае выделяется три функциональных уровня – оптимизация процесса, взаимосвязанное (управление) и локальное управление. Такой подход значительно упрощает синтез и практическую реализацию цифровых систем управления. Например, в децентрализованной системе управления робототехническими комплексами верхний уровень вырабатывает программное задание движения в виде изменения во времени координат положения конкретного звена исполнительного механизма. Локальные регуляторы обеспечивают заданные динамические свойства электропривода и статическую точность отработки угла поворота. Разделение функций между уровнями упрощает задачи синтеза законов управления и снижает требования по быстродействию и объему памяти к вычислительным устройствам каждого уровня. Поэтому многоуровневые системы находят наибольшее практическое применение. Качество управления в многоуровневых системах в первую очередь зависит от работы локальных регуляторов нижнего уровня, так как они непосредственно управляют нагревательными элементами, электрическими клапанами, электроприводами и другими исполнительными устройствами. Эти регуляторы могут работать как в составе многоуровневых систем, так и использоваться самостоятельно. Отсюда вытекает важность синтеза таких локальных цифровых систем управления, которые обеспечивают высокие статические и динамические показатели. В цифровых системах на ЭВМ или микропроцессорный регулятор возлагаются также функции логического управления пуском, остановом, переходом с одного технологического режима на другой, также функции диспетчеризации, регистрации и диагностики состояния технологических агрегатов. Эти функции достаточно хорошо алгоритмизируются и, как правило, не вызывают принципиальных затруднений при написании программ управления. Более сложной является задача синтеза законов цифрового управления (цифровых регуляторов) в замкнутой системе автоматического управления непрерывными технологическими процессами. Простое “механическое” использование методов синтеза, используемых для аналоговых систем управления, для цифровых систем из-за наличия квантования сигналов по времени и уровню возможно не всегда. Это может привести к таким нежелательным последствиям, как получение более худшего качества регулирования, вплоть до потери устойчивости. Поэтому анализ и синтез цифровых систем управления целесообразно осуществлять с учетом квантования сигналов. Этого требует, в свою очередь, переход от описания процессов управления в виде дифференциальных уравнений к разностным и от непрерывного преобразования Лапласа к дискретному. Кроме того, гибкость программируемых цифровых регуляторов, позволяет не ограничиваться только выбором стандартных пропорциональных, интегральных и пропорционально-интегрально-дифференциальных законов регулирования, как в случае аналоговых устройств. Возникает техническая возможность применять более сложные законы и алгоритмы управления, которые могут обеспечить значительно более высокое качество регулирования по различным показателям, чем в случае использования аналоговых регуляторов. Поэтому знание и умение осуществлять анализ и синтез цифровых систем управления является обязательным требованием к специалистам по автоматизации. В пособии представлены два подхода: один основан на операторно-структурном описании САУ в виде моделей “вход-выход” или передаточных функций; другой - на понятии переменных состояний или пространства состояний. В обоих случаях решается одна задача – компенсация или нужное размещение нулей и полюсов замкнутой системы, обеспечение требуемого качества переходного процесса. 2.1.Структурно-операторное описание цифровой системы управления 2.1.1. Математическое описание цифровых (импульсных) САУ В системах управления, содержащих ЭВМ или микропроцессорный регулятор, сигналы квантуются по времени и по уровню. На рис.2.1 представлена одноконтурная система с управляющей ЭВМ. Съём сигналов с датчиков (Д) (опрос датчиков) осуществляется, как правило, с постоянным периодом Т. На схеме квантователь сигналов по времени изображен в виде ключа. Рис.2.1. Функциональная схема одноконтурной системы с управляющей ЭВМ Если время съёма информации мало, то сигнал с выхода ключа представляет собой значение сигнала x(t) в дискретные моменты времени kT, где k=0,1,2,…( рис.2.2 а, б). Рис. 1.2. Реальные и идеальные импульсные функции: а) непрерывная функция х(t); б) импульсная (решетчатая) функция x[kT] Дискретный сигнал x[kT] в аналого-цифровом преобразователе А/Ц квантуется как по времени, так и по уровню. Управляющие ЭВМ обычно восьми- или шестнадцатиразрядные. В шестнадцатиразрядной сетке последний разряд составляет 0,007% от уровня сигнала. Величина эта ниже величины шумов, поэтому дискретностью по уровню можно пренебречь. Сигналы, которые квантуются только во времени, называются импульсными. После обработки информации сигналы с ЭВМ снимаются также с периодом Т и с задержкой на время выполнения алгоритма управления ТA. Затем эти сигналы поступают на цифроаналоговый преобразователь Ц/А, с выхода которого снимаются импульсы конечной длительности ТИ (рис.2.3, а). Для простоты изложения сигналы на рис 2.2 и 2.3 совпадают по величине, т.е. передаточные функции алгоритма ЭВМ и Ц/А приняты равными единице. Поэтому сигналу u*(t) (рис.2.1) соответствует сигнал x*(t) . Как правило, длительность ТИ равна периоду квантования, т.е. ТИ=Т. Рис. 2.3. Последовательность идеальных -импульсов Таким образом, если не учитывать квантования по уровню, управляющая ЭВМ обрабатывает и выдает импульсные сигналы. Поэтому при описании управляющего алгоритма теряется смысл производной и интеграла, так как минимальное приращение временного интервала t=T. В этом случае производная по времени заменяется дискретной функцией (2.1) называемой первой разностью. Величина Т=const, поэтому выражение (2.1) часто представляют в относительном времени, т.е. аргументом является число прошедших тактов квантования: . Аналогично определяются вторая и более высокие разности. Операция интегрирования для импульсных функций заменяется суммированием, а дифференциальные уравнения – разностными. Например, простейшее дифференциальное уравнение первого порядка представляется как разностное уравнение первого порядка , где . Динамическое звено n-го порядка реализуется алгоритмом работы ЭВМ как разностное уравнение того же порядка. Его удобно представлять, используя оператор сдвига  (2.2) где . Чтобы получить единообразное описание всей замкнутой системы, необходимо объект управления представить также дискретной моделью. Такое представление может быть осуществлено путем перехода от дифференциальных уравнений к разностным с помощью преобразования вида (2.1), но это может привести к значительным погрешностям. Для получения точной дискретной модели используется понятие идеального импульсного элемента или сигнала. Идеальный импульсный элемент (сигнал) преобразует непрерывный сигнал x(t) в дискретный по времени сигнал , представляющий последовательность идеальных импульсов, ширина которых при t=0 равна нулю, а высота – бесконечности. Площадь, определяемая как , зависит от предыстории формирования этих импульсов. Например, при получении дельта-импульса от скачкообразного сигла амплитудой, равной 5: , амплитуда будет равна бесконечноси, а площадь – 5. Таким образом, информация содержится в величине площади импульсов, которая в моменты времени t равна значению функции (сигнала) x(t) в эти моменты времени (рис.2.3, б). Аналитическая зависимость между этими сигналами определяется выражением (2.3) где - идеальный импульс, равный нулю при t - kT > 0 и t - kT < 0, площадью, равной единице при t - kT = 0, то есть в момент времени t = kT. Очевидно, что амплитуда такого сигнала равна бесконечности. Поэтому импульсы на рис.2.3, б изображены в виде стрелок. Найдем преобразование Лапласа для этой импульсной последовательности . Так как дискретная функция x[kT] относительно аргумента t является постоянной величиной и равна 0 между моментами kT, то можно записать: (2.4) Учитывая, что , получим . Преобразование (2.4) является дискретным эквивалентом непрерывного преобразования Лапласа. Для упрощения записи обозначим через z. В результате получим следующее выражение: Выражение (2.5) называется Z-преобразованием. Этот бесконечный ряд, представляющий бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, сходится, если . Для перехода от непрерывной передаточной функции объекта к дискретной передаточной функции, связывающей дискретные входные и выходные сигналы после ключей (квантователей по времени), примем, что эти квантователи (ключи) работают синхронно. Импульсы, поступающие на вход объекта, согласно (2.3) описываются следующим образом: (2.6) Реакция на единичный импульс последовательности (2.6) определятся весовой функцией объекта . Напомним, что весовая функция – это реакция звена на дельта-функцию. , где h(t) - реакция этого же звена (объекта) на единичное воздействие 1(t). Следовательно, сигнал с выхода объекта определяется зависимостью: (2.7) Учитывая, что сигнал y(t) после квантователя передается в ЭВМ в дискретные моменты nT (номер такта n не равен номеру k) , из (2.7) получим: (2.8) Подвергнем выражение (2.8) дискретному преобразованию Лапласа . Обозначим n-k=g или n=g+k. Тогда . Принимая во внимание, что при отрицательных значениях g функция и , получим (2.9) Вторая сумма в (2.9) является, согласно (2.7), изображением входного сигнала. Следовательно, первая сумма представляет дискретную передаточную функцию или . Переходя к переменной z, получим Z-преобразованную передаточную функцию. Рассмотрим в качестве примера объект первого порядка (2.11) где . Весовая функция объекта . Подвергнем z-преобразованию это выражение: . Этот ряд представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с коэффициентом . Следовательно, сумма этого ряда будет определяться следующим образом , (2.12) где .