Числовые промежутки, отрезки, интервалы. Функции
Выбери формат для чтения
Загружаем конспект в формате pdf
Это займет всего пару минут! А пока ты можешь прочитать работу в формате Word 👇
1
Исследования показывают, что в окружающем нас мире величины тесно
связаны друг с другом, например, цена товара и величина спроса на него, инфляция и безработица, объём производства и прибыль и т.д. Поэтому функции широко применяются в экономике, например, функция полезности, производственная
функция, функция выпуска, функция издержек, функция спроса.
Рассмотрим основные понятия, связанные с функциями.
Числовые промежутки, отрезки, интервалы
Пусть a и b –- действительные числа.
1. Множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам a < x < b , называется
интервалом ( a , b ) .
2. Множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам a ≤ x ≤ b , называется
отрезком a , b .
3. Множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам
a≤x 0, называется ε - окрестностью точки х0.
Если x ∈ ( x0 − ε , x0 + ε ) , то точка х попадает в ε - окрестность точки х0.
Тогда x0 − ε < x < x0 + ε ,
− ε < x − x0 < ε или x − x0 < ε . Выполнение неравен-
ства x − x0 < ε означает попадание точки х в ε - окрестность точки х0.
Функция
Функцией y = f ( x ) называется правило, по которому каждому элементу х
множества Х ставится в соответствие единственный элемент у множества Y.
2
Говорят, что функция y = f ( x ) задана на множестве Х, “х” называется аргументом или независимой переменной, “ y ” называется зависимой переменной или
функцией, буква " f " обозначает закон соответствия.
Если элементы множеств Х и Y – действительные числа, то функцию называют числовой. Множество Х называется областью определения функции, а
множество Y – областью значений функции. Обычно под областью определения
функции подразумевается область допустимых значений x , т.е. таких x , при которых функция y = f ( x ) имеет смысл. Например, область определения функции
y = 1 − x 2 – отрезок −1; 1 .
Для задания функции нужно указать правило, позволяющее находить y , зная x .
Пример. Дана функция y ( x ) =
1+ x
4−x
. Найти y
.
1− x
2+x
Решение. Нужно в формуле (1) заменить х выражением
4−x
. Получим:
2+x
4−x
4−x
2+x = 2+x+4−x = 6 = 3 .
y
=
2 + x 1 − 4 − x 2 + x − 4 + x 2x − 2 x − 1
2+x
1+
Абсолютной величиной или модулем числа х называется само число х, если
x , если x ≥ 0;
x ≥ 0 и число “–х”, если x < 0 : x =
− x , если x < 0.
Свойства абсолютной величины:
1. x ≥ 0 .
2. x = − x .
3. − x ≤ x ≤ x .
4. x ⋅ y = x ⋅ y .
5.
x
x
=
, если y ≠ 0 .
y
y
6. Если ε > 0 , то неравенства x ≤ ε и −ε ≤ x ≤ ε равносильны.
x > ε
7. Неравенство x > ε и пара неравенств
равносильны.
x
<
−
ε
Пример. Решить неравенство: x + 3 < 5 .
3
Решение. Из свойства (6) находим: −5 < x + 3 < 5, − 8 < x < 2 .
Способы задания функции
1. Аналитический, при котором функция задаётся формулой вида y = f ( x ) ,
например, y = x 2 + 10 − x .
2. Табличный, при котором функция задаётся таблицей, содержащей значения
аргумента х и соответствующие значения f ( x ) , например, таблица синусов.
3. Графический, при котором функция задаётся графиком, т.е. множеством точек
( x, y)
плоскости, где х – значения аргумента, y – соответствующие значения
функции y = f ( x ) .
Основные свойства функций
1. Функция y = f ( x ) , область определения которой симметрична относительно
нуля, называется чётной, если для любых значений х из области её определения
f ( − x ) = f ( x ) и называется нечётной, если f ( − x ) = − f ( x ) . График чётной
функции симметричен относительно оси Oy т.к., по определению, вместе с любой точкой ( x , y ) он содержит точку ( − x , y ) – рис.1.
График нечётной функции симметричен относительно начала координат, т.к., по
определению, вместе с любой точкой ( x , y ) он содержит точку ( − x , − y ) – рис. 2.
Рис. 1
Рис. 2
Функция, не являющаяся ни чётной, ни нечётной, называется функцией общего
вида.
Примеры. Определить тип функции.
4
1. f ( x ) =
x3
x2 + 1
( − x ) = − x = − f x – нечётная.
f ( −x ) =
( )
2
2
1
x
+
( −x ) + 1
3
,
3
2. f ( x ) = x 4 − 5 x , f ( − x ) = ( − x ) − 5 − x = x 4 − 5 x = f ( x ) – чётная.
4
3. f ( x ) = e x − 2 e − x , f ( − x ) = e − x − 2 e x ≠ f ( x ) ≠ − f ( x ) – общего вида.
Функция y = f ( x ) называется возрастающей, если для любых двух значений аргумента x2 > x1 из области её определения выполняется неравенство
f ( x2 ) > f ( x1 ) .
Функция y = f ( x ) называется убывающей, если для любых двух значений
аргумента x2 > x1
из
области
её
определения
выполняется
неравенство
f ( x2 ) < f ( x1 ) .
Возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными.
Если на отдельных участках области определения функция может оставаться постоянной, т.е. для x2 > x1 выполняются нестрогие неравенства f ( x2 ) ≥ f ( x1 ) или
f ( x2 ) ≤ f ( x1 ) , то функция называется монотонной, в I случае неубывающей, во
II - невозрастающей.
Интервалы, на которых функция монотонна, называются интервалами монотонности.
Например, функция y = x 2 при x ∈ ( −∞ ,0 убывает, при x ∈ 0, ∞ ) – возрастает.
• Функция y = f ( x ) называется ограниченной на промежутке Х, если
существует такое положительное число M > 0 , что f ( x ) ≤ M ∀ x ∈ X . В противном случае функция называется неограниченной. Например, функция
y = sin x ограничена на всей числовой оси, т.к. sin x ≤ 1 для любого действи-
тельного x .
• Функция y = f ( x ) называется периодической, если ∀x ∈ X :
f ( x + T ) = f ( x) ,
(1)
5
где Т – постоянное число. Наименьшее положительное число Т, удовлетворяющее этому условию, называется периодом
функции. Например, функция
y = sin x имеет период T = 2π .
Если Т – период, то периодами будут и числа T ⋅ n , где n = ±1, ± 2,... Поэтому
под словом «период» понимают наименьшее положительное число, удовлетворяющее равенству (1).
Пример. Найти период функции f ( x ) = sin 4 x , если он существует.
Решение. По формуле (1) находим:
(
)
sin 4 ( x + T ) = sin 4 x , sin ( 4 x + 4T ) − sin 4 x = 0 . Учитывая, что
sin α − sin β = 2 sin
α −β
2
⋅ cos
α +β
2
, получим:
sin ( 4 x + 4T ) − sin 4 x = 2 sin 2T ⋅ cos ( 4 x + 2T ) = 0 . Это равенство будет выполнено
для любых x , если sin 2T = 0,
2T = π , T =
π
2
.
Можно доказать справедливость следующих утверждений:
• Если k ≠ 0, b − любое число, то для функций
f ( x ) = sin ( kx + b )
f ( x ) = cos ( kx + b )
T=
2π
.
k
• Добавление к функции произвольной постоянной и умножение её на произ-
вольную постоянную не меняет периода функции.
• Если функции y = f1 ( x ) и y = f 2 ( x ) имеют одинаковый период, то
y = f1 ( x ) ± f2 ( x ) имеет тот же период.
• Пусть функции y = f1 ( x ) и y = f 2 ( x ) имеют соответственно периоды T1 и
T2 . Если найдётся положительное число Т, кратное T1 и T2 , т.е.
T = n1T1 = n2T2 (где n1 и n2 - целые числа), то оно будет периодом функции y = f1 ( x ) ± f2 ( x ) .
Пример. Найти период функции f ( x ) = sin 2 x + cos 3x .
6
Решение. Периоды функций f1 ( x ) = sin 2 x и f 2 ( x ) = cos 3x соответственно равны: T =
1
2π
2π
=π, T =
. Найдём наименьшее общее кратное чисел T1 и T2 :
2
2
3
T = n ⋅T = n ⋅T , n ⋅π = n ⋅
1
1
2
2
1
2
2π
, 3n = 2n . Наименьшие значения n1 и n2 ,
1
2
3
удовлетворяющие этому равенству, n1 = 2, n2 = 3 . T = n1T1 = 2π .
Сложная функция
Пусть имеется функция y = f ( u ) , где y ∈ Y , u ∈ U . Переменная u = ϕ ( x ) , где
(
)
x ∈ X . Функция y = f ϕ ( x ) называется сложной функцией. Например,
y = lg sin x – сложная функция, т.к.её можно представить в виде y = lg u , где
u = sin x .
