Численное решение дифференциальных уравнений

Лекция. Модульная единица 12. Численное решение дифференциальных уравнений Рассмотрим задачу Коши: найти решение дифференциального уравнения y'=f(x,y), удовлетворяющее начальному условию y(x0)=y0. Теорема (условие существования и единственности решения). Пусть выполнены условия: 1) функция двух переменных f(x,y) определена в области G, непрерывна в прямоугольнике R={(x,y)| |x-x0| a, |y-y0| b}G и (x,y)R |f(x,y)| M; 2) функция двух переменных f(x,y) имеет частную производную по переменной y в каждой точке прямоугольника R, причем  N>0 (x,y)R |f 'y(x,y)| N. Тогда существует единственное решение y=(x) дифференциального уравнения y'=f(x,y), определенное и непрерывное на отрезке [x0-d, x0+d], где d=min{a, }, такое, что (x0)=y0. Метод последовательных приближений Если выполнены все условия теоремы, то для решения задачи Коши можно использовать метод последовательных приближений: y0(x)=y0, yn(x)=y0+, n=1,2,…. Для оценки погрешности используется формула |yn(x)-(x)|  . Метод последовательных приближений решения задачи Коши является приближенно аналитическим. Существуют и другие приближенные методы решения дифференциальных уравнений, среди которых особо выделяют численные методы. Пусть на отрезке [x0, xn] существует единственное решение задачи Коши. Рассмотрим класс численных методов Рунге-Кутта. Разобьем отрезок [x0, xn] точками x0, x1, x2, …, xn на n равных отрезков длины h. Реализация численных методов сводится к последовательному нахождению приближенных значений y1, y2, …, yn в точках x1, x2, …, xn, для чего на каждом шаге вычисляется поправка yi,и тогда yi+1=yi+yi, i=0,1,2,…,n -1. Численные методы Рунге-Кутта отличаются друг от друга способом вычисления поправки на шаге. При вычислении последовательных значений y1, y2, …, yn происходит накопление погрешности. Для приближенной оценки погрешности применяют обычно двойной пересчет с шагом h и с шагом , обозначая при этом приближенное значение решения в точке xi, полученное с шагом h, за yi, а улучшенное значение, полученное с шагом , за . Метод Эйлера-Коши yi=(f(xi, yi)+f(xi+1,)), где = yi+h f(xi, yi). Абсолютную погрешность метода определяют из приближенного равенства |-y(xi)| |- yi|, i=1,2,…,n. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности yi=, где Абсолютная погрешность находится с помощью равенства |-y(xi)| |- yi|, i=1,2,…,n. Пример. Найти приближенное решение задачи Коши для обыкновенного уравнения первого порядка методом Эйлера и методом Эйлера с уточнением с шагом : , , . 1) По методу Эйлера приближенное решение ищется по схеме , . По данной схеме составим таблицу значений 0,5 0,918217 0,239713 0,239713 1,515452 1 0,55 0,988204 0,285624 0,287478 1,417571 2 0,6 1,053591 0,335034 0,338785 1,311886 3 0,65 1,113937 0,387713 0,393371 1,198796 4 0,7 1,168833 0,44341 0,450952 1,078732 5 0,75 1,217902 0,501852 0,511229 0,952149 6 0,8 1,260799 0,562747 0,573885 0,819529 7 0,85 1,297206 0,625787 0,638588 0,681378 8 0,9 1,326835 0,690647 0,704994 0,538226 9 0,95 1,349429 0,756989 0,772745 0,390621 10 1 1,364763 0,82446 0,841471 0,239134 11 1,05 1,372639 0,892699 0,910794 0,084348 12 1,1 1,372893 0,96133 0,980328 0,073136 13 1,15 1,365391 1,029975 1,049679 0,232704 14 1,2 1,350033 1,098245 1,118447 0,393731 15 1,25 1,32675 1,165746 1,186231 0,555586 16 1,3 1,295505 1,232084 1,252626 0,717628 17 1,35 1,256295 1,296859 1,317227 0,879213 18 1,4 1,20915 1,359674 1,37963 1,039695 19 1,45 1,15413 1,420131 1,439434 1,198428 20 1,5 1,091331 1,477838 1,496242 1,354768 21 1,55 1,02088 1,532404 1,549665 1,508075 22 1,6 0,942936 1,583448 1,599318 1,657717 23 1,65 0,85769 1,630595 1,644827 1,803069 24 1,7 0,765364 1,67348 1,68583 1,943519 25 1,75 0,666211 1,711748 1,721975 2,078468 26 1,8 0,560513 1,745058 1,752926 2,207330 27 1,85 0,448582 1,773084 1,778359 2,329540 28 1,9 0,330757 1,795513 1,79797 2,444549 29 1,95 0,207404 1,812051 1,811471 2,551833 30 2 0,078917 1,822421 1,818595 2,650889 31 2,05 -0,05429 1,826367 1,819093 2,741238 32 2,1 -0,19177 1,823653 1,81274 2,822432 33 2,15 -0,33307 1,814064 1,799332 2,894048 34 2,2 -0,4777 1,797411 1,778692 2,955694 35 2,25 -0,62516 1,773526 1,750665 3,007012 36 2,3 -0,77493 1,742268 1,715122 3,047674 37 2,35 -0,92647 1,703522 1,671962 3,077389 38 2,4 -1,07925 1,657198 1,621112 3,095899 39 2,45 -1,23268 1,603236 1,562524 3,102986 40 2,5 -1,38622 1,541601 1,49618 3,098468 0,5 1 0,55 0,001894 0,66% 0,00185 0,65% 2 0,6 0,003666 1,08% 0,00375 1,11% 3 0,65 0,005306 1,35% 0,00566 1,44% 4 0,7 0,006805 1,51% 0,00754 1,67% 5 0,75 0,008153 1,59% 0,00938 1,83% 6 0,8 0,009343 1,63% 0,01114 1,94% 7 0,85 0,010368 1,62% 0,01280 2,00% 8 0,9 0,011219 1,59% 0,01435 2,04% 9 0,95 0,011892 1,54% 0,01576 2,04% 10 1 0,012380 1,47% 0,01701 2,02% 11 1,05 0,012679 1,39% 0,01810 1,99% 12 1,1 0,012785 1,30% 0,01900 1,94% 13 1,15 0,013076 1,25% 0,01970 1,88% 14 1,2 0,013568 1,21% 0,02020 1,81% 15 1,25 0,014262 1,20% 0,02048 1,73% 16 1,3 0,015159 1,21% 0,02054 1,64% 17 1,35 0,016258 1,23% 0,02037 1,55% 18 1,4 0,017558 1,27% 0,01996 1,45% 19 1,45 0,019056 1,32% 0,01930 1,34% 20 1,5 0,020749 1,39% 0,01840 1,23% 21 1,55 0,022635 1,46% 0,01726 1,11% 22 1,6 0,024707 1,54% 0,01587 0,99% 23 1,65 0,026961 1,64% 0,01423 0,87% 24 1,7 0,029390 1,74% 0,01235 0,73% 25 1,75 0,031988 1,86% 0,01023 0,59% 26 1,8 0,034747 1,98% 0,00787 0,45% 27 1,85 0,037659 2,12% 0,00528 0,30% 28 1,9 0,040715 2,26% 0,00246 0,14% 29 1,95 0,043905 2,42% 0,00058 0,03% 30 2 0,047218 2,60% 0,00383 0,21% 31 2,05 0,050645 2,78% 0,00727 0,40% 32 2,1 0,054173 2,99% 0,01091 0,60% 33 2,15 0,057790 3,21% 0,01473 0,82% 34 2,2 0,061485 3,46% 0,01872 1,05% 35 2,25 0,065244 3,73% 0,02286 1,31% 36 2,3 0,069053 4,03% 0,02715 1,58% 37 2,35 0,072900 4,36% 0,03156 1,89% 38 2,4 0,076770 4,74% 0,03609 2,23% 39 2,45 0,080649 5,16% 0,04071 2,61% 40 2,5 0,084527 5,65% 0,04542 3,04% Где -абсолютная погрешность нахождения определяемая следующим образом: , . Используя исходное уравнение, получим . В таблице , абсолютная и относительная погрешности приближенного значения . Для сравнения погрешностей найдем погрешность по отношению к точному значению искомой функции: , , И построим графики точных и приближенных значений функции , а так же графики абсолютных погрешностей (где соответствует погрешности , а - погрешности ). Вывод. Из полученных приближенных значений и графиков следует, что метод Эйлера позволяет хорошо описать искомую функцию на качественном уровне, но дает достаточно большую погрешность численных значений. Поэтому метод Эйлера может быть использован при качественной оценке решения искомой функции, а для нахождения численных значений можно использовать более точные методы. P.S. Характерный изгиб графика можно объяснить изменением вклада в величину погрешности. 2) Исходную задачу рассмотрим в следующей постановке , , , . По методу Эйлера с уточнением приближенное решение ищется по схеме По данной схеме составим таблицу значений 1 1,38177 0,84147 0,84147 1,05 1,38177 0,91056 1,38965 1,38571 0,91076 Еще 1,38984 1,38581 0,91076 Все 1,1 1,38984 0,98025 0,49896 0,94440 0,95798 Еще 1,36985 1,37984 0,97975 Еще 1,38964 1,38974 0,98025 Еще 1,39009 1,38997 0,98026 Все 1,15 1,39010 1,04976 1,38260 1,38635 1,04958 Еще 1,38244 1,38627 1,04957 Все 1,2 1,38243 1,11869 1,36707 1,37475 1,11831 Еще 1,30947 1,34595 1,11687 Еще 1,36555 1,37399 1,11827 Еще 1,36672 1,37458 1,11830 Все 1,25 1,36675 1,18661 1,34344 1,35509 1,18603 Еще 1,34297 1,35486 1,18602 Все 1 0,84147 0,84147 0,00000 0,00000 1,05 0,91076 Еще 0,91076 Все 0,91079 0,00013 0,00004 1,1 0,95798 Еще 0,97975 Еще 0,98025 Еще 0,98026 Все 0,98033 0,00025 0,00007 1,15 1,04958 Еще 1,04957 Все 1,04968 0,00038 0,00011 1,2 1,11831 Еще 1,11687 Еще 1,11827 Еще 1,11830 Все 1,11845 0,00050 0,00015 1,25 1,18603 Еще 1,18602 Все 1,18623 0,00063 0,00022 Где признак окончания итерации обозначен символом .Построим графики точных и приближенных значений функции , а так же графики абсолютных погрешностей (где соответствует погрешности , а - погрешности ). Вывод. Из полученных приближенных значений и графиков следует, что метод Эйлера с уточнением позволяет хорошо описать искомую функцию как на качественном, так и количественном уровне, хотя и дает завышенную погрешность по сравнению с точным решением (графики и ). Поэтому метод Эйлера с уточнением может быть использован для практического применения нахождения приближенного решения искомой функции. Замечание. Остальные методы рассматриваются аналогичным образом. Контрольные вопросы 1. Каковы условия существования и единственности решения задачи Коши? 2. К какой группе методов относится метод последовательных приближений решения задачи Коши? 3. Как формулируется задача численного интегрирования дифференциального уравнения? 4. Какой способ оценки точности используется при численном интегрировании дифференциальных уравнений методами Рунге-Кутта?