Частичные автоматы

Лекция 3 Частичные автоматы В инженерной практике часто встречаются автоматы, на входы которых некоторые последовательности сигналов никогда не подаются. Такие последовательности будем называть запрещенными входными словами данного автомата, а сам автомат – частичным автоматом. У частичного автомата функции переходов и выходов определены не на всех парах ai, xj. На месте неопределенных состояний и выходных сигналов ставится прочерк. При синтезе обычно производят доопределение частичного автомата, чтобы его схемная реализация получилась как можно проще. xj\ai a0 a1 a2 a3 x1 a1/y1 a3/y3 a2/y2 a2/y1 x2 - / - - / - a0/y4 a0/y2 Эквивалентность автоматов Определение. Два автомата Sa и Sb с одинаковыми входными и выходными алфавитами называются эквивалентными, если после установления их в начальные состояния их реакции на любое входное слово совпадают. Другими словами, при подаче на вход эквивалентных автоматов, находящихся в одинаковом состоянии одних и тех же слов, их выходные слова также должны быть одинаковыми. Оказывается, что для любого автомата Мили существует эквивалентный ему автомат Мура, и, обратно, для любого автомата Мура существует эквивалентный ему автомат Мили. Рассмотрим алгоритм перехода от произвольного конечного автомата Мили к эквивалентному ему автомату Мура. Пусть дан конечный автомат Мили Sa = {Aa, Xa, Ya, a, а},имеющий множество состояний Aa = {a0,a1, …, ai, …, an}, множество входных и выходных сигналов Xa = {x1, x2, …,xj, …, xm} и Y = {y1, y2, …, yg, …, yk}, а также функции переходов a(a,x) и выходов a(a,x). Требуется построить эквивалентный ему автомат Мура Sb = {Ab, Xb, Yb, b, b}, у которого Xb = Xa, Yb = Ya, т.к. множества входных и выходных сигналов у эквивалентных автоматов должны совпадать. Для определения множества состояний Ab автомата Мура образуем всевозможные пары вида (ai, yg), где yg – выходной сигнал, приписанный входящей в ai дуге. Например, для вершины ai имеем пары (ai, y1), (ai, y2), (ai, y3). Если такие пары мы образуем для всех вершин, то получим множество пар, которое является множеством состояний автомата Мура Ab = {(a0, y1), (a0, y2), …, (an, yk)} = {b1, b2, …, bn}, где bl = (ai, yg). y1 y2 ai y3 y1 Функции выходов b и переходов b определим следующим образом. Каждому состоянию автомата Мура, представляющему собой пару вида (ai, yg) поставим в соответствие выходной сигнал yg, т.е. функция выходов равна yg = b[(ai, yg)] = b[bl]. Если в автомате Мили Sa был переход a(ai, xj) = as и при этом выдавался выходной сигнал a(ai, xj) = yp, то в эквивалентном автомате Мура будет переход из множества состояний (ai, yg), где g  G, G – множество номеров выходных сигналов, приписанных к входящей ai дуге, в состояние (as, yp) под действием входного сигнала xj. Проиллюстрируем это на рисунке. Автомат Мили (фрагмент). Автомат Мура эквив. авт. Мили. Автомат Мили имеет два состояния, а автомат Мура три : (ai, yf), (ai, yr), (ai, yp). Если автомат Мили был в состоянии ai и пришел входной сигнал xj, то должен выработаться выходной сигнал yp. Поэтому в автомате Мура из состояний, порождаемых ai, т.е. из состояний (ai, yf) и (ai, yr) при поступлении xj переход должен идти в состояние, отмеченное выходным сигналом yp, т.е. в (as, yp). В качестве начального состояния автомата Мура можно взять любое состояние из множества (a0, yr). Рассмотрим пример. Пусть необходимо преобразовать автомат Мили, имеющий приведенный ниже граф, в автомат Мура. В автомате Мили Xa = {x1, x2}, Ya = {y1,y2}, Aa = {a0, a1,a2}. В эквивалентном автомате Мура Xb = Xa = {x1, x2}, Yb = Ya = {y1, y2}. Построим множество состояний Ab автомата Мура, для чего найдем множества пар, порождаемых каждым состоянием автомата Sa. Для состояния a0: {(a0, y1), (a0, y2)} = {b1, b2} Для состояния a1: {(a1, y1)} = {b3} Для состояния a2: {(a2, y1), (a2, y2)} = {b4, b5} Отсюда имеем множества As состояний автомата Мура As = {b1, b2, b3, b4, b5}. Для нахождения функции выходов b с каждым состоянием, представляющим собой пару вида (ai, yg), отождествим выходной сигнал, являющийся вторым элементом этой пары. В результате имеем: b(b1) = b(b3) = b(b4) = y1; b(b2) = b(b5) = y2. Построим функцию переходов b, т.к. в автомате Sa из состояния a0 есть переход под действием сигнала x1 в состояние a2 с выдачей y1,то из множества состояний {b1, b2}, порождаемых a0, в автомате Sb должен быть переход в состояние (a2, y1) = b4 под действием сигнала x1. Аналогично, из {b1, b2} под действием x2 должен быть переход в (a0, y1) = b1. Из (a1, y1) = b3 под действием x1 переход в (a0, y1) = b1, а под действием x2 – в (a2, y2) = b5. Наконец из состояний {(a2, y1), (a2, y2)} = {b4, b5} под действием x1 в (a0, y2) = b2, а под действием x2 – в (a1, y1) = b3. В результате имеем эквивалентный автомат Мура с таблицей переходов: yg y1 y2 y1 y1 y2 xj\bi b1 b2 b3 b4 b5 x1 b4 b4 b1 b2 b2 x2 b1 b1 b5 b3 b3 В качестве начального состояния автомата Sb можно взять любое из состояний b1 или b2, т.к. оба порождены состоянием a0 автомата Sa. Обратная задача, т.е. переход от автомата Мура к автомату Мили решается чрезвычайно просто. Пусть дан автомат Мура Sb ={Ab, Xb, Yb, b, b}. Необходимо построить эквивалентный ему автомат Мили Sa = {Aa, Xa, Ya, a, a}. По определению эквивалентности имеем Xa = Xb; Ya = Yb. Кроме того, Aa = Ab, a= b. Остается только построить функцию выходов. Если в автомате Мура b(ai, j) = as, а b(as) = yg, то в автомате Мили a(ai, xj) = yg. Другими словами a(ai, xj) = b(b(ai, xj)). Таким образом таблица переходов автоматов Мили и Мура совпадают. А таблица выходов эквивалентного автомата Мили строится так, что в каждую клетку таблицы записывается выходной сигнал, которым отмечено состояние, расположенное в данной клетке. Например. Пусть дан автомат Мура: xj\yi y1 Y1 y3 y2 y3 a0 A1 a2 a3 a4 x1 a1 A4 a4 a2 a2 x2 a3 A1 a1 a0 a0 Тогда эквивалентный ему автомат Мили имеет следующую совмещенную таблицу переходов и выходов. a0 a1 a2 a3 a4 x1 a1/y1 a4/ y3 a4/ y3 a2/ y3 a2/ y3 x2 a3/ y2 a1/ y1 a1/ y1 a0/ y1 a0/ y1 x1 00 x2 01 x3 10 x4 11 q1 */1 */* */0 */0 q2 */1 0000/0 0110/0 1000/* q3 */* 0001/0 0111/0 1001/* q4 0000/0 0010/0 1000/* 1010/* q5 0001/0 0011/0 1001/* 1011/1 q6 0010/0 0100/* 1010/* */1 q7 0011/0 0101/* 1011/1 */1 q8 0100/* 0110/* */1 */1 q9 0101/* 0111/1 */1 */* q10 0110/* */1 */1 0100/0 q11 0111/1 */1 */* 0101/0 q12 */1 */1 0100/0 0110/0