Арбитраж и согласованность цен на рынке государственных облигаций

Теория финансов Лекция 4 Арбитраж и согласованность цен на рынке государственных облигаций Часть 1 I Введение Одно из основных заключений Лекций 1 и 2 – цены бескупонных облигаций определяют цены купонных облигаций. Мы можем рассчитать цену купонной облигации, взяв цены бескупонных облигаций, помножив их на купонные выплаты и выплату номинала и суммируя. Тот факт, что линейная модель работает, означает, что на облигационном рынке имеется согласованность, или непротиворечивость, ценообразования купонной облигации. В переводе на английский язык звучит следующим образом: price consistency (согласованность цен), consistent pricing (согласованное ценообразование), consistent prices (согласованные цены). Если согласованности ценообразования не имеется, то это равнозначно существованию ценовых аномалий, в результате чего могут возникнуть арбитражные возможности. (Не все ценовые аномалии ведут к возникновению арбитражных возможностей, поскольку транзакционные издержки могут нивелировать прибыль от арбитражной стратегии.) В неформальных терминах арбитражная стратегия – это безрисковая стратегия, генерирующая прибыль выше безрисковой доходности. Сравните со спекулятивной стратегией, которая также генерирует прибыль выше безрисковой доходности, но является рисковой стратегией. Формальное определение арбитражных возможностей и согласованности ценообразования будет дано в следующей лекции. Когда арбитражные возможности выявлены, арбитражные трейдеры немедленно реализуют арбитражные стратегии, что ведет к исчерпанию арбитражных возможностей. Таким образом, активность арбитражных трейдеров поддерживает рынок «свободным от арбитража» (arbitrage-free) и эффективным. Именно поэтому мы можем рассчитать стоимость купонной облигаций через стоимость репликативной корзины бескупонных облигаций. Реализация арбитражных стратегий, в общем-то, технический момент. Арбитражные стратегии чаще всего реализуются посредством автоматизированной, или программной, торговли. Первичный вопрос связан с выявлением ценовых аномалий. II Ценовая аномалия (ценовая погрешность) Для того чтобы выявить ценовую аномалию, надо сравнить наблюдаемую цену со справедливой ценой. Или сравнить наблюдаемую доходность со справедливой доходностью. Раньше, достаточно давно, когда подход к оценке стоимости купонной облигации на основе дисконтных цен не был разработан, стоимость купонной облигации оценивалась исключительно на основе доходности к погашению. Однако доходность к погашению y зависит от двух параметров: величины купона C и срока до погашения T. Другими словами, 𝑦 = 𝑓(𝐶, 𝑇) . Следовательно, графическое представление поведения доходности к погашению проводилось в трехмерном пространстве. Такое графическое представление именовалось поверхность доходностей (yield surface). Купонная облигация, доходность которой располагалась выше или ниже поверхности доходностей, характеризовалась ценовой аномалией. Если купонная облигация имела доходность, расположенную выше поверхности доходностей, то она была недооценена, и соответствующей инвестиционной стратегией была бы длинная позиция. Если купонная облигация имела доходность, расположенную ниже поверхности доходностей, то она была переоценена, и соответствующей инвестиционной стратегией была бы короткая позиция. Для проецирования поверхности доходностей требовалось продвинутое (по крайней мере, по тем временам!) моделирование в 3D. Одна из таких поверхностей доходностей была разработана и внедрена в 1970-х годах английской компанией W.GREENWELL & Co – крупнейшим дилером на облигационном рынке Великобритании.1 Ценовую аномалию проще обнаружить, используя линейную модель ценообразования купонной облигации. Возьмем формулу ценообразования (9) из Лекции 1 и добавим в нее ценовую погрешность 𝑒𝑛 : 𝑇 𝐵𝑛 = ∑ 𝐷𝑡 𝐶𝑡,𝑛 + 𝑒𝑛 ; 𝑛 = 1, … , 𝑁. (1) 𝑡=1 Формула (1) проще для анализа ценовых аномалий, чем моделирование поверхности доходностей, поскольку дисконтная цена 𝐷𝑡 является функцией только одной переменной. Это срок до погашения t. Ценовая погрешность 𝑒𝑛 указывает на отклонение наблюдаемой цены от справедливой цены. Ценовая погрешность может быть как положительной, так и отрицательной. Если 𝑒𝑛 положительна, то купонная облигация переоценена, и соответствующей инвестиционной стратегией будет 1 Бизнес компании W. GREENWELL & Co был сфокусирован на казначейских облигациях. Компания являлась одним из мировых лидеров по консультационным услугам и услугам управления портфелем казначейских облигаций. Ее периодическое издание «Monetary Bulletin» было одним из самых читаемых в области финансовой аналитики. Сейчас компания не существует. короткая позиция. Если 𝑒𝑛 отрицательна, то купонная облигация недооценена, и соответствующей инвестиционной стратегией будет длинная позиция. Существует только одна проблема в применении линейной модели для выявления ценовых аномалий: не исключено, что дисконтная цена для некоторых будущих дат, на которые совершается выплата 𝐶𝑡,𝑛 , будет отсутствовать на рынке государственных облигаций. Примером является российский рынок государственных облигаций, на котором бескупонные облигации не торгуются. Неоткуда взять реализованные цены бескупонных облигаций, чтобы подставить их в формулу (1). III Бескупонная временная структура и купонная временная структура Проблема отсутствующих дисконтных цен связана с понятиями бескупонной временной структуры и купонной временной структуры на облигационном рынке. Полная бескупонная временная структура (complete zero-coupon term structure) означает, что на каждую будущую дату, на которую совершается выплата 𝐶𝑡,𝑛 , также погашается дисконтная облигация. Другими словами, дисконтные цены имеются для всех будущих дат на облигационном рынке. Если это так, то расчет по формуле (1) не представляет сложностей. Если это не так, то облигационный рынок характеризуется неполной бескупонной временной структурой. Если облигационный рынок характеризуется неполной бескупонной временной структурой, другими словами, отдельные дисконтные цены пропущены, то все равно проблема заполнения пропусков легко решаема, если облигационный рынок вместе с тем характеризуется полной купонной временной структурой. Полная купонная временная структура (complete coupon term structure) означает, что на каждую будущую дату, на которую совершается выплата 𝐶𝑡,𝑛 , также погашается не более и не менее чем одна купонная облигация. Полная купонная временная структура позволяет восстановить пропущенные дисконтные цены из реализованных цен купонных облигаций. (Техника восстановления описана в Campbell et al., глава 10, часть 10.1.3.) Если это не так, то облигационный рынок характеризуется неполной купонной временной структурой. Неполная бескупонная временная структура и неполная купонная временная структура типичны для облигационных рынков. На развитых облигационных рынках сегмент STRIPS позволяет заполнить пропуски, но этого часто недостаточно. К примеру, в Великобритании бескупонная временная структура неполная, хотя сегмент STRIPS функционирует. В последние годы были выпущены казначейские облигации с погашением через 50 лет и 55 лет, и для ряда отдаленных в будущем дат выплат купона стрипсы не обращаются. В Великобритании купонная временная структура также неполная. Достаточно просмотреть файл Excel с данными на 07/09/2004, предназначенный для решения ДЗ 1. IV Дисконтная функция: выведение 120 100 80 60 40 20 07-Mar-2005 07-Mar-2006 07-Mar-2007 07-Mar-2008 07-Mar-2009 07-Mar-2010 07-Mar-2011 07-Mar-2012 07-Mar-2013 07-Mar-2014 07-Mar-2015 07-Mar-2016 07-Mar-2017 07-Mar-2018 07-Mar-2019 07-Mar-2020 07-Mar-2021 07-Mar-2022 07-Mar-2023 07-Mar-2024 07-Mar-2025 07-Mar-2026 Рисунок 1 – Дисконтная функция для облигационного рынка Великобритании на 07/09/2004 (построена по ценам стрипсов) Рисунок 1 наглядно показывает зависимость дисконтной цены от срока до погашения. Данная зависимость называется дисконтной функцией. На Рисунке 1 дисконтная функция построена по ценам мартовских стрипсов, взятых с сайта Debt Management Office. Дисконтная функция позволяет найти дисконтную цену для любого срока до погашения. Это, в свою очередь, позволяет рассчитать справедливую цену любой купонной облигации, не обладающей риском дефолта.2 На Рисунке 1 график построен по точкам, отстоящим друг от друга на год. По сути, это дискретные наблюдения, соединенные линиями. Поэтому график на Рисунке 1 является только грубой аппроксимацией истинной дисконтной функции. Центральные банки используют продвинутые подходы к построению дисконтной функции. Мы рассмотрим упрощенную версию одного из них. Обозначим дисконтную функцию 𝑫(𝒕, 𝜷), где t обозначает срок до погашения, β обозначает вектор параметров. То есть t – независимая переменная, D – зависимая переменная. (Термин discount function, скорее всего, был впервые предложен в работе McCulloch (1971); см. Campbell et al., глава 10.) 2 Проблемой, сопряженной с проблемой отсутствующих дисконтных цен, является отсутствие дисконтных доходностей. Дисконтные цены и дисконтные доходности обратно зависимы друг от друга, как представлено в формуле (6) в Лекции 1. Если отдельные дисконтные цены отсутствуют, то соответствующие дисконтные доходности не могут быть рассчитаны. Если отдельные дисконтные доходности отсутствуют, то соответствующие дисконтные цены не могут быть рассчитаны. Невозможно построить кривую бескупонной доходности, которая является важным инструментом финансовой аналитики. Следовательно, не имеет особого значения, как проблема формулируется – в терминах отсутствующих дисконтных цен или в терминах отсутствующих дисконтных доходностей. Что имеет значение, так это то, что данные пробелы надо заполнить. (Кривая бескупонной доходности строится только по доходностям бескупонных облигаций; доходности купонных облигаций не используются, поскольку они зависят не только от срока до погашения T, но и от величины купона C, и их использование даст смещенную оценку.) Следует иметь в виду, что истинная дисконтная функция является ненаблюдаемой. Однако имеется ряд характеристик, которые требуется соблюсти в построении дисконтной функции. Она должна быть убывающей. Это связано с тем, что дисконтные цены на длинных горизонтах меньше дисконтных цен на коротких горизонтах, поскольку инвесторы характеризуются нетерпеливостью во времени (time impatience). Дисконтная функция должна быть непрерывной. Это связано с тем, что дисконтная цена должна существовать для любого срока до погашения, без пробелов. Дисконтная функция должна быть гладкой. Это связано с тем, что небольшому приращению в сроке до погашения должно соответствовать небольшое снижение в дисконтной цене. Для того чтобы построить дисконтную функцию применяются математические и эконометрические методы. В работах McCulloch (1971, 1975) и McCulloch & Kwon (1993) дисконтная функция строится через сплайновую функцию. Это базис построения дисконтной функции Банком Англии. Сплайновая функция – это, по сути, нелинейная кусочная функция, для которой различные сегменты описываются полиномиальными уравнениями различной степени. То есть истинная дисконтная функция аппроксимируется подобной полиному функцией от времени t с вектором параметров β. В упрощенной версии истинная дисконтная функция аппроксимируется одним полиномом степени K, который описывает ее по всей длине. Полином степени K имеет следующий вид: 𝐾 1 2 𝛽0 𝑥 + 𝛽1 𝑥 + 𝛽2 𝑥 + ⋯ + 𝛽𝐾−1 𝑥 𝐾−1 𝐾 + 𝛽𝐾 𝑥 = ∑ 𝛽𝑘 𝑥 𝑘 . 𝑘=0 Параметр 𝛽𝑖 представляет собой коэффициент наклона. Его можно интерпретировать как вес. Тогда мы имеем взвешенную сумму слагаемых в количестве 𝐾 + 1. Заменим x сроком до погашения t: 𝐾 1 2 𝛽0 𝑡 + 𝛽1 𝑡 + 𝛽2 𝑡 + ⋯ + 𝛽𝐾−1 𝑡 𝐾−1 𝐾 + 𝛽𝐾 𝑡 = ∑ 𝛽𝑘 𝑡 𝑘 . 𝑘=0 Представление t в любом слагаемом в формуле выше является, по сути, простой функцией срока до погашения. К примеру, третье слагаемое 𝛽2 𝑡 2 можно записать как 𝛽2 𝑓2 (𝑡), где 𝑓2 (𝑡) = 𝑡 2 . То есть 𝑓0 (𝑡) = 𝑡 0 ; 𝑓1 (𝑡) = 𝑡1 ; 𝑓2 (𝑡) = 𝑡 2 ; … ; 𝑓𝐾 (𝑡) = 𝑡 𝐾 . (2) Тогда дисконтная функция становится взвешенной суммой простых функций срока до погашения в количестве 𝐾 + 1: 𝐾 𝐷𝑡 = 𝐷(𝑡, 𝛽) = ∑ 𝛽𝑘 𝑓𝑘 (𝑡) , 𝑡 = 1, … , 𝑇, (3) 𝑘=0 где 𝑓𝑘 (𝑡) = 𝑡 𝑘 является степенной функцией. К примеру, пусть K = 4: 4 𝐷𝑡 = 𝐷(𝑡, 𝛽) = ∑ 𝛽𝑘 𝑓𝑘 (𝑡) , 𝑡 = 1, … , 𝑇, 𝑘=0 𝐷𝑡 = 𝐷(𝑡, 𝛽) = 𝛽0 𝑓0 (𝑡) + 𝛽1 𝑓1 (𝑡) + 𝛽2 𝑓2 (𝑡) + 𝛽3 𝑓3 (𝑡) + 𝛽4 𝑓4 (𝑡), 𝐷𝑡 = 𝐷(𝑡, 𝛽) = 𝛽0 𝑡 0 + 𝛽1𝑡1 + 𝛽2 𝑡 2 + 𝛽3 𝑡 3 + 𝛽4 𝑡 4 , 𝐷𝑡 = 𝐷(𝑡, 𝛽) = 𝛽0 1 + 𝛽1 𝑡 + 𝛽2 𝑡 2 + 𝛽3 𝑡 3 + 𝛽4 𝑡 4 , 𝑡 = 1, … , 𝑇, 𝑡 = 1, … , 𝑇, 𝑡 = 1, … , 𝑇. Здесь истинная дисконтная функция аппроксимируется полиномом четвертой степени. Или, что то же самое, она аппроксимируется взвешенной суммой пяти степенных функций. В полиноме степени K 𝑡 0 = 00 для t = 0, что неопределенно. Поэтому отсчет ведется не с нуля, а с 𝑡 = 1. Подставим (3) в (1): 𝑇 𝐾 𝐵𝑛 = ∑ ∑ 𝛽𝑘 𝑓𝑘 (𝑡) 𝐶𝑡,𝑛 + 𝑒𝑛 . (4) 𝑡=1 𝑘=0 Поменяем порядок суммирования: 𝑇 𝐾 𝐵𝑛 = ∑ ∑ 𝛽𝑘 𝑓𝑘 (𝑡) 𝐶𝑡,𝑛 + 𝑒𝑛 𝑡=1 𝑘=0 𝐾 𝐾 𝐾 = [∑ 𝛽𝑘 𝑓𝑘 (1) 𝐶1,𝑛 ] + [∑ 𝛽𝑘 𝑓𝑘 (2) 𝐶2,𝑛 ] + ⋯ + [∑ 𝛽𝑘 𝑓𝑘 (𝑇) 𝐶𝑇,𝑛 ] + 𝑒𝑛 𝑘=0 𝑘=0 𝑇 𝑘=0 𝑇 𝑇 = [𝛽0 ∑ 𝑓0 (𝑡)𝐶𝑡,𝑛 ] + [𝛽1 ∑ 𝑓1 (𝑡)𝐶𝑡,𝑛 ] + ⋯ + [𝛽𝐾 ∑ 𝑓𝐾 (𝑡)𝐶𝑡,𝑛 ] + 𝑒𝑛 𝑡=1 𝑡=1 𝐾 𝑡=1 𝑇 𝐾 𝑇 = ∑ 𝛽𝑘 [∑ 𝑓𝑘 (𝑡)𝐶𝑡,𝑛 ] + 𝑒𝑛 = ∑ ∑ 𝛽𝑘 𝑓𝑘 (𝑡)𝐶𝑡,𝑛 + 𝑒𝑛 . 𝑘=0 𝑡=1 𝑘=0 𝑡=1 𝐾 𝑇 𝐵𝑛 = ∑ 𝛽𝑘 [∑ 𝑓𝑘 (𝑡)𝐶𝑡,𝑛 ] + 𝑒𝑛 . 𝑘=0 𝑡=1 Введем обозначение для суммы в квадратных скобках: (5) 𝑇 𝑇 [∑ 𝑓𝑘 (𝑡)𝐶𝑡,𝑛 ] = [∑ 𝑡 𝑘 𝐶𝑡,𝑛 ] = 𝑅𝑘 . 𝑡=1 𝑡=1 Каждое слагаемое 𝑅𝑘 представляет собой взвешенную сумму будущих выплат 𝐶𝑡,𝑛 , включая выплату номинала. Будущие выплаты взвешены степенями срока до погашения, который варьируется от t = 1 до t = T. В результате получается поперечная многофакторная линейная регрессионная модель: 𝐾 𝐵𝑛 = ∑ 𝛽𝑘 𝑅𝑘 + 𝑒𝑛 ; 𝑛 = 1, … 𝑁, (6) 𝑘=0 В регрессионной модели выше 𝐵𝑛 является регрессантом (объясняемой переменной), 𝑅𝑘 является регрессором (объясняющей переменной), а 𝛽𝑘 является коэффициентом регрессии. Всего будет регрессоров и коэффициентов регрессии в количестве 𝐾 + 1. Значение регрессанта 𝐵𝑛 дано рынком. Значение регрессора 𝑅𝑘 рассчитывается: будущие выплаты 𝐶𝑡,𝑛 известны, t варьируется от t = 1 до t = T. Коэффициент регрессии 𝛽𝑘 оценивается стандартной техникой МНК. Далее 𝛽𝑘 подставляется в (3) для построения дисконтной функции. В обобщении: 1. Форма дисконтной функции 𝐷𝑡 = 𝐷(𝑡, 𝛽) задается полиномом степени K. 2. Независимая переменная t представляет собой отсчет сроков до погашения. Следовательно, для того чтобы получить значение 𝐷𝑡 = 𝐷(𝑡, 𝛽), требуется только определить значение вектора параметров 𝛽. 3. Вектор параметров 𝛽 определяется посредством поперечной многофакторной линейной регрессионной модели, для которой требуется собрать цены только купонных облигации. Таким образом, мы можем получить дисконтные цены на облигационном рынке, на котором дисконтные облигации не торгуются совсем. Значение выведенной дисконтной функции – это подразумеваемая дисконтная цена (implied discount price). На практике она замещает реализованную дисконтную цену ввиду отсутствия дисконтных облигаций в обращении. V Дисконтная функция: примеры На Рисунках 2 и 3 представлена дисконтная функцию для облигационного рынка США по данным McCulloch и Kwon (1993). На Рисунке 2 изображено множество дисконтных цен для сроков до погашения от t = 0 месяцев до t = 29 лет на 11 дат с сентября 1985 года по сентябрь 1990 года, которые равноудалены друг от друга на полгода. 1,2000 1,0000 0,8000 0,6000 0,4000 0,2000 0,0000 Рисунок 2 – Дисконтная функция на 11 дат для облигационного рынка США На Рисунке 3 изображена динамика дисконтных цен для 7 сроков до погашения с августа 1985 года по февраль 1991 года. 1,20 1,00 0,80 0,60 0,40 0,20 08/1985 11/1985 02/1986 05/1986 08/1986 11/1986 02/1987 05/1987 08/1987 11/1987 02/1988 05/1988 08/1988 11/1988 02/1989 05/1989 08/1989 11/1989 02/1990 05/1990 08/1990 11/1990 02/1991 0,00 Рисунок 3 – Динамика дисконтных цен для 7 сроков погашения для облигационного рынка США Первая сверху кривая построена по временному ряду дисконтных цен для погашения через «0 месяцев». Такие дисконтные цены соответствуют краткосрочной ставке Federal Funds rate. Последующие кривые построены по временным рядам дисконтных цен для погашений через 6 месяцев, 12 месяцев, 2 лет, 6 лет, 10 лет и 20 лет. Дисконтные цены для краткосрочных погашений отличаются наименьшей волатильностью. Волатильность усиливается с увеличением срока до погашения и достигает максимума для среднесрочных погашений (6 и 10 лет на Рисунке 3). Это объясняется неопределенностью, ввиду которой рыночные ожидания пересматриваются более часто и более масштабно. Однако дисконтные цены для долгосрочных погашений (20 лет на Рисунке 3) формируют несколько менее шероховатую кривую. Это объясняется тем, что в долгосрочной перспективе краткосрочные эффекты, и, порой, даже среднесрочные эффекты теряют импульс, и вместо преобладания пересмотра рыночных ожиданий преобладают долгосрочные усредненные рыночные ожидания. Рисунок 4 совмещает Рисунки 2 и 3. 1,00 0,90 0,80 0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 0,00 10/1985 6/1987 2/1989 10/1990 24Y 15Y 6Y 0M Рисунок 4 – «Поверхность дисконтных цен» для облигационного рынка США Если сделать вертикальный срез вдоль оси сроков до погашения, получится Рисунок 2 на одну дату. Если сделать вертикальный срез вдоль оси дат, получится Рисунок 3 для одного срока до погашения. В обобщении: дисконтная функция определяет настоящую стоимость 3 одной денежной единицы, которая будет выплачена через t периодов. После того, как дисконтная функция построена, она может быть использована для расчета справедливой стоимости любой стандартизированной 4 долговой бумаги, не имеющей риска дефолта, в соответствии с формулой (9) в Лекции 1. Если рынок находится в состоянии равновесия, арбитражные возможности отсутствуют. Тогда форма и степень наклона дисконтной функции определяются исключительно рыночными ожиданиями относительно будущей динамики краткосрочной процентной ставки и превалирующими в инвестиционном сообществе степенью нетерпеливости во времени и степенью неприятия риска. Очевидно, что данные факторы меняются с течением времени, что объясняет, почему дисконтная функция различается на различные даты. 3 Дисконтная функция иногда именуется функцией настоящей стоимости (present value function). В Лекции 1 сказано, что стандартизированные долговые бумаги не имеют встроенных опций и не индексируются. 4 На Рисунке 5 представлена «поверхность дисконтных доходностей» для облигационного рынка США, полученная путем преобразования дисконтных цен в дисконтные доходности. 12 10 8 6 4 2 15M 10M 0M 6/1989 5M 7/1987 2Y 6Y 11Y 16Y 21Y 26Y 8/1985 Рисунок 5 – «Поверхность дисконтных доходностей» для облигационного рынка США На Рисунке 6 представлена «поверхность дисконтных доходностей» для облигационного рынка США на более длительном периоде 1990-2010 годы. Данная иллюстрация заимствована с сайта (http://www.zerohedge.com/article/visualizingpast-treasury-yield-curve-and-deconstructing-great-confusion-surrounding-its-fut), и не исключено, что методология отличается от методологии McCulloch (1971, 1975) и McCulloch и Kwon (1993). Но здесь имеется возможность проследить эволюцию дисконтных доходностей для различных сроков до погашения в 20-летней ретроспективе. Рисунок 6 – «Поверхность дисконтных доходностей» для облигационного рынка США, 1990 – 2010 годы Стоит обратить внимание на нисходящую динамику процентных ставок в период 1990-2010 годы. Также стоит обратить внимание, насколько более волатильными являются краткосрочные и среднесрочные процентные ставки относительно долгосрочных процентных ставок. Издание «The New-York Times» имеет интерактивную версию эволюции процентных ставок США: http://www.nytimes.com/interactive/2015/03/19/upshot/3d-yield-curveeconomic-growth.html. Очень познавательно! Дополнительная литература Campbell, J., Lo, A., MacKinlay, G. The Econometrics of Financial Markets. Глава 10. Princeton University Press, 1997. Банк Англии применяет подход на основе сплайновых функций конструирования дисконтной функции. Ниже даны несколько ссылок: для http://www.bankofengland.co.uk/statistics/pages/iadb/notesiadb/Yields.aspx (Explanatory Notes – Yields) http://www.bankofengland.co.uk/statistics/Documents/yieldcurve/yields_background_no te.pdf (Notes on the Bank of England UK Yield Curves) https://www.bankofengland.co.uk/-/media/boe/files/working-paper/2001/newestimates-of-the-uk-real-and-nominal-yield-curves.pdf (New Estimates of the UK Real and Nominal Yield Curves) McCulloch был одним из первых, кто начал заниматься проблемой конструирования дисконтных функций. Ниже перечислены несколько его работ: McCulloch, J. Measuring the Term Structure of Interest Rates. Journal of Business, 30, 1971, 811-830. McCulloch, J. The Tax-Adjusted Yield Curve. Journal of Finance, 30, 1975, 811-830. McCulloch, J., Kwon, H. US Term Structure Data, 1947-1991. Working Paper 93-6, Ohio State University, 1993.