Численные методы решения

Численные методы решения Аналитические методы решения задачи устойчивости решают далеко не все задачи. При сложной схеме нагрузки, стержнях переменной жесткости и т.п. аналитическое решение либо неизвестно, либо трудоемкость его поиска слишком велика. В этом случае решение (как правило приближенное) может быть найдено численным методом. Численные методы можно разделить на несколько групп. В первую группу следует отнести метод конечных разностей, который точное (с точки зрения используемых гипотез) дифференциальное уравнение сводит к приближенному уравнению, и находит его точное решение. К другой группе относятся вариационные методы, в которых приближенно решается точное исходное уравнение. Метод конечных разностей Идея метода заключается в следующем: точечные дифференциалы заменяются конечными разностями, при этом вместо дифференциального уравнения получается система линейных уравнений относительно значений искомой функции в заданных точках. Разобьем стержень на несколько одинаковых участков. Дифференциальное уравнение изгиба имеет вид . Запишем приближенные выражения для производных в виде конечных разностей. При использовании центральной разности вторая производная имеет вид: Тогда для каждой внутренней точки можно записать дифференциальной уравнение в виде: Всего таких уравнений будет n-1 (для n отрезков), однако для записи уравнений приходится использовать и законтурные (дополнительные узлы). К этим уравнениям надо добавить уравнения, которые отражают граничные условия: известный прогиб (равен 0, если есть связь), поворот (есть защемление), нулевой момент (есть шарнир). Для записи граничных условий используют следующий принципы: если есть опора v0=0. Если запрещен поворот, то v1=v-1 . Если шарнир, то момент равен 0, а следовательно и кривизна стержня в этой точке равна 0. v1=-v-1. Найдем нетривиальное решение, потребовав, чтобы определитель системы был равен 0. Рассмотрим пример (см. рис. 39). Разделим стержень на 4 участка и будем искать симметричную форму потери устойчивости. Симметрия задачи позволяет уменьшить количество неизвестных, но не дает полного решения, для полноты необходимо дополнить решить задачу для нахождения и антисимметричных решений. Запишем уравнение в конечных разностях для узлов 1 и 2. Третье уравнение – учет симметрии, четвертое – учет связи. Система уравнений приведена ниже. Введем параметр и преобразуем уравнения: Система уравнений однородна, для ненулевого решения потребуем, чтобы определитель системы был равен 0 Точное решение этой задачи по Эйлеру Погрешность составляет менее 5%. Для возможности учета любых краевых условий необходимо решать дифференциальное уравнение четвертого порядка, что приводит к более громоздким формулам. Система уравнений всегда мало заполнена, что может и должно учитываться при построении решения. При достаточно большом количестве точек решение получается с высокой точностью. Метод Бубнова-Галёркина Этот метод является вариационным. Идея метода заключается в следующем. Выберем несколько аппроксимирующих функций, которые удовлетворяют и кинематическим и силовым краевым условиям, и искомую функцию прогиба стержня при потере устойчивости запишем как сумму всех аппроксимирующих функций, умноженных на некоторые коэффициенты. . При подстановке функции v в дифференциальное уравнение сжато-изогнутого стержня вместо точного равенства мы получим некоторую невязку. Для определения варьируемых коэффициентов в этом методе используется условие ортогональности невязки и каждой из входящих в решение аппроксимирующих функций fi. В результате мы получаем систему n уравнений, линейных относительно ci. Метод можно использовать и для приближенного решения дифференциального уравнения второй степени. При использования набора функций, которые обладают полнотой, решение будет точным. Если силовые краевые условия не выполняются, точность не гарантируется. Особенно удобен метод, если для аппроксимации используется набор взаимно ортогональных функций, при котором система уравнений разделяется на независимые уравнения. Пример. Рассмотрим стержень, свободно опертый по концам. В качестве аппрокимирующей функции возьмем одну функцию -. В этом случае кинематические краевые условия выполняются, а силовые нет. Запишем разрешающее уравнение: Точное решение: , погрешность 1,3%. Метод коллокаций. Это один из вариационных методов, который от метода Галеркина отличается принципом, используемым для определения варьируемых множителей. Представим функцию в виде: , где - функция, соответствующая всем краевым условиям; - варьируемые множители подбираются из условия удовлетворения дифференциального уравнения в n заранее назначенных точках. Последнее обстоятельство делает метод полуформальным, поскольку при выборе одного и того же набора функций для аппроксимации прогиба мы получим разные решения, с существенно разной погрешностью в зависимости от того, где будут расположены точки коллокации. Пример. Найдем критическую силу для стержня, защемленного на одном конце (рис. 40). В качестве аппроксимирующих функций примем: В качестве точек коллокаций примем: Решать будем дифференциальное уравнение второй степени. Потребуем, чтобы в этих точках уравнение удовлетворялось точно: Преобразуем и будем решать эти два уравнения: Нетривиальное решение, если определитель системы равен 0. Точное решение Погрешность составляет 2.4%. Метод Ритца. В этом вариационном методе используются энергетические принципы, поэтому он является наиболее надежным методом. Аппроксимирующие функции должны удовлетворять кинематическим краевым условиям: , где - координатные функции. Вычислим полную потенциальную энергию и запишем условия ее минимума. . Эти условия приводят нас к однородной системе линейных уравнений, для поиска нетривиального решения вычислим определитель и приравняем его 0. Найденный значения силы P и есть искомые критические силы. Если ряд функций полный – получим точное решение, если нет – наилучшее приближение, которое при плохой аппроксимации истинного решения может быть довольно плохим. Рассмотрим в качестве примера стержень, защемленный с одного конца. Рассмотрим простейшую аппроксимацию: . Полная потенциальная энергия для такой аппроксимации равна: Запишем условия минимума: . Точное решение . Погрешность 21%. Такая большая погрешность объясняется тем, что принятая функции соответствует постоянной кривизне стержня и, соответственно, постоянному изгибающему моменту, что не соответствует реальной задаче. Уточним решение, для чего добавим второе слагаемое в аппроксимацию. Потребуем . Если ввести вспомогательную переменную , то можно все свести к виду: Погрешность составляет 1,3%. При удержанных трех членах ряда: . Форма Тимошенко в методе Ритца. При использовании метода Ритца необходимо вычислять потенциальную энергию деформации стержня, что требует вычисления второй производной. Известно, что аппроксимация функции с заданной точностью определяет область, внутри которой лежат все точки аппроксимирующей функции, однако вид этой функции может быть любым, что не позволяет оценить погрешность производной. Тем более это относится ко второй производной. Однако в сопромате, вычисляя потенциальную энергию с помощью интеграла Мора, используют изгибающие моменты, которые связаны с самой функцией прогибов, а не производными. Значения изгибающих моментов в сечениях стержня при аппроксимации, как правило, можно задать. Это позволяет использовать другую форму записи метода Ритца, которая не содержит вторых производных и, в силу этого, имеет меньшую погрешность. Выражение для моментов зависят от условия задачи, и могут быть сведены к произведению сжимающей силы на прогиб. Примем теперь При использовании всего одного слагаемого мы получили такой же результат, как в классической форме метода Ритца для двух. Метод неопределенных множителей Лагранжа. В некоторых случаях трудно подобрать набор координатных функций, чтобы они отвечали всем условиям, но можно подобрать такие функции, чтобы краевым условиям удовлетворяли их комбинации. В таком случае можно просто жестко связать эти функции в пары (или наборы из нескольких функций) и оперировать ими. Однако можно рассматривать отдельные функции, добавив дополнительные условия связи. Этот подход иногда удобнее. Запишем аппроксимацию для прогиба. , где - координатные функции, не удовлетворяющие всем краевым условиям. Дополним нашу систему семейством условий , при котором удовлетворяют все краевые условия выполняются. Сформируем расширенный функционал Лагранжа, добавив к полной потенциальной энергии слагаемое, учитывающее систему дополнительных условий. , где - неопределенный множитель. Запишем условие минимума функционала: . Решая получившуюся систему уравнений, найдем критическую силу. Рассмотрим пример (см. рис. 42). Примем для этой задачи в качестве аппроксимирующей функции . Нетрудно проверить, что эта функция дает нулевой прогиб на концах стержня, но на верхнем конце не обеспечивает нулевого поворота. Однако поворот верхнего конца стержня будет нулевым и условия защемления будут выполнены, если потребовать, чтобы . Сформируем функционал Лагранжа: Запишем условия минимума функционала: Будем решать полученную систему. Выразим из первого уравнения С1, из второго С2 и подставим в третье уравнение. Отсюда возможны два варианта: 1) - этот вариант нас не устраивает, так в этом случае С1 и С2 равны 0; 2) Точное решение Сведение задачи к интегральным уравнениям. Задачу потери устойчивости можно решать методом последовательных приближений. Возьмем исходное непротиворечивое равенство . Изгибающий момент: . Уравнение изгиба сведется к виду: (*) Если взять произвольную функцию v0 и многократно применить уравнение (*), в результате мы получим некоторую функцию v(x), а отношение максимальных значений функции на соседних шагах даст значение критической силы. При таком подходе решение определяется как предел, причем в ходе решения могут появиться интегралы, которые аналитически не берутся. Можно попробовать реализовать иной подход: попробуем определить как интеграл Мора: где - момент от заданной силы - момент от единичной силы Введем функцию: Имеем интегральное уравнение, в котором v(x) искомая функция и она же входит в подинтегральное выражение. Обозначим и введем ядро интегрирования: Тогда окончательно имеем уравнение:  Это однородное интегральное уравнение Фредгольма II рода. Оно имеет тривиальное решение y=0, но, кроме того, у него есть фундаментальные числа, которые и дают критические силы. Это уравнение можно решать аналитически или численными методами, среди которых простейшим является метод конечных сумм.