Анализ резистивных цепей (продолжение)

14 Лекция 3. АНАЛИЗ РЕЗИСТИВНЫХ ЦЕПЕЙ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 3. Эквивалентные преобразования участка цепи При расчете разветвленных электрических цепей часто целесообразно преобразовать участок цепи в более простой и удобный для расчета. Например, последовательно или параллельно соединенные элементы заменяют одним. Схему с несколькими источниками часто удается преобразовать в одноконтурную или в схему с двумя узлами, что значительно упрощает последующий расчет. Два участка цепи называют эквивалентными, если при замене одного участка на другой токи и напряжения остальной части цепи остаются неизменными. Одним из основных видов преобразования является замена источника напряжения эквивалентным источником тока. Часто используют также преобразование треугольника ветвей в эквивалентную звезду. 3.1. Последовательное и параллельное соединения двухполюсных элементов. Делители напряжения и тока Простейшими соединениями двухполюсных элементов являются последовательное и параллельное соединения. При последовательном соединении двухполюсников (рис. 2.5) их токи равны. Общее напряжение равно сумме напряжений отдельных элементов: U  U  U  . В соответствии с законом Ома U  RI  R I  RЭ I . Здесь (2.6) Rэ  R  R . Итак, последовательное соединение резисторов можно заменить одним резистором, сопротивление которого равно сумме сопротивлений резисторов, образующих последовательную цепь. Из (1.12) следует, что ток в цепи на рис. 2.5 равен 15 I U . R  R Напряжения на отдельных элементах делятся пропорционально их сопротивлениям: U  R I  R U, R  R U   R I  R U. R  R Поэтому цепь, образованную последовательным соединением элементов, называют делителем напряжения. I I1 U Рис. 2.5 R1 I2 R2 Рис. 2.6 Если в цепи имеются несколько источников напряжения, соединенных последовательно, в соответствии с вторым законом Кирхгофа их можно заменить одним источником, напряжение которого равно сумме напряжений источников, входящих в соединение. Отличительной особенностью параллельного соединения двухполюсных элементов является равенство напряжений на их зажимах. На рис. 2.6 показан пример параллельного соединения резисторов. Общий ток такой цепи равен сумме токов отдельных элементов: I  I  I  . В соответствии с законом Ома I  G U  G U  GэU , 16 где Gэ  G  G . Итак, при параллельном соединении линейных резисторов общая проводимость участка цепи равна сумме проводимостей отдельных элементов. Сопротивление цепи на рис. 2.6 можно найти по формуле Rэ  RR     . Gэ R  R Токи в параллельных ветвях делятся обратно пропорционально их сопротивлениям: I  I R , R  R I  I R . R  R Эти равенства называют формулами разброса или формулами «чужой ветви», а параллельную цепь часто называют делителем тока. Если в схеме имеются несколько источников тока, включенных параллельно, в соответствии с первым законом Кирхгофа эти источники можно заменить одним источником, ток которого равен алгебраической сумме токов источников, входящих в соединение. 3.2. Преобразования источников напряжения и тока Рассмотрим цепь, образованную последовательным соединением источника напряжения и резистора (рис. 2.7, а). Для этой цепи справедливо равенство U  RI  E . Выразим из этого уравнения ток: I  U E U     Jэ. R R R Последнему равенству соответствует цепь, образованная параллельным соединением источника тока J э  E R и резистора сопротивлением R (рис. 2.7, б). Поскольку токи и напряжения на внешних зажимах схем одинаковы, они эквивалентны. Разумеется, возможно и обратное преобразование источника тока в эквивалентный источник напряжения. При этом Eэ  RJ . 17 R I Е I R J U а U б Рис. 2.7 В некоторых случаях замена источника напряжения эквивалентным источником тока или обратно позволяет существенно упростить расчет. 3.3. Преобразование треугольника ветвей в эквивалентную звезду При расчетах разветвленных цепей возникает задача преобразования треугольника ветвей в эквивалентную звезду. Эквивалентность треугольника и звезды понимается в том смысле, что при одинаковых напряжениях между одноименными зажимами токи, входящие в одноименные зажимы, одинаковы. Найдем формулы, позволяющие выполнить такое преобразование. Для схемы треугольника на рис. 2.8, а справедливы уравнения: I  I   I ; (2.7а) I   I  I  ; (2.7б) I   I   I  ; (2.7в) RI  RI   RI    . Решая систему уравнений (2.7) относительно I12 , получим I  (2.7г) R R I  I . R  R  R R  R  R Напряжение U  R I  R R R R I  I . R  R  R R  R  R (2.8) 18 R31 а б Рис. 2.8 Решая систему (1.14) относительно I 23 , получим U   RI   R R RR I  I . R  R  R R  R  R (2.9) Уравнениям (2.8) и (2.9) соответствует эквивалентная схема на рис. 2.8, б, в которой резисторы соединены звездой. Сопротивления резисторов определяются равенствами: R  R R ; R  R  R R  R R ; R  R  R R  RR . R  R  R Итак, сопротивление луча эквивалентной звезды равно произведению сопротивлений прилегающих сторон треугольника, деленному на сумму сопротивлений сторон треугольника. Можно выполнить и обратное преобразование, заменив звезду ветвей эквивалентным треугольником. Сопротивления резисторов, образующих стороны треугольника, определяются равенствами: G  GG ; G  G  G G  GG ; G  G  G G  GG . G  G  G Следовательно, проводимость стороны треугольника равна произведению проводимостей прилегающих лучей звезды, деленному на сумму проводимостей лучей звезды. 19 3.4. Метод двух узлов При расчетах разветвленных цепей встречаются случаи, когда анализируемая цепь образована параллельным соединением нескольких ветвей, т.е. является схемой с двумя узлами. Пример такой цепи показан на рис. 2.9 а R1 R2 Uав J R3 E1 E2 в Рис. 2.9 Анализ таких цепей можно упростить, определив сначала напряжение между узлами а и в. Используя преобразование источников напряжения в эквивалентные источники тока, получим: U ab  E    R j  J i j i  j 1R    . (2.10) j j При вычислении напряжения U ab с положительным знаком записываются те слагаемые числителя, которые соответствуют источникам, направленным к узлу а. После того, как определено напряжение U ab , легко могут быть вычислены токи ветвей. Выражение (2.10) широко используется для расчета цепей с двумя узлами, а также более сложных цепей, которые могут быть представлены в виде схем с двумя узлами. Рассмотренный метод расчета является частным случаем общего метода анализа разветвленных цепей, называемого методом узловых напряжений. Он будет рассмотрен в следующей лекции. 4. Заключение 20 1. При последовательном соединении двухполюсных элементов их токи равны, а общее напряжение равно сумме напряжений отдельных элементов. Цепь, образованная последовательным соединением элементов, является делителем напряжения. 2. При параллельном соединении двухполюсных элементов напряжения на их зажимах равны. Цепь, образованная параллельным соединением элементов, является делителем тока.